UNIVERSIDAD NACIONAL DE UCAYALI

FACULTAD DE INGENIERIA DE SISTEMAS E INGENIERIA CIVIL

ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA DE SISTEMAS

TEORIA DE JUEGOS: MAXIMIN Y MINIMAX, METODO MONTECARLO

CURSO: INVESTIGACION DE OPERACIONES II

INTEGRANTES:

- HUPULLA VILLAFANA, Hctor- HERNANDEZ YAIWRIMA, Juan Gernimo- POZO YANA, Isaac- TORRES RAMIREZ, Guillermo Wilfredo- ROMANI FLORES, Ral

PUCALLPA PERU2013

INTRODUCCINEn el presentetrabajodeinvestigacinse pretende realizar un enfoque de lateoradejuegoscon el fin de conocer a fondo cul es suciencia, desde su origen y que es exactamente, por otro lado, a travs de esta investigacin deberemos conocer cules son las aplicaciones de la teora de juegos y sus aplicaciones, es decir, en qu reas es aplicable lateora de juegoscon ejemplos muy prcticos.La Teora de Juegos sedesarrollocon el simple hecho de que unindividuose relacionen con otro u otros. Hoy en da se enfrenta cotidianamente a esta teora, en cualquier momento, tenemos por ejemplo cuando nos inscribimos en un nuevo semestre en launiversidad, cuando la directiva toma la decisin sobre el monto que se va a cobrar, la directiva est realizando unjuegocon susclientes, en este caso los alumnos. Para el hombrela importancia que representa la Teora de Juegos es evidente, pues a diario se enfrenta a mltiples situaciones que son juegos.Actualmente la Teora de Juegos se ocupa sobre todo de que ocurre cuando los hombres se relacionan de forma racional, es decir, cuando los individuos se interrelacionan utilizando el raciocinio. Sin embargo, la Teora de Juegos tiene todas las respuestas a los todosproblemasdel mundo.

Qu es la teora de juegos?Evidentemente definir la Teora de Juegos es tan absurda como sulgica, pero la realidad es que la Teora de Juegos consiste en razonamientos circulares, los cuales no pueden ser evitados al considerar cuestiones estratgicas. Pornaturaleza, a los humanos no se les da muy bien pensar sobre los problemas de las relaciones estratgicas, pues generalmente la solucin es la lgica a la inversa.En la Teora de Juegos la intuicin no educada no es muy fiable en situaciones estratgicas, razn por la que se debe entrenar tomando en consideracin ejemplos instructivos, sin necesidad que los mismos sean reales. Por lo contrario en muchas ocasiones disfrutaremos de ventajas sustanciales estudiando juegos, si se eligen cuidadosamente los mismos. En estos juegos-juegos, se pueden desentender de todos los detalles.Si en lugar de utilizar personajes ficticios utilizamos personajes reales para los juegos si se observase qu tan honesto es ese personaje, cmo manipulara lainformacinobtenida, etc. Para un especialista en Teora de Juegos el ser deshonesto, etc., sera un error comparable al de un matemtico que no respeta lasleyesde la aritmtica porque no le gustan los resultados que est obteniendo.

Origen de la teora de juegosLa Teora de Juegos fue creada porVon Neumanny Morgenstern en sulibroclsico The Theory of Games Behavior, publicado en 1944. Otros haban anticipado algunas ideas.Los economistas Cournot y Edgeworth fueron particularmente innovadores en el siglo XIX. Otras contribuciones posteriores mencionadas fueron hechas por losmatemticosBorel y Zermelo. El mismo Von Neumann ya haba puesto los fundamentos en el artculo publicado en 1928. Sin embargo, no fue hasta que apareci el libro de Von Neumann y Morgenstern que el mundo comprendi cun potente era el instrumento descubierto para estudiar las relaciones humanas.Todava encontramos profesores mayores que nos explican que la Teora de juegos o sirve para nada porque lavidano es un "Juego de suma cero", o porque se puede obtener el resultado que uno quiera seleccionando el apropiado "conceptode solucincooperativa".Afortunadamente las cosas han evolucionado con mucha rapidez en los ltimos veinte aos, y ste y otroslibrosmodernos sobre teora de juegos ya no padecen algunos de lospresupuestosrestrictivos que Von Neumann y Morgenstern consideraron necesarios para progresar. Como resultado, lo que la teora de juegos prometa en un principio se est empezando a cumplir. En los ltimos aos, sus repercusiones en la teora econmica slo se pueden calificar de explosivas. Todava es necesario, sin embargo, saber algo de la cortahistoriade juegos, aunque slo sea para entender por qu se usan algunos trminos.Von Neumann y Morgenstern investigaron dos planteamientos distintos de la Teora de Juegos. El primero de ellos elplanteamiento estratgicoo no cooperativo. Este planteamiento requiere especificar detalladamente lo que los jugadores pueden y no pueden hacer durante el juego, y despus buscar cada jugador unaestrategiaptima. Lo que es mejor para un jugador depende de lo que los otros jugadores piensan hacer, y esto a su vez depende de lo que ellos piensan del primer jugador har. Von Neumann y Morgenstern resolvieron este problema en el caso particular de juegos con dos jugadores cuyos intereses son diametralmente opuestos. A estos juegos se les llama estrictamente competitivos, o de suma cero, porque cualquier ganancia para un jugador siempre se equilibra exactamente por una prdida correspondiente para el otro jugador. Elajedrez, el backgammon y el pquer son juegostratadoshabitualmente como juegos de suma cero.La segunda parte del libro de Von Neumann y Morgenstern desarrollaron el planteamiento coalicional o cooperativo, en el que buscaron describir laconductaptima en juegos con muchos jugadores. Puesto que ste es un problema mucho ms difcil, no es de sorprender que sus resultados fueran mucho menos precisos que los alcanzados para el caso de suma cero y dos jugadores. En particular, Von Neumann y Morgenstern abandonaron todo intento de especificarestrategiasptimas para jugadores individuales. En lugar de ello se propusieron clasificar losmodelosde formacin de coaliciones que son consistentes con conductas racionales. Lanegociacin, en cuanto a tal, no jugaban papel alguno en esta teora. De hecho, hicieron suyo el punto de vista, que haba predominado entre los economistas al menos desde la poca de Edgeworth, segn el cual los problemas de negociacin entre dos personas son inherentemente indeterminados.A principio de los aos cincuenta, en una serie de artculos muy famosa el matemtico John Nash rompi dos de las barreras que Von Neumann y Morgenstern se haba auto-impuesto. En el frente no cooperativo, estos parecen haber pensado que en estrategias la idea deequilibrio, introducida por Cournot en 1832, no era en s misma una nocin adecuada para construir sobre ella una teora de aqu que se restringieran a juegos de suma cero-. Sin embargo, la formulacin general de Nash de la idea de equilibrio hizo ver claramente que una restriccin as es innecesaria. Hoy da, la nocin de equilibrio de Nash, la cual no es otra cosa que cuando la eleccin estratgica de cada jugador es la respuesta ptima a las elecciones estratgicas de los otros jugadores. A Horace y Maurice les fueron aconsejados, por su consultor especialista en teora de juegos, que usaran un equilibrio de Nash. Es tal vez, el ms importante de los instrumentos que los especialistas en teora de juegos tienen a disposicin. Nash tambin hizo contribuciones al planteamiento cooperativo de Von Neumann y Morgenstern. Nash no acept la idea de que la teora de juegos debe considerar indeterminados problemas de negociacin entre dos personas y procedi a ofrecer argumentos para determinarlos. Sus ideas sobre este tema fueron generalmente incomprendidas y, tal vez como consecuencia de ello, los aos que la teora de juegos paso en Babia se gastaron principalmente desarrollando el planteamiento cooperativa de Von Neumann y Morgenstern en direcciones que finalmente resultaron improductivas.La historia de la teora de juegos en los ltimos veinte aos est demasiado repleta de incidentes para ser contada. Algunos nombres, sin embargo, no deben ser pasados en silencio. El acrstico NASH puede ayudar a quienes son. El propio Nash tiene la letra N, A por Aumann, S es Shapley y tambin por Selten y H es por Hansanyi.Lo que es tal vez ms importante sobre los ltimos veinte aos de teora de juegos es que los mayores progresos se han dado en la teora no cooperativa.Es difcil explicar hacia donde se dirige la teora de juegos a una audiencia que no sabe dnde se encuentra. Estas observaciones, por tanto, son para quienes ya saben algo de teora de juegos.Tengo opiniones muy decididas sobre ladireccinque la teora de juegos debera tomar, y es reconfortante ver las cosas parece que se mueven en la direccin correcta. Es justo, sin embargo, que en algn momento ponga lascartasboca arriba. As pues tengo que decir que creo que la mayor parte de laliteraturasobre "refinamientos del equilibrio de Nash" ha de ser catalogada junto con lasobrasde la escolstica medieval. Para ser incluso ms polmico, quiero aadir que los intentos por hacer del bayesianismo los fundamentos de la teora de juegos no deben ser comparados a laconstruccinde casas sobre arena, sino a la construccin de castillos en elaire. Visto retrospectivamente, nos parecern realmente muy extraos los intentos actuales de hacer de la teora bayesiana de la decisin algo ms que un instrumento analtico conveniente.

Estrategias maximin y minimaxEjemplo 1Consideremos unjuego de suma ceroen el que lo que yo gano lo pierde el otro jugador. Cada jugador dispone de tresestrategiasposibles a las que designaremos como A, B, y C (supongamos que son tres tarjetas con dichas letras impresas). Los premios opagosconsisten en la distribucin de diez monedas que se repartirn segn las estrategias elegidas por ambos jugadores y se muestran en la siguiente tabla llamadamatriz de pagos. Mis ganancias, los pagos que puedo recibir, se muestran en verde, a la izquierda de cada casilla. Los pagos al otro jugador se muestran en rosa, a la derecha de cada casilla. Para cualquier combinacin de estrategias, los pagos de ambos jugadores suman diez.MATRIZ DE PAGOS

Las estrategiasdel otro jugador

ABC

Mi estrategiaA9|11|92|8

B6|45|54|6

C7|38|23|7

Por ejemplo. Si yo juego la tarjeta C y el otro jugador elige su tarjeta B entonces yo recibir ocho monedas y el otro jugador recibir dos.ste es por tanto un juego de suma cero. Se llamajuego de suma ceroaqul en el que lo que gana un jugador es exactamente igual a lo que pierde o deja de ganar el otro.Para descubrir qu estrategia me conviene ms vamos a analizar la matriz que indica mis pagos, la de fondo verde. Ignoro cul es la estrategia (la tarjeta) que va a ser elegida por el otro jugador. Una forma de analizar el juego para tomar mi decisin consiste en mirar cul es elmnimoresultado que puedo obtener con cada una de mis cartas. En la siguiente tabla se ha aadido una columna indicando mis resultados mnimos.MATRIZ DE MIS PAGOS

La estrategia del otro jugador

ABCmnimos

Mi estrategiaA9121

B6544

C7833

En efecto, Si yo elijo la tarjeta A, puedo obtener 9, 1 o 2, luego como mnimo obtendr un resultado de1. Si elijo la tarjeta B, puedo obtener 6, 5 o 4, luego como mnimo obtendr4. Si elijo la tarjeta C, puedo obtener 7, 8 o 3, luego como mnimo obtendr3.De todos esos posibles resultados mnimos, el que prefiero es4ya que es elmximo de los mnimos. La estrategiaMAXIMINconsiste en elegir la tarjetaBya que esa estrategia me garantiza que, como mnimo, obtendr4.

Ejemplo 2Dos televisores compiten por el rating en el horario nocturno, por un pblico potencial de 100 millones de persones. La siguiente tabla muestra la posible captacin de pblico. TELEVISORA 2

TELEVISORA 1PelculasTelenovelasNoticieros

Pelculas351560

Nocturnos455850

Noticieros381470

Por ejemplo, si ambas televisoras programan pelculas, la televisora 1 captara a 35 millones de televidentes, mientras que la televisora 2 tendra un publico de 65 millones (100-35=65)En este caso decimos que se trata de un juego de Suma 100(35+65=100)Qu le conviene programar a cada televisora? A simple viste, a la televisora 1 le conviene programar en el horario nocturno su noticiero, ya que con ello capta 70 millones de personas, en cambio, a la televisora 2 le conviene programar telenovelas, ya que con ello capta 84 millones de personas (100-14=84)Cmo se ponen de acuerdo? Con estrategias minimax y maximin

TELEVISORA 2

TELEVISORA 1PelculasTelenovelasNoticieros

Pelculas351560

Nocturnos455850

Noticieros381470

Max por rengln 45 58 70De estas mximas perdidas, elige la minimaMin(max)=45

Min por columna15 4514De estos televidentes potenciales elige la mxima.Max(min)=45

Por lo tanto, el valor del juego es igual a 45, esto indica que a la televisora 1 le conviene programar telenovelas para tener una audiencia de 45 millones de televidentes y a la televisora 2 le conviene programar Pelculas para tener 55 millones de televidentes (100-45=55)

Simulacin Monte CarloLasimulacinMonte Carlo es la amiga de los matemticos no refinados. Para comprenderla y usarla, se necesita pocacapacitacinmatemtica. Puede ser adaptada fcilmente a cualquier situacin, con tal que las alternativas puedan ser especificadas cuantitativamente y que los datos requeridos puedan ser calculados con aceptable confianza.Monte Carlo es un proceso de resolver un problema simulando datos originales con generadores de nmeros al azar. Su aplicacin slo requiere dos cosas bsicas:1. Se debe tener un modelo que represente unaimagende realidad tal como lo vemos. El modelo en este caso no es ms que la distribucin por probabilidades de la variable que se considera. El mrito importante de la simulacin es que puede ser aplicada aunque las distribuciones de probabilidades no puedan ser expresadas explcitamente en cualquiera de las formas tericas, tales como aquellas que han sido presentadas en estetexto. Todo lo que se requiere es una tabla o un grfico de una distribucin de una variable directa o, indirectamente, por el uso deregistrospasados.2. Es un mecanismo para simular el modelo. El mecanismo pudo ser cualquier generador de nmeros al azar, tal como un par de dados, un puntero giratorio, una rueda de ruleta, una tabla de dgitos al azar o unacomputadorade alta velocidad apropiadamente instruida.3. El mtodo Monte Carlo es para simular, medianteprocedimientosal azar, situaciones del mundo real de naturaleza probablistica.EJEMPLO 1Tenemos la siguiente distribucin de probabilidades para una demanda aleatoria y queremos ver qu sucede con el promedio de la demanda en varias iteraciones:

Utilizando la distribucin acumulada de (F(x) es la probabilidad que la variable aleatoria tome valores menores o iguales a x) podemos determinar cual es el valor obtenido de unidades cuando se genere un numero aleatorio a partir de una distribucin continua uniforme. Este mtodo de generacin de variable aleatoria se llama Transformacin Inversa.

Generando los valores aleatorios vamos a ver como se obtiene el valor de la demanda para cada dia, interesndonos en este caso como es el orden de aparicin de los valores.

ConclusionesLa Teora de Juegos consiste en razonamientos circulares, los cuales no pueden ser evitados al considerar cuestiones estratgicas. La intuicin no educada no es muy fiable en situaciones estratgicas, razn por la que se debe entrenar.La Teora de Juegos actualmente tiene muchas aplicaciones, entre las disciplinas tenemos: la Economa, la Ciencia Poltica, laBiologay la Filosofa.