1. Introduccin:Originada y desarrollada por Harry Markowitz, autor de un artculo sobre seleccin de cartera publicado en 1952, la teora moderna de la seleccin de cartera (modern portfolio theory) propone que el inversionista debe abordar la cartera como un todo, estudiando las caractersticas de riesgo y retorno global, en lugar de escoger valores individuales en virtud del retorno esperado de cada valor en particularEn su modelo, Markowitz, dice que los inversionistas tienen una conducta racional a la hora de seleccionar su cartera de inversin y por lo tanto siempre buscan obtener la mxima rentabilidad sin tener que asumir un nivel de riesgo ms alto que el estrictamente necesario. Nos muestra tambin, como hacer una cartera optima disminuyendo el riesgo de manera que el rendimiento no se vea afectado.

2. Inversin en un activo libre de riesgo y un activo riesgosoEl proceso de inversin del capital que disponemos se realiza en dos fases: Conocer la proporcin de los fondos disponibles que debo colocar en la inversin riesgosa y en la inversin libre de riesgo Cmo distribuir lo invertido en cada parte en los diferentes ttulos disponibles en el mercado

El trmino activo puede referirse tanto a un ttulo o a una cartera compuesta por varios ttulos o a una cartera compuesta por otras carteras.

1.1. Capital Allocation Linea (Lnea de distribucin del capital)Es una grfica creada por inversionistas para medir el activo riesgoso y el activo libre de riesgo. La grafica representa la ubicacin, en cuanto a retorno esperado y riesgo.

Si el inversor es averso al riesgo, invertir todo su capital en el activo libre de riesgo. En cambio, el que desea ms rendimiento podra invertir todo en el portafolio riesgoso asumiendo el riesgo correspondiente.El CAL se puede probar que es una lnea recta y que tiene la siguiente ecuacin:

En esta frmula P es el portafolio riesgoso, F es el portafolio libre de riesgo y C es la combinacin de los portafolios P y F.La pendiente de la recta es la prima por riesgo, dividida entre la desviacin estndar del portafolio riesgoso y representa el aumento en el retorno esperado por cada unidad de aumento en el riesgo. A dicha pendiente se le conoce como ratio de recompensa por variabilidad 1.2. Aversin al riesgo e inversin entre activosAhora nos falta determinar en qu punto de la CAL nos queremos ubicar y eso depender del grado de aversin al riesgo que tengamos, representado por A.

Siendo U el grado de satisfaccin que obtenemos, el cual aumenta al incrementar el retorno esperado y disminuir con el aumento del riesgo.Con las formulas anteriores:

Las reemplazamos en la ecuacin de la funcin de utilidad:

2. Portafolio de dos activos riesgosos.

Ahora veremos la combinacin de dos activos riesgosos para poder analizar las carteras o portafolios que podemos obtener variando las proporciendos de dichos activos.Bonos (D)Acciones (E)

% Riqueza invertidaWDWE

Retorno esperado del portafolio:

Varianza del retorno esperado:

La cartera de bonos tiene un menor retorno esperado y una menor desviacin estndar, puesto que tiene menor riesgo. La forma y la ubicacin de la curva dependern del coeficiente de correlacin que exista entre ambos activos, en nuestro caso el coeficiente de correlacin que exista entre la cartera de bonos y la cartera de acciones. Este coeficiente puede variar entre p=+1 y p=-1Si p=+1, la expresin de la desviacin estndar del portafolio se convierte en:

Y luego:

3. Portafolio riesgoso ptimoEs el nico portafolio que comprende a todos los activos riesgosos que puede ser mantenido simultneamente por todos y cada uno de los inversionistas en cierta proporcin dada por la capitalizacin de mercado.La justificacin del porque todos los activos riesgosos deben estar incluidos en el portafolio de mercado se entender si se analiza lo que sucedera de no incluirse a alguno de ellos. En tal caso, el precio de ese activo bajar tanto y su rendimiento subir, de manera tal que los inversores se interesaran en dicho activo y lo llevaran nuevamente a un precio de equilibrio. De esta forma se garantiza que todos los activos riesgosos tienen que estar incluidos en el portafolio de mercado. A su vez, dado que el portafolio de mercado es independiente de las preferencias de los inversores individuales, todos tendrn el mismo portafolio riesgoso y su cantidad variar segn lo que se preste o se tome prestado.

Este portafolio optimo puede determinarse analitcamente y su resultado se muestra a continuacin. Lo que deseamos es encontrar las proporciones WD y WE que maximicen la pendiente Sp de la CAL, cuya expresin es:

Se trata, entonces, de maximizar dicha expresin como funcin objetivo, con la arestriccin de que WD + WE = 1. Para este caso de dos portafolios riesgosos el resultado de la maximizacin es:

Y WE = 1-WD

4. Cartera total ptima

La generacin de una cartera ptima de inversin supone ms que una combinacin deseable entre el riesgo y la ganancia de los activos que la pueden componer, lo ms importante es realizar un anlisis meticuloso de la relacin entre ellos. La teora explora adems cmo los inversionistas construyen carteras para optimizar el riesgo contra los rendimientos esperados, es decir, mide cmo la cartera de un inversionista puede beneficiarse por medio de la diversificacin.

Obtenida la CAL ptima, formada por el activo libre de riesgo y el portafolio riesgoso ptimo P, procedeos a determinar en que punto de la CALp nos queremos ubicar, lo que depender de nuestra aversin al riesgo. Este punto, que corresponde a nuestra cartera completa C, se determina por la tangencia de nuestra curva de indiferencia, correspondiente a nuestro grado de aversin al riesgo, con la CAL ptima CALp.

5. Modelo de Markowitz: frontera eficiente

Si tuviramos ms de dos activos riesgosos tendramos que realizar un procedimiento similar a los ya realizados antes, consta de tres pasos:1) Identificar las combinaciones posibles que se pueden formar con el conjunto de activos riesgosos y disponibles y seleccionar, para cada nivel de riesgo, la combinacin de activos (portafolio) que tenga el mayor retorno esperado posible.2) Determinar el portafolio ptimo de activos riesgosos, los que logramos trazando desde el activo libre de riesgo una CAL que sea tangente a la frontera eficiente (la CAL ms empinada o de mayor pendiente)3) Escoger el portafolio completo que se obtiene mediante la mezcla de portafolio riesgoso ptimo y el activo libre de riesgo, teniendo en cuenta la aversin al riesgo de la inversionista representada por sus curvas de indiferencia. La curva de indiferencia que sea tangente a la CAL representa la mxima satisfaccin que el inversionista podr obtener y el punto de tangencia define al portafolio completo.En la frontera eficiente, no se encuentra ningn titulo individual. Esto es as cuando no existen restricciones para realizar short sales. Si hubiese un titulo individual X en la frontera eficiente, podramos hacer short sale con un ttulo o cartera que tenga la misma desviacin estndar que el titulo X e invertir ms del 100% de nuestro capital en l; la cartera as formada tendra la misma desviacin que el ttulo X.Para ilustrar, supongamos que tenemos un horizonte de analiss de un ao y un conjunto de n ttulos. Aplicamos la siguiente formula:

Que calcula el retorno esperado de cada titulo i en funcin del dividendo D y el preio P (el superndice 0 indica el precio al comienzo y el superndice 1 indica el precio al final del periodo)La formula:

Calcula el retorno esperado del portafolio en funcin de los retornos esperados de los ttulos individuales, que componen la cartera, y de la proporcin w con que participan.6. Cartera optima cuando existen restricciones en el activo libre de riesgoAl no existir tasa libre de riesgo, no existir ninguna CAL y slo se tendr la frontera eficiente. Los inversionistas tendrn que escoger su cartera completa de la frontera eficiente y lo harn de acuerdo con su grado de aversin al riesgo, expresado por el set de curvas de indiferencia que corresponde. Trataran de maximizar su satisfaccin escogiendo la curva ms alta posible lo cual corresponder al punto de tangencia de la curva de indiferencia con la frontera eficiente.7. Teora del portafolio en el PerEsta teora es aplicable en el Per usando las oportunidades que ofrecen los fondos mutuos. Para esto, necesitamos los elementos que se presentan el esta teora que son: las carteras de bonos, la cartera de acciones y el activo libre de riesgo, y saber que aversin tenemos al riesgo. Como activo libre de riesgo podramos tomar los certificados de depsitos del BCR, como cartera de acciones podemos tomar uno de los fondos de renta variable que invierten en acciones, como Credibolsa Renta Variable del BCP y como cartera de bonos podemos considerar un fondo de renta fija de largo plazo, como el Credibolsa Renta Fija del BCP