Teoría de Valores ExtremosTeoría de Valores Extremos

Víctor M. FentonInstituto Tecnológico Autónomo de México

Febrero 2002

IntroducciónIntroducción La mayoría de los eventos en finanzas, actuaría,

hidrología y economía tienen colas anchas o pesadas.

El estimar la distribución de probabilidad es importante para múltiples finalidades.

La teoría de valores extremos sirve para este fin.

Se ha usado desde el siglo pasado y ha cobrado importancia en los últimos años, impulsada por las finanzas y las ciencias actuariales.

Eventos ExtremosEventos Extremos Continuamente estamos interesados en calcular

probabilidades de eventos extremos. En Riesgos de Mercado se calcula el VaR, que es una

medida de probabilidad del evento de una pérdida extrema.

Los eventos extremos son sumamente importantes para el VaR.

Uno siente cuando hay un largo periodo de calma, que puede venir un movimiento fuerte. El problema de un VaR con suavizamiento exponencial es que no prevé esto y va decreciendo (por volatilidad en el caso paramétrico) en vez de crecer.

La principal dificultad de predecir o estimar posibles datos extremos es que hay muy pocos de ellos, lo que dificulta el cálculo de sus probabilidades.

Fundamentos de ProbabilidadFundamentos de Probabilidad La llamada función de densidad de probabilidad

(f.d.p.) sirve para saber cómo repartir la probabilidad en los diferentes posibles eventos.

Ejemplo: la f.d.p. con forma de campana de la distribución de Gauss o "Normal":

La densidad "Normal" tiene grandes virtudes, especialmente las asociadas al "teorema central de límite", pero desgraciadamente no sirve para el cálculo de probabilidades de la mayoría de los indicadores financieros del mercado mexicano.

Si observamos los cambios diarios en alguna variable de mercado durante un periodo prolongado de tiempo, siempre se tendrán muchas observaciones pequeñas positivas y negativas pero generalmente tendremos algunos datos extremos hacia uno o ambos extremos.

Fundamentos de ProbabilidadFundamentos de Probabilidad La densidad “Gaussiana” no permite la existencia

de eventos extremos pues sus colas decrecen extremadamente rápido (más rápido que una exponencial).

La Teoría de Valores Extremos, o EVT por sus siglas en inglés ("Extreme Value Theory"), es un conjunto de técnicas estadísticas para ajustar distribuciones de probabilidad que permitan (como el nombre lo dice) la existencia de valores extremos. Las densidades ajustadas son "de colas anchas“ ó de “colas pesadas”.

EjemploEjemplo

Tasa de Cetes a 91 días en mercado secundario.

Se tomaron 1045 datos diarios de esta tasa (aprox. 4.2 años).

Se tomó una ventana móvil de 504 datos (2 años) y se calculó el VaR de la tasa por cuatro diferentes métodos.

Esto dio como resultado, 540 estimaciones de VaR. Obsérvese la gráfica de evolución de la tasa y de

sus primeras diferencias.

Cete de 91 días y sus Primeras Cete de 91 días y sus Primeras Diferencias Diferencias

05

101520253035404550

18-S

ep-9

7

18-D

ic-9

7

18-M

ar-9

8

18-J

un-9

8

18-S

ep-9

8

18-D

ic-9

8

18-M

ar-9

9

18-J

un-9

9

18-S

ep-9

9

18-D

ic-9

9

18-M

ar-0

0

18-J

un-0

0

18-S

ep-0

0

18-D

ic-0

0

18-M

ar-0

1

18-J

un-0

1

18-S

ep-0

1

-6

-3

0

3

6

9

12

15Cetes 91d

1as diferencias

Histograma y AjustesHistograma y Ajustes

El histograma prueba empíricamente que la distribución de probabilidad NO es normal.

Mmm

Histograma de 1as diferencias del Cete de 91 días

0

100

200

300

400

500

-4.5

-3.5

-2.5

-1.5

-0.5 0.5

1.5

2.5

3.5

4.5

5.5

6.5

Frec

uenc

ia

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Back - TestingBack - Testing

-2.00

-1.50

-1.00

-0.50

0.00

0.50

1.00

1.50

2.00

2.50

3.00

23-S

ep-9

9

23-O

ct-9

9

23-N

ov-9

9

23-D

ic-9

9

23-E

ne-0

0

23-F

eb-0

0

23-M

ar-0

0

23-A

br-0

0

23-M

ay-0

0

23-J

un-0

0

23-J

ul-0

0

23-A

go-0

0

23-S

ep-0

0

23-O

ct-0

0

23-N

ov-0

0

23-D

ic-0

0

23-E

ne-0

1

23-F

eb-0

1

23-M

ar-0

1

23-A

br-0

1

23-M

ay-0

1

23-J

un-0

1

23-J

ul-0

1

23-A

go-0

1

23-S

ep-0

1

23-O

ct-0

1

P&L

EVT2.33 sig. Pesos Ctes.2.33 sig. Suav. Exp.Percentil 1%EVT2.33 sig. Pesos Ctes.2.33 sig. Suav. Exp.Percentil 1%

}

Resultados de las Distintas Resultados de las Distintas TécnicasTécnicas

El Back-Testing de los 540 cálculos de VaR, cada uno con 2 años de historia produce lo siguiente :

Técnica Confianza Excesos Tot Excesos L.I. Excesos L.S.

Peso 95% 26 17 9Constante

Suav. Exp. <97% 17 9 8 (=0.94)

Percentil 97% 15 9 6Del 1%

EVT 98% 11 6 5

¿Cómo funciona la Teoría de ¿Cómo funciona la Teoría de

Valores Extremos?Valores Extremos?

Gumbel

Frèchet

Weibull

4 2 0 2 4 6 8 100

0.1

0.2

0.3

g0 x 0, 1,( )

g0 x 1, 2,( )

x

Fréchet

Distribuciones de Valores ExtremosDistribuciones de Valores Extremos

( ) úû

ùêë

éúû

ùêë

é÷øö

çèæ -

--×úû

ùêë

é÷øö

çèæ -

-×=s

ms

ms

sm xxxg expexpexp1,,0

( )úúû

ù

êêë

é÷øö

çèæ -

-÷øö

çèæ -

=-+- aa

sm

sm

sasma xxxg exp,,,

)1(

1

( )úúû

ù

êêë

é÷ø

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çèæ -

--úû

ùêë

é÷øö

çèæ -

-=-+- aa

sm

sm

sa

sma xxxg exp,,,)1(

2

10 8 6 4 2 00

0.2

0.4

0.6

0.8

g2 x 1.5-, 0, 1,( )

g2 x .75-, 2, 3,( )

g2 x 4-, 1, 5,( )

x

0 2 4 6 8 100

0.2

0.4

0.6

0.8

g1 x 1, 0, 1,( )

g1 x 4, 1, 2,( )

g1 x .5, 2, 2,( )

x

Distribución Generalizada de ParetoDistribución Generalizada de Pareto

Exponencial

Pareto

Beta

( ) úû

ùêë

é÷øö

çèæ -

-=s

msm xxw exp,,0

( ))1(

1 ,,,a

smasma

+-

÷øö

çèæ -×=xxw

( ))1(

2 ,,,a

smasma

+-

úû

ùêë

é÷øö

çèæ -

-×=xxw

0 2 4 6 8 100

0.5

1

1.5

2

w0 x 0, 1,( )

w0 x 1, 2,( )

x

Pareto

1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.5

1

1.5

w1 x 1, 0, 1,( )

w1 x .75, 1, 1,( )

w1 x 3, 1, 1,( )

x

1 0.8 0.6 0.4 0.2 00

0.5

1

w2 x .99-, 0, 1,( )

w2 x .75-, 0, 1,( )

w2 x .05-, .20-, 1,( )

x

Teorema de Fisher-TippetTeorema de Fisher-Tippet

Para conocer la probabilidad en las colas es importante observar primero la distribución del máximo y del mínimo.

El teorema de Fisher-Tippet asegura, bajo ciertas condiciones, que la distribución de los extremos se puede aproximar bien con alguna de las distribuciones extremas (Gumbel, Frèchet, Weibull), siempre que el tamaño muestral sea grande.

¡Esto reduce la búsqueda de la distribución límite a sólo tres posibilidades!

Cómo funciona el EVTCómo funciona el EVT Supongamos que se tiene un conjunto de datos x1, x2, ...

, xn sobre los que queremos estimar el p-ésimo cuantil, es decir, un valor z tal que P(x<z)=p. Supongamos también que p es pequeño (digamos que p<=0.05).

Si pensamos que todas las observaciones tienen la misma probabilidad de ocurrencia, calculemos primero un cuantil más alto, llamémosle “u” al número tal que P(x<u)=q (e.g. q=0.2 ó 0.1), donde u sea tal que exista un 100q% de observaciones menores o iguales que u. Al número u se le llamará “umbral”.

Ordenaremos primero nuestros datos en orden ascendente y1=mín(x’s), y2, ..., yn=máx(x’s).

Teorema Balkema–de HaanTeorema Balkema–de Haan

Para el cálculo del VaR necesitaremos conocer la distribución de probabilidad del umbral.

El teorema de Balkema y de Haan asegura que las colas de esta distribución se tienen que parecer a una generalizada de Pareto.

Gracias a eso, la distribución condicional de las colas, de donde derivaremos el VaR, se puede aproximar bien con una distribución Exponencial, una Pareto o una Beta.

La generalizada de Pareto es sencilla en cuanto a que sólo necesita de tres parámetros.

Cómo aplicar EVT (continuación)Cómo aplicar EVT (continuación)

Nos quedaremos sólo con las observaciones menores que el umbral y1, y2, ..., yj y a las cantidades bajo el umbral u-y1, u-y2, ..., u-yn les ajustaremos una distribución generalizada de Pareto.

Con esta distribución será fácil calcular el p-ésimo cuantil “z”, es decir el número tal que P(u-y>z)=p.

Si nuestra muestra fuese de pérdidas y ganancias simuladas la “z” será el VaR.

Por propiedades de la distribución será también sencillo calcular el exceso promedio, es decir E[y|y<u] (Artzner).

EstimaciónEstimación Primero estimaremos el umbral. Esto generalmente

se hace con técnicas visuales como la gráfica de la función de excesos promedio.

Generalmente se parte de unos estimadores iniciales de los parámetros, usando el método de Pickands o el de Hill ó la gráfica Q-Q.

Posteriormente se pasa a afinar esas estimaciones por Máxima verosimilitud.

Para esto se necesita un método de optimización multivariado (v.g. Newton-Raphson).

Una vez que se tienen los parámetros, la estimación del VaR y del Exceso Esperado son inmediatas.

EVT y VaREVT y VaR La teoría de valores extremos puede usarse

para mejorar sustancialmente las medidas de VaR y conocer el verdadero nivel de confianza sin importar la metodología usada:

– Paramétrico: para encontrar intervalos de confianza a usarlos en vez de múltiplos de volatilidades.

– Simulación histórica y de monte Carlo: A partir de la serie de P&L simulados generada se aplicará EVT para obtener el VaR.

Otros UsosOtros Usos

Riesgo de Crédito

Riesgo operacional (y legal)

Hidrología

Cálculos actuariales

SoftwareSoftware

Existen varios programas comerciales que facilitan el uso del EVT (todos ellos requieren conocer la teoría), entre ellos:– Código EVIS para S-Plus, que se puede obtener

gratuitamente de Internet.– Extremes. Viene con el libro de Reiss y Thomas. Funciona

bajo Windows, es versátil y didáctico.

El hacer una aplicación casera para la estimación es relativamente sencillo. Sólo requiere conocer las ecuaciones y aplicar un procedimiento de optimización para maximizar la verosimilitud.

Ventajas y Desventajas Del EVTVentajas y Desventajas Del EVT Ventajas:

– Diseñado específicamente para eventos extremos.– Nivel de confianza real.– Las distribuciones empleadas tienen colas realmente anchas

(ó pesadas).– Produce medidas de VaR mejores.

Desventajas:– A veces la distribución generalizada de Pareto no logra un

buen ajuste y es necesario estimar la densidad condicional usando otros métodos.

– Requiere mayores conocimientos.– No es fiable para niveles de confianza demasiado altos,

incongruentes con el tamaño muestral.

BibliografíaBibliografía Reiss R.D. and Thomas, M. (1997 y 2001) Statistical

Analysis of Extreme Values : With applications to Insurance, Finance, Hydrology and Other Fields. Springer-Verlag Berlin.

Embretch, Paul; Klüppelberg, Claudia and Mikosch, Thomas (1999) Modelling Extremal Events for Insurance and Finance, 2nd printing. Springer-Verlag Berlin.

Samuel Kotz, Saralees Nadarajah (2001) Extreme Value Distributions: Theory and Applications. Imperial College Press.

EVIS - http://www.math.ethz.ch/ McNeil XTREMES - http://www.xtremes.math.uni-siegen.de.

Teoría de Valores ExtremosTeoría de Valores Extremos

Víctor M. FentonITAM

Febrero 2002