1

RENATA DA SILVA MATOS

A UTILIZAO DOS VALORES EXTREMOS DAS FUNES DE UMA

VARIVEL REAL NA RESOLUO DE PROBLEMAS DE MXIMOS E MNIMOS

JUSSARA GO

2008

2

RENATA DA SILVA MATOS

A UTILIZAO DOS VALORES EXTREMOS DAS FUNES DE UMA

VARIVEL REAL NA RESOLUO DE PROBLEMAS DE MXIMOS E MNIMOS

Monografia aprovada como requisito parcial para obteno do grau de

Licenciado em Matemtica na Universidade Estadual de Gois UEG, pela Banca

Examinadora:

________________________________________________________

Orientador: Prof. Ms. Mrcio Lemes de Sousa UEG

________________________________________________________

Prof. Dr. Romildo da Silva Pina - UFG

________________________________________________________

Profa. Esp. Rejane Alves de Souza Tiago - UEG

Jussara, ____/____/2008.

3

Dedico aos meus pais Joo e Divina, minha irm Patrcia e ao meu orientador

Mrcio.

4

AGRADECIMENTOS

Primeiramente a Deus pela ddiva da vida, e pelas inmeras bnos que a mim foram

concedidas no somente nessa etapa, como em toda minha vida.

Aos meus pais Joo da Silva Matos e Divina Antnia de Matos, por serem a razo da

minha vida e a motivao dos meus estudos. Por me apoiarem durante todo o tempo. E

principalmente, por me concederem as bases para que eu me tornasse a pessoa que sou.

minha irm Patrcia da Silva Matos, que mesmo distante durante esse ano de

pesquisa, esteve sempre com apoio constante, e presente durante todas as outras etapas da

minha vida acadmica.

Ao meu orientador Mrcio Lemes de Sousa, que sempre demonstrou seu

profissionalismo e dedicao durante todo o trabalho. E principalmente, pela amizade e apoio

durante cada etapa dessa pesquisa, contribuindo significativamente para meu

desenvolvimento.

minha amiga Andria Cardoso pelo companheirismo, auxlio e por passar comigo os

momentos mais difceis da graduao.

Ao professor lvaro Moreira Neto que no incio deste curso me fez compreender os

meus valores de forma a me encontrar nessa cincia apaixonante chamada Matemtica.

coordenadora do curso de Matemtica da UEG - Unidade de Jussara, profa. Rejane

Alves de Souza Tiago

Aos professores e colegas de curso, com os quais compartilhei momentos

inesquecveis da minha vida, momentos de felicidade e dificuldade, porm essenciais para a

concretizao desta etapa. Todos estaro sempre no meu corao.

5

A toda minha famlia e amigos que direta ou indiretamente colaboraram para a

concluso desta pesquisa.

6

A Matemtica apresenta invenes to sutis que podero servir no s para satisfazer os curiosos como, tambm para auxiliar as artes e poupar trabalho aos homens.

Descartes

7

RESUMO

Num mundo capitalista, buscam-se sempre as melhores ofertas, onde se gaste menos e lucre

mais. Busca-se sempre o melhor, mais rpido, mais eficiente. Mas, s vezes para conseguir

chegar a esses valores deve-se lanar mo de algumas ferramentas importantes para que se

tenha xito na resoluo de problemas. So exatamente estas as ferramentas que buscaremos

nesse trabalho, visando sempre unir teoria e prtica, levando a matemtica s situaes mais

corriqueiras da vida quotidiana e mostrando assim a amplitude do Clculo Diferencial e

Integral.

8

LISTA DE ILUSTRAES

Figura 1 - Definio da derivada 22

Figura 2 - Valores extremos 25

Figura 3 - Pontos de mximo e mnimo locais 26

Figura 4 - Valor mnimo 26

Figura 5 - Valores extremos inexistentes 27

Figura 6 - Valores extremos em intervalo fechado 29

Figura 7 - Teorema de Fermat 30

Figura 8 - Ponto crtico 32

Figura 9 - Extremos inexistentes em um ponto crtico 33

Figura 10 - Extremos absolutos em intervalo fechado 35

Figura 11 - Pontos Crticos

Figura 12 - Teorema do Valor Mdio

37

Figura 13 - Intervalos de crescimento e decrescimento 42

Figura 14 - Extremos relativos 44

Figura 15 - Concavidade 47

Figura 16 - Valores extremos absolutos 48

Figura 17 - Distncia de um ponto parbola 51

Figura 18 - Maior rea de um retngulo inscrito em um semicrculo 52

Figura 19 - Maior rea de um retngulo inscrito em um semicrculo

Figura 20 - Campo retangular

53

54

Figura 21 - Maior caixa a ser construda 56

9

Figura 22 - Lucro mximo 60

Figura 23 - Galpo e rea retangular 61

Figura 24 - Receita mxima 63

Figura 25 - Soma mnima

Figura 26 - rea de piquenique

66

67

10

SUMRIO

INTRODUO 10

1 - CLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL HISTRIA E CONCEITOS FUNDAMENTAIS

12

1.1 Um pouco de Histria 12

1.2 Alguns conceitos fundamentais 20

2 - VALORES EXTREMOS DAS FUNES DE UMA VARIVEL REAL 27 2.1 Valores mximos e mnimos 27

2.2 - Aplicao de derivadas em construo de grficos 39

3 APLICAES 48

11

INTRODUO

H milhares de anos o homem j via na Matemtica a chave para que fossem

resolvidos seus problemas da vida quotidiana. Esse pode ter sido o principal motivo para o

desenvolvimento dessa cincia sabendo que a busca por melhora constante em qualquer

rea. Foi pensando desta forma que muitos estudiosos se dedicaram durante anos, dcadas e

at mesmo durante uma vida inteira para que fossem acrescidos os conhecimentos

matemticos. Alguns se destacaram, outros nem tanto, mas o importante que cada um

desempenhou o seu papel e deu sua contribuio para que o progresso acontecesse.

Nessa pesquisa procura-se trazer as contribuies do Clculo Diferencial e Integral em

diversas reas, tentando coloc-lo mais prximo das pessoas, de forma a torn-lo um aliado na

resoluo de vrios problemas. Para isso buscar-se- o estudo do Clculo Diferencial e

Integral de forma prazerosa e que levem-nos a resultados realmente eficazes.

Os valores extremos das funes de uma varivel real sero trabalhados na resoluo

de problemas que envolvam mximos e mnimos, sendo ento indispensvel o estudo de

importantes Teoremas que daro o suporte necessrio durante o trabalho e sero de

fundamental importncia no estudo do comportamento das funes, sendo esta uma forma

clara de se verificar os resultados obtidos numa aplicao.

No primeiro captulo tem-se a trajetria dos principais precursores do Clculo

Diferencial e Integral, onde ser feita uma abordagem de suas importantes contribuies no

mbito das derivadas, que o foco dessa pesquisa. Tambm no primeiro captulo faz-se

necessrio a apresentao de alguns conceitos que sero de fundamental importncia para o

bom entendimento dos captulos posteriores.

12

O captulo dois baseia-se no estudo de vrios Teoremas e mtodos que sero

ferramentas essenciais durante a resoluo dos problemas apresentados nas aplicaes, dos

quais destacam-se pela extrema importncia, o Teorema de Weierstrass e o Teorema de

Fermat que sero fortes aliados na busca dos resultados esperados. Estes e todos os outros

Teoremas elencados no trabalho viro acompanhados de demonstraes e exemplos, visando

sempre uma forma clara de se trabalhar o Clculo Diferencial e Integral.

Ainda no captulo dois ser reservada uma seo para trabalhar mais profundamente as

aplicaes das derivadas nas construes de grficos, o que ser de grande importncia

durante as aplicaes.

O captulo trs traz situaes naturais, do dia-a-dia e tambm puramente matemticas,

onde o principal objetivo ser a utilizao dos mtodos explorados nos captulos um e dois

desta pesquisa, para uma resoluo eficiente.

13

CAPTULO 1 CLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL HISTRIA E CONCEITOS FUNDAMENTAIS

Neste primeiro captulo abordaremos, a trajetria de alguns matemticos que deram

grandes contribuies no que diz respeito ao estudo do Clculo Diferencial e Integral,

contaremos um pouco da histria de cada um deles e quais foram suas principais

contribuies no desenvolvimento dessa rea. Em seguida, teremos a exposio de alguns

conceitos que nos sero de fundamental importncia durante toda a pesquisa.

1.1 Um pouco de histria

Durante toda a Histria, muitos estudiosos contriburam para que a matemtica fosse

desenvolvida. Em cada fase vivida aperfeioaram-na um pouco mais, e ainda hoje continuam

trilhando novos caminhos atravs do que j foi desenvolvido. Portanto, de fundamental

importncia que conheamos um pouco melhor essa histria, e principalmente, os precursores

dessa cincia.

14

No entanto, no podemos citar o criador, ou mesmo o pai do Clculo. Veremos que

cada um deles contribuiu grandemente para o aperfeioamento dessa cincia, deixando sua

marca na Histria da Matemtica.

Comearemos por Pierre Fermat, que nasceu em 17 de agosto de 1601, na Frana,

filho de um bem sucedido vendedor de peles, teve boa educao, provavelmente estudou no

mosteiro franciscano de Gandselve, prximo Beaumont-de-Lomagne, sua cidade natal.

Estudou em duas Universidades, primeiramente na Universidade de Toulouse, mudando-se

depois para Bordeaux, onde iniciou seus estudos matemticos, que apesar de no terem sido

publicados na poca, foram de grande relevncia para estudos posteriores.

Anos depois, Fermat se deslocou para Orleans, onde estudou direito, atuou como

advogado e tambm no parlamento, como oficial do governo, o que o levou a mudar seu

nome de Pirre Fermat para Pierre de Fermat, devido aos cargos que ocupava.

Mas mesmo se ocupando de outros afazeres, Fermat, sempre estudava matemtica em

suas horas vagas. Portanto, seu trabalho em Orleans no influenciou seu gosto por essa

cincia, no perdendo tambm os contatos matemticos que havia deixado em Bordeaux.

Fermat foi verdadeiramente o prncipe dos amadores em matemtica . Nenhum matemtico profissional de seu tempo fez maiores descobertas ou contribuiu mais para o assunto, no entanto Fermat era to modesto que quase nada publicou. (BOYER, 2002, p. 259.)

Com tamanha inteligncia para a matemtica, Fermat, perdeu muito no publicando

suas obras, posto que assim, outros matemticos que tinham conhecimento de suas pesquisas

e apresentavam um pouco mais de organizao nos trabalhos acabavam melhorando os

estudos de Fermat e publicando-os.

Em Toulouse encontrou Carcavi, um amigo advogado, que compartilhava com ele o

gosto pela matemtica e a quem Fermat contou suas descobertas. Carcavi auxiliou-o a entrar

15

em contato com a sociedade cientfica da poca. Assim ele teve o primeiro contato com os

estudos sobre queda livre, apesar de no se interessar muito por aplicaes fsicas.

A comunicao entre esses matemticos era feita basicamente atravs de cartas, e em

uma delas Fermat enviou aos matemticos de Paris dois problemas sobre mximos e mnimos,

a fim de que eles pudessem resolv-los. Era o que ele gostava de fazer. Desafiar os outros

matemticos a chegar aos resultados que ele j havia alcanado.

Em Paris, no conseguiram descobrir os meios que fizeram com que Fermat

desenvolvesse esse estudo, e acharam aqueles problemas muito complexos e sem soluo

levando-se em considerao o quanto a matemtica havia sido desenvolvida at aquela poca.

Evidentemente Fermat no tinha o conceito de limite, mas por outro lado seu mtodo

para mximos e mnimos se assemelha ao usado no Clculo hoje, s que agora se usa em

geral o smbolo h ou x em lugar do E de Fermat. (BOYER, 2002, p.255.)

Foi ento que Fermat enviou seu Mtodo para determinar mximos e mnimos e

tangentes linhas curvas e alguns outros estudos j desenvolvidos por ele.

possvel que Fermat desde 1629 estivesse de posse de sua geometria analtica, pois por essa poca ele fez duas descobertas significativas que se relacionam de perto com seu trabalho sobre lugares. A mais importante dessas foi descrita alguns anos depois em um tratado, tambm no publicado durante sua vida, chamado Mtodo para achar mximos e mnimos.(BOYER, 2002, p.255.)

Para a publicao de seus trabalhos Fermat teve muita dificuldade, pois estes, quase

nunca estavam apresentveis, por sua falta de organizao. Estas publicaes foram feitas nas

obras de outros estudiosos, que os incluam em suplementos intitulados mtodos de Fermat.

O fato de Fermat sempre desafiar os outros matemticos, fez com que ele contrasse

vrias inimizades. Uma delas com Descartes, porque fez um comentrio no muito agradvel

sobre um de seus trabalhos. Ao que Descartes, mais que rapidamente contra-atacou Fermat,

16

afirmando que seu mtodo para determinar mximos e mnimos e tangentes linhas curvas

no era eficaz. No entanto Descartes s fez isso, porque percebeu que Fermat poderia ofuscar

o La Geomtrie, trabalho que estava sendo desenvolvido por ele. Mas, outros estudiosos

interviram nessa discusso, para que Fermat comprovasse que estava realmente correto. O que

levou Descartes a afirmar que depois de ter visto o ltimo mtodo usado por Fermat para

encontrar tangentes linhas curvas, s poderia avali-lo de uma nica maneira: realmente o

mtodo era muito eficaz. Descartes reconheceu seu erro e disse que nunca o teria contradito se

soubesse como ele funcionava desde o incio.

Por anos Fermat se manteve afastado de Paris mesmo depois de todo o equvoco entre

ele e Descartes ter sido solucionado O seu afastamento se deu por motivos de sade que o

deixou to debilitado que chegaram a anunciar sua morte.

Mesmo doente ele no poderia perder tempo, aproveitou-se, ento, desse momento em

que esteve se recuperando para estudar. Foi quando fez grandes descobertas com relao

Teoria dos Nmeros e o Teorema de Fermat, de grande importncia nessa pesquisa. Alm

disso, sua contribuio para com a Fsica e a Geometria foi de extrema importncia para

aqueles que herdaram suas teorias e tambm para ns matemticos, que nos valemos delas

ainda hoje.

Isaac Newton foi um dos mais clebres seguidores de Fermat. Apesar dele no ter

nascido com o dom matemtico, desde muito cedo foi detectado nele um talento incomum

para a matemtica. Ele prprio no se interessava por esse assunto mas no abria mo de seu

gosto pela Qumica, cincia a qual ele se aprofundou e deixou marcas indelveis.

Foi justamente devido ao seu interesse pela Qumica que ele conheceu e comeou a se

interessar pela Matemtica. Arithmetica infinitorum de Wallis foi provavelmente a mais

17

importante de suas leituras, a partir da o interesse por Galileu, Fermat, Huygens e outros foi

crescente.

Durante alguns anos e com o auxlio de seu mestre Isaac Barrow que havia sido

indicado cadeira Lucasiana de Matemtica em Cambridge Newton estudou muito o que j

se havia desenvolvido em matemtica, chegando ento a alcanar as fronteiras do

conhecimento. Nesse momento, j poderia dar sua prpria contribuio nessa rea.

de Newton o mrito da descoberta das sries infinitas, algo que at ento

amedrontava muitos matemticos da poca. Porm, esse estudo j estava sendo feito, na Itlia,

por Gregory, apesar de que, dificilmente Newton tivesse algum conhecimento disso. Outra de

suas contribuies foram as taxas de variao, unindo os problemas das sries infinitas e das

taxas de variao, e chamando de meu mtodo.

Foi justamente durante o tempo em que o colgio onde Newton estudava teve de estar

fechado por causa de uma epidemia que ele, assim como Fermat, mesmo em casa, no se

deu ao luxo de parar com suas investigaes o que resultou em quatro de seus mais

significativos trabalhos: o teorema binomial, o clculo, a lei de gravitao e a natureza das

cores.

Com a sada de Barrow da Cadeira Lucasiana de Cambridge, Newton foi nomeado

para ocup-la como um prmio pelos trabalhos feitos em Clculo, onde j havia desenvolvido

um mtodo para se calcular reas de uma regio delimitada por uma curva.

Isaac Newton fez grandes contribuies no desenvolvimento do Clculo Diferencial e

Integral, motivo pelo qual passou a ser conhecido como pai do Clculo. No entanto, muito

j havia sido desenvolvido por Fermat, e muito ainda se desenvolveu aps Newton.

Newton no foi o primeiro a diferenciar ou integrar, nem a ver a relao entre essas operaes no teorema fundamental do clculo. Sua descoberta

18

consistiu na consolidao desses elementos num algoritmo geral aplicvel a todas as funes, sejam algbricas, sejam transcendentes. (BOYER, 1994, p. 292).

Como professor lucasiano1, ele desenvolveu trabalhos sobre ptica e mecnica celeste,

entre outros. Nessa poca desvendou vrios fenmenos do universo, publicando-os mais tarde

em Philosophiae naturalis principia mathematica ou Principia, como ficou conhecida.

Alm dos estudos j realizados sobre o movimento dos corpos celestes, Newton, a

partir da ao da fora centrpeta, demonstrou que os planetas foram atrados pelo Sol, anlise

que legou a seu inventor um grande prestgio.

Infelizmente, ele teve que abandonar a pesquisa devido a um colapso nervoso; ento

ele teve que tornar-se guardio da Casa da Moeda Real, em Londres, onde terminou seus dias.

No entanto, para continuar desenvolvendo seus estudos e aperfeioando seus mtodos

estava Gottfried Wilhelm von Leibniz, que nasceu em primeiro de julho de 1646, em Leipzig,

na Alemanha. Filho de Friedrich Leibniz e Catharina Schmuck, Leibniz, foi criado

praticamente pela me, pois seu pai, um professor de filosofia, morreu antes que ele

completasse sete anos de idade.

Ingressou na escola aos sete anos, e por causa do interesse em ler os livros do pai,

Leibniz foi autodidata em Latim e Grego at os doze anos. Aos quatorze entrou na

Universidade de Leipzig onde estudou filosofia, teologia, direito e matemtica, graduando-se

bacharel em 1663.

Durante suas frias de vero, aps graduar-se, conheceu o professor de matemtica

Erhard Weigel, que muito o influenciou com seus estudos sobre lgica e filosofia.

1 Nome dado a uma ctedra de matemtica da Universidade de Cambridge, na Inglaterra.

19

Voltando para Leipzig, seguiu em direo ao doutorado. Recebeu o grau de Mestre em

Filosofia, e sua me faleceu logo aps a apresentao de sua dissertao.

Aos vinte anos de idade, lhe foi recusado o grau de doutor em direito, por causa de sua

idade. Por esse motivo, Leibniz deixou Leipzig e se deslocou para Nuremberg, onde na

Universidade de Altdorf obteve seu doutorado. L recusou o cargo de professor de direito,

entrando ento no servio diplomtico.

Leibniz em 1672, j havia comeado a construir uma mquina de calcular, e pretendia

ento ir Paris para fazer contatos cientficos e continuar desenvolvendo sua mquina. Nesta

visita Paris, feita no mesmo ano, encontrou-se com Christiaan Huygens que o indicou

algumas obras, caso quisesse se tornar um matemtico.

No tardou para que Leibniz comprasse alguns exemplares e fizesse seu estudo,

melhorando assim sua mquina de calcular. Nessa mesma poca, visitou a Royal Society2 e

mostrou sua calculadora ainda incompleta. Conversou tambm com alguns matemticos e

exps a eles seu estudo sobre sries, descobrindo assim que tal estudo j estava sendo

desenvolvido. Ouviu tambm na Royal Society alguns comentrios desfavorveis a respeito

de sua mquina. Tais comentrios fizeram com que Leibniz se dedicasse ainda mais em seus

estudos, pois percebeu que ainda no possua o conhecimento necessrio. Ingressou na Royal

Society no mesmo ano, porm com a incumbncia de terminar sua calculadora, o que no

aconteceu to rapidamente.

Mas foi em 1675, que, para ele, o Clculo Diferencial tomou forma, comeando pelo

estudo de sries infinitas, assim como Newton, o que muito o auxiliou no desenvolvimento de

2 A Royal Society de Londres ou Sociedade Real de Londres uma instituio destinada promoo das

cincias fundada em 1660.

20

novos conhecimentos. No entanto, ainda trabalhou bastante para desenvolver uma notao

adequada, que ajudasse o raciocnio.

Leibniz sempre teve uma percepo aguda da importncia de boas notaes como

ajuda ao pensamento, e sua escolha no caso do clculo foi particularmente feliz.( BOYER,

1994, p. 295). Leibniz desejava continuar em Paris, mas no recebeu nenhum convite da

Academia de Cincias, motivo pelo qual, passou a trabalhar como bibliotecrio na corte de

Hanover. L viveu at o fim de sua vida.

Mas seus estudos no pararam. Uma de suas conquistas foi o desenvolvimento do

sistema binrio de aritmtica. Fez tambm um estudo aprofundado dos sistemas de equaes

lineares, o que o levou a desenvolver bastante o conhecimento a respeito dos determinantes.

Em 1684, foram publicados os detalhes do Clculo Diferencial desenvolvidos por

Leibniz, e dois anos mais tarde, do Clculo Integral, aparecendo ento pela primeira vez a

notao usual de integral.

No entanto, existia uma disputa entre Newton e Leibniz a respeito da descoberta do

Clculo. Em 1711, Leibniz foi at mesmo acusado de plgio numa das obras de Keill, que

afirmou que algumas cartas trocadas entre Newton e Leibniz, continham informaes

suficientes para que Leibniz chegasse aos seus resultados.

Nessa poca, Leibniz visitou a Royal Society para pedir retificaes do que foi dito na

obra de Keill, porm no obteve xito, afinal, nunca fora chamado para dar a sua verso a

respeito dos fatos ocorridos, e o relator da Royal Society era o prprio Newton.

A partir de 1715, Leibniz continuou a estudar, tendo nesse momento, contato com o

patrocinador de Newton, Samuel Clarke, que o auxiliou com informaes a respeito do espao

e atrao gravitacional, entre outros.

21

Leibniz estudou e fez grandes descobertas at 1716, quando adoeceu e chegou a

falecer.

Muitos foram os matemticos que auxiliaram no desenvolvimento do Clculo, porm,

para nosso trabalho, as mais significativas contribuies vieram de Fermat, Newton e Leibniz,

motivo este que nos leva a t-los como condutores nesta pesquisa.

1.2 Alguns Conceitos Fundamentais

Sero expostos nesta seo, alguns conceitos de fundamental importncia durante todo

o trabalho, tais como: derivada, pontos de mximos e mnimos locais e globais.

Definio 1.2.1 - Derivada - Sejam f uma funo real e a um ponto de seu domnio. O

limite da razo incremental ( ) ( )h

afhaf +

quando existe e finito, denomina-se derivada

de f em a.

Seja f uma funo, f

: U onde U um conjunto aberto contido nos reais , e

sejam o ponto P = (x, f(x)), e o ponto Q = (x + h, f(x + h)) dois pontos quaisquer do grfico de

f. Consideremos ento a reta que passa pelos pontos P e Q. Temos que o coeficiente angular

de PQ dado por:

( ) ( )h

xfhxf +

22

( ) ( )xfhxf +

h

2Q1Q

( )xf

hx +x

( )hxf + Q

P3Q

Figura 1

chamada de razo incremental.

Quando (x + h) tende a x, isto , quando o ponto Q aproxima-se de P passando pelos

pontos Q1, Q2, etc. (como mostra a figura 1), a razo incremental aproxima-se de um valor

finito que denotaremos por m, ou seja, quando h tende a zero, a razo incremental aproxima-

se desse valor m e escrevemos m como o limite da razo incremental quando h tende a zero,

ou seja,

( ) ( )h

xfhxfm

h

+=

0lim

m chamada de derivada de f, ou inclinao da reta tangente ao grfico de f no ponto P, e

denotada por f(x). Podemos ento reescrev-la como:

( ) ( ) ( )h

xfhxfxf

h

+=

0

' lim

x

y

23

Dizemos que a funo f derivvel ou diferencivel se f for derivvel em cada ponto

de seu domnio.

Exemplo 1.2.1

Seja f(x) = x. Calcule f(x).

Soluo: Pela definio 1.2.1, temos:

f(x) = ( ) ( ) =+ h

xfhxfh 0lim

( )h

xhxh

lim0

+

Como

( )h

xhx += =

+

hhxh 2

,2 hx + 0h

Segue que

f(x) = .2)2lim(0

xhxh

=+

Portanto, se f(x) = x, ento f(x) = 2x.

Ento, fcil visualizar que f(x) tambm uma funo de x, e, dessa forma podemos

considerar sua derivada, chamada de derivada segunda de f caso exista e indicada pelo

smbolo f e assim por diante.

Definio 1.2.2 - Intervalos de crescimento e decrescimento

Sejam f(x), uma funo, I um intervalo contido no domnio de f. Temos:

f(x) dita crescente em I se e somente se, para quaisquer dois valores a e b no

intervalo I, verifica-se que:

24

Se a < b, ento f(a) < f(b).

Uma funo dita crescente se for crescente em todo o seu domnio.

f(x) dita estritamente crescente em I se e somente se, para quaisquer dois valores a e

b no intervalo I, verifica-se que:

Se a < b, ento f(a) < f(b).

f(x) dita decrescente se e somente se, para quaisquer dois valores a e b no intervalo I,

verifica-se que:

Se a < b, ento f(a) > f(b).

Uma funo dita decrescente se for decrescente em todo o seu domnio.

f(x) dita estritamente decrescente se e somente se, para quaisquer dois valores a e b

no intervalo I, verifica-se que:

Se a < b, ento f(a) > f(b).

f(b) f(a)

f(a) f(b)

a b a b

Funo crescente Funo decrescente

Definio 1.2.3 - Mximos e mnimos: Sejam f uma funo, A contido no Df e p A.

Dizemos que f(p) o valor mximo de f em A ou que p um ponto de mximo de f em A se

25

f(x) f(p) para todo x em A. Se f(x) f(p) para todo x em A, dizemos ento que f(p) o valor

mnimo de f em A ou que p um ponto de mnimo de f em A.

y

P1 P2 x

A

Figura 2

f(p1) o valor mximo de f em A; f(p2) o valor mnimo de f em A (como mostra a figura 2).

Definio 1.2.4: Sejam f uma funo e p Df. Dizemos que f(p) o valor mximo

global de f ou que p um ponto de mximo global de f se, para todo x em Df, f(x) < f(p). Se,

para todo x no Df, f(x) f(p), diremos ento que f(p) o valor mnimo global de f ou que p

um ponto de mnimo global de f.

Definio 1.2.5: Sejam f uma funo e p Df. Dizemos que p um ponto de mximo

local de f se f(x) f(p) para todo x em algum intervalo aberto contendo p. Por outro lado,

dizemos que p ponto de mnimo local de f se f(x) f(p) para todo x em algum intervalo

aberto contendo p.

26

y

P1 P2 P3 P4 P5 P6 x

Figura 3

p1, p3 e p5 so pontos de mximo local; f(p5) o valor mximo global de f;

p2, p4 e p6 so pontos de mnimo local; f(p2) o valor mnimo global de f (como mostra a

figura 3).

Exemplo 1.2.2: Seja f(x) = x, temos que:

O grfico da funo f uma parbola. O ponto mais baixo dessa parbola est na

origem (0,0) e sua concavidade est voltada para cima. Essa funo tem valor mnimo

absoluto em x = 0. No h valor mximo absoluto de f (como mostra a figura 4).

Figura 4

Exemplo 1.2.3: Seja f(x) = x, temos que:

27

Observando o grfico da funo f, podemos ver que essa funo no possui um valor

mximo absoluto nem um valor mnimo absoluto. Essa funo no possui nenhum extremo

local (como mostra a figura 5).

Figura 5

Um exemplo claro dos problemas que sero resolvidos durante nossa pesquisa o

seguinte:

O departamento de estradas de rodagem est planejando construir uma rea de

piquenique para motoristas, beira de uma rodovia movimentada. O terreno deve ser

retangular, com rea de 5.000 metros quadrados, e deve ser cercado nos trs lados que no

do para a rodovia. Qual o menor comprimento da cerca necessria para a obra?

Problemas como este sero resolvidos no captulo 3.

28

CAPTULO 2 VALORES EXTREMOS DAS FUNES DE UMA

VARIVEL REAL

Daremos incio ao nosso estudo enunciando alguns teoremas importantes durante a

pesquisa. Estaremos expondo o Teorema de Fermat, o Teorema do Valor Mdio, o Teorema

de Rolle, entre outros. Estaremos tambm expondo mtodos e testes que facilitam nosso

trabalho, bem como a resoluo de problemas relacionados a mximos e mnimos.

2.1 Valores Mximos e Mnimos

Interpretando geometricamente a derivada de uma funo, podemos ver que ela a

inclinao da reta tangente ao grfico dessa funo em um ponto qualquer. Por esse motivo, a

derivada nos auxilia na construo de grficos, o que nos ajudar na interpretao dos

resultados encontrados durante a resoluo de nossos problemas.

atravs da derivada que encontramos os valores extremos locais de uma funo. No

entanto, para que nosso trabalho seja o mais eficiente possvel, necessrio que tenhamos em

mos algumas ferramentas importantes.

29

J definimos os valores mximos e mnimos de uma funo no Captulo I, definio

1.2.3, e vimos que nem todas as funes possuem esses valores. No entanto o Teorema a

seguir nos d condies que garantem a existncia dos valores extremos.

Teorema 2.1.1 - Teorema do Valor Extremo ou Teorema de Weierstrass Se f for

contnua em um intervalo fechado [a,b], ento f assume um valor mximo absoluto f(c) e um

valor mnimo absoluto f(d), com c e d em [a,b].

O Teorema 2.1.1 nos afirma que existe um valor mximo e mnimo de uma funo

contnua em intervalo fechado, mas no afirma como encontrar esses valores. Esse teorema

um exemplo do que os matemticos chamam de teorema de existncia onde so fixadas

condies para que algo exista, porm no se estabelecem mtodos para encontr-lo.

Exemplo 2.1.1 - A funo f(x) = 4x + 2 contnua e, portanto possui mximo e

mnimo absoluto no intervalo fechado [0, 4]. Nesse intervalo ocorre um mnimo absoluto em

x = 0, cujo valor mnimo f(0) = 2, e um mximo absoluto em x = 4, cujo valor mximo

f(4) = 18 (como mostra o grfico abaixo).

Figura 6

Porm, se pensarmos no intervalo semi-aberto [0, 4), a funo passar a ter apenas um

mnimo absoluto, levando-se em considerao que x = 4 foi retirado do intervalo e que f(x)

30

no pode ter o mximo absoluto em um ponto x0 menor que 4. Portanto f no tem mximo

absoluto no intervalo [0, 4). Pelo mesmo motivo f no teria mximo nem mnimo absoluto, se

fosse definida no intervalo aberto (0, 4).

Quando uma funo contnua f definida num intervalo fechado e finito, os extremos

absolutos podem ocorrer nas extremidades do intervalo ou dentro dele. Se esses extremos

ocorrem dentro do intervalo, ento o Teorema de Fermat nos afirma que eles devem ocorrer

num ponto c, onde f(c) = 0.

Observe:

(c, f(c))

(d, f(d))

c d

Figura 7

Na figura 7, temos uma funo f com mximo local em c e mnimo local em d. Nesses

pontos as retas tangentes tm inclinao igual a zero.

Sabendo que a derivada a inclinao da reta tangente ao grfico de f, segue o

seguinte teorema:

Teorema 2.1.2 - Teorema de Fermat Seja f uma funo derivvel num ponto c,

onde c pertence ao domnio da funo f. Uma condio necessria para que c seja ponto de

mximo ou de mnimo local, que f(c) = 0.

31

Demonstrao: Suponha que f tenha um mximo local em c. Logo, f(c) f(x) se x

estiver suficientemente prximo de c, o que implica que se h estiver suficientemente prximo

de 0, h sendo positivo ou negativo tal que c + h esteja prximo de c, ento

f(c) f(c + h)

e, portanto,

f(c + h) f(c) < 0 (i)

Podemos dividir ambos os lados de uma equao por um nmero positivo. Assim, se

h>0 e h for suficientemente pequeno, temos:

0)()( +h

cfhcf

Tomando o limite direita de ambos os lados dessa desigualdade, obtemos:

00lim)()(lim00

=+=++ hh h

cfhcf

Mas, uma vez que f(c) existe, temos:

hcfhcf

hcfhcf

cfhh

)()(lim)()(lim)('00

+=

+=

+

Assim mostramos que f(c) < 0.

Se h < 0, ento inverte-se o sentido da desigualdade (i) quando dividimos tudo por h:

00)()(

32

0)()(lim)()(lim)('00

+=+= h

cfhcfh

cfhcfcf

hh

Assim, mostra-se que f(c) > 0 e tambm que f(c) < 0. Porm, se ambas as

desigualdades devem ser verdadeiras, temos que a nica possibilidade que f(c) = 0.

O Teorema 2.1.2 foi demonstrado para o caso de mximo local. O caso de mnimo

local tem demonstrao anloga.

Definio 2.1.1: Dado um ponto c pertencente ao domnio da funo f, onde f(c) = 0

chamado de ponto crtico ou ponto estacionrio de uma funo f.

Exemplo 2.1.2 Seja a funo f(x) = 3x + 2x + 1.

Sua derivada, f(x) = 6x + 2, anula-se em x = -1/3, que o nico ponto crtico da

funo.

Observe o grfico:

Figura 8

F(-1/3) = 3(-1/3) + 2(-1/3) + 1 = 2/3.

33

Vimos ento que a funo tem mnimo absoluto igual a 2/3 no ponto crtico x = -1/3.

Vale lembrar que se uma funo f possui extremos relativos em um intervalo aberto,

ento, os nicos pontos onde eles podem acontecer so nos pontos onde a derivada se anula.

Porm, no basta a anulao da derivada para que este seja um ponto de mximo ou mnimo.

Podem existir pontos nos quais f(x) = 0 e, no entanto, este no ser um extremo da funo f.

Assim sendo, o Teorema 2.1.2 condio necessria para que um ponto x seja um extremo

relativo, mas no suficiente. Podemos citar o seguinte exemplo:

Exemplo 2.1.3 Seja a funo f(x) = x.

Sua derivada f(x) = 3x, anula-se em x = 0, que o nico ponto crtico da funo.

Figura 9

Porm, observando o grfico de f acima, veremos que esse no um ponto de mximo

nem um ponto de mnimo. Mostramos dessa forma, que nem todo ponto crtico extremo de

uma funo.

Devemos sempre buscar mtodos que facilitem o nosso trabalho quando estamos

lidando com funes contnuas em um intervalo fechado, de forma que nosso trabalho se

34

torne o mais claro possvel. Para isso existe o mtodo do intervalo fechado. So passos que

devem ser seguidos para que cheguemos sem complicaes aos resultados esperados.

Mtodo do intervalo fechado

Para encontrar valores extremos de uma funo contnua f em um intervalo fechado

[a,b]:

1. Encontre os valores de f nos nmeros crticos de f em (a, b).

2. Encontre os valores de f nos extremos do intervalo.

3. O maior valor das etapas 1 e 2 o valor mximo absoluto no intervalo

fechado, ao passo que o menor desses valores o valor mnimo absoluto no

intervalo fechado.

Exemplo 2.1.4 Ache os extremos absolutos de f em [-2, ] se f(x) = x + 7x - 5x.

1. f(x) = 3x + 14x 5.

Portanto os nmeros crticos de f so x = -5 e x = 1/3.

De modo que o nico valor que nos interessa x = 1/3. Pois x = -5 no faz parte do

intervalo definido.

Em x = 1/3, f(x) = (1/3) + 7(1/3) - 5(1/3) = -23/27.

2. Os extremos do intervalo so x = -2 e x = .

Em x = -2, f(x) = (-2) + 7(-2) - 5(-2) = 30.

Em x = , f(x) = (1/2) + 7(1/2) - 5(1/2) = -5/8.

3. Em x = -2, f assume o maior valor. Esse o ponto de mximo absoluto de f

no intervalo [-2, 1/2].

35

Em x = , f assume o menor valor. Esse o ponto de mnimo absoluto de f no

intervalo [-2, 1/2].

Observe o grfico:

Figura 10

correto afirmar que os valores encontrados com o auxlio do mtodo do intervalo

fechado esto em conformidade com o grfico da funo f(x). De modo que este se mostra um

mtodo eficaz.

Trataremos agora do Teorema de Rolle, que tambm de grande importncia no

estudo dos valores extremos das funes.

Teorema 2.1.3 Teorema de Rolle

Seja f uma funo contnua em [a, b], diferencivel em (a, b) e f (a) = f (b). Ento

existe um nmero c em (a, b) tal que f(c) = 0.

Demonstrao: Existem trs casos:

Caso 1 f(x) uma constante.

Ento f(x) = 0, assim o nmero c pode ser tomado como qualquer nmero em (a, b).

36

Caso 2 f(x) > f(a) para algum x em (a, b).

Pelo Teorema 2.1.1 o qual podemos aplicar pela hiptese 1, f tem um valor mximo

em algum ponto de [a,b]. Uma vez que f(a) = f(b) ela deve assumir esse valor mximo em um

nmero c no intervalo aberto (a,b). Ento f tem um mximo local em c e pela hiptese 2, f

diferencivel em c. Portanto, pelo Teorema 2.1.2. f(c) = 0.

Caso 3 f(x) < f(a) para algum x em (a,b)

Pelo Teorema 2.1.1, f tem um valor mnimo em [a,b] e como f(a) = f(b), ele assume

esse valor mnimo em um nmero c em (a,b). Novamente, pelo Teorema 2.1.2. f(c) = 0.

Exemplo 2.1.5 Dada f(x) = 4x - 9x comprove se as condies (1), (2) e (3) do

Teorema 2.1.3 esto satisfeitas em cada um dos seguintes intervalos: [-3/2,0], [0, 3/2] e [-3/2,

3/2]. Ache ento um valor de c em cada um desses intervalos para os quais f(c) = 0 (caso

possvel).

Soluo: Temos que f(x) = 12x - 9, ento f(x) existe para todos os valores de x,

portanto, f derivvel em (-, +). Logo, as condies 1 e 2 do Teorema 2.1.3 so vlidas

em qualquer intervalo. Precisamos agora determinar os valores em que a condio 3 se

verifica, para isso, tomamos f(x) = 0. Assim:

4x - 9x = 0 ou 4x(x - 9/4) = 0

Resolvendo chegamos em:

x = -3/2, x = 0, x = 3/2

Sendo a = -3/2 e b = 0, verificamos que o Teorema 2.1.3 vlido em [-3/2, 0], e

analogamente vlido em [0, 3/2] e [-3/2, 3/2]. Como mostra a figura 11.

37

Figura 11

Precisamos agora encontrar os valores de c tal que f(c) = 0.

Tomando f(c) = 0, temos: 12x - 9 = 0

Resolvendo encontramos:

321

321

== xex

Ento, quando tomamos o intervalo [-3/2, 0], a escolha adequada para c -1/23.

Quando tomamos o intervalo [0, 3/2], a melhor escolha para c 3. J no intervalo [-3/2,

3/2] podemos tomar dois valores para c, que pode ser -3/2 ou 3/2.

Como conseqncia do Teorema de Rolle temos o Teorema do Valor Mdio, que

estudaremos a seguir:

Teorema 2.1.4 Teorema do Valor Mdio

Seja f uma funo contnua em [a,b] e diferencivel em (a,b), ento existir pelo

menos um nmero c em (a,b) tal que

38

abafbf

cf

=

)()()('

ou, de maneira equivalente,

))((')()( abcfafbf =

Demonstrao: Seja f uma funo definida em [a,b]. Consideraremos a funo S como

).()()()()( axab

afbfafxS

+=

O grfico da funo S uma reta que passa pelos pontos (a, f(a)) e (b, f(b)). Como

mostra a figura 12:

Figura 12

Utilizaremos aqui a funo g(x) dada por

],[),()()( baemxxSxfxg =

Sabemos que g contnua em [a,b], derivvel em (a,b) e g(a) = g(b), ento, pelo

Teorema 2.1.3, existe um c em (a,b) de forma que g(c) = 0. Portanto:

39

)()()()(')(')(')('

abafbf

xSexSxfxg

==

Substituindo, temos:

)()()()(')('

abafbf

xfxg

=

Da

0)()()()(')(' =

=

abafbf

cfcg

Portanto, ))((')()( abcfafbf =

Exemplo 2.1.6 - Dada f(x) = x - 5x - 3x comprove que as hipteses do Teorema

2.1.4 esto satisfeitas para a = 1 e b = 3. Da encontre os nmeros c no intervalo (1, 3)

tais que

13)1()3()('

=

ffcf

Soluo: A funo f contnua e derivvel em todos os valores de x, pois f uma

funo polinomial. Portanto, as hipteses do Teorema 2.1.4 j esto satisfeitas para todo a e

b.

27)3(7)1(

3103)('

==

=

fef

xxxf

Ento:

102

)7(2713

)1()3(=

=

ff

40

Fazendo f(c) = -10, temos:

07103 =+ cc

E assim:

13/70)1)(73(

==

=

cc

cc

Porm, 1 no est no intervalo aberto (1, 3) e desta forma, o nico valor possvel para

c 7/3.

1.2 Aplicao de Derivadas em Construo de Grficos.

razovel falarmos sobre a ligao das derivadas, com o comportamento do grfico

de uma funo, levando em considerao que a derivada da funo f nos mostra a direo que

a curva de f segue a cada ponto. Dessa forma, podemos perceber a relao entre f(x) e f(x).

No entanto, para que possamos visualizar geometricamente essa relao, temos alguns

teoremas e testes que nos levam a esboar um grfico com mais preciso, lembrando que o

esboo de grficos uma ferramenta fundamental quando se quer resolver um problema

aplicado a mximos e mnimos.

Utilizando-se do Teorema 2.1.4, podemos chegar a resultados que nos mostram o

comportamento das funes. Como o caso do Teorema a seguir, que nos ajuda a encontrar

os intervalos de crescimento e decrescimento de uma funo.

41

Teorema 2.2.1 - Seja f uma funo contnua no intervalo I e f(x) > 0 para todo x

interior a I, ento f estritamente crescente em I;

Demonstrao: necessrio provar que quaisquer que sejam s e t em I, s < t => f(s) <

f(t). Sejam ento, s e t em I, com s < t.

Da hiptese, segue que f contnua em [s, t] e derivvel em (s, t); pelo Teorema 2.1.4

existe X pertencente a (s, t) tal que

).)(X(')()( stfsftf =

De f(X) > 0, pois X est no interior de I, e de t s > 0 segue

)()(0)()( tfsfousftf

Portanto,

Para qualquer s, t em I, s < t, ento f(s) < f(t).

Observao: x interior a I significa que x pertence a I, mas x no extremidade de I.

Da mesma forma, podemos afirmar que se f(x) < 0 para todo x interior a I, ento f

estritamente decrescente em I.

A demonstrao anloga.

Exemplo 2.2.1:

Seja f(x) = 2x + 3x + 2, encontre os intervalos de crescimento e decrescimento dessa

funo.

Resoluo:

Sabemos que f(x) = 4x + 3.

42

Como f continua em todo seu domnio, pelo Teorema 2.2.1, temos que onde f(x) > 0

a funo crescente, e onde f(x) < 0, a funo decrescente.

Portanto, f(x) crescente para todo x > -3/4 e decrescente para todo x < -3/4.

Observe o grfico:

Figura 13

Seguindo o estudo da f, temos o Teorema 2.2.2, que uma conseqncia do Teorema

2.2.1 . Vejamos:

Teorema 2.2.2 - Seja f uma funo contnua em (a, b) e c um ponto interior ao

intervalo, tal que f(c) = 0.

(a) Se o sinal de f mudar de positivo para negativo em c, ento f tem um

mximo local em c.

(b) Se o sinal de f mudar de negativo para positivo em c, ento f tem um

mnimo local em c.

(c) Se f no mudar de sinal em c, (isto , se em ambos os lados de c o sinal de

f for positivo ou negativo), ento f no tem mximo ou mnimo locais em c.

Demonstrao: a) Precisamos mostrar que f(c) > f(x), para qualquer que seja x em

(a,b).

43

Temos por hiptese, que:

Podemos afirmar com a ajuda do Teorema 2.2.1, que, como f crescente em (a, c] e

decrescente em [c, b), logo:

).,[)()(],()()(

bcemxxfcfcaemxxfcf

Portanto, podemos afirmar que x = c ponto de mximo local.

A demonstrao da parte b anloga da parte a.

c) Sem perder a generalidade, suponhamos que f(x) > 0 para qualquer x em (a, b),

com x c, pelo Teorema 2.2.1 f crescente em (a, c) e (c, b)

Ento temos:

),[)()(],()()(

bcemxxfcfcaemxxfcf

Da, temos que f crescente em (a, b). Logo, f no possui mximo nem mnimo local.

Ento, para utilizar esse Teorema, devemos achar f(x), depois encontrar os nmeros

crticos de f e aplicar o Teorema 2.2.2.

Exemplo 2.2.2:

Dada f(x) = x - 2x - 1, ache os extremos relativos de f (caso existam) utilizando o

Teorema 2.2.2.

),(0)('),(0)('

0)('

bcemxxfcaemxxf

cf

=

44

Resoluo:

Sabemos que sua derivada 2x 2.

f(x) = 2x 2, ou 2(x 1),

Assim sendo, f(x) se anula em x = 1. A funo negativa esquerda de x = 1 e

positiva direita de x = 1. Logo, utilizando o Teorema 2.2.2, fazemos a seguinte anlise:

A reta tangente ao grfico de f tem declive positivo para todo x > 1 e negativo para

todo x < 1. Vimos ento que o sinal de f(x) negativo at x = 1, passando ento a ser

positivo da em diante, o que nos leva concluso de que x = 1 ponto de mnimo absoluto,

pois o nico ponto crtico.

Observe o grfico:

Figura 14

Definio 2.2.1 - Se o grfico de f est acima de todas as suas tangentes num intervalo

I, ento ele chamado cncavo para cima em I. Se o grfico de f estiver abaixo de todas as

suas tangentes num intervalo I, ento ele chamado cncavo para baixo em I.

45

Definio 2.2.2 - O ponto p onde a curva de f deixa de ser cncava para baixo e passa

a ser cncava para cima, ou vice-versa, chama-se ponto de inflexo.

Teorema 2.2.3 Seja f uma funo que admite derivada at a segunda ordem, no

intervalo aberto I, se f(x) > 0 para todo x em I, ento o grfico de f cncavo para cima em

I.

Demonstrao: Seja p um nmero real qualquer em I. Precisamos provar que, para

todo x em I, x p, f(x) > T(x), onde T(x) = f(p) + f(p)(x p).

Considerando a funo g(x) = f(x) T(x), com x pertencente a I, vamos provar que

g(x) > 0 para todo x em I, x p.

Portanto, temos:

=

=

)(')(')(')(')('

pfxTxTxfxg

Segue que,

Ixpfxfxg = ),(')(')('

Como f(x) > 0 em I, segue que f estritamente crescente em I. Ento,

>

.0)('0)('

pxparaxgpxparaxg

Segue que g estritamente decrescente em todo x pertencente a I, tal que x < p, e

estritamente crescente em todo x pertencente a I, tal que x > p. Como g(p) = 0, resultado

0)( >xg

para todo x em I, x p.

46

Da mesma forma, se f(x) < 0 para todo x em I, ento o grfico de f cncavo para

baixo em I.

A demonstrao para esse caso anloga.

Exemplo 2.2.3:

Seja f(x) = 4x - 12x + 5, encontre os intervalos em que o grfico de f cncavo para

cima e os intervalos em que o grfico de f cncavo para baixo com o auxlio do Teorema

2.2.3.

Resoluo:

Sabemos que f(x) = 12x - 24x.

Logo, f(x) = 24x 24, ou 24(x 1).

Fazendo f(x) = 0, temos x = 1.

Desta forma, f(x) > 0 se x > 1, e f(x) < 0 se x < 1.

Analisando essas informaes e utilizando o Teorema 2.2.3, temos que o grfico de f

ser cncavo para baixo at x = 1, da em diante, passar a ser cncavo para cima. Logo, pela

definio 2.2.2 podemos afirmar que x = 1 o ponto de inflexo.

Observe o grfico:

47

Figura 15

Teorema 2.2.4 Sejam f uma funo que admite derivada de 2 ordem, contnua no

intervalo aberto I e p pertencente a I, se f(p) = 0 e f(p) > 0, ento f tem um mnimo

local em p.

Demonstrao: Como f contnua em I e f(p) > 0, pelo Teorema da conservao de

sinal ( Para maiores detalhes, ver Guidorizzi), existe r > 0 (tal r pode ser tomado de modo que

]p r, p + r[ esteja contido em I, pois estamos supondo I intervalo aberto e p pertencente a I)

tal que

f(x) > 0 em ]p r, p + r[.

Segue que f estritamente crescente nesse intervalo; como f(p) = 0, resulta:

+>

0.

Logo, pelo Teorema 2.2.4, podemos chegar concluso que x= -1 ponto de mximo

local e x = 1 ponto de mnimo local. Podemos tambm afirmar, pelo Teorema 2.2.1 que

estes so pontos de mximo e mnimo absolutos.

Observe o grfico:

Figura 16

Vale lembrar que a funo tem pontos de mximo e mnimo se considerada num

intervalo fechado. A mesma funo considerada em toda a reta no possui pontos de mximo

ou mnimo, pois ela tende a quando x tende a .

49

CAPTULO 3 APLICAES

Em nossa vida estamos sempre buscando os maiores lucros, os menores custos ou

mais ainda, buscando obter o mximo de lucro com o mnimo de esforo. Existem tambm

situaes naturais, onde podemos nos utilizar dos valores mximos e mnimos para resolver

nossos problemas. Essas e outras situaes sero expostas neste captulo, que visa mostrar de

forma bem clara, como o Clculo Diferencial e Integral pode nos auxiliar na resoluo de

nossos problemas quotidianos.

Aplicaes

Antes de iniciar nossos problemas, interessante que tenhamos uma idia de como

resolv-los para sabermos de que forma os teoremas e mtodos vistos anteriormente podem

nos ajudar. Assim, temos aqui uma srie de procedimentos que nos auxiliam na resoluo

desses problemas e nos levaram de maneira mais eficiente ao resultado esperado.

Aqui montaremos um esquema para soluo de problemas relacionados mximos e

mnimos.

1 Ler o problema cuidadosamente vrias vezes, meditando sobre os fatos e as

quantidades incgnitas que devem ser determinadas.

2 Se possvel, esboar um diagrama para identificar as quantidades dadas e

pedidas. Expresses, tais como o que, determine, quanto, quo, longe ou quando

devem alertar o leitor para as quantidades incgnitas.

50

3 Fazer uma lista de fatos conhecidos juntamente com quaisquer relaes que

envolvam as variveis. Uma relao em geral pode ser escrita por uma equao de um certo

tipo.

4 Aps analisar a lista no 3 item, determinar a varivel que deve ser extremada,

e exprimir essa varivel em funo de uma das outras variveis.

5 Determinar os valores crticos da funo obtida no 4 item e test-los quanto a

mximos e mnimos.

6 Verificar se ocorrem mximos ou mnimos nos pontos extremos do intervalo

de domnio da funo obtida no 4 item.

7 No se desencorajar se no conseguir resolver determinado problema. A

proficincia na resoluo de problemas aplicados exige considervel esforo e prtica.

Continuar tentando!

Observao: No necessrio seguir a risca cada uma das etapas expostas aqui. Um

problema pode ser resolvido da forma mais conveniente.

Vamos agora para a prtica!

Aplicao 3.1

Encontre o ponto sobre a parbola y = 2x mais prximo de (1, 4).

Soluo: Podemos escrever a distncia entre o ponto (1, 4) e o ponto desconhecido (x,

y) como:

)4()1( += yxd

Veja a figura 17:

51

Figura 17

Sabemos que o ponto (x, y) est sobre a parbola, e ento x = y/2. Sendo assim,

podemos reescrever a expresso acima da seguinte forma:

)4(121

+

= yyd

Observao: Poderamos sem nenhum problema obter d em termos somente de x.

Teramos ento .2xy =

No entanto, temos agora a distncia d em funo somente de y. Mas no

minimizaremos d, mas sim seu quadrado. E reescrevemos:

)4(121)( +

== yyyfd

Derivando temos:

8)('

)4(21212)('

=

+

=

yyf

yyyyf

Portanto, fcil notarmos que f(y) = 0 quando y = 2.

Certificamo-nos de que f(y) < 0 quando y < 2 e f(y) > 0 quando y > 2. Logo, pelo

Teorema 2.2.2, o mnimo absoluto ocorre quando y = 2, sendo que seu valor correspondente

em x x = y/2 = 2. Desta forma, o ponto da parbola mais prximo de (1, 4) (2, 2).

52

Vale lembrar que a natureza geomtrica do problema nos permite afirmar que existe

um ponto mais prximo, porm no existe um ponto mais distante.

Aplicao 3.2

Encontre a rea do maior retngulo que pode ser inscrito em um semicrculo de raio r.

Soluo:

Considerando este semicrculo como a metade superior do crculo x + y = r com

centro na origem, para o retngulo estar inscrito nele, necessrio que ele tenha dois vrtices

sobre o semicrculo e dois vrtices sobre o eixo x, como mostra a figura 18:

Figura 18

Tomando o ponto (x, y) como o vrtice que se encontra no primeiro quadrante, temos

que o retngulo ter lados de comprimento 2x e y. Desta forma, sua rea (A) :

A = 2xy

necessrio obtermos a rea em funo apenas de x ou de y. Como o ponto (x, y) est

sobre o crculo x + y = r, podemos utilizar esse fato para expressar y em funo de x. E

obtemos:

xry =

Agora podemos reescrever a rea como:

2 xrxA =

53

Analisando o domnio da funo podemos ver que 0 x r. E que a derivada da

funo rea :

)2(2'

22'

xr

xrA

xr

xxrA

=

=

Da podemos ver que A ser 0 quando 2x = r, ou seja, quando:

2

2

rryerx ==

Esse valores de x d um valor mximo de A, pois A(0) = 0 e A(r) = 0. Portanto a rea

do maior retngulo inscrito :

2

2

22

rr

rrrA ==

Outra soluo mais simples mais simples obtida quando usamos um ngulo como

uma varivel, como mostra a figura 19:

Figura 19

Seja o ngulo mostrado na figura acima. Logo, podemos escrever a rea do retngulo

como:

))(cos2()( senrrA =

O que resulta, que a rea do retngulo

2)( senrA =

54

Sabemos que sen 2 pode assumir o valor mximo de 1, e que esse valor ocorre

quando 2 = pi/2. Assim, A() tem um valor mximo de r, que ocorre quando = pi/4.

Utilizamos aqui apenas conhecimentos de trigonometria, tornando assim, mais simples

a resoluo do problema.

Aplicao 3.3

Um campo retangular margem de um rio deve ser cercado, com exceo do lado ao

longo do rio. Se o custo do material for de R$. 12,00 por metro linear no lado paralelo ao rio e

de R$. 8,00 por metro linear nos dois extremos, ache o campo de maior rea possvel que

possa ser cercado com R$. 3.600,00 de material.

Soluo:

Chamaremos de x o comprimento de cada extremidade do campo, e de y o

comprimento do lado paralelo ao rio. Contudo a rea a ser cercada ser A.

Veja a figura 20:

Figura 20

Assim sendo, temos que

A = xy. (3.1)

Sabemos que o custo do material em cada extremidade de R$. 8,00 por metro linear,

e que o comprimento de cada extremidade x. Logo, o custo de cada uma das extremidades

da cerca ser de R$. 8x. Da mesma forma, o custo da cerca para o lado paralelo ao rio ser

R$. 12y. Ento temos:

55

8x + 12y + 8x = 3.600 (3.2)

Obtendo y em funo apenas de x, temos:

xxy

34300

12163600

=

=

(3.3)

Substituindo (3.3) em (3.1), obtemos:

= xxxA

34300)(

(3.4)

De (3.2), se y = 0, x = 225 e se x = 0, y = 300. Como ambos, x e y devem ser no

negativos, o valor de x que ir tornar A um mximo absoluto est no intervalo fechado [0,

225]. Como A contnua em [0, 225], podemos afirmar pelo Teorema 2.1.1 que A ter um

mximo absoluto nesse intervalo. De (3.4) temos:

xxA38300)(' =

Como A(x) existe para todo x, podemos encontrar os pontos crticos de A, fazendo

A(x) = 0. E obtemos:

x = 112,5

Sendo este o nico nmero crtico de A que est no intervalo [0, 225]. Dessa forma, o

valor mximo absoluto deve ocorrer em 0, 112,5 ou 225. Como A(0) = 0 e A(225) = 0 e

A(112,5) = 16875, ento tal valor ocorre em [0, 225] quando x = 112,5. Assim, y = 150.

Portanto, a maior rea possvel que poder ser cercada com R$. 3.600,00 de material

ser 16.875 m, o que obtido quando as extremidades do terreno tiverem 112,5m cada um, e

o lado paralelo ao rio tiver 150 m.

Aplicao 3.4

56

Uma caixa aberta deve ser feita de uma folha de papelo medindo 16 por 30 cm,

destacando-se quadrados iguais dos cantos e dobrando-se os lados. Qual o tamanho dos

quadrados para se obter uma caixa com o maior volume?

Soluo:

Chamaremos de x o comprimento dos lados dos quadrados que sero cortados, e de V

o volume da caixa

Para a confeco da caixa necessrio que se retire quadrados de seus lados, e dessa

forma, cada lado do papelo ter dimenses (16 2x) por (30 -2x) por x. Observe a figura 21:

Figura 21

Sendo estas as dimenses da caixa, podemos afirmar que seu volume ser:

V(x) = (16 2x).(30 2x) x = 480x 92x + 4x (3.5)

Porm, como a varivel x est representando comprimento, no pode ser negativa, e

como a largura do papelo de 16 cm, no se pode tambm cortar quadrados com lados

maiores que 8 cm de comprimento. Dessa forma, os valores de x esto restritos entre 0 e 8, e

ento, reduzimos o problema a fim de encontrar o valor em x para os quais o volume (V) da

caixa mximo.

Derivando a equao (3.5), temos:

48018412)(' += xxxV

Devemos agora equacionar V(x) = 0, para descobrir o(s) candidato(s) a extremos.

Fazendo isso, obtemos:

57

123

10

0120463

)120463(448018412

==

=+

+=+

xex

xx

xxxx

Devemos nos lembrar que x = 12 est fora do intervalo e que portanto, o valor mximo

de V ocorre quando x = 10/3, ou em um dos extremos dos intervalo [0, 8]. Substituindo esses

valores de x em (3.5), obtemos o seguinte:

V(0) = 0, V(10/3) = 726 e V(8) = 0.

Observando esses valores, podemos ver que o maior volume ocorre quando x = 10/3.

Dessa forma, o volume ser mximo se cortarmos quadrados com 10/3 cm de lado.

Aplicao 3.5

Quando uma pessoa tosse o raio da traquia diminui, afetando a velocidade do ar na

traquia. Se r0 o raio normal da traquia, a relao entre a velocidade v do ar e o raio da

traquia dada por uma funo da forma v(r) = ar2(r0 r), onde a uma constante positiva.

Determine o raio r para o qual a velocidade do ar mxima.

Soluo:

Lembrando que o raio da traquia contrada no pode ser menor que zero, nem maior

que r0, temos como objetivo encontrar o mximo absoluto de v(r) no intervalo 0 < r < r0.

Como a funo v(r) j foi dada no problema, devemos primeiramente derivar esta

funo e logo em seguida fatorar o resultado convenientemente. (No esquecendo que a e r0

so constantes.)

v(r) = -ar + 2ar(r0 - r) = ar(2 r0 3r)

58

Utilizando o Teorema 2.1.2, igualamos a derivada zero, e obtemos os pontos crticos

da funo.

Assim:

ar(2 r0 3r) = 0, ento r = 0, ou r = 2/3r0.

Os dois valores esto no intervalo 0 < r < r0, sendo que um deles o extremo do

intervalo. Calcularemos ento v(r) para os pontos crticos e tambm para o valor

correspondente ao outro extremo do intervalo, donde chegamos ao seguinte:

0)v(rr274

r320)0( 000 ==

=

avv

Analisando os resultados, podemos afirmar que a velocidade do ar mxima quando o

raio da traquia contrada igual a 2/3 do raio normal da traquia.

Aplicao 3.6

Um fabricante produz uma fita de vdeo virgem a um custo de R$. 2,00 a unidade. As

fitas vm sendo vendidas a R$. 5,00 a unidade; por esse preo, so vendidas 4.000 fitas por

ms. O fabricante pretende aumentar o preo da fita e calcula que para cada R$.1,00 de

aumento no preo, menos 400 fitas sero vendidas por ms. Qual deve ser o preo de venda

das fitas para que o lucro do fabricante seja mximo?

Soluo:

Chamaremos de x o novo preo de venda e P(x) o lucro correspondente. Nosso

objetivo maximizar o lucro.

Sabendo que Lucro = (nmero de fitas vendidas)(lucro por fita) (3.6)

59

Como 4.000 fitas so vendidas por ms quando o preo R$. 5,00 e menos 400 fitas

so vendidas para cada R$. 1,00 de aumento no preo, temos:

Nmero de fitas vendidas por ms= 4.000 400 (nmero de aumentos de R$. 1,00) (3.7)

O nmero de aumentos de R$. 1,00 no preo a diferena entre o preo novo e o

antigo, logo: x 5.

Portanto:

Nmero de fitas vendidas = 4.000 400 (x 5), ou seja

Nmero de fitas vendidas = 400 (15 x)

O lucro por fita vendida a diferena entre o preo de venda e o custo, assim:

Lucro por fita = (x 2) (3.8)

Substituindo (3.7) e (3.8) em (3.6), teremos:

Lucro = P(x) = [400 (15 x)] (x 2), isto

P(x) = -x + 17x 30

Queremos encontrar o mximo absoluto dessa funo de lucro. Para isso precisamos

reconhecer o intervalo relevante para o problema.

Temos que x o novo preo de venda, e sabemos que o novo preo de venda ser

maior que o antigo, ento, x > 5.

Temos tambm que o nmero de fitas vendidas 400 (15 x), que se torna negativo

para x > 15.

Podemos ento restringir o problema ao intervalo 5 x 15.

60

Agora, determinaremos os pontos crticos, derivando a funo lucro:

P(x) = -2x + 17

Tal derivada anula-se em x = 8,5.

Vamos agora comparar os valores da funo de lucro nos extremos do intervalo e no

ponto crtico:

P(5) = 12.000

P(8,5) = 16.900

P(15) = 0

Logo, podemos afirmar que o lucro mximo ocorre quando x = 8,5.

Ento, o fabricante ter lucro mximo se as fitas forem vendidas a R$. 8,50,

totalizando um lucro de R$. 16.900,00. Como mostra a figura 22:

Figura 22

61

Aplicao 3.7

Um galpo deve ser construdo tendo uma rea retangular de 12.100m2. A prefeitura

exige que exista um espao livre de 25m na frente, 20m atrs e 12m em cada lado. Encontre

as dimenses do lote que tenha a rea mnima na qual possa ser construdo este galpo.

Soluo:

Figura 23

Observando a figura 23, e sabendo que a rea de um retngulo dada por

hbA .=

Onde b = base e h = altura, podemos perceber que:

A = 12.100m = x . y.

Logo:

xy 100.12=

(3.9)

A funo que define a rea do lote

S = (x + 12 + 12) (y + 25 + 20)

62

ou seja,

S = (x + 24) (y + 45)

Substituindo o valor de y dado na equao 3.9, teremos:

++= 45100.12).24()(

xxxS

Encontrada a funo que queremos minimizar, iremos agora encontrar os pontos

crticos dessa funo. Assim:

400.29045)('x

xxS =

Igualando S(x) a zero, temos que:

33044

=x

Este o ponto crtico dessa funo. Sabemos que S(x) tambm se anula num ponto

negativo. Pela natureza do problema, consideraremos apenas x positivos.

Sabemos que este um ponto crtico da funo, mas no sabemos se ele um ponto de

mximo ou de mnimo. Para descobrir, usaremos ento Teorema 2.2.4.

Temos que:

03

3044"

800.580)("

>

=

S

ex

xS

Ento, o Teorema 2.2.4 nos afirma que o ponto crtico encontrado ponto de mnimo.

63

Portanto, fazendo

62,150

33044

100.1233,803

3044=

= yx

Logo, a rea mnima ser obtida quando as dimenses do lote forem:

x = 80,33m e y = 150,62m.

Aplicao 3.8

Uma empresa apurou que sua receita total (em dlares) com a venda de um produto

admite como modelo R = -x3 + 450x2 + 52.500x, onde x o nmero de unidades produzidas

(e vendidas). Qual o nvel de produo que gera receita mxima?

Soluo:

Figura 24

64

O grfico acima mostra a funo receita. Como ela j dada em funo de uma

varivel, ento precisamos apenas derivar tal funo para que igualando sua derivada zero,

obtenhamos os pontos crticos. Precisamos tambm nos preocupar com o domnio desta

funo para este problema. Podemos afirmar que o domnio plausvel 0 < x

65

Sabemos que:

yxS += 2

Temos tambm que:

Podemos agora escrever S como funo de uma varivel. Assim:

xxS 2882 +=

Como os nmeros so positivos, o domnio plausvel 0 < x.

Agora, que j temos uma funo de uma varivel, precisamos encontrar seus pontos

crticos. Para isso, derivamos e obtemos:

2882)('x

xS =

Igualando S(x) zero, temos:

12

0

2882

=

=

x

x

Observe agora o grfico de S(x):

xy

xy288288

=

=

66

Figura 25

Tomando o valor positivo de x, podemos concluir com a ajuda do Teorema 2.2.1, e

observando o grfico, que S decrescente em (0, 12) e crescente em (12, ). Portanto,

podemos afirmar que x = 12 ponto de mnimo da funo.

Portanto, os nmeros que minimizam a soma so:

.2428812 ===x

yex

Aplicao 3.10

O departamento de estradas de rodagem est planejando construir uma rea de

piquenique para motoristas, beira de uma rodovia movimentada. O terreno deve ser

retangular, com rea de 5.000 metros quadrados, e deve ser cercado nos trs lados que no

do para a rodovia. Qual o menor comprimento da cerca necessria para a obra?

Soluo:

67

Figura 26

Seja C o comprimento total da cerca, e conforme podemos perceber atravs da figura

26, ento

C = x + 2y

Como a rea deve ser igual a 5.000m, temos:

xyouyx 000.55000. ==

Substituindo o valor de y em C, teremos:

Derivando C(x), obtemos:

Igualando C(x) zero, encontraremos os pontos crticos da funo, que acontecem em

x = + 100. Assim:

.100000.100

000.101 === xouxx

xx

xxxC 000.105000.2)( +=

+=

000.101)('x

xC =

68

Porm, os nicos valores que nos interessam so os valores positivos (pela natureza do

problema). Temos ento um nico ponto crtico, que ocorre em x = 100. Mas no sabemos se

esse um ponto de mximo ou de mnimo.

Usando ento o Teorema 2.2.4, temos:

0100

000.20)100("

000.20)(" >== Cex

xC

Portanto, como C(100) = 0 e C(100) > 0, o Teorema 2.2.4 nos afirma que x = 100

ponto de mnimo.

Logo, o menor comprimento de cerca necessrio C(100) = 200 metros de cerca.

C(x) = 20.000

69

CONCLUSO

Considerando todos os estudos feitos durante esse ano de pesquisa, podemos afirmar

que o Clculo Diferencial e Integral est intimamente ligado aos acontecimentos mais simples

de nossa existncia. Pode-se perceber que ele o responsvel por dar respostas muitas de

nossas perguntas, e principalmente, que ele pode ser o responsvel pela escolha correta e que

nos levar ao sucesso.

Afirmamos ao trmino dessa pesquisa que tivemos um grande desenvolvimento

durante a mesma, ampliando muito os conhecimentos a respeito dos valores extremos das

funes de uma varivel real, fato que me auxiliar de forma significativa em atividades

posteriores.

Esperamos que esta pesquisa auxilie e sirva de estmulo para outros estudantes que

tenham a curiosidade de conhecer um pouco mais a Matemtica, essa cincia que est

presente em tudo nossa volta.

70

REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS

ANTON, Howard. Clculo, um novo horizonte. 6 edio. Porto Alegre: Bookman, 2000.

VILA, Geraldo. Clculo 1. Funes de uma varivel. 6 edio. Rio de Janeiro: LTC, 1994.

BOYER, Carl B. Histria da Matemtica. 2 edio. So Paulo: Edgard Blcher, 2002.

BUENO, Francisco da Silveira. Minidicionrio da Lngua Portuguesa. 3 edio. So Paulo: FTD, 1997.

EDWARDS, Larson Hostetler. Clculo com aplicaes. 4 edio. Rio de Janeiro: LTC, 1998.

FERREIRA, Aurlio Buarque de Holanda. Minidicionrio Aurlio. 4 edio. Rio de Janeiro: Nova Fronteira, 2000.

FLEMMING, Diva Marlia, GONALVES, Mirian Buss. Clculo A: funes, limites, derivao, integrao. 5 edio. So Paulo: Pearson Prentice Hall, 2006.

GUIDORIZZI, Hamilton Luiz. Um curso de Clculo. 5 edio. Rio de Janeiro: LTC, 2001.

HOFFMANN, Laurence D. Clculo Um curso moderno e suas aplicaes. 7 edio. Rio de Janeiro: LTC, 2002.

LEITHOLD, Louis. O Clculo com Geometria Analtica. 3edio. So Paulo: Harbra, 1994.

STEWART, James. Clculo. 5 edio. So Paulo: Thompson Learning, 2006.

VERAS, Lilia Ladeira. Matemtica aplicada economia. 3 edio. So Paulo: Atlas, 2006.