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Teoria dei Grafi
Francesca Benanti
Dipartimento di Matematica ed Informatica Università degli Studi di Palermo, Via Archirafi 34, 90123 Palermo
Tel.: 091-23891105
E-mail: [email protected]
LABORATORIO DI ALGEBRA, PROGETTO LAUREE SCIENTIFICHE, LICEO CLASSICO UMBERTO, a.a. 2015/16
In matematica, informatica e, più in particolare, in geometria combinatoria, la teoria dei grafi si occupa di studiare i grafi, oggetti discreti che permettono di schematizzare una grande varietà di situazioni e di processi e spesso di consentirne l'analisi in termini quantitativi e algoritmici. Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.
Il primo testo che prende in considerazione i grafi come entità matematiche è la pubblicazione di Eulero del 1736 sui
"Sette ponti di Königsberg".
Teoria dei Grafi
LABORATORIO DI ALGEBRA, PROGETTO LAUREE SCIENTIFICHE, LICEO SCIENTIFICO PALMERI, a.a. 2014-2015
Leonhard Euler, noto in Italia come Eulero (Basilea, 15 aprile 1707 – San Pietroburgo, 18 settembre 1783), è considerato il più importante matematico dell'Illuminismo. È noto per essere tra i più prolifici di tutti i tempi e ha fornito contributi storicamente cruciali in svariate aree: analisi infinitesimale, funzioni speciali, teoria dei numeri, teoria dei grafi. Anche se fu prevalentemente un matematico diede importanti contributi alla fisica e in particolare alla meccanica classica e celeste. Eulero è stato senz'altro il più grande
fornitore di "denominazioni matematiche", offrendo il suo nome a una quantità impressionante di formule, teoremi, metodi, criteri, relazioni, equazioni.
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Buona parte della simbologia matematica tuttora in uso venne introdotta da Eulero, per esempio i per i numeri immaginari, l'attuale notazione per le funzioni trigonometriche come seno e coseno, Σ come simbolo per la sommatoria, f(x) per indicare una funzione. Diffuse l'uso della lettera p per indicare pi greco. Per primo usò la lettera e per indicare la base dei logaritmi naturali, un numero reale che ora è appunto chiamato anche numero di Eulero (o in italia numero di Nepero)
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Il problema dei sette ponti di Königsberg è un problema ispirato da una città reale e da una situazione concreta
Popolosa città della Prussica Orientale, Konigsberg ha dato i natali al filosofo Kant. Posta vicina al mar Baltico, Konigsberg venne annessa all’URSS nel 1946. Oggi fa parte della repubblica russa con il nome di Kaliningrad ed è circondata dai paesi della nuova Comunità Europea.
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L’enigma più importante di Eulero è probabilmente il Problema dei sette ponti di Königsberg che il matematico formulò nel 1736 in un celebre lavoro Solutio problematis ad geometriam situs pertinensis.
Problema dei sette ponti di Königsberg
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La città è percorsa dal fiume Pregel e da suoi affluenti e presenta due estese isole che, ai tempi di Eulero, erano collegate alla terraferma e tra di loro da sette ponti. Gli abitanti della città si chiedevano spesso se fosse possibile fare una passeggiata iniziando da un punto qualsiasi della città, per poi attraversare ogni ponte una e una sola volta e ritornare infine al punto di partenza. Eulero rimase affascinato dalla questione e la trasformò in uno dei più grandi enigmi di ogni tempo
Problema dei sette ponti di Königsberg
“Nella città di Königsberg è possibile attraversare ognuno dei sette
ponti sul fiume Pregel, che collegano due isole tra loro e alla terraferma,
senza attraversare due volte lo stesso ponte? “
Esercizio 1
Esercizio 2
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Problema dei sette ponti di Königsberg
Eulero ha il merito di aver formulato il problema in termini di teoria dei grafi, astraendo dalla situazione specifica di Königsberg. Innanzitutto eliminò tutti gli aspetti contingenti ad esclusione delle aree urbane delimitate dai bracci fluviali e dai ponti che le collegano.
Problema dei sette ponti di Königsberg
Secondariamente rimpiazzò ogni area urbana con un punto, ora chiamato vertice o nodo e ogni ponte con un segmento di linea, chiamato spigolo, arco, ramo o collegamento.
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Un grafo G = (V;E) è una coppia di insiemi disgiunti: V è un insieme non vuoto, discreto, finito, i cui elementi sono i vertici (nodi) del grafo, E è l’insieme degli spigoli (archi) del grafo, è un sottoinsieme del prodotto cartesiano V X V, ossia un insieme di coppie di vertici del grafo, coppie non ordinate di elementi di V; in altri termini le coppie (u;v) e (v;u) rappresentano lo stesso spigolo del grafo G.
Problema dei sette ponti di Königsberg
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Problema dei sette ponti di Königsberg
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V ={A, B, C, D}
E ={(A,C), (A,D), (B,C), (B,D), (C,A), (C,B), (C, D)}
G = (V;E)
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numeri che si associano naturalmente a un grafo: n = numero di VERTICI m = numero di LATI ad ogni vertice v si associa il numero d(v) = numero di lati in v Osservazione:
∑d(v) = 2m
Problema dei sette ponti di Königsberg
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Problema dei sette ponti di Königsberg
Per il grafo di Eulero: d(C)=5 d(A)=3 d(B)=3 d(D)=3 m = 7 ∑d(v) = 14 = 2m
Per comprendere la soluzione di Eulero è utile osservare alcuni grafi con vertici pari o dispari
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Problema dei sette ponti di Königsberg
Teorema Eulero:
Un qualsiasi grafo è percorribile se e solo se ha tutti i nodi di grado pari, o due di essi sono di grado dispari; per percorrere un grafo "possibile" con due nodi di grado dispari, è necessario partire da uno di essi, e si terminerà sull’altro nodo dispari.
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Problema dei sette ponti di Königsberg
CONCLUSIONE: E’ impossibile percorrere Königsberg come richiesto dalla tesi, poiché tutti i nodi sono di grado dispari.
Variazioni: Sulla riva settentrionale della città sorge lo Schloß, il castello, del principe Blu e sulla riva meridionale sorge quello del principe Rosso; i due principi sono fratelli; sull'isola orientale vi è la Kirche, la chiesa, sede del Vescovo; infine nell'isola centrale si trova una Gasthaus, un'osteria. Seguendo con attenzione l'ordine cronologico dei fatti, bisogna ricordare che molti abitanti della città avevano l'abitudine la sera di trattenersi alquanto alla Gasthaus e quindi di tentare l'impresa chiamata passare i ponti; alcuni poi tornavano a festeggiare la loro riuscita con ulteriori libagioni, ma senza riuscire a spiegare in modo soddisfacente come a loro dire erano riusciti e senza saper ripetere la passeggiata alla luce del giorno.
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Esercizio
L'ottavo ponte del principe Blu Il principe Blu, dopo aver analizzato il sistema dei ponti cittadini con l'aiuto della teoria dei grafi, si convince dell'impossibilità di passare i ponti. Decide allora di costruire di nascosto un ottavo ponte che gli permetta la sera di passare i ponti partendo dal suo Schloß e finendo alla Gasthaus dove potersi vantare della sua riuscita; e inoltre fa in modo che il principe Rosso non riesca a fare altrettanto a partire dal suo Schloß. Dove costruisce l'ottavo ponte il principe Blu?
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Il nono ponte del principe
Il principe Rosso, imbufalito per la mossa del fratello, capisce che può reagire solo dopo aver studiato la teoria dei grafi; dopo un attento studio anche lui decide di costruire di nascosto un altro ponte che consenta a lui di traversare i ponti in modo di raggiungere dal suo Schloß la Gasthaus e qui prendere per i fondelli il fratello al quale diventa impossibile passare i ponti alla sua maniera.
Dove costruisce il nono ponte il principe Rosso?
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Il decimo ponte del Vescovo
Il Vescovo ha dovuto assistere alla dispendiosa contesa cittadina con crescente irritazione. Essa ha portato alla formazione di due facinorose fazioni e ha fatto crescere il numero degli eccessivi frequentatori della Gasthaus, con danno della quiete pubblica. Quindi anche lui, dopo un accurato studio della teoria dei grafi, decide di costruire un decimo ponte che consenta a tutti i cittadini di passare tutti i ponti e fare ritorno alla propria casa tra i tranquilli affetti familiari.
Dove costruisce il decimo ponte il Vescovo?
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Problema dei sette ponti di Königsberg
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Problema dei sette ponti di Königsberg
Soluzione:
L'ottavo ponte del Principe Blu Le passeggiate di Eulero sono possibili se esattamente 2 nodi posseggono un numero dispari di spigoli, che sono esattamente i nodi iniziale e finale della passeggiata. Poiché il problema presenta solo 4 nodi, tutti con grado dispari, bisogna disegnare un nuovo spigolo fra gli altri due nodi. Poiché hanno formalmente un numero dispari di spigoli, bisogna creare un numero pari di spigoli in tutti i nodi che non siano quello iniziale e finale. Un cambiamento nella parità da grado dispari a grado pari. Sarebbe altrimenti bastato erigere un ponte che partisse dal bianco all'arancione. In questo modo solo due punti avevano un numero dispari di ponti.
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Il nono ponte del Principe Rosso
Risolto il problema dell'ottavo ponte, il nono ponte presenta una soluzione facile. Si richiede di utilizzare il nodo rosso come punto di partenza e l'arancione come arrivo. Per cambiare la parità dei nodi rosso e blu, disegna un altro spigolo fra i due.
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Problema dei sette ponti di Königsberg
Il decimo ponte del Vescovo Il decimo ponte va in una direzione leggermente diversa. Il Vescovo vuole che ogni cittadino ritorni al punto di partenza. Questo è un cammino euleriano e richiede che tutti i nodi siano di grado pari. Dopo la soluzione del nono ponte i nodi rosso e arancione sono di grado dispari quindi devono essere cambiati aggiungendo un nuovo spigolo fra di loro.
