CONDICIONES DE FRONTERA PARA UN GAS ENRARECIDO

Tesis que presenta: M . en Fs. Jorge Lpez Lemus

para la obtencin del grado de Doctor en Ciencias

Asesor: D r a . Rosa Mara Velasco Belmont

Departamento de Fsica Mxico D . F . , Enero del 2000

UNIVERSIDAD AUTONOMA METROPOLITANA-IZTAPALAPADIVISION CIENCIAS BASIC14S E INGENIERIA

A Elizabeth

Indice1

Introduccin Ecuaciones

19. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

de

2

cintico

2. 1 Modelo . 2.2 Ecuaciones de balance2.32.3.1

1013

La solucin la de ecuacin Boltzmann de Mtodo Chapman-Enskog de Mtodo de

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21 212428

2.3.22.43

Grad

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .

Ecuaciones relajamiento un simple de para gasfralntera

nes

43. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

i3.1 L a s condicionesdeslizamiento de

43

3.2 Kernel de dispersin 3 . 3 El modelo Maxwell de3.4

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46

50 5759

Coeficiente de a,comodacin

3.5

El modelo de3.5.1

l a s fronteras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

La constante normalizacin deqy

64

3.6 Los valores defronterade3.7 Adimensionalizacin4

P

687679

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Flujo Couette 4. IAproximacin Navier-Stokes de. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

81

4.2

,4proximacin de Grad,

A

,7y

p funcionesdelaposicin

. . . . . . . . . . 84

4.2.1

Perfil temperatura de

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

919.5

4.2.2

Velocidad deslizamiento de

1

4.2.3'4.3

Coeficientes de deslizamiento

.

.

.

.

.

.

.

.. .. . . . .

... . . . . .

.. .

..

..

.. .

..

..

.

98101

X y '1 constantes, p funcinde l a posicicin

.. . .

..

.

4.3.1

Perfil temperatura de

.

.

.

.

. .

.

. .

.

.. . .

.. .

.. .

.. .

..

.. .

.. .

I

10.5

4.3.2 Coeficientes de deslizamiento.l.1 .X y71

106107 111

funcionesde la posicin y p constante

.

.

'4.3.1 Coeficientes deslizamiento de

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. ..

. I ..i '1 . X constantes y p constante)C.5.l

.

.

..

.

.

.

. .

. ..

. . ..

.

.

.

.

..

...

112113114

('oeficientes de deslizamiento. . . . . . . . . . . .

.

.

.

.. . . .

. I . C Discwicin i

.

.

.

.

.

.

.

117

Generalizado Couette 5 Flu-jo.J. 1.

Apl-oxinlacicin Navier-Stokes de

.

.

.

.

.

.

.. . .

. .

.

.

.

.

.

.

.

118

7.2 '1X

>-

X constantes, p

:

p,,RT,, const.antel a posicin. . .

. .. . .

. . . . . . . . .. . . . . . . .

121 125

7 . .:3

.1 '

y p funciones de

.

.

.

6

Conclusiones y Perspectivas 130

Apndice A \.I.

134para la masa. . ..

Idaecuari6n

.

..

.

..

..

.

..

.

..

.

.

.

.

.

.. .. .

. . 1:34. .

Z . 2 La ecwacicirl del moment~o. .

1:j1

:\ . .i I , a ccuacin (le l a energa

.

.

.

.

.

.

.

. . . .

. . . . . . . . .

1 ;3

* 5

.\..I

1, a ecuacin para el tensor viscoso simtricosintraza. . . . . . . . . .

. . . . . .. . . . .

130

.\ ..5 L a ecuacibn del flujo de calor

136138

Apndice B13.1

Ecuacin de Boltzmann reticular.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

138143

13.2 :lut.omata de gas reticular . Apndice C Bibliografa

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

144

148

11

..

Capt ulo 1

IntroduccinEl comportamientodini,micode los fluidostienegranrelevancia,no stilo porqueSII

conocimiento tiene aplicaciones numerosas, sino tambin debido aspectos como la interaccin entre partculas, partculas-paredes, etc.

a que permite entender

El estudio de losen forma

fluidos puede realizarse a travs de enfoques diferentes, dependiendo de las caractersticas que queramos explorar,,y en ocasiones resulta til utilizar aspectos diferentes

complementaria. En este trabajo estamos interesados en

el comportamiento de los gases

enrarecidos y e n la forma en que interactan con paredes slidas. .Ihora bien. para1111

gas diluido sabemos que la trayectoria libre media es inversameute

proporciorlal a la densidad. Si se presenta el caso en que la densidad del fluido disminuve, entonces podemos esperar mente, de tal forma las fronteras que clue el recorrido libre medio de las partculas del gas se incl-edel orden de la dimensin lineal de el gas

que si esta ltima cantidad es

lo contienen, se dice que

el fluido es un gas enrarecido. Cuando

clue se estudia se encuentra en este rgimen de densidad, es importante considerar tantolas colisiones partcula-partcula como las partcula-pared

[ 1, 21. La contribucin de las

colisiones del gas en las .paredes no son despreciables y conducen a efectos interesantes.

A l estudiarladinmica,de

los gasesenrarecidos,encontramosdiversosproblemasde colisiones moleculares, clinlirnica dey condensacin. el c&lculo delos perfiles de

interstalescomo:lat,ransferenciadeenergaen aerosoles, flujos inducidos por evaporacin densidad y de velocidad entre otros [ I , 3-71.

En la dinmica de gases enrarecidos se han reconocido varios regmenes de inters. Elcriterio para clasificar su estudio involucra la introduccin de un parmetro sencillo que

1

.\1 rdgimerl en donde se consideran nmeros de Knndsen cercanos

iz.

l a unidad se le conoce

corno la regin de transicibn. Cuando se aborda el estudio de la clinAmica de un gas enra,reciclo en este rkgimen. por lo general se plant,ea la ecuacin de Boitzrnann en su forma original o en alguna de sus aproxirnacines (lineal. BCK ...,). y se obtiene la solucin a la ecuacin cintica ya sea por medio de algn mtodo: Chapman-Enskog, Grad, soluciones

2

numricas o un principio variacional, introduciendo el modelo de frontera

a travs de la

funcin de distribucin [4, , 12. 14-19]. En particular, una de las ecuaciones ms usadas 5en

la literatura es el modelo

B G K [LO], un ejemplo de ello, es

la solucin de la ecuacicirl

BGK planteada para una onda de choque [21].

Finalment.e, en la regin de nmeros de Knudsen mucho mayores que tenemos lo que se conoce como el rgimen de flujo libre entre partculas es tan baja que

la unidad

K, > >

1,

o molecular libre, este caso lmit,e

corresponde a un enrarecimiento muy alto en el gas, donde la frecuencia de las colisiones

va no tiene efecto sobre la uncin de distribucin. tal

es el caso del flujo alrededor de un satlite artificial de la tierra movindose en su rbith

[ 121.En este lmite, las nicas colisiones importantesson aquellas que se dan entre el gas?;

un

ohstkculo. Aqu el flujo puede ser determinado an para geometras complicadas usando tcnicas computacionales., que estn limitadas slo por la informacin que se tenga de las caractersticas de la interaccin gas-pared.

En el cuadrodeabajopodemos

ver esquemticamentelasregiones

del flujode

un gas

enrarecido y el tipo de descripcin que normalmente se realiza. Ecuacin de Boltzmann

Ec. de Boltzmann sin colisionesEcs.deconservacin un coniunto cerrado1 I

Ec. de Navier-Stokes que no formanEulerI

I

O

0.01

o. 1

1

10

100

Ndmero de Knudsen

Para estudiar la diniimica de un gas enrarecido a travs de tcnicas computacionales. en la literatura hallamos mtodos tales como la Dincimica Molecular [22], mtodo de el Simulacin Directa de Monte Carlo (DSMC, siglas en ingls) [23, 21 y las aproximaciones 4 Automata de gas reticular (Lattice Gas Automata, LGA)3

[25] y Ecuacin de Boltzmann

rct,icular (Lattice Boltzmann Equation,mt i

L R E ) 1261. La primera (le estas tkcnicas consisteencont,ramos que las colisiones ocurre11de partculas del sist,ema. En esencia,

seguimient,o de las trayectorias un gran n6mero de pt.rtc&ts(le forma sirnult&nea, de

~lcntro de unaregi6n del espacio simulado. donde('II

cualquier t,iempo del espacio entre cualquier par

requiere (le los procedimientos probabilsticos para elegir el es:taclo inicial del sistema,1 m - o el procedimiento subsecuente es deterrninista.

I d a seguuda tcnica. es similar a la dintimica molecular en cuant'o a clue un zran nlmero (le partclllas simuladas, se siguen de manera simult,&nea. La diferencia esericial est, en quelas colisiones intermoleculares son tratadas con una base probabilstica. miis que cletermi-

uista. Este mtodo fue aplicado por primera vez por Bird. para el problema de relajaci6nI

r.;tuslacioual en

1111

%as homog4neo

(271.la dinimica

I':II

principio, se puede realizar el estudiode

del gas enrxeciclomedianteel rgimen

t dcnicas de simulacih en todo el rango de nilmeros de Knudsen. incluyendo

tiel cotlt,inuo; donde como hemos visto, el anilisis se realiza nlediant-,e las ecuariones de

Stt\-ier-Stokes. Finalrrleute clil-emos que los mktoclos de simulacicin han sido usados princ,ipalrnent,e en el r6girnen de transicin..iccl-c.a de LBE. diremos que es u n a aproximaci6n que se usa en problemas

de dinAmicaltt

( 1 llllitlos ~(!a

q11e consist,e en modelar de manera discreta

un fluido.

F &a. h

dinimica

Iwldrnente clescrit,a por una ecwaci6u difereucial c-inCtica. referida con10 l a Lat,tice-

l h l t zmarln Equation y que se plantea de forma discreta o discrctizatla. Por otro lado, l a

nptricibn de LG-4 fue motivada por la idea de realizar modelos completamente discretos

( 1 5ist.erna.s biolcigicos, relacionando la idea de espacios celulares. ~(.st

La idea es hallar unalo suficientemerlte

r u c t u r a 16gica minimal y desarrollar una dinimica computacional

poderosa para simular sistema

comple,jos. Este espaciosimulado

que se llamaespacio

c ~ \ l ~ l l aconsiste de mallas que pueden r,

ser t,riangulares: cuadradas. etk., con las que sese proponen las reglas (le c~)lisidn para los

p . r ~ , f ala evolucin de celulas.Enparticulartlist,intos tipos de mallas. Por liltimo mencionaremos que estos mtodos(le tliniimica de fluidos [26! 28, 291.

han sido de utilidad a 1 abordar problemas

1311 la literatura podemos observar que

los primeros trabajos acerca de

la din6mica la

de g:ases enrarecidos fL1eron realizados a travs de l a teoracintica

[S]! endonde

ecuacin de Boltzmann ha sido muy importante. En particular. cuando blemas de fronteray / o condiciones iniciales, a menudo se parte de

se abordan prola ecuacin cintica

de Boltzmann completa.

l.ineal o de la aproximacin

BGK.modelando las fronteras por

mediodeunafuncindedistribucindeunapartcula.Estasecuacionesseresuelven de maneras diversas ya sea por algn mtodo de momentos, soluciones numricas, et>c.[ 3 ,

7, 12, 14, 15, 17: 30, 311. l i n ejemplode elloes

el trabajo de Sharipov (321. donde ('o11 enrarecimiento ar-

calcul relaciones de reciprocidad de Onsager para un gas simple bitrario y fuera de equilibrio! planteando

la ecuacin cintica de Boltzmltm linealizadala ecllacitin cintica launa funcitin

como la ecuacin de evolucin de las partculas. La solucin deoht IIVO mediante

un mtodo variacional. donde se desarrolla

(le distrih~lc ambas conteniendolas pro1)iedades (le la fronlas partculas de gas

t,praJ~

j4,

:M].

Es importante mencionar clue las interacciones entre

la pared. llegan a ser import,ant,es stilo e11 c.1 caso en cllle el gas s e a110

l o s;l1ficiPntemente

ollrtwxido y entonces el tratanlientx 1liclrodin;imico c1;isico

es i ~ c l e r ~ ~ d o .

Para nosotros, resulta de gran inters estudiar

los efectos de la pared en el flujo laminar

(ICscPII

1111

gas

enrarecido. t,omantlo como punto de partida la teora cintica. En particular.

tleseu modelar el kernel de colisin que cont,enga la illforrnacitill arerca de la rntmeraque interactian las partculas y la superficie frontera. La idea es proponer u n modelo

simple d e l kernel de colisicin en trminos de algunos de los coeficientes de acomodacin

cwrlsiderarltlo una frontera en movimiento donde es permitido el intercambio de momento. werga y mol4culas con los alrededores. De esta manera estaremos en posicitin de calcular los valores front.era de las variables relevantes, tomando en cuenta la rlaturaleza de las

iuteracciones que tienen lugar entre las particlilas y la superficie frontera. Post,eriormenteit

partir de estos valores, se calcula una expresin para la velocidad de deslizamiento, esta

cmt;idad es de suma importancia debido a que depende fuertemente de la, naturaleza de

la pared.

I:na vez que tenemoselmodelode

las paredes, abordamos el problemallamado

flujo

Couette. Este problema que es el ms simple de los flujos laminares, 110s permite estudiar

el comportamiento de un fluido en presencia de una superficie frontera. Bdsicamente el flujoCouette,seobtiene al ponerungas enrarecidoentredosplanos

paralelos infinitos que est,n en movimiento relativo con una velocidad constante u w ,induciendo un flujo en el fluido a lo largo de la direccin de la velocidad de las paredes.

Ambas superficies son planas y estdn separadas por una distancia constante. y en general la temperatura de cada placa puede ser diferente.

En relacin al flujo Couette, variossonloslaminar para nmeros de Knudsen cercanos

trabajos en donde se ha estudiado

el Hujo el

a la unidad. En algunos de estos trabajos

andlisis se realiza partiendo de una ecuacicin cintica, que se resilelve a travds de diversos mtodos tales como mtodo de soluciones elementales[3.i],

mtodo variacional

[4, :321 oa

mediante algn mtodo 1:1umrico[36-38]. En otros trabajos el estudio se

lleva a cabo

tjravs del mtodo de Montecarlo [24, 391 o por medio de la dinmica molecular

[4Ol.

El estudio que realizarem.os, ser llevado a calm mediante un esquema donde las variablesrelevantes corresponden a la aproximacin de Grad en trece rnomentos [2. 4 1-43]. Esto significa que tanto el fl~ljo de calor, como el tensor \-iscoso juegan un papel importante en la tlescripcicin. .4llora bien: est,o significa que serd necesario contar con ecmciones describen su evoluciny con condiciones de frontera adecuadas, en este trabajo los de est,as variables fsicas en la frontera se calcularancl~lt'

1,d. 1ores . '

a travs del modelo de las paredes. .

Hacemos notar que este tipo de aproximacin es hbrida ya que va a contener tanto unaparte hidrodintimica cornlo una cintica! de llecho se piensa usar algn tipo de ecuaciones del continuo junto con condiciones de frontera calculadas a part,ir de una forma cintica.

Es necesario mencionar que, H. Grad [41]en 1949 calcul los valores en la frontera para lacomponente oblicua del tensorviscoso simtrico sin traza

P , y la componente normal a l a ,

superficie del flujo de callor qz en la aproximacicin de trece momentos, mediante el modelo de Maxwell para el kernel de colisin. El encontr6 que

P,, tiene una fuerte dependencia

, en la velocidad de deslizamiento y tambin que g depende de forma directa del salto de

t'emperatura, sin embargo, Grad en su trabajo original, no tom6 en cuenta el movimiento de la superficie frontera, adems de que no consider paredes porosas. Estas dos ltimas caractersticas planeamos tomarlas en cuenta en nuestra aproximacin.

7

8

Capt u10 2 Ecuaciones de evolucinSe realiza un estudio del gas enrarecido simple. partiendo de

la teora cinbtica clonde seclue

plantea la ecuacin de Boltzmann, como la ecuacin de e\-olucin de las partculas

de coustituyerl al Huido. .I travs de esta ecuacin se derivan las ecuaciones de balance las

variables conservadas. Adems, se discute la solucin de la e c u a c i h cinktica en la aproximacitin de trece momentos de Grad. Mediante esta solucinse

y la ecuacin de Boltzmann,

calculan las ec1laciones de evolucin para las cantidades que relajan.

flujo de calor y

tensor viscoso simtrico :sin traza, junto con lo anterior, en este

citpt,ulo most,ranlos las nivel de apro-

definiciones cinticas de las variables dinmicas que son relevantes en este ximacin.

9

2.1

Modelo cinticou11 gas monoat,mico enrarecido se

1 3 esl.udio del comportamiento de

realizar

it

partir

de l .ecuacin de Roltzmann, donde el conocimiento de la funcicin de tlistribucitin de una a

pit~.t,cula. permite evaluar las carat:t,ersticas del sst.ema.S t x a

I ( r . c f; jdrdc el n ~ m e r o e puntosrepresentat,ivos d

de las partc11hs e n el c y ) w i o

hexadinlensiorlal ( r , c )p , con posicin en el intervalo ( r , re l inter\-alo (c, c

+ dr'l y \-elocitlacl molcr1da.r enlas partculas

+ dc) al tiempo t : l a ecuacin clue describe la evolucitn de

l a rrcuacin (le Boltzmann. que escribimos como

E11

la literatura, la ecuacin (2.2) represent,a la expresidrl formal de la llanlada hiptesis de.molecular, misma que en los tratamientos tpicos de la teora cintica correspondera

caos

a la hiptesis de cerradura de la jerarqua('

BRGKY (Bogoliubov. Born, Green, Kirkwood

YVOll)

12,341.

10

De acuerdo con las hiptesis anteriores podemos escribir siguiente forma [L]

el operador de colisiones en a l

donde c , c 1 son las velocidades antes de

la colisin de las partclllas que chocan

y c

I

,

. cl

son las correspondientes a la etapa posterior a la colisin. Le hemos pintado

el subndicela otra.

1, a una de las velocidadles de las partculas colisionantes para identificar una de

XdemAs, ,g =

IC

- c l / es

el valor ahsoluto de la velocidad relativa correspondiente.

k y k son los vectores unitarios en la direccicin de las velocidades relativas antes y despt1i.sde la colisin respectivamente. por d t i m o la cantidad I/t(klk : , y ) es lta secciGn t,ransversal para cambiar la direccin de la velocidad relativa de k ak.^

*

^ I

^ I

El valor absolllto de la veloci-

dad relativa de dos partculas sin estructuraclue chocan debe ser la misma antes y despusde la colisin debido a que el choque por pares es ellistico conserviindose el mpetu linealJ-

la energa cintica. Es importante recordar que lit ecuacicin de Uoltzmann escrita en la

ecuacicin (2.1),slo es viilida para partculas monoatmicas

( n o hay grados de lihertd

internos). de manera que en una colisin slo hay intercambio de mpetu lineal y energa

cin4t1ica. Debemos enfatizar que el kernel de colisin contiene la seccin t,ransversal y p o rt.ant:o, depender& del pol;erlcial intermolecular clue actla entre las partclllas del gas. En

el caso en que las partculas interacten a travs de un potencial esfricamente simtrico.la seccin transversal slo depende del Angulo de dispersin entre k yde la velocidad relat,iva.

ky de la magnitllcl

Hacemos notar que la ecuacin de Boltzmarln

es una ecuacin integrodiferencial que

no es invariante ante inversiones temporales. es decir, que procesosirreversibles en. el tiempo.Precisamente,

la ecuacin cintica describe

la formulacibncuantitativadeeste

hecho, est contenida en el llamado teorema H . el cual establece que

dH~

dt

5

o,

(2.5)

para la funcional

H ,que se define como11

12

2.2

Ecuaciones de balancecon las ecuaciones de balance

Sabemos que la ecuacin de Boltzmann es consistente lascantidadesconservadas,masa,momento

( 1 ~

y energatotal.

Aclemtis, la densidad t l t

masa, momento y energa,, se pueden escribir en trminos de de distribucin, que satisface la ecuacin cint,ica.

prorneclios sobre la

flmc,ic;n

A \ c l ~ mostraremos a grandes rasgos, el camino clue se sigue para. mostrar a consistencia ~ l

de las ecuaciones de conservacin con la ecuacin de Boltzmann [L. 4.51.

En primer

Illgar..

l se const,ruye una ecuacin de transporte generalizada para una funcin de a posici6n. las

velocidades moleculares y el tiempo representada por multiplicando a la ecuaci6n de Boltzmann por la funcin velocidades moleculares: de manera que

u; (r,c . t ) . La. ecuacin se ohtietic. o: cirlt

egrtmdo respectlo dc las

(2.7)

la ecuacin (2.7) puede escribir como se

(2.8\

S la fllerza externa es ind-ependiente de la velocidad, el liltimo t,rmino del lado izquierdo iclc (2.8) puede simplificarse en la forma

/.f.

VJdc

m

donde el primer trmino se anula al suponer que la funcicin de distribucin f tiende a cerorrliis rapido que y, cuando la velocidad es muy grande. Adems hemos definido:

ns =

c ,t ) f ( r ,c ;t)dc,

(2.10)

que representa el promedio de I, sobre l a funcin de distribucin y I

13

e l laclo izquierdo de esta ecuacin, se identifica como el promedio clc l a razbn t l c rarnljio de l a propiedadmoleculardelgas {Q; ), debido al arrastre producitlo por elmovimiento

nlolec~llal- el lado derecho representa e cambio debido a las colisiones entre l a s part,culas. \. l

/ u ( c ) J ( f !f ) d c =

. !

I?,

*

///v(flf

-

f;f))gWdkdcidc.

(2.14j

Poskriormente, se suman las ecuaciones satisface el kernel de colisin

(2.13) y ( 2 . 1 4 ) , y se hace uso de la relacin que

W

W(k1k:

y) =

W(k1k; 9 ) .

(2.15)

14

que expresa la propiedad de la reversibilidad microscpica, que se conoce como halance y el detallado

[a, 441,

de lo anterior hallamos

finalmente sumamos las ecuaciolles (2.16) y (2.17) y obtenemos

w(c)

+

Ill(C1)

= c(c)

+ t;(ci),

(2.1%

y en este caso el int,egra.ndo de l a ecuacin (2.18) se anula.

En el

caso

partic1llar en que

L: = m .

hallamos que el lado derecho de l a ecllacitin (2.12 i despu6s de lula colisicin entre

se anula debido a que a masa permanece sin cambios an l

las partculas, mientras que el lado izquierdo se reduce a la siguiente ecuacin

is -nm dt

+ V . ( u o r t m ) = O,

(2.20)

que es la ecuacin de continuidad. donde

(2.21) es l a velocidad promedio.

Por otra parte si d = mC. donde C = c

- ug

es la velocidad peculiar, vemos que

el

trmino de colisiones en la ecuacin (2.12) se anula nuevamente, lo cual es una consecuen-

cia de la conservacin del mpetu lineal. A 1 sustituir $generalizada, escribimos

=

m C en la ecuacin de balance

15

I'Idos dos

r n c f d c -= O.

trminos siguientes se escriben.

donde

P(r. t )deline a tensor de presiones. l

mCC f (r,c : t j d c ,

El $timo trmino de (2.22) queda en la forma

16

m

(2.27)

donde

esuntensorunitario.

Posteriormente se sustituyen las ecuaciones (2.2.3) (2.2.5) e 1 la ecuacicin (%.22), hallay 1 yrnos

clue corresponde a la ecuacin de balance del momento. donde masa y

p = nrn, es la densidad de

P'(r, t ) =

S

rn(CC)"f(r. c : t ) d c ,

(2.2%

es el tensor viscoso sin traza que esta relacionado con tensor de presionesP . Recordemos el

que este illtimo se puede separar en una parte diagonal primera es proporcional (51 tensor unitarioy la segunda representa

y una parte sin traza, donde

la

1,y

se identifica con la presin hidrostitica p

atensor viscoso simtrico sin traza l

P"

La cantidad

Potiene su origen en

el movimiento del fluido, esto es, cuando las partculas

se mueven con velocidades diferentes originan un movimiento relativo entre las distint'as partes del fluido, dando :lugar a la friccin interna [46].

Por ltimo, si

11,

=

$ m C 2 ,se obtiene que

(2.31)el lado derecho de la ecuacin

(2.31) se anula debido a que la energa traslacional seel lado izquierdo, se reduce a una

conserva durante las colisiones binarias, mientras que

17

ecuacin de conservacin.

I1es;arrollando los dos primeros t,rminos

1,os dos tkrminos siguientes, se escriben en trminos se

sus componentes

18

es la definicin cintica del flujo de calor, que contiene slo cintica en el gas. Haciendo uso de las definiciones del tensor de presiones (2.26) escribimos la expresin final de esta int,egral como

el transporte de la energa

y (le1 flujo de calor

(2.3.5)?

J'j?n/%:CCc C f d c'

=

v . q + V . En>u"+ P : ( T U " ) .

( 2 36)

Finalmente, se revisa el Ciltimo trmino de la ecuacin (2.31)

(2.37)

De esta manera, hemlos visto como a partir de la ecuaci6n cintica de Boltzmann alutilizarlasdefinicionesdeltensordepresionesyflujodecalorsepuedemostrar

?;

la

consistencia entre la ecuaain de Boltzmann y las ecuaciones de balance de las cantidades que se conservan. Podemos observar que la:j ecuaciones (2.28) y (2.38), estn escritas en trminos de y P", q cantidades cuya expresin cintica conocemos, pero que no estn expresadas en trminos de las variables promediadas (n, U O ,T ) . Para poder estar en condicin de realizar el estudio en el rkgimen hidrodinmico, slo es necesario establecer ecuaciones constitutivas como la junto con las relaciones de simetra de Onsager ley de Fourier y de Navier-Newton

[44, 46). Situacin que permitira cerrar

el sistema de ecuaciones para resolverlo si se tiene condiciones de frontera e iniciales.

19

En el caso en que se desee ir ~ n &alla de la regin de l a hidrodinAmica cliisica, de1)errlos shitllar expresiones ms generales para el flujo de calor y el tensor de esfuerzos. un caminoque podemosseguir

es el hacer uso del nuitododeit

G r a d en l a aproxirnacitl de t,recelas caut,itlades no conservadas.

nlomerltos y encontrar las ecuaciones que gobiernan

2.3

La s o l u c i h de la ecuacin de BoltzrnannEl mtodo de Chapma,n-Enskog y el mtodo de Grad, tienen11 11

En la literatura se han desarrollado varios mtodos para resolver en forma aproxinlaclala ecuacin de Boltzmann.como fundamerlto el que

sist,ema que est fuera

del eq1Iilihrio termot1in;irnico evolu-

ciona hacia l. de manera consistente con las restricciones impuest,as macrosc.pic~am~~llte. Desde el punto de vista cintico, esta tendencia al estado cle equilibrio ( o equilibrio local)se manifiesta a travsde

la existenciadelteorema

H . Comosemencionantes,ste

garantiza la existencia del &ado de equilibrio Por otra parte, es importante sealar que

y la evolucin del sistema hacia

41.

la ecuacin de Boltzmann por ser no-lined.que adems satisfaga atle-

presenta dificultades importantes para encontrar una solucin c11aclamente condicionesdefronteraeiniciales. enlpleodemtodosaproximados permiten avanzar en

Esto es importanteparajustificar

el

clue si bien no resuelven el problemacompleto

si nos

el estudio del comportamiento del sistema. Dicho esto, es nat8ural

clue los mtodos ms llsados para resolver la ecuacin de Boltzmaun tengan como pllnto(le partida a la funcin de distribucin Maxwelliana total ( o l o c d ) . A s tendremos que el

sistkrna se describir en estados cercanos partir de ste: nos indicarn

al

equilibrio total ( o local) y las desviaciones a

las caractersticas importantes del problema.

EII este tra1)ajo se describir6 someranlente el mtodo de Chapman-Enskog y dedicaremos1111

espacio mayor al mt,odo (le Grad debido a que los resultados de este tralmjo se basan 61.

ell

2.3.1

Mtodo de Chapman-Enskogy surelacinconlasecuacionesde

Hemos sealado cual es la ecuacin de Boltzmann

balance de las variables que se conservan. Para darle solucin encontramos en la literatura diferentes mtodos) uno de Chapman-Enskog [2, 43-45]. noindent Dicho mtodo fue (que abordado EIilbert,

a esta ecuacih cintica

ellos es el llamado mtodo de

casi simultaneamente en

1916

-

17, por

Chapman y Enskog) consiste bsicamente en tomar aproximaciones sucesivas a la funcin de distribucin f ( r ,c ; t ) .

21

Escribimos l a ecuacicin de Boltzmann en la forma

(2.42)

cllle se conoce como l a cundicin subsidiaraa,, donde

'u representa

cada m10 de los cinco ir-

variantes de l a colisin. Lo anterior se debe cumplir para todos los niveles de aproximacine11 el

que se trabaje.

En este mtodose supone que la funcin de distribucin depende tienlpo ilnicamente dela travs de las variables conservadas

(n, y E) y sus gradientes. esto es u0

f ( r , c ; t ) = f(r, cln(r, t ) . uo(r.t ) , E(r. t ) : Vn,VUO. VE,. . ) . . estahiptesisfuncionalsejustificasi consideramos que la descripcines

(2.44)viilida para

tiempos mayores que el tiempo libre medio (c >> r): de manera, que slo las variables c o w servadasseanrelevantes.Obviamenteestolimitay gradientespequeosenlasvariablesdiniimicas.

la solucin a 1 rgimen 11iclrodiniimic.oL a , sustitucicin de la funci6n de di5-

tribucin (2.41) junto con las hiptesis, en la ecuacin de Bolt,zmann y su separaci6n parit cada orden e11 el parmetro de uniformidad, permitirkn encontrar maclas que se deseen.l a s solllciones

ttproxi-

En general, el operador de arrastre puede escribirse conlo

y el tkrmino de colisiones como

hacemos notar que las ecuaciones que resultan de acuerdo

con l a aproximacin en que

se este trabajando. junto con la condicin (2.43), especifican la unicidad de las funciones&,

Por otjraparte,lasexpresionesdelflujodecalor

y del tensordepresiones,segn

la

aproximacin con la que se este trabajando son

(2.47) (2.48)

23

24

2.3.2

Mtodo de Gradla hiptesisdeque

Este mtodo de solucin se basa en

el sist,emasepuededescribirde l a funcin de dis1111

en trminos de una funcin de distribucin que es una desviacin

t,rillucinMaxmellianalocal.Dichadesviacinsepuedeescrillircomo

desarrollo

e11

trminos de un conjunto completo y ortonormal de funciones. Estas se construyen usandocomo funcin de distribucin de peso a la Maxwelliana y dado el caracter knsorial de l a

variable independiente (velocidad), resultan ser los polinomios tensoriales de Hermit e. Enla literatura se discute con todo detalle como se generan y cuales son sus propiedades

1 4 11.

En el caso en que el desarrollo se realice alrededor de una funcin de distribucin maxwelliana local, este mtodo nos lleva de forrna natural fuera de l a regicin de la hidrodintimica 11sua1. a diferencia del mtodo de Chapman-Enskog que regin. sloesvtilido dentro de dicha

De x l l e r d o con lo discutido. se escribe la funcin de distribucin como

clonde f ( O ) es la funcibnlocal

de 11axwell. que se toma como funcibn de peso para 10s los cualesserealizartieldesarrollo.

polirlomios de Hermite H ( . 5 ) ( c en trminos de ),t,os polinomios forman

Es-

un conjunto completo y son funciones de la velocidad peculiar sinDebido a que la velocidadesunvectortenemos del mismo orden que clue lospoli-

dimensiones v =

__

.E

nomios resultantes son tensores

v m

el polinomio correspondiente [4 11:

los primeros trminos de este conjunto tienen las expresiones siguientes:

25

(2.59)

(Y para ai;' s e h a hecho uso de la ecuacicin de estado del gas ideal

p = pRT, misma que es

vlida debido a que los gases no tienen estnlctura y que estarnos trahajando cn el rgimen de baja densidad.

El momento de tercer orden es

y en la aproximacin de

13 monlentos se toma el t,ensor simetrizado de krcer orden

sir1

ohsen-amos clue la desvixin de la funcin de tlistribucin Maxwelliana, depende de

P"

y q que son los momentos relevantes para la descripcin del sistema. Esta funcicin de dis-

trihucicin es importante pa-a nosotrosya clue nos ofrece l a ventaja de obterler informaciciu fuera de la regicin de la hidrodinmica usual y que pudiera ser relevante. ello, son las ecuaciones de relajacin de las variables

I'n ejemplo de

fsicas: tensor de presiones P o y flujo

de calor q , a partir de las cuales es posible encontrar ecuaciones constitutivas generalizadas que englohan las ecuaciones de Navier-Newton

y de Fourier

Es importante sealar que la funcin de distribucin escrita en (2.61) ser solucin dela ecuacin d e Boltzmann, cuando las variables relevantes que aparecen en ella satisfaganlas ecuaciones de transporte que

les corresponde. hI&s adelante tendremos oportunidad

de insistir en este punto.

27

2.4

Ecuaciones de relajamiento paraun gas simple

(2.63)L

El lado izquierdo de

las ecuaciones (2.62) y (2.63) se evallian de manera directa desa-

rrollando cada uno de los trminos que aparecen en ellas, empleando para

ello l a forma

explcita de la funcin de distribucin de Grad de trece momerltos para este nivel de la apro'ximaci6na ijk =7

[dl]. Recordando clue

(:i)

O.

Para obtener la ecuacin de relajacin

para el tensor de presiones simtrico sin traza,

se

desarrollan por separado cada uno de los trminos tiel lado izquierdo de la ecuacitin (2.621.y comenzamos con los dos primeros

donde se emplearon las ecuaciones

(2.21) y (2.26)

Para los siguientes dos tlirminos, en componentes

lasintegralesde

la ecu ( r p , i q )es decir, el flujo de calor y el tensor . L-iscoso relajan despus de 1111 tiempo rq, rp a las ecuaciones constitutivas de Navier-Sewt o 1 1y Fourier respectivamente,

De est,a manera se recuperan las e ~ u ~ c i o n constitlltivas clcl es

lmite hidrodinmico,

q(r, t ) = -X(VT(r. t ) ) .

(2,125)( 5 momentos), las ecua-

En una descripcin en trminos de las variables conservadascionesconstitutivasde?Javier-Newton

y Fourier.ecuaciones

(2.124)y (2.125) respectiun

vamente, se sustituyen en las ecuaciones de balance de conjunto cerrado de ecuaciones. Estas constituyen lay a su vez hemos visto que son vlidas slo en

la seccin anterior quedandobase para la hidrodintimica usual

el caso en que los tiempos sean mayoresse ha sealado que dichos

que los tiempos de relajamiento

rq, T

~ .

En l a literatura [a] ya

tiempos son del mismo orden de magnitud para el potencial de esferas duras).

(3.89X10"10seg, empleando Argn a 303.5 K.

41

("onlo ya se ha mencionado, el objetivo de este trabajoeurmxido cuando estn presentes superficies frontera, porlas r(*uaciones que gobiernan el comportamiento de

es realizar

1111 estudio

del gastie

ello necesitamos cout.ar con

las variables relevantes, adems

los valores en la frontera

de dichas cantidades. Para calcular los

valores en la frontera

necesitamos un modelo de l a pared que nos permita realizar los clculos correspondientes.p o r ello e n el siguiente captulo mostramos los valores de frontera del tensor de presiones>'

t l e l flujo de calor.

42

Captulo 3 Condiciones de fronteraSc propone un modelo d.e fronteras que permita estimar deu 1 gas enrarecido 1

la interaccidn de l a s partculas

con una superficie slida. La descripcin se realiza mediante una

funci6n de distribucidn para una partcula

en la queseutiliza

el kerneldedispersitjn

LIaxwelliano. en el cual se toma en cuenta el int,ercambio de energa, nloment,oy partculascon los alrededores. a travs de algunos coeficientes de acomodaci6n.

Nuest,ro inter& radica en calcular las condiciones de frontera adecuadas, que muestrenla relacin entre las caractersticas macrosccipicas del gas cerca de una front,era sliday los

parirnetros con los que :se denotan las propiedades de la superficie.de fronteras. se realizanlos ciilculos que permiten obtener

;2 travs del modelo

los valores de frontera de l a s

variables fsicas que consideramos relevantes en

la aproximacidn de los trece momentos

de Grad. L,as expresiones que hallamos involucran la llamada velocidad de deslizamiento

y el salto de temperatura [ 3 , 71.

43

3.1

L a s condiciones de deslizarniento

I:n la; figura ( 3 . I ) , podemos ver un esquema cualitat,ivo de los perfiles de la velocidad oc-orrlportkmiento verdadero de estas magnitudes. Observamos que en1 1 ; distancia 1 1~

tie

krnperatura de un gas enrarecido cerca de una pared. donde la linea sblitla representa ri

menor

que la trayectoria libre media ( I ) , los gradientes de velocidad y temperatura sou no const antes (son

grandes), debido a las variaciones en el flujo de energa y momerlt,o que sonIo

generadas por la pared,

que provoca que aparezca la lnea curva que presenta la grfica. el recorrido libre mediodesde la front8era.se supone clue e la cpe l a influencia

Para. distancias mayores quecle la pared va disminuyendo.

perfil de estas cantidades es casi lineal. ligeramente inclinado debido

Figura 3.1: Perfil de temperatura enla capa de Knudsen, donde se observa el comportamiento de la temperatura en las cercanas de una superficie frontera y la aproximaci611 de deslizamiento que se realiza con la lnea discontinua. 2 es la posicin normal a la paretlPor otro lado, en una dist,ancia menor que la trayectoria libre media,

se realiza la extracon el

polacin del segmento de lnea hasta

la pared misma (con una lnea discontinua),

fin de establecer las condiciones de frontera de deslizamiento.

El deslizamiento de u n gas sobre las paredes, fue una interpretacibn

clue realizarol1

Kund y Warburg [S, 471, Ellos notaron que l a rapidez del flujo a travs de tubos a m u baja presin, era considerablemente mayor que la que se predice por la atribuveron y teora esta diferencia al deslizamiento del fluidoenla frontera. De manera semejante, Smolll-

41 chowski describi el salto de temperatura 1 7 .La velocidad de deslizamiento a la que nos hemos referido, se escribe como

y el salto de temperatura

donde

2

eslavariablenormal

a la frontera,

y

a la interaccin y n ( ~ , ~ n nes )una cantidad acli;1111 gas.

rrlerlsional que nos da la fraccin de la superficie slida ocupada p o r partculas en Para bajas densidades (,nc,i.rra: ttrtt

cualquier funcin de velocidad molecular I: (cj 141, se puede rec1lrrirQ(W(C))

a expresicin sigllicut (' l

==

aa-

-

C ' P

-C; P '

clontle el numerador de la ecuacin (3.24a) es la diferencia cnt,re el flujo incidente de l a f11nci6n

( @-

-=

7;

(c)IC . n ) f - ( c ) d c ) y el flujo de la misma funci6nqueemerge) )

(

a+ = Jc.n,O w (c)IC

.njf-(c)dc

despus de interaccionar con la frontera. Por otro lado.J-

el denominador de la ecuacin, es la diferencia entre el flujo incidente de la funcin di

flujo reflejado (

CX P :=

el

,/c,n>Olli (c)

Ic.nlf,(c)dc) proveniente de una pared perfect,amt.nte

tlifusivacomo

CPG.

La ecuacin para elcoeficiente de acomodacin, puede

escribirse t,arnbit

o.

i:

-

c. ,

de acuerdo con lo anterior podemos escribir l a ecuacin (3.38) como

clonde hemos colocado la pared plana perpendicular al eje

J:

(n

=

k). I:sando la expresirl

de la velocidad peculiar. cambiamos la variable de int,egracin de la velocidad molecular

64

dcPor otra parte debemos hacer not,ar que

=

tic.

(:i. i ti5

la integral escrita

en (3.42) en realidad corres-

ponde a tres integrales en coordenadas esfricas

los lmites en la integral del m6dulo de

l a velocidad, se modifican

cuando realizarnos

1111(>

rambio cle variable, u'= menos infinito ( - S )R

c'2

de marlera esta observamos queI('

los limites para

'

5011 d

cero (O) y para la variable

son de cero ( O ) a infinito (mi.

Posteriormente, se procede a realizar los c;ilc~llos el espacio de la variable w con slls en rorrespondient'es lmites, adems: hacemos uso de l a expresicin para la velocidad peculiar

c = c - ug>

donde

calculamos cada una de las integrales de arriba por separado

Para la segunda integral,

depuks (le calcular cada una de las integrales de (3.48), recordando que la traza del tensorviscoso es cero ( C , , ,

+ Pyg 1-

Pz,= O ) , hallamos

La tercer integral (le ( 3 . 3 5 ) nos da corno resultado

rmseguida sustituirnos las ecuaciones (3.47), (3.49) y (3.50) en l ecuacicin (:3.45), con lo a

que obtenemos una expresin para M

~

(3.51)

donde p s , T.? p,? son los valores de estas variables en la capa de gas mks cercarla a a y l pared slida, estas cantidades las tomamos como antes e11 una primera aproximacic;u. constur Observamos q11e itl- depende de ( P Z Z 1. qr). PS decir de las corrlponentes normales

del

tensor de presiones. velocidadIL,

la velocidad y el flujo de calor. El hecho (le q11e .\.I" dependa de l a

y del flujo de calor qZ 110s indica que l a pared permite el pa.so cle algu11tts

partculas a travs de ella.

67

3.6

Los valores defrontera de q y Po

Por otro lado, l a distribucicin Maxwelliana depende de C , por lo

q11e

es necesario escribir

C en trminos de C,.

L~O anterior se consigue al combinar las expresiones (le (,atla I I I I ~- u0 y

(le las velocidades. C = c

C, c =

-

u,,-

c -= c,,=

ug $-

u,,,

c,,- u,

(;3..-)7

donde u = u0 - u,.

De acuerdo con lo anterior, la ecuaci6n (3.55) se p e d e escri1)ir cot110

as como aquellos que estn fuera de ella

donde

V '

es una matriz simtrica sin traza, cuyas componentes son

l a prinlera integral de la ecuacicin es cero. luego la. segunda e11 componentes se escibe como

70

la tercera integral de (3.64)

donde

Cp =

1- c l t B Ifa8 contielle los coeficientes de acomodacin. Observamos que el tensor vis-

coso en la frontera depende de una velocidad relativa

(u

=

ug

- ulL,). que

es la diferencia

entre la velocidad de la pared y la velocidad del gas

que se encllerltra

e n los alrededores

de la superficie. O t r a observacin que podemos hacer es que hayel tensor de presiones y el flujo de calor en la frontera.

u11 acoplamiento ent,rc,

Por o t r a parte, para calcularla expresin del flujo de calor en las fronteras recurrimos i t su definicin cintica, multiplicamos la funcin de distribucicin (3.36) por C y se integra en el espacio de las velocidades c

[qy]-

q = [ l - a

+ e] J l @ ( c , , ) M 71

mC2

~KBT

dc

+ [ a- Q ] q - ,

(3.70)

(3.72)

L

X m C rnC2

[+-

-

-J5KBT2

tlc.

(X-73)

Integrales (Jue estn escritas arriba se realiza de manera separada

la primera integral

la segunda integral

la

tercera integral

1 131 = - q >

2

(3.78)

sustituimos las ecuaciones (3.76-3.68) en la ecuacin (3.74) y obtenemos"

Iwsteriormente se sustituyen las ecuaciones (3.73) y (13.79) la ecuacin (3.''O)\ luego de en agrupar los trminos y d.e resolver para q , obtenemos la siguiente expresin

que corresponde al flujo de calor en las fronteras. Observamos que tambin depende dela velocidad relativa u y de los coeficientes de acomodacin contenidos en 9.

Hemos calculado los valores de frontera para las variables relevantes propias de esta aproximacin (3.69) y (3.80), dichas cantidades constituyen una parte de nuestros resultados [.56].

X partir de las expresiones para los valores de frontera que hallamos! podemos obtener lasecuaciones para la componente ( a ) del tensor de presionesy para la componente z del

73

fil1,jo

de calor. que result.ar1 ser una generalizacibn de las expresiones q11r enc~)ntrci Harold

Grad [41]! las expresiones de estas cantidades son

;rad

e11 s ur ,

trabajo, tom en cnenta

lma

superficie frontera plana. en rcposo, con t empeP C ,

~ - a t ~ I~ ,r y caract,erizada por el coeficiente N, y emplei, l a s siguientes definiciones de , a>. ciz

qz

1

CzC2 f

(I-%

c ,t)dc,

(3.86)

con lo q11e obtuvo precisamente la ecuacibn (3.8:3)?y

74

que es la expresin de

la componente z del flujo de calor, ya que

S

=

2s.

7.5

3.7

Adirnensionalizacin

PSI a

expresidn del tensor tie presiones en la frontera,. se ohserva clarament,egas

SIL

deperi-

tlmcia e11 el salto de t,emperatura entre la pared y el itclimensionalizamos el flujo de calor y nos queda

adyacente. lie manera semejante

76

observamos que esta acoplado peratura.

con el tensor de presiones y depende del salto de

la t e n -

Con esta adimensionalizacin. las condiciones de frontera dede temperatura

P,,%

Q

Z

y

Q,,pueden

es-

cribirse de una manera ms simple. en trminos de la velocidad (le deslizamiento y el s a l t o

en donde, observamos que esta expresin depende de los coeficientes de acomodacin q11e caracterizan a lapared

y delavelocidaddedeslizamiento.

De hecho l a velocidad de

deslizamientosepuedeobtenerdemaneraexplcita, valores frontera del flujo de calor

a partir de las expresionesde los

y del tensor viscoso simtrico sin t.raza, como se verti

ms adelante.Finalmente, hallamos una expresin reducida perficiedel flujo de partculas normala la511-

77

78

Captulo 4 Flujo CouetteDe manera cualitativa un flujo laminar se caracteriza porque el movimiento macrosctjpico del fluido se produce en capas, siguiendo trayectorias separadas perfectamente definidaso intel-cambio transversal entre ellas, esto ocurre a velocidades lo b a s al

sin existir mezcla

tante bajas para que las fuerzas de viscosidad predominen sobre las fuerzas de inercia, contrario de lo que ocurre en un flujo turbulento en donde el fluido se mueve de modo errtico. Estos flujospuedenserincompresihles o compresihles: los primeros,secarac-

terizan porque los cambios en la densidad de un punto a otro son despreciables, en tanto que en los segundos dichas variaciones son importantes.

Uno de los problemas mts simples de flujo laminar incompresible. es el llamado flujo de('ouette, este problema es muy importante en el estudio de la dinimica de un gasell-

rarecido, debido a que nos permite obtener informacin relevante acerca tacto con una superficie frontera.

del gas en con-

El flujo Couette se obtiene cuando se pone un fluido entre dos planos paralelos est,n en movimiento relativo con una velocidad constante

que

uwia~lr -

lo largo de la d i r e c c i h

.c. Las superficies planas se localizan en z =

5L en el plano .

y , y en general se hallan

a diferentes temperaturas.

Por comodidad se supone que

los planos que forman

los lmites del flujo se extienden la izquierda de la figura

hasta una distancia muy grande, tanto hacia

la derecha como

(4. l ) , as como tambin hacia adelante y atrs de misma. Con sto se pueden despreciar la los efectos de borde, debido a que stos se encuentran tan alejados que practicamente no

79

Figura 4, I : Flujo C'ouette ~iencn influencia en el interior del fiuido.

Es nuestro inter&. abordar el problema del flujo Couet8te laminar de un gas enrarecido.tomando en cuentalos \ d o r e s en la frontera delas cant,idades relevantes, calc~llatlosa

p r t i r del modelo cinktico propuesto para l a interaccihn gas-paretl. En particular. estamosirlteresatlos en calcular el perfil de velocidad tiel flujo tomando en (-1lentalas caractersticas

propias de la pared. Nuestro estudio se realiza

a partsir de las ecuaciones de Grad en l a

al~roxinxxicin(le t,rece momentos;enestaaproximacibnloscoeficientesdetransport,e \-ismsitlad cortante 77 y de conductividad trmica X son funciones de la p o s i c i h , a t.ravs(le su dependencia con la temperatura. Lo anterior es consistente con l a teora cintica, )'acl~lea travs de sta podemos calcular coeficientes de transporte110

constantes de forma

m;tlt,ica 1571. En particular. \ramos a explorar las situaciones en las clue considerarnos alos coeficientes de transporte tanto constantes como dependientes de la posici6n.Como punto de referencia! se realiza un breve repaso

a la so1ucic;n delproblema

flujo

Couette en el rgimen hidrodinrnico, donde precisamente los coeficientes de transportese consideran constantes

y las condiciones de frontera que

se emplean son las llamadas

condiciones de pegado.

4.1

Aproximacin de Navier-Stokes

Cuando se aborda el problema de la dinmica del flujo Couette en el rkgimen cle NavierStokes,lasecuacionesdebalancedelascantidadesque junto con las ecuaciones constitutivas de Navier-Newton esfuerzos y el flujo de calor respectivamente, constituyen del gas enrarecido. Por otra parte, en cuenta son delgasena.

se consert-anen las colisiones.

y de Fourier para

el tensor de

la hase para realizar el est11cliose t , o n l w

las condiciones de frontera que usualmente

las siguientes: en una primera aproximacin

se supone que las partculnh

contacto con la paredsepegan

a ella,de

tal manera clue stas se rnuevel~

una velocidad u,,,i. con t,emperatura Tu,. estas co~~diciones frontera se les 11nrn;~ A de

condiciones de pegado.

Se plantea el problema flujo Couette estacionario paraparedesplanaseirlfinitassehallanenA

u11 g a s enrarecido, donde lasyell

el plano ( x - a ) , a una misma temperatura

movimiento relativo con trelocidad *uT,,i a. lo largo de la direccin x , la presin p es colistante. Este sistema se caracteriza por la densidad p y por los coeficientes de transporte: viscosidad de corte rl y conductividad tkrmica X . clue son t,omados como cantidades const a n tes.

El movimiento del fluido tiene lugar en la direccinm('01110

x. lo que hace que tengamos

1111 f i l l j o

dos dimensiones (x-:),as las ecuaciones de l a s variables relevantes las podemos escrihir

O,

donde recordamos que hemos empleado las ecuaciones constitutivas de Navier-Newton Fourier, tomando a los coeficientes de transporte constantes

y

[lo,461.

81

Por otro lado, para calcular el perfil d e temperatura en e s t a aproximacin. debemos

combintr las ecuaciones (4.6) y (4.7), que nos permite escribir

as. al integrar la ecuacin (4.8) hallamos el perfil de temperatura, en

el caso particular

en que ambas superficies estn a la misma temperatura

Tu,

(4.9)

Como podemos ver en la ecuacin (4.9), el campo de temperatura describe mla par1)ola3 que es simtricaconrespectoal eje x. Para elflujo

deC'ouette,tenemos

clue hay una.V

diferencia de temperat,uras entre

el fluido en el centro del canal y las placas paralelas.

precisamente la forma en que va variando la temperatura a lo ancho del carla1 describe una parbola cuando la temperatura de ambas paredes son iguales. En este caso en particuel centro

lar, el perfil de temperatura se debe a que la disipacin de energa es menor en del canal que en las cercanias de las paredes. Aqu

los procesos transmisin de energa

t'rmica por conduccin son ms importantes que los aquellos por conveccicin. Est,o es una consecuencia de que en la ecuacin (4.5) los trminos convectivos se hayan anulado. Recordemos que en el proceso de transferencia de energa por conduccin, la transferencia. de energa trmica se puede ver en una escala atmicacomo u11 intercambio de energa

cintica entre moleculas, donde las partculas menos energticas ganan energa con las partculas ms energticas, arrojando como resultado una

al chocar

conducciGr1 de energa.

Hemos visto que cuando' se toma

a los coeficientes de transporte como cantidades cons-

tantes y de considerar a las condiciones de frontera de pegado,y k m p e r a t u r a p a r a el problema flujo C'ouette describen11118

los perfiles de velocidad lnea recta y una pariibola110 son las ade-

respectivamente. Estas (condiciones para

loscoeficientes y las fronkras,

cuadas cuando se trabajta con gases enrarecidos a travs de la teora cintica [I, 571. Por un lado sabemos que los coeficientes de transporte se pueden calcular directamente110

de la ecuacin de de Bolt,zmann a travs del mtodo de momentos de Grad y que estos

son constantes [$57], lo que es adecuado dejar que estas cantidades sean funciones de por la posicin. Adems, si deseamos tomar en cuenta las propiedades dela pared y la velocidadde delizamiento en el perfil de velocidad, debemos abandonar las llamadas condiciones de

frontera de pegado y obtJener las condiciones de frontera adecuadas. Una de las opciones que podemos seguir, es precisamente el trabajar con las condiciones de deslizamiento que hemos discutido en el captulo anterior, donde se calcularon los valores de fronteras de

las cantidades que son relevantes en la aproximacin de trece momentos de Grad a travks

del modeloMaxwelliano

de la pared,

y quecomohemosvisto,involucran

el saltode

temperatura y la velocidad de deslizamiento.

83

4.2

Aproximacin de Grad, X posicin

, r)

y p funciones de la

5Figura 4.2: Flujo Couette en la aproximacicin cle Grad.d e m s , no hay gradiente de presin ext,erno que influya sobre el flujo.

El estado estacionario en este f u o se caracteriza por la presin PO(' ) y la temperatura lj'I-,I(:) . Not,emos, que estas dos funciones dependen de la posicin, en cambio la densidad

po la tomamos corno una constante.

84

Con lo anterior, estamos considerando clue el estado estacionario del flujo est& fuera clel equilibrio total, donde ;algunos de sus parAmetros macrosccipicos caractersticos depende11 explcitamente de la posicin. Es decir, se trata de un estado inhomogneo.Como ya se h a menciol:~do, descripcicin del sistema se realizarti a travks de las e c l w la

ciones de Grad en la aproximacin de trece momerltos. mismas clue se linealizan alrededo1 del estadoinhomogneoya descrito.Supondremosque

el movimientodel

fluido es 10

suficientemente lento tal clue todos los trminos no lineales puedan ser

tlespreciaclos.

Para realizar la linealizacin, las variables relevantes las escrihimos como:

T

: 1

T,, T. I t /

P O t- p,

p = po t

ES)

(4.10;

donde la ecuacin del gas ideal determina cionario

la temperatura y l a presicin en el estado esta-

en este caso

en particular, estamos considerando que

elflujo

lento se encuentra en

1111

estado estacionario, donde las

desviac.iorles de la temperatura T son pequeiias en

con-

paracicjn con To de esta manera las ecuaciones de Grad (2.126) l a s escribimos como

p o p . ug)- 0 ~ 0 -0

1

o.O,

(4.1 ;I I

.P

D - q + p o p .ug)

+ F PO m

(4.141 (4. l.?)

=

o,b 1

E) Po

donde F es una fuerza externa.

Los

tiempos de relajamiento que hemos vist,o ya en el captulo dos

J-

que est11 escritos en

t.&rrninosde los coeficientes de transporte, pueden evaluarse sin problenla parapara el potencial de esfera dura, que escribimos como

un poten-

cial central. En esta ocasin empleamos las expresior~es de los coeficientes (le transporte

Por otra parte. a l considerar a los coeficientes de transporte comofuncionesde

la

posicicin a t;rav&s de su dependencia con la temperatura, estamos considerando a los ticnlpos de relajacibn de las variables fsicas. cotno rantidades que variar1 cor1 la posicin, segn io haga l a razn entre los coeficientes de transporte y la presin

27n X

I

(4. 1 9 )

1

(4.20 J

El hechodequelostiemposderelajacin

no seanconstantes.

110s indica que los efw-

tos de disipacin no son los mismos cuando se esta cerca de la pared. que cuando se est ii

en el interior del gas a una distacia del a front'era de varias veces l a traj.ectoria l i l m mt.cli;t.

Las condiciones de simetra impuestas por la geometrtt, implican que todas las

cttuti-

(lades deben ser independientes de en un problema de dos

la coordenada u. de esta manera, el finjo se convierte

2). En este caso, las ecuaciorles 'dimensiones (x3

(4.13 4.17) -

SF'

reducen a u11 conjunto de ecuaciones ms simple (ver apndice za con las cantidades de referencia que presentamos Captldo anterior

A ) . que se adimensionali-

y discutimos en la seccin (3.7) del

tlP,.,

tls * dQZ

donde

2

= z*L ,

K,

= -L 2L

es el nmerode

Knudserl y 1 =

la es ___ trayectoriiiv%a27lS

'

libre media para esfera dura con una densidad numrica de referencia n,. Recordemos forma que enhemos adimensionalizado las variables importantes:

la'

Q

=P S J E T '

p.

= p"Ps

T * =TT , ' V~, e =

v

=

"O-"w)

m

p

= 2 Ps

y p* = L.PJ

En la ecuacin(4.22), observamos que cuando la fuerza externa " esta ausente, lapresicin Fp * es una constante. Esto nos indica que

la fuerza externa es importante en

el sentido

87

(le que

110s

brinda la oportunidad (le trahajar

(:o11

dos dist intitsopcionesacerca

de l a

colltlicin de la presin.

Observarnos que cuandoptr~t el

la temperatura es una constante, recobramos la ecuacitin usualflujo Couette.

perfil de velocidaddel

Es decir,se

recupera el caso enque

la

\wiaci6n de la velocidadenc111elos

la posicin es una constante Ec. ( 4 . 5 ) . .4dems, notamosecuacicin de l a velocidad, s o n de segundo orden en elque estas c,orreccionesson

trminos que modifican la

rlmero deKnudsen,unhechoqueindical-bgirnen (le transicin donde

pequeiias c u m d o

consideramos la regin de nlimeros de Knudsen muy pequeos; &e no es el caso en el

K,

N

1,

La. ecuaci6n de la velocidad no es complicada y puede integrarse de manera directa, sloes necesario realizar la int,egracin en una sola variable o"*.

88

La solucin para la ecuacin de la velocidad, puede escribirse como

-

La integrales que escribimosen

las

ecuaciones (4.;42)-(4.:34) y quellamamos

I L.?(:*

1.

I I l , 2 ( z * ) y lIIL~2(2*,). representan en realidad las siguient,es integrales

La solucin dada en la ecuacin (4.31) toma en cuenta las ixlhomogeneidades en el campo

de la temperatura, as como la variacin en los coeficient.es de transporte. Por otra parte.las propiedades de

la pared aparecen explcitamente en

el valordel

tensor de presiones

P z z , esta cantidad se obtiene de la ecuacin (3.88)

donde V

=

v

-

v , . Si toma

lenta la simetra que presenta el problema del flujo introducimos la expresinde

Clouette, es decir V, = O,

que aparece

e11

(3.94) en la ecuacin (4.,137):

90

4.2.1

Perfil de

temperaturala manera en que se determina

En

esta seccinsemuestra

el campo (le temperatura.lit

para posteriormente, evaluar las integrales \.elocidad (4.32 - 4.34).

que estiir1 involucradas e n la expresin de

Mediante una integracicin directa de la ecuacin ( 3 . 2 5 ) hallarnos l a expresin~

donde b es una constante de integracin. aqu definirnos lma distancia caractersticaque110s

h'

d a el alcance de la influencia de

l a capa de Knudsen

la expresin para la componente nornlal del

f u o de calor CJz. se ollt,iene a partir de lj

las

cvndiciones de frontera. A partir del valor e n la frontera para cl tensor viscoso sirnGt r i c ' o sin t,raza que ya hemos calculado que reportamos en la ecuacin (3.88). podemos obte11e1yu11aexpresin

para la componente

(2;)

de esta cantidad

.-I1 tomar en cuenta la s,imetra que presenta

el flujo C'ouette en l a velocidad, es deci1

c;Z = O,

obtenemos

A 1 considerar las condiciones de simetra en las ecuaciones de Grad (ver la ecuacin

( a .1 0 )

del apndice A ) , hallamos que P,, igual a cero, con esto, l a ecuacin anterior se resuelvr. es para la componente normal del flujo de calor y encontramos

91

c1"e ticpende d e los coeficientes de la pared a t,ravksde Q,

J'

del salto de temperatura.

1)e 1lr:cho.

l dependencia de a

Q z cot1

el salto de temperatura tarnbid11 fue obt~enida por

ljisso y ('ortlero [ 6 5 j , l a diferencia esta

en q11e la. expresin que obtenemos depende d e los

cwcficientes de acomodacicin que caracterizan a l a frontera.

E11 part,icular, el flujo de calor normal a la superficie es disipado a travs de la pared.c 7 1 1 i t l mantiene su temperat,ura constanteest a

la

T,,, y como podemos ver en la. ecuaciGn (4.46).

(santidad se anula cuando el salto de temperatura esta ausente. Tal y como sucederia

si se crnplearan las condiciones de frontera de pegado,

Finalmente el perfil. de temperatura es escrito en trminos de la distancia de penetracin 6* y de su valor en las fronteras

T * ( z * ) = T*T(+l)7 -

[

;*(

Z*

7 1

)I'

=*

=

ztl, T I A 1 )

=

9

,

(O

5

,7* 5 1, -1 5 z*

-

< O)

(4.37)

las caractersticasdelperfildetemperaturasemuestran

en l figura (4.:3), donde s e a

observa una curva casi parablica. Cuando comparamosse obtiene en el rgimen de Navier-Stokes, ohservamos que

con el perfil de temperatura quelas dos c ~ ~ r v son semejantes. asC1.at1( ' 1 1

Por

1111lado,

la expresidbn de la temperatura que derivamos de l a s ecuaciones de

la aproximacicin de trece momentos. depende fuertemente de los (,coeficientesde transporte

b- (le las caractersticas de l a pared a travs de los coeficientes de acomodacin. Por otrolado. cn el rkgimen de Navier-Stokes la temperatura depende de la forma de la velocidacl,

y en cambio l o s coeficiente de transporte no son relevantes debido a que son cantidadesconst.antes.1.o

0.5

Z*

o .o

-0.5

4.5

-1 .o

4.4 4.2

4.3

4.6

4.7

4.8

4.9

Perfil de Temperatura

Figura 4.3: La lnea con asteriscos representa el perfil de temperatura en la aproximacin de Navier-Stokes, la lnea continua y la linea discontinua, representan el campo de temperatura correspondiente a la aproximacin de Grad en trece moment.os, para H = 0.8 y 0 = 0.85 respectivamente.

93

Observamos que el perfil de temperatura en este rgimen, bsicamente tiene su origen en la friccicin, las deformaciones de la temperatura en las cercanas de l a ptred se deben a(111~:

esta liltinla

110 es

~ 1 1 pared ideal. lo anterior se t , o m a a

erl

cucrlta a l ronsitlerar a los

c.oeficient,es de transporte corno funciones tle la posicin.t:11

a ecllucin (-4.25) vemos l

q1 1e

el fiujo d e calor esta relacionatlo

('o11

el coeficiente de m u -

tlnccitin tkrmica y

e11 cambio

no se obser\.;m trminos convectiI-os, por est,a r;tzi,n clecirnos

que e11 esta aproximaci6n los efectos de transferencia de energa tirmica. por cond1lcci6nson mAs importantes que aquellos tlehido a la transferencia de energa por couveccin.

I A tliferencia entre estas

dos forma de t r a n s f e r e n c i a de energa. es que I n primera e s t iqlle

ligada. al intercambio d e energa cint,ica entre las molkculas

choc:rn

>~ e11 l a segunda.

e l medio que se calient,a se

mnet-e de

1111

lugar a otro.

4.2.2

Velocidad. de deslizamientofl11~joit

Otra de las cosas que podemos determinar de forma analtica en este problema de laminar, es la velocidald de deslizamiento partir de la condicin de simetra frontera. Parahallar

r/& =

v,

-

v w , esta cantidad sedet,erminaY

Pz, = O

y de la componente

del flujo de calor en l a

la expresin de la velocidaddedeslizamiento,

se combinanlasecllacioues

( 4 . 4 3 ) y (4.46). resolviendo para

Vx hallarnos

donde es clara la influencia del salto de temperatura v las propiedades de la pared. C ' o r n o podernos notar, la velocidad de delizamiento llegaa ser igual a la velociclad de la pared.

cuando la temperatura en el gas cerca de la hontera es igual a la tlc la pared, esto significa clue no habr deslizamiento cuandono se tenga salto en la temperatura. Esta situacitiu

es posible debido a que las partculas en

el fluidocolisionan

de forma inelstica

con l ae11

pared y tambin

puede:n ser absorbidas, de aqu que

la energa cintica promedio

la

capa front,era no corresponda a la energa de la pared ni a la energa del bult~o, .Aqu en esta aproximacin, la principal hiptesis hecha es que el s a l t o de ternperatu-

r a juega un papel importante

en la capa frontera. Esta caract,erstica es clara c~lantlolit

s1lpollerrlos clue los coeficientes de t,ransporte son funciones de la posicin a travs de temperatura, ello en la capa delgada de gas adyacente a la frontera. Esto significa, el proceso de colisin entre las partculas en el gas y la pared ocurre en una forma

q11t'en

clue el transporte de energa, no es cuantificado de manera suficiente transporte constantes.

con coeficientes cle

En otras palabras, poderr,os decir que el fenmeno que estamos

estudiando est presente debido a clue la pared no es ideal.

Por otro lado,

a trav& de la ecuacin (4.40), podemos escribir la velocidad de deslizay la distancia de penetracin

miento en trminos del nmero de Knudsen

(4.49)95

expresin que muestra que la velocidad d e deslizamiento crece con el nmero de h u d s e n ,rw1llt,ado quo concuerda con lo report ado cn l a literatura 121.

-Grad, H=0.80m

-1 o

-15

-10

-5

O

5

io

15

Perfil de Velocidad

Fig11ra '1.4: Las lneas continua ( Q == 0.8) y cliscontinua (Q = 0.85) corresponden al perfil la aproximacin de Grad en trece momentos eon (1 I , y la lnea con asteriscos representa el perfil de velocidad usual col1 < 1.

4 s t a 110s da infor-

nlacicin del alcance del gradiente de presin externo que se aplica al flujo. De esta manera(311

l a ecuacicin (li. 15) observamos que cuando la distancia de separacin entre los planosel rango de influencia del graclient,e de presiones externo. el c,aso contrario. Porde este ltimo sobre el flujo ser menor que en

paralelos es mucho mayor que

crltonces el efecto

otra parte, recordamos que K, = media para esfera dura.

& es

elrlmero de Knudsen y 1 es la trayectoria libre

Parahallar

la ecuacinquesatisface

la velocidadparaestesistema,debemosderivar

122

la ecuacin

(5.19) conrespecto

a la variable z * y posteriormente sustituir la expresin

resultante en la ecuacin

(5.21). Hacemos notar. clue la derivada de PZz con respectlo a

:* es una constante, p0.r lo que

Qz tambin es una constante. lo anterior provoca

que el

segundo trmino de la ecuacin (5.21) se anule. Tomando en cuenta lo anterior escribimosla ecuacin para la velocidad como

de en la ecuacin (5.23). observamos que la componente (x:) del t.er~sor presiones sirnktrico sin t,raza es una funcin de la posicin z * . por lo que debemos resolver la ecuaci6n ( 5 . 1 5 )para,

Plz,

Recordemos que en este caso en particular

el gradient,e de presiones en

la direccin del

mo\-imiento del fluido es constate, as que al integrar l a ecuacin (5.1.5) tenemos

tlorltle a es una constante. Esta expresin

la sustituirnos en la ec1lacicin (5.2ij)

Ilespuks de in{-egrar en la variable z 4 , hallamos

donde b es otra constante. Posteriormente hallar las constantes. Despus de realizar

seevalala

ecuacicin (5.26) en z *

* 1, paran y

lo anterior y de sustituir las expresiones de

b , hallamos

(Fi.27)

donde v,(*l)

es la velocidad del

fluido evaluada en las fronteras

y de acuerdo conlas

condiciones de frontera de pegado es igual

a vtu. Observamos que el perfil de velocidad

es el mismo que se obtuvo mediante el esquema de Navier-Stokes. Yo es extrao obtener

123

este resultado ya que si el campo de temperaturaes una constante. e n ~ o n c e s hay raz611 110

para esperar uq salto de t,emperatura y tampoco la existencia (le la capa de tinudsen.

Hemos vistd que de

las ecuaciones de Grad podemos obtener resultados tipicos

del

r6xirnen (le la hidrodinAmica cltisica. Por o t r a parte: para tomar en c u e n t a las propiedadcstle

las fronteras en el perfil de velocidad del fluido, podernos llsitr l a s ecuaciones (le ( ; r a d ,

pero ahora dejando que la presin vare con la posicin al igual clue los coeficientes (leI ransporte.

5.3

X

, r) y p

funciones de la posicinel problemafllljo

Erl estaseccin.queremosabordar

('ouette generalizado en el caso

particular en que la presin y los coeficientes de transporte seal1 funciones de la posici6rla travs de la temperatllra. En particular empleamos

las expresiones de los coeficientks

de transporte para un pot,encial de esfera dura. Suponemos clue elflujoCouette generalizado se encuentraen1111

estado estacionario.

mismo que es caracterizado por lma presin p o ( s * ) y tenlperatura T , ) ( z * )no 11omogkrlc~;ts.

En el problema flujo Couette generalizado, por simplicidad suponemos clue las superfic+sfrontera tienen 11na temperatllra, .

T, y

se encuentran en movimiellt,o relativo con velocitlitcl=

kuT,,i. Estas placas paralelas se localizan en :*coeficientes de acomodacina

& . est,in ly

caractxrizadas porlos mismos

y HL

N

Figura 5.2: Flujo C'ouette generalizado en la aproximacicirl de Grad

Escribimos las ecuacionles de Grad en trece momentos.

de acuerdo con l a simetra clue

presenta el problema, es decir las variables slo dependen de z * . Aclemiis, stas se escrihende forma adimensional de acuerdo con las definiciones que usamos en captulo 3 (seccin el

3.7).

125

I'ostm-iormente se sustituye en la ecuacin (5.33) y de esta forma obt,enernos la ecuacibnpara la velocidad del fluido

(5.37)

126

donde

En la ecuacin (5.38) se toman en cuenta las inhomogeneidades degradiente de presin externo.Por otra parte, el tensor de presiones

la temperatura y el

P X zse obtiene a l integrar la ecuacin (S.28),

La expresicjn para el tensor de esfuerzos simtrico sin traza

P ,

en la frontera es la misma

de la ecuacin (4.35), sta no cambia debido a que el gradiente de presiones 110 influye en el modelo de fronteras

Finalmente, para observar el comportamiento cualitativo del perfil de velocidad debemos determinar el campo de temperatura. Para obtener esta cantidad se integra la ecuacin

(5.32)

Vemos que esta expresin para el campo de temperatura coincide con la ecuacin (4.42). cuando el gradiente de presin no est presente.

127

10

05

' Z

O0

-0 5

-1 o

-6

-4

-2

0

2

4

6

Perfil de Velocidad

1Ic:nlos visto que l a ecuacinparalavelocidadquehallarnos,

se reduce al caso usual,

c,uando l a temperatura es una constante ?- el gradiente de presin externo esta ausente,lo que nos permite decir que l a aproximacin en la que estamos trabajando contiene los

resultados que se obtienen a nivel de Navier-Stokes.

128

En este captulo hemos calculado. el perfil de velocidadgeneralizado a partir de las ecuaciones de Grad en encontramos que la velo'cidad se escribe en trminos de

para el problema flujo Couet tc'

l a aproxirnacicin en trece momentos.los partimetros que caracteriza11observar que el perfil

a la frontera. Este es un ejercicio interesante ya que nos permit,iti

de velocidad del flujo! contiene informacin nuest'ros resultados de forma analtica.

de la superficie cl11e lo delimita, obteniendo

En particular, vimos que cuando l a presin y los coeficientes (le trarlsport,e son constarltes. se recupera la expresin de la velocidad en el rgimen de Navier-Stokes. Esto nos sugicrt clue la presin y los coeficientes de transporte juegan un papel importante en l a dintimica delproblemaflujoCouetteGeneralizado.Encontramos externo modifica it1 perfil de velocidadit.

que el gradientedepresiones

travs del fllljo de calor en la direccin J . E:st,n

t'ltima cantidad depende de manera directa de la presin p', es decir, esta cantidad sufre. cambios si la presin es constant,e o es una funci6n de la posicicin.

Capt u10 6 Conclusiones y Perspectivas

[Icnlos visto que el estudio

del Alijo en

1111

gas enrarecido, p u d e ser realizado a travs

c l c wuu'iones parecidas a las de a aprosimac~icindel continuo. titles c o m o 1~ ecuaciones lde los n~lonlentos de Grad. En particular estudiamos un

flujo laminar incompresible erl

tlorlclc110

S(:

torrid en cllenta l a influencia de l a superficie frontera para nimeros cle Knudsen(le calor y elPOI-

t a n pe(~uefios. corno normalmente sucede en el r4gimen de Navier-Stokes. Este est'udio

(\SI a

1);ts;ttlo e11 las wuaciones de Cratl e11 trece momentos. donde el

filljo

t CIISOI.I>it1'te.

viscoso simdtrico sin traza

so11 considerados

corno variables rele\ra~ltes.it

otra.

c;tlcularnos los \-alores d e frontera de las variables fsicas,e11

tra1-k del modelo deIa

las paredes de Maxwell. en tfonde so11 tomadas

cuenta las caractersl icas de

pared.

por mcdio d e los coeficientes de acomodacin. Las expresiones de los valores frontera delfiiljo de calor y del tensor simtrico sin traza

que obtuvimos aqui son una generalizaciI1

tlc las rcportadas por Harold Grad

en 1949.

('reemos que es posible obtener los valores de frontera para las variables fsicas con mayor informacicin acerca de la pared, enla medida en que el modelo d e las fronteras sea cada

w z rwis realista, involucrando elementos t,ales que modelen mejor las caractersticas de lasuperficie frontera. .Aunque, claro est, el cdculo analtico ser& cada vez ms complicadode realizar, por lo que ser& necesario apoyarse en tcnicas computacionales? tales como:

la tliniinica molecular, soluciones numricas, mtodo de Montecarlo

(DSPVIC) o las apro-

130

ximaciones Lattice Gas Automata (LGA) y Lattice Roltzmann Equation (LBE).

Un hecho interesante es que un modelo simple de la pared

con la dinAmica descrita por

las ecuaciones de Grad puede reproducir las caractersticas principales de un problema tradicionalmente cintico. En particular para el flujo C'ouette, calculamos una expresin analtica para la velocid.ad de deslizamiento I,; y de la componente normal del flujo dc calor Q,, en trminos del salto de temperatura($~

T5

v de los coeficientes de acomodacicin

l-aJ l+-O'

Encontramos que estas cantidades estn relacionadas de manera directa [Ec.

(-4.12) 1.De acuerdo con la expresin para la velocidad de deslizamiento, vemos que salto de temperatura, entonces ra el fluidosemovera110

si no hay

1111

habr una velocidad de deslizamiento: de esta mane-

de acuerdo con la velocidad de la pared. Por otra parte. hemos

al derivado el perfil de temperatura para un potencial de esfera dura: ste es parecido que se obtiene en el rgimen de Navier-Stokes. Las diferencias se observan en la regi6n cerca

de las fronteras, donde el comportamiento de la temperatura que calculamos. depende dclas caractersticas de la pared a travs de los coeficientes de acomodacin. .idern& de

lo

anterior, calculamos el perfil d e velocidad tomando en cuenta el defecto de la velocidad. para nmeros de Knudsen cercanos a la unidad, y lo encontrarnos que el comportamiento clmlitativo de la velocid es el mismo que se ha reportado por otros autores 142,381 . Todoesto se ha calculado tomando los coeficientes de transporte como funciones de posicin a la

= * . k s t a es una diferencia con el perfil de velocidad calculado en

el artculo de Peralta-

Fabi y Zwanzig [42], donde los coeficient,es de transporte son constantes y la influencia de

la pared hacia el interior del gas es substituida por un campo externo, manteniendocondiciones de frontera de pegado.

las

Para entender el porqu hemos tomado los coeficientes de transporte como funciones de la posicin. debemos, recordar que en

las cercanas de una superficie frontera lasy laparedsonmuyimportantes;stas

col-

isiones entre las partculasdelgasenrarecido

colisiones provocan que se forme una capa delgada de gas adyacente interior de esta capa de gas, encontramos partculas

a la frontera. En el

con la temperatura y velocidad de

la pared y partculas que mantienen las caractersticas 131

del int,erior del gas. Como una

cwnsecuencia de lo anterior: los gradientes de t#emperatura y \-elocidad son muy grandesJ.

provoca que el llamado defecto de la velocidad est6 presente. Deljitlo de Knudsen, los efectos del calor producido por

it

121. presencia de

l a capa

lit viscosidad, son diferentes

en

a frontera que en l

el int,erior de gas. Vemos que la viscosidad en el fluido es menor en

l a pared que en el bulto. Esto es urla consecuencia de que l a tenlperatura tlel fiuiclo seamayorusare11 medio del canal, que en

la frontera. Por lo anterior, L-emos que no es acteruadosi es que se tlesea tomar

los coeficientes de transporte como cantidades constantes. coeficientes d e t,ransporte como fllnciones tie la posicitin.

e11 cuenta el efecto de deslizamiento v en cambio hemos visto q1le e s suficiente con tomarit

los

O t r a de las cosas que observamos, cuando calculamos el perfil (le velocidad del fiujoC'ouette plano. es que al variar la presiGn en la direccin rlormala la superficie, la corn-

ponente en x del flujo de calor adquiere grau importancia ya q u e lit derivada con respecto tle la componente normal a la pared de esta cantidad, se superpone al movimiento provoc ~ d por o

la pared v origina que el perfil

de velocidad sllfra una motlifica,cicin cerca de la

frontera. Dicho comport'amient,o

lo interpretamos conlo el efecto de delizamiento que es

rn&s rlot,orio en este caso que cuando

l a presin es constante.

Por ot8ro lado.de: manera directa calculamos la llamada distancia de deslizamiento. Observanlos quc los resultados num6ricos que calculamos son parecidos a los mejores resllltadosc111esc

han reportado en la literatura, por lo que creemos que nuestro modelo de front,eras

; ~ u n q ~ simple, arroja buenos resultados le11x1

al comparar con aquellos trabajos en donde

se

ctmpleados mtodos ms elaborados [4, 501. Por supuesto. este modelo es suceptible

clc 111e.jorarse.

Por otro lado, tambin hemos calculado('ollett,e

el perfil de velocidad para el problema flujo est6 contenida la soluciGr1 rlornlal.

Generalizado;en

la solucinquehallamos

Por otrolado,hemosobservado

clue la condicicin geomt,rica es import,ant,ecuandose

lj aborda un problema de f u o laminar, sta ayuda a que los cA1culos de los valores fronterade Q y

P

seanmenoscomplicados.

Si la geometraquepresenta

el problema de flujoen

laminar que hemos abordado fuera otra: digamos cilndrica. entonces habra cambios las expresiones de los valores frontera de las cantidades fsicas.

Lo anterior lejos de slo

complicarnos los clculos, nos permite realizar el estudio de la din6mica de un flujo lami-

nar ahora con una simetra cilndrica. De hecho a este problema se le llama flujo Poiseuille.

Cna de las perpectivas que consideramos es \.iable realizar, esel proponer un modelo nxis realista de las fronteras. t,omando en cuent,a naturaleza d e la frontera sobre todo si exisla ten rugosidades en la misma. Por supuesto si trabajamos con superficies extremadamente rugosas es necesario contemplar u11 fluido t,urbulento dadoclue a naturaleza rllgosa de l

la pared influir en el bulto. Para

ello ser necesario tomar en cuenta rclcvitnt,es.

los tdrminos no

lineales de las ecuaciones de evolucin para las variables

En particular el kernel de colisin propuesto por Carlo Clercignarli jEc. (3.23)] ofrecc~ nosun poco ms de detalle en cuanto a la naturaleza de la pared. C o n este modelo del kernel. podemos calcular la distancia de penetracin de las partculas que colisionan de manera especular o difusiva con la pared. La idea seria superponer

dos tdrminos de este mismo

modelo, el primero de ellos que tome en cuenta las colisiones especlllares y el segundo las colisiones difusivas: adems podemos ariadir de partculas que logran atravesar la pared.

un trmino clue torne en cuenta la fraccin

Para estudiar los efectos de la energa debida a los trminos de conveccinen las c(wxioI1esde Grad, debemos manejar las ecuaciones de forma completa, es decir rnarlejar ecutcioue$IIO

lineales.

(111

inconve.tlierlte es que los crilculos analticos se complica11 demasiado. aso 2lac.w suposiciones ;acerca

q u e ma opcin es contar con algun modelo para la densidad

de la razn de corte, o recurrir a soluciones numricas de las ecmciones de evolucin paralas variables relevantes.

Apndice A

l < n este apndice se muestran algunos desarrollos demerlths. estasecuaciorlesson

las ecuaciones de Grad

en trece moen el en cuenta

usatlas paraesrudiarladinmica

(le1 gasenrarecido

flujo (louett'e plano. En part.icular- se escriben las ecuaciones de Grad tomarldolas condiciones de simetra que present'a el flujo C'ouette plano

y que adems se encuentra

en estado estacionario.

A.1

La ecuacin para la masa

(u .2)

( (l. . :i )

tlebido a que la velocidad del fluido &lo depende de la coordenada S . vemos que la ecuacitin

o .:3 'I se satisface identicamente. i

A.2

L a ecuacin del mornento-vp, -

0 . + " = o, P" Po Fm

134

parasimplificarlaecuacin ecuacin por separado

(u.4), debemos desarrollar cada uno de los trminos de

la

(-+-x dPzdX

apyx

3 4

?y

+ -) I k+ PZZ(3z

la ecuacin de arriba se reduce al introducir las condiciones de simetra

A.3

La ecuacin de la energa

deacuerdo conlascondicionesdesimetra, anterior se simplifican de la siguiente manera

los trminosqueaparecenen

l a ecuacin

clue se reduce a la expresin siguiente

A.4

La ecuacin para el tensor viscoso simtrico sin traza

La ecuacin para el tensor viscoso simtrico sin traza se escribe

'Lpo(Vu0)"

4 + -(Vq)" 5135

1"O P,

TP

( u .10)

desarrollamos cada uno de los trminos de l a ecuacin

( a .10)

tlesp114s (le tomar en cuenta l a simetra que presenta el problema de flujo laminar, tenernos

(0.14)

A.5

La ecuacin del flujodecalor(u.

1s)

que se reduce a l a expresi6n

el segundo trmino de l a ecuacin ( a . 15) se escribe como

( a .19)

Finalment'e, el tercer trmino de

l a ecuacin (a.l.5)

5

ja.20)

despus de tomar cuenta la simetra que presenta problema flujo Couette. l a ecuacicin en el

( u . 2 0 ) se escribe como(n.21)

137

Apndice B

B.1gils

Ecuacin de Boltzrnann reticular1111

I , a ctcwacin de Boltzrnann discret.a es

modelo matemitico de la teora rir1Ctica de u11

de partculas pllntuales que slo pueden accesar a un nmero finito de velocidades. La

i ( h ( l e tliscrct~izare l espacio de velocitlittles origirldnler1t.efue d e 1Iitxwell.sin embargoh~e Broadwell

[es], quien aterriz estas ideas proponiendo 1111 modelo simple

(le 1111 gas con

sblo seis \doc.idades, con el mismo modulo y dirigidas a lo largo de tlircc~ciorlesnegativas1. posit,ivas de un s i s t e m a ortogonal cartesiano.

I , a Inotivacior original de una teora cintica discret,a, fue modelar

1111

gas de

partculas

l o sllficientemente simple y proporcionar descripciones analticas de patrones de fiujo.

t:rl

l a llamada Ecuacin de BoltzrnaIm retic-dar

o Latt,ice Rolt,znlarln Equation (LBE) se(c Eu,.

cwnsidera un conjunto discreto y finito de \-elocidades de partculas, clefinicio en una red de Bravais C con dimensinc*ilt>icas cada unaocupandoun

i

=

O.

..,

bi,

D. Esta

red corlsist,e de igual celdas

(lominio espacial ~ ( , c col1 vol1mien i

AV(=

AlD).

LAS

partculas slo pueden saltar d e una celda centrada en x a u11a de las b c e l d a s vecinas (es decir, x

+ u,At)durante un intervalo de tiempo

At (= 1 por conveniencia). En principio

11no reemplaza la funcin de dist,ribucin de una partcula f (x,c , / ) por una poblacin de

est,ado Ni(x,t ) = fi(x,t ) A V . Fsicament.e N ( x , t ) es es el nmero total de partculas con velocidad u i ocupando una celda de la red en x y al tiempo t . Su dinmica es usualmente descrita por una ecuacin diferencial cintica, llamada Lattice-Boltzmann Equation

N,(x $- uznt. tdonde NL'(x,) t=

+ At)

1

)X ($ (

t)

Ni(x: ) + Ri(x, t ) es la poblacin de estado post-colisional, y R i ( x , t i tcolisin clue comunmente toma la forma de7.

es conocida como el trmino de

la llamada

ecuacin BGK con un tiempo de relajacin

En general todas las relaciones y definiel r e n -

ciones hidrodinmicas son las mismas como en un sistema cont'inuo excepto por plazamiento de

J dw por 'una sumatoria

xi.l a ) , se puede

Cuando no hay fronteras, espacio configuracio