Teoria delle code - comlab.uniroma3.it · Teoria delle code Introduzione zL’analisi e il progetto di una rete di telecomunicazione si basano su modelli quantitativi che permettono

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Teoria delle codeTeoria delle code

M. CarliM. Carli

IntroduzioneIntroduzione

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L’analisi e il progetto di una rete di telecomunicazione si basano su modelli quantitativi che permettono di stimare la qualità del servizio fornito a partire da ipotesi relative alle risorse e alle attività

Progetto:

Noterichieste di servizio qualità del servizio

Determinare:risorse necessarie

Analisi:

Noterichieste di serviziorisorse disponibili

Determinare:qualità del servizio

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Attivita’ RisorseAttivita’ RisorseLe domande

sono presentate dalle attività;sono costituite da richieste di servizio che mirano ad una utilizzazione delle risorse;sono descritte da due componenti

• “l’intensità” di richiesta di servizio nei confronti di una risorsa da parte delle attività interessate alla sua utilizzazione;

• la “quantità” di lavoro che una risorsa deve svolgere a seguito di una richiesta di servizio da parte di una attività;

sono modellabili tramite processi aleatori

Le risposteriguardano il modo di utilizzazione delle risorse come risultato della loro interazione con le attività;sono qualificate mediante numerosi parametri tra i quali si citano quelli relativi a

• il rendimento di utilizzazione• il grado di accessibilità

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RisorseRisorse

rapporto tra il valor medio della portata e la capacità della risorsaha significatività per risorse sia indivise che condivise;è misurabile, in termini pratici, solo se i fenomeni dell’interazione tra attività e risorse sono descrivibili con distribuzioni stazionarie (condizioni stazionarie);esprime la quota parte media del tempo in cui la risorsa è utilizzata in base alla domanda esistenteparametro prestazionale della risposta risultante dall’interazione tra la risorsa e le attività interessate al suo usoè una qualificazione dell’”efficienza” di utilizzazione della risorsa come risultato dell’interazionecorrisponde all'esigenza economica di limitare la quantità o la qualità delle risorse da rendere globalmente disponibili, in modo da ottimizzare il rapporto costi/benefici

rendimento di utilizzazione

numero di unità di lavoro che la risorsa svolge nell’unità di tempo, a seguito delle richieste di servizio che le sono presentate

Portata throughput

numero massimo di unità di lavoro, che la risorsa è in grado di svolgere nell’unità di tempo

riguarda esclusivamente la potenzialità della risorsa a svolgere i compiti che le sono propri

Capacità

numero di unità di lavoro che la risorsa dovrebbe svolgere nell’unità di tempo per soddisfare la domanda

Carico (load)

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RisorseRisorse

Grado di accessibilità ad una risorsa condivisaè un parametro prestazionale della risposta risultante dall’interazione tra la risorsa e le attività interessate al suo uso

misura la facilità di accesso alla risorsa come risultato dell’interazione corrisponde all’esigenza di ottenere una qualità del servizio tale da assicurare all’attività di utilizzazione una evoluzione senza limitazioni da essa percepibiliha significatività solo in ambienti che operano con risorse condivise, mettendo in evidenza i limiti connessi a questo tipo di ambienteè misurabile, in termini pratici, solo se i fenomeni dell’interazione tra attività e risorse sono descrivibili con distribuzioni stazionarie (condizioni stazionariedipende dal modo di risoluzione delle condizioni di contesa.

L’obiettivo prestazionale è assicurare, per ogni risorsa, un grado di accessibilità commisurato alle esigenze di qualità di servizio da parte delle attività di utilizzazione potenzialmente interessate a quella risorsa.

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Grado di accessibilita’Grado di accessibilita’

Funzione di Distribuzione di probabilitàdel Ritardo o PROBABILITÀ DI RITARDO

PROBABILITÀ DI RIFIUTO

ritardo di attesa e rifiuto

Orientato al ritardo con perdita

PROBABILITÀ DI RIFIUTO probabilità che una richiesta di servizio

venga rifiutata

rifiutoOrientato alla perdita

Funzione di Distribuzione di probabilitàdel Ritardoo PROBABILITÀ DI RITARDO

probabilità che una richiesta di servizio venga accolta solo con ritardo

ritardo di attesa

Orientato al ritardo

Figura di merito per il grado di accessibilitàevento caratterizzante

Modi di risoluzione

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StalloStalloSono un fenomeno tipico in un ambiente di risorse

con riferimento a due sole attività A e B, gli stati di stallo si verificano quando l’attività A conserva l’occupazione di una risorsa a in attesa della risorsa b, che è occupata dall’attività B, e quando quest’ultima ha necessità di accedere alla risorsa a per proseguire la sua evoluzione;condivise e possono compromettere l’evoluzione di

fenomeno tipico in un ambiente di risorse condivise che può compromettere l’evoluzione di due o più attività di utilizzazione;

in queste condizioni le due attività si bloccano mutuamente in un “abbraccio mortale” (dead lock).

Contromisure per il caso di risoluzione delle contese con modo a ritardo,

ricorso a temporizzatori, che conteggiano il ritardo di accesso ad una risorsa;

se il ritardo supera un valore prefissato, l’attività di gestione suppone che si sia verificato uno stato di stallo e libera le risorse utilizzate, interrompendo il servizio, a favore dell’attività di utilizzazione che la occupava;

Occorre poi recuperare il conseguente errore procedurale

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Sistemi di servizioSistemi di servizio

L’accesso a una o più risorse condivise può essere descritto da particolari modelli matematici, chiamati sistemi di servizio

Essi:

assumono come dato di partenza una caratterizzazione della domanda che le attività di utilizzazione presentano alle risorse;

schematizzano l’interazione tra attività e risorse, fornendo una rappresentazione delle modalità di gestione di questa interazione e tenendo conto in particolare delle modalità di risoluzione delle condizioni di contesa;

consentono di caratterizzare la risposta conseguente a questa interazione e quindi di valutarne i relativi parametri prestazionali

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Attivita’ di gestioneAttivita’ di gestione

Per regolare l’accesso a risorse condivise da parte delle attività di utilizzazione, le attività di gestione sono prepostea:

risolvere le condizioni di contesa;minimizzare il rischio di situazioni di stallo;attuare le strategie di assegnazione;

evitare, nei limiti del possibile, l’insorgere di fenomeni di sovraccarico.

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Condizioni di contesaCondizioni di contesaSono dovute alla concorrenza delle richieste di servizio da parte delle attività di utilizzazione, per l’accesso ad un insieme di risorse condivise;

si verificano quando tutte le risorse disponibili sono occupate a favore di altrettante attività di utilizzazione in corso di evoluzione e vengono presentate nuove richieste di servizio;

devono essere risolte assicurando equità di trattamento nei confronti dell’insieme delle attività di utilizzazione potenzialmente interessate all’accesso.

ritardo di attesa e rifiutoModo orientato al ritardo con perdita

rifiutoModo orientato alla perdita

ritardo di attesaModo orientato al ritardo

evento caratterizzanteModi di risoluzione

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Strumenti: modelli matematici per caratterizzare le richieste di servizio, descrivere l’interazione tra attività e risorse calcolare la qualità del servizio

Nelle reti di telecomunicazioni: la caratterizzazione delle richieste di servizio corrisponde alla definizione del traffico nella rete

Code:

ufficio postale, biglietteria, accettazione, assegnazione posti letto, caselli autostradali, telefono, internet, sistemi di trasporto, …

Analisi delle situazioni di congestione: teoria delle code (o delle file d’attesa).

Scopo: gestione dei sistemi di coda, ottimizzazione, valutazione economica, ...

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IntroduzioneIntroduzioneLe reti di telecomunicazioni sono rappresentabili come reti di code:

Commutazione di pacchetto ⇒ una rete di code variamente interconnesse.

Pacchetti entrano in un buffer servito da una o più linee di uscita, e vi rimangono fino al loro turno di trasmissione (servizio).

Prestazioni in termini di:Throughput (flusso netto di dati che attraversa la rete);Tempo di ritardo medio per pacchetto

Commutazione di circuito, le code sono determinate dalle richieste di connessione.

L’indisponibilita’ della risorsa non produce l'inserimento in un buffer della chiamata in corso, ma il suo rifiuto. (Sistemi bloccanti o con perdita).

Gli indici di prestazione:probabilità di blocco;ritardo medio per stabilire la connessione (dopo il quale l'unico ritardo è quello dovuto alla trasmissione e alla propagazione).

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Modello di Erlang di ordine Modello di Erlang di ordine nn

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CodaCoda

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3 componenti fondamentali:

• i serventi

• i clienti

• uno spazio in cui i clienti attendono di essere serviti(coda di attesa).

coda di attesa

clienti in arrivo

clienti in uscita

serv. 1

serv. 2

serv. m

Componenti di un servizio a codaComponenti di un servizio a coda

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Arrivo Arrivo

istanti di richiesta di servizio

durata di ciascun servizio richiesto

ttXX XX XX XX XX XXττ1 1 ττ22 ττ3 3 ττ4 4 ττ5 5 ττ66

ttXX XX XX XX XX XXττ1 1 ττ22 ττ3 3 ττ4 4 ττ5 5 ττ66

s(t)s(t) ss11

ss22 ss33

ss44ss55

ss66

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Durata del servizioDurata del servizio

Teoria del teletraffico: A. K. Erlang (1878 - 1929)

ss11

ss22

ss33

ss44

ss55

ss66

ttττ1 1 ττ22 ττ3 3 ττ44 ττ55 ττ66

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Un utente arriva nella risorsa.

• Se vi sono serventi liberi, entra nel sistema di servizio, altrimenti si mette in coda.

• Non appena un servente diventa libero, se vi sono clienti in coda, uno di essi viene scelto ed entra nel sistema di servizio.

•La scelta del prossimo utente servito, dipende dalla particolare disciplina adottata (FIFO,...)

FunzionamentoFunzionamento

Sistema = Arrivi + Coda + Servizio

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Trattamenti del servizioTrattamenti del servizio

richieste di servizio offerte

richieste di servizio rifiutate

richieste di servizio accolte

richieste di servizio

accolte con ritardo

richieste di servizio

accolte senza ritardo

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CodaCoda

Una coda è definita da:

processo degli arrivitempi di servizionumero di servitoricapacità della fila di attesadimensione della popolazione di clientidisciplina di servizio

....

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Processo degli arrivi.

•L’intervallo di tempo tra due arrivi consecutivi è detto tempo di inter-arrivo.

• Deterministico

• Stocastico

• Con distribuzione esponenziale o meno

CaratteristicheCaratteristiche

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Processo degli arriviProcesso degli arrivi

Caratteristiche:

Tempo di inter-arrivo: intervallo di tempo fra due arrivi successivi. Es: ogni 4’, 6’, 12’, 2’, 6’; inter-arrivo medio: 6’

Tasso di arrivo: numero (medio) di arrivi nell’unità di tempo. Es: 5 arrivi in 30’ - tasso: 10/h oppure 0.1666/min, 1 ogni 6’

1 2 543

4 6 12 2 6

30’

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ArriviArrivi

Tasso medio di arrivo: λ (numero clienti per unità di tempo)

Tempo medio di interarrivo: 1/λ

Il tasso non è sufficiente a descrivere un processo di arrivi. Es: 3 processi (in 30 minuti)

0 1 2 3 4 5 λ=0.2/m

0 5 10 15 20 25 λ=0.2/m

7 11 22 23 28 29 λ=0.2/m

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Distribuzioni di probabilità dei tempi di Distribuzioni di probabilità dei tempi di interinter--arrivoarrivo

“legge” più comune: esponenziale negativa:

f(t) = λe-λt

Distribuzione dei tempi di interarrivo

0,00

0,10

0,20

0,30

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Interarrival time (DRG 140) negative exponential

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Esponenziale...Esponenziale...

Una variabile aleatoria X si dice a distribuzione esponenziale se la sua densità di probabilità è la seguente:

Valore atteso: 1/λ

Una proprietà fondamentale della distribuzione esponenziale consiste nel fatto di essere senza memoria (memory less, da cui le due M nei campi relativi ai parametri A e B della notazione del sistema di code).

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N.B.

Un sistema a coda è detto markoviano quando il tempo di inter-arrivo e il tempo di servizio hanno una distribuzione esponenziale.

Equivalentemente, possiamo dire che il sistema èmarkoviano se e solo se il processo degli arrivi e il processo dei servizi sono Poissoniani.

In generale questo non è vero.

SistemaSistema

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• Processo di servizio.

Il tempo per servire un utente viene detto tempo di servizio.

•Deterministico

•Stocastico

•Con distribuzione esponenziale o meno

CaratteristicheCaratteristiche

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• Numero di serventi (m).

Può essere:

- m = 1 : servente singolo,

- m > 1 : servente multiplo,

- m = ∞ : infiniti serventi.

Si noti che in ogni caso, ogni servente può servire un solo utente alla volta.

ServentiServenti

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ServenteServente

E’ la risorsa che attua il servizio (svuotando cosi’ il contenuto di una coda).

TLC: linee e apparati.

Il servizio:il mantenimento della linea per la durata della connessione, unavolta stabilita quest'ultima attraverso i nodi di commutazione nel caso di reti a commutazione di circuito;la trasmissione del pacchetto nel caso di reti a pacchetto.

Il comportamento statistico del server è caratterizzato dalla distribuzione del tempo di servizio.

Tempo di servizio: il tempo (var.aleat.) per cui il cliente del servizio permane nel nodo;

durata della connessione per reti a commutazione di circuitotempo di trasmissione di un pacchetto per reti a pacchetto

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• Capacità della coda: numero massimo di utenti che possono stare in coda

- K ∈ N+ : capacità finita,

- K = ∞ : capacità infinita.

Nel caso in cui la coda abbia capacità finita, se un utente arriva quando la coda è piena, tale utente viene respinto.

Capacita’ della codaCapacita’ della coda

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• Dimensione della popolazione: numero di potenziali clienti. (Quasi sempre pari ad ∞).

• Disciplina di coda (o politica di servizio): politica con cui gli utenti in coda vengono ammessi al sistema di servizio.

• FIFO (First In- First Out)

• LIFO (Last In - First Out)

• SIRO (Service In Random Order)

• GD (General Discipline).

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Throughput e input rate Throughput e input rate

Buffer infinito:

throughput = input rate , se il sistema è stabile -> la coda non cresce indefinitamente;

throughput < input rate , se il sistema è instabile -> ciò che in media entra nel sistema è >= della massima capacità di servizio.

Buffer finito:Vi è la possibilità di rifiuto (blocco), -> ciò che arriva dall'esterno può o meno entrare nel sistema;Intendendo con input rate ciò che effettivamente entra nel sistema, in generale risulta

throughput = input rate < offered load.

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Coda A / B / m / K / N / ω

dove:

• A indica la modalità degli arrivi: A ∈ {D,M, Geom, G}

• D: arrivi deterministici,

• M: tempi di inter-arrivo con dist. esponenziale ->processo markoviano

• Geom.: processo arrivi di tipo markoviano discreto

• G: tempi di inter-arrivo con distribuzione qualunque.

• B indica la modalità di servizio : B ∈ {D,M,G}

• m indica il numero dei serventi: m ∈ N+ ∪ {+∞}

Notazione di KendallNotazione di Kendall

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• K indica la capacità della coda d’attesa:K ∈ N+ ∪ {+∞}

• N indica la dimensione della popolazione : N ∈ N+ ∪ {+∞}

• ω indica la disciplina della coda : ω ∈ { FIFO, LIFO, SIRO, GD}.

N.B. Gli ultimi 3 campi si omettono nel caso in cui sia K = N = ∞ e ω = FIFO.

Notazione di KendallNotazione di Kendall

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• x(t) ∈ N: numero di utenti nella risorsa all’istante t.

• Π i(t) ∈ [0,1]: probabilità che il numero di utenti nella risorsa sia i all’istante t.

• x(t) ∈ R0+: numero atteso di utenti nella risorsa

all’istante t:

• Π(z,t): funzione generatrice di probabilitàassociata a Π i(t):

∑ ⋅=∞

=0ii(t)Πi(t)x

∑ ⋅=∞

=

−

0i

ii z(t)Πt)Π(z,

Grandezze caratteristiche:Grandezze caratteristiche:

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• xc(t) ∈ N : numero di utenti in coda all’istante t.

• Π i(t) ∈ [0,1] : probabilità di avere i utenti in codaall’istante t.

• xc(t) ∈ R0+ : numero atteso di utenti in coda

all’istante t:

• Π(z,t) : funzione generatrice di probabilitàassociata a Π i(t):

≤>−=≤=

K(t)xmx(t)semx(t)(t)xmx(t)se0(t)x

c

c

c

∑ ⋅=∞

=0iic (t)Πi(t)x ˆ

∑ ⋅=∞

=

−

0i

ii z(t)Πt)(z,Π ˆˆ

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• λ(t) ∈ R0+ : tasso di arrivo (numero medio di arrivi

nell’unità di tempo all’istante t).

•1/λ(t) ⇔ tempo medio di inter-arrivo all’istante t.

• µ(t) ∈ R0+ : tasso di servizio, (numero medio di

servizi nell’unità di tempo all’istante t).

•1/µ(t) ⇔ tempo medio di servizio all’istante t.

• ρ(t) = λ(t)/mµ(t) : intensità di traffico all’istante t.

• ϑc(t) : tempo medio trascorso in coda all’istante t.

• ϑ(t) : tempo medio trascorso nella risorsa all’istante t.

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Legge di Little

Se un sistema a coda è ergodico , in condizioni di regime valgono le seguenti relazioni:

x = λ · ϑ

xc = λ · ϑc

Dato un sistema stabile al quale arrivano clienti con veocita’media λ finita, per il quale il numero medio di clienti nel sistema e’ finito, il tempo medio trascorso dai clienti nel sistema e’ pari a X / λ

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Teorema di LittleTeorema di LittleSistema a coda deterministico in equilibrio:

Entra e esce 1 cliente nell’unita’ di tempo, e nel quale osservo sempre 1 cliente, il tempo di permanenza deve essere di 1 unita’ di tempo.

Se raddoppia il tempo di permanenza, raddoppia anche il numero di clienti nel sistema.

Aggiungendo casualita’ agli arrivi e al processo di servizio, cio’ non altera le medie sul lungo periodo.

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Teorema di LittleTeorema di LittleA(t) numero medio di arrivi al tempo t

U(t) numero medio di partenze al tempo t

N(t) numero medio di utenti in coda al tempo t

Il numero di utenti nel sistema e' pari alla frequenza degli arrivi per il tempo speso nel sistema.

Indipendente dalla distribuzione delle variabili casuali

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Comportamento dei seguenti sistemi a regime:

• M/M/1 (risorsa classica)

• M/M/1/K (coda con capacità limitata)

• M/M/m (coda con un numero ns di serventi)

• M/M/∞ (coda con un numero di serventi infinito)

Hp. i processi sono ergodici.

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Coda M/M/1Coda M/M/1

Coda in cui gli arrivi si susseguono secondo un processo di Poisson

Tempi di servizio esponenziale

Tempi di inter-arrivo sono esponenziali

1 Servente

Capacita’ della fila d’attesa infinita

Popolazione dei clienti infinita

Disciplina di coda FIFO

Coda MCoda M\\MM\\11

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M/M/1

Può essere descritto come un processo di Markov nascita-morte tempo continuo in cui:

• λ (tasso di nascita costante) non dipende dallo stato;

• µ (tasso di morte costante) non dipende dallo stato

processo omogeneo e uniforme

λ µ η

Coda M/M/1Coda M/M/1

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Diagramma a statiDiagramma a statiIl sistema di code M/M/1 può essere rappresentato mediante il seguente diagramma di transizione

Nodi: stati del sistema (numero di utenti presenti)Archi: transizioni da uno stato all’altro. Agli archi sono associati i tassi di transizione da uno stato all’altro.

Partendo da uno stato n, è possibile spostarsi solo negli stati n+1 (con tasso λ) e n-1 (con tasso µ).

La probabilità pn indica la probabilità che il sistema si trovi nello stato n.

Dal diagramma di transizione è possibile dedurre che il tasso di entrata nello stato n è pari a:

24

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0 1 2 3

λ λ λ

µ µ µ

Lo stato è pari ad x(t), ossia al numero di utenti nella risorsa al tempo t.

Poiché il processo è illimitato e per ipotesi anche ergodico ⇒

1ρ <=µλ

Tempi di inter-arrivo e di servizio sono distribuiti esponenzialmente.

λ tasso di arrivoµ processo di servizio

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Diagramma a statiDiagramma a statiil tasso di entrata nello stato n è pari a:

Tasso di uscita:

0 1 2 3

λ λ λ

µ µ µ

25

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MM\\MM\\11

Perché il sistema sia in equilibrio, è necessario che, per ogni stato, il tasso di entrata sia pari al tasso di uscita.

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MM1MM1Allo scopo di determinare p0 , si deve ricordare che

Cioe’: . Essendo la serie convergente

la quantità λ/µ, (ρ tasso di utilizzo) deve essere strettamente minore di 1. Infatti, se λ > µ, il tasso di arrivo dei clienti supera il tasso di servizio e la coda tende a crescere senza limite.

26

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Parametri di valutazioneParametri di valutazione

numero medio di clienti nel sistema (in coda e nel servizio).

numero medio di clienti in coda.

tempo medio passato nel sistema da un cliente (in coda e in servizio).

tempo medio passato in coda da un cliente.tempo medio totale passato nel sistema è dato dalla somma del tempo medio passato in coda e del tempo medio di servizio).

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Se , la condizione di ergodicita’ e’ soddisfatta :

Probabilità che vi siano i clienti nella risorsa a regime

0iρ)ρΠ ii ≥−⋅= 1(

Fattore di utilizzo della risorsa a regime (probabilita’ che il servente sia occupato)

ρρ)(11Π1 0 =−−=−=υ

Dim: { } ( )01

1 1 1j

P v j ρ ρ∞

=

= Π = − Π = − − =∑

Pari all’intensita’ di traffico= velocita’ media di arrivo x tempo medio di servizioIl risultato vale per qualunque sistema a servitore singolo.

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Tasso di uscita a regime (ossia produttività del servente a regime)

λµµη ==−= ρ)Π(1 0

ρ)(1ρx−

=

Numero medio di utenti nella risorsa a regime

{ } ( )

( ) ( )( ) ( )

0 0

12

0

1

11 111

ii

i i

i

i

E N i i

i

ρ ρ

ρρ ρ ρ ρ ρρρ

∞ ∞

= =

∞−

=

= Π = − =

= − = − =−−

∑ ∑

∑

Dim.

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Numero medio di utenti nella coda:

Anche = al n. Tot clienti risorsa – n. Tot clienti in servizio

{ } ( )

( ) ( ) ( )

( )

1 1 1

00

2

1

1 11

1

c i i ii i i

i

i

E N i i

i ρρ ρ ρρ

ρρ

∞ ∞ ∞

= = =

∞

=

= − Π = Π − Π =

= − − − Π = − =−

=−

∑ ∑ ∑

∑

( )0 00 1 1 ρΠ + − Π =ρ)(1ρx−

=

28

55


Tempo medio di attraversamento della risorsa a regime (ossia tempo mediamente speso nella risorsa a regime)

ρ)(11x−

==µλ

ϑ

Tempo medio di servizio a regime

µ1

s =ϑ

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ρ)(1ρρ

ρ)(1ρρxxx

2

c −=−

−=−=−=

µλ

Numero medio di utenti in coda a regime

Essendo la coda a servente singolo:

ϑ = ϑc + 1 / µ,

per cui per la Legge di Little (ϑ = x/λ, ϑc = xc/λ) ,

x = xc + λ / µ

Numero medio di serventi occupati a regime

ρρ-1

ρ-ρ-1

ρx-xx2

cs ===

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Tempo medio speso in coda a regime

ρ)(1ρ

ρ)(1ρx 2

cc −

=−

==µλλ

ϑ

È facile quindi osservare che per ρ → 1, x, ϑ e ϑc → ∞.

Fattore di utilizzo del servente aregime ρ

mxρ s ==~

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M/M/1 con scoraggiamento degli arrivi

I tassi di arrivo e di servizio hanno distribuzione esponenziale con parametri caratteristici λ e µrispettivamente.

Ipotesi: più la coda è lunga, più un utente si scoraggia.

λ ing decresce al crescere del numero di utenti nella risorsa.

λing µλ

λabb

η

30

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Per descrivere questa coda come un processo nascita-morte facciamo le seguenti ipotesi:

1. Il tasso delle nascite λ i a partire dallo stato i è:

ossia decresce secondo una legge iperbolica all’aumentare del numero di clienti nella risorsa.

2. Il tasso delle morti µ è pari al tasso di servizio qualunque sia il numero di utenti nella risorsa.

0i1ii ≥

+= λλ

60


0 1 2 3

λ λ/2 λ/3

µ µ µ

Il verificarsi della condizione

è sufficiente per l’ergodicità del processo. Infatti se tale diseguaglianza è verificata, a maggior ragione è vero che

1ρ <=µλ

1kper11)(k

≥<+ µλ

31

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Probabilità che a regime vi siano i utenti nella risorsa

,

,,

µµµ

µ

0

3

23

0

2

1201

i

1i

i

i1i

i1i

Π3!ρΠ

3ρΠ

Π2ρΠ

2ρΠρΠΠ

1)(iρ

1)(i

0iΠΠ

==

===

+=

+==

≥=

+

++

λλλ

λ

1

1

=∑ ==∑

=∑

=

∞

=

∞

=

∞

=

ρ0

0i

i

00i

0

i0i

i

0

i

i

eΠi!ρΠΠ

i!ρ

Π

Πi!ρΠ

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0iei!ρΠ

eΠρ-

i

i

ρ-0

≥=

=

Fattore di utilizzo della risorsa a regime

ρ-0 e1Π1 −=−=ν


µµη )e(1)Π(1 ρ0

−−=−=

32

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Tasso di ingresso nella risorsa a regime (ossia tasso di utenti ammessi nel sistema a regime)

λingλ

λabb

ηA regimeingλη =

)e(1 ρing

−−=µλ

Tasso di abbandono a regime

)e1-(ρ)e(1 ρρingabb

−− +=−== µµ-λλ-λλ

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Numero medio di utenti nella risorsa a regime.

Usiamo la funzione generatrice di probabilità a regime:

ρ-ρ/zρ/zρ-

0i

iρ-ρ-i

0i

i

ρ-i

ii

0ii

eeei!1

zρeez

i!ρΠ(z)

ei!ρΠ,zΠΠ(z)

=⋅=∑

=⋅⋅∑=

=⋅∑=

∞

=

−∞

=

−∞

=

⋅−−=−==

+

= 1z

ρ/zρ-2

1zeρ

z1Π(z)

dzdx

ρx =All’aumentare dell’intensità del traffico, la condizione di regime si raggiunge con un numero di utenti nella risorsa crescente.

33

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)e-(1ρ)e-(1ρxx ρ-ρ-

ingc −=−=−=

µµ

µλ


Essendo la coda a servente singolo:

ϑ = ϑc + 1 / µ,

per cui per la Legge di Little (ϑ = x/λ, ϑc = xc/λ) ,

x = xc + λ / µ

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)e(1)e(1-ρ-

)e(1ρ- ρ

ρ

ρc −

−

− −−=

−==

µµ1

µµ1ϑϑ

Tempo di attraversamento della risorsa a regime(ossia tempo mediamente speso nella risorsa a regime)

)e(1ρx

ρing

−−==

µλϑ

Anche in questo caso è facile verificare che per ρ→1, x, ϑ e ϑc → ∞.

34

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ρ-ρ-cs e-1e-1ρ-ρx-xx =+==

Fattore di utilizzo del serventea regime

ρs e1mxρ −−==~

Tempo medio di servizio a regimeµ1

s =ϑ

68


M/M/1/K (coda con capacità limitata)

λing µλ

λabb

ηK-1


N.B. Nella notazione di Kendall, K indica il numero di clienti nella coda d’attesa mentre noi ora stiamo indicando con K il numero di clienti nell’intera risorsa.

35

69


Anche questo processo può essere studiato come un processo di nascita morte in cui:

1. Il tasso delle nascite dipende dallo stato:

2. Il tasso delle morti µ è pari al tasso di servizio qualunque sia il numero di utenti nella risorsa.

≥<= Ki0

Kii

λλ

Il sistema è quindi sempre ergodico anche nel caso in cui non sia verificata la condizione

necessaria nel caso di processi con un numero di stati infinito.

1ρ <=µλ

70


0 1 2 K

λ λ λ

µ µ µ

K-1

Probabilità di stato a regime

>=≤≤=

===

<=

≥=

+

++

Ki0ΠKi0ΠρΠ

ΠρρΠΠρΠΠ

Kiρ

0iΠΠ

i

0i

i

02

12

01

1i

i

i1i

i1i

µ

µ

λ

λ

36

71


1Πρ-1

ρ-1ρΠ1Π 0K

0i

1Ki

0K

0ii =∑ ⋅=⋅∑ =

=

+

=

1K0 ρ-1ρ-1Π +=

>

≤≤⋅= +

Ki0

Ki0ρρ-1ρ-1

Πi

1Ki

72


Fattore di utilizzo della risorsa a regime coincidente con il fattore di utilizzo del servente a regime

1K

K

1K0 ρρρ(

ρρ1Π1ρ ++ −

−=−

−−=−==1

)11

1~ν

> è ρ, > è la probabilità che il servente lavori


1K

K

0 ρ-1ρρ)Π(1 +⋅==−= -1λµ~µη

37

73


Tasso di ingresso nella risorsa a regime (ossia tasso di utenti ammessi nel sistema a regime)

λingλ

λabb

ηA regimeingλη =

1K

K

ing ρ-1ρ-1

+⋅=λλ

Tasso di rifiuto (o di abbandono) a regime

=⋅== ++ 1K

K

1K

K

ingabb ρ-1ρ-1

ρ-1ρ-1ρ -1λµ-λλ-λλ

74


= +1K

K

abb ρ-1ρ)-(1ρλλ

Per ρ→ ∞ il tasso di rifiuto → ∞.

Numero medio di utenti nella risorsa a regime.

Usiamo la funzione generatrice di probabilità a regime:

∑

⋅

−−=⋅

−−⋅∑=⋅∑=

=+

−+

=

−

=

K

0i

i

1Ki

1K

K

0i

iiK

0ii z

ρρ1ρ1z

ρ1ρ1ρzΠΠ(z)

38

75


ρ/z1ρ/z)1

ρ1ρ1zΠΠ(z)

1K

1KiK

0ii −

−⋅−

−=⋅∑=+

+−

=

(

ρ))(1ρ(1)ρKρ1)ρ(K(1Π(z)

dzdx 1K

1KK

1z −−++−=−= +

+

=

( )( )K/2(1)x

Kρx lim

0ρx lim

ρ

0ρ

=

=

=

∞→

→

76


Tempo medio di attraversamento della risorsa a regime (ossia tempo mediamente speso nella risorsa a regime)

)ρρ)(1(1Kρ1)ρ(K-1x

K

1KK

ing −−++==

+

µλϑ

( )( ) µ/

µ/

Kρ lim

1ρlim

ρ

0ρ

=

=

∞→

→

ϑ

ϑ

39

77




)ρρ)(1(11)ρ-KρK-ρ(11K

K1-K

c −−+=−=

µ)(

µϑϑ

)ρρ)(1(11)ρ-KρK-(1ρx K

K1-K2

ingcc −−+=⋅= )(λϑ

78



1K

K

s ρ-1ρ-1ρρmρx +==⋅= ~~

Tempo medio di servizio a regimeµ1

s =ϑ

40

79


M/M/m


Anche questo processo può essere studiato come un processo di nascita-morte in cui:

1. Il tasso delle nascite non dipende dallo stato:

2. Il tasso di morte dipende dal numero di utenti nella risorsa, ossia

dove µ indica il tasso di servizio di ogni servente.

ii ∀=λλ

>⋅≤⋅= mim

miii µ

µµ

80


Il sistema è ergodico se quando tutto i serventi lavorano contemporaneamente, essi sono in grado di smaltire gli utenti in arrivo, ossia se

1mm

ρ ing <⋅

=⋅

=µ

λµ

λ

Rappresentazione grafica:

0 1 m+1

λ λ

µ mµ

mλ

mµ

m-1

λ

2µ

λ

(m-1)µ

λ

mµ

41

81



0i per

ΠΠΠ i1i

i1i

i1i

≥

==++

+ µµλλ

===

===

=

===

===

==

+++

+

++

m2

1m1m2m

2m

mmm1m

1m

0m

m

m

03

3

223

3

02

2

112

2

001

1

ΠρΠm

ΠΠ

ρΠΠm

ΠΠ

Πm

Π

Π3

Π3

ΠΠ

Π2

Π2

ΠΠ

ΠΠΠ

µµ

µµ

µ!

µ!µµ

µµµ

µµ

λλ

λλ

λ

λλλ

λλλ

λλ

82


⋅=

⋅=

⋅=

⋅=

⋅=

⋅=

+

+

0

m2

2m

0

m

1m

0

m

m

0

3

3

0

2

2

01

Πm!ρ)mρΠ

Πm!ρ)mρΠ

Πm!ρ)mΠ

Π3!ρ)mΠ

Π2!ρ)mΠ

Πρ)mΠ

(

(

(

(

((

>⋅

≤⋅

=miΠ

m!ρm

miΠi!ρ)m

Π0

im

0

i

i

(

42

83


ρ)(1m!ρ)(m

i!ρ)(m

1Π

1Πρ)(1m!

ρ)(mi!ρ)(m

Πρm!ρ)(m

i!ρ)(m

Πm!

ρmi!ρ)(m

1ΠΠΠ

m1m

0i

i0

0

m1m

0i

i

00i

im1m

0i

i

0mi

im1m

0i

i

mii

1m

0ii

0ii

−⋅⋅

∑ +⋅=

=

−⋅

⋅∑ +⋅

=

∑

⋅∑ +⋅

=

∑

⋅∑ +⋅

∑ =∑ +∑ =

−

=

−

=

∞

=

−

=

∞

=

−

=

∞

=

−

=

∞

=

84



m)Pr(xmΠix i1m

0is ≥⋅+∑ ⋅=

−

=

Si dimostra che ρmxs ⋅==µλ

Fattore di utilizzo di un singolo servente a regime

ρmxρ s ==~

43

85


Tasso di uscita a regime λ=η


Si dimostra che 02

1mmΠ

ρ)m!ρmρmx−⋅+⋅=

+

1(

Tempo medio di attraversamento della risorsa a regime

λx=ϑ

86



ρm-xx-xx sc ⋅==

Tempo medio di attesa in coda a regime

µλ1x

c −=ϑ

44

M/M/∞

88


M/M/∞

Questo tipo di risorsa è particolarmente semplice da studiare in quanto il numero di utenti nella coda d’attesa è sempre pari a 0 essendovi infiniti serventi.

Anche questo processo può essere studiato come un processo di nascita-morte in cui:

1. Il tasso delle nascite non dipende dallo stato:

2. Il tasso di morte dipende dal numero di utenti nella risorsa, ossia

dove µ indica il tasso di servizio di ogni servente.

ii ∀=λλ

iii ∀⋅= µµ

45

89


Il processo è ergodico ∀ λ , µ > 0.

Rappresentazione grafica:

0 1 2 3

λ λ λ

µ 2 µ 3 µ

λ

4 µ


0i perΠ1)(i

1ρΠ1)(i

ΠΠ iii1i

i1i ≥

+=

+==

++ µµ

λλ

90


=

==

==

=

0

i

i

0

3

23

0

2

12

01

Πi!ρΠ

Π3!ρΠ

3ρΠ

Π2!ρΠ

2ρΠ

ΠρΠ

0iei!ρΠ

eΠ

1ΠeΠi!ρΠ

1Π

ρ-i

i

ρ-0

0ρ

00i

i

0

0ii

≥=

=

==∑ =

∑ =

∞

=

∞

=

1

46

91


Osservazione: La probabilità di stato a regime coincide in questo caso con quella relativa ad una risorsa M/M/1 con scoraggiamento degli arrivi. Naturalmente il comportamento della risorsa è però completamente diverso. Ciò evidenzia chiaramente come la probabilità di stato a regime, vista singolarmente, non è rappresentativa.

Fattore di utilizzo della risorsa a regime

ρ0 e1Π-1 −−==υ

92


Tasso di uscita a regime λη =


Si dimostra che ρx =

N.B. È chiaramente lo stesso della risorsa M/M/1 con scoraggiamento degli arrivi in quanto sono le stesse le probabilità di stato a regime.

47

93


Tempo medio di attraversamento della risorsaa regime

µλλ1ρx ===ϑ

Tempo medio in coda a regime 0c =ϑ

Lunghezza media della coda a regime

0x cc =⋅= λϑ

94


Fattore di utilizzo di un singolo servente a regime

0ρ =~


ρxs =

Tempo medio di servizio a regime

µ1

s =ϑ

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Teoria delle code - comlab.uniroma3.it · Teoria delle code Introduzione zL’analisi e il progetto di una rete di telecomunicazione si basano su modelli quantitativi che permettono