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Teoria do Escoamento Compressivel J. R. Simões Moreira 53
AULA 4 - REFLEXÃO DE UMA ONDA DE CHOQUE
Suponha uma onda de choque oblíqua incidente sobre uma parede plana no ponto B. Para
satisfazer a condição de que as linhas de corrente devem ser paralelas à superfície sólida, a
onda de choque deve ser refletida em um ângulo tal que o paralelismo seja satisfeito, como
esquematizado na figura abaixo. Veja figura
A onda de choque criada no ponto A atinge a parede plana no ponto B. As linhas de
corrente no campo ”2”são inclinadas do ângulo . Em “B”, a onda de choque deve ser
refletida de forma tal que a condição de paralelismo à parede plana das linhas de corrente
da região “3” seja satisfeita.
Note que:
(1) As propriedades do campo “2” estão unicamente determinadas a partir de M1 e
do canto que originou a onda de choque obliqua no ponto A.
(2) Porque M2 < M1, a intensidade da onda de choque incidente na parede plana é
diferente da intensidade da onda de choque que é refletida. Isto significa que o
ângulo de reflexão é diferente do ângulo de incidência 1 (veja esquema da
figura acima). Portanto, conclui-se que a reflexão de uma onda de choque não é
especular!
Teoria do Escoamento Compressivel J. R. Simões Moreira 54
Exemplo resolvido
Considere um escoamento supersônico de M1 = 2,5, pressão de 1 bar e temperatura de 350
K. O escoamento passa por um canto e é defletido de 14º. A onda de choque oblíqua
produzida é refletida numa parede horizontal como indicado na figura da página anterior.
Calcule o ângulo de reflexão , o número de M3, pressão e temperatura atrás da onda
refletida (campo “3”).
Da tabela D.3 (Thompson) ou da relação --M (eq. 3.20) para M1=2,5 e
=14º º87,351
Da (eq. 3.14) 47,1465,187,35sen 5,2sen 1111 NN MMM
Da tabela D.2 para MN1=1,47
300,1
354,2
712,0
1
2
1
2
2
TT
PP
M N
Da eq. (3.19)
90,191,11487,35sen
712,0
)sen( 1
2
2
NMM
Da tabela D.3 para 90,12 M e º55,4614 2
Seja M’N2 a componente normal de M2 em relação à onda refletida.
Então, 55,46sen90,1sen 22
'
2 MM N ou 38,1'
2 NM
Da tabela D.2 38,11
2 NM
242,1
055,2
7483,0
2
3
2
3
3
TT
PP
M N
39,139,1
1455,46sen
7483,0
sen3
2
3
3
MM
M N
barPPP
P
P
PP 84,41354,2055,2 31
1
2
2
3
3
K 1,565311
2
2
33 TT
TT
TT
T 55,321455,462
para facilitar o uso das
tabelas do Thompson
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INTERSECÇÃO DE ONDAS DE CHOQUE DE DIFERENTES FAMÍLIAS
Considere a intersecção de duas ondas de choque de intensidades distintas, isto é,
produzidas por diferentes ângulos de deflexão.
As ondas de choque A e B encontram-se no ponto E, ao se cruzarem, sofrem uma pequena
deflexão. Note que as linhas de corrente 1 e 2 passam por ondas de choque de
intensidades diferentes. Isto faz com que elas produzam os campos 4 e 4’ que são também
de características distintas. Para satisfazer esta desigualdade, uma linha de escorregamento
é criada separando os dois campos 4 e 4’.
As seguintes condições devem ser satisfeitas através da linha de escorregamento.
(1) A pressão em ambos os lados devem ser iguais P4=P’4.
(2) As velocidades devem ser na mesma direção (não necessariamente de mesma
magnitude)
Estas duas condições em conjunto com M1 e 2 e 3 determinam completamente os
campos 4 e 4’.
Temperatura, densidade, entropia e velocidade são diferentes através da linha de
escorregamento.
Veja exemplo 7.9 do Thompson (pg. 343)
Outro nome dado à linha de escorregamento é o de superfície de contato.
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INTERSECÇÃO DE ONDAS DE CHOQUE DE MESMA FAMÍLIA
Se duas ondas de choque são produzidas sucessivamente na mesma parede, então uma
configuração semelhante a da figura abaixo será obtida.
As duas ondas de choque AO e BO vão se juntar no ponto O e formar uma única onda de
choque OC. Esta geometria é diferente do caso anterior em que as ondas de famílias
distintas se cruzavam. (veja item 4.9 do Anderson para mais detalhes). Por causa que uma
linha de corrente que passa pelas ondas AO e BO (2) experimenta uma variação de
pressão diferente do que a linha de corrente 1 que passa através da onda OC, um reflexão
fraca OE é produzida a fim de que as pressões sejam equalizadas através da linha de
escorregamento. Esta reflexão fraca pode tanto ser uma onda de expansão ou de
compressão dependendo da geometria e do valor de M1.
Novamente, as condições (1) e (2) devem ser satisfeitas através da linha de
escorregamento.
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REFLEXÃO DE MACH
Já foi visto que quando uma onda de choque incide sobre um canto ou cunha com ângulo
de deflexão (giro) maior que max para o dado Mach de incidência, uma onda de choque
curva será formada, ao invés da onda de choque oblíqua reta iniciada junto à extremidade
da cunha ou canto. Agora, o que acontece se ângulo de deflexão for menor que max para
M1, porém maior que max para M2? Isto está ilustrado na figura abaixo.
A geometria resultante da onda de choque refletida não será mais uma reta, como estudado
até o presente. Na verdade, observa-se que uma onda de choque quase-normal é formada
próximo a parede. Atrás dessa onda o escoamento se torna subsônico (M<1) e uma linha de
escorregamento é formada para separar a região subsônica da região supersônica do
escoamento. Um ponto triplo é formado junto as três ondas de choque. A posição e as
condições desse ponto triplo não podem ser determinadas de imediato. A solução
(numérica) depende das condições à jusante do escoamento. Técnicas numéricas devem ser
empregadas (vide Anderson).
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DESCOLAMENTO DA ONDA DE CHOQUE
Até o presente momento estudou-se onda de choque oblíqua na qual esta permanecia
colada ao canto ou cunha, isto é, casos em que < max para um dado M1. Suponha agora
casos em que > max. Neste caso, a onda de choque vai se descolar e se curvar à frente do
corpo como ilustrado abaixo para uma cunha e um corpo bojudo, ambos com > max.
Note que, nesta situação, a cunha se comporta como um corpo bojudo do ponto de vista do
escoamento.
As seguintes observações são válidas para a geometria da próxima página.
Num corpo bojudo (ou cunha) com > max, uma onda de choque curva é formada a uma
distância em frente desse obstáculo. O ponto “a” corresponde à solução da onda de
choque normal, a qual traz o escoamento para a condição subsônica. Na medida que se
afaste do ponto “a”, inclinação da onda de choque tende ao ângulo de Mach e a onda de
choque se torna cada vez menos “intensa”, o que ocorre num ponto distante ”e”. Todas as
possíveis soluções para um dado M1 no diagrama --M são obtidas. Acompanhando a
figura à direita da próxima página, o ponto “a” (isto é, = 0o e = 90
o) corresponde à
solução normal. Um ponto “b” na parte superior do diagrama corresponde à solução
intensa, onde o escoamento é subsônico. Na medida que se afasta de “a”, uma inclinação
máxima das linhas de corrente é obtida em “c” (max), porém a solução de maior
intensidade ainda é obtida e M2<1.
Teoria do Escoamento Compressivel J. R. Simões Moreira 59
Fonte: Anderson (1990)
A condição sônica é obtida em c’ e, a partir deste ponto, todas as soluções serão
supersônicas, isto é, d e e .
Assim, o campo de velocidades atrás de uma onda de choque curva sobre um corpo bojudo
é uma mistura de soluções subsônicas e supersônicas, separadas pela linha sônica de M=1.
A forma e a distância de deslocamento da onda de choque curva, além do campo de
velocidades, requer solução numérica. Até o final da década de 50, a distância de
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deslocamento era conhecida apenas através de medições experimentais, ocasião em que foi
escrito o livro de Liepmann e Roshko (1957).
Como nos informa Anderson, só mais tarde com o desenvolvimento de métodos
computacionais é que o problema começou a ser resolvido. A próxima figura apresenta
alguns dados experimentais disponíveis na época em que Liepmann e Roshko escreveram
seu livro clássico.
Fonte: Liepmann e Roshko (1957)
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ONDAS DE EXPANSÃO DE PRANDTL – MEYER
Quando um escoamento supersônico encontra um canto côncavo, uma onda de choque
oblíqua é formada, como estudado acima. Entretanto, se o canto for convexo, uma região
de expansão do escoamento será obtida.
As seguintes observações foram obtidas de Anderson:
1. M2>M1. Consequentemente, um canto de expansão acelera o fluido.
2. 11
2 P
P ; 1
1
2
; 1
1
2 T
T. Pressão, densidade e temperatura diminuem ao longo
de um canto de expansão.
3. A região de expansão é limitada à esquerda pela onda de Mach frontal
1
11
Marcsen e à direita pela onda traseira
2
21
Marcsen . A região é
formada por uma quantidade infinita de ondas de Mach, as quais são chamadas de
“leque de expansão” (“expansion fan”).
4. Linhas de correntes são contínuas, suaves e curvas.
5. A expansão é isoentrópica.
Teoria do Escoamento Compressivel J. R. Simões Moreira 62
Através de geometria e relações trigonométricas (vide Anderson), pode-se chegar à
seguinte equação diferencial para a região de expansão.
V
dVMd 12 (4.1)
Note que esta equação é válida para qualquer fluido e condições de escoamento.
Especializando para gás perfeito com constante, tem-se que:
M
dM
MV
dV
2
2
11
1
(4.2)
Substituindo em (4.1), tem-se
C
M
dM
M
Md
2
2
2
11
1
a integral acima é a função de Prandtl – Meyer e recebe o símbolo (M). Note (M) é
função somente do número de Mach (para const.), de forma que o resultado desta
integral é:
111
1
1
1)( 22
MarctgMarctgM
(4.3)
a constante de integração C é escolhida tal que 0)( M quando M=1. Assim,
122 MM (4.4)
A função de Prandtl – Meyer encontra-se tabelada nas referências citadas. O valor máximo
de é obtido quando M , cujo limite vale:
1
1
1
2max
(radianos)
para 4,1 º46,130max
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TEORIA DAS ONDAS DE EXPANSÃO (Liepman e Roshko)
Até o presente estudou-se, em separado, ondas de choque oblíquas e ondas de expansão.
Muitos problemas de escoamentos supersônico podem ser resolvidos analisando em
separado cada um dos fenômenos.
Considere um aerofólio no formato de um diamante, como ilustrado abaixo juntamente
com a curva de distribuição de pressão sobre o mesmo.
A onda de choque comprime o fluido de P1 até P2. Em seguida o fluido experimenta uma
expansão até P3 e, finalmente, o fluido é novamente comprimido até P4 (que é aprox. P1)
via uma onda de choque. Devido a diferença distribuição de pressões nos campos 2 e 3,
uma nova forma de arrasto é produzida. Trata-se de um arrasto de onda supersônica, dado
por:
32 PPD (4.5)
Na forma da eq. (4.5), o arrasto está dado por unidade de comprimento do aerofólio. Note,
que este arrasto ocorre em escoamento invíscido e não está associado nem com os
fenômenos de descolamento ou de atrito.
Teoria do Escoamento Compressivel J. R. Simões Moreira 64
O próximo exemplo refere-se a um aerofólio curvo.
O terceiro exemplo apresenta uma placa plana com ângulo de ataque 0 . Na parte superior
o escoamento sofre uma expansão, enquanto que na parte inferior, ele sofre compressão.
Neste caso, ocorrem tanto a presença de forças de sustentação L e de arrasto, dadas por:
L = (P’2 – P1) C cos 0, e (4.6a)
D = (P’2 – P1) C sen 0 (4.6b)
onde C é o comprimento da placa (corda)
Uma vez que linhas de corrente acima e abaixo experimentam diferentes variações de
propriedades, uma linha de escorregamento é formada na borda de saída.
