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Teoria do Escoamento Compressivel J. R. Simões Moreira 77

Aula 6 - ESCOAMENTO DE FANNO e COM TROCA DE CALOR

ESCOAMENTO DE FANNO

O escoamento de Fanno refere-se ao escoamento unidimensional em dutos de seção

transversal constante e adiabático (T0=const.) em que o atrito do fluido com a tubulação

não pode ser desprezado. O atrito superficial altera os estados termodinâmicos do fluido.

Para dar início ao estudo, as equações unidimensionais para o escoamento de Fanno podem

ser deduzidas considerando um volume de controle adiabático com atrito na parede, como

ilustrado no esquema abaixo.

A influência do atrito é analisada a partir da definição do fator de atrito, f, definido por

2

2

1V

fp

, onde é a tensão de cisalhamento na parede do duto, é a densidade do

fluido e V é a velocidade média. O fator de atrito é geralmente empregado para escoamento

de líquidos incompressiveis. De uma forma geral, f depende do número de Reynolds, Re, e

da razão /D, onde é a rugosidade média absoluta e D, o diâmetro da tubulação. A função

f =f(Re, D) constitui o diagrama de Moody. Para escoamento supersônico existe discussão

a respeito da validade completa, ou melhor, da validade de extrapolar os resultados

subsônicos para supersônicos. Isto devido à grande variação das propriedades no caso

supersônico.

Usando o volume de controle diferencial e unidimensional indicado na figura acima, pode-

se realizar o seguinte balanço de forças e quantidade de movimento para um tubo circular

(após algumas manipulações):


dxD

uddP p 4)( 2 (6.1a)

mas, da lei da conservação de massa, sabe-se que u = const., de forma que

.)()( 2duuduuuudud Agora, substituindo na equação da conservação da

quantidade de movimento acima, vem:

dxD

duudP p 4)( (6.1b)

Agora, usando a definição do coeficiente de atrito, vem

D

fdxuduudP

4

2

1)( 2 (6.1c)

Essa expressão agora pode ser manipulada para o caso de gás perfeito e número de Mach.

Fica como exercício mostrar que a seguinte expressão será obtida para essa situação

M

dM

M

M

MD

fdx

2

2

2

12

11

124

(6.2a)

Finalmente, após integração entre duas seções de interesse, obtém-se:

2

1

2

12

2

2

2

11

12

114

M

M

x

x M

Mn

MD

fdx

(6.2)

Uma vez que o escoamento é adiabático, as relações de propriedades entre dois pontos do

escoamento são dadas por:

2

2

2

1

2

0

1

0

1

2

12

12

M

M

TT

TT

T

T

(6.3)


21

2

2

2

1

2

1

1

2

12

12

M

M

M

M

P

P

(6.4)

21

2

2

2

1

2

12

12

12

M

M

M

M

, e (6.5)

12

1

2

1

2

2

2

1

01

02

12

12

M

M

M

M

P

P (6.6)

seja 1 a condição de reservatório, de forma que M1=0 e 2 uma condição qualquer, então:

h

hM

T

T 020

2

11

(6.7)

Na condição sônica 2

1

*

0

T

T

A segunda lei pode ser escrita como:

2

1

0

2

1

2

1

2

1

0

2

1

1

21

T

T

T

TIn

C

s

p

, (6.8)

mas lembrando ainda que ,000 T

T

TC

TC

h

h

p

p conclui-se que a expressão acima é a chamada

linha de Fanno no diagramas sh ou ,sT dependendo de qual variável se deseja na

ordenada.


Observando a curva h – s, acima, as seguintes observações podem ser traçadas:

Tendências M>1

(supersônico)

M<1

(subsônico)

Número de Mach Diminuir Aumentar

Pressão Aumentar Diminuir

Temperatura Aumentar Diminuir

Pressão de estagnação Diminuir Diminuir

Velocidade Diminuir Aumentar

Outra observação importante, é que, sendo o atrito inerentemente irreversível, a tendência

de todos os estados termodinâmicos é de se aproximar da condição sônica (*) ou de M = 1,

como ilustrado pelas setas na figura acima.

Voltando à eq. (6.2), seja 0x na seção em que M1 = M e M2 a condição sônica, então,

usando essa nova nomenclatura, tem-se:

2

2

2

2

max

2

112

1

2

114

M

MIn

M

M

D

Lf

(6.9)

onde, o fator médio de atrito é dado por max

0max

1L

fdxL

f .

O valor Lmax indica o tamanho máximo do duto para que um dado escoamento a um certo

número de Mach (subsônico ou supersônico) se torne sônico. Olhando no diagrama h – s

acima, seria o comprimento correspondente ao caso em que a entropia se torna máxima,

como indicado.

Ainda da eq. (6.9), pode-se determinar o comprimento de duto necessário para que um

dado escoamento com número de Mach igual a M1 atinja M2, qual seja:

21

maxmax 444

MMD

Lf

D

Lf

D

Lf

(6.10)


A função da eq. (5.9) encontra-se tabelada em muitos livros de escoamento compressivel.

Uma tabela dessa expressão encontra-se na seção de anexos.

Atrito se torna muito sério para escoamento supersônico. Assumindo o valor médio do

fator de atrito igual a 0025,0f , a seguinte tabela indica o número de diâmetros

necessários para que o escoamento atinja a condição sônica a partir de um certo número de

Mach. Por exemplo, para M = 0,25, o comprimento máximo é de 850 diâmetros. Já para

um M =1,5, em apenas 15 diâmetros o escoamento se torna blocado ou sônico. De uma

forma mais geral, verifica-se que qualquer um escoamento supersônico vai se tornar sônico

em algo de no máximo 82 diâmetros (para esses dados). Assim, verifica-se que o atrito é

substancialmente mais sentido no caso supersônico. Como conseqüência cuidados

especiais devem ser tomados quando se estiver trabalhando com escoamento supersônico

interno a dutos.

M 0,0 0,25 0,50 0,75 1 1,5 2 3

Lmax/D 850 110 12 0 14 31 52 82

A pergunta natural seguinte é: O que acontece quando acrescenta-se um comprimento de

duto adicional ao valor máximo Lmax? Abaixo analisam-se os dois regimes de escoamento.

Subsônico – o número de Mach inicial M1 vai ser diminuído de forma que a condição

sônica seja atendida à saída do tubo. Isto é, o tubo estará blocado por atrito.

Supersônico – Uma onda de choque é formada no duto que se movimenta à montante na

medida que o comprimento do tubo é aumentado. Em continuando o aumento do tubo, o

choque encontra a entrada do mesmo e faz com que ele se movimente para dentro do bocal

que o alimenta. Em se atingindo essa situação, o tubo inteiro se torna subsônico. Qualquer


aumento do tamanho do duto faz com que a onda de choque se movimente para a garganta

do bocal. Finalmente, um aumento adicional torna o escoamento completamente subsônico

com redução de vazão mássica.

APLICAÇÕES DO ESCOAMENTO DE FANNO COM BOCAIS

Em muitas situações práticas, tubos ou dutos operam em conjunto com bocais. Por

exemplo, o escoamento supersônico na entrada de um duto é geralmente estabelecido com

a ajuda de um bocal de Laval ou convergente-divergente. Assim, é importante se

analisarem os efeitos do bocal acoplado com tubo. No fim da seção acima já se apresentou

de uma forma muito breve os possíveis efeitos. Agora, se estudam com mais detalhes esses

fenômenos. Deve-se fazer uma distinção se o bocal é só convergente ou se é um bocal

convergente-divergente. Primeiramente vai se estudar o caso anterior e depois o segundo

caso.

Sistema bocal convergente isoentrópico e duto com atrito

O esquema de um desses arranjos está ilustrado abaixo. Nesse sistema, um bocal

convergente isoentrópico alimenta um duto.


O comportamento da operação do sistema bocal-duto acima pode ser descrito como segue.

Se a pressão ambiente, Pamb, for igual a pressão de reservatório, P0, não deverá ocorrer

escoamento no bocal. Na medida que a pressão que a pressão ambiente é reduzida,

verifica-se o escoamento no sistema. Em continuando a diminuição da pressão ambiente,

vazões crescentes de massa e de velocidade (e número de Mach) do fluido são observados.

Esse processo continuará até que a condição sônica seja atingida na seção de saída do duto,

quando a máxima entropia do sistema terá sido alcançada. Isso é ilustrado nos diagramas

abaixo para o caso sônico ou blocado. No diagrama de distribuição de pressões, a pressão

cai continuamente e se estabelece num dado valor na seção de saída correspondente ao

caso blocado. Já analisando o diagrama h – s, vê-se que o escoamento interno ao bocal

desde a linha de reservatório, h0 é uma vertical (reta 0 – a), depois o escoamento segue a

linha de Fanno até a condição de blocagem (M = 1). No caso subsônico o escoamento na

seção de saída corresponderia a condição de que a pressão nessa mesma saída seria a

pressão ambiente e um número de Mach menor que a unidade seria alcançado.


EXEMPLO (exemplo 7-4 extraído do Hodge e Koenig, p 267)

Um bocal convergente é alimentado por ar de um reservatório a 100 psia e 500R é

acoplado a um duto de seção reta constante. O diâmetro do duto vale 0,1 pé, e o fator de

atrito médio é de 0,0025. Para os comprimentos de duto de 0, 10 e 100 pés, determine a

máxima pressão ambiente (back pressure) para a qual o escoamento é blocado. Qual a

porcentagem de redução de vazão mássica causada pela inserção dos dois pedaços de

dutos?




Sistema bocal convergente-divergente isoentrópico e duto com atrito

O esquema abaixo ilustra o caso de um arranjo de bocal convergente-divergente com um

duto. Diferentemente do caso anterior, tanto escoamento subsônico e supersônico podem

estar presentes. Além disso, ondas de choque também podem aparecer. De forma que há

diversas possibilidades.

Deve-se distinguir se o comprimento do duto é maior ou menor que o máximo valor

admissível para o caso sem choque. Os dois casos devem ser analisados em separado.

Primeiramente, considere o caso em que L < Lmax e a pressão ambiente vai sendo

diminuída a partir da pressão de reservatório. Os esquemas das próximas figuras ilustram

as diversas possibilidades. A figura (1) no topo indica o arranjo bocal conv.-div. e duto

com L < Lmax. As distribuições de pressão para diversas pressões ambientes estão

indicadas na figura (2). Na medida que a pressão ambiente vai sendo reduzida, as curvas de

distribuição de pressão no arranjo vão de “a” para “e”, como mostrado. No caso “a”, o

escoamento permanece inteiramente supersônico, como indicado no diagrama h – s da

figura (3). O caso “b” indica a situação em que o escoamento se torna sônico na garganta

do bocal, porém continua supersônico no resto do sistema e corresponde à figura (4). No

caso seguinte, “c”, uma onda de choque é formada na porção divergente do bocal, como

indicado pela linha pontilhada na figura (2) e também na figura (5). Para pressões

ambientes ainda menores, a onda de choque normal da região divergente se movimenta

para a saída do bocal, como é o caso da curva “d”, também representada na figura (6).

Finalmente, para pressões ambientes suficientemente baixas, a onda de choque vai se

movimentar para a seção de saída do duto como esquematizado pelo caso “e”. Note que

essa é a única condição que permite um escoamento supersônico interno ao duto. Em

termos do diagrama h – s correspondente, o ramo inferior supersônico é atingido e o

escoamento segue esse caminho até a saída quando ocorre uma onda de choque normal (3

– 3 na figura 7). Note que em nenhum caso ocorreu blocagem na seção de saída (M = 1).


Diversas figuras indicando as condições de L < Lmax para um arranjo bocal convergente-

divergente e duto.


As próximas figuras indicam o caso em que L > Lmax . O mesmo comportamento ocorre até

a situação “d” quando a onda de choque se encontra na saída da seção divergente do bocal.

A partir daí, a situação muda, já que uma onda de choque pode ser formada dentro do duto,

como indicado na situação “e”. Nesses casos, uma porção do duto será supersônica, enquanto que a outra será subsônica, separadas por uma onda de choque normal. Para

pressões ambiente muito baixas, a condição de M = 1 poderá também ser alcançada na

seção de saída do duto.

Diversas figuras indicando as condições de L > Lmax para um arranjo bocal

convergente-divergente e duto.

(J [q E. b ni ix f'Ll-

3.8 0NE-DIMENSIONALFLOW WITHIH=ATADDI'HON

Piut ' Pzuz

PI + Ptzz? ' Pz + Pzuz

(3.2)

(3.5)

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