Métodos Estatísticos BásicosAula 5 - Teoria dos conjuntos

Prof. Regis Augusto Ely

Departamento de EconomiaUniversidade Federal de Pelotas (UFPel)

Abril de 2014

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De�nições básicas

Conjunto: é uma coleção de objetos, sendo representados por letrasmaiúsculas, A, B, etc.Ex: A={1, 2, 3, 4, 5, 6} => Resultados possíveis de um lançamentode dado.Ex: B={x/0 ≤ x ≤ 1} => Composto pelo intervalo [0,1].

Elementos: são os objetos que compõem o conjunto.Ex: 3 ∈ A, 0, 5 ∈ B,2 /∈ B.

Conjunto vazio: é o conjunto Ø, que não contém nenhumelemento.

Subconjuntos: se, dados dois conjuntos A e B, x ∈ A => x ∈ B,então dizemos que A é um subconjunto de B, A ⊂ B. Se tambémvale que B ⊂ A, então os dois conjuntos são iguais, A = B.

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De�nições básicas

Dizemos que o conjunto vazio é subconjunto de qualquer outroconjunto, ou seja Ø ⊂ A, Ø ⊂ B.

Conjunto fundamental: é o conjunto U de todos os objetos queestão sendo estudados, de forma que A,B ⊂ U.

Note que para qualquer conjunto A, temos � ⊂ A ⊂ U.Ex: U = R, A = {x |x2 + 2x − 3 = 0},B = {x |(x − 2)(x2 + 2x − 3) = 0}, C = {−3, 1, 2}.Prove que A ⊂ B ⊂ U e B = C .

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De�nições básicas

Há duas operações fundamentais sobre os conjuntos, a união e ainterseção.

C é a união de A e B se C = {x |x ∈ A e/ou x ∈ B}. Assim,C = A ∪ B.

D é a interseção de A e B se D = {x |x ∈ A e x ∈ B}. Assim,D = A ∩ B.

Conjunto complemento: é o conjunto A que contém todos oselementos que não estão em A, mas estão no conjunto fundamentalU. Assim, A = {x ∈ U|x /∈ A}.

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Propriedades das operações de conjuntos

Leis comutativas:

a) A ∪ B = B ∪ A.b) A ∩ B = B ∩ A.

Leis associativas:

c) A ∪ (B ∪ C ) = (A ∪ B) ∪ C .d)A ∩ (B ∩ C ) = (A ∩ B) ∩ C .

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Propriedades das operações de conjuntos

Outras propriedades:

e)A ∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C ).f) A ∩ (B ∪ C ) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C ).g) A ∩ /O = /O.h) A ∪ /O = A.i) (A ∪ B) = A ∩ B.j) A ∩ B = A ∪ B.

k) A = A.

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Diagramas de Venn

Diagrama de Venn: representação grá�ca das operações deconjuntos, sendo a região sombreada o conjunto sob exame.

A ∪ B

A ∩ B

A

Exercício: demonstre as propriedades e, f, j, i e k com Diagramas deVenn.

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Produto cartesiano

Produto cartesiano: o produto cartesiano de A e B, é o conjuntoA× B = {(a, b)|a ∈ A, b ∈ B}, ou seja, é composto pelos paresordenados nos quais o primeiro elemento é tirado de A e o segundode B.Ex: A = {1, 2, 3}; B = {1, 2, 3, 4};AxB = {(1, 1), (1, 2), ..., (1, 4), (2, 1), ..., (2, 4), (3, 1), ..., (3, 4)}.Note que A× B 6= B × A.

A noção de produto cartesiano pode ser estendida, de modo queA1 × A2 × ...× An = {(a1, a2, ..., an)|ai ∈ Ai}.

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Conjuntos enumeráveis

O número de elementos que um conjunto possui será de grandeimportância para nós, pois veremos que em probabilidade, ospossíveis resultados de um experimento são expressos comoelementos de um conjunto.

Conjunto �nito: um conjunto A é �nito se existir um número �nitode elementos nele. Ex:A = {a1, a2, ..., an}.Conjunto enumerável: um conjunto B é enumerável, ou in�nitoenumerável, se existir uma correspondência biunívoca entre oselementos de B e os números inteiros positivos. Ex: N ={1, 2, 3, ...},B = {2, 4, 6, 8, ...}.Conjunto in�nito não-enumerável: um conjunto C é in�nitonão-enumerável se possuir um número in�nito de elementos que nãopodem ser enumerados. Ex: C = {x |a ≤ x ≤ b} para quaisquernúmeros reais b > a. Note que qualquer intervalo (não-degenerado)contém mais do que um número contável de pontos.

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