Apresentamos aqui alguns exerccios resolvidos sobre a Teoria de Conjuntos. Tais exerccios so utilizados estudo de Anlise na reta, embora devessem estar em algum tpico relacionado com a Teoria dos Conjuntos. 1. Provar que se A , isto , A um subconjunto do conjunto vazio, ento A=. Dem: O conjunto vazio um subconjunto de todo conjunto e em particular A. Por hiptese, A , pois A um subconjunto do conjunto vazio. Como A e A, por definio de igualdade de conjuntos, segue que A=. 2. Provar que A B=B A (Comutatividade). Dem: Seja y(A B). Ento yA ou yB. Pela equivalncia lgica pq qp segue que yB ou yA. Logo yB A. Conclui-se que A B=B A. 3. Provar que A B=B A (Comutatividade). Dem: Seja x(A B). Ento xA e xB. Pela equivalncia lgica pq qp segue que xB e xA. Logo xB A. Conclui-se que A B=B A. 4. Provar que A e B so subconjuntos de A B. Para a prova, deve-se demonstrar as incluses: (a) A (A B) e (b) B (A B). Dem de a: Seja xA. Pela implicao lgica p ou xB. Logo xA B e segue que A (A B). pq segue que xA pq segue que

Dem de b: Se xB, ento pela implicao lgica q xB ou xA. Logo xB A.

Como a reunio de conjuntos comutativa, segue que xA B, logo B (A B). Portanto A e B so subconjuntos de A B. 5. Provar que A=A A (Idempotncia). Deve-se mostrar que: (a) A (A A) e (b) (A A) A.

Dem de a: Como A (A B), tomando B=A segue que A (A A). Dem de b: Seja xA A. Segue que xA ou xA. Pela implicao lgica pp p segue que xA. Logo, (A A) A.

Como A (A A) e (A A) A, ento pela definio de igualdade de conjuntos, conclui-se que A=A A. 6. Provar que U A=U. Deve-se mostrar que (a) U (U A) e (b) (U A) U. Dem de a: Como A (A B). Tomando A=U e B=A segue que U (U A). Dem de b: Se yU A, ento yU ou yA, logo yU, pois todo conjunto um subconjunto do conjunto universo. Ento, (U A) U. Conclui-se que U A=U. 7. Provar que A =A (Identidade com respeito reunio). Deve-se mostrar que (a) (A ) A e (b) A ( A ). Dem de a: Se xA , segue que xA ou x. Pela definio de conjunto vazio, segue que xA, logo (A ) A. Dem de b: Como A (A B). Tomando B= segue que A (A ). Como (A ) A e A ( A ), pela definio de igualdade de conjuntos, conclui-se ento que A =A. 8. Provar que se A B= ento A= e B=. Dem: Sabe-se que A (A B). Por hiptese A B=, logo A . Como o conjunto vazio um subconjunto de todo conjunto, segue que A. Pela definio de igualdade de conjuntos A=. Analogamente mostra-se que B=. Portanto, se A B= ento A= e B=. 9. Provar que (A B) um subconjunto de A e de B. Deve-se provar que (A B) A e (b) (A B) B.

Dem de a: Se x(A B), ento xA e xB. Em particular, xA. Logo (A B) A. Dem de b: Se y(A B), ento, yA e yB. Em particular, yB. Logo (A B) B. Conclui-se que (A B) um subconjunto de A e de B. 10. Provar que A A=A (Idempotncia).

Deve-se mostrar que (a) (A A) A e (b) A (A A). Dem de a: Como (A B) A. Tomando B=A segue que (A A) A. Dem de b: Se xA, ento xA e xA, logo x(A A), assim A (A A). Conclui-se ento que A A=A. 11. Provar que U A=A (Identidade com respeito interseo).

Deve-se demonstrar que: (a) (U A) A e (b) A (U A). Dem de a: Como (A B) B, tomando A=U e B=A segue que (U A) A. Dem de b: Se xA, ento xU, pois o conjunto U representa o conjunto universo. Assim xU e xA. Logo x(U A). Portanto A (U A). Conclui-se ento que U A=A. 12. Provar que A =.

Deve-se mostrar que: (a) (A ) e (b) (A ). Dem de a: Como (A B) B, ento tomando B= segue que (A ) . Dem de b: Como o conjunto vazio um subconjunto de todo conjunto, segue que (A ). Conclui-se que A =. 13. Provar que (AB) A.

Dem: Se y(AB), ento yA e y B, logo yA. Conclui-se ento que (AB) A. 14. Provar que (AB) B=.

Dem: Por reduo ao absurdo. Nega-se a tese, aceita-se a hiptese para obter uma contradio. Se (AB) B # , ento existe p(AB) B. Assim, p(AB) e pB, isto , (pA e p B) e pB. Pela equivalncia lgica (pq)r p(qr) segue que pA e (p B e pB), o que uma contradio. Conclui-se ento que (AB) B=. 15. Provar a lei de De Morgan (A B)c=Ac Bc.

Deve-se mostrar que: (a) (A B)c Ac Bc e (b) Ac Bc (A B)c. Dem de a: Se x(A B)c ento x (A B). Assim, x A e x B, isto , xAc e xBc. Disto segue que xAc Bc. Logo (A B)c Ac Bc. Dem de b: Se yAc Bc ento yAc e yBc. Assim, y A e y B. Disto segue que y (A B), ou seja, y(A B)c. Logo Ac Bc (A B)c Conclui-se que (A B)c=Ac Bc. 16. Provar a lei de De Morgan (A B)c=Ac Bc.

Deve-se mostrar que (a) (A B)c Ac Bc e (b) Ac Bc (A B)c. Dem de a: Se x(A B)c ento x (A B). Logo, x A ou x B, isto , xAc ou xBc. Disto segue que xAc Bc. Assim, (A B)c Ac Bc. Dem de b: Se yAc Bc ento yAc ou yBc. Assim, y A ou y B. Segue que y (A B), ou seja, y(A B)c. Logo Ac Bc (A B)c. Conclui-se ento que (A B)c=Ac Bc. 17. Provar a proposio de De Morgan (A B C)c=Ac Bc Cc.

Deve-se mostrar que: (a) (A B C)c Ac Bc Cc e (b) Ac Bc Cc (A B C)c. Dem de a: Se x(A B C)c, ento x (A B C). Desse modo, x A ou x B ou x C, isto , xAc ou xBc ou xCc. Assim xAc Bc Cc. Logo (A B C)c Ac Bc Cc.

Dem de b: Se yAc Bc Cc, ento yAc ou yBc ou yCc. Assim, y A ou y B ou y C. Segue que y (A B C), ou seja, y(A B C)c. Logo Ac Bc Cc (A B C)c. Conclui-se ento que (A B C)c=Ac Bc Cc. Dem. alternativa: Como (A B)c Ac Bc, ento tomando X=A B, segue que (A B C)c=(X C)c=Xc Cc=(A B)c Cc=(Ac Bc) Cc=Ac Bc Cc 18. Provar a proposio de De Morgan (A B C)c=Ac Bc Cc.

Deve-se mostrar que: (a) (A B C)c Ac Bc Cc e (b) Ac Bc Cc (A B C)c. Dem de a: Se x(A B C)c, ento x (A B C). Desse modo, x A e x B e x C, isto , xAc e xBc e xCc. Segue que xAc Bc Cc. Logo (A B C)c Ac Bc Cc. Dem de b: Se yAc Bc Cc, ento yAc e yBc e yCc, isto , y A e y B e y C. Assim y (A B C), ou seja, y(A B C)c. Logo Ac Bc Cc (A B C)c. Conclui-se que (A B C)c=Ac Bc Cc. Dem. alternativa: Como Ac Bc (A B)c, tomando Y=A B, segue que (A B C)c=(Y C)c=Yc Cc=(A B)c Cc=(Ac Bc) Cc=Ac Bc Cc 19. Provar que A (B C)=(A B) C (Associatividade).

Dem: Se xA (B C), ento xA ou x(B C). Desse modo, xA ou (xB ou xC). Pela equivalncia lgica p(qr) (pq)r segue que (xA ou xB) ou xC. Logo, x(A B) ou xC, isto , x(A B) C. Conclui-se que A (B C)=(A B) C. 20. Provar que A (B C)=(A B) C (Associatividade).

Dem: Se xA (B C), ento xA e x(B C). Desse modo, xA e (xB e xC).

Pela equivalncia lgica p(qr) (pq)r segue que (xA e xB) e xC. Logo, x(A B) e xC, isto , x(A B) C. Conclui-se ento que A (B C)=(A B) C. 21. Provar que A (A B)=A (Lei de Absoro).

Deve-se mostrar que: (a) A (A B) A e (b) A A (A B). Dem de a: Se xA (A B), ento xA ou xA B. Mas A B A, assim se xA B ento xA. Desse modo, xA ou xA. Logo, xA. Portanto, A (A B) A . Dem de b: Esta demonstrao segue direto de A (A B) com B=(A B). Conclui-se ento que A (A B)=A. 22. Provar que A (A B)=A.

Deve-se mostrar que: (a) A (A B) A e (b) A A (A B). Dem de a: A demonstrao segue direto de (A B) A, tomando B=(A B). Dem de b: Seja xA. Como A A B, segue que xA B. Assim xA e xA B. Logo, xA (A B). Portanto, A A (A B). Conclui-se ento que A (A B)=A. 23. Provar que A (B C)=(A B) (A C) (Distributividade).

Dem: Se xA (B C), ento xA ou x(B C). Desse modo, xA ou (xB e xC). Pela equivalncia lgica p(qr) (pq)(pr) segue que (xA ou xB) e (xA ou xC). Logo, x(A B) e x(A C), isto , x(A B) (A C). Conclui-se ento que A (B C)=(A B) (A C). 24. Provar que A (B C)=(A B) (A C) (Distributividade).

Dem: Se xA (B C), segue que xA e x(B C). Desse modo, xA e (xB ou xC).

Pela equivalncia lgica p(qr) (pq)(pr) segue que (xA e xB) ou (xA e xC). Logo, x(A B) ou x(A C), isto , x(A B) (A C). Conclui-se ento que A (B C)=(A B) (A C). 25. Provar que (AB) (BA)=.

Deve-se mostrar que: (a) (AB) (BA) e (b) (AB) (BA). Dem de a: Se x(AB) (BA), ento x(AB) e x(BA), ou seja, xA e x B e xB e x A. Assim, xA e x A e xB e x B. No existe qualquer elemento que satisfaa xA e x A. Tambm no existe qualquer elemento que satisfaa xB e x B ao mesmo tempo, logo, (AB) (BA) . Dem de b: (AB) (BA) uma propriedade trivial, pois o conjunto vazio um subconjunto de todo conjunto. Logo conclui-se que (AB) (BA)=. 26. Demonstrar que se S U, ento US=U Sc.

Mostraremos que: (a) US U Sc e (b) U Sc US. Dem de a: Se xUS, ento xU e x S. Como S U, por definio, xSc. Mas Sc=Sc U e disto segue que xSc U. De fato, Sc U=U Sc, assim xU Sc. Portanto, US U Sc. Dem de b: Se xU Sc, ento xU e xSc. Como S U, segue que xU e x S. Desse modo, por definio, xUS. Logo, U Sc US. Conclui-se ento que US=U Sc. 27. Se A e B so conjuntos tal que A B, ento A=(AB) (B A).

Dem: Se A B ento AB=A Bc. Alm disso, B A=A B. Logo A=(AB) (B A), pois (AB) (B A)=(A Bc) (A B)=A (Bc B)=A U=A 28. Sejam A e B conjuntos. Demonstrar que so equivalentes as seguintes afirmaes: (a) A B, (b) A=A B, (c) B=A B.

Dem que (a) implica (b), isto , se A B ento A=A B. Para mostrar que A=A B, devemos mostrar que A A B e que A B A. Se xA, por hiptese, A B e disto segue que xB. Ento xA e xB, ento xA B e conclumos que a incluso A B implica que A A B. Como (A B) A, segue que A B A. Assim, como A A B e A B A, segue que A=A B, logo A B implica que A=A B. Dem que (b) implica (c), segue que A=A B implica que B=A B. Vamos assumir a hiptese: A=A B. Para mostrar que B=A B, devemos mostrar que B A B e A B B. Como mostrado entes, temos que B A B. Se xA B, ento, xA ou xB. Por hiptese, A=A B. Disto segue que xA B ou xB. Logo, xB. Portanto, A B B. Assim, como B A B e A B B, segue que B=A B. Portanto, A=A B implica que B=A B. Dem (c) implica (a), segue que B=A B implica que A B. Se xA, ento xA ou xB, isto , xA B. Como por hiptese A B=B, ento xB, logo B=A B implica que A B. Como A B implica que A=A B, A=A B implica que B=A B e B=A B implica que A B, conclumos que as trs afirmaes so equivalentes.

Introduo

Georg Cantor.

A teoria ingnua dos conjuntos foi criada no final do sculo XIX por Georg Cantor para permitir que matemticos trabalhassem de forma consistente com conjuntos infinitos. Como se verificou, a suposio de que se poderiam realizar operaes quaisquer sobre conjuntos levou a paradoxos tais como o paradoxo de Russell. Em resposta, a teoria axiomtica dos conjuntos foi desenvolvida para determinar precisamente quais operaes seriam permitidas e em quais. Hoje, quando os matemticos falam sobre "teoria dos conjuntos" como uma rea, geralmente querem dizer teoria axiomtica dos conjuntos. As aplicaes informais da teoria do conjunto em outras reas so referidas algumas vezes como aplicaes da "teoria ingnua dos conjuntos", mas so geralmente entendidas como justificveis em termo de um sistema axiomtico (normalmente a teoria de conjuntos de Zermelo-Fraenkel). importante observar que alguns acreditam que a teoria dos conjuntos de Georg Cantor no esteve realmente implicada nos paradoxos (este um assunto que continuar em discusso). Cantor estava ciente de alguns paradoxos e no parecia acreditar que eles tirariam o crdito de sua teoria. Frege axiomatizou explicitamente uma teoria na qual a verso formalizada da teoria ingnua dos conjuntos pode ser interpretada, e sobre uma teoria formal que Bertrand Russell se dirigiu realmente quando apresentou o paradoxo de Russell. til estudar conjuntos de forma ingnua de modo a desenvolver a facilidade para trabalhar com eles. Alm disso, uma compreenso clara dos conceitos de teoria dos conjuntos do ponto de vista ingnuo importante como um primeiro estgio de entendimento para os axiomas formais da teoria dos conjuntos. Este artigo trata da teoria ingnua. Os conjuntos so definidos informalmente e algumas de suas propriedades so investigadas.

O termo "teoria ingnua dos conjuntos" nem sempre se refere teoria inconsistente de Frege. Pode se referir teoria usual dos conjuntos apresentada informalmente, como no caso do conhecido livro de Halmos Teoria Ingnua dos Conjuntos, o qual consiste realmente numa apresentao informal da teoria axiomtica dos conjuntos de Zermelo-Fraenkel. [editar]Conjuntos,

pertinncia e igualdade

Na teoria ingnua dos conjuntos, um conjunto descrito como uma coleo bem definida de objetos. Estes objetos so chamados de elementos ou membros do conjunto. Objetos podem ser qualquer coisa: nmeros, povos, outros conjuntos, etc. Por exemplo, 4 um membro do conjunto de todos os inteiros pares. Claramente, o conjunto de nmeros pares infinitamente grande; no h exigncia qualquer exigncia de que um conjunto seja finito. Se x um membro de A, ento se diz tambm que x pertence a A, ou que x est em A. Em tal caso, escrevemos x A. (O smbolo " " uma derivao do psilon do alfabeto grego, "", introduzido usado para escrever x A, para dizer que "x no est emA" ou

por Peano em 1888). O smbolo que "x no pertence a A".

Dois conjuntos A e B so definidos como iguais quando eles tm exatamente os mesmos elementos, isto , se cada elemento de A for um elemento de B e cada elemento de B for um elemento de A. (Ver axioma da extensionalidade). Desta forma, um conjunto completamente determinado por seus elementos; sua descrio no importante. Por exemplo, o conjunto com elementos 2, 3 e 5 igual ao conjunto de todos os nmeros primos menores do que 6. Se os conjuntos A e B so iguais, este fato denotado simbolicamente como A = B (como de costume). H tambm um conjunto vazio, geralmente denotado por e s vezes por {}: um conjunto sem

quaisquer membros. Uma vez que um conjunto determinado completamente por seus elementos, s haver um conjunto vazio. (Ver axioma do conjunto vazio.) [editar]Especificando

conjuntos

A maneira mais simples de descrever um conjunto listando seus elementos entre chaves (Conhecidas como definindo um conjunto extensionalmente). Dessa maneira, {1,2} denota um conjunto cujos nicos elementos so 1 e 2. (Ver axioma dos pares). Anotar os seguintes pontos: A ordem dos elementos no importa; por exemplo, {1,2} = {2,1}. A repetio (multiplicidade) dos elementos irrelevante; por exemplo, {1,2,2} = {1,1,1,2} = {1,2}

(Estas so conseqncias da definio de igualdade na seo anterior.) Pode-se abusar informalmente desta notao ao se escrever algo como {ces} para indicar o conjunto de todos os ces, mas este exemplo seria usado normalmente lido por matemticos como "o conjunto que contm o nico elemento". Um exemplo extremo (mas correto) desta notao {}, o qual denota o conjunto vazio.

Podemos ainda usar a notao { x : P(x)}, ou { x | P(x)} ou, ainda, { x / P(x)} (diz-se, nos trs casos, "x tal que P(x)" ), para denotar o conjunto contendo todos os objetos para os quais vale a condio P (conhecido como definindo um conjunto intencionalmente). Por exemplo, {x : x um nmero real} denota o conjunto dos nmeros reais, {x : x tem cabelo loiro} denota o conjunto de todas as coisas com cabelos loiros, e {x : x um co} denota o conjunto de todos os ces. Esta notao chamada notao de construo de conjuntos por compreenso. Algumas variantes da compreenso so: {x A : P(x)} denota o conjunto de todo x que j so membros de A tais que a condio P vale for o conjunto dos inteiros, ento {x : x par} o conjunto de

para x. por exemplo, se

todos os inteiros pares (Ver axioma da especificao). {F(x): x A} denota o conjunto de todos os objetos obtidos ao se colocar membros do } novamente o conjunto de todos os inteiros

conjunto A na frmula F. Por exemplo, {2x : x pares. (Ver axioma da substitutividade).

{F(x) : P(x)} a forma mais comum da notao por compreenso. Por exemplo, {o dono de x : x um co} o conjunto de todos os donos de ces.

[editar]Subconjuntos Dado dois conjuntos A e B ns dizemos que A um subconjunto de B se todo elemento de A tambm um elemento de B. Percebe-se que, em particular, B um subconjunto de si prprio; um subconjunto de B que no igual a B chamado subconjunto prprio. Se A um subconjunto de B, ento pode-se dizer tambm que B um superconjunto de A, que A est contido em B, ou que B contm A. Em smbolos, A subconjunto de B, e B B significa que A um e

A significa que B um superconjunto de A. Alguns autores utilizam

para subconjuntos, e outros usam estes smbolos somente para subconjuntos prprios. Para uma maior clareza, pode-se explicitamente usar os smbolos enciclopdia, e e para indicar no igualdade. Nesta e so reservados para

so usados para subconjuntos enquanto

subconjuntos prprios. Como uma ilustrao, seja o conjunto dos nmeros reais, o conjunto dos inteiros, I o conjunto

dos inteiros mpares, e seja P o conjunto de atuais ou antigos presidentes dos Brasil. Ento I um subconjunto de , um subconjunto de e (por conseguinte) I um subconjunto de onde,

em todos os casos, subconjunto pode ser lido como subconjunto prprio. Note que nem todos os conjuntos so comparveis desta maneira. Por exemplo, no o caso nem que de P, nem que P seja um subconjunto de . seja subconjunto

Segue imediatamente da definio acima de igualdade de conjuntos, que dados dois conjuntos A e B, A = B se e somente se A BeB A. De fato, isto frequentemente dado como

a prpria definio de igualdade. Geralmente, ao se tentar demonstrar que dois conjuntos so iguais, objetiva-se mostrar estas duas incluses. O conjunto de todos subconjuntos de um dado conjunto A chamado de conjunto das partes de A e denotado por 2 ou Partes(A). Se o conjunto A tem n elementos, ento Partes(A) ter 2 elementos. Observe que o conjunto vazio um subconjunto de todo conjunto (a afirmao de que todos os elementos do conjunto vazio so tambm membros de algum conjunto A vacuamente verdadeiro, pois no h elementos no conjunto vazio). [editar]Conjuntosn A

universais e complementos absolutos

Em certos contextos podemos considerar todos os conjuntos como sendo subconjuntos de algum conjunto universal dado. Por exemplo, se estivssemos investigando propriedades dos nmeros reais (e de subconjuntos de ), poderamos ento tomar como nosso conjunto

universal. importante compreender que um conjunto universal est somente definido temporariamente pelo contexto; no h nenhum objeto como um conjunto "universal", isto , um "conjunto de todas as coisas" (ver Paradoxos abaixo). Dado um conjunto universal o complemento de A (em A ={xC

e um subconjunto A de ) como:

podemos definir

:x

A}.C

Em outras palavras A ("complemento de A"; algumas vezes denotado por A', "A-linha") o conjunto de todos os membros de que no so membros de A. Assim dados for o conjunto universal, ento IC C

,

e I definido como na

seo sobre subconjuntos, se mas se

o conjunto de inteiros pares,

for o conjunto universal, ento I

o conjunto de todos os nmeros reais que so inteiros

e pares ou simplesmente no inteiros. [editar]Unio,

interseo e complementos relativos

Dado dois conjuntos A e B, podemos construir sua unio. Este o conjunto que consiste em todos os objetos que so elementos de A ou de B ou de ambos (ver axioma da unio). denotado por A B. A interseo de A e B o conjunto de todos os objetos que esto tanto em A quanto em B. denotado por A B.

Finalmente, o complemento relativo de B com rtelao a A, tambm conhecido como a diferena entre os conjuntos A e B, o conjunto de todos objetos que pertencem a A mas no a B. denotado por A \ B ou A - B. Simbolicamente, estes conjuntos so respectivamente A A B = { x : (x B = { x : (x A A) A) (x (x (x B) }; B) } = { x B) } = {x A:x A : (x B}={x B) }. B:x A };

A \ B = { x : (x

Note que A no tem que ser um subconjunto de B para B \ A fazer sentido; esta a diferena entre o complemento relativo e complemento absoluto definido na seo anterior. Para ilustrar estas idias, seja A o conjunto das pessoas canhotas; e B o conjunto de pessoas com cabelos loiros. Ento A pessoas canhotas e loiras, enquanto A B o conjunto de todas as

B o conjunto de todas as pessoas

canhotas ou loiras ou ambas. A \ B, por outro lado, o conjunto de todas as pessoas que so canhotas, mas no so loiras, enquanto, B \ A o conjunto de pessoas com cabelos loiros mas que no so canhotas. Considere agora E como o conjunto de todos os seres humanos, e F como o conjunto de todas as coisas vivas com mais de 1000 anos de idade. O que E F neste caso? Nenhum ser humano est acima de 1000 anos de idade, ento, E F deve ser o conjunto vazio { }. Para qualquer conjunto A, o conjunto das partes Partes(A) uma lgebra booleana sob as operaes de unio e interseo. [editar]Pares

ordenados e produtos cartesianos

Intuitivamente, um par ordenado simplesmente uma coleo de dois objetos tais que um deles possa ser distinguido como o primeiro elemento e o outro como o segundo elemento, e tendo a propriedade fundamental de que dois pares ordenados so iguais se e somente se os primeiros elementos deles forem iguais e os segundos elementos deles forem iguais. Formalmente um par ordenado com primeira coordenada a e segunda coordenada b, geralmente denotado por (a,b) ou por , definido como o conjunto {{a}, {a,b}}. Segue que, dois pares ordenados (a,b) e (c,d) so iguais se e somente se a = c e b = d. Alternativamente, um par ordenado pode ser pensado formalmente como um conjunto {a,b} com uma relao de ordem total. (A notao (a,b) usada tambm para denotar um intervalo aberto na reta dos nmeros reais, mas o contexto deve deixar claro qual significado pretendido. De outra maneira, a notao ]a,b[ pode ser usada para denotar o intervalo aberto enquanto que (a,b) usado para o par ordenado). Se Ae B so conjuntos, ento o produto cartesiano (ou simplesmente produto) definido como: A B = {(a,b) : a est em A e b est em B}.

Isto , A B o conjunto de todos os pares ordenados cuja primeira coordenada um elemento de A e cuja segunda coordenada um elemento de B. Podemos estender essa definio para um conjunto A B C de trios ordenados e de modo mais geral para n-uplas ordenadas para algum inteiro positivo n. possvel at mesmo definir produtos cartesianos infinitos, mas para fazer isto ns precisamos de uma definio mais elaborada do produto. Produtos cartesianos foram desenvolvidos primeiramente por Ren Descartes no contexto da geometria analtica. Se todos os nmeros reais, ento e3 2

denota o conjunto de

=

x

representa o plano Euclidiano

=

x

x

representa o espao tridimensional euclidiano.

[editar]Alguns

conjuntos importantes

Nota: Nesta seo, a, b e c so nmeros naturais e r e s so nmeros reais

1. Os nmeros naturais so usados para contagem. Os smbolos N ou so freqentemente usados para representar este conjunto. 2. Os nmeros inteiros aparecem como solues para x em equaes como x + a = b. Os smbolos Z ou so freqentemente usados para

representar este conjunto (derivados do alemo Zahlen, que significa nmeros). 3. Os nmeros racionais aparecem como solues para equaes como a + bx = c. Os smbolos Q ou so freqentemente usados

para representar este conjunto (da palavra quociente, j que R usado para o conjunto de nmeros reais). 4. Os nmeros algbricos aparecem como solues para equaes polinomiais (com coeficientes inteiros) e podem envolver radicais e alguns outros nmeros irracionais. Os smbolos A ou ou um Q com uma linha em cima ( ) so

freqentemente usados para representar este conjunto. 5. Os nmeros reais incluem os nmeros algbricos e tambm os nmeros transcendentes, que no podem aparecer como solues para equaes polinomiais com coeficientes racionais. Os smbolos R ou conjunto. 6. Os nmeros complexos so somas de um real e um nmero imaginrio: r + si. Aqui ambos r e s podem ser iguais a zero; assim, o conjunto dos nmeros reais e o conjunto dos nmeros imaginrios so so freqentemente usados para representar este

subconjuntos do conjunto dos nmeros complexos, o qual forma um fecho algbricopara o conjunto de nmeros reais significando que todo polinmio com coeficientes em conjunto. Os simbolos C ou tem pelo menos uma raiz neste

so freqentemente usados para

representar este conjunto. Note que como um nmero r+si pode ser identificado como um ponto (r,s) neste plano, C basicamente "o mesmo" que o produto cartesiano RR ("o mesmo" significando que um ponto qualquer de um deles determina um ponto nico no outro e para o resultado dos clculos no importa qual deles usado). [editar]Paradoxos Ns referimos anteriormente necessidade de uma aproximao axiomtica formal. Quais problemas surgem no tratamento que apresentamos? Os problemas dos conjuntos poderamos pensar intuitivamente em uma primeira aproximao, que podemos construir quaisquer conjuntos que ns quisermos, mas esta viso conduz a inconsistncias. Para qualquer conjunto x ns podemos perguntar se x um membro dele mesmo. Defina Z = {x : x no membro de x}. Agora para o problema: Z um membro de Z? Se sim, ento pela propriedade que define Z, Z no um membro de si prprio, isto , Z no um membro de Z. Isto nos fora a declarar que Z no um membro de Z. Ento Z no um membro de si prprio e deste modo, novamente pela definio de Z, Z um membro de Z. Assim, ambas as opes nos levam a uma contradio e ns temos uma teoria inconsistente. Desenvolvimentos axiomticos restringem os tipos de conjuntos que podemos construir e previnir assim a gerao de problemas como o nosso conjunto Z. Este paradoxo particular conhecido como Paradoxo de Russell. A lio que, como em qualquer argumento matemtico rigoroso, deve-se cuidar bem das noes que so propostas. Em particular, problemtico falar de um conjunto de todas as coisas, ou para ser (possivelmente) um pouco menos ambiciosos, at mesmo de um conjunto de todos os conjuntos. Com efeito na axiomatizao ususal da teoria dos conjuntos, no h um conjunto de todos os conjuntos. Nas reas da matemtica que parecem requerer um conjunto de todos os conjuntos (tais como teoria das categorias), pode-se resolver o problema tomando um conjunto universal to grande que toda a matemtica usual pode ser feita dentro dele (Ver universo). Alternativamente, pode-se fazer uso de classes

prprias. Ou ainda pode-se usar uma axiomatizao diferente da teoria dos conjuntos tais como os Novos Fundamentos de W.V. Quine, que permite a existncia de um conjunto de todos os conjuntos e evita o paradoxo de Russell. De outra forma a soluo exata empregada para evitar os paradoxos raramente faz uma grande diferena. [editar]Ver

tambm

lgebra dos conjuntos Teoria axiomtica dos conjuntos Teoria interna dos conjuntos Conjunto Teoria dos conjuntos

[editar]Referncias

Paul Halmos

Halmos, Paul Richard, 1914 Teoria Ingnua dos Conjuntos; traduo de Irineu Bicudo. S. Paulo, Editora da Univ. S. Paulo e Editora Polgono 1970.

Jaime C. Ferreira. Elementos de Lgica Matemtica e Teoria dos Conjuntos. IST, 2001.

Seymour Lipschutz. Teoria dos Conjuntos. McGraw-Hill, 1972.

[editar]Notas A respeito da origem do termo Teoria Ingnua dos Conjuntos, Jeff Miller diz o seguinte: "A Teoria Ingnua dos Conjuntos (em oposio Teoria

Axiomtica dos Conjuntos) foi usada ocasionalmente na dcada de 40 e tornou-se um termo estabelecido na dcada de 50. Ele parece na rescenso de Hermann Weyl de P. A. Schlipp (ed). The Philosophy of Bertrand Russell in American Mathematical Monthly, 53, n 4 (1946) p.210 e reviso de Laszlo Kalmar do The Paradox of Kleene and Rosser in Journal of Symbolic Logic, 11, n} 4 (1916). P. 136. (JSTOR)". O termo foi popularizado mais tarde pelo livro de Paul Halmos, Teoria Ingnua dos Conjuntos (1960). Categoria: Teoria dos conjuntos