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O Problema das Pontes de Königsberg, resolvido por Euler em 1736, foi o primeiro a envolver os conceitos do que viria a ser a Teoria dos Grafos. No segundo capítulo deste trabalho podemos verificar como Euler, através de seus teoremas, demonstrou a solução para o enigma das pontes.A partir de então muitos problemas foram resolvidos utilizando a Teoria dos Grafos. Como, por exemplo, o Problema das Quatro Cores suscitado por Francis Guthrie em 1852. Os jogos tiveram grande importância na solução de vários problemas matemáticos nos últimos tempos. O que nos mostra que os jogos podem ter desempenhado um papel evolutivo relevante. Por ser agradável a atividade intelectual, talvez o jogo facilite a aprendizagem das regras e do pensamento lógico.
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ATIVIDADE PRÁTICAESTRUTURA DE DADOS II
COLORAÇÃO DE MAPAS E O PROBLEMA DAS QUATRO CORES
BRUNO RIBEIRO CAMPIGOTTOFERNANDO R. CAMILO DE MEDEIROS
JULIANA LILIAN DE SOUZAROBERTO NOVAES DE CARVALHO
Julho de 2010
INTRODUÇÃO
História da Teoria dos Grafos
Coloração de Mapas e o Problema das Quatro Cores
Matemáticos e as provas do Teorema das Quatro Cores
Desenvolvimento de um Puzzle
O Problema das Pontes Königsberg
Século XVII
(1707-1783)
Leonhard Euler em 1736TEOREMASO número de vértices
ímpares de qualquer grafo é um número par...
(1707-1783)
Leonhard Euler em 1736Se um grafo não possui nenhum vértice ímpar,
então ele pode ser percorrido
unicursalmente.
(1707-1783)
Leonhard Euler em 1736Um grafo que possui
exatamente dois vértices ímpares pode ser percorrido unicursalmente, começando num dos vértices ímpares e
terminando no outro..
(1707-1783)
Leonhard Euler em 1736Todo grafo com mais
de dois vértices ímpares é multicursal.
(1707-1783)
Leonhard Euler em 1736O Grafo é multicursal !
Coloração de Mapas e o Teorema das Quatro Cores
Mapa dos Condados da InglaterraFrancis Guthrie em 1852
O problema foi levado ao conhecimento do grande público
quando Arthur Cayley apresentou-o no London
Mathematical Society em 1878.
Desde então muitos matemáticos tentaram provar sua veracidade:
Alfred Bray Kempe
Foi modificada em 1890 por Percy John Heawood através de uma prova do Teorema das Cinco Cores.
Sua prova estava incorreta.
1º a publicar uma prova: 1879
1º prova aceita: Em 1977 Baseadas em idéias de
Kempe;
desenvolvidas em grande parte por Birkhoff e Heesch;
Controvérsias pelo uso do computador e tempo despendido. Wolfgang Appel
Kenneth Haken
A nova prova do Teorema das 4 Cores: 1990
A demonstração deles ainda fez uso de computadores, mas a parte computacional pôde ser realizada num
laptop em apenas algumas horas.
A prova ainda gerou muita crítica pelo uso de um computador na sua demonstração!
Os autores se defenderam assim:
“ Um argumento, é o de que a nossa «prova» não é uma prova no sentido tradicional porque ela contém passos que nunca poderão ser verificados por seres humanos. Em particular, não podemos provar a justeza do compilador em que compilamos os nossos programas, nem a infalibilidade do hardware em que os executamos. Isto é, estas questões têm de ser tomadas com base na fé, pois é concebível a possibilidade de erros. No entanto, a partir de um ponto de vista prático, a chance de um erro informático aparecer constantemente, exatamente da mesma maneira em todas as execuções de nossos programas, em todos os compiladores e sob todos os sistemas operacionais que os nossos programas são executados é infinitamente pequena em comparação com a chance de um erro humano durante a mesma quantidade de verificações. Para além desta possibilidade hipotética de um computador sempre dar uma resposta errada, o resto da nossa prova pode ser verificado da mesma forma como as tradicionais provas de matemática.”
PUZZLE DAS 4 CORES
O Puzzle de Quatro Cores
nada mais é do que um jogo,
utilizando uma variação do
problema da coloração de mapas
utilizando quatro cores.
DESENVOLVIMENTO DO JOGO• main.py: Filtra os parâmetros de linha de comando, executa
as ações, e instância a classe App;• app.py: Contém a classe da aplicação, e instancia classe
Item; item.py: Contem classe Item, que herda a classe "Faces" da API Vpython;• layout1.txt: Layout da imagem. Ele contém informações
sobre os triângulos, posições X, Y e Z deles, e suas ligações. Assim, é possível usar o mesmo programa para desenhos diferentes sem mexer no código, criando um novo arquivo de layout;
• RODAR – Fullscreen.bat: Passa parâmetros de linha de comando, sem necessidade de abrir um prompt e digitar tudo;
• RODAR – Janela.bat: Passa parâmetros de linha de comando, sem necessidade de abrir um prompt e digitar tudo.
DESENVOLVIMENTO DO JOGO
COMO JOGAR
• Segure o botão direito do mouse e mova o mouse para girar o ângulo da imagem.
• Segure os dois botões do mouse e mova o mouse para cima e para baixo para regular o zoom.
• Funções do teclado: Pressione (V) para validar a cor escolhida e (R ou S) para solucionar automaticamente o puzzle.
APLICAÇÃO DA TEORIA DAS QUATRO CORES
Tulip 3.3.1
Grafo do Puzzle
APLICAÇÃO DA TEORIA DAS QUATRO CORES
Para a resolução automática do Puzzle utilizamos um algoritmo de busca em profundidade.
Adaptado de um pseudocódigo de Busca em Profundidade
JOGAR
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICASROBERTSON, Neil; SANDERS, Dan; SEYMOUR, Paul; THOMAS, Robin. A New Proof of the Four Color Theorem, Electronic Research announcements of the American Mathematic Society. Vol.2, Number 1, 1996. NONATO, Luis Gustavo. Coloração em Grafos. Disponível em:< http://www.lcad.icmc.usp.br/~nonato/ED/Coloracao/coloracao.html >. Acesso em: 01 jun. 2010. NICOLETTI, Maria do Carmo; HRUSCHKA, Estevam Rafael . Fundamentos da teoria dos grafos para computação. São Carlos : EdUFSCar, 2009. THOMAZ, R. (1995, November 12). The Four Color Theorem. Acessado em 24 de junho 2010,em <http://people.math.gatech.edu/~thomas/FC/fourcolor.html#Main> DIESTEL, Reinhard. Graph Theory: Eletronic Edition. 3. ed. New York: Springer, 2005. BONDY, J.A ; MURTY, U.S.R . Graph Theory with applications. 6. ed. New York: Sole, 1982. FEOFILOFF, Paulo ; KOHAYAKAWA, Y; WAKABAYASHI, Y . Uma Introdução Sucinta à Teoria dos Grafos. . ed. São Paulo, 1982. KLYV, Dominic; STEMKOSKI, Lee. The works of Leonhard Euler online. Disponível em:< http://www.math.dartmouth.edu/~euler/ >. Acesso em: 25 jun. 2010.
