Upload
others
View
6
Download
1
Embed Size (px)
Citation preview
TEORIA GIER W NAUKACH SPOŁECZNYCH
Równowagi Nasha. Rozwiązania niekooperacyjne.
Przypomnienie
� Gra o sumie zerowej
� Kryterium dominacji
� Kryterium wartości oczekiwanej
� Diagram przesunięć� Diagram przesunięć
� Równowaga
Can a Round of Poker Solve Afghanistan's Problems? Richard J.H. Gash
Wioska północna
Za Koalicją Za TalibanemZa Koalicją Za Talibanem
Wio
ska
połu
dni
owa Za Koalicją 2,2 -6,6
Za Talibanem 6,-6 -2,-2
Gry o sumie niezerowej – konkurencja i współpraca
W grach o sumie niezerowej interesy
obu graczy nie są ani dokładnie
przeciwstawne, ani przeciwstawne, ani też w pełni ze sobą zgodne: mamy do
czynienia z konkurencją, nie
wykluczającą jednak w pełnych sytuacjach
współpracy.
Poziomy wymiany informacyjnej
1. Całkowity brak możliwości komunikacji między graczami
2. Możliwość komunikacji przed wyborem strategii (obietnice, zobowiązania)strategii (obietnice, zobowiązania)
3. Uzgadnianie strategii kooperacyjnych
Gra o sumie niezerowej z równowagą w strategii czystej
Kolumna
A B
Wie
rsz A (2,3) (3,2)
B (1,0) (0,1)
Gra o sumie niezerowej z równowagą w strategii mieszanej
Kolumna
A BA B
Wie
rsz A (2,4) (1,0)
B (3,1) (0,4)
Strategia wyrównująca
Strategia wyrównująca – strategia mieszana, która równoważy wartość oczekiwaną dla gracza, niezależnie od decyzji przeciwnika
KolumnaA B
Wie
rsz A (2,4) (1,0)
B (3,1) (0,4)
Strategia wyrównująca Wiersza: A: 3/7B: 4/7
Wo: 16/7≈2,29
Strategia wyrównująca Kolumny:A: ½B: ½
Wo: 3/2=1,5
Twierdzenie Nasha (1950)
Każda dwuosobowa gra o sumie niezerowej ma przynajmniej jedną równowagę, albo w równowagę, albo w strategiach czystych, albo w mieszanych. Równowagę taką nazywamy Równowagą Nasha.
Piękny Umysł
Gra z dwiema nieekwiwalentnymi i niewymiennymi równowagami
Kolumna
A BA B
Wie
rsz A (1,1) (2,5)
B (5,2) (-1,-1)
Nieekwiwaletność i niewymienność
� Gra ma 2 równowagi w strategiach czystych:
AB (2,5) i BA (5,2)
� Równowagi te nie są ekwiwaletne
Kolumna
A Bekwiwaletne
� Równowagi te nie są wymienne
� Jeżeli oboje wybiorą strategie prowadzące do tych równowag, uzyskają wynik najgorszy z możliwych BB (-1,-1)
Wie
rsz A (1,1) (2,5)
B (5,2) (-1,-1)
Gra z jedną równowagą, nieoptymalną w sensie Pareto
Kolumna
A BA B
Wie
rsz A (3,3) (-1,5)
B (5,-1) (0,0)
Optymalność w sensie Pareto
Wynik gry jest nieoptymalny w sensie
Pareto (albo subparetooptymalny, lub nieefektywny Pareto), jeśli gra ma inny
wynik, dający obu graczom wyższe wynik, dający obu graczom wyższe
wypłaty, lub jednemu z graczy taką
samą, a drugiemu wyższą. Wynik jest paretooptymalny, jeśli takiego innego wyniku nie ma.
Kryterium Pareto
Kryterium Pareto.
Tylko wynik optymalny w sensie Pareto może być akceptowany jako rozwiązanie gry
Metoda znajdywania strategii optymalnych w sensie Pareto
Kolumna
A B
Wie
rsz A (2,3) (3,2)
B (1,0) (0,1)
Kolumna
A B
Wie
rsz A (2,4) (1,0)
B (3,1) (0,4)
Kolumna
A B
Wie
rsz A (1,1) (2,5)
B (5,2) (-1,-1)
Kolumna
A B
Wie
rsz A (3,3) (-1,5)
B (5,-1) (0,0)
Równowagi Nasha – wady i zaletyZa
lety Są stabilne
Istnieje przynajmniej jedna dla
Wa
dy Mogą być
nieekwiwaletne
Mogą być niewymiennejedna dla
każdej gryniewymienne
Mogą być nieoptymalne w sensie Pareto
Zastosujmy metodę minimaksową…
Kolumna
A BA B
Wie
rsz A (2,4) (1,0)
B (3,1) (0,4)
Strategia bezpieczeństwa i poziom bezpieczeństwa
W grze o sumie niezerowej strategię optymalną Wiersza w grze Wiersza nazywamy strategią bezpieczeństwa
Wiersza, zaś wartość gry Wiersza Wiersza, zaś wartość gry Wiersza nazywamy poziomem bezpieczeństwa
Wiersza
Co, jeśli oboje zagrają swoje strategie bezpieczeństwa?
� Jeśli Wiersz zagra A, zaś Kolumna 4/7A i 3/7 B, wynikiem będzie 4/7AA+3/7AB=(11/7,16/7)
Kolumna
A B16/7)
Wie
rsz A (2,4) (1,0)
B (3,1) (0,4)
Strategia kontrbezpieczeństwa
W grze o sumie niezerowej strategią kontrbezpieczną
nazywamy strategię będącą nazywamy strategię będącą najlepszą odpowiedzią na strategię bezpieczeństwa przeciwnika
Niestabilność w grach o sumie niezerowej
Strategia Wiersza Strategia Kolumny Wypłata Wiersza Wypłata Kolumny
bezpieczeństwa bezpieczeństwa 1,57 2,29bezpieczeństwa kontrbezpieczna 2,00 4,00kontrbezpieczna Bezpieczeństwa 1,71 2,29kontrbezpieczna Bezpieczeństwa 1,71 2,29kontrbezpieczna Kontrbezpieczna 3,00 1,00
Strategia bezpieczeństwa Wiersza A
Strategia bezpieczeństwa Kolumny 4/7A, 3/7 B
Strategia kontrbezpieczna Wiersza B
Strategia kontrbezpieczna Kolumny A
Rozwiązywalność w ścisłym sensie
� Dwuosobowa gra jest rozwiązywalna w
ścisłym sensie, jeżeli:
�Ma co najmniej jedną równowagę optymalną w sensie Pareto, orazw sensie Pareto, oraz
�Jeśli równowag takich jest więcej, to są one ekwiwalentne i wymienne
Ile równowag? Które paretooptymalne?
Kolumna
A B C
Wie
rsz
A (0,-1) (0,2) (2,3)
B (0,0) (2,1) (1,-1)
C (2,2) (1,4) (1,-1)
Dwie równowagi, która paretooptymalna?
Kolumna
A B C
Wie
rsz
A (0,-1) (0,2) (2,3)
B (0,0) (2,1) (1,-1)
C (2,2) (1,4) (1,-1)
Znajdź równowagę Nasha i sprawdź, czy jest ona paretooptymalna
Kolumna
A B
Wie
rsz
A (3,2) (2,1)
B (4,3) (1,4)
Czy ta gra jest rozwiązywalna w ścisłym sensie?
Kolumna
A B
Wie
rsz
A (2,2) (4,3)
B (3,4) (1,1)
Czy ta gra jest rozwiązywalna w ścisłym sensie?
Kolumna
A B
Wie
rsz
A (2,2) (4,1)
B (1,3) (3,4)
Czy ta gra jest rozwiązywalna w ścisłym sensie?
Kolumna
A B C
Wie
rsz
A (3,0) (5,2) (0,4)
B (2,2) (1,1) (3,3)
C (2,1) (4,0) (1,0)
Czy są jakieś pytania?
Następne zajęcia