Upload
ravi
View
47
Download
0
Embed Size (px)
DESCRIPTION
TEORIA GRAFÓW. 2006 Andrzej Ruciński. WYKŁAD 1. Grafy są wokół nas. Pojęcia wstępne. Przykład 1. ZOO. Budujemy domowe zoo mając do dyspozycji kozę, lwa, wilka, słonia, jastrzębia, zająca i mysz Cel: jak najmniej klatek, zapewniając bezpieczeństwo wszystkich zwierząt. k. l. m. w. z. - PowerPoint PPT Presentation
Citation preview
TEORIA GRAFÓW
2006
Andrzej Ruciński
WYKŁAD 1.
Grafy są wokół nas. Pojęcia wstępne.
Przykład 1. ZOO
• Budujemy domowe zoo mając do dyspozycji kozę, lwa, wilka, słonia, jastrzębia, zająca i mysz
• Cel: jak najmniej klatek, zapewniając bezpieczeństwo wszystkich zwierząt
k
l
s
w
j
z
m
l
s
w
j
k
z
m
Przykład 2. Podział na pary
• Dzielimy grupę 10 osób na pary
• Każdy chce być w parze ze swoim znajomym
Graf Petersena
A
B
CD
E
F
G
HI
J
Graf Petersena
A
B
CD
E
F
G
HI
J
A
B
A
B
Przykład 3. Muzeum
• Zwiedzamy muzeum będące labiryntem korytarzy, w którym obrazy wiszą po obu stronach
• Cel: przejść każdy korytarz 2 razy i wrócić do wyjścia
PLAN MUZEUM
a
bc
d
e
a
b c
d
e
Przykład 4. Trzy domki i trzy studnie
• Mieszkańcy trzech domków chcą korzystać z trzech studni, ale tak by nigdy nie musieli spotkać się w drodze do nich
• Czy jest to możliwe?
D1 D2 D3
S1 S2 S3
? ?
Pojęcie grafu
• Graf to para zbiorów G=(V,E), gdzie
• V to skończony zbiór (wierzchołków)
• E to zbiór 2-elementowych podzbiorów zbioru V (krawędzi)
2
VE
•Inaczej, graf to relacja symetryczna i antyzwrotna•Jeszcze inaczej: symetryczna 0-1 macierz kwadratowa z zerami na przekątnej
Grafy puste i pełne. Dopełnienia grafów.
Graf pełny nV
2
VE
E
VVG
2,
nn KN
nK
Dopełnienie grafu G:
Graf pusty
Te same czy takie same?
a b
c d
G2
a d
c b
G3
a b
c d
G4
a b
d c
G5
a b
d e
G6
a b
c d
G1
Izomorfizm grafów
• Na przykład G1 jest izomorficzny z G2, bo
• f(a)=a, f(c)=c, f(b)=d, f(d)=b
21 GG 21: VVf 21 )()( EvfufEuv
• G1=G5, G2=G3, wszystkie grafy mają tę samą strukturę – są izomorficzne
Automorfizmy
• Automorfizm to izomorfizm grafu w siebie
a b
c d
G1
• Na przykład f(a)=a, f(d)=d, f(c)=b, f(b)=c to 1 z 8 automorfizmów grafu G1
Samodopełnianie
• G nazywamy samodopełniającym, gdy jest izomorficzny ze swoim dopełnieniem
Na przykład
Stopnie wierzchołków
Zachodzi wzór
)(2)( GevdVv
G
Stopniem wierzchołka v nazywamy liczbę dG(v)=d(v) krawędzi grafu zawierających (incydentnych z) v
gdzie e(G)=|E|
Ciąg stopni grafu
Ciąg stopni grafu
Uwaga: Nie każdy ciąg liczb naturalnych jest ciągiem stopni grafu, np. 4,4,3,2,1 lub 3,3,3,2,2
VvG vd )(
• Δ(G)= Δ to największy stopień wierzchołka w grafie,
• δ(G)=δ to najmniejszy stopień.
• Graf jest k-regularny, gdy wszystkie wierzchołki mają stopień k
Podgrafy
• Indukowane
• Rozpięte
• Ani takie, ani takie
Podgrafy indukowane
• Podgraf grafu G=(V,E) indukowany przez podzbiór wierzchołków W to graf G[W]=(W,E’), gdzie E’ składa się ze wszystkich krawędzi grafu G o obu końcach w W.
Podgraf indukowany - ilustracja
W={a,b,c}, G[W] – kolor czerwony
a
b
c
Podgrafy rozpięte
• Rozpięty podgraf grafu G to graf G’=(V,E’), gdzie E’ jest podzbiorem E
Podgrafy
• Podgrafem grafu G=(V,E) nazywamy graf G’=(V’,E’), gdzie V’ jest podzbiorem V, a E’ jest podzbiorem E.
Spójność
• Graf jest spójny, gdy dla każdego podziału V na dwa rozłączne podzbiory A i B istnieje krawędź z A do B (graf jest w 1 „kawałku”)
Inaczej
22
:,BA
EBABAV
Grafy niespójne
A B
B1B2
Wierzchołek cięcia
• G-v=G[V-v]
• Wierzchołek v grafu spójnego G nazywamy wierzchołkiem cięcia, gdy G-v nie jest spójny
• Inaczej, istnieje podział V na A i B :
vBA
22
BAE
Cykle
• Cykl to 2-regularny graf spójny.
• Inaczej: cykl to graf, którego wierzchołki można ponumerować v_1,...,v_n, tak, że pary {v_1, v_2}, {v_2,v_3},...,{v_(n-1),v_n}, {v_n, v_1} są jego jedynymi krawędziami.
• Notacja C_n, dla n=3,4,...
Cykle : ilustracja
C_3=K_3
C_4
C_5
Ścieżki
• ścieżki (grafy spójne o 2 wierzchołkach stopnia 1, a pozostałych o stopniu 2)
• Inaczej: ścieżka to graf, którego wierzchołki można ponumerować v_1,...,v_n, tak, że pary {v_1, v_2}, {v_2,v_3},...,{v_(n-1),v_n}, są jego jedynymi krawędziami.
• Notacja P_n, dla n=1,2,...