42 TEORIA MACROECONÓMICA i FRANCISCO ROSENDE R.

a)m=T+Qo+aQzQo

b) 0= aQzQt+ah+0-a) Qt+1

c) 0= aQ:+(-a) Qz

d) 0= aQzQt+0-a) Q.

(2.s9)

CAP, 2 i EXPECTATIVAS RACIONALES 43

2.4.1 Problema de Extracción de Señales

Un tipo de problemas que habitualmente enfrentan los agentes económi-cos consiste en estimar el comportamiento de variables que no son directamenteobservables, a partir de la evolución exhibida por variables relacionadas. Así porcjemplo, es bien conocido el hecho de que agentes racionales determinarán su

e strategia óptima de consumo y ahorro sobre la base de la evolución esperada de

los salarios y tasas de interés reales. Sin embargo, en el corto plazo es habitualclue tanto los salarios reales como la tasa de interés real se encuentren "ocultos"tlentro de sus correspondientes variables nominales. Luego es necesario utilizarla información disponible para identificar el componente que nos interesa dentrocle una suma de variables. Este se conoce como un "problema de extracción de

señales".

La resolución de un problema de extracción de señales es análoga al análi-sis de regresión, donde se utiliza el método de las proyecciones mínimocuadráticas. Sin embargo, en este caso -la extracción de señales- no interesa la

cstimación de parámetros, sino la estimación de variables no observadas, comosc indicó anteriormente. Se supone que los individuos conocen la distribución de

la variable a estimar, al igual que la de las series relacionadas. Esto es, se supone

c¡ue los individuos conocen la estructura del modelo. En el Anexo 2 de este capí-

tulo se realiza una presentación formal del método de solución de problemas de

cxtracción de señales, haciendo uso del método de las regresiones lineales míni-mo cuadráticas.

Para ilustrar la forma en que se resuelve este tipo de problemas, considere-rnos el siguiente ejercicio.

Supongamos que el agente económico está interesado en estimar la varia-ble aleatoria cD, pero sólo observa l{1 Se sabe que W = 0) I p, y que:

EaP =9,Además se supone que, Eaf - oj,

Dado lo anterior, se tiene qu'e EW = o2

-0.

La estimación mínimo cuadrática de a¡ es entoncesr):

Dado que la "anomalía" en este ejercicio surge en Ios úrtimos dos términosde la conjetura, trabajaremos con las ecuaciones c) y d). De c) se desprenden dossoluciones posibles para A):

1)Qz=O, loque - Qt=O

En este caso el problema que pranteaba ra conjetura irracional desaparece,al eliminarse la influencia de las variables teóricamente improcedentes.

La segunda solución posible es:

11) aQ, +Q- a)=0 =+ ó" =o-ld,

Si se adopta la segunda solución para Oz, al reemplazar en d) se obtieneninfinitas soluciones compatibles con dicha ecuación:

d) 0= (u-I) Qz+e-a) Qz

Luego, la irracionaridad implícita en la conjetura produce soluciones múl_tiples en el modelo, al mismo tiempo que se. plantea una solución exprosiva,dadoque Qr=9?,yqueo<0,porloque #r l._- - - ""'"-

Este tipo de efectos suele denominarse como ,.burbujas,,, en cuanto el sis_tema produce un crecimiento, o decrecimiento acelerado, .l qr" ante un cambio

exógeno puede revertirse violentamentela.

Ea= Epf,'= 6-.D¡)+ 6'.p

" I ,r lrr¡llrr¡l;r sr,"¡ri¡¡q.l¡¡¡"l' l,:t,'x¡ttlsi,rtr l:lrrrl ll'l sr' lr't'tonro "l¡r t'sliln¡¡t ¡ri¡r rlc rrlrl¡rrkl ll''

Iilal Wl = (ro + rr,W. dorrtlc

o,=#=(+##)

a=ffi=&ao= E(D- arEW = 0

Luego se tiene que la proyección de c¡ sobre lfz es igual

E talWl= ..ro,í _, (a + p) = ,o3 "

Wo;+o; oi+ojLa ecuación (2.6r) indica ra proyección óptima de ol, dado w y raestructu_

ra estocástica de las variabres relevantes para efectos de esta estimación. De(2.61) se desprende que, mientras mayor t"u o| menor ", "l "ont"nido

informa_cional de los movimientos en IZcon respecto a la evolución de a¡.

Para ilustrar el uso de este instruméntal, en er problema No 6 se considerauna aplicación de éste a la teoría del ingreso permanente.

Problema No G

Las ecuaciones (2.62)-(2.66) describen los supuestos básicos de ra teoríadel ingreso permanente, donde yp es er ingreso permanente, yresel ingresotransitorio, e Yes el ingreso observado.

C=kYP

Y=Yr+Y,

EY.Y, =0

EYr=Q

C=kIE(YplD]

(2.60)

(2.61)

(2.62)

(2.63)

(2.64)

(2.6s)

(2.66)

cAP ? / FXPrClAllVAS nACloNA r3

La rcsoluci(rn dcl ¡rroblclllr¡ dc ¡lroyccción (rptirna plantcado cn (2'66) re-

rlltict'c haccr uso clel "tctlrcnla dc cxtracción cJe señales", por Io que utilizamos Ia

Iricrrica antes exPuesta.

ElYplYl=ao+al

n[{v,,+Y) Yn)A, = --:-------------' (oíp + o'n)

o,= ^olo ^ =o' (6ír+oh)

ao=EYr-atEY

ao= EY, (i-o,)= *,(#4)= rr,(r-g)

luego la solución es:

(2.67)

(2.68)

(2.6e)

(2.70)ElYr,l l,Yf = EYp(l - 0¡ + Y0

de donde se obtiene,

C = kl(l - 0) EYo+ OYl (2.7r)

De (2.71) se puede desprende que mientras mayor sea la varianza del in-

greso transitorio O"r, menor será la relación entre los movimientos del ingreso

observado de las personas y el nivel de consumo de éstas.

En los capítulos siguientes se analizan temas en los que se utilizan los

conceptos expuestos.

il 0¡il4 MA0not (ioNOMr0A / r-8AN0tsu0 fi0s[NDL H

de donde se tiene,

E,P,*t = E,P*,*t * E,b,*l

y se desprende (2.81)

P,= aotn, I atE,P,*t + alEtb*r r ozlt,= P*, + b,

Dada la definición de {. se tiene que,

b,= arE,b,*,

o alternativamente,

(2.80)

(2.8r)

(2.82)

(2.84)

E,b,*t= a¡tb, (2.83)

Luego, cualquier valor de b que satisfaga la ecuación (2.83) es una solu-ción para el problema de expectativas planteado. Sin embargo, dado que la, | < l,entonces b,tiende a "explotar" en su valor esperado, tal que,

Dándole ciertas formas específicas al proceso de determinación de "b" es

posible generar movimientos de la variable dependiente compatibles con la hi-pótesis de "burbujas especulativas"lT. Por este motivo al término "P*" se le de-nomina como la "solución fundamental" y al término "b" como "burbuja".

2.6. Anexo 2

2.6.1 Regres¡ones Lineales Mínimo Cuadráticas

Consideremos la estimación de una variable aleatoria "y" basada en obser-vaciones de las variables aleatorias xt, x2, x3, ... xn La relación entre "y" y elconjunto de variables que la determina se supone es lineal, como se indica (2.85).

l=ao+a{t+...*a,,x,,

'' liicnt¡rkrsitl rcs¡rcctosc¡luctlcncncor)tntrcnllllnchardyFischcr(l9tl9),Clp.5,o¡t.cil

(2.85)

CAP. 2 / EXPECTATIVAS RACIONALES

En la solución de este problemals se supone que el agente conoce las dis-

tl ibuciones relevantes, lo que se traduce en un conocimiento de la matriz de

¡rrimeros y segundos momentos de las variables consideradas. Esta matriz se

¡rlantea en (2.86).

49

I Ev*,

lo.l,I

IEY*,

t =n(t-2"r,)'

#=-zn(t-¿",,,) *,,,=o

Ex2 Exrxr... Exrx,

Exrx, Er3 ... Exrx,,

Ex,,x, Ex,rx, ... E*1,

(2.86)

Se define y* como el estimador de "y" que minimiza E(y - y*)2' Así, la

condición necesaria y suficiente para este minimización viene dada por:

EIO-y*)x,l=0, (2.87)

o lo que es equivalente,

E {ty- (ao+arxt+... + a,,x,,))x¡l =0, para i=1, "',n (2'88)

La condición expresada en (2.87) y (2.88) es que el error de proyección de

"y " debe ser "ortogonal" a todos los x,. Para verificar el cumplimiento de esta

condición se minimiza la expresión (2.89), con respecto avna an, de donde se

obtiene (2.9O).

(2.8e)

h=1, 2, ..., n (2.e0)

La ecuación (2.90) expresa la "condición de ortogonalidad" antes expues-

ta. Esta ecuación también puede escribirse como se indica en (2.91), o en nota-

ción matricial como se indica en (2.92) y (2.93).

rs Un aniilisis cxlr:rr¡stivo tle l nrritrxkr rlc ¡rroycccir'rn lincll sc cncttcntr¡ cn T. J. Sargcnt, l979, oP' t'it'

'l'irrrrlritinvtiirscS.Mt.(',rllt.¡tv, ^ltt(t¡'t't(,nt)nti("llu'orv,ll:rr¡rtrr'&lürwl)tlhlisllcrs,NcwYork.

l('XX)'

IEORIA MAcRoEcoNÓMIcA / FnANcIs(;O nOS[NDI n

Eyxt, -\a,Ex,x,, = 0i=0

Eyx=(Ex'x) a

Eyx- EyEx------i----Ex'-(Ex)'

(2.et)

(2.92)

(2.e3)

(2.e4)

(2.es)

Ey

Eyxt

Eyxz

Eyx,,

o alternativamente.

Er, Ex, ... Ex,,

E*? Exrx, Exrx,

Exrx" E*l E*r*|,,',,

Exrxu Exrxn E*i

a0

al

a)

4,,

I

E*,

E*,

EX,,

Para el caso de dos variables la condición de ortogonalidad se reduce a:

f"ll* I = f*,*,f-'[ny*,,1tl

L",')

| "l | ' '.1 f,'lLrl= I-r* u.'11,,]

lo que permite resolver los coeficientes aoy a, usando la regla de cramer.

EyExz - EyxEx..rt = -------=-.:-=" Ex'-(Ex)'

ul- (2.e7)

Arreslando ténllinos.

(,At) l,/ | xt)t 0t¡Itv¡li fl¡ctoN¡Lt s 51

(2.e8)

(2.ee)

ao= EY - arEx

E I0 - Ey) (x - Ex)lut -

-

' E (x- Ex)

Luego,

y*=Ey+a(x-Ex) (2.100)

La estimación expresada en (2.100) representa una proyección de "y " so-

bre " x" , la que habitualmente se denota como E [y lx].