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8/16/2019 TEORIA ONDULATÓRIA 1 - FEIRA DE CIÊNCIAS ...pdf
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TEORIA ONDULATÓRIA 1 - FEIRA DE CIÊNCIAS ... OImperdível !
Teoria Ondulatória Tratamento Matemático da onda
Parte 1 Prof. Luiz Ferraz [email protected]
Essa Parte 1 da Teoria Ondulatória contém: Fundamentos físicos;
Velocidade de uma onda eDedução da equação das ondas elásticas
longitudinais.
Fundamentos físicos A teoria ondulatória estuda a propagação de
perturbações nos meios contínuos. O tipo do
meio, bem como a espécie da perturbação, podem ser muito
variados.
No caso das ondas superficiais o meio é um líquido; a
perturbação consiste no
deslocamento, x , das partículas de sua posição de
equilíbrio.
Para as ondas sonoras o meio é um material sólido, líquido ou
gasoso; a perturbação
provém do aparecimento de um estado de superpressão local.
No caso das ondas eletromagnéticas (luz, ondas de rádio) não é
necessário nenhum meio
material. A perturbação consiste na criação de campos elétricos
(magnéticos). ( x , neste
caso, é pois um vetor).
Como exemplo consideremos uma onda de compressão como a
ilustrada abaixo:
Golpeando-se com um martelo a extremidade de uma barra metálica
longa, cria-se assim,
nesta extremidade da barra, uma perturbação (compressão). A
princípio, a primeira camada
tem sua pressão aumentada: suas partículas se afastam, por isto,
da posição de equilíbrio a
uma distância x , que serve como medida da perturbação. A
perturbação se propaga, uma
vez que as partículas individuais se vinculam reciprocamente,
por meio de forças elásticas. As secções transversais vizinhas vão
sofrendo sucessivamente um deslocamento e
retornam ao equilíbrio: a perturbação “caminha”.
mailto:[email protected]
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Para que a perturbação realmente se propague, e com isto se crie
uma onda propriamente
dita, a vinculação é essencial. Vê-se isto, de um modo
particularmente claro, no caso da
cadeia de ondas, um sistema de muitos pêndulos de torção ligados
(experimento
recomendado: clique aqui ).Na maioria dos casos, embora nem
sempre, associa-se a uma
propagação de ondas um transporte de energia.
Nas ondas devem-se distinguir as ondas transversais, em cujo
caso a perturbação x énormal à direção da propagação (à esquerda,
abaixo) e as ondas longitudinais, para as
quais o deslocamento se dá na direção da propagação (à direita,
abaixo)
Deve-se, contudo, observar que numa onda as partículas não se
afastam continuamente,
porém oscilam em torno da posição de equilíbrio. Essencial
ainda, para toda a teoria
ondulatória, é o princípio da superposição: duas perturbações da
mesma espécie x e x
compõem aditivamente uma perturbação resultante x = x1 + x2
.(Demonstração com
ondas na água - cuba de ondas ).
Velocidade de uma onda
A velocidade, com a qual uma perturbação se propaga, somente se
poderá definir de umamaneira simples quando a perturbação não varia
sua forma espacial. Limitar-nos-emos
inicialmente a este caso, restringindo-nos aqui a lidar com um
problema unidimensional
(Exemplo: ondas sinuosas numa corda tensa -- ver experimento
).
Caracterizamos a perturbação por meio de uma grandeza x , que é
função da posição e do
tempo.
Para que uma tal função constitua uma onda, deve satisfazer à
condição seguinte: A
perturbação x deve ter, para os diversos pontos da reta x, para
o tempo t = 0, os valores
dados na curva A: x (x,0) = f(x) .
Esta onda deve se mover com a velocidade de propagação u
dirigida para a direita
(segundo os valores crescentes de x). A perturbação que, para o
tempo t (curva B),
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achamos numa determinada posição x, apresentara-se, para t = 0,
na posição x = x - ut .
Será, portanto:
x (x,t) = x (x ,0) = f(x ) = f(x - ut)
Vemos portanto, que uma função que contém x e t somente na
ligação (x - ut), constitui uma
onda que se propaga com a velocidade u. A velocidade de
propagação u depende das
propriedades do meio transmissor. Com a ajuda de considerações
dimensionais, pode-se
muitas vezes determinar u, a menos de um fator numérico.
Exemplo - 1 : No caso de ondas longitudinais elásticas, u deve
depender do módulo deelasticidade E (módulo de Young) e da
densidade absoluta r : u = f( r ,E).
Sendo porém,
Para o aço (E = 2,2 x 10 newton/m ; r = 7 800 kg/m ) torna-se u
= 5 000 m/s.
Exemplo - 2 : Na propagação de ondas aquáticas em águas rasas
(ondas pesadas), entraem jogo a profundidade h da água bem como a
grandeza da aceleração da gravidade g e,
portanto: u =f(h,g) .
A massa não figura neste caso, como em todos os movimentos,
devido ao peso (massa
inerte = massa pesada). Como[u] = m.s , [h] = m e [g] = m.s
Para h = 0,05 m, g = 9,81 ms será u = 0,7 ms .
Dedução da equação das ondas no exemplo de ondas elásticas
longitudinais .
o
o o
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-2 -1
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Consideremos uma barra bem longa, tendo secção transversal de
área A, densidade r e
módulo de elasticidade E. Uma onda corre no sentido dos x
crescentes (ilustração abaixo).
Neste caso a perturbação consiste no deslocamento das partículas
de uma secção
transversal a uma distância x , na direção x. Estes
deslocamentos processam-se sob a
influência de tensões elásticas t (tração, compressão; t = F/A).
Designaremos a tração na
posição x, no instante t, com t (x, t); na posição x + dx a
compressão será, então, igual a
Visualizemos, agora, o elemento da barra compreendido entre as
duas secções x e x + dx.
Os deslocamentos
nas suas extremidades são diferentes. Este elemento da barra
alongou-se, portanto, sob a
influência das forças.
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Esta é a chamada equação das ondas para a onda elástica ao longo
de uma
barra.Veremos, a seguir, que a expressão representativa de uma
onda longitudinal
propagando-se ao longo do eixo x , a saber, x = f(x - ut) ,
satisfaz realmente à equação de
ondas.
