Espelhos Esféricos - Feira de Ciências

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Espelhos esférics

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    TudosobreFeiras|Projetos5a/8asries|Aparelhosindispensveis|Cinemtica|Dinmica|Esttica|Fluidos|FsicaTrmicaptica|OndaseAcstica|Eletrosttica|Eletrodinmica|Eletromagnetismo|CorrenteAlternada|Eletrnica|Estroboscopia

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    .

    Falecomoprofessor Listageraldosite Pginainicial Envieaumamigo Autor

    pticaGeomtrica(Parte3EspelhosEsfricos)

    Prof.LuizFerrazNettoleobarretos@uol.com.br

    PreliminaresDenominaremosporespelhoesfricoqualquerporodeumasuperfcieesfricacapazdeexibir,empredominncia,ofenmenodareflexoregular.Portanto, o espelho esfrico constitui uma regio de uma casca esfrica, isto , uma calota esfricaondeseverificacondiesparaquesedcommximaintensidadeofenmenodareflexoregulardaluz.Consideraremosqueoespelhosejaobtido,sempre,pela intersecodeumasuperfcieesfricacomumplanosecante,comoindicaaFig.15esquerda.

    Seasuperfcierefletoraestvoltadaparaocentrodasuperfcieesfrica,quecontmoespelhodado,estedenominaseespelhocncavo(internamenterefletor)Fig.15centroseasuperfcierefletoraaquenoestavoltadaparaocentro,oespelhoditoespelhoconvexo(externamenterefletor)Fig.15direita.

    Elementosgeomtricos

    MveisparaLaboratriosProjetosFabricaoeInstalaesEquipamentos,Capelas,Cmaramida

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    a)Centrodecurvatura(C)ocentrodasuperfcieesfricaquecontmacalotaesfricaquedefineoespelho.Fig.16.b)Raiodecurvatura(R)oraiodasuperfcieesfricaquecontmoespelhoesfricodado.c)Curvatura(r),pordefinio,oinversodoseuraiodecurvatura:r=1/R.

    Concluisequeacurvaturadeumespelho(r)eseuraiodecurvatura(R)guardamumarelaoinversa(r.R=1)realmente,quantomaiorfororaiodecurvatura,tantomenorserasuacurvaturaeviceversa.Observeque,seoraiodecurvaturadoespelhoesfricotenderparaoinfinito,acurvaturatenderparazero e, desse modo, poderemos considerar, por extenso, o espelho plano como sendo um casoparticulardeespelhoesfricoraioinfinitamentegrandeecurvaturanula.Sendoacurvaturaoinversodeumcomprimento(oraio),suasunidadessero:cm1,m1etc.

    d)Vrtice(V)oplodacalotaqueconstituioespelho.e)Eixoprincipal(ep)aretadefinidapelovrticeecentrodecurvaturadoespelho,constituindoseueixodesimetria.f)Eixosecundrio(es)todaaretaque,passandopelocentrodecurvatura,'fura"oespelhoemumpontoqualquer(quenoovrtice).Existeminfinitoseixossecundriosnosespelhosesfricos.g)Dimetrodoespelho(d)odimetro(AB)dacircunfernciaquerepresentaabordadoespelho,ouem outras palavras, a distncia que separa dois pontos diametralmente opostos do contorno doespelho.Nocasogeral,odimetrodoespelhomenorqueodimetrodaesferaqueooriginou.Nosespelhosesfricosque iremos considerar emptica geomtrica, os dimetros so insignificantes emcomparaocomosraiosdecurvatura.h)Abertura (a) o ngulo plano determinado por dois eixos secundrios que passam por pontosdiametralmenteopostosdocontornodoespelho(a=ACB),comoseilustranaFig.16.Portanto,aaberturadeumespelhoesfricocoincidecomongulovisualmedianteoqualoobservador,situadonoseucentrodecurvatura,voespelho.Aabertura(a)deumespelho,comomostraaFig.17,variadiretamentecomodimetrod(Rmantidoconstante)einversamente,comoraiodecurvaturaR(dmantidoconstante).

    i)Planomeridianoouseoprincipalqualquerplanoquecontenhaoeixoprincipal(ep)doespelho.Geralmenterepresentamososespelhosatravsdeumasecoprincipal(queentooplanodopapel,quadronegroetc.)enelaestudamososfenmenosdereflexoeaconstruogeomtricadeimagens.j)Plano frontal (p) qualquer plano perpendicular ao eixo principal. Tais planos tm, interesse naconstruode imagens,pois,comoveremos,osespelhosqueconsideraremossoaproximadamenteaplanticos.

    ReflexodaluznosE.E.O fenmeno da reflexo da luz nos espelhos esfricos se processa exatamente damesmamaneiracomovimosparaosespelhosplanos,cadaraiodeluzrefletidoobedecendosduasleisdareflexo.

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    Realmente,consideremosraiodeluz(R1)queincidenoponto(I)dasuperfciedeumespelhoesfrico(cncavoFig.18esquerdaeconvexoFig.18direita).

    Esteraiosereflete(R'1)formandocomanormal(N1)aopontodeincidnciaumangulo(a'1),igualaongulodeincidncia(a1).Nosespelhosesfricos,facilmentepodemosconcluirque,anormalaopontodeincidnciapassapelocentrodecurvaturaequeessasnormaisconstituemeixossecundriosdoespelho.Percebeseaindaque,oprocessodereflexoomesmotantosetratedeespelhocncavocomodeconvexo.Porisso,quando se analisa a reflexo num espelho cncavo, as concluses a que se chegam podem sertomadastambmparaoespelhoconvexo.

    PontoautoconjugadoSeja P um ponto objeto localizado no centro de curvatura C de um espelho esfrico cncavo ouconvexo,conformeseilustranaFig.19esquerdaedireita,respectivamente.OpinceldeluzcujovrticeP, incidenoespelho,demodoque, todososseusraiosconstituintescoincidemcomasnormaisaoespelhopelopontodeincidncia.ConseqentementetaisraiosserefletemsegundoamesmadireoeovrticedessepincelemergentedefineaimagemP'queselocalizatambmnocentrodecurvaturadoespelho. Em decorrncia, o centro de curvatura um ponto autoconjugado nos espelhos esfricos,posto que simultaneamente objeto e imagem, sendo real nos espelhos cncavos e virtual nosconvexos.(Nota:pontospertencentessuperfcierefletorasotambmautoconjugados).

    CondiesdenitidezdeGaussPelaTeoriadeGauss,lembramosque,umsistemapticoditoestigmtico,quandoaumpontoobjetoeleconjugaumnicopontoimagem,comoocasodoespelhoplano.Lembramos ainda que, um sistema ptico dito aplantico quando, a um objeto plano frontal eleconjugaumaimagemplanafrontal,comoocasodoespelhoplano.Introduziremosmaisumconceito:umsistemapticoditoortoscpico,quandoaumobjetoplanoeleconjugaumaimagemplana,geometricamentesemelhanteaoobjeto(isentosdedistores),comoocasodoespelhoplano.

    Espelhoplanoestigmtico,aplanticoeortoscpico.

    Aprtica pe em detalhe que, os espelhos esfricos s em determinadas circunstancias podemserconsiderados (e ainda aproximadamente) estigmticos, aplanticos e ortoscpicos. EssascircunstnciasespeciaissoconhecidascomocondiesdenitidezdeGauss,asaber:

    OsraiosincidentesdevemserPARAAXIAIS,isto,raiosprximosaoeixoprincipal,paralelosoupoucoinclinadosemrelaoaele.

    ConseqnciasdascondiesdeGaussDestascondiesconcluiseque:

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    a)aparte realmentetil noespelhoesfricodeGaussumapequena regioda calotaesfricaemtornodovrtice,ouseja,umespelhoesfricodeaberturabastantereduzida(a

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    Nota2: Todo o exposto acima relativo a pontos sobre o eixo principal, estendesea qualquer pontopertencenteaoeixosecundrio,definindoseentofocosecundrio(Fs).Aocontrriodofocoprincipal,quenico,existeminfinitosfocossecundrios.Fig.23(a).

    Todososfocossecundriosemaisofocoprincipaldefinemnosespelhos,emgeral,umasuperfciecujovrticeofocoprincipal,denominadasuperfciefocal.(Vejaadiante,aberraodeesfericidade).NocasoparticulardosespelhosdeGauss, que soosquenos interessamconsiderar, tal superfciepodeserrepresentadaporumplanofrontalaoespelho,quedenominadaplanofocal(P).Fig.23(b).

    RelaoentreraiodecurvaturaedistnciafocalDemonstrase com certa facilidade, que para os espelhos de Gauss, o foco principal (F), situaseaproximadamenteameiadistnciaentreocentrodecurvatura(C)eovrtice(V),ouseja,adistnciafocal(f)aproximadamenteametadedoraiodecurvatura(R).Fig.24.

    OtringuloCFIissceles,donde:FC=FI...(eq.1)PortratarsedeumespelhodeGauss,opontodeincidnciaIselocalizanasproximidadesdeV,assim,podeseescrever:FI~=FV...(eq.2)

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    Comparandose(eq.1)e(eq.2)pomosFC=FVe,portanto,opontoFaproximadamentepontomdiodosegmentoCV,ouseja:f=R/2(c.q.d.).

    Determinaogeomtricadasimagens1RaiosnotveisSejamdados,umespelhoesfrico(cncavoouconvexo)eumobjetoP(realouvirtual).AopontoobjetoP,oespelhoconjugaopontoimagemP',queserdeterminadopelaintersecodedois(pelomenos)raiosrefletidoscorrespondentesadosraiosincidentesprovenientesdeP.Admitindose as condies de Gauss (estigmatismo, aplanetismo, ortoscopismo) podemos escolherdentretodososraiosprovenientesdePalgunsqueobedecemschamadaspropriedadesfundamentaisdosespelhosesfricos(tambmdenominados"raiosnotveis"),asaber:

    (P1)Umraio de luz (i) que incide paralelamente ao eixo principal, refletese (r),passando pelo focoprincipaldoespelho(conseqnciadadefiniodefoco).Fig.25(a)e(b).

    (P2)Umraiodeluz(i)queincide,passandopelocentrodecurvaturarefletese(r)sobresimesmo(aincidncianormal).Fig.26(a)e(b).

    (P3)Um raiode luz (i)que incidepassandopelo focoprincipal, refletese (r),paralelamenteaoeixoprincipaldoespelho(princpiodocaminhoinversoaplicadoaoP1).Fig.27(a)e(b).

    (P4)Umraiodeluz(i)queincidenovrtice,refletese(r),simetricamenteemrelaoaoeixoprincipaldoespelho(anormaloprprioeixoprincipal).Fig.28(a)e(b).

    (P5)Umraiodeluz(i)queincideparalelamenteaumeixosecundrio,refletese(r)passandopelofoco

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    secundriocorrespondente(definiodefocosecundrio).Fig.29(a)e(b).

    (P6)Umraiode luz (i)que incidepassandoporumfocosecundrio, refletese (r),paralelamenteaoeixosecundriocorrespondente.Fig.30(a)e(b).

    Notas:a)AimagemP'deumpontodeterminada,emgeral,pelaspropriedades(P1)e(P2)uma terceirapropriedadepodeseraplicadacomoconfirmao.Exemplo:DeterminaraimagemP'queoespelhoesfric