Teoría U1 Lógica Números Reales 2014 fileProf.: Ma. Jorgelina Sette – ( 4° 1° - 4° 2° - 4° 4° ) 1/23 Introducción La matemática exige un lenguaje

Prof.: Ma. Jorgelina Sette – ( 4° 1° - 4° 2° - 4° 4° ) 1/23

Introducción La matemática exige un lenguaje claro y preciso que consigue gracias a la lógica matemática o simbólica; que otorga a cada expresión un significado exacto y a cada símbolo una interpretación sin ambigüedades.

La lógica es el estudio del razonamiento; en particular, se analiza si un razonamiento es correcto. La lógica se centra en las relaciones entre enunciados y no en el contenido de un enunciado particular.

Por ejemplo considérese el siguiente argumento: Todos los matemáticos usan sandalias Cualquier persona que utilice sandalias es algebrista Por tanto, todos los matemáticos son algebristas

Desde el punto de vista técnico, la lógica no permite determinar si estos enunciados son verdaderos; sin embargo, si los dos primeros fuesen verdaderos, la lógica garantizaría que el tercer enunciado también es verdadero.

Los métodos lógicos se utilizan en matemática, por ejemplo, para demostrar teoremas, y en computación para demostrar que los programas hacen precisamente lo que deberían hacer.

Nociones de Lógica Simbólica Se define como Proposición a toda expresión de la cual tiene sentido decir si es

Verdadera o Falsa. A las proposiciones se las designa con letras minúsculas: p ; q ; r , . . .

La verdad y la falsedad son los Valores de Verdad que tienen las proposiciones. Si

una proposición es verdadera, se dice que su valor de verdad es Verdad, y si es falsa, se

dice que su valor de verdad es Falsedad.

Ejemplos:

p : “ 5 es un número primo ” Proposición Verdadera.

q : “ Todo hombre es argentino ” Proposición Falsa.

“ x es un número par ” No es proposición.

Las proposiciones se dividen en dos grupos, las Simples o Atómicas , y las

Compuestas o Moleculares. Las simples son aquellas que no contienen dentro de sí

ninguna otra proposición, como por ejemplo p y q. Las compuestas, en cambio, son

aquellas que contienen dentro de sí otras proposiciones (por lo menos una).

Ejemplos:

r : “ Hubo elecciones ” y “ Eligieron senadores ”

s : No “ Conseguimos entradas para el teatro ”

t : Si “ Llego temprano ” entonces “ Te llamo por teléfono ”

ANÁLISIS MATEMÁTICO UNIDAD N° 1: COMPLEMENTO TEÓRICO

Lógica Matemática – Números Reales


Las expresiones: “ y ” , “ o ” , “ si . . . entonces ” , “ no ” , “ si y sólo si ” reciben

el nombre de Conectivas , porque aplicadas a una o más proposiciones, permiten obtener

proposiciones compuestas. Por extensión, se llama también conectivas a los Signos

Lógicos que las representan.

� Negación Signo Lógico : ~~~~

~ p , ( No p) es una proposición falsa si p es verdadera, y verdadera si p es falsa.

p : “ Existen los fantasmas ” Proposición Falsa ( F )

~ p : “ No existen los fantasmas ” Proposición Verdadera ( V )

Tabla de Verdad

p ~ p

V F

F V

Aplicación a un Circuito

La verdad de una proposición puede asociarse al pasaje de corriente en un circuito

eléctrico con un interruptor.

Así, para representar a p , si es F , se tiene: p

y para p , si es V , se tiene: p

Es decir, el interruptor se cierra si p es V y se abre si p es F.

A S

1 0

0 1

� Conjunción Signo Lógico : ∧∧∧∧

p ∧∧∧∧ q , ( p y q ) es una proposición verdadera únicamente si p y q son ambas

verdaderas.

Tabla de Verdad

p q p ∧∧∧∧ q

V V V

F V F

V F F

F F F



A B S

1 1 1

0 1 0

1 0 0

0 0 0

Este circuito admite el pasaje de corriente, es decir la verdad de A ∧ B, sólo si

ambos son V – se cierran -.

Ejemplos en lenguaje coloquial:

u : “ 3 es impar ” y “ rojo es color primario ” ( V )

v : “ Daniel y Diego son ingenieros ” es abreviación de:

“ Daniel es ingeniero ” y “ Diego es ingeniero ” y su valor de verdad

dependerá del valor de verdad de las proposiciones simples.

w : “ Lucas y Agustín son hermanos ” . Observar que en este ejemplo, a

diferencia del anterior, la y establece una relación (no conjunción), luego

esta es una proposición simple.

Nota: ver Intersección de Conjuntos en página N°: 12.

� Disyunción Signo Lógico : ∨∨∨∨

p ∨∨∨∨ q , ( p o q ) es una proposición falsa únicamente si p y q son ambas falsas.

Tabla de Verdad

p q p ∨∨∨∨ q

V V V

F V V

V F V

F F F


A B S

1 1 1

0 1 1

1 0 1

0 0 0

Como vemos, admite el pasaje de corriente cuando al menos una de los dos

interruptores se cierra.

Circuito en Serie

Circuito en Paralelo


Ejemplo en lenguaje coloquial:

z : “ Saldré a pasear ” o “ Escucharé música ”

Nota: ver Unión de Conjuntos en página N°: 12.

Aplicación a un Circuito cuya lógica sea la de la forma proposicional ( ) rqp ∨∧

Analicen su funcionamiento y realicen la tabla de verdad correspondiente.

� Disyunción Exclusiva Signo Lógico : ∨∨∨∨

p ∨∨∨∨ q , ( p ó q ) es una proposición verdadera solamente si una de ellas es

verdadera.


n : “ Saldré a pasear ” o “ Me quedaré en casa ”

Tabla de Verdad

p q p ∨∨∨∨ q

V V F

F V V

V F V

F F F

Nota: ver Diferencia Simétrica en página N°: 13.


A B S

1 1 0

0 1 1

1 0 1

0 0 0

� Implicación Signo Lógico : ⇒⇒⇒⇒

p ⇒⇒⇒⇒ q , ( si p entonces q ) o ( p implica q ) es una proposición falsa solamente

cuando p es verdadera y q es falsa.


A la proposición p se la llama antecedente y a la proposición q consecuente.

Tabla de Verdad

p q p ⇒⇒⇒⇒ q

V V V

F V V

V F F

F F V


A B S

1 1 1

0 1 1

1 0 0

0 0 1


s : Si “ Me levanto temprano ” entonces “ Tomaré el tren de las siete ”

Analicen el ejemplo. Tener en cuenta que los casos de antecedente falso y

consecuente verdadero y, antecedente y consecuente falsos resultan raros o sin sentido en

el lenguaje ordinario, y por eso es difícil inferir qué valores de verdad les corresponden. La

lógica completa lo que el lenguaje ordinario deja sin decidir y resuelve considerarlos

verdaderos.

� Doble Implicación Signo Lógico : ⇔⇔⇔⇔

p ⇔⇔⇔⇔ q , ( p si y sólo si q ) es una proposición verdadera solamente si p y q

tienen el mismo valor de verdad.

Tabla de Verdad

p q p ⇔⇔⇔⇔ q

V V V

F V F

V F F

F F V


t : “ Jugaremos a las cartas ” si y sólo si “ Reunimos cuatro personas ”

� Tautologías – Contradicciones y Contingencias


Observen la tabla de verdad de las siguientes formas proposicionales y traten de

formular una definición para: tautología, contradicción y contingencia.

a) ( p ∧∧∧∧ q ) ⇒⇒⇒⇒ p - Tautología

p q p ∧∧∧∧ q p ( p ∧∧∧∧ q ) ⇒⇒⇒⇒ p

V V V V V

F V F F V

V F F V V

F F F F V

b) p ∧∧∧∧ ~ p - Contradicción

p ~ p p ∧∧∧∧ ~ p

V F F

F V F

c) p ⇒⇒⇒⇒ ~ q

p q ~ q p ⇒⇒⇒⇒ ~ q

V V F F

F V F V

V F V V

F F V V

Las tautologías son las leyes de la lógica proposicional. Algunas tautologías reciben

nombres especiales por ser de uso muy frecuente.

Ejemplos: - entre otras –

� p ⇔⇔⇔⇔ p Identidad

� (((( )))) ⇔⇔⇔⇔� �� p p Involución

� (((( ))))(((( ))))

∧ ⇔∧ ⇔∧ ⇔∧ ⇔

∨ ⇔∨ ⇔∨ ⇔∨ ⇔

��

��

p p p

p p p Idempotencia

� ∨ ⇔ ∨∨ ⇔ ∨∨ ⇔ ∨∨ ⇔ ∨∧ ⇔ ∧∧ ⇔ ∧∧ ⇔ ∧∧ ⇔ ∧

p q q p

p q q p Conmutatividad

� (((( )))) (((( )))) (((( ))))(((( )))) (((( )))) (((( ))))

∨ ∧ ⇔ ∧ ∨ ∧∨ ∧ ⇔ ∧ ∨ ∧∨ ∧ ⇔ ∧ ∨ ∧∨ ∧ ⇔ ∧ ∨ ∧

∧ ∨ ⇔ ∨ ∧ ∨∧ ∨ ⇔ ∨ ∧ ∨∧ ∨ ⇔ ∨ ∧ ∨∧ ∨ ⇔ ∨ ∧ ∨

p q r p q q r

p q r p q q r Distributividad

� (((( ))))(((( ))))

∧ ⇔ ∨∧ ⇔ ∨∧ ⇔ ∨∧ ⇔ ∨

∨ ⇔ ∧∨ ⇔ ∧∨ ⇔ ∧∨ ⇔ ∧

� � ��

� � ��

p q p q

p q p q De Morgan


� (((( )))) (((( ))))(((( )))) (((( ))))

∨ ∨ ⇔ ∨ ∨∨ ∨ ⇔ ∨ ∨∨ ∨ ⇔ ∨ ∨∨ ∨ ⇔ ∨ ∨

∧ ∧ ⇔ ∧ ∧∧ ∧ ⇔ ∧ ∧∧ ∧ ⇔ ∧ ∧∧ ∧ ⇔ ∧ ∧

p q r p q r

p q r p q r Asociatividad

� [ ( p ⇒⇒⇒⇒ q ) ∧∧∧∧ p ] ⇒⇒⇒⇒ q

Realicen la tabla de verdad de cada una de las leyes anteriores.

La Matemática, esa disciplina que alguna vez fue definida como la creación más

original del ingenio humano, ¿ será tautológica ?.

Bertrand Russell sostenía que un teorema no es otra cosa que una proposición que

se demuestra a partir de empleo adecuado de axiomas y reglas, postura que no distingue

prácticamente entre Lógica y Matemática. Una famosa frase suya fue “la matemática es

una vasta tautología”.

¿Qué es una tautología? – Es un enunciado que siempre es verdadero,

independientemente de la verdad de sus componentes.

Veamos un ejemplo: “ llueve o no llueve ”. Más allá de que diluvie o brille el sol, la

frase es verdadera; es el principio del tercero excluido, el mismo que en Lógica se enuncia:

p ∨ ~ p , ( p o no p ). He aquí una tautología: podemos reemplazar a p por cualquier

proposición verdadera o falsa, y eso no afectará a la verdad de p o no p.

Otra cita muy celebrada de Russell que refuerza su posición es: “ La Matemática es

una ciencia en donde nunca se sabe de qué se habla, ni si lo que se dice es verdadero ”.

Los invito a investigar sobre la vida y la obra de Bertrand Russell quien fuera uno de los más

distinguidos filósofos y matemáticos del siglo XX.

� Función Proposicional

La expresión “ x es un número par” no es una proposición, ya que no es verdadera

ni falsa, por estar indeterminado el número del cual se predica que es par. Pero se

transforma en proposición si se reemplaza a x por un número.

Ejemplos:

p : “ 3 es un número par ” ( F )

q : “ 0 es un número par ” ( V )

r : “ -7 es un número par ” ( F )

La expresión “ x es un número par” recibe entonces el nombre de Función

Proposicional y se simboliza: p ( x ).

Una función proposicional puede transformarse en proposición verdadera para

algunos valores de la variable, para todos o para ninguno.

� Cuantificadores


a) Universal - Algunas proposiciones están precedidas por las palabras todo, todos,

cualquier, cualquiera, ningún, ninguno, nada, nadie y se llaman proposiciones

universales como por ejemplo:

“ Todo hombre es mortal ” ; “ Cualquier hormiga es insecto ” ; “ Nada es útil ”

Se las simboliza: ∀∀∀∀ x : p ( x ) que se lee: para todo x se verifica la proposición

p; o bien, en el caso del último ejemplo: ∀∀∀∀ x : ~ p ( x ).

Estas proposiciones serán verdaderas cuando todos los casos de sustitución sean

verdaderos y serán falsas cuando por lo menos un caso de sustitución sea falso.

b) Existencial - Algunas proposiciones van precedidas por las palabras algún,

algunos, algo, hay, ciertos, ciertas, y se llaman proposiciones existenciales como

por ejemplo:

“Algunos globos son rojos” ; “Hay hongos que son venenosos”

“Ciertas avenidas no tienen doble circulación”

Se las simboliza: ∃∃∃∃ x / p ( x ) que se lee: existe al menos un x tal que verifica la

proposición p; el último ejemplo se simboliza: ∃∃∃∃ x / ~ p ( x ).

Las proposiciones existenciales son verdaderas cuando hay por lo menos un caso de

sustitución de la función proposicional que es verdadero, y son falsos cuando no hay

ningún caso que la haga verdadera.

Conjuntos (repaso de primer año)

� Conjunto – Elemento – Pertenencia

Existen conceptos-términos que por ser muy primitivos se aceptan sin definir. En la

teoría de conjuntos los términos primitivos son: Conjunto, Elemento, Pertenece /

Pertenencia.

Un conjunto está formado por elementos y los elementos pueden o no pertenecer al

conjunto.

Conjunto

Conceptos Básicos Elemento

Pertenencia

Ejemplo 1:

“El conjunto de los alumnos de 4° año 4° división de la E.T. N° 28”

Del cual podremos decir si: “López pertenece o no pertenece a dicho conjunto”

Existen dos formas diferentes para definir a un mismo conjunto, ellas son por

Extensión y por Comprensión. Debemos tener en cuenta que en lenguaje simbólico a los

conjuntos se los designa con letra imprenta mayúscula y a los elementos con letra

minúscula.

∈∈∈∈∉∉∉∉ pertenece

no pertenece


En la definición por extensión se nombran uno a uno los elementos del conjunto,

entre llaves y separados por comas.

Ejemplo 2:

{{{{ }}}}{{{{ }}}}{{{{ }}}}

A

B

C

====

====

====

rojo , amarillo , azul

Misiones , Corrientes , Entre Ríos

2 , 4 , 6 , 8

En la definición de un conjunto por comprensión se menciona una propiedad, que

permita decidir sin ambigüedades cuáles son los elementos del conjunto.

Así definidos los conjuntos del ejemplo dos son:

{{{{ }}}}

{{{{ }}}}

es color primario

es provincia de la Mesopotamia Argenti na

2 10

xA x

xB x

xC x xx

••••

====

====

= ∈ Ν ∧ ∈ ∧ <= ∈ Ν ∧ ∈ ∧ <= ∈ Ν ∧ ∈ ∧ <= ∈ Ν ∧ ∈ ∧ <

Ejercicio 1: Escribe por comprensión o por extensión según corresponda:

{{{{ }}}} {{{{ }}}} a , e , i , o , u ; . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .

; 3 21 ..................

D D

xE x x Ex

••••

= == == == =

= ∈ Ν ∧ ∈ ∧ ≤ == ∈ Ν ∧ ∈ ∧ ≤ == ∈ Ν ∧ ∈ ∧ ≤ == ∈ Ν ∧ ∈ ∧ ≤ =

{{{{ }}}}............................

Para representar gráficamente un conjunto se utiliza el Diagrama de Venn en el

cual los elementos pertenecientes a un conjunto se encierran con una curva cerrada.

Ejemplo 3: Representar el conjunto D mediante un Diagrama de Venn.

� Conjuntos con Nombres Especiales Hay conjuntos llevan su nombre según su número de elementos o cardinal.

2••••

ΝΝΝΝ∧∧∧∧

<<<<

"x tal que x"

"Conj. nros. Naturales"

" y "

"Múltiplos de dos"

"menor que"

xx

≤≤≤≤ "menor o igual que"

D

. a .e . i . o . u

0

#

Ν ≥Ν ≥Ν ≥Ν ≥∞ ∅∞ ∅∞ ∅∞ ∅

"Naturales con el cero" "Mayor o igual que"

"Infinito" "Conjunto Vacío"

"Cardinal"


{{{{ }}}}{{{{ }}}} (((( ))))

{{{{ }}}} {{{{ }}}}(((( ))))

0

0

5 9 4

1

xM x

M M M

xP x Px

P

xH x

= ° °= ° °= ° °= ° °

= ∅ = == ∅ = == ∅ = == ∅ = =

= ∈ Ν ∧ + = == ∈ Ν ∧ + = == ∈ Ν ∧ + = == ∈ Ν ∧ + = =

====

====

es alumno de 4 1 que nació en Marte

o bien ; # M es: Co njunto Vacío

;

# P es: Conjunto Unitario

es provincia argenti{{{{ }}}}na que limita con Chubut

{{{{ }}}} (((( )))){{{{ }}}} {{{{ }}}}

(((( ))))

2

13 16 14 15 16

3

5 15 15 ,

H H

xS x Sx

S

xT x x Tx

••••

= == == == =

= ∈ Ν ∧ < ≤ == ∈ Ν ∧ < ≤ == ∈ Ν ∧ < ≤ == ∈ Ν ∧ < ≤ =

====

= ∈ Ν ∧ ∈ ∧ ≥ == ∈ Ν ∧ ∈ ∧ ≥ == ∈ Ν ∧ ∈ ∧ ≥ == ∈ Ν ∧ ∈ ∧ ≥ =

Río Negro , Santa Cruz , # H es: Conjunto Binario

; , ,

# S es: Conjunto Terna

; {{{{ }}}}

(((( ))))

20 , 25 , 30 ,

T = ∞= ∞= ∞= ∞

. . .

# T es : Conjunto Infinito

� Conjunto Universal o Referencial

Se llama conjunto universal o referencial al conjunto formado por todos les

elementos del tema de referencia. Para distinguirlo de cualquier otro conjunto su diagrama

es un rectángulo y el nombre se indica generalmente con U.

Ejemplo 4:

{{{{ }}}}{{{{ }}}}

es provincia de la Región de Cuyo

es provincia de la Región Pampeana

xV x

xW x

====

====

U {{{{ }}}} es provincia de la República Argenti naxx====

Ejemplo 5:

{{{{ }}}}{{{{ }}}}

es número par

es número impar

xG x

xF x

====

==== U = ��

� Complemento

Se llama complemento de un conjunto A, al conjunto formado por los elementos del

universal que no pertenecen a A.

Ejemplo 6:

U {{{{ }}}} es vocalxx====

{{{{ }}}} {{{{ }}}}{{{{ }}}}

es vocal cerrada ,

, ,

xA i ux

A a e o

= == == == =

====

U

. a .. .e . o

A . i . u

" Complemento de A "A


Los conjuntos se pueden vincular entre sí mediante relaciones, o pueden originar otros

conjuntos mediante operaciones.

� Relación de Inclusión

Vamos a decir que un conjunto B está incluido en otro conjunto A cuando todo

elemento que pertenece a B, también pertenece a A.

(((( )))):⊂ ⇔ ∀ ∈⊂ ⇔ ∀ ∈⊂ ⇔ ∀ ∈⊂ ⇔ ∀ ∈ ⇒⇒⇒⇒ ∈∈∈∈B A x x B x A

Ejemplo 7:

{{{{ }}}} {{{{ }}}}

{{{{ }}}} {{{{ }}}}

5

8 14 1 , 2 , 3 , 4 ,

4 6 4 , 5 , 6

xA xx

xB xx

= ∈ Ν ∧ + ≤ == ∈ Ν ∧ + ≤ == ∈ Ν ∧ + ≤ == ∈ Ν ∧ + ≤ =

= ∈ Ν ∧ ≤ ≤ == ∈ Ν ∧ ≤ ≤ == ∈ Ν ∧ ≤ ≤ == ∈ Ν ∧ ≤ ≤ =

Verifica la definición y comprueba que B ⊂⊂⊂⊂ A.

A

� Todo conjunto está incluido en sí mismo: A ⊆⊆⊆⊆ A

� El conjunto vacío está incluido en todos los conjuntos.

Atención!!!

conjunto conjunto y conjunto elemento

⊄∉

⊂∈

� Relación de Igualdad

Dos conjuntos son iguales cuando tienen los mismos elementos.

También podemos escribir la definición de la siguiente manera:

= ⇔ ⊆ ∧ ⊆= ⇔ ⊆ ∧ ⊆= ⇔ ⊆ ∧ ⊆= ⇔ ⊆ ∧ ⊆ A B A B B A

� Operaciones entre conjuntos

B

.4 .5 .6

.1 .2 .3

∀∀∀∀⊂⊂⊂⊂⊆⊆⊆⊆⇒⇒⇒⇒

⇔⇔⇔⇔

"Para todo"

"Incluido"

"Inclusión amplia"

"Implica que"

"si sólo si"


INTERSECCIÓN: la Intersección de dos conjuntos es el conjunto formado por los

elementos comunes a ambos. (La zona sombreada en el diagrama corresponde a la

intersección)

{{{{ }}}}∩ = ∈ ∧ ∈∩ = ∈ ∧ ∈∩ = ∈ ∧ ∈∩ = ∈ ∧ ∈xA B A x Bx

A B

A

⊂⊂⊂⊂ ⇒⇒⇒⇒ ∩ = ⊂∩ = ⊂∩ = ⊂∩ = ⊂ ⇒⇒⇒⇒ ∩ =∩ =∩ =∩ = y B A A B B A B A B A

� ∩ = ∅∩ = ∅∩ = ∅∩ = ∅ entonces A y B son conjuntos disjuntos.A B

� ∩ ∅ = ∅ ∩ = ∅∩ ∅ = ∅ ∩ = ∅∩ ∅ = ∅ ∩ = ∅∩ ∅ = ∅ ∩ = ∅A A

Ejemplo 8:

{{{{ }}}} {{{{ }}}} {{{{ }}}}5 7 16 4 8 7 5 5 7= = ∩ == = ∩ == = ∩ == = ∩ =, , , , , , y resulta A B A B

Ubica en el diagrama los elementos.

UNIÓN: la Unión de dos conjuntos es un nuevo conjunto formado por todos los

elementos pertenecientes a cada conjunto. (Las zonas sombreadas corresponden a la unión

de los conjuntos A y B.

{{{{ }}}}∪ = ∈ ∨ ∈∪ = ∈ ∨ ∈∪ = ∈ ∨ ∈∪ = ∈ ∨ ∈ xA B A x Bx

A B A B

∩∩∩∩ "Intersección"

B B

A

∪∪∪∪∨∨∨∨ "Unión"

" o "


A B

⊂⊂⊂⊂ ⇒⇒⇒⇒ ∪ = ⊂∪ = ⊂∪ = ⊂∪ = ⊂ ⇒⇒⇒⇒ ∪ =∪ =∪ =∪ = y B A A B A A B A B B

� ∪ ∅ = ∅ ∪ =∪ ∅ = ∅ ∪ =∪ ∅ = ∅ ∪ =∪ ∅ = ∅ ∪ =A A A

Ejemplo 9: para los conjuntos del ejemplo 8 resulta:

{{{{ }}}}4 5 7 8 16∪ =∪ =∪ =∪ = , , , , A B

DIFERENCIA: se llama Diferencia entre un conjunto A y un conjunto B al conjunto

formado por los elementos de A que no pertenecen a B.

{{{{ }}}}− = ∈ ∧ ∉− = ∈ ∧ ∉− = ∈ ∧ ∉− = ∈ ∧ ∉ xA B A x Bx

La zona sombreada corresponde a la diferencia A – B.

� Usando diferencia de conjuntos puede expresarse: =A U – A

DIFERENCIA SIMÉTRICA: la Diferencia Simétrica entre A y B es el conjunto

formado por todos los elementos que pertenecen a A ó a B, pero no a ambos. Se designa

A ∆∆∆∆ B.

{{{{ }}}}∆ = ∈ ∨ ∈∆ = ∈ ∨ ∈∆ = ∈ ∨ ∈∆ = ∈ ∨ ∈ xA B A x Bx

B A


Utilizando operaciones entre conjuntos la zona sombreada también la podemos

expresar como:

(((( )))) (((( ))))∆ = − −∆ = − −∆ = − −∆ = − −UUUU A B A B B A

Conjuntos Numéricos

� Conjunto de los Números Naturales: ��

Se llama números naturales a los que se utilizan para contar. Comúnmente se

distingue entre:

{ } { }= =01 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5� �� , , , , ,... y , , , , , ,...

Es un conjunto ordenado que tiene primer elemento y su cardinal es infinito

numerable.

Se los representa gráficamente por medio de puntos de una semirrecta:

� Conjunto de los Números Enteros: �� Negativos y Positivos

Se introducen los números negativos de modo que a cada número natural n le

corresponde un ente, al que llamamos – n , caracterizado por la siguiente propiedad:

- n + n = 0 ( 0 = - 0 )

Para los otros números naturales, como 1 , 2 , 3 , etc., se obtienen entes nuevos, -1 , -

2 , -3 , etc., a los que llamaremos números enteros negativos. Por contraposición, a los

naturales se los llama también enteros positivos.

{ } { }+ −= = = − − − − −1 2 3 4 5 1 2 3 4 5� � �� , , , , ,... y , , , , ,...

{ }− += ∪ ∪ ⊂ ⊂0� � � � � �� 0 ,

Se representan mediante puntos en una recta de la siguiente manera:


� Conjunto de los Números Racionales: ��

Llamamos número racional a cualquier fracción entre números enteros,

estableciendo que la igualdad m/n = p/q es equivalente a la igualdad m.q = n.p.

Recordemos que en toda fracción el denominador debe ser distinto de cero.

En este conjunto tienen solución las divisiones del tipo: 2:3 , 7:5 , etc.,

conservando las operaciones los resultados y propiedades fundamentales de �� .

Los números racionales pueden escribirse como expresiones decimales infinitas

periódicas:

= = = = = = =1 5 1130 5 0 50000 0 50 0 55555 0 5 1 25555 1 25

2 9 90

)))) ) )) )) )) ), , ... , ; , ... , ; , ... ,

Los racionales a b y

b a se llaman recíprocos.

Todos los números racionales pueden ser representados en la recta numérica por un

punto llamado racional. El número racional ab

se puede considerar como el cociente que

se obtiene al dividir a por b; en donde b indica el número de partes en que se divide la

unidad y a el número de partes que se toman.

De esta manera, si se divide en tres partes iguales cada segmento unidad en la recta

numérica, podemos representar los números racionales cuya representación fraccionaria

tiene como denominador 3, como se muestra en el ejemplo siguiente.

Los puntos racionales forman un conjunto denso , propiedad que no cumplen los

conjuntos anteriores, y significa que es posible hallar entre dos puntos racionales – por

próximos que éstos estén – infinitos puntos racionales.

� Conjunto de los Números Reales: ��

A la soberbia demostración del Teorema de Pitágoras siguió el hallazgo de una

entidad cuya existencia se infiere del propio teorema: el (horroroso) número irracional.

Los griegos no eran capaces de concebir magnitudes que no fueran expresables mediante el

cociente de dos enteros, toda su concepción del mundo se basaba en esos números. Tras la

comprobación del teorema que debió ser su mayor gloria se encontraron con un hecho que

conmovería su visión del mundo.

Se cuenta que los pitagóricos, después de probar el teorema se sintieron tan

extasiados que ofrecieron a los dioses una hecatombe, tenían una idea mística en la cual la

matemática era central. Pero su aplicación al caso más simple que se pueda concebir, el

cálculo de la diagonal del cuadrado de lado 1, lleva inevitablemente a observar que existe

una magnitud cuyo cuadrado es igual a 2.

Fueron los propios pitagóricos quienes demostraron que la raíz cuadrada de 2 no es

racional, resultado que no se llevaba muy bien con su filosofía. Esta demostración fue una


vergüenza, y decidieron ocultarla. Existen diversas leyendas en torno a estos sucesos, una

de ellas cuenta que Hipaso de Metoponto, el descubridor de la cruel verdad fue arrojado

por la borda de un navío. A pesar de su falsedad histórica, la anécdota nos permite afirmar

que los pitagóricos se vieron desbordados por los acontecimientos. Texto seleccionado de “La

matemática como una de las Bellas Artes” de Pablo Amster: profesor en la Facultad de Ciencias Exactas y

Naturales de la UBA – Investigador del CONICET.

Al Conjunto de los Números Irracionales pertenecen todos aquellos números que

no pueden expresarse como cociente de números enteros – son las expresiones decimales

infinitas no periódicas -. Por ejemplo:

32 1 4142135 3 1415926 2 7182818 32 3 1748021ππππ= = = − = −= = = − = −= = = − = −= = = − = −, ... , ... , ... , ... ; ; e ;

las raíces de índice par y radicando positivo y las raíces de índice impar que no tienen

resultado exacto, también son números irracionales.

Llamamos Número Real a todo número Racional o Irracional.

Si llamamos I al conjunto de todos los números irracionales, podemos considerar :

�� = �� I, �� , I �� .

Este conjunto además se ser denso, es continuo. Esto significa que existe una

correspondencia uno a uno - biunívoca - entre cada número real y cada punto de la recta.

(Los reales cubren la totalidad de la recta numérica). El cardinal de este conjunto es

infinito no numerable.

Es importante recordar que para cualesquiera dos números reales diferentes a los

que llamaremos a y b, siempre uno es mayor que el otro:

� Si a – b es positivo, entonces a > b.

� Si b – a es positivo, entonces a < b.

Diagrama de Conjuntos:

Nota 1: los números complejos que estudiaste el año pasado y que incluyen a los reales, no

son objeto de estudio en esta asignatura.

Nota 2: se sugiere repasar las distintas operaciones y sus propiedades en los distintos

conjuntos numéricos.


k-k[ ]

0

k-k( )

0

� VALOR ABSOLUTO DE UN NÚMERO REAL

Desde un punto de vista geométrico, el valor absoluto de un número real a, que se

simboliza | a | corresponde a la distancia a lo largo de la recta numérica real desde a hasta

el número cero. En general, el valor absoluto de la diferencia de dos números reales es la

distancia entre ellos.

Definición:

0

0

≥≥≥≥==== − <− <− <− <

si

si

a aa

a a

Ejemplos:

(((( ))))5 5 3 3 3= − = − − == − = − − == − = − − == − = − − = ;

3 5 2 2− = − =− = − =− = − =− = − = distancia entre los números 3 y 5

Propiedades:

� 0≥≥≥≥ a No Negatividad

� 0 0= ⇔ == ⇔ == ⇔ == ⇔ = a a Definición Positiva

� 2 ====a a

� = −= −= −= − a a Simetría

(((( ))))4 4 4 4= − = − − == − = − − == − = − − == − = − − = y 4

� ⋅ = ⋅⋅ = ⋅⋅ = ⋅⋅ = ⋅ a b a b Multiplicativa

3 5 3 5

15 3 5

15 15

− ⋅ = − ⋅− ⋅ = − ⋅− ⋅ = − ⋅− ⋅ = − ⋅− = ⋅− = ⋅− = ⋅− = ⋅

====

� + ≤ ++ ≤ ++ ≤ ++ ≤ + a b a b Aditiva

(((( ))))3 5 3 5 3 5 3 5

8 3 5 2 3 5

8 8 2 8

− + − = − + − − + < − +− + − = − + − − + < − +− + − = − + − − + < − +− + − = − + − − + < − +

− = + < +− = + < +− = + < +− = + < += <= <= <= <

;

� 0= ≠= ≠= ≠= ≠

con

aab

b b División

� 0∀ > ∀ ≤ ⇔ − ≤ ≤∀ > ∀ ≤ ⇔ − ≤ ≤∀ > ∀ ≤ ⇔ − ≤ ≤∀ > ∀ ≤ ⇔ − ≤ ≤, : k x x k k x k

O bien

≤≤≤≤≤ ⇔ ∧≤ ⇔ ∧≤ ⇔ ∧≤ ⇔ ∧ ≥ −≥ −≥ −≥ −

x k

x k

x k

La misma propiedad es válida para menor en lugar de menor o igual en cuyo

caso los números reales que cumplen con la propiedad son los del intervalo:


k-k] [

0

� 0

≥≥≥≥∀ > ∀ ≥ ⇔ ∨∀ > ∀ ≥ ⇔ ∨∀ > ∀ ≥ ⇔ ∨∀ > ∀ ≥ ⇔ ∨ ≤ −≤ −≤ −≤ −

, :

x k

k x x k

x k

La misma propiedad es válida para mayor en lugar de mayor o igual en cuyo

caso los números reales que cumplen con la propiedad son los del intervalo:

Conjuntos de Puntos

� Intervalos

Intervalo Cerrado [ a ; b ] : es el conjunto de número reales formado por a, por b y

todos los comprendidos entre ambos.

[[[[ ]]]] {{{{ }}}}= ∈ ∧ ≤ ≤= ∈ ∧ ≤ ≤= ∈ ∧ ≤ ≤= ∈ ∧ ≤ ≤��; / a b x x a x b

Intervalo Abierto ( a ; b ) : es el conjunto de número comprendidos entre a y b.

(((( )))) {{{{ }}}}= ∈ ∧ < <= ∈ ∧ < <= ∈ ∧ < <= ∈ ∧ < <��; / a b x x a x b

Intervalo Semi-cerrado a izquierda o Semi-abierto a derecha [ a ; b ) : es el

conjunto de número reales formado por a, y todos los comprendidos entre a y b.

[[[[ )))) {{{{ }}}}= ∈ ∧ ≤ <= ∈ ∧ ≤ <= ∈ ∧ ≤ <= ∈ ∧ ≤ <��; / a b x x a x b

Intervalo Semi-cerrado a derecho o Semi-abierto a izquierda ( a ; b ] : es el

conjunto de número reales formado por b, y todos los comprendidos entre a y b.

(((( ]]]] {{{{ }}}}= ∈ ∧ < ≤= ∈ ∧ < ≤= ∈ ∧ < ≤= ∈ ∧ < ≤��; / a b x x a x b

k-k) (

0


a[

b(

c]

d)

Generalización :

[[[[ )))) {{{{ }}}}+∞ = ∈ ∧ ≥+∞ = ∈ ∧ ≥+∞ = ∈ ∧ ≥+∞ = ∈ ∧ ≥��; /a x x x a

(((( )))) {{{{ }}}}+∞ = ∈ ∧ >+∞ = ∈ ∧ >+∞ = ∈ ∧ >+∞ = ∈ ∧ >��; / b x x x b

(((( ]]]] {{{{ }}}}−∞ = ∈ ∧ ≤−∞ = ∈ ∧ ≤−∞ = ∈ ∧ ≤−∞ = ∈ ∧ ≤��; / c x x x c

(((( )))) {{{{ }}}}−∞ = ∈ ∧ <−∞ = ∈ ∧ <−∞ = ∈ ∧ <−∞ = ∈ ∧ <��; / d x x x d

(((( ))))−∞ +∞ =−∞ +∞ =−∞ +∞ =−∞ +∞ = ��;

� Entornos

Entorno: Si a es un punto cualquiera de la recta real y h un número positivo,

entorno de centro a y radio h es el intervalo abierto ( a-h ; a+h ).

(((( )))) {{{{ }}}}

(((( )))) {{{{ }}}}

= ∈ − < < += ∈ − < < += ∈ − < < += ∈ − < < +

= ∈ − <= ∈ − <= ∈ − <= ∈ − <

��

��

; /

; /

o

E a h x a h x a h

E a h x x a h

Entorno Reducido: Si a es un punto cualquiera de la recta real y h un número

positivo, entorno reducido de centro a y radio h es el conjunto de puntos del

intervalo abierto ( a-h ; a+h ) del cual se excluye el punto a.

{{{{ }}}}

{{{{ }}}}0

= ∈ ∧ ≠ ∧ − < < += ∈ ∧ ≠ ∧ − < < += ∈ ∧ ≠ ∧ − < < += ∈ ∧ ≠ ∧ − < < +

= ∈ ∧ < − <= ∈ ∧ < − <= ∈ ∧ < − <= ∈ ∧ < − <

��

��

´( ; ) /

´( ; ) /

o

E a h x x x a a h x a h

E a h x x x a h


� Ejercicios Resueltos

Ecuaciones e Inecuaciones

Al resolver ecuaciones o inecuaciones en reales es importante que tengas es cuenta y

muy claros los siguientes conceptos:

� Para que un producto o cociente (denominador siempre distinto de cero) resulten

nulos:

0 0 0⋅ = ⇔ = ∨ =⋅ = ⇔ = ∨ =⋅ = ⇔ = ∨ =⋅ = ⇔ = ∨ =a b a b 0 0= ⇔ == ⇔ == ⇔ == ⇔ =aa

b

Ejemplos:

(((( ))))

{{{{ }}}}

2 0

0 2 0

0 2

0 2

⋅ − =⋅ − =⋅ − =⋅ − == ∨ − == ∨ − == ∨ − == ∨ − == ∨ == ∨ == ∨ == ∨ =

==== ;

x x

x x

x x

S

{{{{ }}}}

40 1

14 0

4

4

++++ = ≠= ≠= ≠= ≠−−−−+ =+ =+ =+ == −= −= −= −= −= −= −= −

x con x

xx

x

S

� Regla de los signos para que un producto o cociente resulten positivos. La forma

simbólica de escribir positivo es: “ > 0 ” y negativo es: “ < 0 ”

0 0

0

0 0

> ∧ >> ∧ >> ∧ >> ∧ >⋅ > ⇔ ∨⋅ > ⇔ ∨⋅ > ⇔ ∨⋅ > ⇔ ∨ < ∧ << ∧ << ∧ << ∧ <

a b

a b

a b

(más por más o, menos por menos)

0 0

0

0 0

> ∧ >> ∧ >> ∧ >> ∧ >> ⇔ ∨> ⇔ ∨> ⇔ ∨> ⇔ ∨ < ∧ << ∧ << ∧ << ∧ <

a ba

b

a b

(más sobre más o, menos sobre menos)

� En el caso de considerar positivo o cero un cociente se debe tener especial atención a

que el denominador siempre es distinto de cero (la división por cero: No Existe).

0 0

0

0 0

≥ ∧ ≥≥ ∧ ≥≥ ∧ ≥≥ ∧ ≥⋅ ≥ ⇔ ∨⋅ ≥ ⇔ ∨⋅ ≥ ⇔ ∨⋅ ≥ ⇔ ∨ ≤ ∧ ≤≤ ∧ ≤≤ ∧ ≤≤ ∧ ≤

a b

a b

a b

0 0

0

0 0

≥ ∧ >≥ ∧ >≥ ∧ >≥ ∧ >≥ ⇔ ∨≥ ⇔ ∨≥ ⇔ ∨≥ ⇔ ∨ ≤ ∧ <≤ ∧ <≤ ∧ <≤ ∧ <

a ba

b

a b

� Regla de los signos para que un producto o cociente resulten negativos. La forma

simbólica de escribir positivo es: “ > 0 ” y negativo es: “ < 0 ”

0 0

0

0 0

> ∧ <> ∧ <> ∧ <> ∧ <⋅ < ⇔ ∨⋅ < ⇔ ∨⋅ < ⇔ ∨⋅ < ⇔ ∨ < ∧ >< ∧ >< ∧ >< ∧ >

a b

a b

a b

(más por menos o, menos por más)

0 0

0

0 0

> ∧ <> ∧ <> ∧ <> ∧ << ⇔ ∨< ⇔ ∨< ⇔ ∨< ⇔ ∨ < ∧ >< ∧ >< ∧ >< ∧ >

a ba

b

a b

(más sobre menos o, menos sobre más)


� Nuevamente atención, en el caso de considerar negativo o cero un cociente no

olvidarse que: la división por cero: No Existe.

0 0

0

0 0

≥ ∧ ≤≥ ∧ ≤≥ ∧ ≤≥ ∧ ≤⋅ ≤ ⇔ ∨⋅ ≤ ⇔ ∨⋅ ≤ ⇔ ∨⋅ ≤ ⇔ ∨ ≤ ∧ ≥≤ ∧ ≥≤ ∧ ≥≤ ∧ ≥

a b

a b

a b

0 0

0

0 0

≥ ∧ <≥ ∧ <≥ ∧ <≥ ∧ <≤ ⇔ ∨≤ ⇔ ∨≤ ⇔ ∨≤ ⇔ ∨ ≤ ∧ >≤ ∧ >≤ ∧ >≤ ∧ >

a ba

b

a b

Ejemplos:

(((( ))))

(((( )))) (((( ))))

2 0

0 2 0

0 2 0

0 2

0 2

0 2

⋅ − >⋅ − >⋅ − >⋅ − >

> ∧ − >> ∧ − >> ∧ − >> ∧ − > ∨∨∨∨ < ∧ − << ∧ − << ∧ − << ∧ − <

> ∧ >> ∧ >> ∧ >> ∧ > ∨∨∨∨ < ∧ << ∧ << ∧ << ∧ <

= −∞ ∪ +∞= −∞ ∪ +∞= −∞ ∪ +∞= −∞ ∪ +∞; ;

x x

x x

x x

x x

x x

S

[[[[ )))) [[[[ ))))

40

1

4 0 1 0

4 0 1 0

4 1

4 1

4 1 4 1

++++ ≤≤≤≤−−−−

+ ≥ ∧ − <+ ≥ ∧ − <+ ≥ ∧ − <+ ≥ ∧ − < ∨∨∨∨ + ≤ ∧ − >+ ≤ ∧ − >+ ≤ ∧ − >+ ≤ ∧ − >

≥ − ∧ <≥ − ∧ <≥ − ∧ <≥ − ∧ < ∨∨∨∨ ≤ − ∧ >≤ − ∧ >≤ − ∧ >≤ − ∧ >

= − ∪ ∅ = −= − ∪ ∅ = −= − ∪ ∅ = −= − ∪ ∅ = −; ;

x

x

x x

x x

x x

x x

S

Ecuaciones e Inecuaciones con Valor Absoluto Para resolver este tipo de ecuaciones e inecuaciones debemos tener en cuenta la

definición y las propiedades de valor absoluto. “Si las barras de módulo están en el ejercicio no

podemos proceder como si no estuviesen” – para eliminarlas debemos utilizar la definición o las

propiedades – .

Ejemplo 1:

2 1− = −− = −− = −− = −

= ∅= ∅= ∅= ∅

x

S

El valor absoluto es no negativo. {{{{ }}}}

2 0

2 0

2

2

− =− =− =− =− =− =− =− =

========

x

x

x

S

Definición positiva.

{{{{ }}}}

2 6

2 6 2 6

8 4

4 8

− =− =− =− =− = ∨ − = −− = ∨ − = −− = ∨ − = −− = ∨ − = −

= ∨ = −= ∨ = −= ∨ = −= ∨ = −= −= −= −= − ;

x

x x

x x

S

Simetría.

Ejemplo 2:


3 1 5+ + =+ + =+ + =+ + =x

{{{{ }}}}

{{{{ }}}}

1

2

1 2

3 1 5 1 2

3 1 5 1 8

1 2 1

1 2 3

1 8 1 8

1 3

1 3

+ + = + =+ + = + =+ + = + =+ + = + = ⇔ ∨ ⇔ ∨ ⇔⇔ ∨ ⇔ ∨ ⇔⇔ ∨ ⇔ ∨ ⇔⇔ ∨ ⇔ ∨ ⇔ + + = − + = −+ + = − + = −+ + = − + = −+ + = − + = −

+ = =+ = =+ = =+ = = ∨ ∨∨ ∨∨ ∨∨ ∨ + = − = −+ = − = −+ = − = −+ = − = − ⇔ ⇔ ⇔⇔ ⇔ ⇔⇔ ⇔ ⇔⇔ ⇔ ⇔ ∨ ∨∨ ∨∨ ∨∨ ∨ + = − + = −+ = − + = −+ = − + = −+ = − + = −

= −= −= −= −⇔ ∪⇔ ∪⇔ ∪⇔ ∪ = ∅= ∅= ∅= ∅

∴ = ∪ = −∴ = ∪ = −∴ = ∪ = −∴ = ∪ = −

;

;

x x

x x

x x

x x

x x

S

S

S S S

2 6 4− − =− − =− − =− − =x

1

2 6 4 2 10

2 6 4 2 2

2 10 12

2 10 8

2 2 2 4

2 2 2 0

12

− − = − =− − = − =− − = − =− − = − = ⇔ ∨ ⇔ ∨ ⇔⇔ ∨ ⇔ ∨ ⇔⇔ ∨ ⇔ ∨ ⇔⇔ ∨ ⇔ ∨ ⇔ − − = − − =− − = − − =− − = − − =− − = − − =

− = =− = =− = =− = = ∨ ∨∨ ∨∨ ∨∨ ∨ − = − = −− = − = −− = − = −− = − = −

∨ ∨∨ ∨∨ ∨∨ ∨ ⇔ ⇔ ⇔⇔ ⇔ ⇔⇔ ⇔ ⇔⇔ ⇔ ⇔ − = − =− = − =− = − =− = − =

∨ ∨∨ ∨∨ ∨∨ ∨ − = − − =− = − − =− = − − =− = − − =

= −= −= −= −⇔⇔⇔⇔

;

x x

x x

x x

x x

x x

x x

S {{{{ }}}}

{{{{ }}}}{{{{ }}}}

2

1 2

8

4 0

8 0 4 12

∪∪∪∪ ====

∴ = ∪ = −∴ = ∪ = −∴ = ∪ = −∴ = ∪ = −

;

; ; ;

S

S S S

Ejemplo 3:

22 0

3− ≥− ≥− ≥− ≥

==== ��

x

S

¿ Por qué ?

22 0

3− <− <− <− <

= ∅= ∅= ∅= ∅

x

S

¿ Por qué ?

{{{{ }}}}

22 0

32

2 03

22

33

3

− >− >− >− >

− =− =− =− =

− = −− = −− = −− = −

===== −= −= −= −��

x

x

x

x

S

¿ Por qué ?

Ejemplo 4: Aplicación propiedad: 0∀ > ∀ ≤ ⇔ − ≤ ≤∀ > ∀ ≤ ⇔ − ≤ ≤∀ > ∀ ≤ ⇔ − ≤ ≤∀ > ∀ ≤ ⇔ − ≤ ≤, : k x x k k x k

12 3 3 3 1 3

2 3 3

2 3 3 3 5 53

1 5 1 53 3 3 3

≥ −≥ −≥ −≥ −− ≤ − ≤− ≤ − ≤− ≤ − ≤− ≤ − ≤ − ≤ ⇔ ∧ ⇔ ∧ ⇔ ∧ ⇔− ≤ ⇔ ∧ ⇔ ∧ ⇔ ∧ ⇔− ≤ ⇔ ∧ ⇔ ∧ ⇔ ∧ ⇔− ≤ ⇔ ∧ ⇔ ∧ ⇔ ∧ ⇔

− ≥ − − ≥ −− ≥ − − ≥ −− ≥ − − ≥ −− ≥ − − ≥ − ≤≤≤≤

= − +∞ ∩ −∞ = −= − +∞ ∩ −∞ = −= − +∞ ∩ −∞ = −= − +∞ ∩ −∞ = − ; ; ;

xx x

x

x xx

S


Ejemplo 5: Aplicación propiedad: 0

≥≥≥≥∀ > ∀ ≥ ⇔ ∨∀ > ∀ ≥ ⇔ ∨∀ > ∀ ≥ ⇔ ∨∀ > ∀ ≥ ⇔ ∨ ≤ −≤ −≤ −≤ −

, :

x k

k x x k

x k

(((( ))))

(((( ))))

2 6 3 22 6 2 63 3 0 0

2 2 22 6

32

2 6 2 6 2 6 3 23 3 0 02 2 2

+ − −+ − −+ − −+ − −+ ++ ++ ++ + ≥ − ≥ ≥≥ − ≥ ≥≥ − ≥ ≥≥ − ≥ ≥ − − −− − −− − −− − − ++++ ≥ ⇔ ∨ ⇔ ∨ ⇔ ∨ ⇔≥ ⇔ ∨ ⇔ ∨ ⇔ ∨ ⇔≥ ⇔ ∨ ⇔ ∨ ⇔ ∨ ⇔≥ ⇔ ∨ ⇔ ∨ ⇔ ∨ ⇔ −−−− + ++ ++ ++ + + + −+ + −+ + −+ + − ≤ − + ≤≤ − + ≤≤ − + ≤≤ − + ≤ ≤≤≤≤ −−−− −−−− −−−−

x xx xx x x

x

xx x x xx x x

12 0 2 0

120 12 0 2 02

5 5 0 2 002

5 0 2 0

− + ≥ ∧ − >− + ≥ ∧ − >− + ≥ ∧ − >− + ≥ ∧ − > ∨∨∨∨− +− +− +− + ≥≥≥≥ − + ≤ ∧ − <− + ≤ ∧ − <− + ≤ ∧ − <− + ≤ ∧ − <−−−− ⇔ ∨ ⇔ ∨ ⇔⇔ ∨ ⇔ ∨ ⇔⇔ ∨ ⇔ ∨ ⇔⇔ ∨ ⇔ ∨ ⇔

≥ ∧ − <≥ ∧ − <≥ ∧ − <≥ ∧ − < ≤≤≤≤ −−−− ∨∨∨∨ ≤ ∧ − >≤ ∧ − >≤ ∧ − >≤ ∧ − >

x x

xx xx

x x xx

x x

12 2

12 2

0 2

0 2

≤ ∧ >≤ ∧ >≤ ∧ >≤ ∧ > ∨∨∨∨ ≥ ∧ <≥ ∧ <≥ ∧ <≥ ∧ < ∨ ⇔∨ ⇔∨ ⇔∨ ⇔ ≥ ∧ <≥ ∧ <≥ ∧ <≥ ∧ < ∨∨∨∨ ≤ ∧ >≤ ∧ >≤ ∧ >≤ ∧ >

x x

x x

x x

x x

(((( ]]]]

[[[[ ))))[[[[ )))) (((( ]]]]

1

2

2 12

0 2 2 12

0 2

= ∪ ∅= ∪ ∅= ∪ ∅= ∪ ∅⇔ ∪ ⇔ = ∪⇔ ∪ ⇔ = ∪⇔ ∪ ⇔ = ∪⇔ ∪ ⇔ = ∪ = ∪ ∅= ∪ ∅= ∪ ∅= ∪ ∅

;

; ;

;

S

S

S

Establecer las soluciones puede resultar más fácil si se representan las operaciones

entre intervalos en la recta numérica.

Ejemplo 6: Inecuaciones de segundo grado: (((( )))) (((( ))))21 2⋅ + ⋅ + = ⋅ − ⋅ −⋅ + ⋅ + = ⋅ − ⋅ −⋅ + ⋅ + = ⋅ − ⋅ −⋅ + ⋅ + = ⋅ − ⋅ −a x b x c a x x x x

(((( )))) (((( ))))

[[[[ ]]]] [[[[ ]]]]

2 4 0

2 2 0

2 0 2 0

2 0 2 0

2 2

2 2

2 2 2 2

− ≤− ≤− ≤− ≤− ⋅ + ≤− ⋅ + ≤− ⋅ + ≤− ⋅ + ≤

− ≥ ∧ + ≤− ≥ ∧ + ≤− ≥ ∧ + ≤− ≥ ∧ + ≤ ∨∨∨∨ − ≤ ∧ + ≥− ≤ ∧ + ≥− ≤ ∧ + ≥− ≤ ∧ + ≥

≥ ∧ ≤ −≥ ∧ ≤ −≥ ∧ ≤ −≥ ∧ ≤ − ∨∨∨∨ ≤ ∧ ≥ −≤ ∧ ≥ −≤ ∧ ≥ −≤ ∧ ≥ −

= − ∪ ∅ = −= − ∪ ∅ = −= − ∪ ∅ = −= − ∪ ∅ = −; ;

x

x x

x x

x x

x x

x x

S

[[[[ ]]]]

2

2

2

4 0

4

4

2

2 2

2 2

− ≤− ≤− ≤− ≤

≤≤≤≤

≤≤≤≤≤≤≤≤

− ≤ ≤− ≤ ≤− ≤ ≤− ≤ ≤= −= −= −= − ;

x

x

x

x

x

S

El mismo ejercicio resuelto con módulo.

Grafiquen la parábola asociada e

interpreten la solución.

(((( )))){{{{ }}}}

2

2

4 4 0

2 0

2

− + >− + >− + >− + >

− >− >− >− >= −= −= −= −��

x x

x

S



(((( ))))

2

2

2 1 0

1 0

+ + <+ + <+ + <+ + <

+ <+ <+ <+ <= ∅= ∅= ∅= ∅

x x

x

S



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Teoría U1 Lógica Números Reales 2014 fileProf.: Ma. Jorgelina Sette – ( 4° 1° - 4° 2° - 4° 4° ) 1/23 Introducción La matemática exige un lenguaje