S.B. Leble Skrypt dla studentów Wydziału FTiMS

PG, stworzonego przez notatki studienckie, podziękowanie dla Michała

Kulczykowskiego, Piotra Markuszewskiego, Michała Ryszka, Jana Tuziemskiego,

Marcina Traczyka, Michała Lewandowskiego, Andrzeja Pałnickiego, Kajetana

Wojtackiego, Grzegorza Łukasika.

Teoria Wzlędnosci i Grawitacji

26 maja 2014

Politechnika GdańskaGdańsk 2006

Spis treści

1 Teoria względnosci I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1 Wstęp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1 Układy odniesienia, współrzędne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.2 Definicja odleglosci i synchronizacja zegarow w IUO . . . 11.1.3 Notki historyczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Propagacja fal elektromagnetycznych. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2.1 Układ równań Maxwella . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3 Równania falowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2 Teoria względności II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.1 Wyprowadzenie Transformacji Lorentza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2 Geometria czasoprzestrzeni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.3 Kowariantność, tensory i metryka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.3.1 Tensory w przestrzeni Euklidesa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.3.2 Tensory w przestrzeni Minkowskiego . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.4 Kinematyka relatywistyczna i cztero-wektory. . . . . . . . . . . . . . . . 132.5 Mechanika relatywistyczna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.6 Prędkość względna. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.7 Przestrzeń Łobaczewskiego. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3 Teoria względności III. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.1 Szczególna teoria względności w dowolnych współrzędnych. . . . 213.2 Kolejność wydarzeń . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.3 Ruch przyśpieszony . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.4 Czym jest położenie i czas? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.5 Propagacja fali elektromagnetycznej. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.6 Inercjalne układy odniesienia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.7 Efekt Dopplera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.8 Prędkość względna. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

VI Spis treści

4 Uwagi matematyczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274.1 Pojęcie grupy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274.2 Przestrzeń liniowa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274.3 Odległość to norma różnicy wektórów. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274.4 Obrót. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284.5 Transformacje infinityzymalne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284.6 Algebra Liego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284.7 Zasada kowariantności. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284.8 Algebra tensorów. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294.9 Nieskończenie małe transformacje grupy Lorentza . . . . . . . . . . . 294.10 Przestrzeń Riemanna. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294.11 Równanie geodezyjnej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314.12 Grupa Ruchów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4.12.1 Równania Killinga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324.13 Grupy Lorentza i Poincare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

5 W stronę teorii grawitacji I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355.1 Tensor masy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355.2 Przykłady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

5.2.1 Nieoddziałujące cząstki materii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365.2.2 Tensor masy dla cieczy doskonałej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

5.3 Elektrodynamika - tensor masy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405.3.1 Tensor energii dla pola elektromagnetycznego . . . . . . . . . 405.3.2 Masa i energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

6 Geometria rożniczkowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436.1 Transformacje przestrzennych i czasowych wspólrzędnych . . . . . 43

7 Przestrzeń Riemanna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 477.1 Rozmaitość Riemanna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 477.2 Linia geodezyjna równolegle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 487.3 Równoległe przenoszenie wektorów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 497.4 Różniczkowanie kowariantne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 527.5 Transformacja Nawiasów Christoffela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

8 Tensory krzywizny Riemanna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 578.1 Tensor Krzywizny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

8.1.1 Wprowadzenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 578.1.2 Kilka własności . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 588.1.3 Inne tensory krzywizny. Kontrakcje. . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

9 Teoria grawiacji I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 599.1 Podstawy Teorii Grawitacji Newtona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

9.1.1 Prawo Galileusza. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 599.1.2 Interpretacja geometrycznz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

Spis treści VII

9.2 Uwagi o pomiarach spektralnych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

10 Teoria grawitacji II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6110.1 Równanie Grawitacji Einsteina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6110.2 Porównanie z teorią Newtona. Warunki brzegowe . . . . . . . . . . . . 6210.3 Rozwiązanie równań Einsteina w pierwszym przybliżeniu.

Wyznaczenie stałej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6310.4 Pole grawitacyjne izolowanej cząstki punktowej . . . . . . . . . . . . . . 6710.5 Ruch peryhelium planet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7110.6 Prędkosć propagacji pola grawitacji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7610.7 Perspektywa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7810.8 Odchylenie promienia wiatła w polu grawitacji (w pobliżu

Słońca) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7910.9 Przesunięcie ku czerwieni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

Literatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

1

Teoria względnosci I

1.1 Wstęp

1.1.1 Układy odniesienia, współrzędne

1. Położenie ciała w przestrzeni w danej chwili czasu i układzie odniesienia.Definicja przez pomiary.

W mechanice klasycznej stan cząstki punktowej określany jest współrzęd-nymi położenia i pędu w inercjalnem układzie odniesienia (IUO). Koniecznymjest pomiar dt.

Względność położenia i CZASU [11].

1.1.2 Definicja odleglosci i synchronizacja zegarow w IUO

Wiki:Śynchronizacja (z starogr. synchronos - równoczesny) - koordynacja w cza-

sie, co najmniej dwóch zjawisk (procesów), tzn. dążenie do równoległego, nie-zależnego ich przebiegu, skoordynowanego w czasie lub do jednoczesnego ichzakończenia. Pojęcie synchronizacji występuje w fizyce, informatyce, elektro-nice, telekomunikacji, robotyce, multimediach (np. synchronizacja dźwięku zobrazem), muzyce i ekonomii (synchronizacja cykli koniunkturalnych).”

W formalizmie Szczególnej Teorii Względności występuje problem syn-chronizacji zegarów, które służą do pomiaru czasu.

ε(n,uE) = 12 (1 + buEn) .

W ramach tej teorii można mówić o synchronizacji absolutnej i synchro-nizacji standardowej, zwanej również synchronizacją Einsteina-Poincare:

* Synchronizacja standardowa nazywana także synchronizacją Einsteina-Poincare, gdzie prędkość światła w obu kierunkach jest taka sama. W tymprzypadku b = 0, więc

2 1 Teoria względnosci I

c = n, ε = 12

i otrzymujemy standardową postac transformacji Lorentza.Fock:Odleglosc.1, Scala pomiarowa (metr fizyczny, secunda - zegar)2, Triangulacja:wiki:”Triangulacja - metoda pomiaru osnów geodezyjnych, polegająca na okre-

śleniu wielkości wszystkich kątów i jednej długości w sieci składającej się ztrójkątów. Pomiar służy, po obliczeniu i wyrównaniu wyników pomiarów, okre-śleniu współrzędnych geodezyjnych wszystkich punktów sieci triangulacyjnej.W zależności od dokładności (klasy sieci) boki w triangulacji wynoszą od 2do 25 kilometrów.”

3. RadiolokacjaWiki:Żadiolokacja - technika umiejscawiania, śledzenia oraz określania położenia

obiektów powietrznych, naziemnych, kosmicznych w przestrzeni przy pomocyfal elektromagnetycznych. Jest działem radiokomunikacji.”

Radiolokacja wykorzystuje prostoliniowość rozchodzenia się fal elektroma-gnetycznych oraz zjawisko ich odbicia od przeszkód. W radiolokacji stosuje sięfale radiowe o długościach od kilku metrów do kilku milimetrów. Przykłademurządzenia radiolokacyjnego jest radar.

Wszystko - w geometrii Euklidesowskiej, jnaczej - sprzeczność ...Podkreślic; Wszyskie prawa geometrii jako experimentalne!3. światło (EM fale) - jako bazowe. W tym sensie - dlugość - ilość dlugości

fal.Pomiary prędkości światła - konieczność zastosowania sposobów niezależ-

nych od tej wiedzy!Jeśli założyć że prędkość w obu kierukach taka sama - wystarcze mierzyć

tylko czas w jednym punkcie. (okres drgań cząsteczki, etc)Więc jeśli τ - ten czas,c = 2r

τ , gdzie r mieżono biezpośrednio,więc - czynnik przeliczenia odległości - czas.Porównanie wskazań zegarów na odległości r za pomocą sygnałów, patrz

też [3]..

1.1.3 Notki historyczne

Transformacja Lorentzahttp : /en.wikipedia.orgikiistoryofLorentztransformationshttps : /archive.orgetails lathorielectrom00loregoog1. [?] Abstrakt:The book presents ideas by H. Poincar´e and H.Minkowski according to

those the essence and the main content of the relativity theory are the follo-wing: the space and time form unique four-dimensional continuum supplied by

1.2 Propagacja fal elektromagnetycznych. 3

the pseudo-Euclidean geometry. All physical processes take place just in thefour- dimensional space. Comments to works and quotations related to thissubject by L. de Broglie, P.A.M.Dirac, A. Einstein, V. L.Ginzburg, S.GoldbergP. Langevin, H.A. Lorentz, L. I.Mandel’stam, H.Minkowski, A. Pais, W. PauliM. Planck, A. Sommerfeld and H.Weyl are given in the book. It is also shownthat the special theory of relativity has been created not by A. Einstein onlybu even to greater extent by H. Poincar´e. The book is designed for scien-tific workers, post-graduates and upper-yea students majoring in theoreticalphysics.

2. [?] Abstrakt:The ways in which A Einstein and D Hilbert independently arrived at the

gravitational eeld equations are traced. A critical analysis is presented of anumber of papers in which the history of the derivation of the equations isviewed in a way “that radically differs from the standard point of view”. Theconclusions of these papers are shown to be totally unfounded.

2. [?]. Abstrakt:”The paper relates the history of the discovery of the gravitational eeld

equations by A. Einstein and D. Hilbert in November 1915. New insight intothe subject was gained from the proof-sheet, discovered in 1997 in the Univer-sity of Goettingen archive, of Hilbert’s talk he made on 20 November 1915 andpublished in March 1916. The history of the development of the general the-ory of relativity prior to the discovery of the generally covariant gravitationalfield equations is also discussed.”

1.2 Propagacja fal elektromagnetycznych.

1.2.1 Układ równań Maxwella

Zatem podsumujmy: równania Maxwella (w próżni) w postaci różniczkowej,w jązyku operatora ∇, twożą układ:

równanie Coulomba:∇ ·E = 4πρ, (1.1)

łaczy pole elektryczne vecE i gęstość ładunku ρ. Prawo Biota-Savarta-Laplace’aoraz brak ładunków magnetycznych:

∇ ·B = 0, (1.2)

dla wectora indukcji magnetycznej vecB, prawo Faradaya:

1c

∂B∂t

= −∇×E, (1.3)

równanie Ampere’a-Maxwella:

1c

∂E∂t

= ∇×B− 4πc

j, (1.4)

4 1 Teoria względnosci I

gdzie: j(r, t) - gęstość prądu elektrycznego.

Korzystając z własności równań (1.1) i (1.4), możemy wyprowadzić zasadęzachowania ładunku elektrycznego. Policzmy najpierw dywergencję równania(1.4)

∇ · [∇×B] =1c

∂(∇ ·E)∂t

+4πc

(∇ · j), (1.5)

pamiętając jednak, iż:(∇, [∇×B]

)=([∇×∇],B

)= 0. (1.6)

Otrzymamy:

0 =1c

∂(4πρ)∂t

+4πc

(∇ · j) (1.7)

Porządkując powyższe równanie a następnie dzieląc przez czynnik 4πc , dosta-jemy:

∂ρ

∂t+∇ · j = 0 (1.8)

Równanie (1.8) przedstawia prawo zachowania ładunku elektrycznego w po-staci rózniczkowej (= równanie ciągłości). Prawo to nie jest założeniem apriori, lecz bezpośrednio wynika więc z równań Maxwella, co zresztą udowod-niliśmy. Jest ono spełnione (w postaci (1.8)) dla modelu ciągłego rozkładuładunków. Historycznie Maxwell opierał się na prawie (1.8) w- w postaci cał-kowej, sprawdzając niezbędność dodawania tzw. ”prądów przesunięcia- członu∂E∂t do rownania Ampera.

Wprowadzenie pól elektrycznego i magnetycznego pozwala na niezależnerozpatrzenie ładunków jako źródeł pola, które też podlegają działaniu siłelektromagnetycznych. Dla każdego (wybranego) ładunku obecność innychładunków wpływa na jego ruch (np., przyspieszając ), co z kolei opisujemyrównaniem ruchu. Aby zamknąć układ równań Maxwella (tj. dokonać peł-nego opisu) konieczne jest dopisanie równań ruchu z śiłą Lorentza po prawejstronie. Kiedy jednak istnieje możliwość zaniedbania przyspieszenia ładunkówźródeł, korzystamy z równań Maxwella, rozpatrując opis ładunków tylko napodstawie gęstości ładunku i gęstości prądu, jako danych.

Jeżeli na ładunki próbne będą działać jednakowe siły, to rozkład pól E i Bjest jednakowy w określonym punkcie przestrzeni. Bardzo ważne jest stwier-dzenie, iż pola elektromagnetyczne mogą istnieć w obszarach, w których brakjest źródeł. Istotnym faktem jest również to, że E i B mogą być one nośnikamienergii, pędu, momentu pędu.

Przeanalizujmy teraz matematyczną podstawę opisu pól E i B, mianowicieukładu równań Maxwella’a (1.1 - 1.4). Ogólna liczba równań Maxwella wynosiosiem. Dwa z nich (1.2), (1.1) są równaniami, w których nie ma pochodnych poczasie. Dzięki temu możemy w dowolnej chwili wyznaczyć jedną ze składowychobu pól E i B, aby następnie podstawić do pozostałych, dynamicznych (tj.zawierających pochodne po czasie) równań.

1.3 Równania falowe 5

Inaczej, równania (1.1) i (1.2) wprowadzają pewne więzy dla podstawo-wych zmiennych (tj. E i B), np.:

Bz =∫

(∂Bx∂x

+∂By∂y

)dz. (1.9)

Więzy te są ważne w dowolnym czasie, a więc i w chwili początkowej. Tooznacza, że tylko cztery ze składowych pól są dynamicznie niezależne, a więcmożna zostawić cztery równania przy uzyskaniu zależności od czasu.

Z tego wynika, że sformułowanie zagadnienia początkowego (tj. zagadnie-nia Cauchy’ego) dla układu równań Maxwella składa się z czterech warunkówpoczątkowych. Powróczymi do szczególnego sformulowania zagadnien mate-matyki stosowanej w konkretnych przykładach odpowiednich rozdziałow.

1.3 Równania falowe

Powróczmy do układu równań Maxwella (1.1 - 1.4). Równania dynamiki(zmian z czasem) łanczą pole elektryczne z polem magnetycznym. Istneje jed-nak możliwość ich sprowadzenia do równania dlja jednej ze składowych, któraopera się na liniowość tych równan oraz na niezależność współczybbików odwspółrzędnych r, t. Rozważmy II i IV równania Maxwella:

1c

∂B∂t

= −∇×E, (1.10a)

1c

∂E∂t

= ∇×B− 4πc

j. (1.10b)

Różniczkując (1.10b) po czasie, po dzieleniu przez c, otrzymamy

1c2∂2E∂t2

= ∇× 1c

∂B∂t− 4πc2∂j∂t. (1.11)

Do równania (1.11) podstawmy (1.10a), uwzględniając tożsamość −∇× (∇×E) == −∇(∇ ·E) +∇2E i pierwsze równanie Maxwell’a (1.1);

1c2∂2E∂t2

= 4E−∇ (4πρ)− 4πc2∂j∂t. (1.12)

Powyższa równość ma postać nejednorodnego równania falowego:

�E = f , (1.13)

gdzie � jest operatorem d’Alemberta (kwabłą), przy czym

f = −4π(

1c2∂j∂t

+∇ρ). (1.14)

6 1 Teoria względnosci I

Po rozwiązaniu równań (1.13) z uwzgłednieniem (1.1) powinnyśmy powrócićdo jednego z rownań (1.10a,1.10b) żeby wyznacić składowe pola B naturalnie,z uwzgłednieniem węza (1.2).

Alternatywą może byc sporowadzenie układu (1.10a,1.10b) do równaniafalowego dla B i następnych obliczeń już składowych pola E.

2

Teoria względności II

2.1 Wyprowadzenie Transformacji Lorentza

Podstawą, na której zbudowano tzw. „Teorię względności” była niezmienni-czość równań Maxwella (1.1 - 1.4) w stosunku do przejszcza od jednego iner-cjalnego układu odniesienia do drugiego. Mowjąc dokładniej chodzi o kowa-riantności układu równań (1.1 - 1.4) względem grupy transformacji czaso-przestrzeni z następnej definicją niezmienniczego pseudoiłoczynu skalarnego wnazwanej przestrzeni. Te znamienite transformacje noszą nazwę transformacjiLorentza i odgrywają znaczącą rolę we współczesnej fizyce. Będziemy rozwa-żać niezmienniczość równania wynikającego bezpośrednio z układu równańMaxwella, mianowicie równanie falowe dla próżni (1.13, 8.2).

Na początku stawimy cel wyprowadzić wzory na transformatę Lorentza.Niezmienniczość formy operatora kwabla (�) w nazwanym kontekscie na-

leży rozumieć jako niezmienioną postać tego operatora w różnych, inercjalnychukładach odniesienia L, L′, które poruszają się jeden względem drugiego zestałą prędkością. Ten operator jest operatorem równania falowego; jak to zo-stało ustalione - równanie opisuje zjawiska falowe (np. paczki falowe). Wni-kliwa analiza całej fizyki pozwala rozważac takie zjawiska jako jedyny możliwynośnik informacji o położenii ciał w przestrzeni. Oznaczmy współrzędne prze-strzenne przez r, r′, a współrzędne czasowe: t, t′. Warunek niezmienniczościformy operatorów równania dla fali elektromagnetycznej w próżni dla układówL i L′ możemy zapisać symboliczne w postaci:

� = �′. (2.1)

Uprośćmy teraz nasz problem i załóżmy, że fala rozchodzi się tylko w kie-runku osi x. Uogólnienie na przypadek trójwymiarowy nie jest skomplikowa-nym, oraz może być dokonane za pomocą obrotów w przestrzeni r. Rozważmyteraz ”funkcję falową”U , fali elektromagentycznej, może to być składowa polaelektrycznego jak i magnetycznego (zobacz jeszcze raz (1.13, ); więc

1c2∂2U

∂t2− ∂2U

∂x2=

1c2∂2U

∂t′2− ∂2U

∂x′2. (2.2)

8 2 Teoria względności II

Wprowadźmy funkcje, które będą przeprowadzać współrzędne „nieprimo-wane” na „primowane”.

t′ = g(x, t),x′ = f(x, t).

(2.3)

Obliczmy teraz pochodne tych funkcji złożonych:

∂U

∂t= Ut =

∂U

∂x′∂x′

∂t+∂U

∂t′∂t′

∂t=∂U

∂x′∂f

∂t+∂U

∂t′∂g

∂t, (2.4a)

∂U

∂x= Ux =

∂U

∂x′∂x′

∂x+∂U

∂t′∂t′

∂x=∂U

∂x′∂f

∂x+∂U

∂t′∂g

∂x. (2.4b)

Różniczkując drugi raz, otrzymamy:

Utt = Ut′t′g2t + 2Ut′x′gtft + Ut′gtt + Ux′x′f

2t + Ux′ftt ,

Uxx = Ux′xf2x + 2Ut′x′gxfx + Ux′fxx + Ut′t′g

2x + Ut′gxx .

(2.5)

Podstawiając do (2.2) dostaniemy

gtft = c2gxfx, (2.6a)

f2t − c2f2x = −c2, (2.6b)

g2t − c2g2x = 1, (2.6c)

gtt − c2gxx = 0, (2.6d)

ftt − c2fxx = 0. (2.6e)

Rozpatrzmy drugie z tych równań

f2t − c2f2x = (ft − cfx)(ft + cfx) = −c2. (2.7)

Wprowadzając zmienne charakterystyczne ξ = x− ct, η = x+ ct, mamy

∂f

∂ξ=∂f

∂t− c∂f

∂x, (2.8a)

∂f

∂η=∂f

∂t+ c

∂f

∂x. (2.8b)

Albo, z pochodnymi zaznaczonymi jako indeksy

ft − cfx = fξ, (2.9a)

ft + cfx = fη. (2.9b)

Otrzymujemy,fξfη = −c2. (2.10)

Różniczkujemy ostatnie równanie po ξ,

fξξfη + fξfηξ = 0. (2.11)

2.1 Wyprowadzenie Transformacji Lorentza 9

Równanie (2.6e) jest równoważne z fηξ = 0, dlatego

fξξ = 0.

W ten sam sposób dochodzimy do

gξξ = 0,

orazfηη = 0, gηη = 0.

Ponieważ wszystkie drugie pochodne funkcji f(ξ, η), g(ξ, η) zerują sie, funkcjete muszą być liniowe ze względu na obie zmienne, czyli możemy je zapisać wpostaci

x′ = f(t, x) = at+ bx, (2.12a)

t′ = g(t, x) = pt+ qx. (2.12b)

Podstawmy teraz (2.12) do układu (2.6). Otrzymamy

p2 − c2q2 = 1, (2.13a)

a2 − c2b2 = −c2, (2.13b)

pa = c2qb. (2.13c)

Załóżmy teraz, że układ „primowany” L′ porusza się ze stałą prędkością v < cwzględem układu L. Ruch IUO L′ względem IUO L, jest jednostajnym, wy-starcze wybrać jeden punkt, mianowicie x′ = 0 (początek układu współrzęd-nych L’); ze wzoru f(t, x) = at+ bx = 0, wynika że x

t = v = −ab . Otrzymamyzwiązki parametrów a, b, p, q z parametrem ruchu v:

a = −vb, (2.14a)

p = −c2

vq, (2.14b)

które po podstawieniu do (2.13b) pozwolą na wyznaczenie

b =1√

1− v2

c2

. (2.15)

Z tego, że at+ bx = x′ mamy

x′ =x− vt√1− v2

c2

. (2.16)

Analogicznie, z równania (2.13a) otrzymamy

q2 =v2

c2

c2 − v2, (2.17)

10 2 Teoria względności II

oraz

t′ =t− v

c2x√1− v2

c2

. (2.18)

Wzory (2.59) i (2.60) definiują transformację Lorentza, która łączy układy Li L′, poruszające się jeden względem drugiego ze stałą prędkością v.

Transformacja Lorentza wiąże też relacje między współrzędnymi: prze-strzennymi i czasowymi. W transformacji Galileusza zakładaliśmy, że jest ab-solutność czasu i to, że ”upywa” on jednakowo we wszystkich układach. Wtransformacji Lorentza jest inaczej, co oznacza inaczej zdefiniowane pomiaryczasu w różnych układach odniesienia [11]. Czas jest względny.

2.2 Geometria czasoprzestrzeni

Korzystając z (2.59) oraz (2.60) łatwo zauważyć, że spełnione jest równość

c2t′2 − x′2 = c2t2 − x2. (2.19)

Co oznacza niezmieniczość wyrażenia

s2 = c2t2 − x2

lub, analogicznie, dla różniczek,

ds2 = c2dt2 − dx2, (2.20)

jest (lokalnym ) niezmiennikiem przyrostów x, t. Taka forma prowadzi do geo-metrii różniczkowej. Niezmienniki transformacji obrotów (||r||2 = x2+y2+z2)w przestrzeni euklidesowskiej (trojwymiarowej) używamy jako normy wektorar.

Podobnie, wzór (2.19) definiue (pseudo)normę w przestrzeni która nosinazwę pseudo-eukledisowskej. Nowa (pseudo)norma nie spełnia klasycznychaksjomatów normy, przedo wszystkim nie jest dodatnią. Naturalne uogólnieniena trzy wymiary (x, y, z) jest

ds2 = c2dt2 − dx2 − dy2 − dz2 = dx20 − dx2 − dy2 − dz2. (2.21)

Możemy wprowadzic nową zmienną x0 = ct, która ma te same jednostkifizyczne że współrzędne przestrzenne (mianowicie - dx0 = cdt).

Ogólne, zmienjaąc oznaczenia, forma

ds2 =3∑

ν,µ=0

gνµdxνdxν , (2.22)

używa się jako (pseudo)norma w przestrzeni stycznej do rozmaitosci cztery-wymiarowej. Taka forma prowadzi do geometrii różniczkowej. Składowe ten-sora metrycznego gνµ = ενδνµ numerowane są literkami greckimi (µ, ν =

2.3 Kowariantność, tensory i metryka 11

0, 1, 2, 3, 4.) W naszym przypadku (2.21) tensor jest diagonalny z elementamig00 = ε0 = 1, gii = εi = −1, i = 1, 2, 3. Odpowiednik (2.19) daje podobnywzór. Powtórzmy że przestrzeń taka nie jest zwykłą przestrzenią Euklidesa,nazywamy ją przestrzenią pseudo-euklidesowskiej albo przestrzenią Minkow-skiego, akceptujemy je jako przestrzeń fizyczną teorii relatiwistycznej. Wpro-wadzimy jeszcze (pseudo) iłoczyn skalarny dwóch czterowektorów a, b o współ-rzędnych aµ, bν jako

{a, b} = a0b0 − a1b1 − a2b2 − a3b3 =3∑

ν,µ=0

gνµaνbµ =3∑

ν=0

ενaνbν . (2.23)

Dalej, słowo ”pseudo” już nie dodajemy, ale pamiętamy o nim w przy-padku odpowiednich pojęcz cterywymiarowych,. Szczególne interwał czasowo-przestrzenny jest {a, a} = a20 − a2.

Ogólne transformacja Lorentza definiuje się macierzą 4× 4 Lνµ

x′µ =3∑

ν=0

Lµνxν , (2.24)

zakładając niezmienniczość iłocznia skalarnego (2.23)

{La,Lb} =3∑

ν,µ,α,β=0

gνµLναLµβaαbβ = {a, b}. (2.25)

stąd3∑

ν=0,µ=0

gνµLναLµβ = gαβ , (2.26)

albo dla odpowiednich macierzy

LTGL = G. (2.27)

Taki warunek (2.27) definiuje zbiór macierzy, który tworzy pełną grupę Lo-rentza.

2.3 Kowariantność, tensory i metryka

2.3.1 Tensory w przestrzeni Euklidesa

Grupa ortogonalna. Transformacja

x′i =3∑k=1

Aikxk, (2.28)

12 2 Teoria względności II

Definuje wektor Iloczyn slalarny (x, y) się nie zmienia, więc

ATA = I. (2.29)

Relacja wektorów pola elektrycznego Ek i indukcji elektrycznej Di

Di =3∑k=1

εikEk, (2.30)

wprowadzi równanie materiałowe oraz prenikalność dielektryczną εik :Przeidżmy do innego UO po obrocie:

D′i =3∑k=1

ε′ikE′k, (2.31)

daje3∑k=1

AikDk =3∑k=1

ε′ik(3∑j=1

AkjEj), (2.32)

bez znaków sumyATmiAikDk = ATmiε

′ikAkjEj , (2.33)

więcDm = ATmiε

′ikAkjEj , (2.34)

iεmjEj = ATmiε

′ikAkjEj , (2.35)

skąd wynika że εmj są współrzędne tensora.

εmj = ATmiATjkε′ikEj . (2.36)

2.3.2 Tensory w przestrzeni Minkowskiego

Teraz można wprowadzić tensory w przestrzeni Minkowskiego (patrz App. 1). Podstawowa transformacja składowych wektora Aν w ”pierwszym”układzieodniesienia daje wartosci składowych tego samego wektora w ”drugim”układzie

A′µ =3∑

ν=0

LµνAν , (2.37)

zgodnie z (2.24), co definiuje wektor jako tensor pierwszego rzędu.Dla tensora drugiego rzędu o komponentach Tµν mamy

T ′µ,ν =3∑

µ′,ν′=0

Lµµ′Lνν′Tµ′ν′ , (2.38)

2.4 Kinematyka relatywistyczna i cztero-wektory. 13

z naturalnym uogólnieniem na dowolny rząd. Rożnica pomiędzy tensoramiw przestrzeni Euklidesa i Minkowskiego jest operacja kontrakcji. Mianowiczepole skalarne z dwóch wektorów o składowych Aµ i Bν otrzymujemy przesdefinicje (2.23), albo

S =3∑

µ=0

gµµAµBµ, (2.39)

inaczej, wprowadząc kontrawariante komponenty wektora

Aµ = gµνAν , (2.40)

alboS = gµνAνBµ = AµBµ, (2.41)

co traktujemy jako iłoczyn skalarny, z podobną relacja dla tensora drugiegorzędu.

2.4 Kinematyka relatywistyczna i cztero-wektory.

Wróczmy do równania generacju fal elektromagnetycznych (1.13. Lewa stronajego jest iłoczynem niezmieniczego operatora quabła i wektora pola elektroma-gnetycznego E,B. Transformacja lewej strony narzuca sposób transformacjukombinacji pochodnych gęstośdci prśdu i ładunku lewej strony. Te wielkościproporsjunalny do typowo kinematycznych wielkości jako np. j ∝ v.

Ogólna idea kinematyczna - uporządkować wszystkie zmienne fizyczne wtakie grupy, żeby każda repezentowała nektóry tensor w przestrzeni Min-kowskiego. Naprzykład, podstawowe współrzędne w czasoprzestrzeni (x0 =ct, x1 = x, x2 = y, x3 = z) uwzględniają czwartą (nazywamy ją zerowej)składową ct i tworzą tensor pierwszego rzędu - wektor. Do grupy składowychprędkości vi = dxi

dt więc dołączymi prędkosc światła c = dx0dt . Powstaje ważne

pytanie: co jest czasową składową p0 pędu pi?. Sens tej dodatkowej składowejmoże być wyjasniony przez tezę o niezmieniczosci kombinacji podobnej (2.19):

m20c2 = p20 − p21 − p22 − p23, (2.42)

oznaczonej z uwzgłędnienijem jednostek po prawej stronie, dlatego współczyn-nik c2 został wprowadzony. W układzie spoczynkowym pi = 0, więc zerowaskładowa czteropędu pędu p0 proporcjonalna niezmiennikowi p0 = mc. Dladalszej interpretacji rozważmy granicę nierelatywistyczną v << 1, co rowno-ważne do p << m0c. Dla uproszczenia powróczmy do przypadku jednowy-miarowego p2 = p3 = 0, p1 = p, co daje dla pierwszego czlonu w rozwinięciuTaylora po małemu parametru p0c

p0 =√m20c

2 + p2 ≈ m0c(1 +p2

2m20c2) = m0c+

p2

2m0c, (2.43)

14 2 Teoria względności II

co można odczytać jako sumę m0c i bardzo znanej formule dla energii ki-netycznej, podzielonej przez c. Dochodzimy do wniosku że wartość p0c jestrównoważna do energii ciała punktowego.

W taki sam sposób dodajemy składową zerową do wektora gęstości prądu.j, mianowicze j0 = cρ. Latwo sprawdzic że prawo zachowania ładunku (1.8)

∂cρ

∂ct=∂j0∂x0

= −divj = −3∑k=1

∂jk∂xk

, (2.44)

albo3∑

µ=0

∂jµ∂xµ

= 0

jest nieznieniczym w stosunku do transformacji Lorentza. Zastosujmy wzórna pochodną funkcji złorzonej

3∑µ=0

∂j′µ∂x′µ

=3∑

µ,ν,α=0

Lµν∂jν∂xα

∂xα∂x′µ

,

formulu transformacji Lorentza (2.24) i je analog dla czterowektora składo-wych gęstości prądu a

j′ν =3∑

µ=0

Lνµjµ. (2.45)

Pochodne∂xα∂x′µ

= [GLTG]αµ

sa wyliczone na podstawie (2.24)

xα =3∑

µ=0

L−1αµx′µ, (2.46)

z uwzgliędnieniem prostego skutku (2.26) albo (2.27)

L−1 = GLTG (2.47)

gdy warunek GG = I został zastosowany. Więc jako wniosek końcowy mamyniezmienniczość dywergencji czterowymiarowej.

3∑µ=0

∂j′µ∂x′µ

=3∑

µ=0

∂jµ∂xµ

.

2.5 Mechanika relatywistyczna 15

2.5 Mechanika relatywistyczna

Sformulujemy zasadę którą można zaakceptować jako bazową dla całej fizykiteoretycznej, nazwijmy je zasadą kowariantności ogólnej. Ona brzmi następu-jace (partz. Fock [2])

Podstawowe równania fizyki powinny mieć postać tensorową,mianowicze kazde równanie ma być równościu tensorów tego sa-mego rzędu.

Fizyczne to oznacza że przejszcze do innego układu odniesienia nie po-winno złamać równosci.

Rozważmy przypadek dwóch układów U i U’, które ruszą się jeden w sto-sunku do drugiego. Równania ruchu mechaniki Newtona (II prawo Newtona)w tych układach są rózne jak wynika z transformacji Lorentza (2.24) (ćwi-czenie). Droga do budowy równania kowariantnego, które by przechodziło doformy Newtonowskej w granice nierelatywistycznej (v � c), bazuje się nawprowadzeniu czasu niezmienniczego

dτ =ds

c=

√dt2 − dr2

c2= dt

√1− 1

c2dr2

dt2= dt

√1− v2

c2, (2.48)

przes (2.23) - analog trójwymiarowy wzoru (10.64). Taka różniczka czasowamoże być zinterpretowana jako różniczka czasu ”własnego” cząstki punktowejbo on pokrywa się z czasem cząstki we wlasnym układzie odniesienia (v = 0).Taki czas pozwala na wprowadzenie czterowektora prędkości

dxµdτ

= { c√1− v2

c2

,v√

1− v2

c2

}, (2.49)

i, po wymnożeniu przes m0, powrócic do czteropędu

pµ = m0dxµdτ

. (2.50)

Wzór (2.50) daje wyrażenie dla składowych pędu przez prędkość, patrz też(2.42) żeby otrzymać pełny wyraz dla p0.

p0 =

√m20c

2 +m20(drdτ

)2 = m0c

√1 +

v2

c2

1− v2

c2

=m0c√1− v2

c2

. (2.51)

Dalej, wprowadzi się czteroprzyspieszenie

d2xµdτ2

=d

dτ{ c√

1− v2

c2

,v√

1− v2

c2

}, (2.52)

po różniczkowaniu uwzgliędniamy (2.48), więc

16 2 Teoria względności II

d2xµdτ2

=1√

1− v2

c2

d

dt

1√1− v2

c2

{c,v}. (2.53)

Jeśli pomnożyć przez masę niezmienniczą m0, rezultat już możemy przy-równać do czterosiły Fµ. Najbardziej zwarte wyrażenie dla równaia ruchucząstki punktowej wtedy jest

dpµdτ

= Fµ. (2.54)

przestrzenna częszcz tego podstawowego prawa dynamiki lączy się z Newto-nowskim w sposób który wynika bezpośriednie z (2.52)

m0d

dτ

v√1− v2

c2

= F. (2.55)

Teraz możemy wyprowadzić prawo zachowania energii cząstki punktowej,różniczkujac kwadrat masy nieznieniczej

dm20c2

dτ=d(p20 − p2)

dτ= 2

3∑µ=0

εµpµdpµdτ

= 23∑

µ=0

εµpµFµ = 2p0dp0dτ− 2pF = 0,

(2.56)inaczej, podstawienie wyrażenia dla p0 z (2.51)

2m0c√1− v2

c2

d[ m0c√1− v2

c2

]

dτ− 2m0

v√1− v2

c2

F = 0, (2.57)

doprowadzi do prawa zachowania energii

dmc2

dt= vF, (2.58)

gdzie wyrażenie

E = mc2 =m0c

2√1− v2

c2

możemy interpretować jako energie, bo iloczyn skalarny vF jest mocą siły F.

2.6 Prędkość względna

W mechanice nierelatywistycznej prędkość względna definiuje się jako różnicaprędkośći u,v, mieżone w tym samym UO. Wtedy prędkość drugiego ciaławzględem pierwszego definiuje się jako w = v — u. Taka definicja niezmien-nicza w stosunku do transformacji Galileusza, ale nie w stosunku do transfor-macji Lorentza. Dlatego w teorii względności powinnyszmy wyprowadzić inny

2.6 Prędkość względna 17

wzór. The fact that w = v — u has no physical meaning becomes evidentby examining the following example. Let the velocities u and v have oppositedirections and have magnitudes near to the speed of light or equal to it. Thenthe ”velocity ”w will have a magnitude near or equal to twice the speed oflight, which is evidently absurd. We shall, therefore, give a new definition ofrelative velocity which is in accord with the requirements of Relativity andhas a direct physical meaning. Let the velocities of two bodies in some frameof reference be u and v as before. We can introduce a primed frame of re-ference in which the velocity of one, say the first, body vanishes. Then wecan interpret the velocity v’ of the second body in this frame as the relativevelocity of the two bodies. We shall see that the magnitude of v’ will dependsymmetrically on u and v, so that the so defined relative velocity of two bodiesdoes not depend upon which body was chosen to be at rest in the new frame.

To illustrate the physical significance of our definition we consider an exam-ple. Imagine we are observing two planes from the ground and let their velo-cities be u (1) and v (2) respectively. Assume that the first plane has radarequipment permitting a measurement of the speed of the other plane relativeto itself. The velocity so measured will be the relative velocity of our defi-nition. We must express this relative velocity in terms of the components ofthe velocities u and v of the two planes, as observed from the ground. Forthis purpose we write down the general formulae for a Lorentz transformationdeduced in Section 10.

Mieliśmy:

x′ =x− vt√1− v2

c2

. (2.59)

t′ =t− v

c2x√1− v2

c2

. (2.60)

Ogólnie [2]

r′ = r−Vt+ (b− 1)VV 2

(V · r− V 2t) (2.61)

t′ = b(t− V · rc2

), (2.62)

gdzie V, b, patrz (2.15). Prędkość u samolotu 1, przyrównujmy do

Vx = ux, ... (2.63)

Prędkość drugiego samolotu (2), mierzonego z Ziemi, wynosi

v =drdt, (2.64)

natomiast pręedkość drugiego samolotu, mierzona z pierwszego, jest

18 2 Teoria względności II

v′ =dr′

dt′. (2.65)

Różniczkująć wzory (2.67)

dr′ = dr−Vdt+ (b− 1)VV 2

(V · dr− V 2dt) = (2.66)

[drdt − u + (b− 1) uu2 (u · drdt − u

2)]dt

dt′ = b(dt− V·drc2 ) = b(1− u· drdt

c2 )dt,(2.67)

Tożsamość [A × B] · [C × D] = (A · C)(B · D) − (A · D)(B · C) yields[u× v]2 = [u× v] · [u× v] = u2v2 − (u · v)(u · v).

Stąd

v′ =v − u + (b− 1) u

u2 (u · v − u2)b(1− u·v

c2 ), (2.68)

składowe v′ są wymierne funkcje składowych v. Podniesienie do kwadratudaje:

v′2 =(v − u)2 − [u×v]2

v2

(1− u·vc2 )2

. (2.69)

Proposition 1. v′2 jest niezmiennikiem transformacji Lorentza.Proposition 2. Symetria wzgłędem zamiany u,v.Proposition 3. Z u2 ¬ c2, u2 ¬ c2 wynika że v′2 ¬ c2.Dowód:

1− v′2

c2=

(1− u2

c2 )(1− v2

c2 )(1− u·v

c2 )2(2.70)

Uwaga 1. Jeśli [u× v] = 0, v′ = v−ub(1−u·v

c2)

Uwaga 2. Jeśli [u · v] = 0, v′ = b−1v − uPowstaje hypoteza o przestrzeni prędkości o chrakterze geometrycznym:

scieżka do przestrzeni Łobaczewskiego.

2.7 Przestrzeń Łobaczewskiego.

Rozważmy prędkość względną dwóch ciał poruszających się z blizklimi pręd-kościami v,u = v + dv (2.68). Po dzieleniu dv′2 na c2 mamy:

ds2 =c2dv2 − [v × dv]2

c2 − v22

(2.71)

Propozycja 1. dv′2 jest niezmiennikiem transformacji Lorentza.Let us put vx(p), ...

2.7 Przestrzeń Łobaczewskiego. 19

s =∫ p2

p1

√2Fdp, (2.72)

gdzie

F =12

v2

c2 − v2+

12

(v · v)2

(c2 − v2)2, (2.73)

pochodna po p oznaczona kropką.Określimy prostą Łobaczewskiego, jako najkrótszą krzywą, łączącą punkty

p1, p2. Dlatego przyrównamy zeru wariacje całki (2.72), innymi słowy, na-piszmy równanie Eulera-Łagrangea dla

L =√

2F , (2.74)

albod

dp

∂L

∂vx− ∂L

∂vx= 0. (2.75)

Analiza całek równania (2.75) (patrz [2]) daja linowe relacje między składo-wymi prędkości v, więc wymierna transformacja Lorentza nie zmienia charak-ter relacji.

Długość odczynku v2 − v1

v = v1 + µ(v2 − v1) (2.76)

w przestrzeni prędkości odrzymujemy, całkując we wzorze (2.72). Dla jedna-kowo skierowanych v2,v1 dlugość (prędkosc względna) jest

v′ =v2 − v11− v2v1

c2(2.77)

Kąt się wprowadzi standardowo

cos(v2,v1) =v2 · v1|v2|, |v1|

, (2.78)

możno więc określic trojkąt i udowodnic, że jest to trojkąt Łobaczewskiego.Experimenty Fizeau (1851, prędkosć światła w ośrodku ruchomym - wodzieen.wikipedia.orgikiizeauexperiment?) i Bradleya (zjawisko aberacju astro-nomicznej) potwierdzają rzeczywistość geometrii przestrzeni prędkości.

3

Teoria względności III.

3.1 Szczególna teoria względności w dowolnychwspółrzędnych.

3∑0

(∂w

∂xα

)2={

0 swiatlo1 Hamilton− Jacobi (ruch czastki puktowej)

gµν∂w

∂xµ

∂w

∂xν={

01

Twierdzenie:

Istnieją współrzędne Galileusza, w których gµν = δµνeµ;wiemy, że Rµν,αβ = 0, g00 > 0,

∑31 g

ikξ1ξk < 0.

3.2 Kolejność wydarzeń

Załóżmy że w naszej przestrzeni dzieją się 2 wydarzenia: jedno w miejscu owspółrzędnej x i w czasie t oraz drugie w miejscu oznaczonym jako x′ oraz t′

I. t2 − t1 > 1c ||r2 − r1||

c2(t2 − t1)2 − (r2 − r1)2 > 0

T =1c

√(t2 − t1)2c2 − (r2 − r1)2

Gdzie T jest odcinkiem czasowym.W przypadku wydarzeń kwazijednoczesnych (czyli takich w których kolej-

ność jest względna)

II. − 1c |r2 − r1| < t2 − t1 < 1c |r2 − r1|

22 3 Teoria względności III.

c2(t2 − t1)2 − (r2 − r1)2 < 0

R =√

(r2 − r1)2 − c2(t2 − t1)2

Gdzie R jest odcinkiem przestrzennym.Stwierdzenie: W przypadku II istnieje Układ odniesienia, w którym wyda-

rzenia są jednoczesne, tzn

t′2 − t′1 = β[t2 − t1 −1c2

(r2 − r1)v]

3.3 Ruch przyśpieszony

∆l′ = β∆l

Prosta w jednym układzie odniesienia jest krzywą w drugim UO, któryporusza się obrotowo z częstotliwosciu ω

3.4 Czym jest położenie i czas?

Pierwszym etapem przy opisie rzeczywistości jest określenie zestawu podsta-wowych wielkości. Są to wielkości, które uzyskujemy wprost z dokonanegopomiaruóbserwacji. Na przykład prędkość jest wielkością pochodną co wy-chodzi wprost z jej definicji: wektorowa wielkość fizyczna wyrażająca zmianęwektora położenia w jednostce czasu.

V =drdt

Wielkościami podstawowymi są: położenie (x, y, z) oraz czas t. Określa się jepoprzez porównanie ze ”wzorcem”: położenie - przez długość fali elektroma-gnetycznej, czas - przez ruch okresowy - okres T fali elektromagnetycznej.Metody pomiaru odległości:

3.6 Inercjalne układy odniesienia. 23

1. porównanie bezpośrednie ze wzorcem,2. triangulacja,3. radiolokacja.

3.5 Propagacja fali elektromagnetycznej.

�ϕ = 0[1c2∂2

∂t2−∆

]ϕ = 0

ct = f(x, y, z)

(∇f)2 = 1

. Funkcja opisująca położenie czoła fali:

W (t, x, y, z) = 0⇒ 1c2

(Wt)2 − (∇W )2 = 0

Stwierdzenie:Wx = Wy = Wz = const.

x− x0 = cWx√

W 2x +W 2y +W 2z

(t− t0) = cα(t− t0)

y − y0 = ...

z − z0 = ...

c2(t− t0)2 − (x− x0)2 − (y − y0)2 − (z − z0)2 = 0

c2(t− t0)2 − (r− r0)2 = 0

3.6 Inercjalne układy odniesienia.

R = 0→ ¨r = 0

r = r0 + vt

Układ inercjalny jest to układ odniesienia, względem którego każde ciałopunktowe, o zrównoważonym oddziaływaniu z innymi ciałami (suma śił =0), porusza się bez przyspieszenia. Istnienie takiego układu jest postulowaneprzez pierwszą zasadę dynamiki Newtona:

I prawo Newtona → ∃ Zbiór inercjalnych układów odniesienia.

Teoria Lorentza:

24 3 Teoria względności III.

Istnieje klasa inercjalnych układów odniesienia, między którymi zachodzitransformacja Poincarego x′mu = Λνµxν + a+µ (o szczegółach patrz niżej).

W elektrodynamice:R = 0→ r = r0 + vt

Bazowa zasada teorii względności:

równanie + warunki Cauchy’ego

t, r → t′, r′ → dτ = ds→ forma II prawa Newtona

m0d2xµdτ2

= Fµ.

3.7 Efekt Dopplera

Rozważmy ruchomy układ UO′, w którym zachodzą pewne procesy odbywa-jące się ze stałym interwałem. Wydarzenia te będziemy obserwować z ńieru-chomego”układu UO. Niech r(t) będzie odległością pomiędzy dwoma ukła-dami w zależności od czasu t i niech tn będzie oznaczać czas kolejnych wyda-rzeń w układzie UO′, dla n = 1, 2, 3... Czasy t∗n po jakich kolejne wydarzeniazostaną zaobserwowane w układzie UO możemy obliczyć w następujący spo-sób:

t∗n = tn +r(tn)c

(3.1)

Pytanie: Czy czasy obserwacji t∗n będą zachodziły z tym samy interwałem coczasy zajścia kolejnych procesów w ruchomym układzie? Rozpatrzmy przypa-dek gdy nasz ruchomy układ będzie się oddalał od układu nieruchomego zestałą prędkością v, wzdłuż jednej osi:

x = vt; y = 0; z = 0 (3.2)

Na podstawie (3.1) możemy obliczyć czasy zajścia kolejnych procesów:

tn =t∗n

1 + vc

(3.3)

Używając transformacji Lorentza wprowadzamy nowy punkt odniesienia zwią-zany ściśle z ruchomym układem:

x′ =x− vt′√(1− v2

c2

(3.4)

3.8 Prędkość względna 25

t′ =t− vx2√(1− v2

c2 )(3.5)

Co po inwersji daje nam wyrażenia:

x =x′ + vt′√(1− v2

c2 )(3.6)

t =t′ + vx2√(1− v2

c2 )(3.7)

Niech wydarzenia w układzie primowanym będą zachodziły w czasie t′n = τn ,gdzie τ to stała będąca interwalem pomiędzy każdym kolejnym wydarzeniem.

Możemy zatem przyjąć:

t∗n = (1 + v)tn = nτ

√1 + v

1− v, (3.8)

co daje odczyty czasu, jako funkcje τ .

3.8 Prędkość względna

W mechanice nierelatywistycznej prędkość względna definiuje się jako róż-nica prędkośći u,v, mieżone w tym samym UO. Wtedy prędkość drugiegociała względem pierwszego definiuje się jako w = v — u. Taka definicja nie-zmiennicza w stosunku do transformacji Galileusza, ale nie w stosunku dotransformacji Lorentza. Dlatego w teorii względności powinnyszmy wyprowa-dzić inny wzór. The fact that w = v — u has no physical meaning becomesevident by examining the following example. Let the velocities u and v haveopposite directions and have magnitudes near to the speed of light or equalto it. Then the ”velocity ”w will have a magnitude near or equal to twicethe speed of light, which is evidently absurd. We shall, therefore, give a newdefinition of relative velocity which is in accord with the requirements of Re-lativity and has a direct physical meaning. Let the velocities of two bodiesin some frame of reference be u and v as before. We can introduce a primedframe of reference in which the velocity of one, say the first, body vanishes.Then we can interpret the velocity v’ of the second body in this frame as therelative velocity of the two bodies. We shall see that the magnitude of v’ willdepend symmetrically on u and v, so that the so defined relative velocity oftwo bodies does not depend upon which body was chosen to be at rest in thenew frame. To illustrate the physical significance of our definition we consideran example. Imagine we are observing two aeroplanes from the ground andlet their velocities be u and v respectively. Assume that the first plane hasradar equipment permitting a measurement of the speed of the other plane

26 3 Teoria względności III.

relative to itself. The velocity so measured will be the relative velocity of ourdefinition. We must express this relative velocity in terms of the componentsof the velocities u and v of the two planes, as observed from the ground. Forthis purpose we write down the general formulae for a Lorentz transformationdeduced in Section 10. These are

4

Uwagi matematyczne

4.1 Pojęcie grupy

Na początku dla jasności dalszego tekstu i rozważań wprowadźmy pojęciegrupy:Grupą nazywamy taką strukturę algebraiczną (G,?), gdzie G jest dowolnymniepustym zbiorem, zaś ? : G × G → G działaniem dwuargumentowym speł-niającym następujące warunki:

1. ∀a,b,c∈G (a?b)?c=a?(b?c), łączność działania;2. ∃e∈G ∀a∈G e?a=a?e=a, gdzie e nazywamy elementem neutralnym działa-

nia;3. ∀a∈G ∃b∈G a?b=b?a=e, gdzie b nazywamy elementem odwrotnym do ele-

mentu a.

Więcej informacji na temat teorii grup można znaleźć w często używanejna wydziale FTiMS PG w książce Jacka Komorowskiego Od liczb zespolonychdo tensorów, spinorów, algebr Liego i kwadryk.

4.2 Przestrzeń liniowa.

Przestrzeń liniowa L, a+ b ∈ L, α · a ∈ L, α ∈ =Baza: ∀a∈L a =

∑ni=1 aiei , {ei} -jest bazą;

a =∑ni=1 a

′ie′i ; a′i =

∑nk=1 tikak ; e′k =

∑ni=1 tikei

4.3 Odległość to norma różnicy wektórów.

∃‖a‖ ⇒ ‖a− b‖ , istnieje norma - przestrzeń unormowana;cosγ = (a,b)

‖a‖‖b‖ , ‖a‖ = (a, a)12 , istnieje iloczyn skalarny - przestrzeń unitarna.

28 4 Uwagi matematyczne

4.4 Obrót.

Transormacja, która nie zmienia normy, iloczynu skalarnego.(Ta,Tb)=(TTTa,b)=(a,b), TTT=I ⇒ detTdetTT=1 ⇒ detT=± 1jeżli detT=1, T - obrót, w szczególności I.

n=3 T ∈ O+(3) grupa Te =

11

1

4.5 Transformacje infinityzymalne.

T = I + εM + . . .(I + εMT + . . .)(I + εM + . . .) = II + ε(MT +M) + ε2(MTM) + . . . = IMT +M = 0Mik = −Mki, M - antysymetryczna

M =

0 M12 M130 M23

0

4.6 Algebra Liego

Zbiór M tworzy przestrzeń liniową M ∈ L algebry Liego O+(3).

M = M12

0 1 0−1 0 00 0 0

+M13

0 0 10 0 0−1 0 0

+M23

0 0 00 0 10 −1 0

εM12 = ω1, εM13 = ω2, εM23 = ω3εM =

∑ni ωiei

[ei, ek] = εikeee, T = eεM

Ti =

−1 0 0−1 0−1

, inwersja, nie należy do grupy obrotów O+(3).

Nowa transformacja T = detT · TJeżeli ai′ =

∑nk=1 Tikak, pseudowektor

4.7 Zasada kowariantności.

Zbiór L× L 3 {a, a} = a× aaiej × aj ej = aiaj(ei × ej) - baza tensorowaTransformacje do innego układu odniesieniaaiaj =

∑i′,j′ tii′ai′aj′tjj′

4.10 Przestrzeń Riemanna. 29

Sij =∑j′,i′ tii′tjj′Si′j′ , definicja tensora 2 rzędu.

Sijk =∑j′,i′,k′ tii′tjj′tkk′Si′j′k′

Symetria tensorów.Sik = Ski - tensor symetrycznySik = −Ski - tensor antysymetryczny

4.8 Algebra tensorów.

1. Dany rząd i gatunek tensora.2. Dodawanie, mnożenie.3. Kontrakcja

∑Sii.

4.9 Nieskończenie małe transformacje grupy Lorentza

Grupa Lorentza

G =

1−1−1−1

n = 4, a = a0e0 + a1e1 + a2e2 + a3e3

Pseudonorma {a, a} = a20 − a21 − a22 − a23 =∑3ik=0 gikaiak

ΛTGΛ = GΛ = I + εM + . . .(I + εMT )G(I + εM) = G+ ε(MTG+GM) + . . . = GMTG+GM = 0Gik = εiδikMTikεkδkl = −εiδikMkl

Mliεl = −εiMil, l=i, Mii = −MiiMii = 0

G =

0 M12 M13 M14

M12 0 M23 M24M13 M23 0 M34M14 M24 M34 0

4.10 Przestrzeń Riemanna.

Ogólnie, niech wzór

φ = gij(x)dxidxj , gij = gji det||gij || 6= 0. (4.1)

def. formę rzeczywistą (Riemann 1864). Uwaga: idexy górne i dolne sąspecialnie dobrany (suma w.g. dolnyvh i górnych).

30 4 Uwagi matematyczne

Elementem długosci może służyć

ds2 = egijdxidxj . (4.2)

e dobrana żeby ds2 > 0, więc dla wektora o kontrawariantnych komponentachξi

ξ2 = egijξiξj . (4.3)

def. normę. Przestrzeń z metriką (4.2) i normą (4.3) nazywa się przestrzeńRiemanna. Wybor UO, wspolrędnych, układy Cartezjaskie

Rozważmy

x′i = φi(x), det[φixj ] 6= 0, (4.4)

jeślids2 = g′ijdx

′idx′j , (4.5)

uwzględnimy

dx′i =∂φi

∂xkdxk, (4.6)

wtedy

g′ij = gsp∂xi

∂x′s∂xj

∂x′p(4.7)

Def.jeśli zbiór funkcji

T i1...irj1...js(4.8)

spełnia

T ′p1...prq1...qs

∂xi1

∂x′p1∗ ∗ ∗ ∂x

ir

∂x′pr= T i1...irj1...js

∂xj1

∂x′qs∗ ∗ ∗ ∂x

js

∂x′qs(4.9)

więc gsp dwa razy kowariantny tensor (Eisenhart: fundamentalny).Różniczkując (4.7) i rozwiązując wynik względem drugich pochodnych,

mamy∂2xk

∂x′i∂x′j+ { k

pq} ∂x

p

∂x′i∂xq

∂x′j= { h

ij}′ ∂x

k

∂x′h(4.10)

gdzie

{ kpq} = gkh[pq, h]; [pq, h] =

12

(∂gpk∂xq

+∂gqk∂xp

− ∂gpq∂xh

), (4.11)

jeśli wprowadzić gik jako uzupełnienie algebraiczne det||gij || podzielione naten wyznacznik det||gij ||. Podobnie

{ kpq}′ =

12

(∂gpk∂xq

+∂gqk∂xp

− ∂gpq∂xk

) (4.12)

Warunki całkowalnosci (4.10) dają;

4.11 Równanie geodezyjnej 31

R′dabc∂xh

∂x′d= R′hijk

∂xi

∂x′a∂xj

∂x′b∂xk

∂x′d. (4.13)

gdzie

R′hijk =∂{ hik}

∂xj−∂{ hij}

∂xk+ { l

ik}{ hlj} − { l

ij}{ hlk} (4.14)

nazywa się tensorem krzywizny Riemanna.Jeśli gik nie zależy od współrzędnych, R′hijk = 0 i, jak wynika z (4.13), w

dowolnych współrzeędnych (układzie odniesienia).Taka przestrzeń nazywa się euklidesowskiej.Różniczkując 4.9, dostajemy nie-tensor, ale

T i1,...,irj1,...,js,k=∂T i1,...,irj1,...,js

∂xk+1,...,r∑h

Ti1,...,ih−1,l,ih+1,...,irj1,...,js

{ jhlk}−1...s∑h

T i1,...,irj1,...jh−1,l,jh+1,...,js{ ljhk}.

(4.15)- są składowe tensora r razy kontra-, s+1 razy kowariantnego. Taka proceduranazywa się różnuczkowaniem kowariantnym.

Prszykład:

Ai,k =∂Ai∂xk

− { hik}Ah ≡ ∇kAi. (4.16)

Stw.gik,j=0

4.11 Równanie geodezyjnej

.Rozważmy krzywą C:

xi = φi(t), (4.17)

oraz wektor ui = dφi(t)dt . Forma uiui określia typ krzywej (geodezyjnej)

ξi,jdxj

dt≡ dxi

dt+ ξi{ i

hj}dx

j

dt= 0. (4.18)

mają rozwiązanie zdefiniowane ”warunkami początkowymi”dla ξi. Jeśli roz-wiązanie istneję, mówimy (Levy-Civita) - wektory są równoległy wzdłuż C.Definicja względna! W przestrzeni Euklidesowskiej - inaczej (bezwzględna).

Wektor o składowych dxi

dt jest stycznym do C. Żeby onie byli równoległy,iff C spełnia

dxj

dt[d2xi

dt2+ { i

hk}dx

h

dt

dxk

dt]− dxi

dt[d2xj

dt2+ { j

hk}dx

h

dt

dxk

dt]. (4.19)

32 4 Uwagi matematyczne

- nazywa się geodezyjnej. Forma uiui określia typ krzywej (geodezyjnej). Jeśliuiui = 0, mówimy o zerowej geodezyjnej. Inaczej

dxh

dt+ Γhmnu

m dxn

dt(4.20)

Jeśli s - długość łuku C, dxk

ds - jednostkowy, równanie na C upraszcza:

d2xi

ds2+ { i

hk}dx

h

ds

dxk

ds= 0 (4.21)

- równanie geodezyjnej. Wygląda jako równanie ruchu. TwierdzenieRównanie (4.21) wynika z ekstremum funkcjonału∫

ds

√ghk

dxh

ds

dxk

ds, (4.22)

minimalna długość krzywej,W przestrzeni Euklidesa - prosta (d

2xi

ds2 = 0)

4.12 Grupa Ruchów

4.12.1 Równania Killinga

Rozważmy transformacje infinitezimalne

x′j = xj + ξjδt, (4.23)

gdzieδφ = (δgij)dxidxj + gij(δdxi)dxj + gijdxi(δdxj),δdxi = dδxi = ∂ξi

∂xj dxjδt, δgij = ∂gij

∂xkξkδt.

W monografji [5]Tw. δφ = 0 iff

∂gij

∂xkξk + gik

∂ξi

∂xj+ gjk

∂ξk

∂xi= 0. (4.24)

- Równania Killinga.Kąt między kierunkami d1xi i d2xi

def.

cosα =gijd1x

id2xj√

e1gijd1xid1xje2gijd2xid2xj. (4.25)

Podobnie δφ liczymy:

δgijd1xid2x

j = [∂gij

∂xkξk + gik

∂ξi

∂xj+ gjk

∂ξk

∂xi]d1xid2xjδt, (4.26)

4.13 Grupy Lorentza i Poincare 33

więc, na wskutek równania Killinga, δcosα = 0.Stwierdzamy, że transformacja (4.23) jest ruchem (iff).Jesli współrzędne wybrane jako

ξi = δi1, (4.27)

równania Killinga mają postać

∂gij

∂x1= 0. (4.28)

Wtedy gij nie zależy od x1 i forma φ nie zmienia sie przy

x′1 = x1 + t, xj ′ = xj . (4.29)

WięcTw. Jeśli przestrzeń dopuszcza ruch infinitesimalny, to dopuszcza też grupę

G1, dla której ξ1 jest generatorem.

4.13 Grupy Lorentza i Poincare

Grupą Lorentza nazywamy zbior transformacje

x′i =3∑k=0

ekaikxk

przy których nie zmienia śię ds2. .Oznaczając formę biliniową jako ds2 możemy zapisać go inaczej jako

ds2 = dx20 − dx21 − dx22 − dx23 =3∑k=0

ekdx2k

Gdziee0 = 1

e1 = e2 = e3 = −1

Grupa Poincarego uwzględnia transformacje równolwgłego przesuniecia.Możemy zapisać

x′i = ai +3∑k=0

ekaikxk

Gdzie∑3k=0 ekaikxk jest transformatą Lorentza Względny ruch obu ukła-

dów współrzędnych możemy opisać jako

ai0a00

=vic

34 4 Uwagi matematyczne

Oznaczając przez parametr β przez

1√1− v2

c2

Możemy przejść z czasem oraz odległością do nowych współrzędnych w prze-strzeni grupy Lorentza

t∗ = β(t− v · rc2

)

x∗m = xm − vmt+ (β − 1)vmv2

∑vk(xk − vkt)

Gdzie

β = an0 =δt′

δt> 0

Uwaga:Jeżeli

v ‖ x => v · r = vx, vx ≡ v

Oraz

αik = −aik +ai0a0ka00 + 1

= −aik + (β − 1)v′ikv2

Toαijαkj+... = δik

Więc macierz α jest ortogonalna,

αTα = I

Gdzie I jest macierzą jednostkową.Struktura grupy Poincare:

x′ = Λx+ a.

Stwierdzenie.Grupa Lorentza jest podgrupą grupy Poincarego.

5

W stronę teorii grawitacji I

5.1 Tensor masy

Równania ruchu będące konsekwencjami zasad zachowania zwykle mają po-stać

∂T 00

∂x0+3∑k=1

∂T 0k

∂xk= 0 (5.1)

∂T i0

∂x0+3∑k=1

∂T ik

∂xk= 0 (5.2)

gdzie T ik to pewien tensor. Jeśli za T 00 podstawimy gęstość masy, tensor tennazywamy tensorem masy. Równanie (5.1) będzie wówczas wyrażac zasadęzachowania masy i energii, natomiast (5.2) zasadę zachowania pędu. WyrazT 00 jest gęstością masy z uwzględnieniem masy spoczynkowej i masy ener-gii kinetycznej. Wyraz cT 0i jest gęstościa strumienia masy, natomiast ciT ik,(i, k = 1, 2, 3) to gęstość strumienia pędu. Masa M i związana z nią energiaw pewnej objętości dane są przez całkę

M =W

c2=∫T 00dV (5.3)

natomiast składowe pędu przez wyrażenie

pi = c

∫T i0dV (5.4)

Poza spełnieniem zasady zachowania masy, energii i pędu, spełniona musi byćzasada zachowania momentu pędu i ruchu środka masy. Z równań (5.1) i (5.2)wynika zależność

∂

∂x0(xiT k0 − xkT i0) +

3∑m=1

∂

∂xm(xiT km − xkT im) = T ki − T ik (5.5)

36 5 W stronę teorii grawitacji I

Ma ona postać poszukiwanego równania zachowania, jeśli prawa strona rów-nania wynosi zero. Nakłada to warunek symetryczności na tensor.

T ki = T ik (5.6)

Wprowadza się zależności całkowe

Mik = c

∫(xiT k0 − xkT i0)dV (5.7)

Ki =1cM i0 =

∫(xiT 00 − x0T i0)dV (5.8)

Całki te brane po całej przestrzeni są stałe. Wyrazy M23, M31 i M12 sąskładowymi momentu pędu układu, a wielkości M10, M20 i M30 dzieloneprzez c interpretuje się jako iloczyn masy i początkowego położenia środkamasy układu.

5.2 Przykłady

W tym rozdziale rozważymy jawną postać tensora masy w konkretnych przy-kładach.

5.2.1 Nieoddziałujące cząstki materii

Zaczniemy od najprostszego przypadku ziarnistej materii, przez co rozumiemyzbiór nieoddziałujących cząstek o ciągłym rozkładzie prędkości. Przyjmujemyszczególne oznaczenie Θik dla tensora masy. Przez ρ∗ oznaczmy niezmienni-czą gęstość masy, t.j. gęstość w tym układzie odniesienia, względem któregocząstki z określonego elementu objętości są chwilowo w spoczynku. Niech ui

będą składowymi czterowymiarowej prędkości cząstek. Przyjmujemy

Θik =1c2ρ∗uiuk (5.9)

Z definicji Θik jest czterowymiarowym kontrawariantnym tensorem. SkładowaΘ00 ma postać

Θ00 =1c2ρ∗(u0)2 =

ρ∗

1− v2

c2

(5.10)

Składowa ta musi być równa całkowitej gęstości masy, z uwzględnieniem masyenergii kinetycznej. Jeśli ρ∗ jest gęstością masy spoczynkowej w układzie po-ruszającym się z cząsteczkami, to gęstość masy spoczynkowej w ”układzielaboratoryjnym”(względem którego cząsteczki się poruszają) wynosi

ρlab =ρ∗√

1− v2

c2

(5.11)

5.2 Przykłady 37

Dalej, jeśli ρ jest gęstością masy spoczynkowej, gęstość masy całkowitej (zuwzględnieniem energii kinetycznej) wynosi

ρ√1− v2

c2

=ρ∗

1− v2

c2

= Θ00 (5.12)

Wyrażenie na gęstość jest analogiczne do wyrażenia na masę relatywistycznącząsteczki.

M =m√

1− v2

c2

(5.13)

Pozostałe składowe tensora mają postać

Θ0i =1c

ρ∗vi

1− v2

c2

=ρvi√1− v2

c2

(5.14)

oraz

Θik =1c2ρ∗vivk

1− v2

c2

=1c2

ρvivk√1− v2

c2

(5.15)

Rozważmy wyrażenie na dywergencję tensora. Otrzymamy

3∑k=0

∂Θik∂xk

=1c2ui

3∑k=0

∂(ρ∗uk)∂xk

+ρ∗

c2

3∑k=0

uk∂ui

∂xk(5.16)

Wprowadźmy oznaczenia

Q∗ =3∑k=0

∂(ρ∗uk)∂xk

(5.17)

wi =3∑k=0

uk∂ui

∂xk(5.18)

Prawdziwe są również zależności

Q∗ =∂ρ

∂t+ div(ρv) (5.19)

wi =1√

1− v2

c2

(∂ui

∂t+3∑k=0

vk∂ui

∂xk) =

1√1− v2

c2

du′

dt(5.20)

gdzie dt jest pochodną substancjalną. Dowodzi to, że wartość Q∗ jest szyb-kością przyrostu masy spoczynkowej w jednostce objętości płynu. a wi jestczterowymiarowym przyspieszeniem, którego składowe przestrzenne stają sie

38 5 W stronę teorii grawitacji I

przyspieszeniem w przybliżeniu nierelatywistycznym. Na mocy równań ruchuwyrażenie

3∑k=0

∂Θik

∂xk=Q∗

c2ui +

ρ∗

c2wi (5.21)

musi się zerować. Dodatkowe warunki

uiui = c2;wiui = 0 (5.22)

wiui = 0 (5.23)

pozwalają rozdzielić równanie

Q∗

c2ui +

ρ∗

c2wi = 0 (5.24)

na dwa oddzielneQ∗ = 0 (5.25)

wi = 0 (5.26)

Pierwsze z nich jest równaniem ciagłości wyrażającym stałość masy spoczyn-kowej cząsteczek. W tym przypadku masa spoczynkowa nie zmienia się, po-nieważ cząstki nie oddziałują ze sobą i nie zmienia sie ich energia wewnętrzna.Drugie równanie wyraża niezmienność prędkości, oczywistą w przypadku nie-oddziałujących cząstek. Równania ruchu mają pierwszy rząd ze względu naρ∗ i ui. Tensor Θik, będący funkcją tych wielkości, jest funkcją stanu układu.

5.2.2 Tensor masy dla cieczy doskonałej

W przybliżeniu nierelatywistycznym tensor naprężeń cieczy doskonałej redu-kuje się do wielkości skalarnej. Przyjmijmy, że tensor energii (tensor masywymnożony przez c2) ma postać

c2T ik = (µ∗ +p

c2)uiuk − pekδik (5.27)

gdzie µ∗ i p to skalary związane pewną zależnościa funkcyjną

µ∗ = f(p) (5.28)

W układzie odniesienia, względem którego chwilowa prędkość pewnego punktupłynu jest równa zero, składowa T 00 jest równa µ∗.

c2T 00 = (µ∗ +p

c2)(u0)2 − pe0δ00 = (µ∗ +

p

c2)

c2

1− v2

c2

− p (5.29)

Jeśli v → 0, to

5.2 Przykłady 39

T 00 = µ∗ (5.30)

Znajdźmy teraz równania ruchu układu. Przyjmując dla uproszczenia ozna-czenie wi z poprzedniego rozdziału oraz

Q =3∑k=0

∂

∂xk[(µ+

p

c2)uk] (5.31)

otzymujemy wyrażenie

c23∑k=0

∂T ik

∂xk= Qui + (µ∗ +

p

c2)wi − ei

∂p

∂xi(5.32)

W przypadku braku sił zewnętrznych wyrażenie to będzie równe zeru. Korzy-stając z równań (5.22) i (5.32) możemy uzyskać nową postać wyrażenia na Q.

Q =1c2

3∑k=0

uk∂p

∂xk=

1

c2√

1− v2

c2

dp

dt=

1c2dp

dτ(5.33)

Tutaj dpt jest pochodną substancjalną p a dτ =√

1− v2

c2 dt jest różniczkączasu własnego cząsteczki. Z porównania powyższych równań z nierelatywi-stycznymi równaniami hydrodynamiki wynika, że wielkość p to ciśnienie. Przy-równując do siebie dwa równania na Q otrzymujemy

3∑k=0

[(µ∗ +p

c2)∂uk

∂xk+ uk

∂u∗

∂xk] = 0 (5.34)

Określmy nową wielkość przez zależność różniczkową

dρ∗

ρ∗=

dµ∗

µ∗ + p2(5.35)

Dobierając stałą całkowania możemy uzyskać ρ∗ = µ∗ dla p = 0. Wstawiając(5.35) do (5.34) uzyskamy zależność

3∑k=0

∂(ρ∗uk)∂xk

= 0 (5.36)

Wielkość ρ∗ można interpretować jako niezmiennicza gęstość tej części masyspoczynkowej, która nie zmienia się w wyniku ruchu. Wprowadźmy wielkość

Π =∫ p

0

dp

ρ∗− p

ρ∗(5.37)

którą interpretuje się jako energię potencjalną jednostki masy płynu, gdziemasa oznacza część masy spoczynkowej niezmiennej w wyniku ruchu. Wyra-żając µ∗ przez ρ∗ i Π można zapisać tensor masy jako

40 5 W stronę teorii grawitacji I

c2T ik = [ρ∗ +1c2

(ρ∗Π + p)]uiuk − pekδik (5.38)

podczas gdy równania ruchu przyjmują postać

[ρ∗ +1c2

(ρ∗Π + p)]wi = ei∂p

∂xi− 1c2dp

dτui (5.39)

5.3 Elektrodynamika - tensor masy

5.3.1 Tensor energii dla pola elektromagnetycznego

Wprowadzimy następujące oznaczenia opisujące elektryczne i magnetycznepole odnoszące się do równaniań Maxwella

E1 = F10

E2 = F20

E3 = F30

H1 = F23

H2 = F31

H3 = F12

(5.40)

gdzie

Fikl =∂Fik∂xl

+∂Fkl∂xi

+∂Fli∂xk

(5.41)

oraz ∑ ∂F ik

∂xk= si (5.42)

przy tym należy pamiętać zaiązek między wpsołrzędnymi kowariantnymi ikontrawariantnymi:

F ik = eiekFik (5.43)

Jak widać wzór (5.42) przypomina postacią dywergencję. Czterowymiarowywektos si ma postać:{

s0 = 4πρsi = 4π

c ji = 4πc Vi = 4π

c ρ∗ui i = 1, 2, 3

(5.44)

Poprzez ρ oznaczona zastała gęstość przestrzenna ładunku, Vi oznacza trzy-wymiarową prędkość a ji gęstość prądu.ρ∗ oznacza niezmienniczą gęstość la-dunku a ui to czterowymiarowa prędkość. Równanie ruchu wyraża się poprzez

mwi = −1c

3∑k=0

Fikuk (5.45)

5.3 Elektrodynamika - tensor masy 41

Wprowadźmy oraz roważmy następujący tensor:

Uik = − 14πemFimFkm +

116π

eiδik

3∑m,n=0

FmnFmn (5.46)

Przykładowo, trzywymiarowy zapis składników tensora energii pola elektro-magnetycznego mają postać:

U00 =E2 +H2

8π(5.47)

U0i = −U0i =1

4π[E×H] (5.48)

5.3.2 Masa i energia

Tensor masy więc:c2Tik = c2Θik + Uik (5.49)

3∑k=0

∂Tik∂xk

= 0 (5.50)

6

Geometria rożniczkowa

6.1 Transformacje przestrzennych i czasowychwspólrzędnych

Teraz należy przeprowadzić analizę przestrzeni krzywoliniowej. Pamiętając jakwygląda element długości

ds2 = gik(x)dxidxk = ρikdx′idx′k. (6.1)

Rozważane wcześniej było równanie czoła fali (∇ω)2 = 0. Inaczej:

(∇ω)2 =1c2

(∂ω

∂t)2 −

3∑k=1

(∂ω

∂xk)2, (6.2)

może być podstawą wyprowadzenia wzorów na transformacje Lorentza (śzcze-gólną teorii względnosci”), patrz [2].

Jak to się zmieni gdy przejdziemy od jednego układu współrzędnych doinnego, czyli gdy x

′

i = x′

i(x0, x1, x2, x3)? Zakładamy, że J = det( ∂x′i

∂x′j) 6= 0,

bowiem wtedy będzie istniała transformacja odwrotna. Należy również spraw-dzić co stanie się z elementem ds2 po transformacji.

dx′i =3∑s=0

∂x′i∂xs

dxs, (6.3)

podobnie

dx′k =3∑p=0

∂x′k∂xp

dxp. (6.4)

Wstawiając (6.3) oraz (6.4) do (6.1) otrzymujemy:

ds2 =∑ik

gik∑sp

∂x′i∂xs

∂x′k∂xp

dxsdxp (6.5)

44 6 Geometria rożniczkowa

Podstawiając za∑ik gik

∂x′i∂xs

∂x′k∂xp

= g′sp

ds2 = g′spdxsdxp (6.6)

Wtedy równanie na czoło fali ma postać:

(∇ω)2 =∑

ek(∂ω

∂xk)2 =

3∑α,β=0

gαβ∂ω

∂xα

∂ω

∂xβ(6.7)

gdzie gαβ =∑ek

∂xα∂x′k

∂xβ∂x′k

Mając tak zdefiniowane gαβ oraz gαβ =∑ek

∂x′k∂xα

∂x′k∂xβ

widać że wyrażenie gαβgβγ = δαγ .

det gαβ = det(ek∂x′k∂xα

) det(∂x′k∂xβ

) (6.8)

Pamiętając iż drugi wyznacznik w równaniu (6.8) jest jakobianem det( ∂x′k

∂xβ) =

J , oraz zauważając że pierwszy czynnik zawiera w sobie mnożenie wszystkichskładowych e0e1e2e3 = −1, czyli det(ek

∂x′k∂xα

) = −J , to

det gαβ = −J2 (6.9)

Dla zmiennych czasowych ważna jest kolejność wydarzeń w czasie, oraz ele-ment długości jest większy od zera:

ds2 = g00dx20 > 0⇒ g00 > 0 (6.10)

Dla zmiennych kwiazi-czasowych ustalany jest x0 które jest danym momentemw czasie, a element długości jest mniejszy od zera:

ds2 =3∑

i,k=1

gikdxidxk < 0 (6.11)

Mozna rozpisać i zbadać następujące wyznaczniki:∣∣∣∣∣∣g11 g12 g13g21 g22 g23g31 g32 g33

∣∣∣∣∣∣ < 0 (6.12)

∣∣∣∣ g11 g12g21 g22

∣∣∣∣ > 0 (6.13)

∣∣∣∣ g22 g23g32 g33

∣∣∣∣ > 0 (6.14)

6.1 Transformacje przestrzennych i czasowych wspólrzędnych 45

∣∣∣∣ g11 g13g31 g33

∣∣∣∣ > 0 (6.15)

Pamiętając iż g11 < 0,g22 < 0,g33 < 0 z powyższych zależności wynika, żedet g < 0, g00 > 0 oraz ∀ωi,

∑gikωiωk < 0.

Równanie poruszającej się powierzchni:

ω(x, y, z, t) = 0 (6.16)

ωxdx+ ωydy + ωzdz + ωτdτ = 0 (6.17)

Jeżeli dx,dy,dz zmieniają się wzdłuż normalnej do tej powierzchni todx = ωx

|gradω|dn

dy = ωy|gradω|dn

dz = ωz|gradω|dn

gdzie dn jest modułem przesunięcia w kierunku wektora n. Zapiszmy równanie(6.17):

|gradω|dn+ ωτdτ = 0 (6.18)

v = dndt

v2 = (dndt )2 = ω2t|gradω|2

Prędkość ruchu powierzchni ω = 0

∇ω =∑

ek(∂ω

∂xl)2 =

1c

(∂ω

∂t)2 − (

∂ω

∂x)2 − (

∂ω

∂y)2 − (

∂ω

∂z)2 (6.19)

zatem (∇ω)2 < 0, natomiast dla innej powierzchni (∇ω)2 > 0.

Jeżelit =

1cf(x, y, z) (6.20)

-równanie czasu, przy(∇f)2 < 1 (6.21)

to t definiuje hiperpowierzchnię.

7

Przestrzeń Riemanna

7.1 Rozmaitość Riemanna

Ponieważ została opisana już przestrzeń lokalnie, to następnym krokiem jestrozszerzenie pojęć na przestrzeń globalną.

Zastosowane zostaną nowe oznaczenia w przestrzeni Reimana:ϕ− xαMetryka w danej przestrzeni wyraża się przez:ds2 = gαβ(x)dxαdxβ

orazds2 = gαβ(x)dxαdxβgdzie α, β = {0, 1, 2, 3}. Pamiętając, że współrzędne w nowym układzie odnie-sienia wyrażone są przez współrzędne w starym układzie x

′

i = x′

i(x0, x1, x2, x3)można zapisać różniczkę x

′

i jako

dx′

i =∑

ekaikdxk =∂x′

i

∂xkdxk (7.1)

Definicja różniczkowania kowariantnego wygląda następująco:

∂ϕ

∂x′i

=∑ ∂ϕ

∂xk

∂xk∂x′i

(7.2)

gdzie współczynnikami przejści od jednego układu do drugiego są:

A′

i =∑ ∂xk

∂x′i

Ak (7.3)

Ai′

=∑ ∂x

′

i

∂xkAk (7.4)

Nstępnym krokiem jest skonstruowanie wektorów w tej przestrzeni. Możnazrobić to lokalnie. W takim przypadku wektory nie są swobodne, tylko każdy

48 7 Przestrzeń Riemanna

ma określony punkt do którego jest przymocowany. Zatem niech (7.3) oraz(7.4) będą definicją wektora w następujący sposób:niech xα reprezentuje punktA′

µ =∑ ∂xα

∂x′µAα

Aα′

=∑ ∂x

′µ

∂xαAµ

7.2 Linia geodezyjna równolegle

Wprowadzamy parametr p aby uporządkować punkty w przestrzeni, np. p jestindeksem punktów xα oraz xα(p) = ϕα(p)x1α(p1), x2α(p2), ...

Aby policzyć w tej przestrzeni np. odległość trzeba scałkować ds po krzy-wej. Wprowadźmy

L =√gαβϕαϕβ ≡

√gαβ xαxβ (7.5)

dxα = dxαdp dp

xα = dϕαdp Wtedy posługując się zasadą wariacyjną definiujemy akcję:

S =∫ p2

p1

Ldp (7.6)

Z tego posługując się zasadą wariacyjną otrzymuje się równanie Lagrange:

d

dp

∂L

∂xα− ∂L

∂xα= 0 (7.7)

F =12gαβ xαxβ (7.8)

Niech F =√

2L. Parametr p można tak dobrać, by dFdp = 0. Otrzymujemy

z (7.7):d

dp

1√2F

∂F

∂xα− 1√

2F

∂F

∂xα= 0 (7.9)

Uwzględniając, że dFdp = 0

d

dp

∂F

∂xα− ∂F

∂xα= 0 (7.10)

Następnie, pamiętając że tensor metryczny gαβ = gβα jest symetryczny

∂F

∂xν=

12gαβ(δαν xβ + xαδβν) = gαβ xβ (7.11)

7.3 Równoległe przenoszenie wektorów 49

d

dp

∂F

∂xα=

d

dpgαβ xβ (7.12)

gαβ xβ +∂gαβ∂xγ

xγ xβ −12∂gβγ∂xα

xβ xγ = 0 (7.13)

Widać, że wyrażenie xγ xβ jest symetryczne, dlatego cały drugi składnikmożna zapisac w innej postaci:

∂gαβ∂xγ

xγ xβ =∂gαγ∂xβ

xβ xγ (7.14)

Równanie (7.13) można zapisać w postaci

gαβ xβ +12

[∂gαβ∂xγ

+∂gαγ∂xβ

− ∂gβγ∂xα

]xβ xγ = 0 (7.15)

Czynnik w nawiasie kwadratowym zapiszemy jako nawias Cristofela

12∂gαβ∂xγ

+∂gαγ∂xβ

− ∂gβγ∂xα

= [βγ, α] (7.16)

Ostatecznie otrzymane równanie o następującej formie

gαβ xβ + [βγ, α]xβ xγ = 0 (7.17)

jest równaniem linii geodezyjnej xβ(p). Równanie (7.17) opisuje warunek eks-tremum drogi

∫ p2p1dS. Dalej można dane równanie przekształcic w nastepujący

sposób

gναgαβ xβ + gνα[βγ, α]xβ xγ = 0

δνβxβ + gνα[βγ, α]xβ xγ = 0

xν + gνα[βγ, α]xβ xγ = 0

Oznaczając poprzez symbol Clistofela wyrażenie gνα[βγ, α] = Γ νβγ ostatecznieuzyskane równanie (7.18) jest równaniem geodezyjnej

xν + Γ νβγ xβ xγ = 0 (7.18)

7.3 Równoległe przenoszenie wektorów

Dany jest wektor na powierzchni zaczepiony w punkcie P . Wektor znajdującysię bardzo blisko wektora zaczepionego w punkcie P i równoległy do niegona powierzchni, można uzyskać w sposób: Rozważa się wektor zaczepiony w

50 7 Przestrzeń Riemanna

punkcie P w przestrzeni. Stwarza się wektor zaczepiony w punkcie Q, któryjest do niego równoległy w przestrzeni. Wektor ten leży na płaszczyźnie stycz-nej do powierzchni w punkcie Q. Wektor w punkcie Q jest równoległy dowektora w punkcie P .

Sposób analityczny:y1, y2, y3 - współrzędne kartezjańskie punktu w przestrzeni euklidesowejx1, x2 - współrzędne powierzchni

Równania parametryczne powierzchni:

yn = yn(x1, x2), (n = 1, 2, 3) (7.19)

ds2 = g11dx21 + 2g12dx1dx2 + g22dx

22 (7.20)

gik =3∑

n=1

∂yn∂xi

∂yn∂xk

(7.21)

A1, A2 - składowe kowariantne wektora w punkcie P (x1, x2) na powierzchniA1, A2 - składowe kontrawariantne wektora w punkcie P (x1, x2) na po-wierzchniYn - wektor w przestrzeni o składowych kartezjańskich

Yn =∂yn∂x1

A1 +∂yn∂x2

A2, (n = 1, 2, 3) (7.22)

Al =3∑

n=1

Yn∂yn∂xl

, (l = 1, 2;n = 1, 2, 3) (7.23)

Przy przesunięciu wektora do punktu Q(x1+dx1, x2+dx2) nie zmienia sięskładowych kartezjańskich Yn. Otrzymuje się wektor, który nie jest już stycznydo powierzchni. Wektor, który powstaje na skutek przesunięcia równoległegowektora Al do punktu Q ma postać:

Al + δAl =3∑

n=1

Yn(∂yn∂xl

+2∑k=1

∂2yn∂xk∂xl

δxk) (7.24)

δAl =3∑

n=1

Yn

2∑k=1

∂2yn∂xk∂xl

δxk (7.25)

Podstawiając do równań (7.24) i (7.25) równania (7.22) i (7.23) oraz za-kładając:

7.3 Równoległe przenoszenie wektorów 51

3∑n=1

∂yn∂xi

∂2yn∂xk∂xl

=12∂gik∂xl

gilxk

∂gkl∂xi

= Γi,kl (7.26)

Otrzymuje się przyrost dowolnego wektora przy przesunięciu równoległymw postaci:

δAl =2∑

n,k=1

Γi,klAiδxk (7.27)

Przyrost zależe tylko od wewnętrznych właściwości powierzchni, które sąwyznaczone przez wyrażenie ds2 (7.20). Teorię równoległego przesunięcia wek-torów w N -wymiarowej przestrzeni rozwinął Levi-Civita.

ds2 = gαβdxαdxβ (7.28)

gαβ =N∑n=1

en∂yn∂xα

∂yn∂xβ

(7.29)

en = ±1 (7.30)

Gdy sygnatura formy kwadratowej (7.28) jest następująca (+ − −−), musibyć co najmniej jedno dodatnie en i co najmniej trzy ujemne.

yn- współrzędne kartezjańskie w wielowymiarowej pseudo-euklidesowejprzestrzeni

yn(x0, x1, x2, x3) (7.31)

Czasoprzestrzeń jest pewną hiperpowierzchnią w wielowymiarowej przestrzeni.Yn - wektor styczny do hiperpowierzchni o składowych kartezjańskich

yn =∂yn∂xα

Aα, (α = 0, 1, 2, 3) (7.32)

Używając równania (7.29), otrzymano:

Aα =N∑n=1

enYn∂yn∂xα

(7.33)

Wartość wektora, który powstaje na skutek przesunięcia równoległego wektoraAα do blisko położonego punktu Q ma postać:

Aα + δAα =N∑n=1

enYn(∂yn∂xα

+∂2yn

∂xα∂xβδxβ) (7.34)

Przyrost wartości wektora przy przesunięciu równoległym:

δAα =N∑n=1

enYn∂2yn

∂xα∂xβδxβ (7.35)

52 7 Przestrzeń Riemanna

δAα = Γγ,αβAγδxβ (7.36)

Wyrażenia (7.35) i (7.36) można przedstawić za pomocą współrzędnych ko-wariantnych:

Aγ = gνγAν (7.37)

gγνΓγ,αβ = Γ ναβ (7.38)

δAα = Γ ναβAνδxβ (7.39)

oraz współrzędnych kontrawariantnych:

δAν = −Γ ναβAαδxβ (7.40)

Iloczyn skalarnych dwóch wektorów przy przesunięciu równoległym pozo-staje bez zmian:

δ(AνBν) = BνδAν +AαδBα = 0 (7.41)

7.4 Różniczkowanie kowariantne

Pochodna kowariantna - tensor powstały w wyniku różniczkowania innegotensora. Pochodną kowariantną oznacza się w sposób:

∇µAν ≡ Aν;µ∇µ,kAjν ≡ Ajν;µ,k (7.42)

W przypadku, gdy tensor metryczny gµν jest stały, pochodna kowariatna po-krywa się z pochodną cząstkową.

gµν = const→ ∂

∂xµ≡ ∇µ (7.43)

W przypadku, gdy tensor metryczny nie jest stały, obliczenie pochodnejcząstkowej tensora prowadzi do obiektu, który nie jest tensorem.

Wyprowadzenie różniczkowania kowariantnego (wykorzystujące równole-głe przenoszenie wektorów): Rozważane jest pole wektorowe Aν i zmiana wek-tora Aν z punktu P (xβ) do punktu Q(xβ+δxβ), gdzie gµν(x). Zmiana wektoraAν przy infinitezymalnym przesunięciu wektora Aν z punktu P (xβ)doQ(xβ +δxβ):

(Aν)Q − (Aν)P = δ1Aν =∂Aν∂xβ

δxβ (7.44)

Natomiast w wyniku przejścia równoległego z punktu P do Q′′, otrzymano:

(Aν)Q′′ − (Aν)P = δ2Aν = ΓµµβAνδxβ (7.45)

7.5 Transformacja Nawiasów Christoffela 53

Odejmując stronami równania, otrzymano różnicę pomiędzy zmianą wektoraprzy przesunięciu po krzywej a zmianą wektora przy przesunięciu równoległym- δAν .

(Aν)Q − (Aν)Q′′ = δAν = δ1Aν − δ2Aν (7.46)

δAν = (∂Aν∂xβ

− ΓµνβAµ)δxβ (7.47)

Otrzymano pochodną kowariantną wektora kowariantnego:

∇βAν =∂Aν∂xβ

− ΓµνβAµ (7.48)

Analogicznie pochodna wektora kontrawariantnego (δ2Aν = −ΓµνβAνδxβ)

∇βAν =∂Aν∂xβ

− ΓµνβAν (7.49)

Pochodna tensora drugiego rzędu:

∇βTµν =∂Tµν∂xβ

− Γ ρµβTρν − ΓρνβTµρ (7.50)

Stwierdzenie. Pochodna kowariantna tensora metrycznego jest równazero.

∇µgαβ = 0. (7.51)

7.5 Transformacja Nawiasów Christoffela

Pochodna kowarientna albo tensorowa różni sie od zwykłej pochodnej dodat-kiem w postaci symboli Christoffela:

Γ ναβ =12gµν

(∂gαµ∂xβ

+∂gβµ∂xα

− ∂gαβ∂xµ

)(7.52)

Pokażemy że w otoczeniu każdego punktu isnieje taki układ współrzęd-nych, że wszyskie składowe Γ są zerowy. Więc pochodne od wszystkich skła-dowych tensora gµν się wyzerują (patrz (7.51).

Aby pokazać jak transformują się symbole Christoffela przy przejściu zjednego układu odniesienia do drugiego zaczniemy od:

ϕµν =∂2ϕ

∂xµ∂xν− Γαµν

∂ϕ

∂xα(7.53)

Zastosujmy dowód z [?] Funkcja ϕµν reprezentuję tensor, dlatego podlega onatożsamości:

54 7 Przestrzeń Riemanna

∂2ϕ

∂xµ∂xν− Γ ρµν

∂ϕ

∂xρ=

(∂2ϕ

∂x′α∂x′β

−(Γσαβ

)′ ∂ϕ∂x′σ

)∂x′α∂xµ

∂x′β∂xν

(7.54)

(Γσαβ

)′reprezentuję symbole Christoffela w układzie primowanym. Pod-

stawiając ϕ = x′σ otrzymujemy:

∂2x′σ∂xµ∂xν

− Γ ρµν∂x′σ∂xρ

= −(Γσαβ

)′ ∂x′α∂xµ

∂x′β∂xν

(7.55)

Fragment odpowiadający za drugą pochodną dowodzi,że Γσαβ nie jest ten-sorem. Jeżeli transformacja jest liniowa to wspomniany wcześniej symbol znikaa Γ ραβ zachowuje sie jak tensor. Oznaczmy Γ ραβ dla konkretnego punku prez(Γ ραβ

)0. Symbol

(Γσαβ

)′zniknie gdy transformacja współrzędny spełni taki

związek: (∂2x′σ∂xµ∂xν

)0−(Γ ρµν

)0

(∂x′σ∂xρ

)0

(7.56)

Związek ten jest spełniony gdy:

x′σ = xσ − x0σ +12

(Γσµν

)0

(xµ − x0µ

) (xν − x0ν

)(7.57)

(∂x′σ∂xρ

)0

= δσρ (7.58)

Dzięki temu składowe tensora w danym punkcie będą takie same w ukła-dzie primowanym i nie primowanym. Pochodne takiego tensora zerują się:

∂gµν∂xα

= 0 (7.59)

Układ współrzędnych w którym, pochodna w danym punkcie znika zwanyjest układem lokalnie geodezyjnym. Rozważmy układ w którym symbole Chri-stoffela znikają nie tylko w danym punkcie ale na całym obszarze. Aby istniałtaki obszar musi być spełnione to równanie:

∂2ϕ

∂xµ∂xν− Γ ρµν

∂ϕ

∂xρ= 0 (7.60)

Gdzie funkcja ϕ:

ϕ = x′0, x′1, x′2, x′3 (7.61)

Aby wszystkie równania (7.60) były zgodne, ta sama trzecia pochodnamusi mieć zgodne rozwiązania, dlatego:

7.5 Transformacja Nawiasów Christoffela 55

∂

∂xα

(∂2ϕ

∂xµ∂xν

)=

∂

∂xα

(Γ ρµν

∂ϕ

∂xρ

)∂

∂xν

(∂2ϕ

∂xµ∂xα

)=

∂

∂xν

(Γ ρµν

∂ϕ

∂xρ

) (7.62)

Lewa strony równań są sobie równe, dlatego prawe też są sobie równe.Przyrównujemy prawe strony do siebie i otrzymujemy:(

∂Γ ρµν∂xα

−∂Γ ρµα∂xν

+ ΓσµνΓρσα − ΓσµαΓ ρσν

)∂ϕ

∂xρ= 0 (7.63)

Te równania musza być poprawne dla (7.61) gdyż wyznacznik nie jestrówny zero:

D =D (x′0, x

′1, x′2, x′3)

D (x0, x1, x2, x3)6= 0 (7.64)

Sugeruje to, że wszystkie współczynniki przy ∂ϕ∂xρ

w równaniu (7.63) musząznikać. Współczynniki te są postaci:

Rρµν,α =∂Γ ρµν∂xα

−∂Γ ρµα∂xν

+ ΓσµνΓρσα − ΓσµαΓ ρσν (7.65)

Dlatego można twierdzić,że iff Rρµν,α = 0 gdy równanie (7.60) ma rozwią-zania a forma ds2 = gαβdxαdxβ jest postaci:

ds2 = (dx′0)2 − (dx′1)

2 − (dx′2)2 − (dx′3)

2 (7.66)

Gdzie x′α to rozwiązanie równania (7.60) takie,że:

gνµ∂x′α∂xµ

∂x′β∂xν

= eαδαβ

gαβ =3∑0

eµ∂x′µ∂xα

∂x′µ∂xβ

(7.67)

8

Tensory krzywizny Riemanna

8.1 Tensor Krzywizny

8.1.1 Wprowadzenie

Def: Tensor krzywizny Riemann:

Rρµ,να =

∂Γ ρµν

∂xα−∂Γ ρµν

∂xν+ Γ σµνΓ

ρσα + Γ σµαΓ

ρσν

Patrz wzór (7.65).Za pomocą tensora krzywizny można znaleść wyrażenie opisujące zmianę

wektora przy infinityzymalnym przesunięciu równoległym po zamkniętymkonturze. Weżmy wektor Aρ. W punkcie początkowym ma on wartość (Aρ)0.

Aρ = (Aρ)0 + (Γσαρ)0(Aσ)0(xα − x0α) (8.1)

δAµ =∫Γ ρµνAρdxν (8.2)

Γ ρµν = (Γ ρµν)0 + (∂Γ ρµν∂xα

)0(xα − x0α) (8.3)

Podstawiając (8.1) i (8.3) do (8.2) oraz wykorzystując fakt, iż całka kon-turowa po zamkniętym konturze z różniczki zupełnej znika, otrzymujemy:

δAµ =(∂Γ ρµν∂xα

+ ΓσµνΓρσα

)(Aρ)0

∫(xα − x0α)dxν

Oznaczmy

Qνα =∫

(xα − x0α)dxν =12

∫ [(xα − x0α)dxν − (xν − x0ν)dxα

]

58 8 Tensory krzywizny Riemanna

widać, że Qµα jest projekcją powierzchni ograniczonej konturem na powierzch-nię współrzędnych. Ostatecznie

δAµ =12Rρµ,ναAρQ

να.

Postępując podobnie, można pokazać, że dla współrzędnych kontrawa-riantnych wektora zachodzi relacja

δAσ =12Rσµ,ναA

ρQνα.

Można pokazać, że

(∇α∇β −∇β∇α)Aµ = Rνµ,α,βAν .

8.1.2 Kilka własności

1. Antysymetryczność względem dwóch pierwszych indeksówRνµ,αβ = −Rµν,αβ

2. Antysymetryczność względem dwóch ostatnich indeksówRµν,αβ = −Rµν,βα

3. Symetria cyklicznaRµν,αβ +Rµα,βµ +Rµβ,να = 0

8.1.3 Inne tensory krzywizny. Kontrakcje.

1. Tensor Ricci-(Riemanna)Kontrakcja tensora Riemanna po dwóch indeksach daje

Rµ,ν = gαβRµα,βµ = Rβµ,βν

Krzywizna skalarna.

R = Rνν = gµνRµν

2. Tensor Konserwatywny (Einsteina)

Gµν = Rµν −12gµνR,

można sprawdzić że dyvergencja czterewymiarowa

∇νGµν = 0. (8.4)

9

Teoria grawiacji I

9.1 Podstawy Teorii Grawitacji Newtona

9.1.1 Prawo Galileusza.

Masa gravitacijnamg, masa inercjałna mi.Prawo Galileusza:

mg = mi

U = γMR , γ = 115000000 ·

sm3

gs2

U ∼ v2, U � c2

∆U = −4πγρ, (9.1)

U → 0, r →∞.

II prawo Newtona

miw = F = mg∇U.

9.1.2 Interpretacja geometrycznz

Prawo Galileusza →w = ∇U.można potraktować jako równanie Eulera dla zasady wariacyjnej

δ

∫ (12v2 + U

)dt = 0.

Porównujmy z

60 9 Teoria grawiacji I

δ

∫ds = 0.

gdzie

ds =√c2 − v2dt ≈

(c− v2

2c

)dt.

Załóżmyds =

√c2 − 2U − v2dt ≈

[c− 1c

(12v2 + U

)]dt =⇒ - małe pola

Stała (c) ne zmienia równania Eulera, więc ono bedzie takie samo jak dlaδ∫ ( 12v2 + U

)dt = 0,

ale brak U dla dowolnych v musi dawać

ds =√c2 − v2dt,

więcds2 =

(c2 − 2U

)dt2 − dr2.

Dokładnejsza teoria;

ds2 =(c2 − 2U

)dt2 − (1 +

2Uc2

)dr2.

9.2 Uwagi o pomiarach spektralnych

Z popszedniego rozdziału

g00 ≈ c2 − 2U,

Niech w punkcie r o potenciale U(r) znajduje sie nieruchome żródłofali elektromagnetycznej o częstotliwości 2πT , fala ma (przyblżono) zespolonywspółczynnik

exp[i2πtT

].

W tym UO

dτ =1c

ds =(

1− U

c2

)dt

T0 =(

1− U

c2

)T

U1 − U2c2

= 2 · 10−6

Pomiary dla satelita Siriusa (potecjał na powierszni 20 razy większy odsłońca.)

10

Teoria grawitacji II

”There is nothing in the world except empty curved space. Matter, charge,electromagnetism and other fields are only manifestations of the curvature ofspace.” John Archibald Wheeler 1957!

10.1 Równanie Grawitacji Einsteina

Potencjał U spełnia ∆U = −4hγρ,podobną role odgrywa tensor ∼ gµν , który określa Rµν(ale ma więcej składowych). Było ustalono, że

∇nuTµν = 0. (10.1)

Mieliśmy∇νGµν = 0, (10.2)

więć tensory powinny być proporcjonalny

Rµν − 12gµνR = −κTµν . (10.3)

Równanie grawitacji Einsteina* [12]: r. 1915* . W tyma samym roku równaniegrawitacji opublikowal Hilbert [13].

10.2 Porównanie z teorią Newtona. Warunki brzegowe

Równanie EG jest równaniem różniczkowym względem składowych tensorametrycznego gµν . Więc jednosnaczne rozwiązanie potrzebuje warunków brze-gowych. Potencjał Newtona zanika na nieskonczonosci, ale nie jest relatywi-stycznym. Zgodnie z tym i odpowiednim związkom pomiędzy potencjałem agµν możemy wybrać warunki na tensor metryczny w ∞.

(g00)∞ = c2,

(g0i)∞ = 0,

(gik)∞ = −δik.(10.4)

(g00)∞ =1c2,

(g0i)∞ = 0,

(gik)∞ = −δik.

(10.5)

Tego jednak nie wystarcze. Koniecznie zadanie asymptotyki

gµν − (gµν)∞. (10.6)

Poza rozkładem masy

Tµν = 0,

Γ ν = gαβΓ ναβ = 0.(10.7)

Wtedy możemy zapisać że

Rµν =−12gαβ

∂2gµν

∂xα∂xβ+ Γµ,αβΓ ναβ . (10.8)

Przybliżone asymptotyka gαβ ∼ 1r

Rµν ∼=12∆gµν − 1

2c2∂2gµν

∂t2(10.9)

Zachowanie gαβ na nieskończoności będzie determinowane przez zachowanieΨ

Ψ =1rf(t− r

c, n)

n =r

r.

(10.10)

10.3 Rozwiązanie równań Einsteina w pierwszym przybliżeniu. Wyznaczenie stałej 63

Forma asymptotyczna rozwiązania propagującego się i znikającego na nie-skończoności:

lim

(∂rΨ

∂r+

1c

∂rΨ

∂t

)r→∞

= 0∀t. (10.11)

Warunek razem z zanikiem gµν z pochodnymi dja jednoznaczne rozwiązanierównania falowego, więć - równania grawitacji.

10.3 Rozwiązanie równań Einsteina w pierwszymprzybliżeniu. Wyznaczenie stałej

Korzystając z postaci tensora T dla ciała sprężystego:

c2T 00 = ρ+1c2

(12ρv2 + ρΠ

)c2T 0i = ρvi +

1c2

(vi

(12ρv2 + ρΠ

)−3∑k=1

Pikvk

)c2T ik = ρvivk − Pikc2T 00 = 0

c2T 0i = −ρvi

(10.12)

Stosujemy przybliżenie

T = ρ (10.13)

Korzystając z powyższych wyrażeń i (10.9) jesteśmy w stanie zapisać prawąstronę równania

Rµν = −κ(Tµν − 1

2gµνT

)(10.14)

Korzystając z Galileuszowskich wartości g:

T 00 − 12g00T =

12c2

ρ,

T 0i − 12g0iT =

12ρvi,

T ik − 12gikT =

12ρδik.

(10.15)

Zakładając harmoniczność współrzędnych mamy w przybliżeniu:

Rµν =12∆gµν − 1

2c2∂2gµν

∂t2(10.16)

64 10 Teoria grawitacji II

Zerując drugą pochodną po czasie (rozwiązanie statyczne):

gµνtt = 0

∆g00 = − κc2ρ

∆g0i = −2κc2ρvi

∆gik = −κρδik

(10.17)

Ponieważ

g00g00 +

3∑i=1

g0igi0

︸ ︷︷ ︸mayczon

= 1(10.18)

To równanie przyjmuje postać

g00 =1c2

+2Uc4

(10.19)

Korzystając z równania na potencjał Newtonowski znajdujemy:

∆U = −4πγρ

∆g00 = −8πγc4

ρ(10.20)

Dzięki temu wyznaczona zostaje wsrtość stałej

κ =8πγc2

(10.21)

Pitencjał U może być zapisany jako:

U = γ

∫ρ∣∣r − r′∣∣dV ′ (10.22)

Wprowadzając funkcje spełniające warunki

Ui = γ

∫ρvi∣∣r − r′∣∣dV ′

∆Ui = 4πγρvi

(10.23)

Wtedy składowe g można zapisać jako

g00 =1c2

(1 +

2Uc2

)g0i =

4c2Ui

gik = −(

1− U

c2

)δik

(10.24)

10.3 Rozwiązanie równań Einsteina w pierwszym przybliżeniu. Wyznaczenie stałej 65

Można stwierdzić że (q predkosc mniejsza niz c), W dalszej części U zamieniasię na V

U ∝ q2, Ui ∝ q3

ds2 =(c2 − 2U

)dt2 −

(1 +

2Uc2

)dr2 +

8c2

(U1dx1U2dx2U3dx3) dt(10.25)

Pozieważ

∂gµν

∂t= 0 (10.26)

Elementy g można zapisać jako

g0i = 0

g00 = V 2

gik = −aik(10.27)

Interwał czasoprzstrzenny przyjmuje postać

ds2 = V 2dt2 −3∑

i,k=1

aikdxidkk

dl2 =3∑

i,k=1

aikdxidkk∑i

aimamk = δik

ds2 = V 2dt2 − dl2

(10.28)

Można zapisać

g00 =1V 2

g01 = 0gik = −aik√−g = V

√a a = Detaik

(10.29)

Korzystając z symboli

66 10 Teoria grawitacji II

Γ γαβ =12gµν

(∂gαβ∂xβ

+∂gβµ∂xα

− ∂gαβ∂xµ

)(Γ ρµν)g ∝ gµν(Γnik)gaik

(Γhik)g = (Γhik)a

(Γ i00)g = V V i

V i = aikVk, Vk =∂V

∂xk

(Γ 00i)g =ViV

(Γ 000)g = 0

(Γ 0ik)g = 0

(Γ ki0)g = 0

(10.30)

Wtedy wyrażenie na R przyjmuje postać

Rρσ,µν =∂Γ ρσµ∂xν

− ∂Γ ρσν∂xµ

+ ΓασµΓραν − ΓασνΓ ραµ (10.31)

Składowe R są dane przez

(Rli,hk)g = (Rli,hk)u

(R0i,hk) = 0

(Rli,0k)g = 0

(Rl0,hk)g = 0

(R00,hk)g = 0

(Rl0,0k)g =∂

∂xk(V V i) + V V i(Γ lik)a − VkV i = V

(∂V l

∂xk(Γ lik)aV i

)(V l)k =

∂V l

∂xk+ (Γ lik)aV i

Vik =∂2V

∂xi∂xk− (Γ jik)a

∂V

∂xj= Vki

(Ri0,0k)g = V V ik

(R0i,0k)g =∂

∂xk

(ViV

)+ViVkV 2− (Γ jik)a

VjV

(R0i,0k)g =VikV

Rµν = Rαµ,αν = R0µ,0ν +Rlµ,lk

(Rik)g = (Rik)a +VikV

(10.32)

10.4 Pole grawitacyjne izolowanej cząstki punktowej 67

Co ostatecznie prowadzi do wyniku (w pierwszym przybliżeniu)

ds2 = (c2 − 2V ) (10.33)

10.4 Pole grawitacyjne izolowanej cząstki punktowej

ds2 = V 2dt2 − dl2

dl2 = aikdxidxk(10.34)

Wprowadzając współrzędne sferyczne:

x1 = r sin θ cosϕ

x2 = r sin θ sinϕ

x3 = r cos θ

(10.35)

Założenie symetrii sferycznej powoduje, że dl2 przyjmuje następującą postać:

dl2 = F 2dr2 + %2(dθ2 + sin2θdϕ2

)(10.36)

gdzie F i % są funkcjami zależnymi tylko od r (współczynnik V również musizależeć tylko od r).Jeśli ds2 przyjmuje powyższą postać zastosowanie operatora d’Alamberta dofunkcji Ψ ma postać:

�Ψ =1V 2

∂2Ψ

∂t2− 1%2

[1V F

∂

∂r

(V %2

F

∂Ψ

∂r

)+∆∗Ψ

](10.37)

gdzie ∆∗ to operator Laplace’a na sferze

∆∗Ψ =1

sin θ∂

∂θ

(sin θ

∂Ψ

∂θ

)+

1sin2 θ

∂2Ψ

∂ϕ2(10.38)

Ewidentnie czas t jest zmienną harmoniczną, dla �t = 0.Aby współrzędne x1,x2,x3 również były harmoniczne konieczne jest aby �xi =0.Jeżeli xi jest jedną z wielkości (10.35) to:

∆∗xi = −2xi (10.39)

i warunek na harmoniczność xi przyjmuje postać:

1V F

d

dr

(V %2

F

)− 2r = 0 (10.40)

Jest to uzupełniające równanie które musi być spełnione przez V ,F i % opróczrównania Einsteina.

68 10 Teoria grawitacji II

Należy sformułować symbole Christofella dla różniczkowej formy równania(10.36). Wstawia się:

arr = F 2 aθθ = %2 aϕϕ = %2 sin2 θ

aθϕ = 0 aϕr = 0 arθ = 0

oraz elementy kontrawariantnego trójwymiarowego tensora metrycznego:

arr =1F 2

aθθ =1%2

aϕϕ =1

%2 sin2 θ

aθϕ = 0 aϕr = 0 arθ = 0

Otrzymujemy 18 symboli Christoffela:

Γ rrr =F ′

FΓ θrr = 0 Γϕrr = 0 (10.41)

Γ rθθ = −%%′

F 2Γ θθθ = 0 Γϕθθ = 0 (10.42)

Γ rϕϕ = −%%′

F 2sin2 θ Γ θϕϕ = − sin θ cos θ Γϕϕϕ = 0 (10.43)

Γ rrθ = 0 Γ θrθ =%′

%Γϕrθ = 0 (10.44)

Γ rrϕ = 0 Γ θrϕ = 0 Γϕrϕ =%′

%(10.45)

Γ rθϕ = 0 Γ θrϕ = 0 Γϕrϕ = ctg θ (10.46)

Elementy z primem oznaczają różniczkowanie po r.Należy zwrócić uwagę, że każdy rząd w powyższej tabeli zawiera ujemnewspółczynniki przy pierwszych pochodnych ∂V

∂r , ∂V∂θ , ∂V

∂ϕ .

Vrr =∂2V

∂r2− F ′

F

∂V

∂r(10.47)

Vθθ =∂2V

∂θ2+%%′

F 2∂V

∂r(10.48)

Vϕϕ =∂2V

∂ϕ2+%%′

F 2sin2 θ

∂V

∂r+ sin θ cos θ

∂V

∂θ(10.49)

Vrϑ =∂2V

∂r∂θ− %′

%

∂V

∂θ(10.50)

Vrϕ =∂2V

∂r∂ϕ− %′

%

∂V

∂ϕ(10.51)

Vθϕ =∂2V

∂θ∂ϕ− ctg θ

∂V

∂ϕ(10.52)

Z drugiej strony każda kolumna z tabelki powyżej daje współczynniki sto-jące przy kwadracie lub iloczynie różnych pochodnych w równaniach na prze-strzenną linię geodezyjną, która przyjmuje postać:

10.4 Pole grawitacyjne izolowanej cząstki punktowej 69

r +F ′

Fr2 − %%′

F 2

(θ2 + sin2 θϕ2

)= 0

θ + 2%′

%θr − sin θ cos θϕ2 = 0

ϕ+ 2%′

%ϕr + 2 ctg θϕθ = 0

Kropka oznacza różniczkowanie względem długości łuku (r = drdl itd.)

Jeśli znika tensor masy równanie grawitacyjne upraszcza się do postaci

(Rµν)g = 0 (10.53)

ponieważ: (Rrθ)a = 0, (Rrϕ)a = 0, (Rθϕ)a = 0 Równanie przestrzenne wprzypadku statycznym redukuje się do:

V (Rik)a + Vik = 0 (10.54)

natomiast czasowe do:∆V = 0 (10.55)

znajdując wyrażenie na (Rrr)a i Vrr oraz wstawiając je do V (Rrr)a+Vrr = 0otrzymujemy:

2V F%

d

dr

(%′

F

)+ V ′′ − F ′

FV ′ = 0 (10.56)

oraz do V (Rθθ)a + Vθθ = 0 otrzymujemy:

d

dr

(%%′V

F

)− V F = 0 (10.57)

Zatem ostatecznie ∆V = 0 może być zapisane jako:

V ′′ − F ′

F+

2%′

%V ′ = 0 (10.58)

Powyższe trzy równania są łatwe do rozwiązania. Na podstawie (10.56) i(10.58) mamy:

Vd

dr

(%′

F

)− %′

FV ′ = 0 (10.59)

gdzie %′

V F = constWartość powyższej stałej jest zdeterminowana przez warunki brzegowe. Wnieskończoności musi zachodzić:

%′ = 1 F = 1 V = c (r →∞) (10.60)

zatem V F = c%′ co po wstawieniu do (10.57) i scałkowaniu daje:

%%′V

F− c% = const (10.61)

70 10 Teoria grawitacji II

Wartość tej stałej możę być określona przez porównanie z teorią Newtona.Jeżeli M to wartość masy punktowej musimy mieć dla dużych odległości (r →∞):

V 2 = c2 − 2U U =γM

r(10.62)

gdzielimr→∞

%

r= 1

zatem %(c2 − V 2) = 2γM czyli:

V 2 = c2 − 2γM%

(10.63)

Do tej pory rozważano tylko równanie (10.57) i kombinację (10.56) oraz(10.58).Należy teraz zweryfikować czy te dwa ostatnie mogą zostać spełnione oddziel-nie. Zapisując (10.58) w postaci:

d

dr

(V ′%2

F

)= 0

i z drugiej strony różniczkując (10.63) otrzymujemy: V V ′ = γM%2 %

′ co w zesta-

wieniu z V F = c%′ daje V ′%2

F = γMc = const, a zatem (10.58) jest spełnione.

Wynika z tego, że tylko dwa spośród (10.56), (10.58), (10.57) są niezależne.Na mocy V F = c%′ mamy:

Fdr =c

Vd%

Wstawienie wartości uzyskanych dla F i V do wyrażenia ds2 daje:

ds2 = V 2dt2 − c2

V 2d%2 − %2(dθ2 + sin2 θdϕ2) (10.64)

Jeśli korzystamy tylko z równań grawitacyjnych, ale bez warunku na harmo-niczność współrzednych, wielkość % pozostaje dowolną funkcją r w taki spo-sób, że r jest również dowolną funkcją %. Dla 1

V Fddr

(V %2

F

)− 2r = 0 stosując

V F = c%′ otrzymujemy:

d

d%

(V 2%2

c2dr

d%

)− 2r = 0 (10.65)

wstawiając (10.63) powyższy wzór przekształca się do:

d

d%

[(%2 − 2α%

) drd%

]− 2r = 0 (10.66)

10.5 Ruch peryhelium planet 71

gdzie α = γMc2 i % ­ 2α , V 2 ­ 0

wstawiając % jako % = α(1+z) powyższe równanie przyjmuje postać równaniaLegendre’a:

d

dz

[(z2 − 1)

dr

dz

]− 2r = 0 (10.67)

dla obszaru z ­ 1 rozwiązaniem ogólnym równania Legendre’a jest:

r = CP1(z) + C ′Q1(z)

gdzie P1(z) = z, Q1(z) = z2 ln

(z+1z−1

)−1 Są to funkcje Legendre’a odpowiednio

pierwszego i drugiego rodzaju. Dla z = 1 funkcja Q1 zmierza do nieskończo-ności, a zatem człon przy Q1 pozostawiając tylko elementy proporcjonalne doz. Porównując wartości % i r dla dużych z łatwo wywnioskować z warunków(10.60) i (10.62), że:

r = αz

a zatem % = r + α.Wstawiając wartość % do wyrażenia na ds2 otrzymujemy:

ds2 = C2(r − αr + α

)dt2 −

(r + α

r − α

)dr2 − (r + α)2(dθ2 + sin2 θdϕ2) (10.68)

gdzie na podstawie α = γMc2 wiadomo, że stała α jest proporcjonalna do wiel-

kości masy punktowej M.Równanie w postaci (10.64) dla ds2 we względnych współrzędnych niehar-monicznych było pierwszy raz wyprowadzone przez Schwarzschilda i częstonazywane jest od jego imienia.

10.5 Ruch peryhelium planet

Pewne szczególne rozwiązanie równań grawitacyjnych może być zastosowanedo opisu pola grawitacyjnego słońca oraz planet.

Weźmy

ds2 = c2(r − αr + α

)dt2 −

(r + α

r − α

)− (r + α)2(dθ2 + sin2 θdϕ) (10.69)

gdzie

α =γM

c2, (10.70)

M - masa, γ - stała Newtona, c - prędkość światła.Wielkość α nazwana jest grawitacyjnym promieniem masyM . Jest ona, dla

obiektów z naszego układu planetarnego, znacznie mniejsza niż geometrycznypromień L. Dla słońca wynosi około α = 1, 48km, natomiast dla Ziemi α =0, 443cm.

72 10 Teoria grawitacji II

Przekształcamy teraz równanie (10.69) ze współrzędnych sferycznych doukładu prostokątnego. Przepiszmy przestrzenną część (10.69)

dl2 =(r + α

r − α

)dr2 + (r + α)2(dθ2 + sin2 θdϕ) (10.71)

w postaci

dl2 =r + α

r − α· α2

r2dr2 +

(1 +

α

r

)2(dr2 + r2dθ2 + r2 sin2 θdϕ), (10.72)

dzięki czemu łatwiej nam przejść do współrzędnych kartezjańskich.Otrzymujemy

ds2 = c2(r − αr + α

)dt2 −

(1 +

α

r

)2(dx21 + dx22 + dx23)−

−r + α

r − α· α2

r4(x1dx+ x2dx2 + x3dx3)2,(10.73)

wówczas

gik = −(

1 +α

r

)2δik −

r + α

r − α· α2

r4xixk, (10.74)

co daje nam

g00 = c2r − αr + α

; g0i = 0. (10.75)

Jeżeli w równaniu (10.73) zaniedbalibyśmy czynnik α22 i wyższe, dostalibyśmywyrażenie na potencjał Newtonowski

U = c2α

r=γM

r(10.76)

Używając (10.74) oraz (10.75) i transformując równanie

gµν∂ψ

∂xµ

∂ψ

∂xν=r + α

r − α1c2

(∂ψ

∂t

)2− r − αr + α

(∂ψ

∂r

)2−

− 1(r + α)2

[(∂ψ

∂θ

)2+

1sin2 θ

(∂ψ

∂ϕ

)2](10.77)

do współrzędnych prostokątnych, otrzymamy wartości współrzędnych kowa-riantnego tensora metrycznego. Mnożąc te składowe przez

√(−g), gdzie g

dane jest wyrażeniem g = −c2(1 + α

r

)4, otrzymamy

gik =√

(−g)gik = −cδik + cα2xixkr4

(10.78)

oraz

g00 =1c

(1 + α)3

1− α; g0i = 0. (10.79)

10.5 Ruch peryhelium planet 73

Łatwo sprawdzić, że nasze współrzędne są harmoniczne oraz spełnione jestrównanie

∂gik

∂xk= 0 (10.80)

Znając potencjał grawitacyjny dla pola masy skupionej, możemy opisaćruch ciała w tym polu, wiedząc, że będzie ono poruszało się po linii geodezyj-nej.

Jak wiemy, równania (linii) geodezyjnej spełniają

δ

∫ds = 0, (10.81)

co może być przedstawione w formie

δ

∫Ldt = 0, (10.82)

gdzie L jest lagranżjanem i w naszym przypadku jego kwadrat jest równy

L2 = c2r − αr + α

−(

1 +α

r

)2(x12 + x2

2 + x32)−

−r + α

r − α· α2

r4(x1x1 + x2x2 + x3x3)2.(10.83)

Kropki oznaczają różniczkowanie po czasie.Aby rozwiązać ten problem zauważmy, że Lagranżjan jest sferycznie sy-

metryczny. To znaczy, iż układ wielkości (x1, x2, x3) i (x1, x2, x3) pozostajestały (niezmienny) względem tej samej, ortogonalnej, liniowej transformacji.W konsekwencji czego, znaczy to, że istnieją całki ruchu

x2∂L

∂x3− x3

∂L

∂x2= c1 (10.84)

x3∂L

∂x1− x1

∂L

∂x3= c2 (10.85)

x1∂L

∂x2− x2

∂L

∂x1= c3 (10.86)

A więc trajektorja ciała leży na płaszczyźnie

c1x1 + c2x2 + c3x3 = 0 (10.87)

Możemy przyjąć x3 = 0 i x3 = 0. Najlepiej posłużyć się teraz współrzędnymibiegunowymi. Poprzednio używane przez nas współrzędne sferyczne redukująsię do biegunowych, gdy przyjmiemy θ = π oraz θ = 0. Przepisując lagranżjanwe współrzędnych biegunowych, dostajemy

L2 = c2r − αr + α

− r + α

r − αr2 − (r + α)2ϕ2 (10.88)

74 10 Teoria grawitacji II

Lagranżjan jest zależny do czasu i kąta ϕ, co daje nam

r∂L

∂r+ ϕ

∂L

∂ϕ− L = const (10.89)

i∂L

∂ϕ= const. (10.90)

Pamiętając, żeLdt = ds = cdτ, (10.91)

τ - czas własny (ang. proper time)możemy przepisać (10.89) i (10.90) w postaci

r − αr + α

· dtdτ

= ε (10.92)

(r + α)2dϕdτ

= µ (10.93)

Wielkość µ może być interpretowana jako moment pędu masy jednostkowej.Jeżeli przyjmiemy

ε = 1 +E0c2, E0 − stala (10.94)

nasze równania pokażę, że w przybliżeniu nierelatywistycznym

E0 =12v2 − γM

r, (10.95)

czyli E0 jest całkowitą energią masy jednostkowej.Podstawiając (10.92) i (10.93) do tożsamości

c2(r − αr + α

)(dtdτ

)2−(r + α

r − α

)(drdτ

)2− (r + α)2

(dϕdτ

)2= c2 (10.96)

otrzymamy: (drdτ

)= c2ε2 − c2

(r − αr + α

)− µ2(r − α)

(r + α)3(10.97)

Powyższe rozważania daj nam równania na wielkości r, t i ϕ w funkcji τ . Niebędziemy ich ściśle wyprowadzać, zastanówmy się na trajektorią ciała i jakzależy ona od r i ϕ. Eliminując dτ z (10.93) i (10.97) mamy(

drdϕ

)2=c2ε2

µ2(r + α)4 − c2

µ2(r + α)3(r − α)− (r + α)(r − α) (10.98)

Jak widać ϕ będzie się wyrażało przez całkę elpityczną pierwszego rodzaju,odpowiednio r będzie funkcją eliptyczną zmiennej ϕ. Rzeczywisty okres tych

10.5 Ruch peryhelium planet 75

funkcji eliptycznych będzie różny od 2π, przez co orbity nie będą zamknięte.Wielomian stojący po prawej stronie ma następujące pierwiastki:

ujemny r = −α, dodatni r0 ∼ α+8α3c2ε2

mu2, (10.99)

gdzie α > 0, oraz dwa pozostałe r1 i r2.Jeżeli ε2 < 1, r1∧ r2 > 0 i r1 < r < r2, wtedy orbita jest skończona.Jeżeli ε2 > 1, jeden z pierwiastów, np r2 < 0 i r1 < r, wtedy orbita dąży donieskończoności. Dla ε2 = 1 wielkość r2 =∞.

Wprowadzimy zmienną u = 1, wtedy mamy(dudϕ

)2=c2(ε2 − 1)

µ2+

2αc2

µ2(2ε2 − 1)u+

(6α2c2ε2

µ2− 1)u2 +

+2α3c2(2ε2 + 1)

µ2u3 + α2

(1 +

α2c2(ε2 + 1)µ2

)u4(10.100)

We wcześniejszych rozważaniach wprowadzaliśmy prędkość charakterystycznąq oraz długość charakterystyczną l. Ze względu na rząd wielkości, mamy

ε2 − 1 ∼ q2

c2; µ2 ∼ l2q2; α ∼ q2

c2l2; u ∼ 1

l(10.101)

Stosując takie przybliżenie, możemy łatwo zauważyć, że po prawej stronie(10.100) wyrazy zawierające u w zerowej, pierwszej i drugiej potędze są rzędu1 l2, natomiast wyrazy z u w trzeciej i czwartej potędze są rzędu (q44) ·1 l2. Je-żeli zaniedbamy jedynie bardzo małe wielkości, czyli rzędu q44 (lub α2 l2), mo-żemy pominąć ostatnie dwa wyrazy w równaniu (10.100). Przybliżona formama postać:(

dudϕ

)2=c2(ε2 − 1)

µ2+

2αc2

µ2(2ε2 − 1)u+

(6α2c2ε2

mu2− 1)u2 (10.102)

Pierwiastki tego wielomianu kwadratowego będą odnosiły się do wspomnia-nych wyżej pierwiastków r1 oraz r2. Są one równe

u1 =1r1

=1 + e

p; u2 =

1r2

=1− ep

, (10.103)

gdzie p i e są nowymi stałymi związanymi z ε oraz µ.W przybliżeniu mamy

1− ε2 =α

p(1− e2) (10.104)

µ2 = αc2p = γMp

Również zapiszmy

ν2 = 1− 6αp, (10.105)

76 10 Teoria grawitacji II

a więc w przybliżeniu

ν = 1− 3αp

(10.106)

Używając takiego podstawienia możemy przepisać rówanie (10.102) w postaci

1ν2

(dudϕ

)2=e2 − 1p2

+2pu− u2 (10.107)

Rozwiązaniem tego równania jest

u =1 + e cos νϕ

p. (10.108)

Tutaj stała całkowania została tak dobrana, aby dla największej wartości u lubnajmniejszej odległości r kąt ϕ = 0. Wyrażanie (10.108) dobrze opisuje ogólnąnaturą ruchu. Jeżeli ν = 1 dostalibyśmy elipsę, parabolę albo hiperbolę omimośrodzie e i paramatrze p (ang. semi-latus rectum). Rozważmy przypadekelipsy, a więc e < 1. Wektor wodzący r powraca do swojego pierwotnegopołożenia, gdy kąt zwiększy się nie o 2π, lecz o wartość 2π. Różnica

∆ϕ =2πν− 2π =

6παp

(10.109)

stanowi przesunięcie peryhelium planety po jednym okresie. Tak więc orbitaplanety może być opisana przez elipsę wykonującą precesję.

Można zauważyć, że równania ruchu Einsteina dla planety redukują siędo klasycznych równań wahadła sferycznego (10.107). Trajektorja planety mataki sam tor jak wahadło sferyczne.

Dla wszystkich planet wartości kąta ϕ bardzo niewielkie. Jeżeli dla Ziemiprzyjmiemy p = 1, 5 · 10−8km, α = 1, 5km, przesunięcie wyniesie

∆ϕ = 6π · 10−8 = 3, 8′′100lat. (10.110)

Dużo większe przesunięcie obserwuje sięc dla Merkurego

∆ϕ = 43′′100lat. (10.111)

Wynika to ze znacząco mniejszej odległości od słońca (0,39 orbity Ziemi) orazkrótszego okresu (420 okrążeń na sto lat).

10.6 Prędkosć propagacji pola grawitacji

Wychodząc z równań Einsteina:

Rµν − 12gµνR = −κTµν (10.112)

10.6 Prędkosć propagacji pola grawitacji 77

Charakterystyki równania Einstaina. Chcemy otrzymać równania charak-tersystyk, ktore z fizycznego punktu widzenia reprezentujs prawa propagacjiczoła fali grawitacyjnej. Mnożsc równanie 10.113 przez gµν i wykonujsc sumo-wanie otrzymujemy relację:

R = κT (10.113)

Zapisujemy d’Alembercian jako

�Ψ =1√g

∂

∂xβ

(√−ggαβ ∂Ψ

∂xα

)(10.114)

Gdzie:

g = detgαβ (10.115)

Inna forma równania

�Ψ = gαβ∂2

∂xα∂xβ− Γµ ∂Ψ

∂xµ(10.116)

Korzystajsc z zależnoci

Γµ = gαβΓµαβ

Γα = − 1√−g

∂

∂xβ

(√−ggαβ

)Γα = −�xα

(10.117)

Przy skorzystaniu ze współrzędnych harmonicznych możemy zapisać

−�xα = 0

Rµν =−1g

αβ ∂2gµν

∂xα∂xβ− Γµ + Γµ,αβΓ ναβ

Γµν =12

(∇µΓ ν +∇νΓµ) gµν∂ω

∂xµ

∂ω

∂xν= 0

(10.118)

Korzystajsc z powyższych zależnoci i przechodzsc do układu współrzęd-nych w którym (co jest zawsze możliwe, dyskusja zawarta w ksisżce Focka)

�Ψ = 0 (10.119)

okazuje się, ponieważ równanie propagacji pola grawitacji ma ts sams po-stać co równanie propagacji promienia wietlnego, prędkoć propagacji polagrawitacji będzie równa prędkoci wiatła c.

78 10 Teoria grawitacji II

10.7 Perspektywa.

One of possibility to join quantum theory and gravitation is studied in Fockpapers [16]. Some interesting applications of geometrical pount of view is givenin „Geometric quantization of curvature energy in equipotential surfaces ofionic crystals” [17]

10.8 Odchylenie promienia wiatła w polu grawitacji (wpobliżu Słońca)

Zaniedbujemy człony rzędu α2

r2 równanie na ω redukuje się do:

n2

c2

(∂u

∂t

)2− (gradω)2 = 0 (10.120)

gdzie:

n2 = 1 +4αr

(10.121)

n = 1 +2αr

(10.122)

Równanie (1) może być formalnie interpretowane jako prawo propagacjiwiatła w przestrzeni euklidesowej, ale w orodku o współczynniku załamanian.

Można to również otrzymać z przybliżonego wyrażenia na ds2:

ds2 = (c2 − 2U)dt2 − (1 +2Uc2

)(dx21 + dx22 + dx23) (10.123)

z efektywnym współczynnikiem odbicia:

n = 1 +2Uc2

(10.124)

W poprzednich rozdziałach znalelimy całki ruchu:

r − αr + α

dt

dτ= ε (10.125)

i

(r + α)2 =dϕ

dτ= µ (10.126)

a także równanie na trajektorie:(dr

dϕ

)2=c2ε

µ2(r + α)4 +

c2

µ2(r + α)3(r − α)− (r + α)(r − α) (10.127)

Dla promienia wiatła dτ = 0 i stałe w równaniach (6) i (7) stajs się nieskoń-czenie wielkie, ale ich stosunek jest skończony:

(r + α)3

r − αdϕ

dt=µ

ε= µ1 (10.128)

Wówczas równanie (8) uzyska formę:

80 10 Teoria grawitacji II(dr

dϕ

)2=c2

µ21(r + α)4 − (r + α)(r − α) (10.129)

W miejsce stałej µ1 wygodniej jest wprowadzić inns stałs b, o wymiarze dłu-goci, dans przez następujsca relacje:

limµ

ε= µ1 = cb (10.130)

Co prowadzi do: (dr

dϕ

)2=

1b2

(r + α)4 − (r + α)(r − α) (10.131)

i wykorzystujsc relację u = 1r otrzymamy:(

du

dϕ

)2=

1b2

(1 + αu)4 − u2 + α2u4 (10.132)

gdzie b jest tzw. parametrem zderzenia.Elementarne relacje z geometrii płaszczyzny euklidesowej prowadzs do:

d =1√

u2 + (duϕ)2(10.133)

Wracajsc do rówania (13) na drogę promienia wietlnego i pomijajsc małeczłony otrzymamy równanie:

u =2αb2

+1b

cosϕ (10.134)

które to można już rozwiszać elementarnymi sposobami. Analizujsc rówanie(15) widzimy, że:

rmin = b− 2α (10.135)

Ponadto kst o jaki odchyli się promień wietlny dany jest wyrażeniem:

2δ =4αb

(10.136)

Dla Słońca 2δ = 1, 75′′

10.9 Przesunięcie ku czerwieni

Hubble jako pierwszy zaobserwował przesunięcie widma odległych obiektówkosmicznych ku czerwieni. Przesunięcie to było tym większe im dalej znajdo-wały się obiekty. W celu analizy tego zjawiska zapiszemy najpierw wyrażeniena ds2 w postaci:

10.9 Przesunięcie ku czerwieni 81

ds2 =(

1− α

τ

)4(c2dt2 − d−→r 2) (10.137)

gdzie α jest dodatnis stałs, a τ jest dane wzorem:

τ =

√t2 − r2

c2(10.138)

Korzystajsc z wartoci τ0 zwiszanej z czasem t0 i równania (19) otrzymamy:

τ0τ

=

√√√√ t20 −r20c2

t20 + r20c2

(10.139)

Z drugiej strony:r0τ0

= υ (10.140)

gdzie υ jest prędkocis gwiazdy.Z równań (20) i (21) otrzymamy:

τ

τ0=

√c− υc+ υ

(10.141)

Literatura

1. P. Dirac, General theory of Relativity, Wiley,Sons, USA, 1975.2. V.A. Fock, Teoriya prostranstva, vremeni i tyagotenija, Moskva 1955. THE

THEORY OF SPACE TIME AND GRAVITATION. Pergamon Press. 1959.3. Charles W. Misner, Kip S. Thorne, John Archibald Wheeler, Gravitation (Phy-

sics Series) W. H. Freeman and Company in 1973.4. M.J. Duff, L.B. Okun, G. Veneziano, Trialogue on the number of fundamental

constants, arXiv, physics 110060.5. L. P. Eisenhart Continuous groups of transformations. Princeton, 1933.6. The Large Scale Structure of Space-Time (Cambridge Monographs on Mathe-

matical Physics) by Stephen W. Hawking, G. F. R. Ellis, P. V. Landshoff andD. R. Nelson (Mar 28, 1975)

7. J.D. Jackson, Elektrodynamika klasyczna, wyd 2, PWN, Warszawa 1987.8. A. A. Logunov, Henri Poincare and Relativity Theory arXiv:physics 408077v4

[physics.gen-ph]9. L.B. Okun, SI, CGSG, and ch units: metrology and special relativity, arXiv,

physics 407099.10. A. Puankare, O nauke, Izdatelstvo ¡Nauka¿ 1983.11. H. Poincare, Ła Mesure du Temps’, Revue de Metaphysque et de Morale (1898),

113. H. See also www.annales.orgaιrchivesź oincaEmery.doc12. Einstein A ”Die Feldgleichungen der GravitationŚitzungsber. preuss.

Akad.Wiss. 48 844 (1915)13. Hilbert D ”Die Grundlagen der Physik (ErsteMitteilung)”Gottingen Nachr. 3

395 (1915)14. M. Skorko, Fizyka, PWN, Warszawa 1971.15. D. Stauffer, H.E. Stanley, Od Newtona do Mandelbrota. Wstdż˝p do fizyki teo-

retycznej, WNT, Warszawa 1996.16. V. Fock, L’equation d’onde de Dirac et la geometric de Riemann. (The Dirac

wave equation and the Riemann geometry) J.Phys.Radium, 1929, t. l0, N 11,p. 392-405. Uber eine mogliche geometrische Deutung dcr relattvistischen Qu-antentheorle. (On a possible geometric interpretation of relativistic quantumtheory) Zs. Phys., 1929, Bd. 54, N 11-12, S.798-802 (With D.D.Ivanenko).

17. Paul J. F. Gandy and Jacek Klinowski. Geometric quantization of curvatureenergy in equipotential surfaces of ionic crystals. JOURNAL OF CHEMICALPHYSICS VOLUME 116, NUMBER 21 1 JUNE 2002