Teoria_tema3-FINANZAS

8/17/2019 Teoria_tema3-FINANZAS

1/10

Capítulo 3

Límite y continuidad en funciones

de varias variables.

3.1 Función real de varias variables reales.

Definición 3.1.1 Una función real de n variables reales, es cualquier aplicación f :

Rn −→ R tal que a cada vector (x1, x2, x3, · · · , xn) ∈ Rn, le hace corresponder un

número real y = f (x1, x2, x3, · · · , xn) ∈ R.

Una función real de n variables reales también se denomina función vectorial de

variable real.

3.1.1 Dominio

El dominio ó campo de existencia de la función f , es el conjunto D ⊆ Rn, cons-

tituido por los vectores (x1, x2, x3, · · · , xn) ∈ Rn para los que existe y ∈ R con

y = f (x1, x2, x3, · · · , xn) .

3.1.2 Recorrido

El recorrido de f es el subconjunto de R formado por los distintos valores que toma

f, esto es:

{y ∈ R/∃ (x1, x2, x3, · · · , xn) ∈ Rn

con y = f (x1, x2, x3, · · · , xn)}

7

MATEM TICAS 2º FINANZAS. M. Díaz Gabela


2/10

8CAPÍTULO 3. LÍMITE Y CONTINUIDAD EN FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES.

3.1.3 Grafo

Grafo ó gráfica de f : D ⊆ Rn −→ R es el conjunto formado por los vectores

(x1, x2, x3, · · · , xn, y) ∈ Rn+1 tal que (x1, x2, x3, · · · , xn) ∈ D, con y = f (x1, x2, x3, · · · , xn) .

3.1.4 Gráfica de una función de dos variables

La representación geométrica de una función de dos variables puede hacerse de dos

formas:

1.- En un sistema de coordenadas tridimensional R3, mediante la superficie cons-

tituida por los puntos (x,y,f (x, y)), donde (x, y) recorre el dominio D de la funciónf . Esto es, la gráfica de una función de dos variables es una superficie en R3.

X

Y

Z

•

y)f(x,z =

P(x,y)

•P'(x,y,f(x,y))

O

Df

fig.1-t18

La gráfica de una función de n variables es una hipersuperficie en Rn+1.

2.-En el plano mediante curvas de nivel , resultantes de la intersección de la

superficie z = f (x, y) con los planos z = ki. Esta es la representación llamada

topográfica.



3/10

3.1. FUNCIÓN REAL DE VARIAS VARIABLES REALES. 9

Y

X

z = k1

z = k2

z = k3

z = k4

z = k5

z = k6

O

fig.2-t18

Mucho espacio entre las curvas de nivel expresa variación lenta de z , pequeño

espacio, indica variación rápida.

Una buena ilustración exige que los planos de corte se distribuyan uniformemente

en altura.

Ejemplo 3.1.2 Determinar el dominio, recorrido y gráfica de la función:

z = f (x, y) = 9 − x2 − y2 con z ≥ 0.

––

El dominio será el conjunto

D = {(x, y)/z ≥ 0} =

(x, y)/9 − x2 + y2 ≥ 0

=

(x, y)/9 −

x2 + y2

≥ 0

=

(x, y)/x2 + y2 ≤ 9

que corresponde a un círculo centrado en el origen de coordenadas, de radio r = 3.

El recorrido es el intervalo [0, 9] .

La gráfica en el espacio real tridimensional, es la superficie correspondiente al



4/10


paraboloide de ecuación : z = 9 − (x2 + y2) que se muestra en la figura.

fig.3-t18

X

Y

3-3

O

fig.4-t18

En el plano real, la representación gráfica de la función viene dada por las curvas

de nivel que son círcunferencias de ecuación: x2 + y2 = r2 con 0 ≤ r ≤ 3

3.2 Límite de una función de dos variables.

Definición 3.2.1 Se define la norma de un vector (x, y) ∈ R2, como:

(x, y) =

x2 + y2 ;∀(x, y) ∈ R2

Se puede comprobar que se verifican las tres propiedades para ser norma:

(x, y) > 0 si (x, y) = (0, 0); (0, 0) = 0

λ(x, y) = |λ| (x, y) ∀λ ∈ R y ∀(x, y) ∈ R2

(x1, y1) + (x2, y2) ≤ (x1, y1) + (x2, y2) ; ∀(x1, y1) y (x2, y2) ∈ R2

Definición 3.2.2 Dada la función z = f (x, y), se dice que lim(x,y)→(a,b)

f (x, y) = l ,

si:

∀ε > 0, ∃δ (ε)/∀(x, y) ∈ R2 con (x, y) − (a, b) < δ ⇒ |f (x, y) − l| < ε

Geométricamente significa que ∀ε > 0, existe un δ > 0, tal que ∀(x, y) pertene-

ciente al círculo de centro (a, b) y radio δ , se verifica que f (x, y) está en un entorno

de l de radio ε .



5/10

3.2. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN DE DOS VARIABLES. 11

l+ε

f(x,y)

l

l-ε

Y

XO

δ

(x,y)••

(a,b)

fig.5-t18

Para que exista lim(x,y)→(a,b)

f (x, y), este no debe depender de la situación en la

que esté el punto (x, y) en el entorno circular de (a, b), lo que equivale a decir,

cualquiera que sea la relación existente entre x e y , esto es, según cualquiera que

sea la trayectoria que pase por (a, b).

Ejemplo 3.2.3 Estudiar el lim(x,y)→(0,0)

yx3

x6 + y2, según las trayectorias:

a ) y = mx

b) y = x3

––

a) Según la trayectoria y = mx:

lim(x,y)→(0,0)

yx3

x6 + y2 =limx→0

mx4

x6 + m2x2 =limx→0

mx2

x4 + m2 = 0

b) Según la trayectoria y = x3:

lim(x,y)→(0,0)

yx3

x6 + y2 =lim

x→0

x6

x6 + x6 =

1

2

La no coincidencia de los límites según estas dos trayectorias indica la no exis-

tencia de límite.



6/10


Ejemplo 3.2.4 Demostrar que no existe lim(x,y)→(0,0)

x2 − y2

x2

+ y2

––

Para los puntos de la forma (x, 0) y (0, y), se tiene que f (x, 0) = 1 y f (0, y) = −1,

respectivamente, por lo que:

para la trayectoria “eje OX ” :

lim(x,y)→(0,0)

x2 − y2

x2 + y2 = 1

para la trayectoria “eje OY ” :

lim(x,y)→(0,0)

x2 − y2

x2 + y2 = −1

Por ello no existe límite, ya que este es distinto según la trayectoria elegida.

3.2.1 Límites reiterados.

Se definen de la forma:

limy→b

limx→a

f (x, y) = limy→b

limx→a

f (x, y)

limx→a

limy→b

f (x, y) = limx→a

limy→b

f (x, y)

Cuando ∃ lim(x,y)→(a,b)

f (x, y) = l y existen los límites reiterados, se verifica:

lim(x,y)→(a,b)

f (x, y) =limx→

a

limy→

b

f (x, y) = limy→

b

limx→

a

f (x, y)

Puede ocurrir:

≫ Que existan los límites reiterados, sean iguales y no exista límite.

≫ Que no exista alguno o ninguno de los límites reiterados y exista límite.

≫ Que los límites reiterados existan y sean distintos, con lo cual no existe límite.

Ejemplo 3.2.5 Estudiar la existencia del lim(x,y)→(0,0)

xy − 3x + y

x + 2y



7/10

3.2. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN DE DOS VARIABLES. 13

––

Planteamos los límites reiterados:

limx→0

limy→0

xy − 3x + y

x + 2y

= lim

x→0

−3x

x

= −3

limy→0

limx→0

xy − 3x + y

x + 2y

= lim

x→0

y

2y

=

1

2

Como estos límites son distintos, se concluye que

∄ lim(x,y)→(0,0)

xy − 3x + y

x + 2y

3.2.2 Límite radial.

Se denomina límite radial de la función f (x, y) cuando (x, y) → (a, b), al límite

según las trayectorias definidas por el haz de rectas: y − b = m(x − a), que pasa por

el punto (a, b).

Si este límite depende de m, podemos garantizar que no existe límite; si no

depende, nada se puede asegurar.

Ejemplo 3.2.6 Estudiar la existencia de lim(x,y)→(1,2)

x + 2y − 52x − y

––

Estudiamos el límite según el haz de rectas que pasa por (1, 2): y = mx − m + 2

lim(x,y)→(1,2)

x + 2y − 5

2x − y = lim

x→1

x + 2 (mx − m + 2) − 5

2x − (mx − m + 2) = lim

x→1

(1 + 2m) x − (1 + 2m)

(2 − m) x − (2 − m)

=L′Hopital

1 + 2m

2 − m

por tanto el límite depende de m y en definitiva

∄ lim(x,y)→(1,2)

x + 2y − 5

2x − y

3.2.3 Límite direccional.

Se refiere al límite, cuando la función viene dada en coordenadas polares.

Si la tendencia es (x, y) → (0, 0), la transformación a polares permite escribir:

lim(x,y)→(0,0) f (x, y) =limr→0 f (r cos θ, r sen θ)



8/10


Si la tendencia es (x, y) → (a, b), se hace un cambio de variable:

x − a = X

y − b = Y

para que respecto a las nuevas variables (X, Y ) la tendencia sea al punto (0, 0). A

continuación, se hace la transformación anterior, esto es:

lim(x,y)→(a,b)

f (x, y) = lim(X,Y )→(0,0)

f (a + X, b + Y ) =limr→0

f (a + r cos θ, b + r sen θ)

Si el límite direccional depende de θ, podemos garantizar que ∄ lim(x,y)→(a,b)

f (x, y).

Ejemplo 3.2.7 Estudiar la existencia de lim(x,y)→(0,0)

x2 − y2

x2 + y2

––

Estudiamos el límite direccional:

lim(x,y)→(0,0)

x2 − y2

x2 + y2 =lim

r→0

r2cos2θ − r2sen2θ

r2cos2θ + r2sen2θ =lim

r→0

r2cos2θ − r2sen2θ

r2 = cos2θ − sen2θ

que evidentemente depende de θ, por tanto

∄ lim(x,y)→(0,0)

x2 − y2

x2 + y2

3.3 Existencia de límite. Criterio de la función

mayorante.

La condición necesaria y suficiente para que la función f (x, y) admita límite: l en el

punto (0, 0), es que la expresión |f (rcosθ, rsenθ) − l| admita una función mayorante

F (r), en todo el campo de variación de θ, tal que limr→0+

F (r) = 0.

≫ Debemos tener presente que la aplicación de este criterio, es sólamente para

la tendencia al (0, 0), por lo que si no es así, deberá hacerse previamente el cambio

de variable propuesto arriba.

Ejemplo 3.3.1 Estudiar la existencia de lim(x,y)→(0,0) xy sen

π

xy



9/10

3.4. CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN DE DOS VARIABLES. 15

––

Aplicamos el criterio de la función mayorante, para lo cuál deberemos proponer

razonada o intuitivamente el valor del posible límite: l.

En nuestro caso planteamos los límites reiterados:

limx→0

limy→0

xy sen

π

xy

= lim

x→0(0) = 0

limy→0

limx→0

xy sen

π

xy

= lim

y→0(0) = 0

Por lo que si ∃ lim(x,y)→(0,0)

xy sen π

xy deberá ser lim

(x,y)→(0,0)xy sen

π

xy = l = 0.

Aplicamos el criterio:

|f (r cos θ, r sen θ) − 0| ≡r2sen θ cos θ sen π

r2sen θ cos θ

≤ r2sen θ cos θ < r2

Además esta función mayorante: F (r) ≡ r2 , verifica que limr→0+

r2 = 0, luego

podemos asegurar quelim

(x,y)→(0,0)xy sen

π

xy = 0

3.4 Continuidad de una función de dos variables.

Una función z = f (x, y) se dice que es continua en un punto (a, b) de su dominio,

si existe lim(x,y)→(a,b)

f (x, y) y este coincide con el valor de la función en el punto.

Una función es continua en un subconjunto A de su dominio si lo es en cada uno

de sus puntos.

Ejemplo 3.4.1 Estudiar la continuidad de la función

f (x, y) =

x3y2

x4 + 3y4 si (x, y) = (0, 0)

1 si (x, y) = (0, 0)

––

La función es continua en todo (x, y) = (0, 0)



10/10


En el punto (0, 0), tenemos que según la trayectoria x = y , se tiene que

lim(x,y)→(0,0)

x3y2

x4 + 3y4 =x=y

0

por lo que sólo puede ocurrir que el límite no exista o que exista y valga cero.

En cualquiera de los casos lo que no ocurre es que lim(x,y)→(0,0)

f (x, y) = f (0, 0) = 1,

por tanto la función no es continua en (0, 0).

3.4.1 Resultados a cerca de la continuidad.

• Una función polinomial es continua en R2.

• Una función racional (cociente de dos polinomios), es continua salvo en los

puntos que anulan el denominador.

• Si f y g son funciones de A ⊆ R2 → R continuas en A, entonces las funciones:

f ± g y f × g son continuas en A.

• La función f

g es continua salvo en los puntos que hacen g(x, y) = 0.

• Si f es una función de A ⊆ R2 → R y g lo es de B ⊆ R → R , tal que el

recorrido de f está contenido en el dominio de g, se tiene que, si la función

f es continua en (x0, y0) ∈ A y g es continua en z 0 = f (x0, y0) , entonces la

función compuesta g ◦ f es continua en (x0, y0) ∈ A.

Esto es:

A ⊆ R2(x0,y0)

f −→−→

R ⊇ Bz0=f (x0,y0)

g−→−→

Rg(z0)

Ejemplo 3.4.2 Estudiar la continuidad de la función: h(x, y) = sen x2

+ y2

5x4 + y4 + 2

––

La función h es la composición de las funciones g y f :

f (x, y) = x2 + y2

5x4 + y4 + 2, continua en R2 y g(z ) = sen z , continua en R

por tanto

h(x, y) = sen x2 + y2

5x4 + y4 + 2 es continua en R2


Documents

Teoria_tema3-FINANZAS