Litschmannová, 2007 1

Teorie pravděpodobnosti

Litschmannová, 2007 2

Základní pojmy

• Náhodný pokus – konečný děj, jehož výsledek není předem určen

• Náhodný jev – tvrzení o výsledku náhodného pokusu, značíme A, B, X, Y, …

• Základní prostor Ω– množina všech možných výsledků náhodného pokusu

• Elementární jev ω – množina všech možných výsledků, které jsou navzájem disjunktní

• Jev A – libovolná podmnožina základního prostoru

Litschmannová, 2007 3

Typy jevů

• Jev jistý

• Jev náhodný

• Jev nemožný

Litschmannová, 2007 4

Relace mezi jevy

Litschmannová, 2007 5

Průnik jevů A, B - A∩B

Litschmannová, 2007 6

Sjednocení jevů A, B - AUB

Litschmannová, 2007 7

Jev A je podjevem jevu B

Litschmannová, 2007 8

Jevy A, B jsou disjunktní

A ∩ B = {0}

Litschmannová, 2007 9

Rozdíl jevů A, B - A-B

Litschmannová, 2007 10

Doplněk jevu A, non A

Litschmannová, 2007 11

De Morganovy zákony

Litschmannová, 2007 12

Úplná množina vzájemně disjunktních jevů

Litschmannová, 2007 13

Podmíněná pravděpodobnost, P(A|B)

• Pravděpodobnost, že nastal jev A za podmínky (předpokladu), že nastal jev B

Úkol:

V demonstračním appletu si ověřte porozumění pojmu podmíněná pravděpodobnost.

David Lane: Online Statistics: An Interactive Multimedia Course of Study

Simulations and Demonstrations: Conditional probability Demo

Litschmannová, 2007 14

Podmíněná pravděpodobnost, P(A|B)

• Pravděpodobnost, že nastal jev A za podmínky (předpokladu), že nastal jev B

Motivační příklad:

Neprůhledný pytlík obsahuje 10 černých a 5 bílých kuliček. Budeme provádět náhodný pokus – vytažení jedné kuličky, přičemž kuličku do pytlíku nevracíme. Určete pravděpodobnost, že v druhém tahu vytáhneme bílou kuličku.

Litschmannová, 2007 15

Řešení

Litschmannová, Statistika I – cvičení,

Teorie pravděpodobnosti, př. 3.5

Litschmannová, 2007 16

Podmíněná pravděpodobnost,pravděpodobnost průniku jevů

BPBAPBAP )(

Pravděpodobnost průniku jevů:

Litschmannová, 2007 17

Nezávislé jevy

Pokud jev A nezávisí na jevu B, pak:

a proto:

P{A} = B}P{A

BPAPBAP )(

Litschmannová, 2007 18

Pravděpodobnost sjednocení jevů A, B

B}P{A-P{B}+P{A}=B}P{A

Litschmannová, 2007 19

Disjunktní (neslučitelné) jevy

P{B} + P{A} = B} P{A = B A

Litschmannová, 2007 20

Příklady

Litschmannová, Statistika I – cvičení,

Teorie pravděpodobnosti -3.1, 3.2, 3.5, 3.6, 3.7

Narozeninový problém(Richard von Mises, 1939)

Kolik lidí se musí nacházet v místnosti, aby, ignorujíc 29. únor, dva z nich měli narozeniny ve stejný den roku s pravděpodobností alespoň 50%?

Litschmannová, 2007 21

n

nAP

365!n-365

!365

365

1365

365

362

365

363

365

364)(

Litschmannová, 2007 22

Geometrická pravděpodobnost

V rovině (případně na přímce nebo v prostoru) je dána určitá oblast Ω a v ní další uzavřená oblast A.

Pravděpodobnost jevu A, který spočívá v tom, že náhodně zvolený bod v oblasti Ω leží i v oblasti A je:

,

kde |A|, |Ω| jsou míry oblastí A a Ω

AP A

Jaká je pravděpodobnost toho, že součet dvou náhodně zvolených kladných čísel, z nichž žádné není větší než jedna, bude nejvýše roven jedné a jejich součin nebude větší než 2/9 ?

Litschmannová, 2007 23

Litschmannová, 2007 24

Příklady

Litschmannová, Statistika I – cvičení,

Teorie pravděpodobnosti -3.3, 3.4

Litschmannová, 2007 25

Opakované závislé jevy, tj. Hypergeometrická náhodná veličina

Nechť je dán soubor N prvků, z nichž M má určitou vlastnost a (N - M) nikoliv. Vybereme postupně n prvků, z nichž žádný nevracíme. Pravděpodobnost, že mezi n vybranými bude k takových, že mají sledovanou vlastnost, vypočteme podle vzorce:

n)min(M;km;0)N-max(npro;)(

n

N

kn

MN

k

M

kP

Litschmannová, 2007 26

Příklady

Litschmannová, Statistika I – cvičení,

Teorie pravděpodobnosti - 3.8

Litschmannová, 2007 27

Věta o úplné pravděpodobnosti

1 2 3

4

5

6 7

B B B

B

B

B

B

Litschmannová, 2007 28

Věta o úplné pravděpodobnosti

in

in BABABABAA

1121

1 2 3

4

5

6 7

B B B

B

B

B

B

A

n

1=iii

n

1=ii }P{B }BP{A }BP{A = A}{P

Litschmannová, 2007 29

Bayesův teorém

1 2 3

4

5

6 7

B B B

B

B

B

B

A

P{A}

}P{B }BP{A

P{A}

A}P{B = A}P{B kkk

k

Litschmannová, 2007 30

Příklady

Litschmannová, Statistika I – cvičení,

Teorie pravděpodobnosti

3.9, 3.10, 3.11, 3.12, 3.13