7/25/2019 Teorija Brojeva - Marko Djikic

1/31

Deljivost

Prosti brojevi

Relacija kongruencije po modulu

Sistemi ostataka

Osnovni pojmovi teorije brojeva

Marko-Dikic

Univerzitet u NiuPrirodno Matematicki Fakultet

februar 2010

Istraivacka stanica Petnica

Marko-Dikic Osnovni pojmovi teorije brojeva

http://find/

7/25/2019 Teorija Brojeva - Marko Djikic

2/31

Deljivost

Prosti brojevi

Relacija kongruencije po modulu

Sistemi ostataka

Definicija

Neka su a i b prirodni brojevi. Kaemo da broj a deli broj b ako postojiprirodan broj c tako da je ac=b. Zapisujemo

a|b.

a|b a|ca|b c

a|bxa|xb, za svakox N

ab|acb|c.

Teorema (o deljenju sa ostatkom)

Neka su a i b prirodni brojevi. Tada postoje jedinstveni brojevi q i r, sasvojstvom da je0 r

7/25/2019 Teorija Brojeva - Marko Djikic

3/31

Deljivost

Prosti brojevi

Relacija kongruencije po modulu

Sistemi ostataka

Definicija

Neka su a i b prirodni brojevi. Kaemo da broj a deli broj b ako postojiprirodan broj c tako da je ac=b. Zapisujemo

a|b.

a|b a|ca|b c

a|bxa|xb, za svakox N

ab|acb|c.

Teorema (o deljenju sa ostatkom)

Neka su a i b prirodni brojevi. Tada postoje jedinstveni brojevi q i r, sasvojstvom da je0 r

7/25/2019 Teorija Brojeva - Marko Djikic

4/31

Deljivost

Prosti brojevi

Relacija kongruencije po modulu

Sistemi ostataka

Definicija

Neka su a i b prirodni brojevi. Kaemo da broj a deli broj b ako postojiprirodan broj c tako da je ac=b. Zapisujemo

a|b.

a|b a|ca|b c

a|bxa|xb, za svakox N

ab|acb|c.

Teorema (o deljenju sa ostatkom)

Neka su a i b prirodni brojevi. Tada postoje jedinstveni brojevi q i r, sasvojstvom da je0 r

7/25/2019 Teorija Brojeva - Marko Djikic

5/31

Deljivost

Prosti brojevi

Relacija kongruencije po modulu

Sistemi ostataka

Definicija

Neka su a i b prirodni brojevi. Kaemo da broj a deli broj b ako postojiprirodan broj c tako da je ac=b. Zapisujemo

a|b.

a|b a|ca|b c

a|bxa|xb, za svakox N

ab|acb|c.

Teorema (o deljenju sa ostatkom)

Neka su a i b prirodni brojevi. Tada postoje jedinstveni brojevi q i r, sasvojstvom da je0 r

7/25/2019 Teorija Brojeva - Marko Djikic

6/31

Deljivost

Prosti brojevi

Relacija kongruencije po modulu

Sistemi ostataka

Definicija

Neka su a i b prirodni brojevi. Kaemo da broj a deli broj b ako postojiprirodan broj c tako da je ac=b. Zapisujemo

a|b.

a|b a|ca|b c

a|bxa|xb, za svakox N

ab|acb|c.

Teorema (o deljenju sa ostatkom)

Neka su a i b prirodni brojevi. Tada postoje jedinstveni brojevi q i r, sasvojstvom da je0 r

7/25/2019 Teorija Brojeva - Marko Djikic

7/31

Deljivost

Prosti brojevi

Relacija kongruencije po modulu

Sistemi ostataka

Definicija

Broj n N je prost ako je ve ci od1 i deljiv jedino brojevima1 i n.

Lema

Svaki broj je deljiv nekim prostim brojem.

Beskonacno mnogo prostih brojeva.

Teorema (Osnovna teorema aritmetike)

Za svaki prirodan broj n ve ci od1postoje jedinstveni k N, prosti

brojevi p1

7/25/2019 Teorija Brojeva - Marko Djikic

8/31

Deljivost

Prosti brojevi

Relacija kongruencije po modulu

Sistemi ostataka

Definicija

Broj n N je prost ako je ve ci od1 i deljiv jedino brojevima1 i n.

Lema

Svaki broj je deljiv nekim prostim brojem.

Beskonacno mnogo prostih brojeva.

Teorema (Osnovna teorema aritmetike)

Za svaki prirodan broj n ve ci od1postoje jedinstveni k N, prosti

brojevi p1

7/25/2019 Teorija Brojeva - Marko Djikic

9/31

Deljivost

Prosti brojevi

Relacija kongruencije po modulu

Sistemi ostataka

Definicija

Broj n N je prost ako je ve ci od1 i deljiv jedino brojevima1 i n.

Lema

Svaki broj je deljiv nekim prostim brojem.

Beskonacno mnogo prostih brojeva.

Teorema (Osnovna teorema aritmetike)

Za svaki prirodan broj n ve ci od1postoje jedinstveni k N, prosti

brojevi p1

7/25/2019 Teorija Brojeva - Marko Djikic

10/31

Deljivost

Prosti brojevi

Relacija kongruencije po modulu

Sistemi ostataka

Definicija

Broj n N je prost ako je ve ci od1 i deljiv jedino brojevima1 i n.

Lema

Svaki broj je deljiv nekim prostim brojem.

Beskonacno mnogo prostih brojeva.

Teorema (Osnovna teorema aritmetike)

Za svaki prirodan broj n ve ci od1postoje jedinstveni k N, prosti

brojevi p1

7/25/2019 Teorija Brojeva - Marko Djikic

11/31

j

Prosti brojevi

Relacija kongruencije po modulu

Sistemi ostataka

Definicija

Broj n N je prost ako je ve ci od1 i deljiv jedino brojevima1 i n.

Lema

Svaki broj je deljiv nekim prostim brojem.

Beskonacno mnogo prostih brojeva.

Teorema (Osnovna teorema aritmetike)

Za svaki prirodan broj n ve ci od1postoje jedinstveni k N, prosti

brojevi p1

7/25/2019 Teorija Brojeva - Marko Djikic

12/31

j

Prosti brojevi

Relacija kongruencije po modulu

Sistemi ostataka

Ako jepprost, tada vai p|abp|a p|b.

Ako jepprost, tada izp|a2 sledip2|a2.

Definicija

Neka su a i b prirodni brojevi. Najve ci zajedni cki delilac brojeva a i bje broj d, takav da d|a i d|b, a nijedan broj ve ci od d nema tu osobinu.Piemo d= (a, b).Najmanji zajedni cki sadralac, s, brojeva a i b je takav broj da a|s i

b|s, a nijedan broj manji od s nema tu osobinu. Piemo s= [a, b].

Ako jed= (a, b)tada 1= ( ad, bd).(a, b)[a, b] =ab.

Marko-Dikic Osnovni pojmovi teorije brojeva

Deljivost

http://find/

7/25/2019 Teorija Brojeva - Marko Djikic

13/31

Prosti brojevi

Relacija kongruencije po modulu

Sistemi ostataka

Ako jepprost, tada vai p|abp|a p|b.

Ako jepprost, tada izp|a2 sledip2|a2.

Definicija

Neka su a i b prirodni brojevi. Najve ci zajedni cki delilac brojeva a i bje broj d, takav da d|a i d|b, a nijedan broj ve ci od d nema tu osobinu.Piemo d= (a, b).Najmanji zajedni cki sadralac, s, brojeva a i b je takav broj da a|s i

b|s, a nijedan broj manji od s nema tu osobinu. Piemo s= [a, b].

Ako jed= (a, b)tada 1= ( ad, bd).(a, b)[a, b] =ab.

Marko-Dikic Osnovni pojmovi teorije brojeva

Deljivost

http://find/

7/25/2019 Teorija Brojeva - Marko Djikic

14/31

Prosti brojevi

Relacija kongruencije po modulu

Sistemi ostataka

Ako jepprost, tada vai p|abp|a p|b.

Ako jepprost, tada izp|a2 sledip2|a2.

Definicija

Neka su a i b prirodni brojevi. Najve ci zajedni cki delilac brojeva a i bje broj d, takav da d|a i d|b, a nijedan broj ve ci od d nema tu osobinu.Piemo d= (a, b).Najmanji zajedni cki sadralac, s, brojeva a i b je takav broj da a|s i

b|s, a nijedan broj manji od s nema tu osobinu. Piemo s= [a, b].

Ako jed= (a, b)tada 1= ( ad, bd).(a, b)[a, b] =ab.

Marko-Dikic Osnovni pojmovi teorije brojeva

Deljivost

P ti b j i

http://find/

7/25/2019 Teorija Brojeva - Marko Djikic

15/31

Prosti brojevi

Relacija kongruencije po modulu

Sistemi ostataka

Ako jepprost, tada vai p|abp|a p|b.

Ako jepprost, tada izp|a2 sledip2|a2.

Definicija

Neka su a i b prirodni brojevi. Najve ci zajedni cki delilac brojeva a i bje broj d, takav da d|a i d|b, a nijedan broj ve ci od d nema tu osobinu.Piemo d= (a, b).Najmanji zajedni cki sadralac, s, brojeva a i b je takav broj da a|s i

b|s, a nijedan broj manji od s nema tu osobinu. Piemo s= [a, b].

Ako jed= (a, b)tada 1= ( ad, bd).(a, b)[a, b] =ab.

Marko-Dikic Osnovni pojmovi teorije brojeva

Deljivost

Prosti brojevi

http://find/

7/25/2019 Teorija Brojeva - Marko Djikic

16/31

Prosti brojevi

Relacija kongruencije po modulu

Sistemi ostataka

Ako jepprost, tada vai p|abp|a p|b.

Ako jepprost, tada izp|a2 sledip2|a2.

Definicija

Neka su a i b prirodni brojevi. Najve ci zajedni cki delilac brojeva a i bje broj d, takav da d|a i d|b, a nijedan broj ve ci od d nema tu osobinu.Piemo d= (a, b).Najmanji zajedni cki sadralac, s, brojeva a i b je takav broj da a|s i

b|s, a nijedan broj manji od s nema tu osobinu. Piemo s= [a, b].

Ako jed= (a, b)tada 1= (ad,

bd).

(a, b)[a, b] =ab.

Marko-Dikic Osnovni pojmovi teorije brojeva

Deljivost

Prosti brojevi

http://find/

7/25/2019 Teorija Brojeva - Marko Djikic

17/31

Prosti brojevi

Relacija kongruencije po modulu

Sistemi ostataka

Definicija

Kaemo da su prirodni brojevi a i b kongruentni po modulu m akom|a b. Zapisujemo amb.

Neka jeambicmd. Tada je i: a bmc d,acmbd,an mb

n.

Ako jeam1 biam2 b, tada jea[m1,m2] b.

Kada izacmbcsmemo da zakljucimoamb?

Koliki ostatak daje broj 52010 pri deljenju sa 13?

Kriterijumi deljivosti.

Marko-Dikic Osnovni pojmovi teorije brojeva

DeljivostProsti brojevi

http://find/

7/25/2019 Teorija Brojeva - Marko Djikic

18/31

Prosti brojevi

Relacija kongruencije po modulu

Sistemi ostataka

Definicija

Kaemo da su prirodni brojevi a i b kongruentni po modulu m akom|a b. Zapisujemo amb.

Neka jeambicmd. Tada je i: a bmc d,acmbd,an mb

n.

Ako jeam1 biam2 b, tada jea[m1,m2] b.

Kada izacmbcsmemo da zakljucimoamb?

Koliki ostatak daje broj 52010 pri deljenju sa 13?

Kriterijumi deljivosti.

Marko-Dikic Osnovni pojmovi teorije brojeva

DeljivostProsti brojevi

http://find/

7/25/2019 Teorija Brojeva - Marko Djikic

19/31

Prosti brojevi

Relacija kongruencije po modulu

Sistemi ostataka

Definicija

Kaemo da su prirodni brojevi a i b kongruentni po modulu m akom|a b. Zapisujemo amb.

Neka jeambicmd. Tada je i: a bmc d,acmbd,an mb

n.

Ako jeam1 biam2 b, tada jea[m1,m2] b.

Kada izacmbcsmemo da zakljucimoamb?

Koliki ostatak daje broj 52010 pri deljenju sa 13?

Kriterijumi deljivosti.

Marko-Dikic Osnovni pojmovi teorije brojeva

DeljivostProsti brojevi

http://find/

7/25/2019 Teorija Brojeva - Marko Djikic

20/31

j

Relacija kongruencije po modulu

Sistemi ostataka

Definicija

Kaemo da su prirodni brojevi a i b kongruentni po modulu m akom|a b. Zapisujemo amb.

Neka jeambicmd. Tada je i: a bmc d,acmbd,an mb

n.

Ako jeam1 biam2 b, tada jea[m1,m2] b.

Kada izacmbcsmemo da zakljucimoamb?

Koliki ostatak daje broj 52010 pri deljenju sa 13?

Kriterijumi deljivosti.

Marko-Dikic Osnovni pojmovi teorije brojeva

DeljivostProsti brojevi

http://find/

7/25/2019 Teorija Brojeva - Marko Djikic

21/31

j

Relacija kongruencije po modulu

Sistemi ostataka

Definicija

Kaemo da su prirodni brojevi a i b kongruentni po modulu m akom|a b. Zapisujemo amb.

Neka jeambicmd. Tada je i: a bmc d,acmbd,an mb

n.

Ako jeam1 biam2 b, tada jea[m1,m2] b.

Kada izacmbcsmemo da zakljucimoamb?

Koliki ostatak daje broj 52010 pri deljenju sa 13?

Kriterijumi deljivosti.

Marko-Dikic Osnovni pojmovi teorije brojeva

DeljivostProsti brojevi

http://find/

7/25/2019 Teorija Brojeva - Marko Djikic

22/31

Relacija kongruencije po modulu

Sistemi ostataka

Definicija

Kaemo da su prirodni brojevi a i b kongruentni po modulu m akom|a b. Zapisujemo amb.

Neka jeambicmd. Tada je i: a bmc d,acmbd,an mb

n.

Ako jeam1 biam2 b, tada jea[m1,m2] b.

Kada izacmbcsmemo da zakljucimoamb?

Koliki ostatak daje broj 52010 pri deljenju sa 13?

Kriterijumi deljivosti.

Marko-Dikic Osnovni pojmovi teorije brojeva

DeljivostProsti brojevi

http://find/

7/25/2019 Teorija Brojeva - Marko Djikic

23/31

Relacija kongruencije po modulu

Sistemi ostataka

Definicija

Neka je n prirodan broj ve ci od1. Ako skup A ispunjava slede ca dva svojstva:

1o Svaka dva razli cita elementa iz A imaju razli cit ostatak pri deljenju sa m;

2o Za svaki prirodan broj postoji element skupa A koji daje isti istatak pri

deljenju sa m kao i taj broj,

tada A nazivamo potpun sistem ostataka po modulu m.

Definicija

Ako iz potpunog sistema ostataka po modulu m izbacimo sve brojeve koji nisu

uzajamno prosti sa m, dobijamo redukovan sistem ostataka po modulu m.

Definicija

Funkcija : N N koja svakom broju n pridrui broj brojeva manjih od n koji

su uzajamno prosti sa n, naziva se Ojlerova funkcija.

Marko-Dikic Osnovni pojmovi teorije brojeva

DeljivostProsti brojevi

R l ij k ij d l

http://find/

7/25/2019 Teorija Brojeva - Marko Djikic

24/31

Relacija kongruencije po modulu

Sistemi ostataka

Definicija

Neka je n prirodan broj ve ci od1. Ako skup A ispunjava slede ca dva svojstva:

1o Svaka dva razli cita elementa iz A imaju razli cit ostatak pri deljenju sa m;

2o Za svaki prirodan broj postoji element skupa A koji daje isti istatak pri

deljenju sa m kao i taj broj,

tada A nazivamo potpun sistem ostataka po modulu m.

Definicija

Ako iz potpunog sistema ostataka po modulu m izbacimo sve brojeve koji nisu

uzajamno prosti sa m, dobijamo redukovan sistem ostataka po modulu m.

Definicija

Funkcija : N N koja svakom broju n pridrui broj brojeva manjih od n koji

su uzajamno prosti sa n, naziva se Ojlerova funkcija.

Marko-Dikic Osnovni pojmovi teorije brojeva

DeljivostProsti brojevi

Relacija kongr encije po mod l

http://goforward/http://find/

7/25/2019 Teorija Brojeva - Marko Djikic

25/31

Relacija kongruencije po modulu

Sistemi ostataka

Definicija

Neka je n prirodan broj ve ci od1. Ako skup A ispunjava slede ca dva svojstva:

1o Svaka dva razli cita elementa iz A imaju razli cit ostatak pri deljenju sa m;

2o Za svaki prirodan broj postoji element skupa A koji daje isti istatak pri

deljenju sa m kao i taj broj,

tada A nazivamo potpun sistem ostataka po modulu m.

Definicija

Ako iz potpunog sistema ostataka po modulu m izbacimo sve brojeve koji nisu

uzajamno prosti sa m, dobijamo redukovan sistem ostataka po modulu m.

Definicija

Funkcija : N N koja svakom broju n pridrui broj brojeva manjih od n koji

su uzajamno prosti sa n, naziva se Ojlerova funkcija.

Marko-Dikic Osnovni pojmovi teorije brojeva

DeljivostProsti brojevi

Relacija kongruencije po modulu

http://find/

7/25/2019 Teorija Brojeva - Marko Djikic

26/31

Relacija kongruencije po modulu

Sistemi ostataka

Teorema

Neka su a i m prirodni brojevi za koje je

(a, m) =1. Tada je

a(m) m1.

Marko-Dikic Osnovni pojmovi teorije brojeva

DeljivostProsti brojevi

Relacija kongruencije po modulu

http://find/

7/25/2019 Teorija Brojeva - Marko Djikic

27/31

Relacija kongruencije po modulu

Sistemi ostataka

Dokazati da za svaka tri prirodna broja a, b i c vai:

abc= [a, b, c](ab, bc, ca).

Marko-Dikic Osnovni pojmovi teorije brojeva

DeljivostProsti brojevi

Relacija kongruencije po modulu

http://find/

7/25/2019 Teorija Brojeva - Marko Djikic

28/31

Relacija kongruencije po modulu

Sistemi ostataka

Dokazati ili opovrgnuti tvrdenje: Za svaki prirodan broj n postoji neki

broj koji je deljiv sa n i ciji je zbir cifara n.

Marko-Dikic Osnovni pojmovi teorije brojeva

DeljivostProsti brojevi

Relacija kongruencije po modulu

http://find/

7/25/2019 Teorija Brojeva - Marko Djikic

29/31

e ac ja o g ue c je po odu u

Sistemi ostataka

Na ci sve parove prirodnih brojeva(a, n)tako da

n|(a+ 1)n an.

Marko-Dikic Osnovni pojmovi teorije brojeva

DeljivostProsti brojevi

Relacija kongruencije po modulu

http://find/

7/25/2019 Teorija Brojeva - Marko Djikic

30/31

j g j p

Sistemi ostataka

Neka je n prirodan broj. Ako je broj1 + 2n + 4n prost, tada je n stepen

trojke. Dokazati.

Marko-Dikic Osnovni pojmovi teorije brojeva

DeljivostProsti brojevi

Relacija kongruencije po modulu

http://find/

7/25/2019 Teorija Brojeva - Marko Djikic

31/31

Sistemi ostataka

Neka je a prirodan broj i neka je niz(xn)definisan na slede ci na cin:x1=a i

xn+1=

xn

2

, ako je xnparan broj;

3xn+12

, ako je xnneparan broj

za svaki prirodan broj n. Dokazati da je bar jedanclan tog niza paranbroj.

Marko-Dikic Osnovni pojmovi teorije brojeva

http://find/