Tercer ciclo, Nmeros Introduccin Al ingresar al Tercer ciclo
cada estudiante trae la habilidad de comparar y operar tanto nmeros
naturales como nmeros con expansin decimal hasta la diezmilsima. La
potenciacin se trabaja en 6 Ao pero con ejemplos muy bsicos,
principalmente de cuadrados y cubos perfectos. Con respecto a las
fracciones, domina sus diferentes representaciones y su operatoria.
Conoce algunos conceptos de la teora de nmeros, como por ejemplo
nmero primo, compuesto, divisores, mltiplos, entre otros. La
conceptualizacin de los nmeros enteros, racionales, irracionales y
reales junto con su operatoria, son temas fundamentales en este
ciclo y en toda la enseanza Secundaria. En este ciclo se aborda el
clculo de sumas, restas, multiplicaciones, divisiones, potenciacin
y radicacin para los nmeros enteros, racionales e irracionales,
dando un especial nfasis al clculo operatorio y a las diferentes
representaciones de los nmeros reales. Se introducen los nmeros
enteros negativos en 7 Ao, los racionales en 8 Ao y los
irracionales y reales en 9 Ao. Esta rea tiene una conexin directa
con las otras reas matemticas (Medidas, Geometra, Relaciones y
lgebra y Estadstica y Probabilidad), as como con las otras materias
que se imparten a este nivel, por lo que es fundamental seguir
trabajando los conocimientos respectivos a travs de la resolucin de
problemas contextualizados. Todo esto prepara al estudiante para
que pueda utilizar los nmeros reales en sus diferentes
representaciones y los aplique tanto en el clculo operatorio como
en el planteamiento y resolucin de problemas en contextos variados.
Propsito de la enseanza El propsito de la enseanza de los Nmeros en
este ciclo es que el estudiantado adquiera la habilidad de utilizar
los nmeros reales en cualquiera de sus representaciones, que
elabore estrategias para realizar clculos con ellos y que plantee y
resuelva problemas en diversos contextos en los que se involucren
estos nmeros. Habilidades generales Las habilidades generales que
debern adquirirse en Nmeros al finalizar el Tercer ciclo son:
Realizar clculos usando nmeros reales en sus diferentes
representaciones. Utilizar conocimientos de teora de nmeros en la
resolucin de problemas contextualizados o propios de esta rama.
Utilizar diferentes representaciones para identificar y representar
nmeros racionales e irracionales. Identificar y utilizar la
potenciacin y radicacin en diferentes contextos. Comparar nmeros
reales en sus diferentes representaciones. Seleccionar y aplicar
mtodos y herramientas para calcular y operar con nmeros reales.
Utilizar la estimacin, el clculo mental, el papel y lpiz o la
calculadora, segn sea el caso, para el clculo de operaciones con
nmeros enteros, racionales y reales. Plantear y resolver problemas
en diferentes contextos donde se requiera el uso de las operaciones
y representaciones numricas. Se fortalecern actitudes y creencias
positivas hacia las Matemticas, pues en esta rea se puede
evidenciar de manera natural la utilidad de las mismas, mediante
problemas en contextos reales. Se debe hacer nfasis en que el
trabajo operatorio con los nmeros utilizando diferentes
representaciones permite desarrollar el proceso Representar. Adems,
al trabajar con nuevos nmeros (negativos, racionales e
irracionales) se ampla la cantidad de opciones para conectarlos con
otras reas de las Matemticas u otras Ciencias. Por ejemplo, al
resolver algunas ecuaciones en 8 Ao slo se puede considerar la
posibilidad de soluciones racionales mientras que en 9 se pueden
considerar tambin las posibles soluciones irracionales. 276
Conocimientos, habilidades especficas e indicaciones puntuales 7
Ao
Conocimientos Habilidades especficasIndicaciones puntuales
Nmeros Naturales Operaciones: Suma Resta Multiplicacin Divisin
Potencias Combinacin de operaciones 1. Calcular expresiones
numricas aplicando el concepto de potencia y la notacin
exponencial. Se puede introducir el tema expresando, como repaso,
mltiplos de 10 como potencias de base 10. Luego se realiza la
representacin de productos con factores iguales como potencia y
viceversa, para identificar luego cuadrados y cubos perfectos.
Posteriormente se trabaja con ejercicios bsicos de operaciones; por
ejemplo, verificar si las siguientes afirmaciones son falsas o
verdaderas: (5 + 7)2 = 52 + 72 (6 2)2 = 62 22 (8 3)2 = 82 32 (9 3)2
= 92 32
2. Resolver una combinacin de operaciones que involucre o no el
uso de parntesis. Es necesario retomar los algoritmos que permiten
operar con nmeros naturales. No se debe perder de vista que la
habilidad de realizar operaciones con estos nmeros ser necesaria
para abordar con xito el trabajo con nmeros enteros. Este repaso
debe ir dirigido a corregir errores tpicos que pueden surgir cuando
las y los estudiantes resuelven una combinacin de operaciones. El
planteo de problemas en este sentido puede ser una herramienta que
le permita a cada estudiante justificar procedimientos. Por
ejemplo, se considera el siguiente problema: Miriam va a la feria
con su padre para comprar las frutas que llevarn como merienda
durante la semana. Encuentran que el CNP sugiere, para esa semana,
los precios que brinda en la siguiente tabla: Imagen tomada de:
http://web.cnp.go.cr/index.php/informacion-demercados/precios-nacionales-semanales/semanales/ferias-del-agricultor
Ellos compran 1 pia, 5 kilogramos de papaya, 8 naranjas y medio
kilogramo de moras. Plantee una combinacin de operaciones que
permita obtener el total a pagar, si pagan segn los precios que
sugiere el CNP. Luego resulvala. Se espera que cada estudiante
escriba la operacin 675 + 5 325 + 8 45 + 1300 2 = Un error comn es
realizar la primera operacin que aparece de izquierda a derecha (en
este caso la suma) y a dicho resultado aplicar la operacin
siguiente. Aqu el mismo contexto del problema debe propiciar, de
forma natural, la necesidad de realizar primero los productos y
cocientes correspondientes y finalmente sumar los resultados. De
ese modo se propician oportunidades para adquirir confianza en la
utilidad de las Matemticas. Debe indicarse el cambio de simbologa
para la multiplica-cin, ahora se utilizar el punto. Un problema
como el anterior permite discutir las ventajas para la salud de una
alimentacin sana. La combinacin de operaciones no debe exceder de
cuatro trminos, donde en cada uno de ellos slo se haga uso de un
parntesis. En el interior de cada parntesis incluir a lo sumo dos
diferentes tipos de operaciones. Por ejemplo: a. 24 8 + 5 3 = b. 7
(5 2 2 ) = c. 5 (23 5) 8 (7 2 3) = d. 32 (10 2 + 9) 3 ( 12 3) +
23(7 3 2) =
Teora de nmeros Algoritmo de la divisin Divisibilidad Factor
Mltiplo Nmeros primos Nmeros compuestos Descompo-sicin prima 3.
Aplicar el algoritmo de la divisin en la resolucin de problemas.
Para trabajar con el algoritmo de la divisin, se puede plantear un
problema como el siguiente: Don Manuel va a poner losetas en el
piso de una habitacin que mide 4 metros por 3 metros, las losetas
miden 30 cm por 15 cm. Se van a colocar de forma anloga a lo que se
ve en la figura, con el lado mayor de la loseta paralelo al lado
mayor de la habitacin.
Imagen con derechos adquiridos por el MEP
278
Mnimo Comn Mltiplo Mximo Comn Divisor Las losetas pueden
cortarse para que encajen en los extremos de cada fila de ellas.
Don Manuel le dio las dimensiones a su hijo y ste compr 135
losetas. Si no se quiebra ninguna, le alcanzarn estas losetas a don
Manuel?, le sobrarn?, si es as, cuntas? Cuntas filas de losetas
habr que colocar?, cuntas losetas por fila? Se pide trabajar en el
problema y exponer las estrategias usadas. En todo caso, para
responder a las dos ltimas preguntas se deber emplear la divisin y
analizar lo que sucede. El algoritmo de la divisin se puede
utilizar para demostraciones muy sencillas, como por ejemplo probar
que todo nmero natural es par o es impar. Esto permite fortalecer
el proceso Razonar y argumentar.
4. Aplicar los conceptos de divisibilidad, divisor, factor y
mltiplo de un nmero natural en la resolucin de problemas en
diferentes contextos. La teora de nmeros permite retomar los
conceptos y pro-piedades numricas estudiadas en la educacin
Primaria y darles un mayor nivel de profundidad. A travs del uso de
la pregunta dirigida se pueden repasar estos conceptos. Por
ejemplo, el o la docente (D) escribe en la pizarra el nmero 120 y
puede dirigir un dilogo con sus estudiantes de la siguiente forma:
D: Qu nmeros dividen al 120 y por qu? Ester: Dos profe, ya que es
un nmero par. D: Correcto. Dicho nmero tiene ms divisores? Allan:
S, el tres, dado que sus cifras suman un nmero que es mltiplo de
tres. Tambin el cinco pues termina en cero. D: Este nmero es
mltiplo de 10? Melvin: S, porque 12 10 = 120. D: Muy bien. (El o la
docente escribe lo siguiente:) a. 120 = 12 10 b. 120 = 2 2 2 3 5 c.
120 = 23 3 5 d. 120 = 2 12 5 D: Cul de las representaciones
anteriores corresponde a la descomposicin en factores primos del
nmero 120? Xinia: La opcin b. y c. ya que las otras contienen
cantidades que no corresponden a nmeros primos. El uso de la
pregunta dirigida en forma adecuada activa los procesos Comunicar y
Razonar y argumentar. Por otra parte, permite fomentar un
aprendizaje participativo y colaborativo. Luego, se pueden resolver
problemas de nivel de reflexin, como los propuestos a continuacin
para reforzar el manejo de los conceptos. Determinar todos los
posibles valores de los dgitos a y b tales que el nmero de 5 cifras
1a2b1 es mltiplo de 3.
Cuntas cifras tiene el nmero 215 517 ?
Escriba todos los nmeros mayores que 5000 y menores que 11 000
que tienen el producto de sus dgitos igual a 343.
5. Identificar nmeros primos y compuestos. Se puede desarrollar
este tema por medio del componente histrico, proponiendo
investigaciones acerca del uso de la Criba de Eratstenes, o bien
los mtodos utilizados por los matemticos de la antigedad para
generar nmeros primos. Por ejemplo: el matemtico suizo Euler
(1707-1783) propuso una frmula que sirve para obtener nmeros
primos: 41. Sin embargo, para n = 41 el resultado es un nmero
compuesto.
6. Descomponer un nmero compuesto en sus factores primos. Se
puede plantear el siguiente problema: Escriba todos los nmeros
menores que 1000 en los que el producto de sus dgitos sea 30. Es
importante que cada estudiante tenga claro cmo des-componer un
nmero en sus factores primos, pues es comn observar errores. Por
ejemplo: Forma correcta Forma incorrecta 40 40 2 2 2 5 4 2 5
20 10 10 5 5 4 2 5 1 Donde 4 no es un factor primo. 32 5
7. Obtener el Mnimo Comn Mltiplo de dos nmeros aplicando el
algoritmo correspondiente. 8. Obtener el Mximo Comn Divisor de dos
nmeros aplicando el algoritmo correspondiente. Se puede introducir
el tema a travs de problemas como los siguientes: Lorena es una
estudiante que utiliza una red social cada 6 das. Su amigo Luis
accede cada cinco das y su hermano Alex ingresa cada 8 das. Si
ellos coincidieron en su visita a esta red social el da 24 de
julio, en qu fecha vuelven los tres a coincidir? Damaris desarrolla
un proyecto de bien social brindando ayuda a familias necesitadas.
En su barrio, ella recogi 12 paquetes de frijoles, 18 paquetes de
arroz y 30 tipos diferentes de pastas (fideos, caracolitos, lasaa,
etc.). Ellos quieren hacer un pequeo diario que contenga la misma
cantidad de productos con el mayor nmero de ellos posible sin que
sobre alguno. a. Cuntos paquetes podrn hacer con estas
caracters-ticas? b. Cuntos productos de cada tipo (arroz, frijoles
y pas-tas) tendr dicho diario? Es necesario que se compartan las
diferentes estrategias que usaron para resolver esta situacin.
Luego se establecen los conceptos y los algoritmos.
280
9. Plantear y resolver problemas donde se utilice el Mnimo Comn
Mltiplo y el Mximo Comn Divisor. Se puede proponer problemas
anlogos a los que permitieron introducir los problemas de la
habilidad anterior.
Nmeros enteros Enteros negativos Concepto de nmero entero
Relaciones de orden Recta numrica Valor abso-luto Nmero opuesto 10.
Identificar nmeros enteros negativos en contextos reales. Muchas
situaciones en contextos reales proporcionan informacin que tiene
que ver con los nmeros negativos: temperaturas, ubicacin sobre o
bajo el nivel del mar, dficit econmico, etc. Aunque en muchas
ocasiones estas situaciones no presentan explcitamente el signo
menos (), se pueden modelar matemticamente utilizando dicho signo.
Se puede proponer informacin como la siguiente para que cada
estudiante d un modelo:
Para iniciar el ascenso, se debe inspirar lentamente o dejar
entrar un poco de aire en el chaleco para comenzar a ascender. Es
necesario estar de cara al compaero para comprobar el ritmo de
ascenso y el estado del otro. Se debe controlar la cantidad de aire
que entra en el chaleco ya que la expansin de ste har que se
acelere la ascensin. Un clculo adecuado consiste en ascender 15
metros por minuto hasta 5 metros de profundidad. En este punto
muchos buceadores realizan una parada de seguridad de 3 minutos por
precaucin. Los ltimos 5 metros hasta la superficie deben recorrerse
en 1 minuto. Si se realiza una inmersin de descompresin, debe
asegurarse que se realizan todas las paradas de seguridad
establecidas.
Fuente:
http://buceaconmigo.com/El+ascenso+durante+el+buceo%2C+salir
+del+agua_5_42_9_98_es.html Posteriormente, se implementan
problemas donde se aproveche las formas grficas de representacin
para su solucin: El yak es un animal que habita en las montaas del
Tibet a unos 5000 m sobre el nivel del mar y el cachalote vive 5900
m ms abajo. Determine la altura en la que suele vivir este ltimo.
Respuesta: 900 m bajo el nivel del mar. La temperatura promedio en
la ciudad de San Jos es de 25 C durante la estacin lluviosa.
Ciudades como Nueva York pueden experimentar hasta 30 C menos.
Describa a qu temperatura puede estar dicha ciudad. Respuesta:
podra experimentar temperaturas de hasta 5 C bajo cero. Esta
actividad permite usar las formas de representacin grfica en la
resolucin de problemas. Se debe utilizar esto para establecer la
existencia y representacin de los nmeros enteros negativos, as como
otros contextos reales donde suelen ser usados.
9. Plantear y resolver operaciones y problemas utilizando las
relaciones de orden en los nmeros enteros. 10. Ubicar nmeros
enteros en la recta numrica. Se puede plantear problemas donde se
apele intuitivamente al ordenamiento de cantidades, luego
establecer las relaciones de orden en los nmeros enteros. Por
ejemplo: En Santiago de Chile se ha registrado el promedio mensual
(redondeado al entero ms cercano) de las temperaturas durante el
ltimo ao, como se muestra en la siguiente tabla: Mes
Temperatura
Enero 22C
Febrero 30C
Marzo 29C
Abril 19C
Mayo 10C
Junio 5C
Julio -6C
Agosto -9C
Setiembre 0C
Octubre -2C
Noviembre 6C
Diciembre 10C
a. Cul fue el mes donde hubo menor temperatura? b. Cul fue el
mes donde hubo mayor temperatura? c. Cundo hubo mayor temperatura,
en julio o en noviembre? d. Ordene las temperaturas de menor a
mayor. e. Dibuje un termmetro donde se representen las temperaturas
correspondientes a cada mes. Este tipo de problemas establece
conexiones con otras reas y asignaturas. Por ejemplo, se podra
elaborar una lnea de tiempo con los aos en que ocurrieron hechos
histricos relevantes antes y despus de nuestra era. Tambin, una
representacin de las temperaturas promedio caracterstica de los
climas que se presentan en el mundo. Despus se puede establecer la
nocin de recta numrica a partir de dichas repre-sentaciones.
Posteriormente, se pueden plantear problemas para reforzar la
comprensin de estas relaciones en la recta numrica. Por ejemplo, en
la interpretacin de la informacin que ofrecen ciertos grficos
estadsticos: En el siguiente cuadro aparecen las ganancias o
prdidas en cada mes del ao 2011 de una empresa:
Programas de Estudio de Matemticas
Programas de Estudio de Matemticas Programas de Estudio de
Matemticas
275
281
a. En qu meses la empresa tuvo prdidas? b. En qu meses la
empresa tuvo ganancias? c. En qu meses no hubo ni ganancias ni
prdidas? d. Cul es la ganancia total en los primeros seis meses? e.
Cul es la ganancia total en el segundo semestre? f. Cul fue la
situacin de la empresa en los meses de mayo, junio, julio y agosto?
Este problema permite establecer conexiones con Estadstica y
Probabilidad.
11. Determinar el opuesto y el valor absoluto de un nmero
entero. Se puede iniciar con un problema que permita establecer la
diferencia entre el valor relativo y el valor absoluto de un nmero
entero. Por ejemplo: Carolina sale de su casa y se dirige al hogar
de su mam que se ubica 2 km al Sur del suyo. Luego de saludarla y
conversar con ella, le informan que su hermano Andrs (quien estudia
en el extranjero y llevaba ms de 5 aos de no visitar a su familia)
lleg a Costa Rica y que se encuentra en su casa de habitacin, a 750
m Norte de la casa de su mam por lo que ellas se dirigen para darle
la bienvenida. Considerando como punto de referencia la casa de
Carolina: a. Determine su ubicacin actual en metros. b. Determine
la distancia en metros que hay entre la casa de Carolina y la de su
hermano. Se definir el valor absoluto de un nmero entero como la
distancia que existe entre el nmero y el cero en la recta numrica.
Es necesario utilizar el smbolo (smbolo de resta) para denotar el
clculo del opuesto de un nmero dado. As el opuesto de -31 se
denotara simblicamente (-31) = 31 y el opuesto de 24 (24) = -24 o
bien 24 = -24 Es conveniente verificar las propiedades con ejemplos
numricos, tal como: un nmero entero y su opuesto tienen el mismo
valor absoluto. |-6| = |6| Despus de asimilar las operaciones con
nmeros enteros se puede proponer la verificacin de las siguientes
propiedades: |a b| = |a| |b| |a + b| |a| + |b|
Operaciones, clculos y estimaciones Suma Resta Multiplica-cin
12. Resolver problemas aplicando sumas, restas, multiplicaciones y
divisiones de nmeros enteros. Para el caso de la suma y la resta,
se puede esclarecer el concepto mediante el planteo de problemas.
Por ejemplo: Buceando, Edwin se encontraba a 9 m bajo el nivel del
mar. Si Edwin descendi 8 m ms, a qu profundidad estaba? Pedro debe
a Juan 250 000 y le cancela 110 000. Cunto le queda debiendo Pedro
a Juan?
Divisin Potencias Races Combina-cin de operaciones Aunque para
resolver los problemas anteriores no se requiere estrictamente el
uso de nmeros negativos, se deber utilizar como una forma de
modelizar que ser til en diversas circunstancias. As, en la etapa
de discusin se representarn los datos con nmeros enteros positivos
o negativos, de manera que se puedan enunciar estrategias que
permitan establecer los algoritmos correspondientes. En el caso del
producto, se debe enfatizar la razn de la ley de signos. Para ello,
el docente puede plantear problemas como el siguiente: Determine el
resultado de la operacin 5 -4. Se espera que cada estudiante
utilice la nocin de producto como suma sucesiva y que verifique,
con operaciones similares, que se sigue cumpliendo la tendencia en
el signo del resultado. 5 -4 = -4 + -4 + -4 + -4 + -4 = -20 Sera
interesante introducir la historia de los nmeros negativos al
comenzar su estudio. Cuando se trata el producto de dos nmeros
enteros negati-vos, se puede utilizar la nocin de nmero opuesto
para justificar el signo que posee el resultado. Observe: -3 -2 =
(3) -2 = (-2 + -2 + -2) = (-6) = 6 La divisin es con cociente
entero y residuo cero.
13. Simplificar clculos mediante el uso de las propiedades de
conmutatividad y asociatividad de la adicin y multiplicacin. Por
ejemplo si se desea resolver la operacin 5 + -7 + 5 + -10 un
estudiante puede resolver primero 5 + 5 luego -7 + -10 y finalmente
se suman los resultados. Esto se justifica por la conmutatividad y
la asociatividad de la suma y permite simplificar los clculos.
14. Calcular potencias cuya base sea un nmero entero y el
exponente sea un nmero natural. 15. Utilizar las propiedades de
potencias para representar el resultado de operaciones con
potencias de igual base. Es importante la deduccin de las
propiedades de potencias a partir de su definicin. Esto se puede
lograr por medio del planteo de problemas anlogos al siguiente:
Represente el resultado de la operacin 325 331. Aqu se pretende que
ante la imposibilidad de brindar un resultado, se busque una
representacin alternativa del resultado: 356. Adems es importante
que se comuniquen las estrategias utilizadas con el fin de lograr
un aprendizaje ms activo y colaborativo. Las propiedades a deducir
son:
a. am an = am + n b. am an = am n c. (am)n = am n d. a0 = 1, a 0
Hacer hincapi en la diferencia entre las expresiones del tipo 52 y
(-5)2 ya que la primera representa el opuesto de 52 (resultado
negativo) y la segunda que -5 se eleva a la dos (resultado
positivo).
16. Identificar la relacin entre potencias y races como
operaciones inversas. Se pueden proponer problemas tipo reto
matemtico. Por ejemplo: Qu nmero multiplicado por s mismo 5 veces
da como resultado 32? Qu nmero multiplicado por s mismo 3 veces da
como resultado 64? Luego se establece la relacin existente entre la
potenciacin y la radicacin as como la simbologa utilizada: 7.
Tambin se debe reforzar el concepto con ejemplos del tipo: Es
importante proponer a cada estudiante ejemplos que generen discusin
acerca de la veracidad de ciertas proposiciones. Por ejemplo: Son
correctas las siguientes igualdades? . Sobre esto se pretende que
se argumenten las posiciones tomando como base la relacin existente
entre la potenciacin y la radicacin.
17. Calcular la raz de un nmero entero cuyo resultado sea
entero. En esta habilidad, es fundamental el proceso de obtener la
raz sin el uso de la calculadora mediante la descomposicin en
factores primos y el uso de las siguientes propiedades de
radicales: | | para par para impar
18. Calcular resultados de operaciones con nmeros enteros en
expresiones que incorporen la combinacin de operaciones con
parntesis o sin ellos. Las operaciones combinadas no deben exceder
de dos trminos, en cada uno de ellos slo se har uso de a lo sumo un
parntesis. En el interior de cada parntesis slo incluir a lo sumo
dos diferentes tipos de operaciones. En algunos ejemplos, incluir
potencias y races exactas. A continuacin algunos ejemplos:
Programas de Estudio de Matemticas
Programas de Estudio de Matemticas
Programas de Estudio de Matemticas
282
288
287
a. b. c. 211 3 169 2
19. Resolver problemas en los que se apliquen las operaciones
con nmeros enteros. Por ejemplo: Hernn recibi hoy de su madre 5000,
adems ayer haba prestado a tres compaeros 500 a cada uno para que
compraran un refresco; los tres le pagaron hoy lo que le deban. Con
el dinero que ahora tiene pretende comprar tres naranjas que le
cuestan 200 cada una y quiere tambin comprar un CD que cuesta 5700.
Modele mediante una combinacin de operaciones con nmeros enteros la
situacin propuesta. Obtenga el resultado de efectuar las
operaciones. Le alcanza a Hernn el dinero que tiene para comprar
las naranjas y el CD?
8 Ao
Conocimientos Habilidades especficasIndicaciones puntuales
Nmeros racionales Concepto de nmero racional Representaciones
Relaciones de orden 1. Identificar nmeros racionales en diversos
contextos. Se pueden proponer problemas como el siguiente. Aqu
aparecen los precios de los combustibles.
Imagen tomada de:
http://www.recope.go.cr/info_clientes/precios_productos/ Si en la
gasolinera pido que me vendan 10 000 en gasolina Plus 91, cuntos
litros me dan? Problemas como ste permiten introducir la necesidad
de utilizar otros nmeros diferentes a los enteros. Cada estudiante
debe tener claro que los nmeros enteros tambin son nmeros
racionales.
Es importante que cada estudiante pueda resolver situaciones en
contexto en las que se involucre la nocin de divisin. Esto permitir
en la etapa de clausura establecer su representacin por medio de
fracciones. Se deben implementar ejemplos que originen nmeros
enteros y no enteros (no se debe olvidar contemplar situaciones que
involucren nmeros negativos). Por ejemplo: Si camino 10 m en
direccin Oeste y me devuelvo una cuarta parte de dicho recorrido,
cunto me desplac con respecto al lugar del que sal? Juan contrajo
una deuda de 17 500. Su padre, un hermano y un amigo deciden
ayudarle a pagarla por lo que se reparten la deuda equitativamente
entre ellos tres. Cunto debe pagar cada uno?
2. Realizar aproximaciones decimales de nmeros racionales. 3.
Identificar los nmeros racionales representados con expansin
decimal exacta y con expansin decimal peridica. Inicialmente, se
debe procurar que el estudiante efecte divisiones sin el uso de la
calculadora. Esto permite enfatizar cmo es que se obtienen las
representaciones decimales de los nmeros racionales. De paso, se
puede visualizar la infinitud de los decimales de algunos nmeros
racionales. 21 2145,25431,33333 1, 3 9110,818181 0, 81 11761,166666
1,16 Esta nocin de infinitud es fundamental en los nmeros
racionales e irracionales que se tratan en el prximo ao escolar. Al
aproximar fracciones por medio de su expansin decimal, se debe
aclarar que la calculadora da una aproximacin (en el caso de los
decimales peridicos), por lo que la notacin mediante el uso de la
raya del periodo o bien la notacin fraccionaria asegura la
exactitud en la representacin del nmero racional.
4. Identificar y aportar ejemplos de representaciones distintas
de un mismo nmero racional. Por ejemplo 1,411. Se pueden idear
problemas donde se haga uso de represen-taciones numricas adecuadas
para el desarrollo de actividades cotidianas. Por ejemplo: Ana
encontr en Internet una receta cuyos ingredientes aparecen a
continuacin.
Combinacin de operaciones 10. Calcular el resultado de sumas,
restas, multiplicaciones y divisiones de nmeros racionales en
cualquiera de sus representaciones. Operacin: Mnimo Comn Mltiplo de
5, 10 y 3 es 30. Amplificacin de las fracciones por 6, por 3 y por
10 respectivamente: Simplificacin:
As ellos gastaron m (aproximadamente 2,13 m). En la etapa de
clausura o cierre, se detalla el algoritmo que permite sumar y
restar fracciones heterogneas por medio del Mnimo Comn Mltiplo de
sus denominadores. Se debe trabajar con suma y resta de nmeros
racionales en cualquiera de sus notaciones.
11. Efectuar operaciones con potencias de base racional y
exponente entero. Generalizacin de las propiedades verificadas en
7Ao. Es necesario formalizar las siguientes propiedades: n1 a 0a. a
n , an an ab 0b. b bn , a n b n a 0,b 0c. b a ,
12. Calcular races n-simas de un nmero racional. Las races
calculadas deben dar como resultado un nmero racional. Si el nmero
racional est representado en su forma fraccio-naria, es fundamental
el proceso de obtener la raz sin el uso de la calculadora mediante
la descomposicin en factores primos del numerador y el denominador.
El docente debe introducir el uso de la siguiente propiedad:
13. Calcular resultados de operaciones con nmeros racionales de
expresiones donde haya combinacin de ellas con parntesis o sin
ellos. En la prioridad de operaciones, plantear operaciones que no
excedan los dos trminos. Por ejemplo: 3 51,34 Si se contempla el
uso de parntesis, las expresiones de-bern contener como mximo dos y
que cada uno de ellos contenga solamente dos trminos (dos factores
a lo sumo cada trmino). A continuacin algunos ejemplos:
14. Desarrollar estrategias para el clculo mental de resultados
de operaciones con racionales. Deben usarse ejercicios apropiados,
por ejemplo:
Solicitar a cada estudiante juzgar si los resultados de las
estimaciones son razonables y que argumente su posicin.
15. Seleccionar mtodos y herramientas adecuados para la
resolucin de clculos, segn el problema dado. Dependiendo del
problema se pueden utilizar diferentes estrategias de clculo, por
ejemplo: Clculo mental 1,5 kg a 2000 cada kilogramo.
Papel y lpiz 1,5 kg a 2450 cada kilogramo.
Calculadora 1,75 kg a 2225 cada kilogramo.
16. Plantear y resolver problemas en los que se requiera de la
aplicacin de operaciones con nmeros racionales. Conviene proponer
operaciones para que los estudiantes planteen problemas. Por
ejemplo: Se pide a las y los estudiantes que planteen un problema
en el que se involucre la siguiente combinacin de operaciones:
Programas de Estudio de Matemticas Programas de Estudio de
Matemticas
Programas de Estudio de Matemticas
291 292
295
290
9 Ao
Conocimientos Habilidades especficasIndicaciones puntuales
Nmeros reales Nmeros irracionales Concepto de nmero real
Representaciones Comparacin Relaciones de orden Recta numrica 1.
Identificar nmeros irracionales en diversos contextos. Para
introducir los nmeros racionales se puede comenzar con el siguiente
problema. Suponga que en la siguiente figura el segmento BC mide 1
m, cunto mide el rea del cuadrado ACDE?
La discusin llevar de manera natural a concluir que el rea es 2
m2, viendo que el cuadrado est constituido por cuatro tringulos
congruentes de rea 0,5 m2. Si no se conoce el teorema de Pitgoras,
no se sabr de antemano cunto es x, la medida del lado del cuadrado,
pero debido a que el rea es 2 y el lado es x entonces x2 = 2. A
continuacin se pregunta al grupo qu tipo de nmero es x y ste deber
concluir que no es un nmero entero puesto que no hay un entero que
multiplicado consigo mismo d 2. Ser un racional? Esta posibilidad
puede descartarse realizando una demostracin, que servir adems para
repasar conceptos de teora de nmeros. Finalmente se concluye que
los nmeros como x que no son racionales se llaman irracionales, que
x se denota por . Se indica que es otro nmero irracional y que hay
muchos otros. Se puede ilustrar, por medio de reseas histricas, que
el surgimiento de este tipo de nmeros aparece en la solucin de
problemas en los que los nmeros racionales no son suficientes.
2. Identificar nmeros con expansin decimal infinita no peridica.
Lo que se desea es mostrar nmeros decimales diferentes a los nmeros
naturales, enteros y racionales. Es importante considerar el
reconocimiento de patrones de construccin que generen nmeros
decimales con expansin infinita no peridica, por ejemplo:
0,1010010001 (cada vez agregar un cero ms antes de escribir 1).
Esto permite establecer conexiones con el rea de Relaciones y
lgebra.
292
c. Al resolver la operacin 5 23 en la calculadora da como
resultado 0,2173913043, el cual se puede malinterpretar como un
nmero irracional, de ah la importancia de las diferentes
representaciones de un nmero real. Tambin es importante comentar
que hay nmeros, como por ejemplo que no son reales. Se debe
realizar un anlisis de posibles errores que se pueden cometer al
calcular ciertas expresiones. Por ejemplo, analizar lo incorrecto
en el siguiente procedimiento: 55.
7. Representar nmeros reales en la recta numrica, con
aproximaciones apropiadas. Usar la estimacin mental o la
calculadora para realizar tal representacin. Por ejemplo: Dadas las
coordenadas a, b, c, como se muestra en la figura:
coloque un punto en un lugar aproximado a a. |a| b. b + 1 c.
Clculos y estimaciones Suma Resta Multiplicacin Divisin
Potencias Radicales 8. Estimar el valor de la raz de un nmero
entero. 9. Determinar nmeros irracionales con representacin radical
entre dos nmeros enteros consecutivos. Trabajar ejemplos del tipo:
Un posible valor de es ( ) ( ) ( )
10. Utilizar la calculadora para resolver operaciones con
radicales. Este es uno de los usos adecuados para la calculadora,
en un tema en que no tiene sentido la realizacin de clculos sin ese
tipo de soporte. Se debe aprovechar la calculadora cientfica para
trabajar con expresiones con radicales. La respuesta puede darse en
cualquier representacin. Adems, se pueden resolver problemas
como:
Hallar el valor de x en la ecuacin 5 o 5 Calcule el valor de m
tal que
Cantidades muy grandes y muy pequeas 11. Utilizar los prefijos
del Sistema Internacional de Medidas para representar cantidades
muy grandes y muy pequeas. 12. Utilizar la calculadora o software
de clculo simblico como recurso en la resolucin de problemas que
involucren las unidades. Se muestra a continuacin los prefijos del
sistema internacio-nal de medidas a utilizar: mega (106) micro 10 6
, giga (109) 9 nano 10, tera 10 12peta 10 pico 10 , exa 10 femto 10
15 , zeta 10 atto 10 18 , yota 10 21zepto 10. Un problema que puede
ser utilizado en relacin con este tema es el siguiente: Gmail es un
servicio de correo electrnico gratuito que ofrece una capacidad de
almacenamiento de ms de 7 Gb y Google afirma que esta cifra seguir
en aumento. Si un disco compacto (CD) tiene una capacidad de
almacenamiento de 650 Mb, cuntos discos compactos (CD) equivaldran
a la capacidad de almacenamiento de Gmail? Para resolver este
problema hay recordar que un Gigabyte equivale a 2301 073 741 824
bytes y un Megabyte equivale a 2201 048 576 bytes Por lo tanto, la
capacidad de almacenamiento de Gmail es de ms de 11 discos
compactos. No introducir el uso de notacin cientfica. Las
nanomedidas pueden introducirse aqu mediante una breve historia y
su conexin con el uso de Nanotecnologas. La nanotecnologa es el
estudio, diseo, creacin, sntesis, manipulacin y aplicacin de
materiales, aparatos y sistemas funcionales a travs del control de
la materia a nano escala, y la explotacin de fenmenos y propiedades
de la materia a nano escala. Cuando se manipula la materia a una
escala tan minscula de tomos y molculas, se demuestran fenmenos y
propiedades totalmente nuevas. Por lo tanto, cientficos utilizan la
nanotecnologa para crear materiales, aparatos y sistemas novedosos
y poco costosos con propiedades nicas. () La nanociencia est unida
en gran medida desde la dcada de los 80 con Drexler y sus
aportaciones a la "nanotecno-
loga molecular", esto es, la construccin de nanomquinas hechas
de tomos y que son capaces de construir ellas mismas otros
componentes moleculares. Richard Feynman, premio Nobel de Fsica, es
considerado el padre de la "nanociencia". En 1959 propuso fabricar
productos con base en un reordenamiento de tomos y molculas. En ese
ao, escribi un artculo que analizaba cmo los ordenadores trabajando
con tomos individuales podran consumir poqusima energa y conseguir
velocidades asombrosas. () Podemos decir que muchos progresos de la
nanociencia estarn entre los grandes avances tecnolgicos que
cambiarn el mundo. Fuente:
http://www.euroresidentes.com/futuro/nanotecnologia/nanotecnologia_que_es.htm
Indicaciones metodolgicas Generales del ciclo 1. Los clculos
operatorios permiten desarrollar habilidades o destrezas numricas y
mayores posibilidades de realizar procesos de plantear y resolver
problemas en contexto. De ah que sea valioso dar nfasis al clculo
mental y a la estimacin. 2. En el Tercer ciclo el sentido numrico
est estrechamente asociado a operaciones y clculos; este permite
decidir cul es la estrategia ms adecuada para enfrentar un
problema: clculo mental, estimacin aproximada, trabajo sistemtico
con papel y lpiz o el uso de calculadora o incluso la computadora.
Tambin, es fundamental la representacin mltiple de los nmeros:
fracciones, razones o porcentajes, etc. 3. El uso de los nmeros muy
grandes o muy pequeos debe analizarse desde situaciones cientficas,
tecnolgicas o econmicas. Por ejemplo, se pueden buscar noticias
como la siguiente: 294
A travs de esta noticia se pueden realizar preguntas generadoras
como por ejemplo: a. A cunto equivale 305 MW? b. A cuntas casas se
le puede dar energa elctrica con este proyecto (investigar cuanto
con-sume una casa en promedio)? c. Cul es el costo del proyecto en
colones? 4. Para introducir los diferentes nmeros se deben proponer
problemas relacionados con situaciones en contexto. En algunos
casos esto puede ser difcil, entonces un problema matemtico
interesante o un aspecto de la historia de las Matemticas puede ser
til. 5. Cuando se sugiere un problema, es importante que cada
estudiante tenga el tiempo suficiente para experimentar y
conjeturar, as como para poder describir los resultados obtenidos.
En la etapa de clausura, debe cuidarse que los datos brindados y la
respuesta tengan sentido real. 6. Aunque se hace un nfasis en los
clculos operatorios, no tiene sentido proponer operaciones enormes
y con muchos parntesis. Adems, esto no aporta mucho al conocimiento
real de las y los estudiantes y puede causar distracciones y fobia
hacia las Matemticas, pues no encuentran en estas operaciones ni
practicidad, ni aplicabilidad en contextos reales ni inters
matemtico. 7. La calculadora cientfica se puede utilizar a partir
de 7Ao. Esta es una herramienta que puede utilizarse cuando
aparecen nmeros muy grandes en los clculos para que la o el
estudiante se concentre en los aspectos clave de la resolucin de
problemas, como la elaboracin de estrategias, la comunicacin y
elaboracin de conjeturas. Tambin puede ser indispensable para la
comprobacin de resultados en las operaciones. Stimo ao 1. Cuando se
introduce el concepto de nmero negativo, se debe tener en cuenta
que ste entraa dificultades de tipo cognitivo. De hecho, la
historia as lo refleja. La siguiente es una breve resea histrica
relacionada con estos nmeros. Ni los calculistas babilnicos o
egipcios, ni los pensadores griegos y ni los matemticos rabes
dispusieron de la nocin general de nmeros negativos. Los primeros
en utilizar cantidades negativas fueron los matemticos indios,
quienes desde los siglos VI y VII de nuestra era los empleaban para
necesidades contables. En contraposicin a los bienes, representados
con nmeros positivos, las deudas se anotaban como cantidades
negativas, las cuales se desvinculaban de lo concreto y de las
circunstancias que haban ocasionado su aparicin, con lo que se
estableca as una utilizacin general de las cantidades negativas.
Cualquier anotacin de deudas y de bienes slo se puede efectuar si
existe una situacin de equilibrio, una situacin en la que los
bienes compensan las deudas. Dicho de manera ms general: no puede
haber nmeros negativos sin la presencia del cero. Un milenio despus
de los matemticos indios, las cantidades negativas no haban podido
forzar las puertas del imperio de los nmeros en Occidente. Podemos
preguntarnos por qu los matemticos o los calculistas contables de
Europa occidental, que disponan del cero desde el siglo XIV, no
produjeron desde esta poca los nmeros negativos al igual que sus
homlogos indios. Sera necesario esperar hasta finales del siglo XV
para ver aparecer en Occidente entes numricos no positivos; entes
cuyas reglas de empleo se establecen las reglas de los signos, pero
cuya existencia como cantidades reales, es decir como nmeros, se
niega. Designados como numeri absurdi, durante mucho tiempo se
rechazar su consagracin: ser considerado como soluciones posibles
de una ecuacin. Para el propio Descartes, la raz de una ecuacin que
no era positiva se consideraba como una raz falsa. En cuanto a la
representacin grfica de una funcin, hubo que esperar hasta mediados
del siglo XVII para que el matemtico ingls John Wallis osara
atribuir coordenadas negativas a los puntos de una curva. Tomado
de: Guedj, D. (2011) El imperio de los nmeros. Blume, Barcelona. 2.
Proponer una actividad donde se introduzca la existencia de otros
tipos de nmeros diferentes a los conocidos. Por ejemplo, en el
planteo de operaciones como 6 11 o 11 40 se puede discutir las
razones para considerar que dicha operacin no tiene sentido y dejar
latente la inquietud de que el resultado de estas operaciones puede
ser representado por un nuevo tipo de nmero. 3. Algunos problemas
pueden ayudar en la conceptualizacin de nmero negativo; por
ejemplo: Ana compr un celular en 53 500 y un disco en 11 500. Al
llegar a la caja se da cuenta que lleva 60 000 para pagar. Es
suficiente la cantidad de dinero que posee Ana para pagar? Si no es
suficiente, cunto dinero le hara falta? Respuesta: no lleva dinero
suficiente, pues le hacen falta 5000. Luis se dirige a la pulpera
que se ubica a 100 m al Este de su casa. Luego visita a una ta que
se encuentra a 200 m al Sur de la pulpera. Si se toma como
referencia la casa de Luis, determine la direccin de la casa de la
ta. Respuesta: se ubica 100 m Oeste de la casa de Luis. 4. El
algoritmo de la divisin establece que si a, b son enteros positivos
entonces existen nicos q, r enteros positivos, tales que b = a q +
r con 0 r < a. A q se le llama cociente y a r se le llama
residuo. Por ejemplo, en la expresin 49 = 9 5 + 4, los valores 5 y
4 se pueden hallar realizando el procedimiento de divisin habitual
49 9. 5. Conviene utilizar la representacin de la suma y la resta
de nmeros enteros en la recta numrica para afianzar desde otra
perspectiva estos algoritmos. Por ejemplo: a. La operacin 5 + -6 se
puede representar 296
b. La operacin -6 -5 se puede representar donde el smbolo de
resta representa un cambio de direccin en el desplazamiento que
sugiere el segundo trmino. En este caso se desplaz hasta -6 y luego
no se sigui el desplazamiento hacia la izquierda (como lo sugerira
el nmero -5) sino que se movi en la direccin contraria. Octavo ao
1. En general, la introduccin de los nmeros racionales en 8 Ao
representa menos dificultades que la de los enteros negativos en 7
Ao. Esto se debe a que ya se han trabajado los nmeros
fraccionarios, aunque positivos, en la enseanza Primaria.
Introducir los racionales negativos no es ms que una ampliacin del
tipo de nmeros a los que se le puede asignar un valor negativo. 2.
Es conveniente plantear problemas que permitan resolver problemas a
travs del uso de las operaciones con nmeros racionales,
estableciendo conexiones con otras reas. Por ejemplo, este problema
conecta con el rea de Geometra. Un terreno cuadrangular de vrtices
A, B, C, D se muestra a continuacin: Si la quinta parte de dicho
terreno se dedicar a zonas verdes y tres octavos a una zona de
parqueo, qu extensin de terreno queda libre para otros usos? 3. Por
ejemplo, si se desea resolver la operacin al utilizar la
asociatividad y conmutatividad se puede resolver primero lo que
permite simplificar los clculos. 4. Un nfasis especial debe drsele
a las mltiples representaciones para los nmeros racionales. En este
sentido es importante proponer problemas que contengan informacin
numrica con mltiples representaciones. Noveno ao 1. Al comenzar el
estudio de los nmeros irracionales es apropiado probar que no es un
nmero racional. Es una demostracin sencilla que puede ser seguida
por las y los estudiantes y que repasa conocimientos de la teora de
nmeros. Para la demostracin de que raz cuadrada de 2 no es
racional, primero se repasa la descomposicin de los nmeros enteros
en nmeros primos. Se puede deducir que si 2 es un factor de un
nmero entero m, entonces m2 tiene 2 como factor un nmero par de
veces. Ahora: 2. Si fuera racional, entonces con m y n enteros.
Elevando al cuadrado: 2. Multiplicando por : 2. Por lo dicho
arriba, m2 tiene un nmero par de veces a 2 como factor (o no lo
tiene), mientras que 2n2 tiene un nmero impar de veces a 2 como
factor. Conclusin: no puede ser racional. 3. El trabajo con nmeros
irracionales puede permitir algunas demostraciones para activar el
proceso Razonar y argumentar. Por ejemplo, se puede replicar los
argumentos de la prueba de la irracionalidad de para probar que
tambin es irracional. La clave de la prueba est en el hecho de que
la igualdad 3 no se puede cumplir si m y n son enteros puesto que
en el lado derecho hay un nmero par (que puede ser cero) de
factores iguales a 3, mientras que en el lado izquierdo hay un
nmero impar de factores iguales a 3. 3. Con respecto a la
representacin en la recta numrica de un nmero irracional, se puede
utilizar la calculadora para determinar una aproximacin del nmero y
luego ubicarlo en la recta numrica. Luego de estudiar el teorema de
Pitgoras, se puede proponer como un problema en donde se tenga que
utilizar la regla y el comps para representar en la recta numrica
(esto permite conexin con Geometra), como se muestra en la
siguiente figura (el arco azul corta al eje en y el arco rojo en ).
4. En la Antigedad, los matemticos buscaban expresar cantidades
dadas como el cociente de dos nmeros naturales (Pitagricos), y ante
inconsistencias encontradas para casos particulares hubo que
desarrollar una nueva teora que involucraba la manipulacin de otros
tipos de nmeros. Se puede mencionar una breve historia de algunos
nmeros irracionales, como por ejemplo: a. La leyenda sobre Hipaso
de Metaponto (500 a.C.), quien se cree fue el primero en descubrir
la existencia de nmeros irracionales, al descubrir que no se poda
expresar la razn entre la diagonal y el lado de un cuadrado (la
cual corresponde al nmero denotado actualmente como 298
). Este hecho gener su expulsin de la Escuela Pitagrica y su
condena a muerte. b. Hubo numerosos intentos fallidos en la
Antigedad por expresar la razn entre la medida de la circunferencia
y su dimetro como una medida racional, hasta que en 1767 el
matemtico alemn Johann H. Lambert (1728 1777) determin la
irracionalidad del nmero . c. Un nmero irracional que aparece en la
naturaleza, en el arte y el diseo es el denominado nmero ureo, que
se representa con la letra griega (fi) en honor a Fidias (490-431
a.C.), escultor griego de la Antigedad, quien lo us en sus obras.
Indicaciones de evaluacin En cuanto al trabajo cotidiano es
importante evidenciar el progreso estudiantil al trabajar tpicos
relacionados con las operaciones con nmeros enteros, racionales e
irracionales, particularmente en lo concerniente a su
desenvolvimiento en la resolucin de problemas del entorno. Es
recomendable que las operaciones estn asociadas a problemas con un
contexto cercano a la realidad estudiantil, para as evaluar
diferentes niveles de complejidad (reproduccin, conexin y reflexin)
y no slo operaciones representadas simblicamente. Para el trabajo
extraclase, se pueden asignar tareas que permitan seguir activando
los procesos de Razonar y argumentar y Representar en temticas como
la resolucin de problemas por medio del uso de las operaciones
bsicas y los conceptos de teora de nmeros. Para algunas de las
habilidades que sugieren en sus indicaciones puntuales un abordaje
por medio del uso de la Historia de las Matemticas, se puede
elaborar una pequea investigacin cuyo alcance se defina
previamente. Por ejemplo, al estudiarse la criba de Eratstenes, se
puede proponer investigar su origen y recopilar otros aportes
realizados por este matemtico. Para este ciclo la evaluacin en el
rea de Nmeros, debe tener presentes las siguientes indicaciones. En
el clculo de operaciones con nmeros enteros, racionales y
radicales, las operaciones deben ser sencillas y con la cantidad de
parntesis que se establecen en las indicaciones. El nivel de las
operaciones debe ser coherente con lo trabajado en el aula. En este
ciclo se seguir evaluando la aplicacin de las operaciones en la
resolucin de proble-mas, generalizando a nmeros enteros, racionales
e irracionales en cualquiera de sus representaciones. La
calculadora es til en la simplificacin de clculos complejos o
extensos y no se debe usar pa-ra resolver ejercicios bsicos de
operaciones. Para evaluar el uso correcto de la calculadora se
puede realizar una seccin en el examen (un problema o varios) donde
el uso de este instrumento facilite su resolucin. En las pruebas
escritas es muy importante implementar tems que integren varias
habilidades. La mayora de conocimientos se pueden evaluar a un
nivel de reproduccin. Sin embargo, conocimientos alusivos a
resolucin de problemas donde se apliquen las operaciones con nmeros
enteros y racionales, Mximo Comn Divisor y Mnimo Comn Mltiplo, as
como la combinacin de operaciones con nmeros enteros y racionales
deben ser evaluados en la parte de desarrollo, utilizando tems con
un nivel de dificultad de conexin y reflexin. A continuacin algunos
ejemplos: Sin utilizar la calculadora, ordene de mayor a menor los
siguientes nmeros: 2,25,15,15 2, 15 2 En seguida se ofrece un
cuadro que muestra la extensin en km2 que tiene cada una de las
provincias de Costa Rica. Provincia Extensin (km2)
San Jos 4965,9
Alajuela 9757,5
Heredia 2657,9
Cartago 3124,6
Limn 9188,2
Guanacaste 10 140,7
Puntarenas 11 265,6
Con base en esa informacin, responda lo siguiente: a. Cul es la
razn entre la superficie de las provincias que tienen costas con
respecto a las que no las tienen? b. Cul es la razn entre la
superficie de las provincias que limitan con Nicaragua con respecto
a las que limitan con el Ocano Pacfico? Programas de Estudio de
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