Terminale STI2D - Exercices corrigés Marc Bizet sti2d/02/pdf/t-02-exercices... · Terminale STI2D - Exercices corrigés Marc Bizet - 6 - Lorsque le courant alternatif circule dans

Terminale STI2D - Exercices corrigés Marc Bizet

- 1 -

Suites - Limites - Exercices

Exercice 1

Déterminer la raison de :

a. la suite géométrique : 6 ; 3− ; 32

; 34

− ; …

b. la suite donnée par l’expression : 15 3nnu −= × .

Exercice 2

Déterminer :

a. le ème7 terme de la suite géométrique : ; ; ; ; ...2 6 18 54

b. le ème11 terme de la suite géométrique : ; ; ; ; ...1 1 1

12 4 8

− −

c. 3u sachant que ( )nu est une suite géométrique de premier terme 052

u =− et de raison 2− .

d. 8a pour la suite géométrique de termes positifs ( )na , sachant que ,1 3 5a = et ,3 171 5a = .

Exercice 3

Calculer en utilisant la formule adaptée : 5

1

3k

k=∑

Exercice 4

Calculer la somme des 8 premiers termes de la suite géométrique : ; ; ; ; ...5 15 45 135− −

Exercice 5

Le troisième terme d’une suite géométrique est 19

et le sixième terme est 3 . Déterminer le premier

terme.

Exercice 6

Une balle est jetée d’une hauteur de 8 m. Cette balle rebondit à 80 % de sa hauteur précédente à chaque rebond.

a. À quelle hauteur la balle rebondit-elle au ème2 rebond ? b. Quelle distance a-t-elle parcourue lorsqu’elle touche le sol pour la 10ème fois (arrondir au

cm, on pourra considérer la suite ( )nu qui correspond à l’aller-retour au ( )ème1n+

rebond) ? c. Grâce à un tableur, pouvez-vous estimer quelle distance totale cette balle aura effectué

lorsqu’elle aura cessé de rebondir ?


- 2 -

Exercice 7

Déterminer l’expression de chaque suite nu ci-dessous en fonction de n , sachant que les quatre

premiers termes sont donnés nu . Indiquer si elles ont une limite finie ou infinie.

a. ; ; ;1 1 1

12 3 4

b. ; , ; ; ,7 10 5 14 17 5

c. ; ; ;1 3 7 152 4 8 16

d. ; ; ;0 2 2 2 3 3+ + e. ; ; ;1 1 2 6 f. 0 ; 0 ; 2 ; 6

Les expressions attendues sont, dans le désordre :

① 12n

nu

n

+=+

② 0

1

1

n n

u

u n u −

= = ×

③ 1

1nun

=+

④ 7 3,5nu n= + ⑤ 2nu n n= − ⑥ nu n n= +

Exercice 8

a. Étudier avec la calculatrice la convergence de ces suites, c’est-à dire si elles semblent avoir une limite finie, infinie, ou si elles semblent ne pas avoir de limite. ( )n∈ℕ

22 1n

na

n

+=− 1n

nb

n=

+

11

2

n

nc = + −

1 si est pair

0 si est impairn

nd

n

=

( )( )

4 26 11 2 6n

n ne

n n

+ −=+ +

b. Prouver vos résultats.

Exercice 9

a. Étudier avec la calculatrice la convergence de ces suites, c’est-à dire si elles semblent avoir une limite finie, infinie, ou si elles semblent ne pas avoir de limite. ( )n∈ℕ

( )cosn

nf

n= ( )en radians, 1n n≥

( )1n

ngn

−= ( 1n≥ )

( ) 12 1

2 1

n

nhn

= × − −+

2

32

n

n ni =

( )( )( )

3 22 1 2 5 3 7n

nj

n n n

−=

+ − +

( )( )2 2 3n

n nk n

n

− −= − ( 1n≥ )

b. Prouver vos résultats.


- 3 -

Exercice 10

Partie 1

La suite 2 1

1n

na

n

+=+

est croissante et a pour limite 2 . Grâce à Algobox, ou un tableur de votre choix,

déterminer la valeur du rang N à partir duquel 2 na s− < ( s est un seuil) si :

a. 0,1s= . b. 0,01s= . c. 0,000 1s= .

Partie 2 En modifiant légèrement votre programme sous Algobox, ou votre feuille de travail de type tableur,

effectuer de même travail pour la suite 2

2

2 11n

nb

n

+=+

, croissante et ayant pour limite 2 .

Exercice 11

Calculer, grâce à la formule adaptée :

a. 5

0

2k

k

k

=

=∑

b. 8

0

12

kk

k

=

=

∑

c. 7

0

32

4

kk

k

=

=

× ∑

d. ( )6

0

2 3k k

k=

×∑

Exercice 12

La société “Hybrid cars, Inc.” produit des voitures à énergie hybride. La première année, cette société produit 80 000 voitures. Régulièrement, chaque année la production augmente du même pourcentage. La cinquième année, cette compagnie produit 155102 .

a. En utilisant votre calculatrice, ou un tableur, déterminer par tentatives successives le pourcentage d’augmentation annuel (prendre une initiative pour les éventuelles décimales) .

b. Combien de véhicules seront produits la ème8 année ?

Exercice 13

Soit la suite ( )nu de premier terme 0 2u = telle que : pour tout entier n∈ℕ 11

34n nu u+ = + .

a. Calculer 1u et 2u . b. La suite est-elle arithmétique ? Géométrique ? c. Soit ( )nv définie par : pour tout entier n∈ℕ , 4n nv u= − . Démontrer que la suite ( )nv est

une suite géométrique dont on donnera le premier terme et la raison. d. Donner nv en fonction de n et en déduire nu .

e. Déterminer lim nn

v→+∞

et en déduire lim nn

u→+∞

.

f. Déterminer un entier N avec la calculatrice tel que : pour tout entier n∈ℕ , 64 10nu −− < .


- 4 -

Exercice 14

La sono d’une discothèque émet un son dont l’intensité est de 120 décibels. La loi impose au propriétaire une isolation phonique pour protéger le voisinage. Une plaque d’isolation phonique absorbe 5 % de l’intensité du son. On appelle nI l’intensité du son après la pose de n plaques.

a. Quelle est l’intensité du son si on place une plaque ? Deux plaques ? b. Que peut-on dire de la suite ( )nI ?

c. Donner nI en fonction de n . d. Combien doit-on placer de plaques afin que l’intensité du son soit inférieure à 60 décibels ? (utiliser la calculatrice et son mode « table »)

Exercice 15

Au er1 janvier 2016, on place 5 000 €, à intérêts composés, au taux de 2 %.

Chaque année, le capital produit des intérêts qui s’ajoutent au capital acquis au er1 janvier 2016 n+ .

a. Démontrer que la suite ( )nC est une suite géométrique dont on donnera le premier terme

0C et la raison q .

b. Exprimer nC en fonction de n .

c. En déduire, à l’euro près, la somme dont on disposera le er1 janvier 2030. d. À partir de quelle année, le capital aura-t-il au moins doublé ? Utiliser sa calculatrice et le

mode « table ».

e. On décide de placer chaque er1 janvier, une somme de 5 000 € sur un compte, à intérêts

composés au taux de 2 %. Le premier versement est fait le er1 janvier 2016, et le dernier le er1 janvier 2030.

De quelle somme, à l’euro près, disposera-t-on le 2 janvier 2020 ?

Exercice 16

On considère la suite numérique ( )nu définie par :

0 8u = et pour tout entier naturel n , 1 0,4 3n nu u+ = + .

a. Calculer 1u , 2u et 3u . b. On utilise un tableur pour calculer les premiers termes de cette

suite. Quelle formule a-t-on pu saisir dans la case B3 de la feuille de calcul afin d’obtenir les premiers termes de cette suite en la recopiant par la suite jusqu’à la case B12 ? c. Que peut-on conjecturer sur la limite de la suite ( )nu ?

d. On considère l’algorithme suivant : Par rapport à la suite ( )nu , quelle est la

signification de l’entier N affiché ?

Variables : N entier naturel U réel Initialisation : Affecter à N la valeur 0 Affecter à U la valeur 8 Traitement : TANT QUE U 5 0,01− > Affecter à N la valeur N 1+ Affecter à U la valeur 0,4 U 3+ Fin TANT QUE Sortie : Afficher N


- 5 -

e. On considère la suite ( )nv définie pour tout entier naturel n , par 5n nv u= − . On admet que

la suite ( )nv est géométrique de premier terme 0 3v = et de raison 0,4 .

• Exprimer nv en fonction de n .

• Déterminer la limite de la suite ( )nv .

• Le résultat précédent permet-il de valider la conjecture faite à la question c. ?

Exercice 17

L’algorithme ci-dessous permet de calculer les termes successifs d’une suite que l’on appellera ( )nu .

a. Quelles valeurs affiche cet algorithme lorsque l’on saisit 1n= , puis 2n= et enfin 3n= ? b. On considère la suite ( )nu définie par 0 2u = et, pour tout entier naturel n , 1 1,5n nu u+ = .

Quelle est la nature de la suite ( )nu ? Préciser ses éléments caractéristiques.

c. Pour tout entier naturel n , donner l’expression du terme nu en fonction de n .

d. On considère ( )nS définie pour tout entier naturel n par :

0 1 20

...n

n k nk

S u u u u u=

= = + + + +∑

Calculer les valeurs des termes 0S , 1S et 2S .

e. Quelles modifications doit-on apporter à l’algorithme précédent afin qu’il affiche la valeur du terme nS pour n donné ?

Écrire ce nouvel algorithme. f. Calculer ce terme nS en fonction de l’entier n .

g. En déduire la limite de la suite ( )nS .

Exercice 18

Document : La plupart des lignes électriques font circuler du courant alternatif. Certaines font circuler du courant continu à très haute tension qui occasionne moins de pertes que le courant alternatif, notamment lorsque les lignes sont immergées, mais aussi lorsque les distances sont très importantes. En 2012, la plus longue liaison électrique à courant continu en service dans le monde relie la centrale hydro-électrique de Xiangjiaba à la ville de Shangai. Elle mesure environ 1 900 km ; sa puissance électrique initiale est de 6 400 MW ; le courant est transporté sous une tension de 800 kV.

Variables : n et i entiers naturels u réel Entrée : Saisir la valeur de l’entier n Initialisation : Affecter 2 à la variable u Traitement : Pour i variant de 1 à n Affecter 1,5u à u Fin de Pour Sortie : Afficher u


- 6 -

Lorsque le courant alternatif circule dans le câble, une partie de la puissance électrique est perdue. On estime les pertes de puissance électrique d’un courant continu à très haute tension à 0,3 % pour une distance de100 kilomètres. Partie A : On note 0 6 400p = . Pour tout nombre entier naturel non nul n , on note np la puissance électrique restant dans la ligne Xiangjiaba-Shangai au bout d’une distance de n centaines de kilomètres. Ainsi

1p est la puissance restant dans la ligne au bout de 100 km.

a. Montrer que 1 00,997p p= . b. Quelle est la puissance électrique au MW près par défaut restant dans la ligne Xiangjiaba-

Shangai au bout de 200 km ? c. Déterminer la nature de la suite ( )np puis exprimer np en fonction de n .

Partie B : On considère l’algorithme ci-dessous :

a. On entre dans l’algorithme la valeur 3n= . Faire fonctionner cet algorithme pour compléter les cases non grisées du tableau suivant (on donnera des valeurs arrondies à l’unité près par défaut) :

n q p

Entrées et initialisation 3 0,997 6 400 er1 passage dans la boucle de l’algorithme

nd2 passage dans la boucle de l’algorithme

ème3 passage dans la boucle de l’algorithme

b. Interpréter la valeur de p obtenue au troisième passage dans la boucle de l’algorithme. c. Quel est le pourcentage de perte de puissance électrique en ligne au bout de

300 km (arrondir au dixième) ? Partie C :

a. Quelle est la puissance électrique à l’arrivée de la ligne Xiangjiaba-Shangai ? b. D’autres lignes électriques à très haute tension, en courant continu, sont en cours d’étude.

On souhaite limiter la perte de puissance électrique à 7 % sur ces lignes. La ligne Xiangjiaba-Shangai répond-t-elle à cette contrainte ?

c. Déterminer, à cent kilomètres près, la longueur maximale d’une ligne à très haute tension en courant continu pour laquelle la perte de puissance reste inférieure à 7 %.

Variables : n , i entiers naturels q , p réels Entrée : Saisir la valeur de l’entier n Initialisation : Affecter 6 400 à la variable p Affecter 0,997 à la variable q

Traitement : Pour i variant de 1 à n Affecter p q× à p Fin de Pour Sortie : Afficher p


- 7 -

Exercice 19

La suite ( )nu est définie pour tout entier naturel n par :

1 0,4 3n nu u+ = + et 0 1u =− .

Partie A :

a. À l’aide d’un tableur, on a calculé les 11 premières valeurs de nu . On obtient les résultats suivants :

Parmi les quatre formules ci-dessous, laquelle a-t-on saisie dans la cellule C2 pour obtenir par copie vers la droite les valeurs affichées dans les cellules D2 à L2 ?

① 0,4 3n= + ② $B$2 0,4 3= ∗ + ③ B2 0,4 3= ∗ + ④ 0,4 ^C1 3= +

b. Quelle conjecture peut-on faire sur la limite de la suite ( )nu ?

c. On considère l’algorithme suivant : À l’aide du tableau de la question a., donner la valeur affichée par cet algorithme lorsque 2p= , puis 3p= . Partie B :

On étudie maintenant la suite ( )nv définie pour tout entier naturel n par : ( )6 0,4 nnv = × .

a. Donner la nature de la suite ( )nv et ses éléments caractéristiques.

b. Déterminer la limite de ( )nv quand n tend vers +∞ .

c. On admet que pour tout entier naturel n : 5n nu v= − . Déterminer la limite de ( )nu .

d. Déterminer en fonction de n la somme 0 1 ... nv v v+ + + .

e. Déterminer en fonction de n la somme 0 1 ... nu u u+ + + .

Variables : n , p entiers naturels u réels Entrée : Saisir la valeur de l’entier p Initialisation : Affecter 0 à la variable n Affecter 1− à la variable u

Traitement : Tant que 5 10 pu −− >

Affecter la valeur 1n+ à n Affecter la valeur 0,4 3u+ à u Fin tant que Sortie : Afficher n


- 8 -

Suites - Limites - Exercices corrigés Exercice 1 - correction

a. Il s’agit de la suite géométrique de premier terme 6 et de raison 3 1

6 2−=− .

b. Il s’agit de la suite géométrique de premier terme 0 10

55 3

3u −= × = et de raison

( )1 1

1 1 111 1

5 3 33 3 3 3

5 3 3

n nn n n nn

n nn

u

u

+ −− − − ++

− −

×= = = = = =×

.

Exercice 2 - correction

a. Il s’agit d’une suite géométrique de premier terme 0 2u = , de raison 6

32

q= = .

Donc 0 2 3n nnu u q= × = × .

En particulier 77 2 3 4 374u = × = .

b. Il s’agit d’une suite géométrique de premier terme 0 1u = , de raison

112

1 2

−=− .

Donc 01 1

12 2

n nn

nu u q = × = × − = −

. 11

111 1

0,000488281252 2 048

u = − =− =−

.

c. ( )05

22

nnnu u q= × =− × − et ( )

33

52 20

2u =− × − = .

d. Il s’agit d’une suite de raison q , avec 23 2 1 1a q a q q a q a= × = × × = × .

Nous résolvons : 2 2171,5 3,5 49 7q q q= × ⇔ = ⇔ = . La valeur 7q=− est exclue car les termes sont positifs d’après l’énoncé.

Ainsi : 10

3,5 17 2

aa

q= = = .

01

72

n nna a q= × = × et 8

81

7 2 882 400,52

a = × = .


551

1

1 33 3 363

1 3k

k=

−= × =

−∑


Il s’agit de la suite géométrique ( )nu de premier terme 0 5u =− et de raison 15

35

q= =−−

.

Donc : ( )0 5 3 nnnu u q= × =− × − .

Attention : la somme des 8 premiers termes est la somme des termes d’indices 0 à 7 .

( )

( )

87

0

1 35 8 200

1 3kk

u=

− −=− × =

− −∑ .


- 9 -


Le troisième terme de la suite ( )nu considérée, qui a pour premier terme 0u , est le terme 219

u = .

Le sixième terme est 5 3u = . La raison de cette suite géométrique est notée q .

Or 2 35 4 3 2u q u q u q u= × = × = × .

Ainsi : 3 31 33 27

199

q q= × ⇔ = = .

Le nombre qui, au cube, vaut 27 , est facile à déterminer : 33 27= . Donc 3q= .

20 2 2

119

813

uu

q= = = est le nombre cherché.


- 10 -


a. La balle descend de 8 m initialement, puis rebondit à une hauteur de 80

8 6,4100× = m.

Elle redescend de 6,4 m, puis rebondit à une hauteur de 80

6,4 6,4 0,8 5,12100× = × = m.

La balle rebondit donc à la hauteur de 5,12 m au nd2 rebond.

b. En considérant que la suite ( )nu correspondant à l’aller-retour de la balle au ( )ème1n+

rebond a pour premier terme 0 6,4 2 12,8u = × = , (car il correspond au ( )ème0 1+ donc au

er1 rebond), qu’il s’agit d’une suite géométrique de raison 0,8q= , on obtient :

0 12,8 0,8n nnu u q= × = × qui correspond à la distance aller-retour au ( )

ème1n+ rebond.

Lorsque la balle touche le sol pour la 10ème fois, elle a parcouru :

�sol touché 1 fois

8 + 0 1 8

le sol est touché 9 fois

...u u u+ + +��

La distance cherchée est : 98

0

1 0,88 8 12,8 63,41

1 0,8kk

u=

−+ = + × ≈

−∑ m.

c. Tableur :

Grâce au tableur, nous émettons la conjecture que la balle a parcouru 72 m lorsqu’elle a cessé de rebondir.


- 11 -


a. Il s’agit de la suite ③ 1

1nun

=+

, cette suite est telle que 1

0 nun

< < avec 1

lim 0n n→+∞

=

donc cette suite ( )nu a pour limite 0.

Avec un tableur, ou la calculatrice :

b. Il s’agit de la suite ④ 7 3,5nu n= + , cette suite est une suite arithmétique de raison 3,5r = positive, elle a pour limite +∞ .


c. Il s’agit de la suite ① 12n

nu

n

+=+

.

Un peu de technique : 2 1 2 1 1

12 2 2 2n

n nu

n n n n

+ − += = − = −

+ + + +. Or la suite

12nv

n=+

a

pour limite 0 , donc la suite ( )nu a pour limite 1 0 1− = .


d. Il s’agit de la suite ⑥ nu n n= + . Comme limn

n→+∞

=+∞ , lim nn

u→+∞

=+∞ .


e. Il s’agit de la suite ② 0

1

1

n n

u

u n u −

= = ×

.

Utilisons le tableur pour évaluer leur limite (ce ne sera qu’une conjecture) :

Nous conjecturons que lim n

nu

→+∞=+∞ .

f. Il s’agit de la suite ⑤ 2nu n n= − .

Un peu de technique : ( )1nu n n= − , or limn

n→+∞

=+∞ et ( )lim 1n

n→+∞

− =+∞ donc

lim nn

u→+∞

=+∞ .



- 12 -


22 1nn

an

+=

−

conjecture : lim 0,5n

na

→+∞=

1nn

bn

=+

conjecture : lim 1n

nb

→+∞=

11

2

n

nc = + −

conjecture : lim 1n

nc

→+∞=

1 si est pair

0 si est impairn

nd

n

=

Pas de calculatrice ici, la suite alterne entre les valeurs 0 et 1 , elle n’a

pas de limite finie ou infinie.

( )( )

4 26 11 2 6n

n ne

n n

+ −=+ +

conjecture : lim n

ne

→+∞=+∞


- 13 -

Justifications :

→

2 21 12112 1 22

n

nn n nan

nnn

× + + += = =

− −× −

(on considère 0n≠ puisque l’on cherche à déterminer la

limite lorsque n→+∞ ).

Comme 2 1

lim lim 0n nn n→+∞ →+∞

= = ,

1lim 0,5

2nn

a→+∞

= = .

→ 1

111 11n

n nb

nn

nn

= = = + +× +

Comme 1

lim 0n n→+∞

= , lim 1n

nb

→+∞= .

→ 1

lim 02

n

n→+∞

− = car

11 1

2− <− < , donc lim 1n

nc

→+∞= .

→ Nous avons déjà justifié que nd ne possède pas de limite.

→

4 24 2 2 4 2 4

22

22

6 1 6 11 1

6 18 68 62 8 6 22

n

n nn n n n n nen n n

nn nn

+ − + − + −= = =

+ + + ++ +

.

2 4

6 1 8lim lim lim 0

n n n nn n→+∞ →+∞ →+∞

= = = donc

2 4

2

6 11

1lim

8 6 22n

n n

n n

→+∞

+ − = + +

.

Comme 2limn

n→+∞

=+∞ , lim nn

e→+∞

=+∞


( )cosn

nf

n=

( )en radians, 1n n≥

conjecture : lim 0n

nf

→+∞=

( )1n

ngn

−=

( 1n≥ )

conjecture : lim 0n

ng

→+∞=


- 14 -

( )1

2 12 1

nnh

n= × − −

+

La suite alterne et semble approcher les valeurs 2 et 2− , elle n’a pas de limite finie ou infinie.

2

3

2

n

n ni =

conjecture : lim 0n

ni

→+∞=

( )( )( )

3 22 1 2 5 3 7n

nj

n n n

−=

+ − +

conjecture : lim 0,832 6nn

j→+∞

=

( )( )2 2 3n

n nk n

n

− −= −

( 1n≥ )

conjecture : lim n

nk

→+∞=+∞

Justifications :

→ Comme, quel que soit n , ( )1 cos 1n− ≤ ≤ , donc ( )cos1 1n

n n n− ≤ ≤ .

Or 1

lim 0n n→+∞

= donc nf est comprise entre deux suites qui ont pour limite 0 . On appelle

cette situation le théorème des « gendarmes », el lim 0nn

f→+∞

= .


- 15 -

→ De même, quelque soit n , ( )1 1 1n− ≤ − ≤ , donc

( )11 1n

n n n

−− ≤ ≤ .

ng est donc comprise entre deux suites qui ont pour limite 0 . lim 0nn

g→+∞

= .

→ 1

lim 02 1n n→+∞

= + et ( )2 1 n× − oscille entre deux valeurs, alternativement 2 et 2− selon

la parité de n . Donc nh n’a pas de limite, et tend alternativement vers 2 ou 2− .

→ ( )

2 2

3 3 342 2

nn n

n n ni

= = = . Comme

30 1

4< < , lim 0n

ni

→+∞= .

→ ( )( )( )

33 3

21

21 5 72 1 2 5 3 7 2 1 2 3

n

nn nj

n n nn n n

n n n

− −= =

+ − + + × − × +

33 3

3

2 21 1

1 5 7 1 5 72 1 2 3 2 1 2 3

nn n

nn n n n n n

− − = =

+ × − × + × + × − × +

Comme 3

2 1 5 7lim lim lim lim 0

n n n nn n nn→+∞ →+∞ →+∞ →+∞

= = = = ,

1 1

lim 0,0832 1 2 3 12n

nj

→+∞= = ≈× × ×

.

→ ( )( ) 2 22 2 2

5 612 3 5 6

1nn n n n n nk n n n

n n n

− + − − − + = − = − = × −

.

2

5 6lim lim 0

n nn n→+∞ →+∞

= = donc

2

5 6lim 1 1

n n n→+∞

− + = et

25 6

1lim 0

n

n nn→+∞

− + =

.

Ainsi, comme 2limn

n→+∞

=+∞ , lim nn

k→+∞

=+∞


Partie 1 a. Rang 9N= . b. Rang 99N= . c. Rang 9 999N= .

Remarque : cette suite est assez simple pour que l’on se « passe » du tableur ou d’Algobox :

( ) ( )

2 1 2 12 0,1 2 0,1 2 0,1

1 11,9 1 2 1 car 1 0

0,91,9 1,9 2 1 0,9 0,1 9

0,1

nn n

an n

n n n

n n n n n

+ +− ≤ ⇔ − ≤ ⇔ − ≤

+ +

⇔ × + ≤ + + >

⇔ + ≤ + ⇔ ≤ ⇔ ≤ ⇔ ≤


- 16 -

Partie 2 a. Rang 3N= . b. Rang 10N= . c. Rang 100N= .

Remarque : cette suite est assez simple pour que l’on se « passe » du tableur ou d’Algobox :

( ) ( )

2 2

2 2

2 2 2

2 2

2

2

2

2 1 2 12 0,1 2 0,1 2 0,1

1 1

1,9 1 2 1 car 1 0

1,9 1,9 2 1

0,9 0,1

0,90,1

9

3

nn n

an n

n n n

n n

n

n

n

n

+ +− ≤ ⇔ − ≤ ⇔ − ≤

+ +

⇔ × + ≤ + + >

⇔ + ≤ +

⇔ ≤

⇔ ≤

⇔ ≤

⇔ ≤


a. 65

0

0

1 22 2 63

1 2

kk

k

=

=

−= × =

−∑ .

b.

9

08

0

11

1 1 51121,996 093 75

12 2 25612

kk

k

=

=

− = × = = −

∑ .

c.

8

07 7

0 0

31

58 9753 3 3 42 2 2 3,599 548 339 843 75

34 4 4 16 38414

k kk

k k

=

= =

− × = × = × × = = −∑ ∑ .

d. ( ) ( )76 6 6

0

0 0 0

1 62 3 2 3 6 6 55 987

1 6kk k k

k k k= = =

−× = × = = × =

−∑ ∑ ∑ .


a. En utilisant le menu « Table », et en saisissant 1Y 80 000 1.01^ X= × , on obtient une augmentation de 18 % chaque année (la lecture doit se faire au rang 4 , qui correspond à la

ème5 année, puisque le rang 0 correspond aux 80 000 véhicules produits la ère1 année).

b. La ème8 année, lue au rang 7 de la calculatrice, nous donne une production de 254 838 véhicules.


- 17 -


a. 1 01 1 7

3 2 34 4 2

u u= + = × + = .

2 11 1 7 31

3 34 4 2 8

u u= + = × + = .

b. 1 07 3

22 2

u u− = − = et 2 131 7 38 2 8

u u− = − = .

Comme 1 0 2 1u u u u− ≠ − , la suite ( )nu n’est pas arithmétique.

1

0

772

2 4u

u= = et 2

1

31318

7 282

u

u= = .

Comme 1 2

0 1

u u

u u≠ , la suite ( )nu n’est pas géométrique.

c. 1 11 1

4 3 4 14 4n n n nv u u u+ += − = + − = − .

4n nv u= − .

Ainsi ( )

1

1 11 4 14 4

4 4 4

n nn

n n n

u uv

v u u+

− −= = =

− − (on suppose que 4nu ≠ pour tout entier n ).

( )nv est donc une suite géométrique de raison 14

q=

et de premier terme 0 0 4 2 4 2v u= − = − =−

d. 01

24

nn

nv v q = × =− ×

.

e. Comme 1

0 14< < ,

1lim 0

4

n

n→+∞

= donc lim 0n

nv

→+∞= .

Comme 4 4n n n nv u u v= − ⇔ = + , lim 4nn

u→+∞

= .

Remarquons que 1

4 4 24

n

n nu v = + = − ×

.

f. 1 1 1

4 4 2 4 2 24 4 4

n n n

nu − = − × − = − × = ×

.

On utilise le mode « Table » de la calculatrice, et l’on saisit ( )1Y 2 1 4 ^ X= × ÷ .

Par lecture de calculatrice, en cherchant la valeur 610− , on détermine qu’à partir du ème11

rang, les valeurs de la colonne 1Y sont toutes inférieures à 610− . On détermine 11N= .


- 18 -


a. La perte de 5 % s’apparente à la multiplication par 0,95 de l’intensité sonore. Si l’on place une plaque, l’intensité sonore devient 120 0,95 114× = décibels. Si l’on place deux plaques, l’intensité sonore devient 114 0,95 108,3× = décibels.

b. On définit donc ( )nI comme une suite géométrique de premier terme 0 120I = , et de raison

0,95q= .

c. 0 120 0,95n nnI I q= × = × .

d. On utilise le mode « Table » de la calculatrice, et l’on saisit 1Y 120 0.95^ X= × .

Par lecture de calculatrice, en cherchant la valeur 60 , on détermine qu’à partir du ème11 rang, les valeurs de la colonne 1Y sont toutes inférieures à 60 . On a 13 60I > et 14 60I < . Il faut donc placer 14 plaques.


a. Chaque élément 1nC + de la suite s’obtient en multipliant le terme précédent, nC , par 1,02 .

( )nC est donc une suite géométrique de raison 1,02q= et de premier terme 0 5 000C = .

b. 0 5 000 1,02n nnC C q= × = × .

c. 2030 2016 14− = , on cherche 1414 5 000 1,02 6 597C = × ≈ €.

d. On utilise le mode « Table » de la calculatrice, et l’on saisit 1Y 5000 1.02^ X= × .

Par lecture de calculatrice, en cherchant la valeur 10 000 , on détermine qu’à partir du ème36

rang, les valeurs de la colonne 1Y sont toutes supérieures à 10 000 . On a 35 10 000C < et

36 10 000C > . Il faut donc attendre 36 années, la somme placée aura doublé en 2016 36 2052+ = .

e. La somme de 5 000 € placée en 2016 a été fructifiée 4 ans et correspond donc à 4C , la

somme de 5 000 € placée en 2017, a été fructifiée 3 ans et correspond à 3C . Finalement, la somme dont on dispose le 2 janvier 2020, correspond à :

4 3 2 1 0 26 020,20C C C C C+ + + + ≃ €.


- 19 -


a. 1 00,4 3 0,4 8 3 6,2u u= × + = × + = .

2 10,4 3 0,4 6,2 3 5,48u u= × + = × + = .

3 20,4 3 0,4 5,48 3 5,192u u= × + = × + = . b. La formule saisie est : 0.4 B2 3= ∗ + c. On peut conjecturer que la suite ( )nu est décroissante et a pour limite 5.

d. Cet entier N est le rang à partir duquel pour tout Nn≥ , 5 0,01nu− ≤ , autrement dit , dès

que Nn≥ , nu est à moins de 0,01 de la valeur 5.

e. 0 3 0,4n nnv v q= × = ×

Comme 0 0,4 1< < , ( )lim 0,4 0n

n→+∞= et lim 0n

nv

→+∞= .

5 5n n n nv u u v= − ⇔ = + donc lim 5nn

u→+∞

= . La conjecture du c. est validée.


a. Représentons les résultats dans un tableau :

b. ( )nu est la suite géométrique de raison 1,5q= et de premier terme 0 2u = .

c. 0 2 1,5n nnu u q= × = × .

d. 0 0 2S u= = .

1 0 1 3 4,5 7,5S u u= + = + = .

2 0 1 2 3 4,5 6,75 14,25S u u u= + + = + + = . e. L’algorithme peut se présenter ainsi (modifications en rouge):

f. ( )01 1 1,5 1 1,5

2 2 4 1 1,51 1 1,5 0,5

n n nn

nq

S uq

− − −= × = × = × =− × −

− − −.

g. Comme 1,5 1> , ( )lim 1,5 n

n→+∞=+∞ donc ( )lim 1 1,5n

n→+∞− =−∞

et ( )( )lim 4 1 1,5 limnn

n nS

→+∞ →+∞− × − = =+∞ .

Valeur initiale 2u=

Valeur de n : 1 2 3

1i= 3u= 3u= 3u=

2i= 4,5u= 4,5u=

3i= 6,75u=

Variables : n et i entiers naturels u , S réels Entrée : Saisir la valeur de l’entier n Initialisation : Affecter 2 à la variable u Affecter 0 à la variable S Traitement : Pour i variant de 1 à n Affecter 1,5u à u Affecter S u+ à S Fin de Pour Sortie : Afficher S


- 20 -


Partie A a. Une perte de 0,3 % sur la quantité 0p signifie qu’il n’en reste plus que 99,7 %.

Donc 1 0 099,7

0,997100

p p p= × = .

b. La puissance obtenue au bout de 200 km correspond à la valeur de 2p .

22 0,997 6 400 6 362p = × ≈ MW.

c. ( )np est la suite géométrique de raison 0,997q= et de premier terme 0 6 400p = .

6 400 0,997nnp = × .

Partie B

a. Tableau : n q p

Entrées et initialisation 3 0,997 6 400 er1 passage dans la boucle de l’algorithme 6 380

nd2 passage dans la boucle de l’algorithme 6 361

ème3 passage dans la boucle de l’algorithme 6 342

b. Il s’agit de la puissance obtenue au bout de 300 km , donc 3p .

c. 6 342

100 99,16 400

× ≈ et 100 99,1 0,9− = .

La perte de puissance est de 0,9 % au bout de 300 km. Partie C

a. 6 400 64 100= × , il faut donc calculer 6464 6 400 0,997 5280p = × ≈ MW.

b. 5280

100 82,56 400

× = et 100 82,5 17,5− = . La perte sur l’ensemble du parcours Xiangjiaba-

Shangai est de 17,5 % environ (la valeur 5280 est une valeur approchée). Cette ligne ne répond pas à la contrainte de perte maximale de 7 %.

c. 7

6 400 448100× = et 6 400 448 5 952− = .

On utilise le mode « Table » de la calculatrice, et l’on saisit 1Y 6400 0.997^X= × .

Par lecture de calculatrice, en cherchant la valeur 5 952 , on détermine qu’à partir du ème25

rang, les valeurs de la colonne 1Y sont toutes inférieures à 5 952 . On doit donc s’arrêter au

ème24 rang, donc au bout de 24 100 2 400× = km.


- 21 -


Partie A a. ③ B2 0,4 3= ∗ +

b. On conjecture que la suite ( )nu a pour limite 5 .

c. Cet algorithme permet de déterminer à partir de quel rang la suite ( )nu est proche de moins

de 10 p− de 5 , avec p saisi par l’utilisateur.

En considérant le tableau, avec 2p= , 10 0,01p− = , le rang est 7 car 75 0,01u− < tandis

que 65 0,01u− > .

Le même raisonnement nous donne un rang 10 pour 3p= donc 310 0,001− = .

Partie B

a. ( )nv est la suite géométrique de raison 0,4q= et de premier terme 00 6 0,4 6v = × = .

b. Comme 0 0,4 1< < , la suite ( )0,4 n a pour limite 0 , la suite ( )nv également.

c. lim 5nn

u→+∞

= .

d. ( )1 1

10 1 0

1 1 0,4... 6 10 1 0,4

1 1 0,4

n nn

nq

v v v vq

+ ++− −

+ + + = × = × = × −− −

e. ( ) ( ) ( )0 1 0 1... 5 5 ... 5n nu u u v v v+ + + = − + − + + −

( )

0 1termes

1

5 5 ... 5 ...

5 10 1 0,4

nn

n

v v v

n +

= + + + − − − −

= − × −

��

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