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Teorıa de colisiones en presencia
de potenciales de largo alcance
Autor: Juan Fiol
Director: R. O. Barrachina
Diciembre de 1996
Indice General
Indice iii
Introduccion 1
1 Teorıa de colisiones 5
1.1 Definicion de la seccion eficaz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.1 Seccion eficaz clasica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.2 Seccion eficaz cuantica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2 Teorıa standard de colisiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3 Calculo del elemento de matriz del operador de scattering . . . . . . . 12
1.4 Condicion asintotica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2 Dispersion de Rutherford 17
2.1 Operador de Møller Coulombiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2 Relacion de entremezclado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.3 Estados estacionarios de dispersion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.4 Representacion de impulsos de los estados ... . . . . . . . . . . . . . . 21
2.5 Interpretacion de los estados asintoticos coulombianos . . . . . . . . . 24
2.6 Reconstruccion de la teorıa ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.7 Aplicaciones: Dispersion de Rutherford . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
i
INDICE GENERAL ii
2.8 Formula de Gell-mann - Goldberger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3 Metodos de regularizacion del problema de colision de Rutherford 29
3.1 Lımite on - shell de la matriz de transicion coulombiana . . . . . . . 29
3.2 Matriz de transicion Coulombiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.3 Desarrollo de Born . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.4 Estados coulombianos del continuo fuera de la capa de energıa . . . . 36
4 Interpretacion clasica del estado coulombiano del continuo off-shell 39
4.1 Formalismo estacionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.2 Problema clasico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.3 Lımite clasico de Ψ+k,δE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.4 Discusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
5 Potencial coulombiano cortado 53
5.1 Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
Tratamiento clasico
5.2 Seccion eficaz de dispersion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
5.3 Resolucion en espacio de coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5.4 Resolucion en espacio de impulsos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.5 Aproximacion al potencial coulombiano . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
5.6 Comportamiento de esfera rıgida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
5.7 Trayectorias de retrodispersion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
5.8 Efecto Ping-Pong . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
Tratamiento cuantico
5.9 Desarrollo en ondas parciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
5.10 Soluciones radiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
INDICE GENERAL iii
5.11 Resonancias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
5.12 Lımite clasico, casos particulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
Conclusiones 94
Apendices 96
A Validez de la definicion de seccion eficaz diferencial 96
B Operadores de Green 98
C Estados estacionarios de dispersion 100
D Comportamiento asintotico de partıcula libre 102
E Estado coulombiano del continuo en representacion de impulso 104
F Demostracion del teorema de van Haeringen 107
G Matriz de transicion coulombiana parcialmente sobre la capa de e-
nergıa 111
H Distribucion estacionaria clasica 113
I Funciones especiales 118
I.1 Funcion de Kummer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
I.2 Funciones de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
i
Introduccion
El estudio de cualquier proceso de colisiones atomicas involucra la presencia de in-
teracciones coulombianas, ya sea en la evolucion asintotica del sistema o a traves de
estados intermedios virtuales en procesos de intercambio de carga. A pesar de ello,
la teorıa usual de colisiones no puede aplicarse a este tipo de problemas debido al
largo alcance de las interacciones coulombianas. De hecho, el potencial coulombiano
decae demasiado lentamente con la distancia para que -asintoticamente- los fragmen-
tos intervinientes en la colision evolucionen libremente unos de otros (Dollard 1964);
postulado basico de la teorıa formal de scattering.
Incluso el ejemplo mas simple de dispersion por un potencial de largo alcance -la
colision elastica de dos partıculas cargadas- presenta una situacion paradojica. Por
un lado este es uno de los pocos problemas en mecanica cuantica cuya ecuacion de
Schrodinger puede resolverse exactamente. A partir del comportamiento asintotico
del estado estacionario puede despejarse la amplitud de scattering en forma analıtica.
No obstante, en dicho caso esta misma amplitud no puede derivarse mediante los
metodos usuales de la teorıa formal de colisiones.
A primera vista, este puede parecer un problema exclusivamente academico ya
que, siendo conocida su solucion exacta, no parece necesario desarrollar una teorıa
de scattering que lo incluya. Sin embargo, cualquier proceso de colision inelastica
que involucre interacciones de largo alcance, o incluso el caso mas simple de disper-
sion elastica por un potencial asintoticamente coulombiano, no puede ser resuelto
analıticamene. En consecuencia, resulta imprescindible construir una teorıa formal
de colisiones que -incorporando una condicion asintotica mas debil que incluya este
tipo de interacciones- permita desarrollar metodos perturbativos de resolucion.
Desde que en 1964 Dollard mostro como reformular la teorıa de colisiones de-
1
INTRODUCCION 2
pendiente del tiempo para incluir interacciones asintoticamente coulombianas (ver
Dollard 1964, 1968 y 1970), numerosas propuestas se han presentado para modificar
y extender la descripcion estacionaria usual del proceso de dispersion.
En una descripcion dependiente del tiempo, pueden incluirse las interacciones
de largo alcance redefiniendo los operadores usuales de Møller mediante un factor
de “anomalıa” o “renormalizacion”. Este factor incluye una fase logarıtmicamente
divergente que cancela los efectos asintoticos del potencial. En un formalismo de
paquetes de onda, estas fases divergentes pueden ser eliminadas tomando un intervalo
finito de tiempo de colision (Dettmann 1971). En esta descripcion, el lımite de tiempo
infinito se posterga hasta despues de calcular la probabilidad de transicion de interes.
La traslacion de estas ideas a una descripcion estacionaria es un problema mucho
mas complejo. De hecho aun hoy no hay un acuerdo sobre cual es el metodo mas ade-
cuado para realizar esta extension. En el caso de las colisiones multicanales, podemos
distinguir dos lıneas de desarrollo para la resolucion de este problema. En una de ellas
(Belkic et. al. 1979) se plantea la necesidad de mantener las correctas condiciones de
contorno, a traves de una fase logarıtmica que distorsiona los estados asintoticos en
representacion de coordenadas. Este metodo, generalmente denominado Continuum
Distorted Wave, generaliza una propuesta realizada por Mulherin y Zinnes (1970)
para la colision de Rutherford y ha sido aplicado con exito a distintos problemas de
intercambio de carga (Crothers y Dube 1993) e ionizacion (Fainstein et. al. 1991).
Uno de los principales argumentos en contra de este metodo es que al distorsionar
los estados asintoticos se introduce un potencial U(r) sin significado fısico que de-
pende del impulso de la partıcula. En consecuencia los desarrollos perturbativos que
se derivan a partir de este metodo, representan series en potencias de un potencial
ficticio.
Otra propuesta (Macek 1988) consiste en realizar un apartamiento en la conser-
vacion de la energıa, incorporando factores de distorsion que tengan en cuenta las
conocidas dificultades de la matriz de transicion sobre la capa de energıa (Schwin-
ger 1964). Este metodo, sin embargo, presenta algunas dificultades conceptuales
que han sembrado dudas sobre su validez (Crothers y Dube 1993). Esto se debe
a que, en principio, no pasa de ser una generalizacion no fundamentada de una
tecnica propuesta por Roberts para el caso particular de la colision de Rutherford
INTRODUCCION 3
(Roberts 1985). Ambas propuestas estan inspiradas a su vez en una formulacion
desarrollada por van Haeringen en 1976 que permite generalizar en forma riguro-
sa la teorıa monocanal de colisiones para incluir potenciales de largo alcance. En
esta formulacion van Haeringen introduce tambien estados asintoticos modificados,
pero en una forma tal que evita el uso de potenciales de distorsion (ver tambien
Prugovecki 1971, 1973, Zorbas 1974, 1976, 1977). Estos estados asintoticos incor-
poran factores que cancelan exactamente los cortes ramales que presenta la matriz
de transicion off-shell sobre las capas de energıa inicial y final. Si bien esta idea no
era nueva (Schwinger 1964, Okubo y Feldman 1960, Mapleton 1961, Hostler 1964a),
la importancia de este trabajo radica en que muestra como regularizar la matriz de
transicion off-shell en una manera rigurosa y consistente, desarrollando una teorıa
tipo Lippmann-Schwinger para el potencial coulombiano.
En los ultimos anos se han generado muy fuertes disputas sobre las ventajas y des-
ventajas de ambas formulaciones (Taulbjerg 1990, Salin 1991, Macek 1992, Dewangan
1992, Mukherjee et al 1992), principalmente en relacion a desarrollos perturbativos
del tipo de Born para la amplitud de scattering (Barrachina y Macek 1989a). Sin
embargo, puesto que el metodo de Mulherin y Zinnes puede deducirse rigurosamente
a partir de la teorıa de van Haeringen como una formulacion de onda distorsionada
(Barrachina y Macek 1989), es razonable suponer que sus respectivas generalizaciones
al caso multicanal, lejos de excluirse mutuamente, sean complementarias y permitan
estudiar un mismo problema de colision desde distintos puntos de vista. Sin embargo,
mientras que la motivacion del metodo de onda distorsionada del continuo es clara,
la tecnica de regularizacion de la matriz de transicion a traves de un apartamiento
de la capa de energıa involucra una gran dificultad conceptual.
La finalidad de este trabajo es dar un marco conceptual claro y una interpretacion
intuitiva de este ultimo metodo de regularizacion.
En el primer capıtulo exponemos sucintamente los fundamentos de la teorıa usual
de colisiones y realizamos el desarrollo necesario para arribar a la seccion eficaz di-
ferencial. El lector familiarizado con estos temas puede obviar este capıtulo que
principalmente ha sido incluido para su posterior generalizacion al problema cou-
lombiano. En el segundo capıtulo mostramos como -en base a una forma mas debil
de la condicion asintotica- puede modificarse la teorıa formal para que incorpore la
INTRODUCCION 4
dispersion por potenciales asintoticamente coulombianos.
En el capıtulo 3 discutimos el comportamiento de la matriz de transicion coulom-
biana fuera de la capa de energıa y su lımite on-shell. Mostramos como regularizar
en forma consistente el problema mediante una extension del metodo desarrollado en
el capıtulo 2. Este metodo es la version monocanal de la tecnica off-shell discutida
anteriormente.
En el capıtulo 4 proponemos un modelo clasico que nos permite interpretar la
matriz de transicion coulombiana off-shell. Para esto empleamos una descripcion
clasica estacionaria (Samengo et. al. 1996a) y derivamos una cantidad analoga a la
funcion de onda del continuo off-shell en representacion de impulsos estrechamente
ligada a la matriz de transicion de dos cuerpos.
Finalmente, en el capıtulo 5 investigamos detalladamente el proceso de colision por
un potencial coulombiano cortado. Mientras que el empleo de un potencial apantalla-
do para evitar las dificultades que presenta el comportamiento asintotico del poten-
cial coulombiano no introduce dificultades conceptuales, este constituye un metodo
valido. Sin embargo, a pesar de que ha sido extensamente estudiado en la litera-
tura (Ford 1964, MacDonald 1974, Kolsrud 1978, Banerjee y Chakravorty 1981) los
unicos resultados disponibles estan relacionados con el comportamiento de la ma-
triz de transicion, en los lımites on-shell y de distancia de apantallamiento infinita.
En cambio, en este capıtulo estudiamos el problema de colision en forma clasica y
cuantica en todo el rango de variacion de los parametros involucrados.
Capıtulo 1
Teorıa de colisiones
En este capıtulo desarrollamos los conceptos basicos de la teorıa cuantica
no relativista de dispersion por un centro de potencial de corto alcan-
ce. Empleando una descripcion dependiente del tiempo derivamos una
expresion para la seccion eficaz diferencial de dispersion. Finalmente dis-
cutimos los lımites de validez de dicha teorıa. La notacion utilizada es
convencional, similar a la empleada en los libros clasicos como por ejem-
plo el de Taylor (Taylor 1972).
1.1 Definicion de la seccion eficaz
Examinemos una idealizacion de una situacion experimental tıpica. Un flujo uniforme
J de partıculas identicas con impulso k incide desde el infinito sobre un blanco com-
puesto por N centros de fuerza. El numero de proyectiles I dispersados por unidad
de tiempo y de angulo solido en una cierta direccion no es adecuado para describir
el proceso de colision, pues depende de las caracterısticas de cada experimento. Sin
embargo, bajo ciertas condiciones (que discutimos en el apendice A), podemos con-
siderar que cada proyectil interactua con solo un centro de fuerzas del blanco. En
este caso, el numero de partıculas detectadas es proporcional a la intensidad del flujo
incidente y al numero de centros en el blanco. Introducimos la cantidad
dσ
dΩ=
I
JN. (1.1)
5
1.1. Definicion de la seccion eficaz 6
Detector
θ Flujo transmitido
part culas dispersadas
V(r)
J
dΩ
Figura 1.1: Esquema de la situacion planteada para definir el proceso de dispersion
y la seccion eficaz diferencial.
Este cociente, que llamamos seccion eficaz diferencial, tiene unidades de area y es
independiente de la intensidad del haz incidente, del numero de partıculas en el blanco
y de la resolucion del sistema de deteccion. Esta completamente determinada por la
forma de la interaccion de los proyectiles con cada centro de fuerza.
1.1.1 Seccion eficaz clasica
Para calcular la seccion eficaz recien definida en un formalismo clasico, consideremos
un proyectil de masa m que se acerca a un centro de fuerzas con cierto apartamiento
~ρ respecto de la trayectoria de colision frontal. Esta partıcula es desviada, por accion
del potencial central V (r), en una trayectoria que culmina en un cierto angulo θ, tal
como se muestra en la figura 1.2.
Las partıculas dispersadas en un cono de angulo solido entre θ y θ+dθ son aquellas
con parametro de impacto entre ~ρ y ~ρ + d~ρ. Tenemos entonces I dΩ = J dA o, si
consideramos N centros dispersores, I dΩ = N J dA. Luego, por la definicion de
seccion eficaz diferencial, obtenemos
dσ
dΩ=
ρ
|sen θ|
∣∣∣∣∣d~ρ
dθ
∣∣∣∣∣ .
1.1. Definicion de la seccion eficaz 7
V(r)
dθ dρ
θ
dΩ = 2 π senθ dθ
dA= 2 π ρ dρ
ρ
Figura 1.2: Dispersion de una partıcula por un centro de fuerzas.
Por simplicidad, hemos supuesto que la relacion entre el angulo de deflexion θ y el
parametro de impacto ~ρ es biunıvoca. De no ser ası debemos sumar sobre todas
aquellas trayectorias que contribuyen en un dado angulo
dσ
dΩ=
∑~ρ
ρ
|sen θ|
∣∣∣∣∣d~ρ
dθ
∣∣∣∣∣ . (1.2)
Vemos que el calculo de la seccion eficaz diferencial clasica se ha reducido a estudiar el
problema de la evolucion de una unica partıcula en presencia de un centro de fuerzas.
Sabemos que la trayectoria de la partıcula en un campo de fuerzas central es
simetrica respecto de una lınea que pase por el punto de maximo acercamiento al
centro de fuerzas. Por lo tanto, si llamamos φ al angulo de dicho perihelio, tenemos
una relacion bastante simple con el angulo de deflexion, θ = π − 2 φ. El impulso
angular ` = ρ k y la energıa E = k2/2 m se conservan durante la colision. O sea
ρ k = m r2 dθ
dt
k2
2 m=
1
2m
(
dr
dt
)2
+ r2
(dθ
dt
)2 + V (r),
con V (r) la energıa potencial del proyectil en presencia del centro de fuerzas. Elimi-
nando dt de ambas ecuaciones resulta la ecuacion de la orbita
dθ =ρ/r2 dr√
1 − (ρ/r)2 − (2 m V (r)/k2). (1.3)
1.1. Definicion de la seccion eficaz 8
Finalmente, integrando entre el punto en el infinito y el perihelio ro obtenemos
φ =∫ ∞
ro
ρ/r2 dr√1 − (ρ/r)2 − (2 m V/k2)
. (1.4)
Esta ecuacion nos permite calcular el angulo de deflexion θ en terminos del parametro
de impacto ~ρ, dando una resolucion completa al problema clasico. Por ejemplo,
reemplazando V (r) = Z/r en la expresion anterior y efectuando una integracion
elemental obtenemos el parametro de impacto ρ en funcion del angulo de deflexion θ
que da como resultado la formula que Rutherford dedujo en 1911
dσ
dΩ=
(m Z
2 k2
)2 1
sen4(θ/2). (1.5)
Debe notarse que la formula de Rutherford es independiente del signo de la carga Z,
con lo cual el resultado es el mismo tanto para campos coulombianos repulsivos como
atractivos.
1.1.2 Seccion eficaz cuantica
Ahora realizaremos el calculo cuantico de la seccion eficaz diferencial definida en
la ecuacion (1.1). Retornando a la situacion planteada en la seccion 1.1, un flujo
uniforme de partıculas de masa m e impulso k incide sobre N centros de fuerzas.
Mucho antes de la colision (en rigor t → −∞) describimos a cada proyectil por un
paquete de onda desplazado una distancia ~ρ respecto de la trayectoria de colision
frontal. Cada una de estas partıculas evoluciona en presencia del potencial acorde a
|ψ~ρ(t)〉 = U(t)|ψ~ρ〉 = e−iHt/h|ψ~ρ〉
con H el Hamiltoniano del sistema y donde |ψ~ρ〉 es un estado normalizable que describe
a la partıcula en el momento de la colision (tomado arbitrariamente como t = 0).
La probabilidad de que cada proyectil sea dispersado con impulso final p esta dada
por |〈p|ψ~ρ(t)〉|2 para t → +∞. En consecuencia, la probabilidad de que la partıcula
emerja en el cono determinado por el elemento de angulo solido dΩ alrededor de la
direccion p se obtiene integrando sobre todo p = |p|dW~ρ
dΩ= lim
t→+∞
∫ ∞
0p2 dp |〈p|ψ~ρ(t)〉|2.
1.2. Teorıa standard de colisiones 9
Finalmente, el numero de partıculas dispersadas en la direccion p esta dado por
I = JN∫ dW~ρ
dΩd~ρ.
Reemplazando en la ecuacion (1.1), obtenemos la seccion eficaz diferencial
dσ
dΩ(p) = lim
t→∞
∫d~ρ
∫|〈p|ψ~ρ(t)〉|2p2 dp. (1.6)
Al igual que en el caso clasico, el calculo de la seccion eficaz diferencial se ha reducido
a estudiar la evolucion de una unica partıcula en presencia de un centro de fuerzas.
En la proxima seccion veremos como hacer efectivo este calculo en el marco de la
denominada “teorıa standard de colisiones”.
1.2 Teorıa standard de colisiones
Supondremos que, dado el estado propio |ψ~ρ(t)〉 que describe la colision del proyec-
til con un centro de fuerzas, existen estados |ψ±~ρ 〉 tales que su evolucion libre es,
asintoticamente, indistinguible del movimiento real del proyectil:
|ψ~ρ(t)〉 −→t→∓∞ e−iHot/h|ψ±
~ρ 〉,
con Ho el Hamiltoniano de partıcula libre. Por ahora, nos permitiremos continuar con
el calculo de la seccion eficaz diferencial, postergando hasta el proximo capıtulo una
discusion detallada de las implicaciones de esta suposicion, como ası tambien de sus
condiciones de validez. Es conveniente expresar la suposicion anterior en una manera
algo diferente, para esto definimos los operadores de Møller
Ω± = limt→∓∞ eiHt/he−iHot/h
que permiten relacionar directamente los estados inicial y final de la colision
|ψ−~ρ 〉 = S|ψ+
~ρ 〉, (1.7)
donde el producto de operadores S = Ω†−Ω+ se denomina operador de scattering.
Por ser de futuro interes destacamos que los operadores de Møller son isometricos y
cumplen la relacion de entrelazado H Ω± = Ω± Ho (ver seccion 2.2). Esto implica que
S conmuta con Ho
S Ho = Ω†− Ω+Ho = Ω†
− H Ω+ = HoΩ†− Ω+ = Ho S.
1.2. Teorıa standard de colisiones 10
|ψ >
|ψ + >
|ψ − >
S
Uo(t 1) |ψ + >
U(t 1) |ψ > Ω−
Ω+
Figura 1.3: Representacion esquematica de la condicion asintotica.
Si definimos el operador auxiliar R = S − I representando la diferencia entre S y su
valor en ausencia de interaccion, es claro que este debe tambien conmutar con Ho.
Tendremos entonces
0 = 〈p|[Ho, R]|k〉 = (Ep − Ek)〈p|R|k〉,y podemos escribir
〈p|R|k〉 ∝ δ(Ep − Ek);
o equivalentemente
〈p|S|k〉 = δ(p − k) − 2 π i ton(p,k, Ek) δ(Ep − Ek), (1.8)
donde ton(p,k, Ek) es una funcion aun a determinar.
Para proseguir con el computo de la seccion eficaz, describimos la asıntota entrante
|ψ+~ρ 〉 de cada proyectil mediante un paquete de ondas φ desplazado una distancia ~ρ
respecto de la trayectoria de colision frontal
|ψ+~ρ 〉 =
∫|q〉e−i~ρ·q/h〈q|φ〉 dq,
donde 〈q|φ〉 esta fuertemente centrado en el impulso inicial k. Reemplazando en la
ecuacion (1.6), obtenemos
dσ
dΩ=
∫d~ρ
∫ ∞
0p2dp
∣∣∣∣∫〈p|S|q〉 〈q|φ〉 e−i~ρ·q/hdq
∣∣∣∣2
1.2. Teorıa standard de colisiones 11
=∫ ∞
0p2dp
∫〈p|S|q〉 〈q|φ〉 dq ×
×∫〈p|S|q′〉∗ 〈φ|q′〉
[∫d~ρ e−i (q−q′)·~ρ/h
]dq′. (1.9)
Debido a que ~ρ es un vector en el plano normal al impulso, el termino entre corchetes
es proporcional a una delta de Dirac en el impulso transversal
dσ
dΩ= (2πh)2
∫ ∞
0p2dp
∫dq〈p|S|q〉 〈q|φ〉 × (1.10)
×∫
dq′〈p|S|q′〉∗〈φ|q′〉 δ(q⊥ − q′⊥) .
Si excluimos la direccion hacia adelante en la expresion (1.8) para el elemento de
matriz del operador S, al reemplazar en la ecuacion (1.10) obtenemos un producto
de funciones delta
δ(Eq − Ep) δ(Eq′ − Ep) δ(q⊥ − q′⊥) = 2m δ(Eq − Ep) δ(q2 − q′2) δ(q⊥ − q′
⊥)
=m
q‖δ(Eq − Ep) δ(q − q′) +
m
q‖δ(Eq − Ep) δ(q‖ + q′
‖) δ(q⊥ − q′⊥).
Mientras el paquete inicial esta fuertemente centrado en p = k, el producto 〈q|φ〉〈φ|q′〉es despreciable en los puntos q‖ = −q′
‖ y solo el primer termino contribuye a la inte-
gral. Obtenemos entonces para la seccion eficaz
dσ
dΩ(p) = (2π)4 h2 m
∫ ∞
0p2dp
∫|ton(p,q, Eq)|2 |〈q|φ〉|2 δ(Ep − Eq)
dq
q||.
Finalmente, suponemos que el elemento de matriz ton(p,q) varıa suavemente en la
pequena zona alrededor del punto p = k donde el paquete inicial 〈q|φ〉 es apreciable.
Podemos aproximar entonces el cociente |ton(p,q)|2/q|| por su valor en el impulso
inicial y de esta manera sacarlo de la integral. Obtenemos
dσ
dΩ(p) = (2π)4h2 m2
∫ ∞
0dEp |ton(p,k, Ek)|2 δ(Ep − Ek) =
= (2π)4h2 m2 |ton(p,k, Ek)|2. (1.11)
Vemos que el problema se ha reducido a calcular la funcion ton(p,k, Ek) definida en
la ecuacion (1.8), calculo que realizaremos en la siguiente seccion.
1.3. Calculo del elemento de matriz del operador de scattering 12
1.3 Calculo del elemento de matriz del operador
de scattering
Para determinar la funcion ton(p,k, Ek) calcularemos nuevamente el elemento de ma-
triz del operador de scattering S = Ω†−Ω+. En primer lugar observamos que podemos
escribir los operadores de Møller en la forma
Ω± = limε→0+
Ωε = limε→0+
±i (ε/h)∫
G(Eq ± iε)|q〉〈q|ψ〉dq (1.12)
= limε→0+
1 +∫
G(Eq ± iε)V |q〉〈q|dq,
donde G(z) = (z−H)−1 es el Operador de Green total (ver apendice B). Esta relacion
puede obtenerse mediante un calculo similar al desarrollado en la seccion 2.5 para los
operadores modificados de Dollard Ωc± (poniendo γ = 1 en la integral de Bochner).
Utilizando esta relacion obtenemos para el elemento de matriz de scattering
〈p|S|k〉 = 〈p|Ω†−Ω+|k〉 = 〈p|Ω+|k〉 + 〈p|V G(Ep + iε) Ω+|k〉
= 〈p|k+〉 + 〈p|V G(Ep + iε) |k+〉, (1.13)
donde hemos definido los estados estacionarios de dispersion |k±〉 = Ω±|k〉 discutidos
en detalle en el apendice C. En base a la ecuacion (1.12) podemos escribir
|k±〉 = |k〉 + G(Ek ± iε)V |k〉, (1.14)
donde se sobrentiende el lımite ε → 0+. Los estados estacionarios de dispersion
son autovectores del Hamiltoniano total H|k±〉 = Ek|k±〉 y cumplen la ecuacion de
Lippmann-Schwinger (ver apendice C)
|k±〉 = |k〉 + Go(Ek ± iε)V |k±〉,
con Go(z) = (z−Ho)−1 el operador de Green libre. Esta ecuacion nos permite escribir
〈p|S|k〉 = (〈p|k〉 + 〈p|Go(Ek + iε) V |k+〉) + 〈p|V G(Ep + iε) |k+〉= 〈p|k〉 +
(1
Ek − Ep + iε− 1
Ek − Ep − iε
)〈p|V |k+〉, (1.15)
donde hemos utilizado que |k〉 y |k+〉 son autoestados de Ho y H, respectivamente.
Finalmente, utilizando la identidad
limε→0+
1
x ± iε= V.P.
(1
x
)∓ iπ δ(x)
1.4. Condicion asintotica 13
obtenemos
〈p|S|q〉 = 〈p|k〉 − 2πi 〈p|V |k+〉 δ(Ep − Ek). (1.16)
Comparando con la ecuacion (1.8) podemos escribir para la funcion ton(p,k, E)
ton(p,k, E) = 〈p|V |k+〉 = 〈p − |V |k〉,
o reemplazando los estados estacionarios de dispersion por la ecuacion (1.14)
ton(p,k, E) = 〈p|T (E + iε)|k〉.
Aquı hemos definido el Operador de Transicion
T (z) = V + V G(z) V
y el elemento de matriz debe tomarse entre estados que cumplan Ep = E = Ek. Por
esta razon se denomina a la funcion ton(p,k, E) matriz T sobre la capa de energıa
(on-the-energy-shell) o simplemente on-shell.
Como ultima observacion diremos que la representacion de coordenadas del estado
estacionario de dispersion tiene un comportamiento asintotico dado por (ver apendice
C):
〈r|k±〉 ≈r→∞ (2πh)−3/2
(eik·r/h − (2π)2 mh 〈±kr|V |k±〉 eikr/h
r
). (1.17)
Es inmediato que este resultado nos provee de un potente metodo para obtener el
elemento de matriz de transicion a partir de la amplitud de la onda esferica saliente
asociada al lımite asintotico de los estados estacionarios de dispersion.
1.4 Condicion asintotica
Es obvio que el problema de dispersion esta bien definido en tanto que el potencial
V (r) cumpla la condicion V (r) −→r→∞ cte (≡ 0). Este es el caso de la teorıa clasica
de colisiones, tal como puede deducirse de la ecuacion (1.4). El tratamiento cuantico
usual, en cambio, exige que esten bien definidos los operadores de Møller
Ω± = limt→∓∞ Ω(t) = lim
t→∓∞ eiHt/he−iHot/h.
1.4. Condicion asintotica 14
Aquı el lımite debe tomarse en el sentido fuerte, es decir la convergencia esta defini-
da por la topologıa del espacio (Kolmogorov y Fomin 1978) y para cualquier estado
propio |ψ〉 debe cumplirse que existen dos estados |ψ±〉 tales que
|| |ψ〉 − Ω(t)|ψ±〉|| −→t→∓∞ 0.
Esta condicion asintotica puede interpretarse en el sentido de que mucho antes o
despues de la colision los distintos fragmentos intervinientes evolucionan libremente
unos de otros. La validez de esta hipotesis asintotica depende de las interacciones
involucradas. En esta seccion discutiremos brevemente los requerimientos sobre el
potencial para que se cumpla esta condicion. En particular, veremos que estos reque-
rimientos imponen una condicion mucho mas restrictiva sobre el potencial V (r) que
la simple anulacion en el infinito.
Por ser de futura utilidad, demostramos el teorema de Cook (Cook 1957) de existencia
de los operadores de Møller Ω±.
Teorema 1.4.1 Existen los operadores de Møller si el potencial V (r) es una funcion
de cuadrado integrable, V ∈ L2
Para demostrar este teorema probaremos que Ω(tn)ψn es una sucesion de Cauchy
para cualquier funcion de onda ψ ∈ L2. Tenemos que
||Ω(t2)ψ − Ω(t1)ψ|| = ||∫ t2
t1
d
dt( Ω(t) ψ)dt|| ≤ 1
h
∫ t2
t1||ieiHt/hV e−iHot/hψ||dt
=1
h
∫ t2
t1||V e−iHot/hψ||dt ≤ 1
h||V ||
∫ t2
t1maxr∈R3
|e−iHot/hψ|dt,
donde hemos utilizado el teorema fundamental del calculo en el primer paso, la uni-
tariedad del operador evolucion exp[iHt/h] en el tercero y la norma finita de V en el
ultimo. Ahora, utilizando la expresion del comportamiento asintotico de una partıcula
libre (Ec.(D.1) apendice D) maxr∈R3
|e−iHot/hψ| ≈t→±∞ cte|t|−3/2, obtenemos:
limt1,t2→∞ ||Ω(t2)ψ − Ω(t1)ψ|| ≤ cte ||V || lim
t1,t2→∞(t−1/21 − t
−1/22 ) = 0;
y entonces la sucesion es de Cauchy. Por completitud de L2 queda entonces demos-
trada la existencia de Ω±.
1.4. Condicion asintotica 15
Si bien hemos demostrado la existencia de los operadores de Møller Ω± para po-
tenciales de cuadrado integrable, es posible relajar esta condicion si se realiza con mas
cuidado el ultimo paso (Hack 1958). De esta manera puede demostrarse el siguiente
resultado:
• La condicion necesaria sobre el potencial V (r) para la validez de la hipotesis
asintotica en un tratamiento cuantico es que sea de cuadrado localmente integrable
(V ∈ L2(loc)) y cumpla la condicion rV (r) −→r→∞ 0. En estas condiciones, la evolucion
del paquete de onda sera indistinguible (para tiempos grandes) del movimiento libre.
Este resultado indica que la condicion asintotica de la teorıa usual de colisiones
en su formulacion cuantica es mas restrictiva que en el caso clasico. Para entender
este resultado calcularemos la expresion clasica de la condicion asintotica,
limt→∓∞ ||r(t) − v±t|| = 0
o equivalentemente
|r(t) − (k/m) t| −→t→∓∞ 0
como puede verificarse escribiendo la expresion anterior en coordenadas esfericas y
utilizando conservacion del impulso angular ρ k = m r2 (dθ/dt). Reemplazando la ley
de conservacion del momento angular en la ecuacion de la orbita (1.3), obtenemos
∫ t
to
k
mdt =
∫ r(t)
r(to)
dr√1 − 2mV (r)/k2 − ρ2/r2
, (1.18)
que para tiempos grandes podemos aproximar por
r ≈ ro +k
m(t − to) −
∫ r
ro
dr
(ρ2
2r2+
m V (r)
k2
).
Vemos que aunque la velocidad de la partıcula tiende a un lımite bien definido en
modulo y angulo siempre que V (r) −→r→∞ 0, la condicion asintotica es valida solo si el
potencial cae con la distancia mas rapido que 1/r. Por ejemplo, si el potencial tiene
un comportamiento asintotico de la forma
V (r) ≈r→∞
Z
rα, (α > 0), (1.19)
1.4. Condicion asintotica 16
obtenemos que
limt→±∞ ||r(t) − v±t|| =
m|Z|k2
×
|t|1−α
1 − αsi α 6= 1
ln |t| si α = 1
. (1.20)
En particular, para un potencial asintoticamente coulombiano, la orbita real y la
correspondiente al movimiento libre mantienen una diferencia logarıtmica.
Similarmente, en la teorıa usual de colisiones en su formulacion cuantica, el po-
tencial no cumple la condicion asintotica ya que decae demasiado lentamente con la
distancia para que la evolucion aproxime a la del movimiento libre. Como consecuen-
cia, la teorıa desarrollada hasta aquı no es, en principio, aplicable al problema de
dispersion por un potencial coulombiano. En el proximo capıtulo abordaremos este
particular problema y veremos como construir la teorıa de colisiones de manera tal
que incluya este importante tipo de interacciones de largo alcance.
Capıtulo 2
Dispersion de Rutherford
En el capıtulo anterior mostramos como desarrollar la teorıa de colisiones
en base a la condicion asintotica. Mostramos en este capıtulo como una
condicion mas debil permite reconstruir la teorıa cuando el potencial es
asintoticamente coulombiano. A continuacion trasladamos esta idea a un
formalismo estacionario. Obtenemos de esta manera, una generalizacion
de la teorıa usual al caso de dispersion por potenciales de largo alcance.
2.1 Operador de Møller Coulombiano
En la base de la teorıa usual de colisiones en su formulacion cuantica esta, tal como
vimos en el capıtulo anterior, la suposicion de que mucho antes o despues de la colision
los fragmentos intervinientes evolucionan libremente unos de otros. Las condiciones
de validez de esta suposicion no incluyen la dispersion por un potencial coulombiano.
En base a este resultado es de esperar que los operadores de Møller no existan
en presencia de potenciales que decaen al menos tan lento como el coulombiano.
Esto plantea una grave dificultad, ya que mientras las interacciones coulombianas se
presentan en la gran mayorıa de los procesos de colisiones atomicas, la teorıa usual
(tal como fue presentada en el capıtulo anterior) no es valida en estos casos.
En 1964, Dollard dio un primer paso hacia la solucion de este grave problema al
demostrar que si bien la definicion usual de los operadores no es valida en presencia
17
2.1. Operador de Møller Coulombiano 18
de potenciales coulombianos, estos pueden ser redefinidos, permitiendo reconstruir la
teorıa de colisiones en una forma mas general.
La manera en que los operadores de Møller deben ser redefinidos esta sugerida por
el comportamiento asintotico de una trayectoria clasica en presencia de un potencial
asintoticamente coulombiano V (r) → Z/r. Habıamos demostrado que entre la orbita
real y la correspondiente a partıcula libre se mantiene una diferencia logarıtmica dada
por
||r(t) − v±t|| ≈t→∓∞
m Z
k2ln |t| + O(1).
En consecuencia, en base a una aproximacion eikonal, serıa de esperar una distorsion
logarıtmica similar en los operadores de Møller, dada por
exp[− i
h
∫ t
toV (k|t′|/m) dt′
]= exp
[−sg(t)
imZ
h kln |t/to|
].
Este resultado provee una motivacion intuitiva para el siguiente teorema.
Teorema 2.1.1 En presencia de un potencial coulombiano V (r) = Z/r, existe en L2
el lımite
Ωc± = lim
t→∓∞ Ωc(t)
en el sentido de la convergencia fuerte, donde
Ωc(t) = eiHt/he−iHot/hD−1(t); (2.1)
con el “operador de anomalıa” D(t) dado por
D(t) =
(4Ho|t|
h
)isg(t)Zh ( 2Ho
m )−1/2
. (2.2)
Los detalles de la demostracion de este teorema no aportan nada esencialmente nuevo
y por ser demasiado largos y tediosos preferimos no reproducirlos aquı. Solo destaca-
remos sus lıneas generales.
Al redefinir los operadores de Møller de esta manera, estamos agregando un
termino de renormalizacion que cancela los efectos del potencial coulombiano en el
2.1. Operador de Møller Coulombiano 19
lımite asintotico. A diferencia del operador de Møller usual, el definido por Dollard no
conecta las “orbitas reales” con las libres, sino con orbitas que contienen el comporta-
miento asintotico de una partıcula en el potencial coulombiano. Este comportamiento
asintotico esta caracterizado por un termino de renormalizacion que es funcion del
hamiltoniano de partıcula libre y por tanto es diagonal en representacion de impulsos.
Su accion sobre cualquier funcion ψ(r) de L2 esta dada por
D (t) ψ(r) = (2πh)−3/2∫
eik·r/h
(4Ek|t|
h
)isg(t)νk
ψ(k)dk.
Aquı Ek = k2/2m es la energıa de la partıcula, νk = mZ/hk es el parametro de
Sommerfeld y ψ(k) es la transformada de Fourier de ψ(r).
La demostracion de este teorema puede hacerse siguiendo el metodo utilizado para
los operadores de Møller usuales, en el teorema de Cook. Obtenemos de esta manera
||Ω(t2)ψ − Ω(t1)ψ|| ≤ 1
h
∫ t2
t1‖
[Z
r− Z
|t|(
2Ho
m
)−1/2]e−iHot/h D−1(t)ψ(r)||dt. (2.3)
Sin embargo, debido a las caracterısticas particulares del operador de anomalıa, ahora
debemos variar un poco la forma de acotar esta expresion. En particular, la evolucion
asintotica de una partıcula libre, que para potenciales de corto alcance esta dada por
e−iHot/hψ(r) −→t→±∞
(m
i h t
)3/2
ψ(
mr
t
),
debe remplazarse, en el caso de un potencial coulombiano, por
e−iHot/hD−1(t)ψ(r) −→t→∓∞
(m
i h t
)3/2(
2 mr2
h |t|)−iZt/hr
ψ(
mr
t
). (2.4)
Vemos que, excepto por una fase, este comportamiento coincide con el de partıcula
libre y tambien decae en la forma t−3/2. Ademas el termino (Z/|t|) (2Ho/m)−1/2
en la
ecuacion (2.3) corrige la accion a grandes distancias del potencial coulombiano dando
una contribucion que es asintoticamente despreciable. De esta manera, la norma del
miembro derecho en la ecuacion (2.3) decae mas rapido que 1/t, quedando demostrado
el teorema.
Para demostrar el teorema se utiliza explıcitamente el comportamiento del poten-
cial solo en el lımite asintotico y por lo tanto el teorema es igualmente valido para
dispersion por cualquier potencial que cumpla la condicion r V (r) −→r→∞ Z.
2.2. Relacion de entremezclado 20
2.2 Relacion de entremezclado
Los operadores de Møller redefinidos por Dollard son isometricos y cumplen la relacion
de entremezclado
H Ωc± = Ωc
± Ho.
En efecto,
eiHτ/hΩc± = lim
t→∓∞ eiH(t+τ)/heiHot/hD−1(t)
=(t′=t+τ)
limt→∓∞ eiHt/he−iHo(t−τ)/hD−1(t − τ)
= limt→∓∞ eiHt/he−iHot/hD−1(t)
[D(t)D−1(t − τ)
]eiHoτ/h
= Ωc± eiHoτ/h; (2.5)
donde, en el ultimo paso hemos utilizado que el operador entre corchetes
D(t)D−1(t − τ) =
( |t − τ ||t|
)isg(t)Zh ( 2Ho
m )−1/2
tiende claramente al operador identidad cuando t → ±∞. La demostracion se com-
pleta aplicando la relacion
A = −ideiAτ
dτ
∣∣∣∣∣τ=0
(valida para cualquier operador A), al primer y ultimo miembro.
La relacion de entrelazado implica que el operador de scattering, definido en la
forma usual Sc =(Ωc
−)†
Ωc+, conmuta con Ho y su elemento de matriz 〈p|Sc|k〉 debe
contener un factor δ(Ep−Ek) expresando la conservacion de la energıa. Las secciones
siguientes las dedicaremos a calcular este elemento de matriz. Para esto debemos
reconstruir el procedimiento seguido en la teorıa usual y ante todo encontrar una
ecuacion del tipo Lippmann-Schwinger para los estados estacionarios de dispersion.
2.3 Estados estacionarios de dispersion
Tal como en el caso de potenciales de corto alcance, el operador de Møller coulombiano
Ωc± permite definir en la manera usual los estados estacionarios de dispersion |k±〉 =
2.4. Representacion de impulsos de los estados ... 21
Ωc±|k〉. Estos son estados impropios y deben entenderse en el sentido habitual, es decir
como una base en que desarrollar los estados propios. Vemos que, como consecuencia
de la relacion de entrelazado, son autovectores del hamiltoniano total H:
H|k±〉 = Ek|k±〉.
Otra vez, esto nos provee de una forma alternativa de calcular los estados estacionarios
de dispersion ya que podemos hacerlo a partir de la definicion (Johnson et. al. 1985) o
simplemente resolviendo la ecuacion de autovalores (Gordon 1928). La representacion
de coordenadas -o funcion de onda coulombiana del continuo- esta dada por
Ψ±k (r) = 〈r|k±〉 = 〈r|k〉Γ(1 ± iνk) e−π νk/2
1F1(∓iνk; 1; i(k · r ± kr)/h), (2.6)
donde 1F1(a; b; z) es la funcion de Kummer o hipergeometrica confluente (Abramowitz
y Stegun 1970) (ver apendice I.1). El lımite asintotico esta dado por:
Ψ±k (r) ≈
r→∞ (2πh)−3/2
(
k r ∓ k · rh
)±iνk
eik·r/h − νk e±2 i η eik r/h
[(k r ∓ k · r)/h]1±iνk
,
con η = arg (Γ(1 + iνk)). Esta expresion es valida para (r ± k · r) À h/k, es decir
debemos excluir los puntos r = ±k.
Comparando esta forma con la que se obtiene para potenciales de corto alcance,
claramente podemos identificar distorsiones logarıtmicas similares a las que presenta
el operador de Dollard.
Es usual utilizar esta forma asintotica para despejar la seccion eficaz como la
amplitud de una onda esferica distorsionada (Landau y Lifshitz 1965, Messiah 1973,
Cohen-Tannoukji et. al. 1977). Este procedimiento, a pesar de conducir al resultado
correcto, no esta plenamente justificado. El unico metodo valido consiste en rehacer
el camino seguido en la teorıa usual, calculo que haremos en las secciones siguientes.
2.4 Representacion de impulsos de los estados es-
tacionarios de dispersion
A partir de la solucion exacta del problema de autovalores podemos calcular la repre-
sentacion de impulso del estado estacionario de dispersion simplemente transformando
2.4. Representacion de impulsos de los estados ... 22
Fourier:
〈p|k±〉 =∫〈p|r〉〈r|k±〉dr = (2πh)−3/2
∫e−ip·r/hΨ±
k (r)dr.
Para calcular esta integral utilizamos la regularizacion de Abel (Reed y Simon 1979).
Escribimos
〈p|k±〉 = limκ→0+
(2πh)−3/2∫
e−κr/he−ip·r/hΨ±k (r)dr = lim
κ→0+
h
Z
d
dκ〈p|Vκ|k±〉, (2.7)
con Vκ = V (r)e−κr/h = (Z/r) e−κr/h.
Tal como mostramos en el apendice E, este elemento de matriz puede evaluarse por
el metodo de Nordsieck (Guth y Mullin 1951, Nordsieck 1954). Obtenemos
〈p|Vκ|k±〉 =Z
2π2hΓ(1 ± iνk) e−πνk/2 [p2 − (k ± iκ)2]±iνk
[|k − p|2 + κ2]1±iνk. (2.8)
Finalmente, derivando obtenemos
〈p|k±〉 =κ
π2Γ(1 ± iνk) e−πνk/2 [p2 − (k ± iκ)2]±iνk
[|k − p|2 + κ2]2±iνk
(2.9)
− νk
π2Γ(1 ± iνk)e
−πνk/2(k ± iκ)[p2 − (k ± iκ)2]−1±iνk
[|k − p|2 + κ2]1±iνk,
donde debe sobrentenderse el lımite κ → 0+.
Vemos que el segundo termino de esta ecuacion es el elemento de matriz de la
funcion de Green libre
〈p|Go((k ± iκ)2/2m)Vκ|k±〉.Por lo tanto, podemos escribir la ecuacion (2.10) en la forma
|k±〉 = |k±κ〉 + Go((k ± iκ)2/2m)Vκ|k±〉, (2.10)
que luce muy similar a la ecuacion de Lippmann-Schwinger usual, salvo por el estado
de partıcula libre |k〉 que aquı debe ser reemplazado por
〈p|k±κ〉 =κ
π2Γ(1 ± iνk) e−πνk/2 [p2 − (k ± iκ)2]±iνk
[|k − p|2 + κ2]2±iνk.
Esta es la representacion de impulsos de lo que van Haeringen definio como esta-
do asintotico coulombiano |k±κ〉. Los estados asintoticos coulombianos son estados
2.4. Representacion de impulsos de los estados ... 23
impropios definidos en el sentido de las distribuciones y el lımite κ → 0+ debe ser
cuidadosamente tomado debido al corte ramal en p = k generado por el factor
[p2 − (k ± iκ)2]±iνk .
La definicion exacta de este estado y la determinacion de las funciones de prueba sobre
las que actua es el principal logro del trabajo de van Haeringen (van Haeringen 1976).
Enunciamos aquı su teorema:
Teorema 2.4.1 Sean las funciones de prueba 〈hκ±|p〉 = (p − (k ± iκ))±iνk g(p) con
g(p) una funcion continua en p = k y g(p) ∈ L∞ en un entorno de este punto.
Entonces
limε→0+
〈hκ ± |k±κ〉 =eπνk/2
Γ(1 ∓ iνk)(2k)±iνkg(k).
Presentamos la demostracion de este teorema en el apendice F.
Este resultado nos permite escribir formalmente
〈p|k±κ〉 =eπνk/2
Γ(1 ∓ iνk)
[2k
(p − (k ± iκ))
]±iνk
δ(p − k), (2.11)
donde la igualdad debe entenderse en el sentido de las distribuciones y por su accion
sobre funciones de prueba como las especificadas. Como era de esperar, las funciones
de prueba sobre las que estan definidos los estados asintoticos coulombianos deben
contener un factor que, de alguna manera, anule el corte ramal y regularice la integral.
Hemos logrado ası dar un paso esencial para calcular la seccion eficaz y reconstruir
la teorıa de colisiones en la forma usual al obtener una ecuacion del tipo Lippmann-
Schwinger. Esta ecuacion toma la forma (2.10)
|k±〉 = |k±κ〉 + Go((k ± iκ)2/2m)Vκ|k±〉,con el estado asintotico coulombiano definido por la ecuacion (2.11) y donde debe
mantenerse el apantallamiento sobre el potencial en la forma (Vκ = V exp (−κ r /h)).
La importancia de los resultados de esta seccion radica en que, tal como veremos
mas adelante, los elementos de la matriz de transicion contienen productos de estados
asintoticos coulombianos y funciones de prueba como las requeridas en el teorema.
Esto, junto con la ecuacion de Lippmann-Schwinger (2.10) nos permitira reconstruir
la Teorıa de Colisiones de manera de incluir potenciales de largo alcance.
2.5. Interpretacion de los estados asintoticos coulombianos 24
2.5 Interpretacion de los estados asintoticos cou-
lombianos
Hasta ahora hemos obtenido la representacion de impulsos del estado asintotico cou-
lombiano a partir de la solucion exacta de los estados estacionarios de dispersion en
representacion de coordenadas. Escribiendo la transformada de Fourier de este estado
como suma de dos terminos, encontramos que cumplen una ecuacion de Lippmann-
Schwinger y derivamos una definicion formal de los estados asintoticos coulombianos.
Demostramos que estan definidos en el sentido de las distribuciones y encontramos
las funciones de prueba sobre las que actuan.
Queremos ahora dar una interpretacion a estos estados asintoticos coulombianos
en el marco de la teorıa dependiente del tiempo desarrollada en las secciones anterio-
res. Para esto es conveniente que cambiemos la notacion. Si redefinimos el parametro
pequeno en la forma ε = k κ/m la ecuacion de Lippmann-Schwinger toma la forma
|k±〉 = |k±ε〉 + Go(Ek ± iε)Vε |k±〉, (2.12)
con el estado asintotico coulombiano
〈p|k±ε〉 =eπνk/2
Γ(1 ∓ iνk)
(4Ek
Ek − Ep ∓ iε
)±iνk
δ(p − k). (2.13)
La diferencia con la ecuacion de Lippmann-Schwinger usual, es que ahora el corri-
miento imaginario ±iε en la energıa de la funcion de Green debe mantenerse tambien
como un apantallamiento sobre el potencial en la forma Vε = V exp (−m ε r /k) y el
lımite ε → 0+ debe tomarse en forma simultanea en ambos factores.
Para interpretar estos resultados en el marco de la teorıa dependiente del tiempo,
observemos que en la definicion de los estados estacionarios de dispersion
|k±〉 = Ωc±|k〉 =
[lim
t→±∞ eiHt/he−iHot/hD−1 (t)]|k〉
el lımite t → ∞ puede reemplazarse por una integral de Bochner (ver Gibson y
Chandler 1974 y citas ahı):
limt→∓∞ f(t) = lim
ε→0+
(ε/h)γ
Γ(γ)
∫ ∞
Otγ−1e−εt/hf(∓t)dt, (2.14)
2.6. Reconstruccion de la teorıa ... 25
donde γ es un parametro arbitrario con la unica condicion Re(γ) > 0. Eligiendo
γ = 1 ∓ iν obtenemos
|k±〉 =[ε
h
∫ ∞
Oe∓i(Ek±iε−H)t/hdt
]1
Γ(1 ∓ iνk)
(4Ek
ε
)±iνk
|k〉
= [±iε G(Ek ± iε)]1
Γ(1 ∓ iνk)
(4Ek
ε
)±iνk
|k〉. (2.15)
Podemos reconocer, en el termino entre corchetes, al operador de Møller de la teorıa
usual de corto alcance (comparar con la ecuacion (1.12)), mientras que el termino
restante puede identificarse con el estado asintotico coulombiano. Escribimos entonces
(Zorbas 1977, van Haeringen 1976)
|k±〉 = Ω∓ε|k±ε〉.
Vemos que postergar el lımite ε → 0+ en el corrimiento imaginario de la energıa,
segun la regularizacion del problema de colisiones coulombiano en la formulacion de
van Haeringen, es similar a mantener el tiempo finito en la teorıa de Dollard. Mas
aun, excepto por un factor gamma, el estado asintotico coulombiano esta dado por
la accion del operador de anomalıa de Dollard (Ec.(2.2)) sobre el estado de partıcula
libre
|k±ε〉 =
Γ
(1 ∓ i
mZ
hk
)−1
D−1± (h/ε)|k〉.
2.6 Reconstruccion de la teorıa de colisiones en
presencia de potenciales de largo alcance
La hipotesis de movimiento asintoticamente libre nos permitio en el capıtulo anterior
obtener una expresion cerrada para la seccion eficaz y un metodo practico de calcu-
larla. Sin embargo, requerimientos mucho menos restrictivos son necesarios para que
el proceso de colision este bien planteado. En el experimento real uno no observa la
funcion de onda completa sino solo algunos de los observables (impulso, spin, etc.),
y es el valor de expectacion de estos el que debe tener un lımite bien definido. Esto
queda claro en el desarrollo hecho en la seccion (1.1.2) donde solo hemos asumido que
estan bien definidos el desplazamiento perpendicular ~ρ (parametro de impacto) y el
2.7. Aplicaciones: Dispersion de Rutherford 26
impulso inicial k en el lımite t → −∞, y la densidad de probabilidad de impulsos
|〈p|ψ~ρ(t)〉| en el lımite para t → ∞.
Ahora, estamos en condiciones de calcular la seccion eficaz. Para esto advertimos
que los operadores de Møller coulombianos permiten relacionar en la forma usual los
estados inicial y final
|ψ−〉 = (Ωc−)†Ωc
+|ψ+〉.Estos estados no evolucionan libremente pero los valores de expectacion de los obser-
vables de interes tienen un lımite bien definido en forma independiente del tiempo.
La deduccion de la seccion eficaz se realiza entonces repitiendo los pasos segui-
dos en la teorıa usual. En particular, es valida la ecuacion (1.10) si reemplazamos
los operadores de Møller usuales por los de Dollard o, teniendo en cuenta los resul-
tados de la seccion anterior, reemplazando las ondas planas por estados asintoticos
coulombianos. De esta manera obtenemos para el elemento de matriz de scattering
〈p|Sc|q〉 = 〈p −ε |k+ε〉 − 2πi 〈p −ε |T (E + iε) |k+ε〉 δ(Ep − Ek); (2.16)
y para la seccion eficaz
dσ
dΩ(p) = (2π)4h2 m
k
∫ ∞
0p2dp |〈p −ε |T (Ek + iε)|k+ε〉|2 δ(Ep − Ek)
= (2π)4h2 m2 |〈p −ε |T (Ek + iε)|k+ε〉|2. (2.17)
Aquı nuevamente debe entenderse el lımite ε → 0+ y Ep = Ek.
A pesar de que derivamos este resultado suponiendo un potencial exactamente
coulombiano, es valido en general para cualquier potencial que a grandes distancias
presente este comportamiento. La generalizacion a potenciales arbitrarios con este
comportamiento asintotico, es directa consecuencia de la aplicabilidad del teorema de
Dollard en estos casos y la relacion entre ambas teorıas (seccion 2.5).
Aplicaciones
2.7 Dispersion de Rutherford
Como primera aplicacion tomamos el caso de un potencial exactamente coulombiano.
Para realizar el calculo de la seccion eficaz debemos evaluar el elemento de matriz del
2.8. Formula de Gell-mann - Goldberger 27
operador de transicion entre estados asintoticos coulombianos
tonc (p,k, Ek) = lim
ε→0+〈p −ε |T (Ek + iε)|k+ε〉 = lim
ε→0+〈p −ε |Vε|k+〉
= limε→0+
∫dq〈p −ε |q〉〈q|Vε|k+〉, (2.18)
donde el elemento de matriz del potencial, dado por la ecuacion (2.8), es:
〈q|Vε|k+〉 =Z
2 m π2hΓ(1 + iνk) e−πνk/2 [Ep − Ek − iε]iνk
[|k − p|2/m + iε]1+iνk.
Este elemento de matriz, tal como anunciamos antes, cumple las caracterısticas re-
queridas a las funciones de prueba sobre las que estan definidas los estados asintoticos
coulombianos. La integral puede calcularse entonces facilmente aplicando el teorema
de van Haeringen
tonc (p,k, Ek) =
Z
2 m π2h
Γ(1 + iνk)
Γ(1 − iνk)(4Ek)
iνk
∫ δ(q − p)
[|q − k|2/m]1+iνkdq
=Z
2 π2h
Γ(1 + iνk)
Γ(1 − iνk)
(4k2
|p − k|2)iνk 1
|p − k|2 . (2.19)
Ahora podemos reemplazar en la expresion para la seccion eficaz, obteniendo
dσ
dΩ(k, p) =
(2 m Z
|p − k|2)2
,
o simplementedσ
dΩ(E, θ) =
(Z/4E)2
sen4 (θ/2), (2.20)
que coincide con la expresion obtenida en la formulacion clasica (ecuacion 2.20).
2.8 Formula de Gell-mann - Goldberger
Si el potencial V incluye ademas de la interaccion coulombiana Vc, una interaccion
de corto alcance Vo (es decir que cumple las condiciones dadas en la seccion 1.4),
podemos aplicar la teorıa desarrollada aquı. La ecuacion de Lippmann-Schwinger
toma la forma
|k+〉 = |k+ε〉 + Go(Ek + iε) V |k+〉. (2.21)
2.8. Formula de Gell-mann - Goldberger 28
Puesto que conocemos exactamente el estado estacionario de dispersion para el pro-
blema coulombiano puro, podemos utilizarlo para simplificar el calculo del elemento
de la matriz de transicion. Utilizando la ecuacion de Lippmann-Schwinger para el
estado coulombiano
|k+c〉 = |k+ε〉 + Go(Ek + iε) Vc |k+c〉 (2.22)
podemos despejar el estado asintotico |k+ε〉 y reemplazar en el elemento de matriz
〈p|T (Ek + iε)|k〉 = 〈p −ε |V |k+〉= 〈p −c |V |k+〉 − 〈p −c |Vc Go(Ek = iε) V |k+〉 =
= 〈p −c |Vo|k+〉 + 〈p −c |Vc|k+ε〉. (2.23)
El elemento de matriz en el segundo termino de esta ecuacion es el correspondiente al
potencial coulombiano puro que calculamos en la seccion anterior. Este resultado es
conocido como formula de los dos potenciales, resultado de Gell-mann - Golbderger
o Teorema de Watson y permite escribir la matriz de transicion completa como suma
de dos terminos: uno que conocemos explıcitamente y el otro que involucra solo al
potencial de corto alcance. Debemos notar sin embargo que el estado estacionario
|k+〉 corresponde al problema completo.
Capıtulo 3
Metodos de regularizacion del
problema de colision de Rutherford
En este capıtulo estudiamos las caracterısticas de la matriz de transicion
coulombiana y discutimos un metodo de regularizacion del problema de
dispersion coulombiana. Este metodo, basado en el desarrollo realizado
en el capıtulo anterior, consiste en mantener un corrimiento en la con-
servacion de la energıa. Finalmente, discutimos como obtener -en este
formalismo- un desarrollo en potencias de la carga Z.
3.1 Lımite on - shell de la matriz de transicion cou-
lombiana
En el capıtulo 1 encontramos que la seccion eficaz diferencial puede escribirse en la
forma (ecuacion (1.11))
dσ
dΩ(p, E) = (2π)4h2 m2 |ton(p,k, E)|2
donde la funcion ton(p,k, E) esta dada por el elemento de matriz on-shell (Ep = E =
Ek) del operador de Transicion
ton(p,k, E) = 〈p|T (E + iε)|k〉.
29
3.2. Matriz de transicion Coulombiana 30
Por otro lado, al estudiar el problema de colisiones por un potencial asintoticamente
coulombiano, encontramos que la funcion que esta relacionada en forma directa con
la seccion eficaz
tonc (p,k, E) =
Z
2 π2h
Γ(1 + iν)
Γ(1 − iν)
(8 m E
|p − k|2)iν
1
|p − k|2 (3.1)
esta dada por el elemento de matriz on-shell
tonc (p,k, E) = lim
ε→0+〈p −ε |T (E + iε)|k+ε〉.
El operador de transicion T (z) es el mismo de la teorıa standard, solo que ahora
debemos calcular el elemento de matriz no entre ondas planas sino entre estados
asintoticos coulombianos dados en representacion de impulsos por
〈p|k±ε〉 =eπνk/2
Γ(1 ∓ iνk)
(4Ek
Ek − Ep ∓ iε
)±iνk
〈p|k〉
Estos estados incorporan factores que cancelan exactamente los cortes ramales que
presenta el lımite on-shell de la matriz T evaluada fuera de la capa de energıa. Este
desarrollo sugiere un metodo de regularizacion del problema de colisiones en presencia
de potenciales de largo alcance (Roberts 1985), cuya posible extension a problemas
multicanales fue sugerida por Macek (Macek 1988), hace algunos anos, aunque no ha
sido aplicada a ningun caso particular. La version monocanal, que discutimos aquı,
permite encontrar un desarrollo perturbativo para los elementos de matriz coincidente,
al menos a segundo orden, con la expansion de Taylor de la expresion exacta de
Rutherford (Barrachina y Macek 1989b, Macek y Barrachina 1990).
A continuacion investigamos las caracterısticas de la matriz de transicion coulom-
biana y su comportamiento anomalo al acercarse a la capa de energıa.
3.2 Matriz de transicion Coulombiana
El operador de transicion T (z) de un sistema de dos cuerpos interactuantes pro-
vee toda la informacion relevante sobre tal sistema. Puede demostrarse que -bajo
condiciones muy generales- los polos y residuos de la matriz de transicion dan el es-
pectro discreto de energıas y sus correspondientes estados ligados, respectivamente.
3.2. Matriz de transicion Coulombiana 31
Ademas, tanto para potenciales de corto alcance como para potencial asintoticamente
coulombiano, este operador de transicion es todo lo que necesitamos para resolver el
problema de colisiones (menos aun, ya que solo se requieren los elementos de matriz
evaluados sobre la capa de energıa, es decir con Ep = E = Ek)
Este operador esta definido formalmente por T (z) = V + V G(z)V , donde G(z) =
(z −H)−1 es el operador de Green total. En general depende de la variable compleja
z, pero restringiremos nuestra atencion al caso particular en que z = E + iε con ε > 0
y ε → 0. Segun que las energıas Ep, E y Ek sean iguales o distintas entre sı, diremos
que el elemento de matriz de transicion 〈p|T (E + iε)|k〉 esta evaluado sobre la capa
de energıa (on - shell ) o fuera de la capa de energıa (off - shell ), respectivamente.
Cuando Ep 6= E = Ek o Ek 6= E = Ep decimos que el elemento de matriz de transicion
esta evaluado parcialmente sobre la capa de energıa (half - shell).
En funcion de la matriz de Transicion, la ecuacion de Lippmann-Schwinger para
el operador de Green (ecuacion (B.2)) toma la forma:
G(z) = Go(z) + Go(z) T (z) Go(z).
Por lo tanto, los elementos de matriz verifican
〈p|T (z)|k〉 = (z − Ep)(z − Ek) 〈p|G(z)|k〉 − 〈p|k〉
. (3.2)
El operador de Green en representacion de impulsos 〈p|G(z)|k〉, ha sido ampliamente
investigado en la literatura (Schwinger 1964, Perelomov y Popov 1966, Roberts 1970a,
Bander e Itzykson 1966, Chen y Chen 1972). Este operador es solucion de la ecua-
cion integral
(z − Ep) 〈p|G(z)|k〉 +∫
dq 〈p|V |q〉 〈q|G(z)|k〉 = δ(p − k). (3.3)
Para el potencial coulombiano, la integral que define al elemento de matriz 〈p|V |k〉 no
existe. Sin embargo, agregando el factor de convergencia e−ηr (η → 0+), obtenemos
〈p|V |k〉 =Z
2π2 h
1
|k − p|2 . (3.4)
Resolviendo la ecuacion (3.3) es posible, a traves de (3.2), obtener el elemento de
matriz de transicion off-shell en forma analıtica (Chen y Chen 1972). Este resultado
puede expresarse de distintas maneras en terminos de desarrollos en serie, integrales
3.2. Matriz de transicion Coulombiana 32
o funciones especiales. Una de las representaciones que nos interesara en el futuro
esta dada, para energıas positivas, por (ecuacion (136) del trabajo de Chen y Chen):
〈p|T (E + iε)|k〉 =(Z/h)
2π2|p − k|2[1 + τa(p,k, E) + τb(p,k, E)
](3.5)
donde
τa(p,k, E) =−ν2
√1 + ε
∞∑n=−∞
(t+)−|n|
n2 + ν2,
τb(p,k, E) =2πν
e2πν − 1
(t+)iν
√1 + ε
,
t+ =(1 + ε)1/2 − 1
(1 + ε)1/2 + 1, (3.6)
ε =(E + iε − Ep)(E + iε − Ek)
(E + iε)|k − p|2/2m (3.7)
con ν =m Z
h√
2 m E.
Como veremos mas adelante, el primer termino en esta expresion de la matriz de
transicion corresponde a la primera aproximacion de Born. El termino incluyendo τa
contiene, mediante continuacion analıtica a valores negativos de la energıa, polos en
ν = in dando como es usual el espectro discreto de energıas. Finalmente, el ultimo
termino puede escribirse como una suma sobre caminos de exponenciales de la accion
clasica (Norcliffe et al 1969).
Tomando el lımite ε → 0+, vemos que la fase de la funcion t+ depende de la relacion
entre las tres energıas Ep, E y Ek. De hecho,
t+ = |t+| ×
1 cuando E > Ep, Ek
eiπ cuando Ep < E < Ek o Ek < E < Ep
e2 iπ cuando Ep, Ep > E
Este resultado indica claramente que los lımites on-shell y half-shell no estan bien
definidos. La matriz de transicion presenta cortes ramales. Por ejemplo, al tomar el
lımite parcialmente sobre la capa de energıa Ep → E obtenemos (ver apendice G)
〈p|T (E ± iε)|k〉 ≈Ep→E
g±(E,Ek) tonc (p,k, E) g±(E,Ep) (3.8)
3.2. Matriz de transicion Coulombiana 33
donde la funcion tonc (k,p, E) esta definida formalmente por la ecuacion (3.1) si libe-
ramos la condicion Ek = Ep = E. Aquı hemos definido el factor
g±(E,E ′) = Γ(1 ∓ iν) e−πν/2
(4E
E ′ − (E ± iε)
)∓iν
(3.9)
que contiene los cortes ramales sobre la capa de energıa que mencionamos anterior-
mente. En efecto, para ε → 0+ tiene una fase logarıtmicamente divergente en el lımite
on-shell y su modulo toma distintos valores al acercarse a la capa de energıa desde
uno u otro lado
|g±(E,E ′)|2 −→E′→E
∣∣∣∣ 2 π ν
e2πν − 1
∣∣∣∣
1 si E ′ > E
e−2πν si E ′ < E(3.10)
Puesto que el elemento de matriz de transicion off-shell es invariante ante inter-
cambio de p y k, tanto el lımite sobre la otra capa de energıa (Ek → E) como el
lımite totalmente on-shell son inmediatos. Obtenemos
〈p|T (E ± iε)|k〉 ≈Ep,Ek→E
g±(E,Ek) tonc (p,k, E) g±(E,Ep) (3.11)
Podemos comparar esta expresion con los resultados obtenidos en el capıtulo an-
terior donde encontramos que la seccion eficaz estaba directamente relacionada al
elemento de matriz
tonc (p,k, E) = lim
ε→0+〈p −ε |T (Ek + iε)|k+ε〉
= limε→0+
∫dq
∫dq′〈p −ε |q〉〈q|T (Ek + iε)|q′〉〈q′|k+ε〉
= limEp,Ek→E
g−1+ (E,Ep)〈p|T (E + iε)|k〉g−1
+ (E,Ek). (3.12)
A primera vista puede resultar sorprendente que ambos resultados coincidan. En el
capıtulo anterior encontramos que los estados asintoticos coulombianos, que se obtie-
nen al apantallar el potencial coulombiano en la transformada Fourier de los estados
asintoticos de dispersion, estan definidos en base a un apartamiento imaginario iε de
la capa de energıa. A su vez, vimos que postergar el lımite ε → 0+ en dicho tratamien-
to es “equivalente” a mantener los tiempos inicial y final finitos (con t∞ ≈ h/ε) en el
formalismo dependiente del tiempo de Dollard. Y ahora, encontramos que la matriz
off-shell de la teorıa standard presenta los mismos factores de distorsion g(E,Ep) en
3.3. Desarrollo de Born 34
el lımite on-shell que los que se obtienen postergando el lımite ε → 0+ y t → ±∞ en
las teorıas antes mencionadas. Estos resultados sugieren las siguientes“equivalencias”
apantallamiento ≡ tiempo finito ≡ off-shell
Esta conexion se ve reforzada por los resultados obtenidos por Dettmann (1971)
quien, al estudiar la evolucion de un paquete de ondas en presencia de un potencial
coulombiano durante un intervalo de tiempo finito, encuentra similares factores de
distorsion. En su trabajo Dettmann propone que, ya que las dificultades con el
potencial coulombiano aparecen en el lımite asintotico, se debe postergar el lımite de
tiempo infinito hasta despues de calcular las cantidades de interes fısico. Demuestra
ademas que para el caso de potencial coulombiano puro esta tecnica permite recuperar
el resultado correcto.
En 1985 Roberts propone otro metodo de regularizacion basado en postergar el
lımite a la capa de energıa en la matriz de transicion off-shell usual (Roberts 1985). Si
bien esta propuesta, a diferencia de la realizada por Dettmann no tiene una motivacion
intuitiva ni una interpretacion clara, no solo da el resultado correcto en el caso de
dispersion de Rutherford, sino que ademas permite realizar un desarrollo perturbativo
que coincide exactamente, al menos a segundo orden, con la expansion de Taylor en
potencias de la carga del resultado exacto (Macek y Barrachina 1990).
3.3 Desarrollo de Born
Uno de los metodos mas potentes de resolucion aproximada de problemas de scatte-
ring, esta basado en la ecuacion de Lippmann-Schwinger para el operador de Green
(ecuacion B.2) o equivalentemente para el operador de Transicion. Por iteracion de
estas relaciones obtenemos
T (z) = V + V Go(z) V + V Go(z) V Go(z) V + ... .
Tenemos entonces para los elementos on-shell de la matriz de transicion
ton(p,k, E) = 〈p|T (E + iε)|k〉 = 〈p|V |k〉 + 〈p|V Go(E + iε) V |k〉 + ... (3.13)
3.3. Desarrollo de Born 35
En este desarrollo, los estados de onda plana y el operador libre de Green no depen-
den del potencial y entonces este procedimiento define una serie en potencias de la
amplitud del potencial. La convergencia de esta serie ha sido extensamente estudia-
da en la literatura (Newton 1966, Taylor 1972) pero no existe una teorıa rigurosa en
presencia de potencial coulombiano.
Una caracterıstica particular del potencial coulombiano es que la seccion eficaz
cuantica exacta no solo coincide con el resultado clasico sino que, al aplicar el desa-
rrollo anterior, se encuentra que tambien es identica a la expresion que se deriva de
la primera aproximacion de Born
〈p|V |k〉 =Z
2π2h
1
|k − p|2 .
Vemos que, en efecto el primer termino reproduce el valor absoluto del resultado
exacto. En consecuencia -de ser valido este desarrollo- el resto de la serie debe co-
rresponder a la expansion de la fase. Como resultado, agregando un numero finito de
terminos, se obtiene una peor aproximacion.
Sorprendentemente, al calcular el segundo termino de la serie se encuentra cerca
de la capa de energıa (Chen y Chen 1972, Macek y Barrachina 1990)
〈p|V G+o (E) V |k〉 =
(Z
2π2h
)νk
|p − k|2(i log
(Ep − E)(Ek − E)
2E|p − k|2 − π
)(3.14)
que diverge logarıtmicamente en el lımite a la capa de energıa (Ep o Ek → E). O
sea que el primer termino conduce a la seccion eficaz de Rutherford exacta y, por
el contrario, no existe el segundo termino. Sin embargo, usualmente se emplea este
desarrollo solo a primer orden y no se menciona esta divergencia de los terminos
superiores. Debemos notar que divergencias similares se encuentran al calcular los
terminos superiores de este desarrollo a partir de potenciales apantallados, en el lımite
de distancia de apantallamiento infinita (Kolsrud 1978).
Ahora, si bien es cierto que el desarrollo usual no es valido, debe existir una
expansion en serie de la carga Z, pues la expresion exacta para el elemento de matriz
(ecuacion (2.19))
tonc (p,k, E) =
Z
2 m π2h
Γ(1 + iν)
Γ(1 − iν)
(4k2
|p − k|2)iν
1
|p − k|2
3.4. Estados coulombianos del continuo fuera de la capa de energıa 36
es una funcion analıtica de esta cantidad.
La respuesta a este dilema, en realidad ya fue dada en la seccion anterior (ver
ecuacion (3.12)). El elemento de matriz relacionado a la seccion eficaz es
tonc (p,k) = lim
Ep,Ek→Eg−1(E,Ep)〈p|T (E + iε)|k〉g−1(E,Ek).
Desde este resultado es claro que, si estamos buscando una expansion en potencias de
la carga, debemos desarrollar no solo el elemento de matriz sino tambien los factores
de distorsion, A segundo orden obtenemos
g−1(E,E ′) = 1 +mZ
hk
[π/2 − i log
(E ′ − E
4E
)− iγ
]+ O(Z2) (3.15)
con γ = 0.5777... la constante de Euler.
De esta manera, el segundo termino de la serie esta dado por
(tonc (p,k))2B =
(mZ2
2π2hk
)i
(log
4E
|p − k|2/2m + 2γ
), (3.16)
expresion que coincide exactamente con el segundo termino de la serie de Taylor de
la expresion exacta (2.19).
La importancia de este resultado radica en que, tal como sugirio Macek en 1988,
esta tecnica de desarrollo de Born fuera de la capa de energıa podrıa extenderse al
caso de colisiones multicanales. En su trabajo, Macek mostro como implementar este
metodo en problemas de excitacion, ionizacion e intercambio de carga. Los resultados
obtenidos en este trabajo tienen como objetivo dar un sustento formal y -al mismo
tiempo- una imagen conceptual clara de esta tecnica de regularizacion. Para esto
centraremos nuestra atencion no en el elemento de la matriz de transicion sino en una
cantidad estrechamente relacionada como es la representacion de impulso del estado
coulombiano del continuo off-shell.
3.4 Estados coulombianos del continuo fuera de la
capa de energıa
La teorıa usual de dispersion no es valida en presencia de potenciales asintoticamente
coulombianos. Sin embargo, tal como vimos en este capıtulo, aun se puede aplicar
3.4. Estados coulombianos del continuo fuera de la capa de energıa 37
la teorıa de corto alcance a este tipo de problemas, obteniendo expresiones que solo
estan definidas fuera de la capa de energıa (Schwinger 1964, Chen y Chen 1972). Por
ejemplo, la ecuacion usual de Lippmann-Schwinger
|k±〉 = |k〉 + Go(Ek ± iε)V |k±〉 con Ek = k2/2m
utilizada en diversos desarrollos en la teorıa standard de dispersion no tiene solucion
cuando V (r) es un potencial de comportamiento asintoticamente coulombiano. Sin
embargo, podemos obtener una expresion valida incluso en presencia de potenciales
de largo alcance si liberamos la condicion impuesta por conservacion de la energıa.
Definimos ası una ecuacion de Lippmann-Schwinger fuera de la capa de energıa
|Ψ±k,E〉 = |k〉 + Go(E ± iε)V |Ψ±
k,E〉. (3.17)
con E = Ek + δE.
De esta manera hemos definido el estado off-shell de dispersion, que podemos escribir
como:
|Ψ±k,δE〉 = Ω±(Ek + δE)|k〉 = (I + G(Ek + δE ± iε)V )|k〉.
Usando ahora la siguiente relacion entre los operadores de Green y la matriz de
transicion
Go(z) T (z) = Go(z)(V + V G(z)V ) = G(z)V
podemos escribir el estado estacionario de dispersion off-shell en representacion de
impulso en terminos de la matriz de transicion
〈p|Ψ+k,δE〉 = 〈p|k〉 +
(Ek + δE − p2
2m+ iε
)−1
〈p|T (Ek + δE)|k〉.
Usando la expresion (3.5) para la matriz de transicion, podemos obtener inmedia-
tamente una expresion analıtica para el estado Ψ+k,E off-shell en representacion de
impulso.
Este estado no tiene un lımite bien definido sobre la capa de energıa. De hecho,
con los mismos argumentos que utilizamos para calcular el lımite on-shell de la matriz
de transicion, es facil mostrar que
Ψ±k,δE(p) = 〈p|Ψ±
k,δE〉 ≈δE→0
g±(Ek + δE,Ek)〈p|k+〉.
3.4. Estados coulombianos del continuo fuera de la capa de energıa 38
Este resultado coincide con los obtenidos por Macek y Alston (Macek y Alston 1982)
en representacion de posicion y puede derivarse tambien por comparacion de la ecua-
cion de Lippmann-Schwinger que define el estado estacionario off-shell (ec. 3.17) con
la que derivamos en el capıtulo 2 para los estados coulombianos de dispersion (ec.
2.10).
En base a esto, podemos generalizar el resultado de van Haeringen y definir una
version regularizada |Ψ±k,δE〉 del estado coulombiano del continuo off-shell
|Ψ±k,δE〉 =
(I + G(Ek + δE ± iε) V
)|k+ε〉 = g−1
± (Ek + δE,Ek)|Ψ±k,δE〉.
cuyo lımite on-shell esta bien definido (Roberts 1985).
En el siguiente capıtulo, y en base a una descripcion clasica propondremos una
interpretacion de este estado coulombiano del continuo off-shell en representacion
de impulsos.
Capıtulo 4
Interpretacion clasica del estado
coulombiano del continuo off-shell
Iniciamos este capıtulo desarrollando un formalismo clasico estacionario
del problema de colisiones. Este formalismo -equivalente al tradicional
tratamiento cuantico del problema de colisiones- nos permite dar una in-
terpretacion completa del, preferentemente abstracto, concepto de funcion
de onda off-shell.
4.1 Formalismo estacionario
El proceso de colisiones fue definido en el capıtulo 1 en terminos de un flujo uniforme
de partıculas identicas que inciden con impulso k sobre N centros de fuerza. Vimos
que, bajo las condiciones adecuadas, podemos considerar que cada proyectil interactua
con un unico centro de fuerzas en el blanco.
Este problema puede describirse desde dos puntos de vista conceptualmente di-
ferentes. Uno, consistente en estudiar la orbita clasica r(ρ, t) de la partıcula en
presencia del potencial V (r) -o equivalentemente la evolucion del paquete de ondas
en un tratamiento cuantico- fue el adoptado en los capıtulos 1 y 2.
Por otro lado, podemos pensar que el flujo uniforme de partıculas incidentes no
es mas que la repeticion del mismo proceso de colision de un proyectil y un centro
39
4.1. Formalismo estacionario 40
de fuerzas, variando sobre todos los posibles parametros de impacto ρ. Tenemos en-
tonces el problema definido en terminos de un ensamble y podemos pensar que se
establece una distribucion -estacionaria, pues el flujo inicial es uniforme- espacial de
partıculas. Este es, de hecho, el modo en que se desarrollo historicamente la teorıa
cuantica no relativista de colisiones, en oposicion al tradicional desarrollo clasico
(Landau y Lifshitz 1976, Goldstein 1959) mostrado en la seccion 1.1.1.
Este formalismo estacionario, utilizado en los libros de texto de mecanica cuantica
como una introduccion al tema (Landau y Lifshitz 1965, Schiff 1965, Messiah 1973,
Cohen-Tannoukji et. al. 1977), consiste en resolver la ecuacion de Schrodinger inde-
pendiente del tiempo
HΨk(r) = EkΨk(r)
con la condicion asintotica (ver ecuacion (1.17))
Ψk(r) ≈r→∞
√no
[eik·r/h + f(p · k, k)
eik r/h
r
]. (4.1)
Aquı no es una constante de normalizacion y f(p · k, k) es amplitud de scattering. En
esta descripcion toda la informacion relevante sobre el proceso esta contenida en la
funcion de onda del continuo Ψk(r) cuya interpretacion no es muy precisa.
Este tratamiento no constituye en sı mismo una solucion formal del problema
cuantico de colisiones (Taylor 1972), pero esta plenamente justificado por la teorıa
dependiente del tiempo. Debido a que la seccion eficaz puede obtenerse de la amplitud
de la onda esferica saliente asociada al lımite asintotico de Ψk(r), este formalismo
se emplea en la resolucion numerica de problemas. Ademas, diversos metodos de
resolucion aproximada -como por ejemplo la serie de Born- estan tambien basados en
un formalismo estacionario.
Podemos desarrollar un formalismo estacionario clasico equivalente a este para
describir la colision de una partıcula por un centro de fuerza (Fiol et. al. 1996). Con-
sideramos un flujo J como el descrito y suponemos que conocemos la distribucion
estacionaria de partıculas n(r) en cada punto del espacio r = (r, θ, φ). En mecanica
cuantica esta densidad esta dada por el modulo cuadrado de la funcion de onda del
continuo Ψk(r). En contraposicion, en una descripcion clasica, puede ser obtenida
estudiando la deformacion que sufre un volumen de control -ocupado por un numero
4.1. Formalismo estacionario 41
fijo de partıculas- debido a la evolucion temporal de cada una de estas en presencia
del potencial V(r) (Samengo et. al. 1996a).
Como mostramos en el apendice H, este metodo permite encontrar las dos expresiones
equivalentes para la densidad espacial de partıculas
n(r) =no
senθ
k
pr
ρ
r2
∣∣∣∣∣(
∂θ
∂ρ
)r
∣∣∣∣∣−1
, n(r) =no
senθ
∣∣∣∣∣(
∂r
∂ρ
)θ
∣∣∣∣∣−1
(4.2)
Aquı pr es la componente radial del impulso y no = J/(k/m) es la densidad inicial.
La suma debe hacerse sobre todas las trayectorias que atraviesan el punto r.
En el lımite asintotico podemos, en principio, distinguir dos contribuciones n+(r)
y n−(r) a la densidad que corresponden a las partıculas incidentes y dispersadas,
respectivamente
n(r) ≈r→∞ n+(r) + n−(r),
donde por definicion n+(r) → no cuando r → ∞.
De la segunda ecuacion en (4.2) obtenemos el lımite asintotico de n−(r)
n−(r) ≈r→∞
∑ρ−
no
senθ
k
pr
ρ−r2
∣∣∣∣∣(
∂θ
∂ρ−
)r
∣∣∣∣∣−1
. (4.3)
Aquı ρ− caracteriza las trayectorias salientes que pasan por el punto r y pr → k
cuando r → ∞ (dispersion elastica). Una separacion asintotica similar ocurre en la
descripcion cuantica como es evidente de la forma asintotica de la funcion de onda
del continuo (ecuacion (4.1)) donde otra vez n+(r) → no, mientras que
n−(r) ≈r→∞
no
r2|f(p · k, k)|2. (4.4)
La unica diferencia con el caso clasico radica en que se incorpora un termino de
interferencia, caracterıstico de la naturaleza ondulatoria de la mecanica cuantica.
Debemos aclarar aquı que si bien es cierto que en el lımite asintotico podemos
distinguir entre ambas contribuciones, esto no es cierto en general para un pun-
to cualquiera r del espacio. En particular esta separacion de la densidad n(r) en
una parte entrante y otra saliente puede realizarse para el potencial coulombiano
(Samengo et. al. 1996a). Sin embargo, tal como mostramos en el capıtulo 5, esto no
es cierto al cortar el potencial a una distancia finita.
4.1. Formalismo estacionario 42
Detector
θ
part culas dispersadas
V(r)
J
dΩ n- (r)
n +(r)
Figura 4.1: Esquema de la situacion estacionaria
El numero de partıculas que -en un intervalo de tiempo dt- inciden sobre un
detector que subtiende un angulo solido dΩ alrededor de la direccion r, esta dado
por dn = n−(r) dr = n−(r) (r2 dΩ) (pr/m) dt. Aquı hemos supuesto que solo pueden
ser detectadas aquellas partıculas que fueron dispersadas (en los experimentos esto
se logra por una adecuada colimacion del haz incidente). El numero de partıculas
detectadas por unidad de tiempo y angulo solido es I = dn/dtdΩ y, por definicion de
seccion eficaz diferencial:
dσ
dΩ=
I
J= lim
r→∞ r2n−(r)
no
(pr
k
). (4.5)
Reemplazando n−(r) por las expresiones (4.3) y (4.4) obtenemos la seccion eficaz
clasicadσ
dΩ=
∑ρ−
ρ
senθ
∣∣∣∣∣∂θ
∂ρ
∣∣∣∣∣−1
y cuanticadσ
dΩ= |f(p · k, k)|2.
Vemos que es posible desarrollar una teorıa estacionaria similar en ambas descrip-
ciones, cuantica o clasica. La densidad clasica juega, en este formalismo, el mismo
rol que el modulo cuadrado de la funcion de onda del continuo en la teorıa cuantica.
4.2. Problema clasico 43
La distribucion de impulsos puede obtenerse en mecanica cuantica transformando
Fourier la funcion de onda del continuo. La distribucion clasica de impulsos NCl(p)
puede calcularse si observamos que, bajo condiciones estacionarias, se establece un
campo de velocidades o equivalentemente impulsos p(r). Esto nos permite escribir
NCl(p) dp = n(r) dr = n(r)
∣∣∣∣∣ drdp
∣∣∣∣∣ dp.
Si utilizamos coordenadas esfericas tanto para la posicion r = (r, θ, ϕ) como para el
impulso p = (p, θp, ϕp) y tenemos en cuenta las leyes de conservacion de momento
angular y energıa obtenemos (Samengo et. al. 1996a)
NCl(p)dp = n(r)
(r2 senθ
p2 senθp
)∂(r, θ)
∂(p, θp)dp
=r2
m p |dV (r)/dr|1
senθp
∣∣∣∣∣(
∂r
∂ρ
)θ
− r
ρ
∣∣∣∣∣−1
(4.6)
donde debe leerse ρ(p) y r(p). Aquı hemos supuesto que el campo de velocidades es
una funcion biunıvoca, de no ser ası debe sumarse sobre todas las contribuciones en
el punto p.
Esta distribucion representa el analogo clasico de la densidad de probabilidad cuantica
en representacion de impulso
NQm(p) = (2πh)3|〈p|k+〉|2 = (2πh)3|Ψ±k (p)|2.
A continuacion emplearemos esta distribucion clasica para interpretar la funcion de
onda coulombiana del continuo off-shell. Trabajaremos en representacion de impulso
porque, como vimos en el capıtulo anterior, en esta representacion la relacion con la
matriz de transicion es trivial. Ademas, su forma es mas simple debido a la simetrıa
del potencial coulombiano (Fock 1935, Bander e Itzikon 1966, Perelomov y Popov
1966).
4.2 Problema clasico
La representacion de coordenadas del estado del continuo off-shell definido en la
seccion 3.4 fue estudiada en detalle por Macek y Alston en el contexto de las colisiones
4.2. Problema clasico 44
de intercambio de carga (Kelsey y Macek 1976, Macek y Alston 1982). Esta funcion
satisface la ecuacion diferencial:
[(Ek + δE) − H
]Ψ+
k,δE(r) = δE〈r|k〉
Aquı la energıa cinetica Ek asociada al impulso k -definido por su comportamiento
asintotico- mantiene un corrimiento δE respecto a su energıa total E. Suele decirse
tambien que la energıa de la onda total difiere de la energıa de la parte correspondiente
a la onda plana.
Clasicamente podemos imaginar una situacion similar si los proyectiles inciden
sobre el centro de potencial con una energıa total diferente a su energıa cinetica.
V(r)
Figura 4.2: Situacion clasica planteada para describir el estado off-shell.
Para establecer este corrimiento en energıas requerimos que el impulso de todas las
partıculas incidentes sea igual a k, no en el infinito sino a una distancia finita R.
Ademas encontramos que la distribucion inicial adecuada para reproducir la funcion
de onda off-shell no es uniforme. Proponemos en cambio una distribucion uniforme
en angulos a una distancia R del centro de potencial.
4.2. Problema clasico 45
En presencia de un potencial coulombiano el problema ası definido puede ser
resuelto analıticamente. Las trayectorias que siguen las partıculas pueden ser encon-
tradas tanto en el espacio de coordenadas como de impulsos (ver el capıtulo siguiente
donde estudiamos un problema estrechamente relacionado a este).
Empleando un desarrollo similar al que nos condujo a la ecuacion 4.6 encontramos
que, para este problema, la distribucion de impulsos esta dada por:
NClk,δE(p) =
k/m
|Z|r2
p2 sen2θp
ρ2
donde ρ es ahora la distancia perpendicular al centro de fuerzas cuando la partıcula
se encuentra a una distancia R.
Aplicando las leyes de conservacion de impulso angular, energıa y vector de Runge-
Lenz A = p × L + mZr obtenemos
r(p) =Z/E
1 − (p/k)2
ρ(p) =2m p Z senθp
k |k − p| |(1 + δE/Ek)k − p|
Luego, la distribucion de impulsos esta dada por:
NClk,δE(p) =
4m|Z|3/k(Ek − Ep + δE)2
1
|k − p|2|k(1 + δE/Ek) − p|2 Θ(Z(Ek−Ep+δE)). (4.7)
donde Θ(x) es la funcion escalon de Heaviside que vale uno si x es mayor que cero
y se anula si x es negativo. En el lımite δE → 0, esta expresion coincide con la
distribucion de impulsos para el problema de scattering por un potencial coulombiano
(Samengo et. al. 1996a).
4.3. Lımite clasico de Ψ+k,δE 46
4.3 Lımite clasico de la funcion de onda coulom-
biana del continuo en representacion de impul-
sos
Comparamos nuestra expresion clasica con el estado coulombiano del continuo off-
shell regularizado, definido en la seccion (3.4)
Ψ+k,δE(p) = g−1
+ (Ek + δE,Ek) Ψ+k,δE(p).
A partir de la expresion (3.5) para la matriz de transicion podemos obtener una
expresion analıtica para la funcion de onda off-shell en representacion de impulsos.
Reescribiendo el factor
√1 + ε =
(1 +
δE (Ek + δE − Ep)
(Ek + δE)|k − p|2/2m)1/2
=k√
2mE
|p − (1 + δE/Ek)k||p − k| ,
obtenemos
Ψ+k,δE(p) = δ(p − k) +
(Z/h)
2π2|p − k|2(Ek − Ep + δE)− (4.8)
− m (Z/h)2
2π2|p − k| |p − (1 + δE/Ek)k| (Ek − Ep + δE)×
× ∞∑
n=−∞ν
(−1)µ.n e−|n|ω
n2 + ν2+
π e−µπν
1 − e2πνe−iνω
donde hemos escrito
µ =
0 si Ep, Ek > Ek + δE
1 si Ep < Ek + δE < Ek o Ek < Ek + δE < Ep
2 si Ep, Ek > Ek + δE
y
e−ω = |t+| =k|p − (1 + δE/Ek)k| +
√2mE|p − k|
k|p − (1 + δE/Ek)k| −√
2mE|p − k|Luego, la distribucion cuantica de impulsos esta dada por
NQmk,δE(p) = (2πh)3|Ψ+
k,δE(p)|2 = (2πh)3|g−1(Ek + δE,Ek)|2|Ψ+k,δE(p)|2 (4.9)
4.3. Lımite clasico de Ψ+k,δE 47
donde, en el lımite ε → 0+,
|g−1(Ek + δE,Ek)|2 =1
2π|ν|
|e2πν − 1| si Ek > E,
|1 − e−2πν | si Ek < E.
Empleamos ahora la expresion (4.8) y tomamos el lımite h → 0 individualmente en
cada termino. Es inmediato que el termino conteniendo la delta en impulsos se anula
en este lımite. Lo mismo ocurre con el termino siguiente pues se comporta como h2.
Para analizar los terminos restantes, observamos en primer lugar que podemos acotar
el primer termino entre corchetes en la forma:
∣∣∣∣∣1ν∞∑
n=−∞
(−1)µ.n e−|n|ω
(n/|ν|)2 + 1
∣∣∣∣∣ ≤ 1
|ν|∞∑
n=−∞
e−nω
(n/|ν|)2 + 1
=1
|ν|(
2∞∑
n=0
e−nω
(n/|ν|)2 + 1− 1
)−→
x=n/|ν|2
∫ ∞
0
e−|ν|ω xdx
x2 + 1− 1
|ν| .
La integral aquı puede ser evaluada dando (Abramowitz y Stegun 1970)
f(|ν|ω) = Ci(|ν|ω)sen(|ν|ω) − si(|ν|ω) cos(|ν|ω)
con si(x) y Ci(x) las integrales seno y coseno respectivamente. Un desarrollo similar a
este se ha realizado para expresar el lımite E → 0 del operador de Green y la matriz
T off-shell (Roberts 1970a, Chen y Chen 1972).
En el lımite de valores grandes de su argumento, la funcion f(x) tiene un compor-
tamiento de la forma xf(x) −→x→∞ 1 (Abramowitz y Stegun 1970). Por lo tanto, este
termino es lineal en h y tambien se anula en el lımite de correspondencia. Vemos que
solo sobrevive el ultimo termino. La distribucion cuantica NQmk,δE(p) se reduce en el
lımite clasico a
NQm(p) ≈h→0
4m|Z|3/k(Ek − Ep + δE)2
1
|k − p|2|k(1 + δE/Ek) − p|2|g(Ep, Ek + δE)|2
2π|ν| .
(4.10)
4.4. Discusiones 48
4.4 Discusiones
El estado coulombiano de dispersion off-shell esta bien definido por la expresion (3.17).
Sin embargo no se ha dado, hasta el momento, una interpretacion clara de este esta-
do. Diversas teorıas de colision multicanal incluyen contribuciones off-shell, como por
ejemplo la aproximacion DSPB, mencionada anteriormente. Al aplicar esta teorıa a
procesos de intercambio de carga, los estados off-shell aparecen como estados inter-
medios virtuales. Debido a que, procesos de muchos cuerpos no tienen una solucion
exacta, los calculos de interes requieren siempre alguna aproximacion para estos es-
tados. Los primeros calculos de ionizacion por ejemplo, aproximaban los estados
off-shell por su lımite on-shell. Debido a que el corrimiento en energıas involucrado
en el calculo es pequeno esta parece ser una buena aproximacion. Sin embargo, los
cortes ramales y las singularidades que presenta el estado off-shell al acercarse a la
capa de energıa dan una contribucion adicional que no es despreciable.
Una mejor comprension de que significan los estados fuera de la capa de energıa
dara, seguramente, un mejor criterio para realizar estas aproximaciones. Para realizar
esta interpretacion obtuvimos una distribucion clasica de impulsos para un problema
estacionario de colisiones. Sorprendentemente, esta distribucion coincide exactamente
con la que se obtiene en un calculo cuantico off-shell. La distribucion cuantica fue
calculada elevando al cuadrado el modulo de la funcion de onda coulombiana fuera
de la capa de energıa en representacion de impulso. En el lımite de correspondencia,
ambas distribuciones presentan la misma estructura, con contribuciones importantes
en algunos puntos especıficos (ilustrado en la figura 4.3) .
Advertimos, por ejemplo, la presencia de una contribucion proporcional a (Ek −Ep + δE)−2 representativa del elemento de matriz del operador de Green libre en la
formulacion cuantica. Clasicamente este termino puede interpretarse como una conse-
cuencia de que, a pesar de que el movimiento del proyectil no converge asintoticamente
a una orbita libre, su impulso tiene un lımite bien definido dado por la energıa cinetica
Ep = Ek + δE. La divergencia se debe a que las partıculas tardan un tiempo infinito
en alcanzar su velocidad final.
Observamos ademas un pico de la forma |p − k|−2, cuyo origen se encuentra en la
condicion inicial del proceso de colision ya que al llegar al punto r = R todas las
4.4. Discusiones 49
partıculas lo hacen con este impulso.
Existe tambien una contribucion proporcional a |p− (1 + δE/Ek)k|−2. Para energıas
positivas, este punto se encuentra en una zona del espacio de impulso clasicamente
prohibida por conservacion de la energıa. Por lo tanto esta contribucion no puede
diverger a menos que sea exactamente δE = 0, o equivalentemente R = ∞ en la
descripcion clasica. En este lımite existen trayectorias con parametro de impacto
arbitrariamente grande y el impulso de las partıculas permanece en todo momento
cercano al valor inicial k. En nuestro caso esta situacion no ocurre ya que el parametro
de impacto esta acotado por la condicion ρ ≤ R. En la distribucion cuantica, este
termino divergente esta siempre presente pero multiplicado por un factor de decai-
miento.
Finalmente observamos que la aparicion de la funcion escalon se debe a que,
por conservacion de la energıa, las partıculas estan restringidas a moverse fuera o
dentro de la esfera p = k dependiendo de que el potencial sea atractivo o repulsivo,
respectivamente. En la distribucion cuantica observamos la aparicion del factor de
distorsion g(Ep, Ek+δE) que en el lımite de correspondencia tiene un comportamiento
|g(Ep, Ek + δE)|22 π |ν| =
1/|e2πν − 1| si Ep > Ek + δE −→|ν|→∞
1 ν < 0
0 ν > 0
1/|1 − e−2πν | si Ep < Ek + δE −→|ν|→∞
1 ν > 0
0 ν < 0
convergiendo a la funcion escalon y recuperando el resultado clasico. Este factor de
distorsion contiene el corte ramal sobre las capas inicial y final de energıa, tal como
vimos anteriormente. Vemos entonces que en el lımite clasico, estos cortes ramales
expresan la conservacion de la energıa. Este es un resultado importante, pues indica
que este factor de distorsion -responsable de las dificultades en el problema de dis-
persion por un potencial coulombiano- contiene informacion sobre el comportamiento
asintotico de las partıculas.
Este resultado indica claramente que mantener un apartamiento δE con respecto a
la capa de energıa es equivalente a imponer condiciones a la distribucion inicial no en
el infinito sino a una distancia R = Z/δE -o equivalentemente considerar el tiempo
inicial finito ti ≈ h/δE en la descripcion dependiente del tiempo de Dollard. El
modulo del factor de anomalıa, recurrente en las distintas teorıas, expresa en el lımite
4.4. Discusiones 50
clasico la conservacion de la energıa. La fase, sin embargo es un efecto puramente
cuantico y, en esta descripcion no puede ser interpretada.
4.4. Discusiones 51
k
p=k
Zona Prohibida
p=(1+ δE/Ek)k
Ep = Ek+Z/R
p=k
Zona Prohibida
p=(1+ δE/Ek)k
Ep = Ek+Z/R
Figura 4.3: Trayectorias de las partıculas en espacio de impulsos. Arriba: proceso
de colision por un potencial repulsivo (Z > 0). Abajo: En presencia de un potencial
atractivo (Z < 0) .
4.4. Discusiones 52
Figura 4.4: Distribucion clasica de impulsos para el problema propuesto para describir
la funcion de onda off-shell
Capıtulo 5
Potencial coulombiano cortado
En este capıtulo realizamos una descripcion detallada del proceso de dis-
persion por un potencial coulombiano cortado. En primer lugar estudia-
mos el problema clasico tanto en espacio de coordenadas como de impul-
sos. En particular centramos nuestra atencion sobre algunos fenomenos
particulares que presenta este problema. A continuacion, resolvemos el
problema cuantico y comparamos los resultados que se obtienen en ambas
descripciones.
5.1 Introduccion
Un metodo de regularizacion del problema de dispersion por potencial coulombiano,
consiste en utilizar un potencial apantallado y tomar el lımite de distancia de apan-
tallamiento infinita despues de completar el calculo. Esta tecnica de regularizacion
presenta, a diferencia del metodo off-shell discutido anteriormente, una clara inter-
pretacion intuitiva. No obstante la poca dificultad conceptual que involucra, no se
ha implementado pues -a diferencia de lo que ocurre con un potencial coulombiano
puro- el problema de dispersion no tiene solucion analıtica exacta con potenciales
apantallados.
Adicionalmente, un potencial apantallado presenta importancia propia en proble-
mas de dispersion de proyectiles por atomos neutros donde, en un amplio rango de
53
5.1. Introduccion 54
energıas, un potencial coulombiano puro no representa un modelo realista.
Estudiaremos en este capıtulo el problema de dispersion por un potencial coulom-
biano cortado, es decir un centro de fuerza que cumple F (r) = Z/r2 si r < R y se
anula fuera de esta esfera. El potencial es entonces de la forma
V (r) = Z(
1
r− 1
R
)Θ(R − r) (5.1)
con Θ(x) la funcion escalon de Heaviside. En la literatura pueden encontrarse tra-
bajos que utilizan un potencial de la forma V (r) = Z/r Θ(R − r) (Ford 1964,
Barrachina et. al. 1985). Sin embargo, la discontinuidad en r = R produce difi-
cultades que no son inherentes al potencial coulombiano (Taylor y Semon 1976). De
hecho, se introduce un efecto de refraccion que en un tratamiento cuantico se traduce
en un termino adicional oscilatorio en la seccion eficaz. Este termino oscilatorio no
se anula en el lımite R → ∞ y por lo tanto la seccion eficaz no converge.
Este problema basico ha sido estudiado extensamente en la literatura. Por un
lado Ford (1966) y Kolsrud (1978) han analizado el comportamiento de la matriz de
transicion al acercarse a la capa de energıa en el lımite de longitud de apantallamiento
infinita. Estos calculos han confirmado la presencia de anomalıas coulombianas como
las que hemos descrito en los capıtulos anteriores.
Por otro lado, Mac Donald (1973) y Banerjee (Banerjee y Chakraborty 1981) han
estudiado en forma detallada el problema de la dispersion por un potencial coulom-
biano cortado en sus tratamientos clasico y cuantico, respectivamente. El primero
de ellos emplea este potencial para regularizar las divergencias en el calculo de la
seccion eficaz total y el coeficiente de difusion en gases. En el segundo trabajo, se
declara haber encontrado una solucion analıtica exacta del problema cuantico, que
constituirıa una panacea para el tratamiento del problema coulombiano, evitando los
problemas inherentes a la no validez de la condicion asintotica. A pesar de que la idea
de ambos trabajos es correcta, comete tempranos errores en los calculos que conducen
a resultados completamente equivocados.
5.2. Seccion eficaz de dispersion 55
TRATAMIENTO CLASICO
5.2 Seccion eficaz de dispersion
Consideremos una partıcula incidiendo con parametro de impacto ρ e impulso k
sobre un centro de fuerza como el definido anteriormente. Reemplazando la forma
del potencial en la ecuacion (1.4) e integrando obtenemos la relacion entre angulo de
dispersion y parametro de impacto
cos2(θ/2) =
1 + ξ
ξ + (R/ρ)2si ρ ≤ R
1 si ρ ≥ R
(5.2)
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
θ/π
ρ/R
=-0.99
=-0.5
0.5
=2
=0
Figura 5.1: Angulo de dispersion en funcion del parametro de impacto para distintos
valores de la constante adimensional ξ.
5.2. Seccion eficaz de dispersion 56
Por lo tanto, la seccion eficaz diferencial elastica esta dada por
dσ
dΩ=
R2
4
1 + ξ[1 + ξ sen2 (θ/2)
]2 . (5.3)
Es interesante notar aquı que la forma funcional de la seccion eficaz diferencial
0 1 2 30.0
0.1
1.0
10.0
100.0
=2
=-0.99
=-0.5 =0
=0.5
dσ/d
Ω (u
nid.
arb
.)
θ (rad.)
Figura 5.2: Seccion eficaz diferencial para distintos valores del parametro ξ.
depende de los parametros del problema solo a traves de la constante adimensional
ξ = 4E
Z/R
(1 +
E
Z/R
)(5.4)
Tal como mostramos en la figura 5.3, para cada valor de la constante ξ existen dos
situaciones fısicas diferentes caracterizadas por los parametros
Z
E= −2R
ξ
(1 ±
√1 + ξ
).
que dan lugar a la misma relacion de dispersion, y por lo tanto conducen a la misma
seccion eficaz diferencial. Puede observarse ademas que todas las situaciones fısicas
que se presentan para el potencial repulsivo, pueden reproducirse con un potencial
5.3. Resolucion en espacio de coordenadas 57
-25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25
0
2
4
6
8
ξξ (x)
X=Z / ERx
ξ (x
)
(Z=RE)
Z=RE
Figura 5.3: El parametro adimensional ξ en funcion del cociente de energıas (Z/R)/E.
atractivo. Existen solo dos situaciones excepcionales en la figura (5.3) que correspon-
den al mınimo y al cero de la curva ξ(Z/ER), respectivamente.
A continuacion investigaremos las caracterısticas del proceso para distintos valores
de los parametros y, en particular, analizaremos estos dos importantes casos.
5.3 Resolucion en espacio de coordenadas
Para estudiar en detalle las caracterısticas de la colision es conveniente estudiar la
evolucion de la partıcula durante todo el proceso. Debido a que la ley de fuerzas es
exactamente coulombiana para r < R y se anula fuera de esta esfera, el movimiento es
rectilıneo y uniforme hasta la frontera y corresponde a orbitas coulombianas dentro.
En efecto, reemplazando la forma del potencial en la ecuacion de la orbita (1.3) y
5.3. Resolucion en espacio de coordenadas 58
realizando una integracion elemental, obtenemos
ρ
r= − Z
2ρE
1 +
√1 −
(ρ
R
)2
cos θ
+
(1 +
Z/R
2E
)senθ. (5.5)
Esta ecuacion corresponde a elipses o hiperbolas dependiendo de que E + Z/R sea
menor o mayor que cero. En el caso particular en que E = −Z/R las trayectorias son
parabolas. Debe notarse que el tipo de curva que describe el proyectil no depende del
parametro de impacto.
V(r)
ρ1
R
ρ2
θ
Figura 5.4: Trayectoria que siguen las partıculas para dispersion por el potencial
coulombiano cortado para dos valores particulares de los parametros del problema.
Si bien la seccion eficaz elastica (ec. (5.3)) depende de los parametros del problema
solo a traves de la constante ξ, vemos que las situaciones fısicas que dan lugar a iguales
valores de esta cantidad son diferentes.
Como mostramos en el apendice H, la densidad espacial de partıculas puede ob-
tenerse a partir de la ecuacion de la trayectoria en la forma
n(r) =no
senθ
∣∣∣∣∣(
∂r
∂ρ
)θ
∣∣∣∣∣−1
.
5.3. Resolucion en espacio de coordenadas 59
Reemplazando la ecuacion de la orbita (5.5) es posible encontrar una expresion
analıtica para esta densidad. Sin embargo, el resultado involucra un polinomio de
grado cuatro y no lo reproducimos aquı.
ρ
k
0 0
Figura 5.5: Distribucion espacial de partıculas dispersadas por un potencial coulom-
biano cortado con Z/R = −2E
La figura (5.5) muestra un ejemplo de la densidad espacial para el caso de potencial
atractivo. Allı se observa una divergencia detras del centro de fuerzas, todo a lo largo
de la semirrecta θ = 0. Como se describe en el apendice, este fenomeno se conoce como
efecto Gloria, y no depende de la forma particular del potencial involucrado. De hecho,
este tipo de divergencia aparece con cualquier potencial atractivo, y su explicacion es
la siguiente. Las partıculas que participan de la divergencia de Gloria son aquellas
que cruzan el eje z. No debemos olvidar que nuestro problema es tridimensional, y
que presenta simetrıa de rotacion alrededor de esta direccion. Es decir, las partıculas
que cruzan un dado punto del eje θ = 0 son aquellas que, mucho antes de la colision,
ocupaban un anillo entre dos parametros de impacto ρ y ρ+dρ. De esta forma, cuando
las trayectorias cruzan el eje z, el volumen ocupado por las partıculas se transforma
de un anillo a un punto. Este colapso en la dimension del espacio disponible produce
5.3. Resolucion en espacio de coordenadas 60
la divergencia de la densidad.
Para dispersion por un potencial repulsivo, las trayectorias no pueden alcanzar el
eje detras del centro de fuerza y, por lo tanto la densidad no diverge por efecto Gloria.
Por el contrario, tal como mostramos en la figura (5.6), existe una zona del espacio
a la cual las partıculas no tienen acceso. Este “cono de sombra” esta limitado por
una superficie, solucion de la ecuacion(dr/dρ
)θ
= 0 que define los extremos de la
funcion r(ρ, θ) a θ constante. Como puede observarse, sobre estos puntos se produce
una acumulacion de trayectorias y con ella una divergencia (caustica) de la densidad.
Figura 5.6: Trayectorias en presencia de un potencial repulsivo. Puede observarse la
caustica de arco iris.
Una situacion muy interesante se observa cuando el potencial es muy atractivo.
En dicho caso el angulo de dispersion es mayor que π para todos los parametros de
impacto ρ < R. La aparicion de causticas y zonas prohibidas es mas compleja en este
caso.
En primer lugar podemos observar que existe una zona prohibida limitada por
5.4. Resolucion en espacio de impulsos 61
Figura 5.7: Trayectorias para un potencial fuertemente atractivo. Puede observarse
la caustica de arco iris.
la trayectoria correspondiente a un parametro de impacto que sea un infinitesimo
menor que R. Ademas, como las partıculas alcanzan el eje tanto para θ = 0 como
para θ = π, la densidad diverge en estas dos direcciones por efecto Gloria. Finalmente,
encontramos una caustica de arco iris rodeando el centro de fuerza que termina en
un angulo igual a π. En el caso de dispersion por un potencial repulsivo, la caustica
de arco iris separa una zona del espacio prohibida de una zona permitida. En este
caso, las causticas dividen zonas del espacio por las cuales pasan una, dos y tres
trayectorias.
5.4 Resolucion en espacio de impulsos
Para obtener la ecuacion de las trayectorias en espacio de impulsos derivamos la
ecuacion (5.5) con respecto al tiempo.
5.4. Resolucion en espacio de impulsos 62
Utilizando la conservacion del impulso angular ` = ρk = mr2θ, encontramos que estas
ecuaciones corresponden a secciones de circunferencia de radio
pr =|Z|2Eρ
k, (5.6)
centradas en el impulso
pc =Z
2ρE
√1 − (ρ/R)2kρ +
(1 +
Z/2R
E
)k. (5.7)
Por conservacion de la energıa, el impulso de las partıculas esta restringido a
permanecer fuera o dentro de la esfera de radio k segun que el potencial sea atractivo
o repulsivo, respectivamente.
A partir de la ecuacion de la trayectoria y empleando conservacion de momento
angular, energıa y vector de Runge-Lenz podemos encontrar el campo de velocidades
r(p). Reemplazando en la ecuacion (4.6) obtenemos analıticamente la expresion para
la densidad en espacio de impulso correspondiente al movimiento dentro de la esfera
de alcance del potencial
N(p) =r2
m p |dV (r)/dr|1
senθp
∣∣∣∣∣(
∂r
∂ρ
)θ
− r
ρ
∣∣∣∣∣−1
=4m|Z|3/k
(E − Ep + Z/ER)2
| cos χ||p − k|2 |p − (1 + Z/ER)k|2 Θ(Z(E − Ep)).(5.8)
Aquı χ es el angulo entre los vectores p− k y (p− (1 + Z/ER)k). Esta distribucion
diverge en el impulso inicial debido que en el momento en que las partıculas alcanzan la
esfera lo hacen todas con este impulso. El maximo pronunciado que se observa sobre
la esfera p = k puede explicarse facilmente si notamos que este valor del impulso
corresponde a partıculas que en el espacio de coordenadas alcanzan el punto r = R
despues de ser dispersadas; por lo tanto su aceleracion es mınima y el tiempo que
transcurren con este impulso se maximiza. Finalmente observamos que la funcion
escalon expresa la conservacion de la energıa, tal como mencionamos anteriormente.
Existe una contribucion importante mas, debida al factor |p − k(1 + Z/RE)|−2
que explicaremos mas adelante al discutir los distintos fenomenos que se producen al
variar los parametros del problema.
5.4. Resolucion en espacio de impulsos 63
Zona Prohibida
Z > 0
p=k k
ρ
Zona Prohibida
Z < 0
p=k k
ρ
Figura 5.8: Trayectorias de las partıculas en espacio de impulsos: I- Potencial atrac-
tivo, II-Potencial repulsivo.
5.5. Aproximacion al potencial coulombiano 64
Figura 5.9: Distribucion estacionaria de impulsos para el problema de dispersion por
un potencial coulombiano cortado. En el caso de un potencial atractivo las partıculas
estan restringidas a moverse fuera de la esfera p = k.
5.5 Aproximacion al potencial coulombiano
Consideremos en primer lugar el caso en que el potencial es repulsivo (Z > 0). En este
caso, como ya mencionamos, las trayectorias de las partıculas son hiperbolas. Mien-
tras el cociente (Z/R)/E esta relacionado con la distancia de maximo acercamiento
de las partıculas al centro de fuerzas, un valor muy grande de este cociente indica
que los proyectiles no se acercan apreciablemente al centro de fuerza. En particular,
en el lımite (Z/R)/E → ∞ -un potencial fuertemente repulsivo o partıculas de muy
baja energıa- la seccion eficaz se vuelve isotropica reproduciendo el comportamiento
de una esfera rıgida.
Si disminuimos el valor del cociente Z/RE. Cuando el alcance R del potencial
se hace muy grande respecto a las demas distancias caracterısticas del problema, nos
aproximamos al proceso de dispersion por un potencial coulombiano. Para estudiar
que ocurre en este caso -donde |Z|/E R ¿ 1- reescribimos la relacion de dispersion
en la forma
cos2(θ/2) =
[1 + (Z/R)/2E
]2
[1 + (Z/R)/E] + [(Z/ρ)/2E]2Θ(R − ρ). (5.9)
Claramente esta expresion se aproxima a la relacion de dispersion correspondiente al
potencial coulombiano:
cos2(θo/2) =1
1 + (Z/2ρE)2(5.10)
solo si en el denominador podemos despreciar (|Z|/R)/E frente al termino (Z/2 ρE)2.
Vemos que el lımite coulombiano impone no solo una condicion sobre el apantalla-
miento, |Z|/R ¿ E; sino que la trayectoria debe cumplir
ρ/R ¿ 1/2
√Z/R
E.
Esto puede observarse nıtidamente en la figura 5.10 donde comparamos la relacion
de dispersion θ(ρ) con la seccion eficaz diferencial para el potencial apantallado con
Z/ER = 0.01 y los correspondientes a dispersion coulombiana.
5.5. Aproximacion al potencial coulombiano 65
0.001 0.01 0.1 1
0.001
0.01
0.1
ρ / R
χ / π
0.001 0.01 0.1 11E-7
1E-6
0.00001
0.0001
0.001
0.01
0.1
1
10
100
1000
10000
d σ
/d Ω
θ / π
Figura 5.10: I- Relacion de dispersion y II- Seccion eficaz diferencial. Potencial apan-
tallado con Z/E R = 0.01 (—) y potencial Coulombiano (- - -) (en escala logarıtmica).
5.5. Aproximacion al potencial coulombiano 66
Observemos que aquellos parametros de impacto que no cumplen esta ultima condi-
cion corresponden a angulos de dispersion pequenos. Por lo tanto, la dispersion hacia
adelante nunca es similar a la del potencial coulombiano independientemente de los
valores que tomen los parametros del problema. Cuando Z/ER ¿ 1 obtenemos para
la seccion eficaz diferencial:
dσ
dΩ≈ (Z/4E)2(
(Z/4ER)2 + sen2(θ/2))2 . (5.11)
Vemos que, en efecto, solo recuperamos la seccion eficaz de Rutherford
dσ
dσ=
(Z/4E)2
sen2(θ/2)2
para angulos de dispersion mayores que (Z/R)/2E.
En la direccion hacia adelante la seccion eficaz (5.11) alcanza un valor maximo dado
por
dσ
dΩ
∣∣∣∣∣θ=0
=R2
4
[1 +
2E
Z/R
]2
.
La divergencia de la seccion eficaz diferencial en la direccion hacia adelante es una
consecuencia del alcance infinito del potencial coulombiano. Esta divergencia trae
aparejadas otras dificultades, ya que tanto la seccion eficaz total como el coeficiente
de difusion de un gas ionizado, son infinitos. Esto representa un problema en distintas
areas, como por ejemplo en el estudio de la penetracion de partıculas cargadas en
la materia y de fenomenos de transporte en gases ionizados. Para cancelar estas
divergencias suele emplearse una aproximacion sugerida por S. Chapmann en 1922,
consistente en anular la seccion eficaz para colisiones con parametros de impacto
mayores que una cierta distancia caracterıstica R (Chapman 1922).
Debido a que parametros de impacto grandes corresponden a angulos de dispersion
pequenos, esta aproximacion es equivalente a anular la seccion eficaz para angulos
menores que un cierto angulo crıtico θc = arctan [(Z/R)/2E].
A la luz de los resultados obtenidos con el potencial coulombiano cortado -para el cual
la seccion eficaz no diverge sino que tiene un comportamiento del tipo Lorentziano-
el uso de un potencial de este tipo tiene mas sentido fısico y regulariza igualmente
las divergencias. Incluso una aproximacion consistente en utilizar la seccion eficaz
de Rutherford para angulos mayores que el angulo crıtico θc y una seccion eficaz
constante para θ ≤ θc esta mas justificada como es evidente de la figura (5.11).
5.5. Aproximacion al potencial coulombiano 67
0,001 0,01 0,1 11E-7
1E-6
0,00001
0,0001
0,001
0,01
0,1
1
10
100
1000
10000
d σ σ
/d Ω Ω
θ / πθ / π
Figura 5.11: Comparacion de la seccion eficaz para un potencial coulombiano puro
(- -), cortado (–), la proposicion de Chapman (– –) y la aproximacion propuesta de
mantenerla constante para angulos menores que θc (- · -).
El potencial apantallado se aproxima al coulombiano cuando |Z|/R ¿ E solo
para parametros de impacto pequeno. La distribucion espacial de partıculas esta
dada -para r ¿ R- por
n(r) =
∣∣∣∣∣1 +Z/R
2E
∣∣∣∣∣ 1 − 1/2y√1 − 1/y
Θ(y − 1)
con
y =
(1 +
Z/R
E
)r
Z/E
1 + cos θ
2
que tiende, en el lımite (Z/R)/E → 0, a la densidad clasica del potencial coulombiano
puro (Samengo et. al. 1996a).
Tal como mostramos en la siguiente figura, esta distribucion se anula en una zona
del espacio dada por y < 1. En este caso la caustica esta dada por la ecuacion y = 1.
5.6. Comportamiento de esfera rıgida 68
-3 -2 -1 0 1 2 3 4
Z
ona
Pro
hibi
da
Z > 0 Z < 0
no
Z r (1 + cos θ) 2E
Figura 5.12: Distribucion espacial de partıculas para el caso en que el potencial
apantallado aproxima al coulombiano puro (|Z|/R = 0.01).
5.6 Comportamiento de esfera rıgida
En presencia de un potencial atractivo tendremos, como mencionamos anteriormente,
trayectorias hiperbolicas, parabolicas o elıpticas dependiendo de los valores que tome
el cociente (Z/R)/E.
Un caso interesante ocurre cuando el parametro adimensional ξ se anula. Esto
ocurre exactamente solo para un potencial atractivo cuando Z/ER = −1. En este
caso, el angulo de dispersion esta dado por
cos2 θ =√
1 − (ρ/R)2 (5.12)
y la seccion eficaz es constante dσ/dΩ = R2/4. Por lo tanto, obtenemos dispersion
isotropica al igual que para una esfera rıgida. Esto es ası porque independientemente
del parametro de impacto ρ, las trayectorias son parabolas y el angulo de desviacion
dado por (5.12) es de igual magnitud que para una esfera rıgida del mismo radio, tal
como mostramos en la figura 5.13
5.7. Trayectorias de retrodispersion 69
θ
−θ
esfera rí gida
V(r)
Z/RE=-1
Figura 5.13: Trayectorias para el caso Z/ER = −1. El angulo de desviacion es −θ
siendo θ el angulo de reflexion en una esfera de radio R.
5.7 Trayectorias de retrodispersion
Para valores negativos del cociente (Z/R)/E, las trayectorias -dentro de la esfera de
radio R- son elıpticas. A pesar de ello, el alcance finito del potencial permite que
estas trayectorias puedan ser abiertas (E > 0) a diferencia de lo que ocurre para
un potencial exactamente coulombiano donde solo estan permitidas para energıas
negativas.
Cuando Z/ER = −2, el parametro ξ toma su valor mınimo igual a -1 y se presenta
una situacion muy particular. El angulo de dispersion es independiente del parametro
de impacto con que incide el proyectil. Tomando el lımite ξ → −1 en la ecuacion
5.7. Trayectorias de retrodispersion 70
(5.2) obtenemos θ(ρ) = π y en consecuencia la seccion eficaz diferencial esta dada por
dσ
dΩ=
R2
2limε→0
(ε
ε2 + (1 + cos θ)
)2
(5.13)
con
ε2 = 2
(1 + ξ
ξ
)= 2
(1 + b/2R)2
(1 + b/R)
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.001
0.01
0.1
1
10
100
1000
d σ
/ d
Ω
θ / π
Z/RE=-1.99
Z/RE=-1.98
Z/RE=-2.02
Z/RE=-2.01
Figura 5.14: Seccion eficaz diferencial para Z/RE → −2 (ξ → −1). En este caso la
seccion eficaz tiene un pico muy pronunciado en la direccion hacia atras θ = π.
Notamos que suele utilizarse la funcion entre parentesis en el segundo miembro
de la ecuacion (5.13) como aproximante de la delta de Dirac. Sin embargo es facil
ver -que en este caso- es el cuadrado de esta expresion la funcion que aproxima a la
delta, tal como lo expresamos en el ultimo miembro.
Este sorprendente efecto de retrodispersion, es facil de entender si estudiamos las
trayectorias que siguen las partıculas para esta particular combinacion de los para-
5.7. Trayectorias de retrodispersion 71
V(r)
Figura 5.15: Trayectorias para el caso Z/R = −2E. Todas las partıculas son disper-
sadas hacia atras.
metros del problema. Tal como mostramos en la figura 5.15, dentro de la esfera de
radio R la trayectoria es un trozo de elipse de radio menor ρ y radio mayor R, con
un foco en el centro de potencial y el otro a una distancia 2(R2 − ρ2)1/2 sobre el
eje de incidencia. De esta manera, las partıculas salen en la direccion opuesta a la
de incidencia. De acuerdo a esto cuando el parametro de impacto tiende al radio
R, la longitud de los ejes coincide y la trayectoria se convierte en una circunferencia
(destacada en la figura 5.15).
En el espacio de impulsos, las trayectorias son arcos de circunferencia que co-
mienzan en el impulso inicial k y finalizan en el punto (1 + (Z/R)/E)k = −k como
muestra la figura (5.16). La trayectoria correspondiente a ρ → R es -en este espacio-
la circunferencia de radio p = k, lımite entre las zonas permitida y prohibida. Si
esta trayectoria fuera posible, la partıcula quedarıa ligada al centro de fuerzas. Por
supuesto, debido a que el proyectil incide desde el infinito, su orbita es abierta y
5.7. Trayectorias de retrodispersion 72
finalmente escapa.
El efecto de retrodispersion se manifiesta explıcitamente en espacio de impulsos.
Tal como vemos en la figura (5.16), todas las trayectorias convergen en el impulso
final −k. La distribucion de impulsos diverge en este punto.
p=k p=-k
ρ=R
Figura 5.16: Trayectorias en espacio de impulsos para la configuracion de retrodis-
persion. Puede observarse la acumulacion de trayectorias en el plano en p = −k.
Vemos que esta divergencia en la direccion hacia atras se debe en realidad a una
combinacion de dos fenomenos. En primer lugar observamos la divergencia en la
distribucion por efecto Gloria. Al tratarse de puntos sobre el eje de simetrıa del
problema, por cada trayectoria que alcanza este impulso, tambien lo hacen todas
aquellas que se encuentran sobre la superficie que se genera variando el plano del
movimiento. Ademas, este efecto se potencia pues no hay una unica trayectoria
alcanzando el impulso final −k sino que, tal como vemos en la figura (5.16), todas
las trayectorias convergen a este punto. Por lo tanto, no tendremos una superficie de
revolucion, sino que todas las trayectorias (correspondientes a parametros de impacto
ρ < R) en cada plano, generan una tal superficie. Para este caso particular obtenemos
5.7. Trayectorias de retrodispersion 73
una caustica en espacio de impulsos!!
Observamos que, debido a que el punto de acumulacion es el impulso final de
las partıculas, este razonamiento se traslada en forma directa a la seccion eficaz
diferencial. Esto es tambien evidente de la expresion general (ecuacion (1.2))
dσ
dΩ=
∑ρ
ρ
|sen θ|
∣∣∣∣∣dρ
dθ
∣∣∣∣∣ .Vemos que en este caso, se anulan por separado el seno del angulo -Efecto Gloria- y
la derivada del angulo de dispersion con respecto al parametro de impacto (Efecto
Arco Iris).
Esto determina una situacion muy interesante tanto por lo singular del fenomeno
(ya que para cualquier otra configuracion de Z, R y E los proyectiles son dispersados
en todas direcciones) como por sus aplicaciones practicas. En particular, puede re-
sultar conveniente disenar dispositivos capaces de enfocar un haz de partıculas a 180
de su direccion de incidencia. Existen numerosos ejemplos de usos de este tipo, en
retrodispersion de luz, tales como los reflectores de bicicletas u “ojos de gato”, pin-
tura ”fluorescente”, etc (Crawford 1968, Greenler 1980). Distintos sistemas provocan
retrodispersion de luz. Entre ellos, el mas simple quizas, consiste en una configura-
cion de tres espejos planos mutuamente ortogonales. Este sistema, conocido como
esquina de cubo, -como puede muy facilmente comprobarse- regresa todos los haces
incidentes con cualquier angulo de incidencia con la sola condicion que se refleje en los
tres espejos (Crawford 1968). Un dispositivo de este tipo colocado en la luna por la
expedicion Apolo 11 permitio medir en 1969 la distancia tierra-luna con una precision
de 6 pulgadas (Foller y Wampler 1970).
Entre los distintos efectos naturales que presentan retrodispersion se distinguen
algunos cuya explicacion es muy similar (Greenler 1980).
Uno de los fenomenos de retrodipersion que se conoce desde hace mas tiempo es
el heiligeinschein. Este es el nombre que se le da al brillo que puede uno observar
rodeando la sombra de su propia cabeza en algunas ocasiones. Este brillo es particu-
larmente visible cuando la sombra yace sobre hierba u hojas cubiertas con gotas de
rocıo. Este fenomeno se conoce tambien como “halo de Cellini” pues se dice que fue
Benvenutto Cellini quien describio el efecto por primera vez y lo interpreto como una
senal del favor divino (Wanta 1959).
5.7. Trayectorias de retrodispersion 74
retina
ojo gota
hoja
pintura
esfera cristalina
Figura 5.17: Distintas situaciones que dan lugar al mismo fenomeno de retrodisper-
sion.
Este fenomeno esta cercanamente relacionado al efecto que produce el caracterıstico
brillo en los ojos de los animales, principalmente felinos. Los rayos de luz paralelos
provenientes de una fuente distante, al penetrar en el ojo (o en la gota de rocıo en el
caso del heiligeinschein) son enfocados por el cristalino sobre la retina como muestra
la figura 5.17. Estos haces son dispersados en la direccion de incidencia cualquiera
sea la posicion de la fuente. Este fenomeno no es perfecto sino que el haz se ensancha
al retornar a la fuente despues de ser reflejado. Los ojos humanos no muestran tan
pronunciadamente este efecto pero se manifiesta muy comunmente en las fotografıas
tomadas con flash. Principalmente en ninos con ojos de colores claros, donde estos
aparecen de un brillante color rojo. Por lo tanto, una solucion consistirıa en montar
la lampara del flash lejos de los lentes de la camara.
La misma disposicion para obtener efecto de retrodispersion se utiliza en algunas
chapas de patentes de autos y en los carteles viales mejorando ası su visibilidad en la
noche. En estos se cubre la superficie pintada con pequenas esferas cristalinas. Cuan-
do los faros de un auto iluminan uno de estos carteles, cada una de estas pequenas
esferas refleja la luz hacia atras
Todos estos efectos presentan un incremento de la intensidad de luz retroreflejada.
Sin embargo, ninguno de ellos tiene la simetrıa esferica que caracteriza a nuestro
ejemplo. En el caso del ojo, existe un eje para el que existe retrodispersion dado
por la normal al plano de la retina. Para el caso del heilingeinschein o la pintura
fluorescente, este eje esta dado por la normal a las hojas de hierba y la superficie del
cartel, respectivamente.
5.8. Efecto Ping-Pong 75
Hemos derivado nuestros resultados para dispersion de partıculas pero, debido a
la estrecha relacion entre la mecanica clasica y la optica geometrica, estos podrıan
trasladarse directamente a fenomenos involucrando luz. Puede verse que las ecuacio-
nes de movimiento de una partıcula son similares a la de un rayo de luz en optica
geometrica (ver por ejemplo Landau y Lifschitz 1976). El ındice de refraccion del
medio en optica es “equivalente” al potencial en mecanica clasica. Es cierto que no
debe ser nada facil construir una esfera cuyo ındice de refraccion varıe con el radio
segun una ley coulombiana. Sin embargo, una variacion aproximada debe reproducir,
al menos cualitativamente, este marcado efecto de retrodispersion. Observemos que,
debido a que el fenomeno se produce solo para una energıa E = |Z|/2R, una esfera
construida con estas caracterısticas retroreflejara solo luz de una dada frecuencia.
5.8 Efecto Ping-Pong
Para valores Z/R < −2 vemos, en la figura 5.3 que el parametro ξ se mantiene entre
los valores correspondientes a −2 ≤ Z/ER ≤ −1 dando lugar a iguales valores de
angulo de dispersion y seccion eficaz diferencial que se obtiene en ese rango. Sin
embargo el angulo final de la partıcula es, en este caso mayor que π. Ademas, a dife-
rencia de lo que ocurre para valores Z/R > −E, las partıculas con mayor parametro
de impacto son dispersadas en un angulo mayor como mostramos en la figura (5.7)
Es a primera vista sorprendente que, un potencial coulombiano apantallado dis-
perse proyectiles en un angulo mayor que π mientras que, como es bien conocido, esto
no es posible para un potencial coulombiano. La explicacion de esto es bastante sim-
ple. Debido a que las partıculas viajan libremente hasta una distancia R del centro
de fuerza, se producen condiciones iniciales que solo estan permitidas para las orbitas
cerradas en un potencial coulombiano puro.
La posibilidad de que un potencial apantallado disperse las partıculas en un angulo
mayor a π tiene consecuencia en el problema de colision de iones lentos sobre super-
ficies metalicas.
Por ejemplo, se ha encontrado que, la cola de electrones secundarios de alta e-
nergıa emitidos al bombardear una superficie metalica con iones lentos, es superior
a la predicha por las teorıas existentes (Baragiola et. al. 1992). Recientemente se
5.9. Desarrollo en ondas parciales 76
ha propuesto que este incremento se debe a lo que se denomina efecto ping-pong.
Estudiemos el problema en el sistema de referencia del proyectil. Para electrones
rapidos, es una buena aproximacion considerar a la nube electronica del ion como
un potencial estatico (Barrachina y Ponce 1990). En consecuencia el problema es de
dispersion de un proyectil por dos centros de potencial apantallados. Clasicamente se
encuentra que el electron queda atrapado en una orbita estable alrededor del proyectil
y el ion del blanco hasta que su energıa alcanza unos cuantos keVs. En un tratamiento
cuantico este fenomeno se debe a la existencia de estados cuasi-ligados en el continuo
de los dos iones (Jakas 1995b).
Puede demostrarse que la orbita alrededor de los dos iones es estable solo si
existe la posibilidad de que el electron sea dispersado en un angulo mayor que π
(Jakas et. al. 1995a). Si bien esto no es posible para un potencial coulombiano puro,
hemos encontrado que sı lo es cuando el potencial esta apantallado. En este sentido,
a pesar de que nuestro potencial no representa un modelo completamente realista del
potencial de un atomo, es adecuado para estudiar -al menos cualitativamente- los dis-
tintos fenomenos que se producen. A diferencia de lo que ocurre con potenciales mas
realistas, podemos resolverlo ıntegramente en forma analıtica. Por ejemplo, en la lite-
ratura se ha utilizado un potencial aproximado tipo Yukawa V (r) = (Z/r) exp(−r/R)
para el potencial ionico. Al resolver numericamente el problema se encuentra que las
partıculas pueden salir con un angulo mayor que π si la relacion entre energıa, apan-
tallamiento y carga cumple la condicion E < 0.4 (|Z|/R). Este resultado es bastante
similar al que encontramos con el potencial cortado donde la condicion es que la
energıa sea menor que 0.5 (|Z|/R).
TRATAMIENTO CUANTICO
5.9 Desarrollo en ondas parciales
Podemos desarrollar el estado estacionario de dispersion en autoestados del momento
angular. Puesto que, para potenciales con simetrıa esferica solo contribuyen terminos
5.9. Desarrollo en ondas parciales 77
con m = 0, obtenemos:
Ψk(r) = (2πh)−3/2 1
k r
∞∑`=0
(2` + 1) i` ψ` k(r)P`(r · k). (5.14)
donde las funciones de onda normalizadas ψ`k(r) son solucion de la ecuacion de
Schrodinger radial: [d2
d2r− `(` + 1)
r2− 2 m V (r)
h2 + k2
]ψ` k(r) = 0 (5.15)
con la condicion ψ` k(0) = 0 y la normalizacion∫ ∞
0ψ∗
`k′(r) ψ`k(r) dr =π
2δ(k′ − k) (5.16)
Utilizando este desarrollo en ondas parciales y el correspondiente a partıcula libre
puede demostrarse que:
〈p|V |k+〉 =−1
(2πh)2m
∞∑`=0
(2` + 1) f`(k)P`(k · p) (5.17)
con
f`(k) = −2m
k2
∫ ∞
0`(kr) V (r) ψ`k(r)dr. (5.18)
Aquı `(z) =√
πz/2 J`+1/2(z) son las funciones de Ricatti-Bessel, soluciones de la
ecuacion de onda radial en ausencia de interaccion.
Finalmente, reemplazando esta serie en la seccion eficaz diferencial (ecuacion
(1.11)) e integrando en angulos, obtenemos
σ(k) = 4π∞∑
`=0
(2` + 1)|f`(k)|2 =∞∑
`=0
σ`(k) (5.19)
A partir del comportamiento asintotico del estado estacionario de dispersion,
reemplazando las ondas plana y esferica por sus desarrollos en ondas parciales, se
obtiene para la funcion de onda radial (Barrachina y Ponce 1990)
ψ` k(r) −→r→∞ eiδ`(k)sen
(kr − ` π
2+ δ`(k)
). (5.20)
donde δ`(k) es una cantidad real conocida como defasaje o corrimiento de fase que
esta relacionada a la amplitud f`(k) por:
f`(k) =eiδ` sen δ`
k(5.21)
5.10. Soluciones radiales 78
Es claro que el problema de colisiones queda resuelto si conocemos f`(k) o equivalen-
temente el corrimiento de fase δ`(k) para cada onda parcial. En particular, resolver
la ecuacion de Schrodinger radial y comparar su comportamiento asintotico con la
ecuacion 5.20 es una de las tecnicas mas utilizadas para obtener los desfasajes.
Si el potencial esta exponencialmente acotado puede demostrarse que, en el lımite
de baja energıa, el corrimiento de fase se comporta segun
δ`(k) −→k→0
−a`k2`+1 mod(π) ,
con a` una cantidad (real) llamada “longitud de scattering”. En consecuencia, la
seccion eficaz parcial verifica
σ`(k) =4π
k2(2` + 1) sen2 δ` ∝
k→0k2`.
Vemos que en el lımite de baja energıa, las secciones eficaces parciales -excepto la
correspondiente a la onda s- tienden a cero y tanto mas rapido se anulan cuando
mayor es `. Por lo tanto, solo unas pocas ondas parciales contribuyen apreciablemente
a la seccion eficaz de baja energıa y podemos truncar la serie sin cometer un error
apreciable. Esto justifica el interes del metodo.
Este resultado tiene una simple interpretacion clasica. La barrera centrıfuga h2`(` +
1)/r2 no permite que las partıculas se acerquen a la zona donde el potencial se vuelve
importante. Cuanticamente, la funcion de onda tiene un fuerte decaimiento dentro
de la zona clasicamente prohibida r < rc ∼ h`/k donde las partıculas solo pueden
acceder por efecto tunel.
5.10 Soluciones radiales
Para un potencial como el propuesto V (r) = (Z/r−Z/R) θ(R−r), la ecuacion radial
toma la forma[d2
d2r− `(` + 1)
r2− 2 m Z
h2
1
r+ k2
(1 +
Z/R
E
)]ψ<
`k(r) = 0
(5.22)[d2
d2r− `(` + 1)
r2+ k2
]ψ>
`k(r) = 0
5.10. Soluciones radiales 79
La solucion de estas ecuaciones se conoce explıcitamente. Dentro de la esfera de radio
R es proporcional a la funcion esferica de Coulomb (Abramowitz y Stegun 1970) y
fuera de ella es una combinacion de funciones de Ricatti-Bessel y Ricatti-Neumann
ψ<` k(r) = a` (κr)`+1 e−iκr
1F1(` + 1 − iνκ; 2` + 2 ; 2iκr). (5.23)
ψ>` k(r) = eiδ` (cos δ` `(kr) − sen δ` n`(kr)) (5.24)
donde κ2 = k2 + 2m/h2(Z/R) ) , νκ = mZ/h2κ. Aquı 1F1(a; c; z) es la funcion de
Kummer y n`(z) = (−1)`+1√
πz/2 J−(`+1/2)(z) (ver Apendice I). El corrimiento de
fase puede obtenerse requiriendo que las funciones de onda y sus derivadas coincidan
en la frontera r = R. De esta manera obtenemos
tan δ`(k) =(kR) `
′(kR) − γ` `(kR)
(kR) n`′(kR) − γ`n`(kR)
(5.25)
donde γ`/R es la derivada logarıtmica de la funcion de onda interior ψ<k `(r) evaluada
en r = R.
En particular, el desfasaje de la onda s (` = 0), dominante a bajas energıas, esta
dado por
cotg(kR + δo) =1
kR
((1 + iκR) + (νκ − i)κR
1F1(2 + iνκ; 3;−2iκR)
1F1(1 + iνκ; 2; −2iκR)
).
Esta expresion, coincide con la encontrada por Bannerje y Chakraborti para potencia-
les atractivos (Banerjee y Chakravorty 1977a, Banerjee y Chakravorty 1977b). Estos
autores investigaron en varios trabajos los estados ligados y del continuo del potencial
coulombiano cortado. Sin embargo, cometen serios errores al derivar una expresion
para el estado estacionario de dispersion y realmente no encuentran una solucion
(Banerjee y Chakravorty 1978).
En la figura (5.20) mostramos los desfasajes y secciones eficaces parciales para
m Z R = −40 h2. Tal como discutimos en la seccion anterior, a bajas energıas todas
las secciones eficaces parciales se anulan con excepcion de σo. Por lo tanto, la seccion
eficaz diferencial es isotropica.
Vemos que, para algunas energıas, el desfasaje de onda s corresponde a un multiplo
entero de π y la seccion eficaz parcial correspondiente se anula. Si esto ocurre a una
5.10. Soluciones radiales 80
energıa lo suficientemente baja, las secciones eficaces parciales σ` con ` > 0 seran
tambien despreciables. Por lo tanto a estas energıas observaremos que el potencial
se vuelve “transparente”. Este es el efecto Ramsauer-Townsend que puede medirse
en algunos gases. Hemos verificado que, para el potencial coulombiano cortado, la
seccion σo se anula siempre para energıas en que otras ondas parciales contribuyen.
5.11. Resonancias 81
5.11 Resonancias
En esta seccion investigaremos la aparicion de resonancias en la dispersion por el
potencial coulombiano cortado.
Como se muestra en la figura (5.22), el potencial efectivo
Veff(x) =`(` + 1)
r2+
2 m Z
h2
(1
r− 1
R
)Θ(R − r)
asociado al problema unidimensional equivalente, puede -bajo las condiciones ade-
cuadas- contener un pozo capaz de “atrapar” partıculas de energıa positiva.
Para que ello ocurra, los parametros del problema deben cumplir las siguientes desi-
gualdades
h2 `(` + 1)
2 m R2≤ 1
2
|Z|R
(5.26)
h2 `(` + 1)
2 m R2≥ E.
La primera condicion implica la existencia de un mınimo en el potencial efectivo. Este
mınimo esta ubicado en r =h2 `(` + 1)
m |Z| ≤ R.
La segunda condicion por el contrario asegura que la energıa de la partıcula es menor
que la altura de la barrera de potencial Vmax = h2 `(` + 1)/(2mR2).
Observemos que clasicamente puede escribirse h2`(` + 1) = 2m ρ2E. Por lo tanto,
la segunda condicion es equivalente a 1 ≤ ρ/R que claramente no puede verificarse.
Por otro lado, la primera condicion puede reescribirse clasicamente en la forma
ρ
R≤ 1√
2
√|Z|/R
E
y solo puede cumplirse si |Z|/R > E.
Reuniendo las dos condiciones (5.26) encontramos esta misma condicion para que
pueda existir algun estado cuantico metaestable. Identico requerimiento al que en-
contramos, en el tratamiento clasico, para que sean permitidos angulos de dispersion
mayores que π.
5.11. Resonancias 82
Vimos que la funcion de onda tiene un fuerte decaimiento dentro de la zona clasica-
mente prohibida por efecto de la barrera centrıfuga. En consecuencia, la accion del
potencial sobre un proyectil de una dada energıa es muy pequena y el desfasaje es
muy pequeno. Si variamos la energıa de la partıcula hasta la correspondiente a un
estado cuasi-ligado, evidentemente la accion del potencial sobre el proyectil ya no es
despreciable y entonces el corrimiento de fase debe variar abruptamente. Por lo tanto,
tendremos una variacion brusca en la seccion eficaz parcial. Un estado metaestable de
este tipo explica la resonancia de la seccion eficaz parcial σ3 en la figura 5.21. Debido
a que las partıculas pueden ingresar dentro de la esfera de radio R por efecto tunel,
la vida media de los estados metaestables depende del ancho de la barrera centrıfuga
y, en el lımite de ancho infinito corresponden a estados ligados.
Para encontrar las energıas que corresponden a estados metaestables observamos
que estos estan relacionados a los estados ligados de energıa cercana a cero. Supon-
gamos por simplicidad que, para dados valores de Z y R, el potencial es capaz de
mantener un estado ligado de momento angular ` con energıa E. Si disminuimos la
amplitud del potencial (|Z|), la energıa del estado ligado aumenta (E → 0), llamemos
Zo el valor de Z tal que la energıa se anula. La situacion fısica no deberıa ser muy
distinta para valores de Z cercanos a Zo independientemente de si son mayores o
menores. O sea que, cuando desaparece un estado ligado, se convierte en un estado
metaestable como los que describimos cualitativamente mas arriba. Concluimos que
las resonancias estan relacionadas a los estados ligados de energıa nula.
Para encontrar aproximadamente las condiciones en las cuales el potencial puede
mantener estados ligados de baja energıa (y en consecuencia los estados metaes-
tables y las resonancias), realizamos un analisis semiclasico de los estados ligados
(E < 0). Segun la aproximacion WKB, la condicion de autovalores toma la forma
(Messiah 1973):
∫ r2
r1
√2 m (E − V (r))
h2 − `(` + 1)
r2dr = (nr + 1/2)π
con r1, r2 los puntos de retorno clasicos, ceros del integrando.
Escribiendo h2K2/2m = |E + Z/R|, la ecuacion toma una forma similar a la
del potencial coulombiano puro y entonces los autovalores estan dados como es bien
5.12. Lımite clasico, casos particulares 83
conocido (Messiah 1973) por νK = −n. Finalmente obtenemos
E = −(
m Z2
2 h2 n2+
Z
R
).
Este resultado es el esperado en una primera aproximacion y corresponde a suponer
que los estados corresponden a los del potencial coulombiano puro (redefiniendo el
cero de energıas). Esta expresion sera valida, obviamente, para valores muy grandes
de kR. En este caso, el primer estado ligado con ` = 3 (correspondiente a n = 4)
debe aparecer cuando m Z R ≈ −32h2. Este resultado esta en buen acuerdo con los
resultados ilustrados en la figura (5.23) para esta onda parcial donde puede verse
una resonancia para mZR = −30h2 que desaparece cuando aumentamos a mZR =
−32.5h2.
Ademas, podemos ver que el corrimiento de fase δ3(0) aumenta en π entre estos
dos casos. Esto es consecuencia de un resultado general conocido como teorema de
Levinson. Este establece que el corrimiento de fase de todas las ondas parciales de
momento angular ` > 0 verifica (Taylor 1972),
δ`(k = 0) − δ`(k = ∞) = n`π.
Aquı n` es el numero de estados ligados que puede mantener el potencial con momento
angular `.
Para la onda s la relacion es, en cambio
δo(k = 0) − δo(k = ∞) = (no + 1/2)π.
A la vista de este resultado interpretamos que en la figura (5.20), los parametros son
tales que el potencial puede ligar tres estados con ` = 0, dos estados con ` = 1 y
` = 2, con ` = 3 puede ligar solo un estado.
5.12 Lımite clasico, casos particulares
Como vimos anteriormente, el problema clasico de colisiones por el potencial cou-
lombiano cortado depende de los parametros del problema solo a traves del cociente
(Z/R)/E. Cuanticamente encontramos una dependencia similar, salvo que ahora
5.12. Lımite clasico, casos particulares 84
se agrega un parametro adicional kR (ver ecuacion (5.25)). Tomando estos como
parametros independientes, el lımite clasico (h → 0) corresponde a dejar Z/RE cons-
tante y tomar kR → ∞.
Al igual que en el tratamiento clasico, la seccion eficaz presenta comportamientos
bien diferenciados segun sea el valor del cociente (Z/R)/E. Entre ellos son de parti-
cular interes los dos casos correspondientes a (Z/R)/E = −1 y -2 que corresponden
a fenomenos de dispersion isotropica y retrodispersion en el tratamiento clasico.
Cuando Z/RE = −1, la ecuacion diferencial (5.22) tiene como solucion la funcion de
Bessel de orden 2` + 1 para r < R,
ψ<` k(r) = a` (kr)1/2J2`+1
(2 k R
√r/R
),
estado similar al que corresponde a energıa nula para un potencial coulombiano puro
(Landau y Lifshitz 1965).
El corrimiento de fase de la onda s esta dado, en este caso, por
cotg(kR + δo) =Jo(2kR)
J1(2kR).
En la figura (5.24) mostramos la correspondiente seccion eficaz diferencial para distin-
tos valores de kR. Vemos que tiende a aplanarse al aumentar esta variable, tendiendo
-excepto para angulos pequenos- al resultado clasico de dispersion isotropica.
Cuando Z/R = −2E, encontramos -en el tratamiento clasico- que las trayectorias
son elipses y el angulo de dispersion es igual a π, independientemente del parametro
de impacto. Cuanticamente, obtenemos que el coeficiente κ =√
2m (E + Z/R) /h2
en la primera de las ecuaciones (5.24) es igual a κ = ik. Vemos en la figura (5.25)
que la seccion eficaz diferencial reproduce, en el lımite kR À 1, el resultado clasico
mostrando un pico muy pronunciado hacia atras en θ = π.
Tal como mostramos en las figuras 5.24 y 5.25 hay una diferencia importante en
la seccion eficaz clasica y cuantica en el lımite de correspondencia. Este desacuerdo
se debe a que en la direccion θ ≈ 0, el lımite kR → ∞ no alcanza para que podamos
considerar a la colision como un proceso clasico.
En el lımite clasico las “trayectorias” deben estar bien definidas. Suponemos que
inicialmente tenemos un paquete de ondas mınimo con el parametro de impacto ρ
5.12. Lımite clasico, casos particulares 85
bien determinado (δρ ¿ ρ). Podemos despreciar los efectos cuanticos del proceso
solo si el angulo final del proyectil esta bien definido (δθ ¿ θ). Puede demostrarse
(Landau y Lifshitz 1965) que esta condicion se cumple en la direccion hacia ade-
lante solo si el potencial cumple -asintoticamente- la condicion |dV/dr| ρ2 À hk/m
Obviamente, esto no ocurre para el potencial coulombiano cortado y los efectos de
interferencia entre la onda dispersada y la onda incidente dominan el proceso.
5.12. Lımite clasico, casos particulares 86
Figura 5.18: Electrones secundarios emitidos al bombardear una superficie metalica
con iones lentos (Baragiola et al 1992).
5.12. Lımite clasico, casos particulares 87
0
1
2
3
ε=0.08
ε=0.16
ε=0.64
θ/π
0
1
2
0 0.1 1 10
(b) Potencial Coulombiano Cortado
ρ/R
Figura 5.19: Angulo de dispersion θ vs. ρ para el problema de colisiones con un
potencial apantallado. Arriba: apantallamiento tipo Yukawa (Jakas 1994). Abajo:
Potencial cortado. En ambos casos ε es la energıa reducida ε = E/(Z/R).
5.12. Lımite clasico, casos particulares 88
`(k)
k
`=1
` =2
`= 0
`=3
30 10 20
Figura 5.20: Desfasajes de onda parcial para ` = 0, 1, 2, 3. El potencial es atractivo,
de carga Z y radio R = −40h2/m|Z|
5.12. Lımite clasico, casos particulares 89
10 20 30
0.5
1.0
1.5
2.0
10 20 30
0.1
0.2
0.01
0.02
0.03
0.05
0.10
0.15
0.20
`=1
`=2
`=3
`=0
`(k)
k
Figura 5.21: Seccion eficaz parcial para ` = 0, 1, 2, 3 para mZR = −40h2
5.12. Lımite clasico, casos particulares 90
0.5 1.0 1.5
-40
-20
20
40
60
80
100
k
`=1 `=2
`=4
`=3
`=5
Veff (r)
Figura 5.22: Potencial efectivo para distintos valores de `. Puede observarse clara-
mente que el “pozo” desaparece al aumentar el momento angular `.
5.12. Lımite clasico, casos particulares 91
10 20 30
1
2
3
3(k)
mZR = 27:5h2
mZR = 30h2
10 20 30
1
2
3
4
3(k)
mZR = 39:5h2
mZR = 32h2
10 20 30
0.25
0.50
0.75
1.00
10 20 30
0.05
0.10
0.15
0.20
mZR = 39:5h2
mZR = 32h2
mZR = 27:5h2
mZR = 30h2
3(k)
kk
3(k)
Figura 5.23: Resonancia de la onda ` = 3. Desfasajes y secciones eficaces parciales
para distintos valores de m Z R.
5.12. Lımite clasico, casos particulares 92
0 1 2 3 40
20
40
60
kR=5
θ ( rad.)
dσ/d
Ω
0 1 2 3 40
1000
2000
3000
4000
kR=12
θ ( rad.)
Figura 5.24: Seccion eficaz diferencial para el caso Z/RE = −1 (ξ = 0). En el lımite
de correspondencia la dispersion se vuelve, excepto para angulos pequenos, isotropica,
reproduciendo el comportamiento encontrado clasicamente de esfera rıgida.
5.12. Lımite clasico, casos particulares 93
0 1 2 3 40
1000
2000
3000
4000
kR=12
θ ( rad.)
0 1 2 3 40
20
40
60
80
100
kR=5
θ ( rad.)
dσ/d
Ω
Figura 5.25: Seccion eficaz diferencial para el caso Z/RE = −2 (ξ = −1) mostrando
dispersion preferencial hacia atras. Vemos que tambien para esta combinacion de
valores de los parametros se reproducen los resultados clasicos excepto para θ ≈ 0.
Conclusiones
Discutimos aquı brevemente los principales resultados obtenidos en este trabajo.
En primer lugar mostramos como extender la teorıa cuantica no relativista de
colisiones para incluir interacciones asintoticamente coulombianas. Este desarrollo
basado en trabajos anteriores de Dollard, van Haeringen y Zorbas, nos permite de-
mostrar que existen ciertas similitudes entre distintos procedimientos de regulariza-
cion. En particular sugiere que hay una equivalencia entre apantallar el potencial en
un formalismo estacionario (o considerar en la descripcion dependiente del tiempo
que el proceso se inicia en un instante mucho anterior al momento de la colision, pero
finito) y la propuesta de regularizacion off-shell de Roberts, tal como mostramos en
el capıtulo 3. Vimos ademas que este ultimo metodo de regularizacion, basado en
mantener un corrimiento en la conservacion de la energıa hasta finalizar los calculos,
provee un desarrollo perturbativo que coincide con la expansion del elemento de ma-
triz exacto. El problema con esta tecnica radica, principalmente, en la ausencia de una
clara interpretacion. En consecuencia, la posterior generalizacion al caso multicanal,
base de la aproximacion DSPB, no esta aun debidamente justificada.
En el capıtulo 4 obtuvimos, mediante un calculo sencillo, importantes resultados
referidos a la interpretacion del metodo de regularizacion off-shell. Encontramos que
el factor de distorsion, recurrente en las distintas teorıas, incorpora la descripcion del
comportamiento asintotico de las partıculas. En particular, en el lımite clasico este
factor converge a la funcion escalon expresando la conservacion de la energıa. Encon-
tramos ademas que el apartamiento en la conservacion de la energıa esta relacionado
con la distancia en que imponemos la condicion inicial o, analogamente, con el tiempo
“inicial” de la colision.
Este factor de distorsion es el responsable de los cortes ramales que aparecen tanto
94
CONCLUSIONES 95
en la matriz de transicion como en la funcion de onda off-shell al acercarse a las capas
inicial y final de energıa. En los ultimos anos se ha mostrado que estas singularidades
tienen importantes efectos en expansiones de scattering multiple. De hecho, diferentes
metodos perturbativos para colision multicanal incorporan, en los terminos de orden
superior, matrices de transicion o funciones de onda fuera de la capa de energıa como
estados “intermedios” virtuales. Este es el caso, por ejemplo, de la aproximacion
DSPB para procesos de intercambio de carga. En colisiones altamente asimetricas
(la carga del proyectil muy distinta a la carga del blanco) el corrimiento δE entre
la energıa de los estados intermedio y final es muy pequeno pero el comportamiento
singular de la funcion de onda en este lımite magnifica el efecto y produce un cambio
apreciable en la seccion eficaz de reordenamiento.
Uno de los principales logros del presente trabajo es haber obtenido una descrip-
cion clasica de una cantidad esencialmente cuantica como es la matriz de transicion
o la funcion de onda off-shell. Es bien conocido que la seccion eficaz de disper-
sion elastica para potencial coulombiano es identica en las descripciones clasica y
cuantica. Recientemente se ha demostrado que una descripcion semiclasica repro-
duce exactamente la matriz de transicion cuantica on-shell, incluyendo la fase (Rost
y Heller 1994). A la vista de nuestros resultados, parece que esta misma similitud
esta presente en el caso de la matriz de transicion off-shell. Esto demuestra -con
un ejemplo concreto- que el formalismo estacionario clasico (Samengo et. al. 1996a,
Fiol et. al. 1996) ofrece una descripcion similar y comparable a la cuantica usual
constituyenco una importante herramienta de interpretacion de la funcion de onda
del continuo en problemas de dispersion.
Finalmente, mostramos que el uso de un potencial cortado es util tanto como
metodo de regularizacion del problema coulombiano como en el estudio de proble-
mas de dispersion por potenciales apantallados. Tal es el caso, por ejemplo para una
partıcula cargada rapida incidiendo sobre un atomo neutro. Estudiando este proble-
ma, encontramos que podemos interpretar claramente distintos fenomenos que se han
observado recientemente, como el efecto de retrodispersion o el efecto ping-pong.
Apendice A
Validez de la definicion de seccion
eficaz diferencial
Hemos arribado a la definicion de seccion eficaz diferencial planteando un experimento
de colision de proyectiles sobre un blanco formado por N centros de fuerzas. Afirma-
mos que el numero de partıculas detectadas por unidad de tiempo en un diferencial de
angulo solido es proporcional al flujo incidente y al numero de blancos. En esta sec-
cion discutiremos las condiciones de validez de estas afirmaciones y, en consecuencia,
las condiciones de validez de la definicion de la seccion eficaz diferencial.
En primer lugar notamos que, si podemos despreciar las interacciones mutuas entre
proyectiles, el numero de partıculas dispersadas I sera proporcional al flujo inicial,
esto implica que la distancia media entre proyectiles debe ser suficientemente grande
para que la fuerza que experimenta cada uno debida a todos las demas partıculas del
haz sea mucho menor que la experimentada por la interaccion con el blanco.
La segunda aseveracion que hicimos fue la proporcionalidad entre el numero de
partıculas I y el numero de centros de fuerza del blanco. Esta relacion se cumplira si
la probabilidad de que cada proyectil sufra solo una colision es mucho mayor que la
probabilidad de dispersion multiple (hipotesis de colision unica)1.
1Cuanticamente debe cumplirse tambien que la separacion entre los blancos sea mucho mayorque la longitud de onda de los proyectiles para poder despreciar cualquier coherencia entre las ondasdispersadas por cada centro. Esta condicion se viola expresamente en los experimentos de difraccion(difraccion de neutrones, electrones o luz por ejemplo).
96
97
La probabilidad de que un proyectil que incide sobre un blanco compuesto por N
centros sufra j colisiones esta dada, para grandes valores de N, por una distribucion
de Poisson (Bernardi) :
Pj =(ηad)je−ηda
j!
donde η es la densidad, d el espesor del blanco y a el area transversal que presenta
cada centro. El producto ηad mide la cantidad promedio de centros de dispersion que
interactua con cada proyectil.
Evidentemente, la condicion de colision unica estara asegurada si Pj ¿ P1. Para
colisiones atomicas contra blancos gaseosos, donde las presiones tıpicas varıan entre
10−3 y 10−4 torr, puede facilmente verificarse que P2 es varios ordenes de magnitud
menor que P1.
Apendice B
Operadores de Green
Dado el hamiltoniano del sistema H = Ho+V , se definen los operadores estacionarios
de Green total y libre
G(z) = (z − H)−1 y Go(z) = (z − Ho)−1.
Como es inmediato de su definicion, el operador G(z) (o Go(z)) esta bien definido y
es analıtico para todos los valores de la variable compleja z excepto los autovalores
del Hamiltoniano. En particular, ambos presentan cortes ramales en el semieje real
positivo, sobre el espectro continuo de H y de Ho. Debido a este corte, G y Go
toman valores distintos al aproximarse al semieje desde el semiplano complejo superior
o inferior, respectivamente. Estos dos valores lımites suelen anotarse G(±)(E) =
G(E ± iε) con ε → 0+.
Utilizando la obvia relacion entre operadores A = B B−1 A obtenemos para G(z),
Go(z)
G(z) = Go(z) G−1o (z) G(z) = Go(z)
(G−1(z) + V
)G(z) =
= Go(z) + Go(z)V G(z) (B.1)
= Go(z) + G(z)V Go(z),
donde la segunda igualdad se obtiene intercambiando los roles de G(z) y Go(z). Estas
relaciones, conocidas como ecuaciones de Lippmann-Schwinger (Taylor 1972), definen
una forma recursiva para calcular el operador de Green total a partir del operador
de Green libre Go. La importancia de estas ecuaciones se debe a que el operador
98
99
de Green libre se conoce explıcitamente. Es inmediato que su forma es diagonal en
representacion de impulsos
〈p|Go(z)|k〉 =1
z − k2/2m〈p|k〉.
En consecuencia, su representacion de coordenadas esta dada por :
〈r|Go(z)|r′〉 =∫
dpdk〈r|p〉〈p|Go(z)|k〉〈k|r′〉
=1
(2πh)3
∫ eip·(r−r′)/h
z − p2/2mdp
donde la integral angular es inmediata si elegimos el eje azimutal en la direccion de
(r − r′). Obtenemos
〈r|G(z)|r′〉 =2mi
(2πh)2
1
|r − r′|∫ eip|r−r′|/h
p2 − 2mzp dp.
Para evaluar esta integral consideramos que p es una variable compleja y cerramos el
circuito de integracion con un gran semicırculo en el semiplano superior. Calculando
por residuos obtenemos
〈r|G(z)|r′〉 = − m
2πh2
ei√
2 m z|r−r′|/h
|r − r′| . (B.2)
Esta expresion es valida para Im(z) 6= 0 y debemos elegir la raız cuadrada ubicada
en el semiplano superior. En el caso particular z = Ek ± iε (ε → 0+), resulta
〈r|Go(Ek ± iε)|r′〉 = − m
2πh2
e±ik|r−r′|/h
|r − r′| . (B.3)
Apendice C
Estados estacionarios de dispersion
Los estados estacionarios de dispersion |k±〉 estan definidos por
|k±〉 = Ω±|k〉 = (1 + G(Ek ± iε)V ) |k〉. (C.1)
Estos, al igual que los estados de partıcula libre, son vectores impropios y la ecuacion
(C.1) debe entenderse de la siguiente manera, para todo |ψ〉 normalizable:
|ψ〉 =∫|p〉〈p|ψ〉dp ⇒ Ω±|ψ〉 =
∫|p±〉〈p|ψ〉dp.
Debido a la relacion de entrelazado H Ω± = Ω± Ho, estos estados son autovectores
del hamiltoniano total,
H|k±〉 = HΩ±|k〉 = Ω±Ho|k〉 = Ek|k±〉.Ademas son ortonormales como consecuencia de la isometrıa de los operadores de
Moller.
Observemos que, utilizando la ecuacion de Lippmann-Schwinger para el operador
de Green G(z) = Go(z) + Go(z)V G(z), podemos construir una relacion similar para
los estados estacionarios |k±〉,|k±〉 = |k〉 + Go(Ek ± iε)V |k±〉 (C.2)
con ε → 0+. Esta ecuacion permite calcular los estados estacionarios de dispersion
en forma recursiva, obteniendose el desarrollo de Born
|k±〉 = |k〉 + G±o V |k〉 + G±
o V G±o V |k〉 + ... (C.3)
100
101
La representacion de coordenadas del estado estacionario de dispersion (o funcion de
onda del continuo) Ψ(±)k (r) = 〈r|k±〉 es solucion de la ecuacion de Schrodinger esta-
cionaria con autovalor Ek y satisface la ecuacion integral (comparar con la ecuacion
(C.2))
Ψ(±)k (r) = 〈r|k〉 +
∫dr′〈r|Go(Ek ± iε)|r′〉V (r′)Ψ(±)
k (r′).
Evaluamos ahora el elemento de matriz 〈r|Go(Ek ± iε)|r′〉 (ecuacion (B.3)) para
valores de r mucho mayores que el alcance a del potencial,
〈r|Go(Ek ± iε)|r′〉 = − m
2πh2
e±ik|r−r′|/h
|r − r′| ≈rÀa
rÀka2
− m
2πh2
e±i k r/h
re∓ik r·r′/h.
Por lo tanto la funcion de onda del continuo presenta el siguiente comportamiento
asintotico:
Ψ(±)k (r) = 〈r|k〉 − m
2πh2
e±i k r/h
r
∫dr′ e∓ik r·r′/h V (r′)〈r′|k±〉
= 〈r|k〉 − m
√2πh
h
e±i k r/h
r
∫dr′ 〈±kr|V |r′〉〈r′|k±〉
= (2πh)−3/2
[eik·r/h − (2π)2hm〈±kr|V |k±〉e
±ikr/h
r
](C.4)
Apendice D
Comportamiento asintotico de
partıcula libre
Estudiaremos aquı el comportamiento asintotico de una partıcula libre que, a tiempo
t = 0, describimos con una funcion de onda ψ(r) normalizable arbitraria. Transfor-
mando Fourier escribimos su evolucion a tiempo t en la forma:
e−iHot/hψ(r) = (2πh)−3/2∫
eikrt/h e−iEkt/hψ(k)dk
= (2πh)−3∫
dr′ψ(r′)[∫
eik·(r−r′)/h e−iEkt/h ψ(k)dk]
=t6=0
(m
2πiht
)3/2 ∫ψ(r′) eim|r−r′|2/(2th) dr′
Utilizando esta expresion vamos a demostrar el siguiente comportamiento asintotico:
e−iHot/hψ(r) −→t→±∞
(m
i h t
)3/2
ψ(
mr
t
)(D.1)
que empleamos en la discusion de la seccion (1.4). Para ello calculamos la diferencia:
∆ =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣e−iHot/hψ(r) −
(m
iht
)3/2
ψ(
mr
t
)∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ .
Expandiendo el cuadrado en el exponente, reescribimos esta diferencia
∆ ==∣∣∣∣∣∣Ct
[(e−im(r2+r′2)/(2th) − 1)ψ(r)
]∣∣∣∣∣∣ ,donde hemos definido el operador (Dollard 1964)
Ct
[f(r)
]=
(m
i h t
)3/2 ∫e−imr·r′/(th)f(r′)dr′.
102
103
Es facil ver que este operador es unitario. Por lo tanto,
∆ =∣∣∣∣∣∣(e−im(r2+r′2)/(2th) − 1)ψ(r)
∣∣∣∣∣∣ =∫|e−im(r2+r′2)/(2th) − 1|2||ψ(r)||2dr.
Debido a que la funcion de onda ψ(r) es normalizable, el integrando esta acotado y
ademas converge a cero para t → ±∞. La integral tiende entonces a cero en el lımite
t → ±∞ por el teorema de la convergencia dominada.
Calculemos ahora la probabilidad PrC(t) de encontrar la partıcula libre a tiempo
t en un cono C determinado por el angulo solido dΩ alrededor de cierta direccion θ:
PrC(t) =
∫C|ψ(r, t)|2dr =
∫C
∣∣∣e−iHot/hψ(r)∣∣∣2 dr
Utilizando la expresion derivada (Ec.(D.1)) obtenemos asintoticamente:
PrC(t) −→
t→±∞
∣∣∣∣mt∣∣∣∣3
∫C
∣∣∣∣ψ(
mr
t
)∣∣∣∣2 dr =∫±C
∣∣∣ψ(k)∣∣∣2 dk = Pk
±C(t)
donde (−C) es el cono que se obtiene al reflejar C a traves del origen y corresponde al
lımite de tiempos negativos. Este resultado implica que la probabilidad de encontrar
a la partıcula en un angulo solido dΩ alrededor de una cierta direccion θ es igual
a la probabilidad Pk±C(t) de que tenga impulso k = mr/t en total acuerdo con el
comportamiento de una partıcula clasica.
Apendice E
Estado coulombiano del continuo
en representacion de impulso
La funcion de onda coulombiana del continuo, esta dada por:
Ψ±k (r) = 〈r|k±〉 = (2πh)−3/2 eik·r/h Γ(1 ± iνk) e−π νk/2
1F1 (∓iνk; 1;±i(kr ∓ k · r)/h)
(E.1)
donde νk = mZ/hk es el parametro de Sommerrfeld y 1F1(a; b; z) es la funcion de
Kummer o hipergeometrica confluente (ver apendice I.1). Puede verse que las funcio-
nes de onda entrante y saliente estan relacionadas en la forma Ψ+k (r) = [Ψ−
k (r)]∗. La
correspondiente representacion de impulsos puede obtenerse transformando Fourier.
Tal como derivamos en la seccion 2.4 -utilizando la regularizacion de Abel- puede
escribirse en la forma
Ψ±k (p) = lim
κ→0+
h
Z
d
dκ〈p|Vκ|k±〉 ,
donde definimos el potencial apantallado Vκ(r) = V (r)e−κr/h. Vemos que Ψ+k (p) =
[Ψ−−k(−p)]∗, y entonces basta con calcular solo uno de los elementos de matriz
〈p|Vκ|k+〉 =Z Γ(1 + iνk) e−π νk/2
(2πh)3
∫ e−(κr+i(p−k)·r)/h
r1F1
(−iνk; 1;
i
h(kr − k · r)
)dr.
Utilizaremos la siguiente representacion integral de la funcion hipergeometrica con-
fluente (Nordsieck 1954)
1F1(−iν; 1; z) =1
2πi
∮Co
ez t(
t
t − 1
)−iν dt
t, (0 < Re(−iν) < 1), (E.2)
104
105
donde el contorno de integracion Co rodea los puntos t = 0 y t = 1. Reemplazando
0 1 Re(t)
Im(t)
Co
0 1 Re(t)
Im(t)
R
δ+
δ−
C1
Figura E.1: Contornos de integracion para evaluar I. Izquierda: contorno inicial.
Derecha: contorno deformado para incluir el punto t = a.
en la expresion anterior, podremos intercambiar el orden de integracion solo si la
integral en t converge uniformemente. Puede demostrarse que esto ocurre cuando
(Nordsieck 1954, Pradhan 1957)
2k Im(t) + κ > 0 ∀ t ∈ Co. (E.3)
Restringiendo la eleccion del circuito de tal manera de cumplir esta condicion.
Obtenemos entonces
I =∫ e−(κr+i(p−k)·r)/h
r1F1
(−iνk; 1;
i
h(kr − k · r)
)dr (E.4)
=1
i
∮Co
(t
t − 1
)−iνk dt
t
∫ ∞
0re−(κ−ikt)r/hdr
∫ 1
−1e−i|p−k+tk|rx/hdx
=2 h
i
∮Co
(t
t − 1
)−iνk dt
t
[∫ ∞
0e−(κ−ikt)r/h sen (|p − k + tk|r/h)
|p − k + tk| dr
]
=∮
Co
(t
t − 1
)−iνk −2 i h
|p − k + tk|2 + (κ − ikt)2
dt
t
donde la integral espacial fue evaluada en coordenadas esfericas eligiendo el eje de
simetrıa en la direccion del vector v = p − k + tk. Ahora, reescribimos el ultimo
factor en la forma2
|p − k + tk|2 + (κ − ikt)2=
1
b(t − a)
106
con
b = (p − k) · k − iκk y a = −(p − k)2 + κ2
2b,
obteniendo
I =h
i b
∮Co
1
t − a
[(t
t − 1
)iν dt
t
]. (E.5)
Para evaluar la integral, es necesario saber si el punto t = a esta dentro o fuera
del contorno Co. El requerimiento que impusimos sobre el contorno de integracion
Co, fue que rodeara los puntos singulares t = 0 y t = 1. Ademas para que la integral
converja uniformemente en t, es necesario que se verifique la condicion expresada por
(E.3). Es inmediato que, la condicion necesaria y suficiente para que a este dentro del
circuito de integracion, es que el punto t = a por sı mismo verifique (E.3). Mediante
un poco de algebra encontramos para el lado derecho de la ecuacion (E.3)
2k Im(a) + κ = −2κk2|p − k|2
k2 |p − k|2 cos2 θ + k2κ2
(1 − cos2 θ
)
donde θ es el angulo entre (p−k) y k. Resulta claro que el punto t = a esta fuera del
circuito de integracion. Deformamos el contorno de integracion hasta C1 para incluir
el punto t = a (Pradhan 1957) tal como muestra la figura (E.1). Escribimos entonces
la integral I en la forma
I =∮
C1
−(limδ→0
∫δ+
+∫
δ−
)−
(lim
R→∞
∫SR
).
El integrando decrece como t−2 cuando t → ∞ y entonces se anulan los tres ultimos
terminos. Por otra parte, aplicando el teorema de Cauchy vemos que solo contribuye
el residuo en el polo t = a, resultando
I =2πh
a b
(a − 1
a
)iν
Reemplazando en la ecuacion (E.4), obtenemos finalmente
〈p|Vκ|k±〉 =Z
2π2hΓ(1 ± iνk) e−πνk/2 [p2 − (k ± iκ)2]±iνk
[|k − p|2 + κ2]1±iνk. (E.6)
Derivando con repecto a κ y tomando el lımite κ → 0+ recuperamos la expresion
dada por la ecuacion (2.10).
Apendice F
Demostracion del teorema de van
Haeringen
Vamos aquı a demostrar el teorema de van Haeringen (1976), es decir que el estado
asintotico coulombiano determinado por la expresion
〈p|k±κ〉 =κ
π2Γ(2 ± iνk) e−πνk/2 [p2 − (k ± iκ)2]±iνk
[|p − k|2 + κ2]2±iνk(F.1)
esta definido en el sentido de las distribuciones, y que las funciones de prueba sobre
las que actua son de la forma
〈h ±κ |p〉 = (p − k ∓ iκ)±iνkg(p)
con g(p) continua y acotada en algun entorno de p = k. La accion de estos estados
sobre las funciones de prueba esta dada por
limκ→0+
〈h ±κ |k±κ〉 =eπνk/2
Γ(1 ∓ iνk)(2k)±iνkg(k) (F.2)
y, en consecuencia, podemos escribir
〈p|k±κ〉 =eπνk/2
Γ(1 ∓ iνk)
[2k
(p − (k ± iκ))
]±iνk
〈p|k〉. (F.3)
Para demostrar esta afirmacion escribimos en primer lugar g(p) = g(k) + [g(p)−g(k)] obteniendo
107
108
limκ→0+
〈h ±κ |k±κ〉 = limκ→0+
∫dp〈h ±κ |p〉〈p|k±κ〉 =
= limκ→0+
(Γ(2 ± iνk) e−πνk/2
)I
(±)1 + g(k) I
(±)2
donde
I(±)1 =
κ
π2
∫dp
[p2 − (k ± iκ)2]±iνk
[|p − k|2 + κ2]2±iνk[g(p) − g(k)](p − k ∓ iκ))±iνk ,
(F.4)
I(±)2 =
κ
π2Γ(2 ± iνk) e−πνk/2
∫dp
[p2 − (k ± iκ)2]±iνk
[|p − k|2 + κ2]2±iνk(p − k ∓ iκ))±iνk ,
(F.5)
En primer lugar notamos que la integral en I1 existe para κ 6= 0 pues la integracion
se realiza sobre la variable “real” p y ademas podemos acotar su valor absoluto en la
forma
|I(±)1 | ≤ κ
π2e2π|νk|
∫ g(p) − g(k)
[|p − k|2 + κ2]2dp
=q=p−k
e2π|νk|
π
∫q2 dq
[(κ/π)
(q2 + κ2)2
] ∫|g(q + k) − g(k)|dq
donde utilizamos que |(p−k∓iκ)±iνk | = e∓νk arg(p−k∓iκ) ≤ eπ|νk| (recordar la convencion
de tomar las fases con su menor valor absoluto). La funcion f(q) =∫ |g(q + k) −
g(k)|dq es nula en el origen (f(0) = 0), acotada y continua en un entorno del origen,
pues g(p) lo es en la vecindad del punto p=k. Hemos reducido el calculo de I(±)1 a la
integral del producto de una representacion de la delta de Dirac en p = k (el termino
entre corchetes para κ → 0) por una funcion “buena” q2 f(q) que se anula en este
punto. En consecuencia |I(±)1 | debe ser igual a cero. En efecto,
limκ→0
|I(±)1 | ≤ e2π|νk|
πlimκ→0
∫ ∞
0f(q) q2 dq
[(κ/π)
(q2 + κ2)2
]
=x=q/κ
e2π|νk|
π2limκ→0
∫ ∞
0
f(κx) x2
(1 + x2)2dx (F.6)
Aquı, debido a que la integral existe para κ > 0 podemos reemplazar el dominio de
integracion (0,∞) por un intervalo arbitrario (0, δ), elegimos entonces δ tal que f(x)
109
este acotada en ese segmento. El integrando en la ultima igualdad de la ecuacion (F.6)
esta acotado por la expresion integrable ‖f‖∞ z2/(z2 + 1) y converge puntualmente
a cero en el lımite κ → 0+. Luego, por el teorema de la convergencia dominada
obtenemos el resultado deseado |I(±)1 | =
κ→0+0.
Para evaluar I2 elegimos el eje de simetrıa en la direccion de k. La integral angular
es entonces facil de realizar, obteniendose
I(±)2 =
κ
πΓ(1 ± iνk) e−πνk/2
∫ ∞
0
p
kdp[p2 − (k ± iκ)2]±iνk(p − k ∓ iκ)±iνk
×[
1
[(p − k)2 + κ2]1±iνk− 1
[(p + k)2 + κ2]1±iνk
]
donde utilizamos que Γ(2 + iνk) = (1 + iνk) Γ(1 + iνk). Cuando κ 6= 0 esta integral
existe. Separamos entonces el intervalo (0,∞) en dos dominios, |p−k| < δ y |p−k| >
δ, con δ > 0 arbitrario. La integral sobre |p − k| > δ se anula en el lımite κ → 0+
mientras que en la primera podemos elegir el intervalo lo suficientemente pequeno
para que sea valido efectuar los reemplazos p/k ≈ 1 y (p + k ± iκ)iν ≈ (2k)iν en el
lımite κ → 0+. De esta manera obtenemos
limκ→0
I(±)2 =
κ
πΓ(1 ± iνk) (2k)±iνke−πνk/2
∫ k+δ
k−δdp
[p − (k ± iκ)]±2iνk
[(p − k)2 + κ2]1±iνk+
(F.7)
+(2k)∓2iνk
4k2
∫ k+δ
k−δdp [p − (k ± iκ)]±2iνk
donde la segunda integral da un valor finito incluso para κ = 0 y en consecuencia el
ultimo termino se anula en este lımite. La primer integral esta bien definida solo para
κ 6= 0 dando
∫ k+δ
k−δ
dp
[(p − k)2 + κ2]
[p − (k ± iκ)
p − (k ∓ iκ)
]±iνk
=−1
2κνk
[p − (k ± iκ)
p − (k ∓ iκ)
]±iνk
∣∣∣∣∣∣p=k+δ
p=k−δ
.
Reemplazando en la ecuacion (F.7) obtenemos:
limκ→0
I(±)2 = Γ(1 ± iνk) (2k)±iνk
e−πνk/2
2 π νk
limκ→0
(− e2νk arg(x−iκ)
∣∣∣x=δ
x=−δ
)
= Γ(1 ± iνk) (2k)±iνke−πνk/2
2 π νk
(e2πνk − 1
)
110
Finalmente, utilizando la igualdad (Abramowitz y Stegun 1970) |Γ(1±iνk)|2 = Γ(1±iνk)Γ(1 ∓ iνk) = πνk/sinh(πνk) = 2πνk/(e
πνk − e−πνk), obtenemos
I(±)2 =
κ→0+
(2k)±iνkeπνk/2
Γ(1 ∓ iνk).
que nos conduce a la ecuacion (F.2), completando la demostracion del teorema.
Apendice G
Matriz de transicion coulombiana
parcialmente sobre la capa de
energıa
Para calcular el lımite Ep → E en la matriz de transicion debemos mantener ε 6= 0
en la ecuacion (3.5)
〈p|T (E + iε)|k〉 =(Z/h)
2π2|p − k|2[1 + τa(p,k, E) + τb(p,k, E)
]
donde
τa(p,k, E) = − 2ν2
√1 + ε
∞∑n=−∞
(t+)−|n|
n2 + ν2k
,
τb(p,k, E) =2πν
e2πν − 1
(t+)iν
√1 + ε
,
t+ =(1 + ε)1/2 + 1
(1 + ε)1/2 − 1y ε =
(E + iε − Ep)(E + iε − Ek)
(E + iε)|k − p|2/2m .
Vamos a tomar el lımite sobre cada termino separadamente. El termino de Born esta
bien definido para Ep → E. Para evaluar el segundo termino observamos que, cerca
de la capa de energıa, ε se vuelve pequeno y en consecuencia podemos aproximar
|t+|−1 ≈(
2 + ε/2
ε/2
)−1
≈ ε/4. −→Ep→E
0
111
112
Como la serie en τa converge, solo el termino con n = 0 es distinto de cero, resultando
en una contribucion τa = −1 que anula exactamente el termino de Born. El termino
restante τb da, parcialmente sobre la capa de energıa,
limEp→E
〈p|T (E + iε)|k〉 ≈ (Z/h)
2π2|p − k|22πν
e2πν − 1
(ε
4
)iν
=
(G.1)
=(Z/h)
2π2|p − k|22πν
e2πν − 1
((E + iε − Ep)(E + iε − Ek)
4(E + iε)|k − p|2/2m)−iν
que, con poca algebra, puede ponerse en la forma deseada
limEp→E
〈p|T (E + iε)|k〉 = limEp→E
g(E,Ep)tonc (p,k, E)g(E,Ek)
Aquı
tonc (p,k, E) =
Z
2 π2h
Γ(1 + iνk)
Γ(1 − iνk)
(4k2
|p − k|2)iνk 1
|p − k|2es la matriz de transicion on-shell definida en la seccion 2.7 y
g+(E,Ep) = Γ(1 − iν) e−πν/2
(4E
Ep − (E + iε)
)−iν
.
Apendice H
Distribucion estacionaria clasica
Consideremos un flujo uniforme de partıculas identicas de masa m e impulso inicial
k incidiendo sobre un centro de fuerzas. La distribucion clasica de partıculas n(r)
en un punto r del espacio puede obtenerse estudiando la deformacion que sufre un
volumen de control como el ilustrado en la figura (H.1), ocupado por un numero fijo
de partıculas, debido a la evolucion temporal de cada una de estas en presencia del
potencial V(r).
Centramos nuestra atencion, mucho antes de la colision, en un volumen de control
δVo = (k/m) δt ρ δρ δϕ
con ρ el parametro de impacto. Si no = J/(k/m) es la densidad inicial, el numero de
partıculas en este volumen esta dado por δN = no · δVo.
Cuando los proyectiles se acercan al centro de fuerza, cada uno sigue una trayectoria
distinta y, en consecuencia, el volumen de control se deforma. A un tiempo posterior
t, este volumen esta dado por
δV (t) = δA · p δt/m (H.1)
con p el impulso de la partıcula en ese instante y
δA =(rsen θ δϕ ˆ
)× (∂r/∂ρ)t δρ,
Aquı ˆ= ρ× k es un versor en la direccion del momento angular, normal al plano en
la figura (H.1). Luego, la densidad de partıculas dentro de este volumen de control
113
114
ϕ θ
p δt/m
δA
δρ
k δt/m
r δϕ
V(r)
k p
Figura H.1: Volumen de control estudiado para calcular la distribucion espacial de
partıculas
115
es
n(r) =δN
δV=
no
senθ
ρ
r
[(ˆ×
(∂r
∂ρ
)t
)· p
k
]−1
=no
senθ
ρ
r
[p
k×
(∂r
∂ρ
)t
]−1
. (H.2)
Debido a que estamos bajo condiciones de flujo estacionario, debe ser posible eliminar
toda dependencia explıcita del tiempo. Para esto escribimos el producto vectorial en
la ecuacion (H.2) en coordenadas polares. De esta manera queda en funcion del
Jacobiano de transformacion de las coordenadas espaciales (r, θ) a los parametros de
la orbita (ρ, t)
n(r) =no
senθ
ρ k
m r2
∣∣∣∣∣∂(r, θ)
∂(ρ, t)
∣∣∣∣∣−1
Utilizando la ecuacion de la trayectoria r(ρ, θ) y empleando el teorema de la funcion
implıcita (Apostol 1957) escribimos
∂(r, θ)
∂(ρ, t)=
(∂r
∂ρ
)θ
θ =
(∂θ
∂ρ
)r
r. (H.3)
Finalmente, obtenemos las dos expresiones alternativas
n(r) =no
senθ
k
pr
ρ
r2
∣∣∣∣∣(
∂θ
∂ρ
)r
∣∣∣∣∣−1
, (H.4)
n(r) =no
senθ
∣∣∣∣∣(
∂r
∂ρ
)θ
∣∣∣∣∣−1
. (H.5)
En la derivacion de la segunda ecuacion hemos aplicado la ley de conservacion del
impulso angular ` = ρ k = m r2 (∂θ/∂t)ρ
Por simplicidad hemos supuesto que solo una trayectoria contribuye a la densidad
en el punto r. Puede este no ser el caso (ver por ejemplo la figura (H.2)), debemos
entonces sumar sobre todas aquellas trayectorias que pasan por el punto r.
La distribucion de partıculas, dada por las ecuaciones anteriores diverge si se cumple
cualquiera de las siguientes situaciones
• Cuando senθ = 0 y (∂r/∂ρ)θ 6= 0.
116
zona prohibida T1
T3
T2
V(r)
ρ+
ρ− V(r)
r
V(r)
Figura H.2: Por cada punto del espacio puede pasar mas de una trayectoria. Arriba:
dispersion por un potencial repulsivo. Abajo: igual para un potencial atractivo.
117
Esto ocurre en las direcciones hacia adelante (θ = 0) y hacia atras (θ = π)
y se debe a que por simetrıa la densidad no depende del angulo azimutal ϕ y
entonces si alguna partıcula puede alcanzar el eje, tambien pueden hacerlo todas
aquellas que inicialmente se encontraban sobre el anillo de igual parametro de
impacto. De esta manera las partıculas inicialmente en un anillo convergen a un
punto sobre el eje de simetrıa . Si el potencial es atractivo, siempre se producira
este efecto para θ = 0, detras del centro de potencial. Este fenomeno se conoce
como efecto Gloria por su similitud con el fenomeno optico.
• Para senθ 6= 0 y (∂r/∂ρ)θ = 0.
En este caso la divergencia se debe a una acumulacion de trayectorias, es decir
tenemos una caustica. El fenomeno, por su similitud al efecto optico arco iris,
se conoce con este mismo nombre.
Ejemplos de estos fenomenos se muestran en el capıtulo 5 al discutir el proceso
de colision por un potencial coulombiano cortado.
Apendice I
Funciones especiales
I.1 Funcion de Kummer
La funcion de Kummer o hipergeometrica confluente 1F1(a; c; z) es la solucion regular
de la ecuacion diferencial de segundo orden
zd2f
dz2+ (c − z)
df
dz− af = 0 (I.1)
Esta funcion esta definida por la serie :
1F1(a; c; z) =∞∑
k=0
(a)k zk
(c)k k!
donde
(a)k =Γ(a + k)
Γ(a)=
k∏j=1
(a + j)
es el sımbolo de Pochhammer.
Para valores de los parametros en que esta bien definida, es una funcion analıtica
en todo el plano complejo z y cumple la llamada relacion de Kummer
1F1(a; c; z) = ez1F1(c − a; c; z)
Esta funcion tiene tambien distintas representaciones integrales, una de ellas,
valida cuando c es un numero entero, es (Messiah 1973)
118
I.2. Funciones de Bessel 119
1F1(a; c; z) =1
1 − e2πia
Γ(c)
Γ(a)Γ(c − a)
∫C
eztta−1 (1 − t)c−a−1dt (I.2)
donde el contorno rodea los figura 1 y la fase de los numeros complejos debe tomarse
tal que arg(t) = arg(t − 1).
El desarrollo de Laurent de 1F1(a; c; z) es
1F1(a; c; z) =Γ(c)
Γ(c − a)(−z)−aG(a; 1 + a − c; z)
+Γ(c)
Γ(a)ez(z)a−cG(c − a; 1 − a; z) (I.3)
con la funcion G(a, c; z) definida por (Landau y Lifshitz 1965)
G(a, c; z) = 2F0 (a, c;−1/z) =∞∑
k=0
(a)k (c)k
k! (−z)k
De esta ecuacion es facil obtener el comportamiento de la funcion hipergeometrica
confluente cuando |z| → ∞ ya que G(a, c; z) → 1 en este lımite
1F1(a; c; z) ≈z→∞
[Γ(c)
Γ(c − a)(−z)−a +
Γ(c)
Γ(a)ez(z)a−c
] (1 + O(|z|−1
)(I.4)
donde dominara el primer o segundo termino segun sea Re(z) > 0 o Re(z) < 0,
respectivamente.
Las derivadas estan relacionadas a la funcion de Kummer por
dn
dzn(1F1(a; c; z)) =
(a)n
(b)n1F1(a + n; c + n; z).
I.2 Funciones de Bessel
La ecuacion diferencial
z2 d2f
dz2+ z
df
dz− (z2 − ν2)f = 0 (I.5)
I.2. Funciones de Bessel 120
tiene como soluciones las llamadas funciones de Bessel del primer tipo J±ν(z), con
Jν(z) =(z/2)ν
Γ(1 + ν)0F1
(ν + 1,−z2/4
)= (z/2)ν
∞∑k=0
(−z2/4)k
k! Γ(ν + k + 1). (I.6)
Un caso particular, que nos interesa es la relacion a la funcion de Kummer en el
siguiente lımite
lima→∞ 1F1(a; c;−z/a) = z−(c−1)/2Jc−1
(2√
z).
Funciones esfericas
Cuando ν = m + 1/2 con n entero definimos las funciones esfericas de Ricatti-Bessel
m(z) y Newmann nm(z)
m(z) =
√πz
2Jm+ 1
2(z) = (−z)m+1
(1
z
d
dz
)m (senz
z
)(I.7)
y
mn(z) = (−1)m+1−(m+1)(z) = −(−z)m+1
(1
z
d
dz
)n (cos z
z
). (I.8)
Estas son soluciones de la ecuacion diferencial de segundo orden
z2 d2f
dz2+ 2z
df
dz−
[z2 − n(n + 1)
]f = 0 (I.9)
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Indice de Figuras
1.1 Esquema de la situacion planteada para definir el proceso de dispersion
y la seccion eficaz diferencial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 Dispersion de una partıcula por un centro de fuerzas. . . . . . . . . . 7
1.3 Representacion esquematica de la condicion asintotica. . . . . . . . . 10
4.1 Esquema de la situacion estacionaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.2 Situacion clasica planteada para describir el estado off-shell. . . . . . 44
4.3 Trayectorias de las partıculas en espacio de impulsos. Arriba: proceso
de colision por un potencial repulsivo (Z > 0). Abajo: En presencia
de un potencial atractivo (Z < 0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.4 Distribucion clasica de impulsos para el problema propuesto para des-
cribir la funcion de onda off-shell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5.1 Angulo de dispersion en funcion del parametro de impacto para distin-
tos valores de la constante adimensional ξ. . . . . . . . . . . . . . . . 55
5.2 Seccion eficaz diferencial para distintos valores del parametro ξ. . . . 56
5.3 El parametro adimensional ξ en funcion del cociente de energıas (Z/R)/E.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5.4 Trayectoria que siguen las partıculas para dispersion por el potencial
coulombiano cortado para dos valores particulares de los parametros
del problema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
127
INDICE DE FIGURAS 128
5.5 Distribucion espacial de partıculas dispersadas por un potencial cou-
lombiano cortado con Z/R = −2E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
5.6 Trayectorias en presencia de un potencial repulsivo. Puede observarse
la caustica de arco iris. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
5.7 Trayectorias para un potencial fuertemente atractivo. Puede observar-
se la caustica de arco iris. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.8 Trayectorias de las partıculas en espacio de impulsos: I- Potencial
atractivo, II-Potencial repulsivo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
5.9 Distribucion estacionaria de impulsos para el problema de dispersion
por un potencial coulombiano cortado. En el caso de un potencial
atractivo las partıculas estan restringidas a moverse fuera de la esfera
p = k. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
5.10 I- Relacion de dispersion y II- Seccion eficaz diferencial. Potencial
apantallado con Z/E R = 0.01 (—) y potencial Coulombiano (- - -)
(en escala logarıtmica). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5.11 Comparacion de la seccion eficaz para un potencial coulombiano puro
(- -), cortado (–), la proposicion de Chapman (– –) y la aproximacion
propuesta de mantenerla constante para angulos menores que θc (- · -). 67
5.12 Distribucion espacial de partıculas para el caso en que el potencial
apantallado aproxima al coulombiano puro (|Z|/R = 0.01). . . . . . 68
5.13 Trayectorias para el caso Z/ER = −1. El angulo de desviacion es −θ
siendo θ el angulo de reflexion en una esfera de radio R. . . . . . . . . 69
5.14 Seccion eficaz diferencial para Z/RE → −2 (ξ → −1). En este caso
la seccion eficaz tiene un pico muy pronunciado en la direccion hacia
atras θ = π. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
5.15 Trayectorias para el caso Z/R = −2E. Todas las partıculas son dis-
persadas hacia atras. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5.16 Trayectorias en espacio de impulsos para la configuracion de retrodis-
persion. Puede observarse la acumulacion de trayectorias en el plano
en p = −k. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
INDICE DE FIGURAS 129
5.17 Distintas situaciones que dan lugar al mismo fenomeno de retrodisper-
sion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5.18 Electrones secundarios emitidos al bombardear una superficie metalica
con iones lentos (Baragiola et al 1992). . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
5.19 Angulo de dispersion θ vs. ρ para el problema de colisiones con un
potencial apantallado. Arriba: apantallamiento tipo Yukawa (Jakas
1994). Abajo: Potencial cortado. En ambos casos ε es la energıa
reducida ε = E/(Z/R). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
5.20 Desfasajes de onda parcial para ` = 0, 1, 2, 3. El potencial es atractivo,
de carga Z y radio R = −40h2/m|Z| . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
5.21 Seccion eficaz parcial para ` = 0, 1, 2, 3 para mZR = −40h2 . . . . . 89
5.22 Potencial efectivo para distintos valores de `. Puede observarse cla-
ramente que el “pozo” desaparece al aumentar el momento angular `.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
5.23 Resonancia de la onda ` = 3. Desfasajes y secciones eficaces parciales
para distintos valores de m Z R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
5.24 Seccion eficaz diferencial para el caso Z/RE = −1 (ξ = 0). En el lımite
de correspondencia la dispersion se vuelve, excepto para angulos pe-
quenos, isotropica, reproduciendo el comportamiento encontrado clasicamente
de esfera rıgida. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
5.25 Seccion eficaz diferencial para el caso Z/RE = −2 (ξ = −1) mostran-
do dispersion preferencial hacia atras. Vemos que tambien para esta
combinacion de valores de los parametros se reproducen los resultados
clasicos excepto para θ ≈ 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
E.1 Contornos de integracion para evaluar I. Izquierda: contorno inicial.
Derecha: contorno deformado para incluir el punto t = a. . . . . . . . 105
H.1 Volumen de control estudiado para calcular la distribucion espacial de
partıculas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
INDICE DE FIGURAS 130
H.2 Por cada punto del espacio puede pasar mas de una trayectoria. Arriba:
dispersion por un potencial repulsivo. Abajo: igual para un potencial
atractivo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
