TesisSubespacios(Final)

DEPARTAMENTO DE ELCTRICA Y ELECTRNICA

CARRERA DE INGENIERA EN ELECTRNICA,

AUTOMATIZACIN Y CONTROL

TEMA: IDENTIFICACIN POR SUBESPACIOS DE UN

SISTEMA BALASTRO LMPARA HID - MH DE 250W

AUTORES: IRVIN ALBERTO CEDEO GARCA

EDISON RAMIRO NIETO RIOS

DIRECTOR: ING. PAL AYALA

CODIRECTOR: ING. EDWIN AGUILAR

SANGOLQU, FEBRERO 2015

W DELAS T'UENjAS AR]VIADAS. ESPE

rhrGENrERfA pr rrBrRr{rcA, AI'TOMAfiZACOI\I YCONTROL

EfrTIFICAfr#

Ing" Fal Ayala

ng" Edxin Aguilar

G8&TIFTCAN

Que et *ajo tittttoilo nldantifwacin pr Subespeios de un Sisterna Balastrckfurryara HID - MH d,e 25AWt', rwlizod,o por las se.ores Inin Alberto CeileiwGarca y Ed,ison Rnmiro Nieta fri,os, hn, sid,o guiad,o y reukado peri,dimm,ente gcu*tple nonnns estahari,*s estshlecidns por la Uniuersidod, d,e las Fuerzas Arrna-des - ESPE.

Debiilo o que se huta de un trabajo d,e inaestigacin se remmienda su publimei,rt.

El rrenci,onad,o trwbajo consta d,e un d,ocwnento empastailo y un ilsm ffimp(N-to el ctml rcntiene los arrhisos en forrnd.o por,til d,e Acrvbat (pd,.). Aatorizan alns se,ores lrwin Alberta Ced,e:o Garca y Edison Ramiro Nieta Rios que entre-gaen d, Ingeni,ero Luis Orvzrn en su colidad de Coordinad,or d,e la Carcen"

Sangolqu, Rjbrero alel 2015

.l'

trng. Hdwln AguilarTRETOR

11

I]NTTTERSIDAD DS I,I\S FUEN^ZAS AR]VIADAS - ESPE

INGENIERA EN ELECTRNICA, AUTOMATTZACION YCoNTROL

nnvnw AIBERT CEnE* GARCfrMl'SN RAE,{{R NXETS RT*S

DECLARJ.MOS QUE:

El prcywto de grado denominado nldenti,ficaci,n pr Sabespci,os de un Sis{,ermEofuhv kmpra NID - MH de 25AWn, ha sido desarrollado con base a unainrrestigaein exhausti ra, rmpetando dererhos intelectuales de tereero's, ccnformelas citas que corstan al pie., de las prgina.s correspondientes, cuya.s fuentes seincorporan en la bibliogra,fia.

Consecuentemente este trabajo es de nuestra autora.

En virtud de esta declaracin, nos rsponsabilizarnos del contenido, veracidady alcance cientfim del proyeeto de grado en rnencin.

Sangolqu, Febrero del 2015

Sr. Irvin Cede* Str" Edison Nieto

xII

UNTTTSNSIDAD DE L]|'S FUERZAS ARMADAS - ESPE

TNcFNTERA EN Er&crRNICA, AUToMATrzAcIon yCONTNOL

ALT".*FtlUACTN

Nosrros lrvin A,lbero Cedeo Garca y Edison Rrniro Nieto Rios

Autcrizamos la UN{VERSIDA,D DE LAS FUERZ.AS ARMADAS - ESPE lapublieacin, eu la bib-Lioteca

--virtual de la Iostitucia del trabajo 'tldenti,ftatcinpor Suhesgc,ei,os d,e un Si,stema Balustro fump,rc IIID - MH d,e 250Wn, tuyomntenidon ideas y criterios son de numtra exclusira responsabilidad y utora.

Sa-nge*eu, Febrero del ?S15

Sr" trdisbn NictaSr. lrvin eqlec)

iv

DEDICATORIA

Dedico este trabajo a las tres mujeres ms importantes de mi vida: mi abuelitaNelly, mi mam Patty y mi ta Tamara.

Irvin Cedeo

vDEDICATORIA

Dedico este proyecto a mis padres quienes con su apoyo y consejos han sidoel pilar fundamental para superar los problemas y dicultades que se presentan,quienes con su ejemplo me inculcaron valores y principios determinantes duranteeste proceso formativo.

Le dedico de manera especial a mi hermano, quien hace pocos meses empez el

camino que ahora doy por terminado, esperando que este trabajo sea un smbolo

de los resultados que dejan el esfuerzo, la dedicacin y la perseverancia.

Edison Nieto

vi

AGRADECIMIENTO

A mi familia por todo su esfuerzo y apoyo durante esta etapa de mi vida; ya todos mis amigos(as) con quienes compart muchos momentos a lo largo de losaos.

Irvin Cedeo

vii

AGRADECIMIENTO

Agradezco a Dios, por permitirme nalizar esta importante etapa de mi vidallena de bendiciones y lecciones, donde no slo existi crecimiento a nivel deconocimientos sino tambin a nivel personal.

A mis amigos Roberto, Natasha, Diana y Nathalie quienes con su apoyo,compaa y paciencia contribuyeron al avance del proyecto de n de carrera. Ami amigo y compaero de tesis Irvin, con quien compart este proyecto y tambinmuchos aos de amistad en las aulas, superando obstculos y dicultades a lo largode nuestra vida universitaria compartiendo conocimientos, tristezas y alegras.

A mi director de tesis el ingeniero Pal Ayala, mi codirector el ingenieroEdwin Aguilar y de manera especial ingeniero Alexander Ibarra, cuyos conoci-mientos y enseanzas nos han guiado a lo largo del desarrollo del proyecto hastasu culminacin.

Edison Nieto

ndice general

CERTIFICADO i

DECLARACIN DE RESPONSABILIDAD ii

AUTORIZACIN iii

DEDICATORIA iv

AGRADECIMIENTO vi

RESUMEN xvi

ABSTRACT xvii

CAPTULO 1 1

INTRODUCCIN 1

1.1 Antecedentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Justificacin e Importancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 Alcance del Proyecto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.4 Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.4.1 General . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.4.2 Especcos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

CAPTULO 2 4

ESTADO DEL ARTE 4

2.1 Lmpara de Alta Intensidad de Descarga (HID) . . . . . 4

viii

ix

2.1.1 Componentes Fsicos y Principio de Funcionamiento de

las Lmparas HID . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.1.2 Clasicacin de Lmparas HID . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.1.3 Lmpara de Halogenuros Metlicos . . . . . . . . . . . . 7

2.1.4. Proceso de Encendido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.2 Modelamiento e Identificacin de Sistemas Dinmicos . 9

2.2.1 Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.2.2 Mtodos de Identicacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.2.3 Identicacin Mediante el Uso de Seales Aleatorias . . . 11

2.3 Algoritmos Basados en Subespacios . . . . . . . . . . . . . 13

2.3.1 Algoritmo General . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

CAPTULO 3 21

ALGORITMOS DE IDENTIFICACIN 21

3.1 Mtodo MOESP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.1.1 Algoritmo de Katayama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.1.2 Algoritmo de Clavijo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.2 Mtodo N4SID . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.2.1 Algoritmo de Katayama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.2.2 Algoritmo de Clavijo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

CAPTULO 4 30

VALIDACIN Y SIMULACIN DE ALGORITMOS 30

4.1 Validacin de Algoritmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4.1.1 Identicacin de Sistemas de Segundo Orden Sobreamor-

tiguados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4.1.2 Identicacin de Sistemas de Segundo Orden Subamorti-

guados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.1.3 Identicacin de Sistemas de Orden Superior . . . . . . . 39

4.1.4 Identicacin de Sistemas Inestables . . . . . . . . . . . . 41

4.2 Simulacin de Algoritmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

xCAPTULO 5 49

IMPLEMENTACIN 49

5.1 Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

5.2 Balastro Electrnico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

5.2.1 Convertidor AC/DC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

5.2.2 Convertidor DC/DC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

5.2.3 Convertidor DC/AC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

5.2.4 Sensamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

5.2.5 Circuitos y Placas Adicionales . . . . . . . . . . . . . . . 58

5.3 Identificacin Sistema Balastro Lmpara . . . . . . . . . 59

5.3.1 Resultados Obtenidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

5.4 Controlador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

5.4.1 Seleccin del Microcontrolador . . . . . . . . . . . . . . . 64

5.4.2 Parmetros de Diseo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

5.4.3 Diseo del Controlador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

5.4.4 Implentacin del Filtro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

5.4.5 Resultados del Control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

CAPTULO 6 76

CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES 76

6.1 Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

6.2 Recomendaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

BIBLIOGRAFA 78

ANEXO A A

ALGORITMOS A

ANEXO B B

SRCIBS DE VALIDACIN Y SIMULACIN B

ANEXO C C

xi

CIRCUITOS IMPRESOS C

ANEXO D D

HOJAS TCNICAS D

ANEXO E E

CLCULOS E

ANEXO F F

VINCULO STM y MATLAB F

ANEXO G G

PROGRAMA CONTROLADOR G

ACTA DE ENTREGA H

ndice de Figuras

1. Componentes fsicos de las lmapras HID . . . . . . . . . . . . . 5

2. Principio de funcionamiento de lmpara HID . . . . . . . . . . . . 6

3. Flujo luminoso en funcin del tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . 7

4. Relacin potencia vs lmenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

5. Lmpara de halogenuros metlocos . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

6. Forma de la Funcin de Autocorrelacin de una SBPA . . . . . . 13

7. Sistema lineal invariante en el tiempo, caso determinstico . . . . 15

8. Algoritmo MOESP de Katayama . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

9. Algoritmo MOESP de Clavijo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

10. Algoritmo Katayama N4SID . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

11. Algoritmo Clavijo N4SID . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

12. Respuesta al escaln algoritmo N4SID primer sistema . . . . . . . 32

13. Respuesta al escaln algortimo MOESP primer sistema . . . . . . 32

14. Respuesta al escaln algoritmo MOESP M primer sistema . . . . 33

15. Respuesta al escaln algoritmo N4SID segundo sistema . . . . . . 34

16. Respuesta al escaln algoritmo MOESP segundo sistema . . . . . 35

17. Respuesta al escaln algoritmo MOESP M segundo sistema . . . . 36

18. Respuesta al escaln algoritmo N4SID tercer sistema . . . . . . . 37

19. Respuesta al escaln algoritmo MOESP tercer sistema . . . . . . 38

20. Respuesta al escaln algoritmo MOESP M tercer sistema . . . . . 39

21. Respuesta al escaln algoritmo N4SID cuarto sistema . . . . . . . 40

22. Respuesta al escaln algoritmo MOESP cuarto sistema . . . . . . 41

23. Respuesta al escaln algoritmo MOESP M cuarto sistema . . . . . 42

24. Respuesta al escaln algoritmo N4SID quinto sistema . . . . . . . 43

xii

xiii

25. Respuesta al escaln algoritmo MOESP quinto sistema . . . . . . 44

26. Respuesta al escaln algoritmo MOESP M quinto sistema . . . . . 45

27. Respuesta al escaln algoritmo N4SID sexto sistema . . . . . . . . 46

28. Respuesta al escaln algoritmo MOESP sexto sistema . . . . . . . 46

29. Respuesta al escaln algoritmo MOESP M sexto sistema . . . . . 47

30. Respuesta al escaln algoritmo N4SID sistema simulado . . . . . 47

31. Respuesta al escaln algoritmo MOESP sistema simulado . . . . . 48

32. Respuesta al escaln algoritmo MOESP M sistema simulado . . . 48

33. Sistema Balastro-Lmpara . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

34. Diagrama del convertidor AC/DC . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

35. Diagrama del convertidor buck boost . . . . . . . . . . . . . . . . 51

36. Seal activacion MOSFET . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

37. Diagrama placa de activacin de MOSFETS . . . . . . . . . . . . 52

38. Seal salida TLP250 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

39. Diagrama placa controlador buck boost . . . . . . . . . . . . . . . 54

40. Seal salida controlador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

41. Seales placa driver puente H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

42. Diagrama placa driver puente H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

43. Seal de salida puente H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

44. Diagrama puente H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

45. Diagrama punta diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

46. Diagrama acoplamiento de seal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

47. Seal obtenida sensor diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

48. Diagrama placa fuentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

49. Circuito de arranque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

50. Interfaz implementacin algoritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

51. Respuesta al escaln unitario del sistema identicado . . . . . . . 62

52. Lugar geomtrico de las races sistema identicado . . . . . . . . . 63

53. Datos medidos vs datos calculados . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

54. Respuesta al escaln con y sin coeciente . . . . . . . . . . . . . . 64

55. ngulos de compensacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

56. Lugar geomtrico de las races con controlador . . . . . . . . . . . 71

xiv

57. Respuesta al escaln unitario sistema controlado . . . . . . . . . . 72

58. Diagrama de ujo del controlador . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

59. Sistema controlado y sin controlar . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

60. Elementos lazo cerrado de control . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

ndice de Cuadros

1. Coecientes de secuencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2. Funciones de transferencia primer sistema . . . . . . . . . . . . . 31

3. Resultados algoritmos primer sistema . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4. Funciones de transferencia segundo sistema . . . . . . . . . . . . 34

5. Resultados algoritmos segundo sistema . . . . . . . . . . . . . . . 35

6. Funciones de transferencia tercer sistema . . . . . . . . . . . . . . 36

7. Resultados algoritmos tercer sistema . . . . . . . . . . . . . . . . 37

8. Funciones de transferencia cuarto sistema . . . . . . . . . . . . . . 38

9. Resultados algoritmos cuarto sistema . . . . . . . . . . . . . . . . 39

10. Funciones de transferencia quinto sistema . . . . . . . . . . . . . . 40

11. Resultados algoritmos quinto sistema . . . . . . . . . . . . . . . . 41

12. Funciones de transferencia sexto sistema . . . . . . . . . . . . . . 42

13. Resultados algoritmos sexto sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

14. Funciones de transferencia sistema simulado . . . . . . . . . . . . 44

15. Resultados algoritmos sistema simulado . . . . . . . . . . . . . . . 45

16. Resolucin registros convertidor anlogo digital . . . . . . . . . 65

17. Variacin del registro del convertidor anlogo digital . . . . . . 66

18. Validacin de resulados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

xv

xvi

RESUMEN

Los mtodos de identicacin basados en subespacios nacen en la poca de lossesenta como alternativa para encontrar un modelo matemtico de sistemas fsicosen representacin de espacio de estados, los mtodos consisten en una serie deoperaciones matriciales como factorizaciones, descomposiciones y proyeccionesde matrices de Hankel, las cuales se forman por los datos de entrada y salidatomados del sistema, estos mtodos consideran que los datos de salida son unacombinacin lineal de los datos de entrada, por ello el objetivo de estos mtodos esencontrar dicha combinacin. Los diferentes algoritmos de identicacin basadosen subespacios comparten entre si una secuencia de tres pasos, inician con unaproyeccin ortogonal u oblicua de las matrices de datos, se obtienen los estados,de manera explcita o implcita, a partir del subespacio generado por la proyeccinanterior para nalmente obtener las matrices de estados a partir de los resultadosobtenidos en los pasos anteriores. Los algoritmos se diferencian uno de otro en lasherramientas computacionales empleadas para el cumplimiento de la secuencia delos tres pasos fundamentales. El presente trabajo es una aplicacin de los mtodosde identicacin basados en subespacios sobre un prototipo de balastro electrnicopara una lmpara HID MH de 250 vatios, el modelo matemtico encontradoser el punto de partida para el diseo e implementacin de un control sobre latensin de alimentacin de la lmpara. Considerando que el balastro cuenta conun control de corriente sobre un convertidor DC/DC, el resultado nal ser uncontrol sobre la potencia suministrada a la carga.

Palabras Claves: BALASTRO ELECTRNICO, MTODOS DE SUBES-

PACIOS, IDENTIFICACIN, HID-MH, ESPACIO DE ESTADOS.

xvii

ABSTRACT

Identication methods based on subspaces were born in the sixties as an alternati-ve to nd a mathematical model of physical systems in state space representation,the methods comprise a series of matrix operations such as factoring, decompo-sitions and matrices projections of Hankel matrices, which are formed by inputand output data taken from the system, these methods consider the output datais a linear combination of the input data, so the objective of these methods isto nd such a combination. Dierent identication algorithms based on subspaceshared between whether a sequence of three steps, starting with an orthogonal oroblique projection data arrays, states are obtained, explicitly or implicitly, fromthe subspace spanned by the previous projection to nally obtain the matricesof states from the results obtained in the previous steps. The algorithms dierfrom each other in the computational tools used to comply with the sequence ofthe three basic steps. This work is an application of identication methods basedon subspaces over a prototype electronic ballast for 250 watt HID-MH lamp, themathematical model found will be the starting point for the design and implemen-tation of a control voltage lamp power. Whereas the ballast has a current controlon a DC/DC converter, the end result will be a check on the power delivered tothe load.

Keywords: ELECTRONIC BALLAST, SUBSPACEMETHODS, IDEN-

TIFICATION, HID-MH, STATE SPACE.

CAPTULO 1

INTRODUCCIN

1.1 Antecedentes

Las lmparas de alta intensidad de descarga, HID - MH por sus siglas eningls, se caracterizan por proveer una fuente de luz compacta. Los tres tiposde lmparas HID - MH disponibles en el mercado ofrecen ventajas que las ha-cen ideales para numerosas aplicaciones. El uso de las lmparas HID - MH esmuy extenso, ya que estas se utilizan en alumbrado pblico, iluminacin exteriorde edicios, inmuebles de gran tamao, centros comerciales, naves industriales,estadios, entre otras [1].

Para el correcto funcionamiento de las lmparas de alta intensidad de descargase requiere un elemento que regule el ujo de corriente, evitando que la potenciaaumente de manera desmesurada, este elemento se denomina balastro. Para laimplementacin y el correcto funcionamiento del conjunto balastro - lmpara,es necesario conocer la dinmica de la lmpara y la interaccin entre balastro ylmpara [1].

Para un diseo ptimo del balastro es necesario tener un modelo que repro-duzca de manera precisa el comportamiento esttico y dinmico de la lmpara. Alobtener un modelo para la lmpara se reducir el riesgo de falla al implementarun balastro electrnico [1].

La identicacin de sistemas es la teora y el arte de construir modelos mate-mticos de sistemas dinmicos, partiendo de un anlisis de los datos experimen-tales, mediciones y observaciones recabadas del sistema en cuestin [2].

Para la identicacin que se realiza en este documento, los datos utilizados

1

2fueron obtenidos de un prototipo de balastro-lmpara, este consta de un conver-tidor AC/DC (Recticador de onda completa con ltro), un convertidor DC/DC(Buck - Boost) y un convertidor DC/AC (Puente H).

1.2 Justificacin e Importancia

En la actualidad las lmparas HID - MH son altamente utilizadas debido a sualta ecacia luminosa, alto ndice de reproduccin de color, elevada temperaturade color y tiempo de vida. Todas estas caractersticas las han convertido en laprimera opcin para iluminacin exterior e interior de grandes espacios.

El balastro electrnico a analizar conjuntamente con un sistema de controladecuado, minimiza las desventajas y problemas de resonancia acstica, consumoexcesivo de corriente e impedancia negativa que presentan estas lmparas, peropara poder disear e implementar un controlador ptimo es necesario contar conun modelo matemtico conable de la planta Balastro-Lmpara .

Los modelos pueden venir dados por diferentes estructuras y con distintasformulaciones matemticas. La aplicacin del modelo determina el grado de so-sticacin requerido, por ejemplo, un sistema moderno complejo posee variasentradas y numerosas salidas que se relacionan entre s en una forma complica-da. Para analizar este tipo de sistema, es esencial reducir la complejidad de lasexpresiones matemticas. Siendo el conjunto de estados o vector de estados la in-formacin mnima en la que se resume toda la historia de la evolucin del sistemay tambin la mnima con la que es posible calcular su evolucin futura [3].

Al ser un proyecto de tipo investigativo presentar un aporte para el Depar-tamento de Elctrica y Electrnica de la Universidad de las Fuerzas ArmadasESPE sentando un precedente, para que en futuros proyectos se pueda realizaruna identicacin on-line utilizando la tcnica de Subespacios, con el objetivo deimplementar con mayor facilidad controles de naturaleza Predictiva y Adaptativa.

1.3 Alcance del Proyecto

El presente proyecto busca obtener el modelo matemtico de la planta Balastro-Lmpara, mediante identicacin paramtrica y el comportamiento dinmico dela misma.

Las tcnicas que se emplean para la identicacin estn basadas en subespa-

3cios lo que permite obtener un modelo matemtico directamente en representacinde espacio de estados.

Para la identicacin de la planta Balastro-Lmpara se desarrollan los algo-ritmos MOESP y N4SID, los cuales son sometidos a pruebas de simulacin enMATLAB, con el anlisis de los algoritmos se determina cual es el ms ecienteen cuanto a requerimientos de hardware para su implementacin.

Finalmente se comprueba la validez del modelo matemtico con el diseo eimplementacin de un algoritmo de control lo sucientemente robusto para laplanta, el cual es implementado en un microcontrolador.

1.4 Objetivos

1.4.1 General

Obtener un modelo matemtico del sistema Balastro Lmpara de 250W enbase a la identicacin paramtrica.

1.4.2 Especficos

Establecer los parmetros mnimos para describir el comportamiento delsistema Balasto Lmpara.

Programar, dentro del entorno de simulacin MATLAB, los algoritmosde identicacin, MOESP y N4SID, en base a los parmetros establecidos.

Comparar los resultados de las simulaciones de los algoritmos programados,para determinar cual se aproxima de mejor manera al comportamiento realde la planta.

Implementar el algoritmo de identicacin seleccionado en un dispositivoelectrnico cuyas caractersticas sean las sucientes para cumplir con losrequerimientos del proyecto.

Comprobar la validez del modelo matemtico obtenido mediante el diseoe implementacin de un controlador acorde a la planta.

CAPTULO 2

ESTADO DEL ARTE

2.1 Lmpara de Alta Intensidad de Descarga (HID)

Las lmparas de alta intensidad de descarga o HID, por sus siglas en ingls,son fuentes de luz electroluminiscentes que presentan muchas ventajas como sualto ndice de reproduccin de color, tiempo de vida, elevada temperatura decolor, entre otras que las hacen atractivas para aplicaciones en iluminacin [1].

Este tipo de lmparas requieren pulsos de alta tensin, tpicamente mayoresa 3kV para su encendido, una vez cumplido el proceso de encendido, la lmparaincrementa el ujo luminoso, en este instante se presenta el fenmeno conocidocomo impedancia negativa, este fenmeno es la consecuencia del aumento de laconcentracin de iones y electrones libres debido al incremento de la corrientey la temperatura de la lmpara. La conductividad en el arco de descarga seincrementa lo suciente como para que la tensin disminuya, mientras que lacorriente aumenta.

Con la nalidad de minimizar los efectos del fenmeno de impedancia negati-

va, la lmpara requiere de un circuito que limite la corriente que circula a travs

de ella, este circuito conocido como balastro puede ser de tipo electromagntico o

electrnico. La funcin principal del balastro es evitar que la potencia aumente de

manera descontrolada, es decir que regular los niveles de corriente y tensin du-

rante los procesos de encendido, estabilizacin y funcionamiento a plena potencia

[4].El principio de operacin de estas lmparas, presenta un grave problema y es

4

5que la potencia instantnea de la lmpara es variable, ocasionando una contorsindel arco de descarga, a este fenmeno se lo conoce como resonancia acstica.

2.1.1 Componentes Fsicos y Principio de Funcionamiento de las

Lmparas HID

Fsicamente estas lmparas estn constituidas por los siguientes elementos:

Una ampolla exterior

Un tubo de descarga

Dos electrodos

Un casquillo

Como se muestra en la gura 1, la ampolla exterior conjuntamente con el casquillocontienen al tubo de descarga en cuyos extremos se localizan los electrodos, enciertos modelos el casquillo se conecta directamente con los electrodos mientrasque en los modelos ms modernos se incluye una bobina de choque, la cual permiteel encendido de la lmpara sin la necesidad de incluir un circuito de ignicinadicional, que garantice ciertas caractersticas elctricas durante la primera etapade encendido.

Figura 1: Componentes fsicos de las lmapras HIDFuente: [5]

6Las lmparas HID - MH son fuentes electroluminiscentes, es decir, la ilumi-nacin se produce por la accin de un campo elctrico en el seno de un gas omaterial slido. Cuando la descarga es a travs de un gas, se aplica un potencialelctrico que lo ioniza y permite el paso de corriente elctrica a travs de l. Loselectrones que forman el arco de descarga se aceleran a enormes velocidades yal entrar en colisin con los tomos del gas o vapor, alteran momentneamente laestructura atmica de este, produciendo la luz por efecto de la energa despren-dida cuando los tomos alterados vuelven a su estado normal. La forma en querealiza la excitacin determina la distribucin espectral emitida [4].

Es decir, la luz generada por estas lmparas es producto de una descarga dearco elctrico y el ujo continuo de energa elctrica entre los electrodos hacenque el gas de relleno del tubo de descarga, el cual se encuentra a una presin de0.98 bar tpicamente, brille con alta intensidad. (vase gura 2)

Figura 2: Principio de funcionamiento de lmpara HIDFuente: [CAD-Projects 6]

2.1.2 Clasificacin de Lmparas HID

Las lmparas de alta intensidad de descarga se pueden clasicar en funcindel gas de relleno del tubo de descarga, obteniendo tres clases [4]:

Lmparas de vapor de sodio.

Lmparas de mercurio.

Lmparas de halogenuros metlicos.

7Figura 3: Flujo luminoso en funcin del tiempoFuente: [7]

Debido a la diferencia en la composicin del gas de relleno, las caractersticasde funcionamiento y aplicaciones de las lmparas varan, adems de esto tambindepender la incorporacin o no de otros componentes como otros gases nobleso polvos uorescentes para variar las cualidades cromticas de la lmpara. Lagura 3 muestra una grca de la cantidad de lmenes emitidos por cada clase delmpara en funcin del tiempo, mientras que la gura 4 demuestra que la relacinentre la potencia y los lmenes emitidos es lineal y no vara en funcin del gas derelleno del tubo de descarga.

(a) Vapor de Mercurio (b) Mercurio Halogenado (c) Sodio alta presin

Figura 4: Relacin potencia vs lmenesFuente: [7]

2.1.3 Lmpara de Halogenuros Metlicos

Esta clase de lmparas son bsicamente, lmparas de gas de mercurio a lascuales se les adjunto halogenuros metlicos dentro del tubo de descarga. Presen-

8tan una mejora considerable en cuanto a rendimiento y a su nivel de reproduccinde color, sin embargo la tensin de arranque se ve afectada, lo que representa lamayor desventaja de este tipo de lmparas. Los halogenuros que son empleadosfrecuentemente son indio, talio, disprosio y escandio, en diferentes combinaciones,usualmente en este tipo de lmparas se suele implementar las siguientes combi-naciones:

Talio, ioduros de indio y sodio.

Ioduros de escandio y sodio.

Ioduros de talio y disprosio.

La variacin de las caractersticas de desempeo de las lmparas con combinacio-nes de haluros diferentes no es signicativa [4]. Los haluros ayudarn a mejorarel balance de color de la luz emitida. En la gura 5 se muestran dos lmpara dehaluros metlicos con dos formas diferentes de ampolla.

Figura 5: Lmpara de halogenuros metlocosFuente: [8]

2.1.4. Proceso de Encendido

El proceso de encendido de la lmpara es muy importante, por lo tanto, sedeben conocer las caractersticas en las diferentes fases de este proceso, las cualesson:

Fase de ruptura.

9Fase de transicin de luminiscencia a arco.

Fase de transicin a arco termoinico.

Fase de arco termoinico.

En la fase de ruptura se aplica una tensin alta en los electrodos para liberarelectrones, los cuales se acelerarn por efecto del campo elctrico, los electronesacelerados se vern envueltos en colisiones elsticas e inelsticas con las molculasdel gas de relleno del tubo de descarga, estas colisiones transeren energa cinticala cual provoca que los tomos del gas desplacen un electrn a un nivel energticoms alto, llegando incluso a liberar por completo el electrn, dando origen a union positivo estableciendo la corriente de descarga como efecto del incremento dela temperatura del gas por el movimiento de electrones. Una vez ionizado el mediose presenta la descarga electroluminiscente dando inicio a la siguiente etapa [4].

En la etapa de transicin de arco luminiscente la lmpara mantiene una im-pedancia alta, como consecuencia de esto la tensin de alimentacin ser alta, lacorriente ser baja y emitir una pequea cantidad de luz. Pasado un intervalode tiempo y con el calentamiento de los electrodos se sustituir la emisin deelectrodos secundarios por un bombardeo inico.

Durante la fase de transicin al arco inico, la impedancia de la lmparadisminuye, la corriente de la lmpara aumenta y la tensin se reduce, adems lasformas de onda de la tensin y corriente se ven afectadas [4].

Finalmente, durante la etapa de arco termoinico, la impedancia de la lm-para al igual que la tensin de alimentacin de la misma bajan, el cambio msevidente es el aumento en la emisin de luz.

Para el caso particular de las lmparas de halogenuros metlicos no se puedenrealizar dos procesos de encendido consecutivos ya que al tener una tensin deignicin alta, entre 1.5 kV y 5 kV, se debe esperar un periodo de tiempo cercanoa 15 minutos con la nalidad que la lmpara se enfri, caso contrario requerirpulsos de hasta 35 kV para su encendido [4].

2.2 Modelamiento e Identificacin de Sistemas Dinmicos

2.2.1 Introduccin

La identicacin de sistemas dinmicos, consiste en aplicar un conjunto deestudios, teoras y algoritmos que permiten establecer un puente entre el dominio

10

de la realidad y el de los modelos que pretenden representarla, estos modelos re-producen con cierta exactitud un sistema dinmico. Una vez obtenido un modelose pueden usar los resultados para la realizacin de un control automtico [9].

Los objetivos concretos que se persiguen mediante la identicacin de unsistema determinado son:

Estudio preliminar de un proceso tecnolgico. Generalmente se utilizan tc-nicas de simulacin con la nalidad de disear el sistema de control parareducir el nmero de alternativas posibles y eventualmente hacer una esti-macin inicial aproximada de algunos parmetros del regulador.

Ajuste sobre la marcha de los parmetros del regulador sobre la base deuna identicacin recursiva de los parmetros del modelo.

Uso del modelo como parte del algoritmo de control, generalmente haciendolas veces de predictor de salidas futuras [9].

Exiten varios tipos de sistemas dinmicos, en este subcaptulo se explicar lasdiferentes posibilidades que existen para identicar un sistema u otro.

2.2.2 Mtodos de Identificacin

Existen varios mtodos para la identicacin de sistemas, en el presente tra-bajo se los agrupa en 3 enfoques, los cuales son:

Identificacin Analtica

Desarrolla un modelo basado en las relaciones fsico-qumicas del proceso aidenticar. Por lo general este enfoque conduce a modelos complejos y no linealesque deben someterse a un proceso de simplicacin y linealizacin. El principalinconveniente de este enfoque consiste en que se requiere un conocimiento muyespecializado sobre la tecnologa del proceso, dicha informacin no siempre estdisponible [9].

11

Identificacin Experimental Mediante Seales Especiales

Es mejor conocido como Identicacin Clsica, este enfoque resulta ser el msdirecto y el que permite obtener el modelo de un proceso a corto plazo. Las sealesque se utilizan con mayor frecuencia son los escalones y las llamadas secuenciasbinarias pseudoaleatorias. La limitacin ms importante de este enfoque es lanecesidad de introducir seales de prueba que perturban de manera indeseable alproceso [9].

Identificacin Paramtrica

Consiste en encontrar los diferentes parmetros que componen un modelodeterminado para un sistema especco, el mtodo ms comn se basa en losdenominados mtodos de minimizacin del error de prediccin. Para poder utilizarel mtodo es necesario aceptar como cierto que el proceso puede ser representadopor un modelo de estructura ja, generalmente una ecuacin lineal en diferencias,lo que implica que dicho modelo tiene naturaleza discreta [9].

2.2.3 Identificacin Mediante el Uso de Seales Aleatorias

La utilizacin de seales de naturaleza aleatoria para la identicacin deprocesos, se las utiliz para aquellos procesos que poseen caractersticas cercanasal llamado ruido blanco, el fundamento terico puede encontrarse en los trabajosclsicos de Wiener [10], en especial la ecuacin de Wiener-Ho, que establecela relacin entre las funciones de autocorrelacin y correlacin cruzada de lasvariables de entrada y salida de un sistema lineal.

Las seales aleatorias poseen la caracterstica que su amplitud puede ser muypequea, reduciendo por lo tanto el grado de perturbacin que se introduce enla planta a identicar. Estas seales aleatorias pueden superponerse a los valoresnormales de la variable de entrada, independientemente de las variaciones de esta,sin que se vea afectado [9].

Secuencias Binarias Pseudoaleatorias (SBPA)

Las SBPA son seales peridicas cuyas integrales de autocorrelacin se apro-ximan de una manera satisfactoria a la funcin delta de Dirac [11, 12].

Las SBPA se codican mediante secuencias de ceros y unos que cumplan laecuacin en diferencias (1).

12

x (t) = amDmx (t) (+) am1D

m1x (t) (+) . . . (+) a1Dx (t) (1)

Donde:

D Operador de retardo, de manera que Dmx (t) = x (tm).

(+) Operador de suma mdulo 2 (XOR).

x (t) Variable binaria que asume valores 0 1.

ai Coecientes binarios que asumen tambin valores 0 1

m Orden de la secuencia

Las SBPA son secuencias peridicas con un periodo igual a:

N = 2m 1 (2)

Donde:

N Periodo de SBPA

Los coecientes ai de (1) no pueden escogerse arbitrariamente. Para que la gene-racin de SBPA cumpla el periodo dado por (2) se seleccionan los coecientes delcuadro 1.

Cuadro 1: Coecientes de secuencia

Fuente: [9]m Coecientes Iguales a 12 a1, a23 a1, a34 a3, a45 a3, a56 a2, a3, a67 a4, a78 a2, a3, a4, a89 a5, a910 a7, a1011 a9, a11

Las SBPA tienen las siguientes propiedades:

13

Su promedio es aproximadamente N2

Se producen 2m 1 cambios (de 0 a 1 o de 1 a 0)

Incluyen un grupo de m y otro de m 1 unos o ceros consecutivos

Incluyen 2i grupos de m i 1 ceros o unos con i = 1, 2, . . . ,m 2

A medida que la longitud de la secuencia es mayor, la funcin de autocorrelacinse aproxima ms a la Delta de Dirac, se lo puede apreciar en la gura 6

Figura 6: Forma de la Funcin de Autocorrelacin de una SBPA

Es recomendable que la longitud de la secuencia no sea muy grande (en elorden de 8 o 9) y realizar mnimo 2 rplicas de la secuencia, longitudes msgrandes implicaran experimentos excesivamente largos y difciles de poner enprctica [9].

Se entiende que el valor uno es correspondiente a un incremento positivo yel valor cero es correspondiente a un incremento negativo con respecto al valormedio de la variable de control. Estos valores deben ser simtricos con respec-to a la posicin normal del elemento de control, de manera que el efecto de laperturbacin introducida al nal del experimento sea cero [9].

2.3 Algoritmos Basados en Subespacios

Las tcnicas de Subespacios enfocadas en el anlisis de sistemas son una al-ternativa novedosa, viable y de utilidad para obtener modelos matemticos enespacio de estados en tiempo discreto, estas tcnicas son buenas para sistemaslineales invariantes en el tiempo tipo MIMO, ya que ostentan las siguientes ca-ractersticas [2]:

14

No es necesario realizar ninguna parametrizacin cannica, es decir, el sis-tema no es transformado.

No se requiere una optimizacin iterativa no-lineal. Como en el caso de losalgoritmos que utilizan variables instrumentales.

Slo se requiere de herramientas estadsticas y de algebra lineal numrica-mente robusta. Esto simplica la implementacin numrica de los algorit-mos.

Los modelos en espacio de estados, obtenidos por mtodos basados en subes-pacios pueden describir muchos procesos industriales con un aceptable gradode precisin alrededor de una vecindad local del punto de operacin [2].

Las tcnicas de identicacin mediante subespacios en tiempo discreto, hace re-ferencia al uso de algoritmos cuya principal caracterstica es trabajar con unsubespacio generado por las matrices de Hankel tanto de entradas como salidas,para obtener un modelo able en el espacio de estados [13]. Los modelos de es-pacio de estados en la forma deterministica se describen matemticamente en(3):

xk+1 = Axk +Bukyk = Cxk +Duk (3)Donde:

A nn Matriz del sistema

B nm Matriz de entrada

C lm Matriz de salida

D lm Matriz de relacin directa entrada - salida

uk m Vector de entradas del sitema; seales controlables

yk l Vector de salidas del sistema; seales observables

xk n Vector de estados del sistema

m Nmero de entradas

l Nmero de salidas

15

n Nmero de estados

k Instante de tiempo

En la gura 7 se representa la forma grca de un sistema lineal invariante en eltiempo en su caso determinstico.

Figura 7: Sistema lineal invariante en el tiempo, caso determinstico

2.3.1 Algoritmo General

Del desarrollo de la ecuacin de estados (3) se obtiene (4) representada enforma matricial en el instante k = 0 [2].

x (i)

x (i+ 1)...

x (i+ j 2)x (i+ j 1)

T

= Ai

x (0)

x (1)...

x (j 2)x (j 1)

T

+

Ai1B

Ai2B...

AB

B

T

u (0) u (1) u (j 1)u (1) u (2) u (j)...

... . . ....

u (i 2) u (i 1) u (j + i 3)u (i 1) u (i) u (j + i 2)

(4)

16

Los valores i y j representan el nmero de bloques la y columna respectiva-mente, en las matrices de Hankel, del desarrollo de la ecuacin de salida (3), seobtiene (5) representada en forma matricial en el instante k = i y el bloque dela es h [2].

y (i) y (i+ 1) y (i+ j 1)y (i+ 1) y (i+ 2) y (i+ j)y (i+ 2) y (i+ 3) y (i+ j + 1)

...... . . .

...y (i+ h 1) y (i+ h) y (i+ h+ j 2)

=

C

CA

CA2

...CAi1

x (i)

x (i+ 1)

x (i+ 2)...

x (i+ j 1)

T

+

D 0 0CB D 0CAB CB 0...

... . . ....

CAh2B CAh3B D

u (i) u (i+ 1) u (i+ j 1)u (i+ 1) u (i+ 2) u (i+ j)u (i+ 2) u (i+ 3) u (i+ j + 1)

...... . . .

...u (i+ h 1) u (i+ h) u (i+ h+ j 2)

(5)

A continuacin, se tienen las siguientes deniciones que ayudarn a desarrollar

el algoritmo general de identicacin mediante subespacios [14].

Definicin. Matriz Hankel con los datos de salida

Yp=

y (0) y (1) y (j 1)y (1) y (2) y (j)...

... . . ....

y (i 2) y (i 1) y (i+ j 3)y (i 1) y (i) y (i+ j 2)

Rlij (6)

17

Yf=

y (i) y (i+ 1) y (i+ j 1)y (i+ 1) y (i+ 2) y (i+ j)

...... . . .

...y (i+ h 2) y (i+ h 1) y (i+ h+ j 3)y (i+ h 1) y (i+ h) y (i+ h+ j 2)

Rlhj (7)

Definicin. Matriz Hankel con los datos de entrada

Up=

u (0) u (1) u (j 1)u (1) u (2) u (j)...

... . . ....

u (i 2) u (i 1) u (i+ j 3)u (i 1) u (i) u (i+ j 2)

Rmij (8)

Uf=

u (i) u (i+ 1) u (i+ j 1)u (i+ 1) u (i+ 2) u (i+ j)

...... . . .

...u (i+ h 2) u (i+ h 1) u (i+ h+ j 3)u (i+ h 1) u (i+ h) u (i+ h+ j 2)

Rmhj (9)

Definicin. Secuencia de estados

Xp =(x (0) x (1) x (j 2) x (j 1)

) Rnj (10)

Xf =(x (i) x (i+ 1) x (i+ j 2) x (i+ j 1)

) Rnj (11)

Definicin. Matriz de controlabilidad extendida en reversa

18

i =(Ai1B Ai2B AB B

) Rnmi (12)

Definicin. Matriz de observabilidad extendida (asumiendo que h n)

h=

C

CA

CA2

...CAi1

Rlin (13)

Definicin. Matriz Toepliz con los coecientes de Markov (respuesta impulso)

Ti =

D 0 0 0CB D 0 0CAB CB D 0...

...... . . .

...CAi2B CAi3B CAi4B D

Rlimi

(14)

Para obtener el vector de estados futuros Xf , vector de salidas pasadas Yp yfuturas Yf , se realizan los remplazos correspondientes y se obtienen las siguientesecuaciones: [2]

Xf = AiXp +iUp

Yp = iXp +HiUp

Yf = hXf +HhUf

(15)

Al realizar la proyeccin ortogonal de Yf con respecto a Ufse obtiene: [2]

YfUf

= hXfUf (16)

19

Se denen las matrices de ponderacin Wa y Wb de la siguiente manera: [14]

Wa=

wa (1, 1) wa (1, 2) wa (1, h)wa (2, 1) wa (2, 2) wa (2, h)

...... . . .

...wa (h 1, 1) wa (h 1, 2) wa (h 1, h)wa (h, 1) wa (h, 2) wa (h, h)

Rlhlh

Wb=

wb (1, 1) wb (1, 2) wb (1, j)wb (2, 1) wb (2, 2) wb (2, j)

...... . . .

...wb (j 1, 1) wb (j 1, 1) wb (j 1, j)wb (j, 1) wb (j, 1) wb (j, j)

Rjj

(17)

Se multiplican las matrices de ponderacin en (16) con lo cual se obtiene:

WaYfUf

Wb = WahXfUf

Wb (18)

Las matrices de ponderacin deben cumplir las siguientes condiciones [14]:

1. rango (Wah) = rango (h)

2. rango(XfU

f

Wb

)= rango (Xf )

Deniendo lo siguiente:

Oh = WaYfUf

Wb

h= Wah

Xf= XfU

f

Wb

(19)

Donde:

20

Oh Proyeccin oblicua afectada por las matrices Wa y Wb

h Matriz de observabilidad extendida afectada por Wa

Xf Secuencia de estados futuros afectados por Wb

Se aplica la descomposicin en valores singulares (SVD) de la matriz Oh:

Oh = U11V T1 (20)

De la descomposicin SVD descrita en (20) se derivan los siguientes resultados[14]:

rango (1) = n

h = U11/21

(21)

Xf =

hOh (22)

(22) contiene los estados estimados y las matrices del sistema, esta es laecuacin que resuelve los algoritmos de identicacin por subespacios.

CAPTULO 3

ALGORITMOS DE IDENTIFICACIN

Los mtodos de subespacios en esencia constan de tres pasos principales:primero, se realiza la proyeccin, ortogonal u oblicua, de las matrices de datos,segundo, se obtienen los estados, implcita o explcitamente, del subespacio gene-rado por la proyeccin anterior y nalmente, se obtienen las matrices del sistemapara el modelo de espacio de estados [15, 16].

Cada mtodo de subespacios es completamente diferente a los dems, enconcepto y herramientas computacionales, pero en el fondo todos responden a lostres pasos principales de la identicacin mediante subespacios [16].

3.1 Mtodo MOESP

Uno de los principales mtodos para la identicacin de sistemas mediantesubespacios es MOESP (Multivariable Output Error State sPace) por sus siglasen ingls, desarrollado por Verhaegen y Dewilde [13, 17, 18, 19].

3.1.1 Algoritmo de Katayama

El algoritmo de Katayama [20] es tomado como referencia para este proyecto,el cual inicia con la realizacin de la descomposicin LQ mostrado en (23).

21

22

UpYp

=

L11 0L21 L22

QT1QT2

(23)

Se realiza la denicin (24).

YpUp = L22QT2 (24)

Al desarrollar (24) se llega a la conclusin (25) [13].

L22 = hXpQ2(25)

Ahora, se realiza la descomposicin en valores singulares (SVD) de (25) y seobtiene (26).

L22 =[U1 U2

] 1 00 0

V T1V T2

= U11V T1

(26)

Aplicando las denicin de (21) se logra obtener las matrices del sistema A yC como se muestra en (27).

A = h1h

C = h (1 : l; 1 : n)(27)

Para el clculo de las matrices de sistema B y D es necesario realizar lasdeniciones de (28) en funcin de arreglos matriciales de L y M para facilitar sucomprensin [13].

UT2 :=[L1 L2 Lh

]

UT2 L22L111 :=

[M1 M2 Mh

] (28)

23

Al resolver el sistema de ecuaciones (29) se obtienen las matrices B y D delsistema.

L1 L2h1

L2 L3h2

......

Lh1 Lh1

Lh 0

DB

=

M1

M2...

Mk1

Mk

(29)

Donde:

Li (hln)l, i = 1, 2, , h

Mi (hln)m, i = 1, 2, , h

Li =[Li Li+1 Lh

] (kln)(k+1i)l, i = 2, 3, , h

En la gura 8 se representa el algoritmo de Katayama en forma grca.

3.1.2 Algoritmo de Clavijo

El clculo de estas matrices se realiza a travs de la matriz de Toeplitz [21],denida en (30).

Th = L22L111 (30)

Se realiza la denicin (31) para facilitar su comprensin.

D

CB...

CAh1B

=

G0

G1...

Gh

(31)

Posteriormente se construye la matriz de Hankel en (32) la cual satisface (33).

24

Figura 8: Algoritmo MOESP de Katayama

Hh,j :=

G1 G2 GjG2 G3 Gj+1...

... . . ....

Gh Gh+1 Gh+j1

(32)

Coj =hHh,j

(33)

Donde:

Coj :=(B AB A2B Aj1B

) nhm Matriz de controlabilidad.

25

Finalmente se encuentran las matrices B y D [13], establecidas en (34).

B = Coj (1 : n, 1 : m)

D = G0(34)

En la gura 9 se representa el algoritmo de [13] en forma grca.

Figura 9: Algoritmo MOESP de Clavijo

26

3.2 Mtodo N4SID

Otro mtodo conocido para la identicacin de sistemas mediante subespacioses N4SID (Numerical algorithm for Subspace State Space System IDentication)por sus siglas en ingls, ha sido desarrollado por Van Overschee y De Moor [13, 22].

3.2.1 Algoritmo de Katayama

Se toma el algoritmo N4SID de Katayama [20] como referencia, teniendo comoprimer paso la descomposicin LQ mostrado en (35)

Uf

Up

Yp

Yf

=

L11 0 0 0

L21 L22 0 0

L31 L32 L33 0

L41 L42 L43 L44

QT1

QT2

QT3

QT4

(35)

Por denicin L44 = 0, se puede rescribir (35) como (36). [23, 24]

Uf

Wp

Yf

=

R11 0 0

R21 R22 0

R31 R32 0

Q

T

1

QT

2

QT

3

(36)

Donde:

R11 = [L11] R21 =

L21L31

R22 =

L22 0L32 L33

R31 = [L41] R32 =[L42 L43

]

QT

1 = [Q1] QT

2 =

QT2QT3

QT3 = [QT4 ]

Al desarrollar (36), se obtiene la proyeccin (37).

YfUf

= R32R22Wp

(37)

27

A la proyeccin (37), se aplica la descomposicin en valores singulares con locual se obtiene (21) y (38).

Xf = 1/21 V

T1 (38)

Para el clculo de las matrices del sistema A, B, C y D, es necesario obtenerlas siguientes matrices (39).

Xh = Xf

Xh+1 :=[xh+1 xh+2 x(h+j1)

]

Xh :=[xh xh+1 x(h+j2)

]

Uh|h :=[uh uh+1 u(h+j2)

]

Y h|h :=[yh yh+1 y(h+j2)

]

(39)

La solucin del sistema de ecuaciones (40), entrega como resultado las ma-trices del sistema, se resuelve aplicando jacobiano o por mnimos cuadrados[24, 25, 26].

Xh+1

Y h|h

=

A BC D

Xh+1

Uh|h

(40)

En la gura 10 se representa el algoritmo de Katayama en forma grca.

3.2.2 Algoritmo de Clavijo

El algoritmo de Clavijo [13] se basa en el algoritmo de Katayama, la diferenciaradica en la forma de obtener las matrices del sistema, adems de la redenicinde la matriz de Toeplitz en (41), en la gura 11 se representa de una maneragrca las modicaciones de Clavijo al algoritmo de Katayama.

28

Figura 10: Algoritmo Katayama N4SID

Th =(R31 R32R22R21

)R111 (41)

29

Figura 11: Algoritmo Clavijo N4SID

CAPTULO 4

VALIDACIN Y SIMULACIN

DE ALGORITMOS

4.1 Validacin de Algoritmos

En este captulo lo primero que se realiza es la validacin de los algoritmos deidenticacin mediante subespacios implementados en el software MATLAB,para la programacin de los mismos se toma como referencia los cdigos propues-tos por Clavijo [13] con una modicacin en el mtodo de obtencin del ordendel sistema tomando como referencia a los trabajos de Ramirez [2]. Para ver laimplementacin de los algoritmos ver el anexo A.

Para el proceso de validacin de los algoritmos implementados, N4SID (Cla-vijo), MOESP (Katayama) y MOESP M (Clavijo), se utilizaron 6 sistemas deprueba los cuales fueron excitados mediante la misma seal SBPA que se utiliza-r para la identicacin del sistema real y un tiempo de muestreo de 1 ms. Lossistemas se encuentran distribuidos de la siguiente manera:

2 sistemas de segundo orden sobreamortiguados.

2 sistemas de segundo orden subamortiguados.

1 sistema de tercer orden considerado como orden superior.

1 sistema inestable.

30

31

Se realiz el clculo del error cuadrtico medio [27], mostrado en (42), con la -nalidad de determinar el grado de aproximacin del sistema obtenido a travs losmtodos de identicacin mediante subespacios en relacin al sistema a identi-carse, todo el proceso de validacin se implement en un script de MATLAB,ver anexo B. Un aspecto a considerarse en el proceso de validacin ser el tiem-po de ejecucin de cada algoritmo implementado, para lo cual se har uso de laopcin de ejecucin del script Run and Time disponible en la versin 2013 deMATLAB.

=

1n

ni=1

[f (xi, 1, 2, . . . , m) yi]2 (42)

4.1.1 Identificacin de Sistemas de Segundo Orden Sobreamortigua-

dos

Primer Sistema

El cuadro 2, muestra la funcin de transferencia en tiempo discreto del pri-mer sistema de segundo orden del tipo sobreamortiguado de prueba y las tresfunciones de transferencia en tiempo discreto obtenidas mediante los mtodos desubespacios N4SID, MOESP y MOESP M.

Cuadro 2: Funciones de transferencia primer sistema

Sistema a Identicar Algoritmo Sistema Identicado

N4SID 0,0012 z0,0012z22 z+1

0,0012 z0,0012z22 z+1

MOESP 0,0012 z0,0012z22 z+1

MOESP M 0,06873 z20,06752 z0,012z22 z+1

La gura 12, muestra a la izquierda la respuesta al escaln del sistema aidenticarse en tiempo discreto, mientras que a la derecha muestra la respuestaal escaln del sistema identicado mediante el mtodo de subespacios N4SID.

La gura 13, muestra a la izquierda la respuesta al escaln del sistema aidenticarse en tiempo discreto, mientras que a la derecha muestra la respuestaal escaln del sistema identicado mediante el mtodo de subespacios MOESP.

32

Figura 12: Respuesta al escaln algoritmo N4SID primer sistema

Figura 13: Respuesta al escaln algortimo MOESP primer sistema

La gura 14, muestra a la izquierda la respuesta al escaln del sistema aidenticarse en tiempo discreto, mientras que a la derecha muestra la respuestaal escaln del sistema identicado mediante el mtodo de subespacios MOESPM.

El cuadro 3, muestra los valores de error cuadrtico medio del sistema identi-cado en relacin al sistema a identicar y el tiempo de ejecucin para cada uno

33

Figura 14: Respuesta al escaln algoritmo MOESP M primer sistema

de los mtodos de subespacios para el primer sistema de prueba.

Cuadro 3: Resultados algoritmos primer sistema

Algoritmo Error Cuadrtico Medio Tiempo de Ejecucin (ms)

N4SID 7,1774 e11 109

MOESP 4,3558 e10 36

MOESP M 0,8202 47

Segundo Sistema

El cuadro 4, muestra la funcin de transferencia en tiempo discreto del se-gundo sistema de segundo orden del tipo sobreamortiguado de prueba y las tresfunciones de transferencia en tiempo discreto obtenidas mediante los mtodos desubespacios N4SID, MOESP y MOESP M.

La gura 15, muestra a la izquierda la respuesta al escaln del sistema aidenticarse en tiempo discreto, mientras que a la derecha muestra la respuesta

34

Cuadro 4: Funciones de transferencia segundo sistema


N4SID 0,008008 z0,008001z22,001 z+1,001

0,008008 z0,008001z22,001 z+1,001

MOESP 0,008008 z0,008001z22,001 z+1,001

MOESP M 0,9014 z20,8925 z0,008001

z22,001 z+1,001

al escaln del sistema identicado mediante el mtodo de subespacios N4SID.

Figura 15: Respuesta al escaln algoritmo N4SID segundo sistema



El cuadro 5, muestra los valores de error cuadrtico medio del sistema identi-cado en relacin al sistema a identicar y el tiempo de ejecucin para cada uno

35

Figura 16: Respuesta al escaln algoritmo MOESP segundo sistema

de los mtodos de subespacios para el segundo sistema de prueba.

Cuadro 5: Resultados algoritmos segundo sistema


N4SID 8,298 e11 81

MOESP 1,5752 e10 40

MOESP M 0,8784 47

4.1.2 Identificacin de Sistemas de Segundo Orden Subamortiguados

Tercer Sistema

El cuadro 6, muestra la funcin de transferencia en tiempo discreto del tercersistema de segundo orden del tipo subamortiguado de prueba y las tres funcionesde transferencia en tiempo discreto obtenidas mediante los mtodos de subespa-cios N4SID, MOESP y MOESP M.

36

Figura 17: Respuesta al escaln algoritmo MOESP M segundo sistema

Cuadro 6: Funciones de transferencia tercer sistema


N4SID 0,001001 z0,0009988z21,999 z+0,9995

0,001001 z0,0009988z21,999 z+0,9995

MOESP 0,001001 z0,0009988z21,999 z+0,9995

MOESP M 0,07196 z20,07088 z0,0009988

z21,999 z+0,9995




El cuadro 7, muestra los valores de error cuadrtico medio del sistema identi-

37

Figura 18: Respuesta al escaln algoritmo N4SID tercer sistema

cado en relacin al sistema a identicar y el tiempo de ejecucin para cada unode los mtodos de subespacios para el tercer sistema de prueba.

Cuadro 7: Resultados algoritmos tercer sistema


N4SID 2,9956 e11 115

MOESP 1,2814 e10 45

MOESP M 0,8374 52

Cuarto Sistema

El cuadro 8, muestra la funcin de transferencia en tiempo discreto del cuartosistema de segundo orden del tipo subamortiguado de prueba y las tres funcionesde transferencia en tiempo discreto obtenidas mediante los mtodos de subespa-cios N4SID, MOESP y MOESP M.

La gura 21, muestra a la izquierda la respuesta al escaln del sistema a

38

Figura 19: Respuesta al escaln algoritmo MOESP tercer sistema

Cuadro 8: Funciones de transferencia cuarto sistema


N4SID 0,0002002 z20,0004 z+0,0001998

z33 z2+3 z1

0,002002 z0,0001998z22 z+1

MOESP 1,423 e9 z2+0,0002002 z0,0001998

z22 z+1

MOESP M 0,03597 z20,03574 z0,0001998z22 z+1

identicarse en tiempo discreto, mientras que a la derecha muestra la respuestaal escaln del sistema identicado mediante el mtodo de subespacios N4SID.


La gura 23, muestra a la izquierda la respuesta al escaln del sistema entiempo discreto a identicarse, mientras que a la derecha muestra la respuesta alescaln del sistema identicado mediante el mtodo de subespacios MOESP M.

El cuadro 9, muestra los valores de error cuadrtico medio del sistema identi-cado en relacin al sistema a identicar y el tiempo de ejecucin para cada unode los mtodos de subespacios para el cuarto sistema de prueba.

39

Figura 20: Respuesta al escaln algoritmo MOESP M tercer sistema

Cuadro 9: Resultados algoritmos cuarto sistema


N4SID 1,2691 e5 102

MOESP 0,0184 47

MOESP M 0,0807 49

4.1.3 Identificacin de Sistemas de Orden Superior

Quinto Sistema

El cuadro 10, muestra la funcin de transferencia en tiempo discreto delsistema de tercer orden y las tres funciones de transferencia en tiempo discretoobtenidas mediante los mtodos de subespacios N4SID, MOESP y MOESP M.

La gura 24, muestra a la izquierda la respuesta al escaln del sistema aidenticarse en tiempo discreto, mientras que a la derecha muestra la respuesta

40

Figura 21: Respuesta al escaln algoritmo N4SID cuarto sistema

Cuadro 10: Funciones de transferencia quinto sistema


N4SID 2,021 e17 z3+1,66 e10 z2+6,66 e10 z+1,664 e10

z32,998 z2+2,996 z0,998

1,666 e10 z2+6,66 e10 z+1,664 e10

z32,998 z2+2,996 z0,998MOESP 1,012 e

17 z3+1,66 e10 z2+6,66 e10 z+1,664 e10

z32,998 z2+2,996 z0,998

MOESP M 0,002781 z30,005546 z2+0,002766 z+1,664 e10

z32,998 z2+2,996 z0,998

al escaln del sistema identicado mediante el mtodo de subespacios N4SID.



El cuadro 11, muestra los valores de error cuadrtico medio del sistema iden-ticado en relacin al sistema a identicar y el tiempo de ejecucin para cadauno de los mtodos de subespacios para el quinto sistema de prueba.

41

Figura 22: Respuesta al escaln algoritmo MOESP cuarto sistema

Cuadro 11: Resultados algoritmos quinto sistema


N4SID 1,9565 e8 150

MOESP 1,5626 e8 88

MOESP M 0,7355 94

4.1.4 Identificacin de Sistemas Inestables

Sexto Sistema

El cuadro 12, muestra la funcin de transferencia en tiempo discreto delsistema inestable de prueba y las tres funciones de transferencia en tiempo discretoobtenidas mediante los mtodos de subespacios N4SID, MOESP y MOESP M.



42

Figura 23: Respuesta al escaln algoritmo MOESP M cuarto sistema

Cuadro 12: Funciones de transferencia sexto sistema


N4SID 0,001202 z0,001202z22,003 z+1,003

0,001202 z0,001202z22,003 z+1,003

MOESP 0,001202 z0,001202z22,003 z+1,003

MOESP M 0,005926 z20,004906 z0,001202

z22,003 z+1,003


El cuadro 13, muestra los valores de error cuadrtico medio del sistema iden-ticado en relacin al sistema a identicar y el tiempo de ejecucin para cadauno de los mtodos de subespacios para el sistema de prueba.

43

Figura 24: Respuesta al escaln algoritmo N4SID quinto sistema

Cuadro 13: Resultados algoritmos sexto sistema


N4SID 1,5851 e8 120

MOESP 1,6410 e8 90

MOESP M 9,34 e23 97

4.2 Simulacin de Algoritmos

Un punto importante en este captulo, consiste en la simulacin del funcio-namiento de los algoritmos con datos obtenidos del conjunto balastro lmpara,los cuales fueron tratados en el toolbox ident de MATLAB con la nalidad deobtener la respuesta al escaln del sistema, esta respuesta sirve como referenciapara la simulacin, de igual manera que en el proceso de validacin de algoritmosse obtine el error cuadrtico medio para cada mtodo de identicacin basado ensubespacios as como tambin el tiempo de ejecucin de cada algoritmo, todo seimplement mediante un script de MATLAB, ver anexo B.

El cuadro 14, muestra la funcin de transferencia en tiempo discreto, obtenidaa traves de la herramienta ident y los datos obtenidos, y las tres funciones detransferencia en tiempo discreto obtenidas mediante los mtodos de subespacios

44

Figura 25: Respuesta al escaln algoritmo MOESP quinto sistema

N4SID, MOESP y MOESP M modicado.

Cuadro 14: Funciones de transferencia sistema simulado


N4SID 1,364 z21,225 z+0,01435

z31,468 z2+0,5314 z0,0144

1,364 z0,01619z20,5811 z+0,01624

MOESP 1,364 z0,01619z20,5811 z+0,01624

MOESP M 0,3077 z2+1,357 z+0,01619

z20,5811 z+0,01624



La gura 32, muestra a la izquierda la respuesta al escaln del sistema entiempo discreto a identicarse, mientras que a la derecha muestra la respuesta alescaln del sistema identicado mediante el mtodo de subespacios MOESP M.

45

Figura 26: Respuesta al escaln algoritmo MOESP M quinto sistema

El cuadro 15, muestra los valores de error cuadrtico medio del sistema iden-ticado en relacin al sistema a identicar y el tiempo de ejecucin para cadauno de los mtodos de subespacios para la simulacin del sistema real.

Cuadro 15: Resultados algoritmos sistema simulado


N4SID 4,3932 e14 109

MOESP 9,3672 e15 36

MOESP M 0,6577 47

Tomando en cuenta los resultados obtenidos tanto en la validacin como enla simulacin de los tres algoritmos, se selecciona el algoritmo N4SID debido a subajo margen de error.

46

Figura 27: Respuesta al escaln algoritmo N4SID sexto sistema

Figura 28: Respuesta al escaln algoritmo MOESP sexto sistema

47

Figura 29: Respuesta al escaln algoritmo MOESP M sexto sistema

Figura 30: Respuesta al escaln algoritmo N4SID sistema simulado

48

Figura 31: Respuesta al escaln algoritmo MOESP sistema simulado

Figura 32: Respuesta al escaln algoritmo MOESP M sistema simulado

CAPTULO 5

IMPLEMENTACIN

5.1 Introduccin

Se pueden caracterizar los componentes del sistema balastro lmpara me-diante un diagrama de bloques, cada bloque corresponde a uno o varios circuitoselectrnicos agrupados segn su funcionalidad dentro del conjunto.

El diagrama de la gura 33 muestra todos los bloques funcionales del balastro,es decir que el balastro est constituido por un convertidor AC/DC, formado porun recticador de onda completa y un ltro capacitivo. Un convertidor DC/DCtipo Buck Boost, el convertidor requiere de un control de corriente.

Dado que la seal de tensin que alimenta a la carga, es decir la lmpara HID- MH, es alterna el balastro requiere de un convertidor DC/AC, correspondienteal puente H, el cual permitir realizar un control de la tensin de salida. Pararealizar esta accin el balastro requiere un controlador de tensin, esta estarsensada a travs de una punta diferencial con acondicionamiento de seal. Lasalida de este controlador ser acondicionada por el driver del puente H, el cualgarantiza un correcto manejo de tiempos de desfase entre las cuatro diferentesseales para los semiconductores del puente H.

49

50

Figura 33: Sistema Balastro-Lmpara

5.2 Balastro Electrnico

5.2.1 Convertidor AC/DC

Este convertidor transforma 118 VAC a 167 VDC, para ello consta de unrecticador de onda completa BR86, BR1, un ltro capacitivo 2 x 1000 F, C1 yC2, para obtener un valor de DC puro que servir de entrada para el convertidorDC/DC, adems de la proteccin de un fusible de 3 A, FUSIBLE 1, un rel OmronG2R 1 E, RL1, para tener un control en el momento de la conversin, en J1se conectan las seales para la activacin del rel, la bornera B1 es la entradade 118 VAC 60 Hz 1F, y VOL_FIL es la salida del convertidor 167 VDC, en lagura 34 se encuentra el circuito con la distribucin de los elementos descritos,el circuito impreso de este convertidor se encuentra en el anexo C y el diseo delconvertidor se encuentra en el anexo E.

Figura 34: Diagrama del convertidor AC/DC

51

5.2.2 Convertidor DC/DC

El convertidor DC/DC es el encargado de entregar la potencia suciente parael correcto funcionamiento de la Lmpara HID MH y sus diferentes etapas, seutiliz un convertidor Buck Boost, este convertidor consta de 3 placas.

Placa Buck Boost

Los clculos para la implementacin de esta placa se encuentran en la tesisde Salazar [28], el convertidor est compuesto por: 2 semiconductores de tipoMOSFETS IRFP460, Q1 y Q2, para el control del convertidor, 2 diodos rpidosFR307, D1 y D2, diodos en anti paralelo a los MOSFETS, 2 diodos hper rpidosRHRP1560, D3 y D4, propios del diseo del convertidor, 1 capacitor de 22 F 400 V, C1, como resultado del diseo, en la bornera B1 se conecta la bobina de1.6 mH que es el resultado del diseo del convertidor, en la bornera B2 es la salidapara el sensor de corriente, la bornera B3 est destinada a la conexin de una cargainicial de 1 kohm 50 W, en la bornera B4 se encuentra la salida del convertidor,el bus J1 contiene las seales de activacin de los MOSFETS, en la gura 35se encuentra el circuito con la distribucin de los elementos descritos, el circuitoimpreso se encuentra en el anexo C y el diseo del convertidor se encuentra en elanexo E. Una seal tpica de activacin de un MOSFET se muestra en la gura36.

Figura 35: Diagrama del convertidor buck boost

52

Figura 36: Seal activacion MOSFET

Placa de Activacin de MOSFETS

La placa necesita un tensin de alimentacin de 24 VDC el cual ingresa enB1, la placa consta de 3 reguladores de tensin, 7815, 7812 y 7805, REG1, REG2y REG3, respectivamente los cuales establecen las tensiones para los circuitosintegrados.

Para la activacin de los MOSFETS se utilizan los circuitos integrados TLP250,DR-1 y DR-2, se utiliza un diodo ultra rpido HFA15TB60, D10, en la activa-cin del rel se utiliza el circuito integrado 6N137, DR-3, el bus J1 contiene lasdiferentes tensiones generadas en la placa, en J2 entran las seales de controlprovenientes del microcontrolador, el bus J3 tiene las seales de activacin de losMOSFETS, y en el bus J4 se encuentran las seales de activacin del rel, en lagura 37 se encuentra el circuito con la distribucin de los elementos descritos,el circuito impreso se encuentra en el anexo C. La seal de control entregada porlos TLP250 se muestra en la gura 38.

Figura 37: Diagrama placa de activacin de MOSFETS

53

Figura 38: Seal salida TLP250

Placa Controlador Buck Boost

Para el control del convertidor se utiliz un microcontrolador PIC18F2550,U1, se implement un control mediante modos deslizantes tomando como refe-rencia la tesis de Salazar [28], el sensor de efecto hall ACS712 se utiliz para lalectura de la corriente que circula a travs del inductor del convertidor, para elaislamiento del microcontrolador se emple el circuito integrado IR2110, U2, enla gura 39 se encuentra el circuito con la distribucin de los elementos descritos,el circuito impreso se encuentra en el anexo C. La seal de control entregada poresta placa se muestra en la gura 40.

5.2.3 Convertidor DC/AC

La funcionalidad de este convertidor es transformar la seal DC, entregadapor el convertidor DC/DC, en una seal alterna de tipo cuadrada y de frecuenciaalta para cumplir los requerimientos de la carga, dicho convertidor est consti-tuido por 2 placas [4].

54

Figura 39: Diagrama placa controlador buck boost

Figura 40: Seal salida controlador

Placa del Driver Puente H

Esta placa requiere de una alimentacin de 24 VDC, y una seal cuadrada dealta frecuencia que ingresa por J1, esta seal primero ser invertida en el circuitointegrado 74LS04, U3, correspondiente a una compuerta lgica NOT. Esta placacontiene un potencimetro de acople de tierras, que se conectara en J8.

La seal de salida de la compuerta lgica ser alterada en fase y amplitudpor el circuito integrado IR2130, IR1, obteniendo las cuatro seales de salida deesta placa, las cuales son:

Alto 1

Bajo 1

55

Alto 2

Bajo 2

Figura 41: Seales placa driver puente H

Las formas de onda caractersticas del estas cuatro seales se muestran engura 41. Estas seales pueden ser medidas en las borneras J4 y J5, en la gura42 se encuentra el circuito con la distribucin de los elementos descritos, el circuitoimpreso se encuentra en el anexo C.

Placa del Puente H

La placa correspondiente al puente H, tiene como entradas en la borneraJ4 las seales Alto 1 y Bajo 1, en la bornera J2 las seales Alto 2 y Bajo 2,representadas en la gura 41, adems en la bornera J1 ingresa la seal de tensindel convertidor DC/DC.

Los cuatro semiconductores tipo MOSFETS IRFP460, correspondientes a loselementos Q1, Q2, Q3 y Q4, reciben las seales de los altos y los bajos segn suposicin en el puente H. La placa tiene como salidas dos borneras de medicin, J6y J7. En la bornera J3 se encuentra la seal de alimentacin de la lmpara HID- MH, en la gura 44 se encuentra el circuito con la distribucin de los elementosdescritos, el circuito impreso se encuentra en el anexo C. La gura 43 muestrauna seal tpica de salida en condiciones normales.

56

Figura 42: Diagrama placa driver puente H

5.2.4 Sensamiento

Por la complejidad de sensar una seal cuadrada fue necesario implementarun sensor del tipo diferencial, esta etapa contiene 2 placas.

Punta Diferencial

La tensin de salida es medida a travs de una punta diferencial con acopla-miento de seal, el circuito requiere de una alimentacin de 12 VDC, utiliza doscircuitos integrados TL082, U1:A y U2:B, que requieren de fuentes simtricas de12 VDC, la fuente negativa se obtiene mediante un circuito integrado ICL 7660correspondiente a U3. La punta tiene una atenuacin de 100 a 1. En la gura 45se encuentra el circuito con la distribucin de los elementos descritos, el circuitoimpreso se encuentra en el anexo C.

57

Figura 43: Seal de salida puente H

Figura 44: Diagrama puente H

Acoplamiento de Seal

El acoplamiento de la seal de salida de este circuito de medicin se hacemediante un sumador no inversor con un circuito integrado TL082, U1, este cir-cuito incrementa un voltio a la seal de salida de la punta diferencial, con estedesplazamiento la seal es netamente positiva y menor a los 3.3 voltios que es latensin mxima que la tarjeta de control soporta. En la gura 46 se encuentrael circuito con la distribucin de los elementos descritos, el circuito impreso seencuentra en el anexo C.

La gura 47 muestra una referencia de la seal de salida de la punta diferencialcon acoplamiento.

58

Figura 45: Diagrama punta diferencial

Figura 46: Diagrama acoplamiento de seal

5.2.5 Circuitos y Placas Adicionales

Dentro del balastro electrnico se incorporaron una placa y circuito adicio-nales, los cuales se detallan a continuacin.

Placa de Fuentes

La placa necesita una tensin de alimentacin de 18 VAC, el mismo que essuministrado por un transformador 127 / 18 VAC - 500 mA, se transforma latensin mediante un recticador de onda completa BR1 2W02G, y cuenta con unltro capacitivo C1, 470 uF, los reguladores 7815, 7805 y 7812, REG1, REG2 yREG3 respectivamente, son los encargados de entregar los tensiones respectivospara su distribucin en el balastro electrnico, la placa contiene 8 borneras parasalida de tensiones, en la gura 48 se encuentra el circuito con la distribucin delos elementos descritos, el circuito impreso se encuentra en el anexo C.

59

Figura 47: Seal obtenida sensor diferencial

Figura 48: Diagrama placa fuentes

Circuito de Arranque

Durante el proceso de encendido, la lmpara HID MH requiere de la cone-xin de una resistencia, R de 20 ohm 50W en serie, una vez encendido el LEDverde mostrado en la gura 39, se cambia de posicin el interruptor SW1, desco-nectando R.

El interruptor SW1 debe contener un contacto normalmente cerrado y un con-tacto normalmente abierto. El diagrama de conexin de este circuito se muestraen la gura 49.

5.3 Identificacin Sistema Balastro Lmpara

En la etapa de validacin y simulacin de algoritmos se selecciona el algo-ritmo N4SID modicado de Clavijo. Para la implementacin del algoritmo deidenticacin mediante subespacios se utiliza el hardware embebido NI myRIO

60

Figura 49: Circuito de arranque

conjuntamente con el software de Nacional Instruments LabView. El disposi-tivo myRIO tiene tres funciones principales: la primera, consiste en la generacinde la seal de PWM que controla la salida del puente H. La segunda, funcincaptura de datos, es decir la medicin de las seales de salida de la punta dife-rencial y la realimentacin de la seal de PWM, nalmente la tercera funcin deldispositivo es la transmisin de los datos obtenidos va WIFI.

Al estar constituido por una FPGA y un microcontrolador, el hardware embe-bido myRIO requiere de un mnimo de dos archivos de extensin vi para cumplircon todas estas etapas. La FPGA estar encargada de realizar la generacin dela seal de PWM y de la captura de datos, mientras que el microcontrolador seencarga de la transmisin, va WIFI, de los datos obtenidos por la FPGA. Duran-te el tiempo que el hardware se encuentra encendido, genera una seal PWM defrecuencia 30 kHz y un ciclo de trabajo del 50%, este ciclo de trabajo cambiarasolo durante la captura de datos para la generacin de la SBPA. Se conecta uncircuito con un buer para elevar la amplitud de la seal de PWM de 3,3 voltiosa 5 voltios.

Al presionar el botn de uso libre el hardware myRIO, se inicia la capturadatos, al tratarse de medicin de una seal alterna se aplic el algoritmo de tomade datos explicados en el trabajo de Ayala [29]. Se genera una SBPA de semilla9, cada valor de la SBPA corresponde a un determinado ancho de pulso, en estecaso un 0 corresponde a un 40% mientras que un 1 corresponde a un 60%. Secapturan tres datos cada 0.00033 segundos, es decir tres datos por cada valor dela SBPA. Al terminar este proceso se trasmiten los datos al computador, donde

61

es posible visualizarlos y almacenarlos para su procesamiento.Para el procesamiento de los datos se incorpora un archivo de extensin vi

adicional al proyecto de captura y generacin de la SBPA, la interfaz se muestraen la gura 50, el archivo vi lee el archivo de los datos almacenados, los procesa, ylos enva al mtodo de identicacin basado en subespacios N4ISD, realizando unainvocacin al software MATLAB mediante el MathScrip Node, para nalmenteobtener las matrices del sistema.

Figura 50: Interfaz implementacin algoritmo

El modelo matemtico se somete a un proceso de validacin en el cual se excitala planta obtenida como resultado de la identicacin con los mismos datos deentrada de la planta real con la nalidad de obtener un nuevo conjunto de salidas.Se realiza una comparacin entre el conjunto de datos de salida obtenidos delsistema identicado con el conjunto de datos de salida capturados del sistema realpara evaluar la validez del modelo matemtico obtenido en funcin del porcentajede ajuste de los conjuntos de salida, segn (43).

%Fit = 100(1

Ni=1(y1iy2i)

2

N

)(43)

62

A continuacin se muestran los resultados obtenidos del proceso de identi-cacin.

5.3.1 Resultados Obtenidos

Las matrices de estado del sistema se muestran en (44).

A =

0,7887 0,58480,0311 0,0548

B =

1,2044

1,1243

C =[0,1967 0,0464

]D = [4,3242e9]

(44)

La funcin de transferencia obtenida se encuentra en (45).

G(z) = 4,3242e9 z2+0,2891 z0,1818

z20,8435 z+0,0614(45)

La respuesta al escaln unitario se muestra en la gura 51.

Figura 51: Respuesta al escaln unitario del sistema identicado

El lugar geomtrico de las races se encuentra en la gura 52.

63

Figura 52: Lugar geomtrico de las races sistema identicado

En la gura 53 se muestra el contraste de los datos de salida medidos con losdatos de salida calculados.

Figura 53: Datos medidos vs datos calculados

El porcentaje de ajuste del conjunto de datos de salida calculados en relacinal conjunto de datos de salida medidos es del 86.16%. Considerando que el por-centaje de ajuste es mayor al 80%, se toma como valido el modelo matemticoobtenido.

Dado que el coeciente del numerador, 4,3242e9z2, es considerablementepequeo y su inuencia sobre la respuesta de la planta es insignicante (vase la

64

gura 54), por estos motivos dicho termino fue descartado.

Figura 54: Respuesta al escaln con y sin coeciente

5.4 Controlador

Las caractersticas del dispositivo electrnico a seleccionar deben satisfacer lasnecesidades del controlador del sistema identicado. Una vez seleccionado se es-tablecen los parmetros de diseo del controlador en funcin de las caractersticasdel sistema, para nalmente implementar el controlador.

5.4.1 Seleccin del Microcontrolador

El diseo e implementacin del controlador requiere establecer las caracters-ticas mnimas del dispositivo electrnico sobre el cual se programa el controladordigital. Las caractersticas que se evalan son:

Tiempo de Procesamiento

El tiempo de procesamiento debe ser por lo menos 10 veces menor al tiempode muestreo que para el sistema es de 0.33 ms.

65

Convertidor Anlogo Digital

El sistema tiene una variacin entre 0 V y 170 V despus de la etapa de sensa-miento y acoplamiento de seal el valor entregado para la lectura del convertidoranlogo digital es de 1 V a 2,7 V, es decir, que 10 mV despus del acoplamientode seal representan 1 V en la lmpara. El control de voltaje que se implementatiene una resolucin 0.1 V sobre la lmpara, lo cual signica 1 mV en la lecturadel convertidor anlogo digital.

El error por cuantizacin est presente al momento de realizar el muestreo deuna seal mediante un convertidor anlogo digital, una forma de minimizar esteerror es aumentando el nmero de bits del registro, en el cuadro 16 se presentalas diferentes resoluciones de los registros a una tensin de 3.3 V, el clculo de laresolucin corresponde a (46).

V alor maximo

Rango del convertidor A/D

(46)

Cuadro 16: Resolucin registros convertidor anlogo digital

Bits Resolucin

8 12.9 mV10 3.22 mV12 0.805 mV

El cuadro 17 muestra los diferentes valores que toma el registro del converti-dor anlogo digital en funcin de una entrada determinada, considerando las 3posibles longitudes del registro. El valor mnimo para una correcta implementa-cin, debe ser de 12 bits o superior, ya que con un registro de 8 bits se necesitara12.9 mV para recin cambiar un bit en el registro, lo que signicara un valor 12.9veces mayor al que se quiere muestrear, algo similar sucede con el registro de 10bits, debido que el valor mnimo detectado es 3.22 veces mayor al valor deseado.

El error de cuantizacin se calcula segn (47), considerando los valores delcuadro 17 se obtuvo un error de cuantizacin promedio de 0.0106, lo que norepresenta un prdida importante de informacin [30].

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e[n] = x[n] xq[n] (47)

Donde:

x[n] Valor Real.

xq[n] Valor Cuantizado.

n Nmero de la Muestra.

Cuadro 17: Variacin del registro del convertidor anlogo digital

TensinRegistros

8 bits 10 bits 12 bitsx xq e8 x xq e10 x xq e12

1 77.52 78 0.48 310.56 311 0.44 1242.14 1242 -0.141.001 77.60 78 0.40 310.87 311 0.13 1243.05 1243 0.051.002 77.67 78 0.33 311.18 311 -0.18 1244.9 1245 -0.101.003 77.75 78 0.25 311.49 311 0.49 1245.96 1246 -0.041.004 77.83 78 0.17 311.80 312 0.20 1247.02 1247 0.021.005 77.91 78 0.09 312.11 312 -0.11 1248.05 1248 0.051.006 77.98 78 0.02 312.42 312 -0.42 1249.69 1250 -0.311.007 78.06 78 -0.06 312.73 313 0.27 1250.93 1251 -0.071.008 78.14 78 -0.14 313.04 313 -0.04 1252.17 1252 0.171.009 78.22 78 -0.22 313.35 313 -0.35 1253.42 1253 0.421.010 78.29 78 -0.29 313.66 314 0.34 1254.66 1255 -0.341.011 78.37 78 -0.37 313.98 314 0.02 1255.90 1256 -0.101.012 78.45 78 -0.45 314.29 314 -0.29 1257.14 1257 0.141.013 78.53 79 0.47 314.60 315 0.40 1258.39 1258 0.391.014 78.60 79 0.40 314.91 315 0.09 1259.63 1260 -0.371.015 78.68 79 0.32 315.22 315 -0.22 1260.87 1261 -0.131.016 78.76 79 0.24 315.53 316 0.47 1262.11 1262 0.111.017 78.84 79 0.16 315.84 316 0.16 1263.35 1263 0.35Error 0.10 0.02 0.01

Convertidor Digital Anlogo

El convertidor digital anlogo debe ser capaz de generar una seal de PWMde alta frecuencia, 32 kHz, esta frecuencia es necesaria para el control de voltajeen el sistema, adems trabajando a esta frecuencia se soluciona el problema deresonancia acstica que presenta la lmpara HID MH.

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El rango del ancho de pulso de la seal de PWM tendr un mximo de 70% yun mnimo del 30%, la amplitud de esta seal es de 3.3 voltios, el microcontroladorgeneral la seal a partir de un registro de 10 bits.

La seal de PWM es usada como seal de control ya que los actuadores, altrabajar en la regin de corte y saturacin, responden a una seal con este tipode caractersticas.

Espacio de Memoria

La memoria requerida por el microcontrolador debe almacenar al menos 4

variables tipo double, lo que representa 32 bytes de memoria; adicionalmente

debe tener un espacio de memoria para programa de al menos 8 kb.

A consecuencia de lo descrito en prrafos anteriores se selecciona la tarjeta

STM32 F4 Discovery, la cual satisface los requerimientos mnimos para la imple-

mentacin del controlador digital.

5.4.2 Parmetros de Diseo

El conocimiento previo del comportamiento del sistema es importante parael diseo del controlador, ya que de este depende la correcta seleccin de losparmetros de diseo; y son:

Mximo Pico

El sistema balastro lmpara no soporta sobre impulsos muy altos, esto sedebe a su complejidad y respuesta de los elementos que constituyen el sistema,por este motivo es recomendable disear el controlador para un mximo picomenor al 10%.

Tiempo de Establecimiento

El tiempo de establecimiento del sistema controlado debe ser menor a 0.010s, ya que los tiempos de respuesta de los elementos que conforman el sistema sonexcesivamente altos, ver anexo D.

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Error en Estado Estacionario

El control de voltaje implementado va de la mano con el control de corrientedel convertidor DC/DC, de esta manera se realiza un control de potencia en lalmpara HID MH. El control de corriente tiene un error en estado estacionariomenor al 1%, lo que permite tener un error en estado estacionario mximo del 5%en el control de tensin. Uno de los objetivos de diseo es mantener un error enestado estacionario menor al 2%, cumpliendo as la condicin de funcionamientoantes mencionada.

Los parmetros de diseo seleccionados considerando lo expuesto en los p-

rrafos anteriores, son:

Mp < 10%

ts < 10ms

ess < 2%

5.4.3 Diseo del Controlador

El diseo del controlador requiere como punto de partida el conocimiento delos elementos y seales del lazo de control mostrado en la gura 60 , al igual quela funcin de transferencia del sistema identicado en representacin del productode la ganancia, ceros y polos, como se muestra en (48).

G(z) = 0,2891 (z0,6288)(z0,7630)(z0,08046) (48)

El diagrama del lugar geomtrico de las races mostrado en la seccin anteriorrevela que no existe una ganancia que permita obtener la salida deseada, enconsecuencia se selecciona un controlador tipo PI cuya estructura se muestra en(49). Los coecientes del controlador PI se los obtienen mediante la teora decompensacin de ngulos del lugar geomtrico de las races [31].

GPI = Kp

(1 + T

Ti(1z1)

)(49)

La raz que cumple los parmetros de diseo se obtiene aplicando las ecua-ciones (50) [31].

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= ln(Mp100)2+ln2(Mp100)

n =4

ts

x(s) = 4ts jn 1 2

x(z) = esT

rx(z) = e 4T

ts

(cos(n T

1 2))

tx(z) = e 4T

ts

(sin(n T

1 2))

x(z) = rx(z) jtx(z)

(50)

El punto obtenido es: x(z) = 0,1979 + j0,5684. La gura 55 presenta grca-mente los ngulos que existen entre el punto deseado y cada uno de los polos yceros del sistema y el polo del controlador.

El ngulo a compensar es: c = 125. Para encontrar el cero que compensa elngulo obtenido se aplica la ecuacin (51).

zc =tx(z)

tan(c)+ rx(z)

zc = 0,2002(51)

El clculo de la constante Kp que representa la ganancia del controladordigital, se muestra en (52).

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(a) Ubicacin de ceros y polos

(b) Acercamiento de ceros y polos

Figura 55: ngulos de c

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