test 2ind 02y52 - sukon.cmustat.com · 3 5 Kolmogorov-Smirnov test zข อสมมต ิ zตัวอย างเป นตัวอย างสุ ม zข อมูลทั้ง

1

การทดสอบสําหรบัตัวอยาง 2 ชุด ท่ีเปนอิสระกนั (ตอ)

208348 : สถิตินอนพาราเมตริก

โดย… ผศ. ดร. สุคนธ ประสิทธิ์วัฒนเสรีภาควิชาสถิติ คณะวิทยาศาสตร

มหาวิทยาลัยเชียงใหม

2

OutlineTwo independent samples

การทดสอบเกี่ยวกับความนาจะเปนของฟชเชอร (Fisher exact test)

การทดสอบไคสแควร (Chi-square test)

การทดสอบมัธยฐาน (Median test)

การทดสอบของแมน-วิทนีย (Mann-Whitney test)

การทดสอบของโคโมโกรอฟ-สเมอรนอฟ (Kolmogorov-Smirnov test)การทดสอบของคาแมร-ฟอนมิส (Cramer-von Mises test)

การทดสอบรันสของวอลต-วอลฟอวิทซ (Wald-Wolfowitz runs test)

การทดสอบการสุมของฟชเชอร (Fisher randomization test)

2

3

การทดสอบของโคโมโกรอฟ-สเมอรนอฟ (Kolmogorov-Smirnov test)

ใชกับขอมูลในมาตรวัดเรียงลําดับ อันตรภาค และอัตราสวนใชเปรียบเทียบลักษณะการแจกแจงระหวางขอมูล 2 ชุด

4

Kolmogorov-Smirnov test

ขอมูล2 independent samplesกลุม 1 กลุม 2

X1, X2, ..., Xn X1, X2, ..., Xm

การเตรียมขอมูลเพือ่ใชในการวเิคราะหเรียงขอมูลทั้งหมดจากนอย -> มาก

3

5


ขอสมมติตัวอยางเปนตัวอยางสุม

ขอมูลท้ัง 2 ชดุตองเปนอิสระกัน

มาตรวัดอยางนอยตองเปนมาตรเรียงลําดับ

คาของการทดสอบนี้จะถูกตองแนนอน (exact) ถาตัวแปรท่ีใชเปนตัวแปรสุมแบบตอเนื่อง

6


สมมติฐานทางสถิติการทดสอบ 2 ทาง (2 tailed test)

H0 : F(X) = G(X) vs. H1 : F(X) ≠ G(X)

การทดสอบทางเดียวดานมากH0 : F(X) = G(X) vs. H1 : F(X) > G(X)

การทดสอบทางเดียวดานนอยH0 : F(X) = G(X) vs. H1 : F(X) < G(X)

F(X) คือ Distribution function ของกลุม 1

G(X) คือ Distribution function ของกลุม 2

4

7

Kolmogorov-Smirnov testตัวสถิติทดสอบ

กรณีทําการทดสอบ 2 ทาง

T1 = supx|S1(x) – S2(x)| = maxx|S1(x) – S2(x)|

โดย

S1(x) = empirical cumulative distribution function ของกลุม 1

= สัดสวนของคาสังเกตกลุมที่ 1 ที่มีคา < x

S2(x) = empirical cumulative distribution function ของกลุม 2

= สัดสวนของคาสังเกตกลุมที่ 2 ที่มีคา < x

8

Kolmogorov-Smirnov testตัวสถิติทดสอบ

กรณีทําการทดสอบทางเดียวดานมาก (H1: F(X) > G(X))

T1+ = supx[S1(x) – S2(x)]

กรณีทําการทดสอบทางเดียวดานนอย (H1: F(X) < G(X))

T1- = supx[S2(x) – S1(x)]

5

9

Kolmogorov-Smirnov testตวัอยาง การคํานวณคา S(x) และ Tกลุม 1: 5.3 5.9 6.1 6.4 6.5กลุม 2: 5.7 5.8 6.0 6.2 6.3

เรียงขอมูล: 5.3 5.7 5.8 5.9 6.0 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5

SS11(x) :(x) : 1/51/5 1/51/5 1/51/5 2/52/5 2/52/5 3/53/5 3/53/5 3/53/5 4/54/5 11

SS22(x) :(x) : 00 1/51/5 2/52/5 2/52/5 3/53/5 3/53/5 4/54/5 11 11 11

|S1(x)-S2(x)|: 1/5 0 1/5 0 1/5 0 1/5 2/5 1/5 0

T = maxx |S1(x) – S2(x)| = 2/5

10

Kolmogorov-Smirnov testเขตวกิฤต ระดบันยัสําคัญ αn = จํานวนตัวอยางกลุม 1, m = จํานวนตัวอยางกลุม 2

เขตวกิฤต : T > W1- α

กรณีตัวอยางขนาดเล็ก จะหาคาวิกฤต W1 - p จาก

- ตาราง 16 (หนา 39) เมื่อ n = m- ตาราง 17 (หนา 40) เมื่อ n ≠ m

กรณีตัวอยางขนาดใหญหาคา W1- α จากสตูรทายตาราง 16 และ 17

6

11

Table 16 : Quantiles of the Smirnov Test (หนา 39) เมื่อ n = m

2.30/√n2.15/√n1.92/√n1.73/√n1.52/√nFor n > 40

p=.90.99.89.95.90p=.80Two-Sided Test

2/32/3n = 3

.99599.975.95One-Sided Test

14/40…

4/5

10/40…

3/53/4

12/40…

4/53/4

13/409/4040……...

4/53/553/44

ที่ α = .05 ที่ n = 5

W1 - α = W.95 = 4/5 สําหรบัการทดสอบสองทาง

= 3/5 สําหรบัการทดสอบทางเดียว

12

Table 17 : Quantiles of the Smirnov Test (หนา 40) เมื่อ n ≠ m

41/8019/4017/4031/8027/80N1 =16 N2 =20

4/54/55

9/1010

Large-sample

p=.90.99.89.95.90p=.80Two-Sided Test

17/18N1 = 1 N2 = 9

.99599.975.95One-Sided Test

…… … ……...

3/445/6N1 = 2 N2 = 3

mnnm+07.1 mn

nm+22.1 mnnm+36.1 mn

nm+52.1 mnnm+63.1

7

13


การตดัสนิใจจะปฏิเสธ H0 เมื่อคา Tcal ที่คํานวณไดตกอยูในเขตวิกฤต

14

ตัวอยาง 6ตัวอยางสุมขนาด 9 จากประชากรชุดที่หนึ่ง และตัวอยางสุมขนาด 15 จากประชากรชุดที่สอง

5.2 5.7 5.9 6.5 6.8 8.2 9.1 9.8 10.811.3 11.5 12.3 12.5 13.4 14.6

กลุม 2

7.6 8.4 8.6 8.7 9.3 9.9 10.1 10.6 11.2กลุม 1

ใหทดสอบสมมติฐานวาประชากรทั้ง 2 ชุด มฟีงกชันการแจกแจงเหมือนกันหรือไม ทีร่ะดับนัยสําคัญ 0.05

พิจารณาลกัษณะขอมูลเปนขอมูล 2 ชุดที่เปนอิสระกัน (ไดมาจากปชก.คนละกลุม)ขอมูลอยูในมาตรวดัสูงกวามาตรเรียงลําดับตองการเปรียบเทียบฟงกชันการแจกแจงขอมูล 2 ชุดเหมือนกันหรือไม

8

15

• สมมติฐานทางสถติิH0 : การแจกแจงขอมูลทั้ง 2 กลุมเหมือนกัน or F(X) = G(X)H1 : การแจกแจงขอมูลทั้ง 2 กลุมไมเหมือนกัน or F(X) ≠ G(X)

5.2 5.7 5.9 6.5 6.8 7.6 8.2 8.4 8.6 8.7 9.1 9.3เรียงขอมูล

9.8 9.9 10.1 10.6 10.8 11.2 11.3 11.5 12.3 12.5 13.4 14.6เรียงขอมูล

5/9 6/9 7/9 8/9 8/9 1 1 1 1 1 1 1S1(x)

8/15 8/15 8/15 8/15 9/15 9/15 10/15 11/15 12/15 13/15 14/15 1S2(x)

0 0 0 0 0 1/9 1/9 2/9 3/9 4/9 4/9 5/9S1(x)

1/15 2/15 3/15 4/15 5/15 5/15 6/15 6/15 6/15 6/15 7/15 7/15S2(x)

1/15 2/15 3/15 4/15 5/15 2/9 13/45 8/45 1/15 2/45 1/45 4/45|S1(x)-S2(x)|

1/45 2/15 11/45 16/45 13/45 2/5 1/3 4/15 1/5 2/15 1/15 0|S1(x)-S2(x)|

• ตัวสถิติทดสอบTcal= maxx |S1(x) – S2(x)| = 2/5 = 0.4

16

• เขตวิกฤต กําหนด α = 0.05ทดสอบ 2 ทาง, n = 9, m = 15 ใชตาราง Smirnov testดังน้ัน W1 - α = W.95 = 8/15 = 0.53เขตวิกฤต คือ T > 0.53

• สรุปผล

จาก Tcal ไมตกในเขตวิกฤต จึง Accept H0 น่ันคือ

ที่ α = 0.05 การแจกแจงขอมูลทั้ง 2 กลุมเหมือนกัน


• ตัวสถิติทดสอบTcal= 0.4

9

17







การทดสอบของคาแมร-ฟอนมิส (Cramer-von Mises test)การทดสอบรันสของวอลต-วอลฟอวิทซ (Wald-Wolfowitz runs test)


18

การทดสอบของคาแมร-ฟอนมิส (Cramer-von Mises test)

ใชกับขอมูลในมาตรวัดเรียงลําดับ อันตรภาค และอัตราสวนใชเปรียบเทียบลักษณะการแจกแจงระหวางขอมูล 2 ชุดคลายกับ Kolmogorov-Smirnov test

10

19

การทดสอบของคาแมร-ฟอนมิส


X1, X2, ..., Xn X1, X2, ..., Xm

การเตรียมขอมูลเพือ่ใชในการวเิคราะหเรียงขอมูลทั้งหมดจากนอย -> มาก

20





คาของการทดสอบนี้จะถูกตองแนนอน (exact) ถาตัวแปรท่ีใชเปนตัวแปรสุมแบบตอเนื่อง

11

21


สมมติฐานทางสถิติH0 : F(X) = G(X)

H1 : F(X) ≠ G(X)



22

การทดสอบของคาแมร-ฟอนมิสตัวสถิติทดสอบกรณีทําการทดสอบ 2 ทาง

โดย

S1(x) =สัดสวนของคาสังเกตกลุมที่ 1 ที่มีคา < x

S2(x) = สัดสวนของคาสังเกตกลุมที่ 2 ที่มีคา < x

n = จํานวนตัวอยางกลุม 1

m = จํานวนตัวอยางกลุม 2

[ ]∑=

−+

=ixx

xSxSmn

nmT 22122 )()(

)(

12

23

การทดสอบของคาแมร-ฟอนมิสเขตวกิฤต ระดับนยัสําคญั α

เขตวกิฤต : T > W1- α

โดยหาคาวิกฤต W1 - α จาก

W.10 = 0.046 W.20 = 0.062 W.30 = 0.079

W.40 = 0.097 W.50 = 0.119 W.60 = 0.147

W.70 = 0.184 W.80 = 0.241 W.90 = 0.347

W.95 = 0.461 W.99 = 0.743 W.999 = 1.168


24

ตัวอยาง 7จากตัวอยางที่ 6 ใหทดสอบวา F(x) = G(x) หรือไม โดยใชการทดสอบของคาแมร-ฟอนมิส ทีร่ะดับนัยสําคัญ 0.05

• สมมติฐานทางสถติิH0 : F(X) = G(X)H1 : F(X) ≠ G(X)

• ตัวสถิติทดสอบ

[ ]∑=

−+

=ixx

xSxSmn

nmT 22122 )()(

)(

(1/15)2 (2/15)2 (3/15)2 (4/15)2 (5/15)2 (2/9)2 (13/45)2[S1(x)-S2(x)]2

(8/45)2 (1/15)2(2/45)2 (1/45)2 (4/45)2 (1/45)2 (2/15)2

(11/45)2 (16/45)2 (13/45)2 (2/5)2 (1/3)2 (4/15)2

(1/5)2 (2/15)2 (1/15)2 0

∑ [S1(x) – S2(x)]2 = 1.116

= 0.26

13

25

• เขตวิกฤต กําหนด α = 0.05ทดสอบ 2 ทาง, ดังน้ัน W1 - α = W.95 = 0.46เขตวิกฤต คือ T > 0.463


จาก Tcal ไมตกในเขตวิกฤต จึง Accept H0 น่ันคือ

ที่ α = 0.05 การแจกแจงขอมูลทั้ง 2 กลุมเหมือนกัน


• ตัวสถิติทดสอบTcal= 0.26

26








การทดสอบรันสของวอลต-วอลฟอวิทซ (Wald-Wolfowitz runs test)การทดสอบการสุมของฟชเชอร (Fisher randomization test)

14

27


ใชกับขอมูลในมาตรวัดเรียงลําดับ อันตรภาค และอัตราสวนใชเปรียบเทียบลักษณะการแจกแจงระหวางขอมูล 2 ชุดสามารถประยุกตใชเปรียบเทียบคาแนวโนมเขาสูสวนกลาง และคาความแปรปรวน ระหวางขอมูล 2 ชุดได

28

Wald-Wolfowitz runs testขอมูล

2 independent samplesกลุม 1 กลุม 2

X1, X2, ..., Xn Y1, Y2, ..., Ym

การเตรียมขอมูลเพือ่ใชในการวเิคราะหเรียงขอมูลทั้งหมดจากนอย -> มากนับจํานวนรันส (runs) หรือจํานวนครั้งที่คา X มีคาติดกัน และคา Y มคีาติดกันในกรณีที่เกิดคา Tied ใหเรียงขอมูลทุกกรณีเพื่อหา runsmax กับ runsmin

15

29

Wald-Wolfowitz runs testตวัอยาง การเตรียมขอมูลX : 12 8 11 13 15 7 18Y : 10 15 16 5 19 17 9

เรียงขอมูล: 5 7 8 9 10 11 12

Runs :Runs : 11 22 33 44

เรียงขอมูล: 13 15 15 16 17 18 19

Runs :Runs : 55 66 77

เรียงขอมูล: 13 15 15 16 17 18 19

Runs :Runs : 88 9955 66 77

30

Wald-Wolfowitz runs test

ขอสมมติขอมูลท้ัง 2 ชดุตองเปนอิสระกัน


สมมติฐานทางสถิติH0 : F(X) = G(X)

H1 : F(X) ≠ G(X)



16

31

Wald-Wolfowitz runs testตัวสถิติทดสอบ

T = จํานวนรันสท้ังหมด

กรณีเกิดคา Tied

T = (จํานวนรันสสูงสุด + จํานวนรันสต่ําสุด)/2

32

Wald-Wolfowitz runs testเขตวกิฤต ระดบันยัสําคัญ α

เขตวกิฤต : T < W α

โดยหาคาวิกฤต Wp

กรณีตัวอยาง n และ m < 20

ใชตาราง Wald-Wolfowitz (ตาราง 3 หนา 18)

กรณีตัวอยางขนาดใหญ

การตดัสนิใจ

จะปฏเิสธ H0 เมื่อคา Tcal ท่ีคํานวณไดตกอยูในเขตวิกฤต

])1()()2(2.[12

2 −++−−

+++

=nmnm

nmnmnmZpnm

nmWp

17

3333

For n or m greater than 20

…

…

20

5

N1

29…15141320

N2 w.005 w.01 w.025 … w.995

5 - 3 3 … -8 3 3 4 … -

11 4 4 5 … -14 4 4 5 … -17 4 5 5 … -

)1()()2(22

21−++

−−+ ++=

nmnmnmmnmn

pnmmn

p zw

Table Table 33 :: QuantilesQuantiles of the of the WaldWald--WolfowitzWolfowitz TotalTotal

ที่ n = 8, m = 14 และ α = 0.05 จงหา Wα = W0.05 = 8

34

ตัวอยาง 8ในระหวางชวงหยุดพัก 15 นาที เพื่อใหเลน 2 ชวง เด็กชายและเด็กหญิงอายุ 4 ขวบ กลุมละ 12 คน ถูกสังเกตลักษณะกาวราว โดยบันทึกเปนคะแนนสําหรับเด็กแตละคนดังน้ี

55 40 22 7 16 58 9 16 26 36 20 15เด็กหญิง

86 69 72 65 113 65 118 45 141 104 41 50เด็กชาย

ใหทดสอบสมมติฐานวาเด็กทั้ง 2 กลุม มีความแตกตางกันในลักษณะของการกาวราวที่ระดับนัยสําคัญ 0.05

18

35

• เขตวิกฤต กําหนด α = 0.05ทดสอบ 2 ทาง, n = m = 12, ดังน้ัน Wα = W.05 = 8เขตวิกฤต คือ T < 8


จาก Tcal ตกในเขตวิกฤต จึง Reject H0 น่ันคือ

ที่ α = 0.05 เด็กชายและเด็กหญิงกาวราวแตกตางกัน

• สมมติฐานทางสถติิH0 : F(X) = G(X)H1 : F(X) ≠ G(X)

• ตัวสถิติทดสอบTcal= จํานวนรันส

55 40 22 7 16 58 9 16 26 36 20 15เด็กหญิง

86 69 72 65 113 65 118 45 141 104 41 50เด็กชาย

55 58 65 65 69 72 86 104 113 118 141

7 9 15 16 16 20 22 26 36 40 41 45 50

= 4

36










19

37

Fisher Randomization Test

จุดเดนใชเปรียบเทียบความแตกตางระหวางคามธัยฐานเปนการทดสอบที่พิจารณาทั้ง “ทิศทาง” และ “ขนาด” ของความแตกตางในแตละคูใชกับขอมูลในมาตรวดัอนัตรภาค และอัตราสวนใชไดกับขอมูลที่มคีาตอเนื่องและไมตอเนื่องมกีําลังในการทดสอบสูง แมขนาดตวัอยางมีขนาดเล็ก

จุดดอยการคํานวณคาวกิฤตยุงยากมาก

38



X1, X2, ..., Xn Y1, Y2, ..., Ym

20

39




มาตรวัดอยางนอยตองเปนมาตรอันตรภาค

ฟงกชนัการแจกแจงของประชากรทั้ง 2 ชดุ เหมือนกัน

40


สมมติฐานทางสถิติH0 : E(X) = E(Y)

H1 : E(X) ≠ E(Y)

ตัวสถิติทดสอบ

T2 = ผลรวมของคาสังเกต X = ∑ Xi

21

41

Fisher Randomization Testเขตวกิฤต ระดับนยัสําคญั α

เขตวกิฤต : T2 < Wα/2 หรือ T2 > W1- α/2

ขัน้ตอนการประมาณคาวิกฤต Wp

คํานวณตําแหนงท่ีเกิดควอนไทลท่ี p ->

(ปดเศษขึน้เสมอ)กําหนดคาท่ีเปนไปไดของขอมูลในกลุมท่ี 1 (ขนาด = n)

โดยใหไดคา T2 ท่ีมีคาจากนอยสุด -> มาก จนถึงตัวท่ีตองการ

Wp = คา T2 ท่ีตําแหนง

pn

mn⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +

pn

mn⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +

42

8 7 6 4Y

6 1 7X

T2XW0.1 = 12

111 4 6x

111 4 6y

121 4 7x

121 4 7y

ทดลองคํานวณคา W0.10

ตําแหนงควอนไทล .1 -> (7C3).(.1) = 3.5 ~ 4กําหนดคาของ X ที่เปนไปได ที่ทําให T2 เรียงจากนอยไปหามากW0.1 = คา T2 ตัวที่ 4

22

43



44

ตัวอยาง 11

สมมุติมีตัวอยางอิสระ 2 ชุด คือX 0 1 1 0 -2Y 6 7 7 4 -3 9 14จงทดสอบวา E(X) = E(Y) ที่ระดับนัยสําคัญ 0.05

23

45

• สมมติฐานทางสถติิH0 : E(X) = E(Y)H1 : E(X) ≠ E(Y)

0 1 1 0 -2X

• ตัวสถิติทดสอบT2 = ∑ Xi

= 0+1+1+0-2 = 0

• เขตวิกฤต กําหนด α = 0.05ทดสอบ 2 ดานหาคา Wα/2 และ W1 - α/2

เขตวิกฤต คือ T<2

6 7 7 4 -3 9 14Y

T2X

Wα/2 = W0.025

= คา T2 ท่ีตําแหนง 12C5.(.025) = 19.8 ~ 20

Wα/2 = W0.025 = 2


จาก T2 ตกในเขตวิกฤต จึง Reject H0

1

2-3 -2 0 0 7

…

-3-3 -2 02 1 1

-3-3 -2 01 1 1

-4-3 -2 0 0 12

-4-3 -2 0 0 11

20

…

4

3

2

46

ตัวอยาง 12

สมมุติมีตัวอยางอิสระ 2 ชุด คือX 12 14 15 10 12Y 15 17 16จงทดสอบวา E(X) < E(Y) ที่ระดับนัยสําคัญ 0.10

24

47

• สมมติฐานทางสถติิH0 : E(X) = E(Y)H1 : E(X) < E(Y)

12 14 15 10 12X

• ตัวสถิติทดสอบT2 = ∑ Xi

= 12+14+15+10+12 = 63

• เขตวิกฤต กําหนด α = 0.10ทดสอบดานเดียวหาคา Wα

เขตวิกฤต คือ T < 65

15 17 16Y

6510 12 12 15 16

6510 12 12 14 17

6410 12 12 15 15

6410 12 12 14 16

6310 12 12 14 152

6310 12 12 14 151

T2X

Wα = W0.10

= คา T2 ท่ีตําแหนง 8C5.(.10) = 5.6 ~ 6

Wα = W0.10 = 65


จาก T2 ตกในเขตวิกฤต จึง Reject H0

Documents

test 2ind 02y52 - sukon.cmustat.com · 3 5 Kolmogorov-Smirnov test zข อสมมต ิ zตัวอย างเป นตัวอย างสุ ม zข อมูลทั้ง