1

1

Testimi i hipotezave/Kontrollimi i

hipotezave Mostra e madhe

Ligjërata e tetë

2

Testimi i hipotezave/Mostra e madhe Qëllimet Pas orës së mësimit ju duhet ë jeni në gjendje që të:

Definoni termet: “hipotezë” dhe “testimi i hipotezave”

Përshkruani hapat në procedurën e testimit të hipotezave

Bëni dallimin në mes të testimit të hipotezave të testit një-anësor dhe dy-anësor.

Testoni hipotezën rreth mesatares së populacionit dhe proporcionit të populacionit

Testoni hipotezën rreth dallimeve në mes të dy mesatareve të populacionit dhe dy proporcioneve të populacionit.

Definoni gabimet e Llojit të Parë dhe Llojit të Dytë.

2

Testimi i hipotezave

Analizojmë një rast jostatistikor:

Ekziston dyshimi se personi i caktuar ka kryer vepër penale dhe për këtë duhet të gjykohet. Në bazë të dhënave dhe dëshmive, gjykatësi do të bjerë një nga vendimet e mundshme:

1. Personi është i pafajshëm

2. Personi është i fajshëm.

Në fillim të gjykimit gjithmonë konsiderohet se personi nuk është fajtor.

3

Testimi i hipotezave

Dy hipoteza:

Në statistikë shprehja:

“Personi është i pafajshëm”, quhet “Hipotezë zero”, derisa shprehja

“Personi është i fajshëm” quhet

“hipotezë alternative”

Hipoteza zero: H0 Personi është i pafajshëm

Hipoteza alternative: H1 Personi është i fajshëm

4

3

5

Çka është hipoteza?

Hipoteza: Supozim (pohim)

rreth vlerës së parametrit

të populacionit e zhvilluar

për qëllime të testimit.

Shembuj të parametrave

janë mesatarja e populacionit

ose proporcioni i populacionit

Parametrat duhet

të identifikohen

para analizës

Unë pohoj se nota mesatare e

kësaj klase është µ= 3.5!

6

Çka është testimi i hipotezave?

Testimi i hipotezave: Procedurë, e bazuar në të dhënat e mostrës dhe teorinë e probabilitetit, të përdoruara për të përcaktuar se hipoteza a është një deklarim i arsyeshëm dhe nuk duhet të refuzohet, ose është i paarsyeshëm dhe duhet të refuzohet.

9-4

4

Hipoteza zero H0

7

Hipoteza zero H0: Pohimi (Supozimi) rreth vlerës së parametrit të populacionit

Fillon me supozimin se hipoteza zero është e vërtetë.

- Ngjashëm me rastin e personit që do të jetë i pafajshëm derisa të vërtetohet fajësia e tij.

Gjithmonë e përmban shenjën e “=”, “≤” ose “”

Mundet ose nuk mund të refuzohet.

Zakonisht formulohet: “Nuk ka dallime signifikante në mes të …..”

Hipoteza alternative H1

Hipoteza alternative H1: Pohimi/supozimi që pranohet nëse të dhënat e mostrës sigurojnë evidencën se hipoteza zero nuk është e vërtetë.

Është e kundërta e hipotezës zero.

Kurrë nuk e përmban shenjën e “=”, “≤” ose “”

Gjithmonë përmban njërën nga shenjat: “≠”, “<” ose “>”

Mund ose jo të pranohet.

Në përgjithësi është hipotezë që besohet (ose ka nevojë të

provohet) të jetë e vërtetë nga hulumtuesi.

8

5

Procesi i testimit të hipotezave

Zgjedhja e mostrës

Hipotezën zero

Identifikimi i populacionit

Supozojmë se

mosha mesatare e populacionit është 50.

( )

Refuzo

Jo, nuk është e mundshme!

X 20 a është e mundur Nëse ?

0 : 50H

20X

10

Distribucioni sampling i X

μ = 50 Nëse H0 është e

vërtetë Nuk ka mundësi që

të fitojmë mesataren

nga mostra në këtë

vlerë ...

... Për këtë ne

refuzojmë

hipotezën zero

μ = 50.

Arsyet për refuzimin e H0

20

... Në se në të vërtetë kjo

do të ishte mesatarja e

popullimit……

X

6

11

Niveli i signifikancës/rrezikut (α)

Niveli i signifikancës: Probabiliteti i hedhjes së hipotezës zero kur ajo është e vërtetë.

Quhet regjioni i hedhjes së distribucionit të mostrave.

Shënohet me α (niveli i signifikancës)

Vlerat tipike janë 0.01, 0.05, 0.10

Zgjedhet nga hulumtuesi që në fillim

Siguron vlerat kritike të testit.

12

Niveli i signifikancës dhe regjioni i refuzimit

H0: μ ≥ 3

H1: μ < 3

0

H0: μ ≤ 3

H1: μ > 3

a

a

(Vlerat

kritike)

Testi i poshtëm/ i majtë- Test i njëanësor

Niveli i signifikancës = a

0 Testi i epërm/ i djathtë -Test i njëanësor

Testi dyanësor

Regjioni i

refuzimit

është me

hije

/2

0

a /2 a H0: μ = 3

H1: μ ≠ 3

7

13

Gabimet në marrjen e vendimeve

Gabimi i Llojit të Parë Refuzimi i hipotezës zero kur ajo është e

vërtetë Ka pasoja serioze Probabiliteti për Gabimin e llojit të Parë

është α Quhet niveli i signifikancës Vendoset nga hulumtuesi

Gabimi i Llojit të Dytë Dështimi në refuzimin e hipotezës zero kur ajo

nuk është e vërtetë.

Probabiliteti i Gabimit të llojit të dytë është β Fuqia e testit është (1- β)

Gabimet në marrjen e vendimeve

Probabiliteti për të mos bërë gabimin e Llojit të Parë është

Quhet koeficienti i besueshmërisë ose konfidencës.

1 a

(vazhdim

8

Qasjet në tesitimin e hipotezave

Qasja e vlerës kritike

Qasja e vlerës së probabilitetit/ “vlera p”

15

Qasja e Vlerës kritike për testim të hipotezave

Konvertimi i statistikave të mostrës (p.sh. : ) në teste statistikore (p.sh. Z, t ose F –testi)

Sigurimi i vlerave kritike) për një vlerë të specifikuar të nga tabela ose kompjutori

Nëse testi statistikor gjindet në regjionin kritik, atëherë refuzohet H0

Në të kundërtën nuk refuzohet H0

X

a

9

Qasja e probabilitetit- Vlerës p - për testimin e hipotezave

Konvertimi i statistikave të mostrës (p.sh. ) në teste statistikore (p.sh. Z, t ose F –testi)

Sigurimi i vlerave të p nga tabela ose përmes kompjuterit

Nëse vlera e p është më e madhe se niveli i

signifikancës α , H0 nuk refuzohet.

Nëse vlera e p është më e vogël se niveli i signifikancës α , H0 refuzohet.

Krahasohen vlerat e p me α

Nëse vlera e p , Mos refuzo H0 Nëse vlera e p Refuzo H0

X

a

a

18

Fazat e Testimit të hipotezave

Hapi I. Formulimi i Hipotezës Zero (H0) dhe Hipotezës Alternative (H1)

Hapi 2. Zgjedhja e nivelit të signifikancës/rrezikut

Hapi 3. Identifikimi i Testit statistikor ( Z, t, F, Testi hi në katror)

Hapi 4. Formulimi i Rregullës së vendosjes

Hapi 5. Zgjedhja e mostrës dhe marrja e vendimit

Mos e refuzo hipotezën zero H0 Refuzo H0 dhe prano H1

10

19

Testimi për mesataren aritmetike: Mostra e madhe , Devijimi standard i populacionit

është i njohur

Kur bëjmë testimin për mesataren e populacionit nga mostra e madhe dhe kur dihet devijimi standard i populacionit testi statistikor jepet me këtë formulë:

( , .334)( )/ n

mX X X

Z ose T si ne liber fqg X

20

Shembull 1

Procesori i firmës për prodhimin e keçapit tregon shenjën se një shishe keçap ka 16 ons (28,35gr) keçap. Një mostër prej 36 shisheve është matur dhe ka dalë se pesha mesatare është 16.12 ons keçap me devijim standard 0.5 ons. Me nivel të signifikancës 0.05 a është procesi jashtë kontrollit?

9-13

11

21

Shembull 1 vazhdim

Hapi 1: Formulimi i hipotezës zero dhe hipotezës alternative

Hapi 2: Niveli i signifikancës 0.05, kurse probabiliteti është 0,95, testi është dyanësor, ɑ/2=0.05/2=0.025, vlera kritike është 1.96

Hapi 3: Vendosja e rregullës së marrjes së vendimit:

Hapi 4: Llogaritja e testit statistikor Z:

Hapi 5: Vendimi për H0 : H0 nuk refuzohet sepse vlera e Z=+ 1.44 është më e vogël se vlera kritike 1.96

0 1: 16 : 16H H

0 1.96H refuzohet nese z

[16.12 16]/[0.5/ 36] 1.44z

9-14

Shembull : Testi dyanësor Kutia me drithëra në

mesatare a përmban 368

gram drithëra? Një

mostër e rastësishme prej

25 kutive ka treguar

peshën = 372.5.

Kompania ka specifikuar

që të jetë 15 gram.

Testoni në nivelin e

signifikanës a 0.05.

368 gm.

H0: 368

H1: 368

X

12

372.5 3681.50

1525

XZ

n

a = 0.05

n = 25

Vlera kritike: ±1.96

Zgjedhja e shembullit: Testi

dyanësor/Qasja e vlerës kritike

Testi statistikor:

Vendimi:

Konkluzion:

Mos refuzo në nivelin a = .05

Nuk ka të dhëna që mesatarja e vërtetë nuk është 368 Z 0 1.96

.025

Refuzo

-1.96

.025

H0: 368

H1: 368

Z=1.50

Zgjedhja përmes vlerës së P

(Vlera e p = 0.1336) (a = 0.05)

Mos refuzo.

0 1.50

Z

Refuzo

a = 0.05

1.96

Vlera e p = 2 x 0.0668

Testi statistikor 1.50 është në “regjionin Mos refuzo “

Refuzo

13

Testi njëanësor Z për mesatare

( dihet )

Supozimet

Populacioni ka shpërndarje normale

Nëse nuk është normal kërkohen mostra më të mëdha

Vetëm Hipoteza zero ka shenjën ose

Z Testi statistikor

/

X

X

X XZ

n

Shembull : Testi njëanësor

Kutia me drithëra në

mesatare a përmban më

shumë se 368 gram

drithëra? Një mostër e

rastësishme prej 25

kutive ka treguar peshën

= 372.5. Kompania ka

specifikuar që të jetë

15 gram. Testoni në

nivelin e signifikanës a

0.05

368 gm.

H0: 368

H1: > 368

X

14

Gjetja e Vlerës kritike: Njëra anë

Z .04 .06

1.6 0.4495 .4505 .4515

1.7 .4591 .4599 .4608

1.8 .4671 .4678 .4686

.4738 .4750

Z 0 1.645

.05

1.9 .4744

Pjesë e Tabeles se distribucionit standard normal

a = 0.05?

a = .05

Vlera kritike =

1.645

.45

1Z

Zgjedhja e shembullit : Testi një

anësor

a = 0.5

n = 25

Vlera kritike: 1.645

Test Statistic:

Vendimi:

Konkluzion:

Mos refuzo në nivelin a = .05

Nuk ka evidencë se mesatarja e vërtetë është më e madhe se 368 gr.

Z 0 1.645

.05

Refuzo

H0: 368

H1: > 368 372.5 368

1.5015 / 25

XZ

n

1.50

15

Zgjedhja përmes vlerës së P

Z 0 1.50

Vlera eP =0.0668

Vlera e Z për statistikën e

mostrës

Nga tabela Z: shiko te

1.50 për të gjetur 0.4332

Përdorë

hipotezën

alternative për

të gjetur

drejtimin e

regjionit të

refuzimit.

0.5000

- 0.4332

.0668

Vlera e p është P(Z 1.50) = 0.0668

© 2002 Prentice-Hall, Inc.

Zgjedhja përmes vlerës së P (vazhdim)

0 1.50

Z

Refuzo

(Vlera e P = 0.0668) (a = 0.05)

Mos refuzo.

Vlera e p = 0.0668

a = 0.05

Testi statistikor 1.50 është në “Regjionin Mos refuzo”

1.645

16

31

Testimi i hipotezave për barabarësinë e Dy mesatareve të populacionit

9-20

Supozojmë parametrat për dy populacione janë :

Për mostra të mëdha testi statistikor është:

1 2 1 2, , , dhe

1 2

2 2

1 2

1 2

X Xz

n n

32

Testimi i hipotezave për barabarësinë e Dy mesatareve të populacionit

Kur nuk dihen mirëpo madhësia e mostrës janë më të mëdha ose të babrabarta me 30, testi statistikor është:

1 2 dhe

1 2 dhe n n

1 2

2 2

1 2

1 2

X Xz

n n

9-21

17

Shembull

33

Samsung Nokia

Mesatarja - 9.7h 10.0h

Varianca - σ2 (1h )2 (1.2h )2

Madhësia e mostrës (n)

25 16

X

Supozojmë se ekziston dyshimi se bateritë e telefonave mobil te firmave Samsung dhe Nokia nuk janë të kualitetit të njëjtë në kuptimin e qëndrueshmërisë. Për të verifikuar këtë supozim kemi marrë mostra nga dy llojet e baterive. Të dhënat e fituara janë dhenë në tabelën vijuese” Testoni se a është i arsyeshëm supozimi, në nivelin e signifikancës 0.01

34

Zgjedhja përmes vlerës kritike vazhdim

Hapi 1:

Hapi 2 Niveli i signifikancës 0,01, testi dyanësor, α/2= 0.01/2=0.005, Vlera akritike 2.58

Hapi 3: Zgjedhim testin Z;

Hapi 4: Rregulla e vendosjes: Refuzo H0 nëse z >2.58

Hapi 5: Meqenëse Z = -0.88<2.58, H0 nuk refuzohet. Nuk ka arsye që të dyshojmë se bateritë e telefonave Samsung dhe Nokia janë të kualitetit të ndryshëm.

0 1 2 1 1 2: :H H

9-23

1 2

2 2

1 2

1 2

9.7 10.00.88

1 1.2

25 16

X Xz

n n

18

Zgjidhje përmes vlerës së probabilitetit (Vlera p)

Për z=-0.88, sipërfaqja nën lakoren normale është 0,3106. Vlera e probabilitetit 0.5- 0,3106=0.1894

Meqe testi është dyanësor atëherë vlera e p është 2x0.1894=0.3788

p=0.3788; α=0.01

Meqenëse p> α, atëherë nuk e refuzojmë hipotezën zero, dhe konkludojme se nuk ka dallime ne kualitetin e baterive në mes të Samsung dhe Nokia.

35

36

Testet në lidhje me proporcionin/përpjesën

Proporcioni: Pjesa ose përqindja që tregon pjesën e populacionit ose mostrës që është me interes të veçantë për të trajtuar.

Proporcioni/përpjesa i mostrës

numri i rasteve te volitshme

numri i elementeve te mostresm

mp

n

9-24

19

37

Testi statistikor për testimin e një proporcioni të populacionit

9-25

-

m

m

p pz

p q

n

p proporcioni i populacionit

p proporcioni i mostres

38

Shembull

Në të kaluarën , 15% e kërkesave të rregullta për ndihma bamirësie ka rezultuar në kontribute financiare. Një letër e re e kërkesave është përpiluar dhe është dërguar te 200 njerëz dhe 45 prej tyre janë përgjigjur duke ofruar ndihmë financiare. Me nivel të signifikancës 0.05, gjegjësisht me probabilitet 0,95 a mund të përfundohet se letra e re është më efektive?

9-26

20

39

Shembull vazhdim

Hapi 1:

Hapi 2: Niveli i signifikancës 0,05,

Hapi 3: H0 refuzohet kur z>1.645

Hapi 4:

Hapi 5: Meqë z = 2.97 >1.645, H0 Refuzohet. Letra

e re ka qenë më efektive

0 1: 0.15 : 0.15H P H P

450.15

200 2.97(0.15)(0.85)

200

z

9-27

40

Testi që përfshin dallimet në mes të

proporcioneve e dy populacioneve

9-28

Testi statistikor në këtë rast është :

1 2

1 1 2 2

1 2

p pz

p q p q

n n

21

41

Shembull

Shembulli nga libri , fq. 340

Një ndërmarrje ka blerë bateri elektrike prej dy prodhuesve. Nga prodhuesi i parë janë zgjedhur 220 bateri dhe është konstatuar se 35 janë defekte. Nga prodhuesi i dytë janë zgjedhur 260 bateri dhe 26 prej tyre janë me defekt. Me probabilitet 90% ose nivel të signifikancës 10% të vërtetohet se a ekziston dallim i rëndësishëm në cilësinë e baterive në mes të këtyre dy prodhuesve.

9-30

42

shembull 5 vazhdim

Hapi 1:

Hapi 2: Niveli i signifikances 0,10, probabiliteti 90%, vlera kritike është 1.645

Hapi 3: H0 refuzohet nëse z >1.645

Hapi 4:

0 1 1 1 1 1: :H P P H P P

0,159 0.101,916

0.159 0,841 0,10 0,90

220 260

z

9-31

22

43

Shembull 5 vazhdim

Hapi 5: H0 nuk pranohet dhe hidhet poshtë, dmth. pranohet hipoteza alternative se dallimi në mes të kualitetit të baterive në mes të dy prodhuesve është signifikant.

Meqenëse vlera e llogaritur e testit është më e madhe se vlera kritike tabelore hedhet poshtë hipoteza zero. 1,916>1,645.

9-32

Shënim

44

Testi dyanësor Nëse Z<-zɑ/2 ose Z>zɑ/2 refuzo hipotezën zero dhe prano hipotezën alternative….

Testi një anësor i majtë Nëse Z<-zɑ refuzo hipotezën zero…..

Testi një anësor i djathtë Nëse Z>zɑ refuzo hipotezën zero…