Texto Investigación de Operaciones

Calidad que se acredita internacionalmente

ASIGNATURA

INVESTIGACIN DE OPERACIONES

(TEXTO UNIVERSITARIO)

pg. 2

Asignatura: Investigacin de Operaciones

Tema N 4: ANALISIS DE DUALIDAD Y SENSIBILIDAD

4.1 Anlisis de Dualidad

Hemos visto como la programacin lineal puede ser usada para resolver una extensa variedad de problemas propios de los negocios, ya sea para maximizar utilidades o

minimizar costos. Las variables de decisin en tales problemas fueron, por ejemplo, el

nmero de productos a producir, la cantidad de pesos a emplear, etc. En cada caso la

solucin ptima no explic cmo podran ser asignados los recursos (ejemplo: materia prima, capacidad de las mquinas, el dinero, etc.) para obtener un objetivo

establecido.

En este captulo veremos que a cada problema de programacin lineal se le asocia

otro problema de programacin lineal, llamado el problema dual. La solucin ptima del problema de programacin dual, proporciona la siguiente informacin sobre el

problema original:

La solucin ptima del problema dual proporciona los precios en el mercado o

los beneficios de los recursos escasos asignados en el problema original.

La solucin ptima del problema dual aporta la solucin ptima del problema original y viceversa.

Normalmente llamamos al problema de programacin lineal original el problema de

programacin primal. Es el concepto clave que permite resolver un problema a partir

de otro, y se deriva de las relaciones primo-dual, en el valor de la funcin objetivo

Formulacin del problema dual. El problema dual es un problema de PL auxiliar

que se define directa y sistemticamente a partir del modelo de PL original o primal.

El problema de programacin lineal vienen dado por:

Maximizar Z = CX

sujeto a: AX B

X 0

Su dual asociado es el problema de PL dado por:

Minimizar Z = BW sujeto a: AW C W 0

El paso al dual se lleva a cabo teniendo presente las cuatro reglas siguientes:

a. Los coeficientes de la i-sima restriccin para el problema primal pasan a ser

los coeficientes de las variables Wi en las restricciones del problema dual. El problema dual tiene tantas variables como restricciones hay en el primal.

b. Los coeficientes de las variables de decisin Xj en el problema primal pasan a

ser los coeficientes de la restriccin j-sima en el problema dual. El problema

dual tiene tantas restricciones como variables hay en el primal.

c. Los coeficientes de la funcin objetivo en el problema primal pasan a ser los

coeficientes del segundo miembro de las restricciones en el problema dual.

d. Los coeficientes del segundo miembro de las restricciones del problema primal

pasan a ser los coeficientes de la funcin objetivo del dual.

pg. 3


Primal

Ejemplo: Maximizar : Z = 60 X1 + 30 X2 + 20 X3

sujeto a: 8X1 + 6X2 + X3 48

4X1 + 2X2 + 1.5X3 20

2X1 + 1.5X2 + 0.5X3 8

X1, X2, X3 0

Dual:

Minimizar Z = 48 W1 + 20 W2 + 8W3

sujeto a: 8W1 + 4W2 + 2W3 60

6W1 + 2W2 + 1.5W3 30

W1 + 1.5W2 + 0.5W3 20

" W1, W2, W3 0

4.2 Definicin de Problema dual

El desarrollo de la programacin lineal se ha visto reforzado por el descubrimiento de que todo problema de programacin lineal tiene asociado otro problema llamado dual.

El problema original se llama primal, ambos problemas estn relacionados de tal

manera que la el valor de la funcin objetivo en el optimo es igual para ambos

problemas, y la solucin de uno conduce automticamente a la del otro.

Las relaciones entre ambos problemas facilitan el anlisis de sensibilidad de un problema.

El dual es un problema de programacin lineal se obtiene matemticamente de un

problema primal.

La forma del problema dual es nica y se define en base a la forma estndar general del problema primal:

Optimizar (Max o Min) z = S j =1..ncjxj

Sujeto a S j =1..naijxj = bi

xj 0 con i = 1..m, j = 1..n

Donde las n variables xj incluyen los excesos y las holguras.

El problema dual se construye simtricamente del primal de acuerdo a las siguientes

reglas.

1. Para cada restriccin primal (m restricciones) existe una variable dual yi (m variables), la funcin objetivo se construye con los valores libres bi como

coeficientes de las variables yi.

2. Para cada variable primal xj (n variables) existe una restriccin dual (n

restricciones), la restriccin se construye con los m coeficientes de las

restricciones primales de esa variable. Los valores libres son los n coeficientes cj.

3. Si la optimizacin primal es una Maximizacin, el problema dual es una

Minimizacin y las restricciones son . (y a la inversa Minimizacin primal, Maximizacin dual, restricciones). El siguiente diagrama muestra la

pg. 4


construccin del dual:

x1 x2 .. xj .. xn

Objetivo primal c1 c2 .. c1 .. c1

Valores libres

de restricciones

duales

Variables duales

l

v

Coeficientes

restricciones duales a11 a12 .. a1j .. a1n b1 y1

a21 a22 .. a2j .. a2n b2 y2

am1 a22 .. a2j .. a2n bm ym

Restr. dual j

Funcin Objetivo dual

Nota: si consideramos los excesos y holguras las variables duales (yi) no tienen restricciones de signo, en caso contrario en ambos problemas se considera variables

0. Por lo que las variables duales correspondientes a restricciones del tipo = deben ser

sin restricciones de signo, recprocamente cuando una variable en el primal no tiene

restriccin de signo, la restriccin correspondiente en el dual debe ser del tipo =.

Ejemplo

Sea Max z = 3x1 + 5x2

x1 + 10x2 < 80

2x1 + 3x2 < 45

4x1 - 2x2 < 25

3x2 0

Aplicando las reglas y la nota:

1. Para cada restriccin primal (4 restricciones) existe una variable dual yi (4

variables) y1 y2 y3 y4, la funcin objetivo se construye con los valores libres bi

(80,45,25,60) como coeficientes de las variables yi.

2. Para cada variable primal xj (2 variables sin considerar las variables de holgura) existe una restriccin dual (2 restricciones), la restriccin se

construye con los 4 coeficientes de las restricciones primales de esa variable.

Los valores libres son los 2 coeficientes cj (3, 5).

3. la optimizacin primal es una Maximizacin, el problema dual es una Minimizacin y las restricciones son > .

Nota: No hemos considerado las variables de excesos ni holguras las variables

duales por lo que en ambos problemas se considera variables > 0, no existen

restricciones de =.

pg. 5


Problema dual:

Min Y = 80y1 + 45y2 + 25y3 + 60y4

Sujeto a:

Y1 + 2y2 + 4y3 > 3

10y1 + 3y2 - 2y3 + 3y4 > 5

y1, y2, y3, y4 > 0

2. Max Z = 3x1 + 7x2

Sujeto a:

2x1 + 5x2 = 15

x1 + 8x2 < 30

x1, x2 > 0

0. Para cada restriccin primal (2 restricciones) existe una variable dual yi (2 variables) y1 y2, la funcin objetivo se construye con los valores libres bi

(15, 30) como coeficientes de las variables yi.

1. Para cada variable primal xj (2 variables sin considerar las variables de

holgura) existe una restriccin dual (2 restricciones), la restriccin se

construye con los 2 coeficientes de las restricciones primales de esa variable. Los valores libres son los 2 coeficientes cj (3, 7).

Aplicando las reglas y la nota:

Nota: Para la segunda restriccin no hemos considerado las variables de

excesos ni holguras las variables duales por lo que en el dual y2 0, la primera restriccin es de igualdad por lo que la primera variable no tiene

restriccin de signo.

Problema dual:

Min Y= 15y1 + 30y2

Sujeto a:

2y1 + y2 > 3

5y1 + 8y2 > 7

y1 sin restriccin de signo (irrestricta)

y2 > 0.

4.3 Anlisis de sensibilidad

Una vez obtenida la solucin de un problema de programacin lineal, es deseable investigar cmo cambia la solucin del problema al cambiar los parmetros del

modelo.

Por ejemplo si una restriccin de un problema es 4x1 + 6x2 < 80 donde 80

representa la cantidad de recurso disponible. Es natural preguntarse que pasa con la solucin del problema si la cantidad de recurso (por ejemplo Horas)

disminuye a 60? Otras veces podemos preguntarnos que pasa si cambiamos

algunos coeficientes de la funcin objetivo? O bien si agregamos una restriccin

o una variable. El estudio de la variacin de un problema de programacin lineal debido a cambios de los parmetros del mismo, se llama anlisis de sensibilidad.

pg. 6


Una forma de responder estas preguntas sera resolver cada vez un nuevo

problema. Sin embargo esto es computacionalmente ineficiente.

Para esto es preferible hacer uso de las propiedades del mtodo Simplex y de los

problemas primal y dual.

Recordemos que una vez que en un problema lineal se conoce B, CB y XB, la tabla simplex se puede calcular utilizando B-1 y los datos originales del problema.

El efecto de los cambios en los parmetros del problema del anlisis de sensibilidad

(post ptimo) se puede dividir en tres categoras:

0. Cambios en los coeficientes C de la funcin objetivo, solo afecta la optimalidad.

1. Cambios en el segundo miembro b solo pueden afectar la factibilidad.

2. Cambios simultneos en C y b pueden afectar la optimalidad y la

factibilidad.

Ejercicio 1

CIDEMETAL SRL, produce mesas y sillas para venta en el pas. Se requieren dos tipos

bsicos de mano de obra especializada: para ensamblado y acabado. Producir una mesa

requiere tres horas de ensamblado, dos horas de acabado y se vende con una ganancia de $30. La produccin de una silla requiere 1 hora de acabado y se vende con una

ganancia de $18. Actualmente, la compaa dispone de 200 horas de ensamblado y 160

horas de acabado.

La formulacin a este problema es:

Maximizar: X0 = 30X1 + 18X2

Sujeta a: 3X1 + X2 200 (ensamblado)

2X1 + X2 160 (acabado)

X1, X2 0

Y la solucin ptima la siguiente

Base X0 X1 X2 X3 X4 Solucin

X0 1 6 0 0 18 2880

X3

X2

0

0

1

2

0

1

1

0

-1

1

40

160

La compaa desea consejo en los siguientes planteamientos:

a. Cunto es lo mximo que pueden reducirse las horas-hombre disponibles en

ensamblado sin que la factibilidad de la mezcla actual cambie?

b. Cul es el rango de variacin de la utilidad unitaria de las sillas en donde la

inmejorabilidad de la mezcla ptima se mantiene?

c. En cul departamento recomendara usted contratar tiempo extra?

d. Si se comprara una mquina que redujera el tiempo de ensamblado en las mesas,

de 3 a 1/2, recomendara usted una inversin de dicha mquina?

pg. 7


e. En cunto se incrementara la utilidad ptima actual si se programan 15 horas-

hombre extra en la operacin de acabado?

f. Si la utilidad unitaria de las sillas disminuye a $16, Cmo se afecta a la solucin

ptima y el objetivo?

g. Si los obreros que llevan a cabo la operacin de acabado ofrecen trabajar horas extras a razn de $12/hora Recomendara usted contratar tiempo extra? Si lo

recomienda, qu tanto tiempo extra puede programarse sin cambiar la

optimidad de la mezcla actual?

Ejercicio 2

GRANDE PERU SAC, se especializa en la fabricacin de camas (colchones). La compaa

fabrica tres clases de colchones: matrimonial, "King-size" e individual. Los tres tipos de

colchones se fabrican en dos plantas diferentes que son propiedad absoluta de la

compaa. En un da hbil normal de 8 horas, la planta No. 1 fabrica 50 colchones matrimoniales, 80 colchones "King-size" y 100 individuales. La planta No.2 fabrica 60

colchones matrimoniales, 60 "King-size" y 200 individuales. El gerente de mercadotecnia

de la GRANDE ha proyectado la demanda mensual para los tres tipos de colchones y

calcula ser de 2500, 3000 y 7000 unidades, respectivamente. Los contadores de la

compaa indican que el costo diario de operacin de la planta No. 1 es de $3500 diarios. A los administradores les gustara determinar el nmero ptimo de das de operacin por

mes en las dos diferentes plantas con el objeto de minimizar el costo total de produccin,

al mismo tiempo que se satisface la demanda.

Utilizando

y1 = nmero de das de operacin por mes de la planta No.1

y2 = nmero de das de operacin por mes de la planta No.2

Entonces el planteamiento puede expresarse de la siguiente manera:

Minimizar: Z = 2500Y1 + 3500Y2

Sujeto a: 50Y1 + 60Y2 2500

80Y1 + 60Y2 3000

100Y1 + 200Y2 7000

Y1, Y2 0

Es fcil observar que el problema se encuentra en forma del problema dual estndar.

a. Plantee el problema primario para el problema dual que se dio antes.

b. Cules son las unidades de medicin de las variables primarias?

c. Resuelva el problema utilizando el mtodo simplex. Por qu fue ms sencillo resolver el problema primario que el dual?

d. Utilizando el problema primario ptima, determine el valor ptimo para las variables

duales de decisin para el problema de la GRANDE.

e. Qu significado tienen las variables primarias en el problema de la GRANDE?

Documents

Texto Investigación de Operaciones