Texto Precalculo II

8/18/2019 Texto Precalculo II

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Calidad que se acredita internacionalmente

METODOLOGÍA DEL

APRENDIZAJE

(TEXTO UNIVERSITARIO)

MATERIALES DE

TRABAJO

(PRE CALCULO II)


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MATERIAL

DE

TRABAJO

(

PRE

CALCULO

II

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VISIÓN

Ser una de las 10 mejores universidades privadas del Perú al año 2020, reconocidos por nuestra excelencia académica yvocación de servicio, líderes en formaciónintegral, con perspectiva global; promoviendo la competitividad del país.

Material publicado con fines de estudioPrimera ediciónHuancayo, 2015

MISIÓN

Somos una universidad privada innovadora y

comprometida con el desarrollo del Perú, que se

dedica a formar personas competentes, integras y

emprendedoras, con visión internacional, para que

se conviertan en ciudadanos responsables e

impulsen el desarrollo de sus comunidades,

impartiendo experiencias de aprendizaje

vivificantes e inspiradores; y generando una alta

valoración mutua entre todos los grupos de interés


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MATERIAL DE TRABAJO ( PRE CALCULO II )

Al presentar este trabajo “Guías de Prácticas”, se hace con el sano propósito de

contribuir decididamente en el proceso del aprendizaje de la asignatura de Pre Cálculo

II.

Esta recopilación de ejercicios está destinada para los alumnos del segundo semestre

de la Universidad Continental, cada ejercicios esta seleccionado, permitiendo preparar

y capacitar debidamente al estudiante para seguir sus estudios superiores.

La formación básica de los estudios impartidos en la universidad, en el área de

Ciencias y Formación General, son muy importantes y la asignatura de Pre Cálculo II

juega un rol fundamental, debido a los avances de los temas que comprende esta

materia y que están relacionados a las especialidades que brinda la Universidad.

Es así como estás guías de prácticas se han dividido en cuatro unidades y que son:

Unidad I: Vectores R 2 y R 3

Unidad II: Geometría VectorialUnidad III: Matrices

Unidad IV: Determinantes

Por ultimo quisiéramos agradecer a los colegas que han hecho posible esta

recopilación de ejercicios

Los recopiladores


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PRÁCTICA DE MATEMÁTICA N° 01Vectores en R 2 y R 3

(Tema: Vectores en R 2)

INSTRUCCIONES: Estimado estudiante, usted deberá resolver los siguientesejercicios, los cuales deberá estar ordenados en el portafolio de la asignatura

Ejercicios Propuestos A.

Bloque I:

1. Se puede usar un ____ ____ ______ ______ para representar una cantidad que

contenga magnitud y dirección

2. El segmento de recta dirigida tiene punto ________ P y punto ________ Q3.

La ________ del segmento de recta dirigido se denota con 4. El conjunto de todos los segmentos de recta dirigidos equivalentes a un

determinado segmento de recta dirigido

es un ________ v en el plano.

5. Para demostrar que dos vectores son equivalentes, se debe demostrar que tienen

la misma ________ y la misma ________.

6. Se dice que el segmento de recta dirigido cuyo punto inicial es el origen está en

__

7.

Un vector que tiene una magnitud de 1 se llama ________ ________.

8. Las dos operaciones básicas con vectores son ______ escalar y ______ de

vectores.

9.

El vector u + v recibe el nombre de ________ de la suma de vectores.

10. La suma de vectores v1i + v2 jse denomina ______ _____ de los vectores i y j y

los escalares v1 y v2 se llaman componentes _____ y _____ de v, respectivamente.

B. Bloque II

1. En los siguientes ejercicios, encuentre a) u + v, b) u – v y c) 2u – 3v. A

continuación trace cada uno de los vectores resultantes.

i) u = (2, 1) , v = (1, 3)

ii)

u = ( – 5, 3), v = (0, 0)

Sección

:

…………………………..………………………...

Docente

:

…………………………………………………….

Unidad: I Semana: Indicar Semana

Apellidos :

…………………………..………………………….

Nombres

:

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Fecha

:

…../..…/2015

Tipo

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Práctica:

Individual

(x)

Grupal

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iii) u = i + j, v = 2i – 3j

2. En los siguientes ejercicios, encuentre un vector unitario en la dirección del

vector dado. Verifique que el resultado tenga una magnitud de 1.

i)

U = (3, 0) iii) v = 6i – 2 j

ii) V = ( – 2, 2) iv) w = – 6i

3. En los siguientes ejercicios, encuentre el vector v con la magnitud dad y la

misma dirección que u

Magnitud Dirección.

i) || v || = 10 u = ( – 3, 4)

ii) || v || = 9 u = (2 , 5)

4. En los ejercicios, se dan los puntos inicial y terminal de un vector. Escriba una

combinación lineal de los vectores normales unitarios i y j.

Punto inicial Punto final

i)

( – 2, 1) (3, – 2)

ii) ( 0, – 2) (0, 1)

5. En los ejercicios, encuentre la forma de componente de v y trace

geométricamente las operaciones especificadas con vectores, donde u = 2i – j y

w = i + 2j

i)

V = (3/2)u iii) v = – u + w

ii) V = ½(3u + w) iv) v = u – 2w

6. En los ejercicios, encuentre la forma de componentes de v dados su magnitud y

el ángulo que forma con el eje x positivo. Trace v.

Magnitud Ángulo Magnitud Ángulo

i) || v || = 7/2 = 150° iii) || v || = 3/4 = 150°

ii) || v || = 2√ 3 = 45° iv) || v || = 3 v en la dirección 3 i + 4

j

7. En los ejercicios, encuentre la forma de componentes de la suma de u y v con

ángulos directores u y v

Magnitud Ángulo

i)

|| u || = 5 y || v || = 5 u = 0° y v = 90°

ii) || u || = 4 y || v || = 4 u = 60° y v = 90°

iii) || u || = 20 y || v || = 50 u = 45° y v = 180°

C.

Bloque III:


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1. Unas fuerzas con magnitudes de 125 newtons y 300newtons actúan sobre un gancho (vea figura). Elángulo entre las dos fuerzas es 45°. Encuentre ladirección y magnitud de la resultante de estas

fuerzas.

2. Unas fuerzas con magnitudes de 2000 newtons y 900 newtonsactúan sobre una pieza mecánica a ángulos de 45° y 35°respectivamente, con el eje x (vea figura). Encuentre ladirección y magnitud de la resultante de estas fuerzas.

3. Una bar caza cargada está siendo jalada pordos remolcadores, y la magnitud de la

resultante es 6000 libras dirigida a lo largodel eje de la barcaza (vea figura). Encuentrela tensión en las dos líneas si cada una deellas forma un ángulo de 18° con el eje de la barcaza.

4. Un semáforo que pesa 12 libras está suspendido pordos cables (vea figura). Encuentre la tensión en cadauno de los cables.

5. Un avión vuela en la dirección de 148° conuna rapidez relativa de 875 kilómetros porhora respecto a tierra. Debido al viento, suvelocidad absoluta y dirección son 800kilómetros por hora y 140° respectivamente(vea figura). Encuentre la dirección y rapidezdel viento.

6. Use la figura para determinar la tensión en cada uno de los cables que sostienen lacarga.

7. Para transportar un peso cilíndrico de 100 libras, dos personas levantan losextremos de cuerdas cortas atadas a una argolla situada en el centro superior delcilindro. Cada una de las cuerdas forma un ángulo de con la vertical. Trace una

figura que dé una representación visual de la situación, y encuentre la tensión enlas cuerdas.


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8.

Se requiere una fuerza de 600 libras para jalar un bote yremolque hacia arriba de una rampa inclinada a 15°desde la horizontal. Encuentre el peso combinado del bote

y el remolque.

Bibliografía Básica

Larson R, Edwards B.H (2012). Calculo de una Variable. Novena edición. México: McGraw Hill

Bibliografía Complementaria

Zill D.G. y Wright W.S. (2011). Calculo de una Variable: Transcendentes Tempranas.Cuarta edición. China: Mc Graw Hill.

Demana, Waits, Foley, y Kennedy. (2007). Precálculo: Gráfico, numérico, algebraico.Septima edición. México: Editorial Pearson.

Barnett, Ziegler, Byleen y Sobecki. (2013). Precálculo. Septima edición. México: McGraw Hill.

Wooton W. et al. (1985). Geometría Analítica Moderna. Tercera reimpresión. México. Publicaciones Cultural S.A.

Link para Consultar

http://www.youtube.com/watch?v=sF6NAi9IRl4 http://personales.unican.es/gonzaleof/Ciencias_1/Vectores.pdf http://www.cam.educaciondigital.net/acquaviva/elementos/vectores/teoriavectores.pdf


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(Tema: Vectores en R 3)


Ejercicios Propuestos

A.

Bloque I:

1. En los ejercicios, trace una gráfica del punto en el espacio cuyas coordenadas se

dan

i)

(1, 2, 1) iii) (0, 2, 3)

ii) (3, 2, 1) iv) ( 4, 3, 0)

2. En los ejercicios, diga que condición(es) deben cumplir las coordenadas de

todos los puntos (x, y, z) que están en el (los) plano(s) dado(s).

i)

Plano XY iii) Planos XY y XZ

ii) Planos XY y YZ iv) Planos YZ y XZ

3.

En los ejercicios, encuentre los valores de x, y y z tales que las dos ternas

ordenadas sean iguales

i) (x – 2, y + 2, z – 4); ( – 2, 3, 6)

ii) (x+4, 3, z + 5); (4, y + 3, 2)

iii) (1, y – 3, z + 2); (x – 5, 4, 6)

4.

En los ejercicios, calcule la distancia que separa S y T.

i) S(1, 1, 2); T(2, 3, 4)

ii)

S(–1, 1, 3); T(0, –1, 1)

iii) S(–2, 1, –3); T(2, 2, 5)

5. En los ejercicios, obtenga los cosenos directores del vector dado.

i)

(–1, 2, 2) iii) (–3, –5, – √ 2 )ii) (0, 3, –4) iv) (–8, –4, 1)

6.

En los ejercicios, obtenga el vector unidad en la dirección del vector cuyarepresentación geométrica va de S a T.

Sección : …………………………..………………………...

Docente

:

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Fecha : …../..…/2015

Tipo de Práctica: Individual (x) Grupal ( )


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i) S(1, –2, 3); T(4, 0, 11) iii) S(10, 9, –1)

ii) S(–3, 1, 0); T(–2, 3, 2)

7. En los ejercicios, obtenga el vector u cuya norma se da y que tiene el mismo

sentido que el vector v dado.

i) || u || = 8; v = (1, 2, 5) iii) || u || = 1/2; v = (6, 12, 4)

ii) || u || = 6; v = (3, 3, 3) iv) || u || = 14; v = (6, 4, –2)

B. Bloque II

1. Emplee la fórmula de distancia y el recíproco del teorema de Pitágoras para

demostrar que los puntos S(3, 5, 2); T(2, 3, –1) y U(6, 1, –1) son los vértices de

un triángulo rectángulo.

2. En los ejercicios, obtenga los cosenos directores del vector dado.

i) (–1, 2, 2) iii) (–3, –5, – √ 2 )

iii) (0, 3, –4) iv) (–8, –4, 1)

3. En los ejercicios, diga si los vectores son paralelos, perpendiculares u oblicuos

i) (6, –3, –9); (–2, 1, 3) iii) (–2, 3, 4); (–6, –8, 3)

ii) (3, 2, –5); (14, –6, 6)

4. En los ejercicios, obtenga la componente escalar de v sobre u para los vectores u

y v dados

i)

u = (2, 1, 2); v = (2, 1, 1) iii) u = ( 12, 5, 0); v = (3, 1, –2)

ii) u = (0, –1, 0); v = (–3, 4, –1)

5. Demuestre que el triángulo cuyos vértices son R(3, 1, –2); S(8, 4, 6) y T(6, 7, 0) es

un triángulo rectángulo.

6.

Demuestre que el triángulo cuyos vértices son R(1, 3, –3); S(2, 2, –1) y T(3, 4, –2)

es un triángulo equilátero.

7. Demuestre que el cuadrilátero QRST cuyos vértices son Q(–1, 9, –2); R(–7, 1, 1);

S(–9, 4, 5) y T(–3, 12, 2) es un rectángulo.




Zill D.G. y Wright W.S. (2011). Calculo de una Variable: Transcendentes Tempranas.

Cuarta edición. China: Mc Graw Hill.


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Wooton W. et al. (1985). Geometría Analítica Moderna. Tercera reimpresión. México.

Publicaciones Cultural S.A.

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(Tema: Producto Vectorial y Producto Cruz)


Ejercicios Propuestos

Bloque I:

Rellenar los espacios en blanco

1. El ________ ________ de dos vectores da un escalar, en vez de un vector.

2. El producto punto de u = (u1 , u2 ) y v = (v1 , v2 ) es ________.

3. Si es el ángulo entre dos vectores u y v diferentes de cero, entonces cos =

______

4. Los vectores u y v son ________ si u . v = 0

5.

La proyección de u sobre v está dada por proyv u = __________

6.

El trabajo W realizado por una fuerza F constante, cuando su punto de aplicación

se mueve a lo largo del vector está dado por W = ______ o por W = _______

Bloque II

1. En los Ejercicios, use los vectores u = (3, 3), v = (–4, 2) y w = (3, –1) para

hallar la cantidad indicada. Exprese si el resultado es un vector o un escalar.

i)

u . v iii) 2 - || u ||

ii) (3w . v)u iv) (v . u) – (w . v)

2. En los Ejercicios, calcule el producto vectorial u x v de los vectores u y v

demuestre que u x v es perpendicular a u y v.

i)

u = (1, 2, 3); v = (3, 0, –1) iii) u = (3, 1, –2); v = (4, –1, 3)

ii) u = (1, –1, 1); v = (2, 1, –2) iv) u = (3, 5, –3); v = (–2, 1, 7)

3. Demuestre que si u = (1, 2, 3); v = (2, –1, 4) y w = (–1, 2, –3) entonces

u x ( v + w) = (u x v) + (u x w)

4. Demuestre que si r = 2, u = (2, –3, 1) y v = ( 1, 0, –1) entonces

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ru x v = u x rv = r (u x v)

5. Demuestre que para todo vector v de R3 , v x v = 0

6. Demuestre que si u es un vector en R3 , v = (2, –1, –2) y u x v = 0, entonces u es

un múltiplo escalar de v

7. En los ejercicios, demuestre que cada afirmación es válida

i) i x j = k iii) i x k = –j

ii) j x k = i iv) –i x (j + k) = j – k

8. Obtenga los valores de a y b tales que (2, a, 1) x (1, b, 2) = (3, –3, –1)

9. Demuestre que para cualquier vector u, v y w en R3

u x (v + w) = (u x v) + (u x w)

10. Demuestre que (i x j).k = j . (i x k) = –1

Bloque III

1. Una carreta de 200 libras está sobre una rampa inclinada a

30° como se ve en la Figura. ¿Qué fuerza se requiere para

evitar que la carreta se desplace hacia abajo por la rampa?

2. Para cerrar la puerta corrediza de un granero, una

persona jala una cuerda con una fuerza constante de 50

libras a un ángulo constante de 60° como se ve en la

figura. Encuentre el trabajo realizado al mover la puerta

del granero 12 pies a su posición cerrada.

3. Un camión con peso bruto de 30 000 libras está

estacionado en una pendiente de d° (vea figura).

Suponga que la única fuerza por vencer es la de

gravedad.

4. Se necesita una fuerza de 45 libras, ejercida a un

ángulo de 30° arriba de la horizontal, para deslizar

una mesa en un piso (vea figura). La mesa es

arrastrada 20 pies. Determine el trabajo realizado al

deslizar la mesa.


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5.

Un carrito de juguete es jalado al ejercer una fuerza de

25 libras en una barra que forma un ángulo de con la

horizontal (vea figura). Encuentre el trabajo realizado al jalar

50 pies el carrito.








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PRÁCTICA DE MATEMÁTICA N° 04Geometría Vectorial

(Tema: La Recta)


Ejercicios Propuestos A. Bloque I

1. En los ejercicios, obtenga la ecuación paramétrica vectorial y el sistema de

ecuaciones paramétricas cartesianas de la recta que contiene a los puntos dados S

y T

i) S(3, 2); T (1, 1) iii) S(–6, –3); T(–4, –2)

ii) S(4, –2); T(4, 3) iv) S(a, b); T(b, a)

2.

En los ejercicios, obtenga la ecuación paramétrica vectorial del segmento que une

a:

i) R(2, 5) con el punto medio cuyos extremos son S(5, 1) y T(7, –3)

ii) El punto medio del segmento cuyos extremos son Q(–5, 2) y R(1, 6) con el

punto que está a una tercera parte de la distancia que separa a S(–2, 6) de T(1,

9).

iii)

El punto que está a dos terceras partes de la distancia que separa a los puntos

Q(8, –2) y R(2, 7) con el punto que está a una cuarta parte de la distancia que

separa a los puntos S(1, 6) y T(9,10)

3.

En los ejercicios, obtenga la ecuación paramétrica vectorial y el sistema de

ecuaciones paramétricas cartesianas de la recta L que pasa por el punto dado S y

es paralela al vector dado v

i)

S(3, 2); v = (1, 1) iii) S(–5, 2); v = (–3, 1)

ii)

S(5, 7); v = (2, 3) iv) S(–3, –7); v = (4, –2)

4. En los ejercicios, calcule las coordenadas de los puntos U 1 y U 2 que están sobre la

recta cuya ecuación paramétrica vectorial se da y que están a la distancia dada

del punto S dado.

Sección : …………………………..………………………...

Docente : …………………………………………………….


Apellidos : …………………………..………………………….

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i) Sobre u = ( 4, –2) + r(1, 1); 3√ 2 unidades de S(4, –2)

ii) Sobre u = (–3, –1) + r(6, 8); 5 unidades de S(–3, –1)

iii) Sobre u = (0, 4) + r(5, 12); 26 unidades de S(5, 16)

5.

Dada la recta L cuya ecuación paramétrica vectorial es u = s + rv, contiene al punto T, demuestre que para cualquier punto U sobre L existe un escalar k tal que

u – t = kv

6. En los ejercicios, calcule la pendiente de la recta que contiene a los puntos dados

S y T y obtenga la ecuación paramétrica vectorial de estas rectas en la forma u =

s + r(1, m).

i)

S(5, 1) y T(–4, 2) iii) S(–5, –4) y T(2, 5)

ii) S(3, –4) y T(–2, 1) iv) S(–2, –3) y T(–1, –7)

7. En los ejercicios, obtenga una ecuación paramétrica vectorial de la recta que

pasa por el punto S y cuya pendiente es m

i) S(3, –4); m = 2 iii) S(1, –5); m = –3/4

ii) S(0, –5); m = 0 iv) S(–2, –3); m = 2/3

8. En los ejercicios, obtenga una ecuación paramétrica vectorial de la recta que

pasa por el punto dado S y que (a) es paralela o bien (b) es perpendicular a la

recta cuya ecuación paramétrica se menciona.

i)

S(–2, 1); u = (3, 0) + r(2, –1) iii) S(–2, –3); u = (3, 3) + r(5, 6)

ii) S(1, 2); u = (–3, –2) + r(3, 4) iv) S(4, –2); u = (1, 2) + r(3, –4)

9. En los ejercicios, determine si la recta L1 que contiene a los puntos dados Q y R es

(a) paralela, (b) perpendicular, o (c) oblicua a la recta L2 que contiene a los

puntos dados S y T.

i) L1: Q(3, 1) y R(4, 3) y L2: S(2, 4) y T(4, 8)

ii) L1: Q(2, –5) y R(1, 2) y L2: S(6, 5) y T(–1, 4)

iii)

L1: Q(4, –5) y R(2, –1) y L2: S(6, –2) y T(–2, 3)

10. En los ejercicios, determine si los tres puntos dados R, S y T son colineales.

i) R(2, 1), S(–1, 3) y T(5, –1) iii) R(1, –2), S(7, 1) y T(–3, –4)

ii) R(3, –1), S(–2, –3) y T(–1, –3)

B. Bloque II

1. Si L es la gráfica de la ecuación paramétrica vectorial u = (a, b) + r(c, d),

obtenga una ecuación paramétrica vectorial de la recta M que es paralela a L y

contiene al punto medio del segmento cuyos extremos son S(x1 , y1 ) y T(x2 , y2 ).


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2. Sean L1 y L2 dos rectas paralelas no coincidentes y que tienen un vector de

dirección v y sea S un punto sobre L1 pero que no está sobre L2 , y sea T un punto

sobre L2 pero que no está sobre L1.

3.

En los ejercicios, obtenga la ecuación cartesiana ordinaria de la recta que

contiene al punto S y para la cual el vector dado es normal a ella.

i) S(4, 2); n = (3, 5) iii) S(–6, 1); n = (–3, 3)

ii) S(3, 7); n = (2, 4) iv) S(–2, –2); n = (1, 1)

4. En los ejercicios, obtenga la ecuación cartesiana ordinaria de la recta que

contiene al punto dado S y uno de cuyos vectores de dirección es el vector dado v.

i) S(3, 7); v = 5i – 2j iii) S(7, –5); v = 6i

ii) S(2, –1); v= 4i + 7j iv) S(–4, 5); v = –6i + 3j

5. En los ejercicios, obtenga la ecuación cartesiana ordinaria de la recta que pasa

por el punto dado S y cuya pendiente es m

i)

S(2, 5); m = 2 iii) S(–1, –1); m = 1/2

ii) S(6, 1); m = 4 iv) S(–3, –5); m = –2/3

6. En los ejercicios, obtenga la ecuación cartesiana ordinaria de las rectas cuyas

características están dadas

i) La recta para la cual el producto de la ordenada al origen y la abscisa al origen

es 12 y que contiene al punto S(3, 1).

ii) ¿Para qué valor de a son perpendiculares las rectas?

2

1

4

2

1

iii)

La recta cuya ordenada y abscisa al origen suman –1, y que pasa por el punto

S(2, 2). ( Dos soluciones)

iv) La recta que contiene al punto S(3, –2) y es perpendicular a la recta que pasa

por T(1, 1) y cuya pendiente es 3/2.

v) La recta cuya abscisa y ordenada al origen suman 7 y cuya pendiente es La

recta que contiene al punto S(3, –2) y es perpendicular a la recta que pasa por

T(1, 1) y cuya pendiente es –11/3. (Sugerencia: sea –m = b/a)


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C. Bloque III

1. Una carretera recta sube con una

inclinación de 0.10 radianes a partir de la

horizontal (vea figura). Encuentre la

pendiente de la carretera y el cambio en

elevación en un tramo de dos millas de la

carretera.

2. Un techo tiene una elevación de 3 pies por

cada cambio horizontal de 5 pies (vea figura).

Encuentre la inclinación del techo.

3. Una banda transportadora se construye de modo que se eleva 1 metro por cada 3

metros de recorrido horizontal. (a) Haga un diagrama que dé una representación

visual del problema. (b) Encuentre la inclinación de la banda transportadora. (c)

La banda corre entre dos pisos en una fábrica. La distancia entre los pisos es 5

metros. Encuentre la longitud de la banda.

4. El ferrocarril inclinado de las cataratas del río Niágara, en Ontario, Canadá, es

un ferrocarril que fue diseñado para transporte de pasajeros de la ciudad de

Niagara Falls al parque de la Reina Victoria. El

ferrocarril es de unos 170 pies de largo

aproximadamente con un 36% de pendiente

ascendente (vea figura).

(a) Encuentre la inclinación del ferrocarril.

(b) Encuentre el cambio en elevación de la base

a la parte superior del ferrocarril.5.

¿VERDADERO O FALSO?. En los Ejercicios, determine si la proposición es

verdadera o falsa. Justifique su respuesta.

i) Una recta que tiene una inclinación mayor a π /2 radianes tiene pendiente

negativa.

ii) Para hallar el ángulo entre dos rectas cuyos ángulos de inclinación 1 y 2

se conocen, sustituya 1 y 2 por m1 y m2 , respectivamente, en la fórmula

para el ángulo entre dos rectas.


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iii) Considere una recta con pendiente m e intersección con el eje y en (0, 4)

(a) Escriba la distancia d entre el origen y la recta como función de m.

(b) Grafique la función del inciso (a).

(c) Encuentre la pendiente que dé la máxima distancia entre el origen y la

recta.

(d) Halle la asíntota de la gráfica del inciso (b) e interprete su significado

en el contexto del problema

6. En los ejercicios, obtenga la ecuación cartesiana ordinaria de la recta L que posea

las características que se mencionan

i) Que pasa por S( –5, 3) y cuyo ángulo de dirección sea 60°.

ii) Que pase por S(3, –2) y que sea perpendicular a una recta cuyo ángulo de

dirección es 30°.

iii) Que pase por S(–4, –3)y que sea perpendicular a una recta cuyo ángulo de

dirección es 135°.

7. Demuestre que la ordenada y la abscisa al origen de la gráfica de la ecuación

simétrica

8. Sea el rectángulo ABCD cuyos vértices son A(–1, 6); B(2, 3); C y D. Si // (3, 1),

// (–3, 1) y el área del rectángulo es de 36 u2, halle los vértices C y D.

9. Hallar el vector de la figura:

Dado los puntos A(–4, –1), B(3, 2) y C(2, –2), halle el punto D cuyas componentes son positivas de modo que el cuadrilátero ABCD sea un paralelogramo.




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PRE

CALCULO

II

)






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(Tema: La Circunferencia)


Resolver los ejercicios

A.

BLOQUE I

1. En los ejercicios, obtenga una ecuación en la forma vectorial de la circunferencia

con radio r y centro S dados:

a)

r = 2; S(3, 4) c) r = 7; S(2, – 3)

b) r = 4; S(1, 5) d) r = 6; S(–8, –1)

2. En los ejercicios, obtenga una ecuación cartesiana de la la recta L que es tangente

en el punto T a la circunferencia cuya ecuación se da:

a)

T(0, 0): x2 + y2 – 8x + 6y = 0

b) T(2, 1): x2 + y2 – 12x + 14y + 5 = 0

c) T(3, 2): x2 + y2 – 12x + 8y + 7 = 0

d) T( – 3, 1): x2 + y2 + 8x – 2y + 16 = 0

3. En los ejercicios, obtenga una ecuación de la circunferencia que pasa por los

puntos dados Q, S y T

a)

Q(5, 4); S(4, –3) y T(–2, 5) c) Q(1, 9); S(8, 2) y T(–9, 9)

b)

Q(5, 7); S(6, 0) y T(–1, –1) d) Q(3, –10); S(10, 7) y T(–7, –10)

4. En los ejercicios, obtenga una ecuación cartesiana de la circunferencia C cuyo

centro S que es tangente y ecuación de la tangente son dados

a) S(3, 4); x = 8 c) S(–2, 3); x – y = 7

b) S(1, –5); x + y = 5 d) S(–3, –5); 2x + 3y = 5

5.

En los ejercicios, obtenga una ecuación cartesiana de la circunferencia que

satisface las condiciones dadas

a)

Pasa por los puntos S(–1, –3) y T (–5, 3) con centro sobre la recta cuyaecuación es x – 2y + 2 = 0

Sección

:

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Docente

:

…………………………………………………….


Apellidos :

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Nombres

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Fecha

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Tipo

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Práctica:

Individual

(x)

Grupal

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)


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PRE

CALCULO

II

)

b) Es tangente al eje X en el punto S(4, 0) y pasa por el punto T(7, 1)

c) Es tangente a la recta cuya ecuación es 4x – 3y – 2 = 0 en el punto S(6, –1), y

que pasa por el punto T(6, 1)

d)

Tiene su centro en S(–1, 4) y es tangente a la recta cuya ecuación es 5x + 12y +

9 = 0

B. BLOQUE II

1. Una Circunferencia C es tangente simultáneamente a

C 1: (x – 3)2 + (y – 4)2 = 4; C 2: (x – 3)2 + (y – 8)2 = 36

Halle el lugar geométrico descrito por el centro de C

2. Halle la ecuación de a circunferencia cuyo centro se encuentra sobre la recta y =

4x si las longitudes de los segmentos que determinan sobre el eje X y sobre el eje Y

son 7/2 y 4 respectivamente.

3. La distancia entre las rectas x + 2y – a = 0; x + 2y + 4a = 0 es 2√ 5. Halle la

ecuación de la circunferencia que es tangente a ambas rectas y cuyo centro se

encuentra en el eje Y.

4.

Dadas las circunferencias C1: x2 + y2 -16 = 0, C2: x2 + y2 + 4x + 8y – 80 = 0 y el

punto A(4, –12), encuentre el área del triángulo ABC, si se sabe que está inscrito en

las circunferencias y circunscrito a la otra.

5.

El punto (8, 6) es el centro de una circunferencia cuya cuerda sobre el eje Y es

dividida por el origen en la razón –4. Halle la longitud de la cuerda

6. Halle el valor de k para que la ecuación x2 + y2 – 8x + 10y + k = 0, represente una

circunferencia de radio 4

7. El punto (8, 6) es el centro de una cuerda de la circunferencia: x2 + y2 – 12x – 4y =

0. Halle la longitud de dicha cuerda

8. Halle la ecuación de una circunferencia tangente a la recta 7x – 24y – 55 = 0 y

cuyo centro es el de la circunferencia x2 + y2 – 8x – 4y = 0

9. Halle la ecuación de la circunferencia que pasa por (7, –5) y es tangente a la recta

x – y – 4 = 0 en el punto (3, –3)

10. Demuestre que las circunferencias C1: x2 + y2 + 2y + 4x = 0 y x2 + y2 + 2x + 4y

= 0, se cortan ortogonalmente

C. BLOQUE III

1. Una circunferencia de radio 2√ 2 tiene su centro en la recta 4x + 3y = 2 y es

tangente a la recta x + y = –4


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(

PRE

CALCULO

II

)

2. Si el punto (8 + √ 3 , 7) satisface la ecuación de la circunferencia x2 + y2 – 16x –

12y + 96 = 0, halle la pendiente de la recta tangente que pasa por ese punto

3. Determine el valor de k para que la recta 2x + 3y + k = 0, sea tangente a C: x2 +

y

2

+ 6x + 4y = 04. Halle las ecuaciones de las rectas tangentes a x2 + y2 – 4x + 2y = 0

perpendiculares a x + 2y = 1

5.

Halle la ecuación de la recta tangente a x2 + y2 – 4x – 6y = 12, en el punto (–2, 6).

6. Desde el punto A(k, –2) con k < 0, se trazan rectas tangentes a la circunferencia C:

x2 + y2 – 2x – 1 = 0. Hallar las ecuaciones de las recta tangentes

7. Halle la ecuación de la recta L que pasa por Q = (0, 9) y que es tangente a la

circunferencia C: x2 + y2 – 2x -4y = 20. Encuentre además el punto de tangencia

8. Halle la ecuación de la recta que pasa por la intersección de las rectas 2x – y + 5

= 0; x – y + 4 = 0 y que es perpendicular a la cuerda común a las

circunferencias x2 + y2 = 4y; x2 + y2 = 4x

9. Determine la ecuación del diámetro de la circunferencia x2 + y2 – 6x + 4y – 12 =

0 que bise a la cuerda cuya ecuación es 3y + x – 6 = 0

10. Un punto se desplaza de manera que el cuadrado de su distancia de la base de un

triángulo isósceles es siempre igual al producto de sus distancias de los otros dos

lados. Demuestre que el lugar geométrico de P es una circunferencia.





Demana, Waits, Foley, y Kennedy. (2007). Precálculo: Gráfico, numérico, algebraico.

Septima edición. México: Editorial Pearson. Barnett, Ziegler, Byleen y Sobecki. (2013). Precálculo. Septima edición. México: Mc

Graw Hill. Wooton W. et al. (1985). Geometría Analítica Moderna. Tercera reimpresión. México.


Link para Consultar

http://www.profesorenlinea.cl/geometria/Geometria_analitica.html

https://aula.tareasplus.com/Juan-Jose-Ortiz/Geometria-Analitica http://www.eduteka.org/gestorp/recUp/83887762e3c8bc9abee4804f0bb46141.pdf


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PRÁCTICA DE MATEMÁTICA N° 06Geometría Vectorial(Tema: La Parábola)



1) Una ________ es la intersección de un plano y un cono de doble rama.

2) Cuando un plano pasa por el vértice de un cono de doble rama, la intersección es

una __________.

3) Un conjunto de puntos que satisfacen una propiedad geométrica también se pueden

citar como un ________ de puntos.

4)

Una ________ se define como el conjunto de todos los puntos en un plano que están

equidistantes desde una recta fija, llamada ________, y un punto fijo, llamado

________, que no está en la recta.

5) La recta que pasa por el foco y el vértice de una parábola recibe el nombre de

________ de la parábola.

6) El ________ de una parábola es el punto medio entre el foco y la directriz.

7)

Un segmento de recta que pasa por el foco de una parábola y tiene puntos extremos

en la parábola es un ________ ________ .

8) Una recta es ________ a una parábola en un punto sobre la parábola si la recta

toca pero no corta la parábola en el punto.

9) En los ejercicios, encuentre la forma estándar de la ecuación de la parábola con

la(s) característica(s) dada(s) y vértice en el origen.

i)

Foco: (0, 1/2) v) Eje vertical y pasa por el punto (4, 6)

ii)

Foco: (–2, 0) vi) Eje vertical y pasa por el punto (–3, –3)

iii) Directriz: y = 1 vii) Eje horizontal y pasa por el punto (–2, 5)

iv) Directriz: y = –2 viii) Eje horizontal y pasa por el punto (3, –2)

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CALCULO

II

)

B. Bloque II

1. En los ejercicios, encuentre el vértice, foco y directriz de la parábola y trace su gráfica.

i)

iv) 5 1 0

ii) 6 v)

2 33

iii) 1 8 2 0 vi) 6 8 25 0 2. En los ejercicios, encuentre el vértice, foco y directriz dela parábola. Use una

calculadora de gráficas para graficar la parábola. i) x2 + 4x + 6y – 2 = 0 iii) x2 – 2x + 8y + 9 = 0ii) y2 + x + y = 0 iv) y2 – 4x – 4 = 0

3. En los ejercicios, encuentre la forma estándar de la ecuación de la parábola con lascaracterísticas dadas. i) Vértice: (4, 3); Foco: (6, 3)ii) Vértice: (–1, 2); Foco: (–1, 0)

iii)

Vértice: (0, 2); directriz: y = 4iv) Foco: (2, 2); Directriz: x = –2

4. En los ejercicios, se dan las ecuaciones de una parábola y una recta tangente a ella.Use una calculadora de gráficas para graficar ambas ecuaciones en la misma pantalla.

Determine las coordenadas del punto de tangencia. Parábola Recta tangente

i) y2 – 8x = 0 x – y + 2 = 0ii) x2 + 12y = 0 x + y – 3 = 0

5. En los ejercicios, encuentre una ecuación de la recta tangente a la parábola en el punto

dado y encuentre la intersección de la recta con el eje X. i) x2 = 2y; (4, 8) iii) x2 = 2y; (–3, 9/2)ii) y = – 2x2; (–1, –2) iv) y = –2x2; (2, –8)

C. Bloque III

1. El ingreso R (en dólares) generado por la venta de x unidades de un conjunto de

muebles para patio está dado por

106 45

14 045

Use una calculadora de gráficas para graficar la función y aproximar el número de

ventas que maximizarán el ingreso.

2. Cada uno de los cables del puente Golden Gate está suspendido (en forma de

parábola) entre dos torres que están a 1280 metros entre sí. Lo alto de cada una de

las torres está 152 metros sobre la calzada. Los cables tocan la calzada a medio

camino entre las torres.


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MATERIAL

DE

TRABAJO

(

PRE

CALCULO

II

)

(a) Haga un bosquejo del puente. Localice el origen de un sistema de coordenadas

rectangulares en el centro de la calzada. Marque las coordenadas de los puntos

conocidos.

(b) Escriba una ecuación que modele los cables.

(c) Complete la tabla al hallar la altura y de los cables de suspensión sobre la

calzada a una distancia de x metros del centro del puente.

3. El receptor satelital de una antena parabólica

está a 4.5 pies del vértice y se encuentra en el

foco (vea figura). Escriba una ecuación para una

sección transversal del reflector. (Suponga que el

disco está dirigido hacia arriba y el vértice está

en el origen.)

4. Es frecuente que las carreteras estén

diseñadas con superficies parabólicas para

permitir que la lluvia se escurra hacia fuera.

Una carretera particular que mide 32 pies de

ancho está 0.4 pies más alta en el centro que

en sus costados (vea figura).

5. Una viga simple de soporte mide 12 metros

de largo y tiene una carga en el centro (vea

figura). El torcimiento de la viga en sucentro es 2 centímetros. Suponga que la

forma de la viga torcida es parabólica.

(a) Escriba una ecuación de la parábola. (Suponga que el origen está en el centro

de la viga torcida.)

(b) ¿A qué distancia del centro de la viga es de 1 centímetro el torcimiento?

6. Sale agua de un tubo horizontal que está a 48 pies sobre el

suelo. El chorro de agua que cae tiene la forma de una


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MATERIAL

DE

TRABAJO

(

PRE

CALCULO

II

)

parábola cuyo vértice está en el extremo del tubo (vea figura). El chorro de agua

cae al suelo en el punto (10√ 3 , 0). Encuentre la ecuación de la trayectoria tomada

por el agua.

7.

Un arco parabólico de malla mide 16 pies de alto en elvértice. A una altura de 6 pies, el ancho del arco mide 4 pies

(vea figura). ¿Qué tan ancho es el arco de malla al nivel del

suelo?

8. La trayectoria de una pelota de futbol está modelada por –

12.5 (y – 7.125) = (x – 6.25)2 donde las coordenadas x y y se miden en pies, con x =

0 correspondiente a la posición desde la cual se lanza la pelota.

(a) Use una calculadora de gráficas para graficar la trayectoria de la pelota de

futbol.

(b) Use la calculadora de gráficas para aproximar el punto más elevado y el

alcance de la trayectoria.

9. Un satélite en una órbita circular de 100 millas

de altura alrededor de la Tierra tiene una

velocidad de aproximadamente 17 500 millas por

hora. Si esta velocidad se multiplica por √ 2 , el

satélite tendrá la velocidad mínima necesaria

para escapar de la gravedad de la Tierra y

seguirá una trayectoria parabólica con el centro

de la misma como el foco (vea figura).

a) Halle la velocidad de escape del satélite.

b) Halle una ecuación del trayecto parabólico del satélite (suponga que el radio de

la Tierra es de 4000 millas).






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MATERIAL

DE

TRABAJO

(

PRE

CALCULO

II

)





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PRÁCTICA DE MATEMÁTICA N° 07Geometría Vectorial(Tema: La Elipse)



Llene los espacios en blanco.

1. Una ________ es el conjunto de todos los puntos de un plano, cuya suma de las

distancias desde dos puntos fijos distintos, llamados ________, es constante.

2. La cuerda que une los vértices de una elipse se llama ________ ________, y su

punto medio es el ________ de la elipse.

3.

La cuerda perpendicular al eje mayor en el centro de la elipse se llama ________ ________ de la elipse.

4. El concepto de ________ se usa para medir lo oval de una elipse.

5. En los ejercicios, encuentre la forma estándar de la ecuación de la elipse con

las características dadas y centro en el origen.

i) Vértices: (± 7, 0); Focos: (± 2, 0)

ii)

Vértices: (0, ± 8); Focos: (0, ± 4)

iii) Focos: (± 5, 0); eje mayor de longitud 14

iv) Focos: (± 2, 0); eje mayor de longitud 10

v) Vértices: ( 0, ± 5); pasa por el punto (4, 2)

vi) Eje mayor vertical; pasa por los puntos (0, 6) y (3, 0)

B. Bloque II

1.

En los ejercicios, encuentre la forma estándar de la ecuación de la elipse con

las características dadas.

i) Vértices: (0, 2); (8, 2); eje menor de longitud 2

ii) Focos: (0, 0); (4, 0); eje mayo de longitud 6

Sección : …………………………..………………………...

Docente : …………………………………………………….


Apellidos : …………………………..………………………….

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MATERIAL

DE

TRABAJO

(

PRE

CALCULO

II

)

iii) Centro: (2, –1); vértice: (2, 1/2); eje menor de longitud 12

iv) Centro: (0, 4); a = 2c; vértices: (–4, 4); (4, 4)

v) Centro: (3, 2); a = 3c; focos: (1, 2); (5, 2)

vi)

Vértices: (0, 2); (4, 2); puntos extremos del eje menor: (2, 3) y (2, 1)

2. En los ejercicios, identifique la cónica como una circunferencia o una elipse. A

continuación, encuentre el centro, radio, vértices, focos y excentricidad de la cónica

(si es aplicable) y trace su gráfica.

i)

1 vi)

1

ii)

1 vii)

1

iii)

1 viii)

1

1

iv)

1 ix) 3x2 + y2 + 18x – 10y +2 = 0

v)

1 x) x2 + 4y2 – 6x + 20y – 2 = 0

3. En los ejercicios, encuentre la excentricidad de la elipse.

i)

1 iii)

1

ii) 9 10 36 52 0 iv) 4 3 8 18 19 0

4.

Encuentre una ecuación de la elipse con vértice (± 5, 0) y excentricidad e = 3/5.5. Encuentre una ecuación de la elipse con vértice (0, ± 8) y excentricidad e = 1/2.

C. Bloque III

1. Un arco semielíptico sobre un túnel, para una carretera de circulación en un solo

sentido y que atraviesa una montaña tiene un eje mayor de 50 pies y una altura de

10 pies en el centro.

(a) Haga un bosquejo de un sistema de coordenadas rectangulares del túnel, con el

centro de la carretera entrando al túnel en el origen. Identifique las coordenadas delos puntos conocidos.

(b) Encuentre una ecuación del arco semielíptico.

(c) Usted está conduciendo un camión en movimiento que tiene un ancho de 8 pies y

una altura de 9 pies. ¿El camión librará la abertura del arco?

2. El cometa Halley tiene una órbita elíptica con el Sol en un foco. La excentricidad

de la órbita es aproximadamente 0.967 y la longitud del eje mayor de la órbita es

alrededor de 35.88 unidades astronómicas. (Una unidad astronómica es de unos 93millones de millas.)


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DE

TRABAJO

(

PRE

CALCULO

II

)

a) Encuentre una ecuación de la órbita. Ponga el centro de ésta en el origen y el

eje mayor sobre el eje X.

b) Use una calculadora de gráficas para graficar la ecuación de la órbita.

c)

Encuentre la distancia máxima (afelio) y la mínima (perifelio) desde el centro

del Sol al del cometa.

3. El primer satélite artificial en orbitar la

Tierra fue el Sputnik I (lanzado por la ex

Unión Soviética en 1957). Su punto más

alto sobre la superficie terrestre era de

947 kilómetros y su punto más bajo de 228

kilómetros (vea figura). El centro de la Tierra estaba en un foco de la órbita

elíptica y el radio de nuestro planeta es de 6378 kilómetros. Encuentre la

excentricidad de la órbita.

4.

La relación entre la velocidad (en radianes por segundo) de un péndulo y su

desplazamiento angular desde la vertical puede ser modelada por una semielipse.

Un péndulo de 12 centímetros alcanza su altura máxima (y = 0) cuando el

desplazamiento angular es –0.2 radianes y 0.2 radianes. Cuando el péndulo está

en equilibrio ( = 0) la velocidad es –1.6 radianes por segundo.

a)

Encuentre una ecuación que modele el movimiento del péndulo. Ponga el centro

en el origen.

b) Grafique la ecuación del inciso (a).

c) ¿Cuál mitad de la elipse modela el movimiento del péndulo?

5. Un segmento de recta que pasa por un foco de una

elipse con puntos extremos en la elipse y

perpendicular al eje mayor se llama lado recto de la

elipse. Por tanto, una elipse tiene dos lados rectos.

Conocer la longitud de los lados rectos es útil para

trazar una elipse porque da otros puntos sobre la

curva (vea figura). Demuestre que la longitud de cada

lado


Larson R, Edwards B.H (2012). Calculo de una Variable. Novena edición. México: Mc

Graw Hill


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DE

TRABAJO

(

PRE

CALCULO

II

)



Demana, Waits, Foley, y Kennedy. (2007). Precálculo: Gráfico, numérico, algebraico.

Septima edición. México: Editorial Pearson. Barnett, Ziegler, Byleen y Sobecki. (2013). Precálculo. Septima edición. México: Mc

Graw Hill. Wooton W. et al. (1985). Geometría Analítica Moderna. Tercera reimpresión. México.


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(Tema: La Hipérbola)




1. Una ________ es el conjunto de todos los puntos en un plano, cuya diferencia de

las distancias desde dos puntos fijos distintos, llamados ________, es una constante

positiva.

2. La gráfica de una hipérbola tiene dos partes desconectadas llamadas ________.

3.

El segmento de recta que enlaza los vértices de una hipérbola se denomina

________ ________, y el punto medio del segmento de recta es el ________ de la

hipérbola.

4. Cada hipérbola tiene dos ________ que se intersecan en el centro de la hipérbola.

5. En los ejercicios, encuentre el centro, vértices, focos y las ecuaciones de las

asíntotas de la hipérbola y trace su gráfica usando estas últimas como ayuda.

i)

x2 – y2 = 1 v) x2 – 9y2 + 36y – 72 = 0

ii)

1 vi) 9x

2 – y2 – 36x – 6y + 18 = 0

iii)

1 vii) x2

– 9y2

+ 2x – 54y – 80 = 0

iv)

1 viii)16y2 – x2 + 2x + 64y + 63 = 0

B. Bloque II

1. En los ejercicios, encuentre el centro, vértices, focos y las ecuaciones de las

asíntotas de la hipérbola. Use una calculadora de gráficas para graficar la

hipérbola y sus asíntotas.

i) 2x2 – 3y2 = 6 iv) 25x2 – 4y2 = 100

ii)

6y2 – 3x2 = 18 v) 9y2 – x2 + 2x + 54y + 62 = 0

Sección : …………………………..………………………...

Docente : …………………………………………………….


Apellidos : …………………………..………………………….

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MATERIAL

DE

TRABAJO

(

PRE

CALCULO

II

)

iii) 4x2 – 9y2 = 36 vi) 9x2 – y2 + 54x + 10y + 55 = 0

2. En los ejercicios, encuentre la forma estándar de la ecuación de la hipérbola con

las características dadas y centro en el origen.

i) Vértices: (0, ± 2); Focos: (0, ± 4)ii)

Vértices: (± 1, 0); asíntotas: y ± 5xiii)

Vértices: (0, ± 3); asíntotas: y = ± 3xiv)

Focos: (0, ± 8); asíntotas: y = ± 4xv)

Focos: (± 10, 0); asíntotas: y = ± 3x/43. En los ejercicios, encuentre la forma estándar de la ecuación de la hipérbola con


i) Vértices: (2, 0) y (6, 0); Focos: (0, 0) y (8, 0)

ii) Vértices: (2, 3) y (2, –3); Focos: (2, 6) y ( 2, –6)

iii)

Vértices: (4, 1) y (4, 9); Focos: (4, 0) y ( 4, 10)

iv) Vértices: (–2, 1) y ( 2, 1); Focos: (–3, 1) y (3, 1)

4. En los ejercicios, encuentre la forma estándar de la ecuación de la hipérbola con


i) Vértices: (2, 3) y (2, –3); pasa por el punto (0, 5)

ii) Vértices: (–2, 1) y ( 2, 1); pasa por el punto (5, 4)

iii) Vértices: (1, 2) y (3, 2); asíntotas: y = x, y = 4 – x

iv)

Vértices: (3, 0) y (3, 6); asíntotas: y = 6 – x, y = x5. En los ejercicios, escriba la forma estándar de la ecuación de la hipérbola.


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MATERIAL

DE

TRABAJO

(

PRE

CALCULO

II

)

C. Bloque III

1. Una escultura tiene sección transversal hiperbólica (vea

figura).

a. Escriba una ecuación que modele los lados curvos

de la escultura.

b. Cada unidad del plano coordenado representa 1 pie.

Encuentre el ancho de la escultura a una altura de 5

pies.

2. Usted y uno de sus amigos viven a 4 millas entre sí (en la misma calle “este oeste”)

y están hablando por teléfono. Usted escucha el trueno de un rayo de una tormenta

y, 18 segundos más tarde, su amigo lo oye. Encuentre una ecuación que dé los

posibles lugares donde el rayo pudo haber caído. (Suponga que el sistema de

coordenadas se mide en pies y que el sonido viaja a 1100 pies por segundo.)

3. Tres estaciones de escucha situadas en (3300, 0), (3300, 1100) y (–3300, 0) vigilan

una explosión. Las dos últimas estaciones detectan la explosión 1 segundo y 4

segundos después de la primera, respectivamente. Determine las coordenadas de la

explosión. (Suponga que el sistema de coordenadas se mide en pies y que el sonido

viaja a 1100 pies por segundo.)

4. La radionavegación a larga distancia para aviones y barcas utiliza pulsos

sincronizados transmitidos por

estaciones muy separadas entre sí.

Estos pulsos viajan a la velocidad

de la luz (186 000 millas por

segundo). La diferencia en los

tiempos de llegada de estos pulsosen un avión o barco es constante en

una hipérbola que tiene las estaciones transmisores como focos. Suponga que dos

estaciones, situadas a 300 millas entre sí, están ubicadas en el sistema de

coordenadas rectangulares en puntos con coordenadas (–150, 0) y (150, 0) y que un

barco está viajando sobre una trayectoria hiperbólica con coordenadas (x, 75) (vea

figura).


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TRABAJO

(

PRE

CALCULO

II

)

a) Encuentre la coordenada x de la posición del barco si la diferencia en tiempo

entre los pulsos desde las estaciones transmisoras es 1000 microsegundos

(0.001 de segundo).

b)

Determine la distancia entre el barco y la estación 1 cuando el barco llegue a la

orilla.

c) El barco desea entrar a una bahía localizada entre las dos estaciones. La bahía

está a 30 millas de la estación 1. ¿Cuál debe ser la diferencia en tiempo entre

los pulsos?

d) El barco está a 60 millas frente a la costa cuando se obtiene la diferencia en

tiempo del inciso (c). ¿Cuál es la posición del barco?

5. La base para el péndulo de un reloj tiene forma de hipérbola (vea

figura).

a) Escriba una ecuación de la sección transversal de la base.

b)

Cada unidad del plano de coordenadas representa 1/2 pie.

Encuentre el ancho de la base del péndulo a 4 pulgadas del inciso más baja.

6. ¿VERDADERO O FALSO? En los Ejercicios 73-76, determine si la proposición es

verdadera o falsa. Justifique su respuesta.

a) En la forma estándar de la ecuación de una hipérbola, cuanto más grande es

la razón entre b y a, mayor es la excentricidad de la hipérbola.

b) En la forma estándar de la ecuación de una hipérbola, la solución trivial de

dos rectas que se intersecan se presenta cuando b = 0.

c) Si D ≠ 0 y E ≠ 0, la gráfica de x2 – y2 + Dx + Ey = 0 es una hipérbola.

d) Si las asíntotas de la hipérbola

1 , donde a, b > 0, se cortan en

ángulos rectos, entonces a = b.

7.

Considere una hipérbola centrada en el origen con un eje transverso horizontal.

Use la definición de una hipérbola para deducir su forma estándar.






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(

PRE

CALCULO

II

)





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(Tema: Transformaciones de Coordenadas)




1. El procedimiento empleado para eliminar el término en xy de una ecuación general

de segundo grado se llama ________ de ________.

2. Después de rotar los ejes de coordenadas en un ángulo la ecuación general de

segundo grado del nuevo plano tendrá la forma ________.

3.

Las cantidades que son iguales en la ecuación original de una cónica y la ecuación

de la cónica girada son ________ ________ ________.

4. La cantidad se llama ________ de la ecuación

5. En los ejercicios, el sistema de coordenadas x´y´ ha sido girado grados del sistema

de coordenadas xy. Se dan las coordenadas de un punto del sistema de coordenadas

xy. Encuentre las coordenadas del punto del sistema de coordenadas girado.

i. = 90°; (0, 3) iii) = 45°; (4, 4)

ii. = 30°; (1, 3) iv) = 60°; (3, 1)

6. En los Ejercicios 13-26, gire los ejes para eliminar el término en xy de la ecuación.

A continuación escriba la ecuación en forma estándar. Trace la gráfica de la

ecuación resultante, mostrando ambos conjuntos de ejes.

i. xy + 1 = 0 v) 5x2 – 6xy + 5y2 – 12 = 0

ii. x2 – 2xy + y2 – 1 = 0 vi) 3x2 – 2√ 3 xy + y2 + 2x + 2√ 3 y = 0iii. xy + 2x – y + 4 = 0 vii) 16x2 – 24xy + 9y2 – 60x – 80y + 100 = 0

iv. xy – 8x – 4y = 0 viii) 9x2 + 24xy + 16y2 + 80x – 60y = 0

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B. Bloque II

1. En los ejercicios, use una calculadora de gráficas para graficar la cónica.

Determine el ángulo en que los ejes son girados. Explique la forma en que usó lacalculadora de gráficas para obtener la gráfica

i.

x2 + 2xy + y2 = 20ii. x2 – 4xy + 2y2 = 6

iii. 40x2 + 36xy + 25y2 = 52

iv. 7x2 – 2√ 3 xy + 5y2 = 16v. 4x2 – 12xy + 9y2 + 4√ 13 12 6√ 13 8 91

2. En los ejercicios, relacione la gráfica con su ecuación. [Las gráficas están marcadas(a), (b), (c), (d), (e) y (f).]

3. En los ejercicios, (a) use el discriminante para clasificar la gráfica, (b) use la fórmula cuadrática para despejar y y (c) use una calculadora de gráficas para graficar la ecuación.a) 16x2 – 8xy + y2 – 10x + 5y = 0b)

x2 – 4xy – 2y2 – 6 = 0c) 12x2 – 6xy + 7y2 – 45 = 0d) 2x2 + 4xy + 5y2 + 3x – 4y – 20 = 0e) 36x2 – 60xy + 25y2 + 9y = 0

4. En los ejercicios, trace (si es posible) la gráfica de la cónica degenerada.a) y2 – 16x2 = 0b) x2 + y2 – 2x + 6y + 10 = 0c) x2 – 2xy + y2 = 0d) 5x2 – 2xy + 5y2 = 0

e)

x2 + 2xy + y2 – 1 = 0 f) x2 – 10xy + y2 = 0

i) xy + 2 = 0ii) x2 + 2xy + y2 = 0iii)

–2x2 + 3xy + 2y2 + 3 = 0iv) x2 – xy + 3y2 – 5 = 0v) 3x2 + 2xy + y2 – 10 = 0vi) x2 – 4xy + 4y2 + 10x – 30 = 0


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(

PRE

CALCULO

II

)

5. En los ejercicios, encuentre gráficamente cualesquier puntos de intersección de las gráficas y luego verifique usan do una calculadora de gráficas.a) – x2 + y2 + 4x – 6y + 4 = 0 y x2 + y2 – 4x – 6y + 12 = 0b) – x2 – y2 – 8x + 20y – 7 = 0 y x2 + 9y2 + 8x + 4y + 7 = 0c) –4x2 – y2 – 16x + 24y – 16 = 0 y 4x2 + y2 + 40x – 24y + 208 = 0








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(Tema: Ecuaciones Paramétricas)




1. Si f y g son funciones continuas de ten un intervalo I, el conjunto de pares

ordenados es una ________ ________ C.

2. La ________ de una curva es la dirección en la que la curva es trazada al aumentar

valores del parámetro.

3. El proceso de convertir un conjunto de ecuaciones paramétricas en una ecuación

rectangular correspondiente se denomina ________ la ________.

4. Una curva trazada por un punto sobre la circunferencia de un círculo cuando el

círculo gira a lo largo de una recta en un plano se llama ________.

5.

Considere las ecuaciones paramétricas x = √ y y = 3 – ta)

Genere una tabla de valores x y y usando t = 0, 1, 2, 3 y 4

b)

Grafique los puntos (x, y) generados en el inciso (a) y trece una gráfica de las

ecuaciones paramétricas

c) Encuentre la ecuación rectangular eliminando el parámetro. Trace su gráfica.

¿Cómo difieren las gráficas?

6.

En los ejercicios, (a) trace la curva representada por las ecuaciones paramétricas

(indique la orientación de la curva) y (b) elimine el parámetro y escriba la

ecuación rectangular correspondiente cuya gráfica representa la curva. Ajusteel dominio de la ecuación rectangular resultante si es necesario.

a)

x = t – 1; y = 3t + 1

b) x = 3 – 2t; y = 2 + 3t

c) x = √ y y = 1 – td) x = 2(t + 1) y y = | t – 2|

7. En los ejercicios, determine cómo difieren entre sí las curvas planas.

a) x = t; y = 2t + 1

b)

x = Cos ; y = 2Cos + 1

c)

x = ; y = 2 1 d) ; 2 1

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II

)

8. En los ejercicios, elimine el parámetro y obtenga la forma estándar de la ecuaciónrectangulara) Recta que pasa por (x1 , y1 ) y (x2 , y2 ): x = x1 + t(x2 – x1 ), y = y1 + t(y2 – y1 )

b) Circunferencia: x = h + r Cos ; y = k + r Sen

c)

Elipse: x = h +a Cos

; y = k + b Sen

d) Hiperbola: x = h + aSec ; y = k + b Tan

B. Bloque II 1. En los ejercicios, encuentre un conjunto de ecuaciones paramétricas para la ecuación

rectangular usando (a) t = x y (b) t = 2 – xa) y = 3x – 2 iii) x = 3y – 2b) y = 2 – x iv) y = 1 – 2x2

2. En los Ejercicios 49-56, use una calculadora de gráficas para graficar la curvarepresentada por las ecuaciones paramétricas.

a)

Cicloide: x = 4( – Sen ); y = 4(1 – Cos )

b) Cicloide: x = + Sen ; y = 1 – Cos

c) Cicloide alargada: x = - (3/2)Sen ; y = 1 – (3/2)Cos

d) Hipocicloide: x = 3Cos3 ; y = 3Sen3

e) Bruja de Agnesi: x = 2Ctg ; y = 2Sen2

C. Bloque III 1. Un proyectil es lanzado a una altura de h pies sobre el terreno formando un ángulo

con la horizontal. La velocidad inicial es vo pies por segundo y la trayectoria estámodelada por las ecuaciones paramétricas

x = (vo Cos )t y y = h + (vo Sen )t – 16t 2

En los ejercicios, use una calculadora de gráficas para graficar las trayectorias de

un proyectil lanzado desde el nivel del suelo en cada valor de y vo. Para cada

caso, use la gráfica para aproximar la altura máxima y el alcance del proyectil.

a) = 60°; vo = 88 pies por segundo.

b)

= 60°; vo = 132 pies por segundo.c)

= 45°; vo = 88 pies por segundo.

d) = 45°; vo = 132 pies por segundo.

2. La barda del jardín central del

estadio de los Yanquis mide 7 pies

de alto y está a 408 pies de la placa

de home o pentágono. Una pelota es

golpeada por el bate en un punto a 3


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CALCULO

II

)

pies sobre el suelo. Pierde con tacto con el bate a un ángulo de grados con la

horizontal y con una rapidez de 100 millas por hora (vea figura).

a) Escriba un conjunto de ecuaciones paramétricas que modelen la trayectoria de la

pelota.

b) Use una calculadora de gráficas para graficar la trayectoria de la pelota cuando

= 15°. ¿El imparable es un cuadrangular?

c) Use una calculadora de gráficas para graficar la trayectoria de la pelota cuando

= 23° ¿El imparable es un cuadrangular?

d) Encuentre el ángulo mínimo requerido para que el imparable sea cuadrangular.

3. Un arquero dispara una flecha desde un arco en un punto a 5 pies sobre el suelo.

La flecha sale del arco a un ángulo de 15° respecto a la horizontal y con una

rapidez inicial de 225 pies por segundo.

a. Escriba un conjunto de ecuaciones paramétricas que modele la trayectoria de la

flecha.

b. Suponiendo que el suelo esté nivelado, encuentre la distancia que la flecha

recorre antes de caer al suelo. (Ignore la resistencia del aire.)

c. Use una calculadora de gráficas para graficar la trayectoria de la flecha y

aproxime su máxima altura.

d. Encuentre el tiempo total que la flecha está en el aire.

4.

Elimine el parámetro t de las ecuaciones paramétricas

16

para que el movimiento de un proyectil muestre que la ecuación rectangular es

16

5. EPICICLOIDE: Un círculo de radio unitario rueda

alrededor del exterior de un círculo de dos unidades de

radio sin deslizarse. La curva trazada por un punto sobre

la circunferencia del círculo menor se denomina

epicicloide (vea figura). Use el ángulo mostrado en la

figura para hallar un conjunto de ecuaciones

paramétricas para la curva.


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CALCULO

II

)

6. CICLOIDE ACORTADA: Una llanta

de radio a unidades rueda a lo largo de

una recta sin deslizarse. La curva

trazada por un punto P que está a b

unidades del centro (b < a) se

denomina cicloide acortada (vea

figura). Use el ángulo mostrado en la figura para hallar un conjunto de

ecuaciones paramétricas para la curva.

7. ¿Verdadero o falso? En los ejercicios, determine si la proposición es verdadera o

falsa. Justifique su respuesta.

a) Los dos conjuntos de ecuaciones paramétricas x = t, y = t 2 + 1 y x = 3t,

y = 9t 2 + 1 tienen la misma ecuación rectangular.

b) Si y es una función de t y x es función de t, entonces y debe ser una función de

x.








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(Tema: Coordenadas Polares)




1. El origen del sistema de coordenadas polares se llama ______.

2. Para el punto (r, ) es la _________ ________ de O a P y es el _______

_________. en sentido contrario al giro de las manecillas de un reloj del eje polar

al segmento rectilíneo .3. Para determinar el punto use el sistema de coordenadas _________.

4. Las coordenadas polares están relacionadas con las coordenadas rectangulares

como sigue: x = _________ y = _________ Tan = ________ r 2 = _________

5. La gráfica de r = f(sen ) es simétrica respecto a la recta __________.

6.

La gráfica de r =g(cos ) es simétrica respecto a la _______ ________.

7. La ecuación r = 2 + cos representa una ________.

8. La ecuación r = 2 cos representa una ________.

9.

La ecuación r 2 = 4 sen2 representa una ________.

10.

La ecuación r = 1 + sen

representa una ________.11. En los ejercicios, determine el punto dado en coordenadas polares y encuentre dos

representaciones polares adicionales del punto, usando –2π < < 2π

a) 2, d) 1,

b) 4, e) 3,

c) 3, f) 2√ 2,4.71

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II

)

12. En los ejercicios, use una calculadora de gráficas para hallar las coordenadas

rectangulares del punto dado en coordenadas polares. Redondee sus resultados a

dos lugares decimales

a) (2, 2π /9) c) (4, 11π /9)

b) (–4.5, 1.3) d) (5.4, 2.85)

13. En los ejercicios, se da un punto en coordenadas rectangulares. Conviértalo a

coordenadas polares.

a) (1, 1) c) (3, 0)

b) (–3, –3) d) (0, 5)

B. Bloque II

1. En los ejercicios, use una calculadora de gráficas para hallar un conjunto de

coordenadas polares para el punto dado en coordenadas rectangulares.

a) (3, –2) d) (–4, –2)

b)

(–5, 2) e) (7, –7)

2. En los ejercicios, convierta la ecuación rectangular a forma polar. Suponga que

a > 0

a) x = 10 d) 3x + 5y – 2 = 0

b) 3x – y + 2 = 0 e) (x2 + y2 ) = 9(x2 – y2 )

c)

xy = 16 f) x2 + y2 – 2ax = 0

3. En los ejercicios, convierta la ecuación polar a forma rectangular.

a) r = 4 sen e) r 2 = 2 sen

b) r = –2 cos f) r 2 = sen2

c) r = 4cosec g)

d) r = –3 sec h)

4.

En los ejercicios, describa la gráfica de la ecuación polar y encuentre lacorrespondiente ecuación rectangular. Trace su gráfica.

a) r = 6 d) r = 4 cos

b) r = 2 sen e) r = –3 sen

c)

r = –6 cos f) r = 2 cosec

5. En los ejercicios, pruebe la simetría respecto a = π /2 el eje polar y el polo.

a) r = 4 + 3 cos c) r 2 = 36 cos2

b)

d) r = 9 cos3


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CALCULO

II

)

6. En los ejercicios, trace la gráfica de la ecuación polar usando simetría, ceros,

valores máximos der y cualesquier otros puntos adicionales.

a)

r = 3(1 – cos ) d) r = 4 – 3 sen

b)

r = 3 + 6 sen

e) r = 2 – 4 cos

c)

f) r = 4 + 3 cos

7. En los ejercicios, escriba la ecuación polar de la cónica para e = 1, e = 0.5 y e =

1.5. Identifique la cónica para cada ecuación. Verifique sus respuestas con una

calculadora de gráficas.

a)

b)

8. En los ejercicios, identifique la cónica y trace su gráfica

a)

b)

b)

c)

9. En los ejercicios, encuentre una ecuación polar de la cónica con su foco en el polo.

Cónica Excentricidad Directriz

Parábola e = 1 x = –1

Elipse e = ½ y = 1

Hipérbola e = 3/2 x = –1

C. Bloque III

1. El planeta se desplaza en órbitas

elípticas con el Sol en un foco. Suponga

que el foco está en el polo, el eje mayor

se encuentra sobre el eje polar y la

longitud del eje mayor es 2a (vea

figura). Demuestre que la ecuación polar de la órbita es

r = a(1 – e2 )/(1 – e cos ) donde e es la excentricidad.

2. Use el resultado del ejercicio anterior para demostrar que la distancia mínima

(distancia del perihelio) del Sol al planeta es r = a(1 – e) y que la distancia

máxima (distancia del afelio) es r = a (1 + e)

3. En los ejercicios, use los resultados de los ejercicios anteriores para hallar la

ecuación polar de la órbita del planeta, así como las distancias del perihelio y el

afelio

a)

Tierra a = 95.956 x 106 millas, e = 0.0167


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b) Saturno a = 1.427 x 109 kilómetros, e = 0.0542

c) Venus a = 108.209 x 106 kilómetros, e = 0.0068

4.

El cometa Encke tiene una órbita elíptica con una excentricidad de e ≈ 0.847. La

longitud del eje mayor de la órbita es aproximadamente 4.42 unidades

astronómicas. Encuentre una ecuación polar para la órbita. ¿Cuánto se acerca el

cometa al Sol?

5. Un satélite en una órbita circular de 100 millas de

altura alrededor de la Tierra tiene una velocidad de

alrededor de 17 500 millas por hora. Si esta

velocidad se multiplica por √ 2 , el satélite tendrá la

velocidad mínima necesaria para escapar de la

atracción gravitacional de la Tierra y seguirá una

trayectoria parabólica con el centro de la Tierra como foco (vea figura).

a) (a) Encuentre una ecuación polar de la trayectoria parabólica del satélite

(suponga que el radio de la Tierra es de 4000 millas).

b) Use una calculadora de gráficas para trazar la ecuación hallada en el inciso

anterior.

c)

Encuentre la distancia entre la superficie de la Tierra y el satélite cuando =

30°

d) Encuentre la distancia entre la superficie de la Tierra y el satélite cuando =

60°

6. El 7 de noviembre de 1963, los Estados

Unidos lanzaron el Explorer 18. Sus puntos

bajo y alto sobre la superficie terrestre fueron

118 millas y 122 800 millas, respectivamente.

El centro de la Tierra estaba en un foco de la

ó

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Texto Precalculo II