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TECSUP – PFR Resistencia de Materiales

189

UNIDAD VII

CCÍÍRRCCUULLOO DDEE MMOOHHRR YY CCRRIITTEERRIIOOSS DDEE FFAALLLLAA

1. CÍRCULO DE MOHR ESFUERZO PLANO

Las ecuaciones de transformación para el esfuerzo plano puedan representarse

en forma gráfica por medio de un trazado conocido como círculo de Mohr.

Esta representación gráfica es de gran utilidad porque permite visualizar las

relaciones entre los esfuerzos normales y cortantes que actúan sobre varios

planos inclinados en un punto de un cuerpo sometido a esfuerzos; sirve también

para calcular los esfuerzos principales, los esfuerzos cortantes máximos y los

esfuerzos en planos inclinados.

Además, el círculo de Mohr es válido no sólo para esfuerzos, sino también para

otras cantidades de naturaleza matemática similar, incluidas las deformaciones

unitarias y los momentos de inercia.

1.1. ECUACIONES DEL CÍRCULO DE MOHR

Las ecuaciones del círculo de Mohr pueden deducir de las ecuaciones de

transformación para el esfuerzo plano. Las dos ecuaciones se repiten aquí

pero con un pequeño reordenamiento de la primera expresión:

Ec. (7.1a)

Ec. (7.1b)

Por la geometría analítica, reconocemos que ambas son las ecuaciones de

un círculo en forma paramétrica, donde el ángulo 2 es el parámetro y

los esfuerzos 1x

y 11yx son las coordenadas.

En esta etapa no es necesario identificar la naturaleza de las ecuaciones;

si eliminamos el parámetro, el significado de las ecuaciones resultará

claro.

21

yx

x

=

22cos2

senxy

yx

11yx =

2cos22

xy

yxsen

Resistencia de Materiales TECSUP – PFR

190

Para suprimir el parámetro 2 , elevamos al cuadrado ambos lados de la

ecuación y luego sumamos ambas. El resultado es:

Ec. (7.2)

Luego:

Ec.(7.3a,b)

La ecuación (7.2) toma la forma:

22

111 yxpromx = R2

Ec. (7.4)

Que es la ecuación algebraica de un círculo. Las coordenadas son 1x

y

11yx , el radio es R y el centro del círculo tiene las coordenadas 1x

=

prom y 11yx = 0.

Figura 1

FIGURA 1: Dos formas del círculo de Mohr: (a) 11yx es positivo

hacia abajo y el ángulo 2 es positivo hacia en sentido antihorario, y (b)

11yx es positivo hacia arriba y el ángulo 2 es positivo en sentido horario

(Nota: en este libro se usa la primera forma).

2

2

111 2yx

yx

x

=

2

2

2xy

yx

prom = 2

yx R =

2

2

2xy

yx


191

1.2. DOS FORMAS DEL CÍRCULO MOHR

El círculo de Mohr puede trazarse a partir de las ecuaciones (7.1) y (7.4)

de dos maneras distintas. En la primera se traza el esfuerzo normal 1x

positivo hacia abajo, como se muestra en la figura 1. La ventaja de trazar

los esfuerzos cortantes positivos hacia abajo es que el ángulo 2 sobre el

círculo de Mohr es positivo en sentido antihorario, lo que concuerda con

la dirección positiva de 2 en la deducción de las ecuaciones de

transformación.

En la segunda forma del círculo de Morh, 11yx se traza positiva hacia

arriba pero el ángulo 2 ahora es positiva en sentido horario (Fig. 1b),

que es opuesto a su dirección positiva usual.

Ambas formas son matemáticamente correcta y cualquiera puede usarse;

pero, es más fácil visualizar la orientación del elemento de esfuerzo se la

dirección positiva del ángulo 2 es la misma en el círculo de Mohr y en el

elemento. Además, una rotación antihoraria concuerda con la regla usual

de la mano derecha para rotaciones.

Por lo tanto, optaremos por la primera forma del círculo de Mohr (Fig. 1a)

en la que el esfuerzo cortante positivo se traza hacia abajo y el ángulo

positivo 2 se traza en sentido antihorario.

1.3. CONSTRUCCIÓN DEL CÍRCULO DE MOHR

El círculo de Mohr puede construirse de varias maneras, dependiendo de

cuáles esfuerzos se conozcan y cuáles se desconozcan. Para nuestro

propósito inmediato, que es mostrar las propiedades básicas del círculo,

supongamos que conozcamos los esfuerzos x , y , y xy que actúan

sobre los planos x y y de un elemento en esfuerzo plano (Fig. 2a).

Como veremos, esta información es suficiente para construir el círculo.

Luego, con el círculo dibujado, podemos determinar los esfuerzos x , y

, y xy que actúan sobre un elemento inclinado (Fig. 2) También podemos

obtener los esfuerzos principales y los esfuerzos cortantes máximos con

ayuda del círculo.


192

Figura 2c

FIGURA 2: Construcción del círculo de Mohr para esfuerzo plano.

Con x , y , y xy conocidos, el procedimiento para construir el círculo

de Mohr como se muestra a continuación (Fig. 2 c):

Figura 2a

Figura 2b


193

1. Dibuje un conjunto de ejes coordenados con 1x

como abscisa

(positivo hacia la derecha) y 11yx como ordenada (positivo hacia

abajo).

2. Localice el centro C del círculo en el punto con coordenadas 1x

=

prom y 11yx = 0 observe las (vea las Ecs. 7.3a y 7.4).

3. Localice el punto A, que representa las condiciones de esfuerzo sobre

la cara x del elemento mostrado en la figura 2a, marcando sus

coordenadas 1x

= x y 11yx = xy . Note que el punto A corresponde

a = 0. Observe también que la cara x del elemento (Fig. 2a) está

marcada “A” para mostrar su correspondencia con el punto A sobre el

círculo.

4. Localice el punto B que represente las condiciones de esfuerzo sobre

la cara y del elemento mostrado en la figura 2a, trazando sus

coordenadas 1x

= y y 11yx = - xy . Note que el punto B sobre el

círculo corresponde a = 90º. Además, la cara y del elemento (Fig.

2a) está marcada “B” para mostrar su correspondencia con el punto

B en el diagrama.

5. Dibuje una línea del punto A al punto B. Esta línea es un diámetro del

círculo y pasa por el centro C. Los puntos A y B, que representan los

esfuerzos sobre el planos a 90º uno del otro (Fig. 2a), están en

extremos opuestos del diámetro (y, por lo tanto, están a 180º uno

del otro sobre el círculo).

6. Con el punto C como centro, trace el círculo de Mohr por los puntos A

y B. El círculo dibujado de esta manera tiene radio R (Ec. 7.3b), como

se expone en el siguiente párrafo.

Ahora que hemos dibujado el círculo, podemos confirmar por geometría

que las líneas CA y CB son radios y tienen longitudes iguales a R.

Notamos que las respectivas abscisas de los puntos C y A son ( yx

)/2 y x respectivamente.

La diferencia de estas abscisas es ( yx )/2, tal como están

dimensionadas en la figura. También la ordenada del punto A es xy ; por

lo tanto, la línea CA es la hipotenusa de un triángulo rectángulo que tiene

un lado de longitud ( yx )/2 y el otro lado de longitud xy . Extraemos

la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de esos dos lados y

obtenemos el radio R:


194

Que es la misma que la ecuación (7.3b). Por un procedimiento similar,

podemos mostrar que la longitud de la línea CB también es igual al radio

R del círculo.

1.4. ESFUERZOS SOBRE UN ELEMENTO INCLINADO

Consideremos ahora los esfuerzos 1x

, 1y y

11yx que actúan sobre las

caras de un elemento de esfuerzo plano orientado según un ángulo

respecto al eje x (Fig. 2b). Si se conoce el ángulo , estos esfuerzos

pueden determinarse con el círculo de Mohr. El procedimiento es el

siguiente.

Sobre el círculo (Fig. 2c), medimos un ángulo 2 en sentido antihorario

desde el radio CA, por que el punto A corresponde a = 0 y es el punto

de referencia desde donde medimos los ángulos.

El ángulo 2 localiza el punto D, que (según se expone en el párrafo

siguiente) tiene coordenadas 1x

y 11yx ; por lo tanto, el punto D sobre el

círculo, el cual representa los esfuerzos sobre la cara x 1 del elemento de

la figura 2b. En consecuencia, esta cara del elemento se marca “D” en la

figura.

Note que un ángulo 2 sobre el círculo de Mohr corresponde a un ángulo

sobre un elemento de esfuerzo; por ejemplo, el punto D sobre el

círculo está a un ángulo 2 del punto A, pero la cara x 1 del elemento

mostrado en la figura 2b (la marcada “D”) está a un ángulo de la cara

x del elemento ilustrado en la figura 2a (la cara marcada “A”).

De manera similar, los puntos A y B están separados 180º sobre el

círculo, pero las caras correspondientes del elemento (Fig. 2a) lo están

por 90º. Para demostrar que las ecuaciones de transformación de

esfuerzos dan las coordenadas 1x

y 11yx del punto D sobre el círculo,

usamos de nuevo la geometría del círculo.

R = 2

2

2xy

yx


195

Sea el ángulo entre la línea radial CD y el eje 1x

. Entonces, con base

en la geometría de la figura, obtenemos estas expresiones para las

coordenadas del punto D:

Ec. (114a,b)

Si observamos que el ángulo entre el radio CA y el eje horizontal es 2 +

, podemos obtener:

Desarrollamos las expresiones para el seno y el coseno:

(a)

(b)

Multiplicamos la primera de esas ecuaciones por cos 2 y la segunda por

sen 2 y sumamos, con lo que resulta:

(c)

También multiplicamos la ecuación (a) por sen 2 , la Ec. (b) por cos 2

y restamos, con lo que obtenemos:

(d)

Cuando estas expresiones para cos y sen se sustituyen en las

ecuaciones (7.4a) y (7.4b), obtenemos las ecuaciones de transformación

de esfuerzos para 1x

y 11yx . Así, hemos demostrado entonces que el

punto D sobre el círculo de Mohr, definido por el ángulo 2 , representa

las condiciones de esfuerzo sobre la cara x 1 del elemento de esfuerzo

definido por el ángulo (Fig. 2b).

1x =

cos

2R

yx

11yx = R sen

2cos = R

yx

2

2sen =

R

xy

sensen .2cos2cos = R

yx

2

sensen .2coscos2 = R

xy

cos =

22cos

2

1sen

Rxy

yx

sen =

2cos2

2

1xy

yxsen

R


196

El punto D’, que es diametralmente opuesto al punto D sobre el círculo,

se localiza por un ángulo 2 (medido desde la línea CA) que es 180º

mayor que el ángulo 2 al punto D; por lo tanto, el punto D’ sobre el

círculo representa los esfuerzos sobre un cara del elemento de esfuerzo

(Fig. 2b) a 90º de la cara representada por el punto D.

Así entonces, el punto D’ sobre el círculo de los esfuerzos 1y y

11yx

sobre la cara y 1 del elemento de esfuerzo (la cara marcada “D’” en la Fig.

2b).

De este análisis vemos cómo los esfuerzos representados por puntos

sobre el círculo de Mohr se relacionan con los esfuerzos que actúan sobre

un elemento. Los esfuerzos sobre un plano inclinado definido por el

ángulo (Fig. 2b) se encuentra sobre el círculo en el punto donde el

ángulo desde el punto de referencia (punto A) es 2 .

Entonces, conforme giramos los ejes x1y1 sentido antihorario un ángulo

(Fig. 2b), el punto sobre el círculo de Mohr correspondiente a la cara x1 se

mueve en sentido antihorario a través de un ángulo 2 . De manera

similar, si giramos los ejes en sentido horario, el punto sobre el círculo se

moverá también en sentido horario un ángulo dos veces mayor.

1.5. ESFUERZOS PRINCIPALES

Quizá la determinación de los esfuerzos principales sea la aplicación más

importante del círculo de Mohr. Note que el movernos alrededor del

círculo de Mohr (Fig. 2c), encontramos el punto P1 en donde el esfuerzo

normal alcanza su valor algebraico máximo y en donde el esfuerzo

cortante es cero; por consiguiente, el punto P1 representa un esfuerzo

principal y un plano principal.

La abscisa 1 del punto P1 da el esfuerzo principal algebraicamente

mayor y su ángulo 2 P 1 desde el punto de referencia A (donde = 0)

proporciona la orientación del plano principal. El otro plano principal, está

representado por el punto P2, diametralmente opuesto al punto P1.

Por la geometría del círculo, vemos que el esfuerzo principal más grande

en términos algebraicos es:

1 = OC + 1CP =

Ryx

2

1


197

Que, al sustituir la expresión para P (Ec. 7.3b), concuerda con la ecuación

previa para este esfuerzo. De manera similar, podemos comprobar la

expresión para el esfuerzo principal 2 algebraicamente menor.

El ángulo principal 1P entre el eje x (Fig. 2a) y el plano del esfuerzo

principal algebraicamente mayor es la mitad del ángulo 2 P 1, que es el

ángulo en el círculo de Mohr entre los radios CA y CP1.

El coseno y el seno del ángulo 2 P 1; pueden obtenerse por inspección

del círculo:

Estas ecuaciones concuerdan con las ecuaciones (a) y (b) y vemos de

nuevo que la geometría del círculo concuerda con las obtenidas antes.

Sobre el círculo, el ángulo 2 P 1; por consiguiente,

2P = 1P + 90º, como

era de esperarse.

1.6. ESFUERZOS CORTANTES MÁXIMOS

Los puntos S1 y S2, que representan los planos de esfuerzos cortantes

máximo negativo, respectivamente, se localiza en la parte inferior y

superior del círculo de Mohr (Fig. 2c).

Estos puntos están a los ángulos 2 = 90º de los puntos P1 y P2, lo que

concuerda con el hecho de que los planos de esfuerzos cortante máximo

están orientados a 45º respecto a los planos principales.

Los esfuerzos cortantes máximos son iguales en términos numéricos al

radio R del círculo (compare la Ec.7.3b para máx ).

Además, los esfuerzos normales sobre los planos de esfuerzo cortante

máximo son iguales a la abscisa del punto C, que es el esfuerzo normal

promedio prom (vea la Ec. 7.3a).

12cos P =

R

yx

2

sen 2

1P =

R

xy


198

Figura 3

FIGURA 3 Convención alternativa de signos para los esfuerzos cortantes:

(a) esfuerzo cortante en sentido horario; (b) esfuerzo cortante en sentido

antihorario, y (c) ejes para el círculo de Mohr (observe que los esfuerzos

cortantes horarios se trazan hacia arriba y los esfuerzos cortantes anti-

horarios, hacia abajo).

1.7. CONVENCIÓN ALTERNATIVA DE SIGNOS PARA LOS ESFUERZOS

CORTANTES

En algunas ocasiones se usa una convención de signos alternativa para

los esfuerzos constantes al construir el círculo de Mohr. En esta

convención, la dirección de un esfuerzo cortante que actúa sobre un

elemento del material se indica por el sentido de la rotación que tiene que

producir (Fig. 3a y b).

Si el esfuerzo cortante tiende a girar el elemento de esfuerzo de

sentido horario, se llama esfuerzo cortante horario y si tiende a hacerlo

en sentido antihorario, se denomina esfuerzo cortante antihorario.

Entonces, al construir el círculo de Mohr, los esfuerzos cortantes horarios


199

se trazan hacia arriba y los esfuerzos cortantes antihorarios, hacia abajo

(Fig. 3c).

Debe quedar claro que la convención alternativa de signos produce un

círculo idéntico al descrito (Fig. 2c). La razón es que un esfuerzo cortante

positivo 11yx también es un esfuerzo cortante antihorario y ambos de

trazan hacia abajo. Además, un esfuerzo cortante negativo 11yx es un

esfuerzo cortante horario y ambos hacia arriba.

Así, la convención alternativa de signos proporciona solamente un punto

de vista diferente. En vez de considerar el eje vertical asociado con

esfuerzos cortantes negativos trazados hacia arriba y esfuerzos cortantes

positivos trazados hacia abajo (lo que es algo inconveniente).

Podemos considerar el eje vertical relacionado con esfuerzos cortantes

horarios trazados hacia arriba y esfuerzos cortantes antihorarios trazados

hacia abajo.

1.8. COMENTARIOS GENERALES SOBRE EL CÍRCULO

De acuerdo con los análisis anteriores en esta sección, está claro que

podemos encontrar los esfuerzos que actúan sobre cualquier plano

inclinado así como los esfuerzos principales y los esfuerzos cortantes

máximos con ayuda del círculo de Mohr.

Sin embargo, sólo se han considerado rotaciones de ejes en el plano xy

(es decir, rotaciones respecto al eje z), por lo que todos los esfuerzos

sobre el círculo de Mohr son esfuerzos en el plano.

Por conveniencia, el círculo de la figura 69 se dibujo con 1x

, 1y y

11yx

como esfuerzos positivos, pero puede seguirse el mismo procedimiento si

uno o más de los esfuerzos es negativo. Si uno de los esfuerzos normales

es negativo, parte o todo el círculo estará a la izquierda del origen.

El punto A, que representa los esfuerzos sobre el plano = 0, puede

estar en cualquier parte alrededor del círculo; sin embargo, el ángulo 2

se mide siempre en sentido antihorario desde el radio CA, se encuentre

donde se encuentre el punto A.


200

En los casos especiales de esfuerzo uniaxial, esfuerzo biaxial y cortante

puro, la construcción del círculo de Mohr es más simple que en el caso

general de esfuerzo plano.

Además de usar el círculo de Mohr para obtener los esfuerzos sobre

planos inclinados cuando se conocen los esfuerzos sobre los planos x y y,

podemos utilizarlo de manera opuesta. Si conocemos los esfuerzos 1x

,

1y y 11yx que actúan sobre un elemento inclinado orientado sobre un

ángulo conocido , resulta fácil construir el círculo y determinar los

esfuerzos 1x

, 1y y

11yx para el ángulo = 0.

El procedimiento es localizar los puntos D y D’ a partir de los esfuerzos

conocidos y luego dibujar e círculo usando la línea DD’ como diámetro. Si

medimos el ángulo 2 en sentido negativo desde el radio CD, podemos

localizar el punto A, correspondiente a la cara x del elemento.

Entonces podemos localizar el punto B construyendo un diámetro desde

A. Por último, podemos determinar las coordenadas de los puntos A y B y

de ahí obtener los esfuerzos que actúan sobre el elemento para el cual

= 0.

Si se desea, es posible construir el círculo de Mohr a escala y medir los

valores de los esfuerzos con base en el dibujo. Sin embargo, a menudo es

preferible obtener los esfuerzos por cálculo numérico, ya sea

directamente de las ecuaciones o bien usando trigonometría y al

geometría del círculo.


201

2. TEORÍAS DE FALLA

2.1. CARGAS REPETIDAS Y FATIGA

En comportamiento de una estructura depende no sólo de la naturaleza

del material, si no también del carácter de cargas. En algunas situaciones

las cargas son estéticas es decir, se aplican de modo gradual, actúan

durante largos lapsos y cambian poco a poco.

Otras son de carácter dinámico; por ejemplo, las cargas de impacto que

actúan de repente y las cargas repetidas que actúan durante un gran de

número de cielos.

En la figura 4 se ilustran algunos patrones típicos para cargas

repetidas. La gráfica (a) nuestra carga aplicada, suprimida y aplicada de

nuevo, que siempre actúa en la misma dirección: la grafica (b) presenta

una carga alternante que cambia de dirección durante cada cielo de

carga, y grafica (c) ilustra una carga fluctuante que varía alrededor de un

valor medio.

Por lo general, las cargas repetidas se relacionan con maquinaria,

motores, turbinas, generadores, ejes, hélices, partes de avión, partes de

automóviles, etc. Algunas de estas estructuras están sometidas a millones

(aun a miles aun a miles de millones) de cielos de carga durante su vida

útil.

Es probable que una estructura sometida a cargas dinámicas fallen ante

un esfuerzo menor que cuando las mismas cargas se aplican

estáticamente, en particular cuando se repiten durante una cantidad

considerable de cielos. En tales casos, la fatiga o fractura progresiva

suele ser la causa.

Un ejemplo familiar de falta por fatiga es el caso de un clip metálico para

el papel que se rompe al flexionarlo una otra vez hacia atrás y hacia

delante. Si el cilp se flexiona solo una vez no se romperá; pero si la carga

es invertida flexionando el ciclo en la dirección opuesta, y si el cielo total

de carga se repite varias veces, terminara rompiéndose.

La fatiga se puede definir como el deterioro de un material bajo ciclos

repetidos de esfuerzo deformación, que conducen a un agrietamiento

progresivo que acaba por producir la fractura.


202

Figura 4

FIGURA 4 Tipos de cargas repetidas: a) carga que actúa en una sola

dirección: b) carga alternante o invertida, y c) carga fluctuante que varia

alrededor de un valor medio.

En una falla por fatiga característica; una grieta microscópica se forma en

un punto de alto esfuerzo (por lo general en una concentración de

esfuerzos, que se verá en la siguiente sección) y aumenta en forma

gradual conforme las cargas son implicadas repetidamente.

Cuando la grieta se vuelve tan grande que el material restante no puede

resistir las cargas, ocurre una fractura repentina del material (Fig. 5 de la

página siguiente). Según la naturaleza del material, la falta por fatiga

puede requerir de unos cuantos ciclos de carga a cientos de millones de

ciclos.

Figura 5


203

FIGURA 5 Falla por fatiga de una barra cargada repetidamente en

tensión; la grieta se difunde en forma gradual por toda la sección

transversal hasta que la falla ocurre de súbito. (cortesía de MTS Systems

Corporation)

La magnitud de la carga que causa una falla por fatiga es menor que la

carga que se puede soportarse estáticamente, como ya señalamos. Para

determinar la carga de fatiga pueden efectuarse pruebas del material. En

el caso de carga repetida, el material se prueba a varios niveles de

esfuerzo y se cuenta el número de ciclos para la falla, por ejemplo, por

ejemplo, se coloca repetidamente a cierto esfuerzo, digamos 2 . Los

ciclos de carga se repiten hasta que ocurre la falla y se registra la

cantidad n de ciclos de carga para la falla. La prueba se repite para un

esfuerzo diferente, digamos 2 .

Si 2 es mayor que 1 , el número de ciclos a la falla será menor. Si 2

es menor que 1 , el número será mayor. Por último, se acumulan

suficientes datos para trazar un curva de fatiga u un diagrama S – N,

en que se traza el esfuerzo de falla (S) versus el número (N) de ciclos a la

falla (Fig. 3). Por lo general de eje vertical es una escala lineal y el eje

horizontal, una escala logarítmica. La curva de fatiga en la figura 3

muestra que entre es el esfuerzo, mayor es el número de ciclos necesario

para producir la falla. Para algunos materiales, la curva tiene una asíntota

horizontal conocida como límite de fatiga. Cuando exista, este límite es

el esfuerzo debajo del cual no ocurrirá una falla por fatiga, sin importar

cuántas veces se repita la carga.

La forma precisa de una curva de fatiga depende de muchos factores,

incluidas las propiedades del material, la geometría de la probeta de

prueba, la velocidad de la prueba, el patrón de carga y las condiciones

superficiales de la probeta. En la literatura técnica se han reportado los

resultados de numerosas pruebas de fatiga efectuadas sobre una gran

variedad de materiales y componentes estructurales.


204

Figura 6

FIGURA 6 curva de fatiga o diagrama S-N que muestra limite de fatiga.

En la figura 7 se ilustra diagrama S-N característica del acero y el

aluminio. La ordena es el esfuerzo de falla, expresado como un

porcentaje del esfuerzo último del material y la abscisa en el número de

ciclos en que ocurre la falla. Nótese que el número de ciclos se traza a

escala logarítmica. La curva para el acero se vuelve horizontal en

aproximadamente 107 ciclos y el límite de fatiga es alrededor del 50% del

esfuerzo último de tensión para la carga estática ordinaria. El límite de

fatiga para el aluminio no está tan bien definido como para el acero, pero

un valor caracterizado del límite de fatiga es el esfuerzo a 5 x 108 ciclos a

un 25% del esfuerzo último.

Figura 7

FIGURA 7 Curvas caracterizadas de fatiga acero y aluminio sometidos a

cargas alternas.


205

Puesto que las fallas por fatiga suelen comenzar con una grieta

microscópica en un punto de esfuerzo altamente localizado (es decir, en

una concertación de esfuerzo), la condición de la superficie del material

es de suma importancia. Las probetas muy pulidas tienen límites de fatiga

mayores. Las superficies rugosas, en especial con concentraciones de

esfuerzos alrededor de esfuerzos de agujeros o ranuras, disminuyen el

límite de fatiga modo notable. La corrosión, que genera pequeñas

irregularidades superficiales, tiene un efecto similar. En el acero, la

corrosión ordinaria puede reducir el límite de fatiga en más de 50%.


206

ANOTACIONES:

.............................................................................................................................................

.............................................................................................................................................

.............................................................................................................................................

.............................................................................................................................................

.............................................................................................................................................

.............................................................................................................................................

.............................................................................................................................................

.............................................................................................................................................

.............................................................................................................................................

.............................................................................................................................................

.............................................................................................................................................

.............................................................................................................................................

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.............................................................................................................................................

.............................................................................................................................................

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.............................................................................................................................................

.............................................................................................................................................

.............................................................................................................................................

.............................................................................................................................................


1

PROBLEMAS PROPUESTOS 1

PREGUNTA Nº 1: (FLEXION) El eje de una máquina tiene 1,6 m. de longitud y soporta una carga de 16 kN en su centro. El esfuerzo admisible es de 110 MPa. Determine el diámetro mínimo (en mm.) que puede tener el eje.

DMINIMO=

PREGUNTA Nº 2: (TORSIÓN) ¿Cuál debe ser el diámetro de una flecha maciza de latón, que trabaja a una torsión cíclica y entrega 40 hp a una velocidad de 1200 rpm?

DMINIMO=

PREGUNTA Nº 3: (PANDEO)

Un perfil W10x100 de acero laminado en caliente, bajo contenido de carbón; se usa como columna articulada en sus extremos. ¿Cuál es la es la carga crítica que la columna puede soportar antes de pandearse?

críticaP


2

Pregunta Nº 4: (DIAGRAMA DE FUERZAS CORTANTES Y MOMENTO

FLECTOR)

Dibuje los diagramas de fuerza cortante y momento flector. Además determine el máximo esfuerzo normal al cual está sometida la viga.

PREGUNTA Nº 5: Utilizando el círculo de Mohr, determinar: 5.1 Los esfuerzos principales. 5.2 El esfuerzo cortante máximo.

1 2

máximo


3

PREGUNTA Nº 6: Calcule el diámetro “d” del vástago (precisión: 1/8``) de un destornillador; teniendo presente que el par de torsión generado en el vástago por la mano es de 1,5 N-m.

Considere como esfuerzo cortante máximo MPa5,25max .

d =

PREGUNTA Nº 7 Calcule el diámetro “d” del vástago (precisión: 1/8``) de un destornillador; teniendo presente que el par de torsión generado en el vástago por la mano es de 1,5 N-m. Considere como esfuerzo

cortante máximo MPa5,25max .

d =

PREGUNTA Nº 8

En la figura se representa una plataforma hidráulica para automóviles. Se coloca un automóvil de peso P= 2000 kg en dicha plataforma. El efecto del peso se representa por la fuerza P en la figura. 1.1 Calcule el esfuerzo normal (Kgf/cm2) que se produce en el vástago de 30 mm

de diámetro del cilindro hidráulico EF.


4

1.2 Halle el esfuerzo cortante (Kgf/cm2) promedio (Kgf/cm2) que se produce en el pasador que une el vástago con la barra en el punto C. El pasador tiene un diámetro de 20 mm.

PREGUNTA Nº 9 Responder V o F sustentando necesariamente su respuesta DE LO CONTRARIO ESTA NO TENDRA VALOR Un cuerpo rígido totalmente somete a compresión de 20 ton a una barra de cobre que se encuentra dentro de un cojinete de aluminio. Entonces:

a) tonCuAL 20 ( )

Porque:……………………………………………………………………………..

b) CuAl ( )

Porque:……………………………………………………………………………..

c) 54,24/

200002

D

CuAL

( )

Porque:……………………………………………………………………………..

d) tonFF CuAL 20 ( )

Porque:……………………………………………………………………………..

20 ton

70 0

100 0

CUERPO RIGIDO

BARRA DE COBRE

COJINETE DE ALUMINO


5

PREGUNTA Nº 10 La junta está conectada por medio de dos pernos. Determine el diámetro requerido de los pernos (precisión: 1/8``) si el esfuerzo cortante permisible en los pernos

es MPapermisible 140 .

Suponer que cada perno soporta una porción igual de la carga. PREGUNTA Nº 11 Se requiere diseñar una viga de sección circular tubular de 3 mm de espesor de acero estructural con E=200 GPA. Considere un factor de seguridad de 3,0., σf=600 MPa. La viga se encuentra sometida a las cargas que se indican en la figura. Hallar el valor mínimo del radio medio del tubo, considerando que comercialmente este valor es múltiplo de ¼” (dar su respuesta en pulgadas) NOTAS: Factor de seguridad=esfuerzo de fluencia/ esfuerzo admisible Trazar los diagramas de fuerza cortante y momento flector e indicar los valores máximos.

requeridod


6

PREGUNTA Nº 12

Un alambre de acero y un alambre de cobre tienen iguales longitudes y soportan iguales cargas P. respectivamente. Si los alambres se alargan la misma cantidad, ¿Cual es la razón del diámetro del alambre de cobre al diámetro del alambre de acero? PREGUNTA Nº 13 Un eje cilíndrico hueco tiene 1,5 m de largo y diámetros internos y externo de 40 y 60 mm, respectivamente. ¿Cuál es el mayor torque que puede aplicársele si el esfuerzo cortante no debe pasar de 120 MPa? PREGUNTA Nº 14 Sabiendo que: El esfuerzo cortante admisible en el pasador es 8700 lb/pulg2. El esfuerzo de carga admisible entre el pasador y la barra es 13000 lb/pulg2. Determine el diámetro mínimo del pasador (precisión: 1/8 “) para poder soportar la carga P. Datos: carga P = 12klb Diámetro del pasador: D = 0,75 pulg Espesor de la barra S: tS = 0,375 pulg Espesor de las cartelas G: tG = 0,625 pulg Espesor de la placa B: tB = 0,375 pulg

máximoT

acero

cobre

D

D


7

Diámetro de perno de anclaje (4): d = 0,50 pulg

PROBLEMA 15 La siguiente estructura de forma de una mesa que está soportando 10 toneladas de peso. Los soportes son de acero St 70 y la carga es estática.

1.1 Determinar si los soportes soportan la compresión y el pandeo (1p cada respuesta)

CGXXI

YYCGI

MAXF

Falla por compresión= Si o No (Justificación) Falla por pandeo= Si o No (Justificación)

1.2 Si la forma de la sección de los soportes es circular; calcular el diámetro mínimo necesario (mm) (2p)

d =


8

10000 kg

20

20

20 20 20

6 m 4 m

2 m

PROBLEMA 16 En la figura se representa una barra de acero perforada con un agujero circular hasta cierta profundidad como se muestra. Para las cargas mostradas, hallar:

a) El máximo esfuerzo cortante (en MPa) y dónde se presenta. b) El ángulo en grados, que gira el extremo libre.

Datos: Diámetro exterior=50mm Diámetro interior=45mm Acero: G=80 GPa

80 N m

0.4m

0.4m

50 N m


9

PROBLEMA 17 Un tubo cuadrado de acero de longitud L = 20 pies y ancho b2 = 10 pulg, se eleva mediante una grúa (véase la figura siguiente). El tubo cuelga de un pasador de diámetro d, sujeto por los cables en los puntos A y B. Peso específico del acero γ = 0,2836 lb/pulg3. La sección transversal es un cuadrado hueco con dimensión interior b1 = 6 pulg y dimensión exterior b2 = 8 pulg. El material del pasador es acero St 70 Determine el diámetro mínimo (1/8 de pulgada) del pasador para poder soportar el peso del tubo. Nota.- no tenga en cuenta las esquinas redondeadas del tubo, al calcular su peso.

d =

PROBLEMA 18 Tres postes de aluminio de igual sección transversal soportan una carga de 15 toneladas como se muestra en la figura. Determinar la distancia X (mm) para que la barra rígida permanezca horizontal.


10

15 Ton

X

24

36

48

X =

PROBLEMA 19 Para el mecanismo mostrado hallar: 5,1 Reacciones en los puntos de apoyo B y D (kgf) (2p) 5,2 Diagrama de momentos flectores (Lbf-pulgada). (2p) 5.4 Determine el diámetro mínimo del eje (precisión 1/16”) que debe tener para soportar esfuerzos por flexión, si es de acero St 70 y se elige por cargas alternativas bajo un concepto seguro. (2p)

Para la faja: 3.25F

Ff

2

1

Acero E = 2,1 x 106 kgf/cm2


11

C

200

2250

D

200

2 HP

3 HP

MOTOR

ELECTRICO

5 HP

1800 RPM

i= 5:1

E

B

A3

10

12

5

12 0

4 0

4 0

CADENA

CADENA

FAJA


12

A

B

C

z

Y

X

D

E

B=

D=


13

V

M

(Lbf)

( Lbf – pulgada)

A C D EB

A C D EB


14

TABLAS


15


16

PROBLEMA N° 20 Si la fuerza tangencial en el engranaje helicoidal es de 800 N. Encuentre el valor de:

a) La fuerza Axial (N) b) La fuerza Total (N)

20o

PROBLEMA N° 21 Si la faja trapezoidal está aplicando una fuerza Radial de 50Kgf a la polea. Determine y muestra gráficamente las fuerzas de sujeción axial de la faja sobre la polea.

20

40

36

POLEA

FAJA


17

PROBLEMA 22 3.1 Represente el diagrama de cuerpo libre del eje AD (Muestre los valores en los

puntos A, B, C, D reales) (2p)

3.2 Determinar el valor total de las reacciones en los puntos de apoyo A y C (2p) 3.3 Realizar el diagrama de fuerzas cortantes y momentos flectores para el plano XY (4p) Unidades de long. cm

X

Z

Y

A CB D

75 50 30

220 Kg

300

60 kg

220 Kg

F P

60 kg


18

A

B

C

z

Y

X

D


19

V

M

A B C D

( Kg ) PLANO XY

A B C D

(Kg-cm)


20

PROBLEMA 23 El tambor de la figura tiene un diámetro de 30 cm y se está levantando una fuerza de 220 kg por la manivela a la que se aplica una fuerza de 60 kg en la dirección mostrada. 2.1 Determinar el valor total de la reacción en el punto de apoyo C (3p) 2.2 Realizar el diagrama de momentos flectores para el plano XY (3p) 2.3 Determine el valor del torque (N-m) en el punto D y muestre el sentido (horario o

antihorario) (2p ) Unidades de longitud cm

X

Z

Y

A CB D

75 50 30

220 Kg

300

60 kg

220 Kg

F P

60 kg


21

A

B

C

z

Y

X

D


22

M PLANO XY

A B C D

(Kg-cm)

C =

DT


23

PROBLEMA 24 Determinar las reacciones en el punto A(Ax, Ay, Az)

550

450

400

1,47 K

N0,9

4 KN

4,0 KN0,242 KN

1,05 KN

ENGRANAJE

HELICOIDAL

500 DIAMETRO

ENGRANAJE

CONICO

375 DIAMETRO

EN EL EXTREMO

MAYOR

A

B

CD

0,240 KN

z

Y

X

XA

YA

ZA


24

PROBLEMA 25 Determinar la tensión de la cuerda que sostiene a la barra (kgf)

2,0

1,8

2,5100 kg

Peso de la barra = 20 kg

A

B

C

D

Cuerda

Barra

Unidades: m

PROBLEMA 26 1.1 Mostrar el diagrama de cuerpo libre de la barra AC. (1 p) 1.2 Hallar el valor de la reacción en el punto A (Kgf) (2 p) 1.3 Si a-a es un plano de corte. Realizar el diagrama de cuerpo libre del tramo de la

barra desde aa hasta el punto C. (2 p) 1.4 Determinar el valor de T (Tracción) o C (Compresión) al que está sometido el

tramo aa hasta C. (2 p)


25

1,0

1,2

1,5

40 o

F = 80 kg

50 kg

Peso de la barra = 10 kg

A

B

C

D

Cuerda

Cuerda

Barra

a

a

Unidades: m

0,5


26

1.1

C

A

1.2

AR

1.3

a

a

C

Tracción o Compresión

(T) o (C)

Valor (kgf)

aa C


27

PROBLEMA 27 Determine: 1.1 Represente el diagrama de cuerpo libre del eje AD (Muestre los valores de los

componentes y torques en los puntos A, B, C, D reales. ( 3p )

1.2 La reacción en el punto D: XD , YD , ZD ( 3p )

1.3 Determine el valor del torque (N-m) en el punto C y muestre el sentido (horario o anti horario ( 1p )

POLEA

120 O

50 60

FAJA

FAJA

F1 = 395

F2 = 100

PIÑON

145

354

30 0ENGRANAJE

100 O

AB C

D

Unidades:

Longitud : mm

Fuerza : N

40

O 35

50

X

Y

PIÑON

MOTRIZ

A MAQUINA

QUE CONSUME

POTENCIA

F P


28

A

B

C

D

z

Y

X

XD

YD

ZD

CT


29

PROBLEMA 28 3.1 Determine el valor de la reacción en A (kgf) (2p) 3.2 Dibujar:

a) Diagrama de Fuerzas Cortantes (Necesariamente deberá ubicar e indicar los valores en los puntos B, C, D, E) (2p)

b) Diagrama de Momentos Flectores (Necesariamente deberá ubicar e indicar los valores en los puntos C, D, E, F) (2p)

Unidades = cm

Masa de

100 Kg

80 20

Masa de 60 Kg

40 50 15 C Cuerda

60 %Peso

60 kg

A

D

G

FECB

C.G. F = 50 kg

3.2

3.1


30

V

M

A C D E FB G

A C D E FB G

( Kg )

(Kg – cm)


31

PREGUNTA Nº 29 Para el mecanismo mostrado hallar: 1.1 Diagrama de cuerpo libre del eje mostrado 1.2 Reacciones en los puntos de apoyo B y D (kgf) 1.3 Diagrama de fuerzas cortantes (Lbf). 1.4 Determine el máximo valor de fuerza cortante al que se ve sometido al eje.

Determine el punto donde ocurre. 1.5 Diagrama de momentos flectores (Lbf-pulgada). Mostrar las ecuaciones y las

tabulaciones para hallarlos puntos respectivos (6 puntos como mínimo)

Para la faja: 3.25F

Ff

2

1

C

200

2250

D

200

2 HP

3 HP

MOTOR

ELECTRICO

5 HP

1800 RPM

i= 5:1

E

B

A3

10

12

5

12 0

4 0

4 0

CADENA

CADENA

FAJA


32

A

B

C

z

Y

X

D

E

B=

D=

BT =


33

Desarrollo de las ecuaciones de fuerzas cortantes y momentos flectores:

V

M

(Lbf)

( Lbf – pulgada)

A C D EB

A C D EB


34

PROBLEMAS DE ESFUERZOS DE TORSIÓN PROBLEMA 30 Un árbol de acero de 120mm de diámetro, debe de transmitir 120 CV (1 CV = 736W) a 600 rpm desde la polea A a la B. El esfuerzo cortante admisible para el material del

árbol es adm = 420 kg/cm2. Datos: F=2·F’, Q=2·Q’, rA=15 cm, rB=22 cm (radios de las poleas). a) Halle el ángulo de giro de A respecto a B, en °S (3 puntos) b) Halle el factor de seguridad al corte del eje (1 punto )

P = Potencia

T = Torque n = RPM

°S =

F.S. =


35

PROBLEMA 31

En la figura se representa una barra de acero St 37, perforada con un agujero circular hasta cierta profundidad como se muestra. Para las cargas mostradas, hallar: c) El máximo esfuerzo cortante (en MPa).

( 1 p ) d) El ángulo en grados sexagesimales, que gira el extremo libre.

( 3 p ) Datos: Diámetro exterior = 50mm Diámetro interior = 45mm Acero St 37: G = 80 GPa

80 N m

50 N m

400

400


36

PROBLEMA 32 Calcule el diámetro “d” del vástago (precisión: 1/8``) de un destornillador; teniendo presente que el par de torsión generado en el vástago por la mano es de 1,5 N-m. Considere como esfuerzo cortante máximo.

MPa5,25max .

Pregunta Nº05: (03 puntos) Un eje cilíndrico hueco tiene 1,5 m de largo y diámetros internos y externo de 40 y 60 mm, respectivamente. ¿Cual es el mayor torque (lbf-pie) que puede aplicársele si el esfuerzo cortante no debe pasar de 120 MPa?

imomax


37

TABLAS DE FÓRMULAS:

1. Fuerzas en engranajes de dientes rectos:

ω.TP P=Potencia T=Torque

ω=Velocidad Angular

R.n

P.63000FT

P= Potencia (HP) FT= Fuerza Tangencial (Lb-f)

R= Radio (pulg)

n= RPM

63000

.R.nFP T

P=Potencia (HP) FT= Fuerza Tangencial (Lb-f)

R= radio (pulg) n= RPM

.TgθFF TR

FR= Fuerza Radial (Lb-f) Ө = Angulo de Presión

RADIALF

FTANGENCIAL

Ө

Ө

n1

RADIALF

FTANGENCIAL

n2

MOTRIZ CONDUCIDO

TORQUE TORQUE


38

2. Fuerzas sobre poleas:

ω.TP P=Potencia

T=Torque ω=Velocidad Angular

63000

).R.nF-(FP 21

P= Potencia (HP) F1= Fuerza Mayor (Lb-f)

F2= Fuerza Menor (Lb-f) R= Radio (pulg)

n= RPM


39

n

TORQUE

F2 F1

CONDUCIDO

TORQUE

2

n1

F1F2

MOTRIZ

α


40

3. Fuerzas sobre una cadena:

ω.TP P=Potencia

T=Torque


63000

.R.nFP 1

R.n

P.63000F1

P= Potencia (HP)

F1= Fuerza (Lb-f) R= Radio (pulg)

n= RPM

n

TORQUE

F1

CONDUCIDO

TORQUE

2

n1

F1

MOTRIZ

F2= 0

F2= 0


41

4. Fuerzas en engranajes helicoidales:

ω.TP P=Potencia

T=Torque


R.n

P.63000FT

P=Potencia (HP)

FT= Fuerza Tangencial (Lb-f)

R= radio (pulg) n= RPM

63000

.R.nFP T

P=Potencia (HP)

FT= Fuerza Tangencial (Lb-f) R= radio (pulg)

n= RPM ψCos

.TgθFF T

R

FR= Fuerza Radial (Lb-f)

Ө = Angulo de Presión ψ = Angulo de Hélice

ψTg.FF TA FA= Fuerza Axial (Lb-f)

ψ = Angulo de Hélice

Engranaje Helicoidal Motriz

ψRn

RADIALF

FTANGENCIAL

FAXIAL RADIALF

FTANGENCIAL

FAXIAL

ψ Өn

Cosψ


42

ANOTACIONES: .....................................................................................................................

.....................................................................................................................

.....................................................................................................................

.....................................................................................................................

.....................................................................................................................

.....................................................................................................................

.....................................................................................................................

.....................................................................................................................

.....................................................................................................................

.....................................................................................................................

.....................................................................................................................

.....................................................................................................................

.....................................................................................................................

.....................................................................................................................

.....................................................................................................................

.....................................................................................................................

.....................................................................................................................

.....................................................................................................................

.....................................................................................................................

.....................................................................................................................

.....................................................................................................................

.....................................................................................................................

.....................................................................................................................

.....................................................................................................................

.....................................................................................................................

.....................................................................................................................

.....................................................................................................................

.....................................................................................................................

.....................................................................................................................


43

TABLAS DE RESISTENCIA DE MATERIALES

Completar los valores de E (psi) y E (N/cm2) tomando en cuenta: 1kgf 10N

1 kgf/cm2 = 14,194 psi

1 MPa = 100 N/cm2

MATERIAL MODULO DE

ELASTICIDAD

E (kgf/cm2)

MODULO DE

ELASTICIDAD

E (psi)

MODULO DE

ELASTICIDAD

E (MPa)

MODULO DE

ELASTICIDAD

E (N/cm2)

Acero 2,1 x 106 29,8 x 106 21,0 x 104 21 x 106

Fundición gris 1,05 x 106 10,5 x 104

Fundición maleable

1,75 x 106 17,5 x 104

Latón 1,05 x 106 10,5 x 104

Bronce 0,84 x 106 8,4 x 104

Aluminio 0,72 x 106 7,2 x 104

Cobre 1,1 x 106 11 x 104

Magnesio 0,45 x 106 4,5 x 104

Níquel 2,07 x 106 20,7 x 104

Titanio 1,07 x 106 10,7 x 104

Tungsteno 4,07 x 106 40,7 x 104

GG - 15 10 x 106

GG - 30 13 x 106

GGG - 42 26.5 x 106

AlCuMg2 F44 7.2 x 106

Madera 0,1 x 106

Duraluminio 0,7 x 106

Vidrio 0,7 x 106

Hormigón a compresión

0,28 x 106

Tecnología Mecánica 3 Máquinas Herramientas. Editorial EDEBE. Tecsup621.01 E Tablas del Ing. C. Montoya A.

MATERIAL MODULO DE RIGIDEZ G (Mpsi)

MODULO DE RIGIDEZ G (GPa)

Aluminio (Todas las aleaciones)

3,80 26,2

Cobre 6,49 44,7

Acero común 11,5 79,3

Acero al níquel 11,5 79,3

Acero inoxidable 10,6 79,1

Magnesio 2,4 16,5

Molibdeno 17,0 117,0

Monel (Cu – Ni) 9,5 65,5

Hierro colado (gris) 6,0 41,4

Bronce 6,0 41,4

Madera (Abeto Douglas) 0,6 4,1


44

Diseño en Ingeniería Mecánica: Joseph E. Shigley Quinta Edición Mc Graw Hill

ESFUERZOS ADMISIBLES

σadm (N/mm2) I = Carga estática II = Carga pulsante III = Carga alternativa

TIPO DE CARGA St 37 St 50 St 70 GS-45 GG-15

GG-30 G-AlSi

AlMg3

TRACCION

I 100…150

140…210

210…310

100…150

35…45 65…85 30…5

0 80…12

0

II 65…95 90…135 135…20

0 65…95 27…37 50…67

16…28

60…85

III

45…70 65…95 90…140 45…70 20…30 35…50 13…2

0 42…70

COMPRESIÓN

I 100…150

140…210

210…310

110…165

85…115

165…215

40…60

80…120

II 65…95 90…135 135…20

0 70…105 65…75

100…135

20…24

60…85

III

45…70 65…95 90…140 45…70 20…30 35…50 13…2

0 42…70

CORTE

I 80…120 110…17

0 170…25

0 80…120 _ _

20…40

65…95

II 50…75 70…110 110…16

0 50…75 _ _

12…20

40…70

III

35…55 50…75 70…110 35…55 _ _ 10…1

5 30…55

FLEXION

I 110…165

150…220

230…245

110…165

_ _ 35…5

0 90…13

5

II 70…105 100…15

0 150…22

0 70…105 _ _

20…28

58…88

III

50…75 70…105 105…12

5 50…75 _ _

14…21

45…68

TORSION

I 65…95 85…125 125…19

5 65…95 _ _

25…35

30…70

II 40…60 55…85 80…125 40…60 _ _ 16…2

8 26…46

III

30…45 40…60 60…90 30…45 _ _ 8…15 18…32

PRESION SUPERFICIAL ADMISIBLE (ELEMENTOS EN REPOSO)

padm (N/mm2)

St - 32 St - 50 St - 60 St - 70 GG-15 GG-30 GGG-42

G-AlSi

AlCuMg2

AlMg3

200…300

280…420

320…480

420…600

170…230

330…430

260…400

80…120

220…320

160…240

250 350 400 500 200 380 330 100 270 200


45

PRESION SUPERFICIAL ADMISIBLE

padm (N/mm2)

Concreto

64

PRESION SUPERFICIAL ADMISIBLE (PARA COJINETES)

padm (N/mm2)

TIPO DE CARGA

Lg-Sn80

Lg-PbSn9Cd

G-CuSn12

G-CuSn10Zn

GG-25 PA66 Hgw2082

ESTATICA I

19…30 15…25 30…50 30…50 10…20 14…19 19…30

DINAMICA II,III

15 12,5 25 25 5 7 15

Extraído de Tablas del Ing. C. Montoya A.

METAL O

ALEACION

MODULO DE CIZALLADURA

(MPa *104)

MODULO DE POISSON O

COEFICIENTE DE POISSON

Aluminio 2,6 0,33

Latón 3,7 0,35

Cobre 4,6 0,35

Magnesio 1,7 0,29

Níquel 7,6 0,31

Acero 8,3 0,27

Titanio 4,5 0,36

Tungsteno 16,0 0,28

Fundición gris 0.211

Bronce 0.349

Ing. H. GAMARRA CH.

TECSUP - 2010


46

MOMENTO RESISTENTE A LA FLEXIÓN WF

MOMENTO RESISTENTE A LA TORSIÓN WT MOMENTO DE INERCIA I

WF WT I

D

x x

D

x x

d

x x

y

y

h

h

x x

y

y

b

h

--------

Ing. E. SOTO S. TECSUP - 2010


47

atm kgf/cm2 bar Pa=N/m2 psi=lbf/pul2 m H2O

1 1,033 1,013 1,013 x 105 14,662 10,33

0,968 1 0,981 98100 14,194 10

0,987 1,02 1 105 14,468 10,2

9,87 x 10-4

1,02 x 10-5 10-5 1 1,447 x 10-4 10,2 x 10-5 0,068 0,070 0,069 6910,8 1 0,705

Ing. E. SOTO S. TECSUP - 2010

FÓRMULAS: Para seleccionar vigas que resistan una FLEXIÓN:

Módulo o Momento resistente a

la flexión. (Tabla, de acuerdo a la forma de la sección ) = Momento flector máximo

(Problema) = Esfuerzo admisible (Material, F.S.)

Ley de Hooke

= Módulo de elasticidad.

(Tabla, de acuerdo al material)

= Esfuerzo de tracción o compresión.

= Deformación

= Longitud al estar sometido a una

fuerza F.

= Longitud inicial.

= Tensión cortante

= Deformación angular


48

ANOTACIONES: ..............................................................................................................................

..............................................................................................................................

..............................................................................................................................

..............................................................................................................................

..............................................................................................................................

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