tg x := ctg xszunar/m1_materijali...Funkcije sin i cos x y sin cos ˇ 2 ˇ 3 ˇ 2 ˇ 2 ˇ 2 3 ˇ2 ˇ 2 ˇ 1 1 Funkcija sin : R !R je neparna i 2 ˇ-periodi£na, dakle sin( x) = sinx

sin x , cos x

, tg x := sin xcos x , ctg x :=cos xsin x

(cos x , sin x)

x

cos x

sin x

1

x

tg x

ctg x

sin x , cos x , tg x := sin xcos x , ctg x :=cos xsin x

(cos x , sin x)

x

cos x

sin x

1

x

tg x

ctg x

Brojevna kruºnica

1

0, 2π, 4π,−2π,...tj. 2kπ, k∈Z

π6

π4

π3

π2

5π6

3π4

2π3

π

−π6

+ 2kπ, k ∈ Z

−π4

−π3

−π2

−5π6

−3π4

−2π3

12

3

12

√22

√32

12

√22

√32

-12-

√22

-√32

-12

-√22

-√32

Funkcije sin i cos

x

y

Γsin Γcos

π2

π 3π2

2π−π2

−π−3π2

−2π

1

−1

Funkcija sin : R→ R je neparna i 2π-periodi£na, dakle

sin(−x) = − sin x i sin(x + 2π) = sin x

za sve x ∈ R.Funkcija cos : R→ R je parna i 2π-periodi£na, dakle

cos(−x) = cos x i cos(x + 2π) = cos x

za sve x ∈ R.

Funkcija tg

x

y Γtg

π2

π 3π2

2π−π2

−π−3π2

−2π

1

Funkcija tg : R \{π2

+ kπ : k ∈ Z}→ R je neparna i π-periodi£na:

tg(−x) = − tg x i tg(x + π) = tg x

za sve x ∈ R \{π2

+ kπ : k ∈ Z}.

Funkcija ctg

x

yΓctg

π2

π 3π2

2π−π2

−π−3π2

−2π

1

Funkcija ctg : R \ {kπ : k ∈ Z} → R je neparna i π-periodi£na:

ctg(−x) = − ctg x i ctg(x + π) = ctg x

za sve x ∈ R \ {kπ : k ∈ Z}.

Jo² neka svojstva sinusa i kosinusa

Za sve x , y ∈ R vrijedi:sin2 x + cos2 x = 1

sin (x ± y) = sin x · cos y ± cos x · sin ycos (x ± y) = cos x · cos y ∓ sin x · sin ysin 2x = 2 sin x · cos xcos 2x = cos2 x − sin2 x = 2 cos2 x − 1 = 1− 2 sin2 xsin(x + π

2

)= cos x

cos x + cos y = 2 cos x+y2· cos x−y

2

cos x − cos y = −2 sin x+y2· sin x−y

2

sin x ± sin y = 2 sin x±y2· cos x∓y

2.

Funkcija arcsin

x

y

Γsin x

Γf1

Γarcsinπ2

−π2

1−1

π2

π 3π2

2π−π2

−π−3π2

−2π

1

−1

Funkcija f (x) := sin x nije bijekcija.

Ali funkcija f1 :[−π

2, π2

]→ [−1, 1],

f1(x) := sin x ,

jest bijekcija. Njen inverz

arcsin := f −11 : [−1, 1]→[−π

2,π

2

]zovemo arkus sinusom. Zapamtimo:

arcsin y = jedinstven x ∈[−π

2,π

2

]takav da je sin x = y .

Funkcija arcsin

x

y

Γsin x

Γf1

Γarcsinπ2

−π2

1−1

π2

π 3π2

2π−π2

−π−3π2

−2π

1

−1

Funkcija f (x) := sin x nije bijekcija. Ali funkcija f1 :[−π

2, π2

]→ [−1, 1],

f1(x) := sin x ,

jest bijekcija.

Njen inverz

arcsin := f −11 : [−1, 1]→[−π

2,π

2

2,π

2

Funkcija arcsin

x

y

Γsin x

Γf1

Γarcsinπ2

−π2

1−1

π2

π 3π2

2π−π2

−π−3π2

−2π

1

−1

2, π2

]→ [−1, 1],

f1(x) := sin x ,

arcsin := f −11 : [−1, 1]→[−π

2,π

2

]zovemo arkus sinusom.

Zapamtimo:

2,π

2

Funkcija arcsin

x

y

Γsin x

Γf1

Γarcsinπ2

−π2

1−1 π2

π 3π2

2π−π2

−π−3π2

−2π

1

−1

2, π2

]→ [−1, 1],

f1(x) := sin x ,

arcsin := f −11 : [−1, 1]→[−π

2,π

2

]zovemo arkus sinusom.

Zapamtimo:

2,π

2

Funkcija arcsin

x

y

Γsin x

Γf1

Γarcsinπ2

−π2

1−1 π2

π 3π2

2π−π2

−π−3π2

−2π

1

−1

2, π2

]→ [−1, 1],

f1(x) := sin x ,

arcsin := f −11 : [−1, 1]→[−π

2,π

2

2,π

2

Funkcija arcsin na brojevnoj kruºnici

x

−π2

π2

f1(x)

f1 :[−π

2, π2

]→ [−1, 1]

arcsin yy

−1

1

arcsin : [−1, 1]→[−π

2, π2

]

Funkcija arccos

x

y

Γcos x

Γf1

Γarccos π

1−1

π2

π 3π2

2π−π2

−π−3π2

−2π 1−1

Funkcija f (x) := cos x nije bijekcija.

Ali funkcija f1 : [0, π]→ [−1, 1],f1(x) := cos x ,

arccos := f −11 : [−1, 1]→ [0, π]zovemo arkus kosinusom. Zapamtimo:

arccos y = jedinstven x ∈ [0, π] takav da je cos x = y .

Funkcija arccos

x

y

Γcos x

Γf1

Γarccos π

1−1

π2

π 3π2

2π−π2

−π−3π2

−2π 1−1

Funkcija f (x) := cos x nije bijekcija. Ali funkcija f1 : [0, π]→ [−1, 1],f1(x) := cos x ,

jest bijekcija.

Njen inverz

Funkcija arccos

x

y

Γcos x

Γf1

Γarccos π

1−1

π2

π 3π2

2π−π2

−π−3π2

−2π 1−1

arccos := f −11 : [−1, 1]→ [0, π]zovemo arkus kosinusom.

Zapamtimo:

Funkcija arccos

x

y

Γcos x

Γf1

Γarccos π

1−1 π2

π 3π2

2π−π2

−π−3π2

−2π 1−1

arccos := f −11 : [−1, 1]→ [0, π]zovemo arkus kosinusom.

Zapamtimo:

Funkcija arccos

x

y

Γcos x

Γf1

Γarccos π

1−1 π2

π 3π2

2π−π2

−π−3π2

−2π 1−1

Funkcija arccos na brojevnoj kruºnici

x

π 0

f1(x)

f1 : [0, π]→ [−1, 1]

arccos y

y−1 1

arccos : [−1, 1]→ [0, π]

Funkcija arctg

x

y Γtg

Γf1

Γarctgπ2

−π2

π2

π 3π2

2π−π2

−π−3π2

−2π

1

Funkcija arctg de�nira se kao inverz bijekcije f1 :〈−π

2, π2

〉→ R,

f1(x) := tg x .

Zapamtimo:

arctg y = jedinstven x ∈〈−π

2, π2

〉takav da je tg x = y .

Funkcija arctg

x

y

Γtg

Γf1

Γarctgπ2

−π2

π2

π 3π2

2π−π2

−π−3π2

−2π

1

2, π2

〉→ R,

f1(x) := tg x .

Zapamtimo:

2, π2

Funkcija arctg

x

y

Γtg

Γf1

Γarctgπ2

−π2

π2

π 3π2

2π−π2

−π−3π2

−2π

1

2, π2

〉→ R,

f1(x) := tg x .

Zapamtimo:

2, π2

Funkcija arctg

x

y

Γtg

Γf1

Γarctgπ2

−π2

π2

π 3π2

2π−π2

−π−3π2

−2π

1

2, π2

〉→ R,

f1(x) := tg x .

Zapamtimo:

2, π2

Funkcija arctg na brojevnoj kruºnici

x

−π2

π2

f1(x)

f1 :〈−π

2, π2

〉→ R

−π2

π2

y

arctg y

arctg : R→〈−π

2, π2

〉

Funkcija arcctg

x

yΓctg

Γf1Γarcctg π

π2

π 3π2

2π−π2

−π−3π2

−2π

1

Funkcija arcctg de�nira se kao inverz bijekcije f1 : 〈0, π〉 → R,f1(x) := ctg x .

Zapamtimo:

arcctg y = jedinstven x ∈ 〈0, π〉 takav da je ctg x = y .

Funkcija arcctg

x

y

Γctg

Γf1

Γarcctg π

π2

π 3π2

2π−π2

−π−3π2

−2π

1

Zapamtimo:

Funkcija arcctg

x

y

Γctg

Γf1Γarcctg π

π2

π 3π2

2π−π2

−π−3π2

−2π

1

Zapamtimo:

Funkcija arcctg

x

y

Γctg

Γf1Γarcctg π

π2

π 3π2

2π−π2

−π−3π2

−2π

1

Zapamtimo:

Funkcija arcctg na brojevnoj kruºnici

x

π 0

f1(x)

f1 : 〈0, π〉 → R

arcctg y

π 0

y

arcctg : R→ 〈0, π〉

Zadatak 16

Odredite prirodnu domenu funkcije

f (x) := ctg x · arcsin(1− x2

). (1)

Rje²enje. Desna strana formule (1) de�nirana je za neki x ∈ R ako i samoako x zadovoljava sljede¢e uvjete:

x ∈ Dctg = R \ {kπ : k ∈ Z}x2 − 1 ∈ Darcsin = [−1, 1]

⇔ −1 ≤ x2 − 1 ≤ 1+1⇔ 0 ≤ x2 ≤ 2⇔ x2 ≤ 2⇔ x2 − 2 ≤ 0

⇔ x ∈[−√2,√2].

Ovi su uvjeti ekvivalentni uvjetu

x ∈[−√2,√2]\ {kπ : k ∈ Z} = [−

√2,√2] \ {0} .

Dakle, Df =[−√2,√2]\ {0}.

Zadatak 16

). (1)

x ∈ Dctg = R \ {kπ : k ∈ Z}

x2 − 1 ∈ Darcsin = [−1, 1]

⇔ −1 ≤ x2 − 1 ≤ 1+1⇔ 0 ≤ x2 ≤ 2⇔ x2 ≤ 2⇔ x2 − 2 ≤ 0

⇔ x ∈[−√2,√2].

x ∈[−√2,√2]\ {kπ : k ∈ Z} = [−

√2,√2] \ {0} .

Dakle, Df =[−√2,√2]\ {0}.

Zadatak 16

). (1)

x ∈ Dctg = R \ {kπ : k ∈ Z}x2 − 1 ∈ Darcsin = [−1, 1]

⇔ −1 ≤ x2 − 1 ≤ 1+1⇔ 0 ≤ x2 ≤ 2⇔ x2 ≤ 2⇔ x2 − 2 ≤ 0

⇔ x ∈[−√2,√2].

x ∈[−√2,√2]\ {kπ : k ∈ Z} = [−

√2,√2] \ {0} .

Dakle, Df =[−√2,√2]\ {0}.

Zadatak 16

). (1)

x ∈ Dctg = R \ {kπ : k ∈ Z}x2 − 1 ∈ Darcsin = [−1, 1] ⇔ −1 ≤ x2 − 1 ≤ 1

+1⇔ 0 ≤ x2 ≤ 2⇔ x2 ≤ 2⇔ x2 − 2 ≤ 0

⇔ x ∈[−√2,√2].

x ∈[−√2,√2]\ {kπ : k ∈ Z} = [−

√2,√2] \ {0} .

Dakle, Df =[−√2,√2]\ {0}.

Zadatak 16

). (1)

+1⇔ 0 ≤ x2 ≤ 2

⇔ x2 ≤ 2⇔ x2 − 2 ≤ 0

⇔ x ∈[−√2,√2].

x ∈[−√2,√2]\ {kπ : k ∈ Z} = [−

√2,√2] \ {0} .

Dakle, Df =[−√2,√2]\ {0}.

Zadatak 16

). (1)

+1⇔ 0 ≤ x2 ≤ 2⇔ x2 ≤ 2

⇔ x2 − 2 ≤ 0

⇔ x ∈[−√2,√2].

x ∈[−√2,√2]\ {kπ : k ∈ Z} = [−

√2,√2] \ {0} .

Dakle, Df =[−√2,√2]\ {0}.

Zadatak 16

). (1)

+1⇔ 0 ≤ x2 ≤ 2⇔ x2 ≤ 2⇔ x2 − 2 ≤ 0

⇔ x ∈[−√2,√2].

x ∈[−√2,√2]\ {kπ : k ∈ Z} = [−

√2,√2] \ {0} .

Dakle, Df =[−√2,√2]\ {0}.

Zadatak 16

). (1)

+1⇔ 0 ≤ x2 ≤ 2⇔ x2 ≤ 2⇔ x2 − 2 ≤ 0

⇔ x ∈[−√2,√2].

x ∈[−√2,√2]\ {kπ : k ∈ Z} = [−

√2,√2] \ {0} .

Dakle, Df =[−√2,√2]\ {0}.

Zadatak 16

). (1)

+1⇔ 0 ≤ x2 ≤ 2⇔ x2 ≤ 2⇔ x2 − 2 ≤ 0

⇔ x ∈[−√2,√2].

x ∈[−√2,√2]\ {kπ : k ∈ Z} = [−

√2,√2] \ {0} .

Dakle, Df =[−√2,√2]\ {0}.

Zadatak 16

). (1)

+1⇔ 0 ≤ x2 ≤ 2⇔ x2 ≤ 2⇔ x2 − 2 ≤ 0

⇔ x ∈[−√2,√2].

x ∈[−√2,√2]\ {kπ : k ∈ Z} = [−

√2,√2] \ {0} .

Dakle, Df =[−√2,√2]\ {0}.

Zadatak 17(a)

Odredite sva rje²enja (u R) jednadºbe

cos(2x − π

3

)= −√3

2.

Rje²enje. Imamo

cos(2x − π

3

)= −√3

2

⇔ 2x − π3

= ±5π6

+ 2kπ za neki k ∈ Z

⇔ 2x = π3± 5π

6+ 2kπ za neki k ∈ Z

⇔ x = π6± 5π

12+ kπ za neki k ∈ Z

⇔ x ∈{7π

12+ kπ : k ∈ Z

}∪{−π

4+ kπ : k ∈ Z

}.

-√3

2

5π6

+ 2kπ

−5π6

+ 2kπ

Zadatak 17(a)

cos(2x − π

3

)= −√3

2.

Rje²enje. Imamo

cos(2x − π

3

)= −√3

2

⇔

2x − π3

= ±5π6

⇔ 2x = π3± 5π

⇔ x = π6± 5π

⇔ x ∈{7π

12+ kπ : k ∈ Z

}∪{−π

4+ kπ : k ∈ Z

}.

-√3

2

5π6

+ 2kπ

−5π6

+ 2kπ

Zadatak 17(a)

cos(2x − π

3

)= −√3

2.

Rje²enje. Imamo

cos(2x − π

3

)= −√3

2

⇔

2x − π3

= ±5π6

⇔ 2x = π3± 5π

⇔ x = π6± 5π

⇔ x ∈{7π

12+ kπ : k ∈ Z

}∪{−π

4+ kπ : k ∈ Z

}.

-√3

2

5π6

+ 2kπ

−5π6

+ 2kπ

Zadatak 17(a)

cos(2x − π

3

)= −√3

2.

Rje²enje. Imamo

cos(2x − π

3

)= −√3

2

⇔

2x − π3

= ±5π6

⇔ 2x = π3± 5π

⇔ x = π6± 5π

⇔ x ∈{7π

12+ kπ : k ∈ Z

}∪{−π

4+ kπ : k ∈ Z

}.

-√3

2

5π6

+ 2kπ

−5π6

+ 2kπ

Zadatak 17(a)

cos(2x − π

3

)= −√3

2.

Rje²enje. Imamo

cos(2x − π

3

)= −√3

2

⇔ 2x − π3

= ±5π6

⇔ 2x = π3± 5π

⇔ x = π6± 5π

⇔ x ∈{7π

12+ kπ : k ∈ Z

}∪{−π

4+ kπ : k ∈ Z

}.

-√3

2

5π6

+ 2kπ

−5π6

+ 2kπ

Zadatak 17(a)

cos(2x − π

3

)= −√3

2.

Rje²enje. Imamo

cos(2x − π

3

)= −√3

2

⇔ 2x − π3

= ±5π6

⇔ 2x = π3± 5π

⇔ x = π6± 5π

⇔ x ∈{7π

12+ kπ : k ∈ Z

}∪{−π

4+ kπ : k ∈ Z

}.

-√3

2

5π6

+ 2kπ

−5π6

+ 2kπ

Zadatak 17(a)

cos(2x − π

3

)= −√3

2.

Rje²enje. Imamo

cos(2x − π

3

)= −√3

2

⇔ 2x − π3

= ±5π6

⇔ 2x = π3± 5π

⇔ x = π6± 5π

⇔ x ∈{7π

12+ kπ : k ∈ Z

}∪{−π

4+ kπ : k ∈ Z

}.

-√3

2

5π6

+ 2kπ

−5π6

+ 2kπ

Zadatak 17(a)

cos(2x − π

3

)= −√3

2.

Rje²enje. Imamo

cos(2x − π

3

)= −√3

2

⇔ 2x − π3

= ±5π6

⇔ 2x = π3± 5π

⇔ x = π6± 5π

⇔ x ∈{7π

12+ kπ : k ∈ Z

}∪{−π

4+ kπ : k ∈ Z

}.

-√3

2

5π6

+ 2kπ

−5π6

+ 2kπ

Zadatak 17(b)

sin(x2

+π

6

)= −1.

Rje²enje. Imamo

sin(x2

+π

6

)= −1

⇔ x2

+π

6= −π

⇔ x2

= −2π3

⇔ x = −4π3

⇔ x ∈{−4π

3+ 4kπ : k ∈ Z

}.

−π2

+ 2kπ

Zadatak 17(b)

sin(x2

+π

6

)= −1.

Rje²enje. Imamo

sin(x2

+π

6

)= −1

⇔

x

2+π

6= −π

⇔ x2

= −2π3

⇔ x = −4π3

⇔ x ∈{−4π

3+ 4kπ : k ∈ Z

}.

−π2

+ 2kπ

Zadatak 17(b)

sin(x2

+π

6

)= −1.

Rje²enje. Imamo

sin(x2

+π

6

)= −1

⇔

x

2+π

6= −π

⇔ x2

= −2π3

⇔ x = −4π3

⇔ x ∈{−4π

3+ 4kπ : k ∈ Z

}.

−π2

+ 2kπ

Zadatak 17(b)

sin(x2

+π

6

)= −1.

Rje²enje. Imamo

sin(x2

+π

6

)= −1

⇔ x2

+π

6= −π

⇔ x2

= −2π3

⇔ x = −4π3

⇔ x ∈{−4π

3+ 4kπ : k ∈ Z

}.

−π2

+ 2kπ

Zadatak 17(b)

sin(x2

+π

6

)= −1.

Rje²enje. Imamo

sin(x2

+π

6

)= −1

⇔ x2

+π

6= −π

⇔ x2

= −2π3

⇔ x = −4π3

⇔ x ∈{−4π

3+ 4kπ : k ∈ Z

}.

−π2

+ 2kπ

Zadatak 17(b)

sin(x2

+π

6

)= −1.

Rje²enje. Imamo

sin(x2

+π

6

)= −1

⇔ x2

+π

6= −π

⇔ x2

= −2π3

⇔ x = −4π3

⇔ x ∈{−4π

3+ 4kπ : k ∈ Z

}.

−π2

+ 2kπ

Zadatak 17(b)

sin(x2

+π

6

)= −1.

Rje²enje. Imamo

sin(x2

+π

6

)= −1

⇔ x2

+π

6= −π

⇔ x2

= −2π3

⇔ x = −4π3

⇔ x ∈{−4π

3+ 4kπ : k ∈ Z

}.

−π2

+ 2kπ

Zadatak 17(c)

sin 4x + sin x = 0.

Rje²enje. Koriste¢i da je za sve x , y ∈ R

sin x + sin y = 2 sinx + y

2· cos x − y

2,

dobivamo

sin(4x) + sin x = 0 ⇔ 2 sin 52x · cos 3

2x = 0

⇔ sin 52x = 0 ili cos

3

2x = 0

⇔ 52x = kπ ili

3

2x =

π

⇔ x = 2kπ5

ili x =π

3+

2kπ

3za neki k ∈ Z

⇔ x ∈{2kπ

5: k ∈ Z

}∪{π

3+

2kπ

3: k ∈ Z

}.

2kπ(2k + 1)π

π2+ 2kπ

3π2

+ 2kπ

Zadatak 17(c)

sin 4x + sin x = 0.

2· cos x − y

2,

dobivamo

2x = 0

3

2x = 0

⇔ 52x = kπ ili

3

2x =

π

⇔ x = 2kπ5

ili x =π

3+

2kπ

3za neki k ∈ Z

⇔ x ∈{2kπ

5: k ∈ Z

}∪{π

3+

2kπ

3: k ∈ Z

}.

2kπ(2k + 1)π

π2+ 2kπ

3π2

+ 2kπ

Zadatak 17(c)

sin 4x + sin x = 0.

2· cos x − y

2,

dobivamo

2x = 0

3

2x = 0

⇔ 52x = kπ ili

3

2x =

π

⇔ x = 2kπ5

ili x =π

3+

2kπ

3za neki k ∈ Z

⇔ x ∈{2kπ

5: k ∈ Z

}∪{π

3+

2kπ

3: k ∈ Z

}.

2kπ(2k + 1)π

π2+ 2kπ

3π2

+ 2kπ

Zadatak 17(c)

sin 4x + sin x = 0.

2· cos x − y

2,

dobivamo

2x = 0

3

2x = 0

⇔ 52x = kπ ili

3

2x =

π

⇔ x = 2kπ5

ili x =π

3+

2kπ

3za neki k ∈ Z

⇔ x ∈{2kπ

5: k ∈ Z

}∪{π

3+

2kπ

3: k ∈ Z

}.

2kπ(2k + 1)π

π2+ 2kπ

3π2

+ 2kπ

Zadatak 17(c)

sin 4x + sin x = 0.

2· cos x − y

2,

dobivamo

2x = 0

3

2x = 0

⇔ 52x = kπ ili

3

2x =

π

⇔ x = 2kπ5

ili x =π

3+

2kπ

3za neki k ∈ Z

⇔ x ∈{2kπ

5: k ∈ Z

}∪{π

3+

2kπ

3: k ∈ Z

}.

2kπ(2k + 1)π

π2+ 2kπ

3π2

+ 2kπ

Zadatak 17(c)

sin 4x + sin x = 0.

2· cos x − y

2,

dobivamo

2x = 0

3

2x = 0

⇔ 52x = kπ ili

3

2x =

π

⇔ x = 2kπ5

ili x =π

3+

2kπ

3za neki k ∈ Z

⇔ x ∈{2kπ

5: k ∈ Z

}∪{π

3+

2kπ

3: k ∈ Z

}.

2kπ(2k + 1)π

π2+ 2kπ

3π2

+ 2kπ

Zadatak 17(c)

sin 4x + sin x = 0.

2· cos x − y

2,

dobivamo

2x = 0

3

2x = 0

⇔ 52x = kπ ili

3

2x =

π

⇔ x = 2kπ5

ili x =π

3+

2kπ

3za neki k ∈ Z

⇔ x ∈{2kπ

5: k ∈ Z

}∪{π

3+

2kπ

3: k ∈ Z

}.

2kπ(2k + 1)π

π2+ 2kπ

3π2

+ 2kπ

Zadatak 17(c)

sin 4x + sin x = 0.

2· cos x − y

2,

dobivamo

2x = 0

3

2x = 0

⇔ 52x = kπ ili

3

2x =

π

⇔ x = 2kπ5

ili x =π

3+

2kπ

3za neki k ∈ Z

⇔ x ∈{2kπ

5: k ∈ Z

}∪{π

3+

2kπ

3: k ∈ Z

}.

2kπ(2k + 1)π

π2+ 2kπ

3π2

+ 2kπ

Zadatak 17(c)

sin 4x + sin x = 0.

2· cos x − y

2,

dobivamo

2x = 0

3

2x = 0

⇔ 52x = kπ ili

3

2x =

π

⇔ x = 2kπ5

ili x =π

3+

2kπ

3za neki k ∈ Z

⇔ x ∈{2kπ

5: k ∈ Z

}∪{π

3+

2kπ

3: k ∈ Z

}.

2kπ(2k + 1)π

π2+ 2kπ

3π2

+ 2kπ

Zadatak 17(c)

sin 4x + sin x = 0.

2· cos x − y

2,

dobivamo

2x = 0

3

2x = 0

⇔ 52x = kπ ili

3

2x =

π

⇔ x = 2kπ5

ili x =π

3+

2kπ

3za neki k ∈ Z

⇔ x ∈{2kπ

5: k ∈ Z

}∪{π

3+

2kπ

3: k ∈ Z

}.

2kπ(2k + 1)π

π2+ 2kπ

3π2

+ 2kπ

Zadatak 17(c)

sin 4x + sin x = 0.

2· cos x − y

2,

dobivamo

2x = 0

3

2x = 0

⇔ 52x = kπ ili

3

2x =

π

⇔ x = 2kπ5

ili x =π

3+

2kπ

3za neki k ∈ Z

⇔ x ∈{2kπ

5: k ∈ Z

}∪{π

3+

2kπ

3: k ∈ Z

}.

2kπ(2k + 1)π

π2+ 2kπ

3π2

+ 2kπ

Zadatak 17(d)

sin2 x + 3 sin x · cos x + 2 cos2 x = 0.

Rje²enje. Dijeljenjem jednadºbe sa cos2 x(nakon provjere da cos x = 0 ne daje rje-²enje) dobivamo ekvivalentnu jednadºbu

tg2 x + 3 tg x + 2 = 0

⇔ (supst. t = tg x) ⇔ t2 + 3t + 2 = 0⇔ (t + 1)(t + 2) = 0⇔ t = −1 ili t = −2⇔ tg x = −1 ili tg x = −2

⇔ x = −π4

+ kπ za neki k ∈ Z ili x = arctg(−2) + kπ za neki k ∈ Z

⇔ x ∈{−π

4+ kπ : k ∈ Z

}∪ {arctg(−2) + kπ : k ∈ Z} .

3π4

+ 2kπ

−π4+ 2kπ

arctg(−2) + (2k + 1)π

arctg(−2) + 2kπ −1

−2

Zadatak 17(d)

tg2 x + 3 tg x + 2 = 0

⇔ x = −π4

⇔ x ∈{−π

4+ kπ : k ∈ Z

}∪ {arctg(−2) + kπ : k ∈ Z} .

3π4

+ 2kπ

−π4+ 2kπ

arctg(−2) + (2k + 1)π

arctg(−2) + 2kπ −1

−2

Zadatak 17(d)

tg2 x + 3 tg x + 2 = 0

⇔ (supst. t = tg x) ⇔ t2 + 3t + 2 = 0

⇔ (t + 1)(t + 2) = 0⇔ t = −1 ili t = −2⇔ tg x = −1 ili tg x = −2

⇔ x = −π4

⇔ x ∈{−π

4+ kπ : k ∈ Z

}∪ {arctg(−2) + kπ : k ∈ Z} .

3π4

+ 2kπ

−π4+ 2kπ

arctg(−2) + (2k + 1)π

arctg(−2) + 2kπ −1

−2

Zadatak 17(d)

tg2 x + 3 tg x + 2 = 0

⇔ (supst. t = tg x) ⇔ t2 + 3t + 2 = 0⇔ (t + 1)(t + 2) = 0

⇔ t = −1 ili t = −2⇔ tg x = −1 ili tg x = −2

⇔ x = −π4

⇔ x ∈{−π

4+ kπ : k ∈ Z

}∪ {arctg(−2) + kπ : k ∈ Z} .

3π4

+ 2kπ

−π4+ 2kπ

arctg(−2) + (2k + 1)π

arctg(−2) + 2kπ −1

−2

Zadatak 17(d)

tg2 x + 3 tg x + 2 = 0

⇔ (supst. t = tg x) ⇔ t2 + 3t + 2 = 0⇔ (t + 1)(t + 2) = 0⇔ t = −1 ili t = −2

⇔ tg x = −1 ili tg x = −2

⇔ x = −π4

⇔ x ∈{−π

4+ kπ : k ∈ Z

}∪ {arctg(−2) + kπ : k ∈ Z} .

3π4

+ 2kπ

−π4+ 2kπ

arctg(−2) + (2k + 1)π

arctg(−2) + 2kπ −1

−2

Zadatak 17(d)

tg2 x + 3 tg x + 2 = 0

⇔ x = −π4

⇔ x ∈{−π

4+ kπ : k ∈ Z

}∪ {arctg(−2) + kπ : k ∈ Z} .

3π4

+ 2kπ

−π4+ 2kπ

arctg(−2) + (2k + 1)π

arctg(−2) + 2kπ −1

−2

Zadatak 17(d)

tg2 x + 3 tg x + 2 = 0

⇔ x = −π4

⇔ x ∈{−π

4+ kπ : k ∈ Z

}∪ {arctg(−2) + kπ : k ∈ Z} .

3π4

+ 2kπ

−π4+ 2kπ

arctg(−2) + (2k + 1)π

arctg(−2) + 2kπ

−1

−2

Zadatak 17(d)

tg2 x + 3 tg x + 2 = 0

⇔ x = −π4

⇔ x ∈{−π

4+ kπ : k ∈ Z

}∪ {arctg(−2) + kπ : k ∈ Z} .

3π4

+ 2kπ

−π4+ 2kπ

arctg(−2) + (2k + 1)π

arctg(−2) + 2kπ

−1

−2

Zadatak 17(d)

tg2 x + 3 tg x + 2 = 0

⇔ x = −π4

+ kπ za neki k ∈ Z ili

x = arctg(−2) + kπ za neki k ∈ Z

⇔ x ∈{−π

4+ kπ : k ∈ Z

}∪ {arctg(−2) + kπ : k ∈ Z} .

3π4

+ 2kπ

−π4+ 2kπ

arctg(−2) + (2k + 1)π

arctg(−2) + 2kπ

−1

−2

Zadatak 17(d)

tg2 x + 3 tg x + 2 = 0

⇔ x = −π4

⇔ x ∈{−π

4+ kπ : k ∈ Z

}∪ {arctg(−2) + kπ : k ∈ Z} .

3π4

+ 2kπ

−π4+ 2kπ

arctg(−2) + (2k + 1)π

arctg(−2) + 2kπ

−1

−2

Zadatak 17(d)

tg2 x + 3 tg x + 2 = 0

⇔ x = −π4

⇔ x ∈{−π

4+ kπ : k ∈ Z

}∪ {arctg(−2) + kπ : k ∈ Z} .

3π4

+ 2kπ

−π4+ 2kπ

arctg(−2) + (2k + 1)π

arctg(−2) + 2kπ −1

−2

Zadatak 17(d)

tg2 x + 3 tg x + 2 = 0

⇔ x = −π4

⇔ x ∈{−π

4+ kπ : k ∈ Z

}∪ {arctg(−2) + kπ : k ∈ Z} .

3π4

+ 2kπ

−π4+ 2kπ

arctg(−2) + (2k + 1)π

arctg(−2) + 2kπ −1

−2

Zadatak 17(d)

tg2 x + 3 tg x + 2 = 0

⇔ x = −π4

⇔ x ∈{−π

4+ kπ : k ∈ Z

}∪ {arctg(−2) + kπ : k ∈ Z} .

3π4

+ 2kπ

−π4+ 2kπ

arctg(−2) + (2k + 1)π

arctg(−2) + 2kπ −1

−2

Zadatak 17(e)

2 sin x − 3 cos x = 1.

Rje²enje. Jednadºbea sin x + b cos x = c ,

gdje su a, b, c ∈ R \ {0}, najlak²e je rije²iti uvoenjem tzv. univerzalnesupstitucije

t = tgx

2; sin x =

2t

1 + t2, cos x =

1− t2

1 + t2.

U na²em primjeru supstitucija t = tg x2daje jednadºbu

2 · 2t1 + t2

− 3 · 1− t2

1 + t2= 1

sami⇔ t = −2±√12

2= −1±

√3

⇔ tg x2

= −1±√3 ⇔ x

2= arctg

(−1±

√3)

+ kπ za neki k ∈ Z

⇔ x ∈{2 arctg

(−1±

√3)

+ 2kπ : k ∈ Z}.

! Na kraju trebamo provjeriti jesu li i brojevi x = (2k + 1)π, k ∈ Z (za kojetg x

2nije de�niran) rje²enja. U ovom zadatku o£ito nisu.

Zadatak 17(e)

2 sin x − 3 cos x = 1.

t = tgx

2; sin x =

2t

1 + t2, cos x =

1− t2

1 + t2.

2 · 2t1 + t2

− 3 · 1− t2

1 + t2= 1

sami⇔ t = −2±√12

2= −1±

√3

⇔ tg x2

= −1±√3 ⇔ x

2= arctg

(−1±

√3)

⇔ x ∈{2 arctg

(−1±

√3)

+ 2kπ : k ∈ Z}.

Zadatak 17(e)

2 sin x − 3 cos x = 1.

t = tgx

2; sin x =

2t

1 + t2, cos x =

1− t2

1 + t2.

2 · 2t1 + t2

− 3 · 1− t2

1 + t2= 1

sami⇔ t = −2±√12

2= −1±

√3

⇔ tg x2

= −1±√3 ⇔ x

2= arctg

(−1±

√3)

⇔ x ∈{2 arctg

(−1±

√3)

+ 2kπ : k ∈ Z}.

Zadatak 17(e)

2 sin x − 3 cos x = 1.

t = tgx

2; sin x =

2t

1 + t2, cos x =

1− t2

1 + t2.

2 · 2t1 + t2

− 3 · 1− t2

1 + t2= 1

sami⇔ t = −2±√12

2= −1±

√3

⇔ tg x2

= −1±√3 ⇔ x

2= arctg

(−1±

√3)

⇔ x ∈{2 arctg

(−1±

√3)

+ 2kπ : k ∈ Z}.

Zadatak 17(e)

2 sin x − 3 cos x = 1.

t = tgx

2; sin x =

2t

1 + t2, cos x =

1− t2

1 + t2.

2 · 2t1 + t2

− 3 · 1− t2

1 + t2= 1

sami⇔ t = −2±√12

2= −1±

√3

⇔ tg x2

= −1±√3

⇔ x2

= arctg(−1±

√3)

⇔ x ∈{2 arctg

(−1±

√3)

+ 2kπ : k ∈ Z}.

Zadatak 17(e)

2 sin x − 3 cos x = 1.

t = tgx

2; sin x =

2t

1 + t2, cos x =

1− t2

1 + t2.

2 · 2t1 + t2

− 3 · 1− t2

1 + t2= 1

sami⇔ t = −2±√12

2= −1±

√3

⇔ tg x2

= −1±√3 ⇔ x

2= arctg

(−1±

√3)

⇔ x ∈{2 arctg

(−1±

√3)

+ 2kπ : k ∈ Z}.

Zadatak 17(e)

2 sin x − 3 cos x = 1.

t = tgx

2; sin x =

2t

1 + t2, cos x =

1− t2

1 + t2.

2 · 2t1 + t2

− 3 · 1− t2

1 + t2= 1

sami⇔ t = −2±√12

2= −1±

√3

⇔ tg x2

= −1±√3 ⇔ x

2= arctg

(−1±

√3)

⇔ x ∈{2 arctg

(−1±

√3)

+ 2kπ : k ∈ Z}.

Zadatak 17(e)

2 sin x − 3 cos x = 1.

t = tgx

2; sin x =

2t

1 + t2, cos x =

1− t2

1 + t2.

2 · 2t1 + t2

− 3 · 1− t2

1 + t2= 1

sami⇔ t = −2±√12

2= −1±

√3

⇔ tg x2

= −1±√3 ⇔ x

2= arctg

(−1±

√3)

⇔ x ∈{2 arctg

(−1±

√3)

+ 2kπ : k ∈ Z}.

2nije de�niran) rje²enja.

U ovom zadatku o£ito nisu.

Zadatak 17(e)

2 sin x − 3 cos x = 1.

t = tgx

2; sin x =

2t

1 + t2, cos x =

1− t2

1 + t2.

2 · 2t1 + t2

− 3 · 1− t2

1 + t2= 1

sami⇔ t = −2±√12

2= −1±

√3

⇔ tg x2

= −1±√3 ⇔ x

2= arctg

(−1±

√3)

⇔ x ∈{2 arctg

(−1±

√3)

+ 2kπ : k ∈ Z}.

Zadatak 18(a)

Rije²ite nejednadºbu

cos(2x − π

3

)< −√3

2.

Rje²enje. Imamo

cos(2x − π

3

)< −√3

2

slika

⇔ 5π6

+ 2kπ < 2x − π3<

7π

+π3⇔ 7π

6+ 2kπ < 2x <

3π

· 12⇔ 7π

12+ kπ < x <

3π

⇔ x ∈⋃k∈Z

〈7π

12+ kπ,

3π

4+ kπ

〉.

-√3

2

5π6

+ 2kπ

7π6

+ 2kπ

Zadatak 18(a)

cos(2x − π

3

)< −√3

2.

Rje²enje. Imamo

cos(2x − π

3

)< −√3

2

slika

⇔

5π

6+ 2kπ < 2x − π

3<

7π

+π3⇔ 7π

6+ 2kπ < 2x <

3π

· 12⇔ 7π

12+ kπ < x <

3π

⇔ x ∈⋃k∈Z

〈7π

12+ kπ,

3π

4+ kπ

〉.

-√3

2

5π6

+ 2kπ

7π6

+ 2kπ

Zadatak 18(a)

cos(2x − π

3

)< −√3

2.

Rje²enje. Imamo

cos(2x − π

3

)< −√3

2

slika

⇔

5π

6+ 2kπ < 2x − π

3<

7π

+π3⇔ 7π

6+ 2kπ < 2x <

3π

· 12⇔ 7π

12+ kπ < x <

3π

⇔ x ∈⋃k∈Z

〈7π

12+ kπ,

3π

4+ kπ

〉.

-√3

2

5π6

+ 2kπ

7π6

+ 2kπ

Zadatak 18(a)

cos(2x − π

3

)< −√3

2.

Rje²enje. Imamo

cos(2x − π

3

)< −√3

2

slika

⇔

5π

6+ 2kπ < 2x − π

3<

7π

+π3⇔ 7π

6+ 2kπ < 2x <

3π

· 12⇔ 7π

12+ kπ < x <

3π

⇔ x ∈⋃k∈Z

〈7π

12+ kπ,

3π

4+ kπ

〉.

-√3

2

5π6

+ 2kπ

7π6

+ 2kπ

Zadatak 18(a)

cos(2x − π

3

)< −√3

2.

Rje²enje. Imamo

cos(2x − π

3

)< −√3

2slika⇔ 5π

6+ 2kπ < 2x − π

3<

7π

+π3⇔ 7π

6+ 2kπ < 2x <

3π

· 12⇔ 7π

12+ kπ < x <

3π

⇔ x ∈⋃k∈Z

〈7π

12+ kπ,

3π

4+ kπ

〉.

-√3

2

5π6

+ 2kπ

7π6

+ 2kπ

Zadatak 18(a)

cos(2x − π

3

)< −√3

2.

Rje²enje. Imamo

cos(2x − π

3

)< −√3

2slika⇔ 5π

6+ 2kπ < 2x − π

3<

7π

+π3⇔ 7π

6+ 2kπ < 2x <

3π

· 12⇔ 7π

12+ kπ < x <

3π

⇔ x ∈⋃k∈Z

〈7π

12+ kπ,

3π

4+ kπ

〉.

-√3

2

5π6

+ 2kπ

7π6

+ 2kπ

Zadatak 18(a)

cos(2x − π

3

)< −√3

2.

Rje²enje. Imamo

cos(2x − π

3

)< −√3

2slika⇔ 5π

6+ 2kπ < 2x − π

3<

7π

+π3⇔ 7π

6+ 2kπ < 2x <

3π

· 12⇔ 7π

12+ kπ < x <

3π

⇔ x ∈⋃k∈Z

〈7π

12+ kπ,

3π

4+ kπ

〉.

-√3

2

5π6

+ 2kπ

7π6

+ 2kπ

Zadatak 18(a)

cos(2x − π

3

)< −√3

2.

Rje²enje. Imamo

cos(2x − π

3

)< −√3

2slika⇔ 5π

6+ 2kπ < 2x − π

3<

7π

+π3⇔ 7π

6+ 2kπ < 2x <

3π

· 12⇔ 7π

12+ kπ < x <

3π

⇔ x ∈⋃k∈Z

〈7π

12+ kπ,

3π

4+ kπ

〉.

-√3

2

5π6

+ 2kπ

7π6

+ 2kπ

Zadatak 18(b)

ctg x ≥ 1.

Rje²enje.1

(2k + 1)π 2kπ

π4+ 2kπ

5π4

+ 2kπ

Sa slike vidimo da je

ctg x ≥ 1 ⇔ x ∈⋃k∈Z

(〈2kπ,

π

4+ 2kπ

]∪〈

(2k + 1)π,π

4+ (2k + 1)π

])⇔ x ∈

⋃k∈Z

〈kπ,

π

4+ kπ

].

Zadatak 18(b)

ctg x ≥ 1.

Rje²enje.1

(2k + 1)π 2kπ

π4+ 2kπ

5π4

+ 2kπ

ctg x ≥ 1 ⇔ x ∈⋃k∈Z

(〈2kπ,

π

4+ 2kπ

]∪〈

(2k + 1)π,π

4+ (2k + 1)π

])⇔ x ∈

⋃k∈Z

〈kπ,

π

4+ kπ

].

Zadatak 18(b)

ctg x ≥ 1.

Rje²enje.1

(2k + 1)π 2kπ

π4+ 2kπ

5π4

+ 2kπ

ctg x ≥ 1 ⇔ x ∈⋃k∈Z

(〈2kπ,

π

4+ 2kπ

]∪〈

(2k + 1)π,π

4+ (2k + 1)π

])⇔ x ∈

⋃k∈Z

〈kπ,

π

4+ kπ

].

Zadatak 18(b)

ctg x ≥ 1.

Rje²enje.1

(2k + 1)π 2kπ

π4+ 2kπ

5π4

+ 2kπ

ctg x ≥ 1 ⇔ x ∈⋃k∈Z

(〈2kπ,

π

4+ 2kπ

]∪〈

(2k + 1)π,π

4+ (2k + 1)π

])⇔ x ∈

⋃k∈Z

〈kπ,

π

4+ kπ

].

Zadatak 18(b)

ctg x ≥ 1.

Rje²enje.1

(2k + 1)π 2kπ

π4+ 2kπ

5π4

+ 2kπ

ctg x ≥ 1 ⇔ x ∈⋃k∈Z

(〈2kπ,

π

4+ 2kπ

]∪〈

(2k + 1)π,π

4+ (2k + 1)π

])⇔ x ∈

⋃k∈Z

〈kπ,

π

4+ kπ

].

Zadatak 18(b)

ctg x ≥ 1.

Rje²enje.1

(2k + 1)π 2kπ

π4+ 2kπ

5π4

+ 2kπ

ctg x ≥ 1 ⇔ x ∈⋃k∈Z

(〈2kπ,

π

4+ 2kπ

]∪〈

(2k + 1)π,π

4+ (2k + 1)π

])

⇔ x ∈⋃k∈Z

〈kπ,

π

4+ kπ

].

Zadatak 18(b)

ctg x ≥ 1.

Rje²enje.1

(2k + 1)π 2kπ

π4+ 2kπ

5π4

+ 2kπ

ctg x ≥ 1 ⇔ x ∈⋃k∈Z

(〈2kπ,

π

4+ 2kπ

]∪〈

(2k + 1)π,π

4+ (2k + 1)π

])⇔ x ∈

⋃k∈Z

〈kπ,

π

4+ kπ

].

Documents

tg x := ctg xszunar/m1_materijali...Funkcije sin i cos x y sin cos ˇ 2 ˇ 3 ˇ 2 ˇ 2 ˇ 2 3 ˇ2 ˇ 2 ˇ 1 1 Funkcija sin : R !R je neparna i 2 ˇ-periodi£na, dakle sin( x) = sinx