Upload
others
View
0
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
���������� ����� ������������������������ ��������������������� ������ ����������!�" ��������#����!���$���%&'(���� ������������� ��)�*�(� ��+��
%�"������, ������- .��+� .�%0��� 1��������� ������)�*�
�������-�2�����
�34 � ������5
��������(������� �� �*�� �-����%6�����(�)���������)�*����(� ��+��%��''�����)�*��(�, �7�� ������� ����������
���8� � 2546������2�=�%6�����(������� �� �*��
ISBN 974-451-505-8
�������������� ���������������������������������������������
�������������������� ��!"#���$�%&�%
��������������� ��������������������������������������������������������������������� �!��"�����#$�������!���%�����#��&'�&���(�� �)��#�!��*)����(�� ��#��!�+�) ��'���-����)(��)�� '�&�#�������!��!� ������
��������������� �������������
..................... �������������(1*�-���(��)������� ��.��-!� -2����)
..................... �������(1*�-���(��)�������� ���(�� -2����)
���������������������������������
..................... �������������(1*�-���(��)������� ��.��-!� -2����)
..................... �������(1*�-���(��)�������� ���(�� -2����)
..................... ���������)�&)!"&�����)��(������� ��.���� ���4#��&(��)
..................... ���������)�&)!"&�����)��(1*�-���(��)��������������� �2�����)
�#�������!��!� ����5�!)�6#��!������������ �!��" ��%�����#��&'�&���(�� �)��#�!��*)����77����(�� ��#��!�+�) ��'���-����)(��)��'�&�#�������!��!� ��
............... ..��������5��������!�+�)(�� �(������� ��. !��!� ��&-���)
�!�� ��8�� ���9��� �.(. 2546
"����' ���"���
����������� �!��"���$����*��������������-����#�8� ����2� )�������''��������&'�&���������������6#��2����� �����&���&���1*�-���(��)������� ��. ��-!� -2��� ����������������1*�-���(��)�������� ���(� -2��� ������������ ������������� 1*����!�'�����'������5���%�����&�*&��� � 4�����"
'�'������5� ������� ��. ����� ���4#��&(� ��. ����) ����&�!)������������������ �&(���> ������5��6#��2�����2� ?�&��%����4�-������&��&)�����(�� ����������!"&�" ���'������5��������1*�����5���������>�����������*� ������ ���6#��2�����2�)��& @��%�����&�)���������������(�� ���*�6��#�������!��!� ��
'�'������5� ��&��8�� �� �5����4-)� ��*6#7�4�&���������-�(�� ����'�'���5��!�(�� ����!�-!"� ���.14�&���������-�(�� � ������5��6#����������8�6������$�������'���*���%�����&��
'�'���5���� !���$�?!� ������*����� (Taxas Instrument) ������!���5��&���5��5�#�5�����2�����������������5��6#�������5�����#�6����6#��8����8�&�2�����-�&���M��6-�6��������&���!�
'�'���5������&������ N����!�+� �����&�������� ��!���O�� ������5��6#��2�����2�?�&��%����4�-������&��&)�����(�� ����������!"&�"
'�'���5���&����!&��� 4P �)��)� �����&������5���� ��-��#� ������5��-����#�8�6�������*����!� �'�&����������� �!��"
'�����'������5� �5���� �5���� ���'�'���5� � @ ��8�� @ ���& @ �5����6#������-����#�8����6#��2��!&6�6�����2��������������!"&�"���2���$�
�5�����!"&#��������!��������������� �!��" 1*����!�'������%��)!7Q*�)����)������������� �*�����������7�)�����&�5������6#�������))������!���5����(�� �'�&1*����!�)�����
(5R-!� ��8�&��-
���������� ���
1 ����� ��������������������������������� ��������������������������������..�������� ������������������������������������������������������������������������������.������������������������������������������.�..��� �������������������������������������.�����!�"�# $"�%�������������������������..
2 �����'�%���������() �()���*�����������������������... ��+)�������, -�����.�����������������������.
�������� ��+)�������, -�����./��������,��!����#��������...�*�'�%���/����/-* ��+)�������,'�% ��+)�������, -�����.0�%������ �(���������,��!����#�������������������������/-* ��+)�������, -�����./� *�� �(����������������..
�1���!�# -���,��!����#�����������������������.���� �������1���!�#'�%�1���!�# -���,��!����#����������..������/ * ��2�1���!�# -���,��!����#����������������.
���������3/����'�*1���#04� � -���,��!����#�����������..�...���� ���1���#04� � -���,��!����#��������������.��..��5�������������'�*1���#04� � -���,��!����#�����������...���"�6�����������3/����'�*1���#04� � -���,��!����#�������..���7��7(/����'�*1���#04� � -���,��!����#��������������..
���������() �()���*��.....................................................................................................��������/�0�% �!...............................................................................................������������0�% �!.............................................................................................
1133445
677
10131515172424252931393941
���� ���
3 ��7(2�� �����������...��������������������������0�%-���'�%���������������������������������.�... ��+)���+��()/-*/�����2���'�% �?��������*���������������.���2�� �����������'�% �?��������*������������������������ ���% #�*��������������������������.�...
���������� �������������������������������������
4. @������ ���% #�*����������������������������������A,#�()/-*/������ ���% #�*���������������������.���2����5�/������ ���% #�*�����������������������..@������ ���% #�*���������������������������
5. ��� � ��!"#� �$�"���#� %���������%�����������������.
����������������������������������..�������� ����������������������������������.���2�� ����������������������������������.����� ���% #�*��������������������������.
���0@�����������������������������������.��0���@������������������������������*� ���'�%���������������������������.
434343474748
50505051
55
55555556565759
���,�������������������������������������
��@���������������������������������. �...��@��� � '@���������������������������������@��� � '���2�����2�1���!�# -���,��!����# �()�����0��"��7# '�% '��
�2�����2���������3/����'�*1���#04� � -���,��!����# �()��������0�%����#�0��"��7# ������������������������������
60
6768
164
��@��� � ���-+)�@* -()��-�� ������������������������@��� � �������������� (p) ������������'�� (r) ���'���2�����2�1���!�# -��
�,��!����# �()�����0��"��7#'�%'���2�����2���������3/����'�*1���#04� � -���,��!����# �()��������0�%����#0��"��7#'�%������� -+)���)����'���2�����5�$������������������.............................................................
����2�����������������������������������...
0�%����������@*���������������������������������..
172
174
177
182
��������������
��������� ���
1 '�2���� �������"��7#���.4��#-����(1�,��������������������2 '�2���� ����0��"��7#G�������2 �� '�%���'�����0�%������.4��#-��" ����.�3 '�2����. 3 ���� HI)������3 ���G2*/� ���0J������������������.��.4 '�2����'�*�%������� ���'0�� �������2*��.K����# '�%���'0�����
�����/��%�� ����� �����������������������5 '�2���������,���"(-�,�� '�%'�2����.�������� -�����"��7#����.��.
6 '�2����.���1x7x17x)x(f 2
3
++−
= ����������������...
7 '�2���� ���� ∫
π3
0
2 dx)xsin(x ��������������������
8 '�2���!��������@*��� ��%2��2��'�%���"�������������.9 '�2����'�*04� �'�%��2 �()�����04� ������������������10 '�2����2����5�����������1���!�#� -���,��!����#������������...
788
89
9
10
131421
����������
����� ���
1 �%'�� $�()�'�%���� �()�� ����������������2�����2�1���!�# -���,��!����#��% ����������() �(��12�/-* ��+)�������, -�����.'�%������() �(��12�G��/-* ��+)�������, -�����.0�%������ �(�� �������2���������������...
2 @�����2���'���( "+)� 0�(�� �(���1���!�# -���,��!����#�% ����������() �(��12�/-* ��+)�������, -�����.���������() �(��12�G��/-* ��+)�������, -�����.0�%������ �(�� �������2����������������������.
3 �%'�� $�()�'�%���� �()�� ����������������2�����2���������3/����'�*1���#04� � -���,��!����#�% ����������() �(��12�/-* ��+)�������, -�����.���������() �(��12�G��/-* ��+)�������, -�����.0�%������ �(�� �������2���..
4 @�����2���'���( "+)� 0�(�� �(�����������3/����'�*1���#04� � -���,��!����#�% ����������() �(��12�/-* ��+)�������, -�����.���������() �(��12�G��/-* ��+)�������, -�����.0�%������ �(�� �������2�����������
51
52
53
54
����� 1
����
�� ����
���������� ���� ����������������������������� ��� !� " #�����$ %&��'� ��(�� � ��� �"������� � )�* � ����������� +��� ���,"�"��'������ -��������.�/ ����0. -� �+��+ �����"��$ %&��'��� �/� 1�� ��������2��.������ ���� ��� ���� �3� 4�� $��% �/(���.�� $��%��5��� (����(���� / )��$ %&��' � ��� � )�* � ���� ��(��+��� ��"$�����"�' �� (� )�/ �� -"��+�. 2542 : 4) � $��%��5��� (����(�+��� / )�" /�� ���%��� �/(������� ��� ����.��� � ��� 4� � ����"������1/ (�� $ ���= ��>.2543 : 6)
�1��$�� ���5���A"����-"-"�0� B��� / )�� �� ����.���5�������� -2��A�-����� �������� ���� 1�,�� ����� ����1* � ����� 4������ C ����0 �A������4���� ���,�������������+ " #���#��(���'��1��$�� ���5���A"��������+���� -� �-��� ��� �� �--��� ��-��-+ #������� ��� ���.��2� ��� ���A����A����� �'0� ������5�/(#�&���� $��%��"�� �+��� D �������' �B���.��"������"�$�� �����"���������������$ ���� 4�"��1��$�� � (�� �/ "�/����. 2544 : 7) ��/�� /�/�*��� (2539 : 1) ,���������1��$�� ���5���A"��������+���� -������ � �-��� ����.��2� �1��$�� �HI��.������������ ��-��-�����5� �&�+����"�� .�� D �+ ����' �B���.��"��"����������"�$�� � ��$�� �$�� � J�J ��������$ ��1��$�� �" #���#� � �� ���������,��� ��-2��0� !'��� � ����1��$�� ��"�"���� '�� ���+��$4����3�- ��� �3� 4�� $��%� �" ��$��%*�� "0�.�" -�� 2�� �K"*�="�� � � ����1��$�� ���4��� �� -��0($4����3�- ��� �3� 4�� $��%. 2544 : 3) ��.��.����"��"0�.�2�� �K"*�="�� � ����1��$�� ����4��� �� -��0�!��(����'��1��$�� ���5���A"����5���* � ��"��'�"0�.���������+��'� 424����'0��5�"��'�����."��*�-������5���* ��.���5� 4�* �����$ ��"�������"�� $��%
2
�L''�- ��(������"�������"�� $��%,���+����-"-"���� ' ���'� �� � ���� ����1��$�� � /� �%1�� ������ D "��� 4'������.�� �� ���"���'0��(#�.��A ���� ����M/���.���� �������������!'����� D .��,� ����' �B ��.��"�����"�����������.������(��� ������� �A�� �� (���M��,��� �" " $�� �C-- �"��// �������� (����" $���)�� (���M�/+��$� %� �� (������/����� � �� (����0��1 ��5���� �(��� ���"0�.������ � ��� 4����+�#� � �.� ���� A���C��"����� 4���� �������.!� �.���� 4���� �� ���A���� ������+��'��� (��� �"��� 4���,��� !����'0,������C� ����� C� ��� 4�,����+�#���A�������"����� (' �� �.�����M��. �.�.�. : 6) �(��� $��%� �A�������� ����'� �� � ���� ����.���5� 4�* � ����� ���.�� 4�� C�������/K��� �� ����������� �� �����5�$4������,��������� ���- ������/������������ (�0��� ��AA �$ ��. 2542 : 1) ���24�� ���"��� �'������������ ��� 4�'��.������ 4�"������4� �-� � " #�'�� 424���� �� (������/����� �����* �A���������
�� (����0��1�A��� N (graphing calculator) ��5��"�������"�� $��%A���.����"����� ���"*�/��� "0���4� �� C�A���5��� (����0��1,�� ��.�������'0 �� C�+����� �� ��-(#����� ���� 4�� N,��" #����������������� �A���,��.�� D �����A�������� -�� (������/����� � �����+����!��� C/�/���� �,������� �� (����0��1�A��� N �/����+����-"-"���� � ���� ������ ��"$,"� �������� -��� ��"$"���0�� (����0��1�A��� N,��A���� � ���� ��������/ �.�� � �"���� 4�1��$�� ��.��A��+��� ��"$�. &��� �� (The National Council of Teachers of Mathemetics : NCTM) ���������� D ��" #����A� ,���� -�����.��A��� (����0��1��� � ���+��� �� ���� #����A #����-�'�C����"�� �(Pomerantz . 1997 : 1) �� 4�1��$�� ��.��A��+��� ��"$�. &��� ��� ��A(������ (����0��1��5��� (����(�"���0� B��� � ��� 4��1��$�� � (www.nctm.org/news/speaksout/spksoutcal.pdf : 2001) �� (����0��1�A��� NA����3�� ��� ������� � ��� 4��1��$�� ��"��'������������� -� �0��1����A�������� ��% �.��� C� ��� 4����" $������ � ������ (Wheeler et.al. 1996 : preface) �� (����0��1�A��� N�� C�A���� � ���� �����A�C��� /�A�1���A������ ����4� � NL���A ����� N ���� +�1��
����4� �� -��5��� (����(��0� B"��1��$�� �� �������/(���A�� -�+��A� ��� D����M/����+��$�� �$�� � - �. *� ��' �$ %&$�� � �/"�$�� � �����"�$�� ��(��A � "�/1������ A��*� A��/ �*��. 2538 : �0�0) � � ���� �������4� �"��2����������� �� �,����� �A��(������"��������+��A������ � ���� ��� /-��� �����A��������
3
� �0��1+ #�/(#�&� "0�.�� �� ������ ��-� 1���� � �������������LB.+����(#�.����� �A��� (����0��1�A��� N'�A���"0�.�� �� ����������� �������LB.��+�#� ���,�� 4�����-(��.������� �0��1 (�C- ������ ��� �����"�$�� �����"��������. 2544 : 1)� ��''����2��.�2�� �K"*�="�� � ����1��$�� ��4�+�#�
��(���'��L''�- �� $��%���� ��' �������� -� �0�� (����0��1�A��� N��A����� � ���� ����1��$�� ���� ��"$,"�� ������� h AA ��� ,��"0� $��%� (���2�+��� �A��� (����0��1�A��� N"����������" $���A���1��$�� � �������� C�������� �/ �*�+��� �� ���A #�� *��$��%�i"�� 3 � �� ����*�� � �� �"-���.��"�� � 2�� �3�� � �� ���A #�� *��$��%�i"�� 3 "��� �������A��� (����0��1�A��� N�����" $���A���1��$�� ���������� C�������� �/ �*��4����� �� ���"��,���A��� (����0��1�A��� N � �� #�24���' �'�����'$��%� �A��� (����0��1�A��� N ��� � �����A�1��$�� �� �/(��$��%��� �$��%"���A���� (����0��1�A��� N� ���-� � ��� '������" $���A���1��$�� ��������� C��� ����'"���LB.�A���1��$�� �������� -� �/ �*����� � ������� �/ �*��4����� �� ���"��,���A���� (����0��1�A��� N. (�,�� ����2�+��� ��' �'�"0�.������ ���A������ �0�� (����0��1�A��� N,��A���� � ���� ������,�
���������������� ���
1. �/(���� ��-�"��-���" $���A���1��$�� �������� -� �/ �*�+��� �$��%.� ��4� � ��$���- � ��AA�/A #��4� A #��i"�� 1 �.��������"���A��� (����0��1�A��� N� -�����"��,���A���� (����0��1�A��� N� ���-� � ���
2. �/(���� ��-�"��-����� C��� ����'"���LB.�A���1��$�� �������� -� � ������� �/ �*�+��� �$��%.� ��4� � ��$���- � ��AA�/A #��4� A #��i"�� 1 �.��������"���A���� (����0��1�A��� N� -�����"��,���A��� (����0��1�A��� N� ���-� � ���
���� �������� ���
1. � �$��%"���A��� (����0��1�A��� N� ���-� � �����A�1��$�� � �����" $����A���1��$�� �������� -� �/ �*��4����� �$��%"��,���A��� (����0��1�A��� N� ���-� � ����1��$�� ��
4
2. � �$��%"���A��� (����0��1�A��� N� ���-� � �����A�1��$�� ��������� C��� ����'"���LB.�A���1��$�� �������� -� � ������� �/ �*��4����� �$��%"��,���A��� (����0��1�A��� N� ���-� � ����1��$�� ��
�������������� ���
1. "0�.�" -/ )�� ������" $����A���1��$�� �������� -� �/ �*��������� C��� ����'"���LB.�A���1��$�� �������� -� � ������� �/ �*�+��� �$��%.� ��4� � ��$���- � ��AA�/A #��4� A #��i"�� 1 ��� �A��� (����0��1�A��� N� ���-� � ����1��$�� ��
2. ��5����"���� / )�� � � ���� �������A��� (����0��1�A��� N3. ��5����"��.���� ��' �������� -� �A��� (����0��1�A��� N �� -A #���� D
�0. -��(#�.�1��$�� ��(�� D
��� �������� ���
� ��' �� #���# ,���0.��+�-�+�+��� ��' �,��� ���#1. � �A� ��������� �����
� �A� "���A���� ��' �� #���#��5�� �$��%.� ��4� � ��$���- � ��AA�/A #��4�A #��i"�� 1 �i� $��% 2545 � �� ����� �A��$��% �0����(�� ' �.� ��� $ �* � A � �� ��0� ����1�� �� � $��%���A� "��� �����A�1��$�� � 6
������ ����� ��5�� �$��%.� ��4� � ��$���- � ��AA�/A #��4� A #��i"�� 1 (���.1)� �� ����� �A��$��% �0����(�� ' �.� ��� $ �* � A � �� ��0� ����1�� �� � -$��%���A� "��� �����A�1��$�� � 6 �� ���"�� 2 �i� $��% 2545 ����,��'�� �����������'0��� 40 �� �-����5������"���� 20 �� ����������-��� 20 ��
2. ��(#�."���A���� ��' ���5���(#�..� ��4� ��A�1��$�� � 6 � (��� � �/ �*����� � ������� �/ �*� �� -� ��$���- � ��AA�/A #��4� A #��i"�� 1 ��.� ��4� � ��A��$��%����AA�/A������.� � ����� �-����. �+�����,���#
1) � �/ �*����� �/ �*��+��NL���A �/�A�1��2) � �/ �*��+��NL���A �� ���1�������� �/ �*��+��NL���A �� ���1����2�2 �
5
3) � �/ �*��+��NL���A ���� �"�����NL���A �A�#�0� �4) �"����� .��� �/ �*��5) � �/ �*�'0� ��+����� � �������
3. ������"���A���� ���'0��� 18 �- �-�� 50 �"����� ���"�� 2 �i� $��%2545
4. � ��� "��$��%1) � ��� ��� � �(�� �A��� (����0��1�A��� N� ���-� � ����1��$�� �
2) � ��� ��� ���-����(1) ���" $���A���1��$�� �������� -� �/ �*��(2) ����� C��� ����'"���LB.�A���1��$�� �������� -� � �������
� �/ �*��
� ��!�"�# $"%
��� ��' �� #���# 24���' �,���A��0$ /"������.��� ���#1. � �$��% .��C��� �$��%.� ��4� � ��$���- � ��AA�/A #��4� A #��i"�� 1
����AA�/A������.� � "��� �����A�1��$�� � 6 ���� ���"�� 2 �i� $��% 2545� �� ����� �A��$��% ' �.� ��� $ �* � A
2. �� (����0��1�A��� N (graphing calculator) .��C�� �� (����0��1"����.�������'0 �� C�+����� �� �� �0��1�-(#����� ���� 4�� N" #� 2 ������� 3 ���� �A���,���.�� D �����A�������� -�� (������/����� � �����+����!��� C/�/���� �,�� �� (����0��1�A��� N"���A���� ��' ���5�+��- �% "�"!�� � ����" 4���"� (Taxas Instrument) ��� TI m 92
3. � �A��� (����0��1�A��� N� ���-� � ����1��$�� �.��C�� � �0�� (����0��1�A��� N��A���5��(����� ����1��$�� �� �.�� �$��%�������A���5��(����� � ���"0�--HI�. �" #���������.���� ���
����� 2
���� ����������������������
������������� ���� ���������� �������� ������������������������������ ���!� "��#����� ����������$�%��� �� ��&�����$��"'���()*+��� ���������� �� �#������+�#��,��(�%������-#��������.�#/��, �#/�(0��� 1 "� ����������������� �,���'#�23������������������$�% ����'#������������ �� ���3#-�!�2(��/
��������������������1. -�-���� ���� �������� �����������������������2. ���$�%��������������� ������$�%���� �������� ����(�%��-�������
�����������������3. ���������� �������� ������+�� ����
� ���!�"�������#!�#�"� 1. ��� + ���� "��#���$�% "��#����� ����������� 2. �������+���3 "��#����� �������������������$%��� � ���"&'()��������#!�#�"� 1. ��� + ��"'���()*+��� ����������� 2. �#/�������������$��"'���()*+��� �����������
3. ���.#7����� �� ��&�����$��"'���()*+��� ����������� 4. �9�:��:������$��"'���()*+��� ������������������������������� 1. ����'#���(�%��
2. ����'#��!� (�%��
7
��������������������
1. ����������������������������%��������#!�#�"�
���� �������� ����23���� � �-�-���!������������������������(;���!� ����()'9-#� ��� '���/�+����������� ��#���%(;��� :�� ������'%����'�#���������23���!��&� -�-���� ���� �������� ���� 3# ��/
'�+�� -����� $�% -�- ����<�� (�#��� 2542 : 13 ��� &� Berry and Francis, 1996 :3-13) ��!��&� -�-���� ���� �������� ����2�� ��9(23�3# ��/
1) ���� �������� ����(;����� ��������%����� ���������� �!� (1) ���+��!��� V(t) = ln (mo + gt2) + gt �����+�3�!��� mo , g $�% t ��+��
(2) ������������� y = x3 Y 2x2 + 1(3) ���+��!� ∫ + 4x1
1 (;����
2) ���� �������� ����(;����� �������:�-��+�#��������#* Z �� ���������� ��������,� "��#����+ ! Z �� ���������� �!� ���������+��#���������'�,���#��2(��
dxdu))x(u(cos))x(usin(
dxd = "3���,���#���!� �!��� sin (2x), sin (4x) $�%
sin (x3 + x) $����+��#�����(���-���-�!����23� .���:�-�������-�� ))x(usin(dxd "3�����
���� �������� ��������!������������,�$�%�:�-����� �����3��/�3# [�.(�%��- 1
[�.(�%��- 1 $�3 ���+��!���9.#�:��� �) ���#����"�� ����
8
�#�<����� (Kutzler. 2000 : 5-6) ��!���!� ���� �������� ����(;����� ��������� ����� �� ��&��-�!���� �#-�� .������ �� ��&$�3 ���+� ��9.#�:� (��.#�:� ��������$��� ��� �����3������$�%$��()*+�������#- ����<� 23���!� ��3�̀� 3# [�.(�%��-
[�.(�%��- 2 $�3 ���+��!�(��.#�:�2 !'���#3�� $�%���$���#�(�%��-�� �) ���#�.+9��
[�.(�%��- 3 $�3 ���� 3 ��� <�� �� ��&+ 9�23������(a�-#��'��
[�.(�%��- 4 $�3 ���$���%--� ��� ���$(� +�!���� 3����b������$�%���$(� �� ��c�����%--��c��+�
9
[�.(�%��- 5 $�3 ����������� .������ $�%$�3 ������ � ����� ��9.#�:��
���� $�% 3� ��� (Waits and Demana. 2000 : 54-55) 23���!��&� ���� �������� ����2���!� ���� ��&���'%�����,�'������ �������� ���� .��%���� �������� ������ ��&(�����$(� ��:������������������������'����������,�"3��� '����,�!�� +�# '���#/�'� ������� �������� ���� �#���!� ��� �!� (;����������"3�������� �������� ����
1) ��������������������#-<#-<��� �!�0725.11789
2) ��������� 1250(1.04125)12
3) ����������������#-<#-<��� �!� ������ 1x7x17x)x(f 2
3
++−
= <�� ���3�����
��������'%��� +���9.#�:� ( )xf ′ $�%$��� ��� ( )xf ′ = 0 "3������%3��(����$�%�,���!��#/� ()''9-#��#������� ��&���������� �) ���#�23�+����) ���#� $�%&,���� ��!�
[�.(�%��- 6 $�3 ������ 1x7x17x)x(f 2
3
++−
=
10
4) ���+��!�(��.#�:������#-<#-<����!� ∫π3
0
2 dx)xsin(x 3# [�.(�%��- 7
[�.(�%��- 7 $�3 ���+��!� ∫π3
0
2 dx)xsin(x
5) ���$��()*+�� ��������#-<#-<��� �!�� ���.+9�� 3x3 + 2x2 Y 7x + 9 = 06) ���$��()*+������#-<#-<������2 !�� ��&$��"3���:���� ��%3�� $�%(����'��$����3�� �#���������������#--�-���� ���� �������� ���� '%+̀�23��!�
���� �������� ���� (;������� �-�-�� ��������������������������� �������+���,�,������� (�����$(� ��:������� "3����#�(�%�-������� �����#-���������� �������� ����.������+��#������� ��&�����,�"3�+̀���� (;��,(:�� ����/� ����+��������������2 !�!�-�� $�% ���� �9����������
2. ��� �����%���%��������������� ����������������������&������������������#!�#�"�
�9���� $�% ��������� (Fuys and Tischler. 1979 : 562-568) 23����$�%������#-����������� ������2���!�
1) ������� ������������#-������-/� ��� �!� -�� �- �,� $�%+��2) ������� ��������������'�����-3) ������� ������������%(�% ��$�%������4) ��������+��,($--�#��2(5) ������� �����������$��()*+�(�%'���#�
11
������ (Morris. 1981 : 202-204) 23����$�%������#-���������� ������2���!�1) ������� ��������������'��-�,($--�� '�����2) ������� ��������������+���� �# .#�:�$�%.#7�� "��#��� "3�+����
$���!� �����������3) ������� ������������%(�% �����'
4) ������� �����������'#3���� ��� .��� �� �����+�#-$��()*+�� ��� 5) ������� �����������(�%�9���()*+�
6) ������� �����������.#7����������$��()*+�"'��� 3�$�%���'�����-7) ������� ���������+�#-�����'�#���%k.�%�� ��� (Lemlech. 1984 : 190-191) 23�$�%������������� ��������+�� ����2���
3# �!�2(��/ ��1) ���(;�$� ', �' ���� �������!����%�9���+��#�������3��� �����,�����+̀�
$�% ���� ��3����� ���� �����.�� ��/������������2) ���(;����� ����+�#-�������+� "��#����+ ! Z3) ��������mn�m� (a�-#�� $�%���'�����-4) ��������(�%�9��� ���� ������&,���� �����������'�� ���$��()*+��� ��� $�%
���-��#� �!� -(�% �� --#*���� +�# �� $�%(�% ���!����'!�� <�� �� ��&(�%�9����������� ������23��
5) ��������$��()*+� ���� �������!���3��� �9! �������� o3�p +�� o�� ��3�� &,�p ���#/������ ���$��()*+� ���#����� � �� ��� o3�p "3������%3��$�%(��������+��!�-�� ���������� ����������+��#/������ ���$��()*+� !����/� �(�%���:�[�. �#����� ���� �9����������$�%23��#-(�%�-����������$��()*+�
6) ���(;����� ������������ ���+�#-�#����������-2 !�!��7) ������� "��#��� ���� �������!���+��#������� ��&�����,� "��#����� �%--
'����� �!� ��c�� $�%��������# � .� �`���9� (2525 : 66-67) 23���!��&� ���� ���������3�`��!�2 !�� ��&'%����
$���%--�����3�������������#/ + 3��"� ���� $�!���'%������� ������.��(�%"������$ !��!�2(��/
1) (;����� �', �'�+��#����� ���� ���'��!� �!���� ���������������� ����� Z��/�2(
12
2) (;����� ��������3������$��"'���()*+��� �����������#��2(23���3�̀�&,���� $�% �(�%���:�[�. ����/�
3) (;����� �', �'�+��#�����.���� $��"'���()*+��� ��������������9! ���$�%��#-<#-<���
4) (;����� ����+�#-�+��#�����23�(�%�9����������������������� �$����+����� ��� ���2( <�� �� 2(&� ���������� .�������'���+���� '�� �!� Z �� ���������� ����� ����������� �#-������� �$����+�.�� .,� ����/�3���
$�%�!�����'%��9*���+��#������������ ���������3�`�23��#/� �!�'%.�'��������!���!��#����� ��#��%./�c���� ������������3����!� Z �!�2(��/.�� ���$���
1) �����3������+���-�� ���- ���,�$�%��+��-/� ��� ���%--'������̀ ����� $�%���!�����2 !�9! ��� ���#� "3���-���� �#��%�� ������+�!���/ ���'%���-��9 &� ��� ��!� $��!������+����#.:� ���+�#-�������������������� �#-�#���"33.�� �#�3��� �� ��&+����#.:�$--��3���'23�.���� $�%�� ��&������ �,�������#-���!���������(�%'���#�23� �!���� (���<`��� (;����
2) ���$��"'���()*+��� ���������� <�� (;��-��������(�%�9��������� �,�������� �$����#-�&��������+ !+��2 !�9���� ��!�� "3����mn��+��#������� ��&��������� ,���� ���,!�� ���!� &,���� '%������ ,��3�!��+��+�# $�%'%��� ���� ��� #���!����+������-�� �#��
3) ���(�%�9�������������������&�������(�%'���#� "3��+��#������� ��&����&��������������(�%'���#����(;�()*+��� ���������� �$(���� + ��(;��#*�#������ ���������� $�%������������� ��!��$��()*+�23���!� �(�%���:�[�.
4) ����,�'#������%+�&� ��� (;�2(23��� ���#.:��� �������������23� � "3��+���#������� ��&�����%+� �����'$�%���'��-&� ��� (;�2(23��� ���#.:����� �� ��� ,�-/� ���
5) �����3�%�$�%���(�% ���� ���������� "3��+��#������� ��&������"3���:�(�% ���!�23���!� ��3�̀�3�����:����()3��+������� ����!�� �#/ �� ��&�#3����'23��!� ���#.:����23�'������������#/� ��#�����#*�� �!��#����%���3&� �#/������� ���$���+���#
6) ����!��$(���� + �� $�%���� ���� $��[�.$�%���� "3��+��#������� ��&�!��$(���� + �� $�%��9(��� ,�'������ $��[�.$�%����23� �#/ ����� ��&'#3���(������,(��� ,���� ���,!�+�(;���� ��������� + �����,(�� ���� $��[�.$�%����23��
13
'��������$�%�� �#������������#-���������� ������$�%���� �������� ������9(23��!����� ������$�%���� �������� ������ ��&���(;����� ����������������������!������ "��#������������ �� ��&�!�����'�����- $�%(�%�9��������$��()*+�23���!� $ !����
3. ��%����������������������%�)��������
"��� (Troche. 2000 : 176-178) 23���!��&� ���'#3+�� ����"3�������� �������� ���� TI Y 92 ������+�� ����2��3# ��/
1) ���'#3�%--��+�� ����'��[�.(�%��- 8 $�3 ����� �� ��,�,���� ��%3��3��$�%'�[�. �� �#/ ��%3��
(���� ���� �������� ������ �#����� ��� ,�'������ �������� �#��������(;��� ��'%$�3 ������'�+���+�� ����
[�.(�%��- 8 $�3 ����� �� ��,�,���� ��%3��3��$�%'�[�.
2) ���'#3�� �&������� (1) �#�������� ��(;��,! ����$��()*+� ([�.(�%��- 9) ���93�#(3�+���
[������ "3�()*+�&,�����+��# .#�:��#��%+�!� ���� ������$�%�- �� ����!�������.#7����%-�������3
(2) �#������#/ �,!�!� �#���� ��(;��� .���+��� ����� ���!� � -,���
��,���%3��3��
TI - 92� 93-#����
�#������������� ��
��������
14
(3) �#�����'% ����3��������-#���� ����!� �!���� (4) ��,��9*���+��#�������������!� .�� .����+�#-��� .���� ��������+��,(
$--���+���+��������$��()*+� (5) ��������������#*'��������3�� �����3��/���������.-+��� ���$��()*+�
"3��#������#/ �,! (6) ���#/�����93������/��93� ��,'% ��:�-����� ��3�� �����������+ !�
�+���%'!� ��/�
[�.(�%��- 9 $�3 ���$��()*+�$�%��3������#-()*+�
-������ $�% r#��b�3� (Bitter and Hatfield. 1992 : 206) 23����$�%������#-����������� ��������+�� ����2��3# ��/
1) '#3���� �#������+� ���� �,������3,$� $�%���������� ������2) $�%������������� ������+�# '���#����������'��� 3��� ���!� �����*$���3) ��9*���+�������� ������������!� 4) �+��#����������'$�%���.-���$��()*+�"3�������� ���������'��-
��� &,���� 5) �+��#�������3�%� $�%(�% �������-�!������������ ������
���$��()*+�
�� �3��
()*+�
���� ���%3��/(����
� 93-#����
TI - 92��� ������3��
�!�����&,����
���� ���3������#-()*+�
15
6) ������ ,� $�%()*+��������'�� ����������#/ ()*+� 7) �����'��� $�%�� �������� ������ ��3
8) ������� ������(;����� ����+�#-����������������������� ����!����'%���+�3(;�'93+ ���� �������������
9) ��#-��9��#����������������"3�������� ������$������%(�% ��+�����������'
10) �+��#�����'%��� ��� ��(;��,! +��(;���9! �� ��� + �%� 11) ��#-��9���� ��3+̀�$�%��� ��3����� ���� ����������$��()*+��� �����������'����� ��3+̀��� �#���������������#-���������� �������� ������9(23��!�
���������� �������� ���� ������������������������#/� ��,.�� $�!���(;����� �.������ ��� ����'$�% "��#����� �����������
� ���!�"�������#!�#�"�
1. ����)������� ���!�" ��� ���!�"�������#!�#�"�
"��#���(;������� ���� + ��3����#��#-����!� ��� ��3��-��3 "�[�. "� ���$�%�# �#( ��#���������2��23��+���� + �� "��#���2��3# ��/
.�����.��� �� �� (2520 : 9) 23��+���� + �� "��#��� 2���!�+ ��&� ��� ����'�� ��&�`-�'��� +���!��/�+�������� �23� (�%��-�#-�� ��&�����2(���+������ (;������#�� Z 2(23� (generalization abstraction) <�� ���� + ������ ��� ��!���� ����':�� 3�
���#� � ���+*! (2532 : 18) 23��+���� + �� "��#���2���!� + ��&� [�.�����3��/����'�� -9���������#-��9! �� ��� ������ ��9�� -#�� �9��#���%�!� �#� ��9! �� ��� �����/��''%(;����3 (�%[��#�&9:�� ���� +�9����� +��-9����`23��
��2����� ������ �%�% � (2537 : 44) 23��+���� + �� "��#���2���!� + ��&� $����3����#*���23�'�������9(+����#����� '����� ,�+������`''�� �����9(��''%23�(;�&������+��(�%"������%�#3�#3$�%������ + ��23�+����'��9(��� �(;���9! (;�(�%[����,($--�3�,($--+���
16
�9�� �� "�����%�,� (2537 : 207) 23��+���� + �� "��#���2���!� "��#���(;�������((;��� :�� ) ���$���#��� �#�&9 ��� �� ���23�'#32����'��.��3����#� "3�&��#���%�������#*(;���w��
���'����� ��������. �� (2538 : 55) 23��+���� + �� "��#���2���!� + ��&� ��� ����'�#/ + 3��� ��!���� �� +���&���������!� �3��!� +��� �!� ��.,3&� "� �����`'%���23�&� �&�����$+! +��� ��� ��#���%k.�%���$���!� 2('���&�������� Z (;�.��%�!� � "��#������ "� ����$�������� �� '�� "��#�����/'%��,!���,(�� �� :�� ��3'������9(����#-�,��#���%�� ��� �#/� Z
������ '9w%�. (2541 : 121) 23��+���� + �� "��#���2���!� + ��&� ��� ����'���#���%�� ��� ��� $�%�� ��&$��(�%[��� ��� ���23��
� ��� [#����:�� (2543 : 37) 23��+���� + �� "��#���2���!� + ��&� �#���%�!� �� ��� �3��� +��� +���� ��� �3��� +��� �������3��/�+��� Z ��#/ +�� ���� +�!��#/�+��� Z ��#/
�!������ ������������������23� ��,��+���� + �� "��#����� ����������2��3# ��/ :�� �� �#��� (2520 : 4) 23��+���� + �� "��#����� ����������2���!� + ��&�
�����9(��-��3�9�� -#�����(;�� ��(�%��-�!� �� ��� �����23�(�%�..-+̀� $����� ��&���+�3�#*�#����+����� + ��$���9�� -#��3# ��!��23� �!� ���+���� + ���� �,(o �� +���� p + ��&� �,(+���+���� ���(�%��-3���3����� 3��� $�%�����#*�#���� $���,(�� +���� �!� o ∆ p (;����
"�[�.��� �����#��� (2527 : 14) 23��+���� + �� "��#����� ����������2���!�+ ��&� ��� ��3�#/��93����.�����'%�+�23�(;������9(+�����'���#3��� ����������� �#-�����������
.���' ���'#����3� (2530 : 30) 23��+���� + �� "��#����� ����������2���!� + ��&� ��� ��3 ��� ����'�� -9����!���� �� +��+�9������!� Z �#�����+�-9����#/��� ��&��9(�� �#���%+ �� +��$��$�%�#���%���$���!� �� �9�� -#���� ��� �� +��+�9������#/�23� �!� ���+���� + ���� ���+���� '#�9�#��!�(;����+���� ��� �3����#/ �������!��#� 9 �9� 9 (;� 9 k�� $�%�+��#*�#����(;� ' (;����
�#��� � � (2542 : 21) 23��+���� + �� "��#����� ����������2���!� ��� ��3$�%��� ����'������#-�������������� �#���3'�����23��#-(�%�-�������������������������"3������9(��� ����'���23���� �(;����� $�%�� ��&'#3(�%[��� ��� ������+ ���#����3����#� $�%$��(�%[��� ��� ������2 !�# .#�:��#����
17
.�#� +#��������� $�% .��#��� �#���.�3� ( .(.(. : 50) 23��+���� + �� "��#������ ����������2���!�+ ��&� �����9(��-��3�9�� -#�����(;�� ��(�%��-�!� �� ��� �� �����23�(�%�-.-+̀�$��� �� ��&���+�3�#*�#����$���9�� -#��3# ��!��23��
'����� + �� "��#����� ����������3# ��!����� ��� �� ��&��9(��� + �� "��#����� ����������23��!� + ��&� [�.�����3��/����'�� -9���������#-��� ������ ��9�� -#����!� �#����������������� $�����9([�.3# ��!����� �(;����� +���9�� -#�� $����� ��&���+�3�#*�#����$���9�� -#��3# ��!��
2. ����%)���-� ���!�"�������#!�#�"�
�������+��#�������3 "��#����� ������������ �����,��� ����+���3��/�$�!�#������#/� �!� ��/���,!�#-+�#���������,'%���� �+���3��/� 23� ��#���������23����+�#�����������+���3 "��#����� ����������2��3# ��/
:�� �� �#��� (2520 : 5-6) 23���!��&� �#/������������.���+���3 "��#����� ����������2��3# ��/
1) �!�����'%����+��#����� � "��#����+ !��/� ��#/� ��,'%��� $�!�'����!���!�./���� �,� �#��% +��(�%�-�����3� ���'��(;��!�������� "��#����#��+ !��/� ��#/� �#����� ���� .��� $��� 3# �#/��!�������,'%������ ���-��+���-���!�� ��,'%��� $�!�'�!��#����� ���� �,� ��� ����' $�%�#��%�����(���-���-���!�� +���������+��!���� ���!�� ��!��!��#�23�����!��
2) ��,��� 2 !� ���'%����#������+� ���� (���&�����'%��������� �����,��� ���'%���� "��#����#/�����!�� �#/ ��/.��%������'$�%�� �#-�#���,!$����!� �#�����'%��������� �����23��� ���%��� 23�+̀� 23��,���� $�%.��� ���'%��3 ��������,�'%��3��/��`�!� ���#����� ���� .��� $�%��� �̀ �'���'%����
3) ��� ���'%��� ����.���+���3 "��#����#/� ��,'%��� .�'�����!���,!�����#�����#�����'%����'23� ��,��� '��2���!�������� "��#����� �����������#/��!� '%��� �!���-������!� Z�!� ���23�� ����3������ 23�+̀�23���� 23������� $�%�,�'#�����#*�#����2 !�!�'%(;��,(+���� �`�� 3# �#/���������� "��#���<�� $�!�%����� ������$���!� �#� ��,'� ��� ���&� ��� $���!� �%+�!� -9������'%��� ������ $���!� �#���������� "��#�����$�!�%���
18
4) ��,'%��� (;��,�����!��+�� $�%��� $�%.���� �#���$� ', �'�+� ���,!� �.���+���������,� �(�%���:�[�.��,!� � ��������,�$--�� ��3�� &,� (;���������,����(���'��+�#���� ��'�!��+���3��� �,��������'$�!�#�����23� ��� ������ �.�'�����#/� ���'%(;���� ����#������� ��& � +̀�� ��(�%��-�� 23�"3�2 !������2(
5) ��,'%��� .���� '#3+���� ���'%(;����� �.���+���3 "��#���23�"3�$'! $'� 2 !�!�'%(;�+�# ������� +9!� +������ (�%��-��� ����'��!� ����`��
6) ��,'%��� �+����$�!�#�������!� .�� .����'% ��!���!� ����'��� �#�'%���2(�,!������� "��#����#/� Z "3�'! �#3 ������� "��#����#/� (;��-��������������$�%��� ���(�%�-�����+���3��� ���3'���� �� ��&���'%���2(���23����&��������!� Z �#� .��'%(;����� (�%�#�23��!��#���������' "��#����#/� Z 23���!� $'! �#3
.���' ���'#����3� (2530 : 31-32) 23���!���!������������������#/��������'93(�%� ������#3'� '������#- '������� <��� �%--(�%"��(b3 ������ �) ���#�� $�%���.��,'������ +��� �������� ����(;����3#-$���`�� ��� �!� Z +�!��#/����%2� �!� ����� ���%2� ��'%-��23�2+ �!������ ���+���� 3������� ���� ��&�������� �# .#�:��%+�!� ��� �!� Z +�!��#/�$�%�����23��!���'%��� ����(�%"����23���!� 2�
�������+��,�������3 "��#����� ���������� ���(�%��-3����-�����3# ��/1) ��� '������#-�,� (perception) ���+�3̀��# ��.��+���� ,�'����� �������� ���'%
���� "��#���"3�����# �#�+��� Z �� �#/ ���3, ����) $�%����# �#�'#-��� �!� '%����+���,�������3 "��#���������#-���+���� '#�9�#� "3�����+�3̀�23��,�'#��#-�,(+���� +���,(�� �!� Z.��'%23��`-��� ,�'����� �!� Z +�!��#/� ��+��� Z 3��� +����#���%
2) ���.�'�������$���!� (differentiation) ��3̀�23�3, 23��) $�%'#-��� �,(+���� +���,(�� �!� Z $����+�3̀�.�'����+���� �������� +����� $���!� �� �,(+���� +�!��#/�<�� (;����3,����%���3�+� ����/���� �!� ���+���� '#�9�#� ��#���%$���!� +���������� �#-�,(+���� �3 .��3̀�'%23�����'�9�� -#���� Z �� ���+���� '#�9�#�3���/�
3) ���.#7��$����3$--�� :�� (abstraction) ��3,����%���3$�%+̀���� $���!� �� ��� �#/� Z $��� �,�����'%�� ��&$����� �#/����'����� ���23� �!� ��3,����%���3'��� ��&+̀���� $���!� �� �,(���+���� '#�9�#� '���,(+���� ��� Z $��� �,�����'%�� ��&$���,(���+���� '#�9�#����'���,(���+���� +���,(+���� ���23��
4) ���-,������ (integration) �������9(��-��3+��+�$--�#�� Z 2((generalization) �� ���+���� '#�9�#�.������ (;�+�!����� ��3 (;�������+�3$�%+����
19
�# .#�:��%+�!� ��� ,����23�.�'����$��� �����23���� ��#/�'%&,����+�3(;��#*�#���� �!� ������+�3����!�(;����+���� '#�9�#�
��� ���&,���9(��-��3$�%�+��#*�#������/�����!� "��#����� ���������� �`��'(;��y+��+�#�-� ��!� ���23�'�����.�'�����9�� -#��<�� (;�$--�� #�� "3�k.�%
5) �����9 �� (deduction) (;��-��������� "��#��� ����#/�+��� ������������� ������.-��/2((�%�9�������#-+�9��������-�� ���,((�%"�� &��z..$���z.. �!� &�����+���� �3(;����+���� '#�9�#�$��� ���+���� �#/���� �3����#/ �������!��#� $�% � 9 �9� 9 (;� 9 k�� (;����
�,����� �� k��3 ( .(.(. : 57) 23���!��&� �������+���3 "��#����� ������������!� �+�#�-/� ���3# ��/
1) �,����2 !���'%���+�3 "��#����+�$�!�,����� �,�����'%��� ���� "��#���'��(�%�-�����$�%��� ��3�� ��� ��������� �(�%���:�[�.�#/�'%��� (�%��-3������'#3(�%�-�������������+�$�!�,������9���
2) "��#���'%��3��/�����%���3�����������<�� �,�����'%���� ��� ��32(�� ���3#-�#/� 3# �#/��,����'%��� ����� &� ��:����������'%����+���3��� ��3
3) "��#���'% ���� + ��$�% �(�%"���� ����/� ��23����2(�����-�������� Z3���
4) "��#���'%.#7��3�����93 "3�23��#-(�%�-��������$���!� �#� ����!����23��#-(�%�-��������</�� Z �#���,!� � 3# �#/������$��()*+�+�������%�����'��� ���$���!� �#�'%�!���+���3 "��#��� 23���3���!������%�����'��� ���</�� Z �#�'��!�-��+�!��
5) ������'%�+��,�������3 "��#�����-�����������+�3�+��#/� ��/���,!�#-��� .��� $� ', �'$�%��� �� ��&�� �,����� 3# �#/������'#3-�����$�!�%-�'%��� ����� &� ��� $���!� �%+�!� -9���$�%$� ', �'3���
6) "��#���'%��3��/�$�!�,����� ��23�� ���%�����'��� �#/�'�� Z $�%��3��� ��33����#��� �,������ ����!�����,�����+����$�%��� 3# �#/������������������� �,����2 !���'%������-�����"3����3 <�� ���'%�+��,�����23�� ���%�����'��� '�� Z $�%���� ��� ��33������ ���3'��,�'#��������:��!� Z .��'%���+�+�#��#��2( <�� '%(;��� ���2(�,!�����9(��-��3
20
.�#� +#��������� $�% .��#��� �#��.�3� ( .(.(. : 50-51) 23���!���!��������+��#�������3 "��#����� �����������#/� ��-�����3# ��/
1) +���� ,����������#-��� �������� ������� "��#���'��(�%�-�����+���# �#�+��� Z �� (experience) �#�'%(;��������+���� ,������'%23��#-$�!��� ��� �� �(�%�-���������� ���'%����+���3��� ����/��!�2� ��������'%���� "��#�������� �#/��`��� '%$�!��� ����/��!��#/� �#/���/��&�23��!�(;��#/����� �#*��* (perception)
2) � +���� $���!� +����� �������� ������+����� �����23��# ���#/�(;���� Z 2( (differentiation) ���#/���/(;����.�'��������%���3� 2(��� �!� ����� �,(�!� %�����3�#-��2 ������!� 2� ���(���-���-+���� �������� +����� $���!� '%����+���� ����'���9�� -#���!� �� ��� +�!��#/�3���/�
3) ��9(��-��3+�����+�$--�#��2(�� ��� �������� ������� "��#��� .������ ��/�(;�+�!����� ��3 (generalization and abstraction) (;������9($�%+���� �# .#�:��%+�!� ��� ,������23��#-+��23�.�'����$��� �����23���� ��#/��� #�'%���+�3�#*�#���� �!� ������+�3����+�$�!��� �����23����� ��/� ��#/�
��������� �����23���9(��-��3$�%23��+��#*�#����$�����/�!�(;� "��#�������� �#/� Z���� �����������`��''%(;�+�#�+���y��w�-� ��!� �����23�'�����.�'����3,�9�� -#���<�� �(;�$--�� #�� "3�k.�%
4) ������2(���"3���:���9 �� (deduction) �-��������� "��#����#/��93����������������� �����23����.-$����#/�2(���(�#-����#-+�9������������ Z ���,(�� o &��zz$���zzz.p �!� �������� "��#���23��!� ���,(�� +���� �3 Z ��� ����� 3����� 3����� �� +���� �#/� �� �#��!� �����!�3�������� 3# �#/� &�� ABC (;��� +���� �,(+��� $���3��� a -���#- 3��� b �!� �����!�3��� c (;����
�!����'��� �����������������������.������ "��#����� ������������ �&�-#��! ��� �����������$�%��"�"��� (�#��� � � 2542 : 25-27 ��� &� �&�-#��! ��� �����������$�%��"�"����) 23�����#/�����������+���3 "��#��� 3# [�.(�%��- 10
21
����#���!� �� -�� �� �-
'#3��'��� "3������ '��
mn��#��%'��+�# ������ -#�� �� }�}
���+�3'93 9! + ���-������ �,�3� ���� "��#����#/����
�/�+��+ !�
��9(��-��3 �3��- "��#����
'#3��'��� "3�����,([�. ����#*�#�����
�!���#���9((;���:��#3
������ �,�2(����
���(�% ����
����/�+��!�2(
���<!� ���
1) �#/��������,!-�����
2) �#/����
�#���������'+��2 ! 2 !����'
����'
3) �#/���9(
4) �#/�mn��#��%
5) �#/����2(����
6) �#/�(�% ����
�!��+��2 ! 2 !�!��
�!��
[�.(�%��- 10 $�3 ���3#-�#/���������� "��#����� �����������
22
'��[�.(�%��- 10 ��� ��� �� ��&��9(��:������������������+���3 "��#������ ���������� �� ���3#-3# ��/
1) �#/��������,!-����� ������������,!-����� ��,�,������� ���+�3'93 9! + ���� .~����� ����������,� .���+��#�����23����-&� ��� ���(;�(��+ ����������� �-������ �,�3� ����#����������� �$��� $�%�������� �#--������+ !�������# '%��� $�%���� "��#����� �����������#/���� .��(;����c�����'%�!���+��#�������� �(�%��-��� ��3.�����2(�,! "��#����� �����������#/��!�2( $�%��,�,����-��(�%"������ "��#������ �������������'%���(;������%�9����� ���'$�!�#�����
2) �#/���� ��,�,��������/�+��+ ! "3��������9(�������(;��,(:�� +������������3 Z ���+ �%� ��!�� .���+��#�������3��������,�'���,(:�� 2(+��� :�� "3��+���#�����(a�-#����'��� .������ "��#����� ���������� "3���,�,��������#���!� �� -��$�%�� �-���(;��,(:�� �!��,([�. ���#����!���!� Z �#� �������#���!� �#/���,������%�#���!� ��'������&� &� �#������!�(;��#���!� (�%[��3 (�� -��+���� �-) "3���,$��(�%[��#���!� 2���+��#�����23�+̀�23��#3'� $�����,�+��#������# ��(���-���-��� + ��$�%��� $���!� �� �#���!� �����,��� $�����9( "��#����� ����������3������ ���#�������9( "��#����� �������������23�$�����,�,�����������3��-��� ����'�� �#������!���3 "��#����� ���������� $�%�� ��&��9(��� + ���� "��#����� ����������23����!� &,���� '�� +��2 ! "3���������,�,��������#���!� �+ ! 3����#����!��� 3� $����+���#�����'��$��(�%[��� �#���%�� "��#��� &���#�����'��$��(�%[�23�&,���� $�3 �!��#�������3��������,���� ���� ����'��!� ���� ��� ���<�� <�� ����+��#�������3 "��#����� �������������&,���� $�!&���#������# $��(�%[�2 !&,���� �+���#-2(3,����#/�����#���!� $�%�#/���9(��-��3�+ !�����#/ ���#���������'$�����,'� �+��#������!���#�-�����'���#3��� �� "��#����� ���������������#/
3) �#/���9(2(�,!��:��#3 .����� �%3����������2(�����#/ �!�2(4) �#/�mn��#��% ���#���������'��:��#3$��� '� �+��#�����23�mn��#��%3���������
$--mn�+#3 '��-�����+��-#�� ���� "'���()*+���� ��#���%��3���� �#- "��#����5) �#/������� �,�2(���(�%"�����������(�%'���#� $�%����������������������� �+��
�#��������"'���()*+� +�������'��� ���(�%�-�������(�%'���#�
23
6) �#/�(�% ���� (;�������'��-.���#3�%3#-��� �� ��&�� �#�������������'%�!����w�+��2 ! .�����������<!� ��� �+��#-�#��������2 !�!�� $�%.������������/�+��+ !�!�2(
�#������ ������ $�% ���- (Gunter, Ester and Schwab. 1995 : 98-105) 23���!��&� �#/�����������+���3 "��#����� ���������� ��9(2��3# ��/
1) ���$�%���� "��#��� "3�'%��� ��3���� �#--����� ���� ��� �#3'�$�%��� +�9������� ��&.��,'��23��
2) ���+�3�9��#���%���'��(;�3) ���#���!� �#/ �� -��$�%�� �- �#���!� �� -��'%��� ��9�� -#���������#*
$�%�#���!� �� �-2 !'��(;���� ��9�� -#���������#*��-�9����4) �:�-���+��#��������-��%-����� �!�����# ����%2� $�%�#/��3-�� ���'��(;�5) ���#���!� ���(;�()''9-#�$�%��� +�9��(;���� Z $�%'#3(�%[��9�� -#����
�#���!� �#/ �� -��$�%�� �- .��(���-���-6) �#������� ��&�+���� + ���� "��#��� 23�&,���� 7) �+��#���!� ��� &���#���������' "��#���$��� ��,'%�+��#���!� ��� .�� .���+��
�#�����23�����'�9���8) �:�-����%-�������+�� .���+����-$�!����!��#���������' "��#���&,����
+��2 ! "3��+��#�������� ��:�-��+����#/�����9) ����#3�� &� �#�����&� .#7����� �+��#���!� ��� .��+��9�� -#�����'��(;�
+��&� .#7������#���!� �� -��$�%�� �- .��+��9�� -#���� "��#����+ !������ (Arends 1988 : 324) 23����$�%�������+���3 "��#���2�� 4 �#/����
3# �!�2(��/�#/���� 1 ��,'%��� �:�-��(��+ ���� -�����$�%����+��#�����23������,��� (��+ ���#/���� 2 ��,'%��� -����� "��#���$�%�%-9�9�� -#���������#*���(;���� Z �����
-�����"3��� �#/���� 3 ��,'%��� ���#���!� �#��� +�# '��23� "��#���$�%��� � �-�����"3��� �#/���� 4 ��,�!���#����������%+���� ��3$�%��������,��+ !'�� -,���'���#/�����������+���3 "��#����� ����������3# ��!����� ����� ��&��9(23��!�
�#/������,'%��� ���+�3'93(�%� ����������,� �-������ �,�3� ��������!�� � ���� "��#�����#/���� ���#/������,'%��� ���#���!� (�%��- �#/ �� -��$�%�� �- "3������'��� ��'(;�
24
�,([�. ��� �#*�#���� .���+�3̀��#�������3 "��#��� �!�����#/���9( ��,�+��#�������9( "��#��� $���'� �3��-�!��#���������' "��#���+��2 ! "3������()*+��+ !$����+��#������!���#���9( "��#����
��������$%��� � ���"&'()��������#!�#�"�
1. ����)��� ���"&'()��������#!�#�"�
23� ��#���������2��$�%�!� (�%���+���� + ���� "'���()*+��� �����������2��3# ��/
2.-,���� '#���� (2526 : 70) �+���� + ���� "'���()*+��� ����������2���!�+ ��&� "'�������� ������� (;�[���+�# �� 2 ! ����� + ��-�� �- �,� +��+��$�!���� + ��+�!��#/�(���a(;������� -�����
�9.��� $����9���� (2536 : 15) �+���� + ���� "'���()*+��� ����������2���!�()*+��� ���������� (;��&�������+�����&� ����������� �#-(�� �� ���&� ������ ���'%�������� �#-(�� ��3��� ���+������-��� ��������3'����� �,�$�%(�%�-�����3�
�9������� 2���9� (2538 : 33) �+���� + ���� "'���()*+��� ����������2���!�+ ��&� ���&� �� ���������� <�� (�%��-3��������� $�%�#�������#�����'%��� �����%+�������� �#/�����!�����'%3��������+������- "3�'%��� ������ �,� (�%�-����� ����� $��$�%����#3����'���&,���� '� '%�� ��&$��"'���()*+��#/�23��
�9-��#���� $<!3!�� (2538 : 9) �+���� + ���� "'���()*+��� ����������2���!�+ ��&� "'���()*+�+���&�������������+�3�+� <�� ���[����:�-����� �# .#�:��%+�!� ��� ,��� (�� �� ����,�$��()*+�'%��� �!���`-����%���3 .�������� ����'�&������� +��+�9�����������+�3�+�$�%.�'���������:������ ���������� ����������,� �$��� ���3������+������-
.���.�� ������� (2541 : 11) �+���� + ���� "'���()*+��� ����������2���!�+ ��&� ()*+�������#-�#�������:�-��3���[��� <�� �,�$��()*+�'%��� ������ ����'()*+�$��������:������ �������������+ �%� ��3������+������-
.��[� 2."�'��[#�3� (2542 : 9) �+���� + ���� "'���()*+��� ����������2���!�+ ��&� ������&� <�� (;��/�+�������#-��������������#�����'%��� �!��$�������� + ��$�%+���:�����+�23������- ��''%��,!���,(�#��� +��������
25
. ����.��� ����� (2543 : 8) �+���� + ���� "'���()*+��� ����������2���!� "'������� ��[�.()*+�(�%��-3���+�9����� ���&� <�� ��#���$�%'����� ��������� 3��� �,�����'%��� $�3 ��:�+������-.��$��"'����#/��+�&,����
�3# ��� ����� $�% -��#� (Adums, Ellis and Beeson. 1977 : 173) �+���� + ���� "'���()*+��� ����������2���!� + ��&� ()*+����-������&�������3��������� ������ ��������-���� (�� ���#��� ��:����+���������������+�23� �<�� �����-��� �����:���������$��()*+�
'����� + ���� "'���()*+��� ���������������!�� ���� ����� ��&��9(23��!�"'���()*+��� ����������+ ��&� ()*+����-������&�������3��������� ������ �����������%+�������������:������ �������������+ �%� $�%���3��������$��()*+�.���+�23������-
2. ��.�#�������� � ���"&'()��������#!�#�"�
��%-�����$��()*+�(;���� ����#*$�%'��(;�������!���+��#����� ���� �� ��&�����$��"'���()*+��� ����������.�� ��/� ���mn�$��"'���()*+���!� ��#/����'%�!���+��#�����2 !�#-�� � +̀�$���� $��()*+�23�&,���� ��#���������+����!��23��:�-���#/�������������$��"'���()*+��� ����������2��3# ��/
��%-�����$��()*+��� ".��� (Polya. 1957 : 16-17) (�%��-3����#/�������$��()*+� 4 �#/���� 3# ��/
�#/���� 1 �#/������� ����'()*+�(;���������'�!���()*+� ����+��(�%"���!�� Z �%2�-�� ���� + ����!� 2�
$���'��$��(;��!�� Z �!�"'������+�3�%2� ��+� �%2������ ������ ���+� �%2������ ,�������+�3 � ���2���!� 2�-��
�#/���� 2 �#/��� $�����$��()*+�(;��#/������� .�'�����!�'%$��()*+�3�����:�����3 $��()*+���!� 2� �,�$��()*+�'%���
��� "� �%+�!� ��� ,��#-��� ���2 !�,� �� �����#-(�%�-����������$��()*+�����,�$��()*+� ���,!$��� ���+�3$���� �����$��()*+�
�#/���� 3 �#/�3���������� $��(;��#/����� �(a�-#���� $������� 2�� $�% �������'��-$�!�%�#/��!�(a�-#��&,����
+��2 !�
26
�#/���� 4 �#/����'��-(;���� � ������#-2(���%�#/���� �!�&,���� +��2 ! +����'���'��-"3������:����
$��()*+���:���� Z $������'��-�����23��!��� �#�+��2 ! +����''%�����:����(�% �������-��!� ��!�� Z
������ (Lasley. 1964 : 70) 23����$�%�#/���������$��"'���()*+�2��3# ��/1) �!��()*+���!� �%���32) �#3����'�!��%2������ ������ ���3) �����:��������!�������+������-4) �� $�������3��������5) �%(�% �������-��� �(;��#���6) � �$��()*+�7) (���-���-�����-���23��#-�����-���23�'������%(�% ��8) ���'�����-��"���� $�% "r����� (� �� -��' �#����. 2540 : 17 ��� &� Yeotis and Hosticka.
1980 : 561) 23�������3#-�#/���������$��"'���()*+��� �����������!�(�%��-3��� 8 �#/����3# ��/
1) ������ ,����23� �'��()*+�2) '#3'��$����� ,����(;���� ,������������ $�%2 !�������� ���+�#-���$��()*+�3) ��� ���3#-��� ,���� ���� '��(;����'%��������+������-�� ()*+�4) .�'�����!���� ,����'��(;���� ,��3���23�$���$�%��� ,��3����# ��� ���+� .�� �� 5) .�'�����!�'%�`-��-�� ��� ,������� ���3�����:��36) �`-��-�� ��� ,������� ���7) ������ ,������������ �#/ + 3�����$��()*+�8) ���'��-��� ���&�23��� �����-'�+���#� $�% ���<�� (Johnson and Rissing. 1972 : 238) 23����$�%�#/���������
$��"'���()*+�2��3# ��/1) ������ ����'()*+�2) �%(�% �������-3) �����:���� �,�� ��� �# .#�:��4) +�����`''�� �#/ + 3 $�%������"3���:������� Z �3�� �#-��� ,�$�% ���2����
27
���+�3 ��+� .�����+��,($--5) �����%+�+��������6) -�������-+��+�#�����#��2(7) (�%�9���+�#�������&��������+ !���,��� $�% ��� (.��[� 2."�'��[#�3� 2542 : 13 ��� &� Krulik and Rey. 1980 : (���)
23�����#/���������$��"'���()*+�2��3# ��/1) ������ ����'()*+� �����$��()*+��#/�'%��� ������ ����'()*+� <�� '%���
.�'�����!��%2�(;��#����2 !���-�!� ������� +�� ���2��%2�-�� ��� ���"'���-���#/� �.�� .������$��()*+�+��2 ! $�%�����.�'������''%���� [�.(�%��- ��� ����' $��$�%�!���!� Z �� ��� ���"'���-��$�������� 2(�!� ��%2�-��
2) �� $�������$��()*+� '%��� +���� �������� �%+�!� ��� ,����"'���-���#-�#�$(����2 !���-�!� .�'����()*+��!���#/ +��� ���-��� "'���()*+��+ !�#-"'���()*+��!������������ �#� ���+��~�y� �y �,�� ���� ���'%��� ���� $���� ��� $��$��()*+�
3) 3���������� $�� ���� $��$���3���������� $���#��� ���'%23����'��-���%�#/��!�&,���� +��2 ! ��!������� �#/�
4) �#/����'��- �����$���'%��� ���'��-�����#/ +��� �!������� ,�+ 3+���# $�%23����� ��� �����-+��2 !�
'�,* '��"�� (2531 : 17) 23����$�%�#/���������$��()*+�2�� 4 �#/�����+*!3# ��/1) �#/�����!��.�������%+�"'���()*+�2) �#/��� ������+�3�� ������3�����93�����$��"'���()*+�3) �#/������3������4) �#/�������'��-�����-��� ���� �� (2536 : 19) 23����$�%�#/���������$��()*+�2�� 5 �#/���� 3# ��/1) ������ ����'�[�.$�%�#���%�� ()*+�2) �����()*+��!� ���� $���!� +��������#-()*+������.- �$�����!� 2�3) �����%-��������'%��������$��()*+�4) $�3 ��:���� .�'���� $�%���'�����-���23�'�����������
28
(���� �����`��� (2537 : 55) 23������%-�����$��()*+��� �����������!�(�%��-3����#/�����������#* 4 �#/���� ��
1) �#/������� ����'()*+� (;���� � 2(����#�()*+� .�'�����!�()*+� ��� ����%2�()*+����+�3�%2��+�-�� ����%��� �,��3����������� -�� �����-�� ()*+�'%��,!���,($--�3��������� ����'()*+�3���&�������� ���
2) �#/��� $�� (;��#/��������#*���'%��� .�'�����!�'%$��()*+�3�����:��3 '%$�����!� 2� ()*+�������+�3�+���/ ���� �# .#�:��#-()*+������ �(�%�-����������$�� ��!��+��2 ! �#/��� $��(;��#/��������,�$��()*+�.�'������� �# .#�:��� ��� �!� Z ��()*+� �� �����#-(�%�-����������$��()*+�����,�$��()*+� ���,! ���+�3$���� �����$��()*+�
3) �#/�3���������� $�� (;��#/�������� �(a�-#���� $������� 2��"3���� '��������'��-��� (;�2(23��� $�� .�� �� ����%���3�!� Z �� $���+��#3'� $���� �(a�-#���'���%�#� �� ��&+������-23�+�����.-��:����$��()*+��+ !�
4) �#/����'��- (;��#/�����,�$��()*+� � ������#-2(���%�#/�����!� Z ����!�� �.��.�'������� &,���� �� �����-$�%��:����$��()*+� ���:�$��()*+���!� ���+��2 ! .�'����(�#-(�9 $��2���:�$��()*+��+���%�#3�#3 �#3'� + �%� 3���/���!�3� �#/������/���-��9 &� ��� � 2(��� +���"3����(�%"����'����:����$��()*+�����!�� � ����$����3�����$��()*+��+����� ��� ��/���!�3�
� �#�3�� "�[�.���' (2537 : 67) 23���9(��%-�����$��()*+��� ���������� 2���!�(�%��-3��� 5 �#/����3# ��/
1) ������ ����'��()*+� <�� ��''%����,($--�� �����������!�� �!� ���� $��[, ������
2) $�� +���� �,�.�����2(������$��()*+��#/� Z .�'����&� +�9 $�%+�+��� ���'%$��()*+�
3) �� $�������$��()*+� (;������ "�� ��� +��9�:��:����+ �%� �����$��()*+�4) $��()*+� "3�3���������� $�����23��� 2�� <�� ��''% ���� '��(;���� ������
�������!��5) ���'��- (;�����-���+�9�� ���23�3��������$��()*+�2($����#/� �!� ����
+ �%� +��2 !.�� �3 ������&,���� +��2 ! �����-�!����&�.�� �3
29
������� '��*�� (2542 : 38) 23����$�%�#/���������$��"'���()*+�2�� 5�#/���� 3# ��/
1) �!��"'�����!� �% #3�%�# $�%�#3����'�!�"'���&� �%2�2) ����#�$(� $�%.�'������� '�� ���"'������+�3�+�.��"� 2(�,!��� ���"'���&� 3) ����� ���"3����#���� '�� �� ���"'������+�34) $��� ���5) ���'��-�����-"3�$���!���"'���()*+�.��[� 2."�'��[#�3� (2542 : 13) 23���9(���3#-�#/������$��"'���()*+���
����������2�� 4 �#/������1) �!��"'���()*+�.����������%+��2) �����:������ �������������+ �%� ����93�����$��"'���()*+�3) ��3������+������-4) ���'��-�����-'���#/�������3#-�#/������$��"'���()*+��� ������������� ����� ��&��9(�#/����
���$��"'���()*+����������� 23� 4 �#/����3# ��/�#/���� 1 �!�������%+�"'�����#/���� 2 �� $����������"'�����#/���� 3 � ������ $�����23����+�3�#/���� 4 ��9($�%���'�����-
3. ��/�0����������$%��� � ���"&'()��������#!�#�"�
�������+��#�����(;��#�$��()*+����$��()*+�23�&,���� ��!� 3���2 !.�� .� '��(;�'%��� .#7����� �� ��&�����$��"'���()*+��� ���������� �#���������+����!��23���!��&� .#7����� �� ��&�����$��"'���()*+��� ����������2��3# ��/
(���� �����`��� (2537 : 66-67) 23����$�%������#-���.#7����� �� ��&�����$��()*+��� ���������� "3�.�'������ �#/�������$��()*+� 4 �#/��� ".��� �$���� ��������� 3# ��/
1) ���.#7����� �� ��&���������'()*+� �#��������23��#-���mn�m��+��!�������� �!��()*+� $��������� ����' "3���'��� '������#/ ���&� �+��#�������- �!�2(�+��
30
�#�����mn������� ����'� "3���'�������:��!��.�� .,���� ����' �!� �������[�.���� $--'���� ���(�#-(��������3�� (�� ���!� Z �� �#�()*+� ������#���!� �����3���� �#-()*+�
2) ���.#7����� �� ��&������� $��$��()*+� ����������'��� �!� Z mn��+���#�������3�� $���!��� ����� � �!� ��������$--mn�+#3 ���mn��+��#���������$--$�������3��!� ��!�� Z �!�����'%� ������!� �%���3�#3'� ��,2 !-����:����$��()*+��#-�#�����"3��� $�!���������&� .����%�9���#�����23���33������ ���'����/���'#3()*+� ���$(���+ ! ��+��#�����mn���3��,!� �
3) ���.#7����� �� ��&�����3���������� $�� ����� $��(;����'#3���3#-$����� ��3 +�#������$��()*+� ��'%� ����3���������� $�� �#�������� ����� ������� ���$��2(�,!���(a�-#����!� �%���3�#3'��� ���3#-�#/���� <�� ��,�� ��&mn�m��#�����23�'��������$--mn�+#3�#��� "3�mn��+��#������� $��'#3���3#-��� ��3�!��$���'� �!��� �$�3 ��:����+������-�� ���3#-��� ��3�#/� ���'����/ ����+��#�����mn�������'��-��� &,���� ��� (;�2(23��� $������� 2�� �!�����'%� �3���������� $��
4) ���.#7����� �� ��&��������'��- �#/�������'��-�� ���$��()*+��� �������������-��9 (�%3̀�����#* 2 (�%3̀��� ��� � ������#-2(���#/�������$���()*+�.��.�'������� &,���� �� ��%-�����$�%������#.:� �(�#-(�9 $�%.#7���+�+ �%� ��� ��/����(�%3̀�+��� �� ��� � 2(��� +���(;�������(�%"����'����%-�����$��()*+����.�� ��/��93� ���.#7����� �� ��&��������'��-��%-��$��()*+��� ���������� �$���� 3# ��/
(1) ��%�9���+��#�����+̀���� ����#*�� ������'��-�����-���23� �+������'�(;����#�
(2) mn��+��#�������3�%������- (3) mn��������� + ���� �����- (4) ��#-��9��+��#��������$--mn�+#3"3������:����+������- ����!� 1 ��:�� (5) �+��#�����mn�+#3���� "'���()*+�������#-()*+��������� �#�3�� "�[�.���' (2537 : 72) 23���!��2���!� �����.#7����� �� ��&�����
$��()*+��#/� '%��� .#7���#��%3����!� Z ��1) �#��%����������� ����'()*+�23���!� �� (�%3̀�2) �#��%��3�������!�� .����������� + �����&,���� 3) �#��%��3��������3������
31
4) �#��%����� � "���#���23���!� &,���� 5) �#��%�������3��!� �+�9�� $�%�3+�9!�23��� �&�������6) �#��%����������%+�$�%�# ���%+��� 3� -9*(�%'#��� (2543 : 24) 23���!��&� �#��%$�%��� �� ��&���'��(;������
$��()*+� 23�$�!�1) �#��%������!���� ��� �� ��&���������'��� + ������� ����!��2) �#��%������������� ��� �� ��&�������3������./�c��$�%��� �� ��&
����������:������3���������+ �%� 3) ��� �� ��&������-��� �� ��� �� ��&��������+���� ,��!� Z ��
�&�������()*+� -��23��!�"'������+�3�%2��+�-�� � ���2���!� 2� $�%��� ���+��%2�4) ��� �� ��&��������� �����33� �� ��� �� ��&�������33�&� �������3�!�
'%��3��/�'�����3��������$��()*+� $�%��� �� ��&����������:������������������'��-�����33��#/�
5) ��� �� ��&����������%+� �� ��� �� ��&����������%+�+���� �# .#�:���� ��� ,����(���a $�%��� ,����2 !(���a���&�������()*+������%+�23��!� ��� ,��3'��(;�$�%��� +���� ,��3.�� ���'� �� ��&$��()*+�23��
6) ��� �� ��&�����3��������$��()*+�$�%���'��-�� �� ��� �� ��&�����-,�������#��%$�%��� �� ��&�!� Z ��� ��� ���������$��()*+�23���!� �(�%���:�[�.
'�����.#7����� �� ��&�����$��"'���()*+��� ������������� ����#/� '%��� .#7����� �� ��&������!�������%+� ��� �� ��&������� $����������"'��� ��� �� ��&������ ������ $��$�%��� �� ��&�������9($�%���'�����-
4. �2�3��3�%��� � ���"&'()��������#!�#�"�
()*+� �+���()*+� $�!�%()*+��#/��� ��&����9�:��:������$��23�+����9�:��:���,�$��()*+����3�'% ��9�:��:������$��()*+����.��� '%������ ����23����#���������*�#-()*+��9�:��:������ ��&��� ���������$��"'���()*+��� �����������#/� �+�����:� 3# ����#���������23����!���!�2(��/
��,��� $�% �#3��� (Krullik and Rudnick. 1982 : 43) 23�����9�:��:������$��"'����()*+��� ����������2��3# ��/
32
1) ������+��,($--2) �����3����+�# 3) ���3�$�%�3��-4) �������$--$�%�3�� 5) ���$��()*+��+*!���(;�()*+��!��6) ����) ��!� �%���37) �������9(�#��� �����������8) ���$�3 ��� ,� (1) ������� (2) ���� ��� (3) ���$�3 �� .������ (4) ���$��[�. (5) ���$���# $������ ������ $�% -�� (Gary, William. and Blake. 2001 : 5-21) 23�����9�:��:��
�����$��"'���()*+��� ����������2��3# ��/1) ���3�$�%���'��-2) �������#�$(�3) �������[�.(�%��-4) ������+��,($--5) ���$'�$' �������(;�2(23��6) �������+�(;�()*+���!� !��(���� �����`��� (2537 : 56 Y 65) 23�����9�:��:������$��"'���()*+���
����������()*+�2��3# ��/1) �9�:��:�3�$�%���'�����-���$��()*+��� ����������"3�����9�:��:�3�$�%���'��-(;����.�'������� ,�$�%
���2��!� Z ���()*+����+�3�+� �� �����#-(�%�-�����3� ����������� ��33������-�� ()*+� $������'��-��� &,���� &��2 !&,���� �`��33��+ ! "3����#�(�%"����'����� 2 !&,���� ����#/ $�� Z ���3���� 3���!� �+�9�� ������ .���+���� ���3��#/���������#-�����-�+�� ������93
33
()*+�-� ()*+���� ���� �9! ���<#-<��� �����3+������-"3��� ���23����+��������� �� �`�� ��&����9�:��:�3�$�%���'��- ��!��$��()*+�23��
2) �9�:��:��������[�. $��[, � $�%���� $--'���� �������[�. $��[, � $�%���� $--'���� <�� ��3���� �#-�&��������� ()*+�
�!���+�()*+� ���� $'! �#3��/� �!���+��,�$��()*+������� ����'�#-()*+� 23���3�̀�&,���� ����+���3$����� ��3������� $��$��()*+�
()*+�-� ()*+� �!�()*+�������#-�,(������� ���'��'%����������[�..������ ��� ����'$��� ���#/��� $��$�%3���������� $�� �� ��&����9�:��:��������[�.�!�������$��()*+�
()*+�-� ()*+��� ��&$��2�23�"3�����9�:��:�����$��[, � <�� ��%���23��� $���� �����.��$'�$' �������(;�2(23� $�%���.��$�3 ���%����#*�� ()*+�
()*+�-� ()*+��� ��&���� $--'���� .��$�3 �&��������� ()*+�<�� ���� (;��,(:�� ����!��������[�.$�%����$��[, � '���#/����+�3$���� �����$��()*+�$�%3��������$��()*+�'��$--'���� ������� ��/��#/�
3) �9�:��:����� ���� ���'#3��%����#-��� ,���!� (;��%-- ��%-��-"3���� ������ ������ �!���+� �
+̀���� �# .#�:��� ��� ,� <�� '%���2(�,!���+������-������ ��� �������9�:��:�������� ���� �����$��()*+��� ���������� �(�%3̀�������.�'����3# ��/
(1) ���� ���� .��$�3 �����!� Z ���(;�2(23��#/ + 3 (2) ���� ���� .��$�3 �������(;�2(23�-� ���� (3) ���� ���� .�����+���� �# .#�:��%+�!� ��� ,� 2 �93 (4) ���� ���� .�����+��,($--�#��2(�� ��� �# .#�:��
4) �9�:��:��������#�$(����$��()*+�3����9�:��:��������#�$(� ��%���"3�� ���#�$(�$��'��������2 !���-
�!� ���� ��� �# .#�:��� ��� ,��!� Z �� ���2����()*+����+�3�#-�#�$(����� ����/� $���.�'����+������-�� ()*+�'����� �# .#�:�������� ��/���/ ()*+�-� ()*+��� ��&���� ��� �# .#�:����,(� ��������3���� �#-()*+�23� ���$��()*+��#���%��/���"3�$��� ��� $���.�'������� (;�2(23�'�������-�� � ����#/�
34
5) �9�:��:����+��,($--������+��,($--(;��9�:��:��������#* �������$��()*+��� ���������� �,�$��()*+�
'%��� �������� ,���� ���,! �����%+� ���+���� �# .#�:��%+�!� ��� ,�+�!���/ $�����33������- "3��������+�+�9��$--�9(�#� �����-���23���''%&,���� +��2 !�`23� 3# �#/�'%��� ��������'��-���#������-���23�"3��������+�+�9��$--����#� �9�:��:����+��,($--+ �%���'%��� ����$��()*+�������#-�,($--�� �#���
6) �9�:��:�$-! (;�����()*+��� ����������+���()*+��� ��&$��()*+�23� ����/� ��$-! ()*+�(;�����
����!� 1 ���� <�� ��$�!�%����'% ���� �#3'� ����/���!�()*+�3� ����-�� �9�����23��$���.�'���������-�� �9������!� �#�'%23�(;�[�.�� <�� (;������-�� ()*+�3�
7) �9�:��:��������+�+�9���� �� ()*+��� ��������������� ��&$��23�"3��������+�+�9���� �� "3��#�� Z 2( #���,!
���,( o &�� A $��� B p "3���������� A (;�+�9-# �#-�+���3������ B ���$��()*+�(;���������� ,����()*+����+�3�� �����#-��� �,�$�%(�%�-������!� Z ����,�$��()*+���� ���,!���2(�,!�����-������ ��� �9�:��:�$��()*+�"3��������+�+�9���� �� #�����!� �#-�9�:��:���� Z
8) �9�:��:��������+�+�9���� ��� ()*+��� ����������-� ()*+� $��23����&���������+�+�9���� �� �������!���/
����������+�+�9���� ��� (;��9�:���:�+��� ����� ��&��� ���������$��()*+�23��������������+�+�9���� ��� .��$�3 �!������� oAp (;�'�� ���23�"3�� ���!�
������ onot Ap (;�'�� +�# '���#/�+�+�9�� �$�3 �!�(;�2(2 !23���������� onot Ap(;�'�� 3# �#/�'� ��9(23��!� ������ oAp (;�'��
9) �9�:��:����������#-���$��()*+�"3�����9�:��:�������������#- (;����.�'����'�����#.:���#/ �93����
$��� � ������#- �����#�()*+� ��������%-����������3�����%+�"3�.�'����'����������#-2(+�+�9 <�� '%��� +� ���2���� "� �%+�!� ��� ������ ����#-��� ���()*+����+�3�+��
10) �9�:��:����� ()*+���/��+ !�()*+��� ����������-� ()*+� &��$��()*+��#/�"3��� '%���23���� ������� ()*+�
��/��+ !����# .#�:��#-()*+�3� $����������:����$��()*+�'��()*+��+ !������� ��/� (;���:�+��� ���'%�!���+���3$�������3�����$��()*+�3� ()*+�������� ��/��+ !��'���� �+����-��9 ()*+�3� �#/ + 3 +������ ��/��+ !.�� -� �!���� ()*+�3� �`23��
35
�9�:��:����� ()*+���/��+ !�� ��&$����!��23��� 3 �#���%�� (1) �9�:��:����&� ()*+������������ �#� �,�$��()*+�'%��� �����()*+��+�����'
"�� ���� �� ()*+�$������2((���-���-�#-()*+������� �� �(�%�-����������$�� ��!�� (2) �9�:��:�$��()*+���� !����!� ��%���"3�������� ()*+���/� ��+ !� <�� �"�� ����
������#-()*+�3� $�! ���� <#-<���������!�$��23� !����!� $��������:���������������$��()*+��+ !2(���$��()*+�3�
(3) �9�:��:����+�3(��+ ���� (;��9�:��:����$��()*+�"3�.���� $��$�%()*+�3� (;�()*+��!�� Z �#�'%���2(�,!���$��()*+��+ !�
� �#�3�� "�[�.���' (2537 : 68-70) 23�����9�:��:������$��"'���()*+��� ����������2��3# ��/
1) � [�.�� Z .�������%+�()*+����#���%()*+��#/ + 3 ��� � [�.�� Z(;�����-������ ����#/ + 3 ������ ����'�/�+� ����-�����'��%���"3�����!��+��� Z��- .��'%23�2 !+� �� � [�.�� 9 ���� '���!�'%+̀�+��� $��2� �����������32 !�����''%(����� 9 � ����+ ! �#/ ��/'��(;�'%��� ���!���*����!�����'%��%"'������! 39'�����!������!� o ��3��(��'%��� � [, ��#����� (���+�+̀��#3'�����!�����'%+� ���2(��,!��$ �2 � p
2) ���+�3�� 2�����+��� Z �� ���+��� ���(;�2(23��#/ + 32��+��� Z �� .�� �.�'����������%���3�!� �� ����3���3�$�%(;�2(23� ������93 ������+�3�� ����� $--�� �����'#�3�������� �!� PERT : Project Evaluation and Review Techniques $�%CPM : Critical Part Methods (;���:����+��� ����� ��&����� ����23� $�!���.�'����.���#3����'����#/���� ��%�����!� ��-��-
3) ���'#3��� ,����2 !�������� �#-()*+���/ 2( +��2��$�!��� ,����'%(;�(�%"�����!����$��()*+��#/� Z "3�k.�% ��3�������/�+�+����� ����������#*'����� ,���� ���,! .�'������ ������(;�2(23� "3��#3�� ������(;�2(2 !23�+��(�%3̀����2 !�������� ��/ 2(����!��"3�����+�#����������� $���'� �!��.�'�����#3���'����� ,��#/ + 3��� ���,!(�%��-�#�
4) �����:����������������+�+ �% "3������%+�'����� ,������������ �#-()*+��!�'%������ ,��!������3 ����:����� ������ ��������:��3'� '%23��� $�%���'%������������ -���- �,� +�� +��!���� ������# +�������� �,��� �&��� $���,�#� .������+�� ���� ��!� �3 ��!�������������
5) ������3�$����3��- "3����+�9�������.�'�����!������-���'%(;��!��3���3�'%��� 3���!� �+�#���w� � +�9� �� 2 !������ ��3�$������ �������'��-
36
��� &,���� ���� Z '���!�'%23������- ���3�'% �(�%���:�[�. ����� ��/� &�� ������-� ��!� �!�� �!� ���(�% ���!� ��������%+���� ,� ���'���� �&�������+�����.�'��������$�3��� �(�%��-���.�'����
6) ���� �#�$-- (model) ���(;��,(:�� <�� '%�!���+� � +̀�()*+����#���%+��� ��� �,($--���'���� ��/���''%(;��� �#�&9 ��� �!����� "�� ���� ����!�� .���+���3 ���$--$�%�� ��&���2(+���� �# .#�:��#-��� ,���� ���,! +�����2(�,!�����-������ ���
7) +�$--�,( (pattern) ���'%���2(�,!���$��()*+�23���!� ��%-- ()*+�-� ()*+�+����� ���-� ��� ��''% ��#���%(;�� '� (;������� ���3#- (;���9�� �� �#��� (;��,(�� �� ������� (;��!��� �#3�!�� (;��#���%�� ���$(� �!� (;��,!���3#- +��(;�~3,���(;���� ���+�$��$--23���%����+��� ��&2�()*+�23��
8) '#3�%--��� ,��+ ! + ��&� ���'#3�%--��� ,������������ �#-()*+��#/��+� ��,(��� !��$�!�������' �!� ���(;������� ���(;����� ���(;�����# �� �� ��� ,���� ���3����#�2��3����#� �#3��� ,�����9� �������2( �� �#/ �+�-#������� ,�����,���+��2(<�� ��''%(;�-�%$��+��$��()*+�23� !����/�
9) ���� [�.(�%��- .���+��� ��& � +̀��#���%�� �#�()*+�23���!� �#3'�'����� ,���� ���,!��� ��#���%(;����-�������� (;����� �#��� �� ��&'%����+��#3'���/�23��"3�������� [�.(�%��- "3������������(�%��-����:�-�� �����,(�� �� ����������<�[�. ������ ����(;�23�%$�� '%����+� � +̀�()*+����#���%���(;��,(:�� ����/�
10) $��()*+��+*!���(;�()*+��!�� Z �+� ��#���%�!�3����#-()*+�3� $�!��,!���,(�#���%��� !����/� (;����$��()*+���� !����!� ��#����9! ���<#-<���������!� $�!(;�"'���()*+��#���%3����#� ���� ��&$��()*+�����`���!�23� '% � +̀�$���� �����$��()*+�����9! ���<#-<��� ����/�23��
11) ������������������$��()*+� (;����$��()*+�"3������ #*������ ���+�#�+�9�$�%�� -!����#/ ���.-�!� ���$��()*+���-� ��#/ �,����.���� $��()*+� ��''% � ���<�/ '����2($�%� ���&� ��� (;�'�� �� :�� ���� ��3�������� #*������ ����+�+�+��� $��2����+ �%� 2 !23� ���&� �!� o&��(;���!� ��/$���'%��3�%2���/��!�2(p (;����"� '��+�92(�,!�� ���������:���9 ��$�%�9( ��(;������:����+��� ���(;�(�%"�����
12) ��3����+�# ���$��()*+�"3���� .�'����'��+�9��-� ��#/ 2 !�� ��&��%���23� !���#� ����-���'��������+�# 2(+�+�9��-� ��#/ �� ��&'%$��()*+�23�3���!� �#���!� ���.��,'���� ������� ���"�� ��� �� �#/ ����-������ ����!� Z ���$��()*+��!����
37
(;���� ��-� ��#/ '%.-�!��� ��&��� ���'�����#.:� ((����� ) .�����2(�,!+�9 (����� )23� !��$�%��3�̀� ����!�
13) ����,�� ()*+�+���()*+� ��,�������$���()*+� -� �,���� ��&���23��#-+���()*+������$��()*+�� '%��� .�'�����!���!� �,���3-�� ��� ���� �������� $�%�� ��&���2(���(�%"����23��+������%+�()*+�$�������,��2(��� +�# '���#/�'��(;�'%��� ���'��- �#/ ��� &,���� �� �,�� $�%�������,��2(���23���!� &,���� �#-��� ����#/� Z
14) �#/ ���&� ���&� ����#/ "3���� +��"3������ �� ��&�+�$ !��3����� ��&���2(�,!���$��()*+�23� ���&� ���(;�(�%"���� �!� ���2 (;�2(23���!� 2� ���2 '� (;��!��#/�'%�!���+���3��� ��%'!� ��()*+� ����/� �!���+��� ��&'#-�'��� ����#*�� ()*+�23������#/ ���&� $�%+������-'%�� ��&���2(�,!���$��()*+�23��
15) ���.,3�9� �[�(��� +���%3 ��� ��3 (;��9�:��:��#�+��� ���'%����+�23���� ��3+��+̀�$���� �����$��()*+� ��� '�����.,3�9� +������[�(��� ����+���3��� � ()*+�'��+��� 9 � ����!� �#����2( ��3$���� �����$��()*+�23�'��+���'93 ������ +��$���2���'93-�.�!� ��� � '��-� 9 2 !+̀� ���'���#/��# '%.-�!� ���.,3-� �������+��%��3�'+��(;��9*$'�+��� ��&+�+��� $��()*+�23��
� 3� -9*(�%'#��� (2543 : 9-21) 23�����9�:��:������$��"'���()*+��� ����������2��3# ��/
1) ���+��,($--���+��,($--(;��9�:��:������$��()*+����3�$--+��� ����,�$��()*+�'%��� �����%+��
$�%���+���� �# .#�:��� ��� ,����&�������()*+��#/� Z $�����33������-"3��������+��+�9��$--�9(�#� �����-���23�'%�� �#-�!�(;������-���&,���� '%��� �!��������'��-���#�"3����+�9��$--����#� ���$��()*+��������9�:��:����+��,($--��� ���������-�� ()*+����,($--�#��2( <�� ��'(;��,($--�� '�����+���,($--�������
2) ����$���# +��[�.(�%��-(;���������# +��[�.(�%��-�!� Z �� �&�������()*+� .���!���+�+̀����
�# .#�:�$�%$���� �����+������-3) ���� �,($--+��$--'���� (;��9�:��:����$��()*+����������#-�������$��[�. $�! �(�%"�������3���!��� ���
�#������� ��&�������� ������ �'#3�,($--23��
38
4) ������� ���� ���'#3��%����#-��� ,�.���+�3, !�� �%3���!���������%+�+���� �# .#�:��#�'%���2(
�,!���.-�,($--+�������/$�%��� Z +������ ��'�!��$�3 �������(;�2(23��� ���$��()*+��#/� Z
5) ���3�$�%������'�����-(;����+������-�� ()*+�'���� #*������ �,�$��()*+���33�$������'��-&��2 !23��
�����-�`3��+ ! $�%���'��-�����#/ '���%�#� 23��6) $' �������(;�2(23��(;����$' �������(;�23��#/ + 3�� ()*+� ���23�3���������� �'������������(;�2(23��
���$�!��� #�'%������� �!�������$' ����7) ����(;�(�%"���� ������������������(�%"���� ����������.��$�3 �&�������()*+� �(��+ �� 2 (�%��� ��
(;����$�3 ��� ����'�&�������()*+�$�%(;����$�3 �+��,��!���� ��3��������!� 2������$��()*+� �#������������(�%"���� ����������23�&,���� $�3 �!�������'()*+��#/� $�%���2(�,!���3��������+������-23�&,����
8) ���3��������$--������#-�9�:��:���/��� '����� ,����23�'���#/�����93���� $�����������#/������#- ��,!������ ���
���+�3��� ��� (;���������%-������� ��������%+����.�'����'����������#-2(�,!+�9 "3�.�'����'�� ���2���� "� �%+�!� ��� ������ ���+��#-��� ,�������+�3 ���3��������������#-���23�3��#-���$��()*+������� ����:�-��&� �#/�������23� �<�� �����-
9) ���$-! (;�()*+��!�� Z +��(����� 9 � �� ()*+�-� ()*+� ���� <#-<���+�� �+����#/���� .����� �%3����'$-! ()*+��+�(;�
()*+��!�� Z .�� !���!����+������-$�����������$��()*+��!�� Z ��/2(��-()*+�������+�3+��-� ()*+���'��� ��������3$�%(����� 9 � ����!� 2('������9���������� ����� �#/�������%�#/�
'���9�:��:������$��"'���()*+��� ������������� ��� �9�:��:������$��"'���()*+��� ����������(;�$���� +����%-��������'%��� ���������+������- 2 !��!$���� k.�%���+�#-()*+�+��� ()*+��3 ��� ����������93�����$��()*+��� '%����9�:��:����+ �%� �����$��()*+��#/�23���!� 2� .������� ��&'%$��()*+��#/�23���!� ��3�̀�$�% �(�%���:�[�.
39
��������������������
1. ��������%�&����!
����'#���(�%������,���'#�23������������#-���������� ������+������ ��3�� ������������������������� �3# ��/
-#**#��� �� ��� (2526 : -��#3�!�) 23��������� o ���:�.��� ���� ��3����� ��!����# ~�:��$�%�#������� ����������������� ��� ���'#3���3#-$�%���'#3+ ,!���%3#-�#/� #:� �����(0��� 5 ( .�.5) "� �����#��-9�� '# +�#3�9�������p "3���9! �#���!� (;��#������#/� #:� �����(0��� 5 ( .�.5) "� �����#��-9�� '# +�#3�9������ (0�������� 2525-2526 '����� 80 ��"3�$-! (;� 2 ��9! Z �% 40 ��9! $��������� ��3����������� ��9! +�# 2 !�+�������� ��3����������� �������'#�(���a�!� ���# ~�:���� �����������������$�%�#������� ������������������� �#�����������$�%2 !������� ��3�����������2 !$���!� �#�
���#� ���� (2526 : -��#3�!�) 23��������� o���� ���������� ��3������������������������#/����� $�%�����������-��� ��� ����# ~�:���� ����������������� �� �#������#/� #:� �����(0��� 6 p "3���9! �#���!� (;��#������#/� #:� �����(0��� 6 "� �����#��-9���'# +�#3�9������ (0�������� 2526 '����� 80 �� "3�$-! (;���9! �3�� 4 ��9! Z �% 20 ���� ��9! ��� 1 ������� ��3������������������������#/�����$�%��������������-��� ��9! ��� 2������� ��3������������������������#/�����$�!2 !��������������-��� ��9! ��� 3 2 !������� ��3������������������������#/�����$�!��������������-��� ��9! ��� 42 !������� ��3������������������������#/�����$�%2 !��������������-��� �������'#�(���a�!� ���# ~�:���� ������������������� �#��������������� ��3������������������������#/����� $�%�#��������2 !������� ��3������������������������#/�����$���!� �#�"3��#��������������� ��3������������������������#/����� ��%$��k�����, ��!��#��������2 !������� ��3������������������������#/�����
����9�� �� ���%�9� (2526 : -��#3�!�) 23��������� o���:�.��� ���� ��3����� ��!����# ~�:��$�%�#������� ������������������� �#����� �#/� #:� ��������(��� "� ��������������,��� �93�:����p "3���9! �#���!� (;��#������#/� #:� ��������(���"� �������������,���'# +�#3�93�:��� ����������� �.014 ��[��������� 2 (0�������� 2525 '����� 2 +�� ���� +�� �%44 �� <�� +�� $��(;���9! ���������� ��3����������������� $�%���+�� (;���9! ���2 !����
40
���� ��3����������������� ��(���a�!��#��������2 !������� ��3������������#/ ����������� ��3��������3��-$�%2 !���������3��-23��%$�����# ~�:���� ��������, ��!��#��������������� ��3������������#/ ���������� ��3��������3��-$�%2 !���������3��-$�%�#������� ����������������� �� �#�����������$�%2 !������� ��3�����������2 !$���!� �#�
����� �9���9� (2526 : -��#3�!�) 23��������� o ���� ���������� ��3������������������������ ��������%+���� ,��� �&������ ��!����# ~�:���� ��������� �#������#/� #:� �����(0��� 5 p ��9! �#���!� (;��#������#/� #:� �����(0��� 5 ( .�. 5) "� �����#3���-.�:��9 �. +����[��������� 1 (0�������� 2525 '����� 2 ��9! ����9! �3�� <�� �+�������� ��3�����������'����� 50 �� $�%��9! ��-�9 <�� 2 !�+�������� ��3�����������'�����42 �� ��(���a�!����# ~�:���� ��������� �#������������"3�������� ��3���, ��!��#��������2 !������� ��3��
�!�� ����'#���(�%�����23������������#-���������� �������� ���� ������������������������� �3# ��/
�#��� � � (2542 : 46-73) 23��������� o���� ���������� �������� ������� ���!� "��#����� ����������$�%��� �� ��&3��� ����# .#�:��� �#������#/� #:� �����(0��� 3"� ������:���# �#3�-� +�������#�p ��9! �#���!� (;��#������#/� #:� �����(0��� 3 "� ������:�� +�������#���� �+ ! '����� 79 �� "3�$-! (;���9! �3�� �������"3����������� ����������(�%��-����������������� �#-��9! ��-�9 �������"3����2 !������� ����������(�%��-����������������� �������'#�.-�!� �#������#/� #:� �����(0��� 3 �������"3����������� �������� ����(�%��-������� � "��#����� ����������$�%��� �� ��&3��� ����# .#�:��, ��!��#������������"3����2 !������� ����������(�%��-������������������
2. ��������#4��&����!
'����������������� ����'#����!� (�%�����������#-���������� �������� ����������������������������� �3# ��/
�������� (Norris. 1995 : 1862-A) 23������ o ���:�.��� ���������� �������� �������+�#-�������������$���,�#�-/� ������%3#- +�������#�p ��9! �#���!� (;��#������'�� +�������#� ���$�� (;���9! �3�� '����� 125 ��������� �������� ����(�%��-�������
41
$���,�#�-/� ��� $�%��9! ��-�9 '����� 179 �� '�� 4 +�� ���� ������ (���"3�2 !������� �������� ���� ��(���a�!� �#�������������"3�������� �������� ���� ���� �,��� "��#����������#-�) ���#��, ��!��#�������������"3�2 !������� �������� ����
-����#� (Barton. 1995 : 3868-A) 23������ o ���� �������� �������������$���,�#� : ����3��- "��#����� ��, $�%������(a�-#�� p <�� (;����(���-���-�������� ��, 5 �� "3������:�����# [�����!�����$�%+�# ���������93�#(3�+� $�%�# ����������+�� �������93�#(3�+� �������'#�.-�!� "��#����� ��,�#-������$���,�#���3���� �#-������(a�-#�� +�#��,������������ ������$�%��"�"�����������(a�-#���#������'%23��#-��� �,� ����!�������(a�-#��"3��#��2(
<�������<#� (Seavertson. 1995 : 4309-A) 23������ o ���(���-���-���������� �������� ����$�%���� �������� ����������� ������.�������%3#-������#�p ��9! �#���!� (;��#�����������������.�������%3#-������#�'����� 247 �� "3�$-! (;���9! ���������� �������� ����'����� 184 �� $�%��9! ���������� �������� ����������� '����� 63 �� ��(���a�!��#����������9! ���������� �������� ���� ����# ~�:���� ��������, ��!��#����������9! ���������� �������� ����������� $�%�#����������9! ���������� �������� ���� ��#������!����������� ��������������� �, ��!��#����������9! ���������� �������� ������������
�������� (Carter. 1995 : 3869-A) 23������ o��� �� ��&����� � +̀�[�.���2(�,!��� ����'�� "��#����� �) ���#� "3�������� �������� ���� p ��9! �#���!� (;��#�������������.�������%3#- +�������#�'����� 53 ��"3�$-! (;���9! �3�� �������"3�������� �������� ����$�%��9! ��-�9 �������"3�2 !������� �������� ���� ����������(���a�!� �%$��'������3��-�!������$�%+�# ������ ��9! �3�� �.#7������, ��!���9! ��-�9
3� �<��� (Dimiceli.1999 : 61-01A) 23������ o �������$���,�#��� :9���'"3�������� �������� ���� p"3� �'93 9! + ��.���������������!� �#������������� �������� ������!� 2����������� "��#���������#- 1) �� ���� �) ���#� 2) ��� �!���� 3) ���� �� ��9.#�:� ����������#/ ��/$�3 �+�+̀��!� 1) �#������<�� ��������� �������� ����������!� 5 3���!��'% �(a�-#�����#/����� 23��%$��'������3��-������!� �#������������������ �������� ���� ����!� 5 3�� ����� �� ���� �) ���#� ��� �!���� $�%��9.#�:� 2) �#���������(a�-#�������! ���+�� ��#��%������������ �������� �������� 3) �#��������������!���������������� 2 !�̀ �'���'%������� �������� ���� .���!������������,����������� 4) ���# ~�:���� ��������!�������# .#�:��#-���������� �������� ����
42
<�$�� (Serhan. 2000 : 61-10A) 23������ o ���� ���������� �������� ������� ��!�[�. "��#����� ��9.#�:����'93p ��9! �#���!� (;��#�������%3#-(��**����'����� 71 ��"3�$-! (;� ��9! �3�� 24 �� �������"3�������� �������� ���� $�%��9! ��-�9 47 ������������(���a�!� �#�������#/ �� ��9! ���� $���!� �#���!� ��#�����#*�� �&��� "3��#��������9! �3�� ���� ����'����9.#�:����'93 ����!��#����������9! ��-�9 ��9! �3�� �� ��&������+���9.#�:�'��'93����+� �"3�3,'����� $���!� �� ������� ��� '������ �������� ������ ��&�!���+��,�����+̀�[�.��9.#�:��
$��"������ (Krakowski. 2000 : 61-03A) 23������ o ���:�.��� ���� �������� ������� ��!���� ����'�� �#�����������#-$���,�#�-/� ��� ����� .+9�� ���!���� .+9�� '����������% $�%�) ���#��̀�"($������ p ��9! �#���!� (�%��-3�����9! ��-�9 $�%��9! �3�� 2 ��9! "3���9! ��-�9 '����� 32 ��23��#-������$---����� $�%��������"3���� �����-���%3��3�� ��9! �3�� ��9! ��� 1 '����� 39 �� 23��#-������$����� "3�������� �������� ���� $�!(;��������!�3����#-��9! ��-�9 ��9! �3�� ��9! ��� 2 '����� 42 �� 23���#-������$����� "3�������� �������� �����!���� 2('�+ 3[���������� �����'#�.-�!����# ~�:���� ��������� ��9! �3�� �, ��!���9! ��-�9 �������"3�������� �������� ���� ����:�.��� -������� ����'�� �#�����������#-.+9�� ���!���� .+9�� $�%�) ���#���/����#
'���������� ����'#�������#-���� �������� ��������������������������������9(23��!� ���������� ������ ����(�%��-������� ����+��#�����23�.#7�� "��#����� ���������� ��� �� ��&�����$��"'���()*+��� ���������� ����/� ���� �������� ����'� &�(;�������������������!� +��� ��� �(�%���:�[�.
����� 3
����� �����������
������������ ������������ ����������������������������� ������� ��������!��"!�#$ �% !&�%'�$���#������!��"!�#(�)��%"�%��*�����(��'�$�#�+,-�������!��"!�#�����������-���".!���)���� �/�!������ 0���".� ����1$ � 1 '���� ������� ������ 3�������������������$4��� (/&�������5&%$4���(�)��5&%�/5%(�����4��-������$4���
�����������������������
��������������� ��������������������������������������������� ����� ������������!�� 1 �!�������� 2545 '����������(��� ����� ()��*(�+,(� ���� �-������.��+��������-�)��������/����+������������(��� ������� ����/�������0 6
��23+�� (�3�� ��������������������������������� ����� ������� �����!�� 1 (� �.1)'����������(��� ����� ()��*(�+,(� ���� �-������.��+��� �����-�)��������/����+������������(���������� ����/�������0 6 *��������� 2 �!�������� 2545 7��8-��������23+(�3���3���)�� � 40 �� :�3�������23+�-�(����(�'-������,(��)�� /�������; 20 �� :����23+� ��2+���(�'-�8+3�����,(��)�� /�������; 20 ��
�� ���� ����!�"!����������� �#�������$"��%�
������%��$ ���������$4���(�)��6/��/��%���%.��������������� ����������%��$ ��.������"���������)��/4���
1. (�����"��"��-��/��5&%$4���$ �"��'4���������������������� (�����"��$ �"��'4���������������������� ����(�����"��"��-��/��5&%$4���
'4���4������%�-������������������������������ ��)��/����� �����"�� 3��������������������� $ ������������������ ���������������������� ��� /����$�$6�3�" ���"$�.�%�$#�(Taxas Instrument) �5&� TI E 92 (�����"��"��-��/��5&%$4���$ ����������������������
44
������!��"!�# 6 ���������0��I#(�)�����)�5�!#���0��I#������������)4�/��)���� �/�!������ 0���".� ����1$ � 1 �.������J4�4���������"����4���
1) �����-���".!���%��� ������ ��)�K$"������� 0�&���5!"�-���%2) ���������-� �54��)"�# (�)������%����� �����"�������� ���0��I#(�)
�����)�5�!#���0��I# ���-���"���� �� .&%���.������!��"!�# 6���)4�/��)���� �/�!������ 0���".� ����1$ � 1 !�%-���".!���%��� ������ ��)�K$"������� 0�&���5!"�-���%
3) �����.&%�������������������������� ������"����)��/����/�%.&%�������������������������� �5&� TI E 92
4) �� ��(�����"�����������0��I#(�)�����)�5�!#���0��I#��&���)�� �4��������/% $��-%4 18 �/ �/�) 50 ��$ �
5) ���(�����"���-��)���%���$ ���������$����0�I#!���4.(�)(��J����/�0�&�� �0���!���"�/��%*.�!���
6) ���(�����"�� (����)�� �44��K����� � -��� 68)J�$4��������/���������)4�/��)���� �/�!������ 0���".� ����1$ � 1 $ �"5&%J��������5&%$4���
2. (�����"��"��-��/��5&%�/5%$ �"����!��(�����"��"��-��/��5&%�/5%$ �"����!�������!��"!�# 6 ���������0��I#(�)���
��)�5�!#���0��I#� ������������)4�/��)���� �/�!������ 0���".� ����1$ � 1 �.������J4�4���������"����!�%���!��4���
1) �����-���".!���%��� ������ ��)�K$"������� 0�&���5!"�-���%2) ���������-� �54��)"�# (�)������%����� �����"�������� ���0��I#(�)
�����)�5�!#���0��I# ���-���"���� �� .&%���.������!��"!�# 6 ���)4�/��)���� �/�!������ 0���".� ����1$ �1 !�%-���".!���%��� ������ ��)�K$"������� 0�&���5!"�-���%
3) �� ��(�����"�����������0��I#(�)�����)�5�!#���0��I#��&���)�� �4��������/% $��-%4 18 �/ �/�) 50 ��$ �
4) ���(�����"���-��)���%���$ ���������$����0�I#!���4.(�)(��J����/�0�&��
5) ���(�����"�� (����)�� �44��K����� � -��� 68)J�$4��������/���������)4�/��)���� �/�!������ 0���".� ����1$ � 1 $ �"5&%J��������5&%�/5%
45
3. (//$4"�/��4%'�$���#������!��"!�#�� �����/���0��I#�(//$4"�/��4%'�$���#������!��"!�#�� �����/���0��I# ������������)4�/
��)���� �/�!������ 0���".� ����1$ � 1 �.������J4�4���������"����!�%���!�� 4��� 1) �������I ���"����(//$4"�/��4%'�$���#������!��"!�# �� �����/���0��I#�
������������)4�/��)���� �/�!������ 0���".� �1$ � 1 ���!����(�)���"��$ ��� �������2) �����-���".!� ����-�(�)�54��)"�#����� ���.� ������!��"!�# 6 ���������0��I#�
������������)4�/��)���� �/�!������ 0���".� ����1$ � 1 (���"����(//$4"�/��//�����!�/���4 4 !������� '4�"�����-���/�5%����-�(�)!��!�%�54��)"�#����� ���.������� 30 ���'4�% ���Q#����-�)(����
!�/*.��-�����) 1 )(�� !�/��4 -���J%&!�/ �-�����) 0 )(��3) �)�:���-�(� �-+'�����0�����/�������0���� ������ ��.0 �)�� � 30 =�(��>�� ����
�����=��� ���(�3(�/����+����������� ������ �.0 � ,(�� ��(�� �+?����(� :���)����������2�:��8==�(�� �3(���+�)�:���)� :�� �)����(��>������ ��@�)�� � 3 �3�� (������(��--��*��>� � � ���� 172) � ,(�� ��(�� �+�����+��,�(�� � �+��+���+=(���,�(�� � �+��(���2+=(�=�(�)�?�+ *���:���)�� ���+��������=���=�(�(���-� :�� ����/�=�(�)�?�+:���� ��,(��:�3��=�( 3�����:���-�(� �-+'�����0�����/�������0��,(8+3�
4) ���(//$4"�/��4%'�$���#������!��"!�#�� �����/���0��I# $ ��&�����0����������.��� �����,(���%����/��5�(�)(��J����/�0�&��!�%���(�)��� (���J�$4��������/����������$������$������ I��%��� ���-��4���� I��%��� �)4�/��)���� �/�!������ 0���".�����1$ � 2 K��� ��$ � 2 �1�������� 2545 ������ 38 � $ ��&������� ��������!��"!�# 6 %�(���(�)J%&��&������������5&%!����&��
5) �����)4����!�/%�!����-�)(�� ���$ �*.�J4� 1 )(�� ���$ ���4-���J%&!�/J4� 0 )(�� (������)(��$ �J4�%������)-#5�K�0���(//$4"�/���������� �0���-���%����&�� (p) (�)���������(�� (r) '4���� 50 % �����5&%".�(�)��5&%!��� (����4��������"�/$ �% ���%����&��!��(!&� 0.20 - 0.80 (�)���������(��!��(!& 0.20 ���J� '4��4�����J���0 �� 20 ���3���J4����"�/% �&���%����&��!��(!&� 0.24 - 0.61 (�) &����������(��!��(!&� 0.21 - 0.68 (����)�� �44��K����� � -���174)
6) ���(//$4"�/$ ��4�����J��%�-�&���%�����%���$��V/�/ '4���I ���.�4��#������#4"�� (KRE 20) J4��&���%�����%����$&���/ 0.77 (����)�� �44��K����� � -��� 174)
46
7) ���(//$4"�/$ �J4������� 6) %�0�%0#����(//$4"�/V/�/"%/.��# ������20 ���
4. (//$4"�/��4��%"�%��*�����(��'�$�#�+,-�������!��"!�#�� �����/�����)�5�!#���0��I#�
(//$4"�/��4��%"�%��*�����(��'�$�#�+,-�������!��"!�#�� �����/�����)�5�!#���0��I# ������������)4�/��)���� �/�!������ 0���".� ����1$ � 1 �.������J4�4���������"����!�%���!��4���
1) �������I ���"����(//$4"�/��4��%"�%��*�����(��'�$�#�+,-�������!��"!�#�� �����/�����)�5�!#���0��I# ������������)4�/��)���� �/�!������ 0���".�����1$ � 1 ���!����(�)���"��$ ��� �������
2) �����-���".!� ����-�(�)�54��)"�#����� ���.� ������!��"!�# 6 �����������)�5�!#���0��I# ������������)4�/�����)���� �/�!������ 0���".� ����1$ � 1 (���"����(//$4"�/��//�����!�/���4 4 !�������'4�"�����-���/�5%����-�(�)!��!�%�54��)"�#����� ���.������� 20 ���'4�% ���Q#����-�)(����
!�/*.��-�����) 1 )(��!�/��4 -���J%&!�/ �-�����) 0 )(��
3) ���(//$4"�/��4��%"�%��*�����(��'�$�#�+,-�������!��"!�#�� �����/�����)�5�!#���0��I# ������ 20 ���$ ��.������"������� �"��!&��)���%���$ ���������$����0�I#��0���!���"�/��%*.�!��� (�)$��������/��5�(��J����/�0�&��!�%��(�)��� (�������"���-��.��� �����,������ 3 $&�� (����)�� �44��K����� -��� 172) �0���!���"�/��%!��!�%����-� ��%�-%�)"%�������-� ��%��/�5%��������*�% K���(�)"�����!�%-�������� �����"�/$ �4 (�)0�����������*�%(�)!���������(!&�)����&�����(//$4"�/��4��%"�%��*�����(��'�$�#�+,-�������!��"!�#�� �����/�����)�5�!#���0��I#-���J%&�
4) ���(//$4"�/��4��%"�%��*�����(��'�$�#�+,-�������!��"!�#�� �����/�����)�5�!#���0��I# $ ��&�����0����������.��� �����,(���%����/��5�(�)(��J����/�0�&��!�%��(�)���(������J�$4��������/����������$������$������ I��%��� ���-��4���� I��%����)4�/��)���� �/�!������ 0���".� ����1$ � 2 K��� ��$ � 2 �1�������� 2545 ������ 38 �$ ��&������� ��������!��"!�# 6 %�(���(�)J%&��&������������5&%!����&��
5) �����)4����!�/%�!����-�)(�� ���$ �*.�J4� 1 )(�� ���$ ���4-���J%&!�/J4� 0 )(�� (������)(��$ �J4�%������)-#5�K�0���(//$4"�/���������� �0���-���%
47
����&�� (p) (�)���������(�� (r) '4���� 50 % �����5&%".�(�)��5&%!��� (����4��������"�/$ �% ���%����&��!��(!&� 0.20 - 0.80 (�)���������(��!��(!& 0.20 ���J� '4��4�����J���0 �� 15 ���3���J4����"�/% �&���%����&��!��(!&� 0.29 - 0.55 (�)&����������(��!��(!&� 0.21 - 0.58 (����)�� �44��K����� � -��� 174)
6) ���(//$4"�/$ ��4�����J��%�-�&���%�����%���$��V/�/ '4���I ���.�4��#������#4"�� (KRE 20) J4��&���%�����%����$&���/ 0.84 (������(��--��*��>� � � ���� 174)
7) ���(//$4"�/$ �J4������� 6) %�0�%0#����(//$4"�/V/�/"%/.��# ������15 ���
����� ����������������� �#�������$"��%�
�.������4��������������(�)�����6/��/��%���%.� '4�4���������!�%���!��4��� 1. �.�������!� �%��%0���%�������������������������� ��/����������5&%$4���
3���������5&%$ ���������������������� ��)��/����� ���&��$�����"��!�%(�����"���0����-������ ���.���������������������������� ��&���&��(�&� �������� 2 �/ �/�) 50 ��$ �
2. 4���������$4���'4��.������4���������"����� '4���5&%$4����)��������������������� ��)��/����� �� �������"����5&%�) 18 �/ �/�) 50 ��$ '4��-������������������������������ ��-����� ��(�)���-����� ��"��-��/$�����/���(�)!�����!�/
3. -���������"��"��"54 �-���������$��"����5&%$��(//$4"�/��4%'�$���#������!��"!�#�� �����/���0��I#(�)(//$4"�/��4��%"�%��*�����(��'�$�#�+,-�������!��"!�#�� �����/�����)�5�!#���0��I#$ ��.������"������� '4�J%&�-����������������������
4. ���)(��������$��(//$4"�/��4%'�$���#������!��"!�#�� �����/���0��I#(�)��%"�%��*�����(��'�$�#�+,-�������!��"!�#�� �����/�����)�5�!#���0��I#-���$�����$4��������������$��"����5&%%������)-#��%(!�!&��'4�������$4"�/(//$ (t-test)
����� ����&'$"��%�
����������)-#���%.�$ �J4�������$4����.������$����������)-#���%.�4���'��(��%"����6��.��0�����������$��"��%��"!�# (Statistical Package for the Social Sciences : SPSS/PC+ )�0���
48
1. ��� �/�$ �/%'�$���#������!��"!�#�� �����/���0��I#�)-�&����5&%$ ���������������������� ��/��5&%$ �J%&��������������������� ��)��/����� ����!��"!�# '4�������$4"�/(//$ (t-test)
2. ��� �/�$ �/��%"�%��*�����(��'�$�#�+,-�������!��"!�#�� �����/�����)�5�!#����0��I#�)-�&����5&%$ ���������������������� ��/��5&%$ �J%&���������������������� ��)��/����� ����!��"!�# '4�������$4"�/(//$ (t-test)
������������ ������ ��������1. �?��� ,��B��
1.1 ��:���C��� (X)1.2 �3 ���������+���B�� .)D.S(
2. �?����������� �������0=�(+������-�(�:���� (t-test) ���'��(��%"����6��.��0�����������$��"��%��"!�#�
(Statistical Package for the Social Sciences: SPSS/PC+ )3. "*�!�$ ���������-�5�K�0���(//$4"�/��4%'�$���#������!��"!�# (�)(//
$4"�/��4��%"�%��*�����(��'�$�#�+,-�������!��"!�# ���".!�4��� 1) -�&���%�����%��� (reliability) ���(//$4"�/ '4����".!����.�4��# �����#4"��
".!� 20 (Kuder Richardson E 20 : KR E 20)
".!� KR E 20 ,
∑−
−= 2tt s
pq11nnr
�%��� rtt �� &���%�$ ������(//$4"�/n �� ������������(//$4"�/p �� "�4"&������.�$��*.������-���� kq �� "�4"&������.�$����4�����-���� ks2 �� ��%(���������)(��$��-%4
2) -�&���%����&�� (level of difficulty) (�)&����������(�� (power ofdiscrimination) '4����".!�
n2PPP LH +=
nPPr LH −
=
49
�%����-� P �� &���%����&��r �� &����������(�� PH �� ����������� ��$ �!�/*.�����5&%".� PL �� ����������� ��$ �!�/*.�����5&%!���n �� ����������� ������5&%".�
����� 4
���� ������������
������������ ������������ ��������������� �� ��������� !"#$�#����������� ����������� ���#����������� ����� %������������� �����
������������������ ������������
��������� !"#$�#����������� ������!��&�!�N % � '��������()���#���*+�X % � %���,�!"-.D.S % � �+����!"-&�������.��
t % � +��0���#���� ����%�� ! (t-test)
� !����"����� �������������� ������������#!�! �� ��$�� !��!�%��"1. ��+��0���8���.��9�-��%���,�!"-%��+����!"-&�������.�� �&��� ����
����9� �(���$�&���(��������+�&��*+� !"��!-�9�-#$����"�&������$�&���:%���*+� !"��!-�9�-��+#$����"�&������$�&���:
2. �<�!-�� !-������ ��������9� �(���$�&���(��������+�&��*+� !"��!-�9�-#$�����"�&������$�&���:%���*+� !"��!-�9�-��+#$����"�&������$�&���:
3. ��+��0���8���.��9�-��%���,�!"-%��+����!"-&�������.�� �&��� ���������������0#����%��9' -�<>����$�&���(��������+�&��*+� !"��!-�9�-#$����"�&������$�&-���:%���*+� !"��!-�9�-��+#$����"�&������$�&���:
4. �<�!-�� !-������ ���������������0#����%��9' -�<>����$�&���(���������+�&��*+� !"��!-�9�-#$����"�&������$�&���:%���*+� !"��!-�9�-��+#$����"�&������$�&���:
51
���� ������������1. �0���8���.�� %���,�!"-%��+����!"-&�������.�� �&��� ��������9� �(���
�$�&���(��������+�&��*+� !"��!-�9�-#$����"�&������$�&���:%���*+� !"��!-�9�-��+#$����"�&������$�&���:���&��� ���& <���@��&����& 1 %������ ����%�� !<���@��&����& 2
����& 1 %���,�!"-%��+����!"-&�������.�� �&��� ��������9� �(���$�&���(���������+�&��*+� !"��!-�9�-#$����"�&������$�&���:%���*+� !"��!-�9�-��+#$����"�&������$�&���:<���������!-����&��� ���&
��*+�����-+�& N X .D.S
��*+� !"��!-�9�-#$����"�&������$�&���:
��*+� !"��!-�9�-��+#$����"�&������$�&���:
20
20
9.00
7.10
2.03
1.59
'������& 1 %��&#����E��+�%���,�!"- �&��� ��������9� �(���$�&���(���������+�&���()��� !"��!-�9�-#$����"�&������$�&���:������()��� !"��!-�9�-��+#$����"�&������$�&���:<���������!-�� +���� 9.00 %� 7.10 �+����!"-&�������.��� +���� 2.03 %� 1.59��������� ��*+� !"��!-�9�-#$����"�&������$�&���:�!�%���,�!"-��&��+� ���!-�����E�!��+����!"-&�������.����&��+����-
52
����& 2 ����� ����%�� !�8�"��<�!-�� !-��9� �(���$�&���(��������+�&��*+� !"��!-�9�-#$����"�&������$�&���:�����*+� !"��!-�9�-��+#$����"�&������$�&���:<���������!-����&��� ���&
��*+�����-+�& N X .D.S t
��*+� !"��!-�9�-#$����"�&������$�&���:
��*+� !"��!-�9�-��+#$����"�&������$�&���:
20
20
9.00
7.10
2.03
1.593.302**
**p < 0.01
'������& 2 %��&#����E��+����()��� !"��!-�9�-#$����"�&������$�&���:�!�9� �(����$�&���(�������&��+����()��� !"��!-�9�-��+#$����"�&������$�&���:<���������!-��-+�&�!��-����� �&�0��� !"���� 0.01
53
2. �0���8���.�� %���,�!"-%��+����!"-&�������.�� �&��� ���������������0#����%��9' -�<>����$�&���(��������+�&��*+� !"��!-�9�-#$����"�&������$�&���:%���*+� !"��!-�9�-��+#$����"�&������$�&���:���&��� ���& <���@��&����& 3 %������ ����%�� !<���@��&����& 4
����& 3 %���,�!"-%��+����!"-&�������.�� �&��� ���������������0#����%���9' -�<>����$�&���(��������+�&��*+� !"��!-�9�-#$����"�&������$�&���:�����*+� !"��!-�9�-��+#$����"�&������$�&���:<���������!-����&��� ���&
��*+�����-+�& N X .D.S
��*+� !"��!-�9�-#$����"�&������$�&���:
��*+� !"��!-�9�-��+#$����"�&������$�&���:
20
20
9.55
7.55
1.50
3.35
'������& 3 %��&#����E��+�%���,�!"- �&��� ���������������0#����%���9' -�<>����$�&���(��������+�&���()��� !"��!-�9�-#$����"�&������$�&���:������()��� !"��!-�9�-��+#$����"�&������$�&���:<���������!-�� +���� 9.55 %� 7.55%��+����!"-&���-����.��� +���� 1.50 %� 3.35 ��������� ��*+� !"��!-�9�-#$����"�&������$�&���:�!�%���,�!"-���&��+���*+� !"��!-�9�-��+#$����"�&������$�&���: %���*+� !"��!-�9�-#$����"�&������$�&���:�!�+����!"-&�������.�����-��+���*+� !"��!-�9�-��+#$����"�&������$�&���:
54
����& 4 ����� ����%�� !�8�"��<�!-�� !-���������0#����%��9' -�<>����$�&���(���������+�&��*+� !"��!-�9�-#$����"�&������$�&���:�����*+� !"��!-�9�-��+#$����"�&������$�&-���:<���������!-����&��� ���&
��*+�����-+�& N X .D.S t
��*+� !"��!-�9�-#$����"�&������$�&���:
��*+� !"��!-�9�-��+#$����"�&������$�&���:
20
20
9.55
7.55
1.50
3.352.437**
**p < 0.05
'������& 4 %��&#����E��+����()��� !"��!-�9�-#$����"�&������$�&���:�!��������0#����%��9' -�<>����$�&���(�������&��+����()��� !"��!-�9�-��+#$����"�&������$�&���:<���������!-��-+�&�!��-����� �&�0��� !"���� 0.05
����� 5
���� �� �� �� ����� ����������
������������ ������������ ����������������������������� ������� ��������!��"!�#$ �% !&�%'�$���#������!��"!�#(�)��%"�%��*�����(��'�$�#�+,-�������!��"!�#������������-���".!���)���� �/�!������ 0���".� ����1$ � 1 '���� ������� ������
����
�������������������� �1. �0������ �/�$ �/%'�$���#������!��"!�#�� �����/���0��4#�����������-���".!�
��)���� �/�!������ 0���".� ����1$ � 1 �)-�&����5&%$ ���������������������� ��/��5&%$ �6%&���������������������� ��)��/����� ��
2. �0������ �/�$ �/��%"�%��*�����(��'�$�#�+,-�������!��"!�#�� �����/�����)�5�!#���0��4#�����������-���".!���)���� �/�!������ 0���".� ����1$ � 1 �)-�&����5&%$ ����������������������� ��/��5&%$ �6%&��������������������� ��)��/����� ��
���!"����������� �������������������������� �.������68�8����������������!��8��� 1. ��)���� ������������-���".!���)���� �/�!������ 0���".� ����1$ � 1 9��� ��$ � 2
�1�������� 2545 '���� ������� ������ ����9��%��� ���-��8���� 4��%��� "����8"���������)���%���������������� $ ��� ��������!��"!�# 6
2. ��5&%!����&�� ������������-���".!���)���� �/�!������ 0���".� ����1$ � 1 (��".1)'���� ������� ������ ����9��%��� ���-��8���� 4��%��� "����8"���������)���%����������������$ ��� ��������!��"!�# 6 9��� ��$ � 2 �1�������� 2545 ?���68�������"5&%��&���&�������� 40 � (/&�������5&%$8���$ �"��'8���������������������� 20 � (�)��5&%�/5%$ �"��'8���!�6%&��������������������� 20 �
56
�������������� �.�����������.�8���������"��8���!���� $����5&%$ ��� ��'8������������������������� ��)��/����� ��(�)��5&%$ ��� ����!�'8�6%&��������������������� ��)��/����� �� ������������"��$��-%8 9 "��8�-# B �) 2 �/ ��% 18 �/ �/�) 50 ��$ '8���(!&�)��5&%% (�����"������(��$�������8���������$8��� �%���8���������"���/!�%(�����"��$�� 18 �/ (����.�������-���������$��"����5&%$��(//$8"�/��8%'�$���#������!��"!�#��� �����/���0��4#(�)(//$8"�/��8��%"�%��*�����(��'�$�#�+,-�������!��"!�#�� �����/�����)�5�!#���0��4#�
3. ������%��$ ������������������ ����(//$8"�/��8%'�$���#������!��"!�#�� �����/���0��4# ������ 20 ��� ?���% &���%�����%���$��E/�/ '8����".!����.�8��# �����#8"�� (KRH 20)�$&���/ 0.77 ��%����&��% &�!��(!&� 0.24 - 0.61 (�)���������(��% &�!��(!&� 0.21 - 0.68(�)(//$8"�/��8��%"�%��*�����(��'�$�#�+,-�������!��"!�#�� �����/�����)�5�!#����0��4# ������ 15 ��� ?���% &���%�����%���$��E/�/ '8����".!����.�8��#� �����#8"�� (KRH 20)�$&���/ 0.84 ��%����&��% &�!��(!&� 0.29 - 0.55 (�)���������(��% &�!��(!&� 0.21- 0.58
�����������#���$�1. -�&�"*�!�0��K��'8�-�)(���E� ��(�)"&���/ ����/�%�!�K��������$8"�/
��8%'�$���#������!��"!�#�)-�&����5&%$ ��� ��'8���������������������� (�)��5&%$ ��� ��'8�6%&���������������������
2. ��� �/�$ �/�����$8"�/��8%'�$���#������!��"!�#�)-�&����5&%$ ��� ��'8����������������������� (�)��5&%$ ��� ��'8�6%&���������������������
3. -�&�"*�!�0��K��'8�-�)(���E� ��(�)"&���/ ����/�%�!�K��������$8"�/��8��%"�%��*�����(��'�$�#�+,-�������!��"!�#�)-�&����5&%$ ��� ��'8���������������������� (�)��5&%$ ��� ��'8�6%&���������������������
4. ��� �/�$ �/�����$8"�/��8��%"�%��*�����(��'�$�#�+,-�������!��"!�#��)-�&����5&%$ ��� ��'8���������������������� (�)��5&%$ ��� ��'8�6%&���������������������
�� �������� �1. ��������-���".!���)���� �/�!������ 0���".� ����1$ � 1 $ ��� ��'8���������������
������� ��)��/����� ��% %'�$���#������!��"!�#".���&���������$ ��� ��'8�6%&��������������������� ��)��/����� �� ��&��% ���"���,$��"*�!�$ ��)8�/ 0.01
57
2. ��������-���".!���)���� �/�!������ 0���".� ����1$ � 1 $ ��� ��'8���������������������� ��)��/����� ��% ��%"�%��*�����(��'�$�#�+,-�������!��"!�#".���&���������$ ��� ��'8�6%&��������������������� ��)��/����� �� ��&��% ���"���,$��"*�!�$ ��)8�/ 0.05
�� �����1. �����������0/�&���������-���".!���)���� �/�!������ 0���".� ����1$ � 1 $ ��� ��
'8���������������������� ��)��/����� ��% %'�$���#������!��"!�#".���&���������$ ��� ��'8�6%&��������������������� ��)��/����� �� ��&��% ���"���,$��"*�!�$ ��)8�/ 0.01?�������6�!�%"%%!�K��$ �!��6�� $��� ���������%������4 ���"��$ �(�����"��"��-��/��5&%$8��� ?����.��������������������������� ����%�����"���������� �����"�� ?���������4 ����-%&�$���-���������% ��%"��� !����(�)������"&!&������ �� '8������������%���"���.������68��4�/������-�(�)��!����&����)��/'8������������������������� $���-��-L������.�4��%%����&����"��(//��!��$ �"��'8���4 ���/����� �0��)"�%��*�� ����� ��� +��#���68�-��� +��#���/�(��0���8.&�8 �����$��-����������������������� (�)���"�%��*��������������������� !���"�/��!�/�����������68� ��/���/�.������68��-��������� ���������/���$ ��.�������!� �%6�� (���"�5�%'�$���#�����������8���!�����'8��.�����������.�$ ���(�)����&���-��� !&��������-������������%�("8���%�8�-L�-�������� �� $���-���������% ��%��)!��������(�)"�5�"��� ?����&���8��%�/���-�&��������� �� ����)$ ���5&%$8���!����!��"�����/��4 ����� ��(//�-%&��������������������������� (!&������������5&%�/5%!����� ��8�����4 ����� ����!� $�� B $ �/���"���(�)!�������������������������������������� ?����������"��-!5-����$ �$���-�������������5&%�/5%�.�"���&�*.��8��%"���,��6� ���������$���-�)(��������$8"�/������&���5&%$8��� "��-��/�������������� �.������68�$��������)�������'���� ������� ������ ?���% ��������-���".!���)���� �/�!������ 0���".� ����1$ � 1 ������ 57 �(���"5&%��5&%!����&�� ���������5&%�) 20 � �)�-L�68��&���5&%!����&��% ���� $���-�"5&%!����&�����%�(�����������$ ��� ����&�(�)�� ���&�����%���.&��5&%�8 ����� �������-�� �����)������)(������5&%$8���%����&���5&%�/5%(�)� ���)���-�������������%����(//$8"�/��8%'�$���#������!��"!�#�� �����/���0��4#$ �% ���������(��&������!��� �������������� "�8������/����������� ���#����" (Norris. 1995 : 1862-A) ?���������� �����/ ��$4�0���������������������������� "��-��/����� �����"��(�.��"�/���!�����)8�/%-���$����� 0/�&���������$ ��� ��'8���������������������� % ��%�.�����%'�$���#�� �����/ +��#���".���&���������
58
$ ��� ��'8�6%&��������������������� (�)"�8������/����������� ��#�$��# (Carter. 1995 :3869-A) ?���$��������� �����/��%"�%��*�����%���-L�9�0���6�".&��%��������%'�$���#���� +��#��� '8���������������������� 0/�&���������$ ��� ��'8���������������������� % 0�X������������� +��#���".���&���������$ ��� ��'8�6%&��������������������� (�)"�8������/����������� ����� �%� (2542 : 46-73) ?���������� �����/ ����������������������������� $ �% !&�%'�$���#������!��"!�#(�)��%"�%��*8���%�!�"�%0��4#�������� �����%�4�%������1$ � 3'���� ��"�4�!"����8$/��%-���$����� 0/�&������ �����%�4�%������1$ � 3 $ ��� ��'8�������������������������� ��)��/����� ��% %'�$���#�������!��"!�#(�)��%"�%��*8���%�!��"�%0��4#".���&������ ��$ ��� ��'8�6%&��������������������� ��)��/����� ����!��"!�#�
2. ����������0/�&� ��������-���".!���)���� �/�!������ 0���".� ����1$ � 1 $ ��� ��'8���������������������� ��)��/����� ��% ��%"�%��*�����(��'�$�#�+,-�������!��"!�#�".���&���������$ ��� ��'8�6%&��������������������� ��)��/����� �� ��&��% ���"���,$��"*�!�$ ��)8�/ 0.05 ?�������6�!�%"%%!�K��$ �!��6�� $��� ���������%�������$ �������������5&%$ ��� ��'8���������������������� �" �����������8����������� $���-�% ����������� ������-��� �����/�����)�5�!#���0��4#%����� 68�% '���"YZ�Y�(�)�[�/�!� �����(��'�$�#�+,-������)�5�!#68�%����&� (�)���"�%��*!���"�/��!�/68�8���!���� ���"��'8���������������������� ���$���-��.�"��% ����%��0�$ ��)�&���-�����������$ ��� ���&��68�!��!&�!�� ?���!&�������5&%�/5%$ �!����" �����������8�����'8������)8��(�)�����$���-��" ������������ ������-��� �����/�����)�5�!#���0��4# ?���/����������%�(��������80��868�(�)6%&68�!���"�/��!�/ ��)���$ �"���������������� ��'8���������������������� $���-���������"�%��*�� ����� 68�*.�!���(�)��8��L����$���-�% �����0 ��0�"��-��/����� ���.�'�$�#�+,-������)�5�!#��-%& B ?���"�8������/ "%0� ��L�"�5� (2525 : 66-67) $ ���&��6���&� ���������������������%��������8�����(��'�$�#�+,-�������!��"!�#$ ��5&����(�)"��/?�/?���68���&��*.�!���(�)��8��L� (�)"�8������/ ��$"# (�) 8�%��� (Waits and Demana. 2000 : 54-55) $ ���&��6���&� ������������������ "�%��*-�&����0��4#(�)(���+,-�$ �"��/?�/?���$ �6%&"�%��*(��8�����)8��(�)�����68��
59
�����������"��(�)$���6�1. ��������$8���0/�&����"��'8���������������������� $���-��.��� ��
���8����� ���.�68�8 ��&����"��'8���4 ���"����!� 8����������$ ��)"&��"��%�-�% ���"����(�)���(�����"��$ �"��'8���������������������� �-�(0�&-����������
2. ��$ ��)% -�&������E0�)�0���$��-���$ ����(0�&��%�.�$����������� �����/������������������ (�)������� �����/������������������������ ������� �����"�� !��8��$��-���$ �"��/"�5�"&��"��%�-�% ��������������������������� 6������)��/������� �����"��
3. ���"����/$�� ��$ ����������������������� ������� �����"�� �������$ �% � �/�����?�/?��� �.�"�����)!��������.�$ �% ��%�.� ��%�����,(�)�� �����,��(�������$ ��)"���� �.�-�������� ��(�)�)!��������.�$ ���������!��$���������� 8�����"*�������������)% -�&������0���"����(������� ��$ ���������������������� ��)��/����� ��
4. ����8�-�% ���YZ��/�%������������������������ �-�(�&�.�.�"���0������������)!5���-��.�.�"��68�0�X����)/������� �����"��-��� B �.�(//
5. �.�.�"����!��"!�#�����������-�(�)������%����� �����"���-��-%�)"%��/������������������ �0���$ ������ ���)68���/��)'���#".�"58���������������������������
����"��(�)�0�����������!&�6�1. �������*����#��)��/!&�� B $ ��)�&���-������ ��'8����������������������
����6���&��% ��)"�$4�9�0 ��&��$��������"����%�.� �����)���� �)�)����$ ����������� ��(!&�)��� (�)/$/�$����.����)���������������������
2. ���������� �/�$ �/$���!�����.��� ��$ �% !&������ ��'8���������������������� ��/����� ��8�����4 ���"��(//���� B
3. ��% �������� �� �����/������������������������ �������)�8 ������ ��/����-�����(�)�)8�/������� �-������������� �0���8.�&�����-����������8/���$ �������"��8��������������������� (���68���8 ��&������ �����"��(//��!��
4. �����/��5�(�����"��$ ��.������"�������(������6�$8�����/��5&%!����&����"*�/���������������K/�� ��&�����$������$���0����-�68�(�����"��$ �% ��)"�$4�9�0�������
����������
61
����������
��� �������� . �������� 2 ��������������� Graphing Calculator. ��)*��+�,���� :./�+����+��+0�, 2537
��� �,�/��5�. ���6�6�/���78�9�. ��)*��+�,���� : 7��0�:;��������)*��+, �.<.<.�� /6��. =6�0<> ,� : ���?�.�@A����B�C�D��������,E ���+�F��,�����D�.
(17) : 9-19 ; �)�M�+��.0 2531�5���7�/� �N��� ������M/ ����D�0�. ������<����O�����/� P��� �Q 111 �������� 1. M��P���
�Q�D7��D�0� �Q�P���7��D�0 �,�P��������9�Q, �.<.<. ��R�N����Q���� ���. A�B�*���������:;�*�N��PQ���*���SST��/;�/DU��6���7�0��*�Q�D7��D�0����P��
�����VR�����D����+��.0B�*�����/���C���.�78�9�<W�/; 3 6�*��/���.�D��*��R�OP*�,�P�����. <�� ���)7��D�0�,�O�QX�D. ��)*��+Y : )Z��*��Q0�,�P�����,2542.
�P��DD0� ���P�/�D�+*70�. =�P����R�PO�R��O�����/�������,E ���+�F��,�����D�. 14(119) :55-60 ; D)����-.��P��� 2538.
�P���� ��� A�. =)�.7��D�0�N�,��O������6�0<> ,�,E P������Q�D7��D�0�. 42(482) :37-47 ; .��P��� 2541.
����7�/� ���. ��:;�*�U�����N�,��O����Q�D7��D�0�. +��+0���C*�/; 2. ��)*��+Y : O��9��6�*+��+0��P�F��+�Q�� N���R, 2536.
��+�.0� �DD0M��R/�. =������6�0<> ,�,E <������78�9�. 26(2) : 7-10 ; ����� 2517.O� �D�� ��*�N�. ���.�+�B�*���:;�*��R��B�/;�/DU�A����?�.�@�����7��D���*�����/��Q�D7��D�0�
��:;�*����R�N�R�O�������R,��U����R�O��C���.�78�9�<W�/; 5 (�.7.5) 6�*��/���D�O)�/��*,P�R�)�����0�. <�� �7��<7��D�0�,�O�QX�D. ��)*��+Y : �,�P�����7�/�������P�6�F <�������D�, 2526.
<�/�� ���P0�_�A�. ���+�F�����9������R�N��PQB�*�����/���R�O<��V�78�9�. ��)*��+Y :6�*+��+0)Z��*��Q0P�����, 2537.
+*90��+0� �P���. ���78�9��P�������V��������6�0<> ,����OP� ����O ����P������������/����B�*�����/���C�<��V�78�9�<W�/; 2 �/;�R���O������6R����OO��/���U���_����*P��Q����. <�� ���+�.0���78�9��,�O�QX�D. ��)*��+Y : �,�P�����7�/�-�������P�6�F<�������D�, 2543.
62
+��� ,���������0 ���+����90 ���9+��R�. P�./����Q�D7��D�0�. ��)*��+Y : �*�0�������)�)�M�,�.<.<.
+��M� �+6��0M��R/�. �P�����+��.0��,PU�*���9���*�Q�D7��D�0��OA��N���_��������6�0�<> ,��Q�D7��D�0B�*���78�9���R�O<����7�/O�D�. <�� ���+�.0���78�9��,�O�QX�D. �*B�� : �,�P��������9�Q, 2542.
+��Q��+0� ����Q/. �������Q�D7��D�0��P�,�U��R�O��.�78�9�. ��)*��+Y : ���78�9����+��+0�, 2520.
+��� 7�/����0R/�. �������Q�D7��D�0��R�O��.�78�9�. ��)*��+�,���� : O��9�� �)U*7��<`���+��+0 (1977) N���R, 2530.
�+���+�7 ��:���P��. �P�����+��.0��,PU�*���9����P������,0<> ,� ����<�M�9�6�0 �����R�N��PQ��O�P�������V��������6�0<> ,��Q�D7��D�0B�*�����/���C�<��V�78�9�<W�/; 6. P�����+�.078�9�7��D�0�,�O�QX�D. <>DD��/� : �,�P������*B���������0�, 2541.
�+O��0� ���7. =<> ,�B�*6�0<> ,�,E ���+�F��,�����D�. 16 : 70 a 75 ; ������ 2526.�����/� )X��+. �DP��������/�������. ��)*��+Y : O��9�� ���9�+�+�F�0 N���R, 2541.��./� ������9�. ��P��R���������Q�D7��D�0�. �*B�� : M��P����Q�D7��D�0 �Q�P���7��D�0�
�,�P�����7�/�������P�6�F �*B��, 2520.)+�� +�+�.�)�. �����/��������Q�D7��D�0�. ��)*��+�,���� : 6�*+��+0O+�.���+��+0�, 2539.���O�QX�D�V��. 7�+�0�Q�D7��D�0� 5O�O���O�QX�D�V��. +��+0���C*�/; 7. ��)*��+Y : �,�)Z�
�*��Q���P�����, 2540.P�F�+� ��*�O�)�B0. �A��������/;����A����/��<b�7��0���*. +��+0���C*�/; 2. ��)*��+Y :
O��9����� �/ �+�� N���R, 2542.P��D�� ��)P��Q+�F�0�. ������<����O�����/� P��� �Q 111 �������� 1. M��P����Q�D7��D�0�
�Q�P���7��D�0 �,�P��������9�Q, �.<.<. ��R�N����P��� ��+Q/0 ��������./ �����+��.0�. �OOcd�,�R���������������<> ,�6�0��������.
��)*��+Y : O��9���/�.+/ +��C��0N���R, 2538.P��� P*90�, U�. =�����/��������P����R�PO�R���,������,E ���P����*���78�9�. 19(3) :
18-32 ; ���e���-����� 2532.P��� ����*. A�B�*���������:;�*��R��B�������/��Q�D7��D�0����C���/� ���������N����
63
O��� �/;�/A����?�.�@��*�����/��Q�D7��D�0 B�*�����/���C���.�78�9�<W�/; 6.<�� ���)7��D��,�O�QX�D. ��)*��+Y : )Z��*��Q0�,�P�����, 2526.
P���P��Q D�/7�/ ������. =��P��RO�*<�������/;P��O�P����R�PO�R,E ���+�F��,�����D�.13(117) : 49-51 ; ��9��-��V)��� 2537.
P�6��0� �N��8*�)Q���. �Q�D7��D�0 6 (3000-1506) ,�PRP���+:C�f�� <P�. ������/P78�9�.��)*��+Y : <�������D�, 2542
7�/�)��*�0 �/���)�. ���.�+�B�*���:;�*��R��B�/;�/DU�A����?�.�@�����7��D���*�����/��Q�D7��D�0B�*�����/���C���.�78�9�D��<�� 6�*��/��D�/��������7 �)R�.��/�.<�� �7��<7��D�0�,�O�QX�D. ��)*��+Y : �,�P�������9D�7��D�0�, 2526.
7��0<g�O�D����<g���<���78�9�, �����P*78�9�.����. ��*���P����� ���P,������<g���<���78�9� ����O 16 �R:��. ��)*��+Y : 6�*+��+0���7����, 2544.
���R� O) <����90�. ������<> ,�. ��)*��+Y : �Q�P���7��D�0������6�6�/�V�O�����M�g+�����, 2543.
���8� M����.�/�. ���P�RA����78�9�. ��Z���.)0 : <��������+��+0�, 2541 =�������,����R concept �������B/�B����OP�R concept,E ���P�RA����
78�9�. 6(7) : 38-46 ; ���e��� 2543.��+� ��_���)�. =O�O��B�*���:;�*�N��PQB��R��_��������/��������Q�D7��D�0��R�O
6�*��/�,E P������7P.<�)�P�� 7(2) : 88-89 ; �)�M�+��.0 2525.����D O��*��D�0�. ���+�F�������/�������������6�0<> ,��Q�D7��D�0�U�*
�)D��,��������R�O<����7�/O�D�P����/+ 6R������P�����*<g�O�D����. <�� ����78�9�R)9e/O�QX�D. ��)*��+Y : �,�P�����7�/�������P�6�F <�������D�, 2540.
��7��R�@ 6�MQ+���. =)�.P�./������<> ,����*�Q�D7��D�0��O������,E P���7��D�0O��+�.2(2) : 61 a 72 ; ���e��� a .��P��� 2537.
�V�O���U*�����������P���7��D�0������6�6�/�. �Q�D7��D�0�/;������:;�*��R��B. ��)*��+Y :O��9�� ����U� R/�i�0���+��C� N���R, 2544
����+� ��+0�*. = ����R�����/��������Q�D7��D�0�,���R����*��O+�����O� �D����78�9��,U*��D�� +.7. 2542, E 78�9�7��D�0<����7�0�. 16(3) : 7 �����-.��P��� 2544.
�)����7�0� ���)�. �������*�)R�������/;�/<�����.�M�+ P����Q�D7��D�0 ��:;�*6�0<> ,������Q������,���79�UP� ��C�<��V�78�9�<W�/; 5 D��,�����D�<��V�78�9� +)�.7�����
64
2521 (5O�O<��O<�)* +.7.2533). <�� ���+�.0���78�9��,�O�QX�D. �,������� :�,�P�����7�/�������P�6�F �,�������, 2538.
�)+�7� ���P�)P��Q. ����<�/O��/O���OP������R���<> ,�6�0�Q�D7��D�0B�*�����/��U�*�)D��,���� ��R�O<����7�/O�D�P����/+ �/;�/A����?�.�@��*�����/��Q�D7��D�0��D�DU�*���. <�� ���)7��D��,�O�QX�D. ��)*��+Y : )Z��*��Q0�,�P�����, 2527.
�)�7��R�@ <��j. =A��O��,����O�������*�)QM�+6�*��/���U�P���<b����7,E P������. 3(10) :6 ; D)���� 2543.
�)��*�0 6�P�D�����. �DP������78�9�. ��)*��+Y : �N����+��+0)Z��*��Q0�,�P�����, 2537.6�M�+��Q 7�����D�0�. ����<�/O��/O�P���B����6���7�0��*�Q�D7��D�0B�*�����/���C�<��V�
78�9�<W�/;,�� �/;�/�OO�����RDU�*���. <�� ���)7��D�0�,�O�QX�D. ��)*��+Y :)Z��*��Q0�,�P�����, 2527.
���� �)���)�. A�B�*���������:;�*��R��B�������/��Q�D7��D�0��:;�*���P������,0B�������*�V�D��/;�/DU�A����?�.�@��*�����/�B�*�����/���C���.�78�9�<W�/; 5. <�� ���+�.0����78�9��,�O�QX�D. ��)*��+Y : �,�P�����7�/�������P�6�F <�������D�, 2526.
�N��P �R���7�/�. 7��0�:;����78�9�. ��)*��+�,���� : �N����+��+0ST����0�i_��D��0�, 2542.�)O���D�0� �iURU��. A�B�*���9���*�Q�D7��D�0�/;�/���.�+�DU��P���N���_��������6�0�
<> ,��Q�D7��D�0B�*�����/���C�<��V�78�9�<W�/; 6 B�*�N����*�����<��V�78�9��*,P�R<>DD��/�. P�����+�.078�9�7��D�0�,�O�QX�D. <>DD��/� : �,�P������*B���������0�, 2538.
Adams, Sam. Ellis, Leslie. and Beeson, B. F. Teaching Mathematics. New York :Harper & Row, Publishers., 1977.
Arends, Richard. Learning to Teach. New York : Random House, Inc., 1988.Barton, Susan Dale. =Graphing Calculators in College Calculus : An Examination of
Teacher′conceptions and Instructional Practice,E Dissertation AbstractsInternational 56(10) : 3868-A ; April, 1996.
Bitter, Gary G. and Hatfield Mary M. =Implementing Calculators in Middle SchoolMathematics : Impact on Teaching and Learning,E Calculators in Middle SchoolEducation. Virginia : The National Council of Teachers of Mathemetics, Inc., 1993.
Carter, Harry Hoke. =A Visual Approach to Understanding the Function ConceptUsing Graphing Calculators,E Dissertation Abstracts International. 56(10) : 3869-A ;
65
Aprill, 1996.Dimiceli, Vincent E. =Business Calculus Students ′use of the Graphing Calculator,E
Dissertation Abstracts International. 61-01A ; 1999.Fuys, David J. and Tischler, Rosamond Welchman. Teaching Mathematics in the
Elementary School. United States of America : 1979.Gary L. Musser, William F. Burger and Blake E. Peterson. Mathematics For
Elementary Teachers. Fifth Edition. New York : R.R. Donnelley & Sons, Inc., 2001.Gunter, Mary Alice. Estes, Thomas H. and Schwab, Jan. Instruction A Models Approach.
United States of America : A Simon & Schuster company, 1995.Johnson, Donovan A. Guidelines for Teaching Mathematics. California : Wadsworth
Publishing Company, Inc., 1972.Krakowki, Rebecca Jo. =The Effect of Graphics Calculator Use on Precalculus Students′
understanding of Polynomial, Rational, and Exponential Functions,E DissertationAbstracts International. 61-03A ; 2000.
Krulik, Stephen and Rudnick, Jesse A. =Teaching Problem Solving to Preservice Teachers,EArithmatic Teacher. 29(6) : February, 1982.
Kutzler, Bernhard. =The Algebraic Calculator as a Pedagogical Tool for TeachingMathematics,E The International Journal of Computer Algebra in MathematicsEducation, 2000. 7(1) : 2000.
Lasley, Sidney J. The New Applied Mathematics. 6th ed. United States of America :Prentice a hall, Inc., 1964.
Lemlech, Johanna Kasin. Curriculum and Instructional Methods for the Elementary School.New York : Macmillan Publishing Company, 1984.
Morris, Janet Parker. =Problem Solving with CalculatorsE Activities for JuniorHigh School and Middle School Mathematics. Virginia : The National Council ofTeachers of Mathemetics, Inc., 1999.
Norris, Carl Wallace. =The Impact of using Graphic Calculators as Aid for the Teachingand Learning of Precalculus in a University Setting,E Dissertation AbstractsInternational 55(7) : 1826-A ; January, 1995.
Pomerantz, Heidi. The Role of Calculators in Math Education. Rice University, 1997.
66
Polya, G. How To Solve It. New York : Doubleday & Company, Inc., 1957.Seavertson, Penelope. =Comparing the use of the Graphics Calculator and Scientific
Calculator in College Algebra,E Dissertation Abstracts International. 56(11) : 4309-A ;May, 1996.
Serhan, Derar. =The Effect of using Graphing Calculations on Students′concept Images ofthe Derivative at a point,E Dissertation Abstracts International. 61-10A ; 2000.
The National Council of Teachers of Mathemetics. =Straight Talk about Issues in MathematicsEducation,E www.nctm.org/news/speaksout/spksoutcal.pdf : 2001.
Trouche, Luc. =New Technological Environments : New Constraints, New Opportunities forthe Teacher,E The International Journal of Algebra in Mathematics Education,2000. 7(3) : 2000.
Waits, Bert K. and Demana, Franklin. =Calculators in Mathematics Teaching and LearningPast, Present, and Future,E Learning Mathematics For a New Century. Virginia :The National Council of Teachers of Mathemetics, Inc., 2000.
Wheeler, Ruric. et.al. College Mathematics : A Graphing Calculator Approach. New York :John Wiley & Sons, Inc. ,United States of America, 1996.
�������
68
������� ��������
69
� ������� 6 ��� 3000-1506���������������
������������ ��������������� ������������� �������������� ��������������������� ������� �!"����#��$�%&������#��!'�� %&���������(�'�������%&���������(�'����)�)��%&��������*���������������+�� ��� �!"����#��$���������� ������������#��$� ������,����������#��$� ���������� �!"����+�����%&������#��!'�� %&���������(�'�������%&���������(�'�����)�)�� %&��������*���������������+�� �+!��!������+����� ���+�����-�������� ������,���������� �#.*�+�� ���+����� 2 ��*� ��� �,���������+�����
� !"#�$���������#.��0 1��!����1��������2������������������ ���#��$� ���+����� ���,���������
�"�� 3 ������#��$� ������+����� 4,0�10���������"��4%%5� �"������6�+������� �����������.��+�������1��
�%��&�� 0����+���-�!��*���*-�0�1!��"� 7,��#��$��8 �+�!��"� 7���+�����8 �����#+�!'���������9��������':���2�� #�+$������ 2540
���'$�����&(�������
��"!���)(* ���)(* �+*�&+*�$ ����������%1 1-2 ,��#��$�� 22 3-4 ,��#��$����%&���������(�'�������%&���������(�'
����)�)��2
3 5-6 ,��#��$����%&��������*���������������+�� 24 7-8 �+!��!��� �,��#��$�� 25 9-10 �+!��!��� �,��#��$� (�"�) 26 11-12 �+!��!��� �,��#��$� (�"�) 27 13-14 ,��#��$�-��������������,������� 28 15-16 ,��#��$������*� 29 17-18 ��� �,�����������,+����� 2
70
�)�������!�� 1-2,��#��$�
��#�����,1. ,��#��$� !.�������+��)�)�������� �!"����#��$� 21����#��$���� F(x) !.� f(x)
,��#��$�!.�)x(f)]x(F[
dxd =
2. �!�.��� ��+��0�10���� �,��#��$� ����"��!�.��� �� ���+����� ��K����'�+��0�1 !.�∫ ��� c !.�!"�!���0���� �,��#��$���� f(x) -������+��1
∫ += c)x(Fdx)x(f
3. ��� �,��#��$��,M�!����1#.*�N��+�������2���4,,������ �#.*�+��0�1��1�(!1�4�1�
� !"#�$����&(��-.��.������-�!����*��1 �������������21. �$���!�� �����,��#��$�4�1�2. ����������� �,��#��$����%&������#��!'��4�1�3. �����$���� �,��#��$����+��(-+���� ��4�1�4. ���!�����#��$��� "����� ����#��$����,��#��$�4�1�
&�+/���"�0����1%'�����!&2�,O����#��$��,M�������������������������#��$� ��"�!.���� ����#��$����
%&������ y = f(x) ����1��+���%&������+���1����� ����#��$� ���"����"� ��� �� y = x4 �1����� ����#��$���� y = f(x) -�4�1�
34
x4dx)x(d
dxdy
== �,M��1�
0�+��������� ������ �� )x(fdxdy
= 0 1 ��1����1����� �%&������ y = F(x) +�����!�1�����
������1���1� ����!.� [ ] )x(f)x(Fdxd = ��"� ��� ��0 1 2x3dx
dy = �1����� �%&������
71
y = F(x) +�� 2x3dxdy
= �������� �!�������*����"� ��� �,��#��$� (Integration) ���!�������*����"� ,��#��$� ��� 3x2 �+����� x �����+��1 ∫ dxx3 2 [��� 32 xdxx3 =∫ �.�21�
23 x3)3x(dxd =+ ��1 ∫ += 3xdxx3 32 �,M��1�
������� 21� F(x) !.�%&������[��������#��$� (Derivative) )x(f)x(F =′ ��1 ������� F(x) "��,M�"�0����1%'�����!&2� ���%&������ f(x) �����+��1��K����'� ∫ dx)x(f
-��!����1��.������#��$� ���+���"� ���#��$����%&������!�+��0� 3 ��!"��+"���� �������������*�21� F(x) �,M�,��#��$��4�"�-�����������%&������ f(x) ��1 ��� ���!"�!�+�� c 0� 3 3f (x) x c= +
-��,M�,��#��$��4�"�-�������� ���%&������ 2f (x) 3x= �1����!.� ∫ += c)x(Fdx)x(f
-�� 6�4�1"���� �,��#��$������� ����#��$����%&��������!�����#��$�����"�������������2��-���!"� ,��#��$� (���� ����#��$����%&������)���#$���1-�4�1!"�,��#��$�
����!.� ∫ += c)x(Fdx)x(f �6�"���.�� )x(f)x(F =′
�-�����"�0����2�$34$�����0(�� ��0 1 f, g ��� u �,M�%&��������� x +�������2 ����#��$�4�1 ���0 1 c ��� k �,M�!"�!���
-�4�1� 1. ∫ += cxdx
2. ∫ += ckxdxk
3. ∫ −≠++
=+
1n,c1nxdxx
1nn
4. ∫ ∫= dx)x(fkdx)x(fk
5. ∫ ∫ ∫±=± dx)x(gdx)x(fdx])x(g)x(f[
6. ∫ −≠++
=+
1n,c1nuduu
1nn
�����'�$)(* 1 -� �!"���� dx)x8x4x5( 34 −+∫���()�� dx)x8x4x5( 34 −+∫ = ∫ ∫ ∫−+ dxx8dxx4dxx5 34
= c2x8
4x4
5x5
245+−+
= cx4xx 245 +−+ #
72
��������20�1�!�.���!���'�������% TI- 92 !���' �,��#��$�4�"-��������4�1 (�����������*���������*
����!������ ,��#��$�4�"-�������� (������ ♥ �.� 2< ��1#��#�%&������ f(x) !����1-��b�! #��#����,� (x) !����1-��b�! #��#� c ,c����6� ��1�� ÷ -�4�1)�,��#��$�4�"-��������+���1�����
��,��� : ∫ )c,x),x(f(
�����'�$)(* 2 -� �!"���� ∫ + dx)4x5( 2
���()�� 0 1 )4x5(u +=
5dxdu = , dx5du =
5dudx =
∫ + dx)4x5( 2
5duu2∫=
duu51 2∫=
c3u
51 3
+⋅=
c15
)4x5(c15u 33
++=+= #������������ ������������������������� TI- 92
73
�����'�$)(* 3 -� �!"���� ∫+
dx2x
x42
���()�� 0 1 21
22 )2x(2xu +=+=
)2x(d)2x(21
dxdu 22
12 ++=
−
dx)2x()x2(21du 2
12 −+=
dx)2x(
x21
2 +=
du)2x(dxx 21
2 +=∴
duu=
∫+
dx2x
x42 ∫= du
uu4
∫ +== cu4du4
c2x4 2 ++= #������������ ������������������������� TI- 92
�+*���&(�������
�6 '%)!6�$ �6 '%���� %1. 0���� T12. �!�.���!���'�������%3. �)"�0�
1. 0���� C12. �)"�0�
74
����%��&(�������
�6 '%)!6�$ �6 '%���� %2�/����
!�����-��,����!����������10 1�������+��� ��1+�+���.*� ���.������#��$��2�/����1. !��0 1��������+��0���� T1 �1�1 ��1
�"������,2. !���$����������,��#��$��3. !��0 1��������+��0���� T1 �1�2
��1�"������,4. !������������� �,��#��$����%&������
#��!'�� #�1��+�*� ����"��,�������� �,��#��$����%&������#��!'�� 3-4 ���"�� (������$����!���'���)"�0�����������!���'(�0�1�!�.���!���'�������% +�*� 2 �$��
5. !��0 1��������+��0���� T1 �1�3 ��� 4(�0�1�!�.���!���'�������%��-!����� ��1��"�������� 3 !� ������)����+�� �1���*�����
6. !��0 1��������+�����gh� �� -�����-����!'�������� 6 (3000-1506) �1�
112-113 (������$�+�������� ��10�1��!�.���!���'�������%��-���!�����
2�/�� "!��������������"������,!�����#��$���� "����� ����#��$����,��#��$� �������,��#��$����%&������#��!'�����!��*�
2�/����!�����-��,����!����������10 1�������
+��� ��1+�+���.*� ���.������#��$��2�/����1. !���$����������,��#��$��2. !������������� �,��#��$����%&������
#��!'�� #�1��+�*� ����"��,�������� �,��#��$����%&������#��!'�� 3-4 ���"��(������$����!���'���)"�0�
3. !��0 1��������+��0���� C1 ��1��"�������� 3 !� ����)����+�� �1���*�����
4. !��0 1��������+�����gh� �� -�����-����!'�������� 6 (3000-1506) �1�
112-113 ������
2�/�� "!��������������"������,!�����#��$���� "����� ����#��$����,��#��$� �������,��#��$����%&������#��!'�����!��*�
75
����!6#"#&%���6
�6 '%)!6�$ �6 '%���� %1. ������-��������!��2�������������2. ������-�����0�1�!�.���!���'�������%0�
���+��0����������!��2��0�0����3. ���+�����+��4�1������ ��4. ������-������������)���� �1���*�5. ���+�����gh� �� -���������
!'�������� 6 (3000-1506) �1� 112-113
1. ������-��������!��2�������������2. ������-��������+��0����������!��2��
0�0����3. ���+�����+��4�1������ ��4. ������-������������)���� �1���*�5. ���+�����gh� �� -���������
!'�������� 6 (3000-1506) �1� 112-113
76
7�$�� T11. 0 1��������0�1�!�.���!���'�������% �!"��"�4,��*
f(x) )x(fdxd F(x) ∫ dx)x(F
x2
5x43 x
x3x
38x
23 2
34 ++
23
2 )3x(32 +
cos x
x1
1x12 −
4xcos4
−
2x3x20
32
x31
23
x3x4x6 −+
3xx2 2 +
xsin−
2x1−
232 )1x(
x−
−
sin x cos3 x
������• )x(f
dxd ��,���������0�1�!�.���!���'�������% )x),x(f(d
• ∫ dx)x(F ��,���������0�1�!�.���!���'�������% ∫ )x),x(F(
-��������1�����������������2���,!�����#��$�4�1�"��4�jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj
77
2. 0 1��������0�1�!�.���!���'�������% �!"��"�4,��*
f(x) ∫ dx)x(f
1220-30xx2
x6
x-20
x + x2 + x3
2x + 3x2 -5x4
x3 l 4x5
(2x+3)(2x+3)2
(2x+3)4
(2x+3)10
(2x+3)-5
(6x-4)5
jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj
3. 0 1�������� �!"��"�4,��* (����!���'��10�1�!�.���!���'�������%0������-���!�����
f(x) ∫ dx)x(f
10-30x4
x7
jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj
78
x-10
(3x+6)(4x+6)2
(20x-3)5
x3 + 5x2 + 6x + 54x3 l 5x - 4
jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj
4. 0 1�������������$���� �,��#��$��"�4,��*4.1 dx)6x5x3( 4 +−∫�$�+�� dx)6x5x3( 4 +−∫ = jjjjjjjjjjjjjj
= jjjjjjjjjjjjjj = jjjjjjjjjjjjjj = jjjjjjjjjjjjjj #
4.2 ∫ − dx)3x6( 5
�$�+�� ∫ − dx)3x6( 5 = jjjjjjjjjjjjjj = jjjjjjjjjjjjjj = jjjjjjjjjjjjjj = jjjjjjjjjjjjjj #
4.3 ∫ − dx)4x8(
�$�+�� ∫ − dx)4x8( = jjjjjjjjjjjjjj = jjjjjjjjjjjjjj = jjjjjjjjjjjjjj = jjjjjjjjjjjjjj #
79
7�$�� C11. 0 1�������� �!"��"�4,��*
f(x) ∫ dx)x(f
10-30x4
x7
x-10
(3x+6)(4x+6)2
(20x-3)5
x3 + 5x2 + 6x + 54x3 l 5x - 4
jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj
2. 0 1�������������$���� �,��#��$��"�4,��*2.1 dx)6x5x3( 4 +−∫�$�+�� dx)6x5x3( 4 +−∫ = jjjjjjjjjjjjjj
= jjjjjjjjjjjjjj = jjjjjjjjjjjjjj = jjjjjjjjjjjjjj #
2.2 ∫ − dx)3x6( 5
�$�+�� ∫ − dx)3x6( 5 = jjjjjjjjjjjjjj = jjjjjjjjjjjjjj = jjjjjjjjjjjjjj #
2.3 ∫ − dx)4x8(
�$�+�� ∫ − dx)4x8( = jjjjjjjjjjjjjj = jjjjjjjjjjjjjj = jjjjjjjjjjjjjj = jjjjjjjjjjjjjj #
80
���������� 3-4����"�0����2�$34$������(;� %���6#34$������(;� %��������
��#�����,1. ��� �,��#��$����%&���������(�'������*� �1����!����1#.*�N��+���1�����(�'������
�"0������1,&K � �#����1������!�'������ �������'� +�����(�'�����2. ��� �,��#��$����%&���������(�'����+��4�1(�����+�!"���0����� ����1����� ��
0 1 u �,M�%&������+�� ����#��$�4�1 ��� c �,M�!"�!���0�33. ��� �,��#��$����%&���������(�'����)�)��0�1�$�����+�!"���0����� [�������+��0�1-�
����"��-����� �,��#��$����%&���������(�'�����
� !"#�$����&(��-.��.������-�!����*��1 �������������21. ��������#.*�N�����%&���������(�'����4�1�2. ����������� �,��#��$����%&���������(�'����4�1�3. �����$���� �,��#��$����%&���������(�'����(�0�1����4�1�4. ����������� �,��#��$����%&���������(�'����)�)��4�1�5. �����$���� �,��#��$����%&���������(�'����)�)��(�0�1����4�1�6. ���!����1+��4�14,,������0�1�����.*� �+�������1��4�1�
&�+/���"�0����2�$34$������(;� %����
��� �,��#��$����%&���������(�'����+��4�1(�0�1�����"�� 3 ����"�4,��*����,��#��$����%&���������(�'�����0 1 u �,M�%&������+�� ����#��$�4�1 ��� c �,M�!"�!���0� 3
1. ∫ duusin = cucos +−
2. ∫ duucos = cusin +
3. ∫ duusec2 = cutan +
4. ∫ duueccos 2 = cucot +−
81
5. ∫ duusec = cutanusecln ++
6. ∫ duueccos = cucotucosln +−
7. ∫ duutanusec = cusec +
8. ∫ duucotueccos = cueccos +−
9. ∫ duutan = cusecln +
10. ∫ duucot = cusinln +
�����'�$)(* 1 -� �!"���� ∫ dxx3sin
���()�� 0 1 u = 3xdu = 3dxdx =
3du
∫ dxx3sin = ∫ 3duusin
= ∫ duusin31
= c)ucos(31 +−
= - c3x3cos+ #
������������ ������������������������� TI- 92
�����'�$)(* 2 -� �!"���� ∫ + dx)5x(cosx2 2
���()�� 0 1 u = x2+5du = 2x dx
∫ + dx)5x(cosx2 2 = ∫ + dx)x2)(5x(cos 2
= ∫ duucos
= cusin + = c)5x(sin 2 ++ #
82
������������ ������������������������� TI- 92
�����'�$)(* 3 -� �!"���� ∫ − dx)xcos5xsin3(
���()�� ∫ − dx)xcos5xsin3( = ∫ ∫− dxcos5dxxsin3
= ∫ ∫− dxcos5dxxsin3
= 3(-cos x) l 5(sin x) + c= 3 cos x l 5 sin x + c #
������������ ������������������������� TI- 92
�����'�$)(* 4 -� �!"���� ∫ dxxxsin
���()�� 0 1 u = x
du = 21
x21 − dx
= dxx2
1
dx = 2 u du
∫ dxxxsin = ∫ duu2
uusin
= ∫ duusin2
= - 2 cos u + c = - cxcos2 + #
83
������������ ������������������������� TI- 92
"�0����2�$34$������(;� %����������� �,��#��$����%&���������(�'����)�)��+��4�1(�0�1�����"�� 3 ����"�4,��*
����,��#��$����%&���������(�'����)�)��0 1 u �,M�%&������+�� ����#��$�4�1 ��� c, a �,M�!"�!���0� 31. ∫
− 22 uadu = 0a,c
ausin 1 ≠+−
2. ∫− 22 auu
du = 0a,causec
a1 1 ≠+−
3. ∫ + 22 uadu = 0a,c
autan
a1 1 ≠+−
4. ∫ − 22 audu = c
auauln
a21 +
+−
5. ∫ − 22 uadu = c
uaualn
a21 +
−+
6. ∫± 22 au
du = c)auu(ln 22 +±+
�����'�$)(* 5 -� �!"���� ∫ + 2x25dx
���()�� ∫ + 2x25dx = ∫ + 22 x5
dx
= c5xtan
51 1 +− #
������������ ������������������������� TI- 92
84
�����'�$)(* 6 -� �!"���� ∫ ++ 5x2xdx
2
���()�� ∫ ++ 5x2xdx
2 = ∫ +++ 4)1x2x(dx
2
=∫ +++
22 2)1x()1x(d
= c21xtan
21 1 +
+− #
������������ ������������������������� TI- 92
�����'�$)(* 7 -� �!"���� ∫ −− dx
xcos25xsin
2
���()�� ∫ −− dx
xcos25xsin
2 = ∫ − xcos5)x(cosd22
= cxcos5xcos5ln)5(2
1 +
−+
= cxcos5xcos5ln10
1 +
−+ #
������������ ������������������������� TI- 92
85
�+*���&(�������
�6 '%)!6�$ �6 '%���� %1. 0���� T22. �!�.���!���'�������%3. �)"�0�
1. 0���� C22. �)"�0�
����%��&(�������
�6 '%)!6�$ �6 '%���� %2�/����
!�����-��,����!����������10 1�������+��� ��1+�+���.*� ���.������#��$�%&���������(�'���� %&���������(�'����)�)�� ���,��#��$����%&������#��!'��2�/����1. !����������%&���������(�'����+�� 3 4,+��
0�10���� �,��#��$����%&���������(�'�������� %&���������(�'����)�)�� ���)"�0�
2. !������������� �,��#��$����%&���������(�'���� #�1��+�*�����"��,�������� �,��#��$����%&���������(�'���� 3-4���"�� (������$����!���'���)"�0� ������� ���!���'(�0�1�!�.���!���'�������% +�*� 2 �$��
3. !��0 1��������+��0���� T2 �1�1 ��1�"������,
4. !������������� �,��#��$����%&���������(�'����)�)�� #�1��+�*� ����"��,�������� �,��#��$����%&���������(�'
2�/����!�����-��,����!����������10 1�������
+��� ��1+�+���.*� ���.������#��$�%&���������(�'���� %&���������(�'����)�)�� ���,��#��$����%&������#��!'��2�/����1. !����������%&���������(�'����+�� 3 4,+��
0�10���� �,��#��$����%&���������(�'�������� %&���������(�'����)�)�� ���)"�0�
2. !������������� �,��#��$����%&���������(�'���� #�1��+�*�����"��,�������� �,��#��$����%&���������(�'�����
3-4 ���"�� (������$����!���'���)"�0�
3. !��0 1��������+��0���� C2 �1�1 ��1�"������,
4. !������������� �,��#��$����%&���������(�'����)�)�� #�1��+�*� ����"��,�������� �,��#��$����%&������
86
����)�)�� 3- 4 ���"�� (������$����!���'���)"�0�����������!���'(�0�1�!�.���!���'�������%+�*� 2 �$��
5. !��0 1��������+��0���� T2 �1�2 ��1�"������,
6. !��0 1��������+�����gh� �� -�����-����!'�������� 6 ( 3000-1506) �1�121 ��� 124 (������$�+�������� ��10�1�!�.���!���'�������%��-���!�����
2�/�� "!��������������"������,����������
�,��#��$����%&���������(�'�������%&���������(�'����)�)�����!��*�
���!���'���)"�0�5. !��0 1��������+��0���� C2 �1�2 ��1
�"������,6. !��0 1��������+�����gh� �� -�����-
����!'�������� 6 ( 3000-1506) �1�121 ��� 124 (������$�+��������
2�/�� "!��������������"������,����������
�,��#��$����%&���������(�'�������%&���������(�'����)�)�����!��*�
����!6#"#&%���6
�6 '%)!6�$ �6 '%���� %1. ������-��������!��2�������������2. ������-�����0�1�!�.���!���'�������%0�
���+��0����������!��2��0�0����3. ���+�����+��4�1������ ��4. ������-������������)���� �1���*�5. ���+�����gh� �� -���������
!'�������� 6 (3000-1506) �1� 121-124
1. ������-��������!��2�������������2. ������-��������+��0����������!��2��
0�0����3. ���+�����+��4�1������ ��4. ������-������������)���� �1���*�5. ���+�����gh� �� -���������
!'�������� 6 (3000-1506) �1� 121-124
87
7�$�� T21. 0 1�������������$���� �,��#��$����%&���������(�'�����"�4,��*��10�1�!�.���!���'-
�������%��-���!�����1.1 ∫ dxx4cos
���()�� 0 1 u = jjdu = jj.
∴ ∫ dxx4cos = jjjjjjj.= jjjjjjj.= jjjjjjj.= jjjjjjj. #
!���' �,��#��$�(�0�1�!�.���!���'�������%-�4�1 ∫ dxx4cos = jjjjjjj.
1.2 ∫ − dx)10xsin(x2 2
���()�� 0 1 u = jjdu = jj.
∴ ∫ − dx)10xsin(x2 2 = jjjjjjjj..= jjjjjjjj..= jjjjjjjj.. #
!���' �,��#��$�(�0�1�!�.���!���'�������%-�4�1 ∫ − dx)10xsin(x2 2 = jjjjjj..
1.3 ∫ + dx)x2tan6xcos3(
���()�� ∫ + dx)x2tan6xcos3( = jjjjjjjjjjjj.= jjjjjjjjjjjj...
. = jjjjjjjjjjjj...= jjjjjjjjjjjj... #
!���' �,��#��$�(�0�1�!�.���!���'�������%-�4�1 ∫ + dx)x2tan6xcos3( = jjjjj
88
2. 0 1�������������$���� �,��#��$����%&���������(�'����)�)���"�4,��* ��10�1�!�.���!���'�������%��-���!�����2.1 ∫ + 2x16
dx
���()�� ∫ + 2x16dx = jjjjjjjjjjj.
= jjjjjjjjjjj. #!���' �,��#��$�(�0�1�!�.���!���'�������%-�4�1 ∫ + 2x16
dx = jjjjjjjjjj.
2.2 ∫−1x9
dx2
���()�� ∫−1x9
dx2
= jjjjjjjjjjj.
= jjjjjjjjjjj.= jjjjjjjjjjj. #
!���' �,��#��$�(�0�1�!�.���!���'�������%-�4�1 ∫−1x9
dx2
= jjjjjjjjjj
2.3 ∫ + 2x169dx
���()�� ∫ + 2x169dx = jjjjjjjjjjj.
= jjjjjjjjjjj.= jjjjjjjjjjj. #
!���' �,��#��$�(�0�1�!�.���!���'�������%-�4�1 ∫ + 2x169dx = jjjjjjjjjj
89
7�$�� C20 1�������������$���� �,��#��$����%&���������(�'�����"�4,��*1.1 ∫ dxx4cos
���()�� 0 1 u = jjdu = jj.dx = jj
∴ ∫ dxx4cos = jjjjjjj.= jjjjjjj.= jjjjjjj.= jjjjjjj. #
1.2 ∫ − dx)10xsin(x2 2
���()�� 0 1 u = jjdu = jj.
∴ ∫ − dx)10xsin(x2 2 = jjjjjjjj..= jjjjjjjj..= jjjjjjjj.. #
1.3 ∫ + dx)x2tan6xcos3(
���()�� ∫ + dx)x2tan6xcos3( = jjjjjjjjjjjj..= jjjjjjjjjjjj...= jjjjjjjjjjjj...= jjjjjjjjjjjj... #
90
2 0 1�������������$���� �,��#��$����%&���������(�'����)�)���"�4,��*2.1 ∫ + 2x16
dx
���()�� ∫ + 2x16dx = jjjjjjjjjjj.
= jjjjjjjjjjj. #
2.2 ∫−1x9
dx2
���()�� ∫−1x9
dx2
= jjjjjjjjjjj.
= jjjjjjjjjjj.= jjjjjjjjjjj. #
2.3 ∫ + 2x169dx
���()�� ∫ + 2x169dx = jjjjjjjjjjj.
= jjjjjjjjjjj.= jjjjjjjjjjj. #
91
���������� 5-6����"�0����2�$34$�����6����)=%6#34$�����&62�(/���6�$
��#�����,1. ��� �,��#��$����%&������������+�� ������!.� 0u,culn
udu ≠+=∫
2. ��� �,��#��$����%&�����������*������������!.�2.1 ∫ += cedue uu
2.2 ∫ ≠>+= 1a,0a,caln
aduau
u
� !"#�$����&(��-.��.������-�!����*��1 �������������21. ����������� �,��#��$����%&������������+�����%&�����������*������4�1�2. �����$���� �,��#��$����%&������������+�����%&�����������*������4�1�3. ����$���� �,��#��$����%&������������+�����%&�����������*������4,0�1��1,&K ����
�,��#��$�0�(-+�,������4�1�
&�+/���"�0����2�$34$�����6����)=%(�0�1���� 0u,culnu
du ≠+=∫
�����'�$)(* 1 -� �!"���� ∫ + x23dx
���()�� 0 1 u = 3 + 2xdu = 2 dxdx = 2
du
∴ ∫ + x23dx = ∫ ⋅
2du
u1
= ∫ udu
21
= x23ln21 + #
92
������������ ������������������������� TI- 92
�����'�$)(* 2 -� �!"���� ( )∫ +
+ dxx6x6x2
2
���()�� 0 1 x6xu 2 +=
dx)6x2(du +=
∴ ( )∫ +
+ dxx6x6x2
2 = ∫ +⋅+
dx)6x2(x6x
12
= ∫ udu
= culn +
= cx6xln 2 ++
= c)6x(xln ++ #
������������ ������������������������� TI- 92
�����'�$)(* 3 -� �!"���� ∫ xlnxdx
���()�� 0 1 0x,xlnu >=
xdxdu =
∴ ∫ xlnxdx = ∫ u
du = culn +
= cxlnln + #
93
������������ ������������������������� TI- 92
"�0����2�$34$�����34$�����&62�(/���6�$(�0�1���� ∫ += cedue uu
��� ∫ ≠>+= 1a,0a,caln
aduau
u
�����'�$)(* 4 -� �!"���� dxe 4x6∫ +
���()�� 0 1 4x6u +=
dx6du =
6dudx =
∴ dxe 4x6∫ + = due61 u∫
= ce61 u +
= ce61 4x6 ++ #
������������ ������������������������� TI- 92
�����'�$)(* 5 -� �!"���� dx6 5x3∫ +
���()�� 0 1 5x3u +=
dx3du =
94
3dudx =
∴ dx6 5x3∫ + = du631 u∫
= c6ln6
31 5x3
++
= c6ln36 5x3
++ #
������������ ������������������������� TI- 92
�+*���&(�������
�6 '%)!6�$ �6 '%���� %1. 0���� T32. �!�.���!���'�������%3. �)"�0�
1. 0���� C32. �)"�0�
����%��&(�������
�6 '%)!6�$ �6 '%���� %2�/����
!�����-��,����!����������10 1��������+��� ��1+�+���.*� ���.������#��$�%&������%&������������+�����%&�����������*������2�/����1. !������������� �,��#��%&������
������+�����%&�����������*������0 1�
2�/����!�����-��,����!����������10 1��������
+��� ��1+�+���.*� ���.������#��$�%&������%&������������+�����%&�����������*������2�/����1. !������������� �,��#��%&������
������+�����%&�����������*������0 1�
95
��������+��������)"�0�2. !������"��,�������� �,��#��$����
%&������������+�����%&�����������*������5-6 ���"�� (������$����!���'���)"�0� ����������!���'(�0�1�!�.���!���'�������% +�*� 2 �$��
3 !��0 1��������+��0���� T3 (�0�1�!�.���!���'�������%��-���!����� ��1��"�������� 3 !� ������)����+�� �1���*�����
4 !��0 1��������+�����gh� �� -�����-����!'�������� 6 ( 3000-1506) �1�
129 ��� 133 (������$�+�������� ��10�1�!�.���!���'�������%��-���!�����
2�/�� "!��������������"������,������� �
,��#��$����%&������������+�����%&�����������*���������!��*�
��������+��������)"�0�2. !������"��,�������� �,��#��$��
%&������������+�����%&�����������*������ 5-6 ���"�� (������$����!���'��
�)"�0�3. !��0 1��������+��0���� C3 ��1��"�
������� 3 !� ������)����+�� �1���*�����
4. !��0 1��������+�����gh� �� -�����-����!'�������� 6 ( 3000-1506) �1�
129 ��� 133 (������$�+��������5. !��0 1��������4,����(-+���� �
,��#��$����%&������������+�����%&�����������*������ +������ �.�-���+�������"����5 �1� #�1��+�*������$�!�� �!������������������gh� ��
2�/�� "!��������������"������,������� �
,��#��$����%&������������+�����%&�����������*���������!��*�
����!6#"#&%���6
�6 '%)!6�$ �6 '%���� %1. ������-��������!��2�������������2. ������-�����0�1�!�.���!���'�������%0�
���+��0����������!��2��0�0����3. ���+�����+��4�1������ ��4. ������-������������)���� �1���*�5. ���+�����gh� �� -���������
1. ������-��������!��2�������������2. ������-��������+��0����������!��2��
0�0����3. ���+�����+��4�1������ ��4. ������-������������)���� �1���*�5. ���+�����gh� �� -���������
96
!'�������� 6 ( 3000-1506) �1� 129 ���133
!'�������� 6 ( 3000-1506) �1� 129 ��� 133
97
7�$�� T31. 0 1�������������$���� �,��#��$����%&������%&������������+�����%&�����������*������
�"�4,��*��10�1�!�.���!���'�������%��-���!�����1.1 ∫ − x35
dx
���()�� 0 1 u = jjj..du = jjj.
∴ ∫ − x35dx = jjjjjj
= jjjjjj= jjjjj.... #
!���' �,��#��$�(�0�1�!�.���!���'�������%-�4�1 ∫ − x35dx = jjjjjjjjj
1.2 ( )∫ +
+ dxx5x5x3
3
2
���()�� 0 1 u = jjj.du = jjj.
∴ ( )∫ +
+ dxx5x5x3
3
2
= jjjjjjjjj..
= jjjjjjjjj..= jjjjjjjjj..= jjjjjjjjj..= jjjjjjjjj.. #
!���' �,��#��$�(�0�1�!�.���!���'�������%-�4�1 ( )∫ +
+ dxx5x5x3
3
2
= jjjjjjj
1.3 dxe 3x8∫ +
���()�� 0 1 u = jjjjjj.du = jjjjjj.
∴ dxe 3x8∫ + = jjjjjj.= jjjjjj= jjjjjj #
!���' �,��#��$�(�0�1�!�.���!���'�������%-�4�1 dxe 3x8∫ + = jjjjjjjj
98
1.4 dx2 5x3∫ −
���()�� 0 1 u = jjjj..du = jjjj.dx = jjjj.
∴ dx2 5x3∫ − = jjjjjjj.= jjjjjjj.= jjjjjjj. #
!���' �,��#��$�(�0�1�!�.���!���'�������%-�4�1 dx2 5x3∫ − = jjjjjjj.
1.5 ∫ +dx
xtan1xsec2
���()�� 0 1 u = jjjjj.du = jjjjj
∴ ∫ +dx
xtan1xsec2 = jjjjjjj..
= jjjjjjj..= jjjjjjj.. #
!���' �,��#��$�(�0�1�!�.���!���'�������%-�4�1 ∫ +dx
xtan1xsec2 = jjjjjj
99
7�$�� C31. 0 1�������������$���� �,��#��$����%&������%&������������+�����%&�����������*������
�"�4,��*1.1 ∫ − x35
dx
���()�� 0 1 u = jjj..du = jjj.
∴ ∫ − x35dx = jjjjjj
= jjjjjj= jjjjj.... #
1.2 ( )∫ +
+ dxx5x5x3
3
2
���()�� 0 1 u = jjj.du = jjj.
∴ ( )∫ +
+ dxx5x5x3
3
2
= jjjjjjjjj..
= jjjjjjjjj..= jjjjjjjjj..= jjjjjjjjj..= jjjjjjjjj.. #
1.3 dxe 3x8∫ +
���()�� 0 1 u = jjjjjj.du = jjjjjj.
∴ dxe 3x8∫ + = jjjjjj.= jjjjjj= jjjjjj #
100
1.4 dx2 5x3∫ −
���()�� 0 1 u = jjjj..du = jjjj.dx = jjjj.
∴ dx2 5x3∫ − = jjjjjjj.= jjjjjjj.= jjjjjjj. #
1.5 ∫ +dx
xtan1xsec2
���()�� 0 1 u = jjjjj.du = jjjjj
∴ ∫ +dx
xtan1xsec2 = jjjjjjj..
= jjjjjjj..= jjjjjjj.. #
101
���������� 7-8&)��������"�0�����
��#�����,1. �+!��!��� �,��#��$��,M���+��+��0�1�#.����1,&K �(-+���� �,��#��$�+��4�"�
�����20�1����#.*�N��0���� �!"�(����4�1�2. ��� �,��#��$�(����"� �,M��+!��!+��0�1 �,��#��$�+����2�� �,��#��$��,M�%&������
+����"0���,)�!�'������%&������3. ��� �,��#��$�(�����"�"� �,M��+!��!+��0�1 �,��#��$�+����2�� �,��#��$��,M�
%&���������������1������2�� �,��#��$�����,M��"�"� �� 3 �"�
� !"#�$����&(��-.��.������-�!����*��1 �������������21. 0�1�+!��!,��#��$�����"�� 3 0���� �,��#��$����+��(-+���� ��0 14�1�2. �����$���� �,��#��$�(�0�1�+!��!��� �,��#��$�(����"�4�1�3. �����$���� �,��#��$�(�0�1�+!��!��� �,��#��$�(�+���,M�����"�"�4�1�
&�+/�������"�0����;!����'�� (Integration by Parts)���!��*�,��#��$�+����� ��0 1-�[��[1��-�4�"�����2+�����6-4�1(���� �,��#��$��#��
!��*���� �$���� ����+��-���+��,��#��$�+��[��[1��0 1�"���*� !.���� �,��#��$����+������"���� �,��#��$�(����"�
����� ������ �,��#��$�4�1-���������#��$����)�!�'���%&�����������*duvdvu)uv(d +=
∫ ∫ ∫+= duvdvu)uv(d
�����*� ∫ ∫+= duvdvuuv
�-� ∫ ∫−= duvuvdvu
∫∫ −=b
a
b
a
b
aduvuvdvu
102
������� ��� �,��#��$�(����"� ���0�1���,��#��$��"�4,��*1. �������)�!�'+��4, ��"� ∫ ∫ ∫ dx)xsin(ln,dxxe,dxxcosx x
2. �������������+�� ��"� ∫ ∫ dxxln,dxxlnxn
3. �������%&������)�)�����%&���������(�'����� ��"� ∫ ∫ dxxsecarc,dxxarctanx 2
4. �������)�!�'��� xtan ��� xsec �.� xcot ��� ecxcos +����������� xsec ��� ecxcos
�,M����!�� ��"��������� xtan ��� xcot �,M����!�" ��"� dx)x(sec,dx)x(tan)x(sec 323 ∫∫���������� u �� v
1. �����.�� !���.��#-��+����4�"[��[1�������.�� ����#��$���1-�4�1#-��+�����"���*� ��"���'� ∫ dxex xn ��.�� nxu =
��'� ∫ dxxcosxn ��.�� nxu =
��'� ∫ dxxsinex ��.�� xeu =
��'� ∫ xdxsecarcxn ��.�� xsecarcu =
��'� ∫ dxxlnxn ��.�� xlnu =
2. �����.�� dv �1���"��.�"� dx �,M��"� ������� dv ��� dv !��,M�#-��+��[��[1�� ��"������2 �,��#��$�4�1�"� 3
�������������1. ���-����.�� u ��� dv ��10 1 � du (���� ����#��$���� � v (���� �,��#��$�� (4�"�1��0�"!"�!��� c)2. -����*����4,�+�!"�0����� ∫ ∫−= duvuvdvu
3. 21� ∫ vdu 4�"�����2 �,��#��$�(��$�$����� 0 1+����� �,��#��$�(�������"����!��*� �.� ��!��*�-��"�-�4�1)���#$��
4. �� "����� �,��#��$�(�������"� 21���#-�� ∫udv ������*���� 0 11� ∫udv ����"�1��[1������ ∫udv +������"����+��!��*�4,
5. !"�!��� c +�������� "����� �,��#��$�(����"�4�"�1��0�" 0 1���� c +�����+�����+1����!�����
�����'�$)(* 1 -� �!"����,��#��$� ∫ dxxcosx
���()�� 0 1 u = x , dv = cos x dx�����*� du = dx , v = xsindxxcos =∫
∴ ∫∫ −= dxxsinxsinxdxxcosx
103
cxcosxsinx ++= #������������ ������������������������� TI- 92
�����'�$)(* 2 -� �!"����,��#��$� ∫ dxxln
���()�� 0 1� u = ln x , dv = dx�����*� dx
x1du= ��� ∫ == xdxv
∫∫ −= dxx1xxlnxdxxln
∫−= dxxlnx
cxxlnx +−= #������������ ������������������������� TI- 92
�����'�$)(* 3 -� �!"����,��#��$� ∫ dxxsinex
���()�� 0 1� u = sin x , dv = exdx�����*� dxcosdu = ��� ∫ == xx edxev
∫∫ −= dxxcosexsinedxxsine xxx jjj(1) �!"� ∫ dxxcosex (���� �,��#��$����"����!��*�
0 1 xcosu = ��� dxevd x=
�����*� dxxsinud −= ��� ∫ == xx edxev
∫∫ += dxxsinexcosedxxcose xxx jjj(2)
104
�+�!"� (2 ) 0� (1) -�4�1�)dxxsinexcose(xsinedxxsine xxxx ∫∫ +−=
∫−−= dxxsinexcosexsine xxx
xcosexsinedxxsine2 xxx −=∫c)xcosexsine(
21dxxsine xxx +−=∫ #
������������ ������������������������� TI- 92
����"�0����;!�&�N�'���'�� (Integration by Partial Fraction)��� �,��#��$�(�0�1����"�"� 0�1���%&����������� (%&������)� �����%&������# ��
���) [������ �,��#��$�-�0�1����#.*�N��(����4�"4�1 �1��0�1�+!��!"� �1����,��������"�����0 1�,M�����"�"� �������"�"���*���-� �,��#��$�4�1+��+��
��� ���1. ����"�+��-���������,M�����"���*��1���,M�����"�$����� !.�
)x(Q)x(P (�+��
)x(p ��� )x(Q �,M�%&������# ���� ���degree ��� )x(p �1���1��"� degree ��� )x(Q 21�degree ��� )x(p ����"� �.��+"���� degree ��� )x(Q �1��+���,M�����"�!��(������*� ���"��
2. 21��"��������"�+��������������2����,�����4�1 �1������,������"�����21��������4�1�1����������"��
3. -��������"�"�+��4�1 -��+"����-������,�����-��� 3 ����"�4. ���+������"�"���"��,M�,���b+ �����*!��"�� # 1 ���"��,M�)�!�'�����,�����������1� )bax( + ��.������1-�4�1���
�"�"��,M�
nn332211 bxaT...bxa
cbxa
bbxa
A+
+++
++
++
(�+������"�"�+�������-��+"����-�������6���� )bax( +
105
!��"�� # 2 ���"��,M���,������������ )bax( + +��������� n !.� n)bax( + ����"�"�+��4�1-�����������*���" 12�� n �����*
n32 )bax(T...
)bax(c
)bax(b
baxA
+++
++
++
+
!��"�� # 3���"�����,�������� cbxax2 ++ +������,�����4�"4�1 ����������"�"�#-����*-��1������,�,M� Mx+N ���-��������"�"�+�������-��+"�������6�-��� 3
!��"�� # 4 ���"��,M���������� cbxax2 ++ +������,�����4�"4�1 ����"�"�����0 1��"0���,�1���"�� [������$����� �.��,���b++��2
n2222 )cbxax(UTx...
)cbxax(DCx
cbxaxBAx
+++++
++++
+++
5. !"� A , B , C , D,j. 0�������,M�����"�"� �(��$������� UndeterminedCoefficient [���+��4�1 2�$� !.�
- �+�����,����+$�u��� x +���� degree �+"����- �+�!"� x +�������"����!���' ��"� 2,1,0 ±± !"���� x +���+� �1��4�"+��0 1�"�
���#-��0�#-�� �����,M�����������'�$)(* 1 -� �!"����,��#��$� dx
)2x)(1x2(5∫ −+
���()�� ��.���-�� 2x
B1x2
A)2x)(1x2(
5−
++
=−+
)1x2(B)2x(A5 ++−=
)BA2(x)B2A( +−++=
(�����+���.,.�. -�4�1 A + 2B = 0 , -2A + B = 5 A = -2 , B = 1
∴2x
11x2
2)2x)(1x2(
5−
++
−=−+
��"�#�$�������������������������%���&'�(�����������"��� expand
����!.� dx2x
11x2
2dx)2x)(1x2(
5 ∫∫
−+
+−=
−+
c2xln1x2ln +−++−=
106
c1x22xln +
+−= #
������������ ������������������������� TI- 92
�����'�$)(* 2 -� �!"����,��#��$� dx)2x(x
)3x3x(2
2
∫ +++
���()�� -�� 2
2
)2x(x3x3x
+++
2)2x(C
2xB
xA
++
++=
-�4�1 x2 + 3x +3 = A(x+2)2+Bx(x+2) + Cx21� x = 0 ; 3 = A(4) + B(0) +C(0) �����*� 4
3A =
21� x = -2 ; 1 = (3/4)(0) + B(0) + C(-2) �����*� C = 21−
21� x = 1 ; 7 = )1)(21()1)(3(B4/)3(3 2 −+ �����*� B = 4
1
����!.� 2
2
)2x(x3x3x
+++
2)2x(21
)2x(41
x43
+−
++=
�������������������������%���&'�(��
��� ∫ ∫ ∫∫ +−
++=
+++
22
2
)2x(dx
21
2xdx
41
xdx
43dx
)2x(x)3x3x(
c2x
1212xln
41xln
43 +
++++=
c2x
121)2x(xln 4
14
3+
+++
= #
107
������������ ������������������������� TI- 92
�+*���&(�������
�6 '%)!6�$ �6 '%���� %1. �!�.���!���'�������%2. �)"�0�
1. �)"�0�
����%��&(�������
�6 '%)!6�$ �6 '%���� %2�/����
!�����-��,����!����������10 1��������+��� ��1+�+���.*� ���.���,��#��$����%&������+��������+�*� ��2�/����1. !������"����� �,��#��$�+��4�"�����2
0�1����#.*�N��0���� �!"�(����4�1�2. !�������$���� �,��#��$�+��[��[1��0 1�"�
��*� (�0�1�+!��!��� �,��#��$����+������"� 7��� �,��#��$�(����"�8
3. !������"��,�������� �,��#��$�(����"�(������$����!���'���)"�0� ����������!���'(�0�1�!�.���!���'�������% +�*� 2 �$��
2�/����!�����-��,����!����������10 1��������
+��� ��1+�+���.*� ���.���,��#��$����%&������+��������+�*� ��2�/����1. !������"����� �,��#��$�+��4�"�����2
0�1����#.*�N��0���� �!"�(����4�1�2. !�������$���� �,��#��$�+��[��[1��0 1�"�
��*� (�0�1�+!��!��� �,��#��$����+������"� 7 ��� �,��#��$�(����"�8
3. !������"��,�������� �,��#��$�(����"�(������$����!���'���)"�0�
4. !�������$���� �,��#��$�+��[��[1��0 1�"�
108
4. !�������$���� �,��#��$�+��[��[1��0 1�"���*� (�0�1�+!��!��� �,��#��$����+������"� ��� �,��#��$�(�����""�(Integration by Partial Fraction)
5. !������"��,�������� �,��#��$�(�����""� (������$����!���'���)"�0� ����������!���'(�0�1�!�.���!���'�������% +�*� 2 �$��
6. !��0 1��������+�����gh� �� -�����-����!'�������� 6 ( 3000-1506) �1�
129 ��� 133 (������$�+�������� ��10�1�!�.���!���'�������%��-���!�����
2�/�� "!��������������"������, ������
��!�� �$���� �,��#��$�(����"� ������ �,��#��$�(�����""�
��*� (�0�1�+!��!��� �,��#��$����+������"� ��� �,��#��$�(�����""�(Integration by Partial Fraction)
5. !������"��,�������� �,��#��$�(�����""� (������$����!���'���)"�0�
6. !��0 1��������+�����gh� �� -�����-����!'�������� 6 ( 3000-1506) �1�
129 ��� 133 (������$�+����������1��"�������� 3 !� ����)����+�� �1���*�����
2�/�� "!��������������"������, ������ ��
!�� �$���� �,��#��$�(����"� ������ �,��#��$�(�����""�
����!6#"#&%���6
�6 '%)!6�$ �6 '%���� %1. ������-��������!��2�������������2. ������-�����0�1�!�.���!���'�������%
���+�����+��4�1������ ��3. ������-������������)���� �1���*�4. ���+�����gh� �� -���������
!'�������� 6 ( 3000-1506) �1� 129 ���133
1. ������-��������!��2�������������2. ���+�����+��4�1������ ��3. ������-������������)���� �1���*�4. ���+�����gh� �� -���������
!'�������� 6 ( 3000-1506) �1� 129 ��� 133
109
�)�������!�� 9-10�+!��!��� �,��#��$�(�"�)
��#�����,1. ��� �,��#��$����%&���������(�'����������� ��"�4�1�����*
1.1 ��� �,��#��$����%&������ sine ��� cosine +���������1.2 ��� �,��#��$����%&������ sine ��� cosine +����"0���, ∫ dxnxcosmxsin ,
�.� ∫ dxnxsinmxsin �.� ∫ dxnxcosmxcos ��.�� m, n �,M�-���������� m ≠ n
1.3 ��� �,��#��$����%&������ secant ��� tangent +�����������,M�-�������!�"�� �.�-�������!����
2. ��� �,��#��$�(�����+�!"��1%&���������(�'���� �� 3 ��,��������*2.1 %&������+����"0���, 22 ua − (���������0 1 u = a sinθ �.� u = a cosθ2.2 %&������+����"0���, 22 ua + (���������0 1 u = a tanθ �.� u = a cotθ2.3 %&������+����"0���, 22 au − (���������0 1 u = a secθ �.� u = a cosecθ
3. ��� �,��#��$�(�����+�!"�����#���� 0�10���'�%&������+��-� �,��#��$���������������,� x �,M�����"� -��+�!"� x = un ��.�� n !.� !.�.�. ��������������#.��+��0 1 �!"�,��#��$�4�1�"���*�
4. ��� �,��#��$����%&�������������� sin x ��� cos x -��+�!"��1 u = tan 2x
π<<π− x (���������0����!���' �����*cos x = 2
2
u1u1
+−
sin x = 2u1u2
+
dx = 2u1du2+
� !"#�$����&(��-.��.������-�!����*��1 �������������21. 0�1�+!��!,��#��$�����"�� 3 0���� �,��#��$����+��(-+���� ��0 14�1�2. �����$���� �,��#��$�(�0�1�+!��!��� �,��#��$����)�!�'���%&���������(�'����4�13. �����$���� �,��#��$�(�0�1�+!��!����+�!"��1%&���������(�'�����
110
����"�0����2�$�6�- 2�$34$������(;� %��� (Integrals of Product of TrigonometricFunction)
��� �,��#��$�����)�!�'���%&���������(�'���� ��"�����,M� 3 ���� �����*����� # 1 ,��#��$�0���,��� ∫ ∫ ∫ dxycosxsin,dxysinxsin,dxycosxcos
0 1+��(�����,������ �,��#��$�0 1��"0���,)��� �.�)��"�� (�0�1����[ ])yxcos()yxcos(2
1ycosxcos ++−=
[ ])yxcos()yxcos(21ysinxsin +−−=
[ ])yxsin()yxsin(21ycosxsin ++−=
����� # 2 ,��#��$�0���,��� ∫ xdxcosxsin nm (�+�� m ,n �,M�-���������'�+�� 1 n �,M�-�������!�� 0 1����
∫∫ −= )x(sinxdcosxsindxxcosxsin 1nmnm
��1�,���� 1ncos − x 0 1��"0���,��� xsin (�0�1�������'� xsin1xcos 22 −=
-����*�-�� �,��#��$�(�0 1 xsinu =
��'�+�� 2 m �,M�-�������!�� 0 1����∫∫ −−= )x(cosdxcosxsindxxcosxsin n1mnm
��1�,���� xsin 1m− 0 1��"0���,��� xcos (�0�1�������'� xcos1xsin 22 −=
-����*�-�� �,��#��$�(�0 1� xcosu =
��'�+�� 3 m ��� n �,M�-�������!�" 0 10�1�������'����%&���������(�'�����)x2cos1(
21xcos,)x2cos1(
21xsin 22 +=−=
����� # 3,��#��$�0���,��� ∫ dxxsecxtan nm (�+�� m ,n �,M�-���������'�+�� 1 n �,M�-�������!�" 0 1����
∫∫ −= )x(tandxsecxtandxxsecxtan 2nmnm
��1�,���� xsec 2n− 0 1��"0���,��� xtan (��������'� xtan1xsec 22 +=
-����*�-�� �,��#��$�(�0 1 xtanu =
��'�+�� 2 m �,M�-�������!�� 0 1����∫∫ −−= )x(secdxsecxtandxxsecxtan 1n1mnm
��1�,���� xtan 1m− 0 1��"0���,��� xsec (�0�1�������'� 1xsecxtan 22 −=
-����*�-�� �,��#��$�(�0 1 xsecu =
��'�+�� 3 m �,M�-�������!�" ��� n �,M�-�������!�� 0 1����
111
∫∫ −−= dxxsec)1x(secdxxsecxtan n2m2nm
-����*�-�� �,��#��$�(�0�1������+�������� 0���'� ∫ dxxcosxcot nm 0 1+��+����������� ∫ dxxsecxtan nm (��+�
xtan �1 xcot ��� xsec �1 xeccos +�*� �����'� ���0�1 �������'�xcot1xeccos 22 +=
��)��'�!.��34$������(;� %��� (Trigonometric Substitution)������ ,��#��$������4�"�����2 �,��#��$��1����#.*�N��4�1 21���2�� �,��#��$����
�!�.��� �����+�������"�1 ����1��+��(��$��+�!"��1%&���������(�'�����#.��+��0 1�!�.��� ����� �4,������2�� �,��#��$�� �+�!"� u �1 )�+��4�1�
22 ua − 22,sinau π≤θ≤π−θ= 0a,cosaua 22 >θ=−
22 ua + 22,tanau π≤θ≤π−θ= 0a,secaua 22 >θ=+
22 au − 23,20,secau π<θ≤ππ<θ≤θ= 0a,tanaau 22 >θ=−
(����)��1. ��0 1��410�0-"�����+�!"��1%&���������(�'�����#.��
�� 2 #-��0 1�,M�1#-���+��0 1�!�.��� ����� �4, (21����)
2. ��� ���,��#��$�����%&������+����#-��� cbxax2 ++ �.� cbxax2 ++ �����2�+�!"� �1%&���������(�'���� ��"�"���.���1���,��0 1��"0���, 22 au ± �.� 22 ua − �"��(�+���,M���������������'�
3. ���-����� �,��#��$���*��������1�1���+�!"�����-��%&���������(�'�����,M�%&������#��!'��������� +��4,��1-�������,���� �������9��
θ= sinau θ= tanau θ= secau
22 ua −
au
θ(
22 ua +
a
u
θ(
22 au −
a
u
θ(
112
4. ���!��*���1"���2�� �,��#��$�4�"���!�.��� ����������" ��������20�1����+�!"��1%&���������(�'�����
�����'�$)(* 1 -� �!"����,��#��$� ∫− 2
3
x1dxx
���()�� 0 1 x = sin x , 22π≤θ≤π− �����*� dx = cos θ dx
-�4�1 ∫− 2
3
x1dxx
θθ−θθ= ∫ d
sin1cossin
2
3
∫ θθ= dsin3
∫ θθ−θ= d)cos1(sin 2
Ccoscos31 3 +θ−θ=
��.���-�� cos θ = θ− 2sin1 2x1−=
����!.� Cx1)x1(31
x1dxx 22
32
2
3
+−−−=−
∫ #
�����'�$)(* 2 -� �!"����,��#��$� dxxx2)1x(2∫
−
+
���()�� ∫∫−−
+=
−
+22 )1x(1
dx)1x(dxxx2)1x(
0 1 θθ=∴θ=− dcosdxsin1x ���
∫∫θ−
θθ+θ=
−
+22 sin1
)d)(cos2(sindxxx2)1x(
θ+θ=∫ d)2(sin
C2cos +θ+θ−=
C)1x(sin2xx2 12 +−+−−= −
Cxx2)1x(sin2 21 +−−−= − #
�����'�$)(* 3 -� �!"����,��#��$� duua 22∫ −
���()�� 0 1� u = a sinθ , 22π≤θ≤π− �����*� du = a cos θ
�����*� θθθ−=− ∫∫ d)cosa(sinaadxua 22222
θθ= ∫ dcosa 22
θθ+= ∫ d)2cos1(a21 2
1 X -1
2xx2 −
θ)
a u
22 ua −
θ)
113
C)2sin21(a
21 2 +θ+θ=
C)cossin21(a
21 2 +θθ+θ=
-����, ���4�1"� ausin =θ ,
auacos
22 −=θ
����!.� C)aua
au
au(sina
21duua
221222 +−⋅+=− −∫
Causin
2aua
au 1
222 ++−= − #
����"�0����2�$34$��������#2�$ sin x 6# cos x0�1��.��,��#��$�+����� ����"0���� dx
bxcosa1∫ +
, dxxsinba
1∫ + �.�
dxxcoscxsinba
1∫ ++
�$���� ����+�!"�(�0 1 )2/x(tanu= ��.�� π<<π− x
�����*� dx)2/x(secdu2 2=
�.� 22 u1du2
)2/x(secdu2dx
+==
-��)2/x(tan1)2/x(tan2xsin 2+
= ��� )2/x(tan1)2/x(tan1xcos 2
2
+−
=
-�4�1 2u1u2xsin
+= ��� 2
2
u1u1xcos
+−
=
�����'�$)(* 1 -� �!"�,��#��$� ∫ + xcos1dx
���()�� 0 1 )2/x(tanu = ��.�� π<<π− x
∴ 2
2
u1u1xcos
+−
= , 2u1du2dx
+=
∴ ∫ + xcos1dx ∫
+−+
+=
2
2
2
u1u11
)u1(du2
∫ +=+== C2xtanCudu #
114
�����'�$)(* 2 -� �!"�,��#��$� dxxcosxsin1
1∫ −+
���()�� 0 1 )2/x(tanu = ��.�� π<<π− x
∴ 2u1u2xsin
+= , 2
2
u1u1xcos
+−
=
)u1(du2dx 2+=
∴ dxxcosxsin1
1∫ −+ ∫+−−
++
+=
2
2
2
2
u1u1
u1u21
u1du2
Cu1lnuln)u1(u
du ++−=+
= ∫
Cu1
uln ++
=
C
2xtan1
2xtan
ln ++
= #
�+*���&(�������
�6 '%)!6�$ �6 '%���� %1. �!�.���!���'�������%2. �)"�0�
1. �)"�0�
����%��&(�������
�6 '%)!6�$ �6 '%���� %2�/����
!�����-��,����!����������10 1��������+��� ��1+�+���.*� ���.����+!��!��� �,��#��$� ������-��!��+����12�/����1. !������"��,��#��$�+��4�"�����20�1����
#.*�N��0���� �!"�(����4�1�2. !�������$���� �,��#��$�+��[��[1��0 1�"�
��*� (�0�1�+!��!��� �,��#��$����+��
2�/����!�����-��,����!����������10 1��������
+��� ��1+�+���.*� ���.����+!��!��� �,��#��$� ������-��!��+����12�/����1. !������"��,��#��$�+��4�"�����20�1����
#.*�N��0���� �!"�(����4�1�2. !�������$���� �,��#��$�+��[��[1��0 1�"�
��*� (�0�1�+!��!��� �,��#��$����+��
115
����"� ��� �,��#��$����)�!�'���%&���������(�'�����
3. ����"��,�������� �,��#��$�)�!�'���%&���������(�'����� (������$����!���'���)"�0� ����������!���'(�0�1�!�.���!���'�������% +�*� 2 �$��
4. !�������$���� �,��#��$�+��[��[1��0 1�"���*� (�0�1�+!��!��� �,��#��$����+������"� ����+�!"��1%&���������(�'�����
5. !������"��,�������� �,��#��$�(�����+�!"��1%&���������(�'���� (������$����!���'���)"�0� ����������!���'(�0�1�!�.���!���'�������%+�*� 2 �$��
6. !��0 1��������+�����gh� �� -�����-����!'�������� 6 ( 3000-1506) �1�
159 ��� 172 (������$�+����0�������10�1�!�.���!���'�������%��-���!�����
2�/�� "!��������������"������, ������
��!�� �$���� �,��#��$�(����"� ������ �,��#��$�(�����""�
����"� ��� �,��#��$�����)�!�'���%&���������(�'�����
3. !������"��,�������� �,��#��$�)�!�'���%&���������(�'����(������$����!���'���)"�0�
4. !�������$���� �,��#��$�+��[��[1��0 1�"���*� (�0�1�+!��!��� �,��#��$����+������"� ����+�!"��1%&���������(�'�����
5. !������"��,�������� �,��#��$�(�����+�!"��1%&���������(�'�����(������$����!���'���)"�0�
6. !��0 1��������+�����gh� �� -�����-����!'�������� 6 ( 3000-1506) �1�
159 ��� 172 (������$�+����0�������1��"�������� 3 !� ������)����+�� �1���*�����
7. !��0 1��������4,����(-+���� �,��#��$�(�0�1 �+!��!��� �,��#��$�����)�!�'���%&���������(�'���� �������+�!"��1%&���������(�'���� +������ �.�-���+�������"���� 5 �1� #�1��+�*������$�!�� �!����� ������0��������gh� ��
2�/�� "!��������������"������, ������ ��
!�� �$���� �,��#��$�(����"� ������ �,��#��$�(�����""�
116
����!6#"#&%���6
�6 '%)!6�$ �6 '%���� %1. ������-��������!��2�������������2. ���+�����+��4�1������ ��3. ������-������������)���� �1���*�4. ���+�����gh� ��-���������
!'�������� 6 ( 3000-1506) �1� 159 ���172
1. ������-��������!��2�������������2. ���+�����+��4�1������ ��3. ������-������������)���� �1���*�4. ���+�����gh� �� -���������
!'�������� 6 ( 3000-1506) �1� 159 ��� 172
117
�)�������!�� 13-14,��#��$�-��������������,�������
��#�����,1. ,��#��$�-�����������%&������ f(x) -�� a 2�� b �����+��1��K����'� ∫ ab dx)x(f
2. 0 1 f �,M�%&�������"���.����� [a , b] 21� g �,M�,|����#��$���� f �� [ a, b] ��1���+}�|� ����������!�!����-�4�1"� ∫ ab dx)x(f = g(b) l g(a)
3. +}�|� ����������!�!���������2���4, �#.*�+��b�0�1��1�(!1�4�1�
� !"#�$����&(��-.��.������-�!����*��1 �������������21. �����$���� �,��#��$�-��������(�����+}�|���+ ����������!�!����4�1�2. �������%�#.�������$���� �#.*�+��b�0�1��1�(!1����+��(-+���� ��0 14�1�
"�0���������!&2� 6#)YNZ(��)�6��%-62�$�6�-6��,��#��$�-����������� f -�� a 4, b �����+��1��K����'�
∫a
b dx)x(f ����%&������ f "� ,��#�+$�� (Integrand)���� a "� ���-������"�� (Lower Limit) ������ �,��#��$������ b "� ���-������"�� (Upper Limit) ������ �,��#��$����� x �,M����,������� �,��#��$��
������� %&������ g -�����"��,M�,O����#��$����%&������ f �� [a, b] �6�"���.�� g �,M�%&�������"���.������ ����#��$�4�1�� [a, b] ��� )x(f)x(g =′ ��� ���+�� 3 x∈[a, b]
)YN[(�)�6��%-62�$�6�-6��21�0 1 f �,M�%&�������"���.����� [a, b] ��� g �,M�,O����#��$�������� [ a, b] ��� f ��1
)a(g)b(gdx)x(fab −=∫
118
�����'�$)(* 1 -� �!"���� ∫ 21 4 dxx5
���()�� ��.���-��,O����#��$���� 5x4 !.� x5 + C ��.�� C �,M�!"�!���0 1 F(x) = x5 + C
F(2) = 25 + C = 32 + CF(1) = 15 + C = 1 + CF(2) l F(1) = 32 l 1
��*���*� ∫2
14 dxx5 = 31 #
��������#")��������"�*+��'�� ba)]x(F[ %,� g(b) l g(a)
�����'�$)(* 2 -� �!"���� dx)1xx3x2(2
123 −+−∫−
���()��2
1
23
42
123 x
2xx
2xdx)1xx3x2(
−−
−+−=−+−∫
= (8 l 8 + 2 l 2) � ( 12112
1 +++ )= -3 #
�%����2�$"�0���������!&2�21� f ��� g �,M�%&������+�� �,��#��$�4�1���"� [a, b] ��� c �,M�!"�!���
1. ∫∫ −= a
b
b
a dx)x(fdx)x(f
2. 0dx)x(faa =∫3. ∫∫∫ += b
c
c
a
b
a dx)x(fdx)x(fdx)x(f ��� ���+�� 3 !"� bca ≤≤
4. ∫∫ =b
a
b
adx)x(fcdx)x(fc
5. [ ] ∫∫∫ +=+ b
a
b
a
b
a dx)x(gdx)x(fdx)x(g)x(f
6. 21� f(x) ≤ g(x) ���"� a ≤ x ≤ b ��1 ∫∫ ≤ b
a
a
b dx)x(gdx)x(f
7. f(x) = c ��� ���+�� 3 !"���� x ���"� a ≤ x ≤ b ��1 )ab(cdx)x(fba −=∫
�����'�$)(* 3 -� �!"���� dx)3x2x(102 +−∫
���()�� dx)3x2x(102 +−∫ =
1
0
23
x3x3x
+−
= 03131 −
+− = 3
7 #
119
��������20�1�!�.���!���'�������% TI- 92 !���' �,��#��$��-�������� dx)x(fab∫ 4�1�(�����������*���������*
0�1�!������ ,��#��$��-�������� (������ ♥ �.� 2< ��1#��#�%&������ f(x) !����1-��b�! #��#����,� (x) !����1-��b�! #��#� ������"�� a !����1-��b�! #��#� ������� b ,c����6���1�� ÷ -�4�1�!"�,��#��$�-��������+���1�����
��,��� : ∫ )b,a,x),x(f(
�����'�$)(* 4 -� �!"���� dx)1x( 32
1 +∫
���()�� dx)1x( 32
1 +∫ = )1x(d)1x( 32
1++∫
= 2
1
4
4)1x(
+
= 465
416
481 =− #
������������ ������������������������� TI- 92
�����'�$)(* 5 -� �!"���� ∫−
1
0 2dx
x1x
���()�� ∫−
1
0 2dx
x1x = ∫
−−1
021
2 dx)x1(x
= )x1(d)x1(21 21
021
2 −−− ∫−
= 1
0
21
2
21
)x1(21
−−
= )10(221 −⋅−
= 1 #
120
������������ ������������������������� TI- 92
����0+/�)(*7�.&�.�;�.$;!��6�-6��,-'./0,,/� 1 0 1 f �,M�%&�������"���.���+��4�"�,M�����(���� [a, b]
0 1 baA �+�#.*�+��0�1��1�(!1���� f ��(���� [a, b]
��1-��� c �"���1� 1 �� �� "�� a ��� b [��� )ab()c(fAba −⋅=
,-'./0,,/� 2 0 1 f �,M�%&�������"���.���+��4�"�,M�����(���� [a, b] 0 1 p !.��[����-����"� [�����"� [a, b] ����,M� n �"�(�+��
P = { }x,x...,,x,x,x n1n210 −
��� ��� bxx...xxxxa n1n3210 =<<<<<<= −
21� ck �,M�-����-���0� 3 0��"�"�+�� k !.��"� ]x,x[ k1k−
��� 0 1� ∆xk = xk l xk-1 ��� ��� k = 1,2,j,n ��1bak
n
0koxmaxAx)c(flim
k
=∆∑=→∆
�����'�$)(* 1 -� �#.*�+��0�1��1�(!1� f(x) = 1+x2 � �.���� x �����"�� "����1���� x = 0 ���x = 1
���()�� #�-��'����%��� f(x) = 1+x2 -����,
y=1+x2
A
121
#.*�+���"�+������� ∫ +=1
02 dx)x1(A
10
3x3
x +=
3413
1 =+= ����� �" #
�����'�$)(* 2 -� �#.*�+��0�1��1�(!1� [���2��,c��1���1���%#���(��� y = 6 l x l x2
������ x���()�� �-�����+����1�(!1������� x !.� �!"� x ��.�� y = 0 �����*�0 1 y = 0 -�4�1�
6 l x l x2 = 0��� (x + 3)(2-x) = 0-�������1����� �-�����-�4�1 x = -3 ��� x = 2
���%������ x +��-�� (2, 0) ��� (-3, 0) �����,
A
122
#.*�+���"�+������� ∫− −−=2
32 dx)xx6(A
2
3
32)3
x2xx6(
−
−−=
)92918()3
8212( +−−−−−=
6520= ����� �" #
�����'�$)(* 3 -� �#.*�+���������'+���1������1��1�(!1� y = 4x l x2 ��� x ��1���� x = 1��� x = 3
���()��
#.*�+���"�+������� A = ∫ −3
12 dx)xx4(
3
1
32
3xx2 −=
322
312918 =+−−= ����� �" #
A
123
�����'�$)(* 4 -� �#.*�+���������'+���1������1 1xy += ��� x ��� y ��� ��1���� x = 8���()��
#.*�+���"�+������� A = ∫ +8
0dx1x
23
23
8
0
23
)1(32)9(3
2
23)1x( −=+=
352
32)27(3
2 =−= ����� �" #
A
124
�+*���&(��������6 '%)!6�$ �6 '%���� %
1. 0���� T72. �!�.���!���'�������%3. �)"�0�
1. 0���� C72. �)"�0�
����%��&(�������
�6 '%)!6�$ �6 '%���� %2�/����
!�����-��,����!����������10 1��������+��� ��1+�+���.*� ���.������ �,��#��$��4�"-��������+��������2�/����1. !���������,��#��$�-�����������!�'
���������,��#��$�-�������� #�1������"��,����� 3 l 4 ���"��(������$����!���'���)"�0� ����������!���'(�0�1�!�.���!���'�������%+�*� 2 �$��
2. !��0 1��������+��0���� T7 �1� 1 (�0�1��!�.���!���'�������%��-���!�������1��"��������������)����+�� �1���*�����
3. !��0 1��������+��0���� T7 �1� 2 #�1�����!��2��
4. !�����,��� �#.*�+��0�1��1�(!1����!��*�#�1�����"��,�����
5. !��0 1��������+��0���� T7 �1� 3 ��1��"��������������)����+�� �1���*�����
6. !��0 1��������+�����gh� �� -�����-
2�/����!�����-��,����!����������10 1��������
+��� ��1+�+���.*� ���.������ �,��#��$��4�"-��������+��������2�/����1. !���������,��#��$�-�����������!�'
���������,��#��$�-�������� #�1������"��,����� 3 l 4 ���"��(������$����!���'���)"�0�
2. !��0 1��������+��0���� C7 �1� 13. !���$��� ������ ��� �#.*�+��b�0�1��1�
(!1� #�1�����"��,�����4. !��0 1��������+��0���� T7 �1� 3 ��1��"�
�������������)����+�� �1���*�����5. !��0 1��������+�����gh� �� -�����-
����!'�������� 6 ( 3000-1506) �1� 184 ��� 196 (������$�+����0�����
125
����!'�������� 6 ( 3000-1506) �1� 184 ��� 196 (������$�+����0�������10�1�!�.���!���'�������%��-���!�����
2�/�� "!��������������"������,��� �,��#��$��
-�������������� �#.*�+��b�0�1��1�(!1����!��*�
2�/�� "!��������������"������,��� �,��#��$��
-�������������� �#.*�+��b�0�1��1�(!1����!��*�
����!6#"#&%���6
�6 '%)!6�$ �6 '%���� %1. ������-��������!��2�������������2. ������-�����0�1�!�.���!���'�������%0�
���+��0����������!��2��0�0����3. ���+�����+��4�1������ ��4. ������-������������)���� �1���*�5. ���+�����gh� ��-���������
!'�������� 6 ( 3000-1506) �1� 184 ���196
1. ������-��������!��2�������������2. ������-��������+��0����������!��
2��0�0����3. ���+�����+��4�1������ ��4. ������-������������)���� �1���*�5. ���+�����gh� �� -���������
!'�������� 6 ( 3000-1506) �1� 184 ��� 196
126
7�$�� T71. -� �,��#��$�-��������+����� ��0 1�"�4,��* #�1��+�*���-���!�����+��4�1-�����0�1!������0�
�!�.���!���' TI l 921.1 ∫
5
32 dxx
�$�+�� ∫5
32 dxx = jjjjjjjjjj.
= jjjjjjjjjj.= jjjjjjjjjj. #
1.2 ∫ +−3
02 dx)xx23(
�$�+�� ∫ +−3
02 dx)xx23( = jjjjjjjjjj.
= jjjjjjjjjj.= jjjjjjjjjj. #
1.3 dx)1x(1
010∫ +
�$�+�� dx)1x(1
010∫ + = jjjjjjjjjj.
= jjjjjjjjjj.= jjjjjjjjjj. #
1.4 dx)3x)(3x(4
0∫ +−
�$�+�� dx)3x)(3x(4
0∫ +− = jjjjjjjjjj.= jjjjjjjjjj.= jjjjjjjjjj. #
1.5 dx)4x)(3x2(5
3∫ +−
�$�+�� dx)4x)(3x2(5
3∫ +− = jjjjjjjjjj.= jjjjjjjjjj.= jjjjjjjjjj.=jjjjjjjjjj. #
127
2. 0 1�������� �����-�����0�1�!�.���!���' TI l 92 �#.*�+���"�4,��*����������������� TI 2 92 ����3�,/�
0���'�+�������"��"� p �,M������"��"�,��� �#.��!������6��������2-�0�1��!�.���!���' TI l 92 0����������,���� �������9��[����,M���,���� ����,����'!"����-����+���1����� #�1��+�*�!���' �)������#.*�+�������,���� ����� �"���*� 0�+����*-�����0 1���,M����"��(������.��-�� *
ix 0��"�,c�"� ]x,x[ i1i− �,M�������!.�• -��,���"�[1��.�• -��,���"����.�• -�����������"�
��� ��%&�������"���.��� f(x) ���"� [a, b] ��� f(x) ≥ 0 ��� ���+�� x∈[a, b] 0 1 S �,M�����'+����"� �.���� x �����"0�1��1�(!1���� f -�� x = a ��� x = b
0����0�1�!�.���!���' TI l 92 ���-���,M��1�����!�������#.��0 1�!�.���������,���� ����,����'!"����-����+���1����� (�����������*�����$�+�������*
• �������%��� f (���� �� y1(x) = f(x) ������ �� ∃0 1 xmin = a ��� xmax = b (��� ��� ymin ��� ymax 0 1��� �����!��� ������������)
• 0�Home Screen ��� ��!������0 1�!�.���!���'������,���� ����,����'!"�-���� n ��, (�1����� ��-������6��� n +���1�����)
(1) ��.��-�� *ix �,M�-��,���"�[1��.� ��,������!�������,M������*
EndFor:0,dx,y,dxLine:y,dx,y,xLine
:y,x,0,xLine:y)x(1y:xdiminx:1n,0,iFor:dnminxmaxx
+++
→→×+−→−
(2) ��.��-�� *ix �,M�-��,���"����.� ��,������!�������,M������*
EndFor:0,dx,y,dxLine:y,dx,y,xLine
:y,x,0,xLine:y)dx(1y:xdiminx:1n,0,iFor:dnminxmaxx
+++
→+→×+−→−
128
(3) ��.��-�� *ix �,M�-�����������"��� ��,������!�������,M������*
EndFor:0,dx,y,dxLine:y,dx,y,xLine
:y,x,0,xLine:y)2dx(1y:xdiminx:1n,0,iFor:dn
minxmaxx
+++
→+→×+−→−
21��1����� �)������#.*�+�������,���� �������9��+�*� n ��, 0 1����4,!���'+��Home Screen (�0�1!������
∑−
=××+
1n
0id)diminx(1y �.� ∑
−
=×+×+
1n
0id)ddiminx(1y �.� ∑
−
=×+×+
1n
0id)2
ddiminx(1y ���
������������ 0���'�+���1������,����-������6��� n ���-���,M��1�����!������0 1����,���� ����
���9����������"�� (������ (Re �"�-����*�0 1����!�����������1����,��� � ������������14��9#��-������6���
��*���+,- 21���.��-�� *ix �,M�-��,���"�[1��.� ��1)
!"�+�*� n ��,-������+��1��K����'� nL
21���.��-�� *ix �,M�-��,���"����.� ��1)
!"�+�*� n ��,-������+��1��K����'� nR
21���.��-�� *ix �,M�-�����������"� ��1)��
!"�+�*� n ��,-������+��1��K����'� nM
�����'�$)(* 1 -� �#.*�+���������' S +����"� �.���� x �2�� x = 2
(1) -�0�1�!�.���!���' TI l 92 ��1����,���� ����,����'����,M� 10 �"�"�!���1���+"� 3 ��� �����.��-������ ��!����������,���� ���� #�1��+�*�!���',����'!"�+�*� 10 ��,
(2) -���14�(��#���-������,���� ����,����'!"�-�� 1!���' �)������#.*�+�������,���� ����,����'
(3) -� �)������#.*�+�������,���� ����,����'!"���(4) -� �#.*�+���������' S
F4
graph) n ��� n-1������#.*�+�������,���� ����,����'������#.*�+�������,���� ����,����'
����#.*�+�������,���� ����,����'
����"0�1��1�(!1� y = f(x) = x2 -�� x = 0
!"�-���� 10 ��, (���"��"�,c� [0,2]��,��+��[1��.������"���"�"�0� �)������#.*�+�������,���� ����
0 ��, �,M� 20 ��� 40 ��, #�1��+�*�!"�+�*� ��+����1��4�1�.����-���� n ��,
129
���()�� (1) b�#�"�4,��*������*�����$����0�1�!�.���!���'��1����,���� �������9�� 10 ��,• �������%��� f (���� �� y1(x) = x2+1• ������ �� Window 0 1 xmin = 0 , xmax = 2 , ymin = -0.5 ��� ymax = 5
• 0� Home Screen ��� ��!������0 1�!�.���!���'������,���� ����,����'!"�-���� 10 ��,
EndFor:0,dx,y,dxLine:y,dx,y,xLine
:y,x,0,xLine:y)dx(1y:xdiminx:9,0,iFor:d10minxmaxx
+++
→+→×+→−
• �1����� �)������#.*�+�������,���� �������9��+�*� 10��, 0 1����4,!���'+�� Home Screen (�0�1!������ ∑
=××+
9
0id)diminx(1y
-�����!���'0�b�#���+1�-�4�1"� L10 = 4.28 ����� �"
130
(2) n = 20• �1������,����-������6��� 10 ���-���,M��1�����!������0 1����,���� ������9���������
�"�� (������ raph)• 0� Home Screen ��� �
L:y,dx,y,xLine
d20minxmaxx
+
→−
• �1����� �)������ Home Screen (�0�1!
-�����!���'0�b�#���
F4
(Reg �!������0 1�!�.���!���'������,���� ����,����'!"�-���� 20 ��,EndFor:0,dx,y,dxine
:y,x,0,xLine:y)dx(1y:xdiminx:19,0,iFor:
++
→+→×+
#.*�+�������,���� �������9��+�*� 20��, 0 1����4,!���'+�������� ∑
=××+
19
0id)diminx(1y
+1�-�4�1"� L20 = 4.47 ����� �"
131
n = 40
-�����!���'0�b�#���+1�-�4�1"� L40 = 4.5675 ����� �"
��#����./�+�!� #���0� n �����(/2������3���!4���0�jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj.jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj.jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj.jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj.jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj.
(3) ��� �)��������,���� ����,����'!"� n ��, ���4�"�����20 1�!�.���!���'������,���� ����,����'!"�4�1 ��"�����2 �)������#.*�+�������,���� ����,����'!"�+�*� n ��,4�1������*
�����*� 2
2
n n)285714.n857143.n(66667.4L +−=
132
#.*�+�� nnLlimS
∞→=
2
2
n n)285714.n857143.n(66667.4lim +−=
∞→
= 4.66667 ����� �" #
2. ��� ��%&������ f(x) = x3+3x+10 ; ]3,0[x∈
(1) -�0�1�!�.���!���' TI l 92 ��1����,���� ����,����'!"�-���� 10, 30 ��� 50 ��, (���"��"�,c� [0,3] ����,M� 10 , 30 ��� 50 �"�"�!���1���+"� 3 ��� �����.��-���������������"���"�"� 0������� ��!����������,���� ����,����'!"� #�1��+�*�!���' �)������#.*�+�������,���� ����,����'!"�+�*� ��+��4�1 #�1��������!��2���"�4,��*
• -�����!���' M10 = %%%%%%%%%%%%. ����� �"• -�����!���' M30 = %%%%%%%%%%%%. ����� �"• -�����!���' M50 = %%%%%%%%%%%%. ����� �"(2) -� �#.*�+���������' S +����"� �.���� x �����"0�1��1�(!1���� f -�� x = 0 2�� x = 3• -�����!���' Mn = %%%%%%%%%%%%. ����� �"• #.*�+����� S = %%%%%%%%%%%%..����� �"
3. -� �#.*�+���������'+���1������1 2x4y −= ������ x (�0�1�!�.���!���'���������1���!��2���"�4,��*
• -��������%��� 2x4y −=
• ���%������ x +�� -��jjjjjjjjjjj.• #.*�+���������'+���1������1 2x4y −= ������ x �+"����jjjjjjjjj
133
7�$�� C71 -� �,��#��$�-��������+����� ��0 1�"�4,��*
1.1 ∫5
32 dxx
�$�+�� ∫5
32 dxx = jjjjjjjjjj.
= jjjjjjjjjj.= jjjjjjjjjj. #
1.2 ∫ +−3
02 dx)xx23(
�$�+�� ∫ +−3
02 dx)xx23( = jjjjjjjjjj.
= jjjjjjjjjj.= jjjjjjjjjj. #
1.3 dx)1x(1
010∫ +
�$�+�� dx)1x(1
010∫ + = jjjjjjjjjj.
= jjjjjjjjjj.= jjjjjjjjjj. #
1.4 dx)3x)(3x(4
0∫ +−
�$�+�� dx)3x)(3x(4
0∫ +− = jjjjjjjjjj.= jjjjjjjjjj.= jjjjjjjjjj. #
1.5 dx)4x)(3x2(5
3∫ +−
�$�+�� dx)4x)(3x2(5
3∫ +− = jjjjjjjjjj.= jjjjjjjjjj.= jjjjjjjjjj.= jjjjjjjjjj. #
134
A
2xx4y −=
2. -� �#.*�+���������'+��������"�4,��*2.1
#.*�+���"�+������� A = jjjjjjjjjjjjjjjjjj.. = jjjjjjjjjjjjjjjjjj.. = jjjjjjjjjjjjjjjjjj.. = jjjjjjjjjjjjjjjjjj.. ����� �"
2.2
���()�� #.*�+���"�+������� A = jjjjjjjjjjjjjjjjjj.. = jjjjjjjjjjjjjjjjjj.. = jjjjjjjjjjjjjjjjjj.. = jjjjjjjjjjjjjjjjjj.. ����� �"
A 2xx28y −+=
135
�)�������!�� 15-16,��#��$������*�
��#�����,1. ,��#��$������*���� f(x, y) � �.�����' R 0�1��K����'�!.� ∫∫
R
dA)y,x(f
2. ��� �,��#��$�[*�� -�+��4�1(���� �,��#��$�-����*�0�����"����1-�� �!"�,��#��$����*��"���
3. !����1��.���,��#��$������*������2���4,,������0�10���� �#.*�+���������'0������ xy
� !"#�$����&(��-.��.������-�!����*��1 �������������21. �����$���� �,��#��$������*�4�1�2. ���!����1��.���,��#��$������*�4,,������0�1 �#.*�+��4�1�
&�+/�������������� ���������� ∫∫
R
dA)y,x(f ���������� !�"#��$%&�'"(Double Integrals) ($%f(x,y) �)"*$
+� ��� R ,-.%��/�0123�4���%5�.�� 36�����4�3��"($%��7"("�"��+8�"x ������ y3�%�9�
��7"("�"��+8�"5�'%�$%"�' 8+�%�:"�+$$���;"& '"��<� = ($%!*'"5�. A∆
y
∆y
x
R
ac
b
d
)y,x( kk
x0
136
xyyxA ∆∆=∆∆=∆ jjjjjj..(1)!*'"5�.& '"��<� = �)���"�' $�66:"�+)�*$>1�"�+& '"5�.1�+�%���"$�9�?��@"84�6:! 6����
�A!�: A∆ 5�.$�9�?��@"$���%�1+9���21���� �������� A∆ +����"b�0�����'�,M� n321 A,...,A,A,A ∆∆∆∆ jjj(2)
8�:@)7� )y,x( kk ��;"603@3 = 5�.$�9�@" kA∆ 6:�(��"E���1>37���
k
n
1kkkn A)y,x(fs ∆= ∑
=
jjjjjjj..(3)
21�%&������ f (x, y) �"���.������� R �����1�(!1�+���,M������� R �"���.��� ������!�����-�������1 ��.�������+������-����������������1�+������������ x ��� ��� y 2����*�����!.��������� x∆ ��� y∆ ��1���"���� -�4�1�
R
f (x, y)dxdy∫∫ �.� ∑∫∫=
→∆∆=
n
1kkkk0A
R
A)y,x(flimdA)y,x(f jjjjjjj.(4)
���-����* ,��#��$������*� ���,�!�� �����.��,������0���'�+�� f(x,y) �,M�������1 �����"�����' R �,M�N�����+��������� �����,
n
k k kA 0 k 1 R
lim f (x , y ) A f (x, y)dA∆ → =
∆ =∑ ∫∫
�"����� �.�-�� (x,y) ��� ��(� Z =f(x,y) ��� Kkk A)y,x(f ∆ �+�,������(�,����'���+�����������N�� kA∆ )���0������ (3) 0 1!"�(�,����'���,�����������+��������� ���������������� (4) 0 1,������+����"�����"�"���0���� �!"�-��0�1�,��#��$�[*�� (Inerated Integrals)
R
f (x, y)dxdy∫∫ �.�R
f (x, y)dydx∫∫ jjjj..(5)
Z
Z = f(x,y) Height f(xk ,yk)
R
y
x
(xk,yk) ∆Ak
137
���)��� !�"#�,'F�R
f (x, y)dydx∫∫ 5F�>373�%"�'
1. �,��#��$�� f(x,y) dy (��+����� y �"��2. �,��#��$�)���#$�-���1� 1 (��+����� x �� "������� x = a ��� x = b
!.�������1��� �,��#��$���*�0�����"�� ��1-�� �,��#��$����*��"��������*2
1
b f (x)
a f (x)R
f (x, y)dydx ( f (x, y)dy)dx=∫∫ ∫ ∫ jjjj.(6)
(�0 1 x �,M����.��!"�!��� �'�+��+����� �,��#��$����� y#�-��'������ (6) 0���,����!'�� (�#�-��'�+���������+����N��� �.�����' R ���
����� xy �����!�����Z = f(x,y) +��-�� (x,y) ��� R (��.�� f �,M���) ��1���+���������(������+����*�9�������� x +�� x ���+�� x+ dx ��-,����'(��������#��$����,��������� ��(�dv = A(x) ��.�� A(x) �,M�#.*�+��b�!������+�����-��+��������� (������+�� x
#.*�+��b�!������ ��� ��(�,��#��$�� ∫=)x(f
)x(f
2
1dy)y,x(f)x(A jj.jj.(7)
,��#��$� A(x) -�� x = a ��� x=b -�4�1,��#��$�[*��0������ (6)��!"��+"���� ∫ ∫∫ ==
b
a
)x(f
)x(f
b
a
2
1dydx)y,x(fdx)x(AV [����,M�,���������+����������
�����'�$)(* 1 -� �!"���� ∫ ∫−+
3
1
y3
022 dxdy)yx(
���()�� dyxy3xdxdy)yx(
y3
0
3
1
y3
0
3
12
322∫ ∫ ∫− −
+=+
dyy33y273
13
3
∫−
=
∫−=3
13 dyy123
1
4
4y12
−
=
44 )1(3)3(3 −−=
3243 −=240= #
138
������������ ������������������������� TI- 92
�����'�$)(* 2 -� �!"���� ∫ ∫−−
1
1
2
02 dxdy)yx61(
���()�� ∫ ∫ ∫− −−=−
1
1
2
0
1
1
2
0
32 dy)yx2x(dxdy)yx61(
dy)y162(1
1∫− −=1
1
2 )y8y2(−
−=
)82()82( −−−−=
4= #
������������ ������������������������� TI- 92
�����'�$)(* 3 -� �,���������,��[��N������ ����+����*���"0������ xy [���N�����������,M����� ����,������1��1���� y= x , x=1 �����������(�#.*�)�z = 3-x-y
���()�� ��� � # 1 ∫ ∫ −−=1
0
x
0dydx)yx3(V
dx2yxyy3
1
0
xy
oy
2
∫=
=
−−=
dx2x3x3
1
0
2
∫
−=
139
1x
0x
32
2x
2x3
=
=
−=
1= �������� �" #������������ ������������������������� TI- 92
��� � # 2 ∫ ∫ −−=1
0
1
ydxdy)yx3(V
dy2yxyy3
1
0
1x
yx
2
∫=
=
−−=
dyy2yy3y2
131
02
2
∫
++−−−=
dyy23y44
51
02∫
+−=
1y
0y
32
2yy22
y5=
=
+−=
1= �������� �" #
������������ ������������������������� TI- 92
140
����0+/�)(*;!�����"�0������$��/�������4,0�1������ �,��#��$������*� !.���� �#.*�+���������'0������ #.*�+��2��
��� ��(�,��#��$� ���∫∫ ∫∫== dydxdxdyA jjjj(1)
0����,��#��$�� ��.����.��������,��#��$� y �"�� ��� x -�4�1�∫ ∫=b
a
)x(f
)x(f
2
1dydx)y,x(fA jjj..(2)
[����,M���� �#.*�+��0������ xy ���.��"� 21�#.*�+����������,������1��1�(!1�)y(gx 1= ��"+��[1���� )y(gx 2= ��"+���� y = c ��"+���1���"�� ���y = d ��"+���1����
�����,
�,��#��$��+����� x �"�� [���-��,�)��-�� )y(g1 4,�� )y(g2 ��1-���+����� y [����,M������.�� ∫ ∫=
d
c
)y(g
)y(g
2
1dxdy)y,x(fA ..jjj(3)
��� �,��#��$�!��*���� �+����� x �,M�������1������������ dA dx dy +�*� ��+����"0������-����1�(!1� )y(gx 1= +��[1�4,����1�(!1� )y(gx 2= +������� �!"����,��#��$�0������ (3) 0 1 ∫ ∫=
d
c
)y(g
)y(g
2
1dxdy)y,x(fA
dyxd
c
)y(g
)y(g2
1∫=
dy)]y(g)y(g[d
c 12∫ −=
,��#��$�!��*� ����,M���������)������#.*�+����*���6�+����*�0������
X = g2(y)X = g1(y)
dxdy
x
y
0
d
c
141
�����'�$)(* 4 -� �#.*�+��,c��1���1��1�(!1� 3xy = ��� xy =
���()��
#.*�+���"�+������� ∫ ∫=1
0
x
x3dydxA
dxyxy
xy
1
0 3
=
=∫=
∫ −=1
03 dx)xx(
1
0
4
4x
3x2
23
−=
41
32 −=
125= ����� �" #
������������ ������������������������� TI- 92���()�� 3x)x(fy == ��� x)x(gy ==
�-�������� 3x)x(f = ��� x)x(g =
��1����� 3x = x
3xy =
xy =
A
142
�����*� -����������1�(!1�+�*����!.� (0,0) ��� (1,1) ����'�������% f ���#�1��+�*�����'+���1������1��1�(!1���� f ��� g ����4�1�1b�#
-�#�"� f ��� g �,M�%&�������"���.��� ��� g (x) ≥ f (x) ��� ���+�� ]1,0[x∈
�����*�#.*�+���������'+���1������1��1�(!1���� f ��� g !.�∫ −=1
0dx)]x(f)x(g[A
∫ −=1
03 dx)xx(
1
0
4
4x
3x2
23
−=
41
32 −=
125= ����� �" #
143
�����'�$)(* 5 -� �#.*�+��,c��1��(���� y ��1� y = 2x �����1� y = 4���()��
#.*�+���"�+������� ∫ ∫=4
02Y
0dxdyA
dy2y4
0∫=4
0
2
4y=
416=
4= ����� �" #�����'�$)(* 6 -� �#.*�+��0������ xy [���,c��1���1 x2y2 = ��� xy =
���()�� -�� x2y2 =
x2y ±=∴ �-����������1� x2y2 = ��� xy = �����*x2x ±=
x2x2 =
0x2x2 =−
0)2x(x =−
2,0x =
2,0y =
∴-�����!.� (0,0) ��� (2,2) ������,4�1�����*
Y= 2x
Y = 4
A
144
#.*�+���"�+������� ∫ ∫=2
0
x2
xdydxA
dx)xx2(2
0∫ −=2
0
223
2x
23x2
−=
22322 2
3
−
=
238 −=
32= ����� �" #
������������ ������������������������� TI- 92���()�� x2)x(fy 22 == ��� x)x(gy ==
�-�������� x2)x(f 2 = ��� x)x(g =
��1����� x2x ±=
Y2=2x
Y = x
A
145
�����*� -����������1�(!1�+�*����!.� (0,2) ��� (0,2) ����'�������% f ��� g #�1��+�*�����'+���1������1��1�(!1���� f ��� g ����4�1�1b�#
-�#�"� f ��� g �,M�%&�������"���.��� ��� g (x) ≥ f (x) ��� ���+�� ]2,0[x∈
�����*�#.*�+���������'+���1������1��1�(!1���� f ��� g !.�∫ −=2
0dx)]x(f)x(g[A
dx)xx2(2
0∫ −=2
0
223
2x
23x2
−=
22322 2
3
−
=
238 −=
32= ����� �" #
�+*���&(�������
�6 '%)!6�$ �6 '%���� %1. 0���� T82. �!�.���!���'�������%3. �)"�0�
1. 0���� C82. �)"�0�
146
����%��&(�������
�6 '%)!6�$ �6 '%���� %2�/����
!�����-��,����!����������10 1��������+��� ��1+�+���.*� ���.������ �,��#��$��-��������+��������2�/����1. !���$���,��#��$������*� #�1������"��,����� 3 l 4 ���"��(������$�����!���'���)"�0� ����������!���'(�0�1�!�.���!���'�������%
+�*� 2 �$��
2. !��0 1��������+��0���� T8 �1� 1 (�0�1��!�.���!���'�������%��-���!�������1��"��������������)����+�� �1���*�����
3. !���$������ �#.*�+��(���� �,��#��$�������*� #�1������"��,����� 3 ���"��(������$����!���'���)"�0�����������!���'(�0�1�!�.���!���'�������% +�*� 2 �$��
4. !��0 1��������+��0���� T8 �1� 2 (�0�1��!�.���!���'�������%��-���!�������1��"��������������)����+�� �1���*�����
5. !��0 1��������+�����gh� �� -�����-����!'�������� 6 ( 3000-1506) �1�204 ��� 210 (������$�+����0�����
2�/����!�����-��,����!����������10 1��������
+��� ��1+�+���.*� ���.������ �,��#��$��-��������+��������2�/����1. !���$���,��#��$������*� #�1������"��,����� 3 l 4 ���"��(������$�����!���'���)"�0�
2. !��0 1��������+��0���� C8 �1� 1 ��1��"��������������)����+�� �1���*�����
3. !���$������ �#.*�+��(���� �,��#��$�������*� #�1������"��,����� 3 ���"��(������$����!���'���)"�0�
4. !��0 1��������+��0���� T8 �1� 2 ��1��"��������������)����+�� �1���*�����
5. !��0 1��������+�����gh� �� -�����-����!'�������� 6 ( 3000-1506) �1�
204 ��� 210 (������$�+����0�����
147
��10�1�!�.���!���'�������%��-���!�����
2�/�� "!��������������"������,��� �,��#��$��
�����*������� �#.*�+��b�0�1��1�(!1����!��*�
2�/�� "!��������������"������,��� �,��#��$��
�����*������� �#.*�+��b�0�1��1�(!1����!��*�
����!6#"#&%���6
�6 '%)!6�$ �6 '%���� %1. ������-��������!��2�������������2. ������-�����0�1�!�.���!���'�������%0�
���+��0����������!��2��0�0����3. ���+�����+��4�1������ ��4. ������-������������)���� �1���*�5. ���+�����gh� ��-���������
!'�������� 6 ( 3000-1506) �1� 204 ���210
1. ������-��������!��2�������������2. ������-��������+��0����������!��
2��0�0����3. ���+�����+��4�1������ ��4. ������-������������)���� �1���*�5. ���+�����gh� �� -���������
!'�������� 6 ( 3000-1506) �1� 204 ��� 210
148
7�$�� T8 1. �������������$���� �,��#��$��[*���"�4,��*��10�1�!�.���!���'�������%��-���
!�����1.1 ∫ ∫ +
2
1
3
0dydx)xy81(
���()�� ∫ ∫ +2
1
3
0dydx)xy81( = jjjjjjjjjjjjjj.
= jjjjjjjjjjjjjj. = jjjjjjjjjjjjjj. = jjjjjjjjjjjjjj. = jjjjjjjjjjjjjj. #
1.2 ∫ ∫− −2
0
1
12 dydx)yx61(
���()�� ∫ ∫− −2
0
1
12 dydx)yx61( = jjjjjjjjjjjjjj.
= jjjjjjjjjjjjjj. = jjjjjjjjjjjjjj. = jjjjjjjjjjjjjj. = jjjjjjjjjjjjjj. #
1.3 ∫ ∫ +4
0
1
0dydx)y2x(
���()�� ∫ ∫ +4
0
1
0dydx)y2x( = jjjjjjjjjjjjjj.
= jjjjjjjjjjjjjj. = jjjjjjjjjjjjjj. = jjjjjjjjjjjjjj. = jjjjjjjjjjjjjj. #
1.4 ∫ ∫2
0
x2
0dydxxy
���()�� ∫ ∫2
0
x2
0dydxxy = jjjjjjjjjjjjjj.
= jjjjjjjjjjjjjj. = jjjjjjjjjjjjjj. = jjjjjjjjjjjjjj. = jjjjjjjjjjjjjj. #
149
1.5 ∫ ∫2
1
y
022 dxdyyx
���()�� ∫ ∫2
1
y
022 dxdyyx = jjjjjjjjjjjjjj.
= jjjjjjjjjjjjjj. = jjjjjjjjjjjjjj.= jjjjjjjjjjjjjj.= jjjjjjjjjjjjjj. #
2. 0 1��������0�1�!�.���!���'�������% �#.*�+���������'+���1������1���%���%&������+����� ��0 1������!��2���"�4,��*
2.1 xy = ��� 2xx3y −=
���()�� -����������1���� xy = �����1�(!1� 2xx3y −= !.�jjjjjj..����'�������% 2xx3y,xy −== #�1��+�*�����'+���1������1��1����
xy = �����1�(!1� 2xx3y −= ����4�1�1b�#�����*
#.*�+���������'+���1������1��1���� xy = �����1�(!1� 2xx3y −= �+"���� jjjjjjj..jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj..jjjjj..jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj..jjjjj..jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj..
150
2.2 xy2 = ��� 2xy =
���()�� -�������� xy2 = ��� 2xy = !.�jjjjjj..����'�������% xy2 = ��� 2xy = #�1��+�*�����'+���1������1��1�(!1����
xy2 = ��� 2xy = ����4�1�1b�#�����*
#.*�+���������'+���1������1��1�(!1� xy2 = ��� 2xy = �+"���� jjjj..jjjjj..jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj..jjjjj..jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj..jjjjj..jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj..
151
7�$�� C81. �������������$���� �,��#��$��[*���"�4,��*
1.1 ∫ ∫ +2
1
3
0dydx)xy81(
���()�� ∫ ∫ +2
1
3
0dydx)xy81( = jjjjjjjjjjjjjj.
= jjjjjjjjjjjjjj. = jjjjjjjjjjjjjj. = jjjjjjjjjjjjjj. = jjjjjjjjjjjjjj. #
1.2 ∫ ∫− −2
0
1
12 dydx)yx61(
���()�� ∫ ∫− −2
0
1
12 dydx)yx61( = jjjjjjjjjjjjjj.
= jjjjjjjjjjjjjj. = jjjjjjjjjjjjjj. = jjjjjjjjjjjjjj. = jjjjjjjjjjjjjj. #
1.3 ∫ ∫ +4
0
1
0dydx)y2x(
���()�� ∫ ∫ +4
0
1
0dydx)y2x( = jjjjjjjjjjjjjj.
= jjjjjjjjjjjjjj.= jjjjjjjjjjjjjj.= jjjjjjjjjjjjjj.= jjjjjjjjjjjjjj. #
1.4 ∫ ∫2
0
x2
0dydxxy
���()�� ∫ ∫2
0
x2
0dydxxy = jjjjjjjjjjjjjj.
= jjjjjjjjjjjjjj.= jjjjjjjjjjjjjj.= jjjjjjjjjjjjjj.= jjjjjjjjjjjjjj.
= jjjjjjjjjjjjjj. #
152
1.5 ∫ ∫2
1
y
022 dxdyyx
���()�� ∫ ∫2
1
y
022 dxdyyx = jjjjjjjjjjjjjj.
= jjjjjjjjjjjjjj.= jjjjjjjjjjjjjj.= jjjjjjjjjjjjjj.= jjjjjjjjjjjjjj. #
2. -� �#.*�+���������'+�������-����,+����� ��0 1�"�4,��*
jjjjj..jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj..jjjjj..jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj..jjjjj..jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj..jjjjj..jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj..jjjjj..jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj..jjjjj..jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj..
2xy =
xy2 =
153
���������� 17-18����"�%��2�$-")$��%%����
��#�����,1. ��,+���������+������-����� ��� ��2�� ��,+���������+������-����� �����'�
����'0�����������1������1� ����2. ��� �,�����������,+���������+������-����� ������ +��4�1 2 �$� !.�
2.1 ���-�� (Disk Method)2.2 ����,�.��+�������� (Shell Method)
� !"#�$����&(��-.��.������-�!����*��1 �������������21. ��1��b�#+������-����� ���#.*�+��+��,c��1�����+��(-+���� ��0 14�1�2. 0�1#.*�N��!����1��.������ �,��#��$�0���� �,�����������,+���������4�1�3. �����$���� �,�����������,+���������+������-������ ��� (��$����-�����
�������,�.��+��������4�1�&�+/���
1. ����"�%��2�$-")$��%%���)(*&��!������% �����,+���������+������-����� ��� ��2����,+���������+������-����� �����'�����'
0�����������1������1� ���� ��� �,�����������,+���������+������-����� ��� (Volumesof Solids of Revolution) �����2 �4�1 2 �$������*
1.1 ����"�%��2�$-")$��%%���)(*&��!�����% �;!����(�������� �,�����������,+����������$����-�� 0 1 f �,M�%&������+���"���.����� [a,b]
0 1 Q �,M���,+���������+������-����� �����'�����'�1���1��1�(!1� y = f(x) ��� x �����1���� x = a ��� x = b ������ x ��'�����'+��0�1 ������������,
ba
(x,y)
x
y
a x b x
y
154
b�!������+����*�9�������� x +��-�� x 0� 3 �����,+��������� -��,M����� �.�-����� (Clrcular Disk) �������������� ���!.� )x(f �����*� -�4�1#.*�+��b�!������+��-�� x 0� 3 !.�
22 )]x(f[)x(f)x(A π=π=
0 1 V �,M�,�����������,+���������� +������-���� ���#.*�+�������� x
∫π=b
a
2 dx)]x(f[V
21�0 1 F �,M�%&������+���"���.����� [c,d] ,�����������,+���������+������-����� �����'�����'0������+���1���1��1�(!1� x = F(y) ��� y ��1���� y = c ��� y = d ������ y-��+"���� ∫π=
d
c
2 dy)]y(f[V
�����'�$)(* 1 -� �,�����������,+���������+������-����� ���#.*�+��,c��1��(���� x��1�(!1� y2= 4x ��� x �����1���� x = 4 ������ x
���()��
-������ ∫π=4
0
2 dx)x4(V
4
0
2
2x4π=
π= 32 #
155
2xy +=
2xy =
�����'�$)(* 2 -� �,�����������,+���������+������-����� ���#.*�+��+���1������1��1���� y = x+2 �����1�(!1� y = x2 ������ x
���()�� �-������� "����1���� y = x+2 �����1�(!1� y = x2 4�1-�����!.� (-1,1) ��� (2,4)-������ ∫∫ −
π−+π=2
1
222
1
2 dx)x(dx)2x(V
2
1
53
5x
3)2x(
−
−
+π=
+−
−π= 5
131
532
364
572π= #
���#�45��6�,�"�##4������������������������ TI-92���()�� �-������� "����1���� y=f(x) = x+2 �����1�(!1� y =g(x)= x2
4�1-�����!.� (-1,1) ��� (2,4)0��"� [-1,2] -�#�"� 21� ]2,1[x −∈ ��1 2x2x ≥+ ��*�!.�
)x(g)x(f ≥ ��� ���+�� ]2,1[x −∈ �����,
156
-�4�1"�,�����������,+����������-������ ∫∫ −
π−+π=2
1
222
1
2 dx)x(dx)2x(V
2
1
53
5x
3)2x(
−
−
+π=
+−
−π= 5
131
532
364
572π= #
1.2 ����"�%��2�$-")$��%%���)(*&��!������% �;!����(��&"6+��)$�#������ �,�����������,+���������(��$�����,�.��+��������0 1 f �,M�%&������+���"���.����� [a,b] ��� 0)x(f ≥ ��.�� 0a ≥ 0 1 R �,M�#.*�+��+��,c�
�1���1��1�(!1� y = f (x) ��� x �����1���� x = a ��� x = b 0 1 Q �,M���,+���������+������-����� �����'�����'������ y
0 1 V �,M�,�����������,�� �+�������� [�����������1��0��,M� r1 �����������1������,M� r2 ��� ���"�����,M� h
-�4�1� hrhrV 21
22 π−π=
h)rr)(rr( 1212 −+π=
h)rr(2rr
2 1212
−
+
π=
157
0 1� 2rrr 12 +
= �,M�������9��� ��� 12 rrr −=∆ �,M�!�� ������� � �����*� ������� �,����������� �+��������-��,M� rhr2V ∆π=
��.�� r2π !.� !��������1����������,+�������������� ������2 �!"�,����'4�1� (��������,�� �+��
��������1��1��� 0�+����*21���� ��"� R �,M�����'+����"0�-��b�!+�� 1 [���2���1������1 ��1���� x = a , x = b , y = 0 �����1�(!1� y = f(x)
��,+��������� Q ������*���.�� R ��������� y ��� �,����������,+��������� Q��*�����1����"� [a,b] ����,M��"�"� n ��*�
}bxx...xxxa{ n1n210 =<<<<<= −
21�����' R ��������� y ���� ����).�)1���"����*�-������,M��� �+����������� ��0 1 V(ti) !.� ,����������� �+�������� ti ��� V(TI) !.�,����������� �+�������� Ti �����*� ������� �,�����������,�� �+��������-�4�1�
)x(xf2xx
2)t(V 1ii1ii
i −− ∆
+
π=
)x(xf2xx2)T(V ii
1iii ∆
+
π= −
,������ V �����,+�����������* -���!"���"�� "��
∑=
n
1ii )t(V ���∑
=
n
1ii )T(V
�����*� ����0 �"-�4�1�
∑∑∑∑===
−=
=∆π≤≤∆π=n
1ii
n
1iiii
n
1i1i
n
1ii )T(Vx)x(fx2Vx)x(fx2)t(V
(�+�� )xx(21x 1ii −+=
��.�� 0x →∆ -�4�1�
∫π=b
adx)x(xf2V [����,M�,������+������-����� ���#.*�+�� R ������ y
(��$�������21�����'#.*�+�� R 0�-��b�!+�� 1 2��,c��1���1��1���� y = c , y = d ,x = 0 �����1�(!1� y = g(y) ��������� x
�����*�,�����������,+�����������* !.� ∫π=d
cdy))y(g(y2V
158
�����'�$)(* 1 -� �,�����������,+���������+������-����� �������'+���1������1��1����y = 2x ��� y �����1���� y = 2b (b > 0) ������ y
���()�� -������ ∫ −π=b
0dx)x2b2(x2V
-�4�1� ∫ π−π=b
0
2 dx)x4bx4(V
dx)xbx(4b
0
2∫ −π=
b
0
32
3x
2bx4
−π=
−π= 3
b2b4
33
�����*� ,�����������,+��������� 3b32 π= �������� �" #
y=2xy=2b
2b - y(b,2)
(x,y)
x x
y
159
)2,2(
xy =
�����'�$)(* 2 -� �,�����������,+���������+������-����� ���#.*�+�� R +��,c��1���1��� x��1�(!1� xy = ��1���� x= 0 ��� x = 2 ������ x
���()�� -������ ∫ −π=2
0
2 dy)y2(y2V
-�4�1�2
0
42
4yy2V
−π=
−π= )4
42(2
�����*� ,�����������,+���������� π=2 �������� �" #���#�45��6�,�"�##4������������������������ TI-92
�+*���&(�������
�6 '%)!6�$ �6 '%���� %1. 0���� T92. �!�.���!���'�������%3. �)"�0�
1. 0���� C92. �)"�0�
160
����%��&(�������
�6 '%)!6�$ �6 '%���� %2�/����
!�����-��,����!����������10 1��������+���2�/����1. !���$������ �,�����������,+�����
����+������-����� ������2. !���$������ �,�����������,+�����
����+������-���� ������(��$����-����1����"��,����� 2 ���"��(������$����!���'���)"�0� ����������!���'(�0�1�!�.���!���'�������%+�*� 2 �$��
3. !��0 1��������+��0���� T9 �1� 1 (�0�1��!�.���!���'�������%��-���!�����
4. !���$������ �,�����������,+���������+������-���� ���(��$�����,�.�� ��1��� �"��,����� 2 ���"��(������$�����!���'���)"�0� ����������!���'(�0�1�!�.���!���'�������%+�*� 2 �$��
5. !��0 1��������+��0���� T9 �1� 2 (�0�1��!�.���!���'�������%��-���!�����
6. !��0 1��������+�����gh� �� -�����-����!'�������� 6 ( 3000-1506) �1�217 ��� 225 (������$�+����0�������10�1�!�.���!���'�������%��-���
2�/����!�����-��,����!����������10 1��������
+���2�/����1. !���$������ �,�����������,+�����
����+������-����� ������2. !���$������ �,�����������,+�����
����+������-���� ������(��$����-����1����"��,����� 2 ���"��(������$����!���'���)"�0�
3. !��0 1��������+��0���� C9 �1� 14. !���$������ �,�����������,+�����
����+������-���� ���(��$�����,�.�� ��1��� �"��,����� 2 ���"��(������$�����!���'���)"�0�
5. !��0 1��������+��0���� C9 �1� 26. !��0 1��������+�����gh� �� -�����-
����!'�������� 6 ( 3000-1506) �1�217 ��� 225 (������$�+����0�����
161
!�����2�/�� "
!��������������"������, ��� �,�����������,+���������+������-���� ���������!��*�
2�/�� "!��������������"������, ��� �
,�����������,+���������+������-���� ���������!��*�
����!6#"#&%���6
�6 '%)!6�$ �6 '%���� %1. ������-��������!��2�������������2. ������-�����0�1�!�.���!���'�������%0�
���+��0����������!��2��0�0����3. ���+�����+��4�1������ ��4. ������-������������)���� �1���*�5. ���+�����gh� ��-���������
!'�������� 6 ( 3000-1506) �1� 217 ���225
1. ������-��������!��2�������������2. ������-��������+��0����������!��
2��0�0����3. ���+�����+��4�1������ ��4. ������-������������)���� �1���*�5. ���+�����gh� �� -���������
!'�������� 6 ( 3000-1506) �1� 217 ��� 225
162
7�$�� T91. -� �,�����������,+���������+������-����� ���#.*�+��+��,c��1���1��1�(!1� y2= 4x ��� x�����1���� x = 4 ������ x (�0�1�!�.���!���'�������% #�1��+�*�������,,��������()��
jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj.jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj
2. -�0�1�$�����,�.��+��������!���' �,���������+���������+������-����� �������'+������������,+�� ��� ��0 1 ������ y (�0�1�!�.���!���'�������%
2xy =
163
7�$�� C91. -� �,�����������,+���������+������-����� ���#.*�+��+��,c��1���1��1�(!1� y2= 4x ��� x
�����1���� x = 4 ������ x #�1��+�*�������,,��������()��
jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj.jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj
2. -�0�1�$�����,�.��+��������!���' �,���������+���������+������-����� �������'+������������,+����� ��0 1 ������ y
2xy =
������� ��� ����� ���������������������������������� ��!�"#
��� ����� ���������$%�����&�'����()*�����������������������������#�+������ ��!�
��� ����� �������������������������,��� ��� ��!�
�# ����-� ���. 1 ����������������� 6 ( 3000-1506)�7���-'�1. ������������ ��� ���� 20 ��� ��������������� 50 �����2. � ������������������!"�#����$� �%&� ' ��(� �����& � ����$� �)�� ������*�������+��#,��-��
3. �����!"�#���������������,���(����4. ���������������� �����!"�#�� �����,��0��������%��,��-����&01�-�����&�(��2�$�,��-�����$��� �� � 3�$������$��,�%&�����$������ (×) ����� ����&�67�-���%������+��#,��-��
�����8��
��� 0 -���%�����67�*�����,1 �. 0 �. 1,. 2 �. 3
0����!"�#���8�� �,��-����� �. 01�-��� �������,�%&�����$����+��#,��-������
��� 0 � � , � *
0����!"�#�-�������6��&$�,��-���������,�%&�����$ = ��,��-����:� ��������,�%&�����$������ (×) ����� ��,��-����&��%����� �� � �6��&$�*����� �. �67���� ,. ���� ��� 0 � � , � *
1. 0�� )x(f)x(F =′ ������ x ∈(a, b) ���� F(x) ��,�����2�@A�� f(x) �$ ��C��. F(x) �67���(2�@A��� f(x) �. F(x) �67��:��:��� ��� f(x),. F(x) �67�6D:$��(2�@A��� f(x) �. F(x) �67��������:���(2�@A��� f(x)
2. 0�� )x(f)x(Fdxd = ����-���%����C� 01�-���
�. ∫ += c)x(Fdx)x(f �. ∫ = )x(Fdxd)dx)x(f(
dxd
,. ∫ ∫ += c)x(Fdxddx)x(f �. ∫ += c)x(fdx)x(F
3. -���%�����67�6D:$��(2�@A��� f(x) = x2
�. c3x)x(F3+= �. cx)x(F 3 +=
,. x2)x(F = �. 3x)x(F =
4. -���%����C� 01�-����. ∫ += cx5dx5 �. ∫ ++=+ cx2
x3dx)1x3(2
,. cx4dxx 34 +=∫ �. c8)4x2(dx)4x2(4
3 +−=−∫
5. 0�� F(x) = 2x2 �67�6D:$��(2�@A��� f(x) ���� f(x) ,%�-���%����
�. f(x) = x2 �. f(x) = x,. f(x) = x + 5 �. f(x) = x2 + 1
6. ������ ∫ −≠++
=+
1n;c1nxdxx
1nn ���� ∫ dxx ��C��-��-���%����
�. 23
x32 + c �. 3
2
x32 + c
,. cx2
3+ �. c
x1 +
7. -���%�����67�6D:$��(2�@A��� f(x) = 3
35
x4x5x −−
�. cx2x53
x2
3++− �. c52
x2 +−
,. cx54x 24
+− �. cx4x53
x2
3++−
8. -���%�����67�6D:$��(2�@A��� f(x) = x3sin
�. cx3cos +− �. cx3cos +
,. c3x3cos+
− �. c3x3cos+
9. -���%����01�-����. ∫ +
=
+− c3xsin3
1x9dx 1
2 �. ∫ +
=
+− c3xcos3
1x9dx 1
2
,. ∫ +
=
+− c3xtan3
1x9dx 1
2 �. ∫ +
=
+− c3xcot3
1x9dx 1
2
10. ∫ xlnxdx ��,��-��C��3�$����1-���
�. cedue uu +=∫ �. ∫ ≠+= 0u;culnudu
,. ∫ −≠>+= 1a,0a;calnaduau
u �. ∫ −≠++
=+
1n;c1n
uduu1n
n
11. -���%�����67������6�:2�@A3�$�$�� ���. ∫ + dx1x2 �. ∫ dxxsinxcos4
,. dxxsin5∫ �. ∫ dxxcosx
12. -���%�����67������6�:2�@A3�$����!#� ��$ �$�. ∫ + dx1x2 �. ∫ dxxsinxcos4
,. dx)2x)(1x2(5∫ −+
�. dx3x2
1∫ +
13. 0�����, �3�$��� u = 1 + x3 *+C�� du = 3x2dx ������∫ + dxx1x3 32 �67������6�:2�@A�������. ��6�:2�@A3�$�!#� ��$ �$ �. ��6�:2�@A3�$������, �,. ��6�:2�@A3�$�$�� �� �. ��6�:2�@AMN��A��-��3�O�:-:$������
14. *�� ∫b
a)x(f dx �����(6��C� 01�-���
�. ���$� f � � 6�:2�@A� �. ���$� x � �-�,���&��������6�:2�@A�,. ���$� b � ����*��������������6�:2�@A �. ���$� a � ����*����� ����������6�:2�@A�
15. ��� f �67�MN��A��- ���%&���� [ a, b] 0�� g �67�6D:$��(2�@A��� f �� [ a, b] ���� ∫b
a)x(f dx
��, ��� �C��. f(b) ' f(a) �. f(a) ' f(b) ,. g(b) ' g(a) �. g(a) ' g(b)
16. -���%����01�-����.
31dxx
1
02 =∫ �.
31dxx
1
02 −=∫
,. 0dxx1
02 =∫ �. 2dxx
1
02 =∫
17. 0�� f ��+ g �67�MN��A����&��6�:2�@AC����� �� [ a, b] ��+ c �67�, �,�-� -���%����C� 01�-����. ∫
b
adx)x(f = - dx)x(f
a
b∫ �. ∫b
adx)x(cf = c∫
b
a)x(f dx
,. ∫ =a
a1dx)x(f �.
∫ ∫∫ +=+b
a
b
a
b
adx)x(gdx)x(fdx)]x(g)x(f[
18. 0�� f ��+ g �67�MN��A��- ���%&����� ��6T� [ a, b] ��+ )x(f)x(g ≤ ������ bxa ≤≤ ���� A �67�2% ���&�����:��O��&����������$����3,�� y = f(x) , y = g(x) ��� x ����-�� x= a ��+����-�� x= b �����(6��01�-����. [ ]∫ −=
b
ady)x(g)x(fA �. [ ]∫ −=
b
ady)x(f)x(gA
,. [ ]∫ −=b
adx)x(g)x(fA �. [ ]∫ −=
b
adx)x(f)x(gA
19. *���16�����(6��01�-���
�. 2% ���&� ����&�������C��*�� ∫− +−1
12 dx)4xx(
�. 2% ���&� ����&�������C��*�� ∫− −−1
12 dx)4xx(
,. 2% ���&� ����&�������C��*�� ∫− −+1
12 dx)x4x(
�. 2% ���&� ����&�������C��*�� ∫− ++1
12 dx)4xx(
20. ������ f(x) = x2��+ g(x) = 2x ' x2-���%������(601�-����. *(�-��������3,��� ����,%� (0, 0) ��+ (-1, 1)�. 2% ���&�����:��O��&����������$���M� ������ ���
61
,. 2% ���&�����:��O��&����������$���M� ������C��*�� ∫− −−0
122 dx)x()xx2(
�. 2% ���&�����:��O��&����������$���M� ������C��*�� ∫ −−1
022 dx)xx2(x(
y =x2 + 4 y =x
��� ����� ���������$%�����&�'����()*������������������,��� �����#�+������ ��!�
�# ����-� ���. 1 ����������������� 6 ( 3000-1506)�7���-'�1. ������������ ��� ���� 15 ��� ��������������� 50 �����2. � ������������������!"�#����$� �%&� ' ��(� �����& � ����$� �)�� ������*�������+��#,��-��
3. �����!"�#���������������,���(����4. ���������������� �����!"�#�� �����,��0��������%��,��-����&01�-�����&�(��2�$�,��-�����$��� �� � 3�$������$��,�%&�����$������ (×) ����� ����&�67�-���%������+��#,��-��
�����8��
��� 0 -���%�����67�*�����,1 �. 0 �. 1,. 4 �. 5
0����!"�#���8�� �,��-����� �. 01�-��� �������,�%&�����$����+��#,��-������
��� 0 � � , � *
0����!"�#�-�������6��&$�,��-���������,�%&�����$ = ��,��-����:� ��������,�%&�����$������ (×) ����� ��,��-����&��%����� �� � �6��&$�*����� �. �67���� ,. ���� ��� 0 � � , � *
1. 2% ���&�-�����3,�� y = x2���%���� x ��+�$1 �+�� ������-�� x = 1 ��+ x = 3 ��, ��� �C��. 35 -������ �$ �. 3
26 -������ �$,. 332 -������ �$ �. 3
56 -������ �$2. 2% ���&�-�����3,�� y = 4x - x2���%���� x ��+�$1 �+�� ������-�� x = 0 ��+ x = 4 ��, ��� �C�
�. 35 -������ �$ �. 3
26 -������ �$,. 332 -������ �$ �. 3
56 -������ �$3. 2% ���&�+�� ������3,�� y = x2 ' 7x + 6 ����� x ��+�$1 �+�� ������-�� x = 2 ��+ x = 6��, ��� �C��. 35 -������ �$ �. 3
26 -������ �$,. 332 -������ �$ �. 3
56 -������ �$4. *���162% ���&� ����&�������, ��� �C�
�. 3 -������ �$ �. 6 -������ �$,. 9 -������ �$ �. 12 -������ �$
5. 2% ���&��&6T��������$����3,�� x = y2+2 ��� y - ��- y = 0 0"� y = 3 ��, ��� �C��. 2 -������ �$ �. 4 -������ �$,. 15 -������ �$ �. 18 -������ �$
6. 2% ���&�+�� ������3,�� y = sin x ��+��� x - ��- � x = 0 0"� x = π ��, ��� �C��. 1 -������ �$ �. 2 -������ �$,. 3 -������ �$ �. 4 -������ �$
7. 2% ���&�����:��O��&����������$����3,�� y = ex ��+��� x *�� x = 1 0"� x = 2 ��, ��� �C��. e-1 �. e(e-1),. e2-1 �. e(e2-1)
y = x2 + 2
8. 2% ���&��&6T��������$����3,�� y = x3��+ y = x ��, ��� �C��. 121 -������ �$ �.
125 -������ �$
,. 127 -������ �$ �.
1211 -������ �$
9. 2% ���&��&6T��������$���y ����-�� y = 2x ��+����-�� y = 6��, ��� �C��. 3 -������ �$ �. 6 -������ �$,. 9 -������ �$ �. 12 -������ �$
10. 2% ���&�����:��O��&����������$MN��A�� f(x) = x2 ' 2x ��+ g(x) = 2x ��, ��� �C��.
316 -������ �$ �. 3
32 -������ �$,. 335 -������ �$ �. 3
41 -������ �$11. 2% ���&�����:��O��&����������$���M y = x2��+ y = 4x ��, ��� �C�
�. 316 -������ �$ �. 3
32 -������ �$,. 335 -������ �$ �. 3
41 -������ �$12. 6�:["���&- ��$1 ���+��� xy ["&�\���67��������&$�6�+������$����-�� y = x ��+ x = 1�������-3�$2% �):� z = 3 - x ' y *+��6�:��-�C��-��������. ∫ ∫ −−1
0
x
0 dydx)yx3( �. ∫ ∫ −−x
0
1
0 dydx)yx3(
,. ∫ ∫ −−1
0
y
0 dydx)yx3( �. ∫ ∫ −−1
0
x
0dxdy)yx3(
13. *����� 12. 6�:��-����6�:["���, ��� �C��. 1 �1���!�A��� �$ �. 2 �1���!�A��� �$,. 3 �1���!�A��� �$ �. 4 �1���!�A��� �$
14. 6�:��-�����16�������:-:��&��:�*�������(�2% ���&��&6T��������$ x = y3 , y = 0 ��+ y = 2������ y ��, ��� �C��. 732 π �1���!�A��� �$ �. 7
87 π �1���!�A��� �$,. 7128 π �1���!�A��� �$ �. 7
142 π �1���!�A��� �$15. 6�:��-�����16�������:-:��&��:�*�������(�2% ���&��&6T��������$��� x ����3,�� x4y2 =
��+����-�� x = 4 ������ x ��, �-��-���%�����. dx)x4( 24
0∫ π �. dx)x4(4
0∫,. dx)x4( 24
0∫ π �. dx)x4(4
0∫ π
������� �����,���9&��������)
����,���9&��������)
1. ��*��$A���. ����� ��+3����!A� ��*��$A6�+*��̂�,�:�����6�+��:�)���+�:*$,O+!"�#�!��-�A ����:�$��$��#:O����̂ ���%�� *���������
2. ��. ����- ���*��-�A� ��*��$A6�+*���������_�:�$��$��,�:,�,�!��@����������̂ ���%�� *�����,�!��@������
3. ��*��$A��,:���!A��0 ��*��$A6�+*��̂�,�:��,O:-!��-�A��0������̂D�,�!��@����������̂ ���%�� *�����,�!��@������
������� ��8���������8�� (p) "#�8��7���''7��� (r)
����� ����� ���������������������������������� ��!�"#��� ����� ���������$%�����&�'����()*�����������������������������#�+������ ��!�
"#�8�������,����������� �����-�<���
, �,���$��� �$ (p) ��+, ������**����� (r) ��������������3��!�A��:�,O:-!��-�A���&$���6�:2�@A��+, �,�����%&��&������������� ���
��� , �,���$��� �$ (p) , ������**����� (r)1234567891011121314151617181920
0.420.240.530.550.530.420.340.320.610.420.370.500.320.370.420.370.470.500.340.26
0.420.260.210.680.530.420.470.420.370.420.530.370.210.210.210.320.530.680.260.21
, �,�����%&��&������������� ��� �� ��� 0.77
, �,���$��� �$ (p) ��+, ������**����� (r) �������������,��������0��������3*�$A6N_����:�,O:-!��-�A���&$������6�+$(�-A6�:2�@A ��+, �,�����%&��&������������� ���
��� , �,���$��� �$ (p) , ������**����� (r)123456789101112131415
0.390.530.290.550.500.390.340.470.340.340.370.450.340.370.32
0.580.530.470.260.370.370.260.320.260.260.210.260.260.420.32
, �,�����%&��&������������� ��� �� ��� 0.84
179
��������
1
���������� ����� ������������������������ ��������������������� ������ �����!�" ��������#����!���$���%&'(���� ������������� ��)�*�(� ��+��
%�"������, ������- .��+� .�%0��� 1��������� ������)�*�
,� 2������
�34 � ������2
��������(������� �� �*�� �-����%5�����(�)���������)�*����(� ��+��%��''�����)�*��(�, �6�� ������� ����������
���7� � 2546������<�=�%5�����(������� �� �*��
79
�����
179
������������ � ���������������� 1) ��� ���� ��������� �!��"�#��$#� �� ������������% �&������'�(��)��$*#���+���� ���#���!�! �!��$*� !���,� � 1 �+������)���� �-!.������/���"�!�����0����)���� �1��-!.������/���"�!�����0��+�������� �� 2) ��� ���� �����$����3-����4�.���� �56���!��"�#��$#� ��� �����������+���# ������% &������'�(��)��$*#���+���� �-��#���!�! �!��$*� !���,� � 1 �+������)���� �-!.������/���"�!�����0����)���� �1��-!.������/���"�!�����0��+�������� �� �)���#���������8�����'�(��)��$*#���+���� ���#���!�! �!��$*� !���,� � 1����� ������! ��'�(� �/��9������ ����������� %�����! � ��� ����!�"�#��$#� 6 �/����40 � �����% $������������ ='��4�������'�(���8� 2 �)��� ���)�����)���/���� 20 � � ��� �����-!.�������/���"�!�����0��+�������� ��4)+�)��������/���� 20 � � ��� ��4����#����1��-!.�������/���"�!�����0��+�������� �� >*.������/��������$������'�(���� 2 �)��� �)���)+ 18 ����)+ 50 ��� � 4).��/������$���.��4����$������������ �!��"�#��$#� �� ������������% �4)+4����$��������$����3-����4�.���� �56���!��"�#��$#� �� �����������+���# �������% �/���������+� &.��*)�������� +4���A) �� $����� ��������#�B�� 4)+�����$��4��� �
>)������������� 1) ����'�(��)��$*#���+���� ���#���!�! �!��$*� !���,� � 1 � ��� �����-!.������/���"�!�����0��+�������� ��� ������� �!��"�#��$#� �� ������������% $*���������'�(�� ��� �����1��-!.������/���"�!�����0��+�������� �� ������ ���$/��6���$3�#�� ��+��� 0.01 2) ����'�(��)��$*#���+���� ���#���!�! �!��$*� !���,� � 1 � ��� �����-!.������/���"�!�����0��+�������� ��� ���$����3-����4�.���� �56���!��"�#��$#� �� �����������+���# ������% $*���������'�(�� ��� �����1��-!.������/���"�!�����0��+�������� �������� ���$/��6���$3�#�� ��+��� 0.05
181
THE EFFECTS OF GRAPHING K CALCULATOR UTILIZATION INMATHEMATICS LEARNING ON MATHEMATICS CONCEPTSAND PROBLEM SOLVING ABILITY OF THE FIRST YEARSTUDENTS AT HIGHER VOCATIONAL CERTIFICATE
LEVEL, NAKHON VOCATIONAL SCHOOL
AN ABSTRACTBY
SUPACHAI RUANGDECH
Presented to Thaksin University in partial fulfillment of the requirementsfor the Master of Education degree in Mathematics
July, 2003Copyrighted by Thaksin University
181
The purposes of this research were : 1) To compare mathematics concepts onIntegration of the first year students at Higher Vocational Certificate level betweenstudents who used graphing calculators and those who did not use graphing calculators.2) To compare problem solving ability on applications of Integration of the first yearstudents at Higher Vocational Certificate level between students who used graphingcalculators and those who did not use graphing calculators. The sample obtained byramdom simpling consisted of 40 of the first year students at Higher VocationalCertificate level at Nakhon Vocational School, Muang District, Nakhon Si ThammaratProvince. The sample was divided into 2 groups each of 20 students. The experimentalgroup learned using graphing calculators and the controled group learned throughconventional method without graphing calculators. Both sample groups were taught by theresearcher for 18 periods of 50 minutes each, and then took the mathematics conceptstest and the problem solving ability test. The test date were analyzed by SPSS PC+ forarithmetic means, standard deviations and t-test.
The research findings were as follows : 1) The first year students at HigherVocational Certificate level who used graphing calculators had higher mathematics conceptson Integration than those who did not use graphing calculators at 0.01 level ofsignificance. 2) The first year students at Higher Vocational Certificate level who usedgraphing calculators had higher problem solving ability on applications of Integration thanthose who did not use graphing calculators at 0.05 level of significance.
182
���������� �������
���� ������� ���� �� ������������ ������ 17 ���������� �������� 2514 "�������#$%&''(�� 137/1 +�#$ 2 �,�(�-�.�����
�,����/��� '��+��������������� 80260�,�3+�$�+�.����%&''(�� ��'���45#. �� "������,����%&''(�� 6���������������7�8� �,�(�6���9� �:�'
�,��������� '��+��������������� 80000
%�;�������7�8��.. 2534 %�;�����(���������������� (�$���������������->>?�)
�������������������������� �,���������'��+���������������
�.. 2541 ��� ��4(�AB�� (�A��� ��4�) "�(�������C�������������,��������� '��+���������������
�.. 2546 ���7�8��+�(�AB�� (�A��� ��4�)�+������������8�A�,��������� '��+��� �D��