The Concept of Fuzzy Theory

模糊理論人類活動的範圍是廣闊的，利用數學的觀點可把活動中所遇到的現象大致分為三類：確定現象、隨機現象、模糊現象。 為了解決確定現象的問題的數學工具有幾何、代數、數學分析、微分方程等，習慣上稱為古典數學。 機率論與數理統計則是研究隨機現象的數學工具。模糊數學則是專為研究模糊現象數學工具。基礎理論方面就有模糊集合、模糊關係、模糊圖論、聚類分析、綜合判斷、模糊識別、模糊語言以及模糊邏輯等。

模糊集合論

模糊集合論（ Fuzzy Set Theory ）是 1965 年由美國加州柏克萊大學扎德教授（ L.A.Zadeh ）所提出來。為了面對進而處理這些現實環境中之不確定（ uncertainty ）與模糊性（ fuzziness ）資料，必須以模糊集理論的觀念來對應。 它的特徵函數 ΦA(X) 是介於 0 到 1 之間，也就是說元素 X屬於集合 A的程度有大小輕重之分。

模糊數為一個模糊子集，其隸屬函數為 (x) ： U→[0,1] ，並具有下特性： 為連續性函數。 為一凸模糊集。 存在一實數 x0，使得 (x0)=1 。

凡滿足此三項特性之模糊集合，便稱之為模糊數，常見的模糊數有三角模糊數（ Triangular Fuzzy Number ， TFN ），及梯形模糊數（ Trapezoidal Fuzzy Number ， TrFN ）。

模糊數

A~

A~

A~

A~

μ(x) 

1

梯形模糊數

        

 

A~

0 a b c d

梯形模糊數

A~

A~

x

FEATURES OF THE MEMBERSHIP FUNCTION(1)

All information contained in a fuzzy set is described by its membership function.CoreSupportBoundariesNormal

FEATURES OF THE MEMBERSHIP FUNCTION(2)

ConvexIntersectionCrossover points Define fuzzy set A has value equal to

0.5

HeightFuzzy numberMost common forms of MF are those that are normal and convex.

FUZZIFICATION(1)Fuzzification is the process of making a crisp quantity fuzzy.Digital voltmeter( 電壓器 ) Range of errors

MEMBERSHIP VALUE ASSIGNMENTS

IntuitionInferenceRank orderingAngular fuzzy setsNeural networksGenetic algorithmsInductive reasoningSoft partitioning (ch11)Meta rules (not addressed in this book)Fuzzy statistics (not addressed in this book)

IntuitionIt is simply derived from the capacity of humans to develop membership functions through their own innate intelligence and understanding.

InferenceIn the inference method we use knowledge to perform deductive reasoning.Triangle 4.2 identification of a triangle 4.3 approximate isosceles triangle ( 等腰三角

形 ) 4.4 right triangle( 直角三角形 ) 4.5 intersection of the isosceles and right triang

le 4.6 equilateral triangle ( 正三角形 ) 4.7 all triangular shapes other than I,R and E Example 4.1.

Rank Ordering(1)Assessing preference Example4.2 1000 people Pairwise preference among five colors.

X={red,organge,yellow,green,blue}

Rank Ordering(2)Ex4.2 Membership function for best color

For example, the membership function of linguistic variable S

VB B M G VG

0 0.25 0.5 0.75

1.0

)(xS

x1.0

模糊集合的表示法

連續型模糊集合1. 三角模糊數 (a,b,c)

2. 梯形模糊數 (a,b,c,d)

3. 方程式表示

離散型模糊集合niXxxxxxxxA innAAA

,...,2,1,,/)(.../)(/)(~

~22~11~

模糊集合的演算 (1/2)

1.模糊集合的相等

2.模糊集合的包含

3.模糊集合的補集合

XxxxBABA

),()(~~

~~

XxxxBABA

),()(~~

~~

XxxxAntCompletemeAA

),(1)()~

( ~~

模糊集合的演算 (2/2)

4.模糊集合的聯集 (OR Operation)

5.模糊集合的交集 (AND Operation)

))(),(min(~~

~~~~ xxBABABA

),()( ~~ xxBA

Xx

))(),(max(~~

~~~~ xxBABABA

),()( ~~ xxBA

Xx

正三角模糊數之運算兩個三角模糊數 ＝（ a1,a2,a3）、 ＝（ b1,b2,b

3）的運算法則如下： 加法運算 ( + ) ：

（ a1,a2,a3） (+) （ b1,b2,b3）＝（ a1+ b1 , a2 + b2 , a3 + b3） 減法運算 ( - ) ：

（ a1,a2,a3） ( - ) (b1,b2,b3）＝（ a1 － b1 , a2 － b2 , a3 － b3） 乘法運算 ( ×) ：

（ a1,a2,a3） ( ×) （ b1,b2,b3）＝（ a1 ×b1 , a2 ×b2 , a3 ×b3） 除法運算 ( ÷) ： 當 b1,b2,b3≠ 0

（ a1,a2,a3） ( ÷) （ b1,b2,b3）＝（ a1÷b3, a2 ÷b2 , a3÷b1）

B~

B~

B~

B~

B~

A~

A~

A~

A~

A~

模糊集合之 α-cut

【定義】模糊集合之 α-cut 記作 ，則對任意 ，在論域 X 而言，

模糊集合的 α-cut ，定義為 X 論域中所有對集合 之歸屬度大於或等於 α 的元素所組成的集合。 α 稱為可信水準（ confidence level ），或稱為「門檻」， α-cut 的最主要功能是，它可以從模糊集合中，決定一明確集合（ crisp set ） 。

A~

]1,0[

A~ X

A ,)(| ~=

A~

解模糊化（ Defuzzification ）

所謂的解模糊化，就是將模糊數轉換成一個明確數值，以作為模糊排序過程中所使用的工具，解模糊化並沒有一定的程序，而解模糊化的方法有很多，較常用的幾種解模糊化的方法有：

重心法（ Center of Gravity Method ） 最大歸屬度平均法（ Mean of Maximum Method ） 高度法