Théorie de la Modélisation et de la Simulation ... · Plan 1 Modélisation et Simulation Déﬁnitions Paradigme et simulateur Classes de modèles 2 Formalismes de modélisation

Théorie de la Modélisation et de la SimulationFondements formels et opérationnels de Record/VLE

Raphaël Duboz – Fréderick Garcia – Gauthier Quesnel – Éric Ramat

INRA (Institut National de la Recherche Agronomique)LIL (Laboratoire d’Informatique du Littoral)

(LIL, INRA) Modélisation et simulation 1 / 113

Plan

1 Modélisation et SimulationDéfinitionsParadigme et simulateurClasses de modèles

2 Formalismes de modélisation

3 P-DEVS

4 Multi-formalisme et problématique du couplageModélisation multipleIntégration opérationelleIntégration formelle


Plan



3 P-DEVS



Théorie M&SIntroduction

Les termes et concepts à développer :

Systèmes

Expérimentation

Modéles et modélisation

Paradigmes

Simulation

Spécification formelle


Théorie M&SDéfinitions - Système

Définition 1Un système est caractérisé par le fait que l’on sait distinguer ce qui luiappartient de ce qui ne lui appartient pas.

Définition 2Le système est supposé contrôlable et/ou observable. Des variables,générées par l’environnement, agissent sur le comportement du systèmequi, à son tour, réagit sur cet environnement.


Théorie M&SDéfinitions - Système

Définition 3Un système réel est une combinaison de un ou plusieurs élémentsstructurels inter-reliés tels que les états d’un élément sont influencés parses propres états et ceux des autres éléments.

Définition 4Mise en avant de l’aspect d’inter-influence des composantes du systèmeréel dont le comportement observé est, en partie, le résultat de cesinfluences.


Théorie M&SDéfinitions - Schéma d’expérimentation

Définition 1Une expérimentation est un processus par lequel on récolte des donnéessur un système en agissant sur ses entrées [F. Cellier]

Définition 2Un schéma d’expérimentation définit un ensemble limité de circonstancessous lesquelles est conduite l’expérimentation:

variables observées,

séquencements des entrées,

conditions initiales,

conditions d’arrêt,

collecte et codage des données.


Théorie M&SDéfinitions - Modèle

Définition 1Un modèle M d’un système S pour une expérimentation E est toute choseà laquelle on peut appliquer E pour répondre à des questions concernantS [M. Minsky]


Théorie M&SDéfinitions - Modèle

Définition 2Construire une représentation simplifiée et observable du comportementet/ou de la structure d’un système réel afin de résoudre un problèmed’analyse ou de conception.

Définition 3modèle prédictif : on cherche à prédire une situation/un état dusystème ;

modèle descriptif : on capitalise la connaissance au sein d’un modèle.


Théorie M&SDéfinitions - Modélisation

Définition 1La modélisation est un processus par lequel on organise lesconnaissances portant sur un système donné [B. Zeigler]

Définition 2Modéliser c’est abstraire de la réalité une description d’un systèmedynamique [P. A. Fishwick]


Théorie M&SDéfinitions - Paradigme

DéfinitionUn paradigme est un ensemble de concepts, de lois et de moyens visant àdéfinir une collection de modèles.

Exempleéquations différentielles ;

file d’attentes ;

automates à états finis ;

automates cellulaires ;

...


Théorie M&SDéfinitions - Système/Modèle/Paradigme/Expérimentation


Théorie M&SIntroduction


Théorie M&SDéfinitions - Simulation

Définition 1La simulation est la reproduction du comportement dynamique d’unsystème réel s’appuyant sur un modèle

Définition 2La simulation a pour objet d’observer le comportement en fonction dutemps d’un modèle d’un système


Théorie M&SDéfinitions - Simulation informatique

Définition 1Traduction en programmes informatiques (algorithmes) du comportementdynamique des modèles. Exécution en temps fini.


Théorie M&SParadigme et simulateur

il y a une distinction claire entre modèle et simulateur ;

les deux peuvent s’écrire comme des systèmes ;

il est possible d’établir des relations d’équivalence entre eux.

La notion d’erreur introduite par le simulateur n’est pas toujours simple àformuler.

sauf dans le cas d’un intégrateur où elle est peut souvent l’être (analysenumérique)



La séquence s0, s1, ...sn est appelée trajectoire d’état ;La séquence x0, x1, ...xn est appelée trajectoire d’entrée ;La séquence y0, y1, ...yn est appelée trajectoire de sortie ;

Modèle à temps discret



Simulateurt = t0s = s0

tant que t <= tf fairey(t) = λ(s(t), x(t))s(t + ∆t) = δ(s(t), x(t),∆t)

fin tant que





si possible, l’équation différentielle est résolue de façon analytique :I impossible dans la grande majorité des modèles ;I sinon on intégre l’équation par résolution numérique.

SimulateurL’idée sous jacente pour un intégrateur parfait :

ds(t)dt

= lim∆t→0

s(t + ∆t) − s(t)∆t

Donc, pour un intervalle de temps très petit :

s(t + ∆t) ≈ ∆tds(t)

∆t+ s(t)

s(t + ∆t) ≈ ∆t [f(x(t), s(t))] + s(t)


Théorie M&SDéfinitions - Classes de modèles

temps :I modèle à temps continu, le temps est spécifié comme évoluant de

manière continue, le temps est un nombre réel ;I modèle à temps discret, le temps avance par sauts d’une valeur entière

à une autre, le temps est un entier.

variable d’états :I modèle à états discrets, les variables prennent leurs valeurs dans un

ensemble discret ;I modèle continu, les variables descriptives sont des nombres réels.


Théorie M&SDéfinitions - Classes de modèles


Théorie M&SDéfinitions

Hiérarchie de spécification

niveau nom que savons nous à ce niveau ?0 cadre d’observation quelles variables mesurer et com-

ment les observer sur une base detemps

1 relation d’entrée sor-tie

données indexées sur le temps. Pairsd’entrée – sortie

2 fonction d’entrée –sortie

connaissance de l’état initial (un en-trée→ une sortie)

3 transition d’états comment les entrées affectent lesétats et comment les états affectentles sorties

4 composants couplés comment les composants de niveauxinférieurs sont couplés



Niveau 0Un cadre d’observation O est une structure O =< T ,X ,Y > où

T est la base de temps ;

X ensemble des valeurs d’entrée ;

Y ensemble des valeurs de sortie.

DescriptionT est un ensemble d’entiers ou de réels selon la représentation dutemps (discret ou continu) ;

le système est vu comme étant soumis aux éléments de X ;

Y est un ensemble représentant l’interface au travers de laquelle lesystème influe sur son environnement ;

X et Y sont des sous-ensembles quelconques d’entiers, de réels oude symboles.



Niveau 1Une relation d’entrée-sortie IOR est une structure :

IOR =< T ,X ,Ω,Y ,R >

où

Ω est l’ensemble des segments d’entrée ;

R = (ωi , ρi)

Descriptionωi est une trajectoire d’entrée : variation d’une entrée entre ti et tjωi et ρi sont observés sur le même intervalle ;

spécification ambiguë car pour le même ωi , on peut observer deuxtrajectoires de sortie différentes.






Niveau 2Une fonction d’entrée-sortie IOF est une structure :

IOR =< T ,X ,Ω,Y ,F >

où

F est un ensemble de fonctions d’entrée-sortie.

Descriptionchaque fi définit un segment de sortie unique pour un segmentd’entrée ;

un état initial est définit.






Niveau 3Un système dynamique est une structure S =< T ,X ,Y ,Ω,Q ,∆,Λ > où

Q est l’ensemble des états du système ;

∆ : Q × Ω→ Q est la fonction de transition globale ;

Λ : Q → Y est la fonction de sortie.

Descriptionla fonction de transition globale du système définit l’état final obtenuaprès l’application d’un segment d’entrée ;

pas de définition des états intermédiaires ;

spécification du comportement à reproduire et non comment lereproduire.






Niveau 4Un système dynamique est une structure :

CS =< T ,X ,Y ,C ,EIC ,EOC , IC >

où

C est l’ensemble des modèles composants le modèle global ;

EIC est l’ensemble des couplages entre les entrées du modèle etentrées des sous-modèles ;

EOC est l’ensemble des couplages entre les sorties du modèle etsorties des sous-modèles ;

IC est l’ensemble des couplages entre les sous-modèles.





Plan



3 P-DEVS



Formalismes de modélisationIntroduction

AvertissementLe choix d’un formalisme reste un hypothèse forte dans le processus demodélisation. Il est important de tenir compte des propriétés du systèmedans ce choix !

Déterministe ou stochastiqueL’aspect déterministe ou stochastique est aussi à intégrer.


Formalismes de modélisationEquations différentielles ordinaires

ClasseEtat continu, temps continu et pas d’espace

E.D.O d’ordre n : F(x, x′, . . . , x(n), t) = 0 où F est une fonction continue.

Le pendule simple12ml2θ −mglcosθ = −mglcosθ0

où

m : la masse

g : l’accéleration (9.81ms−2)

l : longueur

θ(t) : angle du pendule en t

θ0 : angle max ou angle à t = 0



RésolutionRésoudre une E.D.O :Trouver une fonction x(t) vérifiant F(x(t), x′(t), . . . , x(n)(t), t) = 0 sur ledomaine de t .


Formalismes de modélisationEquations différentielles ordinaires d’ordre 1

E.D.O du 1er ordre : F(x, x′, t) = 0

F peut être vectoriel : systèmes d’équations différentielles coupléesx(n) = f(x, x′, . . . , x(n−1), t) (1)

équivalent à y′ = g(y, t), avec y =

xx′

· · ·

x(n−1)

Exemple : le pendule simple

θ′ = ω

ω′ = 2gl (cosθ − cosθ0)


Formalismes de modélisationEquations différentielles ordinaires d’ordre 1

Pour une E.D.O du 1er ordre avec conditions initiales

x′ = f(x(t), t), x(0) = x0

Simulation - Euler

Dév. de Taylor : x(t + h) = x(t) + hx′(t) + h2

2 x′′(t) + h3

3! x(3)(t) + · · · au

premier ordre : méthode d’Euler avec pas fixe h =(tf−t0)

N .

Simulation - Runge-kuttaEvaluation itérative de f() en plusieurs points sur l’intervalle [tn, tn+1]Exemple : Runge-Kutta ordre 2

xn+1 = xn +hn

4

[f(xn, tn) + 3f

(xn +

23

hnf(xn, tn), tn +23

hn

)](LIL, INRA) Modélisation et simulation 38 / 113


Autres méthodesPas adaptatifs : contrôler la précision de dt pour assurer que l’erreur nesoit pas trop grande

RK4/RK5 adaptatif ;

méthode de Gear ;

Adams-Bashfort-Moulton ;

. . .

Equations différentielles stochastiques

Mouvement brownien - Équation de Langevin :m d~v(t)

dt = −k~v(t) + ~η(t) où ~η(t) est un terme stochastique

ajout de délais stochastiques : dN(t)dt = rN(t)(1 − 1

K N(t − η(t)))


Formalismes de modélisationEquations différentielles partielles

ClasseEtat continu, temps continu et espace continu

On parle d’EDP dans le cas de fonctions qui dépendent de plusieursvariables, une EDP exprimant un lien entre les dérivées partielles d’unefonction.

F(. . . ,∂i+ju(x, t)∂x i∂t j

, . . .) = 0

avec conditions initiales fonctionnelles

Exemple : l’équation de la chaleur

∂u(x, t)∂t

=∂2u(x, t)∂x2

avec par exemple u(0, t) = u(L , t) = 0


Formalismes de modélisationEquations différentielles partielles

Simulationon parle plutôt de résolution ;

différentes méthodes qui passent par la discrétisation en x et en t del’EDP (volumes finis, éléments finis, . . . )


Formalismes de modélisationEquations aux différences

ClasseEtat continu, temps discret et pas d’espace

xn = f(xn−1, xn−2, . . . , xn−m, n)

avec conditions initiales x0, x−1, . . . , x−m+1 ∈ IR

ClasseEtat continu, temps discret et espace discret

Cas particulier de l’équation précédente :

x in = fi(x1

n−1, . . . , xi−1n−1, x

in−1, x

i+1n−1, . . . , x

pn−1)

avec x i variables d’états spatialisées.


Formalismes de modélisationEquations aux différences

Stochastiquemodélisation d’un processus Markovien d’ordre m

xn = F(xn−1, xn−2, . . . , xn−m, n)

avec F fonction de distribution sur xn.

une approche très simple consiste à ajouter à f() une variablealéatoire :

xn = f(xn−1, xn−2, . . . , xn−m, n, θn)

avec θn processus aléatoire.

également, possibilité de tirer aléatoirement les conditions initialesx0, x−1, . . . , x−m+1 ∈ IR.


Formalismes de modélisationAutomates à états finis

ClasseEtat discret, temps discret et pas d’espace

A = 〈X ,S, s0,Q ,∆〉

avec

S l’ensemble des états s du système,

s0 l’état initial,

Q les état terminaux,

X l’ensemble des symboles x possibles en entrée,

∆ la fonction de transition :

∆ : X × S → S



ExempleS = 1, 2, 3, 4, 5 et X = a, b

b

ab

ba

a

54

1

32

a,b

a,b



StochastiqueRendre stochastique la fonction de transition ∆.On représente ∆ par une chaîne de Markov sur sn ∈ S contrôlée parxn ∈ X , selon

P(s(n) | s(n − 1), x(n − 1))


Formalismes de modélisationAutomates cellulaires

ClasseEtat discret, temps discret et espace discret

Automate à états finis particulier avec représentation spatialisée de l’état.

RdP = 〈G,S,∆〉

avec

G une grille infinie régulière sur IRd , d = 1, 2, 3 qui porte les cellules,

S l’espace d’états en chaque cellule,

∆ la fonction de transition locale de chaque cellule :

si(n) = ∆i(sj1(n − 1), . . . , sjk (n − 1)) où jk voisins de i


Formalismes de modélisationAutomates cellulaires

Fonction de transitionLa fonction de transition ∆ peut être :

spatialement homogène ou non,

dépendante du temps ou non,

synchrone ou asynchrone,

déterministe ou stochastique.


Formalismes de modélisationRéseaux de Petri


DéfinitionAutomate à états finis particulier, avec représentation factorisée de l’état etde la fonction de transition.

RdP = 〈P,T ,M0〉

avec

P l’ensemble des places,

T l’ensemble des transitions,

M0 le marquage initial.



p1

p2

p3

p4

t2

t3

t1

22

DéfinitionLa dynamique d’un RdP est modélisée par le franchissement destransitions dont les places en amont respectent le poids des arcs,amenant une modification du marquage M.



Pouvoir d’expressionLes réseaux de Pétri sont bien adaptés pour modéliser des systèmesdynamiques présentant des propriétés telles que :

exécution séquentielle ;

conflit ;

concurrence ;

synchronisation ;

ressources contraintes.



AnalyseVérification de propriétés formelles vérifiées par le réseau :

atteignabilité : Peut-on atteindre tel marquage à partir de cemarquage ? ;

réseau borné : Est-ce que toutes les places sont bornées ? (uneplace est k-bornée si le nombre de jetons est inférieur à k quelquesoit le marquage initial)

réseau vivant : Peut-on encore franchir une transition ?(Pseudo-vivacité et quasi-vivacité)

SimulationUn RdP peut être simuler pour être étudié.



ExtensionsEnrichissement du pouvoir d’expression des RdP au détriment del’analyse formelle.

RdP généralisés : avec des poids sur les arcs ;

RdP = 〈P,T ,WI,WO ,M0〉

pur/impur ;arc inhibiteur ;RdP colorés : jetons et places distingués ;RdP temporels : assignation de valeurs temporels aux transitions ouaux places ;

I Deterministic Timed Petri nets (DTPN)I Stochastic Timed Petri nets (STPN)

RdP hiérarchique.


Formalismes de modélisationModèles à évènements discrets


Changement de l’état du système (event) à des dates discrètesquelconques sur IR+.

SimulationLa simulation d’un modèle à évènements discrets consiste à gérer uneliste courante d’évènements programmés, et, successivement :

faire avancer le temps jusqu’au prochain évènement programmé ;

exécuter l’évènement : modifier l’état et la liste d’évènements.


Formalismes de modélisationAutres formalismes

Il existe au delà des principaux formalismes présentés ici de nombreuxautres modèles qui s’y rattachent plus ou moins.

Autres formalismesSystem Dynamics de Forrester : modèles de type systèmes d’EDOmodélisant des stocks et flux Cf. Vensim, ModelMaker, . . .

Dynamic Systems : issu de l’Automatique. Modèles de type équationdifférentielles algébriques modélisant intégration, dérivation, filtrage,retard, etc. sur des variables physiques continues. Cf. MatlabSimulink, Scilab, . . .

Modèles d’agents et systèmes multi-agents : généralise lesautomates cellulaires avec des cellules qui seraient de type modèlesà évènements discrets . . .

Modèles décisionnels : plans d’actions, ordonnancement, plansréactifs, . . .


Plan



3 P-DEVS



DEVS, Discrete Event System SpecificationIntroduction

Un formalisme systémique de modélisation :

événements discrets

ensembles, états, fonctions de transition d’états

approche modulaire et hiérarchique

DEVS à été initié par B. P. Zeigler en 1976 :

+50 simulateurs DEVS (libres/payants, spécialisés etc.)

Monde : États-Unis (Univ. Arizona), Canada (Univ. Mc Gill), Portugal(Univ. Calombra), Corée du Sud (Univ. Hang Kong), Allemagne (Univ.Rostock), . . .

France : Calais (LIL/ULCO), Toulouse (Inra), Montpellier (Cirad),Clermont-Ferrand (Isima), en Corse (Univ. de Corse), Marseille (UnivAix 3), . . .



Un formalisme systémique de modélisation :

événements discrets

ensembles, états, fonctions de transition d’états

approche modulaire et hiérarchique

DEVS à été initié par B. P. Zeigler en 1976 :

+50 simulateurs DEVS (libres/payants, spécialisés etc.)

Monde : États-Unis (Univ. Arizona), Canada (Univ. Mc Gill), Portugal(Univ. Calombra), Corée du Sud (Univ. Hang Kong), Allemagne (Univ.Rostock), . . .

France : Calais (LIL/ULCO), Toulouse (Inra), Montpellier (Cirad),Clermont-Ferrand (Isima), en Corse (Univ. de Corse), Marseille (UnivAix 3), . . .



DEVS [Zeigler, 1976] :

un formalisme de haut niveau (généralité)→ DEVS « encapsule » les formalismes

propose un cadre formel pour le couplage de modèles→ Propriété de fermeture sous couplage

utilise le paradigme des événements discrets→ Les événements pilotent la simulation

intègre un cadre opérationnel : les simulateurs abstraits→ Un ensemble d’algorithmes


DEVS, Discrete Event System SpecificationDescription du modèle atomique

Définition du modèle atomique :

* Nous considérons ici la version parallèle de DEVS, P-DEVS. Quandnous dirons DEVS par la suite, il s’agira en fait de P-DEVS

M = 〈X ,Y ,S, δext , δint , δcon, ta, λ〉

I Une structure mathématique composée de variables et de fonctionsI Une représentation graphique :




X : l’ensemble des ports d’entrée et des valeurs attachées.




Y : l’ensemble des ports de sortie et des valeurs attachées.




S : l’ensemble des états du système.À un instant t , Q = (s, e) | s ∈ S, 0 < e < ta(s) est l’état total dusystème où e est le temps passé dans l’état.




δext : fonction de transition externe : δext : Q × Xb → Sreprésente les réponses du système aux événements externes où Xb estun ensemble de bag dans X




δint : fonction de transition interne : δint : S → Sreprésente les évolutions autonomes.




δcon : fonction de conflict : δcon : Q × Xb → Sreprésente les réponses du système si des événements externes arriventet que e = ta(s)δcon(s, x) = δext (δint (s), 0, x) ou δint (δext (s, ta(s), x))




ta(s) : le temps pendant lequel le modèle reste dans l’état S (horsévénements externes)



M = 〈X ,Y ,S, δext , δint , ta, δcon, λ〉

λ : la fonction de sortie : λ : S → Yb représente les influences externes.


P-DEVSDynamique des états








































P-DEVSSimulateur abstrait

Variables

parent // coordinateur parenttl // durée depuis le dernier évènementtn // durée jusqu’au prochain évènementDEVS // modèle DEVS associé avec l’état total (s,e)y // bag de sortiee // le temps passé dans l’état courant s

Fonction d’initialisation

quand reçoit i-message (i,t) à la date t alors:tl <- t - etn <- tl + ta(s)



Variables


Fonction de transition interne

quand reçoit *-message (*,t) à la date t alors:si t = tn alors:y <- lambda(s)envoie y-message (y, t) au coordinateur parent



Variables


Fonction de transition externe et de conflit

quand recçoit x-message (x, t) alors:si (x est vide et t = tn) alors s = delta_int(s)sinon si (t = tn) alors s = delta_con(s, x)

sinon si (tl <= t <= tn)e <- t - tls <- delta_ext(s,e,x)tl <- ttn <- tl + ta(s)


P-DEVSExemple - un petit compteur

Exempleà l’initialisation du modèle, la valeur du compteur est nulle ;

à chaque arrivée d’événement en entrée du modèle, un compteur estaugmenté de 1 ;

lorsque le compteur arrive à 10 alors le compteur est remis à zéro etun événement de sortie est émis.



Etapes1. définir l’ensemble S des états du modèle et définir l’état initial ;

2. définir la fonction d’avancement du temps ta ;

3. définir les ports d’entrée et de sortie ;

4. définir la fonction de transition externe δext ;

5. définir la fonction de transition interne δint ;

6. définir la fonction de sortie λ.

AvertissementCet ordre n’est pas une obligation !



Etape 1l’état se compose de deux éléments :

I le compteur ;I la phase pour modéliser la succession des phases du modèle.

le modèle doit toujours débuter dans un état d’initialisation : INIT ;

ensuite le modèle attend un événement externe : WAITING ;

lorsque le compteur atteint 10, on a un état transitoire deréinitialisation et d’envoi d’événement : RESET .

S = (c, p) o p ∈ INIT ,WAITING,RESET



Etape 2le modèle ne reste pas dans l’état d’initialisation : ta((c, INIT)) = 0 ;c’est très souvent le cas ;

le modèle attend un événement externe de manière passive :ta((c,WAITING)) = +∞ ;

la phase RESET est transitoire donc : ta((c,RESET)) = 0.



Etape 3Les interactions avec l’extérieur sont limitées :

un port d’entrée que l’on nommera in ;

un port de sortie out.

Etape 4Si on se place sous l’hypothèse que les événements externes sont plusprioritaires que les transitions internes alors le traitement des événementsd’entrée ne peuvent se produire que dans l’état WAITING.

δext ((c,WAITING), e, (′in′, ∅)) = (c + 1,WAITING) si c < 9

δext ((c,WAITING), e, (′in′, ∅)) = (10,RESET) si c = 9



Etape 3Les interactions avec l’extérieur sont limitées :

un port d’entrée que l’on nommera in ;

un port de sortie out.

Etape 4Si on se place sous l’hypothèse que les événements externes sont plusprioritaires que les transitions internes alors le traitement des événementsd’entrée ne peuvent se produire que dans l’état WAITING.

δext ((c,WAITING), e, (′in′, ∅)) = (c + 1,WAITING) si c < 9

δext ((c,WAITING), e, (′in′, ∅)) = (10,RESET) si c = 9



Etape 5La seule partie d’autonomie du modèle concerne la remise à zéro ducompteur dans la phase RESET .

δint ((10,RESET)) = (0,WAITING)

Etape 6Si le compteur a atteint 10 alors on émet un événement et la phaseRESET représente cette condition.

λ((10,RESET)) = (′out ′, ∅)



Etape 5La seule partie d’autonomie du modèle concerne la remise à zéro ducompteur dans la phase RESET .

δint ((10,RESET)) = (0,WAITING)

Etape 6Si le compteur a atteint 10 alors on émet un événement et la phaseRESET représente cette condition.

λ((10,RESET)) = (′out ′, ∅)


DEVS, Discrete Event System SpecificationDescription du modèle couplé

Définition du modèle couplé (ou réseau de modèles) :

N = 〈X ,Y ,D,EIC ,EOC , IC〉

I Une structure mathématique composée uniquement de variablesI Une représentation graphique :




X l’ensemble des ports d’entrée et des valeurs associées.




Y l’ensemble des ports de sortie et des valeurs associées.




D l’ensemble des identifiants des sous-modèles avec : Md |d ∈ D.




EIC l’ensemble des connexions d’entrée.




EOC l’ensemble des connexions de sortie.




IC l’ensemble des connexions internes.


Composition hiérarchique de modèles

Relation modèle formel – simulateur abstrait


Simulateur abstrait

VariablesN =< X ,Y ,D, (Md), (Id), (Zd) > // le modèle couplé associé

// avec Id ⊆ D ∪ N l’ensemble des influencers de d// et Zd : ×i∈Id YXi → XYd ⊆ D ∪ N// l’esemble des ports interfaces pour d// où:// XYi = Xi si i = N// XYi = Yi si i , N// XYd = Yd si d = N// XYd = Xd si d , N


Simulateur abstrait

Variablesparent // coordinateur parent

tl // durée depuis le dernier évènement

tn // durée avant le prochain évènement

event_list // liste des élements (d, tnd) triés par par tnd

IMM // Les enfants imminents

mail // bag de sortie

yparent // bag de sortie pour le parent

(yd) // ensemble bags de sortie pour les enfants


Simulateur abstrait

Initialisationquand reçoit i-message (i,t):∀d ∈ D faire:envoie i-message à d

trie la liste des évènements en fonction de tnd∀d ∈ Dtl = maxtld | d ∈ Dtn = mintnd | d ∈ D

Fonctions de sortie imminentes chez les composantsquand reçoit *-message (*,t):IMM = d | (d, tnd) ∈ (event_list ∧ tnd = tn)∀r ∈ IMM faireenvoie *-message (*,t) à r


Simulateur abstrait

Transitions imminentes chez les composantsquand reçoit x-message (x,t):receveurs = r | r ∈ children,N ∈ Ir ,ZN,r(x) , ∅

∀r ∈ receveurs faire :envoie x-message (ZN,r(x), t) à r

∀r ∈ IMM ∧ ∀r < receveurs faire :envoie x-message (∅, t) à r

trie event_list en fonction de tntl = ttn = mintnd | d ∈ D


Simulateur abstrait

Fonctions de sortie imminentes chez le modèle coupléquand reçoit y-message (yd,t):si d , dernierd ∈ IMM alors: // récup. des sortiesadd yd → mailmarque d comme étant à traiter

sinon :// traitement des sorties du modèle coupléyparent = ∅∀d ∈ IN ∧ d à traité faire :si Zd,N(yd) , ∅ alors :add yd → yparent

envoie y-message (yparent , t) au parent


Simulateur abstrait

Fonctions de sortie imminentes chez le modèle coupléquand reçoit y-message (yd,t):

...sinon :// traitement des connexions internes∀r | d ∈ Ir ∧ d à traiter ∧Zd,r(yd) , ∅ faire :∀d ∈ Ir ∧ d à traiter ∧Zd,r(yd) , ∅ faire :add Zd,ri(yd)→ yr

envoie x-messages (yr , t) à r

∀r ∈ IMM ∧ yr = ∅envoie x-message(∅, t) à r

tl = ttn = mintnd | d ∈ D



Propriété de fermeture sous couplageGarantie qu’un modèle DEVS couplé est rigoureusement équivalent à unmodèle DEVS atomique.



Propriété de fermeture sous couplageGarantie qu’un modèle DEVS couplé est rigoureusement équivalent à unmodèle DEVS atomique.


Propriété de fermeture sous couplage

ObjectifMontrer que :

N =< X ,Y ,D, (Md), (Id), (Zd) >

peut être écrit sour la forme d’un modèle DEVS atomique :

M = 〈X ,Y ,S, δext , δint , ta, δcon, λ〉

Méthode

Écrire le modèle résultant du modèle couplé en définissant les fonctionsde transition, la fonction d’avancement du temps, la fonction de sortie et

l’ensemble des états.


Propriété de fermeture sous couplage

À un instant donné, en considérant qu’il n’y a pas d’évènement enentrée du modèle couplé, nous pouvons écrire:

I L’état du modèle résultant est :

S = ×d∈DQd

I La fonction d’avancement du temps est:

ta(s) = minσd | d ∈ D, s ∈ S ∧ σd = ta(sd) − ed

I La fonction de sortie est l’ensemble des fonctions de sortie du bagimminent:

λ(s) = Zd,N(λd(sd)) | d ∈ IMM(s) ∧ d ∈ IN

I De même, à partir de l’ensemble des composant imminents, on définitles fonctions de transition internes, externes et de conflict...


Les extensions de DEVS

Les extensions de DEVS permettent d’étendre formellement laspécification DEVS : nouveaux types modèles.

Quelques exemples pour les modèles :

Cell-DEVS l’état du modèle S contient son état et celui de cesvoisinsune diffusion instantanée λ ou avec délais δint desmodifications ou perturbations aux voisins δext

la cellule est dupliquée pour former un automatecellulaire.


Les extensions de DEVSGraphe de couplage d’un CellDevs


Les extensions de DEVSQSS : moteur d’intégration d’équations différentielles

Comment résoudre les équations différentielles ordinaires :DESS [Zeigler et al., 2000] : discrétisation de l’espace du temps :

I ta la constante du pas d’intégrationI δint le moteur d’intégration (Euler, Runge Kutta, etc.).



QSS [Kofman and Junco, 2001] : discrétisation de l’espace desvaleurs :

I δint calcul de la pente (pour QSS1)I ta calcul de la date de dépassement du seuil δq.


Développement d’un système d’équationsExemple avec le modèle de Lotka-Voltera

DEVS s’appuie, entre autre, sur deux propriétés très importantes :

le couplage de modèles : un modèle atomique peut être combiné àun autre modèle pour former le couplage de modèle.

la fermeture sous couplage : un modèle couplé possède les mêmespropriétés qu’un modèle atomique.


Développement d’un système d’équationExemple avec le modèle de Lotka-Voltera couplé à un modèle de décision

Deux modèles QSS avec une équation chacun : construction d’unsystème d’équations par le couplage.



Le couplage peut former un nouveau modèle dont seuls les ports d’entréeet de sortie permettent la communication.



Un modèle de décision peut venir se coupler sur ce modèle.(LIL, INRA) Modélisation et simulation 84 / 113

Développement d’un système d’équationExemple avec le modèle de Lotka-Volterra couplé à un modèle de décision

1 Vert, variable X (proies) sans perturbation.2 Rouge, variable X avec une perturbation commençant quand les

proies dépassent le seuil de 2000 puis toutes les 5 ut. (-75% de X).


Développement d’un système d’équationExemple avec le modèle de Lotka-Volterra couplé à un modèle de décision

1 Vert, variable Y sans perturbation.2 Rouge, variable Y lorsque la variable X répercute ses modifications.


Les extensions de DEVSDEVS structures dynamiques

DEVS possède une structure statique : modèles couplés/atomiques→ offrir une structure dynamique permet de répondre à la

diversité des modèles

La spécification choisie : Dynamic Structure DEVS [Barros, 1995].→ ajoute un modèle atomique au réseau de modèles :

exécutif→ le modèle exécutif possède le contrôle complet de la

structure du modèle couplé :I ajouts et suppressions de modèles, de connexions et/ou

de ports.



Réseau de modèles : déportent les connexions dans un modèle ditexécutif :

DSDEVNN = 〈XN ,YN , χ,Mχ〉

où :

XN et YN sont les ports d’entrée et de sortie du réseauχ le nom du modèle exécutifMχ le modèle exécutif

Mχ = 〈Xχ,Yχ,Sχ, δχint , δ

χext , taχ, λχ,Σ

∗, γ〉

Avec : γ : Sχ → Σ∗ la fonction de structureΣ∗ : l’ensemble des structuresΣα ∈ Σ∗ :

Σα = 〈D,EIC ,EOC , IC〉



a

exécutif



a

exécutif



a

exécutif



a

b

exécutif



DESS, Qss1, Qss2 et Qss3 Moteur d’intégration d’équationsdifférentielles

Cell-Qss Moteur d’intégration d’équations différentielles spatialisées

Réseau de Petri Traduction (mapping) des RdP en DEVS

Automate à état finis Traduction des FSA en DEVS

etc.

GSMP et GSMDP Processus de Markov généralisé, en cours parEmmanuel Rachelson


Plan



3 P-DEVS



Modélisation multipleDéfinitions



Un multi-modèle est un modèle qui rassemble plusieurs paradigmeset/ ou formalisme dans sa réalisation.

⇒ Augmentation de la puissance descriptive du modèle.

La multi-modélisation est l’ensemble des concepts, outils ettechniques de construction de multi-modèles.

Les précurseurs

[Ören, 1989] Dynamics Templates and Semantic Rules for SimulationAdvisters and Certifiers.

[Fishwick and Zeigler, 1992] - A multi-model methodology forqualitative model engineering.



Cadre conceptuel de la modélisation et de la simulation[Zeigler and Sarjoughian, 2000]



États, temps, espace [Ramat, 2003]



Trois directions orthogonalesL’intégration de plusieurs formalismes dans un nouveau⇒ [Vangheluwe, 2000] (Differential Algebraic Equations),⇒ [Zeigler et al., 2000] DEV&DESS,⇒ [Barros, 2003] (HFSS) pour l’intégration de systèmes discrets et

continus.

La spécification des sous systèmes dans un formalisme unique⇒ Réecriture de tous les sous systèmes dans le même formalisme.

L’approche de co-simulation. Tous les sous modèles ont leur propressimulateurs. La difficulté et de les coupler (solution HLA par exemple).


Intégration opérationelleDéfinition

Trouver des moyens techniques et algorithmiques de coupler desmodèles hétérogènes

Trouver des moyens techniques

⇒ Problèmes d’architecture matérielle et logicielle

⇒ Problèmes des langages de programmation différents

Intégrer les représentations de la dynamique des sous systèmes

⇒ Intégration des notions de temps, d’espace, d’états et de transition[Quesnel et al., 2004]

Besoin de définir un bus logiciel commun


Intégration opérationelleDEVS-Bus

Schéma conceptuel du bus DEVS (modifié d’après[Kim and Kim, 1998])



Les capsules ou wrappers:

sont des modèles DEVS classiques

font le lien entre un simulateur DEVS et un programme existant(traduction des notions de temps, d’états et de transitions).

l’état d’un wrapper est l’union de son état et du composant encapsulé


Intégration opérationelleExemple : couplage avec une base de données

Graphe d’états d’un wrapper autour d’une base de données SQL.


Intégration opérationelleExemple : wrapping d’un réseau de Petri

Traduction :I Événement d’entrée en jetons (fonction de transition externe)I Fonction de transition interne (évolution du marquage)I Fonction d’avancement du temps→ introduction du temps ?I Fonction sortie en fonction du marquage



Les agents dans DEVS [Duboz et al., 2004, Duboz et al., 2006]


Intégration formelleVers du "tout en DEVS"


Intégration formellemapping : Définition

Reformalisation d’un système d’écriture dans un autre

Préservation de la dynamque des états – transitions

Homomorphisme (niveau 3)

Pas forcement d’isomorphisme au niveau du modèle couplé

Il s’agit essentiellement de traduire une sémantique particulière dansDEVS


Exemples de reformalisation

Les automates à états finis

Les automates cellulaires

Les systèmes à temps discrets

Les chaînes de Markov temporisées


Exemples de reformalisationLes réseaux de Petri [Jacques and Wainer, 2002]

Bien adapté pour la simulation de la concurence des évènements

Trois éléments : les places, les transitions et les arcs

Une place à 0 ou + entrées et sorties

Une transition peut avoir 0 ou + entrées et sortie (si 0 sortie alorsc’est un puit)

Le mouvements des jetons (ressource par exemple) décrit ladynamique du système sur les places (lieux par exemple)

Une transition est permise si au moins un jeton est présent sur unedes ses places connectée en entrée

Quand une transition est déclanchée, elle retire un jeton de chaqueplace connectée en entrée et en dépose un sur chaque placeconnectée en sortie.


Exemples de reformalisationLes réseaux de Petri

une place peut être formalisée par:

M =< X ,S,Y , δint , δext ,D, λ >

X = IN ∈ N+

Y = OUT ∈ N+

S = tokens ∈ N+0 ∪ id ∈ N+

tokens est le nombre de jetonsid est l’identifiant de la place



dext (s,e,x) retrieve id and number of tokens from messagecase id = 0 /* generic message */increment tokens

hold in active 0 /* to advertise the numberof tokens */

case id != 0 /* specific message */id matches id of this place?no: disregard the messageyes: decrement tokens by the number of

tokens specified if there are enough. Otherwisethrow an exception.

hold in active 0 /* to advertise the numberof tokens */

dint (s) lambda(s) combine id and tokens state variables in one messageand send on the out port.



une transition peut être formalisée par:

M =< X ,S,Y , δint , δext ,D, λ >

X = IN0 ∈ N+, IN1 ∈ N+, IN2 ∈ N+, IN3 ∈ N+, IN4 ∈ N+

Y = OUT1 = 1,OUT2 = 2,OUT3 = 3,FIRED ∈ N+

S = inputs ∈ N+0 ∪ enable ∈ bool

inputs nombre de place en entréeenable transition possible ou non



IN1 combien de jeton dans la place ?

IN2 idem mais modélise une double connexion

IN3 idem mais modélise une triple connexion

IN4 idem mais modélise une quadruple connexion

IN0 inibiteur (pas de jeton sur la place)

OUT1 donne un jeton

OUT2 donne 2 jetons

OUT3 donne 3 jetons

OUT4 donne 4 jetons

fired suprime les jetons de la place en entrée



dext (s,e,x) case port

in0: set arcwidth (temp var) to 0.in1: set arcwidth (temp var) to 1.in2: set arcwidth (temp var) to 2.in3: set arcwidth (temp var) to 3.in4: set arcwidth (temp var) to 4.

- extract id (place of origin) and number of tokensfrom the message.First message we get from this id?yes: increment inputs.no: continue- save id, arcwidth and number of tokens in database.- scan the entire database to determine if all inputplaces have enough tokens to enable the transition.



transition is enabled ?yes: set enabled to truehold in (active, random (0 â 60 sec))no: set enabled to falsepassivate

dint (s)

inputs = 0?yes: /* transition is a source */hold in (active, random (0 â 60 sec))no: passivate

lambda(s) - send 1 on out1 port.- send 2 on out2 port.- send 3 on out3 port.- send 4 on out4 port.- go through the database and send a message toevery input place via the fired port.


Points importants non abordés ici

Universalité de DEVS

Validation

Vérification

Approximation (savoir vivre avec l’erreur)

Les cadres expérimentaux


Barros, F. J. (1995).Dynamic structure discrete event system specification: A newmodeling and simulation formalism for dynamic structure systems.In Proceedings of the 1995 Winter Simulation Conference, pages781–785.

Barros, F. J. (2003).Dynamic structure multiparadigm modeling and simulation.ACM Transactions on Modeling and Computer Simulation,13(3):259–275.

Duboz, R., Ramat, É., and Quesnel, G. (2004).Systèmes multi-agents et théorie de la modélisation et de lasimulation : une analogie opérationnelle.In Boissier, O. and Guessoum, Z., editors, Actes des douzièmesJournées Francophones sur les Systèmes Multi-Agents (JFSMA) -Systèmes multi-agents défis scientifiques et nouveaux usages, Paris.

Duboz, R., Versmisse, D., Quesnel, G., Muzzy, A., and Ramat, É.(2006).


Specification of dynamic structure discrete event multiagent systems.In Conference proceedings of Agent Directed Simulation (SpringSimulation Multiconference), Huntsville, Alabama, USA.

Fishwick, P. A. and Zeigler, B. P. (1992).A multi-model methodology for qualitative model engineering.ACM transaction on Modeling and Simulation, 2(1):52–81.

Jacques, C. and Wainer, G. A. (2002).Using the CD++ DEVS tookit to develop petri nets.In SCS Conference.

Kim, J. Y. and Kim, T. G. (1998).A heterogeneous simulation framework based on the DEVS bus andthe High Level Architecture.In Winter Simulation Conference, Washington, DC.

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Zeigler, B. P. (1976).Theory of Modeling and Simulation.Wiley Interscience.

Zeigler, B. P., Kim, D., and Praehofer, H. (2000).Theory of Modeling and Simulation: Integrating Discrete Event andContinuous Complex Dynamic Systems.Academic Press.


Théorie de la Modélisation et la Simulation

AuteursRaphaël Duboz [email protected]éderick Garcia [email protected] Quesnel [email protected]Éric Ramat [email protected]

LicenceCopyright (C) 2008 - INRA - Cirad - LIL

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