Flugantriebe und Gasturbinen

Dietmar K. Hennecke, Karl W rrlein o

GFAFachgebiet Gasturbinen und Flugantriebe Technische Universit t Darmstadt a 2. Auage WS 2000 / 2001

Prof. Dietmar K. Hennecke, Ph.D. Dr.-Ing. Karl W rrlein o Fachgebiet Gasturbinen und Flugantriebe Technische Universit t Darmstadt a

Ubersicht

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UbersichtIm vorliegenden Umdruck zur Vorlesung ,,Flugantriebe und Gasturbinen sollen Turboluftstrahltriebwerke und station re Gasturbinen behandelt werden, wobei auf erstere das haupts chlia a che Augenmerk gerichtet ist. Da aber sowohl die Flugtriebwerke, als auch die station ren und a Fahrzeuggasturbinen im wesentlichen aus den gleichen Komponenten bestehen, kann vieles, was f r Turboluftstrahltriebwerke gesagt wird, auch auf die station ren Gasturbinen angewandt u a werden. Der Vorlesungsumdruck ist in elf Kapitel unterteilt, wobei zun cht nur von Flugantrieben gea sprochen wird. In Kapitel eins, der Einleitung, werden der Vorlesungsgegenstand und die Zielsetzung, sowie die Bedeutung des Antriebs f r die Flugaufgabe besprochen. Dann werden anhand von Prinu zipskizzen und Bildern ausgef hrter Triebwerke die einzelnen Triebwerksarten erl utert. Daran u a schliet sich eine kurze Wiederholung der physikalischen Grundlagen an, wobei eine m glichst o genaue Denition der Erhaltungss tze im Mittelpunkt der Ausf hrungen steht. Die Anwendung a u dieser Erhaltungss tze wird sodann an je einem Strahl- bzw. Propellerantrieb demonstriert. a Kapitel zwei ist dem einfachen Strahltriebwerk gewidmet. Nach der Darstellung des prinzipiellen Aufbaus werden die einzelnen Zustands nderungen des Triebwerks besprochen und diese a zum thermodynamischen Kreisprozess zusammengesetzt, der anschlieend f r einen zu deu nierenden Auslegungspunkt optimiert wird. Das n chste Kapitel befasst sich mit den Komponenten des einfachen Strahltriebwerks. Obwohl a ein Teil dieser Komponenten speziell unter dem Gesichtspunkt der Strahltriebwerke behandelt werden (Einlauf und D se), k nnen die Ausf hrungen auch auf station re Gasturbinen angeu o u a wandt werden (Verdichter, Brennkammer und Turbine). In Kapitel vier wird das Betriebsverhalten besprochen. Diese Ausf hrunge gelten nat rlich unu u eingeschr nkt f r Flugtriebwerke und station re Gasturbinen. a u a Die im Kapitel f nf angesprochen Punkte Triebwerksregelung und Triebwerksstart sind speziell u aus der Sicht der Flugantriebe beschrieben. Das Gleiche gilt auch f r den im Kapitel sechs u beschriebenen Triebwerkseinbau, w hrend die Abhandlung uber den L rm im gleichen Kapitel a a nat rlich auch f r station re Gasturbinen G ltigkeit hat. u u a u Das siebte Kapitel ist den Abwandlungen des einfachen Strahltriebwerks gewidmet. Analysiert man die einzelnen Triebwerkstypen, wie z.B. das Strahltriebwerk mit Nachverbrennung, das Zweikreistriebwerk oder das Wellenleistungstriebwerk, so zeigt sich, dass alle diese Triebwerke als Kern einen ,,Gaserzeuger enthalten, wie er bereits im einfachen Strahltriebwerk vorhanden war. Durch das Anbringen zus tzlicher Komponenten ist es also m glich, sie aus dem einfachen a o Strahltriebwerk zu entwickeln. Kapitel acht befasst sich mit station ren Gasturbinen und schliet direkt an die Ausf hrungen a u uber Wellenleistungstriebwerke an, denn beide sind im Aufbau sehr ahnlich. Hier wird dis kutiert, unter welchen Bedingungen Gasturbinen zur Stromerzeugung im Spitzenlast- und im Grundlastbetrieb (in Kombination mit Dampfturbinen) eingesetzt werden k nnen. o

ii

Hennecke/W rrlein: ,,Flugantriebe und Gasturbinen o

Die Kapitel neun und zehn befassen sich zur Abrundung der Flugantriebe mit Staustrahl- und Raketentriebwerken. Das Staustrahltriebwerk zeichnet sich durch seine Eignung f r sehr hohe u Flugmachzahlen aus. Als Nachteil muss aber das Fehlen des Startschubs angegeben werden, so dass Flugk rper immer mit einem zweiten Antrieb f r den Start ausger stet sein m ssen. Die o u u u Vorteile der Raketen in dieser Vorlesung werden nur chemische Raketenantriebe besprochen sind der fehlende Eintrittsimpuls, so dass auch dann noch ein Schub vorhanden ist, wenn die Rakete schneller als ihr Austrittsstrahl iegt und die Unabh ngigkeit von der Erdatmosph re. a a Letzteres bedingt aber auch, da neben dem Brennstoff auch der Sauerstoff an Bord der Rakete mitgenommen werden muss, dass die Brennzeit der Rakete sehr begrenzt ist. Den Abschluss bildet ein Literaturverzeichnis, in dem alle zur Erstellung des Umdrucks beutzten B cher in alphabetischer Reihenfolge aufgelistet sind. u

Darmstadt, im Herbst 1999

INHALTSVERZEICHNIS

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Inhaltsverzeichnis1 Einleitung 1.1 1.2 Gegenstand und Zielsetzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bedeutung des Antriebs f r die Flugaufgabe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . u 1.2.1 1.2.2 1.3 1.4 Der Schwebeug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Erh hung der Fluggeschwindigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 1 1 2 3 6 7 9 9 12 22 25 25 33 38 38 39 40 42 42 45 48 50 55 59

Arten der Flugantriebe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Theoretische Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1 1.4.2 1.4.3 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Physikalische Grundgesetze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Beschreibung der Eigenschaften des Fluids . . . . . . . . . . . . . . .

1.5

Schubkraft, Leistung und Wirkungsgrad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.1 1.5.2 Strahlantriebe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Propellerantriebe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 Das einfache Strahltriebwerk 2.1 2.2 Schematischer Aufbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kreisprozess und Zustands nderungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a 2.2.1 2.2.2 2.2.3 2.2.4 2.2.5 2.2.6 2.3 2.4 Zustands nderung im Verdichter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a Zustands nderung in der Turbine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a Der polytrope Wirkungsgrad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zustands nderung im Einlauf und in der D se . . . . . . . . . . . . . . a u Zustands nderung in der Brennkammer . . . . . . . . . . . . . . . . . a Der Kreisprozess im Auslegungspunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Optimierung des Kreisprozesses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Festlegung des Auslegungspunkts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

iv 3 Komponenten des einfachen Strahltriebwerks 3.1 3.2

INHALTSVERZEICHNIS61 61 61 61 65 68 71 72 75 78 78 79 85 88 92 93 97

Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Einlauf und D se . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . u 3.2.1 3.2.2 3.2.3 3.2.4 3.2.5 3.2.6 Die Schallgeschwindigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Str mung in Kan len mit ver nderlichem Querschnitt . . . . . . . . . o a a Der gerade Verdichtungssto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Der schr ge Verdichtungssto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a Entwurf des Lufteinlaufs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Entwurf der D se . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . u

3.3

Verdichter und Turbine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1 3.3.2 3.3.3 3.3.4 3.3.5 3.3.6 3.3.7 3.3.8 3.3.9 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Arbeitsweise der Turbomaschinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Elementare Theorie der Stufe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Trag geltheorie gerader Schaufelgitter . . . . . . . . . . . . . . . . . u Kennzahlen der Stufe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Das Stufenelement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Wirkungsweise der Turbomaschinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Das Schaufelgitter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 Das radiale Gleichgewicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

3.3.10 Verluste in Str mungsmaschinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 o 3.3.11 Besonderheiten der Verdichter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 3.3.12 Besonderheiten der Turbinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 3.4 Brennkammer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 3.4.1 3.4.2 3.4.3 3.4.4 3.4.5 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 Bestimmung der Brennkammerdruckverluste . . . . . . . . . . . . . . 117 Brennstoffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 Brennkammerauslegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 Totaltemperaturverteilung am Brennkammeraustritt . . . . . . . . . . . 132

INHALTSVERZEICHNIS4 Betriebsverhalten eines Strahltriebwerks 4.1 4.2

v 133

Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 Ahnliche Betriebszust nde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 a 4.2.1 4.2.2 4.2.3 Ahnlichkeitskennzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 Anwendung der Ahnlichkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 Zusammenarbeit von Verdichter und Turbine . . . . . . . . . . . . . . 137 141

5 Triebwerksregelung und -start 5.1 5.2

Triebwerksregelung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 Triebwerksstart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 144

6 Triebwerksinstallation und -l rm a 6.1

Triebwerkseinbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 6.1.1 6.1.2 Triebwerksanordnung am Flugzeug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 Triebwerksaufh ngung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 a

6.2

Triebwerksl rm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 a 6.2.1 6.2.2 6.2.3 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 L rmquellen beim Flugtriebwerk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 a Vorschriften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 157

7 Abwandlungen des einfachen Strahltriebwerks 7.1 7.2 7.3 7.4

Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 Strahltriebwerk mit Nachverbrennung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 Zweikreistriebwerk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 Wellentriebwerk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 171

8 Station re Gasturbinen fur Kraftwerke a 8.1 8.2 8.3

Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 Station re Gasturbinen zur Spitzenlastabdeckung . . . . . . . . . . . . . . . . 172 a Station re Gasturbinen zur Grundlastabdeckung . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 a

vi 9 Staustrahltriebwerke 9.1 9.2

INHALTSVERZEICHNIS179

Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 Komponenten des Staustrahltriebwerks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 9.2.1 9.2.2 9.2.3 Einlauf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 Brennraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 D se . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 u 186

10 Chemische Raketenantriebe

10.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 10.2 Arten der Raketenantriebe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 10.2.1 Fl ssigkeitsraketen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 u 10.2.2 Feststoffraketen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 10.2.3 Hybridraketen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 10.3 Schub, Leistung, Wirkungsgrade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 10.3.1 Schub . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 10.3.2 Leistungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 10.3.3 Wirkungsgrade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 10.4 Die ,,ideale Rakete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 10.5 D se eines Rakentriebwerks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 u 10.6 W rme bergang und K hlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 a u u 11 Literaturverzeichnis 197

Hennecke/W rrlein: ,,Flugantriebe und Gasturbinen o

1

1 Einleitung1.1 Gegenstand und ZielsetzungBei den in dieser Vorlesung behandelten Flugtriebwerken handelt es sich um W rmekraftmaa schinen, bei denen im Brennstoff chemisch gebundene Energie in kinetische Energie bzw. in mechanische Arbeit umgewandelt wird. Sie dienen zum Antrieb von Flugger ten, welche einen a extrem weiten Bereich abdecken.

Bewegte Masse 0.1 t bis 1 000 t Reichweite 0 km bis 15 000 km Fluggeschwindigkeit

o H henbereich Boden bis Weltraum An den Antrieb werden sehr hohe Anforderungen gestellt:

Leistung entsprechend der Flugaufgabe Hohe Zuverl ssigkeit (Luftfahrt!) a Kleine Baugr e (Volumen, Gestalt, Gewicht) o Niedriger Brennstoffverbrauch Geringe Umweltbelastung (Schadstoffe, L rm) a Niedrige Lebenswegkosten (Kaufpreis, Wartung etc.) Energie- und Luftversorgung des FlugzeugsIm Rahmen der Vorlesung werden folgende Ziele verfolgt:

Anwendung der physikalischen Grundlagen und ingenieurm ige Vorgehensweise am a Beispiel eines komplexen technischen Systems mit extremen Anforderungen. Flugtriebwerke sind hierf r sehr gut geeignet, da hier die verschiedenen Disziplinen sehr stark u ineinander greifen. Keine Spezialistenausbildung Die hier exemplarisch gezeigte Vorgehensweise ist auch auf andere Gebiete ubertragbar Flexibilit t des Ingenieurs! a Schwerpunkte der Vorlesung:Thermodynamik - 1. und 2. Hauptsatz - Kreisprozesse - Verbrennung - W rme bertragung a u

Str mungslehre inklusive Gasdynamik o Konstruktion

2

1 EINLEITUNG Weitere wichtige Gebiete:Festigkeit Werkstoffkunde Fertigungstechnik Regelungstechnik

Str mungsmechanik o Gasdynamik

Thermodynamik Brennstoffchemie

FlugantriebeRegelungstechnik Elektronik Thermische Turbomaschinen Maschinendynamik Konstruktionslehre Festigkeitslehre Werkstoffkunde

Bild 1.1: Zusammenwirken der Einzeldisziplinen

Bild 1.1 soll zeigen, dass bei den Flugtriebwerken viele Einzeldisziplinen zusammenwirken und dass sich deshalb dieses Fach zur Demonstration ingenieum igen Denkens und Arbeitens a hervorragend eignet.

1.2 Bedeutung des Antriebs fur die Flugaufgabe Ein Flugger t muss aus folgenden Gr nden mit einem Antrieb ausgestattet sein: a u a Uberwindung des Widerstands, den das Flugger t der Flugbewegung wegen des Auftriebs (induzierter Widerstand) und der Reibung entgegensetzt. (Beim Segelugzeug erfolgt der Antrieb durch Thermik plus Wind, bzw. durch das Schleppugzeug.)A

F gm

W

Bild 1.2: Kr fte an einem Flugzeug, A = Auftriebskraft, W = Widerstandskraft, F = Schubkraft, gm = a Gewichtskraft

Beschleunigung auf Fluggeschwindigkeit und Uberwindung der H hendifferenz. (z.T. o auch Verz gerung Schubumkehr) o

Bereitstellung von Luft und Energie f r Bordversorgung und Hilfsaggregate (Klimaanlau ge, Generatoren usw.).Prinzip des Antriebs Impuls durch Fluidbewegung. Beim Triebwerk CF6 werden z.B. ca. 500 kg/s bewegt.

1.2 Bedeutung des Antriebs f r die Flugaufgabe u

3

Eine andere Art der Kraft bertragung ist nicht sinnvoll. So w re eine Kraft bertragung durch u a u Reibung, wie sie bei Landfahrzeugen stattndet, wegen der geringen Reibung in der Luft nicht effektiv. Die f r den Antrieb erforderliche Energie kann aus u

Muskelkraft (nur f r Ultraleichtugzeuge, V gel, Insekten) u o Sonnenenergie (zu geringe Energiedichte) chemischer Energie W rmekraftmaschinen Gasturbinen, Staustrahltriebwerke, a Raketentriebwerke Kernenergie (bisher nur Studien) elektrischer Energie z.B. Ionenantriebe, bisher nur Experimentierstadium, f r Langzeitu Raumfahrt geeignet, sehr geringer Schubstammen. In dieser Vorlesung werden nur die chemischen Antriebe behandelt, da nur sie von Bedeutung sind. Eine wichtige Kenngr e bei der Beurteilung eines Antriebsger ts ist das Verh ltnis o a a

Dieses Verh ltnis wird stets nach oben getrieben. Folgerung: m glichst leicht bauen, hohe a o Str mungsgeschwindigkeiten, hohe Druckstufen im Verdichter. o

1.2.1 Der Schwebeug Das Problem des Fliegens beginnt bei der Fluggeschwindigkeit null dem Schweben.

F

GBild 1.3: Hubschrauber im Schwebeug

Bild 1.3 zeigt einen Hubschrauber im Schwebeug. Die Erzeugung der Kraft F ist dabei prinzipiell auf drei verschiedene Arten m glich: o

Hydrostatischer Auftrieb (Ballon) Impulskraft

4

1 EINLEITUNG Kraft infolge der Umstr mung eines K rpers, wobei die Druckverteilung auf den K rper o o o so ist, dass eine Kraft senkrecht zur Bewegungsrichtung entsteht. Um eine solche Auftriebskraft zu erreichen, muss eine Bewegung relativ zur Umgebung stattnden. (z.B. Rotation eines Trag gels Hubschrauberrotor) u

Physikalisches Grundprinzip des Schwebens: Bild 1.4 zeigt ein Flugger t, bei dem die Kraft , die der Gewichtskraft entgegengesetzt gea richtet ist, dadurch erzeugt wird, dass ein Fluidstrom mit der Geschwindigkeit ausstr mt. o Der Strahl ist v llig homogen in seinen thermodynamischen und str mungstechnischen Eigeno o schaften. Schubkraft Impulsgleichung; 2. Newtonsches Gesetz

F

c ; m; ; T; p=p ; A

Bild 1.4: Flugger t im Schwebeug a

a Massenstrom Kontinuit tsgleichung

(1.1)

Kinetische Energie im Strahl

(1.2)

(1.3) Die im austretenden Strahl enthaltene W rmeenergie kann nicht mehr genutzt werden. Die a ,,Thermodynamik spielt sich im Inneren des Flugger ts ab. a

Setzt man Gl. 1.2 in Gl. 1.1 ein, so ergibt sich:

(1.4)

Dies bedeutet, dass sich der Schub quadratisch mit der Geschwindigkeit andert. Gl. 1.2 in Gl. 1.3 eingesetzt liefert: (1.5) Gl. 1.5 sagt aus, dass sich die kinetische Energie mit der dritten Potenz der Strahlgeschwindigkeit andert und somit, bei Erh hung der Geschwindigkeit c, schneller ansteigt als die Schub o kraft F. Da die kinetische Energie dem Strahl in der Maschine zugef hrt werden muss (z.B. u durch den Brennstoff), kann sie als ein Ma f r den Verbrauch angesehen werden. In den voru stehenden Gleichungen k nnen zur Ver nderung der Schubkraft und der kinetischen Energie o a

1.2 Bedeutung des Antriebs f r die Flugaufgabe udie Ausstr mgeschwindigkeit c und die Austritts che A beeinusst werden. Die Dichte o a nur wenig ver nderlich. a

5 ist

Aus Gl. 1.4 l sst sich die Ausstr mgeschwindigkeit als Funktion der Strahl chenbelastung a o a bestimmen.

(1.6) Wie Gl. 1.6 zeigt, andert sich die Ausstr mgeschwindigkeit mit der Wurzel aus der Strahl o chenbelastung. a104

c [m/s]

Einflu der Strahlflchenbelastung auf die Strahlgeschwindigkeit103

1111111 0000000 1111111 0000000 K 1111111 0000000 00 1111111 0000000 30 1111111 0000000 T= 1111111 0000000 Raketen 1111111 0000000 1111111 0000000

c=102

F/A

T=10

28

8K

111 000 111 000 1111 111 0000 000 1111 111 0000 000 1111 0000 Zweikreishubtriebwerke 1111 0000 Geblse 1111 0000 1111 0000 Propeller 1111 0000gltig fr INA-Seehhe

11111 00000 K 00 11111 00000 10 11111 00000 T= 11111 00000 111 000Hubtriebwerke 11111 00000

11111 00000

Rotoren

1 10 102

10

3

10

4

10

5

10

6

10

7

F [N/m ] A

Bild 1.5: Ausstr m- oder Strahlgeschwindigkeit als Funktion der Strahl chenbelastung f r verschiedeo a u ne Antriebssysteme

F r das Verh ltnis von Schubkraft zum Leistungsaufwand erh lt man aus den Gln. 1.4 bis 1.6: u a a

(1.7)

Man sieht sofort, dass das Schub-Leistungs-Verh ltnis mit kleiner werdender Strahl chenbea a lastung ansteigt. Da bei Hubschraubern die Strahl chenbelastung klein ist (groe Rotoren), ist a das Schub-Leistungs-Verh ltnis gro. Umgekehrt ist dies bei Raketen. a Die Leistung wird dabei aus der im Kraftstoff chemisch gespeicherten Energie entnommen und ergibt sich nach Gl. 1.8 zu:

(1.8)

In dieser Gleichung bedeuten:

unterer Heizwert des verwendeten Brennstoffs innerer (thermischer) Wirkungsgrad Umsetzung von W rmeenergie in kinetische Energie oder mechanische Arbeit a Massenstrom des Brennstoffs

6

1 EINLEITUNG

Von besonderer Bedeutung ist die Gr e o , also der Quotient aus Brennstoffmassenstrom und Schub. Aus den Gln. 1.7 und 1.8 ergibt sich hierf r: u

1 F [N/W] E

T= 28 8K

Propeller Geblse

gltig fr INA-Seehhe

(1.9)

Rotoren

10

-1

Zweikreishubtriebwerke

10

-2T=Hubtriebwerke

10

00

KRaketen

10

-3

Einflu der Strahlflchenbelastung auf den erforderlichen Leistungsaufwand-4

T=

30

00

K

10

10

102

103

104

10 5

10

6

10

7

F [N/m 2] A

Bild 1.6: Leistungsaufwand als Funktion der Strahl chenbelastung f r verschiedene Antriebssysteme a u10-3

mB [kg/Ns] F

Einflu der Strahlflchenbelastung auf den Kraftstoffverbrauch10-4

10

-5

mB F/A = F Hui 2

1111111 0000000 1111111 0000000 K 1111111 0000000 00 1111111 0000000 30 1111111 0000000 T= 1111111 0000000 Raketen 1111111 0000000 1111111 0000000

10

-6

111 000 11111 00000 111 000 111 000 1111 111 0000 000 1111 111 0000 000 Zweikreishubtriebwerke 1111 0000 1111 0000 Geblse gltig fr 111111 1111 000000 0000 Propeller 111111 1111 000000 0000 8K INA-Seehhe 111111 1111 000000 0000 28 111111 000000 7 T= 111111 000000 H u= 4.1868 10 J/kg 111111 000000 Rotoren i = 0.25 111111 000000 111111 0000002 3 4 5 6 7

11111 00000 K 00 11111 00000 10 11111 00000 T= 11111 00000 Hubtriebwerke

11111 00000

10

-7

10

10

10

10

10

10

10

F [N/m ] A

Bild 1.7: Kraftstoffverbrauch als Funktion der Strahl chenbelastung f r verschiedene Antriebssysteme a u

Die nachfolgende Tabelle zeigt den Brennstoffverbrauch in Prozent der Abugmasse f r einen u zehnmin tigen Schwebeug. u Hubschrauber, Rotoren Propeller Hubstrahltriebwerke Raketentriebwerke

1.2.2 Erh hung der Fluggeschwindigkeit o Ausgangspunkt der Rechnung ist der unbeschleunigte Horizontalug mit der Geschwindigkeit . Die dabei auftretende Widerstandskraft

1.3 Arten der Flugantriebe muss durch die Schubkraft des Antriebs uberwunden werden. In Gl. 1.10 bedeuten:

7

(1.10)

120 000 F W 80 000 [N]

Widerstandsbeiwert Bezugs che f r den Widerstand a u FluggeschwindigkeitSchub mit Nachverbrennung 1.00 0.90 0.85

}F

F

40000 W 0 120 000 F W 80 000 [N] 40000 W 0 0.4 0.8 1.2 0.4 0.8 1.2

Nachbrenner ausgeschaltet

H = 0 km

0

1.6 Ma 2.0W 1.00 0.90 0.85

}F

F

H = 6 km0 1.6 Ma 2.0

120 000 F W 80 000 [N] 40000 W

H = 11 km1.00 0.90 0.85 F

}F

0 0 0.4 0.8 1.2 1.6 2.0

Ma

2.4

Bild 1.8: Schub und Widerstand eines Uberschallugzeugs

Die erforderliche Schubleistung ergibt sich dann zu:

(1.11)

Der Widerstandsbeiwert ist eine Funktion der Machzahl und steigt mit ihr ganz deutlich an. Dies hat zur Folge, wie aus Gl. 1.11 zu ersehen ist, dass f r den Schnellug sehr hohe Schubu leistungen notwendig werden.

1.3 Arten der FlugantriebeGrunds tzlich werden zwei Triebwerksarten unterschieden: a

Luftatmende (Durchstr m-) Triebwerke Nur Brennstoff wird im Flugger t mitgeo a nommen Raketen- (Ausstr m-) triebwerke Brennstoff und Sauerstofftr ger werden im Flugo a a a ger t mitgenommen Unabh ngigkeit von der Atmosph re a

8

1 EINLEITUNG

FlugantriebeDurchstr mantriebe o Energie an Bord, Sauerstoff aus der Umgebung Fluggeschwindigkeit kleiner als Strahlgeschwindigkeit Ausstr mantriebe o Energie und Sauerstofftr ger an Bord a Fluggeschwindigkeit gr er als Strahlo geschwindigkeit

Standschub

Kein Standschub

Standschub

Luftschraube Wellentriebwerk

Pulsierendes Staustrahltriebwerk

Flssigkeitsrakete

Zweistromtriebwerk

Staustrahltriebwerk

111111111111111 000000000000000 111111111111111 000000000000000 111111111111111 000000000000000 1111111111111111 0000000000000000 1111111111111111 0000000000000000Feststoffrakete

Hybridrakete

Einfaches Strahltriebwerk

Staustrahltriebwerk mit berschallverbrennung

Strahltriebwerk mit NachverbrennungBild 1.9: Einteilung der Flugantriebsarten

Die Bilder 1.10 und 1.11 zeigen zwei Beispiele ausgef hrter, moderner Triebwerke. u

1.4 Theoretische Grundlagen

9

Bild 1.10: BMW - Rolls - Royce (D) BR 715; Fantriebwerk , ,

,

,

Bild 1.11: Pratt&Whitney (USA) PW 4084; Fantriebwerk , ,

,

,

1.4 Theoretische Grundlagen1.4.1 Allgemeines Zur analytischen Behandlung der Antriebspropleme sind folgende physikalische Gesetze notwendig1 :

Satz von der Erhaltung der Masse Kontinuit tsgleichung a Zweites Newtonsches Gesetz Impulssatz1

Herleitung der Erhaltungss tze nach J.H. Spurk: ,,Str mungslehre a o

10

1 EINLEITUNG Satz von der Erhaltung des Drehimpulses Drallsatz Erster Hauptsatz der Thermodynamik Energiesatz Zweiter Hauptsatz der Thermodynamik Entropiesatz

Zur Beschreibung der Eigenschaften des Fluids ben tigt man weiterhin: o

Thermische und kalorische Zustandsgleichungen Die Abh ngigkeit der Stoffwerte (z.B. Z higkeit; W rmeleitf higkeit) von Druck und a a a a TemperaturEin Fluid (Fl ssigkeit bzw. Gas) ist dadurch gekennzeichnet, dass: u

keine Formfestigkeit vorhanden ist jede kleinste Schubkraft zu einer kontinuierlichen Verformung f hrt u der Widerstand von der Verformungsgeschwindigkeit abh ngig ist (z.B. Newtonsche Fl sa u sigkeiten Schubspannungen proportional dem Geschwindigkeitsgradienten)Fl ssigkeiten und Gase werden unter dem Oberbegriff Fluide zusammengefasst. Im allgemeiu nen kann zwischen beiden folgende Unterscheidung vorgenommen werden:

Fl ssigkeiten: u Gase:

inkompressibel

bei Druck nderungen erfolgen keine a Dichte nderungen a Druck- und Dichte nderungen sind a miteinander gekoppelt

kompressibel

Da die Fluide aus unz hligen Molek len aufgebaut sind, die sich in ungeregelter Bewegung a u benden, bestehen zwei M glichkeiten der mathematischen Beschreibung: o

Kinetische Theorie Verfolgung der Molekularbewegung vom Ausgangszustand an (statistische Methode). Kontinuumstheorie Makroskopische Betrachtungsweise. Einf hrung sinnvoller konu tinuierlicher Eigenschaften (Mittelwertbildung).Die Idee des Kontinuums soll am Beispiel der Dichte anhand von Bild 1.12 n her erl utert a a in einem Volumen das den Punkt P enth lt, so a werden: Betrachtet man die Fluidmasse wird durch den Quotienten die mittlere Dichte des Fluids im Volumen deniert. Setzt a a man nun voraus, dass das Volumen zun chst relativ gro war und l sst es langsam kleiner werden, so andert sich, wie Bild 1.12 zeigt, dieser Quotient. Dies bedeutet, dass die Dichte von der Gr e des Volumens abh ngig ist. Wird das Volumen so klein, dass in ihm nur noch o a einige wenige Molek le enthalten sind, so andert sich die Dichte auch noch zus tzlich mit der u a Zeit, da zu jedem Zeitpunkt unterschiedlich viele Molek le im Volumen enthalten sind. u

1.4 Theoretische Grundlagen

11

P

Volumen V Masse m m V

Bereich der Molekulareffekte

Bereich des Kontinuums

V V

Bild 1.12: Denition der Dichte an einem Punkt des Fluids

Nimmt man an, dass das kleinste Volumen, bei dem das Fluid noch als Kontinuum betrachtet werden darf, ist, so kann die Dichte am Punkt P nach Gl. 1.12 deniert werden.

(1.12)

Diese Denition erkl rt die Idee des Kontinuums und zeigt, dass es sich dabei um ein gedachtes a aber sehr n tzliches Konzept handelt. u Entsprechendes gilt f r alle anderen Eigenschaften und Zustandsgr en des Kontinuums, wie u o z.B. Geschwindigkeit, Druck, Temperatur, Enthalpie, Z higkeit, W rmeleitf higkeit usw. Im a a a Kontinuum k nnen alle Zustandsgr en als stetige Funktionen von Ort und Zeit angegeben o o werden. Grenzen der Anwendbarkeit dieses Konzepts: Die Kontinuumstheorie versagt, wenn die kleinsten Abmessungen des Problems in der Gr eno ordnung der freien Wegl nge der Molek le liegen (z.B. Vakuum). Nach der kinetischen Gasa u theorie ist die dynamische Z higkeit von der Gr enordnung a o

wobei die mittlere Molekulargeschwindigkeit und die mittlere freie Wegl nge der Moa a lek le darstellt. Da weiterhin proportional der Schallgeschwindigkeit ist, erh lt man den u a nachfolgenden Ausdruck f r die Reynoldszahl, wenn mit die charakteristische L nge eines u umstr mten K rpers bezeichnet wird: o o

(1.13)

Die Grenze der G ltigkeit ergibt sich damit zu u

Bei Str mungsproblemen kann als kleinste charakteristische L nge die Grenzschichtdicke o a angesehen werden. F r die laminare Str mung l ngs einer ebenen Platte gilt daf r: u o a u

Setzt man diese Beziehung in Gl. 1.13 ein, so erh lt man die Abgrenzung nach Tsien: a

(1.14)

12

1 EINLEITUNG

Diese Gleichung sagt aus, dass bei der Anwendung der Kontinuumstheorie die Grenzschichten mindestens hundertmal dicker sein m ssen als die freie Wegl nge der Molek le. u a u F r die mathematische Beschreibung des Kontinuums existieren zwei Betrachtungsweisen und u zwar: Die Methode von Lagrange: Betrachtet Teilchen unver nderter Identit t und beschreibt f r jeden Augenblick Ort, Kr fte, a a u a Zustand und Bewegung dieser Teilchen. Die Methode von Euler: Betrachtet einen raumfesten Bereich und beschreibt f r jeden Augenblick Kr fte, Zust nde und u a a Bewegungen jener Teilchen, welche sich im betrachteten Augenblick gerade am betrachteten Ort benden. F r die Berechnung von Antriebsproblemen ist die Eulersche Betrachtungsweise bequemer, da u Fluide nicht formbest ndig sind, es also schwierig w re, Teilchen gleicher Identit t zu verfola a a gen.

1.4.2 Physikalische Grundgesetze 1.4.2.1 Satz von der Erhaltung der Masse Man betrachtet im folgenden immer dasselbe St ck des Fluids, das vom Rest des Fluids durch u eine st ckweise glatte, geschlossene Fl che abgetrennt ist. Der eingeschlossene Teil des Fluids u a besteht immer aus denselben Fluidteilchen; sein Volumen ist also ein materielles Volumen, seine Ober che eine materielle Ober che. Im Laufe der Bewegung andert sich die Gestalt a a des materiellen Volumens. Das Gebiet, das der betrachtete Teil des Fluids zur Zeit einnimmt u bezeichnet man mit . Die Masse des abgegrenzten St ckes des Fluids ist die Summe der uber die Menge der materiellen Punkte im K rper. o Massenelemente

(1.15)

Da die Dichte eine stetige Funktion des Ortes und der Zeit sein soll, kann die Masse auch als u Integral der Dichte uber dem vom K rper eingenommenen Bereich ausgedr ckt werden. o

(1.16)

Nach dem Erhaltungssatz der Masse ist die Masse des abgegrenzten St ckes des Fluids zeitlich u konstant. Es gilt also:

(1.17)

1.4 Theoretische Grundlagen

13

In Gl. 1.17 wird von der Tatsache gebrauch gemacht, dass sich das Ergebnis der Integration nicht andert, wenn anstatt des zeitlich ver nderlichen Bereichs ein fester Bereich a gew hlt wird, der zur Zeit mit dem ver nderlichen Bereich zusammenf llt. a a a

Gl. 1.17 gilt nun bei jeder beliebigen Form des Volumens, das von dem betrachteten Fluid eingenommen wird, d.h. bei jeder beliebigen Wahl des Integrationsbereichs . Dies bedeutet, dass in Gl. 1.17 der Integrand selbst verschwinden muss. Damit erh lt man die differentielle a Form des Erhaltungssatzes der Masse.

(1.18)

Diese Beziehung wird auch als Kontinuit tsgleichung bezeichnet. a Mit der materiellen Ableitung der Dichte wird aus Gl. 1.18

Wenn nun

(1.19)

(1.20)

ist, so andert sich die Dichte eines materiellen Teilchens im Laufe seiner Bewegung nicht. Dies ist aber gleichbedeutend mit (1.21)

d.h. die Str mung ist volumenbest ndig. Das str mende Fluid (Gas oder tropfbare Fl ssigkeit) o a o u kann dann als inkompressibel betrachtet werden. Ist also Gl. 1.20 erf llt, so nimmt die Kontiu nuit tsgleichung die einfache Form nach Gl. 1.21 an, in der keine Ableitungen nach der Zeit a auftreten, die aber selbstverst ndlich auch f r instation re Str mungen gilt a u a o f r tropfbare Fl ssigkeiten erf llt. Aber auch bei u u u In der Regel ist die Bedingung Gasen kann sie, wie die nachfolgende Absch tzung zeigt, f r kleine Machzahlen a u eingehalten werden.

Unter Kompressibilit t versteht man die Zusammendr ckbarkeit eines Fluids durch auere a u Druckkr fte. Ein Ma daf r ist der sogenannte ,,Volumen-Elastizit tsmodul , der durch Gl. a u a 1.22 deniert ist. (1.22)

F r Gase ist, wenn die Volumen nderung relativ klein bleibt und bei konstanter Temperatur u a erfolgt, der -Modul gleich den Druck . Wegen der Erhaltung der Masse gilt weiter

und somit

so dass man Gl. 1.22 auch in folgender Form schreiben kann.

(1.23)

14

1 EINLEITUNG

Eine Behandlung des Str mungsvorgangs als inkompressibel ist zul ssig, solange die relatio a . Nun ist die mit der Str mung verbundene o ve Dichte nderung sehr klein bleibt, a o , so dass Gl. 1.23 in Druck nderung von der Gr enordnung des Staudrucks, a folgender Form wiedergegeben werden kann:

(1.24)

Nach der Laplaceschen Formel f r die Schallgeschwindigkeit ist u a . Damit erh lt man die Bedingung: (1.25) Die Kompressibilit t kann also auch bei Str mungen von Gasen vernachl ssigt werden, falls a o a

ist. F r u ergibt sich z.B. . Diesen Wert von sollte man als auerste Grenze der Str mungsmachzahl ansehen, bis zu welcher man eine Gasstr mung inkompressibel o o behandeln kann. Die Integralform der Kontinuit tsgleichung erh lt man, indem Gl. 1.17 mit Hilfe des Reynoldsa a schen Transporttheorems

(1.26)

a umgeformt wird. In Gl. 1.26 bedeuten die orientierte Begrenzungs che von , ein Tensorfeld beliebiger Stufe ( Tensor nullter Stufe) und den Normalenvektor, der nach auen positiv zu z hlen ist. a

(1.27)

oder

(1.28)

Man betrachtet hier einen festen Integrationsbereich, also ein sogenanntes Kontrollvolumen. Die Aussage von Gl. 1.28 kann wie folgt interpretiert werden: Die zeitliche Anderung der Masse im Kontrollvolumen ist gleich der Differenz der pro Zeiteinheit durch die Ober che des a Kontrollvolumens ein- und austretenden Massen. Bei station ren Str mungen ist a o . Somit lautet die Integralform der Kontinuit tsgleichung a

(1.29)

d.h., in das Kontrollvolumen iet pro Zeiteinheit ebensoviel Masse ein wie aus. 1.4.2.2 Satz von der Erhaltung des Impulses

1.4 Theoretische Grundlagen

15

Die Bilanz des Impulses ist ein reiner Erfahrungssatz der klassischen Mechanik und lautet: ,,In einem Inertialsystem ist die zeitliche Anderung des Impulses eines K rpers gleich der auf o diesen K rper wirkenden Kraft. Dieser Satz wird durch Gl. 1.30 in symbolischer Schreibweise o wiedergegeben.

Da der K rper ein St ck des Fluids ist, das immer aus denselben materiellen Punkten besteht, o u kann sein Impuls berechnet werden.

(1.30)

(1.31)

Die auf den K rper wirkenden Kr fte sind Massen- bzw. Volumenkr fte und Ober chen- bzw. o a a a Kontaktkr fte. Massenkr fte sind Kr fte mit groer Reichweite, sie wirken auf alle materiela a a len Teilchen im K rper und haben in der Regel ihre Ursache in Kraftfeldern. Das wichtigste o Beispiel ist das Erdschwerefeld. Andere technisch wichtige Massen- bzw. Volumenkr fte treten a aufgrund elektromagnetischer Felder auf, oder sind sogenannte Scheinkr fte (z.B. die Zentria fugalkraft), wenn die Bewegung auf ein beschleunigtes Koordinatensystem bezogen wird. Die Kontakt- bzw. Ober chenkr fte werden von der unmittelbaren Umgebung auf den betrachteten a a Teil des Fluids ausge bt. u Die gesamte Kraft, die an dem betrachteten Teil des Fluids angreift, erh lt man durch Intea gration uber das vom Fluid eingenommene Volumen, bzw. uber dessen Ober che. Mit als a Massenkraft und als Spannungsvektor wird:

(1.32)

Mit den Gln. 1.30 bis 1.32 nimmt dann der Impulssatz die folgende Form an:

(1.33)

bzw., wenn auch auf der linken Seite der zeitlich ver nderliche Bereich durch einen a festen Bereich ersetzt wird, der zur Zeit mit dem ver nderlichen Bereich zusammenf llt: a a

(1.34)

Nun gilt f r den Spannungsvektor u

wobei der Normalenvektor und der Spannungstensor ist, f r den in Matrixform geschrieben u werden kann:

Die Elemente der Hauptdiagonalen sind die Normalspannungen, die der Nebemdiagonalen die Schubspannungen.

16

1 EINLEITUNG

Mit Hilfe des Gauschen Integralsatzes kann das Ober chenintegral in Gl. 1.34 in ein Volua menintegral umgewandelt werden.

(1.35)

Da der Integrand stetig sein soll und auerdem der Integrationsbereich beliebig angenommen werden kann, ist Gl. 1.35 gleichbedeutend mit der Differentialform des Impulssatzes in Symbolschreibweise,

(1.36)

oder in Indexnotation.

(1.37)

Der Integralform des Impulssatzes kommt in der technischen Anwendung insbesondere dann eine erhebliche Bedeutung zu, wenn sich die auftretenden Integrale als Ober chenintegrale a schreiben lassen. Dazu wird Gl. 1.33 mit dem Reynoldsschen Transporttheorem umgeformt.

(1.38)

Das erste Integral der linken Seite kann nicht in ein Ober chenintegral umgewandelt werden, a daher muss dieses Integral verschwinden, was bei einer station ren Str mung der Fall ist. Dagea o gen kann das erste Integral der rechten Seite als Ober cheintegral geschrieben werden, wenn a die Volumenkraft als Gradient einer skalaren Funktion berechnet werden kann, d.h., wenn sie ein Potential hat. Bezeichnet man das Potential der Volumenkraft mit , wobei

(1.39)

gelten soll, so l sst sich das Volumenintegral als Ober chenintegral schreiben. a a

(1.40)

Damit kann Gl. 1.38 in folgende Form umgeschrieben werden:

(1.41)

Die Bedeutung des Impulssatzes in dieser Form wird einsichtig, wenn man bedenkt, dass mit a Kenntnis des Impulsusses und des Potentials die Kraft an der Ober che des Kontrollvolumens bekannt ist. Will man nur die Kraft wissen, die vom Impulsuss alleine herr hrt, so wird u aus Gl. 1.41: (1.42)

Dies stellt den Impulssatz in der am h ugsten benutzten Form dar. Der groe Vorteil von Gl. a o a 1.42 ist, dass die oft unbekannten eventuell auch nicht errechenbaren Str mungsvorg nge im Inneren des Kontrollvolumens nicht in Erscheinung treten. Lediglich die Gr en an der o

1.4 Theoretische Grundlagen

17

Ober che sind von Bedeutung und, da das Kontrollvolumen frei w hlbar ist, kann man im a a konkreten Fall die Ober che so legen, dass die Integrale leicht auszuwerten sind (siehe auch a 1.5.1.2.2). 1.4.2.3 Satz von der Erhaltung des Dralls Der Drallsatz stellt den zweiten, vom Impulssatz unabh ngigen Erfahrungssatz der klassischen a Mechanik dar. Er lautet: Im Inertialsystem ist die zeitliche Anderung des Dralls gleich dem auf den K rper wirkenden Moment der aueren Kr fte. In symbolischer Schreibweise wird dies o a durch Gl. 1.43 wiedergegeben.

Man berechnet den Drall

(1.43)

als Integral uber den vom uiden K rper eingenommenen Bereich. o

(1.44)

Der Drall nach Gl. 1.44 ist auf den Kooerdinatenursprung bezogen; auf denselben Punkt muss deshalb auch das Moment der aueren Kr fte bezogen werden. a

(1.45)

Damit nimmt der Drallsatz die durch Gl. 1.45 dargestellte Form an.

(1.46)

Wie dem Impulssatz in integraler Form kommt auch der Integralform des Drallsatzes in der technischen Anwendung eine besondere Bedeutung zu. Von Interesse ist dabei nur das Moment, das bei station rer Str mung auf den Dralluss durch die Kontroll che zur ckzuf hren ist. Er a o a u u lautet in symbolischer Scheibweise

(1.47)

und in Indexnotation.

(1.48)

Eine spezielle Form des Drallsatzes nach Gl. 1.48 ist die Eulersche Momentengleichung, die im Abschnitt 3.3.2.1 hergeleitet wird. 1.4.2.4 Satz von der Erhaltung der Energie Da mechanische Energie in W rme und W rme in mechanische Energie umgewandelt wera a den kann, sind die bisher besprochenen Erhaltungss tze der Mechanik f r eine vollst ndige a u a Beschreibung der Bewegung eines Fluids nicht ausreichend. Als dritter, grundlegender Erfahrungssatz soll deshalb der Erhaltungssatz der Energie hergeleitet werden, der verbal wie folgt

18

1 EINLEITUNG

formuliert werden kann: ,,Die zeitliche Anderung der gesamten Energie eines Korpers ist gleich der Leistung der aueren Kr fte plus der pro Zeiteinheit von auen zugef uhrten Energie. a Mit als innere Energie pro Masseneinheit ist die innere Energie eines materiellen Teilchens durch gegeben. Die innere Energie eines K rpers, d.h. eines eingegrenzten Teils des o Fluids, ergibt sich dann als Integral uber den vom K rper eingenommenen Bereich. o

(1.49)

Um die gesamte Energie des betrachteten Teilchens zu erhalten muss auch die kinetische Energie ber cksichtigt werden, die f r ein materielles Teilchen durch u u gegeben ist. F r die u kinetische Energie des K rpers erh lt man dann: o a

(1.50)

Als auere Kr fte treten die Ober chen- und Volumenkr fte auf. Die Leistung der Ober a a a chenkr fte ist a a , die der Volumenkr fte a . Die Leistung der aueren Kr fte a am K rper lautet dann: o

(1.51)

F r die von auen zugef hrte Energie soll der W rmestrom durch ein Element der Ober che u u a a gilt, wobe als W rmestromvektor bezeichnet wird. Das a eingef hrt werden, f r den u u negative Vorzeichen ist notwendig, damit einieende Energie ( und bilden einen stumpfen Winkel) positiv wird. Somit ergibt sich die dem K rper pro Zeiteinheit zugef hrte W rmemenge o u a zu: (1.52)

Der Erhaltungssatz der Energie kann damit wie folgt angeschrieben werden:

(1.53)

Setzt man in Gl. 1.53 die Gln. 1.49 bis 1.52 ein, so erh lt man: a

(1.54)

Hier wurde wieder davon Gebrauch gemacht, dass f r den zeitlich ver nderlichen Bereich u a ein fester Bereich gew hlt werden kann, der zum Zeitpunkt mit dem ver ndera a lichen Bereich zusammenf llt. Wird im ersten Oberf chenintegral der Spannungsvektor durch a a den Spannungstensor ausgedr ckt, so lassen sich die beiden Ober chenintegrale mit Hilfe des u a Gauschen Satzes in Volumenintegrale umwandeln.

(1.55)

1.4 Theoretische Grundlagen

19

Bei stetigem Integranden und beliebigem Integrationsbereich muss der Integrand verschwinden und man erh lt die differentielle Form des Energiesatzes: a

F hrt man in Gl. 1.55 die Enthalpie u nungstensor aufspalten l sst in a

der Tensor der Reibungsspannungen ist, so ergibt sich unter Ber cksichtigung der u wobei : Kontinuit tsgleichung 1.19 und der Denition der Totalenthalpie a

(1.56) ein und ber cksichtigt, dass sich der Spanu (1.57)

(1.58)

In Gl. 1.58 bedeuten:

(1.59)

die Anderung der Totalenthalpie im Kontrollvolumen,

(1.60)

die Anderung der potentiellen Energie, wobei stellt,

das Potential der Massenkraft dar (1.61)

die Wellenleistung,

(1.62)

die Reibleistung und

(1.63)

20 die zugef hrte W rme. F r eine station re Str mung ergibt sich: u a u a o

1 EINLEITUNG

(1.64)

und, ist dar ber hinaus die Totalenthalpie sowohl am Entrittsquerschnitt als auch am Austrittsu querschnitt konstant, liegt also eine eindimensionale Str mung vor, der aus der Thermodynamik o bekannte 1. Hauptsatz f r station re Flieprozesse. u a

und der kine tischen Energie zur Totalenthalpie zusammengefasst werden. Da jedoch die potentielle Energie keine Masseneigenschaft wie die kinetische und die innere Energie ist, sie ist der Masse vielmehr erst aufgrund des aueren Kraftfeldes zugeordnet, ist die Schreibweise wie in Gl. 1.65 vorzuziehen. F r ein reibungsfreies, adiabates System erh lt man: u a

o Die potentielle Energie k nnte zwar formal mit der statischen Enthalpie

(1.65)

(1.66)

Dies bedeutet, dass bei einem adiabate, reibungsfreien System die technische Arbeit direkt aus der Anderung der Summe aus Totalenthalpie und potentieller Energie berechnet werden kann. Dabei ist unter reibungsfrei zu verstehen, dass an den Systemgrenzen keine Reibung auftritt. Reibung im Inneren des Kontrollvolumens auert sich durch eine Anderung der Totalenthalpie und ist deshalb in Gl. 1.66 ber cksichtigt. u 1.4.2.5 Satz von der Erhaltung der Entropie Geht man von der Gibbschen Relation

(1.67)

aus, die sowohl f r reversible als auch f r irreversible Prozesse gelten soll, und wendet diese u u auf ein materielles Teilchen an, so f hrt das zu folgender Beziehung: u

(1.68)

, wobei Mit Hilfe des 1. Haupsatzes f r geschlossene Systeme u (mit als Dissipationsfunktion) und gesetzt werden kann, wird daraus:

(1.69)

Den letzten Term der rechten Seite kann man mittels der Identit t a

(1.70)

umformen und erh lt so die Bilanzgleichung der Entropie. a

(1.71)

1.4 Theoretische Grundlagen

21

In dieser Gleichung erscheint die zeitliche Anderung der Entropie eines materiellen Teilchens aufgespalten in zwei Beitr ge: Eine Entropieproduktion mit der Rate a

die immer gr er oder gleich null ist und eine Divergenz eines Entropiestroms , die gr er, o o gleich oder kleiner null sein kann.

(1.72)

(1.73)

Gl. 1.72 gibt dabei die irreversiblen Vorg nge infolge Reibung und W rmeleitung wieder. Hina a und . Die erste Unreichend f r die Ungleichung 1.72 sind die Bedingungen u gleichung sagt aus, dass durch Reibung mechanische Energie in W rme dissipiert werden kann, a aber umgekehrt aus W rme keine mechanische Energie durch Reibung entstehen kann, und a die zweite Ungleichung, dass W rme nur in Richtung fallender Temperatur ieen kann. Gl. a 1.73 stellt die Entropie nderung dar, die ein Teilchen durch seine Umgebeung erf hrt, sie kann a a positiv, null oder negativ sein.

Die Entropie nderung eines abgegrenzten Teils des Fluids erh lt man durch Integration von Gl. a a 1.69 uber das vom Fluid eingenommene Volumen.

(1.74)

Da, wie gezeigt, das Volumenintegral auf der rechten Seite nie negativ werden kann, ergibt sich aus Gl. 1.74 sofort die Aussage des zweiten Hauptsatzes der Thermodynamik:

(1.75)

Dabei gilt das Gleichheitszeichen f r reversible Prozesse und das Gr erzeichen f r irreversible u o u Prozesse. Wird weder W rme zu- noch abgef hr ist also der Prozess adiabat, so verschwindet a u das Ober chenintegral auf der rechten Seite von Gl. 1.75 und man erh lt: a a

(1.76)

Diese Beziehung gibt die bekannte Tatsache wieder, dass bei einem adiabaten Prozess die Entropie nicht abnehmen kann. (In den Gln. 1.74 und 1.75 wurde zur Unterscheidung der Entropie und der Ober che des Kontrollvolumens letztere mit gekennzeichnet.) a

Der zweite Hauptsatz der Thermodynamik beruht, ebenso wie der erste Hauptsatz, auf der Erfahrung. Nach M. Planck kann er wie folgt ausgedr ckt werden: u ,,Alle Prozesse, bei denen Reibung auftritt, sind irreversibel und nach C. Clausius ,,W rme kann nie von selbst von einem K rper niederer auf einen K rper h herer a o o o Temperatur ubergehen. Der zweite Hauptsatz liefert also Hinweise, in welche Richtung ein Prozess ablaufen kann.

22 1.4.3 Beschreibung der Eigenschaften des Fluids

1 EINLEITUNG

Unter Fluiden k nnen alle Fl ssigkeiten und Gase verstanden werden. Sie sind grunds tzlich o u a folgendermaen zu unterscheiden: Fl ssigkeiten u

inkompressibel; dies gilt auch f r Gase u bei kleinen Str mungsgeschwindigkeiten o

ideale Gase

kompressibel; Idealisierung der wirklichen Gase f r Dr cke u u und Temperaturen bei Flugantrieben sind diese Einschr nkungen erf llt a u

1.4.3.1 Die thermische Zustandsgleichung des idealen Gases Der thermische Zustand des Fluids ist im Kontinuum lokal als Grenzwert deniert (siehe Herleitung der lokalen Dichte ) und durch die direkten Zustandsgr en Druck , Volumen und o o Temperatur festgelegt. Bei den Gr en und handelt es sich um sogenannte intensive Zustandsgr en. Sie sind unabh ngig von der Gr e des Systems und behalten daher bei der o a o Teilung des Systems in Untersysteme ihre Werte unver ndert bei. Der funktionelle Zusammena hang zwischen den direkten Zustandsgr en wird durch thermische Zustandsgleichungen der o Form

wiedergegeben. Aus den direkten Zustandsgr en k nnen die abgeleiteten Zustandsgr en ino o o nere Energie , Enthalpie und Entropie bestimmt werden. Bei ihnen handelt es sich, ebenso wie beim Volumen um extensive Zustandsgr en, die proportional der im System enthalteo nen Masse sind. Dividiert man eine extensive Zustandsgr e durch die im System enthaltenen o Masse, so erh lt man eine spezische Zustandsgr e, welche durch einen kleinen Buchstaa o ben gekennzeichnet wird. Eine wichtige spezische Zustandsgr e ist das spezische Volumen o , deren Kehrwert die Dichte ist. Weitere spezische Gr en sind die spezische o , die spezische innere Energie und die spezische Entropie Enthalpie .

Bei niedrigen Dr cken zeigen alle Gase ein sehr einfaches Verhalten, das durch die ideale Gasu gleichung beschrieben werden kann.

Wobei die Gaskonstante eines speziellen Gases darstellt, die nach Gl. 1.78 aus der univer sellen Gaskonstante und der Molmasse des Gases berechnet werden kann. (1.78) Dividiert man Gl. 1.77 durch die Gasmasse , so erh lt man die thermische Zustandsgleichung a mit spezischen Gr en. o (1.79)

(1.77)

In Tabelle 1.1 sind die Molmassen einiger Gase angegeben, so dass es m glich ist, mit Hilfe o von Gl. 1.78 die speziellen Gaskonstanten dieser Gase zu berechnen.

= 28.964 28.0134 32.000 2.0159 18.0159 4.026 28.0106 44.0106 16.043

1.4 Theoretische GrundlagenTabelle 1.1: Molmassen einiger Gase in

23

1.4.3.2 Die kalorische Zustandsgleichung des idealen Gases Nach dem ersten Hauptsatz ist die spezische innere Energie eine Zustandsgr e, ebenso wie o das spezische Volumen, der Druck und die Temperatur. Da der Gleichgewichtszustand beim idealen Gas bereits durch zwei (unabh ngige) Zustandsgr en festgelegt ist, muss sich die ina o o nere Energie als Funktion zweier Zustandsgr en darstellen lassen. Es besteht also die Beziehung (1.80)

die als kalorische Zustandsgleichung bezeichnet wird. Da die spezische innere Energie eine Zustandsgr e (Wert nur vom Zustand abh ngig, nicht vom Weg, auf dem dieser Zustand o a erreicht wurde) ist, besitzt sie ein vollst ndiges Differential. a

(1.81)

Aus Uberstr mversuchen von Gay-Lussac (1807) und Joule (1845) wei man, dass f r ideale o u Gase wird. Die partielle Ableitung

(1.82)

f hrt eine besondere Bezeichnung, sie wird die spezische W rme bei konstantem Volumen u a genannt. Damit ergibt sich f r die innere Energie: u

In Gl. 1.83 stellt Enthalpie:

(1.83)

die spezische innere Energie bei

dar. Analog gilt f r die spezische u

(1.84)

Hierbei ist die Denitionsgleichung f r die spezische W rme bei konstantem Druck durch Gl. u a 1.85 gegeben, w hrend den Wert der spezischen Enthalpie bei der Temperatur darstellt. a

Aus der Denitionsgleichung der Enthalpie

folgt durch Differentiation: (1.86) Das Verh ltnis der beiden spezischen W rmen wird als Isentropenexponent bezeichnet. a a (1.87)

(1.85)

24

1 EINLEITUNG

5,0

1,40

4,5

1,35

cp/R

250 500 750 1000 1250 1500 1750

4,0

1,30

3,5

1,25

3,0

1,20 250 500 750 1000 1250 1500 1750

T [K]

T [K]

Bild 1.13: Spez. W rme und Isentropenexponent von Luft als Funktion der Temperatur a

Bild 1.13 zeigt die auf die Gaskonstante bezogene spezische W rme und den Isentropenexa ponent f r trockene Luft als Funktion der Temperatur. Bei Temperaturwerten oberhalb 2000 u K kann die Luft nicht mehr als ideales Gas betrachtet werden, da die Stoffwerte infolge der Dissoziation Funktionen des Druckes und der Temperatur werden. F r manche Anwendungen ist es vorteilhaft mit einer konstanten mittleren spezischen W rme u a zu rechnen. Als Mittelungsvorschrift gilt dann:

(1.88)

Eine solche geeignet gemittelte spezische W rme erlaubt oft eine geschlossene L sung der a o Differentialgleichungen und f hrt damit zu einfachen, leicht uberschaubaren Beziehungen. Dies u soll am Beispiel einer isentropen Zustands nderung gezeigt werden. Die Kombination des era sten und zweiten Hauptsatzes liefert:

Da f r eine adiabate und reibungsfreie ( isentrope) Zustands nderung u a wird mit den Gln. 1.79, 1.81, 1.86 und 1.87 daraus:

(1.89)

sein muss,

oder mit

;

Durch Eliminination von

aus den Gln. 1.91 und 1.92, erhlt man schlielich: a

und

(1.90)

(1.91)

(1.92)

(1.93)

Die Gln. 1.90 bis 1.93 stellen Isentropenbeziehungen in differentieller Form dar. Gl. 1.93 ist die Dichte nicht mehr dabei von besonderer Aussagekraft, denn sie zeigt, dass sich f r u

1.5 Schubkraft, Leistung und Wirkungsgrad

25

mit dem Druck andert. Man kann also bei isentropen Zustands nderungen das Verhalten in a kompressibler Medien stets aus dem kompressibler Medien herleiten, indem der Grenz bergang u durchgef hrt wird. Eine Mittelung des Isentropenexponenten zwischen den Temperau turen und erlaubt die Integration aller Isentropenbeziehungen. F r Gl. 1.92. ergibt sich u z.B.:

Bei einer isentropen Zustands nderung ist die Nutzarbeit im ruhenden System als Differenz der a Enthalpien darstellbar. Es gilt:

Bei einem durchstr mten Kontrollvolumen tritt anstelle von h die Totalenthalpie , o

wobei mit die Totaltemperatur und mit der Totaldruck bezeichnet ist. 1.4.3.3 Gasgemische F r Gasgemische als Arbeitsmedium (z.B. Luft und Luft + Verbrennungsprodukte) gelten die u unter 1.4.3.1 und 1.4.3.2 abgeleiteten Beziehungen ebenso, wenn die Stoffwerte geeignet gemittelt werden. Nach dem Gesetz von Dalton ist der Gesamtdruck eines Gasgemischs gleich der Summe der Partialdr cke der einzelnen Komponenten. Damit gilt aber: u

Aus Gl. 1.94 kann nun sofort die Mischungsregel f r die mittlere Gaskonstante hergeleitet weru den. (1.95)

(1.94)

die Masse der Einzelgase, In Gl. 1.95 bedeutet die Massenanteile der Einzelgase.

die gesamte Gasmasse,

Alle Gr en, die auf ,,kg bezogen sind, werden analog zu Gl. 1.95, d.h. also uber die Masseno anteile, alle Gr en, die auf ,,kmol bezogen sind, werden uber die Volumenanteile gemittelt. o Massenanteil und Volumenanteil k nnen nach Gl. 1.96 ineinander uberf hrt werden, o u (1.96) wobei f r die mittlere Molmasse u zu setzen ist.

1.5 Schubkraft, Leistung und Wirkungsgrad1.5.1 Strahlantriebe 1.5.1.1 Wahl des Kontrollvolumens

26

1 EINLEITUNG

Bild 1.14 zeigt schematisch ein Triebwerk im - - bzw. im - -Koordinatensystem. Dabei handelt es sich beim - -System um ein Inertialsystem, also ein Koordinatensystem, das mit der Erde fest verbunden ist. Das - -System dagegen ist ein fest mit dem Flugzeug verbundenes Koordinatensystem (Relativsystem), das sich gegen ber dem Inertialsystem mit der u Fluggeschwindigkeit in -Richtung bewegt.

Die Wahl des Kontrollvolumens ist bei der Berechnung der Kr fte auf das Triebwerk von enta scheidender Bedeutung. So w rde z.B. durch ein im Inertialsystem feststehendes Kontrollvou o lumen das Str mungsproblem instation r eine unn tige Erschwerung der Schubberechnung o a w re die Folge. Durch die Wahl des Kontrollvolumens als ein mit dem Flugger t fest verbuna a denes Relativsystem liegt dagegen eine station re, einfach zu behandelnde Str mung vor. Die a o einzelnen Kontroll chen m ssen aber in jedem Fall so gew hlt werden, dass dort alle Zua u a standsgr en eindeutig deniert und bekannt sind. oInertialsystemX

RelativsystemmB

C

Kontrollvolumen

m1 w1 p 1 A1 mI wI pI AI

F

m2 w2 p2 A2 m II ; pII wII ; AIIZ Z

em III ; wIII

1

2

Bild 1.14: Triebwerk im Inertial- bzw. im Relativsystem Denition des Kontrollvolumens

Die Folge davon ist, dass die Eintrittskontroll che (Ebene 1) soweit vor dem Triebwerk liegen a muss, dass dort keinerlei St rungen durch das Triebwerk selbst vorhanden sind. Die Fangstromo r hre darf also keine Kr mmung aufweisen, da sonst sowohl der Druck als auch die Geo u schwindigkeit uber die Eintritts che nicht mehr als konstant angesehen werden k nnen und a o somit unbekannt w ren. Dies bedeutet aber ganz besonders, dass die Triebwerkseintrittsebene e a keinesfalls als Eintritts che in das Kontrollvolumen gew hlt werden darf, da dort sowohl der a a Druck als auch die Geschwindigkeit uber diesen Querschnitt experimentell bestimmt und dann gemittelt werden m ssten. u

Die Austrittskontroll che (Ebene 2) muss unmittelbar am D senaustritt liegen, da nur an diea u ser Stelle Druck, Geschwindigkeit und Massenstrom genau angegeben werden k nnen. W rde o u man eine Ebene hinter dem Triebwerksaustritt w hlen, so w rden durch Zumischung von Uma u gebungsluft der Druck, die Str mungsgeschwindigkeit, die Strahl che und der Massenstrom o a v llig unbekannt sein. o Die seitliche Kontroll che, die der Einfachheit halber als eine zur Richtung der Fluggeschwina digkeit achsparallele Zylinder che angenommen wird (dies bedeutet keinerlei Einschr nkung a a der Allgemeing ltigkeit), muss soweit vom Triebwerk entfernt gew hlt werden, dass durch dieu a ses keine St rungen mehr auf die Str mung ausge bt werden k nnen. o o u o Die festen W nde des Triebwerks m ssen aus dem Kontrollvolumen herausgeschnitten werden, a u

1.5 Schubkraft, Leistung und Wirkungsgrad

27

so dass die Kr fte dieser W nde auf das Str mungsmedium als auere Kr fte angesehen werden a a o a k nnen. o Werden alle diese Bedingungen ber cksichtigt, so ist es mit relativ einfachen mathematischen u Hilfsmitteln m glich, die Schubkraft eines Strahltriebwerks zu berechnen. o 1.5.1.2 Anwendung der Erhaltungss tze a 1.5.1.2.1 Erhaltungssatz der Masse Die Kontinuit tsgleichung lautet allgemein: a

(1.97)

Da es sich im vorliegenden Fall um ein station res und eindimensionales Str mungsproblem a o handelt, vereinfacht sich Gl. 1.97 zu

F r die Str mung durch das Triebwerk gilt, wenn durch u o gekennzeichnet wird:

(1.98) der Massenstrom des Brennstoffs (1.99)

Die Kontinuit tsgleichung f r die Auenstr mung ist dagegen durch Gl. 1.100 gegeben. a u o

Der Massenstrom uberschreitet die auere Kontroll che, wobei angenommen werden a soll, dass der Winkel zwischen dem Vektor und der Achse des Kontrollvolumens so gering ist, dass dessen Cosinus gleich eins gesetzt werden kann.

(1.100)

1.5.1.2.2 Erhaltungssatz des Impulses Nach Gl. 1.42 lautet der Impulssatz in vektorieller Schreibweise:

, sowie uber den Teil der

Die Integration braucht nur uber die Ein- und Austritts che a Kontroll che ausgef hrt werden, der das Triebwerk umschliet. a u

Diese Gleichung vereinfacht sich weiter, wenn man bedenkt, dass an der Eintritts che a a durch bzw. und an der Austritts che durch bzw. ersetzt werden kann. o An der Ober che des Triebwerks verschwindet , da die festen Teile nicht durchstr mt a

(1.101)

28

1 EINLEITUNG

werden, die Normalkomponente der Geschwindigkeit also null ist. Die Str mung an Ein- und o Austritts che ist voraussetzungsgem homogen. Damit verschwinden dort die Reibungsspana a . Die beiden letznungen in newtonschen Fluiden. F r den Spannungstensor gilt dann u ten Integrale stellen die gesuchte Kraft dar, die vom Triebwerk auf die Str mung ausge bt wird o u (bzw. das Negative der Kraft, die die Str mung auf das Triebwerk aus bt) o u

(1.102)

und den aueren Wiederstand der Triebwerksgondel (von der Str mung auf das Triebwerk). o

(1.103)

Der Auenwiderstand eines Triebwerks, der nur ganz wenige Prozent des Schubs betr gt, ist a grunds tzlich vom Einbau in das Flugger t abh ngig ein Strahltriebwerk kann unter dem a a a Fl gel eines Flugzeugs, am Flugzeugrumpf oder sogar im Flugzeugrumpf selbst angebracht u werden deshalb wird er auch im allgemeinen dem Widerstand des Flugger ts zugerechnet. a Dies bedeutet aber, dass f r die Bestimmung des Schubs eines Strahltriebwerks u gesetzt werden kann. Unter der Voraussetzung, dass

(1.104)

ist, was ja f r ein zylindrisches Kontrollvolumen immer stimmen muss und dass u

(1.105)

gelten soll, erh lt man f r den Schub eines Strahltriebwerks aus den Gln. 1.99 bis 1.105: a u

F r den Fall des Starts wird u

(1.106)

, so dass f r den Standschub folgende Beziehung gilt: u

(1.107)

Wird das Fluid in der D se auf Umgebungsdruck expandiert, gilt also u der Druckschub und Gl. 1.106 geht in die sehr einfache Schubformel

, so verschwindet

(1.108)

uber. Mit Hilfe der Gln. 1.106 bis 1.108 kann der Schub aller Durchstr mtriebwerke bestimmt o werden. Diese Gleichungen gelten aber auch f r Ausstr mtriebwerke. Setzt man n mlich u o a und bezeichnet in diesem Fall mit den Massenstrom des Treibgases (Brennstoff + Sauerstofftr ger), so erh lt man aus Gl. 1.106 die Beziehung f r den Schub einer Rakete. a a u

1.5.1.2.3 Erhaltungssatz der Energie Wendet man den Erhaltungssatz der Energie auf die Str mung durch das Triebwerk an, so ergibt o sich, dass dem System durch Verbrennung der W rmestrom a

(1.109)

1.5 Schubkraft, Leistung und Wirkungsgrad

29

zugef hrt wird. Da Energien nicht invariant gegen ber Koordinatentransformationen sind, muss u u unterschieden werden, ob der Energiesatz im Inertialsystem oder im Relativsystem formuliert werden soll. Im ugzeugfesten (Relativ-) System gilt, wenn mit die Enthalpie am Eintritt, mit die Enthalpie am Austritt des Kontrollvolumens und mit die Enthalpie des ssigen u Brennstoffs bezeichnet werden soll:

(1.110)

Im Inertialsystem besitzt der Brennstoff die kinetische Energie . Auerdem bewegen sich die Kr fte auf das Triebwerk mit der Geschwindigkeit , so dass in diesem Fall gilt: a

(1.111)

Da die Absolutgeschwindigkeit grunds tzlich die vektorielle Summe aus der F hrungsgeschwina u digkeit und der Relativgeschwindigkeit ist, gilt am Triebwerksaustritt:

(1.112)

und am Eintritt in das Kontrollvolumen:

(1.113)

Eliminiert man nun aus den Gln. 1.110 und 1.111 den W rmestrom a

, so erhlt man: a(1.114)

Setzt man die Gln. 1.102 und 1.105 in Gl. 1.114 ein und l st diese dann nach dem Schub auf, o so ergibt sich die bereits durch Gl. 1.106 bekannte Schubbeziehung. Man sieht also, dass f r u eine station re Str mung der Schub auch aus dem Energiesatz hergeleitet werden kann. a o 1.5.1.2.4 Leistungen, Verluste, Wirkungsgrade Beim Strahltriebwerk werden im allgemeinen drei Leistungen unterschieden:

Die zugef hrte Leistung sie beinhaltet den Energiestrom (die Leistung), die dem u Triebwerk durch den Brennstoff, haupts chlich als chemisch gebundene Energie, zua gef hrt wird. u Die Antriebsleistung hier handelt es sich um eine mechanische Leistung, die durch einen thermischen Kreisprozess aus der zugef hrten Leistung gewonnen werden kann. u

30

1 EINLEITUNG Die Schubleistung es ist der Anteil der Antriebsleistung, der f r den Vortrieb zur u Verf gung steht. u

Zugefuhrte Leistung: Die im Brennstoff steckende Energie setzt sich aus der bei der Ver brennung frei werdenden f hlbaren W rme und aus der kinetischen Energie des Brennstoffes u a zusammen. Es gilt somit:

(1.115)

Ersetzt man in Gl. 1.115 den W rmestrom a tigung von Gl. 1.99:

durch Gl. 1.110, so ergibt sich unter Ber cksichu

(1.116)

Antriebsleistung: Im Falle, dass die Expansion in der D se nicht bis zum Umgebungsdruck u erfolgt, ist noch ein ungenutztes isentropes Restgef lle vorhanden, das bei der Antriebsa leistung ber cksichtigt werden muss. u

(1.117)

Unter Ber cksichtigung von Gl. 1.99 ergibt sich daraus: u

(1.118)

Schubleistung: Sie ergibt sich als Produkt von Schubkraft und Fluggeschwindigkeit. Mit den Gln. 1.99 und 1.106 erh lt man also: a

(1.119)

Aus den Gln. 1.116, 1.118 und 1.119 lassen sich nun die Verlustleistungen ermitteln. Grunds tza lich unterscheidet man dabei zwischen

innerer Verlustleistung und auerer Verlustleistung. Die innere Verlustleistung umfasst dabei im wesentlichen die im Abgasstrahl enthaltene W rmea energie, w hrend die auere Verlustleistung haupts chlich die kinetische Energie im Abgasa a strahl darstellt. Es gilt also: Innere Verlustleistung:

Auere Verlustleistung:

(1.120)

(1.121)

1.5 Schubkraft, Leistung und WirkungsgradBer cksichtigt man, dass u ist, so wird aus Gl. 1.121:

31

die Geschwindigkeit des Abgasstrahls im Absolutsystem

(1.122)

Nimmt man an, dass die Expansion bis zum Umgebungsdruck stattndet, so gilt f r die innere u Verlustleistung: (1.123)

und f r die auere Verlustleistung: u

(1.124)

Aus den Gln. 1.123 und 1.124 wird ganz deutlich, dass es sich bei der inneren Verlustleistung um die W rmeenergie und bei der aueren Verlustleistung um die kinetische Energie des Ausa trittsmassenstroms handelt. Da nun die Leistungen und die Verluste bekannt sind, k nnen als letztes auch die Wirkungsgrade o hergeleitet werden. Man unterscheidet auch hier wieder zwischen

innerem Wirkungsgrad auerem Wirkungsgrad und GesamtwirkungsgradDie Denition eines Wirkungsgrades ist:

Innerer Wirkungsgrad:

Setzt man als Abk rzung f r das Geschwindigkeitsverh ltnis u u a

, so wird:

Auerer Wirkungsgrad:

(1.125)

Gesamtwirkungsgrad:

(1.126)

(1.127) 1.5.1.3 Diskussion der Ergebnisse

32

1 EINLEITUNG

Wie die Kapitel 1.5.1.2.2 und 1.5.1.2.3 zeigen, l sst sich die Gleichung f r den Schub eines a u Strahltriebwerks sowohl mit Hilfe des Impulssatzes als auch mit Hilfe des Energiesatzes herleiten. Der Grund hierf r ist darin zu sehen, dass f r das Strahltriebwerk alle Erhaltungss tze u u a sowohl im Relativsystem, wie auch im Absolutsystem erf llt sein m ssen. Die Wahl des Konu u trollvolumens beeinusst dabei das Ergebnis in keiner Weise. Durch eine geschickte Wahl wird lediglich erreicht, dass sich der mathematische Aufwand, der notwendig ist um zum richtigen Ergebnis zu kommen, in Grenzen h lt. a Ausgehend von Gl. 1.106 ist es m glich, den Schub eines Triebwerks f r alle denkbaren F lle o u a herzuleiten. W hlt man z.B. bei einem uberkritischen D sendruckverh ltnis das Erweiterungsverh ltnis eia u a a ner Lavald se so, dass eine Expansion bis zum Umgebungsdruck u o m glich ist, so f llt das Druckglied in der Schubgleichung weg. Die Austrittsgeschwindigkeit erreicht in diea sem Fall ihren maximalen Wert, was zur Folge hat, dass der optimale Schub des Triebwerks vorhanden ist. Der Schub eines Triebwerks mit einer vollst ndig expandierenden D se liegt a u aber trotzdem nur geringf gig uber dem Schub mit einer im engsten Querschnitt abgeschnitteu nen D se, so dass dieser geringe Schubgewinn u.U. durch die Gewichtskraft der zus tzlichen u a D senmasse (f hrt wegen des ben tigten vergr erten Auftriebs zu einer Erh hung des induu u o o o zierten Widerstands des Flugger ts) und dem sicherlich erh hten Auenwiderstand in der Regel a o mehr als kompensiert wird.

Im Fall des Starts also gibt Gl. 1.106 auch den Standschub wieder. Der Eintrittsimpuls wird dabei zu null, da der ins Kontrollvolumen eintretende Massenstrom mit der Geschwindigkeit die Kontrollvolumensgrenzen uberschreitet. Dies gilt deshalb, weil die Eintrittskontroll chen sehr weit vom Triebwerk entfernt angenommen werden (siehe auch a Kapitel 1.5.1.1), so dass geht. Der Grenzwert nach Gl. 1.128

(1.128)

ergibt dann den Massenstrom am Eintritt in das Triebwerk. Selbst der Schub einer Rakete l sst sich aus Gl. 1.106 ableiten, wie dies bereits in Kapitel a , so ergibt sich , wobei mit 1.5.1.2.2 angedeutet wurde. Setzt man n mlich a der Massenstrom des Treibstoffs (=Massenstrom des Brennstoffs + Massenstrom des Sauerstofftr gers) bezeichnet werden soll. F r den Schub einer Rakete ergibt sich also: a u

(1.129)

F r reine Durchstr mantriebe ist der Brennstoffmassenstrom sehr viel kleiner als der Massenu o a a u strom der Luft und kann deshalb vernachl ssigt werden, w hrend f r reine Ausstr mantriebe (Raketen) o ist. Nimmt man weiterhin an, dass bis auf Umgebungsdruck expandiert wird, so lassen sich sehr einfache Aussagen uber die Wirkungsgrade der einzelnen Antriebe machen. F r reine Durchstr mantriebe gilt dann: u o

(1.130) (1.131)

1.5 Schubkraft, Leistung und Wirkungsgrad1,0

33

0,8

a0,6

0,4

i0,2

g0,0 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

Bild 1.15: Wirkungsgrade eines Durchstr mantriebs o

Die Gln. 1.130 und 1.131 bzw. das Bild 1.15 zeigen, dass der innere Wirkungsgrad f r u (d.h. f r u ) null wird, w hrend der auere Wirkungsgrad dann gerade den Wert eins a o erreicht. Dies bedeutet, dass die Fluggeschwindigkeit nie gr er als die Austrittsgeschwindigkeit des Antriebsstrahles werden kann.

1,0

a0,8

i0,6

g0,4

0,2 0,0 0,0 0,5 1,0 1,5

2,0

2,5

3,0

Bild 1.16: Wirkungsgrade eines Ausstr mantriebs o

F r Ausstr mantriebe (Raketen) ergibt sich: u o

(1.132) (1.133)

Betrachtet man die Gln. 1.129, 1.132 und 1.133 so zeigt sich, dass bei Raketentriebwerken die Fluggeschwindigkeit gr er als die Geschwindigkeit des Austrittsstrahls werden kann, da in o diesem Fall kein Eintrittsimpuls vorhanden ist und die Wirkungsgrade auch stets gr er null o sind. 1.5.2 Propellerantriebe Voraussetzungen:

Station re, eindimensionale Str mung a o Keine Vermischung des Propellerstrahls mit der Umgebungsluft. Keine Reibung an der Strahlgrenze slipstream Inkompressible Str mung Druck nderung im Strahl gering o a

34X

1 EINLEITUNG

Inertialsystem RelativsystemC

X

PPKF = Strahlgrenzem1 w1 p1

me we pe Ae pa

F ma wa

m2 w2 p2 A2

A1

Aa

1

e

a

2

Z

Z

Bild 1.17: Propellerantrieb

Das Kontrollvolumen wird durch die Stromr hre gebildet, die gerade den durch den Propeller o gehenden Massenstrom umfasst. Die Eintritts- und Austrittskontroll chen sollen so weit vor a bzw. hinter dem Propeller liegen, dass dort die Stromr hre keine Kr mmung mehr aufweist. Die o u Kontrollebenen e und a liegen unmittelbar vor bzw. hinter dem Propeller. Der Druck auerhalb der Stromr hre ist o .

Annahmen:

Kontinuit t: a

(1.134)

Impulssatz:

(1.135) (1.136)

Unter Benutzung der Gln. 1.134 bis 1.136 erh lt man: a

(1.137) (1.138)

Zur Berechnung der vom Propeller auf die Str mung ausge bten Kraft stehen mit den Gln. o u 1.137 und 1.138 zwei Gleichungen zur Verf gung. Bei Benutzung von Gl. 1.137 m ssen die u u und gemessen werden ( ber den Strahl gemittelt), bei Benutzung von Gl. 1.138 u Dr cke u die Strahlgeschwindigkeit . Da der Propellerschub umgekehrt gerichtet ist wie die Kraft vom Propeller auf die Str mung, gilt: o

(1.139)

1.5 Schubkraft, Leistung und WirkungsgradEnergiesatz im ugzeugfesten (Relativ-) System:

35

F r inkompressible Medien gilt u . Damit wird: Ber cksichtigt man die Reibungsleistung durch einen Verlustbeiwert u und beachtet, dass sein muss, so ergibt sich: (1.141) (1.142) (1.143)Beweis:

(1.140)

Mit den Gln. 1.134 bis 1.136 wird aus Gl. 1.140:

(1.144)

Und aus Gl. 1.143:

Damit ergibt sich schlielich f r die dem Propeller zugef hrte Leistung: u u

(1.145)

(1.146)

Mit den Gln. 1.139, 1.142 und 1.146 erh lt man weiterhin: a

(1.147) (1.148)

Daraus folgt sofort:

Die dem Propeller zugef hrte Leistung kann also aus dem Propellerschub und der Propellergeu schwindigkeit ermittelt werden. Dabei muss aber der Verlustbeiwert , der sich mit der Fluggeschwindigkeit andert, bekannt sein, bzw er muss gesch tzt werden. a Energiesatz im Inertialsystem:

36

1 EINLEITUNG

(1.149)

Mit den Gln. 1.134 bis 1.136 und 1.141 wird daraus:

Auch hier kann die Schubkraft des Propellers wieder durch Gleichsetzung der Gln. 1.148 und 1.149 ermittelt werden. Von der dem Propeller zugef hrten Leistung ist f r den Antrieb nutzbar u u

(1.150)

und davon kann wiederum die Schubleistung f r den Vortrieb genutzt werden. u

Verluste, Wirkungsgrade: Innere Verluste:

(1.151)

Auere Verluste:

(1.152)

Innerer Wirkungsgrad:

(1.153)

Damit k nnen die Wirkungsgrade bestimmt werden: o

(1.154)

Auerer Wirkungsgrad:

(1.155)

Gl. 1.155 zeigt, dass es sich beim Propellerantrieb um einen reinen Durchstr mantrieb handelt. o Durchstr m chen: o a Aus den Gln. 1.134 bis 1.136 sowie 1.147 ergibt sich:

(1.156)

Es k nnen folgende Grenzf lle unterschieden werden: o a

Startfall

Die Luft wird aus der gesamten Umgebung angesaugt.

1.5 Schubkraft, Leistung und Wirkungsgrad

37

c

=0

c

= w2

c

> w2

Bild 1.18: Stromr hren bei unterschiedlichen Fluggeschwindigkeiten o

o o Die Str mung wird verz gert, der Propeller erzeugt einen Widerstand (negativer Schub), kann z.B. beim Sturzug auftreten.

Der Propeller erzeugt keinen Schub mehr.

Fl chenbelastung: a

(1.157) (1.158)

Durch Gl. 1.157 wird die Kreis chenbelastung wiedergegeben. Sie ist als der Quotient aus a Propellerschub und Propeller che deniert. Gl. 1.158 dagegen gibt die Strahl chenbelastung a a wieder. Hier wird der Propellerschub durch die Strahlaustritts che dividiert. aImpuls-(Wirk-)Scheibe

p p

w

111111111111111 000000000000000 111111111111111 000000000000000 111111111111111 000000000000000 111111111111111 000000000000000 111111111111111 000000000000000 111111111111111 000000000000000 111111111111111 000000000000000 111111111111111 000000000000000

p 1111111111111111 0000000000000000

x w

1111111111111111 0000000000000000 1111111111111111 0000000000000000 p 1111111111111111 0000000000000000 1111111111111111 0000000000000000 1111111111111111 0000000000000000 1111111111111111 0000000000000000 1111111111111111 0000000000000000x

1111111111111111 0000000000000000 w2 wP 1111111111111111 0000000000000000 1111111111111111 c 0000000000000000 c 1111111111111111 0000000000000000 1111111111111111 0000000000000000x

111111111111111 000000000000000 111111111111111 000000000000000 111111111111111 000000000000000 111111111111111 000000000000000 111111111111111 000000000000000idealisiert

w2

x

Bild 1.19: Geschwindigkeits- und Druckverlauf im Kontrollvolumen

In Bild 1.19 ist der Geschwindigkeits- und Druckverlauf im Kontrollvolumen dargestellt. F r u theoretische Untersuchungen kann dabei der Propeller idealisiert als eine unendlich d nne u Scheibe betrachtet werden Impuls- oder Wirkscheibe.

38

2 DAS EINFACHE STRAHLTRIEBWERK

2 Das einfache Strahltriebwerk2.1 Schematischer Aufbau1 2 3 4 5 6 a11111 00000 1111111111111 0000000000000 11111 00000 1111111111111 0000000000000 11111 00000 1111111111111 0000000000000 11111 00000 1111111111111 0000000000000 1 0 11111 00000 1111111111111 0000000000000 1 0 11111 00000 1111111111111 0000000000000 1 0 11111 00000 1111111111111 111111111 0000000000000 000000000 1 111111111 0 000000000 11111 00000 11111111111111111111111111111111111111111111111 00000000000000000000000000000000000000000000000 1111111111111 0000000000000 1 0 11111 00000 1111111111111 0000000000000 1 0 11111 00000 1111111111111 0000000000000 1 0 11111 00000 1111111111111 0000000000000 1 0 11111 00000 1111111111111 0000000000000 11111 00000 1111111111111 0000000000000 11111 00000 1111111111111 0000000000000 11111 00000

Bild 2.1: Einfaches Strahltriebwerk

Festlegung der Bezugsebenen

Einlauf:

Der Einlauf hat die Aufgabe, den vom Triebwerk ben tigten Massenstrom dem Verdichter zuo zuf hren. Die dabei auftretenden Verluste sollen m glichst gering, die Totalzust nde in der u o a Kontrollebene 1 m glichst gleichm ig sein. Beim Start wird der Luftstrom auf die Verdicho a tereintrittsgeschwindigkeit beschleunigt, im Flug erfolgt eine Verz gerung bei gleichzeitigem o Druckanstieg (Flugstau) besonders bei Uberschallug von Bedeutung. Verdichter:

Der Verdichter hat die Aufgabe, das Druckniveau im Triebwerk zu erh hen, um die Spreizung o der Isobaren im h-s-Diagramm ausnutzen zu k nnen. Er soll m glichst verlustarm sein und o o die f r den Kreisprozess optimale Verdichterf rderh he in m glichst wenig Stufen bereitstellen u o o o hochbelastete, transsonische Verdichterstufen. Der Verdichter wird uber eine Welle von der Turbine angetrieben, deshalb m ssen beide hinsichtlich Drehzahl, Massenstrom und Leistung u aufeinander abgestimmt sein. Diffusor:

Er hat die Aufgabe, die Str mungsgeschwindigkeit des Luftmassenstroms auf Brennkammero zu verz gern. Der Diffusor soll m glichst kurz sein und o o eintrittsgeschwindigkeit einen hohen Druckr ckgewinn haben. u

Brennkammer:

In der Brennkammer wird dem Luftmassenstrom durch Verbrennung von Kraftstoff (in der Regel Kerosin; es laufen aber bereits Versuche, bei denen ssiger Wasserstoff als Brennu stoff eingesetzt wird) W rme zugef hrt. Die Anforderungen an eine Brennkammer sind: kura u ze Baul nge, z ndwillig, beschleunigungsf hig, nach einem Verl schen wiederz ndbar, stabia u a o u le Verbrennung, weiter Betriebsbereich, geringer Druckverlust, guter Ausbrandgrad, geringer Schadstoffaussto (CO, unverbrannte Kohlenwasserstoffe, NOx, Ru). Das Temperaturprol am Brennkammeraustritt soll in Umfangsrichtung m glichst ausgeglichen und in radialer Richo tung leicht ansteigend sein. Turbine:

Die Turbine dient zum Antrieb des Verdichters und muss deshalb auf diesen abgestimmt sein. Sie soll geringe Verluste und eine kurze Baul nge (wenige, hochbelastete Stufen) haben. Da am a

2.2 Kreisprozess und Zustands nderungen a

39

Turbineneintritt sehr hohe Temperaturen herrschen (bis zu 1800 K), m ssen die Turbinenschauu feln gek hlt werden. u Duse:

Sie dient zur Umwandlung der potentiellen in kinetische Energie. D se rein konvergent die u Austrittsgeschwindigkeit erreicht maximal Schallgeschwindigkeit. D se konvergent-divergent u die Austrittsgeschwindigkeit kann im Uberschallbereich liegen (Lavald se). Die D se soll u u m glichst geringe Verluste aufweisen. o Dar ber hinaus wird f r alle Kompenenten eines Triebwerks gefordert, dass sie leicht, von u u geringer Baugr e und zuverl ssig sind, sowie eine ausreichende Lebensdauer aufweisen. o a

2.2 Kreisprozess und Zustands nderungen aDer Basiskreisprozess der Gasturbine und damit auch des Strahltriebwerks ist der Joule-Prozess. Er besteht im verlustlosen Fall aus isentroper Verdichtung, isobarer W rmezufuhr, isentroper a Entspannung und isobarer W rmeabfuhr. Bei den tats chlichen Zustands nderungen treten ala a a lerdings Verluste auf, die zu irreversiblen Entropievermehrungen im Einlauf, bei der Verdichtung, in der Brennkammer und bei der Expansion f hren. Da der Gasturbinenprozess als offener u Prozess gef hrt wird (das Abgas verl sst die D se, und frische Luft wird angesaugt), ist die u a u W rmeabfuhr verlustlos. a Die Berechnung der Zustands nderungen der einzelnen Komponenten soll im Auslegungspunkt a des Triebwerks erfolgen (Auslegungspunkt Punkt des h ugsten Einsatzes). a Vereinfachung: Die Str mung im Triebwerk wird als station r (keine zeitlichen Anderuno a gen) und eindimensional (geeignete Mittelung der Zustandsgr en uber die Kontrollebeo nen) betrachtet. Nach Gl. 1.64 gilt f r den 1. Hauptsatz: u

(2.1)

In Gl. 2.1 bedeuten:

W rmestrom (=0 f r adiabate Vorg nge) a u a Wellenleistung Reibleistung (=0, wenn die Grenzen des KV mit dem Geh use zusammenfallen) a Totalenthalpie potentielle Energie Massenstrom durch die Komponente

Bei Reibung im Inneren des Kontrollvolumens wird die Reibungsenergie als W rme dem Str a o mungsmedium zugef hrt. Im Triebwerk kann wegen der geringen Abmessungen die potentielle u Energie gegen ber der Totalenthalpie u vernachl ssigt werden. a

40 2.2.1 Zustands nderung im Verdichter a

2 DAS EINFACHE STRAHLTRIEBWERK

. Da gleichzeitig die Grenzen Die Zustands nderung im Verdichter ist adiabat a des Kotrollvolumens mit dem Geh use zusammenfallen alle festen Teile sind aus dem a Kontrollvolumen herausgeschnitten, ist auch . Damit wird aber aus Gl. 2.1:

(2.2)

In Gl. 2.2 bedeuten:

Leistung, die der Verdichter von der Turbine zur Verf gung gestellt bekommt u (also einschlielich aller inneren Verluste). Totalenthalpie am Verdichteraustritt Totalenthalpie am Verdichtereintritthh t2 h t2 Pv m p t2

2 m 2

Qirr

Pv m

h t1 pt1

1

s

Bild 2.2: Zustandsverlauf bei der Verdichtung

Als idealer Vergleichsprozess wird eine isentrope (adiabat und reibungsfrei) Zustands nderung a angenommen. Damit l sst sich dann ein isentroper Verdichtungswirkungsgrad denieren. a

o Durch ist die Leistung gegeben, die dem str menden Fluid in mechanischer Form zuu gef hrt wird. Dagegen stellt die f r Verluste aufgewandte Leistung dar; sie u wird durch Reibung irreversibel in W rme umgewandelt und als solche dem Fluid zugef hrt. a u Damit erh lt dann der erste Hauptsatz folgendes Aussehen: a

(2.3)

In Gl. 2.4 k rzen sich die Ausdr cke weg. Dies bedeutet, dass die Gln. 2.2 und 2.4 idenu u tisch sind, was wiederum heit, dass Gl. 2.2 sowohl f r verlustlose, als auch verlustbehaftete u Verdichtung gilt. Da die irreversibel zugef hrte Reibungsw rme eine Zunahme der Entropie zur Folge hat, w hu a a rend die Zufuhr von mechanischer Leistung eine Anderung der Totalenthalpie bewirkt, bietet es sich an, diese Zustands nderung in einem h-s-Diagramm darzustellen. a

(2.4)

2.2 Kreisprozess und Zustands nderungen a

41

Mit den in Bild 2.2 angegebenen Totalenthalpien kann der isentrope Wirkungsgrad nach Gl. 2.3 auch wie folgt angeschrieben werden:

(2.5)

Der Index beim isentropen Wirkungsgrad soll darauf hinweisen, dass er mit Totalenthalpien gebildet werden muss. Gl. 2.5 sagt nichts uber den Verlauf der Kompressionslinie aus, da nur die Anfangs- und Endzust nde in Beziehung gesetzt werden. a F r die Totalenthalpie nderung gilt: u a

(2.6)

Da in diesem Abschnitt lediglich die physikalischen Zusammenh nge diskutiert werden sollen, a also keine Zahlenwertrechnung, wird das Fluid als kalorisch ideal angenommen. Dies bedeutet, gesetzt werden darf, wodurch Gl. 2.6 l sbar wird. o dass dann

F r die Leistung des isentropen Vergleichsprozesses u

(2.7)

Wobei sich mit Hilfe der Isentropengleichung aus dem Totaldruckverh ltnis errechnen l sst. a a

ergibt sich dann:(2.8)

F r die irreversible W rmezufuhr u a

ergibt sich:

(2.9)

(2.10)

Die hierbei auftretende Entropievermehrung kann nach Gl. 2.11 bestimmt werden.

(2.11)

L st man Gl. 2.11 nach dem Temperaturverh ltnis auf und multipliziert dann das Ergebnis o a mit Gl. 2.9, so l sst sich der Zusammenhang zwischen den Zustandsgr en von Anfangs- und a o Endpunkt der Verdichtung angeben.

(2.12)

Damit kann die tats chliche Verdichterleistung (einschlielich aller inneren Verluste) bestimmt a werden. Aus den Gln. 2.8 und 2.12 erh lt man: a

(2.13)

42 2.2.2 Zustands nderung in der Turbine a

2 DAS EINFACHE STRAHLTRIEBWERK

und die Da in der Turbine ebenfalls eine adiabate Zustands nderung vorliegt a KV-Grenzen wieder l ngs fester W nde verlaufen , wird hier aus Gl. 2.1: a a

ist dabei die von der Turbine an den Verdichter abgegebene Leistung. Da dem Verdichter die Leistung zugef hrt, dagegen bei der Turbine abgef hrt wird, ist die Verdichterleistung positiv u u . W hlt man wieder eine isentroa und die Turbinenleistung negativ. Es gilt somit hh t44

(2.14)

pt4

PT m5

PT m

h t5 h t5 pt55

Qirr m

s

Bild 2.3: Zustandsverlauf bei der Expansion

pe (adiabat und reibungsfrei) Zustands nderung als Vergleichsprozess, so kann ein isentroper a Turbinenwirkungsgrad deniert werden. Mit den Gr en von Bild 2.3 ergibt sich hierf r: o u

(2.15)

Rein formal ist der isentrope Turbinenwirkungsgrad umgekehrt wie der isentrope Verdichterwirkungsgrad deniert. Dies liegt daran, dass in beiden F llen der isentrope Wirkungsgrad ima mer sein muss, wobei der Maximalwert von eins erst bei einer idealen, d.h. reibungsfreien Zustands nderung erreicht werden darf. a Eine ahnliche Betrachtung wie beim Verdichter liefert f r die Turbinenleistung: u

(2.16)

2.2.3 Der polytrope Wirkungsgrad Die Denition des isentropen Wirkungsgrads erlaubt es nicht, den Verlauf der Zustands ndea rung zu bestimmen, da nur der Anfangs- und der Endzustand dieser Zustands nderung zur Wira kungsgradberechnung herangezogen werden. Dies bedeutet auch, dass die auftretenden Verluste nur pauschal, und nicht am Ort ihres Entstehens, erfasst werden k nnen. Dar ber hinaus ist bei o u

2.2 Kreisprozess und Zustands nderungen ah2 2 p t2

43h4 pt4

a3

b3 b1 b b2 b b2 b3

a1 a2 a a35

a a11

a2p t1

b15

pt5

s

s

Bild 2.4: Zustands nderungen bei mehrstugen Maschinen links Verdichter; rechts Turbine a

mehrstugen Maschinen eine Funktion der Stufenzahl bzw. des Totaldruckverh ltnisses. In a Bild 2.4 ist schematisch der Zustandsverlauf, sowohl eines dreistugen Verdichters, als auch einer dreistugen Turbine wiedergegeben. Unter der Annahme, dass f r beide F lle der Wiru a kungsgrad der Einzelstufe

f r alle Stufen gleich ist, wird f r: u u den Verdichter

die Turbine

Die Tatsache, dass mit zunehmendem Druckverh ltnis abnimmt ( Erhitzungsverlust) a a u bzw. zunimmt ( W rmer ckgewinn), ist durch die Spreizung der Isobaren im h-sDiagramm begr ndet (Bild 2.5). u

0,95

0,90

Turbine

tI

0,85

Verdichter0,80

0,75 0 5 10 15 20 25 30

t

Bild 2.5: Abh ngigkeit des isentropen Wirkungsgrads vom Totaldruckverh ltnis a a

Eine bessere Wirkungsgraddenition erh lt man, wenn die Verluste dort billanziert werden, a wo sie tats chlich entstehen. Dies f hrt zu den polytropen Wirkungsgraden f r den Vera u u u dichter und f r die Turbine. Auch beim polytropen Wirkungsgrad wird eine isentrope Zustands nderung als Vergleichsprozess gew hlt. Da aber die Herleitung im innitesimalen Bea a

44

2 DAS EINFACHE STRAHLTRIEBWERK

reich durchgef hrt wird, kann mit diesem Wirkungsgrad der wahre Zustandsverlauf wiedergeu geben werden. Ein weiterer Vorteil dieser Wirkungsgraddenition ist die Unabh ngigkeit des a polytropen Wirkungsgrads vom Druckverh ltnis. a F r den Verdichter gilt analog Gl. 2.5: u

und f r die Turbine analog Gl. 2.15: u

(2.17)

(2.18)

Mit Hilfe dieser Gleichungen kann auch ein Polytropenexponent am Beispiel der Verdichtung gezeigt werden.

deniert werden. Dies soll

F r den Polytropenexponenten der Verdichtung gilt also: u u Auf ganz ahnliche Weise ergibt sich der Polytropenexponent f r die Expansion zu:

(2.19)

(2.20)

Schreibt man die Verdichterleistung unter Benutzung des polytropen Wirkungsgrads an, so ergibt sich:

(2.21)

Ein Vergleich mit Gl. 2.13 liefert den Zusammenhang zwischen isentropen und polytropen Wirkungsgrad. Setzt man , so wird:

(2.22)

Bildet man f r Gl. 2.22 den Grenz bergang u u

, so zeigt sich, dass dann beide Wirkungs-

2.2 Kreisprozess und Zustands nderungen agrade identisch werden.

45

Bei der Denition des polytropen Wirkungsgrads wurde ein isentroper Vergleichsprozess vorausgesetzt. F r eine Verdichtung mit Zwischenk hlung w re diese Denition daher nicht geu u a eignet. In diesem Fall w rde eine isotherme Zustands nderung den idealen Vergleichsprozess u a darstellen. Als Beispiel, um zu zeigen, wie wichtig es ist, die Verluste am Ort ihres Entstehens zu bilanzieren, sollen die