These Ahmed Frikha

cole Centrale de Nantescole Doctorale Sciences Pour lIngnieur Gosciences Architecture (0367) ex M.T.G.C.Anne 2010 N B.U. :

Thse de

Spcialit : Mcanique Prsente et soutenue publiquement par :

Soutenance prvue le 13 dcembre 2010 au Laboratoire Central des Ponts et Chausses de Nantes

Rapporteurs : Examinateurs : Mohamed Denis Anne-Sophie Laurent Patrice Fabien ICHCHOU DUHAMEL BONNET-BEN DHIA LAGUERRE CARTRAUD TREYSSDE Professeur, cole Centrale de Lyon Professeur, ENPC, Marne La Valle Professeur, ENSTA, Paris Charg de Recherche, LCPC Nantes Professeur, cole Centrale de Nantes Charg de Recherche, LCPC Nantes

Directeur de thse : Co-encadrant :

Patrice CARTRAUD, Fabien TREYSSDE,

Professeur, cole Centrale de Nantes Charg de Recherche, LCPC Nantes

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Table des matiresIntroduction gnrale 1 Gnralits sur la dynamique des structures prcontraintes Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1 Description du mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Tenseur gradient de dformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 quations dquilibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 quation dquilibre de ltat prcontraint . . . . . . . . . . 1.3.2 quation dquilibre de ltat perturb . . . . . . . . . . . . 1.3.3 quation dquilibre dynamique autour de ltat prcontraint 1.4 Loi de comportement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Formulation variationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.1 Principe des travaux virtuels . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.2 Conditions aux limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Formulation dans un systme de coordonnes hlicodales Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 Systme de coordonnes curvilignes . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Paramtrage dune hlice . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2 Base de Serret-Frenet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.3 Bases covariante et contravariante . . . . . . . . . . . . . 2.1.4 Symboles de Christoel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Formulation variationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Vecteur des dplacements . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Tenseur gradient de dplacement . . . . . . . . . . . . . 2.2.3 Tenseur des dformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.4 Loi de comportement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.5 Tenseur des prcontraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.6 Formulation variationnelle dans la base de Serret-Frenet iii 1 5 6 6 8 8 8 9 11 12 13 13 14 15 17 18 18 18 19 20 22 22 23 23 25 27 29 29

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iv Invariance par translation . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Invariance gomtrique . . . . . . . . . . 2.3.2 Invariance matrielle . . . . . . . . . . . 2.3.3 Invariance du systme de coordonnes . 2.4 Systme de coordonnes tournant . . . . . . . . 2.4.1 Invariance pour un brin hlicodal seul . 2.4.2 Invariance pour une structure multi-brins 2.4.3 Paramtrage de la section . . . . . . . . Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3

TABLE DES MATIRES

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . hlicodale . . . . . . . . . . . . . .

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3 Calcul de ltat prcontraint (statique) Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1 Repres bibliographiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Homognisation hlicodale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Le problme dlasticit 3D initial . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2 Mise en oeuvre de la mthode des dveloppements asymptotiques 3.2.3 Les problmes microscopiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.4 Le problme macroscopique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.5 Bilan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.6 Cas dune sollicitation macroscopique homogne . . . . . . . . . . 3.3 Formulation variationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Discrtisation par lments nis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.1 Rsolution du problme microscopique . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.2 Post-traitement : calcul des eorts et moments rsultants . . . . . Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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4 Modlisation de la propagation des ondes lastiques dans un guide prcontraint Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1 Repres bibliographiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1 Mthodes numriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.2 Guides courbes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.3 Guides prcontraints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Approche semi-analytique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1 Vecteurs des dformations et des composantes du tenseur gradient de dplacement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.2 Formulation SAFE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Rsolution par lments nis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Calcul des paramtres modaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

53 54 54 55 56 56 57 58 59 59 61

TABLE DES MATIRES

v . . . . . . . . . . . . . . . . . . dnergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 62 63 64 65 67 68 68 68 71 73 77 78 79 82 85 87 89 90 90 91 92 94 96 96 97 98 102 102 104 106 109 111 117 i

4.4.1 Dnition des vitesses . . . . . . 4.4.2 Expressions de Ec , Ep et P . . . . 4.4.3 Calcul de la vitesse dnergie . . . 4.4.4 Egalit entre vitesses de groupe et Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5 Rsultats pour ltat prcontraint Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1 Structures mono-brins . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.1 Modles de rfrence . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.2 Validation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.3 Limitation de lhypothse des petits dplacements 5.2 Structures multi-brins . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.1 Modles de rfrence . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.2 Validation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.3 Rsultats pour un toron T15.7 (sept brins) . . . . 5.2.4 Prise en compte simplie du contact . . . . . . . Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Rsultats pour les ondes guides Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1 Guides mono-brins . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.1 Modulation du nombre donde . . . . . . . . . 6.1.2 Modle de rfrence avec prcontrainte . . . . 6.1.3 Validation avec prcontrainte . . . . . . . . . 6.1.4 Eet de la ractualisation de la gomtrie . . 6.2 Guides multi-brins . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.1 Repres bibliographiques . . . . . . . . . . . . 6.2.2 Rsultats prliminaires sans chargement . . . 6.2.3 Rsultats avec prcontrainte . . . . . . . . . . 6.2.3.a Cas dun contact linque . . . . . . 6.2.3.b Prise en compte simplie du contact Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Conclusion et perspectives Rfrences bibliographiques Annexes Annexe A : Coordonnes curvilignes

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TABLE DES MATIRES

Annexe B : Eect of axial load on the propagation of elastic waves in helical beams v

Introduction gnraleLes structures hlicodales sont utilises dans divers domaines. Les exemples typiques sont les ressorts hlicodaux, largement prsents dans les industries aronautique et automobile, et les cbles multi-brins du gnie civil, utiliss dans les ouvrages dart. Ces structures sont gnralement soumises des sollicitations axiales importantes. Ceci peut engendrer la dgradation du matriau et sa ssuration lies au dveloppement de la corrosion et de la fatigue mcanique. Ces dgradations menacent lintgrit et la scurit des usagers. Il est donc primordial de disposer de mthodes de Contrle Non Destructif (CND) permettant lauscultation de ces structures. Une multitude de techniques de CND est utilise pour dtecter, localiser et dimensionner les discontinuits mcaniques (ssures, corrosion, inclusions,...). Chacune de ces mthodes prsente son propre domaine dutilisation. Nanmoins, la gomtrie de la structure valuer peut limiter le choix de lutilisation dune technique par rapport une autre. Les problmes daccessibilit et de grandes dimensions des structures hlicodales sont susceptibles de rendre certaines mthodes inadquates au contrle. Le contrle par ultrasons constitue lune des techniques les plus rpandues pour contrler des composants de grandes dimensions, comme les plaques et les tubes. Il consiste notamment analyser la propagation des ondes lastiques guides. De plus cette technique permet linspection des structures accessibles seulement aux extrmits. Les ondes guides prsentent lavantage de se propager sur des longues distances avec peu de perte dnergie et un temps dinspection rduit. Par consquent, le contrle dune grande partie de la pice peut tre ralis sans dplacer la source donde lastique. Nanmoins, les ondes guides possdent un caractre multi-modal (plusieurs modes se propagent pour une mme frquence avec des vitesses direntes) et un caractre dispersif (variation des paramtres modaux tels que les vitesses de phase, de groupe et dnergie en fonction de la frquence). Ces deux caractristiques compliquent linterprtation des signaux mesurs. Lors dun essai de CND par ondes guides, la simulation est un outil susceptible de faciliter linterprtation de ces signaux, voire doptimiser les congurations de contrle. Llment de base constituant les cbles multi-brins est bien souvent un toron sept brins. Il est constitu dun brin droit entour dune couche de six brins priphriques hlicodaux. En raison de la complexit lie la gomtrie hlicodale, la sollicitation

applique et au contact entre les brins, la comprhension de la propagation des ondes lastiques dans de telles structures est dicile. Lobjectif de la prsente thse est de dvelopper un modle numrique permettant lanalyse et la comprhension du phnomne de propagation des ondes lastiques dans des guides hlicodaux mono-brins et multi-brins soumis une sollicitation axiale. lexception des approches bases sur des analyses transitoires, trs coteuses en temps de calcul, la majorit des modles numriques est base sur le principe de Floquet et la mthode des lments nis semi-analytique (SAFE en anglais). La mthode SAFE, permettant de rduire le problme initial 3D en un problme 2D sur la section, est choisie dans ce travail pour modliser la propagation des ondes lastiques dans un guide hlicodal prcontraint. Le dveloppement de ce modle ncessite la connaissance de ltat prcontraint (statique), qui doit tre suppos invariant par translation. Le second objectif de cette thse est donc de dvelopper un modle bidimensionnel rduit sur la section base sur la thorie dhomognisation permettant de dterminer ltat statique prcontraint local de structures hlicodales mono-brins et multi-brins soumises une sollicitation axiale. An de pouvoir valider le modle SAFE pour des guides hlicodaux mono-brins soumis une sollicitation axiale, nous avons galement dvelopp dans le cadre de cette thse un modle de rfrence correspondant la dtermination des modes de propagation dune poutre hlicodale sous chargement axial. Ce manuscrit est divis en six chapitres dont les quatre premiers prsentent la thorie et les deux derniers illustrent les rsultats obtenus. Le premier chapitre dcrit la formulation variationnelle tridimensionnelle de la dynamique des structures autour dun tat dquilibre prcontraint statique. Une analyse non-linaire base sur une formulation Lagrangienne actualise est utilise an de dcrire le comportement dune telle structure en grands dplacements. Le deuxime chapitre prsente la formulation variationnelle de llastodynamique crite dans un systme de coordonnes hlicodales. La notion dinvariance par translation est introduite. Pour les structures mono-brins, elle est vrie dans les systmes de coordonnes hlicodales et tournant. Pour les structures multi-brins, il faut se placer dans le systme tournant, qui permet de satisfaire la fois linvariance du brin central droit et des brins priphriques hlicodaux. Le troisime chapitre prsente la thorie dhomognisation hlicodale permettant le calcul de ltat prcontraint local dans une structure hlicodale soumise un chargement axial. En partant du problme de llasticit 3D, en se basant sur la mthode des dveloppements asymptotiques et en exploitant la proprit dinvariance par translation, cette technique permet de rduire le problme un problme 2D sur la section. Le quatrime chapitre dcrit la mthode SAFE, permettant de dterminer les modes de propagation dans les guides donde hlicodaux sous chargement. partir de la formulation variationnelle de llastodynamique crite dans le systme de coordonnes hlico2

dales, en exploitant la proprit dinvariance par translation et en supposant que londe se propage selon une direction priviligie, cette technique permet aussi de rduire le problme un problme 2D sur la section. Le cinquime chapitre prsente des rsultats pour ltat prcontraint des structures hlicodales mono-brins et multi-brins soumises un chargement axial en utilisant le modle de calcul statique lments nis 2D, dvelopp dans le chapitre 3. Pour les structures mono-brins, la validation du modle est faite par comparaison de la solution avec celle dun modle analytique propos dans littrature. Lhypothse des petits dplacements est brivement tudie. Pour les torons sept brins, la validation est eectue par comparaison de la solution avec celle dun modle lments nis 3D issu de la littrature. Quelques rsultats sont prsents pour un toron de type T15.7 en contact linque entre le brin central et les brins priphriques, puis avec une prise en compte simplie du contact sans interpntration. Le dernier chapitre prsente des rsultats pour la propagation des ondes lastiques dans un guide donde hlicodal mono-brin puis multi-brins soumis une dformation axiale en utilisant le modle SAFE, dvelopp dans le chapitre 4. Pour les guides monobrins, la validation de ce modle est faite par comparaison des rsultats avec ceux dun modle bas sur lapproximation de poutre, dcrit en Annexe B. Pour les guides multibrins (torons sept brins), le phnomne de dcalage de la bande de frquence dite "manquante" vers les hautes frquences sous leet dun chargement axial dextension, observ exprimentalement, est retrouv numriquement par la modlisation SAFE en tenant compte de la prcontrainte, de la dformation de la gomtrie et du contact sans interpntration.

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TABLE DES MATIRES

Chapitre 1 Gnralits sur la dynamique des structures prcontraintesSommaireIntroduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1 1.2 1.3 Description du mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tenseur gradient de dformation . . . . . . . . . . . . . . . . . quations dquilibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 1.3.2 1.3.3 1.4 1.5 quation dquilibre de ltat prcontraint . . . . . . . . . . . . quation dquilibre de ltat perturb . . . . . . . . . . . . . . quation dquilibre dynamique autour de ltat prcontraint . 6 6 8 8 8 9 11 12 13 13 14 15

Loi de comportement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Formulation variationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.1 1.5.2 Principe des travaux virtuels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Conditions aux limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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1 Gnralits sur la dynamique des structures prcontraintes

IntroductionLes cbles multi-brins sont largement utiliss en gnie civil, plus prcisment dans la construction des ouvrages dart et du bton prcontraint. Ces structures sont gnralement soumises des chargements importants et des dformations de quelques pourcents au maximum. Nous dcomposons le problme en une tude statique, pour connatre le niveau de prcontrainte et la dformation de la gomtrie, et un problme de dynamique autour de cet tat dquilibre prcontraint. Nous nous intressons aux mouvements de petites amplitudes autour de ltat prcontraint et le problme dynamique est linaris. Dans ce chapitre, nous prsentons la formulation variationnelle de la dynamique des structures autour dun tat dquilibre prcontraint statique. Lanalyse linaire ne permet pas de reeter le comportement rel dune telle structure. Il est ncessaire de passer par une analyse non-linaire. Nous supposons que la loi de comportement du matriau reste linaire lastique. Les non-linarits matrielles ne sont pas considres. Nous nous intressons seulement aux non-linarits gomtriques. On supposera que la structure considre est soumise de grands dplacements et des dformations assez petites. Ce type de problme peut tre mis en quation en utilisant une formulation Lagrangienne dite totale, dont le volume de contrle est la gomtrie non dforme de rfrence, ou bien en utilisant une formulation Lagrangienne dite actualise, dont le volume de contrle est la gomtrie statique dforme. Nous commenons par crire les quations dquilibre de ltat prcontraint et perturb respectivement dans les congurations prcontrainte et perturbe en utilisant une formulation Lagrangienne actualise. Nous transformons lquation dquilibre perturbe dans la conguration prcontrainte. En retranchant les deux quations dquilibre, nous obtenons lquation dquilibre dynamique autour dun tat dquilibre prcontraint. Cette quation est linarise par hypothse des petites perturbations dynamiques. Ce chapitre sappuie principalement sur les ouvrages de Bathe [1996], Yang and Kuo [1994] et Geradin and Rixen [1997], et a pour objectif dintroduir les notions utiles pour la suite.

1.1

Description du mouvement

Considrons un repre orthonorm R(O, e1 , e2 , e3 ). La cinmatique classique dun milieu continu est construite partir des notions : de temps, pouvant tre reprsent par une variable relle t. despace physique, pouvant tre reprsent par un espace ane tridimensionnel. Les points de cet espace sont appels "points matriels". A un instant t = 0, le point Mref a pour coordonnes xref1 , xref2 , xref3 qui dnissent la position du point matriel P dans la conguration de rfrence non prcontrainte Cref

1.1 Description du mouvement

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(voir gure 1.1). Nous pourrons ainsi crire xref = OM ref = xref1 e1 + xref2 e2 + xref3 e3 .

Fig. 1.1 Mouvement dun corps entre la conguration dquilibre de rfrence Cref , la conguration dquilibre statique prcontrainte C0 et la conguration perturbe C. Sous laction de sollicitations extrieures statiques, la structure se dforme vers la conguration dquilibre prcontrainte C0 . Ainsi il est ncessaire de dnir les coordonnes x01 , x02 et x03 du point M0 qui linstant t reprsente la position du point matriel P appartenant la conguration C0 . Nous pourrons ainsi crire x0 = OM 0 = x01 e1 +x02 e2 + x03 e3 . La position du point matriel M0 est une fonction de la position de Mref et du temps (x0 = x0 (xref , t)). La vibration autour de ltat dquilibre prcontraint donne naissance une conguration perturbe C. Le point matriel P occupe la position du point M de coordonnes x1 , x2 et x3 dans la conguration C. Le vecteur position est donn par x = OM = x1 e1 + x2 e2 + x3 e3 . Les quantits indices par ()ref , ()0 et () dsignent des quantits relatives la conguration Cref , C0 et C. Par exemple ref , 0 et dsignent les tenseurs de contraintes de Cauchy relatifs Cref , C0 et C. Les oprateurs ref , 0 et reprsentent les oprateurs gradient calculs par rapport xref , x0 et x. Les quantits ne possdant aucun indice sont relatives la dynamique autour de ltat prcontraint. Par exemple u dsigne le dplacement de la perturbation autour de ltat prcontraint. Les grandeurs peuvent tre crites en fonction des variables xref , x0 ou x. Cependant, la notation choisie ici sera la mme selon les variables utilises, ce qui est abusif mais permet de ne pas surcharger les critures par la suite. Par exemple pour u, on crira u = u(xref , t) pour Cref , u = u(x0 , t) pour C0 et u = u(x, t) pour C. En eet, on aurait

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rigoureusement u = u(x, t) = u(x(xref , t), t) u(x0 , t).

u(xref , t) et u = u(x, t) = u(x(x0 , t), t)

1.2

Tenseur gradient de dformation

Pour matrialiser la dformation, on tudie la transformation dun vecteur matriel . Toutefois on conoit bien que ltat de dformation ntant gnralement pas homogne dans la matire, il faille utiliser des points matriels inniment voisins an de bien caractriser la dformation au voisinage dun point matriel. Nous sommes ainsi amens considrer les transformations dxref dx et dx0 dx. Ces relations nous permettent de mettre en vidence les composantes des tenseurs Fref et F0 , dnies par dxi = Frefij dxrefj xi xi et F0ij = . Sous forme condense, on peut crire : et dxi = F0ij dx0j , o Frefij = xrefj x0j dx = Fref dxref , dx = F0 dx0 . (1.1)

Ces tenseurs sont appels "tenseurs gradient de dformation". Ils permettent de caractriser les direntes transformations inter-congurations. Les composantes du tenseur F0 peuvent tre calcules partir du champ de dplacement en direnciant le vecteur dplacement donn par u = OM OM0 = x x0 . On a donc sous forme indicielle ui (x0i + ui ) = ij + . Sous forme condense, le tenseur gradient de dformation F0ij = x0j x0j scrit comme suit : F0 = I +0 u.

(1.2)

Jref (respectivement J0 ) est dni comme le dterminant du tenseur gradient par rapport xref (respectivement x0 ), on peut crire Jref = detFref et J0 = detF0 .

1.3

quations dquilibre

Dans ce paragraphe, on commence par crire lquation dquilibre statique de ltat prcontraint dans la conguration C0 . Puis on transforme lquation dquilibre de ltat perturb, crite dans la conguration perturbe C, sur la conguration prcontrainte statique C0 . Ceci permet de dduire lquation dquilibre dynamique autour de ltat dquilibre statique prcontraint.

1.3.1

quation dquilibre de ltat prcontraint

Hypothse : Dans toute la suite, ltat prcontraint correspond un tat statique.

1.3 quations dquilibre

9

Soient 0 le tenseur des contraintes de Cauchy et dt0 les eorts surfaciques lmentaires relatifs la gomtrie prcontrainte et dnis sur la conguration C0 . 0 est dni par : dt0 = 0 n0 dS0 , (1.3)

o dS0 est un lment de surface de la gomtrie prcontrainte et n0 est la normale sortante dS0 . Soit f0 le vecteur des eorts massiques extrieurs relatif C0 . 0 et f0 satisfont lquation dquilibre statique, base sur la conservation de la quantit de mouvement, suivante :0

0 + 0 f0 = 0,

(1.4)

o 0 et 0 () reprsentent la masse volumique et loprateur divergence dans la conguration C0 .

1.3.2

quation dquilibre de ltat perturb

Soient le tenseur des contraintes de Cauchy et dt les eorts surfaciques lmentaires relatifs la gomtrie perturbe et dnis sur la conguration C. est dni par : dt = ndS, (1.5)

o dS est un lment de surface de la gomtrie perturbe et n est la normale sortante dS. Soit f le vecteur des eorts massiques extrieurs relatif la conguration C. et f satisfont lquation dquilibre dynamique suivante (ltat perturb correspond en eet un tat dynamique) : + f = , (1.6) o et reprsentent respectivement la masse volumique du matriau dans la conguration C et lacclration du mouvement entre la conguration C0 et C. () est loprateur divergence relatif la conguration C. Pour se ramener la conguration prcontrainte statique, on considre V (respectivement V0 ) un volume de contrle de la structure dans la conguration C (respectivement C0 ). Dune part, on eectue un changement de variables du volume V V0 , on obtient :V

dV =

V0

J0 dV0 ,

(1.7)

dautre part, on applique le thorme de la divergence, on obtient :V

dV =

S

ndS.

(1.8)

Soient le volume innitsimal dV (respectivement dV0 ) dans la conguration C (respectivement C0 ). Ce volume correspond un petit cube dartes donnes par les trois

10


vecteurs nots dx01 , dx02 , dx03 (respectivement dx1 , dx2 , dx3 ). Dans la conguration C0 , on a n0 dS0 = dx01 dx02 et dans la conguration C, on a ndS = dx1 dx2 . En passant par lintermdiaire dun lment de volume, on a de deux manires dV = (dx1 dx2 ) dx3 = T ndS (F0 dx03 ) = (F0 ndS)dx03 et dV = J0 dV0 = J0 (dx01 dx02 ) dx03 = J0 n0 dS0 dx03 . Cette criture de deux manires direntes nous permet dobtenir : ndS = J0 F0 n0 dS0 . En utilisant lquation (1.9), lquation (1.8) devient :V T

(1.9)

dV =

S0

(J0 F0 ) n0 dS0 =

T

V0

0

(J0 F0 )dV0 .

T

(1.10)

Daprs lquation (1.10) et la relation dV = J0 dV0 , on peut conclure que : = 1 J00

(J0 F0 ).

T

(1.11)

La substitution de lquation (1.11) dans lquation (1.6) nous permet dcrire : 1 J00

(J0 F0 ) + f = .

T

(1.12)

La conservarion de la masse fournit par ailleurs : dV = 0 dV0 , (1.13)

et puisque dV = J0 dV0 , alors les masses volumiques des congurations C0 et C sont lies par lquation suivante : 0 (1.14) = . J0 partir de lquation (1.14) et aprs multiplication par J0 , lquation (1.12) devient comme suit : T (1.15) 0 (J0 F0 ) + 0 f = 0 . Cette quation peut tre exprime de faon dirente en introduisant les contraintes de Cauchy relatives la conguration perturbe C, dnies par lquation (1.5), et les contraintes de Piola-Kirchho de deuxime espce actualises S, dnies par : dt0 = S n0 dS0 , (1.16)

o dt0 dsigne les eorts surfaciques lmentaires appliqus sur la gomtrie perturbe mais exprim dans la conguration C0 . En reportant lquation (1.9) dans (1.5), on obtient : dt = J0 F0 n0 dS0 .T

(1.17)

1.3 quations dquilibre

11

Puisque les eorts surfaciques de la gomtrie perturbe dnis sur les congurations C et C0 sont lis par : 1 dt0 = F0 dt, (1.18) on peut crire : dt0 = J0 F0 F0 n0 dS0 .1 T

(1.19)

Par identication des termes de lquation (1.19) et (1.16), les contraintes de PiolaKirchho de deuxime espce actualises S sont lies celles de Cauchy dans la conguration C par (Yang and Kuo [1994] et Bathe [1996]) : S = J0 F0 F0 .1 T

(1.20)

La substitution de lquation (1.20) dans lquation (1.15) nous permet dcrire lquation dquilibre dynamique par rapport aux variables de la conguration C0 :0

(F0 S) + 0 f = 0 .

(1.21)

1.3.3

quation dquilibre dynamique autour de ltat prcontraint

Lquation dquilibre statique, donne par lquation (1.4), et lquation dquilibre dynamique, donne par lquation (1.21), sont crites par rapport la mme conguration C0 . Donc par simple soustraction des deux quations, on obtient lquation dquilibre dynamique autour de ltat prcontraint. Ce qui donne :0

(F0 S 0 ) + 0 (f f0 ) = 0 .

(1.22)

On dnit alors les quantits relatives la perturbation autour de ltat prcontraint : leort massique f = f f0 et lacclration = 0 = car lacclration de la conguration dquilibre statique C0 est nulle. On dnit le tenseur incrment de Piola-Kirchho actualis not S comme tant la dirence entre S, le tenseur des contraintes relatif la conguration C actualis sur la conguration C0 et 0 , le tenseur des contraintes de Cauchy dni sur la conguration prcontrainte C0 (voir Yang and Kuo [1994]). On a donc : S = 0 + S. En utilisant les quations (1.2) et (1.23), on peut crire : F0 S 0 = (I +0 u)( 0

(1.23)

+ S) 0 = (I +

0 u)S

+

0u

0.

(1.24)

En substituant lquation (1.24) dans lquation (1.22), on obtient :0

((I +

0 u)S

+

0u

0 ) + 0 f = 0

2u . t2

(1.25)

12


Pour tudier les vibrations de petites amplitudes autour de ltat prcontraint statique, on travaille dans lhypothse des petites perturbations dynamiques, ce qui revient linariser lquation (1.25). Le premier terme de cette quation est linaris en ngligeant les termes du second ordre (cest--dire 0 u devant I). On obtient lquation dquilibre dynamique linarise autour de ltat dquilibre statique prcontraint caractris notamment par sa contrainte de Cauchy 0 . Cette quation est donne par :0 (S + 0 u 0 ) + 0 f = 0

2u . t2

(1.26)

1.4

Loi de comportement

Le tenseur incrment des contraintes de Piola-Kirchho actualis S est li au tenseur incrment des dformations de Green-Lagrange e par la relation suivante, voir Yang and Kuo [1994] et Bathe [1996] : S = C0 : e, (1.27) o C0 est le tenseur constitutif incrmental relatif la conguration C0 . Sous forme condense, e scrit comme suit : e = 1/2(0u

+

0u

T

+

0u

0u

T

).

(1.28)

Daprs lhypothse des petites perturbations, le tenseur incrment des dformations de Green e peut tre linaris en ngligeant les termes du second ordre (cest--dire 0 u T 0 u ). Lquation (1.28) devient : e 1/2(0u

+

0u

T

)= ,

(1.29)

o est la partie linaire du tenseur des dformations de Green-Lagrange. Aprs linarisation du tenseur des dformations, lquation (1.27) devient : S = C0 : . (1.30)

Notons que jusquici, aucune hypothse sur la nature des dformations de ltat prcontraint na t faite. Tout ce quon a crit reste valable aussi bien en petites dformations quen grandes dformations. En gnral, les caractristiques matrielles sont spciques pour chaque conguration. Dans le cadre des petites dformations, on peut supposer que les coecients matriels du tenseur C0 sont identiques pour toutes les congurations et restent constants lors dune analyse non-linaire. Dans le cadre de ce travail, C0 correspond un comportement lastique linaire (Bathe [1996], Yang and Kuo [1994]).

1.5 Formulation variationnelle

13

1.5

Formulation variationnelle

En vue de rsoudre numriquement les problmes de la dynamique des structures prcontraintes, on dveloppe maintenant la formulation variationnelle de la dynamique des structures autour dun tat dquilibre statique prcontraint.

1.5.1

Principe des travaux virtuels

On eectue un produit scalaire de lquation dquilibre dynamique autour de ltat prcontraint donne par lquation (1.26) avec un champ de dplacement virtuel u et on intgre le rsultat sur le volume de contrle V0 , on obtient :V0

u (

0

S+

0

(

0u

0 ))dV0 +

V0

0 u fdV0 =

V0

0 u

2u dV0 . t2

(1.31)

En eectuant une intgration par parties sur le premier terme de gauche de lquation (1.31) et en appliquant le thorme de la divergence, on trouve :V0

u (

0

S+ (S +

0

(

0u

0 ))dV0 =0 u)dV0 .

S0

(u (S +

0u

0 )) n0 dS0

V0

0u

0 ) : (

(1.32)

En substituant lquation (1.32) dans lquation (1.31), on aura :V0 0 u :

SdV0 + =V0

V0

0 u :

(

0u

0 )dV0 +

V0

0 u V0

2u dV0 t2

u ((S +

0u

0 ) n0 )dS0 +

0 u fdV0 .

(1.33)

La quantit sous lintgrale du premier terme de lquation (1.33) peut scrire, par symtrie de S, comme suit :0 u :

1 S= ( 2

0 u :

S+

0 u :

ST ).0 u :

(1.34) ST = (1.35)

Le deuxime terme de droite de lquation (1.34) scrit autrement par T 0 u : S. Lquation (1.34) devient :0 u :

S = : S,

o = 1/2( 0 u + 0 uT ). Par insertion de la loi de comportement (1.30) dans lquation (1.35), on peut crire : (1.36) 0 u : S = : (C0 : ). Dautre part, le second terme de gauche de lquation (1.33) peut scrire en fonction de la fonction trace an de faire apparatre la symtrie. En tenant compte de la symtrie du tenseur 0 , on peut montrer :0 u :

(

0u

0 ) = tr(

0 u

0

0u

T

).

(1.37)

14


En substituant lquation (1.36) et (1.37) dans lquation (1.33), on aura : : C0 : dV0 + = tr(0 u

V0

V0

0 0u

0u

T

)dV0 +

V0

0 u V0

2u dV0 t2

V0

u ((S +

0 ) n0 )dS0 +

0 u fdV0 .

(1.38)

Sous cette forme, les deux premiers termes de lquation (1.38) sont clairement symtriques.

1.5.2

Conditions aux limites

Sur la frontire du domaine, V0 = V0u V0T , on distingue deux types principaux de conditions aux limites (Figure 2). Le premier type est appel conditions aux limites essentielles. Ces conditions, o les dplacements sont imposs sur tout le contour V0u , scrivent comme suit : u(P ) = u(P ), P V0u . (1.39) Ces conditions aux limites sont aussi dites de type Dirichlet. Le deuxime type, appel conditions aux limites naturelles, est issu de la formulation variationnelle. Elles reprsentent les contributions du travail qui sont concentres sur la frontire V0T . Le vecteur traction impos sur le contour V0T est donn par : T(P ) = (S +0u

0 ) n0 = T(P ), P V0T .

(1.40)

Ces conditions aux limites sont aussi dites de type Neumann. En introduisant les conditions aux limites, donnes par lquation (1.39) et (1.40), la formulation variationnelle, donne par lquation (1.38), devient : : C0 : =T V0

V0

dV0 +

V0

tr(V0

0 u

0

0u

T

)dV0 +

V0

0 u

2u dV0 t2

u TdS0 +

0 u fdV0 ; u/u |V0u = u, u |V0u = 0.

(1.41)

On note que linuence de ltat prcontraint est prsente dans la formulation variationnelle de deux manires : la prcontrainte de Cauchy 0 donne par le deuxime terme de gauche de la formulation variationnelle (1.41), la dformation de la gomtrie puisque les intgrales de lquation (1.41) sont calcules par rapport la gomtrie dforme de volume V0 . Lquation (1.41) traduit le principe des travaux virtuels donn par : Wint + Wi = Wext . Les quantits de lquation (1.42) sont donnes par : (1.42)


15

V0u= u

u

V0

T

S 0 u 0 n0= T

f

Vn0

Fig. 1.2 Conditions aux limites appliques sur la conguration C0 Wint = intrieur,V0

: C0 : dV0 +

V0

tr(

0 u

0

0u

T

)dV0 dsigne le travail virtuel

2u Wi = V0 0 u 2 dV0 est le travail virtuel dinertie, t Wext = V0T u TdS0 + V0 0 u fdV0 est le travail virtuel des eorts extrieurs.

ConclusionDans ce chapitre, nous avons dcrit la formulation variationnelle de la dynamique des structures autour dun tat dquilibre prcontraint statique. Un chargement statique appliqu sur une structure se traduit sur les quations dquilibre dynamique par leet dun terme de prcontrainte (de Cauchy) et par la dformation de la gomtrie. An de dterminer ltat statique et les modes de propagation dune structure hlicodale soumise un chargement axial, on va dvelopper dans le prochain chapitre la formulation variationnelle dans un systme de coordonnes hlicodal.

16


Chapitre 2 Formulation dans un systme de coordonnes hlicodalesSommaireIntroduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 Systme de coordonnes curvilignes . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 2.1.2 2.1.3 2.1.4 2.2 2.2.1 2.2.2 2.2.3 2.2.4 2.2.5 2.2.6 2.3 2.3.1 2.3.2 2.3.3 2.4 2.4.1 2.4.2 2.4.3 Paramtrage dune hlice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Base de Serret-Frenet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bases covariante et contravariante . . . . . . . . . . . . . . . . Symboles de Christoel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vecteur des dplacements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tenseur gradient de dplacement . . . . . . . . . . . . . . . . . Tenseur des dformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Loi de comportement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tenseur des prcontraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Formulation variationnelle dans la base de Serret-Frenet . . . . Invariance gomtrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 18 18 19 20 22 22 23 23 25 27 29 29 30 30 30 31 31 32 33 34 35

Formulation variationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Invariance par translation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Invariance matrielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Invariance du systme de coordonnes . . . . . . . . . . . . . . Invariance pour un brin hlicodal seul . . . . . . . . . . . . . . Invariance pour une structure multi-brins hlicodale . . . . . . Paramtrage de la section . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Systme de coordonnes tournant . . . . . . . . . . . . . . . .

Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

2 Formulation dans un systme de coordonnes hlicodales

IntroductionDans le chapitre prcdent, nous avons dvelopp la formulation variationnelle de la dynamique des structures autour dun tat dquilibre prcontraint statique. Lobjet de ce chapitre est dcrire cette formulation variationnelle dans un systme de coordonnes hlicodales. Dans la premire section, nous commenons par paramtrer lhlice et la base de Serret-Frenet associe (voir Gray et al. [2006]). Un systme de coordonnes hlicodales est dni. Nous introduisons ensuite les bases covariante et contravariante ainsi que les symboles de Christoel. Pour une introduction lutilisation des systmes de coordonnes curvilignes, le lecteur peut se refrer par exemple aux ouvrages de Chapelle and Bathe [2003], Gray et al. [2006], Synge and Schild [1978] et Wempner [1981]. Un bref rappel est galement donn en Annexe A. Dans la deuxime section, nous dveloppons les oprateurs direntiels utiliss dans la formulation variationnelle dans les bases covariante et contravariante. Par commodit, la formulation est nalement recrite dans la base, orthonorme, de Serret-Frenet. Dans la troisime et la quatrime sections, nous introduisons la notion dinvariance par translation. Cette invariance par translation, regroupant linvariance gomtrique, matrielle et du systme de coordonnes, est vrie pour des guides hlicodaux. Cette condition dinvariance est fondamentale puisquelle reprsente en quelque sorte une condition susante pour lexistence des ondes guides dans une structure. Un systme de coordonnes tournant, cas particulier du systme hlicodal, est galement dni. Ce systme permettra ltude des structures multi-brins hlicodales. Les dveloppements eectus dans ce chapitre seront utiliss pour le calcul de ltat statique et la dtermination des modes de propagation dune structure hlicodale dans les chapitres 3 et 4.

2.12.1.1

Systme de coordonnes curvilignesParamtrage dune hlice

On considre une structure hlicodale dont la section est maintenue constante le long de laxe. R et L sont respectivement le rayon de lhlice dans le plan cartsien (X, Y ) et la longueur dune spire de lhlice le long de laxe Z. Laxe de lhlice peut tre dcrit par le vecteur position suivant : 2 L 2 s + )eX + Rsin( s + )eY + seZ , (2.1) l l l o l est la longueur curviligne dun pas de lhlice, donne par lquation suivante : l = L2 + 4 2 R2 , (2.2) r(s) = Rcos(

2.1 Systme de coordonnes curvilignes

19

et un angle de dphasage. Pour un toron sept brins avec six brins hlicodaux, = (N 1)/3 o N = 1, .., 6 et pour un brin hlicodal seul, = 0. (eX , eY , eZ ) dsigne la base cartsienne. Le paramtre s, correspondant la longueur de larc, varie entre 0 et l (voir gure 2.1). On dsigne par et respectivement la courbure et la torsion. Ces paramtres, constants pour une hlice, sont dnis par : = 2L 4 2 R , = 2 . l2 l (2.3)

S=l

eZ

L

(x,y) eb

en s

et eYS=0

O

R

e X

eX

S=0

eY

Fig. 2.1 Gauche : Pas dhlice avec sa base de Serret-Frenet associe et le systme de coordonnes hlicodales (x, y, s). Droite : vue normale laxe Z. Le point s = 0 est dans le plan (X, Y )

2.1.2

Base de Serret-Frenet

Soit (en , eb , et ) la base de Serret-Frenet associe lhlice. Les vecteurs unitaires tangent et , normal en et binormal eb laxe de lhlice sont dnis par : et = dr det , = en , eb = et en . ds ds (2.4)

Les formules de Serret-Frenet donnent : den deb = eb et , = en . ds ds (2.5)

20


Dans la base cartsienne (eX , eY , eZ ), les vecteurs en , eb et et sexpriment ainsi : 2 2 s + )eX sin( s + )eY , l l L 2 L 2 2 eb = sin( s + )eX cos( s + )eY + ReZ , l l l l l 2 2 2 L 2 R cos( s + )eY + eZ . et = R sin( s + )eX + l l l l l en = cos(

(2.6)

Avec cette convention de notation, le vecteur normal en est orient vers lintrieur de lhlice. Maintenant un nouveau systme de coordonnes (x, y, s) est construit depuis la base orthonorme (en , eb , et ), tel que tout vecteur position x peut tre exprim comme suit : x(x, y, s) = r(s) + xen (s) + yeb (s). (2.7)

2.1.3

Bases covariante et contravariante

Dans la base orthonorme de Serret-Frenet (en , eb , et ), un point de lespace est dni par le vecteur position x, donn par lquation (2.7). Ce vecteur va servir pour dnir les bases covariante et contravariante, non ncessairement orthogonales, associes au systme de coordonnes curvilignes ainsi que leurs tenseurs mtriques. Soit (g1 , g2 , g3 ) la base covariante associe au systme de coordonnes (x, y, s). Les vecteurs de la base covariante g1 , g2 et g3 sont dnis par (voir annexe A) : x x x = en (s) , g2 = = eb (s) , g3 = = yen (s) + xeb (s) + (1 x)et (s). x y s (2.8) Les vecteurs de la base covariante gi (i = 1, 2, 3) peuvent tre exprims en fonction des vecteurs de la base de Serret-Frenet e ( = n, b, t) de la manire suivante : g1 = g1 g2 g3

en T = [J] eb et

,

(2.9)

o :

1 0 0 T 0 . [J] = 1 0 y x 1 x

(2.10)

Notons que [J] reprsente la matrice Jacobienne (voir Eq. (2.64)). Les composantes du tenseur mtrique covariant sont dnies par le produit salaire des vecteurs de la base covariante : gmn = gm gn , (2.11)

2.1 Systme de coordonnes curvilignes

21

ce qui nous donne, aprs calcul des dirents coecients, le tenseur mtrique covariant suivant : 1 0 y . (2.12) g = [J]T [J] = 0 1 x 2 2 2 2 y x (x + y ) + (1 x) On remarque que le tenseur mtrique covariant ne dpend pas de la variable axiale s puisque la courbure et la torsion sont constantes pour une hlice. La base covariante (g1 , g2 , g3 ) donne naissance une nouvelle base (g1 , g2 , g3 ), appele contravariante. Les vecteurs de la base contravariante sont dnis partir de la relation suivante : j gi gj = i . (2.13) Lindice de bas (resp. de haut) utilis pour les vecteurs correspond la base covariante (resp. la base contravariante). Les composantes dun tenseur exprim dans la base covariante sont des composantes contravariantes indices en haut et inversement. laide de lquation (2.13), les vecteurs de la base contravariante scrivent : x 1 y et (s) + en (s) , g2 = et (s) + eb (s) , g3 = et (s). (2.14) g1 = 1 x 1 x 1 x Sous forme vectorielle, les vecteurs de lquation (2.14) se rcrivent : g1 g2 g3

en 1 = [J] eb et

,

(2.15)

y 1 0 1 x x 1 0 1 . [J] = (2.16) 1 x 1 0 0 1 x Les composantes covariantes et contravariantes crites dans la base de Serret-Frenet, qui est une base orthonorme, sont identiques. On note par la suite toute quantit crite dans la base de Serret-Frenet par des indices en bas. Les coecients du tenseur mtrique contravariant sont dnis par le produit scalaire des vecteurs de la base contravariante comme suit : g mn = gm gn . (2.17) On remarque que le tenseur mtrique contravariant est gal linverse du tenseur mtrique covariant, ce qui nous donne : G = g1 = [J]1 [J]T g + ( y)2 2 xy y 1 = 2 xy g + ( x)2 x , g y x 1

o :

(2.18)

o g = (1 x)2 est le dterminant du tenseur mtrique covariant g.

22


2.1.4

Symboles de Christoel

k Les symboles de Christoel de second ordre ij sont dnis par lquation suivante (voir Annexe A ) : k ij = gi,j gk .

(2.19)

En utilisant les formules de Serret-Frenet, les quantits de lquation (2.19) deviennent :k k k k 2 2 3 3 1 1 11 = 12 = 21 = 22 = 0 , 23 = 32 = 23 = 32 = 0 , 23 = 32 = , 1 33 = 1 13

2 xy y ( y)2 2 3 + (1 x) 2 x , 33 = 2 y , 33 = , 1 x 1 x 1 x y x 1 2 2 3 3 = 31 = , 13 = 31 = + , 13 = 31 = . 1 x 1 x 1 x

(2.20)

On peut montrer que les symboles de Christoel peuvent tre crits seulement en fonction des coecients du tenseur mtrique de la manire suivante : 1 k ij = g kl (gjl,i + gil,j + gij,l ). 2 (2.21)

Puisque le tenseur mtrique, donn par lquation (2.12), ne dpend pas de la variable axiale s, on peut conclure que les symboles de Christoel ne dpendent pas de s non plus. Cest bien ce que lon obtient dans lquation (2.20).

2.2

Formulation variationnelle

On considre un matriau lastique linaire avec une dpendance harmonique en eit . La formulation variationnelle tridimensionnelle donne par lquation (1.41) scrit de la faon suivante :V0

: C0 :

dV0 +

V0

tr(

0 u

0

0u

T

)dV0 2

V0

0 u udV0 = 0,

(2.22)

o , C0 , u et 0 dsignent respectivement le tenseur des dformations, le tenseur des modules dlasticit, le vecteur des dplacements et le tenseur des prcontraintes. Les oprateurs tr() et 0 reprsentent respectivement la trace et le gradient calculs par rapport aux coordonnes de la conguration dquilibre prcontrainte. 0 et V0 dsignent respectivement la masse volumique et le volume de la conguration dquilibre prcontrainte. Dans cette section, on commence par dvelopper les direntes quantits de la formulation variationnelle dans les bases covariante et contravariante. laide des relations entre ces bases et la base de Serret-Frenet, on pourra crire sous forme vectorielle la formulation variationnelle dans la base de Serret-Frenet, plus commode car orthonorme.


23

2.2.1

Vecteur des dplacements

Les dplacements covariants nont pas ncessairement de sens physique puisquils nont pas ncessairement la dimension dune longueur. En utilisant les transformations de lquation (2.15), le vecteur des dplacements scrit comme suit : u = ui gi = ui (J 1 )i e , (2.23)

o lindice = n, b, t reprsente les composantes respectives selon en ,eb et et . (J)i et (J 1 )i dsignent respectivement les composantes de la matrice [J] et [J]1 . En sappuyant sur lquation (2.23), le vecteur des dplacements scrit dans la base (en , eb , et ) comme suit : u = u e , o les composantes du vecteur des dplacements sont donnes par : u = ui (J 1 )i . (2.25) (2.24)

Lquation (2.25) nous permet dcrire la relation entre le vecteur des dplacements covariants et de Serret-Frenet comme suit : {ucov } = [J]T {u}, o {ucov } = u1 u2 u3 et {u} = un ub ut respectivement covariants et de Serret-Frenet.T T

(2.26) sont les vecteurs des dplacements

2.2.2

Tenseur gradient de dplacement

Dans un systme de coordonnes curvilignes, le tenseur gradient du vecteur des dplacements covariants est dni par (Annexe A) :0u

= ij gi gj ,

(2.27)

o ij est donn par : ij = ui,j k uk . ij (2.28)

On rappelle que les indices de bas (resp. de haut) dnotent les composantes covariantes (resp. contravariantes) par rapport la base contravariante (g1 , g2 , g3 ) (resp.(g1 , g2 , g3 )). La notation (),i (i = 1, 2, 3) est utilise pour la drivation respectivement selon x, y et s. Le dveloppement des coecients de lquation (2.28) nous permet dcrire le vecteur des composantes covariantes du tenseur gradient de dplacement en fonction du vecteur

24


des dplacements covariants :

{cov } =

/x 0 0 /y 0 0 y x + /s ( + ) 1 x 1 x 1 x 0 /x 0 0 /y 0 /s 0 y x ( + ) + /x 1 x 1 x 1 x 0 /y 2 xy y ( y)2 (1 x) 2 y + + /s 2x 1 x 1 x 1 x 11 12 13 21 22 23 31 32 33T

{ucov },

o {cov } = covariantes.

(2.29) est le vecteur des composantes

La substitution de lquation (2.15) dans (2.27) nous permet dcrire :

0u

= e e ,

(2.30)

o les coecients sont donns par :

= ij (J 1 )i (J 1 )j .

(2.31)

An de faciliter le passage de la base covariante celle de Serret-Frenet, on introduit la matrice [Q] qui lie le vecteur des composantes de Serret-Frenet du tenseur gradient de dplacement au vecteur des composantes covariantes par la relation suivante :

{} = [Q]{cov },

(2.32)

o {} = nn nb nt bn bb bt tn tb tt est le vecteur des composantes de Serret-Frenet. On montre que la matrice [Q], dnie par lquation (2.32), est donne

T


25

par :

[Q] =

1 0 y g 0 0 0 y g 0 2y2 g

0 1 x g 0 0 0 0 y g 2 xy g

0 0 1 g 0 0 0 0 0 y g

0 0 0 1 0 y g x g 0 2 xy g

0 0 0 0 1 x g 0

0 0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 g 0 1 0 y g g

0 0 0 0 0 0 0 g x g 1

0 0 0 0 0 0 0 0 1 g .

(2.33)

x 0 g 2 x2 x g g

partir de lquation (2.26), (2.29), (2.32) et (2.33), le vecteur des composantes de Serret-Frenet du tenseur gradient de dplacement peut tre exprim en fonction du vecteur des dplacements de Serret-Frenet, ce qui nous donne nalement :

{} =

/x 0 /y 0 1 + /s 1 x 1 x 0 /x 0 /y 1 + /s 1 x 1 x 0 0 0 0 0 + 1 x

0 0 1 x 0 0 0 /x /y 1 /s 1 x

{u},

(2.34)

o =

(y/x x/y). 1 x

2.2.3

Tenseur des dformations

Dans le systme de coordonnes curvilignes, le tenseur des dformations scrit dans la base contravariante comme suit : =ij g i

gj .

(2.35)

La relation dformation-dplacement scrit sous forme tensorielle comme suit : 1 = ( 20u

+

0u

T

).

(2.36)

26


partir des composantes du tenseur gradient du vecteur des dplacements, donnes par lquation (2.28), les coecients du tenseur des dformations scrivent dans la base contravariante sous la forme suivante : 1 k = (ui,j + uj,i ) ij uk , 2 (2.37)

ij

o

ij

dsignent les composantes covariantes du tenseur des dformations.

Le dveloppement des quantits de lquation (2.37) nous permet dobtenir la relation entre le vecteur des dformations covariantes et le vecteur des dplacements covariants, donne par lquation suivante :

{

cov }

=

/x 0 0 0 /y 0 2 2 xy y ( y) (1 x) 2 y + + /s 2x 1 x 1 x 1 x /y /x 0 2 y 2 x 2 + /s 2 /x + 1 x 1 x 1 x 2 /s /y13

{ucov }.

(2.38)

o { cov } = 11 22 33 2 12 2 riantes du tenseur des dformations.

2

T 23

est le vecteur des composantes cova-

La substitution de lquation (2.15) dans lquation (2.35) nous permet dcrire le tenseur des dformations dans la base de Serret-Frenet : = e

e ,

(2.39)

o les composantes de Serret-Frenet du tenseur des dformations sont lis aux composantes covariantes par :

=

ij (J

1

)i (J 1 )j .

(2.40)

Le vecteur des dformations covariantes est li au vecteur des dformations de SerretFrenet par lquation suivante : { } = [P ]{ o { } = 2 2 2T bt cov },

(2.41)

nn

bb

tt

nb

nt

est le vecteur des dformations de Serret-


27

Frenet. Tous calculs faits, la matrice [P ], dnie par lquation (2.41), sexprime ainsi :

[P ] =

1 0 2 y 1 x 0 y 2 1 x 0

0 1 x 1 x 0

2

0 0 1 (1 x)2 0 0 0

(2.42) partir de lquation (2.26), (2.38), (2.41) et (2.42), le vecteur des dformations de Serret-Frenet scrit nalement en fonction du vecteur des dplacements de Serret-frenet comme suit :

0 x 2 1 x

0 0 2 xy (1 x)2 1 x 1 x y 1 x

0 0 y (1 x)2 0 1 1 x 0

0 0 x (1 x)2 0 0 1 1 x

.

{ }=

/x 0 1 x /y 1 + /s 1 x + 1 x

0 0 1 0 + /s 1 x /x 0 + /x 1 x 1 x 1 /s /y 1 x

0 /y

{u}.

(2.43)

2.2.4

Loi de comportement

Les composantes du tenseur des modules dlasticit C0 peuvent tre exprimes dans la base covariante et pour un matriau isotrope par lquation suivante (Chapelle and Bathe [2003]) :ijkl C0 =

E E g ij g kl + (g ik g jl + g il g jk ), (1 + )(1 2) 2(1 + )

(2.44)

o E est le module dYoung et est le coecient de Poisson. Le tenseur des modules dlasticit scrit dans la base covariante sous la forme suivante : ijkl C 0 = C 0 gi gj gk gl . (2.45) En utilisant les transformations de lquation (2.9), le tenseur des modules dlasticit scrit dans la base (en , eb , et ) comme suit : C0 = C0 e e e e , o les coecients C0 sont donns par :ijkl C0 = C0 Ji Jj Jk Jl .

(2.46)

(2.47)

28


En se basant sur les quations (2.44) et (2.46), les composantes du tenseur des modules dlasticit dans la base (en , eb , et ) sont donnes par lquation suivante : C0 = E E g ij g kl + (g ik g jl + g il g jk ) Ji Jj Jk Jl . (1 + )(1 2) 2(1 + ) (2.48)

partir de lquation (2.18), les coecients du tenseur mtrique contravariant sexpriment par : g ij = (J 1 )i (J 1 )j . (2.49) Le dveloppement des coecients du tenseur mtrique contravariant de lquation (2.48), nous permet dcrire : C0 = + E (J 1 )i (J 1 )j (J 1 )k (J 1 )l Ji Jj Jk Jl (1 + )(1 2)

E (J 1 )i (J 1 )k (J 1 )j (J 1 )l + (J 1 )i (J 1 )l (J 1 )j (J 1 )k Ji Jj Jk Jl . 2(1 + ) (2.50) En regroupant deux deux les termes du mme indice latin, lquation (2.50) devient :

C0 =

E E [ + ] . + (1 + )(1 2) 2(1 + )

(2.51)

En simpliant les quantits de lquation (2.51), on obtient : C0 = E E + ( + ). (1 + )(1 2) 2(1 + ) (2.52)

Pour un matriau isotrope, les coecients du tenseur des modules dlasticit de Serret-Frenet, exprims par lquation (2.52), sont bien identiques ceux exprims dans une base cartsienne, car la base de Serret-Frenet (en , eb , et ) est une base orthonorme. Le vecteur des contraintes {} est li au vecteur des dformations { } par lintermdiaire de la matrice [C0 ], ce qui permet ainsi dcrire : {} = [C0 ]{ }, o {} = nn bb tt nb nt bt T

(2.53)

et [C0 ] est dnie par : 0 0 0 1 2 2 0 0 0 0 0 0 1 2 2 0 0 0 0 0 0 1 2 2 .

[C0 ] =

E (1 + )(1 2)

1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0

(2.54)


29

2.2.5

Tenseur des prcontraintes

On suppose dans ce chapitre que ltat prcontraint statique de la structure est connu et donn dans la base de Serret-Frenet. La dtermination de cet tat prcontraint sera dtaille au chapitre 3. Le tenseur des prcontraintes de Cauchy scrit dans la base (en , eb , et ) sous la forme : 0 = 0 e e . (2.55)

2.2.6

Formulation variationnelle dans la base de Serret-Frenet

Le premier terme de la formulation variationnelle, donne par lquation (2.22), scrit en notation indicielle : : C0 : = C0 . (2.56) Sous forme vectorielle, lquation (2.56) devient : : C0 : = { }T [C0 ]{ }. (2.57)

Le deuxime terme de la formulation variationnelle scrit sous forme indicielle comme suit : tr( 0 u 0 0 uT ) = 0 . (2.58) Sous forme vectorielle, lquation (2.58) devient : tr(0 u

0 (

0 u)

T

) = {}T [0 ]{},

(2.59)

o la matrice des prcontraintes [0 ] est dnie comme suit :

[0 ] =

0nn 0nb 0nt 0 0 0 0 0 0 0bn 0bb 0bt 0 0 0 0 0 0 0tn 0tb 0tt 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0nn 0nb 0nt 0 0 0 0 0 0 0bn 0bb 0bt 0 0 0 0 0 0 0tn 0tb 0tt 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0nn 0nb 0nt 0 0 0 0 0 0 0bn 0bb 0bt 0 0 0 0 0 0 0tn 0tb 0tt

.

(2.60)

Le troisime terme de la formulation variationnelle scrit en notation indicielle comme suit : u u = u u . (2.61) En notation vectorielle, lquation (2.61) scrit sous cette forme : u u = {u}T {u}. (2.62)

30


En substituant lquation (2.57), (2.59) et (2.62) dans lquation (2.22), la formulation variationnelle tridimensionnelle de la dynamique des stuctures hlicodales autour dun tat prcontraint statique scrit de la faon suivante :V0

{ }T [C0 ]{ }

gdxdyds + 2V0

V0

{}T [0 ]{} gdxdyds gdxdyds = 0.

0 {u}T {u}

(2.63)

Lapparition de la constante g dans le volume dintgration de la formulation variationnelle est due lcriture de llment de volume dans un systme de coordonnes curvilignes. Cet lment de volume est gal : dV0 = |g1 (g2 g3 )|dxdyds, o |g1 (g2 g3 )| = [2003]). (2.64)

g = det[J] (voir Annexe A, Wempner [1981], Chapelle and Bathe

2.3

Invariance par translation

Considrons une structure tridimensionnelle lance de section quelconque et daxe non ncessairement droit. Pour rduire la formulation tridimensionnelle un problme pos sur la section, le problme doit tre invariant par translation dans le systme de coordonnes considr. Pour cela, on doit satisfaire une invariance gomtrique, matrielle et du systme de coordonnes, que lon dnit ci-dessous.

2.3.1

Invariance gomtrique

Une structure lance est dite invariante gomtriquement si on retrouve la mme section normale la direction dlancement en se dplaant le long de cette direction dans un systme de coordonnes appropri. Pour une structure hlicodale de section circulaire et dans le systme de coordonnes de Serret-Frenet, la section circulaire est maintenue constante le long de lhlice pour lapplication tudie dans ce travail. La Figure.2.2 reprsente la section normale laxe hlicodal pour direntes positions le long dun pas dhlice. On peut donc dire quun guide hlicodal de section circulaire est invariant gomtriquement dans son systme de coordonnes hlicodales.

2.3.2

Invariance matrielle

Une structure lance est dite invariante matriellement si on retrouve les mmes proprits du matriau en se dplaant le long de la direction dlancement dans un systme de coordonnes appropri. Pour un matriau homogne et isotrope, les proprits

2.4 Systme de coordonnes tournant

31eZl

en ebOs

et

eX

eY

Fig. 2.2 Sections circulaires dun brin hlicodal le long dun pas dhlice du matriau sont les mmes en tout point de la structure et dans toutes les directions. Donc, linvariance matrielle est ncessairement vrie dans ce cas.

2.3.3

Invariance du systme de coordonnes

La troisime condition dinvariance est lie au systme de coordonnes. Pour satisfaire linvariance du systme de coordonnes, il sut de vrier la non dpendance en s (variable axiale) des coecients des oprateurs direntiels mis en jeu dans les quations dquilibre. Cette condition est satisfaite si les symboles de Christoel ne dpendent pas de s, puisque les oprateurs direntiels scrivent en fonction des symboles de Christoel. Or partir de lquation (2.21), on a pu montrer que les symboles de Christoel scrivent seulement en fonction des coecients du tenseur mtrique. Lindpendance en s du tenseur mtrique g sut donc pour satisfaire linvariance du systme de coordonnes. Cette indpendance est bien vrie pour un systme de coordonnes hlicodales (voir quations (2.12) et (2.20)).

2.4

Systme de coordonnes tournant

Dans les paragraphes prcdents, les oprateurs direntiels ont t dvelopps dans le systme de coordonnes hlicodales. Dans cette section, on dnit un cas particulier du systme de coordonnes hlicodales ayant une courbure nulle ( = 0). En annulant la courbure dans lquation (2.3) et partir de la dnition de la longueur

32


curviligne, donne par lquation (2.2) on obtient : R = 0, l = L. (2.65)

En remplaant la longueur l par L dans la deuxime galit de lquation (2.3), la torsion de la base tournante devient : = 2/L. (2.66)

Ce systme de coordoonnes hlicodales de courbure nulle correspond un systme de coordoonnes tournant autour de laxe Z avec une priodicit axiale gale L. Le plan (x, y), tournant autour de laxe Z, reste parallle au plan (X, Y ). Dans un systme hlicodal, la variable axiale Z correspond la projection de la variable curviligne s sur laxe Z. Dans la base tournante, les deux variables axiales Z et s deviennent identiques (s Z). On note par (ent , ebt , eZ ) la base tournante. En remplaant l par L, R par zro et s par Z dans lquation (2.6), les vecteurs de la base tournante scrivent en fonction des vecteurs de la base cartsienne eX , eY et eZ comme suit : ent ebt eZ

cos(2Z/L + ) sin(2Z/L + ) 0 eX sin(2Z/L + ) = cos(2Z/L + ) 0 eY 0 0 1 eZ

.

(2.67)

2.4.1

Invariance pour un brin hlicodal seul

Soit un brin hlicodal seul dangle dhlice , de rayon R et de pas L et constitu dun matriau homogne et isotrope. Langle , donn par rapport laxe Z, est calcul partir de lquation suivante : 2R tg = . (2.68) L Dans la section 2.3, on a pu montrer linvariance du systme de coordonnes hlicodales. Puisque la base tournante est un cas particulier de la base hlicodale, alors le systme de coordonnes tournant est forcment invariant. Linvariance matrielle est aussi vrie puisque le matriau est suppos homogne et isotrope. Pour satisfaire compltement linvariance par translation dans le systme de coordonnes tournant, il ne reste qu vrier linvariance gomtrique. Si on eectue deux coupes normales laxe Z dun brin hlicodal, de positions axiales respectives Z1 et Z2 , on obtient la mme section pour les deux coupes une rotation prs de 2/L(Z2 Z1 ) dans un plan cartsien. Or, le plan (x, y) de la base tournante tourne dune mme rotation, si bien que la section reste xe dans ce plan. Un brin hlicodal seul est donc invariant par translation dans le systme de coordonnes tournant.


33

La gure 2.3 reprsente la section normale eZ de quatre brins hlicodaux de rayon dhlice R = 2a et dangle respectifs de 10 , 30 , 50 et 70 , o R et a reprsentent respectivement les rayons de lhlice et du brin. Pour un angle faible, la section est quasicirculaire puisque la structure se rapproche du cylindre (Fig.2.3 a). La section devient de plus en plus loigne dune section circulaire au fur et mesure que augmente.

a)y x R a

b)y x R a

c)y x R a

d)y x R a

Fig. 2.3 Sections dun brin hlicodal normale laxe eZ pour R = 2a et : (a) = 10 , (b) = 30 , (c) = 50 , (d) = 70

2.4.2

Invariance pour une structure multi-brins hlicodale

On dsigne par structure multi-brins hlicodale toute structure constitue dun empilement de couches de brins hlicodaux, ventuellement enrouls autour dun brin broit. Un toron sept brins est un cas particulier de structure multi-brins hlicodale, ayant une couche de six brins hlicodaux enrouls autour dun brin droit. Soit un toron sept brins constitu dun matriau homogne et isotrope. Les invariances matrielle et du systme de coordonnes tournant tant vries, il nous reste justier linvariance gomtrique du toron dans ce systme. Dans la section 2.4.1, on a pu montrer linvariance gomtrique dun brin seul hlicodal dans le systme de coordonnes tournant. Puisque un toron sept brins est constitu dune couche de six brins hlicodaux de mme angle et rayon dhlice, alors lensemle de cette couche est invariante gomtriquement. Un brin circulaire droit daxe Z est aussi invariant

34


gomtriquement dans le systme de coordonnes tournant, puisque la section normale laxe est circulaire et centre lorigine. Elle reste donc xe dans le repre cartsien comme dans le repre tournant. On peut conclure quun toron sept brins est invariant par translation dans le systme de coordonnes tournant. La gure 2.4 reprsente la section normale laxe Z dun toron de rayon de brin central a, de rayon dhlice R = 1.967a et dangle dhlice = 7.9 . La section du brin central, qui est un brin droit, est circulaire. Les sections des brins priphriques hlicodaux ne sont pas circulaires puisque le plan de coupe nest pas normal aux hlices de chaque brin hlicodal. loeil nu, ces sections semblent circulaires sur la gure car langle dhlice est faible et on se rapproche du cylindre. Notons que le rayon des brins priphriques (a = 0.967a) doit tre lgrement infrieur au rayon du brin central an de ne pas avoir dinterpntration entre deux brins priphriques adjacents. Ce rayon de brin priphrique doit diminuer avec laugmentation de langle dhlice.

y a R

x

Fig. 2.4 Section dun toron sept brins

2.4.3

Paramtrage de la section

Avec le systme de coordonnes tournant, il faut veiller au bon paramtrage de lenveloppe de la section, qui nest pas circulaire pour un brin hlicodal (le plan de coupe ntant pas normal laxe du brin). Le but de ce paragraphe est de dterminer la section de coupe dun brin hlicodal dans le plan Z = 0. En remplaant les vecteurs de la base de Serret-Frenet, donns par lquation (2.6),


35

dans lquation (2.7), on obtient :

X = (R x) cos( Y = (R x) sin(

L 2 2 s + ) + y sin( s + ) l l l (2.69)

2 L 2 s + ) y cos( s + ) . l l l 2R L s+y l l 2R . L

Z=

Pour Z = 0, la troisime galit de lquation (2.69) devient : s= (2.70)

Dans le systme de coordonnes hlicodales, lenveloppe de la section est circulaire de rayon a et est donn par : x = a cos t , (2.71) y = a sin t o t [0; 2]. Lenveloppe de la section de lhlice dans le plan Z = 0 est donc paramtre par :

X(t) = (R a cos t) cos(

4 2 R L 4 2 R a sin t + ) + a sin t sin( a sin t + ) lL l lL .

L 4 2 R 4 2 R a sin t + ) + a sin t cos( a sin t + ) Y (t) = (R a cos t) sin( lL l lL

(2.72)

Ce paramtrage est utilis pour le trac des sections sur les gures 2.3 et 2.4.

ConclusionDans ce chapitre, nous avons recrit la formulation variationnelle de llastodynamique autour dun tat prcontraint statique dans un systme de coordonnes hlicodales. partir du paramtrage de lhlice, nous avons dni la base de Serret-Frenet associe ainsi que les bases covariante et contravariante. Nous avons commenc par dvelopper toutes les quantits de la formulation variationnelle dans les bases covariantes et contravariantes. Puis nous avons exprim la formulation variationnelle dans la base de Serret-Frenet. Nous avons aussi introduit la notion dinvariance par translation, qui regroupe linvariance gomtrique, matrielle et du systme de coordonnes. Nous avons montr que cette invariance par translation existe pour le cas dun brin hlicodal seul dans le systme de coordonnes hlicodales et dans le systme tournant. Pour le toron sept brins, linvariance par translation nexiste que dans le systme tournant, qui satisfait linvariance la fois pour le brin central droit et les brins priphriques hlicodaux.

36


Dans les chapitres 3 et 4, nous allons utiliser cette proprit dinvariance pour ramener sur la section le calcul de ltat prcontraint ainsi que celui des modes de propagation.

Chapitre 3 Calcul de ltat prcontraint (statique)SommaireIntroduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1 3.2 Repres bibliographiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Homognisation hlicodale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 3.2.2 3.2.3 3.2.4 3.2.5 3.2.6 3.3 3.4 Le problme dlasticit 3D initial . . . . . . . . . . . . . . . . Les problmes microscopiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Le problme macroscopique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bilan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cas dune sollicitation macroscopique homogne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 38 39 40 43 46 46 47 48 49 49 49 51

Mise en oeuvre de la mthode des dveloppements asymptotiques 42

Formulation variationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Discrtisation par lments nis 3.4.1 3.4.2 Rsolution du problme microscopique . . . . . . . . . . . . . . Post-traitement : calcul des eorts et moments rsultants . . .

Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

3 Calcul de ltat prcontraint (statique)

IntroductionDans les chapitres prcdents, nous nous sommes intresss la dynamique des structures hlicodales autour dun tat dquilibre statique prcontraint qui est suppos connu. Lobjet de ce chapitre est de prsenter une mthode qui permet de calculer cet tat prcontraint dans une structure hlicodale soumise une dformation impose grce la rsolution dun problme 2D. Nous partons des quations dlasticit 3D. Pour simplier, nous nous limiterons lhypothse de petits dplacements. Les dirents oprateurs utiliss dans ces quations ont t crits dans le systme de coordonnes hlicodales dans le chapitre 2. En se basant sur la mthode des dveloppements asymptotiques et en exploitant la proprit dinvariance par translation dans le systme de coordonnes tournant, cette mthode appele homognisation hlicodale permet de rduire le problme un problme 2D pos sur la section de la structure. Quelques repres bibliographiques sont tout dabord prsents.

3.1

Repres bibliographiques

Le comportement des structures hlicodales soumises une dformation a t largement tudi. On peut citer par exemple les travaux de Ancker and Goodier [1958] et Wahl [1963] o un modle analytique a t propos en considrant le ressort comme une poutre dEuler-Bernoulli avec un facteur de correction de courbure. An dtudier les structures hlicodales de gomtrie plus complexe, des modles numriques ont t dvelopps. Un modle lments nis tridimensionnel linaire a t dvelopp en considrant une longueur nie de toron sept brins pour calculer la rponse une sollicitation macroscopique donne. Parmi ces travaux, on peut citer par exemple Ghoreishi et al. [2007] o le comportement global dun toron sept brins soumis une dformation axiale (traction et torsion), en petites dformations et pour dirents angles dhlice de 2.5 35 , a t tudi. Une approximation elliptique de la gomtrie de la section des brins priphriques a t utilise. Dans cette rfrence il est montr que la modlisation de deux pas de toron sut pour rendre ngligeables les eets de bords et obtenir le comportement avec un modle lments nis linaire qui reste valide pour des angles dhlice infrieurs 20 . La modlisation de deux pas dun toron sept brins ncessite cependant un temps de calcul important. De plus, ltape de gnration de maillage est dicile automatiser. An de rduire le cot de calcul, un modle lments nis tridimensionnel linaire a t dvelopp sur un pas du toron. Parmi ces travaux, on peut citer ceux de Cartraud and Messager [2006] o la rduction du modle sur un pas est ralise en tenant compte des proprits de priodicit axiale en utilisant la thorie de lhomognisation priodique. Cette mthode permet en eet de calculer le comportement global de la structure partir de la rsolution de problmes sur une priode, qui correspond dans ce cas la priode ax-

3.2 Homognisation hlicodale

39

iale. Lapproximation elliptique de la section des brins hlicodaux a t aussi considre. Le cot de calcul est divis par deux par rapport la mthode classique mais il reste important. An de rduire encore ce cot, des modles lments nis ont t dvelopps sur une tranche de la structure, avec des lments volumiques. Dans ce cadre, on peut citer Jiang and Henshall [2000] qui rduisent le modle sur une tranche grce des conditions aux limites obtenues par des considrations gomtriques. Messager and Cartraud [2008] ont aussi propos un modle lments nis rduit sur une tranche partir de la thorie dhomognisation. Lapproche est dirente de celle de larticle de Jiang and Henshall [2000] mais conduit aussi des relations entre les dplacements des noeuds situs sur les deux faces de la tranche, qui expriment dans ce cas la symtrie hlicodale. La rduction de la modlisation sur une tranche permet de rduire normment les calculs de ltat statique dune structure hlicodale. Cependant, grce linvariance par translation, on peut prendre en compte cette symtrie de faon plus ecace et se ramener ltude dun modle 2D. Dans ce chapitre nous prsenterons une technique dhomognisation hlicodale qui permet de rduire le modle un modle en deux dimensions sur la section relle de la structure hlicodale.

3.2

Homognisation hlicodale

La thorie de lhomognisation est une mthode puissante, puisquelle peut tre applique pour des structures de gomtrie gnrale et dhtrognit arbitraire. Dans cette section, nous nous intressons ltude du comportement des structures hlicodales, do lappellation dhomognisation hlicodale. Cette mthode va permettre lexploitation de linvariance par translation. Ceci a t prouv, dans la section 2.3, pour un brin hlicodal seul dans les systmes de coordonnes hlicodales et tournant. En revanche, cette invariance nest vrie que dans le systme de coordonnes tournant pour les structures multi-brins. Par la suite, seul le systme de coordonnes tournant sera considr et lhomognisation hlicodale sera dnie dans ce systme. Par commodit, nous pourrons conserver toutefois les notations et expressions gnrales du chapitre prcdent, obtenues dans le systme de coordonnes hlicodales. Dans toutes les expressions de ce chapitre, il faudra donc considrer le cas chant que : 2 , (.)t = (.)Z . (3.1) s = Z, = 0, = L En particulier, et = eZ (et on aura aussi en = ent et eb = ebt ). La mthode dhomognisation hlicodale est base sur un dveloppement asymptotique. Cette technique est applique pour le cas dun brin hlicodal seul et dun toron sept brins dans le systme de coordonnes tournant. On dsigne par structure hlicodale toute structure hlicodale mono-brin et multi-brins.

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Nous prsentons ci-aprs les tapes successives de la mthode dhomognisation hlicodale.

3.2.1

Le problme dlasticit 3D initial

Le point de dpart de lapproche est le problme dlasticit pos sur un domaine 3D. On considre une structure hlicodale de longueur H et de section S dans le plan Z = H. Pour des simplications ultrieures, on nglige les forces volumiques et surfaciques sur le contour latral et on suppose que le matriau est isotrope (cette proprit disotropie assure linvariance matrielle par translation). Cette structure occupe la conguration = S [0, H] dans le systme de coordonnes tournant (voir Figs. 3.1 ou 3.2). Elle possde un petit paramtre gomtrique , dni par le rapport entre le diamtre de la section S et la longueur de la structure H. Les limites de sont dnies par = Z=0 Z=H , o Z=0 = S {0} et Z=0 = S {H} sont les sections extrmits de la structure et = S ]0, H[ est la surface latrale. Cette surface latrale est suppose libre deorts. Dans ce travail, ltat prcontraint rsulte de lapplication de sollicitations sur les sections extrmes de la structure. On suppose que celles-ci sont caractrises par leur torseur rsultant sur la section. On crira donc les conditions aux limites sur Z=0 et Z=H sous la forme : (e ) = t0 sur Z 0 , (3.2) eZ = tH sur H avec t0 et tH qui ne sont pas dnis dans le dtail mais tels que la donne du problme est connue sous la forme des torseurs ({T }, {M }) en 0 et H avec :

{T }0 = {M }0 = et

S

t0 dS , 0 S OP t dS tH dS , H S OP t dS

(3.3)

{T }H = {M }H =

S

(3.4)

o OP est le vecteur position de la surface lmentaire dS. Puisquaucune condition aux limites cinmatique nest applique la structure, le problme dlasticit admet une solution condition que lquilibre global soit vri, ce qui impose : {T }0 + {T }H = {0} . (3.5) {M }0 + {M }H + H eZ {T }H = {0} On fait ici une prsentation relativement gnrale mais on ne sintressera qu des sollicitations axiales (chargement en traction-torsion) dans le cadre de ce chapitre. Pour exprimer la dpendance du problme au petit paramtre , les direntes inconnues seront notes avec un exposant .


41

H eZ S =0 Z

=H Z

Fig. 3.1 Structure hlicodale de section circulaire Pour une structure hlicodale mono-brins (gure 3.1), le problme dlasticit linaire tridimensionnel consiste dterminer , et u , solution de :

=0 = C : (u ) (u ) = s (u ) n = 0 sur

,

(3.6)

o C correspond au tenseur des modules dlasticit. Notons que lhypothse des petits dplacements, utilise dans ce chapitre, permet de confondre les congurations de rfrence Cref et dforme C0 si bien que les indices (.)ref et (.)0 sont omis an de ne pas surcharger les notations. s () et () dsignent respectivement la partie symtrique du tenseur gradient (oprateur de dformation) et loprateur divergence. Outre les quations donnes dans (3.6), , et u doivent vrier les conditions aux limites sur les sections extrmes, dnies de faon globale par les quations (3.2), (3.3) et (3.4). Pour un toron sept brins (gure 3.2), on a ces quations (3.6)14 sur chacun des sept brins plus des quations exprimant le contact parfait entre les brins sur chaque ligne de contact. En tout point de la ligne de contact hlicodale entre le brin central et les brins priphriques, on impose la continuit du dplacement (uc = up ) et la continuit de la contrainte normale (( n)+ + ( n) = 0), o les indices c et p sont relatifs aux brin c p central et aux brins priphriques. Cette hypothse de contact parfait nest pas restrictive pour un chargement axial (traction et torsion). En eet, dans Ghoreishi et al. [2007], il est montr que le comportement global dun toron sept brins est trs peu sensible aux hypothses sur le contact. En revanche, les sollicitations de exion ont tendance produire des mouvements relatifs dans le toron, et dans ce cas le contact parfait est une hypothse forte.

42


H S eZ

=0 Z

= H Z

Fig. 3.2 Toron sept brins La solution de ce problme fournit ltat prcontraint du systme que nous cherchons dterminer. Comme indiqu auparavant, ce problme est coteux rsoudre sous cette forme, et la mthode dhomognisation vise le simplier.

3.2.2

Mise en oeuvre de la mthode des dveloppements asymptotiques

Les principes de la mthode des dveloppements asymptotiques sont prsents dans louvrage de Sanchez-Hubert and Sanchez-Palencia [1992]. Lexpos qui suit reprend la dmarche expose dans Buannic and Cartraud [2000] pour des structures lances invariantes axialement. Il faut noter cependant que les dveloppements prsents dans ces rfrences doivent tre repris pour les adapter au cas des structures symtrie hlicodale. La premire tape consiste dnir le problme quivalent (3.6), mais maintenant pos sur un domaine xe qui ne dpend pas du petit paramtre . On introduit par la suite le changement de variables suivant pour tenir compte de llancement de la structure : (x, y, z) = (x, y, Z). (3.7)

z = Z reprsente lchelle lente ou macroscopique 1D du problme et x, y sont les variables rapides ou microscopiques 2D. On rappelle que (x, y, Z) sont les coordonnes associes au systme tournant. En introduisant le changement de variables de lquation (3.7), les oprateurs s et deviennent : s (.) = s (.) + s (.) z , (3.8) (.) = (.) + z (.) o s (.) et s (.) correspondent aux oprateurs qui mettent en jeu une drivation z z partielle par rapport la variable macroscopique z. s (.), s (.) dsignent les oprateurs


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complmentaires, incluant les drivations par rapport aux variables microscopiques x et y. Les modules dlasticit Cijkl sont supposs indpendants de , ceci permet dcrire : C = C. (3.9)

Ltape suivante consiste supposer que la solution du problme scrit sous la forme dun dveloppement asymptotique : u(x) = u0 (z) + u1 (x, y, z) +2

u2 (x, y, z) + ...

(3.10)

o u0 (z) = u0 (z)eX + u0 (z)eY dans le repre cartsien. Transforme dans le repre X Y hlicodal, on montre que cette expression revt la forme suivante : u0 (z) = u0 (z)en + n 0 ub (z)eb . Le terme dordre 0 du dveloppement ne dpend pas des variables microscopiques (x, y) voir Sanchez-Hubert and Sanchez-Palencia [1992]. De plus, il ne comprend pas de composante axiale. Celle-ci apparat lordre suivant ce qui traduit que la structure lchelle macroscopique est plus souple en exion quen traction-compression. Dans le cadre de ce travail, on sintresse des prcontraintes issues dun chargement axial (traction-torsion), donc sans exion globale. Ceci entrane la nullit de ce terme dordre 0 : u0 (z) = 0. partir des quations (3.7)-(3.10), en regroupant les termes selon la puissance de et en traitant les coordonnes z et {x, y} comme des coordonnes indpendantes, on obtient une srie de problmes microscopiques 2D poss sur la section S qui est la transforme m de S aprs changement de variables. Cette succcession de problmes sera note P2D , o lindice m dsigne lordre du problme rcursif relatif . Dans un deuxime temps, une srie de problmes macroscopiques 1D sera galement obtenue.

3.2.3

Les problmes microscopiques

m La formulation du problme P2D est obtenue pour un exposant m qui commence 0 partir de 0 dans lquation dquilibre. Le premier problme P2D est le suivant :

0 = 0 = C: 0 . 0 = s (u1 ) 0 n = 0 sur S 0

(3.11)

Le problme (3.11) est bien pos et admet une solution unique un mouvement de corps rigide prs (Sanchez-Hubert and Sanchez-Palencia [1992], Buannic and Cartraud [2000]). La solution unique est trivialement la solution nulle. Le mouvement de corps rigide est caractris par la solution homogne s (u1 ) = 0, exprime dans le repre

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cartsien sous la forme u1 = u1 (z)eZ + 1 (z)[XeY Y eX ]. Dans le repre tournant, on Z montre que cette expression devient : u1 = u1 (z)eZ + 1 (z)[xeb yen ] Z (3.12)

soit une translation densemble selon laxe eZ et une rotation densemble autour de ce mme axe. La solution du problme (3.11) est donc donne par u1 (cf. quation (3.12)) et 0 = 0 = 0. 1 lordre suivant, le problme microscopique P2D consiste dterminer 1 , 1 et u2 solution de : 1 = 0 1 = C: 1 . (3.13) 1 = s (u2 ) + s (u1 ) z 1 n = 0 sur S La donne de ce problme est fournie par le champ u1 obtenu auparavant, qui apparat cet ordre sous la forme s (u1 ). Dautre part, daprs (3.13)3 , on est amen dcomposer z 1 la dformation totale , dsormais note , en une partie macroscopique correspondant la donne prcdente et une partie complmentaire microscopique associe au champ u2 , not umicro par la suite. Ainsi (3.13)3 est rexprime sous la forme suivante : = omicro s (umicro )

+

s 1 z (u )

=

micro

+

macro ,

(3.14)

= s (umicro ) et macro = s (u1 ). z Compte tenu de lexpression (3.12) de u1 et en passant aux notations vectorielles, le vecteur des dformations macroscopiques scrit sous cette forme :

{

macro }

=

0 0 EE 0 yE T xE T

(3.15)

o E E et E T sont respectivement les composantes de la dformation macroscopique, constitues de lextension et de la torsion, dnies par : u1 Z z1 . ET = z

EE =

(3.16)

La donne du problme u1 se caractrise donc en ralit par la dformation macroscopique { macro }.


45

Le vecteur des dformations microscopiques est li au vecteur des dplacements microscopiques tous les deux crits dans le systme de coordonnes hlicodales grce lquation (2.43). Le vecteur des dformations not { micro } scrit donc sous la forme : {micro }

= Lxy {umicro }.

(3.17)

o daprs (3.14) loprateur Lxy , qui contient lensemble des termes sans drives par rapport s (s = Z ici), scrit comme suit dans la base hlicodale :

Lxy =

/x 0 0 0 /y 0 0 (y x ) 1 x 1 x x y /y /x 0 (y x ) + 1 x x y 1 x 1 x x (y x ) /y 1 x 1 x x y

.

(3.18)

On rappelle quici cette expression doit tre considre dans la base tournante, il sut alors dannuler la courbure ( = 0) dans lexpression ci-dessus. Le problme microscopique consiste dterminer le vecteur des dplacements microscopiques {umicro } pour une dformation applique { macro }. partir des quations (3.14)-(3.18), le problme (3.13) devient :

=0 {} = [C]{ } { } = { macro } + { micro } { macro }T = 0 0 E E 0 yE T xE T { micro } = Lxy {umicro } { n} = 0 sur S

.

(3.19)

o [C] est la matrice des modules dlasticit. Par linarit du problme en fonction de { macro }, la solution est dnie un mouvement de corps rigide prs de la forme (3.12) sous la forme suivante :

{umicro } = {E }E E + {T }E T , E T T {micro } = { E micro }E + {micro }E

(3.20)

E T o les expressions de {micro } et {micro } sont obtenues partir de {E } et {T } en utilisant les quations (3.19)25 . {umicro } reprsente le vecteur des dplacements locaux 3D de la section de la structure suite une dformation impose { macro }. Pour une structure soumise une extension, {umicro } correspond au vecteur de correction local 3D qui tient compte de leet de Poisson.

46


Aprs rsolution du problme, le comportement macroscopique de la structure peut tre obtenu partir du calcul des contraintes intgres, qui sont dnies par leort N et le moment de torsion MZ :

N = S ZZ dS . MZ = (ynZ + xbZ )dS S

(3.21)

Ce comportement global de poutre relie les contraintes intgres aux dformations macroscopiques. Il est dni ici avec comme choix daxe de rfrence la ligne moyenne de la structure hlicodale passant par le point : x = y = 0. Lquation constitutive homognise peut tre mise sous cette forme : EE N hom = [k ] , MZ ET

(3.22)

o [k hom ] est symtrique et peut tre exprime laide des quations (3.20) et (3.21).

3.2.4

Le problme macroscopique

En eectuant une intgration sur la surface des quations du problme microscopique lordre 2, cest--dire lordre suivant de (3.13), on obtient le systme dquations dquilibre macroscopique suivant : dN dz = 0 , (3.23) dMZ =0 dz ce systme dquations, on ajoute la loi de comportement (3.22), la relation entre les dformations macroscopiques et les dplacements (3.16), et les conditions aux limites aux extrmits (3.3) et (3.4) an de dterminer u1 et 1 . Z

3.2.5

Bilan

Le problme macroscopique (3.23) correspondant un problme de poutre en tractiontorsion est bien pos. En pratique, la mise en oeuvre de la mthode se dcompose en direntes tapes. Pour E E et E T donns, on rsout le problme 2D microscopique (3.19) an de dterminer E T {micro } et {micro }. En utilisant lquation (3.21) permettant de dterminer leort N et le moment MZ , on dtermine le comportement global de la poutre ([k hom ]) partir de lquation (3.22). Puis, on rsout le problme macroscopique 1D (3.23) an de dterminer u1 et 1 . Z


47

Finalement, compte tenu de la rsolution des deux problmes microscopiques, expose en section 3.2.3, et comme la solution lordre 2 donne en (3.20) est dnie un mouvement de corps rigide prs, il savre quon peut rcrire le dveloppement asymptotique de la solution sous la forme

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These Ahmed Frikha