Thème 2 Mouvement d'un solide en rotation Mouvement 4

1. Cinématique du solide

1.1. Définition d'un solide

Un solide est un système matériel dont les points restent à distance constante les uns des autres : c'est un système indéformable. On oppose les solides aux systèmes déformables dont les points peuvent se déplacer les uns par rapport aux autres. Par exemple, un ressort peut être comprimé ou étiré : c'est un système déformable. Une boule de billard est un solide indéformable.

La répartition des masses dans un solide est en général décrite de manière continue : le solide peut être découpé en éléments infinitésimaux de masse . La masse totale du solide est alors donnée

par (intégrale triple sur le volume du solide).

N.B. : la masse du solide se ramène à une intégrale double si le solide est modélisé comme une surface (par exemple une sphère) ou à une intégrale simple s'il est modélisé comme une courbe (tige modélisée comme un segment par exemple).

1.2. Rotation d'un solide autour d'un axe fixe

Un solide est en rotation autour d'un axe (D), droite fixe dans l'espace, si tous ses points sont en mouvement circulaire autour de (D).

dm

m = ∭solidedm

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Thème 2 Mouvement

et interactions

4Mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe

Vue de dessus

Soit un point du solide, à la distance de l'axe (D) (avec où est le projeté orthogonal de sur l'axe de rotation). Sa position est repérée par l'angle par rapport à une direction fixe . La vitesse angulaire de rotation du solide est donnée par . L'accélération angulaire du solide est donnée par .

La vitesse du point s'obtient en utilisant les coordonnées polaires. On a où seul est variable. D'où . Ainsi, tous les points situés sur l'axe de rotation (tels que

) ont une vitesse nulle ; ils sont immobiles.

L'accélération du point est donnée par .

Tous les points du solide ont les mêmes vitesse et accélération annuaires mais ils ont une vitesse d'autant plus plus grande en norme qu'ils sont plus éloignés de l'axe de rotation. N.B. : l'axe de rotation n'est pas nécessairement situé à l'intérieur du solide.

2. Dynamique du solide en rotation autour d'un axe fixe

Le PFD relie la variation de la quantité de mouvement aux forces appliquées au système (ponctuel ou solide). Pour les systèmes en rotation, la notion de force n'est pas toujours la plus pertinente. Par exemple, lorsqu'on cherche à ouvrir une porte, on applique une force sur la poignée. Pour être efficace, la force doit être appliquée le plus loin possible des gonds de la porte, perpendiculairement à la porte. Cette configuration permet de maximiser le bras de levier de la force, qui est la distance séparant l'axe de rotation de la porte de la droite d'application de la force.

2.1. Moment d'inertie

Soit un solide en rotation à la vitesse angulaire de rotation autour de l'axe .

Le moment d'inertie d'un solide par rapport à

l'axe est donné par :

pour un solide discret (quelques points

matériels ) ; est la distance du point à l'axe

ou pour un solide continu (ligne, surface ou

volume) ; est la distance entre chaque point du solide et .

M r r = HM HM θ (t) ( ux)

ω(t) = ·θ (t)·ω(t) = ··θ (t)

M HM = r ur urv (M ) = r ·θ (t) uθ = rω(t) uθ

r = 0

M a (M ) = − rω2(t) ur + r ·ω(t) uθ

ω(t) (D) = (O, uD )

JD S(D)

JD = ∑Mi∈S

mir2i

Mi ri Mi (D)

JD = ∫Sdm r2

D

rD(D)


Le moment d'inertie est exprimé en kg.m2. C'est une caractéristique du solide qui renseigne à la fois sur la répartition des masses et sur les distances de celles-ci à l'axe de rotation (pas de contribution au moment d'inertie des masses situées sur l'axe). Il quantifie la résistance du solide au changement de son mouvement de rotation. Exemples pour quelques solides homogènes :

2.2. Moment cinétique par rapport à l'axe

Le moment cinétique du solide en rotation autour de l'axe (D) fixe à la vitesse angulaire est donné par

2.3. Moment d'une force (ou action extérieure)

2.3.1. Définitions

Soit un point soumis à une force (ou résultante de forces) . Le moment de , par rapport à un

point fixe du référentiel d'étude, est défini par :

dont la norme est exprimée en N.m ou en joules. Le moment vectoriel indique comment la force va avoir tendance à faire tourner le point autour de .

(D)

S ω

LD(S ) = JD ω

M F FO

ℳO( F ) = OM ∧ F

M O


JD =13

m L2 JD =112

m L2

JD =12

m R2

JD =12

m R2

JD =25

m R2

O

MF

ℳO( F )

est le résultat d'un produit vectoriel ; par définition, c'est un vecteur perpendiculaire à et donc perpendiculaire au plan de la feuille. On peut utiliser la règle de la main droite pour

trouver sa direction et son sens :

Dans le cas de l'exemple précédent, pointe vers l'avant de la feuille (vers nous), ce qu'on symbolise par ☉.

On définit aussi le moment scalaire d'une force par rapport à l'axe comme la projection du moment vectoriel sur l'axe , soit

où

et est le bras de levier, distance entre la droite support de la force et l'axe .

• pour ⇒ a tendance à faire

tourner le point M dans le sens trigonométrique autour de l'axe ;

• pour ⇒ a tendance à faire

tourner le point M dans le sens horaire autour de l'axe .

Une force a un moment nul par rapport à l'axe si elle est parallèle à l'axe ou si son support coupe l'axe .

ℳO( F )OM F

ℳO( F )

(D) = (O, uD )(D)

ℳD ( F ) = ℳO( F ) ⋅ uD = ( OM ∧ F ) ⋅ uD

ℳD ( F ) = ℳO( F ) ⋅ uD = ∥ OM∥∥ F ∥ sin(α) = ± Fd

F = ∥ F ∥ dF (D)

ℳD ( F ) > 0 α ∈ ]0, π [ F

(D)ℳD ( F ) < 0 α ∈ ] − π, 0[ F

(D)

(D) (D)(D)


ℳO( F ) OM

F

O(D)

M

F

ℳO( F )

d αα

2.3.2. Notion de couple

Deux forces et opposées s'appliquant respectivement en et forment un couple de forces. Leur résultante est nulle : . Ces forces dont de même norme et s'appliquent sur des droites d'action parallèles. Elles ont tendance à faire tourner le solide.

On a .

Par abus de langage, comme la somme des deux forces est nulle et que seul le moment de ces forces est non nul, on désigne souvent par couple le moment du couple par rapport à et on le

note . Si le couple fait tourner le solide dans le sens défini comme

positif alors . Dans le cas contraire , on a .

Remarques : • ne dépend pas de la position de l'axe de rotation. • On peut généraliser la notion de couple à tous les cas où la somme des forces est nulle

et le moment des forces par rapport à un axe (Oz) est non nul, sans se préoccuper de savoir s'il a fallu deux forces pour réaliser cette situation.

2.3.3. Liaison pivot

En général, si un solide possède un mouvement de rotation autour d'un axe fixe, il existe un dispositif mécanique permettant au solide de rester lié à l'axe.

On appelle liaison pivot un mécanisme ne laissant au solide qu'un seul degré de liberté en rotation autour d'un certain axe. (Exemple : pédale de vélo). Si la liaison pivot est géométriquement idéale, elle assure un guidage parfait de la rotation autour de l'axe de liaison et bloque toute translation le long de cet axe.

F1F2 A B

F F = F1 + F2 = 0 F

|ℳD( F ) | = Fd1 + Fd2 = F(d1 + d2) = F × A B

(D)𝒞

𝒞 > 0 𝒞 < 0

𝒞


Dans ce cas, le pivot exerce une action sur le solide caractérisée pas sa résultante (qui possède a

priori des composantes dans les trois directions de l'espace) et son moment en un point de l'axe de rotation.

S'il existe des frottements, le pivot exerce alors un couple de frottement orthoradial dont le moment scalaire est non nul.

En l'absence de frottement, le pivot est dit parfait et la résultante est perpendiculaire au plan tangent aux deux solides au point de contact. La résultante rencontre alors l'axe de rotation et finalement le moment scalaire de l'action de liaison par rapport à l'axe de rotation est nul.

2.3. Théorème du moment cinétique scalaire (TMC)

Dans un référentiel galiléen, pour un solide en rotation autour d'un axe et de moment d'inertie , on a

L'application du théorème conduit à devoir résoudre une équation différentielle en ou en pour obtenir la loi d'évolution de la vitesse angulaire de rotation ou de l'angle .

2.4. Exemple : disque en liaison pivot

1. On considère un disque de rayon et de masse (tel que

) en pivot parfait autour de l'axe . Ce disque est

initialement lancé à la vitesse angulaire .

Les actions extérieurs exercées sur le disque sont son poids (qu'on considère appliqué au centre d'inertie du disque, soit le point C) et l'action du pivot parfait.

Le théorème du moment cinétique scalaire donne

avec

•

• pour un pivot parfait

RℳO O

S (D)JD

dLD(S )dt

= ∑ ℳD (actions extérieures)⇔

dJD ω(t)dt

= JDdω(t)

dt= ∑ ℳD (actions extérieures)

ω θθ

R m

J =12

m R2 (D)

ω0

Jdωdt

= ℳD (poid s) + MD (pivot)

ℳD (poids) = ( OG ∧ m g ) ⋅ uD = 0 car OG ∥ uD

ℳD (pivot) = 0


ω

D'où . Le disque ne frotte pas sur l'axe et conserve donc une vitesse

angulaire constante. On en déduit .

2. La liaison pivot n'est plus parfaite et engendre un couple de frottement , où est une constante positive. Le théorème du moment cinétique scalaire donne à présent

avec et .

D'où . On obtient une équation différentielle du 1er ordre, qui a

pour solution . On en déduit . Le disque finit par s'immobiliser

suite aux frottements.

3. Energétique du solide en rotation autour d'un axe fixe

3.1. Energie cinétique d'un solide en rotation

L'énergie cinétique d'un solide de moment d'inertie J, en rotation autour d'un axe dans un référentiel est donnée par :

3.2. Puissance d'une force et loi de l'énergie cinétique

La puissance d'une force appliquée en un point d'un solide en rotation autour d'un axe est donnée par :

Dans un référentiel galiléen, la dérivée temporelle de l'énergie cinétique d'un solide indéformable en rotation autour d'un axe est égale à la puissance des forces qui s'appliquent au solide :

ou sous forme intégrale :

Cette loi de démontre à partir du théorème du moment cinétique : . En

multipliant cette relation par , on obtient :

Jdωdt

= 0 ⇒ ω(t) = cste = ω0

θ (t) = ∫ ω(t) dt = ω0t + θ0

𝒞 = − αω α

Jdωdt

= ℳD (poids) + MD (pivot)ℳD (poids) = ( OG ∧ m g ) ⋅ uD = 0 car OG ∥ uD ℳD (pivot) = 𝒞

Jdωdt

= − αω ⇔dωdt

+αJ

ω = 0

ω(t) = ω0e− αJ t θ (t) = −

Jα

ω0e− αJ t + cste

(D)ℛ

ℰc =12

JDω2

fi Mi (D)

𝒫 ( fi ) = ℳD ( fi ) ω

(D)

dℰc

dt= ∑

i

𝒫 ( fi )

Δℰc = ∑i

W ( fi )

JDdω(t)

dt= ∑

i

ℳD ( fi )ω


3.3. Exemple : pendule de torsion

Un pendule de torsion est constitué d'un solide accroché à un fil vertical et pouvant tourner autour de l'axe confondu avec le fil. Le barycentre (ou centre de masse ou centre d'inertie) se trouve sur le fil et on note le moment d'inertie du solide par rapport à l'axe . Lorsque l'angle de rotation a une valeur , le fil exerce sur le solide un couple de torsion de moment ( étant sa constante de torsion). Les autres actions extérieures exercées sur le solide sont son poids (appliqué en et de moment nul car ) et la réaction du fil, empêchant le solide de tomber (aussi de moment nul car ).

L'énergie cinétique du solide est . Le poids et la réaction du fil ayant des

moments nuls, leurs puissances le sont aussi. La puissance du couple de torsion vaut .

En appliquant la loi de l'énergie cinétique, on obtient

Alors, soit et le solide est à l'équilibre, soit qui est l'équation différentielle

du mouvement (oscillateur harmonique de pulsation propre )

JDdω(t)

dtω = ∑

i

ℳD ( fi ) ω

⇔ddt ( 1

2JDω2) = ∑

i

𝒫 ( fi )⇔

dℰc

dt= ∑

i

𝒫 ( fi )

(D)G

J(D)

θℳ = − Cθ C

G OG ∥ P

OG ∥ R

ℰc =12

JDω2 =12

JD·θ2

𝒫torsion = ℳω = − Cθ ·θ

dℰc

dt= ∑

i

𝒫 ( fi )

⇔d ( 1

2 J ·θ2)dt

= − Cθ ·θ

⇔ J ·θ ··θ = − Cθ ·θ

⇔ ·θ (J ··θ + Cθ) = 0

·θ = 0, ∀t ··θ +CJ

θ = 0

ω0 =CJ


3.4. Système déformable : tabouret d'inertie

https://youtu.be/G6XSK72zZJc

Une personne est assise sur un tabouret dont le siège peut tourner quasiment sans frottement autour d'un axe vertical . La personne se met en rotation, les bras tendus, à la vitesse angulaire (état 1). Ensuite, elle replie les bras et sa rotation se fait à une vitesse différente (voir vidéo ci-dessus).

On constate qu’un rapprochement des haltères de l’axe de rotation augmente notablement la vitesse de rotation : c’est une conséquence de la conservation du moment cinétique du système {personne + haltères + tabouret} (le poids, parallèle à l'axe a un moment nul, même chose pour la réaction du support de l'axe et la liaison pivot tabouret / axe est supposée idéale).

Alors, . Or (masses réparties plus loin de l'axe de rotation) donc

. La vitesse angulaire de rotation augmente.

Pour un système déformable, la loi de l'énergie cinétique se reformule en tenant compte des forces intérieures au système :

Dans un référentiel galiléen, la dérivée temporelle de l'énergie cinétique d'un système déformable en rotation autour d'un axe est égale à la puissance des forces qui s'appliquent au et dans le système :

ou, sous forme intégrale :

Ici, on a (poids et réaction du support ne travaillent pas et la liaison pivot est

idéale). On aboutit donc à :

(D) ω1ω2

LD(D)(D)

J1ω1 = J2ω2 ⇔ ω2 =J1

J2ω1 J1 > J2

ω2 > ω1

(D)

dℰc

dt= ∑ 𝒫 ( fext) + 𝒫 ( fint )

Δℰc = ∑ W ( fext) + W ( fint )

∑ W ( fext) = 0

Δℰc = ∑ W ( fint )⇔

12

J2ω22 −

12

J2ω21 = ∑ W ( fint )


https://www.youtube.com/watch?v=G6XSK72zZJc

https://youtu.be/G6XSK72zZJc

De plus, . Comme alors .

Ainsi, lorsque la personne passe de la position 1 (bras tendus) à la position 2 (bras serrés), on a

et . Et lorsqu'elle passe de la position 2 (bras serrés) à la position 1 (bras tendus), on

a et .

Seule la prise en compte des forces intérieures au système permet d'expliquer sa variation d'énergie cinétique.

ℰc2=

12

J2ω22 =

12

J2 ( J1

J2ω1)

2

=J1

J2 ( 12

J1ω21) =

J1

J2ℰc1

J1 > J2 ℰc2> ℰc1

Δℰc > 0 W ( fint ) > 0

Δℰc < 0 W ( fint ) < 0


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