Tho co khi Toan Hoc

8/20/2019 Tho co khi Toan Hoc

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THU’?lI I| KH|

IGlll TEIFIN BIEINIS TFHJE EIUFIN VQT LY

Mark LEVI‘N u A x u K I B A M T at i



THU CU KHI

TURN HUI



THE MATHEMATICAL MECHANIC: USING PHYSICAL REASONING T0 SOLVE PROBLEMS

Copyright © 2009 Princeton University Press. All rights reserved.

Ban tiéhg Viét © NXB Tré, 201 I.

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without permission in writing from the Publisher.

BIEU our BII-IN Muc TRUGC xur BAN nuoc Tnuc iniin not rnu vn§:N KIITH TPIICM

Levi, MarkTho ed khi tozin hoc — Gizii loan bang lrt_1 c quan vat ly I Mark Levi ; Huy Nguyen dich.

- T.P. H?) Chi Minh : Tré, 2011.

240 tr. ; 20cm. - Canh elm m6 rong). Nguyen ban : The mathematical mechanic.

l. Vail 1y loan hoe. I. Huy Nguyen. II. Ts: The mathematical mechanic.

510 -- dc 22

L664 |3BN 978-6044 -01 274-5

8 9 3 4 97 4 1 O



THU CU Kl II

TUFIN HEICThe Mathematical Mechanicsufn TUFIN BIEING T|=:L_r|: EIUFIN VFIT LY

MarkLEV|lluy Nguyin d_/‘ch

NHA xulh BAN IRE



Muc lL_1c

1 G101 THIEU

2 DINH LY PYTHAGORAS

3 cuc Tlu 1/A cuc DAI

4 BAT DANG THUC c110 B61 DO/KN MACH

5 TAM 1<1-161; LUAN :1) v/\ C/\CH Gliu

6 1111111 1100 vA c11uY1i1\1 DONG

7 s1’J DUNG c0110c mi Ti1\111 TiCH PHAN

8 PHUONG TRiNH EULER-LAGRANGE

THONG QUA NHUNG LO x0 KEO CANG

9 THAU KINH, KINH VIEN VQNG,

VA co HOC HAMILTON

10 c/11 BANH XE DAP

VA DINH LY GAUSS-BONNET

11 BIEN PHUC THAT LA DON GI/\N

PI-IU LUC: 1<111: 1\1 THUG VAT LY ci\1\1 T11111: T

TAI LIEU THAM KH/\O



1

s|c i| Tl-|||§ .u

Thét tinh c6 mét trong nhung phél kién

loén hc_)c vT dai nh§l mqi thbi dai |e_1i

duqc dén dét bdi truc Quan vél

~ George Polyn, néi dén k|1é|np|1c\ m Archimedes

vé phép lfch phn

1.1T02’1n hQc d6id§1u Vélt 13?

Tré lai théi Lién bang X6 vifit nhung nm du thzip kj?

1970, lép cit nhn chilng téi — g6m khoéng 40 sinh viénném hai ngémh toém vél 13?, duqc huy déng di lao dcfmg milahé 6 mién qué. Céng viéc ca chtmg téi lél trén bé-téng v51

dung céc xi-16 tai m f)t trong céc néng trang tzflp thé tz_1i déy.

Ban téi Anatole v€1 téi ducyc phém céng xflc séi. Céng vifec

hoém thilnh V51 chtlng téi cém thy thoéi méi nhu béit ctr

ai cflng cé thé cém théiy trong hoim cénh dé). Anatole thcochuyén ngénh vzfit 1y cén téi thi chuyén toén. Nhu nhirngké hém mi) hai 1‘ f)i tuyén d6ikhé1ng, m5i chlng téi ra sire

thuyét phL_1c ngufri cén lai rng linh vuc ca minh uu viéthon. Anatole néi mét céch qué qL1y6tr5ngtoén hc_>c 121 dy



tér ca v2f1tlv.T6iphan phao rang toan hqc cé thé t6n tai batchéip vat Iv cén vat Iv thi khéng. T61 néi thém cac dinh Ivla vinh hang. Cac gia thuyé't vat Iv thi héft dtlng réi sai. Dilvay téi da khéng cho Anatole bié't truéc rang Iv do téi chqnchuyén nganh toan hoc la dé rén luyén cai céng cu c6t yé'u

cho vat 13? — linh VL_l’C ma téi du tinh sé theo du6i sau nay.'l‘ht_1'c ra, mila hé truéc khi vao dai hc_>c, téi cia tinh ct‘) gapthy vat lv ca minh. Ong da héi vé cat: dL_r tinh cila téi chohoe ky mtla thu. “Bat dau chuyén nganh toan ca em , téi(mp. “G1 co? Toan? Anh khvllng r61 ” Ong dap lai. Téi coi dc’)

nhu' m{)t 101 khen (va 06 lé xac nhan quan diém cla éng).

1.2 Quyén sach nay néi vé diéu gi

Day khéng phai la “mtjt trong nhfrng cu6n bia mém,t0,(lay, dL’1 dé giét thri gian qua hai mtta git’), ma né'u du'Qc

némlhfnng tay thi sé khién mét con trau nude khuyu g6i” (NancyBanks-Smith, nha phé binh truyén hinh ngudi Anh). Véikich th uéc nhé ca n6, cu6n sach nay sé khéng ha guc duqcai, it ra khéng thé ha gL_1c ai bang tac déng vat Iv ca né.'l‘uy nhién, cu6n sach thuc sL_1' la mét dén giang tré — hay céthé chi lit mét cL'1 chich ch6ng lai quan niém cho rang toanh(_>c la day té ca vat Iv. Trong cu6n sach nay, vat Iv bi datvao vi tri phuc Vl_l toan hc_>c, va t6 ra la mét day tér cé nangluc (xin l6i cac nha vat Iv). Nhfrng 3? tuéng vat Iv cé thé lav tuéng khai mi’) thuc thu va gqi ra l(‘7i giai cue kv gian doncho mét bai toan toan hQC. Hai ch thé nay gan bé khangkhit dffn n6i ca hai sé chiu t6n that néu bi tach rfyi. Su (T161

vai cé thé rat hiéu qua, nhu cu6n sach nay minh chirng.



Hoan toan co thé tranh cai xem viéc tach hai bi) mon nayra co la mot eai gi qua nhan tao hay khong*.

D1'é'm qua Ijch sti. Cach giai toan bang true quan vat lyit nhat co ttr thoi Archimedes (khoang nam 287 tr. CN —

khoang nam 212 tr. CN). Cng da chtrng minh dinh ly tichphan n5i tiéng vé the: tich hinh trL_i, hinh cau va hinh nonbang cach sir dung mat cai can thang bang gia tuong. Bantom tat ciia dinh ly nay duoc khae lén bia ma ca ong.Cach tiép can ca Archimedes co thé duoc tim thay trong

cuon [P]. Doi voi Newton, hai chL 1 dé nay v6n1a mat. Caccu6n [U] va [BB] trinh bay nhfrng loi giai vat ly rat dep chocac bai toan toan hoe. Rat nhiéu nhfrng phat kién toanhoe co ban (nhu Hamilton, Riemann, Lagrange, Iaeobi,Mobius, Grassman, Poincare) da duoc dan dat tu nhung

suy xét vat1y.

C6 hay khéng mét céng thiic ph6' quat cho each t1'é'p canvatIy?Nhu voi cong cu bat ky, vat chat hay tinh than, eachtiép can nay co khi t6t va co khi khong. Kho khan chinhla “nhin ra ban chat vat ly ca bai toan**. Mot s6 bai toan

phii hop voi each giai nay, mat 56 khac thi khong (c6 nhién,eu6n sach nay chi bao gom dang thL'r nhat). Tim ra mo

* “Toan hoc la mat nhanh ea vat ly ly thuyé't noi ma phan thuc nghiém la rétién (V. Arnold [ARN]). Khong chi cac thi nghiéin lrong cu6n sach nay laré lién — tham chi con mién phi, ma thirc chat la cac lhuc nghiem gia tubing(bai toan 2.2; 3.3; 3.13, vii (hire ra hau heft cac bai loan lrongcuan sach nay).

* Day la each tie-'p can di nguoc trao liru chung: thong thuong mat nguoi batdau bang mat bai toan vat ly, roi trién khai no thanh mg‘) bai toan toan hoe;bday chiing ta lam nguqc lai.



phéng vefit 1}? cho mcfat béli Loém cu thé cé khi dé dé1ng,vé1 cékhi khéng; ngudi dcc cé thé cé 3? kién riéng ca minh saukhi ludt qua nhfrng trang séch néy.

Mét béi hcc mé mcfn sinh vién cé thé rL’1t ra ttr viéc (1‘Qc

cu6n séch nély lé tim kiém mét 37 nghia vzfxt 1y trong toénhQc 151 rt cé ich.

SL1 chgit ché clia toén hpc. Lép luém vét 13? ca chtlng ta sé

khéng hoén toém cheflt ché. Nhfrng leflp luzfm néy chi 151 phécthéo ca nhfmg chtrng minh cheflt ché, C1‘u Qc di?-zn dat beingngén ngfr vét 1y. Téi cé chuyén ngfr“chL mg minh” vét 13? thélnhchirng minh tozin hqc cho mcfmt véli béli toén chQn1(_>c. Lémviéc néy métxcéch ct’) hé th6ng sé bién quyé n séch thimhmét pho séch“t0, dély vél chéln ngzit . Téi hy vqng ngudi dcpc

sé nh2_ 1n ra hinh mu dé n<Z u cé hL 1 ng thL 1 sé cé khé néng tuxir 1)? nhfrng trufmg hqp mé téi d€1 b6 qua.V( rilcritr§1n tinhnély, téi céim thy bét ély néy trong viéc sir dc1ngttr“chL’rngminh” xuyén su6t cu6n séch mé bi’) qua dfiu ngoeic kép.

Diém ch6t ( 7 déy 151 lélp luefln vz_“1t 1y tré thémh céng cu dékhém phé vél dé cé m(f>t truc quan séu s€ic ~ hai buéc di

truéc tfnh chzflt ché cfla toén h(_>c. Nhu Archimedes dé viét,“Duong nhién viéc thiét lép mét chtrng minh sé dé délng

hon nhiéu néu tru ()c C16 da cé ngudi n€im duqc khéi niéms0 khéi ca béli toézn”. ([ARC], tr. 8)

Métcéch tiéjv cén r6 réng. Thay vi phién dich “chL 1 ng minhvét 13? thémh chtrng minh ch2f1tcl1é,viécthié tlé1p cé hé th6ng“célc tién dé thL_1 c cht cé lé sé 151 m(_”)t du z 1nthL 1 vi. Déy sé

151 mét tefxp hqp czic tién dé thuc ché tcL 1a co h(_>c, tuong tunhu célc tién dé hinh hoc/s6 hoc ca Euclid mél trong dé



céc chtmg minh duqc cho 6 trong cu6n séch néxy tré nén

chit ché.

Ta thé tufmg tuqng mét nén vén minh ngoéxi tréi déit mix

6 dé ngudi La phét trién co hQc trufyc, nhu mét bi) mén cheflt

ché vé thun my mang tinh tién dé. Trong thé giéi songhénh nziy, m f)t ngudi néo dc’) Git dé vié t mét cu6n szich vé

vif;-c sir dung hinh hoe C16 chtrng minh céac dinh 1y co hoe.

C6 thé b€1ihQc 6 déy 121 con ngudi khéng nén hoén toéln

télp trung v€10 czich tiép céln nay hay céch tiép can kia, m

nén coi dé nhu hai mzfit ca m f)t d6ng xu. Cu6n séch néay

151 mét phén mg ch6nglz_1i su thé 0 khé ph6 bi6n d6i véi

khia canh vefzt 13? cla toén hqc.

So 1uQ c vé tém Iyhpc. Nhng céch giéi vét 13? trong cu6n

séch nély cé thé ducyc dién dich ra ngén ngfr toén hqc.

Tuy vefly, khéng thé trénh khéi thifiu sét trong quél trinhdién dich. True giéc 00 hqc 121 m )t thuéc tinh co bén ca

tri tué con ngufyi, cng co bén nhu khé néng tuéng tuqng

hinh hqc, khéng sir dung chnng lé léing phi m<f)t néng luc

manh mé mé ta cc’). C0 hQc 151 hinh hoc véi diém nhn vélo

chuyén déng vé tié p xL’1c.@ hai khia canh sau, co hqc chota m f>t chiéu kich cém nhzfxn b6 sung, cho phép ta quan

sét toén hQc tit mét géc dé khéc, nhu duqc miéu té trong

cu6n sélch nay.

Quyluét tié n héa déng bufin win dang tfin tai. Khé néng lélp

luzfzn bilng vzfit 13? Ciéi 121 khffvi nguén cho nhftng pl1étki6n toém

hqc nén téng, titArchimedes, dé n Riemann, dén Poincaré,

vé dén tzfin hém nay. Tuy vzfly, khi mcjt chfl thé phzit trién,

khé néng 13? giéi tu nghiém bi chim véo quén lang. Két qué



la sinh vién thung khéng cé duqc nén tang truc quan cacac mén hqc ma h(_) theo c'1‘u6i.

D61’ tupng ca cu6n sach. Néfu ban cé himg thL'1 véi toan l'1QC

va vat ly, téi hy vQng ban sé khéng quzilng cu6n sach nay di.Cu6n sach nay cé thé thti vi véi nhtrng ai xem nhfrng

diéu sau day la ky thljiz

~ Dinh ly Pythagoras cé thé duoc giai thich bang dinh luatbao toan nang lu:Q'ng.

~

Déng méi céng téic trong mcjt mach dién don gién chfxngminh du'(_rc bat dang thL'1'c \/Z1; 3 (a+/1).

- Mét s6 bai toén giai tich' phL'1'c tap cc’) thé duqc giéi quyétdé dang ma khéng can mét phép tinh nao.

- Khao sat chuyén déng cia banh xe dap dé chirng minhduoc céng thtrc Gauss-Bonnet (gia dinh la khéng déi héingufyi doc cé su am tufyng dé tai nay; tat ca hiéu biét coban déu (1‘u'Qc cung cap).

~ ca céng thL'i'c tich phan Riemann Ian dinh ly anh xaRiemann (déu duqc giéi thich (rcac muc thich hqp) Ciéu

hién r6 m6n mét bang each quan sat chuyén déng ciia

lu'u chat.

Cu6n sach nay sé léi cu6n béit ctr ai mu6n tim hiéu vé

hinh hoc hay co hcpc hoac nhfrng ai khéng tim thfiy himgthii véi toan hqc béi vi ho cho rang né qua khé khan haynham chan.

Nguyén van: calculus vita cé nghia 1:1 giai iich, vita cé nghia la phép iinh -N.D.



S1? dung trongkhéa hQc.Ng02‘1iviéclé1 mén 2“1ntinhthz‘m b6

dufyng, cu6n séch ccn cé thé duqc dilng nhu mét téai liéu b6

sung trong célc khéa hcc vé giéi tich, hinh h _)c vé b6i dudng

giéo vién. Giéo sur tozin vii vefxt ly cc’) thé tim Lhéiy min véxi béi

toén vé nhzfan xét cé ich cho céng téc giéng day cla h _).

Kiéh thlicnén téng cén c6.Ph§1nl6n cu6n séch céc chuong

2 Clffn chuong 5) chi dci héi giéi tich vél hinh 1’1 _)C so cp

véi dc khé duqc giir 6n dinh su6tcé1c chucmg néxy, véi mf_>t

véi dét bi6n ngoai lé. Chuong 6 v51 7 chi yéu cu nguéi doc

biét s0 qua dao h€1m veil tich phén. Cu6i chuong 7 téi c )

dé cap su€{t tiéu tén, nhung khéng am héi nhfrng hiéu biét

séu séc. Chuong nély béit ctr ai déi lélm quen véi giéi tich so

céip cng cé thé tiép cém duoc.

Phn thir hai céc chuong 6 dé n chucmg 11) cé dt1ng dt1

hiém khi) mét vai khéi niém vé giéi tich da bié n, nhung :01

trénh dimg nhiéu thuzfit ngfr, hy vqng ring truc giélc sé giL 1p

ban dcc vuqt qua ducqc céc rélo cén ky thuzflt.

Téit cé mc_>i diéu mét nguzfyi cn biét vé vef1t 13? duqc mé té

trong ph1._11L_1c; né duqc trinh bay dé phuc vu nhfrng ngufyi

thiéu kié n thtrc nén téng.Ta cé thé dQc séch tirng phn mcfnt hay ttmg béli toém

mét; néfu bi méic ke_:t,bg1n chi céln léit sang trang khzic <15 cé

thém himg thL 1. Cc’) ngoai lé cho céiu LrL 1c m6i ch dé mint

trang n2‘1y, ch yéfu xuéit hién 6 nhfrng chuong cu6i.

Ngun tziiliéu. Theo nhu téi biét khél nhiéu, tuy khéng phéi

toém bf), céc ldi giéi trong séch néy lé méi. Chling bao gém

101 giéi cho célc béi toén 2.6, 2.9, 2.10, 2.11, 2.13, 3.3, 3.7,

3.8, 3.9, 3.10, 3.11, 3.12, 3.17, 3.18, 3.19, 3.20, 3.21, 5.2, 5.3,



(i. I, 6.2, 6.3, 6.4, 6.5, 7.1 vé 7.2. Céc m6 phéng 6 chuong 8

vii ('7 ceic muc 9.3, 9.8 v51 11.8 cfing cf) thé lé mévi.

Khéng cc’) nhiéu téii liéu lién quan dé'n ch dé ca cu6nszich néy. Khi téi cén hcpc ph6 Lhéng, mét vi du tim théy

lrong cu6n séch ca Uspenski da géy n tuqng cho t<')i dé'nn6i chii dé néiy dé tré théinh niém dam mé*. Thém nhiéuh£1itz_“1p ('7 dang dé'y cé thé Lim Lhfiy trong cu6n szich nhé caKogan [K],ci1a Balk véi Boltyanskii [BB], vél trong chuong 9

Iii ca cu6n szich cC1aP0lga [P]. Nguén g6c ciia nhfrng béii

toén néy cng nhu' léd giéii ciia né l€1 céng trinh c6 tit 24 théfky trufyc cia Archimedes [ARC].

1.3 Mét vi dL_1 céich giéi vzfit 1}? so véi céich giéit02'1n hQc

B511 toén. Cho ba difim A, B C trén mét phng, tim diém Xsao cho tfing célc khoéing céch XA + XB + XCl€1 nhé nht.

/4 '_ 61 -/* 2

L’“ ‘in. <1») ‘

llinh 1.1. N611 King khoimg czich /\’/1 + XI + .\’(‘ Iii nhé nhiil thi czic géc [Qi X lii 120

20°

* Dfiy Iii vi du éiii tién ci'1:1 cudn szich niiy. @iI1i1c 2.2, biii biio ci'1a Tokicda{TO} cimg v(ri vi di_i n€1y 151 viii vi du [)6 sung rift I61.



Céch tic-3}) cén vétlf. Ta béit du bimg viéc khoan ba lo t2_1i

A, B, C trén mafxt béln cé thé coi déy 151 m f>t thi nghiém gié

tuéng hoéc né duqc thuc hién 6 nhé mét ngufyi ban véi mut

dich tif-it kiém chi phi). Sau khi c _)t ba soi déy lai vfyi nhau,

gqi dé 151 diém chung X, téi lu6n ttrng scyi m<f)t xuyén qua

m6i 16 khéc nhau vél treo véo céc qué néng phia duéi bén,

nhu hinh 1.1. Gié sir trqng luqng ca m6i qué nzfmg being

1; thé néng ca sqi déy thir nht khi dé 151 AX: thL_rc vefly, dé

kéo Xtix 16 A téi vi tri hién tai ca Xta phéi néng qué nzfmg

don vi lén mét khoéng XA. Ta dé gén t6ng khoéng célch

XA + XB + XC mét 3? nghia vefit Iv 1:1 thé néng. Béiy gid, né u

khoéng céch/n:§1ngluc_mg néy 151 cue tiéu, hé sé 6 trang théi

can bimg. Khi dé, bf) ba luc céng déy téc dung lén Xccfmg

lai sé béng khéng vé do dé chtmg hqp thélnh mét tam giéc

thay vi lé1 chi huéng rdi rac) né u duqc dét g6c-n6i-ng _>n,

nhu cho thiy trong hinh 1.1 b). Tam giéc néy lé tam giéc

déu béi czic qu nzfzng 151 nhu nhau, vél do dé géc nm gitra

huéng chi duong ca céc véc to néy 151 120°. Ta dé chi ra

ring LAXB = LBXC I LCXA = 120° .

L01‘ gizii toén hoc. Coi a,b,c vim x, ln luqt lé kv hiéu cila céc

véc to vi tri ca céc diém A, B, Cvix X. Ta phéi t6i thiéu héa

téng cla céc dg“) dé1iS x)=|x — a] + |x — bl + [x — c

Dé cé diéu dé, ta cho céc d2_10 héim riéng phn ca S

~ 35 8béng khéng: ‘= -5 = 0, trong dé x = x,y), hay dién giéi cng

8,\ By

__________l

‘ 4 151 kv hiigu cfla géc; ngudi dich gifr nguyén kv hiéu cfxa nguyén bn

” I6 sir nhém ln trong bén in nguyén téc, thco db t6ng S x) : |x- a| + |x- a|

+ |x- al. Ngudi dich sfra lzii cho phi: hqp v yi téng thé béli l02 1n.— ND.



diéu kién trén mét céch gon gang vé hinh énh h0'n, ta chogradient vs = 0. Béy gifr ta tinh VS.

Ta cé:

l|x— a| = A‘/(x — a|)2 + (y — cu): = (x —a.) /\}(.>c — a|)2 + (y— a1)2ax ax

vél mcfn céch tuong tu:

|x—a| =(y—a2)/,/(x—a,)2 +(y—a2)2.

Theo dé, V|x — a| = (x — a) / |x — a|lé1m<f)tvéct0CIo'nv1,hu’(mg

chi tir A dén X. Ta sé ky hiéu véc to néy l ea. Ké't qué néynhén duqc tit m(_‘)t phép tinh r6 rélng nhung 37 nghia vzfat 1y

ca né muon tit céch tié'p can veit 13?, don gién lé lL_1'c mé Xkéo céng dély. L€iy dao hzim hai s6 hang |x— b| vé |x— c| cénlai trong t6ng Sta thu duoc VS = ea + 0,, + e(_, trong dé eh via

ea ducyc dinh nghia tL1'0'ng tu nhu ea. Ta k6t luzfan rng vi trit6i uu cila Xtunng (mg VS = cu + e,, + e(_ = 0 . Theo dz’) céc vécto don vi ea’ eh‘ ec tz_10 thénh mét tam giéc déu, vil géc ngoilibait ky ca tam gizic dé chinh lé géc ném gifra czfap véc to donvi béit ky, bang 120 .

Theflt 13? thL'1 khi quan salt théiy céli khé khn thay hinh dfdang khi ta chuyén tit czich tiép czfin néy sang céch khéc.Trong léi giéi toén h(_>c, céng viéc taflp trung vélo thL_rc hiénmét s6 thao téc dang thL'1'c. Trong ldi giéi vefxt 1y, céng viéc tép

trung véo t2_10 ra mét m6 hinh vét I37 phil hqp. Céch tiéip czfan

nély lé mélu muc cho nhiéu béli toén khélc trong cu6n séch.



1.4 Ldi cam on

Cu6n séch nay hn da khéng ra dfri né u khéng nhd diéucha téi déi néi khi téi muéri sau. Téi cho Ong xem mcfnt nghich

ly vat ly xéy dén véi téi, va éng néiz “Tai sao con khéng viétné ra va khéri du mét bf) suu tap?”. Cu6n séch nay chinh laphn duqc trich d§nti1 b f) suu tap dé, vé i mét vai thém théit.

Rat nhiéu ban bé va déng nghiép ca téi da déng gépcu6n séch bang nhfrng gQ i y va ldi khuyén. Téi dac biét cémcm Andrew

Balmonte, Alain Chenciner, Charles Conley, PhilHolmes, Nancy Kopell, Paul Nahin, Sergei Tabachnikov,va Tadashi Tokieda, nhd vao su khich lé cila ho ma bf) suutap dz duqc déo got thanh mcf>t dang chin chu. Ban thantéi dac biét biéit on Andy Ruina, ngudi da dcpc ban théo réit

nhiéu ln va cf) nhiéu gcyi y Ian chinh sita. Téi biét on AnnaPierrehumbert béi v6 s6 gqi y ca cé da giiip céi thién cu6nséch nay, va Vickie Kearn vi su c6 vii ciia ba.

Téi vé ctmg cém on SL_1 h5 trcy ca T6 chrc Khoa hqc Qu6cgia vé i Quyét dinh Tai trq s6 0605878.



2B NH LY PYTHAECIRAS

2.1 Gioi thiéu

Day co vé la mot nhan dinh tam thurong dén mire khongI-1 I A

dang ban toi: Kh6i nuoc tlnh trong be chfta nam yen, khi

khong bi téc dong, sé van niim yén. Toi cho rang cai dang dé

luu tam la no co mot hé qua thL'1 vi la dinh ly Pythagoras (tr.

27). Thémvao do, no con kéo theo ca quy tac ham sin (tr.

29), quy luafxt l1_xc day noi Archimedes, va dinh 19 Pythagoras

cho dién tich bé mat cila hinh 3 chiéu (tr. 30).

Chfmg minh ca dinh ly Pythagoras, mo ta ( Imus 2.2, god

ra mot chimg minh dong luc hoc ca dinh ly Pythagoras duoc

mo ta ('7 muc 2.6. Phuorng cach tiép can dura vao chuyén dong

lam cho mot s6 chfl dé khac trér nen rat sang s1'1a,bao gom:

- Dinh ly co ban ca giéi rich.

~ Cong thtrc tinh toan nhanh cho dinh thirc.

~ Khai trién dinh thirc theo dong.

Tat ca nhng diéu trén sé duoc mo ta trong chuong nay.Vai chfmg minh khac mang nhiéu tinh vat ly hon chirng

A A A

minh dinh ly Pythagoras cng duoc neu ('1 day, mot chitng

minh sir dung nang luong dan hoi, nhfxng chitng minh con

lai sir dung dong luqng.



2B NH LY PYTHAGDRA5

2.1 Giéti thiéuDay co vé la mot nhan dinh tam thuong dén mfrc khong

dang ban tor: Kh6i nuoc tinh trong bé cha nam yén, khi

khong bi, tac dong, sé vein niim yén. Toi cho rang cai dang dé

luu tam la no co mot ht} qué thL \ vi la dinh ly Pythagoras (tr.

27). Thém vao do, no con kéo theo ca quy tiic ham sin (tr.

29), quy luefrt lure day noi Archimedes, va dinh ly Pythagoras

cho dién tich bé mat ca hinh 3 chiéu (tr. 30).

Chirng minh cfra dinh ly Pythagoras, mo ta omuc 2.2, goi

ra mot chirng minh dong luc hoc ca dinh ly Pythagoras duot

mo ta ( 1 muc 2.6. Phuong cach tiép can dua vao chuyén dong

lam cho mot so ch dé khac tro nén rat sang sa, bao gom:

- Dinh ly co ban ca giéi tich.

~ Cong thfrc tinh toan nhanh cho dinh thtrc.

~ Khai trién dinh thirc theo dong.

Téit ca nhfrng diéu trén sé duoc mo ta trong chuongnay.

Vai chimg minh khac mang nhiéu tinh vat ly hon chitng

minh dinh ly Pythagoras cng duoc néu (7 day, mot chfrng

minh sir dung nang luong dan hoi, nhirng chirng minh con

lz_1i sir dung dong luong.



D6 tai ch dao ca chuong nay la dinh 1}? Pythagoras,

nhung chL 1ng ta sé di léch ra ngoai bai toén 6 mot vai doan

ngan.

2.2 Chirng minh “bé ca” ca dinh 13? Pythagoras

Dung mot “bé ca” hinh lang tn; nhan tam giac vuong

lam dé1y(hinh 2.1). Ta treo bé ca lén sao cho no co thfi xoay

tu do quanh mot true thing dfmg xuyén qua mot dau canh

huyén. Bay gio as day nuoc vao bé ca.

<1)kg Q

b

(Z

Hinh 2.1. B6 ca day nuoc,co1l16tu do chuyé n dong xoay quanh mot m_1c thingdirng, khong hf: dich chuyén.

C

>1,/2 E:T‘»“:a -:‘°:*?j 1,

P

Hinh 2.2. Dinh 13? Pythagoras tuong duong voi sL_r tiéu bifin cac moment quayt6ng hqp dat lén bé ca xoay quanh diém P.



bé mat thang dfrng cila né. Ta két luan dinh I3? Pythagoras la

mét hé qua ca viéc kh6i nu’('rc tinh luén bat d<j>ng**.

Bai tap. Ti diém A ngoai dlréng min vé tiéja tuyéh A T va cat

tuyéh AP Q nhucho 01.231 tronghinh 2.3. Ch ngminh rang

AP X AQ IATZ (2.2)

Gcyi Y: Xét phan tam giac cong t6 dam APT trong hinh2.3, ta lién tufmg mcfnt binh cfrng b0'm day gas va cé thé xoay

quanh O.Nhu giai thich 6 muc 2.3 trong m<_“)t ngfx canh khac, (2.2)

cho thay vilng t6 dam gift nguyén khéng dfii khi xoay quanh

O. Tuong tu, dinh 13? Pythagoras cng cho tha'y rang dién Lich

ciia tam giac vuéng la khéng d6i khi tam giac xoay quanh

mét dau canh huyén.

TV V-=i.= as ai»=.>».;+;§.i; 1 A

1'21mu;-ii:Jzvrm»1~];s --,.=i:.».1-a- fr:€>11'r:,§v¢‘:*;*.'¢'1 1‘; 3:g+‘~'=-

.4 Ll.'\: -V 5'? ' ‘l.,?:;u ‘._l--,ff.¢.;‘;1§.€§_'1_§’t.=. R,

‘4}'w-M16-i|, U'i.v '

‘P.’- ‘-tw-1‘ r‘A1:. .- .24»..,. i, .

.- \V4. -

Lad“

0° P

Q

Hinh 2.3. Chfrng minh AP >< AQ = AT’.

* Nguyén van: still water remains still ~ N.D.



2.3 Chuyén C161 mot-ly lé vat ly sang mot chungminh nghiém ngat

Diem ch6t trong chung minh “bé nurorc” cua dinh ly

Pythagoras la su triét tiéu cua tong cac moment quay tongcong quanh diém P (hinh 2.1). Lam thé nao chung ta tailap y tufmg moment quay bang khong nay trong thuat ngfttoan hoc thuan tuy ma khong can dung den cac khai niémvat ly? Day la cau tré lo i.

Ménh dé vat 1y (2.1) vé tc §ng moment quay bang khongquanh P co thé dién dich sang ménh dé hinh11oc:dién tichcua tam giac khong C161 khi no xoay quanh P _ Sau day la

chung minh cho su tuong dong éiy.

Goi A(0) la dién tich cua tam giac xoay quanh P motgoc 9 . C6 nhién, dién tich la doc lap voi 9 :

A (9) = 0

va ta khang dinh rang chinh su bat bién ca dién tich nay latuong duong vfri diéu kién moment quay bang khong (2.1).

D5 co su tuo ng duong nay ta chi can chi ra rang:

A <e>=a-5+b~5+C-5 (2.3)2 2 Z

* Day la mot vi du vé bai toén co vé tam thuong (dién tich cfla tam giac khongdoi qua phép xoay) nhung an chua1n(f)tdif}ukho11g he tam thuong(d1nh lyPythagoras.)



ANl

Hinh 2.4. Phn dién lich quét bévi hai cglnh géc vuéng bimg v('7iph.:51n dién tichquét bévi canh huyén.

Dé chttng minh (2.3) ta xoay tam giéc mcjt géc nhé A6quanh P. Canh a quét ngang mét vilng hinh quat dién tich- u2A6, tuong tu cho canh C. Thurc té', dién tich duqc quét b6'i

b cng theo biéu thfrc nhu trén: 5/M0. Thuc véy, b thuchién hai chuyén déng déng thdiz (i) truqt theo phuong riéng

né, khéng énh hufmg dén vén t6c quét thélnh dién tich, vé

(ii) xoay quanh diém du ca né. Ta két luém rng dién tichuét lé 1/719. T6n dién tich uét béi cé ba canh I51:q 2 g Cl

1 1 1

AA =(—a2 +—b2 --2-’jAe.2 2 2

K3? hiéu trir 6 déy 151 dL_ra véo dfr kién dién tich bi “m't

do cz_1nh huyén. Chia cho A3 vé lfiy gifyi han khi A6 —> O ta

thu duqc (2.3).

Sau déy l€1 rn(f)t véi {mg dung ca 3? tufmg quét:

~ Mét chirng minh “hinh vénh khuyén” ca dinh 13?

Pythagoras duryc m6 té 6 muc 2.6.

- Mét nhzfxn xét vé dién tich giu'a hai vét bénh ca xc dz_1p

(mL_1c 6.1).



- GE chirng minh bng hinh vé cila viéc dinh thL'1'c

ti dL= ad—b¢ biing dién tich hinh binh hénh duqc tao

nén Eri céc véc to (a, C) v€\ (5, Q’) (muc 2.5).

- Mét chtmg minh béng hinh vé ca céng thirc phén ré

theo déng ca dinh thL'1'c (muc 2.5).

f(1B)

Iff( ) 48 f( ’) 1

a 7

zn >11-c

Hinh 2.5. Dinh137 co him ca gizii tich: di(f:n tich thay d(§i6v€_1nt6cur0ngErng

v(xi dcf) cao f(.\') ca bién di dcfmg nhim cho vim t6c ctia 116.

2.4 Dinh 13? co bén ca giéi tich

Y tuéng xem xét dién tich cila vtlng duqc quét béi min

dogan ngén chuyén déng lél rt cf) hiéuqué. Dinh 1y co bén

ca giéi tich:

55 J‘/(ms = f<x>dx ‘I -

lil m(f>t vi du; dinh 13? néi ring mét doan nga 'n di chuyévn 6

vén t6c don vj theo huéng vuéng géc véi chinh né, sé quétm_ét vimg cé dién t1'c11 biéh d51' 6 vén t6c bng vé'i dé cao

ca doan ngzin nhzin vén tO'c ca né (1).

Y tumg tuo'ng tut ép dung cho phép tich phém vé'i cil hai



cén bié'n thién, thém chi véd héxm hqp. Vi du, ta cé thé nhzfin

thfiy ngay tirc thi:

-‘5-Ih f<s>ds=—/'< <0) '0)dz '<> g gQ I

being céch lzfip lai céu in nghiéng 6 trén: v§_1n t6c thay (151

dién tich bing véi tich s6 ca dc) déi f(g(t)) ca bién didéng véi vein t6c cfla né —g'(t). Déiu trir lé do bién chuyéndéng huéng véo trong: chiéu ducmg quy uéc huéng ra ngoéi.

Ta cén cc’) thé cho can trén bié'nthién theo théi gian,chirng minh céng thirc néy sé 121 mét béi télpz

a’ hm—J f<s>ds = /<h<1>>/m) - /<g<r>>g'<r>Q’; W)

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Hinh 2.6. Dogm thing di chuyén trong khi vin song song véi phuong ban déu.Vimg dién tich duqc quét khéng phL_l thuéc véo dudng di c1'1a doan thing.



2.5 Dinh thitc cho bri phép quét

Theo dinh nghia, dinh thirc b lé vtlng dién tich ca

hinh binh hénh tao ra béi céc véc t0 (a, b) vé (c, a’). Dinh

nghia néy dn téi m(f>t céng thirctinh nhanh , cho gié tri

ad~bc. Sau déy lé mét giéi thich dcfang hqc ca céng thirc

néy ca Nana Wang, sit dung m(f>t ln nra 3? turng hiéu qué

cla phép quét.

Dién tich dang néi dén ducyc quét béi véc to (cl, b) khi

né di chuyén dQc theo véc tocén lz_1i (c, d). Thay vi véy, ta

héy chuyén (a, b) thénh hai chuyén dcfmg don gién hon,

nhu cho thfiy trong hinh 2.6. Dién tich quét trong qué trinh

chuyén dcfmg du tién 121 ad, vé trong qué trinh chuyén déng

lhir hai 151 —bc; diu trir 121 do doan thing di chuyén “ra sau .

Dién tich t6ng céng duqc quétlé ad—bc. Vin cé thé nhém xét

ducyc ring vtlng dién tich quét khéng phL_1 thuéc véo dumg

di cla véc to chuyén déng (a, b), chirng nélo né cfm chuyén

d(_mg song song vfri chinh n( ).ThL_1:c vafxy, vain t6c thay 6161 cila

dién tich quét thénh biing véi dc} déli ca doan thing nhzin

vzfm t6c theo phuong vuéng géc.V1 thé, chuyén dich cu thé

nhu thé néo thuc ra khéng quan trqng.

‘ Hail nhiéu ngudi (bau gém cé tzic gié) khéng may dfa duqc day dang sau ca

vng (hire nhu dinh nghia, chfx khéng phéi 3? nghia hinh hgc ciia né.



JV ,_=:~'; :r:1'=.»..;»-,~. ' Z7.. PT5'13‘5115*?‘gr‘iv;/i§9i §Y“‘l-'1 ':. ‘ * '

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' ml -‘1;:;a‘,\x5;;¢=£I{@¢r.En-=;\~15;:~~<=-%.~pxh¥¢H<g{r;mfg; 1,.h.n r a|'L'»| .1», , . ..;.; 1. I r. /..‘| , .,.1.,L:,.=.4;.i,.,;=;.,n»,1,:=:k3.N-4|;-;,.1<£iq*Wu:.i,¢‘-,;,g\;- _ ‘_ , . ‘_‘=;

~ ;-w':§=@~§:;r'_;=;:¢Mi1:¢:;a;;amw::m;a;a=:1arimrir ‘ ' =

1 .,. r T&;.~';~ 1-,.-.-M .=' 13-_ :\.,.;.‘; . r 1 u';.',_.¢w,‘ - '

r r--A---~<\ r .‘ v~ K’ r --§.\|1\<_ lI\..& ~e-~.. -

?,r,fY; ;:1.;::1»z;;i;_;1¢5;..1-:,.A;;=;u»i31,1,“.k-...;,;,;,,,$‘.,,‘_:, ‘ 1»

$; :x.*-_'= :':t‘-:1*g=a:;_..=‘:;=rJ==:'»1'2 -_'1~y- :'.:>-~ »~ ; :. 1 '_ -

1 sf§§j;9;f§ %-§@§*£}i§7‘1‘}'i{1§l'f-ATii:‘£15;iiq;.§'§.¢*11.i»,‘i5r \ ~11 \ * 1

. .1.-»~_-A ‘.r:.‘ .\-‘-\; 'g.= ;=..j ';_:_‘ ;.~.‘_ 1:_,~./' 3 -- -

~ = .5“I€§%§§i§r§;‘:;a§,§;;r:gm‘;,?r;;e<;.3:;:1§~,%§;v;§v;i;;2 r

' -HM .53='x:|i'.' »'55IY~$1-¥.i\.¥l-,=--'h - \>3: Hz;¢|:t¢;;;‘,._.-,‘. ,'4 ~ _,:1gr.1 .. . Q§~ , _ '6Y ‘“1i;;§<._v=;1:';;,'i§;-‘-~:, fi.;;.P-§§%if.s¢* .r ¢'1f1chba1\%““

ii-;1§t»f i:w1<'* V

I‘I .. =_:]:‘

Ilinh 2.7. Chfmg minh vé dinh ly Pythagoras cho bbi phép quét.

Bai toan. Dua ra mét 101' giéii thfch clia “phép quét tuong tucho céng th zic khai t1'ié§1 djnh th Lic trongmét ddng:

an an anaw azs an an an an

an “:2 aza = all H _ an H m + al3 ~ ~

an an an an as: an

an an anG<_)'i y: Di chuyén hinh binh hanh H tao thanh béi hai

déng véc to cu6i theo hufmg true x véri an, sau dé theo

tn_1c y vfri am, va cu6ic£1nglatheo hu(mgtrL_1c z vc'Yi an . S0

sanh luiqng quét nay véi luqng quét béi 7r dudi su tinh tié'n

“chéo” béi véc to (an, am, am).

2.6 Dinh ly Pythagoras cé ducyc nhd phép quay

Hinh 2.7 cho thay mét tam giac vuéng thuc hién tronmét véng quay quanh mét dau canh huyén ca né. Canh

huyén va canh géc vuéng lién ké vfri trL_1c xoay quét ra nhfmghinh dia, trong khi canh géc vuéng cén lai quét ra mcfat hinhvanh khuyén.

Ta cc’):



7Ca2 + (dién tich ca hinh vémh khuyén) = 7502.

Dinh 13? Pythagoras gép phn véo viéc chi ra riing dién

tich ca hinh vénh khuyén lét b2.Li1mth6n 0 dé ta chfrng

minh diéu nfxy mcjt céch true tiép mél khéng cn dilng diindinh 13??

Sau (Iy 13 mtjt 13? giéi ttx nghiefzm. Hinh vémh khuyén ducyc

quét thétnh béi mét dean thing chuyén dtfmg cc’) din déli b

khi d02_1n thing néy thuc hién déng thdi hai chuyén déngz

trtrqt (theo phucmg ciza doan thing) via xoay véng quanhdiém mitt T ca né. Quan sét cho thiiy: chuyéh déng trtrqt

khéngénh huéng déh vén t0'c quét d1'_én rich tao theinh. Néi

céch khéc, bitng czich b6 qua vétn t6c truqrt, vé theo C16 cho

doan thing xoay tai ch5 xung quanh diém mL'1t ca né, ta

khéng lém énh hu’é'ng v2f1nt6c doan thing quét ra vilng diéntich. Diéu néy giéii thich vi sao dién tich hinh véxnh khuyén

bitng vdi dién tich ca dia trong hinh 2.7.

2.7 Nuérc cétng sétu cétng tinh‘

Mtjt phét biéu tufmg chirng hdi hqt cé thé cé nhung hé

qué séu sic. Déy 1221 m<f)tvidL_1 cho phét biéu dc’): “Trir khi cé

nhfmg télc déng tit bén ngoéi, kh6i nude tinh trong bé ch11'a

sé gift nguyén tr2_1ngthz'1itTnh”“. Thtrc ra, phét biéu hién nhién

néy kéo theo céc diéu kém hién nhién sau:

Nguyén vén: Still waters run deep (nghia béng ct'1a nélit Ngu<‘1ilhiuntr§m1thutyng séu siic ).

* Déylai 1:‘: mét mrimg hqp defxc biét ca djnh luzftt béio toiln nimg luqng, phétbiéu ring nilng luqng khéng thé duqc tz_1o ra. Cémg phé quail chimg néao,

ménh dé cimg cé vé don gién chimg y.



1. Dinh iy Pythagoras2. LL_1 C déiy Archimedes3. Dinh iy ham sin -

Truémg hop dau tién da duoc giai thich mot each co banbang lap luan “be ca vita roi; thay vi be ca ta co mé tuongtuong ra mot kh6i ling tru nuoc treo vao mot khfii nuoctinh lo n hon, nhu trong hinh 2.8. Mot khi kh6i lang trL_1 6trang thai can bang, tong moment quay (xung quanh canhthing dfrng bat ky) ca céc ép sua t bén trong lén cac bé mat

thang dirng la bang khong. Diéu kién moment quay bangkhong nay la tuong tL_r nhu (2.1), nhu mot déiu hiéu, gifingnhu dinh ly Pythagoras.

Q) 1

I-Iinh 2.8. Tong moment quay trén kh6i niroc lng trt_i gia tuong la bang khong.

Dinh luat Archimedes. Diéu nay co the duoc chimg minh

dé dang nhu sau. Dinh luat phat biéu rang: Itrc d‘.é7y ta c dungvao mot vat chim (nhu vién dé) bang vc ri trongluangnudcbj vat chiéirn c115.

Chtirng minh. Hinh dung thay vién da chim bang mot khoinuoc co hinh dang gifing hét. Kh6i nuoc nay sé lo lfrng 6trang thai can bang, nhu: dé cap 6 trén. Luc dy n6i tac dunglén kh6i ntroc do do bang voi trong luong ca kh6i nuoc.Nhung vién da cf1ng“cam nhan luc dy n6i gi6ng vay boino co ciing hinh dang nhu kh6i nuoc.



Djnh Ifhaim sin. Dinh 137 néy phét biéu ring trong tam giéc

bit k§/, d6 déii ciia m5i canh ti lé véi hém sin cia géc d6i dién:

a b c

sina sin B sinyChfmg minh. Dé chirng minh dinh 137 ta dung céch sir

dung thiiy tinh, tuéng tuqng mét 6ng méng déi v6 han cé

dang AABC, d6 déiy nude, duqc dét trén mcjt mzfit phngthing dtmg hinh 2.9 . Hoeflc ta cé thé chi tuéng tuqng mét

6ng nuéc hinh tam giéc duqc téch riéng ra khéi kh6i nuécbao quanh.

Ta héiy dét canh AB niim ngang; ép sufit tai A vé B khidé 151 biing nhau, vii pA — pC = 1 ,, — pc . Nhung chénhléchzip suiit ti lé thuzfln v ri chénh léch dc} séu: pA —— p C = kb sin 05

v51 pB — pc = ka sin/3 trong dé k 151 hé s6 ti lé. Ta két luzfmriing bsina = asin. Mét lafip luém tuong tu chi ra réng

csin = bsin y . Suy ra dinh 137 hém sin.

C

7

b ah

ae c

A B

Hinh 2.9. jug nuévc méng hinh tam giéc sir dung trong chtrng minh cfia dinhif hiam sin.



2.8 Dinh 13? Pythagoras ba chiéu

Dinh 13?. D61’ v61‘ mot n? dién duoc gioi ban b61 ba matphzingtruc giao vzi mot mgitphng thli tukhéng song song v(r1 bitkjlmatphng nao trong s6ba matphzing kc? trén, ta co:

a2 + b2 + c2 : d2, (2.4)

trong do a, b , va C Ia céc d1 _én rich bé mat clia ba mat truegiao, va d 1a d1 _én tich ca mat con Iai.

Mot chfrng minh vat 137. Bom khi nén vao ttr dién. T6 ng tatca ap luc bén trong tac dung lén hinh chop bang khongz

F“ + F,, + F6 = -Fd, (2.5)

néu khong thi bé chira ca chixng ta sé tang t6c bat thinh

linh theo huong ca hop luc, dem lai mot nguon nang luongtL_r do din dén mau thuin voi dinh luat bao toan nang luong— dinh luat duoc dam béo tuan thl 100 vo i kién thirc cachng ta cho toi gio.

B61 (Fa + Fh) _l_ F6, dinh 13? Pythagoras cho:

|1+j, +F,,|2 + FC 2 =|Fd|2

C

Hinh 2.10. Phién ban ba chiéu ca dinh 13? Pythagoras: dién tich thoa man (2.4).



Tu0'ng tut:

Ta két luzfm

Béiy gié’ Fl]lpc =p¢-,v€1 Ft,‘ : pd.Th€vz10 (2.6) v€1 triéttiéu p2 ta dune

|Fv\2 +'F/1° +|F‘_|2 =

F” + F,,|’ = F” 2 +|F,,|2

IE, (2.6

= zip lL_1'C >< dién tich = pa; tuongtu, ‘FA = pb

(2.4).

Tém lz_1i: Dinh ly dién tich (2.4) gép phén véxo phét biéuring bé chira bi nén cé dang du'<_)’c thé hién éhinh 2.10 khéng

tz_10 ra thL'1c déiy dcfn ngét géy chuyén dfmg n€10 Mrjt nhén

xét v€_1t 137 don gién dem l2_1i mét dinh 1y toén hoc gqn gémg.

Don d¢p toén hpc. Ngudi hoiii nghi cé thé phém nén vé

su thiéu chzfit ché toém hqc trong céch fiat duqc (2.5). Thuc(I16, ta (‘I51 vién dé'n dinh luét béo toim néng lucyng ma} khéng

phzit biéu né mét céch cu thé trong ngén ngfr toén hqc. D5

(hip lai, ta dé 3? (2.5) tuang duong vdi 51; bé'l biéh thé't1'ch

um hinh chép qua phép tjnh tiéh.

Thus vzfly, (2.5) tu0'ng duang v61 phélt biéu ring véri vécm r béit kg]:

F“-r+F,,-r+FL_-r=—F‘,-r,

Nhung s6 hang F“ - r cho ta thé tich quét thénh do min

()l§(,7 khi né bi tinh tién theo véc tor I‘, lafap luefm tu'0'ngtL_r

vlm czic mzf1tc(‘>nle_1i.Néim<f)tcéch ngén gqn, phuomg trinh

-.uu cimg dién té dfx kién ring khi hinh chép bi tinh tién

Hwo véc to 1‘, thé tich tich tL_1 duqc nhér céc m2f1ta,b,c béng

wri lhé Lich mt di qua mzfat d.



Nhin theo mét cach khac, ggi V = V(r) = V(x, y, z) la thétich ca hinh chép bi tinh tién theo r = (x, y, Z). DT nhién,V déc lap vfyi I‘, nghia la, nhfrng dao ham riéng phn theo

tirng bién trong bf) ba Ian luqt triét tiéu:

(vx, vy, vi); VV(r)=0.

Mét each vat ly hqc, véc to gradient VV(r) — véc to cacac dao ham riéng — la hcyp ltrc ca ap suit bén trong cakhi tai ap sua't p = 1 lén cac vach bé chL'ra.

2.9 Can bang bat ngdTai sao dinh ly Pythagoras cc’) qua nhiéu chljrng minh

khac nhau vefty? C6 lé béi vi né qua co ban. Tham chi khita tu giéi han trong czic chirng minh vat 1y, hay céc chtrngminh duryc truyén cam hirng béi vat ly, van cén mint vaichirng minh; mcjt chirng minh nhu vay dz duqc trinh bay 6mL_1c 2.2, cén thém hai chfrng minh khac cng duqc trinhbay sau. D5 chufin bi cho mcjt trong nhfrng chirng minh nay,truéc tién ta xem xét m<f)t co ché' don gién nhurng cé gia tridéc lap. Trong muc tiép theo ta se sir dung co ché nay déchtrng minh dinh ly Pythagoras (thém ln nira )

Bai t0an'. Mtjt hinh vanh khuyén C nhé trurqt khéng masat trén mét cung ban nguyét ran. Hai IO xo dan héi chat

* Téi dé tinh c0 nhzfm ra van dé nay khi suy nghi vé chuyén déng cila mét vélinh nhan tao ldn.

* Theo dtnh nghia, sire cang ca mét 16 xo dim h6i chat bié'n d<')'i ti lé thuefmvéri dé dai ca né. Cu the”, sirc cang bang khéng tucmg (mg véri dé dai bangkhéng. Th6 nang ca loai I6 x0 nhu vzfly la ti lé véri binh phuong C16 dai can6 (xcm muc A.1).



gifing nhau CA v51 CB n6i hinh vzinh khuyén véri hai dudu’<‘) ng kinh. Chling t6: hinh vilnh khuyén 6 trang thé1i_c€1n

bng tai vi tri bit kr trén hinh bén nguyét.

N\ \\\Q \C

M \ H

A O B

Ilinh 2.11. Chfmg minh cho b6inh1 mgl(‘) x0.

Chfrng minh. Hinh vémh khuyén ( 1 trang théi cén bng khicéc thzinh phn theo phuomg tié p tuyén ca tfit cé lL_rc técdung lén hinh vimh khuyén triét tiéu l§1n nhau. Ba luc técdung lén hinh vzinh khuyén:ph€1nluctruc giao tir cung trénvé hai lL_rc céng a vé GE (ta ch(_)n hing s6 Ho0ke’s k = 1),

nhu thé hién trong hinh 2.11. Chi hai luc sau cé thénh phntiép tuyén khéc khéng, v21 ta phéi chi ra rng hai thzinh phéinnéy triét tiéu ln nhau. D6 duqc véy ta chi luu 3? ring hinhchié u cila hai tia néy lén [WN théa mén:

O/1 MN = OB/mv,

vé, bfri OC _L MN, nhfrng tia nély cc’) cilng hinh chiéu vé*i

hai lL_rc:



OA/mv = CAM/v , OBM/v = CB/mv.

Céc hinh chiéu ca hai luc CA vi: CB triét tiéu nén hinhvénh khuyén 151 cén biing (tai vi tri béit kj/).

2.10 Chrng minh dinh 13? Pythagoras bngnhftng 16 X0

Chi cn chi ra ring hinh vénh khuyén trong hinh 2.11 ér

trang théi cén biing,151

chng ta dé chfrng minh durqc dinh13?

Pythagoras. T l'lL_1’C vefly, m(f>t khi hinh vénh khuyén 1:21 cn bng

tai moi diém C bét kjl trén cung trén, né khéng nhzfm lL_rc,

via theo dc’) khéng sinh céng, dé trucyt tit C dén A . Diéu néy

nghia 1:21 thé néng khéng thay C161 trong su6t qué trinh truqt,cho nén néng luqng ban déu biing vc'>'i néng luqng sau cng:

-liaz +£b’ = §O2 +18.2 2 2 2

Ta sir dung dfr kién ring th(§ néng ca mét 16 xo dim h6ichzfat cé chiéu déi X 151 gxl, trong dé k lei hing s6, (xem

mL_1c A.1). Ta két luzfin ring a2 + [)2 = c2.

C C Al/1I__~_—_i__ Bl

thangthng

Ivlinh 2.12. (a) :12 + b2 151 déc leflp v(yi géc 9; (b) céu; moment quay cén bfmg, vicéc thémh phfm cL'1a céc luc vuéng géc véri AB I51 bimg nhau vim céc cénh tay

dén cng véy.





Bai tozin B. Béi thanh thing can bang phiém dinh*,ta khéngcan t6n eéng dé xoay thanh thing huéng vé diém C. Diéunay eé nghia la thé nang ea thanh thing frvi tri bat k§/ luénbang véi thé nang évi tri dae biét nay:

gal + b3 = (d—r)2 + (d+r)2

hay

a2 +b2 = 2(d2 +r2).

2.12 Chung minh déng nang: dinh 13? Pythagorastrén bang

Hinh dung ban dang dung tai gée eua mét “san truqtbang hoan toan khéng ma sat (hinh 2.13). Giay trucyt ea

ban la hoan toan khéng ma sat. Dam ehan day minh rdikhéi true X, ban bat dau truqt véri van t6e a doe theo truey. Drfmg nang eua ban la maz /2. Bay gid dam ehén dayminh rO'i khéi true y, dat duzqe van t6e b theo phucmg X,theo dé thu duqe thém déng nang la mb2/2 (khi dam ehén,

ma sat v(7i truey eoi nhu la bang khéng). Déng nang eua. , A ,2 \ t u 3 bl .. , A .»ban sau har eu dam day nay la '” Mat khae, van toe10

+ .

1 \ 2 2 . ' ;euéi eung eila ban la eanh huyén C eua tam giac van tée,

:. 2 ,va dcfmg luvng eua ban duqe eho bang Theo do:

maz mbz mcz———— +

—= ~——,

2 2 2

* Ta néi rang m(f>l can bang la phiéln djnh né-'u trang théi can bang dat dtrqetai mei vi tri bit kv.

** Deng n51ngl€11n(f>tdailu(_yng v6 hudng va eéng duqc vévi nhau theo s6'hQc.





béng mét S(_)'i déy dé gift cho 16 xo luén bi nén, nhu cho thfiytrong hinh 2.14.

Ta hiiy ném cé hé nén chit di vé'i vein t6c a nhu chothéiy trong hinh 2.14‘, vél sau dé, mcfat khi cé hé dang bay,ta cét dirt déy n6i, theo dc’) dé 16 x0 bi nén bung ra. Vén t6cdo ducyc C ciia tirng kh6i nzfing lél canh huyén ca tam giécvef1nt6c véi ceic canh a, b. Mzfat khélc, déng néng ca cé hai

I Z

khéi nén bé idlél 2><~i=m¢’. Nhun nén lucyn n51 daty g 2 g g g Yduqc théng qua hai phéin ti lé: truéc tién, 2 = ma’ tir cL'1

déiy ban du, v51 sau dé, 2><_”’;’Z = mbz tit 16 xo. Theo dé:

mcz = maz + mbz.

Triét tiéu m cho ta dinh 13? Pythagoras .

* Tn coi nhu khéng c6 lrong luc.** Chfing ta nhiic dén Einstein 6 déiy chinh vi d kién ring hé cé néng luqng

151 E = mcz



3

cucTéuvAcUcBA|

Nhirng béitoén vé gié tri l(m nhéit/nhé nhit thufmg r€it

ph hup vé i phu0 ng céch tifip céxn vef1tly.L3? do cé lé lé trong

thuc t6 nhiéu hf: vét 1y tu tim duqc gié tri cuc tiéu hay cuc

dai: mét déng h6 qué léic chi ra vi tri cuc tiéu ci1athé nng;

tia séng phén chiéu tu vién dél nhn duéi déy su6i dén v6ng

mac cla ta chi ra con duidng t6n it théi gian nht; mét bong

béng x51 phbng chqn hinh dang ca thé tich nhé nhéit; mét sui

déy miic théng gifra hai du c6 dinh chqn hinh déng cc’) tém

kh6i thip nhfit, vé cu thé céi danh séch néy kéo déi bait tén.

Déy 151 mét mu chung cho viéc tim ra mét céch giéi vélt

13?. Gié sir ta phéi cuc tiéu héa mét hém s6. Bufrc chinh 151

thiét ké mét hé thfing co hoc v( ) i thé néng lé hém s6 biéttrudc. Cuc tiéu cila hém s6 tu0*ng ung cuc tiéu ca thé néng,

turong ung trang théi cén being ca hé. Khi m6 té diéu kién

cn bilng ta thufmg cc’) mét céu tré lO i dgp dé. Thzfit vefly, ta

sé phéi tao ra m()t “méy tinh co hoc, né sé tu giéi quyé- t

duqc béi toén — cén ta chi cn chd mé dc_>c liy céu tré ldi.Sau déy 1:21 m(f)t biéu dién dang biéu d6 cila su tuung (mg

gifra giéi tich véz co hcpc, cho trumg hqp hém s6 cila métbié n X :



Giéi tich Dién dich vét 13

Hélm s6f(x) Th6 néng P(x)Dao h€1mf(x) Luc técdung F(;¢) = -P’(x)f(x) nhé nhzil => f’(x)= 0 P(x) 121 cue tiéu

:> F(x) = O (trang théicén bng)

Métllru 5? vé hié'u b1'é't co bén. Ném duqc giéii tich vé hinhh(_)c so cp lél dfl dé hiéu chuong ne‘1y.Tuy v2f1y,phu'0’ng céch

tiép czfin vzfxt 137 cho phép ta giéi nhiéu béi toén giéi tich, v51

cé mét véi béli toén ca giéi tich da biénNén téng vzfit 13? sir dung trong chuong néay duqc m6 té

trong phn phu lL_1c. Ta sir dung nhfrng m6 hinh co hoc chonhfrng d6i tuong toén h(_)c. Céc mé hinh nély bao g6m 16 xo

déln h6i 13? turfmg, déy, hinh vénh khuyén truqt, khi nén v21

chin khfmg. Tit cé céc d6i tuqng gié tuéng niiy duqc m6té trong phu luc ngéin, cilng véi célc khéi niém vé cén bng,moment quay, vé trqng tém.

Céi gi cng 06 gié ca I16. Lfyi giéi ca céc béli toén 6 déytrfr nén ngén gQn khi ta véln dung vélt 13?, mét déng thay vicé trang diai khi sir dung gié'1itich.Tuy nhién, theo dinh luétbéo toén dc) khé, diéu nély cé gié ca né. Khé khén chuyéntit viéc thuc hién nhfrng thao tzic s6 hgc chain ngéit sang viécthiét ké mét hé thfing co hQc thich hqp.

V31’ nét 1161' bét. Céc ch dé ca chuong niay g6m:

1. Mét tinh ch€it quang hqc ca hinh ellipse.2. Duimg biéu dién phil hqp nht béng 16 x0.



Hinh chép ca thé tich nhé nhéit véi trong tém.Béii toén dién tich nhé nhét via lém nhiit.Béi toéln dién tich be mét nhé nhéit.

Chirng minh dinh 137 géc n(>i Liép sir dung co hqc.

CL 1u1€iy mét nan nhén bi chim bng céch sir dung nhfrngqué néng.

Phn lé n, néu khéng mu6n néi 151 tit cé, chi lé nhungbéi tefip giéi tich, nhung ( 1 déy ta giéi chting ma} khéng czin

dilng giéi tich.

3.1 Tinh chit quang hec ca hinh ellipse

Hinh ellipse lél min dang ciia “du(‘mg L1-On véi hai tém :bu(f>c met sci déy véo gifra hai chiéc dinh (F vii F ) v51 di

l 2

chuyén bL 1t chi sao cho déy vn céng; chiéc bL 1t chi sé phécra mcfit hinh ellipse. Dé cu thé, hinh ellipse bao g6m téit cé

diém ms} t6ng khoéng czich ca m6i m<f)t diém t(7i hai diémcho truéc (gqi lé tiéu diém) 151 mét hing s6.

P Q

Hinh 3.1. Dinh nghia ca hinh ellipse: PP] + PF2 =h5ng s6.



Mei hinh ellipse cé tinh cht déng luu 3?: mét tia séngphét ra tilt mét tiéu diém sé nhd sir phén xa tit durng ellipseCli qua tiéu diém cC>nlg1i— diéu néy Citing cho huzdng truyénbéit ky ciia tia phét. Nhd dé neu cho i tré laser tag‘ trong m(f>t

cén phéng ellipse vdi mét véch phén x2_1 sé rt vui.H0210 ban cé mé tuéng tuqng choi ném béng trong m(f>t

can phéng ellipse: Citing [2_1l met tiéu diém E v21 ném béng,téi sé ném triing ngurdi dtrng tai tiéu diém F2 bit ké téinhéim té 06 néo (coi nhu qué béng néy sao cho céc géc téi

vé phén xa lei being nhau). Di nhién, né u ngufri tai F; hL_1p

xu6ng, khi dc’) béng sé bay qua F; vé dép nguqc l2_1i téi saumét cL 1 bat tudng.

Giéi thich tinh chéit déng ch 37 nziy nhu the nilo? Saudéy lé m(f)t phét biéu hinh hqc cu mé cila béli toein, theo

sau lé giéi dép.Bi toén. Gpi P Ié mét diém trén hinh ellipse vc r1 tiéu diémE vii F5, vzi MN 12 tiép tuyéh tai P, hinh 3.2(a). Chéngto’ ring:

AFIPM = 4F2P1v.

Led giéi. Lém sao ta chtmg minh ducyc tinh chit néy? Metcéch giz31ir€{tt6n site lé (i) viéft phuong trinh ciia m<f)t ellipse,(ii) tinh hai géc trong dé béi, vé (iii) xélc minh ring céc biéuthirc 151 bng nhau. Céch tié p cén néy cc’) the din téi viéc

* Laser tag 13 mcjt h0z_~it déng déi nhém hay cé nhén méi ngudi choi c6 ghidiém biing cé1ch“bz in tr(1ng1m_1ctiéu,dién hinh la being m6l sL 1ng nhiimphét héng ngoai cfim tay; m5i ngudi choi thufmg deo czic muc tiéu nhaycém héng ngoai dé tién cho viéc tinh diém. - N.D.



tinh toén “gy cé tay mél khéng hiéu thém bao nhiéu. Thay

vélo dc’), céch tiép can trL_tc quan trinh béy sau déy ngén h0 n

nhiéu vél chi ra “diéu gi dang xéy ra . -

M P’v

§n4M N

(0,) (b)

Ilinh 3.2. (a) Theo true quan; (b) Theo chfmg minh co hqc.

Ta treo mét sqi dy vzio hai chiéc dinh E v51 F; duqc

déng véo m2f1tbéng(hinh 3.2(b)), sao cho m<f)t r()ng1 Qc nzfmg

lén duqc trén déy nhu trong hinh. Néu ta di chuyén réng roc

sang tréi hay phéi, trong khi giit czing sqi déy, rbng rqc sé

phéc ra mét hinh ellipse. Bing céch Ciinh huéng tm béng

thich hqp, ta cc’) mé sip xéfp cho diém tily 3? P trén duémg

ellipse lél diém thp nhit, nhu trong hinh 3.2(b), sao cho tiép

tuyén tré thénh durdng MN niim ngang. Nhung sqi déy tao

thénh nhfrng géc bng nhau vfri duimg niim ngang. Thuc

vz‘_1y, bi) ba luc télc dung lén rbng f(_)C (hai luc céng v€1 trqng

luqng) lél trong diéu kién cén bng luc; cu thé, téng luc nm

ngang 151 biing khéngz

T1cos0c,—T2c0s0c2 =0,



trong dé T] véi T2 1221 cz 1clL_rc céing ca hai phéin S(_) l déy. NhungTl = T2 béi rdng rec khéng ma sé1t , vé ta duqc O5, = 062.

Nguyén13?Her0n. Nguyen 1y Heron phét biéu ring énh séng

ch(_>n con duirng ngéin nht. Theo dinh nghia ciia ellipse,mqi con dufrng FIPF2 déu ciing dé d21i;nghe cé vé ngd ngéinnhung thét ra m5i con dudng nhu véy 151 mét l6i di ngfinnhfit tir E den dudng ellipse vii dé n Theo dc’) FIPF2121 dufrng di ca mcjt tia néo dc’). Mzflt khzic, ta dé chi ra ring

LE PM = 4F21>1v .Néicé1ch khéc, ta da chi ra rang nguyén 1yHeron 151 nhit quén véi ding thtrc gifra géc téi vél géc phén xa.

____ u\16) x0 lL_1 C cfmg

khong (161

llinh 3.3.llinlivz‘1nh khuyén 6 Lrzing théi czin bng, Ulr dé céc géc 151 being nhzlu.

3.2 Mét chtrng minh co hqc khélc

Déy lei fI1@[ chirng minh co hqc hoi khélc ca tinh chitquang hQc trén. Khéo sét met hinh vélnh khuyén U‘ll’(_) [ khéngma sét dqc theo hinh ellipse, v€1 sir dung hai lb x0 vc vi luc

céng khéng dli T = l <15 neo hinh vémh khuyén véo m5i

* l‘h1_i c vzfiy, bzil cfrkhzic biét nzio trong luc ciing sé gély ra gia t6c géc cho réngroc thco hufmg ciia luc czing ldn hcvn.

** M(1téicfiz1nl1fi ng khzii niém néy, xcm muc /\.1.



tiéu diém. Thé néng ca hé co hqc ca chtmg ta bng vdi

tfing dc} déli ca céc déy via theo dinh nghia cla ellipse thi

né 121 hing s6. Hinh vénh khuyén do vafly mé cén bng t2_1i bitcL'rv1trin€10,v:§1 céc thélnh phn tiép tuyén ca luc téc dung

lén hinh vimh khuyén cng 151 trong diéu kién cén bng lL_1'c:

Tc0sal=Tc0s<12, kéo theo 051 = 052.

3.3 H61 quy tuyén tinh (phtl hcyp nhéit) théng

qua16 X0

Tuéng tu'c_mg mét taflp hqp czic diém dtr liéu (xi, y‘)

trong m2_“1t phng. Ta duoc yéu cu tim ra mcfwt dudng thing

y = ax + I) phil hqp nhéit vé'i bé dtrlicfzu néy. “Nh't nghia 151

gi?Détré1l(‘ri céu héin2‘1y,v('Yi m5i xi ta xemy = ax’ + b nhu

1:21 min giél tri suy doén, trong khiyl. 13 gizi tri quan sét hay do

ducyc. DC: chénh gitra bi) hai gié tri ny 121 y, — (ax; + b), gqi

151 sai s6 (hinh 3.4). “Dufmg t6t nht” 6 déy nghia 151 dumg

't”7 b‘ h h ' A’ h’ h”/t Ph'tb'”7 h’ h 'co ong 1n p uongsalson on a. a 1euc1n xac

ca béli toén tim dufmg phil h(_)'p nht, cén duqc ggi 151 béxi

toein1151'

quytuyéh tinh, 151 nhu sau:

(1%?/qt) |

/\'b :

:} >1

Hinh 3.4. Dudng no t6i \hiéu 11621 King sai s6 (3.1)?



Béitoén. Cho N d'1'é'm dLT1i_éU(Xi, y) trongmgitphzing, rimdudng thing y = ax +-b ph hop nhling diénz d Iiéu nziynhzft theo nghia t6'i th1'é?u 116:2 t5ng binh ph uvng sai $5:

Ns(a,1>)=Z(y, —(ax, +b))2. (3.1)i=1

Céc n s6 trong béli toén néy 151 dé d6c a v51 hé s6 chinb ca duirng thing “t6t nht . Phu0'ng phép tiéu chuéin détim ra cuc tiéu cfla (3.1) 151 cho dao hém

riéng phn theo avé b biing khéng. Sau dély 1:21 m<_3t dudng tét co hoc di dé'ncéu tré ldi.

Ldi giéi. Dufrng thing céin tim duqc xem nhu mét thanhthing (hinh 3.5). Cho thanh xuyén qua céc 6ng bQc khéng

ma sélt truqt trén czic rénh din dét tai dudng thing dfrngx = x,. M51 6ng bao duqc n6i bng m<f)t IO x0 dén héi chefltvéo mcfnt czii dinh (déng tz_1i mint di<-“im dfr liéu).* Ta chqnhing s6 Hooke biing 2, dé cho théf nng cila m6i 10 x0 bngdimg binh phuong dc) déi ca né. Tc‘§ng (3.1) b€iy gid mang3? nghia vét 137151 thé néng

* Iiiéu bifft co béin vé 10 x0 dim h6ichef\t<’rm1_1c/\.1.Cho muc dich ca chfmgla 0 day chi cn nhéc lai rng th6 nimg cL'1a mcjt lb x0 dim héi chét ca hing$6 Ilookc klix fl-1.

2



(llrm/1)

Rénh din F. b,+11 ’“J

.11,

Ilinh 3.5. T6ng binh phuong I th6 néng (3.1) l€1l6it}1iC>11khic{1c diéu kién

cim bfmg (3.2) cfm 1L_l’C v€1 moment quay duqc dzip (mg.

Né u t6ng binh phurong 1:3 nhé nh€it, thé nng hé co hqcca chflng ta lé nhé nh€it,v€1thanh fytrang théi cén biing. Céc

luc c(‘)n lai mé thanh “cém th€iy” 121 phén luc, nguqc chiéu—Fi tit céc 6ng tay zio; t6ng ca céc luc nély triét tiéu, clingnhu téng moment quay‘ ca chilng d6i véd diém chin A :

N N

=0, Ed, F,=0. (3.2)= i=l

trong dé dl. 151 khoéng céch ttr diém chéin dén 6ng tay éo. Luu

3? ring d, cosa = xi . Bziy gid dé lip biéu thirc cho E, khéosét diéu kién cén bng ca luc trén 6ng tay éo. 6ng tay é

cém nhefln duqc (i) phén lL_rc tit thanh thing, (ii) h_rc kéo

ca 16 x0,y . — (axl. + b), v51 (iii) phén 1L_IC tit rinh din theophuong X. Chi hai trong s6 nhfrng l1_rc nély cé thénh phn

y khéc khéng, v:¥1 chng 121 cén b£“1ng:F, cosa = y, — (ax, +12). Sidung nhfrng biéu thirc néy vé*i d I. vé trong (3.2) ta thu dun

* Cho hiéu biét co bim xcm mnc A.5 vé /\.6.





Chfmg minh. Hinh vé cho th?1'y ba duéng thing bao quanh

durfmg cong K, véd phn chén khéng bén trong tam giéc viivéd khi cé zip suéit p = 1 bén ngoéli ép lén céc duéng thing

(khi khéng thé xuyén qua). Vzfit cén K ngén tam giéc khéico lai thélnh mét diém. Theo cém nhefm, tam giéc c6lé1m

“diéu t6t nht cé thé” cho viéc co lai: né c6 t6i thiéu héa

dién tich cla minh. Cu thé hon, 151m céc thanh hqp thénh

mét tam giéc cé dién tich nhé nht A ; célc thanh khéng

n61 véi nhau tai céc dinh. Téi khiing dinh ring m6i thanh

khi dé 151 6 trang théi cén bng. Thuc thé', thé néng hé ca

chng ta bng‘ dién tich cila phn chén khéng nhén vé'i zip

suéit p, dé cho

Dién tich nhé nht E thé néng nhé nhtE trang théi cén bng.

PH“, . , _7' p = O chan khong, mi’ -2:; .

r . 2-‘W,,' . I4 ;;-s

';j wv;;;;;,, ‘..; 1' < v»1-‘». w

Hinh 3.6. B6 ba lhanh thing bao quanh mét bong béng chain khéng bi ép vélo

trong dé lén dudng cong K béri khi bén ngoéi.

MTUTMUTM

Hinh 3.7. Néu mét luc phzin b6 déu trén min doan thing cén being véri mét IncI510 dung tai min Ciiém cila doan thing, lhi diém db 123 [rung diém.

‘ Xcm 1y giéi 6 muc A./1.



B61 m5i thanh 6 trang théi cén bng, ép suit hu (7ng ra

ngoéi téc dung lén thanh tai diém tiép xL 1c cn b§ 1ng v() i é1p_

sufit hufmg véo trong cfla khi. Diéu néy hém 3? (xem hinh3.7) ring diém m:/31 zip luc téc dung lén 1:31 trung diém; né u

khéng thi moment quay ca tit cé luc trén thanh quanh tié p

diém sé khéc khéng. Don gién ma} néi, thanh it sé quay né u

diém tiép xlic khéng phéi 151 trung diém.

BIvlinh 3.8. N611 mét phng tié p xL 1c t6i thiéu héa thé rich ca hinh chép, khi dédiém tiép xilc 151 lrqng Lém ca AABC.

3.5 Hinh chép 06 thé tich nhé nht

Béi toén. Trong tit cé mgit phng uép xc méit ellipsoidx2 /az +yZ /b2 + 22 /cz =1, mét trong s0 chL1ngg1 a0 v61‘ géc

phén tzim thnhé/t x 2 O, y 2 O, z, 2 O t._a0 thénh hinh chép

cé thé tich khé d1 nh0 nhé t. Chi ra ring tiéj) diém ca mgit

phzing dé Izi trong aim‘ ca mét ABC (hinh 3.8).

L61 giéi vét 13?. Ta héy tufrng tu c_mg milt phng tiép xc chia

téch phéin chén khéng bén trong hinh chép v6 i khéng khi

* Trqng lém (hay diém cim b5 1nglL_rc)cL 1atam giéc Ii: giao diém ca czic dudngtrung luyén.





(r — r0). N = 0

trong dc’) 1 0 = (x0, yo, Z0), hay

(X _ax20)x0 + (Y ‘b);0)3’0 + (Z “;o)Zo O_

Z Z Z

vfyi L; + i + Z‘; = 1, phuong trinh mét phng tié- p xL 1c nit gcpn(I C

thénh:

——x°f+——y°2y +@§=1.a b c

Ta tinh hé s6 chin X trén x bng céch cho y = Z = 0,vé1 tuong tL_r cho hai hé s6 chin cén lai:

Z 2 2b ~X=i, y=__, Z=‘_.X0 yo Z0

Thé tich ca hinh chép bé y gify duqc m6 té trong m6ilién hé véi diém tiép xL 1c:

1 1 1 b 2v = —[—XY]Z = —X)’Z = (‘LL-3 2 6 xoyozo

Ta phéi t6i thiéu héa V, dé lei, t6i da héaX0)/OZ0 E f(X0 , yo, Z0) tily thuéc vélo diéu kién bién:

X2 yz Z2

g(x0, yo, zO)Ea—‘;+Z‘;—+C—‘;= 1.

D6 f dat cue tiéu ta phéi cc’) Vf = 1Vg, trong dé /1

13 nhéln tr Lagrange; m(f)t céch r0 réng horn, diéu néy cho:



yozo : ZAL;a

X010 = 2,1Z_§ 3.4)

Zxoyo = 21-2.

c

Nhén phuong trinh du tién vdi x0, phuong trinh thirhai véi yo , vé phucmg trinh th ba vfyi Z0 ta lém téit cé céc v6

bén tréi bng nhau. Céc vé bén phéi khi dc’) cng bng nhau:

2 2 2

x_<> I X1 : .Zl>.a2 b2 CZ

Cu6ici1ng, tit g x0, yo, 20):] ta két luefln ring:

2 2 2

x_°:.J_i<L_Z_°_la2 I72 c2 30

X0175,

vé 2

X=i=a\/5.X0

B =‘§§§i:z::-~- ~Vinh 3.9. Né u thé tich ca hinh chép ng0a_1itié p1n f)tld16il6ilz‘1 nhb nh51 t,khi

dé céc trqng tm ca mint 151 c{1ctié p diém.



A A’ > 1 \Ta nhan thay rang x‘, = 5X;tu0’ng tL_r, yo = g)’ va 20 = -3-Z

Néi céch khéc:

1

(X0, yo, z0)=§((X,0,0)+(0,Y,0)+(0,0,Z)), (3.5)

hay diém tiép xL 1c qué thuc 121 trqng tém ca tam giéc ABC.

3.6 Dinh 1}? vé trcpng témKét quéi néy déi duqc bié t dé n tir truéc (xem cu6n [D]).

Béi toén néy thélt ra chi 151 t6ng quélt héa ca béi toéln 6 trén.Téi cém théiy né d dep dé xirng délng duqc trinh béy riéng.

Dinh 13?. Goi K lé mét kh6i 161 trong khéng gian s6 hqc 3

chiéu R3 , vél ABCD lé mét tit dién (cho 151, mét hinh chéptam giéc) cc’) thé tich khé di nhé nht chtra K. Khi dé tiépdiém ca tirng rneflt vivi K 151 trong tém ca melt dé.

Chfmg minh. Ta turé ng tucyng cc’) b6n mét phng bao quanhK vé tao thénh bién ca mét bong béng chén khéng hinhchép. Tirng cép hai mét phng cé thé cét nhau, nhuzng

khéng duqc quyén xuyén quaK.

Ap suéit khéng khi bénngoéi bong béng chén khéng buéc céc meflt phng ép lén

K. Thé tich cila hinh chép chén khéng ti lef: thuén vfri thén€1ng‘.D0 dc’) né u hinh chép cé thé tich nhé nhét, khi dé thé

néng sé lél nhé nht, vii do dé tit cé meflt phng sé (7 trangthéi cén being. Theo dé zip luc hudng ra ngoéi trén m6i mefzt

t2_1i tiép diém cén bng vc’> i ép suéit phén b6 déu hufmg véo

trong. Diéu nély hém 37 ring tiép diém lél trqng tém ca mzflt.

Diéu niny hién nhién délng tin; chfmg minh duqc cho trong phn ph1_1l\_1c

(xcm muc A./1).

1

/



Qué vély, ta cé thé nghl vé ép luc huémg mfai nhu luc trcpng

truf> ng, phén b6 déu khéip tam giéc, vél khi C16 diém tiép xL 1c

121 diém cén bng — trcpng tém -

3.7 Mét béli toén ding chu

Sau déy lé mcjt céch giéi phi-tiéu chufin ca mét béi toén

giéi tich tiéu chun. Phuong phép n€1y tré ldi duqc nhiéu

céu héi khéc, nhu sé duqc trinh béy trong céc m1_1c tié p sau.

B511 toén. Tim kich thudc ca m_Ot dudmg trdn vzi mét hinhvuéng cé t5ng dién tich nhé nhél‘, né/u bié t truéc t5ng ch u

vi ca chaing.

Tré lri. x = d: dufmg trbn 151 néi tiép hinh vuéng.

Léri giéi. Hé coh<_)c ca chimg ta bao gém IT1(f)[.S(_Yi thbng

lqng; m(f)t phn cla théng l<_)ng duqc bqc quanh hinh vuéng

v€1 m()t phn quanh dufmg trim, v(1i nL 1t théng lqng lu6n

xuyén qua mcfat céi 6ng tuyp nhu cho thy trong hinh 3.11.

(3 mét bén ca 6ng tuyp, sqi déy duqc giit 6 dang hinh

vuéng nhd co ché céng mép nhu cho théiy trong hinh 3.11.

Tuéng tu(_mg11 1c néy c6 khi bén trong véng nhu cho thy

trong hinh 3.1 1. Khi c6 phéng lén nhung khéng thé phéng

v6 h2_1n bri sqi déy 15 khéng gin. Thé néng ca khi 151 mét

hém nghich bién vé i dién tich.‘ Dién tich t6i thiéu do dé

tuorng trng vc > i thé néng cuc dai v51 véi m(f>t trang théi cén

bng“ ca hé.

* l‘h1_rc véy, nfiu ta dé khi phéng lén, né sé thuc hi¢n céng duong via do dé

mzi t mét luqng nhu vzfly lrong thé nimg cfxa né.

** (In bling khéng 5n d1nh,b6in€1ngluqnglh c1_rc dgli, nhung th<Z thi sao?



,- l ~

1‘ q» ‘, ,;“yr~; f;1s;:;@;; $r<;;i;%;1*A;m;1 ;:1A%:%:

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W l“ “§,'§;¥: lMil- *5‘\L“1\{‘?1'?5i-' =¢¢f.'~<';' ‘?'¢s*=.~§ rw 'e;%.~~*£‘~.-.n‘ “ ‘ '* ‘~ + I‘W2“-*141‘I~\-I'\ \»I will U1 -‘i’*:

1' .1 M.‘ \ H‘v;H 1 I, \ In ‘II I~. ,¢ >~~, 4 M1; ;=»; r~&;; .[;,-;z;;;i;;7%;;z=,;;.*\;,_{M§=i§ ‘11II1I*’i‘I :: l) ‘“‘W’ rt“ ‘F '~:'.,lI.1 L ,< .- .‘ .,1 ~ J M H 1|» my ,h 1-‘; .1 -W .¢. w.: ;.‘

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Ilinh 3.10. T6i thiéu héa dién lich bié't Lrufyc l6ng chu vi

khungthu nhé

;; §5§;§~; _1@,=. » \ 1% /\,,l1\'1»;1z»:.'.ml‘-1‘[,}'~@-3; iq ~“::_' ,v_,l‘;§: ‘NIHTm»). -4‘

‘a;;l@;L;i*>%::: %*§?*:s;;%:~2;~'51“ >1“ }‘i' §1w,*1 :‘.~.'|~‘ |Ij'»'1.‘u *'§ =’::‘1$I‘§1J :i\P‘,v

:? ’§wi|%§v'-1g]<}4f;{‘ vi £1; 11;, ~ . Egw-a,';|-,¢;1I f:;,|; ;_s...»‘,

$5‘?~?%l» i1i**..ui‘~'i'i’~§’i%; ‘.. ‘-ii, 4 -:@1‘=::'111sr:>%@»; 1;,;,;»‘;_.4:~.'~ er; ,1 |~;.“1h)§:‘U ,\ I ‘.‘;,\,‘..,‘\‘v,,14{a1\-mi. ‘=15?:I;‘1,~H; ~-If‘ ' ; £'=.=4 =‘»‘\; '%;.:1{Si: ‘I:H1‘v4_‘lE;q\:‘ 1;. 43:‘; 1; 11:: ‘\ ., ».1:=;»§; 'i1%;:iI£,I?.': 1f;»> 1\M1. 15: 1% é 5 :=%i“’i1&*=»’: .’\ =‘ 'ér@ “1v\‘1 '-~ '‘:31 Iynr‘-we ‘.n Hi_;@. .,_-_:i1 -H; x_-»_~-W ‘ ép suat p:1

' ‘ hfin lai luc siét cL'1a dfiy.inh 3.11. C hai hép chfra cé gian ra c g

C110 nén (va

nhunhau tai m‘ déy 151 diém ch6t), Igrc céng ca sai déy 12

pi diém trén dziy; cu thé'6ph5n hinh vuéngvzi éphin hinh trdnz

Trong phén

Z = T2. (3.6)

‘ téi déy téi sé chi ra ring 2T1 = px v51 2T2 = pd,h‘ h uén being dufmg kinh hinhél theo dé x=d:ce_1nh 1n v g

trén, nhu khzing dinh.

‘ ‘ ” 't mcfat hép hinh vuénguc céng ca day. Dau tien xem xe‘ ' ' zit Goi T 151 kyhiéuluchtra khi nén hai chiéu co ap su p. I

céng déy trén ce_1nh hinh vuéng.‘ H‘L 1nh 3.12 cho thy luc px

11 cén lzi £6137 néi luc ma‘ czin duoc técDé' trénh nhfmg hiéu nhm, goi _rc g- I A . \ . A» A art‘ung dé gift m5 i bén ca 1'18 dau day khbl téch rm neu SQ day c



ca khi déiy mét canh hinh vuéng huémg ra ngoéi, cén bng

vfri hop luc 2T] ca lL_rc céng cila dy.

1

71T2

‘g 3‘: a> ‘ 11' ,1,“ / \ ~ 111 ?

Q},§;'§;:;\1e-=$-KW} ‘ .a2,1‘~ :5 . “

\&_ ~‘»&- <1‘? -:» \ W

,::;tr .1» 2 s Y

T1 12

(Q) (1))

Hinh3.12.(a)Ch€{ ’ ‘ = ' *khl day canh bun phéi cua hinh vuong hudng ra ngoiai vi‘

bén phéi (px); céc canh lién ké kéo canh d6 1z_ai bzing hqp h_rc 2T, vf} bén tréi.

(b) Nita céi dia bén phéi cém nhzfm ép luc lén duérng kinh ca né, vé nira cbn

l2_1i bi kéo béri l1_rc céng cfla déy.

Diéu kién cén biing luc cho

2T] = px. (3.7)

Tuo'ngtL_1' cho duéng trén, ta xem xét diéu kién cén bng

luc trén m(_3t hinh bén diaz dudng kinh bi déiy sang phéi, vé

scyi déy bi kéo sang tréli; diéu kién cén bng luc din ra:

2T2 = pa’. (3.8)

Sir dung T] = T2 , ta két luzfm:

x = d;

lél diéu phéi chimg minh. Mét céu tré ldi thzfxt cé dqng

Chi dé so sénh vri mcjt céch giéi vét 13?, sau déy lé céch

giéi théng thu'(‘mg.



Mqit céch giéi théng thudng. Téing chu vi lél khéng C161:

4x + 7m’ = L,

cho nén:

L~4d=i. 3.9)71

T6ng dién tich do dé being:

dz L - 4 2A x)=x2 +L=x2 +ZC— ix)-4

47r

Léiy Ciao hélm thco x, ta duqc:

7Z L — 4x -4 L — 4xA’ x):2x+—-2- i~){—j=2x—2?—-.4 1r rc 7Z

Tit A x) = O ta thu duqcz

L—4X—~ i=O»71

hayL

x=———-—~rc

+ 4Thé véo 3.9) vél gién luqc ta thu duqc:

Ld = —i .

rc + 4

CU thé, x

:cl.

Céch tiéfp czfm c0 hcpc dem l2_1i mét 3? nghia vét 13? cho dngthL rcA x) =0 — CL_1 [héll_l’C cng 121 d2_1i luqng bit bién doc theodéy. Ngoéi ra, mét dzfac diém k§/ la ca céch tiép czfzn vélt 13?

151 ta khéng bao gid phéi vié t biéu thfrc cho dai luqng A x)



chinh lé d2_1iluQ ng mél ta cn tim cuc tiéu), vii cng khéng

bao gin‘? phéi 15y dao hélm méc dii ngudi ta cé thé tranh cé

ring being céch viét ra diéu kién T] = T2 ta thL_rc chf dé l€i

dao hém, chi dién dat khéc di mél théi). Vé i czich tiép cé

vzfit 13?, ta gin nhu di thng dén dép én, mcf>t khi m6 hinh chqc déi duqc thié t lzflpl

Ba vi dL_l tié p theo cho thy giéi céc béi tozin lién qua

mét khi déi thié- t ké duqc mé hinh c0 h _)c.

Béi toén. Tim czic kich thmic ciia hinh chunhét vzi tam gié

déu cé t5ng dién tich nhé nhzit, biéif t5ng chu vi ca chling

Biii toén. Tim czic kich th L100 ciia da giéc n canh vzi mét d

giéc m cgmh cé t5ng dién tich nhé nheft, bi é’t t5ng chu v

cia chiing.

B2‘1it0én.M 5tdu0ngtr0n, méthinh vuéng, vzi m_0t tam giédéu cé t5ng chu vi bié t truéc. Tim céc kich th u éc Iién qua

ca ba hinh néy sao cho dién rich tévng 1;} nhé nhéi‘.

Lfri giéi. Ta dua ra mzjt lfyi giéi nhanh cho béli toén thtr ba

Lélp luzfln h0€1n toén nhu trén, ta két luzfm ring diéu kié

dién tich nhé nht, chinh 151 diéu kién cén being, dbi héi luczing ca déy bién 151 nhu nhau d6i viii méi mét hinh dang

T = T : T . 3.10)dubng trfm hinh vuéng tam gi-’\c

Bing céch chqn ép suiit khi p = 1, ta cé duqc tri s6 szc

céng sau déy tit céc phuong trinh cén bng luc:

X r1 y V‘ z~/5T =-,1 =-,1 =—,ubrng lrbn 2 hinh vuéng 2 tam gic 6





déy

T; 4, » 9 -

”Z}::*?.%;i::'~‘; -i=’=‘¥f¥‘ :1‘

*wm@ww1: -'.'?.-14v --

Wé mu» .¢

~ ”*/2

I-Iin}:/£3.13. Cém bfmg céc luc t:_1i géc ch1 rV cho 2'I‘c0s 30 = 2(p:/2)c0s60 , hayz 3 ~‘-;‘=__ncu p=l.

6

Bali toém. Tilé ca méthép hinh tru cé t5ng dién tich bé mét

t0'1' thié'u ling véi thé rich cho trudc lei nhu thé'né0?

Léri giéi. Ta héy tuéng tuqng mnjt h(_“>p hinh trL_1 duqc ché

t2_1o dé né cé thé thu nhé tixy thich sao cho thay (161 duqc cé

chiéu cao vé bén kinh ca né. C6 thé hinh dung mét co chéduqc xy dung nhu duqc gcyi 3? trong hinh 3.11 (’7b€1i toén vita

r6i. Bziy gid ta d6 nuéc dy hcjp cé thé tich V, V51 b(_>c 15y né

trong m(f)t méng cé sL'rc céng bé mét khéng Cic §i' 0' . C6 thé

tu(')'ng tuqng méng bong béng dé khéng v6 vé cf) thé trucyt

khéng ma sét d(_)c theo bit cit déu né cham vino.

’ Xum muc A.2 cho mél giéi thich ngiin gqm ca khéi niém sfrc cimg bé mmv(ri lift cé hiéu bié't co bén cn thiél.



luc dfiy :, ~

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2' T Jp Tr luc day : p - QrhH 1* »§5“'Y‘1\ 'i1I1»71*~‘“ .~

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Ouc kéo : 0' - 2717‘ o¢ ‘\{_'6

<(»><1» “‘°

Hinh 3.14. Di-u kién cén bring gifra sfrc céng bc‘: mét vé zip lL_l'CZ (a) mzfat tréncilng ca hinh trL_1 v (b) nira doc thén tr1_1.

Thé' néng E ca méng mé strc céng bé mzf1tl€1 hing s6 0'ti lé véi dién tich: E = GA (xem mL_1cA.2). Theo dc’), hinh cé

dién tich t6i thiéu cng 151 hinh cé niing luqng nhé nhé't, val

cng 151 hinh 6 trang théi céln bng. Cu thf-2', luc kéo huéngxu6ng lén I'I1€1ttI'él’1 cilng ca hcf)p (hinh 3.14), téc dung dcpc

theo duimg trén, cn bng véi élp lure huéng lén ca kh6inude bén trong dy mat trén cimg lén:

0'.27rr = p.7r.r2. (3.11)

Ngoéi ra, nira doc thén tru (bé mé_itng0£1i+ kh6inuc'1c) nhutrong hinh 3.14 bi kéo b6'i sire céng bé mzflt ca ldp méng liénké vé bi déiy béi lu'u chit téc dung lén mét hinh chfr nhzfatz

0'-(4r+2/z)= p-2r/1.Chia phuo'ng trinh néy cho (3.11) vé gién luqc, ta thu duqc

h = 2r.





vii duéi ctlng. Céi méng sé c6 ép chzfit mzfit bén ca hinh trucflng nhu kéo mzfat trén v21 mét déy vé phia nhau. Sau ciing,ta lzfap le_1i diéu ta C151 lélm véi méflt trén cilng cho hinh dia duéicimg, sfr dung méng c.

Hozin tit. Bzf) ba méng néy c6 nén chafit chiéc hép. Chi phitfing céng lé t6ng trqng s6 ca céc dién tich mét trén, mafit

bén, vél mzfit déy: 7rr2 -a + 21rrh-b + ftrz -c, C16 chinh lél

thé néng ciia hé c0 h<_)c ca chiing ta‘; céi hcjp ré nhiit dodé 6 trang théi cén bng. Cu thé, mat trén ca h(_‘)p bi kéoxu6ng béi céi mémg Gm l€iy mét bén, V51 bi déiy lén béi éplL_rc nuréc bén trong (hinh 3.15); hai lL_rc néy 1231 trong diéukién cén bngz

b-27rr=p-7£r2.

.2

P T” p~21'h, » <\i V.' :. ; ~14.‘-;>»=§~

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3-

' -Ii-J ‘,'T"'i§ 'a:=<:.

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b - 27T’ ' H '

Hinh 3.15. Chi phi t6i thiéu héa véi vét liéu khéc nhau ch0m2f1ttrén,mzf1tbénv51 mint dziy.

Nita dQc thén tn} trong hinh 3.15 bi kéo béi sc cng bémét theo mét huéng vé bi dy béi zip suéft p tzic dung lén

* Bbi thé nng ca méng I sllrc céng bé mét >< dién tich; xem chi liét 6 l111_1C A.2.





Méy tinh ccrhpc. Xem xét mcjt céi “vu6t — bao g6m haithanh thing durqc n61 vfri nhau being mét 16 xo c6 déiy cég

thanh ra xa nhau. Céc thanh xuyén qua céc 6ng bqc A vé

B (mét niilm trén cilng vé m(f>t nfim duéi cilng mén énh)sao cho chng cé thé truqt khéng ma sét. Mi ca czii vu6tP duqc héln vz‘1o mét hinh vélnh khuyén nhé tréng vélo MNvé cé thé tru'(_rt trén [WV khéng ma szit.

Ldi giéi.

L01‘ giéi djnh tinh. L6 xo cémg gién déi, géc APB célng lfrn,thé néng célng nhé. Géc cue de_1i vi vefly tuong Crng v(7i thé'

nng cue tiéu, chinh 1231 trang théi cén being cila hé chL'1ng ta.

Nhung céi vu6t APB, cém nhzfxn du'Qc ba lL_rc: FI,, I-7; v51 F”;m5i lL_I'CIl'L_1'C giao véi dufmg tuong itng, nhu cho thiiy trong

hinh 3.16, biyi tit cé m6i n6i déu khéng ma sét. B61 nhfmgluc n€1y cé t6ng moment quay bng khéng, céc duimg biéudién cla chlllng 121 déng quy, din theo b6 dé vé 1L_rc d6ng quyr 1'I1L_1C A.6. Hé qué I3, Ling vdi géc APB khé dilén nhzft, bé

ba c'1‘u 0ngtr1_Icg1'a0 V01 czic dLr0ngMN, PA, vzi PB tai céc

diém P, A , V2 B Ié déhgquy. Ta tim ra m(f)t tinh chit déctrung ca hinh trang mong mu6n vé theo dé giéi quyé-'t dune

béi toén, it ra 13 dinh tinh.



C

O Dd b

7 A ‘T

M P d Q NIlinh 3.17. Khong c{1cht6i1ru d I \/ ab ,

Ldzi gizii djnh Iupng. Dé cé dép an r6 réng hon, luu 3? ringPA J_ AC v51 PB _l_ BC hémyriing A vé B nmtrén duirng

trbn dudng kinh PC. Dudng trén néy cng tiép xc MN béiPC _L MN . Theo dé diém P t6 1 LI’L1 lei tiéja diéhi ca dudngMN vé mét dufrng trdn di qua/1 vzi B. Chinh xzic l€1 cé métduifmg trbn nhu veflyz tém ca né la} giao diém ca dudngtrung true AB V ) i du mg thing dimg di qua P.

Khoéng céch ngzin nhzft lei trung binh nhén ca céc d_0

cao, d= \/21-5 trong dé a vél b lé céc dmf) cao cla A vél B.Qué véy, tham chiéu hinh 3.17, ta cé:

a = PQ = 00A :D\/0B2 - BD2,

trong dé:

1»

OB = OP = DQ = ig-vé



b.__BL):-——lZ.

2

Thay hai phuong trinh sau cimg vao cai diu tién, ta thu

1

a’ = 5‘/(a+b)2 —(a—b)2 = \/ab.

Ch?) t6t nh€it ('7 rap ngoai trfwi duqc cho bfri trung binh nhan

ducyc:

ca (if) cao diém trén cilng va diém duéi cilng ca man anh

3.11 Géc néi tiépDinh 137. Mét géc néi nap trong dudng tr0‘n chiphu thuécvao cung chin va khéngphu thuéc vao vj trica dfnh gécnoiuep.

Chirng minh.Thié't bj c0'hQc. V61 chtmg minh nay, ta dfmg “cai vu6t (duqc

dilng 6 muc 3.10) tao béi hai thanh thing n61 khfrp P vdimét 16 X0 bi nén 06 day cac thanh ra xa. Ta c6 dinh khérp

P trén dudng trén, cc’) the trucyt tily 3? khéng ma sat. M61

thanh truqt xuyén qua mét 6ng bao xoay tily 3? khéng ma sat

tai cac du A va B cila cung da cho, nhu trong hinh 3.18.

T61 khzfng djnh rénghé 6 trang théi can béng ( I61 vdi vitri bat kjlct 1a Ptrén dumg trén. D5 duqc vzfly trudc tién xemxét luc trén m(f>t thanh (chqn PB) khiP d11Qcg1''c0'djnh métca'ch cé chzi y. Thanh chiu énh hu/é'ng cta moment quay Tquanh Pva moment quay F}; ><PB tao thanh bfri phén lL_rc

FB tai 6ng bao. Diéu kién can bang ca moment quay quanhPcho T = FH><PB,xé1c dinh gia tri FB : T / PB. Bay gid cho



Flé thénh phn tié p tuyén ci1a1L_rctaiPtéc dung lén thanh.

Thélnh phn nily céln bng vé i thénh phn song song vé i hé

ci1alL_rct2_1iB(xem hinh 3.18(b)):

Tc0s0 _l= FR c0s9 =PB PQ

3

9 17 ]; cos (7

9 1)

Af7<FP,, Q1)

F

(Q) (b)

llinh 3.18. (a) “Mziy linh co hQc (b) Tinh toxin l\_rc I<‘c§1nthiC ld6 gift Pdfrng yén.

Ta thfiy ring luc tiép tuyén Flén thanh khéng phu thuécvéo vi tri ca thanh. Diéu ny cé nghia ring hai thanh dzflt lén

khép n6i tai Phai luc bng nhau nguqc chiéu. Ta két luém

riing khrp P121 6 trang thzii cén bng, nhu C151 khng dinh.

3.12 Nguyén 13? Fermat vé Dinh luélt Snell

T6m1uQ c.Nguyénl§? Fermat phét biéu ring énh szing lruyén

di gia hai diém “chqn con dudng c6 thdi Iuqng nhé nhé t

~ it ra, néu hai diém dix gin vfri nhau. Cu thé h0 n, bit ctr tia

szing nélo cng cé tinh chiit t6i thiéu héa th() i gian nhu sau:



vfri hai diém béit ky dull gin A v21 B trén tia, cung/1B ca tiacho théi gian di chuyén khé di ngéin nhéit ttrA té i B.‘

‘ I TL||lll|,

IU]

0J//1’

//////1/

Hinh 3.19. Cung AmBli1 con dufmg thiri-gian-nhb-nhfit; énh séng tit A khénghéi u_1 trén cung n€1y.Tré1ilz_1i, cung /MB 151 lhu()c dufmg c1_rc lri, nhung khéngphéi thdi gian ngzin nhiit; tinh chfit nziy di cilng véi su t6n mi cfla m(f)l diémhéi tu trén cung néxy.

Quan sétnguyén I)?Fermat vén heinh. Mét trong nhfrng diéunguyén 1y Fermat dL_r doén 151 SL_1 d6i hufmg truyén ca célc

tia séng trong thu kinh nhu thé hién trong hinh 3.20. DérL 1t ngén th(‘Yi gian, énh séng trénh phn dély hcrn ca thukinh béri truyén qua thy tinh t6n théi gian hun.“ Diéu nay

* Diéu thuc s\_r quan trqng khéng phéi lé A vé B gin nhau, mil 1:21 hinh qu:;1t

hep ca chilm tia phét ra tit A khéng héi t1_1 truéc khi téi duqc B. Minh hqadon gién nht cho diéu kién néy duqc dua ra bbi chflm tia Ian truyén trénmin cu (hinh 3.19). Céc diém A vii B duqc nfii véri nhau béri hai chilm tiakhé di, AmB vél AnB, céi du tién 151 chm tia ngiin nhéit; theo dé, hinh quatca chflm tia tir A khéng héi tu trén cung thdi-gian-nhé-nht AmB. Tréi lai,tia AnB khéng phiai I51 con dufmg nhanh

nhiit tirA téwi

B; cung nilychfxa

diém héi tu A cfla hinh quat ca chilm tia ti: A . D6 i véri I3? thuyét t6ng quiltlién quan dén béi tozin n:‘1y,d<§c gié nén doc cu6n séch ca Milnor [M].

**Ti lé 11 ca vzfm t6c énh sémg trong chfm khéng trén vzf1nt6ctrongthL 1ytinhduqc gqi l hé s6 khlic x:;1.n cé1ngi( rn,d(> da‘1yth€1 ul<inh cén thiét céng nhbdé dat duqc cimg mét hiéu qué. Khéng khi gin nhu gifing chén khéngz



giéi thich tai sao thu kinh lom phn kj/, trong khi thukinh 161 héi m.

Mcjt vi du khéc trong hinh 3.21 cho thy m(f)t tia til‘dély hé

tc Y1 méit. Con dufrng chi ra trong hinh lé nhanh hon dufrng

thing, béi n(’> “tré gié dé rL 1t ngin phn dudi nude “t6nkém” noi énnh séng truyén di léu hcm.

/n QLzim thé- néo ainh séng “bier dudngnzio lé ngin nhzft. Khé

néng cila émh séng dé chqn con duérng ngin nhfit cé vé nhu1:21 thin k§/. Phéi chéng viéc chqn duqc con dudng nhanhnhéit khéng dbi héi théng tin vé nhfrng con duimg khéc?

Thuc sq thi héa ra énh séng cé bié t vé nhfrng con dudngkhéc.‘ Trén thuc té, énh séng truyén theo mqi con duéngkhé di, nhung, dai thé, énh huéng ca chL 1ng triét tiéu linnhau trir trén con dufmg ngin nht vii lén cén cla né, énh

huéng ca céc vilng néy trér nén “d6ng bi)”.

Hinh 3.20. /\nh séng di chuyén chém hon trong lhy tinh; bbi véay tia séngtrénh phén déy hon ca théiu kinh.

r1=l,00029.Th5u kinh nhua téng hop dimg liun tréng kinh cf) h¢ s6 khdc xa cao

(:6 n =l,66.Th\ 1ytinh dilng liam thiu kinh cé hf; s6 bfmg 1,52. Hg‘: s6 ca kilncuong n = 2,4;loai thfiu kinh n:31y sé khéng try v rift méng, nhung khéng ré.

* Déc gié nén dqc cufin séch tuyét vdi QED cila Richard Feynman [Fe], céud6 démg luu tém niay duqc giéi dzip trong <16.



‘Y2 A‘ V Tr/2

nude

X1

A1 amux 1) b)

Hinh 3.21. a) dlnh luzfn Sncll; b) vdi ngudi Ian, thfi giéri phia trén matnu 1cduqc “nén” vao mét lang kinh.

Ljch s1? tém Iuqc. Tinh chat t6i thiéu cua énh sang duqcphat hién b6 i Heron X11 Alexandria khoéng nam 60 CéngNguyén), ngudi da phat biéu rang tia sang truyén di gifrahai diém trong khéng khi va tia sang phéin xa khéi kinhphang gifra cac diém la ngan hon bat cu con dufmg lien ké

nao. Dang tfing quat cua nguyén 137, ap dung duqc cho méitrufmg ph § quat, duqc phat biéu béi Fermat vao nam 1662.C6 me’ hiéu duqc tai sao mét s6 nguri da phan d6i: theo he,nguyén 13? nay, ap dzflt tién kién cho tu nhién. Nhirng nguérihoai nghi ché nén lo léng. Nguyen 1}? Fermat cc’) the duqc

giél thich théng qua dién déng hQc c6 dién, bang céch viéndn dé- n ban chat séng cua anh sang. Cach 13? giéi duong dai,duqc phéc hQa trong cu6n sach ca Feynman vita nhac den6 trén, dua vao dién déng hQC lunjmg tit, noi ban chat séngduqc thay the’ bang ham séng xéc suit.

Nguyen 137 Fermat xac dlnh cach thuc chum tia 161 huéngkhi bang qua ranh giéi gifra hai méi trudng. Mét he qua r6rimg h0 n cua nguyén 1y nay duqc bié t dén nhu dlnh luat Snell.

khéng khi L



Djnh Iuétkhlic xa Snell.’ Véi mét tia séng truyén qua mg? t

phzin céch gia hai méi trudng (xem hinh 3.21), helm sinca céc géc twang ling 06, , 052 gia tia vé dudng vuénggécV01‘ métphén czich Izi ti Ié v01’ czic vén tO'c cl vzi cl ca énh

séng trong méi trudng tuang ling:

sin 051 sin 062——-— = ——-. (3.12)

C1 C2

sina ~N61’ czich kheic:d_a1'1uqng ——- giunguyén khéng (T51 khi

C

énh szing truyén qua bé métphén céch.Dlnh luzflt nély sé duqc phét biéu la_1i nhu mét “bzii toéln

Ancuu ho trong muc 3.13.

Ta dung thuc nhin thé' giévi théng qua dlnh luzfzt Snell:méi tia va véo “diém énh” trén vong mac, déu dén duqc dé

khi tuén theo (3.12).

Béi toén. Ynghia vgitly, néu cé, cua 53 Ié gi?(.

Lbri giéi. Sin 06 / c l€1 vé1nt6c cla Cliém mél mélt du s('>ng ‘ giaové'i mét phn czich hai méi trufrng (hinh 3.22). L61 giéi thichduqc dua ra trong hinh 3.23 nhu sau. Hinh vé cho thfiy meflt

du séng trong khéng khi tai hai thdi diém céch nhau m(f)t

gié1y.Do céc chum tia vuéng géc véi mzjt du séngm, APP’Q

’ Xcm bill toém 3.13 cho chfrng minh co tinh cfla du kién ring dlnh luélt Snellsuy ra ti: nguyén 137 Fermat.

* Nguyén vén: wavefront — rnét du séng 151 quy Lich nhfmg diém dao déngcung pha trong méi truimg truyén séng, giéi han gifra phn méi tru'(7ng milséng di truyén qua vé séng chua truyén tfyi. - N.D.

“ Phét biéu hién nhién Iii rfit déng tin néy cé thé duqc bién minh théng quanguyén 1y Huygens; chi lifit cé thé duqc tim thiiy trong cu6n [ARN]. Thuctrgmg néy dua trén tinh ding huéng cua méi trudng. Véi nhfrng méi truéng



lei tam giéc vuéng, trong dé 37 nghia ca diém Q duqc giéithich theo hinh vé. B61 QP’ = cl, ta cé PP’ = c, /sin0c,.Déy 1:51 df) dich chuyén cila P trong m(_3t giéy v21 do dé 151

vén t6c duqc néi dé'n.

(51

*' min phfm céch

< -‘UIC1/Si1l(.¥1 = (J2/Sil1O 2 Va»? -Ff ”

C2

I'Iinh 3.22. Duémg gytr0ng1n<}tm:§tdz‘iu séng cf) v:§1nt6c0 = cl /sina, = C: /sinal ~

%§§,@%»' = MP .13 »“‘~ '?:<:r .»:1:;;»;@l;:;;;

/1¢,~ ' “' Y1?r$l:£%%?v;{f§i%;§§5}*.131,,,.$11‘? Q -=‘=1i'ii__;;;'m‘§-.§§vi€})§.4]§§;,‘

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c1 “ *‘***Mg‘“ z?}}w\;‘||.,

L

'~$i§5.'§£§;*' (:1/sin Q1 <11 * --'1N|]|f.'Y

P’ PI-[inh 3.23. Tinh vein t6c cfla diém gy trong milt du séng.

G60 tdihan. Hinh 3.21 giéi thich mét hién tuqng th vi quan

sét duqc b6'i nhfrng ngurdi dil:§1n.Khiban nhin lén mét nudetir phia duéi, moi thir trén mzfit nude xuzit hién nhu thé bi‘Li hué/ng chm lia téi khéng cn vuéng géc véi lnél dilu séng, it ra 1:21 khéngtrong ngfr nghia ca linh true giao Euclid.



Diém C nzio trong hin11 3.24 cho thdi gian ngzfn nhit né'ugié st? coi nhu vén 1'60 ngu'0 1' bcri 12 being khéng’ .

Béi toén nziy la gi6ng hét béi toén néi trén vé tim ra coddufmg th()'i gian t6i thiéu ca tia phén xa cL 1a énh seing.Cf1ng

nhu tia séng, ngudi ctru hf) ca chL'1ng ta tuéln theo nguyén1)? Fermat vé thfri luqng nhé nh€it, diéu néy ngu 3? ring cécgéc trong hinh 3.24 théa mn djnh lueflt Snell. Néi céch khzic,bzii tozin néylzl yéu c€iu giéi thich lém thé/'n€10 dinh luélt Snellduqc suy ra ti nguyén 137 Fermat.

Mét chirng minh giélo khoa tiéu chuin coi thdi gian nhumét helm s6 cfla vj tri chua biét x cfla C, viz tim ra x cuetiéu bng phép dao hélm. Céch giéli dua ra (7 déy khéng baogfim mét phép tinh 15111 céng th11'c giéi tich néo.

B

/1dffl lién 1/U

a I

C “mg “ 05 l(h6il1rqng : 1/vzfm 16c(Y

1/uA

Hinh 3.25. Luc czing c6 lhé duqc l:_1o m hozflc bng nhfrng l0 xo luc cfmg billbié'n hozfac bng nhfmg qu nzfmg.

Ldi giéi. Hinh 3.25 cho thfiy mét hinh vélnh khuyén truqt dqctheo déy (“du'é'ng b0 bién”); hinh vélnh khuyén duqc

n6i véridiém A bng mét IO xo luc céng bé't bién cé lL_l’C célng ta chqn

* B210 g61n,nhé1'tli1,v:_1nt6c cL'1a anh ta theo phuong thng dng.** L0z_1i lb xo nhu véy duqc m0 téi trong muc A.l.



lé I/u, nghich déo ca vim t6c chay. M(f)t céch tucng tL_r, ta

n6i hinh vémh khuyén véri dlfim B bng min 16 xo khéc cc}

luc céng béit bien 1 /1) , nghich déo ca vén t6c boi.

B61 thé néng ca mét 16 xo luc céing béit bién bimg dé déi

cila né nhén v< ) i lL_I C céng, the néng ca hé co lé:

AC/u+CB/1). (3.13)

Nhung biéu thirc n€1y trtmg khérp véi biéu thirc thfri gian

di chuyén t£rA tfri B Ta theo dé mégain

thdigian véi 3? nghia

(:0 hqc cila me’ nélng.

Néu thdi gian di chuyén 151 nhé nht, khi dé nng lucyng

151 nhé nhit vél béi véy hé sé 6 trgmg thzii cén béing; do dé,

céc lL_rc trén hinh vénh khuyén dec theo dy 6 ) trong trang

théi cén bng luc:1 . 1 .

—sma = —-s1nB-I/I 1)

Ta theo dé vita trinh béxy lai dinh lueflt Snell. Tit C16 ta

phét hien met dién dlch mang tich co hec ca dinh luélt

Snell: céc luc trén hinh vénh khuyén theo phuong cila bemzfit phéln céch 6* trong trang théi cén bng.

Béi hqc cho ngudi cL ru hf) 121 héy chay sao cho céc géc

oz vé [3 tao véi dudng vuéng géc vfyi durng birbién théa mén

he thirc Snell.

Sau déy 151 met dién dich 13? thtl ca céch giéi chobéli

toéln ngudi cfru he (dién dich nély 151 met su l:?_1p lai ca nhén

xét trong béi toén 6* trang 55). Hinh dung ngudi ciru h<f)

mang mét céy séo d€1ilu6n ducyc gift vuéng géc véi huéng

chuyén déng ca anh ta, cho dim anh ta chay hay bod. Céy



szio néy 121 m6 phéng ca maflt du séng. H0210 1231, ta cc’)thé nghi vé mét héng ngufyi chay/boi vai ké vai, khé nngvain déng ca nhfrng nguéi n2‘1y lé nhu nhau). Xem xét giaodiém cL 1a céy s€1o vdi dufmg bi) bién. Diém néy di chuyénvéi vein t6c khéng d6i trong khi ngu ‘) i cL ru hf) chay vé vc rivé1nt6c khéng d6i khéc khi anh ta boi. Béy gifr chié nthuaf1tt6t nht duryc duqc d:;“1c trung bé’i tinh chit 151 hai vzfin tficnéy bng nhau.

3.14 T6ng binh phuong nhé nh€it cho mét diémB511 toén. C120 ba di¢§n2A, B, vé C trongmétphng, rim diémM sao cho tngbinh phucmgz

AM2+BM2+CM2 3.14)

Izi nhé nhit.

Ldi giéi. Tfing binh phuong 3.14) cf) thé dién dich nhu thénéng ca ba 16 x0 déln h6i chéfzt‘ n6i Mvéi czic diém A, B, véC, vé i hing s6 Hooke k = 2 cho m5i1 ) xo Xem hinh 3.26).By gid néu

néng luqng ca 3.14) édéy 151 nhé nh2“1 t,khidét6ng moment quay lén Mlé bng khéngz

MA+MB+MC=0,

trong dé ta déi luqc b6 hé s6 chung k = 2.1-Diéu néy du: phn

véo phzit biéu ring M lei tzim kh61 ca A, B, vél C. Theo dc’)

LiVOikié nth1 rcnEn,xcm muc A.1. l‘ac§m chi hai dfr kién tz_1i déy: truéc lién,ring sfrc céng ca mét 16 xo dén h6i chzf-1t I51 k><L, trong dé L 151 dé déni calb xo vii k lei hiing s6II00kc,v<’1th1 rd6n, thénéng ca 16 xo la‘: gk/3.



né, V51 dc) déli téng céng bng thé néng ca hé. Do dé czichxé- p dét sao cho dc} déi nhé nhfit tucmg (mg v61 tr2_1ng thgiicén bng, vé vé i su triét tiéu cila tfing céc lL_1?C a, b, c vé dtéc dcfmg lén diém chung X:

a + b = —- (c + d) (3.15)

Nhfrng IO xo ca chflng ta cé lL_1’C céng (:6 dinh gifingnhau: |a| = |b|; do dé véc t0 a + b n51m trén phén giéc cilagéc AXB; tuong tu, C + d nm dqc theo phén giéc ca gécCXD. Theo (3.15), céc phén giéc nély nm dqc theo cilng

m(_3t dudng thing; ta dé chirng minh duqc ring dudng phéngiéc duqc dimg chung cho cé hai géc.

D6 chi ra ring céc géc AXB vé CXD being nhau, taluu 37 riing |a|=|b|=1 kéo the0|a+b|=2cos£AXB.Tuong tu, Ic + d| = 200s LCXD. Tir (3.15), ta ké t luén ringLAXB = LCXD.

A

1 \I / °

., /1\

Q \. / , / ’I I5M_/_\ l PII/\NG NGANG \ , /I ,

((1) (I1) B

Ilinh 3.29. Tdng PA +115 121 nhé nhfit khi oz = B.





B1v B ‘

\\ N -

.>

O O F

. ,M A Chain khéng M

1,) 1)) C)

Hinh 3.30. D5 cé doan ngiin nhit qua PI ba dufmg vuéng géc dirt nét gripnhau mi mét diém.

3.18 Doan ngéin nht qua mét diémBéi toén. G01 MN 1:} doan ngén nhzft trong sé nh1i’ng dogznnzim bén trong mét géc cho truéc AOB véi M 115m trénOA vei N nzim trén OB) vé di qua mét diém cho trade Pbén trong géc. Chring t6 ring bq ba dudng vuéng géc taiczic diém P, M, vé N, nhudzrac thé’h1 én tronghinh 3.30,Ié déng quy.

Léri giéi. Xét thiét bi trong hinh 3.3O b) — vé th1_rc chit I21

m f>l thanh thng c6 co l2_1i, véi m _3t hinh vélnh khuyén 6m6idu. Ta lép deflt thiét bi nhu cho théiy trong phn c): thanhtrucyl tL_r do xuyén qua mét 6ng b _)C tai P cc’) thé quay, vél

céic hinh vélnh khuyén cé thé trucyt khéng ma sét dQc theohai canh cla géc.

Né u doan MN cé dé déi nhé nhéit, khi dé hé co cé thénéng nhé nhét v€1 khi dc’) thanh thing véri hinh vélnh khuyénca né 6 trong trang théi cén being. Theo dé cé ba phén lL_rc



true giao duqc thé hién trong hinh 3.30 téc dung lén thanhv51 hinh vénh khuyén céng lai biing khéng, vél czic momentquay cua chung cung vefly. B6 dé vé luc déng quy muc /\ .6)

phélt biéu ring néfu t6ng ba luc biing khéng vé téng céc

moment quay cua nhu ng luc nély bng khéng, khi dé duiwng

biéu dién cua bf) ba luc néy 151 déng quy.

+ .

Q A

0B

1»<—>Hinh 3.31. D6 déi lérn nhiit cua thanh silo lé bao nhiéu, d5 cé lhé mang sixo

véng qua géc dufmg?

3.19 Thao dién véi thang

Bi toén. Haihénh Iang cé bé rénglén Iuot a vé b h_op nhauthénh mét géc vuéng. D6 dzii thanh szio Idn nhé t 13 bao

nhiéu, dé cé thé chuyé n czii séo vdng duoc qua géc dudvng

tirhzinh Iang néy sang hénh Iang Ida?

Ldi giéi. Béi toén lei tim ra doan ACB cé dc} déi nhé nhfit,chuyén qua géc théip hon, véi hai du tua trén céc véch

ngoéi. Vi du, hinh dung viéc mang m f)t céi thang rut ngiinduqc vbng qua géc vél thu ngéin né néu khéng vita; mét khicéi thang chuyén lqt qua géc duimg, d _3 din cua né sé 151 df)

déi nhé nht dé cép 7 trén.



“Méy tinh co h(_)c duqc chi ra trong hinh 3.32 giéi quyétduqc béxi toénn. Mét thanh rL 1t ngfin (mét 6ng xi-lanh rL 1t

chén khéng véri mét piston, nhu cho théiy trong hinh 3.30jcé hai hinh viinh khuyén (A vzi B) duqc him vélo hai du.Célc hinh vélnh khuyén du qc1u6n qua célc dudng MN v. E1 NPnhu cho thiiy. Thanh thing cé thé trurqt xuyén qua mét 6ngtay éo xoay tL_r do tai C.

AM N(1

C

BO

PHinh 3.32. Czich giéi sir dung hai hinh vimh khuyén A v5: B, mét thanh xoayquanh C, via mét 16 xo.

Th6 néng cila hé co néy 151 ham don diéu ca dé déi ABvé theo dé vi tri ca drf) déi nhé nhfit tu0*ng (rng trang théicn biing. Béiy gid, hé thanh/piston/hinh vénh khuyén mythu(f)c ba luc duqc chi ra trong hinh 3.32. (3 trang théi cénbeing, t6ng luc vé moment quay ca bcf) ba luc nziy 151 bngkhéng, vé do dc’) céc dudng biéu dién cL 1a ceic luc 151 d6ngquy . Diéu nély giéi quyé- t duqc béi toénz dé cé dogzn thingcé dé déi nhd nhzft, ba dudng vuénggéc v01 hai bLi c tuévngtai A, B, vé véi duérng AB tai C 1:5 déng quy.

* Xem b6 dé vé luc déng quy, mnc A.6. * Luu Y ring céc lgrc thuc té lé truc giao céc dufrng tuorng {mg béri khéng cé ma sét.



Céch giéi hinh h(_)c din ra m(f)t biéu thtrc giéi tich cho

géc 05 = ANAC tire thi. Qué v2f1y,t£r AOCA vé AOCB ta cé:

0C=ACc0t0z=CBtan0z. ‘

Thay AC = a / sina vé CB = b / cosa véo biéu thircvita r61 v51 gién luqc cho ta:

l

a 5tan0t= — .U

Mét lain nfra, céch giéi néy nhanh h0'n nhiéu so vfri céch

giéi giéi tich truyén thfing.

-

Hinh 3.33. Géc 01 sé tfii da héa lhé tich ca czii ly lei bao nhiéu?

,..__.......i__ [3fI 4A\ A/\

I~Iinh 3.34. Tfing moment quay trén phn hinh quat (6 dzfnn bimg khéng.



3.20 Céi ly gié/y chfra ducyc nhiéu nhfitBéi toén. T01‘ muéh Iém m_0t céi 1y gié}/hinh ncin tzkmét diagiéy hinh qua t, being céch dén V30 nhau céc canh ca hinhca? t nhu cho thy trong hinh 3.33. Bén kinh

R ca (Tia leibiét trudc. D5 cé hinh nén véi thé7 tfch khé d1 1c rn nheft, gécgia dudngsinh hinh nén vé true d0 1 XLi ng1é nhu thénzio?

Léri giéi. Béi toén lei tim ra hinh dang ca hinh nén cé thétich khé di lc > n nhéit, trong m(_)i hinh nén cé dé déi dudng

sinh biét truérc.“Mziy tinh” co hqc bao gém mét bé nhfmg doan thing

cé dc) déli R — chL 1ng sé hqp thénh céc dudng sinh cila hinhnén; téit cé du (‘) ng sinh duqc bé véo nhau tai mét dié m Oc6 dinh trong khéng gian; czic du cén lai ca nhfrng duéng

sinh néy duqc dinh vélo mét mzit phng (déy ca hinh nén)nhd mét ngém khéng ma sétf Mét phng cé thé tu do thayd6i khoéng céch ca né téi O. Hinh nén te_10 thénh duqcbom dy khi nén. Meflt phéng, khéng cén tu do nfra, bi khidy ra xa O vé bi céc doan thing kéo lai gin. Thé tich clfla

hinh. nén 121 mét hém nghich bién ca thé néng. Do dd thétich lém nhéft tuong frng thé néng cuc tiéu v51 vé*i trang théicén being. Cu thé, phfin dudng sinh t6 drflm v6 cilng nhé(hinh 3.34) sé ( 7 trang théi cén bng. Moment quay cila céclL_rc trén phn té dém quanh O biing khéng, giéi quyét duqc

béi toain; chi cén phéi giéi méi phét biéu moment quay bng

* C6 thé lubng llrqmg c2 \c du mL |tci 1a czic dufmg sinh bi dinh ti: tinh vino minphng nhung cc’) thé truqt khéng ma szit.



khéng néy. Ta sé khéng cn biét céc luc trén phn t6 dam tai

O; béi cé chinh xéc hai luc cén lai téc dung lén phn t6 dém

néy, nhu duqc thfiy trong hinh 3.34(b): (i) luc ca ép suiit

huéng ra ngoi (chit s viét bén duéi 151 viét tit cho “side' )

E = pA_‘,, (3.16)

trong dé Ax lé dién tich phn tf) dém, via (ii) luc ca ngém

tit mét phéng (ch b vié't bén duéi 151 viét téit cho base )

F}, = pAh,(3.17)

trong dé As 151 dién tich cixa hinh quat 6' déy. Luu 3? ring céc

dufmg sinh khéng true tiép giao céit nhau.

Béy giy, céc moment quay nguqc huérng ca hai luc néy

quanh O lei trong diéu kién cén biing, nhu trong hinh 3.34(c):

F3. OA = Fhsin. R

Thé (3.16) v51 (3.17) vémo, ta cc’):

AS. OA = Ah sin. R. (3.18)

Nhung 0A = R, béi trqng tm cila biit ky tam giéc nélo

niim 6 diém hai phn ba ca quzing dufmg tit dinh téi déy.

Thém vz‘10 dc’), Ab /Ax = r / R = Sin [3 béi ti lé ca céc dién

tich ca hai tam giéc véi mét déy chung bng v<'yi ti lé dumg

cao cla chng.Thay diéu néy vélo (3.18), ta thu duqc:

__:____€_—-

side: canh — N.D.

** base: déy — N.D.



2 = sin2 B

3 I

béi tozin ducyc giéi quyét.

3.21 Tam giélc cé chu vi nhé nhtMét luéln cL'1' ca hoc d gqi ra dinh 13? néy, mé'i viii nm

ffuéc Cléy.‘

Dinh 13?. C110 K 12 mét du012gc011gph5ng10 ]'k1h tizyykhéngClnia dogzn thzingnzio. C110 AABC cé chu vi nhé nhit trong86’nhL?ng tam gizic chda K. Khi do’:

1. Ba doan th§ngn6id1'nh ca AABC véii tiéja diém tréncanh c‘1'0'1'd1'_én ca AABC Ié dngquy, nghia 13 chnggép nhau tai m_0t diém; tlrong duong véi djnh 1)? Ceva '

abc = a’b’c’,

trong dd a, a’, b, Z2’, c, c’ Izi céc J0 déi duqc chinatron g hinh 3.35(a).

2. Bg) ba dining true giaovéti czic canh ca AABC tai tiéjadiém Izi dng quy (hinh 3.35(b)).

Chfrng minh. Dimg CO'h_0C déf chL?ngm1'n11, nhu sau:

Mthé cohpc. Khéo sét ba thanh thing (v6 he_1n) h(_)’p thénhtam giéc ABC, véi m6i cép ghép déi

hai thanh durqc lu6n

_Xem chfmg minh chit ché trong cu6n [L1].N N116 nh?{[ cé thé duqc thay b5ing“tGih:;1n.W‘ D6i vdi phét biéu via chfrng minh cho bbi co hqc xcm bill tozin 5.6



qua m f>t hinh vénh khuyén nhé, nhu cho th€{y trong hinh

3.36. Céc thanh duqc n61 khéng ma sét véi céc hinh vénh

khuyén, vé theo dc’ cé thé hqp thénh mét tam giéc cé hlnh

déng béit kj/, trir diéu kién bién ta zip dill: AABC phéi chira

dudng cong K bén trong né, nghia 151 K 151 mét v?_1t cén

khéng thé vuqt qua d6i vfri céc thanh. By giér ta n6i mi

cZ_1p hinh vénh khuyén bng mét 16 XO1L_I.’C cng bit bién nhu

cho thfiy trong hinh. Céc 16 xo c6 lém sup AABC , nhung

veflt cén K ngén cén su sup d6 nhu vzfly. Nhiic lai ring céc

lb xo ca ta cc’ luc céng T = 1, thé nén thé néng ca mét 16

xo bng dé déi ca né‘, ta theo dé gén chu vi cho Y nghia

veflt 13? cla thé néng. Néfu AABC cé chu vi nhé nhfit, hé co

sé fr trang théi cén bng.

0

U

a’

I ’

L

A ’

r’ I3

,1 b

Hinh 3.35. CL_IC tiéu chu vi cim AABChiun chi su déng quy

ca a céc dudng Ceva véx b céc Ciuimg vuéng géc.

C

A B

* Xem giili thich ngiin trong muc /\.1.



-- I --~». - ~-»\ cAc DUONG TRUC GIAO (HiNH 3.35(b))u ‘..» 1- » I ||| ,1n.\YTRUO CMl,\T. Két cziu bf) ba thanh, hinh

- 1| - - H N» I.» x0, duqc Xét nhurmcfnhe, l€1ti1ythu(_“) c

.. 1. . .. llu \»\obaphé 1nlL_rc Fk tuvétcén K.@trz_ang1|. ... |- \..,-_\ mug b31L_1 c néy bitriéttiéu,cL 1ngnhut6ng»\--~---- ml -||m\ \ lllilchng. Song b6 dévé lu’¢ d5ngquy (l 1 1l_lC

\ ~1|-I- -I I-I-~u|.1ngtrongtru <7nghQ pdécécdudngbiéudién... . I» . Inn unv IA déng quy. Diéu néy minh chirngphn thfr|» :1 - mu <HlI||

/ | F12 \\ Ay .. rl ‘

<3 ‘l\ _ ’

Q — 2 a C’ cota(X Q B

|

i1

cot [3

(Q) (1))

llinh 3.37. Cén béng luc trén hinh \/511111 kl1uYé (<7)\/3 Ciln biing moment quaylrén thanh (b).

QHQNG MINH Q[ ]A @190 = a b c . D6i véi AABC c6 chu vinhé nht, ttmg thanh thing 151 561 tufqng ca ba phén lucvuéng géc ducyc chi ra trong hinh 3-375 mét WC U3? K V51 hailuc ta hai hinh vénh khuyé tiép Xfw V61 rhanh. D61 v01 m5ithanh, t6ng céc moment quay C133 ba luc quanh tié p diémlé bng khéng; diéu néy dn dén (3.19) vé (320) bén dU<3 i,

vé ta sé trinh béy ngay sau d5YP nhén C30 phLYO ng trinh nély

vé i nhau sé cho abc = a b’C - T511 C5 Ilhffng gi ta céin lémlé tim ra phén 11_rc ttr m6i hinh vémh khuyén lén thanh. Décho cL_1 thé, ta chqn hinh vémh khuyénA vé thanh AB. Hinh





vénh khuyén tily thu(f>c b6n luc: hai tit céc IO xo vi: hai tir

céc thanh, nhu trong hinh 3.37(a).

Truérc tién chiéu b6n lL_rc néy lén phén giéc ca géc‘ Av51 sau dé lén duimg true giao vdi phén giéc ta thu duqc titdiéu kién cén béng luc:

R, c0sa + R2 cosa’ = 2c0s0z, R1 sin 0c’ — R2 sin oz’ = 0,

trong dé 0/= —0¢. Tit phuongtrinh thir hai R‘ = R2 (tuthéln

né déi 151 mqt du kien thu vil), vé tit phuong trinh du tién,

sir dung cos 06 = sin 06 ta thu duqcz

R, =c0ta.

6

, 0,A~I~ 3 >

Hinh 3.38. Khong céch tir tm ca ellipse dh g6c ton d0 151 khfmg dfii.

Déy lél phén lL_1 C tit thanh AB lén hinh vénh khuyén A .

Theo dinhlu2f1t3 Newton, thanh AB chiu mét luc nhu véy

phén h6i tit hinh vénh khuyén. Ta nhéc l2_1i ring luc néy

vuénggéc thanh, béi hinh vélnh khuyén 19 khéng ma sét.

Hinh 3.37(b) tém luqc téit cé luc téc dung lén thanh AB.Diéu kién céln bng moment quay ca céc luc nziy quanh

tiép diém cho:



cc0t0c=c c0t,B. (3.19)

Mét céch tu0 ng tL_r, ta (:6:

acot = a cot)/,bcoty = b’cot0c.

Nhén ba phuong trinh néy véi nhau nhu dé cgip tir truéc,via triét tiéu, ta thu duqc abc = a b c . He thljrc n:Z1y den lu:Q tné lai cho thy SL_1’ déng quy ca céc dudng Ceva trong dinh13? Ceva.

3.22 Hinh ellipse trohg géc ketBzii toain nély lé y ttr mét ky thi toén hoc Putnam”.

Béi toén. Khéo sétméthinh ellipse nzim tronggécphén témthL?nhé t cria métphng (x, y) vzi nép xlic céc true t_0a dé.Ch Lingminh rzingkhoéng céch titdiém gia ca ellipse déhg6 c tea (TO chlphu thurjc vzio céc bén true ca ellipse Chll’khéngphu thuécphuong djnh huéng ca né.

*Ta chmg minh djnh 137 nixy sf dung khéiniémt?1In khfii trong muc 5.6. Métcéch xix 137 hinh hoe rt t6tcL 1a dlnh 137 Ceva cé mé tim théfy trong cu6n [CG].

** Ky thi toén hQC William Lowel Putnam, thufmg gqi tiit Ky thi Putnam 12‘: mzjlcurjc thi lhuérng nién démh cho sinh vién dai hoc ca My vé Canada. Curf>cthi duqc t6 chfrc léin din véo ném 1938, vé hién do H<f)i Toén hoe My quénly. - N.D.



Y

>31/ /v

F1 Y’i D u’

‘\@ ~-mi- > A0 1‘ X O’ , -

I X-/

Hinh 3.39. Hinh cllipsc E1 trgmg thzii cén biing phiém dinh néll hai hinh chi

nhzfit léi déng dang.

Tit dé sé thu duqc két qué sau: néu ta quay hinh ellipse

trong khi gift né vn tiép xL'1c véri céc trL_1c, tm ca n6 sé vach

ra mét cung trim. Trong trudng hqp suy bién don gién h0'n

khi hinh ellipse lé mét d02_1n thing, cung trbn sé trfy thénh

mét géc chia tu dudng trén.

Ldi giéi. Sau déy 151 ldi giéi cho bi tozin néxy, sit dung co hoc.

Hé ca tinh. Xem hinh ellipse nhu mét vzfat réin trurqt khéng

ma sét dcpc theo céc truc tea (IQ. Met 16 xo kéo céng buéc

tém hinh ellipse vdi g6c tea dé (hinh 3.39). Théf néng ca

10 x0 lé mét héxm hiép bién véri dc} déii ca né,‘ vél do dc’) cuetiéu ciia dé dzii tuong duong véi circ tiéiu ca thé'néng, chfnh

I2 véi trang théi cén being. Tém lei: chi cén chirng té riing

hinh ellipse 6 trang théi cén bng trong bit ctr phuohg nélo.

MOT DIQU KIEN CAN BKNG. pé chirng t6 ring hinh ellipse

cén hing fyvi tri bit k§/, chi cn chi ra ring hai hinh chit nhzfit

duqc cho thiiy trong hinh 3.39 151 déng dang.

>1‘ Bzim chit riéng bicfzt cfla 16 xo khéng quan trqng trong céch giili niiy.



ThL_rc vzfiy, dé ba lurc télc dung lén hinh ellipse hai phénluc vél mcfat 16 x0), vé dé t6ng moment quay ca célc luc nélytriét tiéu, diéu kién céin via d 151 céc dufmg bién dién cacéc luc néy déng qui theo b6 dé vé luc dng quy 7 muc A.6.Diéu kién sau tuong duong véi su déng dang cfla hai hinhchit nhzit. Béi toén cila ta C151 duqc rL 1t gen vé viéc chirngminh SL_l’ déng dang cla hai hinh chit nhét, mét diéu rit 1ythL 1, nhung chfrng minh lélm sao?

HOAN TAT CHUNG MINH.T61 khéng mu6n gié dinh rangngudi doc quen thuéc véi phép bié n d6i tuyén tinh, nén phn

théo luén nély khéng sir dung chng. Thay véo C16 héy hinhdung vé hinh 3.39 trén m f)t tzim thy tinh hfru co vé dungnghiéng téim néy duéi énh m:E1ttr ) i sao cho béng ca hinhellipse

trén mét phng ngang lél hinh trén. B61 célc dufmgsong song d6 thénh czic béng song song, hai hinh chit nhefltca ta tré thénh nhfrng hinh binh hélnh. Thuc té , nhirnghinh binh hénh nély lé hinh thoi, nhu ta se giéi thich ngfingon sau, vél béi céc hinh thoi néy cé chung mét géc, nén

chtmg déng dang véi nhau. Céc hinh chit nhét ban du lL 1c

dé cng d6ng dang, béi phép chiéu hinh gift nguyén tinhd6ng dang. Cbn phéi giéi thich tai sao céc hinh chfr nhzflttré thélnh hinh thoi. Hinh binh hénh O5c’C y’ lé mcfat hinhthoi bfri dudng chéo ca né O’C’ lé phén giéc géc, diéu suy

ra tir dfr liéu ring C’ 1:31 tém ca hinh trén vé ring O’X vélO Y 151 tifip tuyén vfri dudng trén. Hinh binh hénh O’X’D’Y’lél mét hinh thoi bfri O’x’ = Dj/ , cng nhu 151 hai doan tiéptuyén véri dudng trén.



3.23 B31 tap

Yéu cu tim ra céch giéi vét 13? cho céc béi trip sau.

1. Trong s6 czic hinh vuéng cé dién tich S cho tru c’)c tim

hinh cc’) chu vi lcrn nhiit.2. Trong s6 nhfrng kh6i deflc hinh vuéng cc’) thé tich cho

tru c’)c, tim kh6i cc’) dién tich bé méit nhé nhit.

3. Tim tam giéc vuc’)ng cc’) dién tich lén nhzit, v<’)i téng dc)

déli ca mcf)t canh vé canh huyén biét tru c’)c.

4. Tim hinh vuéng cé dién tich lc’) n nht, biét réing hai dinhca hinh vuéng ném trén mét déy cung ca mcf)t ducrng

trc)n cho tru )c, vi) hai dinh c<‘)n lai nm trén du c) ng trén,trén déy cung ngéin h0 n.

5. Vé n )i tiép hinh chfr nhét cc’) chu vi lc’m nht trong méttam gizic cc’) canh déy b vé dufyng cao h.

6. Tim céc kich thu c’)*c b vé h cia hinh chit nhét ncf)i tiépdudng trc)n cho gié tri bhl lcm nhfit. Luu Y: Déy 121 baii

toén cit m f)t céi dim cirng nhiit ra khéi lc’)ng g5 chotru c’)c; dc’) bén u6n ca m f)t thanh dim lei ti lé véi bhz.)

7. Vé m )t kh6i chit nhzfit cc’) thé tich lc’)n nh2’1 tn _“)itié ptr0ng

m<f)tkh6ib:§1n cu cc’) bén kinh cho tru )c.

8. Vé nC)i tiép mét hinh trL_1 cc’) thé tich l6 n nh€it trong m<f)t

kh6ic. §1u cc’) béln kinh cho tru )c.

9. Vé m )t hinh nén cc’) thé tich nhc) nht ngoai tiép mc’_)t

kh6i cu cc’) bén kinh cho tmdc R.

1O.Tim hinh tru cé dién tich bé mét lc’)n nhz’1 tncf)i tiép mcf)t

hinh nc’)n mi) tiéft dién doc true cc’) géc 2a tai dinh vii déycé ban kinh R.

11.Tim tiép tuyén ca hinh ellipse x2 /a2 +y2 /b2 =1 tao

véi gc’)c phin tut dilu tién mét hinh tam giéc cc’) dién tichnhé nhiit.



12.M )t kh6i rén bao gém m<f>t hinh tru véi mét hinh béncu 6 trén cilng. Ti lé nz210 ca kh6i réin néiy sé t6i thiéuhéa dién tich ca né mg véi mét thé tich cho truiwc? t

13.Tim céc kich cfrphil hcyp ca mcfat kh6i céiu vé mét kh6il2f1p phuong cé t6ng thé tich cho truéc mail dién tich bérn. §1tlé n nhfit.

14. Ti6t dién ngang cila mét con kénh cf) dang ciia mét hinhthang cén. D6 d6c néio ca czic c2_1nh bén sé t6i thiéuhéa “chu vi u rt” cL 1atié tdién, biétdién tich S ca hinhthang véi

iéséu

h?15.M f>t tuyé n dudng sét di qua mét kho hang B, vé nmcéch métkhoéng a tri thitréin A . Mét con dudngthngphéi duzqc xéy n6i tuyén du <‘> ng sét dén thi train. -Déu lagéc con dudng néy nén hqp thnh véi tuyé n dumg séit

dé t6i thiéu héa chi phi xéy dung, biét ring chi phi vzfln

chuyén d _>c theo con dufrng 121 n lain nhiéu ho’n dqc theoduimg séit rl> I)?

16.Xét tam giéc cé chu vi lfm nht néi tiéfp mét du é ng congl6i K. Chfrng minh ring hai canh ké nhau hqp thélnhnhfmg géc bng nhau vfri tiép tuyéh v 7iKtz_1i dinh chung.

Chimg minh ring tinh chiit nhu véy giir nguyén cho bitctr da giéc n -canh cc’: chu vi Ién nhéit hay theflm chi 151

t< yi han) nélo.

17. B2‘1itef1p mé’ r f)ng).Kh2 10 séit mét tit dién cé clién tich nhénhit ngoai tiép m f>tkh6i16i cho truiyc K. Cho bié t métdéc tru ng hinh h<_>c ca l02_\i tit dién thé néiy.



4BATa§NsT@Ucc:|-||:1 sch EJCIAN MACH

4.1 Giéi thiéuNhfrng kién thL rc duoc tom tit duoi diy sé di 1 cho viéc

doc hiéu chuong niy. Nhfrng khéi niém chi tifit ho n co thétim thiy trong phL_1lL_1c.

Cudng do dong dién. Cuong do dong trong mot diy dongli thong luong ca “chit khi electron trong o mang iondong, tuong tu nhu thong luong ca nuoc trong mot 6ngdin. Cng nhu thong luong ciia nuoc qua (Ting din duoc dohing s6 gallon trén mii giiy, cu o ng do dong dién

duoc dohing s6 don vi Clién tich trén mii giiy, di chuyin qua motlié t dién ngang ca diy din. Cuong do dong duos kv hiéuhing I vi duoc biéu dién hing don vi coulomb trén moigiiy, hay ampere.

Dién ép.Ta hiy xem xét mot dong chiy in dinh ciia nuoclrong mot 6ng din clii. Béi vi ma sit voi thinh 6ng, dong

mroc mu6n chiy chiml2_1i.Bri dong duoc coi nhu (in dinh,zip luc nguoc dong cao hon; do chinh Ii gradient zip luc mimroc duoc bo m di 6 vin t6c in dinh. Theo céch nhu viy,





m<_3t déng dién 6n dinh truyén qua dy dén déi héi suc épkhéng d6i cua zip luc dién, duqc gcpi lé dién ép. Su chénhléch dién ép déiy czic electron chuyén dcfang d(_)c theo déy.

Diéntrd D6 cho don gién, ta hinh dung nude chéy 6n dinhqua mét 6ng din khéng ma sét, nhung béiy gid 6ng din cf)

mét vélt cén x6p. Chénh léch zip luc 6 hai déiu vélt cén giftcho déng chéy 6n dinh. Luu 3? ring luqng nuéc b0 m m5igiéy céng nhiéu thi chénh léch ép suit céng lfm. Mcf>t céch

tuong tu, ta xét mét déy dn véi mét thiét bi dién tré, vidu dély téc cua mét béng dén trén — tuong tut vdi nut bitkhéng kin trong fing din nude. C6 mét déng dién 6n dinhI truyén qua déy din. Hoén loéln tuong tu v(ri déng nude,

sé cé chénh léch dién zip V6 hai du thiét bi dién tré, vé

néu déng céng lén thi chénh léch dién zip sé célng lfrn. Thafltra, thuc nghiém cho théiy m(f)t quan hé tuyéfn tinh V = RI(dinh luélt Ohm), trong dc’) R 151 mcjt hng s6. Hing s6 néyduqc goi 121 gié tri dién trfr - mét céi tén réit h(_) p 13?, bé*i métgié tri R ldn biéu thi mét gié tri V (“chénh léch zip suéit )

l(7n (mg vé i m(f>t déng 1 (théng luqng) cho truéc.

R] R2R1-1-R2

Ilinh 4.1. Dién tré trong mach méc n6i tié p; via déng dién trong mach méicsong song sé duqc céng d6n.





b G

Q

Hinh 4.3. N6i tilt Pvé/i Q liun giém gizi lrj dién tr(‘r mung duong,va né ly gizlii be’: dzing mac (4.3).

Vfrividu tr0nghinh4.2, djnhluefltcho ta 11+ 12 + 13: 14 + 15.Dinh luzfzt néy dién té viéc dién tich khéng thé tich ly tai métn1J1t,c1Z1ng

nhu nuéc khfmg thé dQngla_1im6in6icf1a 6ng dén.

4.2 Chtmg minh trung binh céng lén hon trungbinh nhén chi bng célch déng rné’ céng téic

Mach dién trong hinh 4.3 duqc lzim nén biing nhfrng diéntré cé gié tri a vé b . Bfit déu vé'i céng téic hénhu trong hinh,m6i nhénh song song cé dién trfr tuong du'o'ng a + b. B61hai nhénh méc song song, t6ng dién tré tuang durong gifraA v51 B 151 5 , din theo (4.2). Bély gin‘? ta hy déng céngt€ic.Giétr1diéntrétu0ng duong ca mach dién vé’i mét n6itfit 151 ngang béng hozfic nhé hon gié tri trufycf

Gié tri dién tré* méi véx nhé hon nély 151 gi? Béy gid tacé hai thiét bi dién tré mic n6i tiép, m6i céi c6 df) lén(a~' + b-1)‘: ill.Theo dé:

a + b

iii?* Phét bifiu r6 rémg hién nhién niiy nén duqc chirng minh mél céch chét ché.Ta sé dlra ra mét chfmg minh nhu vzfay dé théa léng nhfmg ngufri hoéli nghi,nhung tém diém cfla la <’yd€1ylétl1ié1l2f1pn16ilién ké't (s6h(_)c vii mach dién(iv béi toém hién tai) h0nl:¥1m<}tchL'rng1ninh.



ll Z _2“_ . (4.3)2 a+b

P

QK 0

(L b

I‘Iinh 4.4. S6 lrung binhzcéng, nh?1n,diéuhi>a:

P0 = (ll + /I) / 2,PK : JZEPQ = ((<r' +11 ) / 2) -

Diéu néiy kéo theo b€itC1‘5ngthL'rc giua s6 trung binh céng

vél s6 trung binh nhn duqc phét biéu 6 tiéu dé ca mL_1c.

ChL'1 3? 1. Phuong trinh (4.3) kéo theo khéng chi biit dingthxc gifra trung binh c<f)ng vél nhén, mél cén véi s6 trung

binh diéu hba ((61-‘ + 19 ‘ ) / 2)“ = Zab / (a + 1»);

5'1»/ 23655 (4.4)2 a+b

Quév.'f1y,né§u A 2 B > O,khid()\/:4 2 \/_§;nh€1nbé'tdé‘1ng

lh1'1c nélyvéi \/Z vél sau dé véi \/E ta thu duqc A 2 \/X’; 2 B.

Béy gid xem hai vé ca (4.3) nhuA vél B véi ép dung bit dinglhtrc sau cimg ta duqc (4.4).

Ch\'1 Y 2. (Mét dién giéi hinh hoe ca bit ding thttc (4.4).)

(loi a vii b 151 céc df) déi ca hai doan thng k6 nhau, véx xem



xét mét hinh bzin nguyét cé du O ng kinh 151 tfing ca hai do;-1nnéy. Dung dudng vuéng ttr diém K nod hai doan trén tiéfpgizip, V51 goi P I51 diém giao ca dufmg vuéng géc nély v61hinh bein nguyét. Goi O lél tém ca hinh bén nguyét vé Qlei chén ca durng trL_rc giao til: K trén bzin kinh OP. C6thé chi ra riingz

~

P1<=\/E, P0:-Ci PQ=2i.2 a + b

Diéu néydem lai mét dién giéi/chirng minh hinh hqccfla bait ding thfrc 4.4).

~ 1»

L - -

-

1|.

Hinh 4.5. Déng lift c céng liit liun giémdién lré gifra /1 v B.

4.3 Trung binh céng 2 Trung binh diéu héa can s6

Héy nhfylai dinh nghia ca trung binh diéu héaz m6i s6

hang duqc nghich déo; 56 trung binh diéu héa ca nh/ngnghich déo nély duqc tinh ra vél sau dé két qué duqc nghjchdéo ln nf1 a.Daithé, trung binh diéu héa I231 trung binh céngnhin qua léng kinh ca phép nghich déo.



Sau déy 151 m(f)t chirng minh biing m6 hinh dién rng tmng

binh ccfmg lé n hon hai dang trung binh cén lai:_| ‘

1 ” 1 —2ak z£-261;‘) . (4.5)

1 /<=1 1 k=l

Tirng hélng trong hinh 4.5 gém céc dién tré nhu nhau.

Lu u 37 ring m5i himg lién sau 151 mét chu ky hoén vi ca déng

lién trudc; nhd vélo dfr kién néy, m5i cét cng g6m céc dién

trér nhu nhau.

Ta béit du vdi tt cé céng téit dé h6;bi‘1ng céch déng szflp

t€{t cé chng cilng m(f)t 1L 1c ta sé chitng minh duqc bit ding

thfrc bén trén. Cu thé nhu sau.

Taft cé céng tZ c dé I10. Mqi héng cé giél tri dién tré nhu nhau

2:2, ak; n dién trér song song gifing hét nhau cho gié tri diéntré tucmg duong gira A via B :

1 I1

“EW-” k—l

Taft cé céng tzic déng kin. M61 cét bao gém n thiét bi diéntrfy song song, vé theo dé cé gié tri dién triw (21,:la;I‘)zl, nhu

duqc chimg ti’) trong phu luc ( 1 muc A.14. V61 n c(f)t nhu vefly

n6i tiép, dién tré tuong duong gifra A v51 B 151 lém hon n lain:

Diéu néay minh chtrng nhzfm dinh (4.5).





djnh Iuét don diéu Rayleigh.“ 6 hai muc {rude déy ta da dimg

mét trudng hqp d5_1c biét cfla nguyén 13? néy: biing céch tao

ta m(f>t n61 tit, ta déi bién C161 gié tri dién tré néo dé ti oo dffn

0, theo dc’) lém giém gié tri dién trfw toim thé.

Sau déy 151 chimg minh ca dinh luzflt don diéu Rayleigh.

Nhm hiéu chinh ky hiéu, xem nhu gién C16 ca chilng ta

bao g6m N+2 dinh 100,111, .... ..,I)N,1)N+](hinh 4.6), v ta

hiy xem xét gié tri dién tn ) R gia U0 vé 1) NH . Nhm hiéu

chinh m(_)i thir, ta zip m(f)t dién zip V gifra U0 vii UNH . Ta

cé thé chqn V0 = 0 (tire 121 ta cé thé cho dinh U0 n6i dfit),véx theo dd ta cé VNH = V.

Néu V 151 dién Zip hai aéu mét thiét bi dién trr R, khi

dé céng khéiu hao trén thiét bi dién trélé V2 / R (diéu nay

duqc giéi thich trong phu luc 6 muc A.16.). Theo dé néu ta

béng céch néo dé duy tri dién ép tai céc dinh vk,

khi décéng suit hao phi trong mang lufri sé lei:

~ ~ Z~+1 _

PO71, ..... ..,\7N)= (4.6)i,j:0 R1]

trong ('16 V0 = V0,VNH = VNH = V.Trong thL_1'c té, _ta chi diéu chinh duqc dién zip VNH = V, dé

céc dién 2'1p“tu do cén l2_1i Vk ,1 S k S N “tu do , “tu quyét

dinh sé ra sao.

Sau déy 121 mét nhzfan dinh thil vi: Céng suit thz_1'c thu P

hao phitrén mgzngludi lei khé d1 nhé nhé't Ling vdi m_6t d‘i_én

zip cho truéc (4.6):

* Déc gié nén dqc mfpt cu6n séch rift hay, cu6n IDS] cho nhfmg chi U61 vi\

tham khéo séu hon.



~ ~ 2N+1 _

P : ' , V0 = 0, VN+| = (4.7)_

Téi giéi thich diéu néy 6 doan kéf tiép, nhung trufrc hét tahy dting né dé h0émté'tchL'1'ng minh cho nguyén 13? Rayleigh.D0 RU. nm fr mu s6, nén P 151 m(_3t hiim nghjch biéh véim6i RU. Nhung bfri P = V2 /R, tire 151, R = V2 /P, ta kétluén ring R lé m(f)t helm hiép biéh véi m6i R /. Déy 1:21 minhchirng cho nguyén 13? Rayleigh, ngogii trir viéc chL'1ng ta cénphéi kiém tra (4.7).

G01 (VI, ..., VN) 151 céc gié tri dién ép thuc cé t2_1i céc dinhD1 ,...,1)N . Ta cc’):

1 8 /‘/+1 VA _ Ohm +1 Kirchhoff2?/k1>(v, ,...,vN)_ g--Rh _ g1‘, _ 0 .

(Kié'n thtrc co bén védinh1uz_”1tOhm vé Kirchhoffsé dunetrinh béy 6 muc A.12 vii A.13.) Nhung P(I7|,..., I7”) 151 méthm s6 du'0’ng béc hai, vé do dc’) né cc’) mét diém tdi han 151

CL_1'C tiéu duy nhéit. Ta déi chi ra ring dién zip thirc té'Vk t6'1'

thiéu110'a

hzim céngsuzft. Céng suit hao phi trén mang luéitrong thuc té durcgrc cho béi cuc tiéu cfla hém céng suit, v€1

diéu nély chfrng minh (4.7)

4.5 B511 téip

1. Chtrng minh ring b€1't ding thL'1'c:1>l+1ll*11___._ + _W___é_. __, + __ l+ La+b c+d a c b d



dimg véi nhzng s6 hang a, b, c, d duong béit k§/. Gqi )7:

Khéo sét mach dién trong hinh 4.3, v21 thay d6i gié tri

dién trfr nzio Cit’). Tham khéo thém vé céch tiép czfm nay,

xem cu6n [DS].)

Tim mét dién giéi co hqc cfia biéu thtrc 4.6) bng céch

dimg 16 xo.

Tim mét m6 phéng dang co ca dién z 1p,cu <‘mg dnf) déng,

dién tré, dinh lué1t2 Kirchhoff, vé dinh luzfat Ohm. Gqi 3?:

sir dung 16 xo cc’) hing s6 Hooke kg. =1/RU.

Cho mét dién giéi co hqc ca nguyén137 c )ng-sué{t-t6i-

thiéu-héa.Tim m f)t m6 phéng dang co cla 4.1) vé 4.2) bng céch

dting 16 X0.



5 rA|§4 |<|-|(|:LUAN cu VA |:A|:|-| GIAI

5.1 G161 thiéuKhzii niém vé tém kh6i d duzqc Archimedes sir dung h0 n

2400 nilm vé trué*c*. Khé léu sau Euler méi gidi thiéu metkhéi niém khéc, cng lien quan den kh6i, dé léi

momentquén tinh (xem muc A.9). Khéii niem néiy gqi ra lri giéi depcho nhiéu béii toén, xem cu6n [BB]. Sau d€1yt6igiéim(f)ts6béi toén khéc sir dung khéii niém télm kh6i.

Cain nhiic lai ring tém kh6icf1a met vafzt 151 diém cén bngca vét dc’); vzjt duoc treo 6 diém dé lei 6 trang théi cén beingtheo phucmg bit ky néio. N(f)i dung chi tié t cé the duqc timthé y trong phu luc (muc A.8).

Met khia c2_1nh thL 1 vi 1:51 ngay tirkhi cen nhé chng ta chipnhzfln ring cé t6n tai céi diém cén bng duy nhfft dé. Diéu

* Thzfil 1 : in urqng khi d(_>c tzic phflm cfla Archimedes; hien san cé théng quaGoogle Books tgii dia chi httpz//books.g00gIe.c0m/b0oks?id=su YGAAAAYAA].Sly (mg dung dzing ghi nhén cfia Archimedes trong sir dung céc khéi niémlm kh6i eho czic phép ioén tinh phén duqc dien giéi trong cu6n séch ciiaPolya, cu6n [P].



ny nghia 151 chilng ta chp nhzfan diém cn b§“1ng khéng phu

thuéc vz‘10 phucmg huéng ca vefxt thé. G151 dinh nily 151 dilng,

nhung chi khi trufvng trqng lucbéit bié n. Trong trufyng trqhg

lL_rc bif-in thién, vi tri cén biing sé phL_1 thuéc vélo phuang ca

vét thé; sau déy 151 mét vi du. Trong méi trudng thun nhéit,

m(f)t thanh thing sé cén biing tai tém hinh hoe ca né. Mzfac

dil trufmg trong luc cé bién thién ngay cé trong khéng gian

khép kin ca cén phéng, sq bié n thién CL_l C nhé néxy bi chim

di so v() i cé1clL_rc dy n61 m2_1nh h0 n r€1 t nhiéu cila khéng khi,

ma sét tai céc du truc v.v... Tuy v€_1y, néu nhfrng sai léch khé

chiu néy duqc l0z_1i trir bng céch néo dé, chilng ta sé quan

sét thy mét hiéu {mg hit ngfy: chiffc que sé cén bng tai tém

ca né chi theo nhfrng phucmg déc biét - niim ngang v51 thingdtrng. D5 dat duqc cén béng tai czic géc léch khéc chimg ta

phéi treo chiéc que léch tém t2_1i mét diém phu thuéc vz‘10

géc léch. Hiéu {mg nély cue nhé trén tréi d€it, nhung cé thé

quan sét duqc r0 réng trong chuyén déng cila czic vé tinh.

Vé tinh dang déi quay theo phuang hurfmg télm.

5.2 Tim tém kh6i ca nita dudng trén biingdinh lueflt Béo toéln néng lucyng

Béi toén. Tim tém k116i czia m_Ot déy dzin hinh bzin nguyél

cé mgit dé dzi1 khéng d‘51 .

Tém kh6i cila mét vét thé cé mzfu df) khéng d6i 151 m<f)t

khéi niém hinh hc_>c thufln tL 1y, duqc gQi lé trpng lzim.

Mét dc} déi cfm déy din duqc dinh nghia lé kh6i luqng vzfn chit trén métdon vi chiéu déi déy dn.





QR0

an:1: 37

m

:L'(l — cos 0) L) ~-~—-~

Hinh 5.1. Di chuyén cung UR ti tréi sang phéi t6n mét céng biing véi némg

tm khfii lén mét doan x(l — cos9),d§1n dén (5.3)

Nhung, mzflt khéc, hiéu qué cila viéc xoay déy din tuo'ng

ducmg véi viéc néng cung QR (hinh 5.1) lén mét dé cao

h=6R+£, trong CI(')8l51nhé so vé'i 9 theo nghias/6-—>O

khi 6 —> 0. Viéc dc’) tiéu t6n mcjt céng W = /Jgh, vé'i /J 151

kh6i luqng ca cung GR. Lc néy p, = gm, bé’i kh6i luqngcung trén phu thucfmc véo kich thuéc crimg. Thay céc biéu

thitc ca h vii p véo W = /Jgh ta thu duos:

RW=mg——62+£,

75

trong dé 8 1:21 sai s6 nhé so v(’Yi 6, theo nghia ('15 duqc dé ceflp

6 trén. Déng nhzit biéu thirc ca W véi (5.2), sau khi triét

tiéu mg:R 2

x(l —c0s6)=;6 +2. (5.3)

Sau d(),bZ'1ng céch chia hé thirc nhefan ducyc cho 62 vii cho

9-9 O,ta cé x/2= (sirdung5.1), hay

2Rx=——.

rt



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Hinh 5.2. D6 néng ct'1a lémkh6icla cung.

1 R ___1_3 ‘ - 2' '

v‘1'vl\'|‘n ' “' “ H: “§a|.¢ ‘

‘1 ?‘ 1 ‘u.’ » 1 ' M» - _n-7'7‘-' ‘l ' »~ .aw '1-‘ 2:“-..;¢‘_ » , ,=~.1,.-‘;; ~» ,w..W_‘ ~;v,‘n~::'i14, I

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‘~ WW M-\|\I »-

hin ‘quat la 2 / 3h, lrong dé /1 lil dé nng

Phuong phzip tuong tu dimg duqc cho trufrng hcyp nhimgcung trén cé géc béit ky, cling nhu cho d2_1ng“mié'ng pizza”(dang hinh dfa.) Trudng hqp ca hinh “nira-pizza” duqc

giéi quyét tiép sau déy. Tru’c‘>'ng hop cL'1a mét hinh quat vfyigéc ttly 3? cc’) thé giéi quyét tu0'ng tL_r (xem nhfrng béli tzfxp Er

cu6i chuong).

5.3 Tim kh6i ca mét hinh nira céi dia(nfra-miéng-pizza)

Hu nhu khéng phéi lém gi thém, céch giéi vita r61 décho ta céng thL'rc tém kh6i ca hinh bén dia dfac. Thuc v.:§1y,

ta hy lip lai nguyén vén leflp luefln cL'1a béli toén 6 trén, véichi mcfmt khéc biét: thay vi céit b6 cung trén, ta ciit bf) méthinh quat méng phia bén tréi vél dzqit né véo phia bén phéi,nhu durqc cho th€1'y trong hinh 5.2.

Béi phn dzfim hinh quat ca ta gin nhur 1:21 mét hinhtam giéc, ta cé thé léiy trqng tém ca né fr %R céch tém ca



dudng tr6n . Hé qué lél trqng tém nziy sé néng lén mét doan R, trong ( 16 h = QR + 8 1:21 dcf) nélng ca cung, gi6ng nhubéi toén vita r6i. Theo dé tit cé gi ta phéi lém l€1 thay thé

h ( 7 béli toén vita r6ib§1ng éh; phurong trinh chinh (5.3) cnthém véo mét hing s6 b6 sung gz

2Ry(l—c0s9)=———492 +8,

37:

/1 B

Hinh 5.3. Tém kh6i niao cao hon?

trong dé y1:21

khoéng céch chua biét dén tém (hinh 5.2).Chia cho (92, cho 6 -—> O, vé sir dung (5.1) ta thu duqc;

4RY — 3;‘

Trqng tém ca hinh bén nguyét vé cfla mét hinh bén dia

lién hé vfri nhau théng qua hé thirc y = é-x.

* Chng ta dang sir dung dllr kién réng trong tém niim lai giao dic”m c éc ctrung tuyén val ring céc trung tuyffn duoc giao diéln chung chia ra thénh haiphn theo ti lé 1:2. Theo dé trong tiun niim trén hai-phn-ba trung tuyé nn6i tir dinh ca tam giéc téi cgmh cfla né.



5.4 Tém kh6i ca mét déy khéng giéin

B511 toén. Mét déy khénggién duqc mic véo hai dinh A vzi

B , éczing dé cao. Téinzim 1:3}/s_01 déyédiém théja nheft vé

kéo né xuéhg. Liéu tém kh0 1’ ca déy djch chuyén Ién hayxuéhg?

Lfrigiéi. Trong tit cé hinh démg ca déy véri déiu mL 1tA v51 Bc6 dinh, déy treo théng cé thé néng nhé nh€it . Bit cl? thaydfii n€1o ca hinh déng sqi dély sé néng tém kh6ici1a né lén.

Hinh 5./1. l‘hétich ca v.it riin.

5.5 Dinh 1y trqng tém PappusVé mét duimg thing vé mét mién kin D Lrén mzfit phng

khéng céit nhau (hinh 5.4), viixem xét mét “hinh bélnh donut”

* Thuc vf1y,n6ut6ithay C161 hinh dang ca sqi déy khfmg gién thco céch néodd, téi phéi téc dung luc, mix sqi déxy sé ch6ng lai. Tire 151 téi sé th1_rc hiéncéng duong lén sqi déy, biing céch dc’) lém téng lhé néng cila sqi vz‘1 vi véynéng tém l<h6icf1a sqi déy lén cao. (7 dziy téi d sir dung dfx kién riing thénéng cila mét veil 151 mgh, trong dc’) m lé kh6i luqng vii h I51 dé cao cfxa témkh6i.



tao thénh bng céch xoay D véng quanh l. Thé tich ca bénh

donut 121 bao nhiéu? Dién tich bé mét ca né 151 bao nhiéu?

C5 hai céu héi nély sé duqc tré 161 duéi déy.

Dinh 13? thé tich Pappus. Trong tinh huéhgvira duac mé té,

thé tich ca bénh donut thu duqc khi xoay vdng mién D

quanh m_0t dudng thing] Ié:

V = 27rRA,

trong dé/1 lei dién rich ca D vé R hinh 5.4) I2 khoéngcéch

tirl déln trong tém ca D.

Dinh 1}? dién tich Pappus. Dién tich ca bé mgit bénh donutléa:

S = 2 rcrL,

trongdé L lei dé déi ca dzrdng cong C bao quanh D, vzi rlei khoéng céch tit I déh tr_0ng tém ca C. Luu yrzing trong

djnh I37 néy ta sl? d1_1ngtr_0ng tzim ca v_a t H15 mét-ch1 é‘u:

dudng cong, chlikhéngphéi mién phzing.

Chimg minh giéi tich tiéu chun cila dinh 137 Pappus, v6n

cc’) thé tim thfiy trong hu hét céc séch giéi tich, sir dung

céc phép tich phén vé nhfmg tinh chit ca chng, vii déi

héi mét v2‘1i bién 161 don gién véri phép tich phn. Chtmg

minh duqc dua ra 6 déy cho théiy bén chit thuc ca ké t qué

6 dang co bén nhiit.



F

- v Mrisei

véch

/ L5 thoélkhi

Hinh 5.5.'l‘i6tdi<}r1ngang cfia 6ng luyp hinh-viinh-khuyén bi bit kin mot du12‘: D. Mot piston I'ql0 hinh khop vori D diroc kéo vong quanh, (1)0 ra viing chénkhong ding sau no.

Chfmg minh.Hé co: Xem xét mot 6ng tuyp bi u6n cong théznh hinh dangcL'1a mot bénh donut, nhu trong hinh 5.5. Tiét dién ngangca

fing tuyp vong khuyén khong phéi dang tron mix chinhxéc l€1 hinh dang ca D. Xem xét hai piston duos tz_1o hinhnhu D bén trong 6ng tuyp, nhu duoc chi ra trong hinh 5.5.Mot piston bi him dinh v51 tré thénh véch ngén, trong khi céicon lai co thé truot vong quanh 6ng tuyp khong ma sét. Tacng chira

mot I5 thoét khi nhu duoc cho thiy trong hinh5.5. Hé thong xylanh~piston bi u6n cong néy 1221 céi méy tinhco hoc ciia chfing ta. No se giéi béi toén giL'1p ta.

CHUNG MINH ct'IA DINH LY Tu TiCH PAPPUS. Bét déu votpiston niim sét vzich ngén, toi niim piston tai trong téim ca

no vii kéo no di khéip cé hinh bénh donut, tao ra viing chénkhong ding sau piston. Bing céch tinh toén cong thtrc hiéntheo hai célch khéic nhau ta se thu duoc ké't luzfan ca dinh13? Pappus.



Ta nhefm théiy céc diéu sau:

1. Gift léiy piston 6 trong tém béo dém ring no sé khong

quay, nghia léi dé di chuyén xylanh, ta chi cn téic dung

lL_1'C F, khong cein moment quay. \/ 1 vafiy chi co luc F thuc

hién cong.

: ;.~:i[;=-,-r_i-2-t,».:= »;‘-»~. .1--A;-.1»,

&1a$z;‘.-.;1-.'<;~&§:'~'2-.1.~'¢u -1; » 112.. ;~g=' '-mi; 1

‘“.{:';.;\ :1;1,,

. ‘ ~;z;‘_‘;:t‘\-\1_:i-,,1__;_.:;:q'~;f1:§§‘;{;jj; F~I@¥4@:S?It.=%i%114is? fe§»'s;>2 p > 0~-1mm~§~+sm>m::;a:-. ::'%:¢%

< L >Hinh 5.6. Thé neing ca mot bong bong chén khong bimg p/1.

2. LL_1'C F cin co dé kéo piston ch6ngl:;1ié1p suit moi truong

p 151 F: pA, trong do A lé tié't dicfan piston.Tht_rc vzfiy,

ép suit p 151 éip lL_1'C trén mot don vi dién tich, v51 dién tich

ciia bé mét piston 151 A ciia don vi dién tich do.

3. Dé tao ra thé tich V ca viing chéin khong chong lai zip

suéit p, cn co cong W = pV. Thttc vzfiy, C1’6i voi mot

hinh tru thing, cong néiy lé W = F><L = pAL = pV. Két

qué néy co duoc bng céch phén nho hinh kh6i chung

thénh nhiéu hinh trL_1 mong song song.

Voi céc nhén xét néy, chirng minh ciia chL'1ng ta déi gain

nhu hoé1nt€1't.M(_“)tmzf1t,cong dé kéo piston di hét mot vong

tron bng luc nhén voi qung duong chuyén dich ciia diém

téc dung luc:

W = F-27rR=pA~27£R,

trong do R giong nhu trong phét biéu cfia dinh 13?. Nhung



mét khéc, theo nhefm xét (3) trén déy, céng duqc cho bngthé tich nhén vé i ép suit:

W = pV.1

Déng nhiit hai biéu thtrc dén ra pV = pA27£R , nén

V = 27rRA

Diéu néy chtmg minh dinh 13? thé tich Pappus.

DINH LY Tn TiCH => DINH LY DIEN TICH. Hay hinh

dung ring ta ph l€{y bé mzfat dang néi dé n bng mcfat lérpson méng cc’: CIC) dély 8, nhu trong hinh 5.7.

Z4 “tiét dién§§ 2112:“

Hinh 5.7. Dinh 1}? dién tfch suy ra tfr dinh I}? thé tich duqc ép dung cho thé tichca mét lfrp bao mbng.

Theo dinh 137 thé tich Pappus, thé tich ca lfrp son 1:21:

V6 = 27rR€A€ ,

trong dé Re lé khoéng céch ti: trqng tém ca hinh vélnh khuyénméng-ct?-8 défn I, vé As 151 tiét dién hinh vénh khuyén. Nhungthé tich ldp son V5 1:21 xé p xi dién tich nhén cho dc} déy:



VB =S£+...; (5.4)

sai s6 nhé ky hiéu bng... 151 do bé mét khéng phng. M2_'1t

khéc, trqng tém ca hinh vélnh khuyén c0-8 géin nhurlfi trqngtém cfla duérng congz RE = r + ..., vé tiét dién hinh vélnhkhuyén AB = L8 + . Thé'té't cé vélo (5.4), chia cho 8, vé cho8 tién téi khéng, ta cé ké't qué S = 27rrL nhu dz : trinh béy.

5.6 Dinh 13? Ceva

Djnh 13? Ceva vé dinh 13? déo ca n6. Xem xét mét tam gizicABC VG ba d‘1'é7m A], BI, V2 C] nzim trén czic canh dO'i

dién céc dinh tuong Ling (hinh 5.8). GQI a, a’, b, b’, c, 0'13czic dé dzii nhu duqc cho théy trong hinh 5.8. Djnh 1)? Cevaphétb1'é'ur5ngba doan thing AA} , BB‘, vii CC‘ déngquykhi vzi chikhi:

abc = a'b’c’. (5.5)

A

r, b’

01 B1

c’ b

B a A1 a,’ C

Ilinh 5.8.D1nhly Ceva: ba (I0:;lnlh(51ng Ceva A/1|, BB1, CC, d6ng quy khi via

chi khi abc = a'b’c'.



Chftng minh. Truéc tién, gié sir ba doan AA1, BB‘, CC] cc’)

mét diém chung P. Ta héy dzfat nhfrng chit diém m/1, mg,vél mc tai céc dinh ca A/1BC,ch _)n céc chit diém néy sao

cho tém kh6ici1a chling n51mte_1iP. D6 duqc nhu vzfiy, ta cé

thé cho ml; = a v<*1 mt. = a, bng céch C16 deflt télm kh6i cila B, C) tai Al . Sau dé ta chqn ly m/1 béo dém sao cho témkh6ici1a A, Al) 151 tai P; dé duqc vély ta lém cho m/ithéadiéu kién cén bng m/,PA = m,, + m ;)PA]. Tam giéc cachL 1ng ta vi thé chiu téi, sé cén béng luc trén mét diém cue

nhé deflt tai P. Khi dc’) chic chain 121 né cn bng trén durfmgthing bait ky trong mét phng tam giéc di qua P, vél cu thé151 trén durfmg AP/1], nhu hinh 5.9 cho thy.

Nhung do m nm trén dufyng thing dé, nén mc via ml,trong diéu kién cén béng luc, nghia 1:21

ma = mCa . 5.6)C>’

TTLBIL

Hinh 5.9. Tam giéc niun cfm biing tz_1i tm kh6i P, vé do db n6 niim cn biingh_rc lrén bit cf: dufmg thing nélo di qua P - c\_1thé,trén AA’.

Bing céch tuvng tL_r,



mcb = mAb’, mAc = mc’.

Nhén ba phu’0*ng trinh sau cilng ta duzqc abc = a b ’c .

Dinh 13? déo ring 5.5) kéo theo su déng quy) ducyc chitng

minh dé déng biing phén dé nhu sau‘. Gié sir 1:21 abc = a’b c ,

vé chip nhén phén-gié thuyét: mét trong czic d0z_1n thingcé lién quan, vi du CC], khéng di qua giao diém ca hai

doan cén lai. M f)t doan C6‘ khéc véi 6| nm trén ABnhung 6, at Cl cé di qua giao diém, vé ding thirc sau cixng

151: ab5 = a b 5 . Nhung diéu nély méu thun vé i 5.5), bfri

5 / E at c’ / c. Chirng minh dén déy kl hoén tit.

5.7 Ba mg dung ca dinh 13? Ceva

Dinh 13? déo ca djnh 13? Ceva dem lz_1i mét chirng minhtrue tiép cho ba dinh 13? sau déy.

Djnh 1}? 1. Trong tam giéc bé/t 1<y czic trung tuyéh déng quy.

C

I :

A C C, B

Hinh 5.10. Chmg minh céc {rung luyén déng quy

* Vi dl_l xem cu6n [CG].



C

he

Q

A C c’ BHinh 5.11. Chfrng minh céc duiyng cao déng quy.

Chfmg minh. Hé thtrc Ceva 5.5) vén dimg cho céc trungtuyén b6 i a = a’, b = b’, c = c’, v51 do dé céc trung tuyén 1:21

d6ng quy theo dinh 13? déo ca dinh 13? Ceva.

1-31111119 2. Czic duéng cao trong tam giéc bzft 1<y d‘c‘5ng quy.

Chfrng minh. Trong hé ky hiéu ca hinh 5.11 ta céhe = ctana = c’ tan [3 ; mét céch tuo ngtL_r, a tan [3 = a’tan 7/

vé b tan 3/ = b’ tan 05 . Nhén vé1 triét tiéu s6 hang gi6ng nhau 7 ba phurong trinh sau cling ta duqc abc = a b c ’. Theo dinh13? déo cfla dinh 13? Ceva céc durng cao 121 déng quy.

C

1» Q’

1/ 1

A I H

C BHinh 5.12 Céc duimg Ceva mg véi céc tié p diém ca dudng trén n >i tiép 13

déng quy.



Dinh 13? 3. Ba dean thing (trong hinh 5.12), méi du (mgné imét dinh czia tam gizic déh uép diém ca dudng tr0‘n_né1

tiép véti canh d61 dién, 12 déngquy.

Chirngminh. Luuyrng b’ = c, c’ = a, a’ = b, béi céc dc} déica nhfrng doan tié- p tuyén tit mét diém bén ngoéi dufmgtrén dé n dufmg trén 151 nhu nhau cho cé hai tiép tuyé n. Nhénvé theo vé ta duqc abc = a’b’c’.

5.8 B211 tzflp

Tim tém l<h6i ca mét déy dn hinh bén nguyét bngcéch giéi hai béi toén nhé, m6i béli cé gié tri dcfmc lép.

1. Tim l1_l’C céng ca m(f>t sci déy hinh trén cé khfii luqng vél

bén kinh cho truéc, xoay trén xung quanh télm ca né (1

vén t6c géc cho trudc (hinh 5.11-3(a)), biing céch mufmgtuqng mét 6ng tuyp hinh bén nguyét (hinh 5.13(b)) cénuéc chéy véo mcjt du vé thoét ra 6 du cén lz_1i.

2. Sir dung lL_1 C cfmg vita tim duqc Cié xéc dinh tém kh6ici1a

hinh bén nguyét.Lfri giéi.

Phn 1. Déy lé m<f)t béi toén cobén trong co hqc, nhungcélch giéi sau déy cé vé lé déc déo. Ta héy chi nhin véobén nguyét bén phéi ca sqi déy— hinh dung che nira bén

tréi bng mét mzln chfin sao cho ta khéng cbn thfiy né.Biy giirsqi déy dune “b0 m v€1o phiatrén v51 thoét ra phiaduéi. Diéu néy gi6ng nhu nu c 1c chéy véo vé thoét ra mét6ng tuyp, nhu dune thé hién trong hinh 5.13(b). 6ng tuypphéi duqc gift bng zip lL_l’C 2T néo dc’) (trong dc’) T 151 1L_1‘C



céng ta dang tim). Ap luc néy lém cho nude déo chiéu,thay d6ivz§1nt6c mcfmt lu _yng biing 1) — —v) = 21) . Trongsu6t thfvi gian At, mét cét nu yc cc’) dc} déi AL = DAZsé chéy véo phia trén, vél cng c _‘)t nu 7c déi nhu véy sé

thoét ra phia du Gi. Ké t qué cu6i cilng 151 if) déi AL cac _“)t nuérc thay d6i vein t6c mét luqng 21). Kh6i luqngca cét nuéc néy lé m = pAL = pvAr, trong dé p 1:51

m2f1td<_‘) déli, tL 1 c 151 l<h6i lu c_mg trén m6i don vi chiéu deli.Theo dinh luét 2 Newton FAI = mA1) ta cé:

2T.At=m .21).

,1, . T-<—~i

1 -14;

r< *1; M? a) b) c)

Hinh 5.13. a) Mét sqi déy xoay véng linh hoal dufyi téc dung ca luc céng.

b) Mcjt czich dé lim ra luc céng néy I51 hinh dung nuérc di viao vii di ra khéimét 6ng tuyp bén nguyét. c) Sir dung l\_rc cng dé tim ra tém kh6i.

Sau khi rL 1t g<_)n theo T vii thé biéu thL rc ca m véo, Attriét tiéu, val ta thu duqc:

T = pvz = pw2R’,

trong dé T 151 lu c céng vé 60 1:21 vz_?1nt6c géc.

Phéin 2. Ta héy teflp trung chL 1 y véo phn vélt liéu cungbén nguyét ca sqi déy. Cung trén duqc gift trong quy



de_10 nhd véo hai 1L_rc czing T xem hinh 5.13 a)). LL_tc

huéng tém 2 Tgéy ra gia t6c hufmg tém ca tém kh6i:Mwzx = 2T , trong dé M151 kh6i luqng ca bén nguyét

vél theo dc’) M = prrR . Thff véo phuong trinh sau ctxng

ta ducyc p1rRa)2x = 2p0)2R2 , cho nénx = ZR/7r.

Chimg minh ring b6n doan thing n6i tir mét dinh cL’1a

tit dién dén trcpng tém ca mét d6i dién lé déng quy. Titdién xem nhu khéng déu.



B

HINH HC_ll3vA |::HuY€N Enjlwzs

Hu nhu céc béi toén trong muc néy dua trén 3? tufmgvé chuyf-En dcfmg. Y tuéng vé chuyén déng d ducyc sir dungtruéc déy trong phéin vé dinh I3? Pythagoras. Trong muc 2.4ta dé chi ra ring dinh I37 co bén cila giéi tich cé thé duqcmufmg tuqng bng nhirng thueflt ngfr dcfmg hoc. Trong mucnéy téi déi tzfap hqp mét véli béi toén khéc, trong dc’) béli t6ithich nhéit 151 béi toéln xe dap. Mét mg dung tuyét véri ca3? tuéng vé su chuyén dcfmg, cho phép tim ra dién tich duéidufmg tiém czfin mé khéng cn mét céng thitc niio, theocu6n sélch cL 1a R.Foote [F0], duqc phét biéu 6 muc 6.6 nhumét béi télp. Mét béi tefip khéc 6 phn cu6i chucmg m6 técéch tinh dién tich trén mét phng biing céch sir dung mcjtxe dy mua hang. Cé thé tim thfiy chi tiét vé czich tiép candcfmg h _)C trong cu6n séch [LS].

6.1 Dién tich gifra célc vét bélnh Xe

Béi toén. Hinh dung cum’ inét chiéb xe sao cho cé hai bénhxe vach ra nhng vét dudngkin hinh 6.1). Bénh truéc khéng



bao gidcén Ién v_ét bénh sau, dé'ch0 hinh vénh khuyén méo

khéng bi thzi t lai. Héy chi ra rng dién tich ca hinh vzinh

khuyén néykhéngphu thuéc véo vét bzinh xe( ).

Dién tich1:21

nhu nhau dtl ban léixe

véng quanhbém n‘

hay quanh mét kh6i nhé.

Ta xem déy 121 mcjt chiéc xe 137 tuéng: khoéng céch b gifra

céc diém tiép xc ca céc bénh xe véi mét dudng lé hings6. Ta sé xem b nhu 151 dudng co sé. Khing dinh ca biiitoéln hém 3? ring hinh vélnh khuyén cé dién tich 7l'b2. Déy 151

dién tich tucmg tu ta sé cé duqc khi gir bénh sau c6 djnhvé cho bénh trufrc quay véng.

Hinh 6.1. Dién tich giua hai vél bilnh luén luén 151 nhu nhau: zrb’, trong dé b

151 duérng co bén c1'1a chiéc xe.

L(‘rigiéi. Su’()'n xe lL'1c néo cng 151 tiép tuyén ca vét bzinh sau,

nhu hinh 6.1 minh hc_>a. Dién tfch dangnéi déh do dd duac

* Mét lfri khuyén K61 nhiic dén céi bén cling d duqc dua ra i'nm_1c 1.3, trongdé téi dé nghi khoan véi céi 16.

** Phét biéu mét cinch nghiém ngzfat, dé diéu néy dng thi phuéc truéc phéithng dfxng.





6.2 Dinh 13? thé tich bilng nhauDéy lilmét dinh 13? cc’) dang Pappus mé. téi d bét g:Z1p khi

dang suy nghi vé béli toén xe Clap. True giéc ding sau b:?1i

toén nély 151 mét su khzii quélt gién don cla truc giéc dingsau béi toén xe dap. Mét khi ta biét r6 két qué, chfrng minhné biing giéi tich léi khéng khé. Du vefly, téi nghi khéng théphét hién ra né néu chi suy nghi trén nhfrng céng thtrc.

Dinh 13?. M(3t1<h61' déc hinh bénh donut duqc tao thzinh theocéch théng thudng 122 quay mét duéng c0ng151'1<1'n quanhmét true d61' xng cmg nzim trén métphng ca duirngc0ng(tr;1c (761 xzingkhéng c5 t dufmg cong). Béy gid czi t bénhdonut bngmét mgitphng song song vdi true d‘0'1' xlimg vzi

A’ / 1 v / A V 41 4'tiep xuc ph1a trong cua banh, t._a0 thzinh m_0tm;1t hinh so

tém”, nhu trong hinh 6.2.

Ta héiyxoay hinh s6tém nziy quanh dudng thing di qua

diém thzftmit vzi song song v01' truc JOY xling ca hinh veinh

khuyén. Ta thu duqcmétkhéi décméi: mét czii bzinh donutV61 hinh déngkhzic hzfn v01'mrjtmitth§t(hinh 6.2). Thé’ tich

ca céi bénh néy bng vdi the? tich ca céi bénh ban dfiu.

Ilinh 6.3. M61 quan hé gifra céc trqng tém via céc dién lich ca hai tiét diénca mét hinh vimh khuyén.



Chung minh. Xem xét mét “cénh hoa” cua hinh s6 tém.Khi cénh hoa trucyt véng quanh theo hinh mui tén ( 7 phnbén tréi cua hinh 6.2, né quét thénh céi bénh donut chotrudc cua chung ta. Khi lém viéc dé, cénh hoa thuc hiénhai chuyén déng dng thdiz (i) truqt trong meflt phing riéngné vé (ii) quay quanh dudng thing di qua diém nut thétcua cénh hoa nhu duqc m6 té trong d1nhly.Né utal02_1irachuyén déng truqt, ta khéng hé lém énh huéng thé tichduqc quét. Kh6i daflc méi tao thélnh cé thé tich gifing nhukh6i déiu tién.

Hé qué. Goi A 151 dién tich hinh dia ducyc tao thénh béngcéch ciit bénh donut vé*i malt phng chua truc (161 xung cuané, vé R 151 khoéng céch tit trqng tém cua hinh dia nély dén

truc d6i xung, nhu trong dinh 1y Pappus. Tuong tu, gqi AP151 dién tich cua mét cénh hoa (phén nua cua hinh s6 tém),vél RP lé khoéng céch tut trQng tém cua ceinh hoa dén trucnhu trong hinh s6 tém, (hinh 6.3). Khi dz’):

A X R = A1, >< R],

6.3 C6 bao nhiéu vélng trong mét chiéc nhncuéi?

Dir kién sau déy ban du cé thé rt khé tin. Mzflc du dé

duqc cho bié t tu truéc, téi cng khéng thé giéi thich vi sao

diéu néy lai dung — mét tinh toén quy chun xem chungkhéng théa — cho téi khi béi toén “céc vét bénh xe (bzii

toén 6.1) gcyi ra célu tré lfyi.





dia tiép xL 1c véi mat tru. Nita céi dia chuyén déng quét hétthé tich ca bzinh donut. Nhu ng chuyén dcjng ca nra céidia bao g6m m(_‘)t phn “truqt” thuéin tL 1y trén meflt phngchtra n6 — diéu néy khéng gép phéin gi véo viéc t2_10 thénhthé tich — vii phn quay véng quanh dudng kinh. D0 dé, néuloai bé chuyén déng “tru(_yt”, ta sé khéng lélm thay d6i thétich cL 1a phfin durqc quét.

M51 chuyén déng d diéu chinh cfla nira céi Ca, nhu tronghinh 6.4(c), quét thénh mét tréi banh cc’) duirng kinh H. Thé

tich cL’1a céi bénh donut vi thé bng véi thé tich cfla tréi banhcé duimg kinh H:

v=5H?6

I //’ // 1Q /’ /+ ,’ /, /, //// Trgngluc

Q_

Hinh 6.5. Diém Q t6i u u phéi niim gifxa Q‘ via Q.

6.4 D6 d6c nhanh nh€itBéi toén. Cho mét duéng trdn C vei mét diém P trongmétphéng thngdng. Cho Q15} m_6tdié§n trén C, vé khéo sétm_Ot vién bi truat dpc theo dean PQ dU’6’I énh hu 0 ng ca



trpng luc. Vién bi xué't phét ta1'P véi vén t6'c being khéng.

Véi diém Q nzio thi th&1' gian di ch uyén sé I2 nhé nhzft?

Nhén xét. Liéu diém QQ, diém gin nht vfri P, cc’) phéi 151

céu tré ldi? Khéng. Thuc véy, tahéy di chuyén diém Q theo

chiéu kim déng hf) vé theo d6i théi gian truqt t ,,Q nhu mét

hém ca Tai thdi diém khi Q di qua Q+, (inf) d51iPQ bién

d6iv(7iv2f1n t6c biing khéng (bfri vi né chi vita dttng viéc thu

ngiin lai vé séip bét déu deli ra). Mzfit khéc, dzfa d6c ca PQ

d6c lénvéri mét vain t6c duang. Tém lai, tai théri diém khi

Q = Q+, do déi bién (161 v('>'i van t6c bang khéng, trong khi

gia t6c huéng xu6ng ca PQ téng. Diéu néy nghia lé thri

gian truqt ngén lai. Theo dé thi t6t horn lé dét Q bén duéri

Q+ . Mét czich turcmg tu, tai thévi diém khi Q di qua Q_ (tiép

diém trong hinh 6.5) trong chuyén déng theo chiéu kim

déng hf} ca né, dc’) déi PQ téng thém vfri v2f1nt6c khéng xéc

dinh, trong khi dé d6c thay dfii véi vén t6c xéc dinh. Khi dé

him nhién cé l(_)'i khi dzfat Q bén trén Q_. Diéu néy thu nhé

pham vi ca diém Q t6t nht mét chxit, nhung chinh xéc

thi I16 5 déu?

Q

llinh 6.6. Tgli thfri diém bit kjl I > 0 cflc vién bi hqp thianh 1n(f>\du'0r1g\1‘( >n,

néu chfmg xuéit phét tai P véri vefm t6c ban du bimg khéng.



Léri giéi. Xét “hinh quglt nan tao thénh béi nhiéu dufyng diqua P, vc'>'i m(f)t hat cuém trén m6i dué'ng dét tai P. Tai th<5'i

diém t = 0 ta thé hét céc hat cu(‘>'m véi vein t6c du bngkhéng, val chtlng béit du chuyén déng duéi téc dcfmg ca

trqng lL_rc. Tai théi diém t > O céc hat cufrm tao thénh mzjtdudng cong néo dc’) nhu trong hinh 6.6. Ta kyhiéu du'c‘>'ng

cong nézy being F = E (ky tu F vié't tét cho fr0nt ,‘ nhumint du séng ca mét dqt séng dang Ian). Khi I téng lén,mzflt bi du séng sé cham dufmg trén tai diém Q nélo dc’).

Diém tiép xc déiu tién nély tuong (mg vfri thri gian d6 d6cngéin nhéit. Qué vély, Q lei diém du tién trén Cnoi mét hatcuém déng véo.

Dzing luu )7 ring meflt déiu séng E, (mg vé'i m5i thdi diémI, thL_rc ra lei mét dufmg trén nhu trong hinh 6.6 Dufrng trén

néy di qua P véi tiép tuyén tai P nm ngang; CIu'(‘Yng kinhca dudng trén lél gtz /2. Béy gié’ ta cé thé7 chqn léiy métdudng trén E tiép xilc C; diém Q “t6t nhiit 121 tiép diémgira hai duéng trbn. Céu tré lfri néy chua hoém toéln r6 rélng,nhung khéng khé dé chi ra ring Q nm trén dumg thingn6i P vfri

diém thiip nhé't Q’ ca dumg trén C.Chng t6 ring céc hat cudm Imp thénh mét dudrng trén.Du tién, nhiic lai mét kién thirc hinh h(_)C co bén. GQi PP’= D 1:21 dudng kinh ca m(_3t dudng trén (hinh 6.7), vé PSlé déy cung bit kjl, v()'i 6 = LSPP' . Khi dé

PS: Dc0s0. (6.1)

* front: phn du hay mail du séng — N.D.



P

9

S

PI

Q) 1 )

Hinh 6.7. Nffu PS = D6030, khi dc’) S niim trén duimg trbn v 1i duimg kinhD I PP’.

Diéu néy suy ra tit dfr kién ring £PSP = 90° .Déi0l2_1iv§1ndng: quy tich ca diém Sthéa min 6.1) 121 m<f)t dudng trén.

Béy giir ta hy tré la_1i véi céc hat cudm. Chon mét thdidiém z‘ > O néo dé v51 khéo sét mét hat cudm dai dién taithivi diém néy. Gia t6c ca né I51:

a = g cos 0 ,

nhu trong hinh 6.7 b) minh hqa. Khoéng céch hat curém nélydi chuyén trongthdi gian t selé:

PS = a /2 = g /2)c0s6 = Dc0s9,

trong dé D = gtz /2 151 quéing dudng roi tL_r do. Ta déichi’ra ring tai thdi diém t, mQihe_1tcuc‘rm S théa méin 6.1).

Theo nhefln xét hinh h _)C 6 trén, tit cé céc hat cuém S nmtrén dufmg trén cé dudng kinh D = gtz /2 vél cé diém tréncng tai P, nhu d khng dinh.



\ ,1 ‘- \ d z ,6.5 Tlm ra Zsmr va Zoos: bang phep quayKhéo sét m<f)t diém P chuyén déng trén m(f)t dumg trén

don vi 6 véln t6c don vi theo hué'ng nguqc chiéu kim déng

h6, xuiit phét tai diém R) trén trL_1c X ta_1i t = O. Do dc’) cungPOP cé dé déi 1‘, tirc 151 LPOOP = t . Theo dinh nghia cahém sin via cosin, véc to vi tri:

§ = (cost, sint).

11/

( 13 : V‘\ ~11 ,-I‘.

.,;.5'§:~

r ,;z'i.jf ii ;

;§‘.*a§;,;:1'f .5 ;() P0.7‘

(7

c = cost. .9 = sink

Hinh 6.8.

Vain t6c duqc dinh nghia being dao hém ca vi tri:

<4 d . >

v= —c0st, ~—s1nt .

dz dz

Mzfat khzic, béi v| = 1 (gié dinh vay), céc tam giéc vuéng todefim trong hinh 6.8 cé nhfrng canh huyén trtlng khép (cé (if)



déli 1). Han n\1a,b( Yi V _L OP , tit cé c:;1nh tuong {mg hai tam

giéc 151 true giao vé do dé céc géc tucmg (mg 1221 trung khép.

V1 thé céc tam giéc tr ) dzfam cung trung kh(rp , vé theo C16:

v = (—sint, cost).

S0 véi phucmg trinh vita r61 ta két luefxnz

d . d .

—-—c0st = —smt, —s1nt: cost.dz dz

b bb

nHinh 6.9. Dién tich du(1idu <‘1ngti< ;m cafln 151 bao nhiéu?

6.6 B211 tap

1. (Foote, trong cu6n [Fo]) Theo dinh nghia, duirng tiém

can lé dudng cong tao thénh do vét bénh sau cua chié c

,_i_i___i-* Nguyén vén: congruent. Theo Euclid, ‘equal’, — biing nhau, nghia IA hai dfii

tuqng cf) cimg kich cfv (dé déi d6i v(1i dean thng, difgn tich d6i véi hinh

phng). Bbi vzfiy, dung ‘equal’ cf) thé lia khé mo hf), trong nhfmg trufyng hqpcu thé d6i véi céc d6i tuqng hinh hoc. Thff nén, ‘congruent’, trimg khép,

duqc dung dé dién té hai hinh phng mil ta cé thé chuyén dich hinh nz‘\y

chéng khérp lén/véri hinh kia, lfrc In chung cé cung hinh dang v cung kich

cfy. Mfgt s6 séch giéi tich khéc dung chit d6ng du dé chi khéi niém né1y.—

N.D.



xe khi bénh tru rc di chuyén trén mcfat dufrng thing. Cuthé hon, mét duiyng cong duoc goi lé mét dufrng tiémcan néu 6 dé tfm tai mét dc) din b vii mét dufwng thingsao cho doan tiép tuyén néno nm gifra dumg cong vél

Ciu 6 ng thing déu cé df) déi b. Trong hinh 6.9 mcfat dufmgtiém czin bén-v6-cuc duqc phéc ra. Dién tich ca phéinvé han té dzim lél bao nhiéu?

. , ]Dap an. EH19.

Trong khi chd dcyi trong mét héng tinh tién déi 6 siéuthi, téi dang ln theo duimg vach ca gach vuéng lét nénvéi bénh tru c rc ca xe déiy mua hélng ca minh. Sau métvéng chuyén déng trén ca bénh tru 7c, czic bénh saudtrng lai 6 mét vi tri méi. Tire lé xe déiy d xoay quanhbénh truivc mét géc Q Gié tri xé p xi ca 9151 bao nhiéu,xem nhu C151 cé

tit cé théng tin cn thiét chi cén thiéucéu tré lfyi)? Di_én tfch ca vién gachlét1é1A,l<h0éng céchgifra bénh truirc vél bénh sau lé b. Cho ring b déi h0ncanh cfla vién gach r€it nhiéu. D5 don gién moi chuyénhcm nra, cho ring bénh sau thing héng tuyét d6i véibénh trufyc fr xe dfiy thuc té khéng phéi vzfiy; céc bénhxe tao thénh m<f)t hinh thang).Dép sin: 9 = A /I92. D6 cé nhiéu théng tin hon ntra vébéi toéln né1y,xem cu6n [F0], [LW], vél nhfrng tham khéotrong dé.



75|] D|._.INl3 |:ci HQEElé rim-| Ti|::|-| PHAN

Hai bz‘1i toéln du tién trong muc n€1y cc’) thé giéi dé déng

biing giéi tich mé khéng cn dén co h(_>c. 5 dziy, ta mu6nminh hQa cho viéc dflng mziy tinh c0 hQc thay cho giéi

tich trong mcf>t s6 trudng hqp.1 xdx \

7.1 Tinh tich phéln J0 X/?—-2* béng céch néngmét qué nzflng 1* x

Mcf>t qué nzfing P = 1, duqc lép lén mét dufyng rfanh thingdimg khéng ma sét, treo vz‘10 mét du déy cf) d(f> déi 1. Ban dusqi déy duqc kéo theo phucrng thing dimg. Khi du m1 1t tréncfla sqi déy bi kéo ngang ra khéi vi tri ban du ca né, qué

néfing trurqt d(_)c trén dufrng thing dfrng. Bing céch thay dfiidé dich chuyén xcila dultrén ca déy tit x = O dén x I 1,

ta thutc hién céng W = J-0 F(x)dx, trong dé F(x) 151 lL_1 c cncc’) dé giir m(f)t du cila sqi déy tai X, nhu trong hinh 7.1.‘

Gié trix = 1 In khéng thé dnt duqc, béi né dbi héi luc téc dung v6 cimg; khidc’) ta d6imaf1tv6im6ttich phén bit dinh.



Mét khéc mét céng tuong tL_r duqc thuc hién khi néngqué neflng P lén dé cao 1, sao cho W = P-l =1, véta kétlusfm F(x)dx = 1 .?Ll:lC nély téi khing dinh ring F(X)=G01 O 151 giao diém cila hai dudng true giao, nhu duqc chothéiy trong hinh 7.2.

T6ng moment quay trén dély AB quanh O tiéu bié n, taduqc: ()B><F= OA ><P,

:17 1

F=—“ .\/1 .1.)

P = 1

IHinh 7.1. Céng duoc thuc hién being czich néng qué néng I51 L F(x)dx = I’-l

R1;

1:

B F 1

._. W . _€i_A 0

1)

Hinh 7.2. Céc phén luc tr1_rc giao —Fvi1—P cé moment quay being khéng d6ivé1 O.



OY»

Q6’‘1

I-linh 7.3. Céng cfm Lhifft (15 kéo qué néng tirduéi cimg lén mét géc X151 L; sin ldl.

Va béi OA/OB=x/\/1—x2 vé P=1, ta thu duqc

F(x) = -—l\[ —~;—;, nhu dé khng dinh. Ta déi chi ra ring:1 xL--Wdx=1.

7.2 Tinh tichphén Ksinldl \/6 1 mét qué 150

Khéo sét mcfat qué léc: mét chéit diém cc’) khfii luqng P = 1

trén m(f)t que thing cé dcf) déi 1, léic lu quanh mcjt khérp n61

0.LL_1 C sint czin dé gift qué léc 6 mcfat géc t so vfri phuong

théng dimg, nhur duqc thé hién trong hinh 7.3. D0 bén kinh

thanh being 1, df) lén géc t luqng dinh (ii)déxi dgc theo duimg

trén. Thé nén, céng cn thiét <15 di chuyén qué nzfing til I dén

d + dt 121 sin tdt , vé céng t6ng céng céin cé dé kéo qué naflng

ttrdufri cilng r : 0 lén r = x 151 Ixsintdt .M2f1tkhz 1c,suthay

C161 trong théf néng 151 (kh6i1u’qn§) >< (chiéu cao) = 1 — cosx



hinh 7.4). Déng nh€{t hai biéu thirc cho ctlng mét mfrc néngluqng sé cho ta:

_[Xsintdt=1— cosx.

U

1

1 — cos :1:{

Iiinh 7.4. Thffnéng cila géc léch xlé 1- cosx. K}16iluqnglé 1.

7.3 Chfmg minh biing luu chéit cho dinh 13? GreenThéo luzfzn ngén néy sé lélm cho khéi niém ca toén tfr

phén k§/ vé céng thlic Green

I F-na s= divFdA 7.1)F D

cé vé gn nhu tém thuéng. Théo luén mang tinh tL_r nghiémnéy cé sir dung ceic khéi niém ca tich v6 huéng vé tichphén theo durmg.

Ta cé i) mét trurmg véc to phng F = F x,y) vél ii) métdufmg

cong C bao quanh m _3t mién phng D. Diém méiuch6t 6 déy lél coi F nhu trudng vein t6c cila mét khi phngtufyng tuqng, r61 dé mién D tréi theo trudng vém t6c dé,v51 thu ducyc mét mién méri D t) tai m5i thdi diém tvdiD 0) = D. G _)i A z) = dién tich D r)).



Chia mién D thémh mét s6 luqng lfm N ca nhimg ménh

nhé D , 1 S n S N , ta chia nhé dién tich ca n6:

A(t) = 2/\”(r).

Liiy dao hém theo I t2_1i F = O, ta duqc (sir dung kv hiéu

A = d/d1);

A(0) = 24(0). (1.2)

Nhung mire dtf) v2f1nt6cthay d6i (O) cila diéntich m6i

ménh nhé se gin nhu ti lé thuefln véi dién tich cila né:

A,,(0) = kA,,(O) + 8 , (1.3)

trong dé 8121 mét sai s6 nhéz 8 / A,,(O) ——> Onéfu A”(O) —> O.

Giéi han ca h_é s0 t1’1_é khi mién co 1._a1 thénh mét diém,duqc gpi Ié suit tiéu tén ca F tai diém dé. Tire la ta cé,

duqc dinh nghiaz

div F(x,y) = limf1—g—)2,/4(0)

trong dc’) giéri han duqc l€iy khi mién co vé diém (x, y). Hés6 k cho ta biét dtf) gién ra (hay co lz_1i) ca mét don vi dién

tich, duqc do tai mét diémf Theo dé k that ra lé mcf>t dun

vi do d(f) phét tén ca phn t\ 1 khi.

____ii€-i-* D5 déng c6 duqc céng thirc F = div(I’, Q) = ;+ gg ti: dinh nghia néy.

X



C

Hinh 7.5. Mién ban diiu bi déng F cufin di.

Béy gid thé' (7.3) véo (7.2) ta thu duqcz

A(0) = 2divF(x,, ,y,, )A (0) + sai S6 bé,

lrong dé (xn , yn) 13 mét diém bén trong 6 thtr n. Trong

giéi han ca phép chia doan nhé v6 cng ta thu duqcz

A(0) = HRdivF dA .

Vély mzc df) thay d6i dién tich ca mcfat mién di chuyén151 tich phén ca thénh phn vuéng géc vfri vain tfic bién can6: /1(0) = J-CF - nds (6 déy n lé véc to phép tuyé'n hudngra ngoéli ca C). Déy 151 toén bf) phéc théo ca chimg minhdinh 13? Green (7.1).



BPHLIIJNG TRINH EULER-LAGRANGE THEING QUANHUNG Lt: xu Kécn |::ANrs

8.1 Véi hiéu biét 00 bén vé phuong trinhEuler-Lagrange

Chu0 ng mus ngéin néy bao g6m mét dién giéii thun my

co hqc cila phié m hém Euler-Lagrange nhu thé néng cla

mét déy 16 x0 gié tufrng. Dién giéi néy din déit gin nhu thingdén phuong trinh Eulel-~Lagrange vé dem lai m<f)t giéii thich

cohcpc r6 réng cho lu2_”1t béo toén nz“1nglu _mg.Ngoé1ira, ttrng

s6 hang riéng biét trong phuong trinh Euler-Lagrange cng

ct’) Y nghia co h<_)c Cl_1 thé.

Sau déy 151 giai doan gi ) i thiéu cho nguiri dcpc chua quen

vé i phuong trinh Euler—Lagrange.

B511 toén co bén ca phép tinh bié n phén 151 tim ra mét

helm x t) t6i thiéu héa phép tich phén.

J; L x z),X r))dt , 8.1)





Cén phéi giéi thich t2_1i sao (8.2) 151 fhé néng. Xét mét phnnhé ca I6 xo tuong (mg véi khoéng (t, t + dz‘). Ta hy bit déuv(7i mét nguyén t: khéng bi kéo cng, réi sau dc’) céng né titdé déi biing khéng défn dzf) déi sau cimg x(t + dt) — x(t) .Khita kéo céng, luc thay (I61 tit 0 dén m(_“)t céch tuyén tinhvé'i khoéng céch, vi thé ta téc dcfmg mét luc trung binh 151

Mat khéc, nhén né vc'ri khoéng célch x(t + dt) — x(t) = Xdt ,

cho céng tfing ccjng being gxzdr, nhu déi phét biéuMac dil Archimedes cé thé déi khém phzi ra céch tiép cefin

duqc néu 6 trén, vél chéic hn cé thé dé khéi quét né, nhungbéli toén néy d khéng duqc dzflt ra cho (mg. Thay véo dc’),

Euler vé Lagrange dé giéi bi toén theo nhfrng phu0'ng phépkhéc nhau. HQ nhgin théiy ring néfu m(f)t hém s6 x = x(t)dem lai mét cuc tiéu cho tich phén (8.1), khi dé né phéithéa mén diéu kién:

a’—LX(x,X) -— LX(x,X) = O; (8.3)dt

6 déy céc chi s6 ky hiéu phucmg ca dao hém riéng. Luu 3?

ring trudng hqp don gién mé chng ta dang xét suy ra tit ké-'t

luzfan néy. Thuc thé', néu L = X2 / 2, khi dé L’. = X,Lx = O, V51

(8.3) trv thélnh 56 = O, nhu ta déi tim ra bng leflp luén co hoe

chn phuvng. Lép luzfin néy cc’) thé-' mé rcfmg ra cho trufmghcyp t6ng quét, din dén céng thfrc (8.3) vé dén dién giéi cohqc cfla né.

_;L1_Q, :b)d':‘.

L2(77>-’i7) :I:(t + (It) L‘l(5l/' i7)

Hinh 8.1. Th6 néng cén bng céc ll_IC céng: déy l mét dién giéi dgmg co cflaphuong trinh Euler-Lagrange (8.3).



Tu théi Euler va Lagrange dén nay, céch théng thudng‘|(§ guy ra (8.3) la sir dung phép tinh bié n phén, theo [GF].Mqc tiéu cua Chung ta 6 day la chi ra cach tiép can maArchimedes cung cé thé dung dé tim mét each churng minhkhéic, vél h0 n nfra, cung cap mét dién giéi co h(_)c cu thé choLu-ng s6 hang trong phuo ng trinh. D6 tém tat, phuong trinh(3_3) cc’) thé duqc xem nhu la diéu kién dé IIIQI cai “slinky ‘Lreo l0 lung 6 trang thai can bang.

Téi can néu r6 la cac lap luan trén day la khéng thuc su

chat ché; muc tiéu la chi ra ring ly thuyé t nay cé mét diéngiéi co h(_)c cé thé cam nhefin duqc bang truc quan.

8_2 Dién giéi (:0 hoc ca phurong trinh Euler-Lagrange

Ta hay hinh dung mét cai IO xo ly tuéng, nhu m(f)t bangCao su néng hay mfit cai slinky ducyc xem nhu: mét dufrngthng méng vé han, ducyc dat doc theo true X. Caic phantit cua lb xo duoc gén cho mét théng s6 I e [0,1] , sao chox(1‘) la tqa din ca phan tit tuong ting.

Cho t do kh6i luqng cua slinky, sao cho doan[x([),x(t + dt)] C6 kh6i luqng dt‘. Ta bay gid gén cho tichphén Eulf-1r—LagrHnge (8.1) y nghia cua thé nang t5ng ccfing

Gila lb x0.

* Slinky lii mél loai d6 choi gém mcfat I6 xo xoiin 6c Gan l l6lVElC61l 1é nay batlén r6i xu6ng nhu czii yoyo. N6 cé thé Lhuc hién mét s6 céc lhu thuefil, baogém “bu( rc xu6ng C511 lhang d§u1-n6 i-CI2‘1Li khi né co gizin r61 tu hi phuchinh dang véri sir trq giup cfia trong luc vii aa quay cfia riéng né. - N.D.



1. L(x, O) 13 thénéng trén du'Gngth§1ng;n<'>icéch khéc, mét

ché't d1'é'm dm duqc dét tai X cé théf néng L(x,0)dm.

Theo dinh nghia ca thé néng, luc tuong ttng tzic d<f)'ng

lén chiit diém néy 19

—LX(x,0)dm.

2. Céi slinky théa man mét dang cla dinh luzf1tH00ke: h_1'c

céng 121 T(x,x) = Lx(x,X). Vi du nhu trong trufmg hcyp

quan trqng nhéit ca L=%m’ —V(x) ta cc’) T = mat tire lé

dinh luét Hooke tuyén tinh. Nhung nhin lrong truimghqp tfing quét, h_1'c céng phu thuéc khéng chi vélo C16) gizin

déli X mé cén vilo vi tri X.

I L(x , X) dt = néng luqng tcing céng ca slinky. Thuc vzfiy,

xem xét mét d0§1I1 ngéin [x(t), x(t + dt)] ca slinky,cf) kh6i

lurqng dt.Thé'nz 1ng bao gémhaiphénz m<jtl€1thé'n€1ng ca

m(f>t chiit diém dt , cho béi L(x(t), ())dt ,vi1 hai lé céng cén

thié't dé kéo cht diém dt nély cng ra thénh doan thing ma}

ta dang xét; céng nziy duqc tinh nhu sau:

x(1+d1) Q'~—- )5 [ X

U doM T£x,————dZ 1 =J.0L2(x,s)dsdl

= (L(x,X) - L(x,O))a't,

trong dz’) 2:52 = s. Néngluqng ting céng ca doan thing,cl

thé néng + kéo cng, dilng being L(x,X)dt. Nng lu'(_mg

tcing céng ca slinky 1110 néy lé tich phén Euler-Lagrange

(8.3), nhu d khzing dinh.



8.3 Mét célch suy ra phuong trinh Euler-LagrangeNé'u mcjt hém s6 x(t) t6i thiéu héa tich phén Euler.-

Lagrange, khi C16 céi slinky tuong Cmg 6 trz_1ng théi cén biing.Chénh léch luc céng tai hai déiu ca mét doan

v6 cimg nhékhi dé 151 cén bng luc vdi lL_rc thé'.

LX(x, x)|f* ’ = J.,’+dlLx(x, mar.

Chia cé hai vé' cho dt vé liygiéi han khi dt ——> O din dé'nphuung trinh Euler-Lagrange.

Tém 1.31‘, ta def gain cho m51' s0'hang trongphuotng trinhEuler-Lagrange m_0t dién giéi c0 11_0c: Li Ié lac czing, L,lei t5ngh_0p ca Iuc céng trén mét don vj k116i 1u _0ng vé Lxlei lac thétrén mét don vj1<h0'1' Iuang.

8.4 Chfrng minh dinh luét béo toén néng luqngbng céch truqt mét déy IO X0

Phuong trinh Euler-Lagrange (8.3) cé mét tinh ché't khéphét hién. D6 lé:

L — XLX = constant (8.4)

d6i véi bit ctr nghiémx = x(t) néo cila phuong trinhEuler-Lagrange. Y nghia ca dai luc_>'ng' néy lei gi trong m6hinh slinky cila chimg ta? Céu tré ldi in ding sau quansét hién nhién nhu' thé néy: Do slinky lei déng déu, tire I51L

Trong trudnghq dafxc biét khi L 13 chénh léch gifra théfvé déng néng, L ~ XL,trér thimh néng luqng t6ng céng, nghia lé t6ng ca hai néng lugmg.





S

r|-|Z‘\u |<iN|-|, Kl'NH Vl§N VIQING,vA |::|:I |-u;||: HAMILTCIN

Trqng tém cfla chuong nély 121 mrjt dang lép luén kiéuphy tay (theo nghia den) ( Y I'I1L_lC 9.3. Tuy dcm gién, né cénhfrng hé qué khé bit ngd trong toén h(_)C vél trong quanghoe.‘ Nhd vélo dién giéi co hqc, nhfrng hé qué néy trfy nén

dé tiép ciln hcm nhiéu meflc dtl thudng thi chL'1ng chi duqcdé cép téi trong chuong lrinh trén dai h(_)c.

Dzin b€1i ca chutmg 151 nhu sau. Muc 9.1 trinh bily kié-’nthirc co béin; muc 9.3 vil 9.2 mé té hé co vé dua ra chrngminh co hqc cho m(f)t dinh 137 hinh hoc vé béo toém diéntich.ML_1c 9.7 két n61

béi tozin co/hinh hqc véi mél béli toélnquang hQc, vél mL_1c sau cixng (9.8) giéi thich chtrc néng clakinh vién vcpng v51 nhfrng thiét bi quang hqc khélc théng qua“nguyén 13? b?itd1nh , v6n cng bait ngu6n tit co hqc.

Sau déy 1:21 nhung nétn6ib2_“1tc1a chuung:

1. Phép zinh xa béo toén dién tich néy sinh mét céch tunhién trong co hQc(mL_1c 9.2 vé 9.3).

* Déy l<h6ngph 1ili1l?1n du lién ta biit gzflp diéugi dé tfm1 tl1u'(mglz_1icé nhfrng11¢ quzi chng lm tlnrfyng.



”

2. Mét béng tu'0’ng déng gifra co hqc vé énh xa béo toén

dién tich (muc 9.5).

3. Nguyén 1y bit dinh - mét d6i ing c6 dién (muc 9.6).

4. Hoat dcfmg ca kinh vién vqng, thi kinh, vél nhfrng thiétbi quang hoe khéc duqc giéi thich théng qua “nguyén13? bit dinh (muc 9.8).

(<1) (1)) (C) (<1)

Hinh 9.1. Nhfrng vi du vé nhfmg phép ilnh xa béo loim dién tich.

9.1 Phép énh X21 béo toén dién tich ca matphngz nhfmg vi dL_1

Theo dinh nghla, mét phép élnh x2_1 ca mefat phng 151

mét hélm s6 gén cho m5i diém Z : (x, y) ca melt phng mét

diém méd:

</>(z) = (f(X, y), g(X, y)) (9-1)

Mcfwt phép énh xa nhu thé ducyc gqi 151 béo tozin d1'_én tich

né'u dién tich ca tzfxp hcyp bait ky biing vfyi dicfzn tich énh ca

né qua phép énh x2_1. Nhirng vi du dun gién nht ca phép

énh xa béo toém dién tich bao g6m

1. Phép quay: véi méi diém (x, y) énh xa gain mét diém du'<yc

xoay qua mét géc cho tru'<'7c 6. Diém quay néay duqc cho



theo tqa C16 (x c0s6 - y sin6, x sin6 + y cos0), nhu tronghinh 9.1(a).

2. Phép quay hyperbol: gién ra 6 huéng nay theo mcfat hés6 khéng d6i kvé co lai 6hu (mg kia theo cimg hé s6 dé;chng han, (x, y) l—> (ix, /Tly) , nhutrong hinh 9.1(b).

3. Phép quay parabol (x, y) I———> (x + ay, y) , hay mét énhxa léch, nhu trong hinh 9.1(c).

4. Phép tru Qt parabolz (x, y) I—> (x + yz, y), nhu tronghinh 9.1(d).

9.2 C0 hoc V51 énh X21

Mfii lién két dézng chL 1 y gita hinh hqc vél c0 hqc I51 muhinh laflp di 1:51p lai ca cu6n séch néy. T61 sé m6 té mcjt khia

cgmh ca m6i lién ké tn:31y duéi dang don gién hét mire, saukhi lucyc bé hu hét céc thuét ngfr chuyén mén vél céc riiocén mang tinh kythu2f1t.B5ng céch sir dung co hcpc, ta sé cé

duqc mét ldi giéi thich tai sao kinh vién vQng, kinh hién vi,v51 thi kinh cc’) thé phéng to céc veflt thé.

f | FX

‘9:? §€\@ f ‘in-‘.\rF

9; XI

Hinh 9.2. C0 hqc dn dé n hinh hqc: Hf; co gy ra mét phép énh xa I41 “bi6nczfap (vi lri, luc) (x,/) bén tréi thénh mét czfap déng dang (X, F) bén phéi.



1’ EY

1”X

Hinh 9.3. Théi nng ca mét lb X0 dim h6i chin 151 m(f>t hiim sinh

ca énh xa léch.

Sau déy 151 mfii lién hé hinh-co néy duqc trinh béy m(f>t

céch vén tiit. Xem xét mét hé ccr don gién, nhu 13 hé trong

hinh 9.2.‘ Méi hinh vénh khuyén cé thé trurqt khéng ma sét

dqc theodumg thng ca né. Hinh dung téi dang giit hai

vélnh khuyén, vé i m<_)i thfr dang ( 1 trang théi nghi. Vi tri x

ca hinh vémh khuyén bén tréi vé lL_rc f kéo tay tréi téi xéc

dinh vi tri X cila hinh vénh khuyén bén phéi vé luc F lém

di chuyén hinh vélnh khuyén dé. Do dé ta cé phép énh xa

I//=(X,f)+—>(X, F)

Céi déng ch 91:1 phép énh xa niay béo ton dién tich, bit

ké Sl_I sip dét c0 hqc giua hai vnh khuyén cé thé phirc tap

dén déu. Ta cé thé thay d6i 1;/bng céch thém véo nhfmg 16

xo, nhungréng rqc, thém nhmg qué naflng, nhung ta khéng

thé thay C161 tinh chéit vé béo toén dién tich. (D5 biéft nhung

vi dL_l khéc, Xem hinh 9.3 vél 9.7).

Giéi thich th1_1c ra rt dorn gién nhu ban dqc sé théiy trong

muc kéf tié p.

ll

3*

Nhiéu vi du hon duqc cho trong phn béli télp 6 muc 9.9.

Theo viii gié thuyét chuyén mén sé duqc m6 té sau.



9.3 Mét “chtrng minh” phy-tay (dng nghiaden ) ca béo ton dién tich

Sau déylé chfrngminh cho viéc énhxa I//: (x, f) |—> (X, F)

béo toéln dién tich. Vein vfri hinh 9.2, hinh dung t6i dang gifrhai hinh véanh khuyén sao cho hé lé bit déng. D5 gift mqithL'1’ vin dtrng yén téi phéi téc dL_1nglL_rc(—f) 6 tay tréi véa luc(—F) 6* tay phéi.

Béy gié’ té'i phn phéiy-tay: thzfit chém réii (C15 khéng kich

thich bt cli’ rung déng néo) téi di chuyén hai tay trongmét diéu bc} thy 3? nhung cc’) tinh chu kj/, dua hai hinh vélnhkhuyén vé lai vi tri ban du cfla chL'1ng. Cu6i cling téi lilmcho céng bng khéngz <j§(—f)dx + q§(—F)dX = 0, hay

<_'§/¢1x+§$Fdx=0 (9.2)

trong dé s6 hang dziu tién lei céng duqc tay tréi téi thL_rc

hién vé s6 hang thfr hai 151 céng duqc tay phéi téi thuc hién.Cho dén déy, I I1(_)ithl1’ hoén toén hién nhién vé mefzt co hoc.Nhung béy git‘) ta hy phién dich né thénh m(f)t phét biéu

hinh hoc. Khi téi di chuyén hai tay, céc diém (x, f) vé (X,F) léin luQ't vach ra nhfrng duimg cong kin c vé C. Ngoéli ra,dumg cong thir hai Iii énh ca dudng cong duz C = 1;/(c).Nhung luu 3? riing hai s6 hang trong phuong trinh (9.2) chinhxzic 151 dién tich ca c vé C Céng duqc m6i tay téi thuc hiéncé 3? nghia hinh h(_>c 151 dién tich T6ng ca hai dién tich beingkhéng; néi céch khélc, ngoéi SL_l' d6i diu, phép énh xa I//béotoéln dién tich. SL_r C161 déiu ny nghia lé SL_l’ déo hu('mg: énhcacéi n ta béntréisétrén nhucéi n ta bén héi.8 Y 8 8 8 Y P



Chinh sa Vé hinh thc. Dé trzinh phéi d6i mfat véi nhfrng

dién tich gié tri aim, V51 vi 13? do lich sir, ta hy g _)i Y = —F;

dé cé ky hiéu th6ng nhiit ta cng 161 bién f= y hai dai

lucyng ctlng déiu). Khi dé 9.2) trfy thénh:

Cf);/a x= J3YdX 9.3)

diéu mé cé nghia ring phép énh xz_1 ,0 = x, y) r——> X, Y) béo

toén dién tich, béy gid thi béo toén cé diiu [i].Tinh cht nély vél tinh cht tmmg tu trong trufmg hqp chiéu

cao, xut hién dufri nhiéu vé b _)C khéc nhau vé cé nhfmg hé

qué séu sfic trong dcfmg luc hoe vél quang hQc. Trong thuc t6,

quan sét néy dua chilng ta tdi t Yi rnét linh vuc nghién curfit néng dcfang lé bcf) mén tépé symplectic [HZ].

9.4 Hélm sinh

“Chirng minh” ca SL_I‘ béo toén dién tich 151 khéng thét

chzfit ché, béi vi téi thélm chi cén khéng dinh nghia chinh xéc

phép énh xa go, mé chi néi ring né duqc xéc dinh béi mét hé

c0 duqc mé té mc)tcé1chlfrm 1Sau dy 121 m6 té cu thé hon.Nhfrng gi ta thuc su cn tit hinh 9.21€1thé nng P = P x, X)ca hé. Theo dinh nghia cila thé n€1ng,* ta cc’) célc luc:

6f= —§P x, X)X 9.4)

8F - —a7P x,X).

* Nhéic lai ring néu P x)lz‘11hé néng, khi dc’) lL_1 C lél — P x).



160



9.5 Béng tuiong itng gifra C0 hoc V21 Giéi tich

Cohpc Gizii tich

Th6 néng P(x, X) Ham sinh P(x, X)

Céc lurc C210 déng luqng8 8

f___é;P(xvX)> y_—_a:€ P(xv X),

F=—£X—P(x, X) Y=ga)?P(x, X)

Céng duqc tay tréi (phéi) Dién tich ca tao énh:

thuc hién:(fdx (q.>FdX) <j>ydx (gfn/ax)

T6ng céng thuc hién béng Dién tich duqc béo toélnz

khéngzd Ydx

5t3fdx+5{>FdX=0 qgy x (P

Khéng gian béc cao. Tinh chit béo toém dién tich (9.3) cé

thé khéi quélt cho nhfrng phép énh xa trong khéng gian bzfxc

cao bng céch cho cé x vél y 6 trong khéng gian n-chiéu(1121): xeR , ye1R , sao cho (x, y)e1R2 . Khi dé y

dx trong (9.3) phéi dugx: hiéu nhu tich chmz ydx : 2 yk dxk .

Phép énh xa (p(x, y) |—-> (X, Y) trong R2 mé théa min tinh

chéit (9.3) duqc ggi 151 mét zinh xa symplectic.

Dién giéi co hc_>c ca hinh 9.2 cén tré nén d0 n gién hontrong truémg hqp khéng gian chiéu cao n = 3: téi khéng

cn phéi giCr cho céc hinh vénh khuyén dqc theo nhfmg

dudng thing nita, ma bay gidlé X, f, X, F E 1R3.LL 1c n€1y(x,



y) niim tr0ng]R° vé ta cé mcf>t phép énh xa <p:1Ri° +—> IR .° Phép

énh xa n_é1y géln c€_1p (vi tri, luc) 6 tay tréi téi cho ceflp (vi tri,luc) 6 tay phéi téi. Phép énh xz_1 néy hién nhién 121 énh xa

symplectic (sau mét phép déi bié'nnhu duqc m6

té (7dinhIv vita r6i). Khi hai dira tré cilng quay véng mét sqi dé1y'

bng céch néim ly hai du ca né, chilng dang xéy dungmét énh xa symplectic trong khéng gian R6 (coi nhu sqidéy dirng yén).

Dién giéi co hoe cétinh ph6 quét

dénmfrc

né10?C(')théchi ra ring, mét zinh X€_1 symplectic b€it ky, khéng quzi suy

bié'n vira phi, 151 hqp thzinh cxa nhfrng énh x2_1 xéy dungtrén nhirng hf: co h(_)c tu'0ng tL_r nhu céc hé vita du'Qc m6 té.

9.6 “Nguyén lv bit Cijnh”Nguyén 137 béit dinh co hcc lucyng tr phét biéu mét céch

dai thé ring néu ta biét célng chic chéin vé vi tri ca mét hat,ta célng kém chic chiin vé vefm t6c cla né.

Tinh chéit béo toén dién tich cé thé duqc xem nhulzi mét

mf) phéng c0 hcc c6 dién ca nguyén Iv bit dinh. Hinh 9.4cho thy mét énh xa béo toéln dién tich nén chiéu réng camcfat vtlng phzing theo phu0'ng x ti 1 xu6ng c(‘)n 8 << 1. Ta

cé thé nghi vé su nén nély nhu 151 su thu nhén théng tin vé x,

béd pham vi gié tri x khé di bi thu hcp. Nhung dé béxo to-in

dién tich, énh xa_1 phéi kéo gién theo phuong y. S1; kéo gin

‘ Nguyén vim: skipping rope — trf) chm nhy dy: hai nglrfri dfrng 6 hai 6511

déy lién t1_1c (via d6ng bé) quay sqi dixy véng qua du r6i quét qua chén décho nhfmg nguiri khéc cé thé nhéy lién tuc trong véng quay ca d€1y.~ N.D.



ny nghia lé pham vi ca nhirng gié tri Ylé ldn, cho nén ta

d lém méit théng tin vé Y. Tém lai, dé thu nhén duqc théngtin véX ta dé 151m mit théng tin vé Y; céc bié'n s6 nziy cé thé

xem nhu nhung m6 phéng ca vi tri vé dcfmg lucyng co hqcluqng tfr, vé thL_rc t6 chilng thudng xuiit hién trong 00 hQc

c6 dién nhu lé vi tri vé déng lugmg.

Béi toén. C110 ring phép énh xa trong hinh 9.4 nén vimgphzfngnhu duqc minh Iwa. Chira rngpham vi ca nhnggié trj Y trong énh ca mién di_én t1'chA t0'1' th1'é’u 13 A / 8 .

Kinh vién vqng phéng to nhftng vét thé nhd véo nguyénIv bt dinh néy, nhu téi se giéi thich sau (muc 9.8).

9.7 B510 toéln dién tich trong quang hqcKhéo sélt mét tia sélng truyén qua mét thiét bi quang h(_)c

— mcjt 6ng kinh, mcfmt kinh vién vqng, mét thi kinh, hay m(f)t

vi kinh — nhu trong hinh 9.5.

LA/ Y '¢ 1 ¢ W

‘s

5%

9117 “’—>*X5

Hinh 9.4. Nén pham vi ca x liam giin phgun vi cfla y, din theo diéu kién béiot0e\n dién tich.



164



X:1: _

1»A BM

A-1:4‘

H) lnélt du séng

X

Hinh 9.5. a) Thdi gian di chuyén T X, X) djnh nghia phép énh X gl bién x, 0)thénh X. 6) théng qua 9.6). b) Chng minh cfla 9.6).

G01 x vé X 1:21 tqa dc} giao diém ca tia séng vé i hai truesong song, x v21 X. Thdi gian cli chuyén gifra

hai duimg néyduqc ky hiéu 151 T x, X). Cho L x, X) = cT x, X), trong dé c

: constant lél vzfm t6c ca émh séng trong khéng khi. Choy = sin 6, trong dé 9151 géc gifra tia séng vé true niim ngangtrue giao truc x trong hinh 9.5 a). M<f)t céch tuong tL_r, ta dinhnghia Y = sin ~) . Ta sé chi ra riing dfr liéu du vélo x, y)ca tia séng cé lién hé véi dz liéu du ra X, Y) théng qua:

@110‘,8x

5a?L x, X): Y.

* Theo dd L cé chiéu kich ca khoéng czich; luu 37 riing L 151 lén hon quéngdufmg thuc ca tia séng bdi phéin thiyi gian tiéu t6n trong thy tinh noimi: énh séng truyén chzfnn hon, cho nén T151 lén hon thfyi gian cng quéngduimg dé cn trong khéng khi. Trén thuc té ta cé thé chQn hé don vi saocho c: 1, truimg hqp mé ta sé c6 T: L.



Déy chinh 151 quan hé tLro'ng tL_1' nhu (9.5) trong vi C1L_1 léiy

tit cohqc, hinh 9.2 Ta di chirng té biing m()tl2f1pluz‘_1n“ph€iy-

tay” dang C0(II1l_lC 9.3) riing phép énh xz_1 (x, y)1—> (X, Y)

béo toén dién tich. Déy 151 tinh chit cor bén ca bit ky thiét

bi quang hc_>c néo. Ta théiy (dng nghia den) céc hiéu (mg

cila tinh chéit béo toén dién tich néy khi énh séng truyén tit,

mét mén hinh tivi chng han, qua tréng mét kinh, qua giéc

m2_1c,vi1lén véng m2_1c.T6isé mf) té m(f)t biéu hién 137 thL'1 cila

tinh chit béo toéln dién tich 6* muc tiép theo.

Tuong Lingcohpc. Béng nhung tuang L'mg(mL_1c 9.5) mi’) réng

tit co hqc sang quang hoc: hélm thé nng P(x, X) tu'0'ng [mg

dé dé1iL(x, X) : cT(x, X); luc F : £?P(1-,X) tuong (mg sin 9.

Chfmg minh ca (9.6). Hinh 9.5 cho thy mcfat m2f1t déu séng

ca nhfrng tia séng phét xut tz_1i A. Theo dinh nghia, mQi

vi tri trén mét mét du séng lei céch déu A theo nghia luén

t6n mét thdi Iu'Q'ng nhu nhau C15 dé'n duqc vi tri dé tit diém

A chiem thfyi luqng nhu nhau se 151 mét céch dién dat

chinh xéc hon.‘

1. Héa ra mét déiu séngluén Iuén vuénggéc vdi tia séng

trong méi trudng ding hu'(mg,** nhu ta C151 gié sir tit c

théiu kinh trong thiét bi quang hcpc ca ta déu nhu' vzfly.

C6 thé suy ra tinh true giao néy tit nguyén 13? Huygen;

’ um thiri gian duqc dé cép nhu I51 <76 dzii quanghpc, ta c() the” néirZ“1ng111zf1l

111111 lam truyén Lai/\la‘1111(f>tt:f1p hqp czich déuq11z111ghQc linh, diéu C16 nghia

I11, 111(1ld1r61ngtrc311tl1c0 ngfr nghia cfla (16 diai q11z1nghQc.

|)11'~u 1121y nghia 151 vim t6c z'1nh szing tai 1n6idi(§1n khfmg ph1_1 thuéc vim

|1l111-(mg lruyén.



do tinh ding huéng, taflp h(_)'p v6 cling bé céc diém céthé défn duqc dé trong thdi gian dt tit mét diém déi

cho (ceic t2_ 1p hQ'p diém nély duqc ggi 151 céc mét khL'1C

xz_1) lé hinh cu chit khéng phéi hinh ellipse. Théng

tin b6 sung cé thé duqc tim théiy trong cu6n [ARN].Trong hinh hoc Euclid, céc bén kinh luén vuéng gécv<'yi dufmg trén; cng vi Iv do dé ma‘: nhfrng tia séngluén vuéng géc vfri céc mét déu séng — cn nhéc lairing céc mzfxt du séng duqc dinh nghia nhu lé nhfmgdurmg

trfm vfri théi gian gitr vai trb khoéng cé1cl1.*

1 X1/, YC

1’ ’D DC13 ':~,~=:=‘i|‘f-‘~

~'=+f_*¢»'9?*1 A _

. d i»fZa=I~“.I‘ L

A m : :*f -’

1, XW.‘ a A B b

((1) (b)

Hinh 9.6. Néu chilm tia lhu hcp, khi dc’) géc gia hai chilm tia mér réng ra.Diéu nély duqc nhén lh€iy nhu 13 SL_l' phéng10.N6u chixm tia thu hcp lai,

coi nhu, b6n lain, khi dé thiét bi phéng ta theo hé s6 151 4.

2. Xem xét hai vi tri lién tiép cila mét mét du séng,céch nhau mét thdi luqng ngén dT (hinh 9.5). Métdéiu dich chuyén m<f)t doan cdT, vii giao diém vditrL_1c X chuyén di mét doan dX = cdT / sin®. Theo

dé cdT/dX=dL/a'X=sin®=Y.‘I A A ,.Tait cé diéu ni1yla‘1mQtch(1 dé ca hinh hqc vi phén; mi) théo luzfm t6t cé

thé duqc tim théy trong, nhu I51, cu6n [DO].



ChL'1 Y. Céng thttc (9.6) phL_1 thuéc vélo du kién ring céc géc

9, (9 duqc do trong khéng khi.

9.8 Kinh vién vcpng vé1 béo toéndién tich

Xét mét thiét bi quang h(_)c, nhu 151 mét kinh vién vcpng

hay mét thi kinh (dang sau duqc cho th€iy duéi dang biéu

d6 trong hinh 9.6). D61 véi chng ta thié't bi nély lé mét hfpp

den: ta khéng biét hay khéng quan tém xem cé théiu kinh

nélo, cé gucrng néo (7 bén trong, hay cé bao nhiéu céi. Tait

cé nhmg gi ta bif-it 151:

A Mét ch £1m song song ca tia séng duqc biéh JOY

thénh m_0t chizm song songhcp hon.

Chi riéng dfr kién n€1y bao héxm 3? nghia 1:21 thiét bi quang

hqc sé phéng to vé1tthé 'fai sao? Sau déy 1 1 phéc hqa cho

céu tré ldi. Trong muc trén ta d khéo sélt phép énh xa

(x,y = sin 9) |——> (X,Y = sin (9), v6n gén dfrlicfzu déu vélo ca

tia séng cho dft liéu du ra. Ta d thé hién ring phép énh

x2_1 dé 151 béo toén dién tich. Béy gir, su thu hgp ci'1a chilmtia ham nghia ring phép énh xa nén mét hinh chit nhézt

méng abcd theo phuong x. Tinh chit béo toén dién tich

khi dé téc dung m(f)t su kéo gién b£1lz_1i theo phucmg y. M51

s\_x kéo gién theo phuong y bén thén né biéu hién nhu su

phéng to énh.

Thuc té ta sé chi ra ring hé s6 phéng to biing véd ti lé bé

rcfmg ca chum tia, gié dinh ring céc géc vé'i truc quang hqc

(vi du duérng true dfii ximg hinh hqc) 151 nhé.



Sau déy lé mot giéi thich chi tié- t hon cho nhéln dinh otrén.Trong thzio luéln sau ta sé lém viéc voi nhfrng géc nhé, diéunéy cho phép ta coi y : sin6 x€1 p xi Qvél Y: sin 6 x2“ip xi 9.

1.. Moi tia szing— nhu, cC tronghinh 9.6

—

duoc die trungboi mot diém x, y) trong mzfit phng, trong do x 121

toa do nhép véio via y lé géc xp xi cila tia seing voitruc quang hoc.

2. Hé s6 phéng to ca thi kinh 151 ti s6 62 /9, , trong do6, 13 géc

gifra hai chilm tia song song toi thi kinh, vél62151 géc gifra céc chum ra hinh 9.6). Truoc tién, luu

37 ring mot chilm tia song song duoc cém nhén beingmfit chflng ta nhu 151 mét diém, boi tit cé tia sélngsong song hnfni tL_1 tai mot “diém énh” cila véng macchljlng ta gié dinh

chng ta léiy tiéu diém mt minh 6V6 CL_1 C v:E1 cf) tm nhin h0€1n hé 10).B€1y gio, hinh dungta dang nhin vélo m _ )t con thuyén o xa, cé chilm tiasong song ab hinh 9.6) dén tit mot di 5m 6 duéi téluvé cé chum tia khéc dc dén tit mot diém 6 mi télu.Voi méit thuong duoi télu viz

mi téu hién ra ré t gainboi vi céc chm tia hop théinh mot géc nhé; téi hunhu khéng cn xoay méit minh dé nhin tit déu nélydén du kia. Nhung céc chilm tia duoc bién C161 ABvél CD hop thénh mot géc lon hon, Cié mé duéi téluvél mi téxu sé hién ra céch xa nhau hon —

chinh xéc1:21 xa hon 92 /9, lain.

* Czic tia simg phzit ra tfr1n f1tdi<§n1 ihi khéng h0€m toim goi 151 song song,nhung con lhuyén lin 6 rfit xa vii I21 cé lhé xem nhu chiing I51 song song.



3. Chilm tia téri ab trong hinh 9.6(a) turcmg img vé'i doan

ab trong hinh 9.6(b); chixm tia téi bi nghiéng trong

hinh (a) tuong {mg véri doan cd trong hinh (b). Céc

‘ chilm tia cé géc vé vi tri nm gia haid6icL_1'c nély h(_)’p

thénh phn bén trong ca hinh chit nhét abcd. Doannm ngang ab zinh xz_1 thémh mcfn doan ngiin hon AB

nhér vo tinh chit chum-tia-thu-hep. DC) déi ca doan

ném ngang 151 bé rcfmg ca chixm tia song song tuong

(mg. D0 dé ti s6 ca céc d) déi ab / AB = }t,bi“1ng vdi

ti s6 ca bé réng céc chi1mtia.Nhd su tuyéntinh, mqi

doan nilm ngang trong abcd (i) ngén lz_1i theo ctlng

mét hé 6 X vé (ii) viin nm ngang. D6 cao cila abccl

151 sin6,, trong khi (if) cao cC1aABCI) 1:5 sin 62. Céc dién

tich ca abcd v51 ABCD 121 biing nhau:

ab ~ sin6, = AB - sin62;

thay sin 6 béng 6 vé dimg ab/AB = 7», ta thu duqc hf: s6

phéng to nhu 151 ti s6 cila bé rcfmg céc chflm tia:

02 /0, =1.

9.9 B511 rap\ ,

,..

1. Kiém chitng réng néu dao hélm riéng hén hqp

—é—P<.nX> ¢ 0, khi dé hé phucmg trinh (9.5) xéc dinh X,Dx9x

Y nhu lé nhimg helms6 cila x, y.

L61 giéi. Theo diéu l<i€§l'1,ai ’(.x,X) l€1 mcfat hém dun diéuX

ca X. Theo dc’) X duqc xéc dinh chi theo x, y. Theo

dc’) phuong trinh thfr hai (9.4) xéc dinh Y theo x, y.



2. Phép énh xa tuong Ling vdi hém sinh P=§(X—-x)2151 gi? Lém thé' nélo mét phép énh xa nhu véy cé théhién thuc héa duqc bng céch sir dung co hqc? Gqi37: Xem hinh 9.3.

3. Tim hm sinh P(x, X) tao ra tirng loai énh x:;1 tronghinh 9.1.

4. Biét m(f)t phép énh xz_1 tuyén tinh véi dinh thlic being1, tim m(f>t hélm sinh t2_10 ra phép énh xa néy.

5. Xem xét m(f)t hf: véi IO xo duqc thé hiéntrong hinh9.7. Anh xa n€10 trong hinh 9.1 cé thé duqc hién thL_rc

héa nhd véo sL_r lua chon thich hqp nhfrng hing s6Hooke k,, k2 vé kg)?

3/ Y\'lIlIlIlIlI‘Y‘I“‘V‘Y‘V‘I‘I‘V‘V‘I‘V‘V‘I‘I‘I‘I‘Y‘I‘ ‘I.7‘I‘I‘I‘I‘I‘I‘I‘V‘I‘I‘I‘I‘I'kl _’L‘ 13/2 X /{I3

Hinh 9.7. Mét phép émh xa dién-tich-bo-toiln Ming quét (hon) duqc hiénthuc héa nhd nhng IO xo.

6. ChQn lua néo cho nhtrng hing s6 Hooke trong hinh9.7 tuong (mg v('ri hé kinh trong hinh 9.6(a)?

7. (Trong béli teflp néy téi gié dinh d(_3c gié quen thu(f>c vé'icéng thfrc thiu kinh). Tim tuong tu co hoc ca céngthirc thu kinh dll+i= . Gqi 37: Céng thL'1rc thfiu kinh

thé hién mét thuc té lé céc tia séng durcyc phéng ra titmét diém téli héi tL_1 tai mét diém khéc. Tait cé tia séngnhu véy t6n mét thfri luqng nhu nhau [truyén di] gifrahai diém néy. D6i vfri mét hé co hoe tu0'ng (mg, thé'



néng lé nhu nhau cho nhung hinh tr2_1ng khéc nhau,

vii mcjt tng néo dé ca luc thé nén bng khéng.

Cho ma trim A 2 X 2 d6i xfmg biit ky, tim mcjt hé co hqé

cé thé néng lé dang toén phu o ng l ,4x,X),v€1the0 dc’)

A, . t 2luc the t€_il x laAx.9 Bing céch sir dung m6 hinh héa co hqc ca m f)t ma

train C161 xL rngA tit b€1i tzip 7 trén, chimg minh ring gié

tri riéng c1aA 151 s6 thuc. GQ1 Y: Né u céc gié tri riéngkhéng 151 s6 thuc, thi sé t6n tai mcfat déng co vinh cru.

Ky 151, khi dé céng duqc luc Ax thtrc hién véng quanhduimg trén don vi lé being khéng chtrng minh khéngdéi héi phép tinh néo).

Héy chi ra ring tinh true giao ca véc to riéng ca m f)t

ma train d6i ximg A 13 m f>t hé qué ca su khéng t6nt2_1i déng co vinh cfxu. Gqi 37: dién giéi Ax nhu 151 lucducyc mint thift bi co hqc thich hcyp géy ra.



1U

r::A| BAN:-| XE BAPVAEJQNH LY GAUSS-BCINNET

10.1 G161 thiéuChu'0'ng néy ké mét c€1u chuyén 137 thL'1 vé m6i lién hé gifra

tn‘) choi véi céi beinh xe Clap vé mét dinh 13? ccr bén ca hinhhcpc vi phén. C210 géc n(f)i tié'p trong mét tam giéc phng cc’)

t6ng bng 180°. Khng dinh néy cé thé phélt biéu lai mmjtcéch t( ng quét vii c0 bén hon: néu téi di véng quanh métdudng cong kin trén maflt phng, khi dé mi ca téi du'(_rcxem nhu 151 mét véc to, sé quay mét géc lé 21: (v()’i diéu kién121

téi luén nhin thing téi trur(yc).'Liéu diéu tucmg tu cén dng véi nhfrng cu déln s6ng trén

nhfmg maflt cong? Hinh 10.1 minh hqa mét dudng di hinhtam giéc trén m2§1tc€iu.Haicanh nm trén nhfrng kinh tuyénvé m(_3t canh trén xich de_10. D61 v('>'i cu: din ca mzit cu cécc2_1nh ca tam giéc

hién ra nhu mét durimg thing. Mcfnt méy

* Y nghfa lozin hoc c1_1 thé ca phzit biéu nély ducc cho lrong muc 10.3.** Nhfrng dnfmg “lh5mg nhu' vzfxy duqc gqi I51 nhzing du01zglra’c dja vs‘: duqc

dinl1ngl1Tz1('r1m1c 10.3.



bay bay véng quanh tam giéc nély se re tréi mét géc Tc/2 ba

ln gifra céc l6i di “thing”, theo dz’) téng céng xoay mét géc

3717 / 2 < 271: trong su6th2‘1nhtrinh ca né. Thuc ra vdi moi

dudng di khép kin trén mcfut mét cu don vi, “géc x0ay” céthé tinh bngz

6=27t—A, (10.1)

trong dé A 151 dién tich duqc 161 di kin bao quanh. D6i vdi

dufmg theo phu0'ng xich dao, vi du, ta cé A : Zn (dién tichca mat bén cu), via theo dc’) 6 = 27 — 275 = 0, ph hcyp

véi true giéc.

Biéu thirc (10.1) 151 mét trurdng hqp déc biét ca dinh 13?

Gauss-Bonnet. Dinh 13? xélc d1nh g('>c xoay 6 cho mét l6i di

kin trén mét mzfat tron bit ky, khéng nh€it thiét phéi lél métcu. Céc kién thitc co bén cn thié't cho phél biéu dinh 13?

duqc trinh bély 6 muc 10.3.

1

511-§‘§,-_~Y7r~

Hinh 10.1. T6ng céc géc trong mét tam giéc C511 121 7r — A / R2.



Sau déy lé tém tiit néi dung ca chuong. C6t 161 ca dinh137 Gauss-Bonnet nm trong mrjt dinh 13? duqc phét biéu d0ngién vé nhfmg meflt nén (fr muc 10.2; né lél diém ch6t ca céchucmg. Dinh I37 nély néy ra trong du téi khi téi dang thaymcfnt céi sém xe bi thng, nhu m6 té 6 muc 10.5. Khénhg chiphélt biéu dinh 13? mzflt nén duqc co hoc gqi 3?, mé ngay céchirng minh cng dune co hQc dua ra (tr. 177).‘ Néi dungca czic muc cén lai 151 nhfrng {mg dung cfla dinh 1}? mzjltnén, bao g6m:

1. Lém thé néxo dé do dién tich ca mét miéng déit béngcéch sir dung mcfat bénh xe quén tinh.

2. Lém thé n€10 sq d6i huéng ca true bénh xe gziy ra chuyéndéng quay.

dudng sinh

mat phng truc giao~z1¢§3i‘F: = =;§-;,_

Y \.,._ -I .3. ..¢gg._*;.,,_-.

‘ .r»_ §3'f§‘~*~?='~ ' “- ->§2'~9 4 ‘:>23‘\~- L-**f€? 1* .duimg sinh ca C* c,,,

Hinh 10.2. Dinh nghia cfla melt nén d6i.

* Chfmg minh to:-in hqc lhufm my cé thé duqc tim théiy trong cu6n [L2].



175



ca céi nén cén lai. Chlizng minh chi tiét cé thé durcyc timthiiy trong cu6n [L2]. .

D5 thy ring nén céng nhqn, thi nén d6i ngiu céng til.Dinh 13? sau déy

phét biéum<f)t

m6i quan hé cu thé gifra chL'1ng.M210 dil CIO’n gién, dinh 137 nély gép phn tao nén céng thfrcGauss-Bonnet (nhu duqc cho thy 6 mL_1c 10.4).

:‘ ‘i = ;j§;~''=. : ‘I: . ~13’ - - M I

.,,.»1i&'¢73 3i‘» f ‘“=“-§‘;1i ..=-..,.='{'.*1*r' ~5 '3': 'P‘\'='3» §-,L’*‘\’:;J*

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AF.r: s;2*m:?-%?¢hfr:;¢s=;%F*P5%

¢zzg¢;a;,&¢;w,;z.@;y@a=.~§q;»¢1§,£»@.1 ~. umJxiia ’:nii3Wf? ,¢=a21:u# B

0 0* 0* i’/

Hinh 10.3. Véli mint nén vii phén d6ici'1a chfmg. A(c) + L(C') = 271'

Djnh 13? nén C1‘6i ngu. Né'u Clzi métmétnén I6i vé C*1é nénC1‘61’ ngu czia né, thi ta cé:

A(C)+ L(C*) = 21:, (10.2)

trong dé A(C) lei géc khél‘ ca C, nghfa lei, dién tich phénmat cu don v_1' S2 duac gidi h._an béi C vé L(C*)1zi dé déi cadudng cong C,’ m S2 trén mét cu don vi. Luu yrng cécmét nén 6 déy khéng nhzft thiétphéi trén.

Dinh 1y hinh hqc thun ty nay duqc gc_n' ra nhfr co hoe,

cng nhu lé chfrng minh duqc dua ra tiép déy.



Chlfng minh nhd C0‘hQC.

Hé cahqc. Céc duémg sinh ca hai mét nén C vé C‘ hqp

thémh nhng cép truc giao. Ta héy dai dién cho m6i dufrng

sinh bng véc to don vi cané, V61 duéi dét t2_1i dinh ca mét

nén. Theo dc’) ta cé mét bé nhfrng hinh ngozfic vuéng chzflp lgai

vfyi nhau tai tém (hinh 10.4). Ta nghi vé nhirng hinh ngozfac

vuéng néy nhu nhfrng vzflt thé deflc cc’) thé xoay tu do quanh

tém. Céc du ca nhirng hinh ngozfic vuéng néuy hqp thénh

hai dudng cong c vé c* trén meflt cu d0'n vi S2.

A (ls{I'MV I-:| \ \

Chan khéng 1;;

I

'\

tié'ptuyén chung moment quay

-------------- P2.-‘¢'=x; giant C0

(ls ,; 'l'&~ Ki ~9,,_,-»’,

nhin tit 16 xo luc céng khéng dfii '~'

bén duéi

Hinh 10.4. /\p lgrc trén ds (plzia trén) cén bimg hqp lL_rc cfla luc cimg lén ds

(phia du'01).

Béy gid ta hinh dung ring milt cu chfra m(f>t chit khi hai

chiéu cé ép sutp = 1, nhung phéin nén cu ducyc c bao 15y

chtra chén khéng. Ap suit c6 lém sup d6 dudng cong c. Dé

bil l2_1i, ta hinh dung dudng cong c‘ 151 mét 16 xo luc cng

khéng C161, cc’) luc céng T = 1, duqc dinh viao céc du “théip

h0'n" ca céc hinh ngoéc vuéng. Diéu néy tao ra mét Sl_I



ging co: cé hai duong cong déu co xu huong sup as — motcéi do ép sufit, céi con l:;1i do ltrc c€1ng. Do réin cta célc hinhngozfic vuong ngén str sup dd xéy ra dong thoi.

Trang théi cén bng. Détng luu tém 1:21,

he co tinh vita duosmo té lé 6 trang théi cétn béng phié m dinh bit ké hinh dangcita mzf1t non C. Tam géc lz_1i phéin chtrng minh mot lt 1c, taluu 37 rng diéu néty hém chi nhétn dinh 10.2). Qué véy, thénéng khi do I51 khong phu thuoc véo hinh deing ca C. Nhu ngme’ nng ca bong bong chén khong1a‘1A C), trong khi thénéng ca mot lo xo ltrc céng khong ddi 151 do d€1iL C ) cano xem muc A.4 véi A.l). Do veftyz

A C) + L C*) = constant.

Bing czich dé bep C vé mot diém ta morong C‘ thénhmot duong tron cue dai, vé theo do hing so duroc xétc dinh

bng 21:, do do chting minh duroc 10.2).Con phéi chfrng to ring hai mzit non luon fr trang théi cén

bng. Xem xét hai hinh quat nho tuong mg trén C vé trénC‘. Goi ds vé ds* lit céc do déti cila czic cung tuo ng L rng cla cv21 0* hinh 10.4). /7\p lL_rc trén ds duoc cho boip. ds = ds v51

theo do moment quay quanh phuong OA song song voi tiéptuyén te_1i mot diém trén cung bng ds+E, trong do 8 151 nhovo citng so voids: 8 / ds —> O khi ds —> O.M:Z1tkhéc, cungds* tily thuoc véo hai don vi lL_tc ca lL_rc céng; goc gifra hai

* Ap ltrc v czitng thing co the co énh htrong nhu nhau lén con nguoi [nguyénvétn: pressure and tension; pressure vixa nghia 151 ép suit, vita co nghia litzip lt_rc, tension vita co nghia ltrc ci1ng d6ivoiceic vial, nhul51,d€1y,lo x0...),vira co nghia cimg thing d6i voi nguoi) — N.D]

1

/







trong dé phucmg trinh sau cilng dién té viéc tié- p tuyén véimét dudng cong kin sé xoay mét géc Zn néu dudng co_ng

khéng tut né giao céit. Dfr kién néy 151 khéng qué hién nhiénnhu thoe_1t trfmg: C161 vé i mint dufmg cong “r6i nhu tronghinh 10.5 né cé thé khéng r6 réng dén véy. M(f>t chtrng minhchét che cc’) thé duqc tim thfiy trong cu6n [CL].

D6 cong trzic dja. Thay vi mét mzfat phng béy gid ta xét dénmét mzfit cong (hinh 10.6). Ta héy hinh dung mét con kién

di chuyén dc_>c thco m(_3t l6i di y trén mzflt cong. Con kién béxiu nghi ring mét cong lé phing, vél vdi né dé cong ca Y

tai mét diém, don gién, lé dz) c0ng(ph§1ng) hinh chiéu ca ylén mat phng tié p tuyén tai diém dc’). DC) cong “hinh chiéfu

néy duqc gQi 121 d‘_é cong mic dja ca Y. Tich phén I7 k(s) dscé 3?

nghiacla

mét géc mél theo dé né xoay theo trong hénhtrinh ngang qua 7. Dufmg cong bit 1<y mél cc’) dé cong tréc dialé béng khéng sé duqc con kién cém nhzfin nhu m(f>t dufmgthing. Durdng cong nhu véy duqc goi 1:51 dudng trio dja.

Anh xa Gauss

1~ 1

. A5

Hinh 10.7. DC) cong Gauss



Sau déy lé mét dién giéi vgitly. d‘_0 cong tréc dja cua métdudng congy trén mét mét conglzi vén tO c géc quay quanhdudngphép tuyéh véri mét cong cua véc to uép xuc cé diézng6c di chuyéh dpc theo y 0’ vén t6c don vj.

D45 cong Gauss. D6 dinh nghla dé cong Gauss tai mét diémp, ta xét m(_3t miéng nhé cé dién tich AS dé bao xung quanhp(hinh 10.7).

Quan sét mié ng “léng nhim” te_\0 thénh tit nhirng véc tophép tuyé n don vi 6 trén miéng nhé dang xét. Ta ré tung véc

to don vi néy di vé dét g6c cua chung tai mét diém chung.Bing céch nély ta gain mcjt diém trén mét cu don vi cho m6idiém trén mat cong. Anh xa néiy duqc gqi 151 énh xa Gauss,

mic du a nh xgz chuét (hay mint énh xa maus ) sé g(_) i té hon.Gqi AA 151 géc kh6i cua hinh nén cc’) duqc. D6 cong Gauss

tai m(f>t diém p duqc dinh nghia 1:21

_ AAK-K<p>-MOAS,

trong dé giéi han duqc lé y trén khéip céc miéng chuap véidumg kinh tién vé khéng. Néi céch khéc, K 1:51 dinh thucIacobi cua énh xa Gauss. Di) cong Gauss do “dé phéngcua meflt cong. Dién tich AA mang défu; véri nhirng bé métl6i nhu: mét qué trung, né 121 déiu duong, v€1 theo dé K > O

(ta gié dinh trudng hqp khfmg suy bién). Véi mét mefit yénngua, K < 0. Hinh tru, du cf) méflt cong, 121 khéng bi phéng v51

thuc té cé K : 0. Thuc vzfiy, vdi hinh tru énh cua mét ménh

* Nguyén vein: 21 maus map: map nghin Iii {mh X2}; maus 1:1 mét til tié ng Duc,nghia 13 chuét. — N.D.



qua phép énh X2; Gauss suy sup thimh mét cung trén, cc’)

dién tich AA = O.

D

Hinh 10.8. Mét mién D ci 1a mét cong, duqc dudng cong yvién quanh.

Céng thc Gauss-Bonnet.Kho sét m()t mién D trén m(f>tmzf1t

cong ducyc duirng congyvién quanh, nhu duqc cho thfiy trong

hinh 10.8. Ngudi dqc cé thé nghi vé Y nhu 121 m(f>t vi tuyén

trén mzfat cu; tuy nhién, dirng coi né 1:31 trénz né cé thé 121 con

dumg n€10 dé trén bf} mét ca mét tiéu hélnh tinh cé hinh

dang khéng déu. Céng thitc Gauss-Bonnet phét biéu ring:

IT/6615+ HDKdS=2rc, (10.4)

trong dé k 151 df) cong tréc dia ca duiyng cong y, K 151 (inf) cong

Gauss ca mzfxt cong, v51 ds 151 m(f)t phn tit nhé v6 cimg ca

dién tich bé mat.

Mét dién gizii clia céng thc Gauss-Bonnet. Ta hy viét 1z_1i

(10.4) nhu:

L//<dS=27l -1-L)KdS.

V6 tréi cc’) thé duqc vi nhu 151 géc xoay — géc ma} theo dé

du mziy bay xoay khi méy bay di chuyén mét véng quanh

(lurng cong Y trén malt cong. Dinh 1y phét biéu ring géc

xoay 121 bng 21: trtr di téng “<16 phéng I I K dS trén mién.



T D

C6*

90 Tn* <a> <11)

Ivlinh 10.9. Chfmg minh ca dinh 1)? Gauss~B0nnet.

Ta vita dién dich (10.4), nhung liéu né cé m(f>t giéi thichdon gién khéng? Trong muc tié p theo téi sé cho thiiy ring(10.4) suy ra tit djnh 137 nén (161 ngiu. V21 diém c6t 161 cadjnh 13? nén d6i ngéu lé viéc géc gifra hai mzflt phng bngvéri géc gifra hai dufrng vuéng géc ca chfmg. Diéu tuong tL_r,

thé nén cng cé thé duqc phét biéu cho céng thL rc Gauss-Bonnet. Mét lain nra nhu trong nhiéu vi du khéc, diéu gi dékhéng ngd via thL 1 vi (dinh 137 Gauss-Bonnet) gién luqc thénhmét diéu gi khélc d0 n gién dé n khéng ngd.

10.4 Céng thirc Gauss-BonnetDinh 13? nén (161 ngu, me‘: ta “dé chfrng minh ducyc” bng

m<f)t lap luzjn co hqc don gién, cé thé duqc phét biéu lai détn’) thénh dinh 13? Gauss-Bonnet. Cho nén sau cilng, ta céthé dilng co hQc dé chimg minh dinh 13? Gauss-Bonnet.

Chfmg minh. Ta bét du béng viéc xéc 1:51p b6i cénh ca céngthirc Gauss-Bonnet: trén mét bé mzfit l6i trong R3151 méthinh dia D duqc bao béi m(f)t dudng cong khép kin Y (hinh



10.9). Xét mét meflt nén C duqc tao thénh tir nhung véc to

phép tuyén n vfri D chgay dcpc theo Y, cilng véi mzflt nén (I61

ngiu C *. Theo dinh 13? nén d6ing§1u: ‘

A(C) + L(C*) = 21:. (10.5)

Theo dinh nghia ca dc} cong Gauss, K = a A/dS , ta cé:

MQ=hK_Cén phéi chi ra ring s6 hang thL t hai trong (10.5) lé tich

phén cila dé cong trzic dia. Ta héy ré mint véc to phép tuyén

don vi 11* E c* trong hinh 10.9(b) dén diém tuong tmg trén

y (hinh 1O.9(a)). Luu y rang L(C*) = I7 @(n*) (1; , trong dé

60(l1*) 1:21 vén t6c géc cla véc ton‘ quanh phu o’ng phép tuyffn

n, khi diém P di chuyén véng quanh Y 6 v. §1nt6c d0 n vi. Béi

géc (p = L(n*, T) 151 mét hém tun hoéln trén s, ta cé:

LwmUm=LwGM

Cain néi ring néu téi di mrfat véng quanh )1, lL 1c niao cung

nhin thng phia truéc, khi dé mi ca téi sé xoay m(f)t géc

dilng bng véi khi téi xoay du lién tuc trong su6t qung

duimg nhung mién sao khi quay vé mzflt vn huimg cimg mét

hufmg nhu khi khéi hénh. Nhung a)(T) = k theo dinh nghia

cila dc} cong tréc dia. Diéu nély chi ra ring L(C*) = I7 k ds

v51 két thc chirng minh ca céng thlic Gauss-Bonnet.



10.5 Bétnh xe dap vét eéle meftt nén d6i nguY tuétng vé nhung mét nén I61 ngéu duqe gQ i ra bé i mcf>t

céi bénh xe Clap. Khi téi dang vé met céi sém xe dap bi thfing,

céu héi sau déy ehqt dé n: “C6 thé xoay mét bénh xe quanhtrue khi chi em true eua bénh xe khéng?” Ban du, céibénh xe 6 trang théi nghi, cée 6 true hoén héio, vé bénh xeduqe gifr czin bng, sao cho khéng quay quanh true cua né.

M<f)t vi du trong hinh 10.10 cho thy ring céu tré léri léi

cé thé. Thue t6, bénh xe xoay mtjt géc cho bé i géc kh6i cuamitt nén duqe true vaeh ra, nhu ta sé chi ra.

C6 thé gié lzftp ehuyén déng trong hinh 10.10 véri métezinh tay, nhu sau.Duath§1ngtay phéi cua ban ra phia truéemzjt, nfim bétn tay lai thénh hinh qué dim vét gift ngén czii

gio lén. Cénh tay 151 true eua m f>t bétnh xe gie 1tuéng,vét ngéneéi 121 met eéi nan hoa léim diu trén bénh xe dé, true giao véieétnh tay/true. Béy git‘? thuc hién ba chuyén dcfmg nhu sau:

1. Dua eénh tay lén qua khéi du ban; ngén eéi sé chi véphia sau. Gift sao cho e5 tay ban khéng lue néo bi xoay

nhu 151 khi ban vein m<f)t eéi tu6c no vit); diéu nély gi6ngnhu bénh xe khéng xoay quanh true.

* Sit quay véng nziy eL 1:1 bzinh X0151 m )t biéu hién cfta cz 1i-gQi~l5i holonomylién ddi phép chuyén dich song song cu6n [L2]). Mét dién giéi co hqc cflaphép chuy :n dich song song lit nhu sau. Clio met véc to chi phlrong, urivng

urqng ring véc to néiy lit mrjt eéi nan hoa cfia eéi bénh xe mi: vimh xc tiffpxuc v 1i l)é1ni_|tdtr ‘yng. Khéngluc nio bénh xc xoay quanh true cfla né. Khibzinh xc duryc mang dqc thco mét duimg cong bié t trude trén be niefil dudng,ezii nan hon bi di chuyén thco e:-ich mii duqc eu 6 trén chi ra. Dy lit mrfltdién gizii cu hqc efia phép dich chuyén song song. Cho m<f>t dinh nghia chzfitehé, xcm cu6n [ARN].



true D6-.

2 9l I

czii nan hoa léam

d€iu

L)3

Hinh 10.10. Tn_1c n6i vgach ra mét hinh n()n cé géc kh6i 1:/2; bénh xc xoay

mfpt géc 1t/2.

2. Ha cénh tay xu6ng vi tri nixm ngang phia bén phéii ca

ban. Ngén céi vin chi vé phia sau.

3. Vin gift nguyén cénh tay nhu vafiy v51 di mét véng trén

mzflt phng ném ngang dén vi tri ban du. Ngén céi biiy

gib chi sang phéi. Nhung né d xy ra, mé ban khéng

xoay 06 tay minh

Lzfiplufan

ca chling ta dua trén viéc sir dung quén tinh

ca bénh xe dé hoéxn thénh phép dich chuyén song song.

D6 hoén thilnh phép dich chuyén song song cla mét véc

to dQc theo m<_“)t dudng cong trén bé mzflt phng, hinh dung

véc to ny nhu 151 mét céi nan boa ducyc dénh déiu trén bémh



Z» /.¢7

kgtjhlic C .dauV m C ‘TIC , 11

/b.’ Q kétthnic.>

1 Q '-_

jb<\% 27r\Q\> q 6/0*)

Hinh 10.11. Bénh xe quay véng trén mét mat nén C'x0ay mét géc 21: — L(c')_

xe. Khi bénh xe ducyc mang di quanh dudng cong, sao chomét phng chL'ra bzinh xe luén tiép xL'1c vc'ri bé mzflt phng,céli nan hoa tréi nghiém phép dich chuyén song song.

Y tufmg vé mét nén d6i ngu d dé'n tit viéc suy nghi vé

m(f)t céi bénh xe nhu thé-' néy. Hinh dung céi bénh xe khitruc ca né quét thémh m<f)t hinh nén C (hinh 10.11). Bénhxe thuc hién mét chuyén déng dung dua 15¢ lu. Vénh beinhxe tiép xL'1c moi lL'1c vdi mét mat nén gié tuéng trong khénggian. Déy chinh xéc lei maflt nén dfii ngu C'.

Bénh xe xoay mét géc bao nhiéu sau khi truc ca néthuc hién mét chuyén déng dang nén? Céu tré 161 cé duqcnhd quan sélt sau.

Dinh 13?. Gié sfrmétphng ca bénh xe Iain trdn trén C ' mékhéng trl1_0't,-khi dd céi nan hoa tiéjn xlic vdi C*1zi truc J61‘

xL?ng tc thdi ca chuyén déng quay ca bénh Xe.

Chfmg minh. Xem xét céi nan hoa tiép xlic C‘ tai mét thfridiém niio dé. Ceii nan hoa néy cé vaf1nt6c bng khéngz thucvzfay, vzfm t6c ca né theo phuung phép tuyén véri mzflt phng



1:21 bng khéng, b6'i mzflt nén C * tinh tiép xL'1c vfri mét phng tai

diém dc’). Thém nfra, vaf1nt6c trong mét phng lé biing khéng

bfri bélnh xe khéng xoay quanh truc nhfy véo 6 true hoén

héo v51 nhd véo gié thiét ban du bénh xe 6 trz_1ng théi nghi.

Hé qué. Sau khi truc ch;1yhé'tmétv0‘nghinh n0'n C, bénh

Xe xoaymétgéc oz = 271: — L(C*).

Chfmg minh. ThL_rc vefly, ta hinh dung phix mét lérp son u'(yt

lén C‘. Sau khi bénh xe thuc hién mét véng lén quanh C*,

mét phn hinh quat ca bénh xe sé léiy miit ldp son ca C*.B61 khéng cé chuyén déng trucyt, cung hinh quat cé cling

dé déi nhu plain hinh véy” clia nén C‘, nhu duqc chi ra

trong hinh 10.11. Géc ca phn cung khéng duqc scm 151

27 — L(C*) ; dé 151 géc mé bénh Xe déi xoay.

»Ilinh 10.12. caiu k6. Dién tich A = 002.

Theo dinh 137 nén C161 ngu ta két luafm:

0: = A(C). (10.6)



Diéu néy nghia 121 ba nh xe xoay mét géc béng véi géckh61 cLia hinh ndn mé truc ca né khoét Ia.

10.6 Dién tich ca mét daft nu c rcTheo 10.6), néu true cla m _3t beinh xe khoét ra mét nén

C, thi tit trang théi tinh bélnh xe sé xoay mét géc bng véigéc kh6i A C) ca nén. Sau déy lei mcfut mg dung cla quansét nixy.

Cu ké Hinh dung mét qué cu thy tinh hru co, vé i m _“)t

céy kim nhon quay quanh tém; céy kim cé thé chi véo bé tctr diém nélo trén qué cu. Céy kim cung déng vai trf) trL_1c

ca céi bénh xe vé i 6 true hoén héo.

D0 dién tich bén trongmét during congkfnytrén mét cziu.Ta dét céy kim tai diém xuét phélt trén 7; vfri bénh xe Ciuqc

06 dinh, ta dénh dé u mét céi nan hoa trén bélnh xe V51 ghinhé vi tri cila né. Sau dé ta dzin huéng mi kim véng quanh)4 mang né tré vé diém xut phét. Bing céch do géc a mébénh xc vtra xoay, ta thu duqc dién tich A bén trong )4

A = 0cR2,

trong dé R121 bain kinh cfla mzfat céu.D5 chinh xéc, géc 0c durqc dinh nghia nhu mét bcfni s6 ca

21:, viz ta phéi cé chflt céin thzfin hon 6 d€1y.Tuy nhién, néu 7

duqc gicfri han trong mét bén cu, ta cé thé chqn O < on < 21c.



11

sua-*:|\1 P|—uJr:. THAT LABUN GI/’\N

11.1 Gié’i thiéuTrong churcmg néty téi trinh béy mcf>t phn 137 thuyét vé bién

phirc, bng trL_tc giéc vzfat 137 nhung khéng cé chimg minh chélt

ché. Khéng déi héi b2_1n dcc tiép xL 1c trufyc vé’i bién phirc. Y

turfmg, ducyc sir dung 6* qué nira chu0 ng néy, 121 lién két hém

phirc bit kjr véi m f>t luu chéit 137 tuéng chéy trén mitt phng

chi tifft 6 muc 11.3). Nhd véo 3? tuéng néy, mét s6 khng

dinh co bén trong 13? thuyét hém phirc tré nén hién nhién.

Muc du tién vé s6 phfxc déi héi mét it kién th1 1 c cobén.

Phn ccn lai ca chuong cé thé tiép cétn duqc vfri bit ctr ai

di nfim duqc khéi niém tich phén theo duimg. Célc khéi

niém vé toén tit div vél toén tfx curl ducyc giéi thich 6 mirc

di) ch\I1ng dutqc sir dung.

Sau déy 1:21 véi diém n61 bait.

1. Céng thfrc tich phén Cauchy, m<f)t két qué nén téng, duqc

chi ra nhu mét dang ca luzfit béo tofm kh6i luqng khéc.

Céng thirc phét biéu ring: néfu luu chfit khéng nén duoc

nélo C16 ducyc sinh ra tai mét diém bén trong vitng, mét



luryng tu 0ng duong phéi thoét ra khéi bién ca vng(mL_1c 11.5).

2. Dinh 137 sinh xa Riemann, mét trong s6 khng dinh quantrong nhfit cL 1a 137 thuyé t hém phtrc, duqc thé hién dufri

dang gin nhu hién nhién v( yim<f)tl2f1p luén vef1tl}?.Tr0ngsu6t mét thdi gian sau khi d hQc dinh 13? n€1y,v€1 cé thétrinh bily chtmg minh ca né theo ai dc’) yéu cu, téi vinkhéng thé th1_1 c su 13? giéi duqc tai sao dinh 13? lai ddng.Dién giéi vzfit 1y ( 7 muc 11.7 lém cho dinh I3? tré nén réitdéng tin vépné cé thé phién dich thénh mcfat chtrng

minhchét che.‘

3. Céi réit deing lu u tém lé céng thirc n61 tiéng1+1/22+ /32+~~-=rc2/6ci1aEulercéthé phé1tbié”u

du c ri dang: d6i véri déng chéy trén mat phng ca métluu ch€it khéng nén duqc véi nguén vé giéng hilt, kh6iluqng sinh ra tai ngu6n dng bng véi kh6i lucyng héipthu tai giéng hilt (muc 11.8).

11.2 S6 phfrc da duqc phélt minh nhu thé nélo

On Iai tinh nhén. Lin déiu duoc day ring (—1)-(—1)= 1, téiv21 véi ngufri ban hoc cém théfy b6i r6i vél nghi ring: “Néuém léi xéiu, 151m thé nélo nhén hai “céi xu” l2_1i thélnh céit6t?” Rfit léu sau téi méi nhefin ra ring céu chuyén néy cé3? nghia hinh hqc. Mét s6 ém, duqc xem nhu mcfat véc totrén dufmg thing, hqp thélnh

mét géc Tc véri chiéu du 0ngc1’1atrL_1cx:A(—l)= Ir, (hinh 11.1); (161 vé i mét s6 duong géc

* Céc chi U61 cfla né cé thé duqc lim thify trong m(>t cu6n séch xut siic caNcvanlinna vé Paatero [NP].



néy 151 bng khéngzl 4(1) = O, hay, ta cng cc’) thé néi, béi s6

nguyén ca 21:.

’L

P»/.9'1)

=-< T >*-1 1

Hinh 11.1. L(i.i)= L(i)+ 4(1) = rc/2 +1:/2 = rc,dé1né1'2l%11n<f>ts6 am.

Quy tiic phép nhéln, duqc dién dz_1t mét czich hinh kh6i,

phét biéu: “ Trongphép nhén, czic géc céng duqc thém vzio,

trong khi czic d‘_O Idn duac nhzin lén.

Diéu néy hé hf) mét quy téc cé vé nhul:;1lf1ng duqc phét

biéu truéc dé. Thuc thé,

L((—l)-(—l)) = L(—~l)+ L(—1)= 7r+ 75 = 276,

sao cho (-1) - (-1) niim dqc theo chiéu duang tr1_1c x, tL'1'cl£1,

mét s6 duong.

Giéii thiéu s61'.Vé1y du 151 dinh nghia hqp 13? cila “s6” i nhu

15112 = i . i = -1? Quy téic phép nhén duqc phét biéu 6 trén

gqi ra céu tré 161: béi céc géc céng thém trong phép nhém, vé

bfri _4(— 1) = 7: , ta tréng chi)’ 4(1) = rr / 2 Diéu nély din ta dén

dinh nghia i nhu duqc chi ra trong hinh 11.1, don gién nhu:

151 diém (0, 1) trong mét phzlmgf Theo dé ta dé dinh nghia

__i__i_l-‘ Cng bién minh nhu vziy ta cé thé néi 1': (O, -1) . S6 d1 khéng ghi vzfxy duqc

biwi vi éc cém tém 117 c1 1achL'1ngtz1d6iv(1inhCrng ky hiéu 51m.

»



56 phirc don gién nh€-it, i. Mot s6 phL rc tong quét duoc dinhnghia lél mot diém (x, y) trong mefxt phng, duoc viét ra vi ljdo truyén th6ng, vi tinh tién lo i, vé theo cém quan chung,nhu Z = x + iy; phép nhén ca nhfrng s6 phirc duos dinhnghia theo quy tic phét biéu 6 trén: céc goo (hay céc dO i

so cong thém, v51 célc do déli (céc khoéng céch déh g6c toado) nhén lén. Chi tiét hon co thé duoc tim thziy trong bit kycu6n séch ni1o vé bién s6 phl1 C, chéng han cu6n [NP], [Sp].

11.3 Hélm s6 nhu dong chéy luu chit 13? tuongY tuérng don gién nhung khong quzi-hiéyn-nhién sau déy

tao thénh mot lrong céc cu n61 gira bién phL rc vél vét 1y;

Xem mot hzim sé f(z) nhumét tnrdng véc to trong métphzing, bng céch gain cho

timg diémZ, véc

to R5,

phcIién hop’ cdaf(Z) .

Tz_1i sao sfr dung mot phlic lién hop? L3? do lé trufmg véc

to J7 co tinh chiit démg luu tém sau:

Né’u_/(Z) lei mot heim khé vi V01 mot biéh phc z, khi doIién hop ca no R5 , Xem nhumét trudng véc to, cé suittiéu tén (div) béngkhéng vé vén t0 cx0éy (curl) bzingkhéng(duos djnh nghla édoan tiéb theo).

Vén tdcxoéy (tmdnghop hai-chiéu). Vefm t6c xoéy ca mottruong véc to V = (P(X» Y), Q(X, y)) tai mot diém z co thé

duoc dinh nghia nhu sau. Turéng tuong dénh déiu luu chiitbéng hai déiu ggch tr1_rc giao chéo nhau tai diém Z. Khi do

* Nguyén do cho viéc six d1_xngn1étgi2’1triliénhqp duoc giéi thich ngfin gon.

** Suéit tiéu tén duoc djnh nghia or muc 7.3.



vein t6c xoéy V(z) 13 tfing ca célc vzfin t6c géc cla hai du

gach néy khi chilng bi cu6n di doc theo déng chéy V. Theo

dé vzfin t6c xoéy 151 (hai lain) vein téc géc trung binh cla luu

chittai m(f>t diém. D5 dng nhéln thy vein t6c géc ca du

gach nfilm ngang bng 83% (diéu nily lé hoéln toém hién nhién,

béi dao hém néy do ludng “G6 léch , dé 121 su phu thuéc ca

vén t6c phucmg d(_)c Q theo x); mcfmt céch tuong tL_r, vzfm t6c

géc cila du gach thng dirng 151 _%f. Theo dé vain tfic xoziycY

8 HPV(X,y)=5%—gy--

Theo lém don gién thuzfn ngu, luru chét hai chiéu bait

kv chéy trén mét phéing vé'i vzfan t6c V(z) = tai z cc’) hai

tinhchéft sau: (i) khi mcfmt phn luu chéit tily Y bi cu6n di,

dién tich ca phn dé khéng thay d6i, vé (ii) “vim t6c géc”

ca luu chit lé biing khéng tai mqi diém. Luu chit nhu vzfly

duqc gcpi lél 137 tuéng.

Céi déng luu tém lé tit cé céc hém s6’ ta h<_)c trong trufmg

phfi thfmg vii trong giéi tich déu cé dién giéi dang luu chiit

n2‘1y Tinh khé vi téi nhiéu 3? nghia vzfit Iv hon 1:21 ngudi ta tufrng.

Visao mai vén trfcxoziy f(z) = div]7(z) = 0 ?SL_r triét tiéu cila

suiit tiéu tén v51 v2f1nt6c xoéy ca f(z_) thufmg duqc biét dé'n

nhu 151 hé phuong trinh Cauchy-Riemann vél céch chtrng

minh ca nécé thé

timthéiy duqc trong biit kjr giéo trinh

néo vé bién.” Thay vi mét chirng minh, dy 151 m(f>t giéi thich

* Véri mC>tngoz;1il(: hié'm hoi, nhu 151 y = .**Vi dL_1, cu6n [NP], cu6n [Sp]



hinh hc_>c mé cc’) thé phién dich thélnh chttng minh chét chévdi mét chL 1t c6 géng). Béi ta cé thé ddi g6c tQa d _“) tfri diémb:21 tk§/, thénén giéi quyét trudng hqp Z = 0151 d1 1.B6ifl€1 khévi, ta cé f 1)= cz + 5, trong dé £151 ki hiéu s6 hang bzflc caoca bié n 1 trc 121 8/z —+ Okhi z -—> 0. Th6 nén, khémg lémméit di tinh tfing quét néu ta gié dinh rngflé tuyén tinh:f z) = cz = az +1 bz, trong dé a vé b 1:31 s6 thuc. Diém c6t 161

lél chxing ti’) riing cé Z v51 E déu cé suit tiéu tén biing khéngvzi vén t6c xoéy bng khéng. Hinh 11.21é1m cho mqi viéc khér6 rémg ring déy qué thuc 151 bézi toén cn giéi quyét. Chnghan, div Z = O du Qc nhefln thy tit nhzfin dinh suthu nhé camét hinh vuéng tém dzf1tt2_1ig6ctQa df) theo phuongy bil laibng chinh su gian ra ca né theo phuongx.

Béi toén. Trong ddng chziy xoéy tucmg ng f = i/z hinh11.2), mpi phn tit Iuu chaff quay quanh gcfc tqa TO theodung trdn. Khi dd Izim sao vén t0 c xoéy, v6n thé’h1 _én vgint6 cg0 c1z?n cén ca 1u u cheft, Igzi co’ thé b.§ng khéng?

Tré ldi. Mét mi tén nhé tiép tuyén vfyi duimg trdn dL 1ng

lé xoay theo chiéu kim déng h6. Tuy nhién, khéng nén bf)qua viéc céc mi tén trL_rc giao xoay nguoc chiéu kim déng116 vi vein t6c giém khi ta ddi ra xa géc tQa dc). T §ng ca haivain t6c géc vzfin t6c xoéy) thL_rc ra lei bng khéng, nhu nitra tir nguyén 13? t6ng quét, hozflc nhu cé thé xzic minh bngtinh toén true tiép.





11.4 Y nghia vét 137 ca tich phén phl1’C

Tich phén Lf(Z)¢1z ca mcfat hém s6 phircfdgc theo métdufmg cong khép kin‘ C cé m(_‘)t dién giéi d<;:~p, ké't hqp haikhéi niém vélt 1)? trong mcf>t ki hiéu ngéinz

_].Cf(z)dz = Luu s6 C ]7+i Théngluqng C (11.1)

67 déy luu s6 cfla mét truiwng véc to trén mién C durocdinh nghia nhur tich phén ca thélnh phn tiép tuyéfn véthéng luqng du’(_rc dinh nghia nhu'

lé tich phén cla thénhphn phép tuyén hufmg ra ngoéli ca V:u dulLuu 6 C Vl=[_[CV- l‘d.\-, Théngluqng L. V=J'CV-Nds,

trong dé T vél N 151 céc véc to phép tuyén vél tiép tuyé'n donvi cixa C, v21 - ki hiéu

tich vé hué'ng.Sau déy l m(f)t chfrng minh ngn cho ding thl1’C (11.1).G01 f= u + iv, dz = dx + idy. B6 qua m(f>tvé1ibié'n (161 s6hcpc, ta cé:

f dz = (1/¢,—v) - (dx, dy> + i(u, — 1)) - (dy, — dx>

(nhu trén, - ki hiéu tich v6 huéng ca hai véc to), hay

fdz=}7-Tds+]7-Nds.

Ly tich phn din ra (11.1).

* Ta khéng dua ra diéu kién cu thé min C phéi thén. V61 yéu cfiu néy ta chi cnxem C nhun1()tdu(‘mg con kin bfmg phng khéng tu-cfit lé d.



Djnh 1)? Cauchy-Goursat. Cho défn déy ta chua zip dzfxt gié

thiét khé vi nélo cé trénf. Néu béy gicv gié slrfkhé vi, V =

sé tré thélnh mét trudng vecto khéng tiéu tan vz‘1 khéng xoévf

Khi dé ta ké t luzfm ring Luu s6 L. V = Thcng lucyng C V = 0

dinh Iv Green, muc 7.3), vé 11.1) suy ra ké t qué lé dinh 13?

Cauchy-Goursat:Néll flé hém giéi tich 6 trén vzi trong mién C, khi dd:

1Cf z)dz=0-

Nhu m f)t su minh hQa luu chéit ca dinh Iv, lu u s6 véx

théng lugmg ca bait ctr luu chéit néxo truyén di trong hinh

11.2 triét tiéu, mién sao chu tuyéh C khéng bao quanh diéln

ki dj diém tai déflé khéng khé tich, la‘: diém Z = O trong

b6n vi dL_1 gin nhéit).

11.5 Céng thfrc tich phén Cauchy théng qua

déng chéy luu chfit

Céng thirc tich phén Cauchy cho biét gié tri ca mét hém

s6 khé tich f tai diém béit kv Z0 bén trong mét duimg cong

khép kin C tinh theo céc gié tri ca trén C:

f zO)=;it;_[CZi —ZZldz. 11.2)_ O

Céng thirc ny khéng hoén toim hién nhién véi hu héft

ch_L 1ng ta. Phét biéu vét Iv tuang duong sau déy cé tinh truequan hon nhiéu.

_i_i__i_-* Din theo nhzfm xét trcng yéu 1 Lrang 150.



ZOO



cho theo lién hqp cfla ham lay tich phan. Ta hay thr hinh

dung ban chat cL'1a déng chay dé. Theo céng thtrc Taylor,

f(Z) = f(Z.O) + (Z — Z0 )g(Z), Va ham léiy tich phan tré thanh:

_f¥(_Zl: +g(Z):A_L._+B_L_+g(Z)'Z_Z0 Z—Z0 Z Z0 Z”‘Z0

trong dc’) A + iB = f(Z0) . Ta phat hién rang déng chay tuong

(mg ham 56 nay la mqt chéng chap ca nguén cap I / (z — Z0) ,

xoay nude i / (Z — Z0), va mcjt déng chay khéng nén duqc

@(z—)j. Sq két hqp duqc phac ra trong hinh 11.3.

Chi cc’) dai hrqng ngu6n cap gép phan vao gia tri théng

luqng, Z15/1, va cé dai luqng xoay gép phan vao gia tri luu

S6, -2153, nhu giai thich theo hinh 11.2. D0 RE} la khéng

quay va khfmg nén duqc khfip mién khao sat, né khéng gép

phan vao gia tri nao ca. Theo dé (11.3) chuyén thanh:

LZl_%')—dz = -27:12 +127:/1 = 27ri(/1 + 1'12) = 2m /(Z0).O

, ...

Dén day ta da hoan tat dién giai ca céng thirc tich phan

Cauchy.

»V11,

1st. z >NONG 1.1_\NI'l

\ '

Hinh 11.4. Dung nén mrfmt ham khé tich : L4 + £1) tir1nC>tphiu1b6 nhiét (ii)



11.6 Déng truyén nhiét V51 hélm giéi tichC6 m(_‘)t dién giéi vét Iv démg luu tém khéc ca m()th€1m

giéi tich, bén ce_1nh diéu téi dz“: néu 6 trén. Néu déi lém qucnvé i toén

tit gradient ban sé hiéu r6 muc n€1y h0 n.Phn thuc u ca hm giéi tich bait kv:

f(z) = w(x, y) + iv(x, y)

cé thé duqc vi nhu mét chi s6 nhiét dc) 6n dinh cfia mét céidia, nhu lé mét tm kim loz_1i méng, trong khi phéin 2 10 1) cc’)

thé duqc vi nhu théng luqng nhiét truyén qua duirng congn6i diém cho tru ( rc O vé i (x, y). Cu thé lé nhu sau.

Xem xét mét dia phéng méng dn nhiét khéng déng ké(hinh 11.4) vi dl_l nhu la‘: m(_3t té m d6ng, phng, méng. Mzfittrén vél melt dufyi cila dia duoc céch nhiét, vél nhiét chi cc’) thétruyén vélo hay truyén ra qua vélnh dia. Bing céch c6 dinhnhiét dc} vénh vé chd m<f)t théi gian dL 1 léu, ta thu duqc métphén b6 nhiét dcf) 6n dinh; gqi u(x, y) 151 nhiétd(f)t2_1i(x,y).Hinh vé cho thy céc dufrng nhiét df) khéng (161 (ding nhiét),doc theo dudng gén ciia “nhfrng phn tit truyén nhiét — haycu thé hon, mét dudng thing vuéng géc véi tirng dufyngding nhiét.

Ta gié dinh ring théng luqng nhiét 151 —Vu . Diéu néy cénghia 1:51 luqng nhiét truyén qua m(f)t CI0e_1n théng v6 ciing béds cc’) véc to phép tuyén N diing bng —Vu -Nds . Néi céchkhzic, ta dang chp nhzin d<f) din nhiét ca céi dia lé dinghu é ng vé cc’) dé lén lél 1.





tré nén hién nhién mét each true quan. Nhfmg chi tiét chat

ché bi bé qua 6 day cé thé duqc tim thay trong cu6n [NP].

Kié'n thuc co ban cho lzfip luan nay la khai niém gradient.

U I 0 gs . 11, 1 ~00 A

Hinh 11.5. Nliiét t1 uyén vao qua bién cu:-1 D va bi6n niiil trong nhfrng giéng

h1'1(('Y vim 16c Zn cal/giziy.

Dinh 13? anh xa Riemann.‘ GQI D Ia mién mé trong mat

phngphuc c'1‘u'ac gidihan béimét dudng congkin c'l'0n C,

va gqi Z0 I21 mét d‘1'é?m trong mién D. T5n tai mét ham

giéi tich f ma énh xa 1-l D lén mét hinh dia don vi, v01

f(Z-0) : 0 V3 f’(Z(>) > O '

Xéc lap m0 hinh vgitly. Xét mét cai dia truyén-nhiét déu D

nhu ducyc Inf) ta trong hinh 11.6. Ta gift vanh diatai nhiét

dé u = O , va gift lanh mét cai dia v6 cung nhé tai g6c tqa

dc) dén n61 m6i giay cc’) 27 calory truyén qua dudng cong

kin bat kjl bao quanh dia. Nhiét dé duqc coi la van 6n dinh

va khéng thay CI6i theo thfyi gian.

* Phién him niiy cua(iinl1lyli1y6l111on ph2'1tbic”u16ng quatnh€ft,cz’1ichi(iOihéi iinh don lién cfxa D (xcm [NP]). Anh xaflrong dinh1yl€1d<fJc nhz it, nhub6 aé Schwarz ngfun chi, nhung ér day ta chi quan tam su t6n tai cfia né.



Hé déingnhiét. Véi méi diém 2 trong mién D bay gid ta gan

cho hai chi s6: nhiét dé cua né u , va nhiét lucyng truyén qua

mcfat dudng cong tit A dén 2 (hinh 11.5), trong dé A la mint

diém cho truéc va c6 dinh.Nhiét lucyng 0(2) nay duqc xac

dinh théng qua (11.5). Tuy nhién, duirng cong A2 cf) thé

quay vai véng quanh géc toa (inf), va theo dé 0(2) duqc xac

dinh la chi tuan hoan Z75, béi m6i véng tang thém sé lay di

nhiét lucyng Zn. Ham da-tri 0(2) cc’) thé duqc xem nhu mét

dang cua bié'n s6 géc. Baygid, cai anh xa Riemann ma ta

mu6n chi don gién la:

eu(2)+iv(:)

Thuc thé,

1 f la don-tri bat chap su thuc rang 0 duqc xéc dinh dén

27:, béi 6”‘ = 1 . ‘

2. Véi 2 nam trén bién ciia D ta cé \f(z)| = com) =

3. f(0) = @“ * = 0.

Dé cf) duqc f'(O) > O ta chon diém A (hinh 11.5) cc’) quidao U = O huéng vao tam theo phuong vuéng géc véi truc X .

Céi th1'é'u char Ché. Mét vai “chi uér chat Ché da bi lo di;

trong dc’) quan trcpng nhat la su t6n tai ciia phan b6 nhiét drfi

u. Su t6n tai cua phan b6 u nay, duqc gqi la Ham 0’ Green

ci'1a mién, la tuong duong su t6n tai cua mét each giai cho

bai toan Dirichlet — mét bai toan duqc thao luéin trong hu

hét tat ca tai liéu vé phuong trinh vi phan riéng; vi du xem

cu6n [CH].



11.8 Tinh t6ng Euler béng déng 1u'u chitMuc tiéu ca téi trong muc néy 1:51 chi ra bite tranh ding

sau céng thirc Euler. Khéng cc’) chirng minh néo duqc trinh

bély; chL'1ng cé thé ducyc tim théiy trong phn lé'n giéo trinhvé bién phirc, vi du nhu cu6n [Sp].

Bing ceich thir nhirng helm s6 f(z) khzic nhau ta cé thékhéo sét céc trudng vzfan t6c thu duqc. Mét truimg veint6c nhu véy, tuo'ng [mg hém s6:

f(z) = (11.6)21

duqc chi ra trong hinh 11.6.

, é '7 14 .»», ~~ -

:.11‘:--,.:, Y “'\>-_~-=1 .'4 x. .- .,

.._»,. ,\,“,‘,..,.,.,..K,.~...\, 9 >,-A .. .,,,.H ' x J1 < ’,§' ' |

__.-.:z_\.§ :; =1é=1= :I*:’:»=.* mm > 1*+==*¢~~l»»1;1 ..=~.»q-'.~._'>_;- -_»,A.,1.-1 :-=.,..;.~1 ;=;‘ ‘ \:\;I‘\,lY“- ~|) $$$':; e/;.pmy-1¥i£;'..:'.~ .;.»‘?'1§', .;r £1 ~{ ‘.:'-‘1'W'I-, ,1..‘ ‘ :'|I.'..‘-I -1. - ‘:’='~ Y? : -,-. ¢§.q,,.:».1.\.,1'_l-E: ;;-.,>-,;1;~-.;:. ,-»-

,7, Iv -~ -' ,.»....-=\_ _, _,._1 . _¢ 1.5, ..__ ;,_,¢‘, ., ‘_ .,_ __U,mH,‘,,,__w_e \@;-=~;-w<>“?;»f.§='<@-,1,w1Z§.s~;s’= ‘ .1 ;-.> :1';.r3I_-@‘1‘?. 3 51‘:4-

A Jr ;§.f‘.~,'.,‘;;=;:.> -,f1'--»,; »w-'~:-§- =~:¢7“ <>T~'e-f*'t~~\<,--¢~1 1+: gm wk :.. V1 @<_:-¢ :,~.:;= r=W.- »,~,- é,.. I'.1'1f.¢.3',;ia<.1.»..¢i:uit:1?11-:=%‘=s¢w§>:i;<w.;¢@£1.-41 '4 V ~‘~?- ‘M '7 “Y 1:‘ =‘='¢1w »11I- “£:»?11;'i-%€F'E¥,‘? ?i'»W:-'rl§'W--£=‘

I 1~::v ~I.n> '\‘ -Iii?-‘ ‘-H ‘-L=v “'1' i?}‘*1~§i*l§f'i'§§i3‘~» '=-l3;>5,~V : I--J57 '=1~I2' »?{§§=11}}‘~J,

. .Jif-»='12 3f'.v’%'i“§3‘1E‘ 4. ,Z§~ );7.»;§<;-7'-$1.?* ?f.‘:2Y'~'1“i‘i’~ ‘=,;=». »~41£',~‘.\;\:¢@:~:'1 em ....:. .=.. ~-'r '1 '.' ; ' -'*1~_- , \= . ~

. 1-1'33’:-‘:-$1..-{:::9.‘=‘}i2.4;: 1.7 1:4» .~:=»w=, .» 1 .1», ‘?':~.¢»~§~-*-4 ‘z M. P51’44» n -‘e ‘I. 'w~'-_*-.<;y.»: ;',. '1;-{'J:»'1.‘\‘:.111'.»-»‘ ’.'¢,¢£-‘...;‘; :.~'=~' '2‘ .- 1:‘ ¢g_5.‘1' ,-.‘ ,‘ ,-M.’ .‘/_I.W- G1 ;_ };-1:1,: ‘.: . ~- \ . ‘

-»<‘<:};'»>.§_K~u -.>:,;. 1; ._I,i._ ' lf;:.',.l_§ -'_°.rngu_ njhu , _\ #

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:~-;1»:|wI.

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; J ~z }

“' v'_.‘_ ~' \

Hinh 11.6. Nhiét luqng dinh nghia theo (11.6). M5i diém s6 nguyén n tao ra Hi,don vi lu'u chit m5i giéy. G60 tQa d6 hiip thL_1 712 / 3 don vi hru chfit méi giéy.

Tz_1i g6c tqa dim, lu'u chit duqc dy ra theo phucmg x véhip thL_1 theo phuong y .' Mcjt tinh toén (sir dung chu5i

* Vim t6c tié'n téi v6 cuc tai lén can g6c tqa d(f>. M6 hinh déng duqc cho thiy6 dfxy duqc gqi 13 ti: cuc.





F l-il,.| LITJC-

|<|EN r|-|Ur: v/§. r LY BAN THIET

Phu lL_lC ngéin néy bao g6m nhfmg bf) C16 nghé vzfat 13? ducyc

sir dung xuyén su6t cu6n seich.

A.1 L6 X0

B6 CI6 nghé cho nhfrng thi nghiém gié tufmg ca chljmgta bao g6m hai l02_1i 16 xo: IO X0 tuyf-in tinh vé 16 X0 cc’) lL_rc

céng hing s6.

L0 X0 dén I151’ chét. Mét IO xo dén h6i chzfit lél lb xo cé luccéng ti lé trL_1 c tié p vé i C16 déli ca né: kéo céng mét lb xo nhuvéy déh mét dé am x am héi m()t we kx. (J déy k 151 m()thing s6 (duoc goi 121 hng s6 Hooke), déc trung cho m6i lc‘)

x0 cu thé. Gizi tri k nhé nghia 121 16 X0 léng, trong khi k lfmnghia 151 16 X0 cL 1 ng. Lu u 3? ring dtf) déi nghi ca l02_1i 16 x0

nély bng khéng.

Tn NANG CUA MOT LO X0 DAN H61cHAT. Theo dinh nghia,thé néng cla m()t IO xo 151 céng cn thiét dé kéo gién 10 xo

lit <16 deli nghi ((1 déy 151 biing khéng) C1‘é n dc) déi x. Céngnély cc’) thé tinh duqc bng (luc kéo trung binh do tay téi télc



déng) ><(kho2 1ng céch x ma} tay téi di chuyén). Luc kéo trung

binh ducyc cho theo l(() + /(X) = L/Q-,v€1theo dé thé néng lé2 2

1

P(x = —kx2.

) 2

Thay vi vzfly, cf) thé tinh céng néy nhu tich phn ca luc

theo khoéng céch: P(x) = Ll’-(/<x)ds = —£-kxz .

()

Hinh A.1. Hai m6 hinh thL_rc t6 cL 1a mét lb xo luc céng hiing s6.

Ld X0 c6 Igrc céng being s6. LO x0 cé luc céng khéng phL_1

thuéc vélo dé giéin ciia né duqc gqi le‘1 10 x0 cé 1z_1c cénghngsé’. Céi 16 xo la lilng nély cé thé Ciuqc lém ttr m<f)t piston truqtkhéng ma sét trong mét 6ng xy lanh bi bit kin m(f)t déu, v< 7i

chén khéng bén trong, nhu cho thy trong hinh A.1. M(_3t

mf) hinh thuc té khéc, duqc chi ra trong hinh A.1, bao g6m

qué néng C vé i céi réng r(_)c.

THE NANG CUA MOT LO xo LUC GANG HANG s6. Theo dinhnghia, thé néng 151 céng cn cé dé kéo gién 10 x0 tit m(f)t dé deli

tham chiéu, mél ta chon 151 biing khéng, dén mét dé déi cho

truéc. Céngnéxy

béng luckéo C nhén cho khoéng céch

x:E = cx.

piston CC

chain khéng Q

<~— f > C



A.2 Méng X51 phéng

Mélng X51 phéng 1:21 m6 phéng hai chiéu ca lc‘) xo cc’) luc céng

hiing s6. Mét mémg xé phéng nhu léa tuéng cla mét bong

béng xél phéng cé mét tinh chéit ky la: trong thé giéi 13? tumghéa ca chilng ta, sirc céng bf} mzit ca bong béng X21 phbngkhéng thay d6i khi ta 151m gién ra hay co lai céi méng 13?

tuimg. Nhu khi ta th6i ph6ng m )t béng xix phéng, sL 1 c cng

bé mélt ca né khéng dfii.

Sirc céng bé mét, theo dinh nghia, lei 1L_1’C cn cc’) dé gifrnguyén dang m f)t khe hf’) cc’) dé déli d0 n vi. Néu ta hinh dungviéc khéu khe hé, luc lém giir nguyén dang ny lél t6ng sfrc

céng cila tit cé déy chi trong dufmg khé1u.Vc ri méng xii phbng,

src céng bé mét 151 ding hu )*ng. Diéu néy :6 nghia ring sL_t

dinh hufmg ca khe hf) khéng énh hufmg gi dé n sire céngbé mét. Trong khi dé, sirc céng di huéng xuzit hién 6 héiu hét

céc bé mét nhu da, méng nhua cao su, véch cfla ing nén,

bénh xe, vél céc veil liéu phil.Thé- néng ca mét mzing xii phdng ti lé thufan véi dién

tich méng A :

E=O A, A.1)

trong C16 6121 sire céng bé meflt. M61 lién hé néy khién méng

xii phéng tré nén hru dung trong viéc giéi quyét nhfmg béi

toén t6i thiéu héa dién tich. D65 minh chirng m6i lién hé

A.1), xét céi khung trong hinh A.2; thanh thing trucyt doc

theo khung, kéo méng xii phéng vé phia sau. Néu L 151 dim

dili phn ca thanh thing tiffp xc vé i méng, 1L_l‘C cn cc’) dé

di chuyén né 1:51 F = 0 L.



i,_=‘A+=~LD,ii L FIUL

D

Ilinh A.2. Th6 nimg cfla min méng x51 phéng véri sfrc cng bé min khéng déi0']? 0A.

(Mét céch tucmgdunng, cung cé thé nghi vé mét 6ng xylanh viri mét piston chuyén déng vé hai huéng, vé'i chén

khéng bén trong vé véi ép l1_rc 0' bén ngoéli.) Theo dinh nghia,

néng lucyng ca hé being vfri céng céin cé dé kéo thanh dc’) ttrvi tri tham chiéu, mél ta chqn 1:21 vi tri dién tich bng khéng.D5 kéo thanh (hay piston) mcfat khoéng D sé t6n céng

E = 0L . D = GA,

minh chfrng cho nhzfan dinh./ ~

Bi toén. Céc éng dén bj déng dei Iuén Iuén mil gay doc

thén. Vi sao?

Léri giéi. Ta sé thziy sire céng dcpc thén trong xylanh bi nénlérn géip hai l:§1n s1i:c cng theo phurong dudng kinh. Ta héyso sélnh céc lL_rc cn cf) dé gift nguyén dang m(f)t vé't nirt dpcthn so vfyi m<f)t vét nL'1't ngang (hinh A.3).

Gqi p lé zip lL_rc bén trong 6ng; ta gié sfr né lél ding huéng.(Thaflt thél mé néi, ta thuc su dang giéi thich tz_1i sao mét 6ngdin véri luu chit bi nén, chfr khéng phéi 6ng bi déng béng,

sé bi nfrt géiy dqc thn.) Néu ta céit 6ng din dc_>c theo dudng





A.3 Khi nén

D5 phL_1c vt_1 cufin séch néiy ta chi xem xét mét m6 hinh

dorn gién cia khi cé zip suzftp khéng d‘51 ngay cé khi binh

chtta thayd‘51 k1 ch thudcz p = constant .Cé nghia déyléi m f>t

chit khi gié tuéng, mét thtr tuong tu nhu: miing xii phéng,

ngoai trtr léi stc céng 0 cé gié tri ém, nghich d6i véi zip l1_1 c:

p = —o ,o < O .

Thénzing ca kh1’nén.Xem xét mcf>t viing phng D bom

dy m f)t cht khi hai-chiéu. Nhéc lai ring ta gié sir ép suéit

khéng 161 khi vng phng thay d6i dién tich. Thfi néng ciia

hé néiy lé ~ pA . Chitng minh nhén dinh nzly chi 1:51 lzfap lai

nguyén vén cia lzfzp luéin tuong {mg cho sitc cng bé melt.

Tu:0ng tL_r nhu thé, thé néng cla mét viing ba chiéu cé

thé tich V, bom déy khi tai éip l1_rc p, 151 »p V.

A.4 Chain khéng

Tuéng tuqng mcfit vting trén mitt phing, véi chin khéng

bén trong vii khi nén r ép lL_rc p bén ngoéii. Cn mét céng

pA dé tao thénh mcf>t céi bong béng chn khéng nhu véy,

trong dc’) A 151 dién tich ca vilng. Thuc véy, xem xét mcfat

piston cf) chiéu déii L trong xi-lanh, nhu trong hinh A.2.

Luc F = pL léi cn thié t dé di chuyén piston; dé di chuyén

piston niiy mét khoéng D t6n céng FD = pLD = pA. Diéu

néy chirng té ring déng néng cia bong béng 1:21:

E = pA,

it ra cho mét bong béng hinh chfr nh2_”1t. Bait ky hinh dang néo



l‘l‘5“7dé“ ‘*3 U15 duos xéip xi 6 céc mite dc) chinh xéc my Y

|’5 ¥i h‘~ 1lhiI1h chfr nh€_1tnh('),v2‘1 két qué 6 trén Vin dng.

M91 118 b(3ng hai-chiéu chiu ép luc xung quanh biing

I’W'<Y'\i%<i\1'<Y 8vé ITIZII tozin hqc véi mét mzing X51 phbng vé'i

s(| <1<tz“111gl)é mzjt 0- Z p,WI’ ‘ 5 y ép 'dung cho khéng gian ba chiéu v51 cho

W ) “: kél qua; thé néng ca mcfat bong béng chén khéng

“ ‘M h Vchiu élp luc xung quanh béng p, dng bng

111 “‘: ‘‘hm/t dé t2_10 thénh mét bong béng nhuvzf1y,vé1 né

Ii I1; thu;_m v(')'i [115 tich;

E=pV ME

/\.[_) Moment quay

”i'1h118'h73-Xem xét mcf>t1\_rc F téc dung véao diémA , v51

0'5' <h(§lT1¢h(.>ntru(yc, gqi lén diém true. Moment quayca luc

I‘ ‘luimh mic O 151 tich véct0T = L >< F, trong dé L = 53

'5' Vi ‘Ti “mug (i6i ci'1aA tfvi O, ggi lél cénh tay ddn. Moment

‘l “.VC5118 d“<_>'c nhéc dén nhu 151 moment cla luc F quanh

diélntruc O.

lhiu1hph§mliun x()21y\“‘$\ I,

>\____X L @:» “V

Hf

\A

L thémh phnkhong téc dung

1 lil1l1/\-’1- D5 16'“ Wmmomcntquay(1-‘sma)1,= I-‘(I,sinrx)= “F >< l.||. I-Iuéng cim moment

‘l\ ‘Y15 Chi Ya kmii m(1tgié'y vé phia ngudi dqc. Dixy 15: huéng chuyén dcfmng ctxa

“mi 69 ‘£99 thco bu luong vdi duimg rcn hufmg-bim-lay-phéi.



Dinh nghia nély vira khit hoén toém v(7i cém nhém cua ta

vé “cudng (if) xoay.’ Hinh dung ta dang c6 xoay mcf)t dai 60

bi k(;:t vé i céi khéa vim. Chi thénh phn cua F truc giad véi

tay cm L 151 cé ich. DC) lén cila thénh phn néy lét Fsin 06.

Khéng chi luc, tuy nhién, mil cén dtf) déli L cfmg énh huéng

dé n cuéng dc) cua viéc xoay. Trong thurc t6, céi thuc su cé y

nghia cho viéc lélm dai 6c hfit ket lét tich s6 (F sin 0¢)L . Diéu

néy giéi thich cho tinh hqp ly ca dinh nghia vé dé ltfm cua

moment quay biing T = ||L X F|| : L(F sin 04). Nhung cng

cé m()t truc tu nhién — céi mét bu~l00ng cé xiét dai 6c trén

né, vuéng géc véi cé L vé F. Cng cé m(f)t phuong tu nhién

d(_)c theo truc néy: phu 0 ng mé dai 6c sé di chuyén néu né

hét ket; dudng ren trén bu-loong dutyc coi nhu hu(yng-b€1n-

tay-phéi theo quy uéc théng thudng.

A.6 Trang théi cn bng ca mét vaflt réin

Trong pham vi théo luzfm cua chung ta, m(f>t v:§1t riin 151

mét tép hqp cua mtjt s6 hfru h2_1n cua nhfrng chéit diém mk

cé khoéng céch c6 dinh v(7i nhau.Ap dung dinh luét 1 ca Newton cho mét vaftt réin din

dén nhén dinh sau:

Dinh ly 1. Néu mét vzfat étrong trang théi cén bi“1ng,t6ngt€it

cé luc vé t6ng tfit cé moment quay (quanh mét truc quay

néo dé) tétc déng lén vzfit phéli biing khéng.

Ta trzinh thuét ngfr “luc xnay ht /i vi diéu cf) y nghizl khfmg phili lit ltrc mix

dung hon lé tich s6 cua luc via cénh my dim. Thzfml chi mét luc bé ti clingcc’) thé xoay mét dai 6c xié t chill véi cénh lay dim d1 1l( m.



Neu tong luc la 2Fk = 0 ta co mé chon truc quay nao

cung duoc boi vi khi do tdng moment quay khong co phuthuoc vao sur lua chon truc quay. Thuc the’, goi rk la véc tovi tri cua chat diém toi g6c toa do, va a la véc to vi tri cua

truc quay. Khi do tdng moment quay quanh a cng y nhutong moment quay quanh g6c toa do:

TA:2Fkx rk—a)=2Fkxrk— 2Fk)Xa

=2FkXfk =T0,

nhu da khang dinh. Nhan xét don gién sau day da duqc sir

dung trong vai bai toan tim cuc tiéu trong hinh hoc.

B6 dé vé ba luc dong quy. Né u vat duoi énh huong ca ba

lu c la trong trang thai can bang, khi do cac duong bién dién

cua nhfrng luc nay la dong quy nghia la, cac duong bieudien nay chay qua cung mot diém).

Chung minh. Tdng moment quay quanh diém truc bat ky

la bang khong, din theo nhan xét 6 trén. Ta hay chon giao

di§m P ca cac duong biéu dién cua F] va F2 hinh A.5)

lam truc quay. van lua chon nay, cac moment quay cila Flva F2 quanh Pbang khong. Bod tdng tat ca moment quay

bang khong, moment quay cua F3 quanh Pcng bang khong.

Nhung diéu nay co nghia la duong biéu dién ca F3 di ngang

qua P, chung to rang ba duong biéu dién la dong quy.

* Io lh my |;| lruorng hop rang hai duong thing song song, khi do P ovot \||\|1 < |u|||| _ minh van dung néu ta hiéu chinh ngén tu cua ta, bang cach.|| |\ ,1---l».|~|\mngthz§ng song song dong quy tai vo cung).





Dan theo Newton, m r = F la hcyp luc tac dung lén chat

diém. Vébén phéi r >< F = T la moment quay cua luc dé lén

chéit diém quanh O. Phuong trinh A.3) khi dé tn’) thanh:

dz

la mét m6 phéng dang quay cua dinh luat 2 cua Newtonp = F, trong dé p = mv la déng luqng truyén thang. dt

D6i vé i m f)t tap hqp chat diém, déng lu’ _> ng géc duqc dinhnghia la téng cua déng luong géc cua cac phan céiu thanh.

B510 toan dtfmg luqng géc. Né u t6ng tat ca moment quay bén

ngoai tac dung lén hé chat diém bat ky bang khéng, khi dé

dcfmg luqng géc cua hé la khéng dfii.Day la hé qua cua A.4) kt”-it hQ p dinh luat 3 Newton.

A.8 Tam kh6iTam kh6i cua m f>t vat ran duqc dinh nghla la diém ma

1 trén dc’) vat 7 trang thai can bang theo bat ky phuong nao

trong tu0 ng quan vdi m<f)t trudng trtpng luc khfmg C161. Nhu

da dé cap truréc, ta xem vat ran nhu tap hqp chat diém v 7i

khoang each qua lai c6 dinh. Lap luén sau day cé thé hau

nhu giir nguyén van cho phan b6 kh6i luqng lién tuc ngoai

trut téng Z a A, m k phai duct: thay théf bang tich phan Ia x) dm .

Dinh 192. Tam kh6i F cua m<f)t hé chat diém mk cé véc to vi

tri rk duqc cho theo gia tri trung binh trong s6 ca nhfrngvi tri nay:

m.F:;_ 7l‘r_*= zykrk ,tr0ngdé m= Emk va ,ut,\. =—W—:—. A.5)

m



Nho rang /Jk la ti lé cua kh6i luong mk so vol kh6i luong

tong, nén thuc chat trung binh nay la tinh theo kh6i lucyng

ca moi di€§m_ ‘

Chungminh. Theo dinh nghia cua diém can bang T, tong

moment quay cua trong luc tac dong lén moi chat diém [dé]

xoay quanh diém nay la bang khong:

’ Z rk —F)>< mkg)=O,

trong do g la véc to thé-2 hién nh huong cua gia t6c trongtruong. Phurong trinh nay phéi co véc to g bat ky, phén anh

su: kién rang vat phai can bang theo phuong bat ky; thay vi

xoay vat nguqc lai, ta co thé hinh dung viéc Ciao chiéu cua

trong luc. Chinh la, ta chon hé toa do gin voi chat diém.

Bat g lam nhan tit chung trong phuong trinh sau cung, tathu duocz

Emkrk —m?)><g= 0 , trong do m= Zlk.

B61 g lavéc totuyy, ta at han co Emkrk — m? = 0 , diéu

dem lai cong thirc A.5).

A.9 Moment quan tinh-r

O day ta chi théo luém chi truong hop hai-chiéu cua vzflt

phng quay trén mat phang cua no. Moment quén tinh lamot don vi do cua quan tinh quay cflng nhu kh6i luong la

don vi do cua quén tinh tinh tién. Voi mot chit diém m

ném each mot khoang r dén diém O moment quan tinh



quanh O duoc dinh nghia la mrz voi ly do duoc giéi thichngéin gon sau. Voi mot tap hop nhfrng chat diém, momentquan tinh quanh O duoc dinh nghia la tong (hay tich phan

néu phan b6 kh6i lu:o'ng la lién tuc) cua moment quan tinhcua cac phan cau thanh. Dinh nghia 6 trén phat duqc giéithich dé co ma; sir dung. Ta bat dau vo'i mot chat diém m

nam each mot khoang I” tinh tit diém O. Nghi vé m nhuduoc n61 bang mot thanh khong trong luo'ng co do dai I

dé'n tam, ma quanh do no co the quay. Ta hay tac dung motluc F vao diém nay, theo phuong vuong goc vfri thanh, dé

tao ra gia t6c goo quanh O. Ta mu6n dinh luong quan tinhquay cua chat diém trén thanh.

Quan tinh tinh tién duos luong dinh theo kh6i luqng

111:5 , ti so cua luc cho gia t6c. Duoc goi y béi su tuongdong nay, ta dinh nghia moment quan tinh I nhu la ti lé

cua “luc quay, ” do la, moment quay, cho gia t6c goc:

4° moment quay T rFIZ .Z—:Z?-gia toe goo 6 9

Sau khi thé' F = ma = mr§ vao phuong trinh sau cung,s6 hang é triét tiéu va ta thu duoc:

I = mrz.



F

TTL

7.

O 6

I-IinhA.6.Momcntuéntinhcitachéitdiélnzmoment ua / iat6c )c=m,Z.

1q Y 5-» g

Diéu nély cho ta thy tai sao dinh nghia trén c ) ich. D5 détng

khéiqué1tch0tru ‘mg hop n chéit diém: gQi rk 1:21 khoéng céch

tit diém O dén chéit diém thitk mk ,k = 1, .... ..,n . Moment quén

tinh quanh diém O ca hé cht diém duqc dinh nghia 151:

I=2mkri.

Dinh 1}? 3. dinh 13? true song song) Goi C 151 tém kh6icC1a hé

cht diém mk, via goi O 151 diém tixy dinh. Khi dc’:

10 = 1C = mlOC|2,

trong dé IC via I0 lét céc moment quén tinh quanh céc diém

C v51 O. Cu thé, IO 2 IC .Nghia lét, moment quén tinh xung

quanh tém kh6i 151 nh6 nht.

Chfmg minh. G01 rk 151 véc to [vi tri] tit O dén cht diém mk.

Goic = 0Cl2‘1 véc to tix O dé n tém kh6i C; ta cé c = 2/,L,_,l‘k.

Lc néy:



IO = zmkrf = Zmk(rk —c+c)2

= Z(r11k (rk —c)2 +2mk (rk ——c)~c+mkc2).

Tdng cua s6 hang 6 gifra bi triét tiéu theo dinh nghia cuaC, con lai hai so hang If va m|OC|2.

A.1O Cuong do dong

Xét mot dong dién, tuc la dong céc electron truyén quamot day din. Chon tié t dién bat ky ngang phuong truyéncua day din. Xét luong dién tich 61(1) bang qua tiét dién naytu luc ban du cho dé n thoi diém t. Khi do:

dq1=—= rt q()

cho ta van t6c tuc thoi la s6 dién tich chuyén qua tiét diéntrong moi giay. Van t6c nay duos goi la dong, hay cuong dodong dién. Dong la nhu nhau cho moi tiét dién ngang cuaday din, boi (i) s6 electron gifra hai tié t dién (:6 dinh la xa p

xi bang s6 khong ddi nhfrng ion trong kim loai dé duy tridién tich tong bang khong cua day din, vii (ii) cac electronkhong thoat ra khoi lop vé cua day din.

Dong dién la khéi niém mo phong chinh xac thong luqngcua nuoc trong 6ng dan. Thong luong nay co the duoc dobang s6 gallon

moigiay,

cung nhu dong dién duoc do bangs6 coulomb (don vi dién tich) moi giéy.



A.11 Dién ap

Khao sat mét trudng t1nh dién duqc tao ra béi mét haynhiéu dién tich. C6 dinh diém mfic O trong khéng gian, va

gcpi A la diém khac bat kv. Dinh nghia dién ap V(A) tai Ala thé nang, so véi O, cila dién tich dcm vi tai A. Néi cach

khac, V(A) duqc dinh nghia la céng can cc’) C15 mang diéntich don vi tit Odéfn A:

A

V(A)=—IE-Tds_O

C) day E la luc tinh dién tac dung lén m(f>t don vi diéntich va T la véc to chi phucmg cila quang dudng‘ OA. Ghinhd rang dfiu trir O day phan énh sL_r kién ta phai tac dungmét luc bil E dé di chuyén dién tich nguqc lai tac dcfmg cila

trufmg tinh dién.Lay gradient ca hai vé phu0 ng trinh sau cimg, ta cé luc

E tac dung lén mcjt dién tich don vi nhu gradient ca diénép V:

E=—~VV.

Cng cc’) thé coi m6i quan hé nay nhu la dinh nghia (ngam

hiéu) cla V, tu0 ng duorng dinh nghia ta dua ra 6 trén. Dinhnghia nhu vay sé gon, nhung kém hién nhién h0n. Luu 37

* Tich phim nay khéng phu thuéc vao sir lua chgn quang duimg tir OdénA.

Si; déc lap nay suy ra ti: dinh lual bao toan nang luqng. Thirc vefiy, néu tichphan dqc theo hai quang duémg khac nhau cf) chung diém Clau va diém cu6ila khac nhau, tich phan cho ca mét vimg cé duqc bang each chap hai quangdudng sé la khac kh6ng_ Nghia la khi (10 ta sf: 06 nufn trufmg lhuc hi¢n céngkhac khéng Lrong viéc di chuyén mét dién tich doc thco mét dumg kin,trz 1i

nguqc vé i dinh luat bao toan nang luqng.





A.13 Dién U6’ V51 dinh lueflt Ohm

Lai xét mcf>t déng “in dinh truyén qua doan AB ca déy dn.

Déy din khéng phéi 151 mcf)t vétt din 137 tuéng — cétc electron

va v€10 cétc ion trén dudng di chuyén, méit néng lucyng khi vacham; chL 1ng 15y lai nng luqng tit luc htit ca dién tru ‘mg

téc dung dQc theo déy din. Diéu nay gi6ng nhu czit roi qua

mét déiy nhrng luéri séng niim ngang. Céc hat dém sm véo

méit lufri, chefim lgi, r0*i qua, ting t6c nhd ve‘10 trqng luc, Va

véo lu c ri séng kéf, v51 cfr véty tié p tL_1c.D0 dé cng khéng cé gidéng ngac nhién néu cho riing khi tr _)ng lL_rc gia ting, thénglucyng ca cét sé téng theo. Vfyi déng dién cng tuong tu.

Dién ép ta tzic dung céxng cao, déng I céng manh lén; thzjt

ra, thuc nghiém cho thy ring quan hé néy 1:21 tuyén tinh.

Dy lé dinhluzf1tOhm:‘V7 = R = constant . A.6)

Hé s6 R duqc gcpi 151 gié tri dién trb. Thuélt ngft n€1y lé

héa hqp véi cém nhzfm chung: mét giai trj dién tré lé n biéuthi ring cén m f>t dién zip ldn d<-“:7 zip déng nhu c. D§n theo

phuong trinh A.6), R lé dién zip cn cé dé sinh ra mét don

vi cuémg dtf) déng.

* Dinh luét niiy 151 chi xéip xi dfmg, nhung d1 1 t6t chinh xéc cho hz‘1uhC- tvé1t

d5n t2_1inhi< ;td } phfmg. Tu nhién khéngphili lftc niao cng the” hién nghiémngét djnh luitt niiy.



A.14 Dién tré song song

Gié tri dién tr6 R cla hai trfr khéng RI V51 R2 miic song

song, nhu cho thy trong hinh A.7 l€1 bao nhiéu? Céu tré l(‘)’i

rfit don gién:1 1 1-—:——-+---‘hayR R1 R2 R1+R2

Diéu nély hoéln toén hién nhién: thL_rc véy, khi mic céc

dién tré song song ta téng cuimg khé néng din dién bngcéch tao cho dbng nhiéu dufmg hon dé di chuyén. CéngthL tc phélt biéu ring, that ra, dé dién dén - nghich (L310 cagié tri dién trfr — téng. Sau déy 1:31 chimg minh.

11

I

12<<1 1

Hinh A.7.V( 1i trudng hqp mic song song, cufmg dc) dbng bi chia gifra hai diéntrb, trong khi dién ép nhu nhau. V61 trufmg hqp mziic n6i tiép, dcng 12‘ chung,trong khi dién ép t6ng céng bi chia giixa hai dién trb.

Diéu du tién nhefm thy 151 curérng dc“) déng bi chia nhé,din theo dinh luzflt Kirchhoff:

1 = 11+ 12. (A.7)



Cung vzfiy, hiéu dién thé' Vhai du cé hai dién tré r0 réngI51 nhu nhau, val dinh luét Ohm cho ta:

1=v/R,1,=v/R,,12=v/R2.

Thé déng sau cilng vélo (A.7) chimg minh duqc céng thfrcdién tn ) song song.

Gié tri dién tré ca n 2 2 dién tré song song RI , ..... .., Rn

duqc cho theo quy tic cng nhu' trén: : R; + Rl.| ,.

A.15 Dién U6 I161 tiépKhi hai dién trfr két n61 thélnh héng (hinh A.7), gié tri dién

tn’) ca chimg céng thém:

R = R, + R2. (A.8)

Thuc vefly, hiéu dién thé hai du mach ké't hqp lél tfingcila hiéu dién thé giua méi thiét bi dién tré:

V = \/1 + V2. (A.9)

Béy gid déng qua cé hai thié't bi dién tré 151 nhu nhau theodinh luét Kirchhoff. Dinh luzfxt Ohm cho:

V=IR, v,=1R,,v2=1R2,

v2‘1 thay vélo (A.9), se cc’) két qué 151 (A.8).

A.16 Céng hao phi trong mét dién tréCudng d(f> déng I chuyén qua mcfnt dién tré géy tht thoét

néng luqng trong dién trfr, 6 dang nhiét. Céng suit hao phi





g: C = constant. A.10)

He s6 C duoc goi lei dién dung. No co thé duoc muongtuong

nhu121

luong dién tich mér tu dién co the héip thutrong khi ting dién zip ca no lén 1; tl1uzf1tngfr“dién dung”vi vély duoc giéi nghia.

Lop c2 1ch dién céng mong, thi dién dung céng cao. Saud€1y 151 mot céch giéi thich don gién. Khi mot téim béng coquzi nhieu

electron, chitng dy l§1n nhau v€1 c6 thoét ra khoibéng, qua déy din, qua pin, vé ch2_1y vé tiim béng bén kia,cng nhu mot khi nén trong binh rong; con pin, nhu céibom, gift chL 1ng 6 lz_1i béng bén nély. Tai sao khoéng céchgifra hai téim béng lai énh huong uoc muon délo tu cflaelectron?

Tim béng con lai thié u hut electron, tL rc 121 no tichdién duong. No sé hL 1t céc electron, cétng mz_1nh khi hai téimbéng céng gn. Néu céc téim bélng r rit gain nhau, thi chiczin mot dién ép nho lé CIL1 <16 gift céc electron khong déotéiu. LL10 do, t1_1 co dién dung lo n.

Tudién

151

mot thiet bl tuong tL_r nhu czii lo xo trong cohoc, vél A.10) 121 cong thfrc tuong tu nhu dlnh luzfit HookeF = kx cho motlo xo dim hoichét. Bo haidlnhluzflt V = C Mic]

dé n F = kx l€1tu o ng xtrng vo i nhau theo titng so hang. CL_1

the, C 121 “do cfrng” ca tn dién, v€1 tuong xfrng voi hings6 Hooke

k, dai luong the hién do cirng ca lo xo. B61 vérycng sé hop I3? khi coi i nhu 151 dung khéng cL 1a lo X0.



A. 18 Tinh tu cém: tinh tro ca dong dién

”T1’nh ttr cém” trong dongnuéc. Xem nuoc chéy trong mot

6ng din th§ng.Ta khéo sét trong diéu kién 13? tuongz khong

nhot vét khong chuyén dong h5nloe_1n. Goi p 151 chénh léchép 1L_1 C giira hai tié t dién ngang A vét B ca 6ng, vé goi f 151

thong luong, do 1:21, luu lu o ng luu ch2“{t trén mot don vi tho i

gian truyén vuong goc qua mot tié t dién ngang cila 6ng.

Dinh luzfit thit hai Newton (F = ma) ép dung cho kh6i luu

chit niim giua A vél B tat mot thoi diém néo do cho:d

= — , (A.11)P H dz ftrong do ,u daftc trurng tinh tro trong phén irng voi su chénh

léch zip luc. Phu o ng trinh sau cttng suy ta titdinh lueflt Newton

nhu sau. Luc téc dung lén kh6i luu chiit hinh tru gifra tiétdién A vii B lé duoc cho béng F = pS, trong do S lé dién

tich meit-céit-ngang ca 6ng din. Dinh luzfit thir hai Newton

ép dung cho kh6i luu chit hinh tru néxy cho:

pS = (A.12) /—’

F

trong do v 1:21 vein t6c1uu chit via h 1:21 khoéng céch gira Avé B. Nhung Sv = f 151 thong luong (the tich trén giéy), vé

(A. 12) tro thénh pS = pltégf . Chia cho Sta thu duoc (A.l1)

voi ti = ph / S.

Dién cém. Dong dién cung co tinh tro nhu vefly. Quén tinh co

hoc ca dien tich chuyén dong dong vai tro, di nhién, khong

* Tier dién khong phéi biai toén — f I51 nhu nhau cho téit cé chfmg mot khinuoc 151 khong nén duoc.





gian qua 161 di duy nh€it lé téi.‘ Nhin theo mét céch khéc,viéc mé céng tic sinh ra mét cuimg dc} lé'n,mé1th6ng qua(/\.13), sinh ra mét dién ép V lé'n vé dau dfm.

Nhu hu hét hién tuqng dién, hién tucyng néy cé mcf>t m6phéng dang co, cng dfm dau khéng kém — lé chain m(f)t céiha nhm vélo dinh biing céi méng tay. M(f)t su giém t6c|<'rn 1) = a t2_10 ra m<f)t l1_rc téc dL_1ng1('>'n F = /111)‘, diéu cé the‘-5

lixm dau.

Mét véi thiét bi phét dién dimg chuéng reo dé baflt tic.Khi bL'1a dao déng va vélo chuéng, céng téic lién tL_1c hét m6r6i lai déng v51 ngufyi sir dung biét duqc thé nélo 121 mét cL'1

dién gizfxt lién héi.Déy lé kéft thL'1c béli h(_)c dau dc'>'n ca chflng ta vé df) tro.

A.19 B6 m6 phéng dién-bomTit cé khéi niém ké trén - V, I, q, R,C vii L — cf) mét

m6 phéng don gién trong hé th6ng 6ng nude (nhu lé hé

th6ng 6ng nuéc trong nhil chng ha_1n ). Hinh A.9 tém luqcsL_r tucmg d6ng nély.

* Thzf1ltl1L'1 vi khi nhn ra ring néu céng tic chim dirt su tié'p x11c,d6ng (:6 thévn ti6p t\_1c truyén qua khéng kl1inh\rm(>lliali'ra dién. Mét hifgu irng cé liénquan duqc g<_)i 151 bfla mrfyc cfmg qucn thucjc véri nhfmg gia chii nghc tiéhg(ting nude va v€10 nhau khi mély gizfxt tz'it: dbng nude bi chzfm bfwi mét van sefxp

xu6ng ri{tnha11h,géy1 am(ptsyrléng vQt zip luc cfla nude, trong khi né vnmu6n tiép tuc chily.





A.2O Béti rap1. Xem xét mét dién tich diém q dét ngay tai g6c tqa dé.

Sir dung dinh nghia ca dién zip 6 muc A.11, tim diénép t2_1i diém béit kjz trong khéng gian.Ba béi tzfip tiép theo khéng déi héi kié n thirc vu (_yt quéhiéu biét vé dinh nghia cila dién ép.

2. Sir dung dinh nghia ca dién ép ( 1 muc A.11, tim vélnt6c ca céc electron va véo main hinh TV, biét dién épchénh léch V gifra cathode (noi mil tit dé céc electron

biin véo phfin chén khéng bén trong 6ng) vé mén hinh,kh6i lutyng W1, vii dién tich q cL’1a mét electron. Gqi Y:

Thé néng cfla electron lL 1c bit du phéng duqc chuyénhéa thélnh déng néng khi két thL 1c. V lé chénh léch the’néng cho met dien tich dorn vi.

3. Mét tu dien cc’) dung khéng C dutyc tich dién dé n diénép V. Tim thé néng ca tu.L671 giéi. Béi toén néty cé the duos giéi hing tich phén,nhung (I déy 1:21 mét czich dé trénh chng. Hinh dungring ta tich dién cho tu tit dién zip bimg khéng df-in Vbing céch n6i vdi mcfmt déng khéng d6i. Dién ép trung

binh trong su6t qué trinh nfly 121 V (bfri dién tich, védo vzfiy cé dién ép, ting tuyéh tinh theo thdi gian). Ta céthe theo dc’) xem nhu: ring ngay cé khi ta mang dién tichttrng-céi-mét tit noi nay sang ncri khéc, dién ép vain nhuveftyz V / 2 . Theo dc’) céng télng céng dé tich dién cho tu léW=q .v/2=cv.v/2=cv2/2.

4. Phét biéu sau d€1yl€1 ytir mét giéo trinh trL_1 c tuyén: “Titdinh nghia ca dién zip nhu néng lu Qng trén m6i diéntich don vi, cé the’ k3‘; vc_>ng ring néng luqng trfr trong tudién 1y tufmg nziy sé chi 13 qV. D6 151, tit cé céng tiéu



t6n cho dién tich dé di chuyén né tit mét téim béng dén

tfim cén lai thé hién nhu néng lu c_mg dL1 QC trfr. NhungthL_1 c té, céng thirc 6 trén (qV / 2) cho thy rng chi métnira ca céng dé hién dién nhu 151 ning luqng trfr trong

tu dién. Vdi m(f)t gié tri dién tn’) hfru han, cé thé chi raring phén nira néng lu (_mg cung cp tir pin dé tich diéncho tu bi hao phi 6 dang nhiét trong thiét bi dién tré,

bit ké kich c6 ca thiét bi dién tré.Ban cé thé chtmg minh hay béc b6 phét biéu néy khéng?

5. Tim céng suit cin cé dé phét séng mcfat béng dén tréncé dién zip Vvé gié tri dién tré R.

L(‘Yi giéi. Chénh léch dién ép gitra hai du déy téc béng

dén 151 V. Theo dinh nghia ca dién ép, diéu néy cé nghia

ring dién tich q ca electron tiéu t6n néng luring qV khichuyén déng qua d51yt( >c. Céng suit tiéu thu 151 nngluqng trén mét don vi thdi gian: P = qV /t = IV, trong dc

1 = q /t lei cufmg dc) déng (theo dinh nghia ca déng).

Theo dinh luaflt Ohm I = V/R,v212

P = IV = K -

RCéng thtrc néy giéi thich vi sao cé tiéng n6 khi n6i téit ra

ngo:E1i:mOtgiétriR nhé t2_1o ra m6tgié1triPl(1n.

* Céc electron “r0i xufing mét th6 tinh dién trzii diai thco d?1yt(>c.N5nglLrr_1ng

chL 1ngm€it trong va chgun véi nhng ion trim lin hoém toém vfri czic ion trongdziy téc, trb thénh nhiét v51 énh séng.



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Huy Nguyén dich

Chill mic/1 nhiém mi: bdn: NGUYEN MINH NHUT

Chin lrdc/1 nhiém <21 dung: NGUYEN THE TRUAT

Bién mp; HA1 vAN

Bia: BU] NAM

Mm/1 /ma bias LE TUNG QUAN

srm bdn m.» THANH VIET

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