-
8/3/2019 Thomas Pre Cession
1/7
P h y s i c s 1 3 9 R e l a t i v i t y
T h o m a s P r e c e s s i o n F e b r u a r y 1 9 9 8
G . F . S M O O T
D e p a r t m e n t o f P h y s i c s ,
U n i v e r s i t y o f C a l i f o r n i a , B e r k e l e y ,
U S A 9 4 7 2 0
1 T h o m a s P r e c e s s i o n
T h o m a s P r e c e s s i o n i s a k i n e m a t i c e e c t
d i s c o v e r e d b y L . T . T h o m a s i n 1 9 2 6 L .
T . T h o m a s P h i l . M a g . 3 , 1 1 9 2 7 . I t i s f a i
r l y s u b t l e a n d m a t h e m a t i c a l l y
s o p h i s t i c a t e d b u t i t h a s g r e a t i m p o r t
a n c e i n a t o m i c p h y s i c s i n c o n n e c t i o n w i t
h s p i n -
o r b i t i n t e r a c t i o n . W i t h o u t i n c l u d i n
g T h o m a s P r e c e s s i o n , t h e r a t e o f s p i n p r e
c e s s i o n
o f a n a t o m i c e l e c t r o n i s o b y a f a c t o r o f
2 . L a t e r w e w i l l s e e t h a t t h e r e i s a s i m i l a
r
e e c t f o r g r a v i t a t i o n a l e l d s .
T h e e e c t i s c o n n e c t e d w i t h t h e f a c t t h a
t t w o s u c c e s s i v e L o r e n t z
t r a n s f o r m a t i o n s i n d i e r e n t d i r e c t i o
n s a r e e q u i v a l e n t t o a L o r e n t z t r a n s f o r m
a t i o n p l u s
a t h r e e d i m e n s i o n a l r o t a t i o n . T h i s r o
t a t i o n o f t h e l o c a l f r a m e o f r e s t i s t h e k i
n e m a t i c
e e c t t h a t c a u s e s t h e T h o m a s p r e c e s s i o
n .
F o r t h e l e c t u r e w e w i l l n o t d o t h e f u l l m
a t h e m a t i c a l t r e a t m e n t , s i n c e i t i s
r a t h e r i n v o l v e d . I n s t e a d w e w i l l s h o w
b y a s i m p l e e x a m p l e h o w t h e r o t a t i o n a n d t
h u s
p r e c e s s i o n c o m e s a b o u t .
M a k e t w o s u c c e s s i v e L o r e n t z t r a n s f o r
m a t i o n s i n o r t h o g o n a l d i r e c t i o n s : f r o m
S
t o S
0
w i t h v e l o c i t y v a l o n g t h e x a x i s , f o l l o
w e d b y a t r a n s f o r m a t i o n f r o m S
0
t o S
0 0
w i t h
v e l o c i t y v
0
a l o n g t h e y
0
a x i s , a s s h o w n b y t h e f o l l o w i n g d i a g r a
m .
0 0
O
0 0
S
0 0
y
0 0
x
0
v
0
v
6
-
O
0
y
0
x
0
S
0
O
y
x
S
T h e l i n e f r o m t h e o r i g i n O o f S t o t h e o r i
g i n O
0 0
o f S
0 0
m a k i n g a n d a n g l e i n
S a n d a n a n g l e
0 0
i n S
0 0
. W e c a n c a l c u l a t e t h e a n g l e s i n t h e t w o
f r a m e s b y a p p l y i n g
1
-
8/3/2019 Thomas Pre Cession
2/7
t h e L o r e n t z t r a n s f o r m a t i o n s a n d e v a l
u a t i n g t h e m i n e a c h f r a m e .
x
0
= x , v t x = x
0
+ v t
0
t
0
= t , v x = c
2
t = t
0
+ v x
0
= c
2
y
0
= y y = y
0
y
0 0
=
0
y
0
, v
0
t
0
y
0
=
0
y
0 0
+ v t
0 0
x
0 0
= x
0
x
0
= x
0 0
w h e r e
= 1 =
q
1 , v
2
= c
2
0
= 1 =
q
1 , v
0
= c
2
1
C o m b i n g t h e s e e q u a t i o n s o n e n d s :
y
0 0
=
0
y , v
0
x , v t
x
0 0
= x , v t 2
N o w w e c a n c a l c u l a t e t h e a n g l e m a d e b y t
h e l i n e b e t w e e n o r i g i n s . F o r a
G a l i l e a n t r a n s f o r m o n e w o u l d h a v e
t a n =
y
x
=
v
0
t
v t
=
v
0
v
3
b u t S p e c i a l R e l a t i v i t y s h o w s u s t h a t 3
- D v e l o c i t i e s d o n o t t r a n s f o r m l i k e 3 - D v
e c t o r s .
S o w e m u s t c a l c u l a t e c a r e f u l l y .
t a n =
y
x
=
y
0
v t
=
0
y
0 0
+ v
0
t
0 0
v t
y = 0
=
0
v
0
t
0 0
v t
4
t = t
0
+ v x
0
= c
2
x = x = 0
=
0
t
0 0
+ v
0
y
0 0
= c
2
y = 0
=
0
t
0 0
5
s o t h a t
t a n =
0
v
0
t
0 0
v
0
t
0 0
=
v
0
v
6
N o t e t h a t t h i s a n s w e r i s v e r y n e a r t h e G
a l i l e a n r e s u l t b u t w i t h t h e f a c t o r o f
1 w h i c h r e m i n d s u s o f a b e r r a t i o n .
N o w w e c a l c u l a t e
0 0
:
t a n
0 0
=
y
0 0
x
0 0
=
0
y
0
, v
0
t
0
x
0
7
w h e r e x
0 0
a n d y
0 0
a r e t h e c o o r d i n a t e s o f t h e o r i g i n O o f s
y s t e m S i n t h e S
0 0
s y s t e m .
T h u s
t a n
0 0
=
0
y , v
0
x
0
y = 0
= ,
0
v
0
t
0
x
0
= ,
0
v
0
t
0
x , v t
x = 0
=
,
0
v
0
t
0
, v t
8
t
0
= t , v x = c
2
x = 0
= t ; 9
t a n
0 0
=
0
v
0
v
1 0
2
-
8/3/2019 Thomas Pre Cession
3/7
T h i s l o o k s a g a i n s i m i l a r t o t h e G a l i l e
a n a n g l e e x c e p t f o r t h e e x t r a f a c t o r o f
0
N o w c o n s i d e r a p a r t i c l e o n a c u r v e d p a t
h
v
6
y
x
X
X
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
CW
A t a c e r t a i n t i m e i t i s a t t h e o r i g i n O o f
o u r s y s t e m S . P u t t h e x a x i s p a r a l l e l
t o t h e p a t h , a n d y a x i s t o w a r d t h e c e n t e
r o f c u r v a t u r e . A t t = 0 , t h e r e s t f r a m e S
0
i s
m o v i n g i n t h e x d i r e c t i o n w i t h v e l o c i t
y v . A t a s l i g h t l y l a t e r t i m e i t s r e s t f r a m
e S
0 0
i s
m o v i n g p e r p e n d i c u l a r t o x
0
i n t h e y d i r e c t i o n w i t h v e l o c i t y v
0
= v
D e n e
=
0 0
, = t a n
, 1
v
0
0
v
!
, t a n
, 1
v
0
v
!
1 1
F o r a v e r y s h o r t t i m e i n t e r v a l t h e m o t i
o n i s c i r c u l a r . T h a t i s t t h e l o c a l c u r v e w
i t h
a t a n g e n t c i r c l e w i t h a p p r o p r i a t e r a d
i u s o f c u r v a t u r e .
v
x
= ! R c o s v
y
= ! R s i n
v
x
= v v
y
= v = v
0
1 2
s o
t a n =
v
0
v
=
0 0
, = t a n
, 1
0
t a n , t a n
, 1
t a n
!
1 3
C h o o s e t o b e v e r y s m a l l ;
=
S
R
=
v t
R
T h e n
v t
R
0
,
1
!
1 4
!
T
=
t
v
R
0
,
1
!
I n a c i r c l e t h e a c c e l e r a t i o n i s
a =
v
2
R
s o t h a t
v
R
=
a
v
3
-
8/3/2019 Thomas Pre Cession
4/7
g i v i n g
!
T
=
a
v
0
,
1
!
S u p p o s e w e a r e i n a n o n - r e l a t i v i s t i c r
e g i o n v c , l i k e a n e l e c t r o n i n a n a t o m :
0
,
1
=
1
q
1 , v
0
= c
2
,
q
1 , v = c
2
1 +
1
2
v
0
c
2
, 1 +
1
2
v
c
2
1
2
v
c
2
s i n c e t a n = v
0
= v 1 . P u t t i n g t h i s b a c k i n t o t h e e x p r e s
s i o n f o r !
T
!
T
a
v
v
2
2 c
2
=
v a
2 c
2
T h u s
0 0
, t h u s a c o u n t e r - c l o c k w i s e r o t a t i o n ,
i m p l y i n g
~!
T
=
~v ~ a
2 c
2
1 5
T h e r i g o r o u s r e s u l t i s
~!
T
=
2
+ 1
~v ~ a
2 c
2
1 6
2 S p i n - O r b i t I n t e r a c t i o n o f E l e c t r o n
w i t h
N u c l e u s i n a n A t o m
N o w w e a r e s e t t o a p p l y t h i s k i n e m a t i c e
e c t t o s p i n p r e c e s s i o n i n a n a t o m . I n i t
s
o w n r e s t f r a m e t h e e l e c t r o n s e e s " t h e n
u c l e u s y i n g b y .
T h e e l e c t r o n ' s m a g n e t i c m o m e n t , ~ , a n
d s p i n a n g u l a r m o m e n t u m ,
~
S , a r e
r e l a t e d b y
~m u =
e
m
c
c
~
S 1 7
T h e t o r q u e o n t h e m a g n e t i c m o m e n t i s
~ =
d
~
S
d t
= ~
~
B
0
1 8
w h e r e
~
B
0
i s t h e m a g n e t i c e l d i n t h e e
,
f r a m e .
~
B
0
=
~
B ,
~v
e
c
~
E
!
1 9
W h e r e
~
B i s t h e m a g n e t i c e l d a n d
~
E i s t h e e l e c t r i c e l d i n t h e n u c l e u s r e s
t f r a m e .
v = c 1 s o t h a t 1 ,
d
~
S
d t
= ~
~
B ,
~v
e
c
~
E
!
2 0
4
-
8/3/2019 Thomas Pre Cession
5/7
a r i s e s f r o m t h e i n t e r a c t i o n e n e r g y
U
0
= , ~
~
B ,
~v
e
c
~
E
!
2 1
I f
~
E i s d u e t o a s p h e r i c a l l y s y m m e t r i c a l c
h a r g e d i s t r i b u t i o n a s f o r a o n e -
e l e c t r o n a t o m o r o n e o u t s i d e a c l o s e d s
h e l l t h e n
e
~
E = ,
~
r V r ,
~r
r
d V
d r
2 2
T h e n
U
0
= ,
e
m
e
c
~
S
~
B +
e
m
e
c
2
~
S ~v
,
~r
r
d V
d r
!
2 3
~
S ~v
~
, r = +
~
S
~
f ~v
U
0
= ,
e
m
e
c
~
S
~
B +
e
m
2
e
c
2
~
S ~r ~v
1
r
d V
d r
= ,
e
m
e
c
~
S
~
B +
e
m
e
c
2
~
S
~
L
1
r
d V
d r
2 4
s i n c e m ~r ~v =
~
L a n g u l a r m o m e n t u m . T h i s s e c o n d t e r m i
s t h e s p i n - o r b i t
i n t e r a c t i o n .
N o w , i f t h e e l e c t r o n r e s t f r a m e i s r o t a
t i n g T h o m a s a n g u l a r v e l o c i t y ~! ,
d
~
S = d t 6= ~
~
B
0
. T h e g e n e r a l k i n e m a t i c r e s u l t f r o m c l
a s s i c a l p h y s i c s i s :
@
@ t
r o t a t i o n c o o r d i n a t e s
=
@
@ t
i n e r t i a l c o o r d i n a t e s
, ~! 2 5
a s a n o p e r a t o r o n a n y v e c t o r . S o
@
~
S
@ t
r o t a t i o n c o o r d i n a t e s
=
@
~
S
@ t
i n e r t i a l c o o r d i n a t e s
, ~!
~
S 2 6
W i t h t h i s e x p r e s s i o n t h e i n t e r a t i o n e
n e r g y i s c h a n g e d t o :
U = U
0
,
~
S ~!
T
2 7
w h e r e ~!
T
i s p r o p o r t i o n a l t o t h e c e n t r i p e t a l a c
c e l e r a t i o n d u e t o E
r
~!
T
1
2 c
2
~v ~a =
1
2 c
2
~v
0
@
e
~
E
m
e
1
A
=
1
2 m c
2
~v
,
~r
r
d V
d r
!
5
-
8/3/2019 Thomas Pre Cession
6/7
=
1
2 m
e
c
2
~r ~v
1
r
d V
d r
=
~
L
2 m
2
e
c
2
1
r
d V
d r
2 8
T h u s
U = U
0
,
1
2 m
2
e
c
2
~
S
~
L
1
r
d V
d r
= ,
e
m
e
c
~
S
~
B + 1 ,
1
2
1
m
2
e
c
2
~
S
~
L
1
r
d V
d r
2 9
T h e - 1 2 i s t h e f a m o u s o n e h a l f . I n c l u d i
n g i t , t h e o b s e r v e d n e - s t r u c t u r e s p a c i n
g s i n
a t o m i c s p e c t r a , d u e t o e l e c t r o n s p i n ,
a r e c o r r e c t l y p r e d i c t e d .
T h i s s c h e m a t i c g i v e s a h e u r i s t i c i n d i
c a t i o n o f h o w t h e t o r q u e a r i s e s .
~
+ q
- q
s
~
E
T h e f o r c e o n e a c h c h a r g e p o s i t i v e a n d n
e g a t i v e i s F = q E . T h e m a g n e t i c
m o m e n t i s = g . T h e n e t t o r q u e i s
= q E ` s i n = E s i n
T h e e n e r g y r e l a t i v e t o = i s
E = , 2 q E
2
c o s = , ~
~
E
6
-
8/3/2019 Thomas Pre Cession
7/7
3 A S i m p l e D e r i v a t i o n o f t h e T h o m a s P r e
c e s s i o n
T h e f o l l w o i n g d e r i v a t i o n i s b a s e d u p o
n a s u g g e s t i o n b y E . M . P u r c e l l .
I m a g i n e a n a r i c r a f t y i n g i n a l a r g e c i r
c u l a r o r b i t . A p p r o x i m a t e t h e o r b i t b y
a
p o l y g o n o f N s i d e s , w i t h N a v e r y l a r g e n
u m b e r . A s t h e a i r c r a f t t r a v e r s e s e a c h o f
t h e
N s i d e s , i t c h a n g e s i t s a n g l e o f i g h t b y
t h e a n g l e = 2 = N a s s h o w n i n t h e g u r e .
p o l y g o n
s i d e o f
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
BM
B
B
BM
Z
Z
Z
Z
W
L
6
A f t e r t h e a i r c r a f t h a s o w n N s e g m e n t s ,
i t i s b a c k a t i t s s t a r t i n g p o i n t . I N t h e
l a b o r a t o r y f r a m e , t h e a i r c r a f t h a s r o
t a t e d t h r o u g h a n a n g l e o f 2 r a d i a n s . H o w e
v e r i n
t h e a i r c r a f t ' s i n s t a n t a n e o u s r e s t f r
a m e , t h e t r i a n g l e s s h o w n h a v e a L o r e n t z -
c o n t r a c t i o n
a l o n g t h e d i r e c t i o n i t i s y i n g b u t n o t t
r a n s v e r s e l y . T h u s a t t h e e n d o f e a c h s e g m
e n t , i n
t h e a i r c r a f t f r a m e , t h e a i r c r a f t t u r n
s b y a l a r g e r a n g l e t h a n t h e l a b o r a t o r y = 2
= N ,
b u t b y a n a n g l e
0
= = W = L = = 2 = N . A f t e r a l l N s e g e m e n t s i n t
h e a i r c r a f t
i n s t a n t e o u s r e s t f r a m e t h e t o t a l a n g l
e o f r o t a t i o n i s 2
T h e d i e r e n c e i n t h e r e f e r e n c e f r a m e i
s
= 2 , 1
S i n c e N h a s d r o p p e d o u t o f t h e f o r m u l a f
o r t h e a n g l e a n d a n g l e d i e r e n c e , o n e c a n l
e t
i t g o t o i n n i t y a n d t h e m o t i o n i s c i r c u l
a r a n d t h e f o r m u l a i s f o r t h e r a t e o f p r e c e
s s i o n .
!
P
!
=
= T
2 = T
= , 1
T h i s e q u a t i o n , d i s p i t e t h e s i m p l i c i t
y o f t h e d e r i v a t i o n , i s t h e e x a c t e x p r e s s
i o n
f o r t h e T h o m a s p r e c e s s i o n . T h e e q u a t i
o n d o e s n o t i n c l u d e t h e o s c i l l a t i o n g t e r
m
b e c a u s e t h e d e r i v a t i o n n e g l e c t e d t h e
f a c t t h a t t h e f r o n t a n d r e a r o f t h e i n e r t i
a l b a r s
a r e n o t a c c e l e r a t e d s i m u l t a n e o u s l y
.
7
