THOMSONOV MOSTLada Vukušić

Siječanj 2010.

UVODElektrični otpor je mjera otpora koji stvara materijal kada njime teče struja (konceptualno je analogan sili trenja u mehanici). U strujnome krugu struja teče kroz vodiče, koji su napravljeni od metala. U metalu do otpora dolazi zbog sudaranja elektrona, nosioca naboja, sa rešetkom koja se sastoji od pozitivnih iona. Otpor nekog vodiča ovisi o njegovom poprečnom presjeku i duljini te o otpornosti, koja je svojstvena za svaki materijal. Što je poprečni presjek vodiča veći, više elektrona može proteći kroz njega u jedinici vremena prije nego se sudare sa rešetkom pa je otpor manji, a što je duljina vodiča veća, ima i više sudara pa je otpor veći. To se može i matematički zapisati:

R=ρ lS

(1)

gdje je l duljina vodiča, S poprečni presjek vodiča, a ρ je otpornost materijala koja govori koliko se jako materijal protivi prolasku struje kroz njega. Recipročna veličina otpornosti naziva se vodljivost materijala koja govori koliko dobro neki materijal vodi struju:

σ=1ρ (2)

Također, u strujnim kugovima vrijedi i Ohmov zakon, koji kaže da je struja koja teče vodičem jednaka omjeru razlike potencijala (naponu) na njegovim krajevima i otpora između njih:

I=UR

(3)

Otpor se može mjeriti na razne načine. Najjednostavije je pomoću mjernih uređaja, ampermetrom i voltmetrom direktno izmjeriti struju, odnosno napon, na nekom elementu te preko relacije (3) izračunati otpor (metoda četiri kontakta), no, na taj način ne možemo

1

mjeriti male otpore jer je pogreška u mjerenju prevelika. Zato se za precizno mjerenje malih otpora rabe mjerni mostovi, gdje ne očitava vrijednosti struje ili napona, nego nam je samo bitno da kroz određenu granu ne teče struja pa nema problema sa nemogućnošću očitavanja malih vrijednosti struja ili napona. Wheatstoneov most je jedan od jednostavnijih načina za mjerenje malih otpora. Do nepoznatog otpora Rx dolazimo uspoređujući ga sa poznatim otporima R1, R2 i R3 (slika 1.). Mijenjanjem otpora R1 i R2 uravnotežujemo most, to jest postižemo da galvanometrom ne teče struja.

Slika 1. Shema Wheatstoneovog mosta

U uravnoteženom mostu nepoznati otpor računamo preko Kirchhoffovih zakona:

zbroj iznosa jakosti struja koje ulaze u čvor jednak je zbroju iznosa jakosti struja koje izlaze iz čvora

zbroj svih napona u strujnoj petlji jednak je nula

U uravnoteženom mostu vrijedi da je

R x=R3R2R1

(4)

Za otpore manje od 0.1 Ω Wheatstoneov most postaje neprikladan jer počinju smetati prijelazni otpori na priključnicama preko kojih je nepoznati otpor spojen u most. Iznosi ovih prijelaznih otpora ovise o veličini i čistoći dodirne plohe, pritisku i drugim geometrijskim i fizičkim parametrima kontaktnog spoja i dobrom se izvedbom priključaka daju svesti na neznatne dijelove ohma. Uz prijelazne otpore, u sustavu postoje i parazitni otpori dovodnih žica koji se također ne mogu u potpunosti ukloniti. Svi se ovi mali otpori pribrajaju

2

nepoznatom otporu i mjere se zajedno s njime te, ako je ovaj malen, dovode do velike pogreške u njegovom određivanju. Mjerenje Wheatstoneovim mostom tako postaje to nepouzdanije što je vrijednost nepoznatog otpora manja. Za mjerenje vrlo malih otpora treba koristiti posebne metode kod kojih parazitni otpori ne smetaju, a jedna od takvih je Thomsonov most.Thomsonov most ima dodatna dva otpornika kako bi se smanjila greška zbog parazitskog otpora; prespojila se spojnica između Rx i R3 kojom teku velike struje, a dodatni otpornici smanjuju parazitski otpor.

Slika 2. Shema Thomsonovog mosta

U Thomsonovom mostu do nepoznatog otpora X dolazimo na isti način, uzimajući otpore R1 i R1' tako da između točaka E i F ne teče struja (slika 2.) te računajući X preko Kirchhoffovih zakona. Promatram petlje ABEF i ECDF i gledam padove napona:

I R1=I 0 X+ I ' R1' (5)

3

I R2=I0 R+ I ' R2' (6)

Razlika potencijala na spojnici S mora biti jednaka kao i u grani B-E-C:

( I 0−I ' )S=I ' (R1' +R2' ) (7)

Iz jednadžbe (7) izrazim struju I' te ju uvrstim u (5) i (6) i nakon dijeljenja ta dva izraza dobivam relaciju

R1R2

=

X+R1' S

R1' +R2

' +S

R+R2' S

R1' +R2

' +S

(8)

a iz nje i nepoznati otpor x:

X=RR1R2

+R2' S

R1' +R2

' +S ( R1R2−R1'

R2' ) (9)

Izraz (9) se znatno pojednostavljuje ako možemo ostvariti ili uvjet da je S=0 ili da je omjer R1 i R2 isti kao i omjer R1' i R2' i tada se nepoznati otpor X računa po formuli

X=RR1R2

(10)

koja je ista kao i ona kod Wheatstoneovog mosta (4).Ovi uvjeti nisu dostižni prilikom mjerenja jer je nemoguće postići da spojnica ima otpor S=0, ali ga se može minimizirati korištenjem veoma kratkog i debelog vodiča. Isto tako, omjere otpora ne možemo uzeti točno jednakima jer se njihova vrijednost uvijek kreće u granicama pogreške, a utjecaja imaju i dovodne žice i prijelazni otpori, ali ako R1/R2 , odnosno R1'/R2' učinimo što je moguće manjima, kao i otpor spojnice, u relaciji (9) imamo umnožak dvije male veličine pa ga možemo zanemariti.Prijelazni otpori na kontaktima kod otpornika X i R ne predstavljaju znatniju smetnju točnom mjerenju zbog velike struje I0 koja teče kroz njih.

MJERENJA I REZULTATI Mjerni postav se sastoji od elemenata koji su na slici 2. Ak je akumulator od 2V kojim se napaja glavni krug, ρ je reostat kojim se postiže željena jakost struje, mjerena ampermetrom Am (veća struja – veća preciznost prilikom određivanja otpora R1 i R1' za koje je most uravnotežen), P je sklopka kojom puštamo i prekidamo struju u glavnom krugu te joj mijenajmo polaritet, G je digitalni ampermetar, a R2 i R2' su dva jednaka promjenjiva

4

otpornika, čiju sam vrijednost odabrala 1000 Ω. Poznati otpor iznosi R=5.67 x 10-5 Ω. Nepoznati otpori kojeg trebam izračunati su tri šipke kružnog presjeka, bakrena, aluminijska te šipka od neke nepoznate slitine. U krug se umeću preko dvaju metalnih noževa koji čine električne spojeve u točkama A i B. Duljinu šipki mijenjam tako da selim metalne noževe na koje je pričvršćena šipka. Pomoću pomične mjerke mjerim promjer šipke, računam polumjer i poprečni presjek dobivam preko

S=r2π (11)

Otpornost pojedine šipke računam linarnom regresijom. Jedina vrijednost koju znam točno je duljina šipke l, vrijednost koju mjerim je R1,a nepoznati otpor X izrazim preko relacije (10) pa imam

RR1R2

= ρ lr2π

(12)

Relaciju (12) zapisujem u obliku povoljnom za linearnu regresiju: y=ax + b:

R1=ρ R2r2πR

l (13)

pa mi je x = l, y=R1, a nagib pravca a je ρR2r2πR

, iz kojeg ću izračunati otpornost ρ. Odsječak na

osi y, b, mi je u ovom slučaju pokazatelj pogreške mjerenja jer bi trebao ispasti 0.

5

Slika 3. Linearna regresija za bakrenu šipku

Slika 4. Linearna regresija za aluminijsku šipku

6

Slika 5. Linearna regresija za slitinu

Vrijednosti otpornosti koje sam izračunala iz koeficijenata nagiba pravca dobivenih linearnom regresijom:

Za sve tri šipke odsječak na osi y b je 0 jer mi je njegova pogreška ispala veća od njega samoga, što je u redu jer bi to trebao biti otpor šipke duljine l=0. Vodljivost aluminija u postocima vodljivosti bakra računala sam preko relacije (2):

σ AlσCu

=ρCuρAl

= (0.45±0.03 )%, (14)

odnosno σ Al=(0.45±0.03 )%σCu (15)

ANALIZA REZULTATAVrijednosti otpornosti koje sam izmjerila koristeći Thomsonov most dosta dobro se poklapaju sa vrijednostima koje su dane u literaturama (to mogu reći za bakar i aluminij, za slitinu ne jer ne znam slitina čega je to). Otpornost (na sobnoj temperaturi) bakra je 1.72 10-8 Ωm, a aluminija 2.82 10-8 Ωm 1 i nalaze se unutar pogrešaka vrijednosti koje sam ja dobila. Slitina, očekivano, ima najveću otpornost jer to nije čist element. Također očekivano, vodljivost bakra je veća od vodljivosti aluminija.Rezultati se ne poklapaju skroz sa onima koje bih trebala dobiti, a i greška je velika, zbog toga što ampermetar pokazuje minimalnu struju (nisam uspjela postići da kroz granu ne teče struja uopće) za raspon vrijednosti otpora R1 i R1' od oko ± 50 Ω.

1 izvor Wikipedija, http://en.wikipedia.org/wiki/Electrical_resistivity

7

materijal bakar aluminij slitinaρ(Ωm) (1.4 ± 0.8) 10-8 (3.2 ± 0.2) 10-8 (7.2 ± 0.5) 10-8

PRILOG: Tablice s mjerenjima

l (m) R1 (Ω) (bakar) R1 (Ω) (aluminij) R1 (Ω) (slitina)0.523 1959 3780 73000.423 1429 2950 69000.323 1091 1970 51000.223 844 1175 32500.123 456 780 15200.073 256 458 950

Tablica 1. Ovisnost otpora R1 o duljini šipke

materijal bakar aluminij slitina2r (mm) 9.95 ± 0.05 9.90 ±0.05 10.25 ± 0.05

Tablica 2. Promjeri šipki

8