TÍCH PHÂN

By Th.S Nguyen Van Hong: 0979. 979. 489(Mê Linh – Hà Nội)

NguyÔn v¨n hång

Tuyển tập những bài toán tích phân hay và khó

(Tài liệu hữu ích cho các em học sinh lớp 12 ôn thi đại học)

Hà nội: 2012

By Th.S Nguyen Van Hong: 0979. 979. 489(Mê Linh – Hà Nội) I. Tích phân hàm hữu tỉ:

1

30

xdx(x 1)+∫1.

2x2

21 7 12dx

x x− +∫ 15.

4

23

13 2

dxx x− +∫

( )

2. 1 2

40

x 1dxx 1

−+

∫ 16. 2

21

11

dxx x +∫ 3.

1

30

3dx1 x+∫17.

2

5 21

1 dxx x+∫ 4.

1

4 20

dxx 4x5.

31

4 20 6 5x dx

x x+ +∫

6. 2 2006

20081

(1 )x dxx+

∫

7. 1 3

20 1

x dxx +∫

( )

8. 2

41 1

dxx x +∫

( )

9. 1

221 1

dx

x− +∫

10. 2 2

4 21

11

x dxx x

+− +∫

11. 1

20

11

x dxx++∫

12. 1

20

2 11

x dxx x

−+ +∫

13. 1

20 1

dxx x+ +∫

14. 1

30

(3x 1)dx(x 3)++

∫

18. 3+ +

∫

( )

dxxx∫ ++

1

0 22 231

19.

dxx

xx∫ +

++1

0

2

323

20.

1 3 2

20

x 2x 10x 1dxx 2x 9+ + +

+ +∫

21.

1 2

20

x 3x 10 dxx 2x 9+ ++ +

∫ 22.

dxx

x∫ +

1

0 2

5

1 23.

4

21

dxx (1 x)+∫ 24.

dxxx

x∫ ++

+3

1 24

2

11

( )

25.

∫ +

2

1 5 1xxdx

26.

1

4 20

x dxx x 1+ +∫27.

dxxx

∫ ++1

0 2

4

11

28.


29. dxx∫ −

2

12

2

127xx +

30. 1

2xdx

0 (x 1)+∫

31. dxxx∫ +

+1

0 6

4

11

32. 1

30

3dx1 x+∫

33. ∫ +2

1 3(xxdx

)1

34. 2

21

xdxx 2− +

∫

35. ∫ −

1

0

2

4 2xdxx

36. ∫ −

1

0 4 2xxdx

37. dx++

12

xx

∫3

12

23

38. dx+1xx

x∫ +

3

02

3

2

39. ∫1

0 2( xxdx+ 3)1

40. dx+ 6xx

x∫ +

+1

02 5

114

41. dx1x

x∫ −

21

02

4

42. 4 22

20

x x

x 4

− ++∫

1dx

43. 3

31

dx

x x+∫

44. x dxx

3

20

3

1+∫

45. ∫ −+ )4)(1( 22 xxdx

46. ∫ +

1

0

2

1xdxx

47. 1

20 3 2

dxx x+ +∫

48. 2

20

16

x dxx x

+− −∫

49. 3

22 3 2 1

dxx x− −∫

50. 12

20 4 4

dxx x 3− −∫

51. ∫− +−

0

124

3

34xxdxx

52. ∫ +

2

1210 )1(xx

dx

53. 2

4 2

11

x dxx x

−+ +∫

54. ∫ +

1

022

3

)1(xdxx

55. 73

8 42 1 2x dx

x x+ −∫

56. 1

20 1dx

x+∫

By Th.S Nguyen Van Hong: 0979. 979. 489(Mê Linh – Hà Nội) 1

4 20 4 3dx

x x+ +∫ −∫4

4x dxx 1

57.

58. 1

20 1dx

x x+ +∫

59. 1

20

24 5x dx

x x−

− −∫

60. 3

20 3dx

x +∫( )

61.

20

1

21

xx−

+−∫

( )

62. 2

51 1

dxx x+∫

63. ∫ −

3

23 3xxdx

64. ∫ −

2

137 10 xx

dx

65. ∫ +

3

13 5xxdx

66. ∫−

− +

1

26 9xxdx

67. ∫ −

2

1511 8xx

dx

68. −∫ 4

dxx 1

69. −∫ 4

xdxx 1

70. −∫

2

4x dxx 1

71. −∫

3

4x dxx 1

72.

∫ 4xdx

x +73.

1

∫3

4x dxx +

74. 1

−∫

2

4x 1 dxx + 1

75.

∫2

4x + 1 dxx + 1

76.

∫ 4dx

x +77.

1

∫2

4x dxx +

78. 1

∫4

4x dxx +

79. 1

−∫ 3dx

x 180.

∫ 3dx

x +81.

1

−∫ 3xdx

x 182.

−∫ 6dx

x 183.

−∫ 6xdx

x 184.

−∫2

6x dxx 1

85.

−∫3

6x dxx 1

86.

−∫4

6x dxx 1

87.


88. −∫

5

6x dxx 1

89. −∫

6

6x dxx 1

90. −

∫4

6x 1 dxx + 1

II. Tích phân hàm vô tỷ:

1. 2

1 1 1xdx

x+ −∫

2. 7 2

1x dx+

30 x +∫

3. 6

4 1dx

2 2 1x x+ + +∫

4. 10

2 1dx

5 x x− −∫

5. 1

3dx

0 1 1 x+ +∫

6. 2 1

5dx−

1

x xx −∫

7. ∫ +0

3 1x3

2 dxx

8. ∫1

3 1x −9

dxx

9. ∫+

+

02

2x

x3 35

1dxx

10. ∫+x

1 dxx

11. ∫− +1 5

2x

dx+

4

4

12. ∫+

2

05

4

1dx

xx

13. ∫ −++

2

1 22 xxxdx

14. ∫−

+0

1

1 dxxx

15. ∫ +3

0

32 .1 dxxx

16. ∫ +1

0

23 3 dxxx

17. ∫ −1

0

25 1 dxxx

18. ∫− +++

−3

1 3133 dx

xxx

19. ∫ ++3/7

03 13

1 dxx

x

20. dxx

xx∫

+

+1

03 2

2

)1(

21. ∫ +1

0

2 1 dxxx

22. ∫− +++

−3

13 31

3 dxxx

x


0

x dx2x 1+∫

93

1

1x x dx−∫23.

24. ∫ + dxxx 32 2

25. ∫ −1

0

23 1 dxxx

26. 22

22

x 1 dxx x 1

−

−

+

+∫

27. 4

22

1 dxx 16 x−∫

28. 1

2 23

1 dxx 4 x−

∫

29. 6

22 3

1 dxx x 9−

∫

30. 2

2 3

0x (x 4) d+∫ x

31. 2

2 2

1x 4 x d

−−∫ x

32. 24

4 33

x 4dxx−

∫

33. 22

22

x 1 dxx x 1

−

−

+

+∫

34. 1

0

1 dx3 2x−

∫

35. 1

5 2

0x 1 x d+∫ x

36.

2

31

1 dxx 1 x+∫37.

12 3

0(1 x ) dx−∫38.

2

30

x 1 dx3x 2++

∫39.

2 3

25

1 dxx x 4+

∫40.

22

04 x d+∫41. x

21

0

x dx(x 1) x 1+ +∫42.

1

20

1 dx4 x−

∫43.

3

22

1 dxx 1−

∫44.

38

1

x 1dxx+

∫45.

4

27

1 dxx 9 x+

∫46.

1

0

3 dxx 9 x+ −

∫47.

1

33

1 dxx 4 (x 4)− + + +

∫48.

6

4

x 4 1. dxx 2 x 2−+ +∫49.

By Th.S Ng n Hong: 0979. 979. 489(Mê Linh – Hà Nội) uyen Va50.

0

21 x 2−

1 dxx 9+ +

∫

51. 3

2

1 dxx1 4x −

∫

52. 2

2

2x 5 dxx 13

−

+ +2 x 4−∫

53. 1

15 8x d+∫0x 1 x

54. 4 2 dx

4∫1 x 5− + +

55.

222

2

x dx−0 1 x

∫

56. 37

2

x dx3

0 1 x+∫

57. 23

2 dxx+

1

x 1∫

58. 2

3

2dx

−

2

0

x

1 x∫

59. 2

23

1

x x∫ 2

dx1−

60. 2

0 (4∫ 2 21 dxx )+

61. 7

2 2 x∫1 dx

1+ +

62. 2

1 x 1∫ 3

1 dxx+

63. 3

20

x dxx 1 x+ +

1

∫

64. 1

21

1 dx1 x 1 x− + + +∫

65.

12

212

1 dx(3 2x) 5 12x 4x− + + +

∫

66. 21

20

x dxx 4+

∫

67. 1

312

x dxx 1+∫

68. 1

2

03x 6x 1dx− + +∫

69. 1 2

0

x 1 dxx 1−+∫

70. 1

0x 1 xdx−∫

71. 7 9

3 20

x dx1 x+

∫

72. 1

2

1/21 x d

−−∫ x

73. 3

2

2

x 1dx−∫

74. 1

2

0

x 1d+∫ x

75. 3

22

dx

x x 1+∫

76. 1/ 3

2 20

dx

(2x 1) x 1+ +∫


3

0

( 3 1)x x dx+ +∫2 2

2

0x x 1d+∫ 77. x

78. a

2 2 2

0x a x dx (a 0)− >∫

79. 1

0

dx1 x+∫

80. 1

0

dxx 1+ +∫ x

81. 1

3 2

0x 1 x d+∫ x

82. 1

2 2

0x 1 x d−∫ x

83. 1 2

x1

1 x dx1 2−

−+

∫

84. 1 2

20

(x x)dx

x 1

+

+∫

85. 2

30

x 1 dx3x 2++∫

86. 2

2 3

0x x 1dx+∫

87. 3 2

0

x 1 dxx 1++∫

88. 10

5

dx

x 2 x− −∫1

89. 42

50

xdx

x 1+∫

90. 2

2 3

1

2x x dx+∫

91.

2 2

30 1

x dxx +

∫92.

2 2 2

04x x dx−∫93.

2 2 2

0

a

x x a dx+∫94.

23

21

9 3x dxx+

∫95.

4

20

1(1 1 2 )

x dxx

++ +∫96.

8

23

11

x dxx−

+∫97.

13 2

0

( 1) 2x x x dx− −∫98.

4 3 2

20

2 31

x x xdxx x− +

− +∫99.

2 3

3 20 4

x dxx+

∫100.

22

1

4 xdx

x−

∫101.

+ +∫

2 5

2 22

xdx

(x 1) x 5102.

+ +∫1

20

dx

x x103.

1

+ −∫

21

20

x dx

3 2x x104.

By Th.S Ng n Hong: 0979. 979. 489(Mê Linh – Hà Nội) uyen Va

105. −+

2 xdx

2 x∫2

0

106. −

∫21

60

x dx

4 xIII. Tích phân hàm mũ và logarit:

1. 21

x x(2x 1)e dx−−0∫

2. ln 2

x 1d−∫0

e x

3. 1 1

x0

dxe 4+∫

4. 1 x 2) dx+

x0

(1 ee∫

5. 2

x dx1

11 e−−∫

6. 2x1

dx−

x0

ee 1− +∫

7. xln 2

x0

1 e1 e−+∫ dx

8. x 2

2x) dx

1

0

(1 e1 e++∫

9. ln2

x0

dx

e 5+∫

10. 24

0

x

x

e de

π

∫ 1x−

11. 1

2x0

1e e+∫ x dx

12. 2x2

x0

e dxe 1+∫

13. xln 3

x x0

e dx(e 1) e 1+ −

∫

14. ln 3

x0

1 dxe 1+

∫

15. x1

x0

e dxe 1

−

− +∫

16. 1

2x0

1 dxe 3+∫

17. xln 3

x 30

e dx(e 1)+

∫

18.

14x 2x2

2x0

3e e dx1 e

+

+∫

19. 1

x0

1 dx3 e+

∫

20. x1

x x0

e dxe e−+

∫

21. ∫+4

02

2

cos

π

xetgx

22. ln5

ln3 2 3x x

dxe e−+ −∫


2sin x

0(e cos x)cos x dx

π

+∫23.

24. 22

sin x 3

0e .sin x cos x x

π

∫ d

25. 4

0ln(1 tgx)dx

π

+∫

26.

3e 2

1

ln xdx

x ln x 1+∫

27. e

1

1 3ln x ln x dxx

+∫

28. 1 3

2

1ln(x x 1) dx

−

⎡ ⎤+ +⎢ ⎥⎣ ⎦∫

29. 2e

e

ln x dxx∫

30. 2

2

0ln( 1 x x)dx+ −∫

31. 1

20

ln(1 x)dxx 1++∫

32. 1

3 2ln1 2ln

e x dxx x

−+∫

3 2e

1

ln x 2 ln xdxx+

∫

( )21

lnln 1

e x dxx x +∫

33.

34.

e 2

1

1 ln x dxx

+∫ 35.

e

1

3 2 ln xdx

x 1 2ln x

−+∫36.

2

1 ln

e

e

dxx x+∫37.

2

1

(1 ln )e xx

+∫38.

3

1

6 2lne xx

+∫39.

3

1

1 lne xx+

∫40.

1

2 lne xdxx+

∫41.

e

1

2 ln xdx2x+

∫ 42.

e

1

x (x 2)ln xdxx(1 ln x)+ −

+∫ 43.

e x

x1

xe 1 dxx(e ln x)

+

+∫ 44.

3e 3

1

ln x dxx 1 ln x+∫ 45.

By Th.S Nguyen Van Hong: 0979. 979. 489(Mê Linh – Hà Nội) IV. Tích phân hàm lượng giác:1.

0 sin 2x2

2

dx(2 sin x)−π +∫

2. 2

5

0sin x∫ dx

π

3. 3

2

4π

3tg x dx

π

∫

4. 3

2 2

3−

1 dxsin x 9cos x

π

π +∫

5. 4 sin cos

20 sin 2 cosx xdxx x

π

/2cos 2xdx

π

/ 4cos4xdx

π

/ 42 4sin xcos xdx

π

∫

+∫

6. 2 2

0sin x∫

7. 2

0cos x∫

8.

0

9. 2 cos x 1 dx

x 2

π

−+

2cosπ

−

∫

10. 2

0

1 si1 3co

π

++∫

n x dxs x

11. 42

4 40

cos x dxcos x sin x

π

+∫

12. 62

6 60

sin .sin

x dxx cos x

π

+∫

13. 2

0

1 cos x dx1 cos x

π

−+∫

14. 2

4

0sin x dx

π

∫

15. 3

4

4

tg xdx

π

π∫

11

0sin xdx

π

∫

16.

17. 6

0

xsin dx2

π

∫

18. 2

2

3

cos x dx(1 cos x)

π

π −∫

19. 2

0∫ 5 4cos x sin xdx

π

20. 2

4 4

0cos 2x(sin x cos x)dx

π

+∫


3 32

3

sin x sin x cot gx dxsin x

π

π

−∫

43

0tg x dx

π

∫21.

22. 4

5

0tg x dx

π

∫

23. 34

20

sin x dxcos x

π

∫

24. 2

20

cos x dxcos x 1

π

+∫

25. 2

2

0cos x.cos 4x dx

π

∫

26. 4

4

0cos x dx

π

∫

27.

4

60

1cos

dxx

π

∫

28. 32

0

4sin x dx1 cosx

π

+∫

29. 32

0

cos x dxcos x 1

π

+∫

30. 2

3

0cos xdx

π

∫

31.

26 3 5

01 cos x sin x.cos xdx

π

−∫32.

32

20

sin x.cos x dxcos x 1

π

+∫33.

6

20

cos x dx6 5sin x sin x

π

− +∫34.

2

0

sin 2x dx1 cos x

π

+∫35.

36.

20082

2008 20080

sin x dxsin x cos x

π

+∫37.

2

0

sin x dxcos x sin x

π

+∫38.

34

4

sin 2x dx

π

π∫39.

2

01 sin xd

π+∫40. x

2

0

cos x dxcos x 1

π

+∫41.


42. 0

1 sin xdπ

−∫ x

43.

01 cos2xd

π+∫ x

44. 2

in xdπ

+∫0

1 s x

45. 2

0

x sin x1 cos

π

+∫ dxx

46. 3

2

6

tg x

π

π∫ 2cot g x 2dx+ −

47. e

1

sin(lnx∫

x)dx

48. 2

4 4cos2x(sin x cos x)

π

+∫0

dx

49. 33 sin x dxx 3)

π

+20 (sin∫

50. 3cos x dx

3cos x 3

π2

4 20 cos − +∫

51. 4

2t gx 1( ) dx1

π

−∫0 tgx +

52. 2 sin x dx

3

π

20 cos x +∫

53. 2

3 3(cos x sin x)dx

π

+0∫

54. 2

2

0sin x cos x(1 cos x) dx

π

+∫

55. 2

2 3

0sin 2x(1 sin x) dx

π

+∫

56. 3

2

6

1 dxcos x.sin x

π

π∫

57. 2

0

sin3x dxcos x 1

π

+∫

58. 4

30

1 dxcos x

π

∫

59. / 3 2

6/ 4

sin x dxcos x

π

π∫

60. 2

40

sin 2x dx1 sin x

π

+∫

61. 3

0sin x.tgxdx

π

∫

62. 2 sin 2x.cos x dx

1 cos x

π

+0∫


3

4

cos x sin x dx3 sin 2x

π

π

++

∫2

2 20

sin 2cos 4sin

xdxx x

π

+∫63.

64. 2

0

sin x cos x cos x dxsin x 2

π

++∫

65. 3

20

cos x dx1 sin x

π

−∫

66. 36

0

sin x sin x dxcos 2x

π

+∫

67. 4 44

0

sin x cos x dxsin x cos x 1

π

−+ +∫

68. 2

0

sin 2x sin x dx1 3cos x

π

++

∫

69.

3

30

sin1 cos

xx

π

+∫

70. 2

0

cos x dx2 cos2x

π

+∫

71. ( )2

0

cos sinx x dx

π

−∫

72. 2

3

1 dxsin x 1 cos x

π

π +∫

73.

2

0

cos x dxcos 2x 7

π

+∫74.

6

0

cos1 2sin

x dxx

π

+∫75.

4

20 2 cos

dx dxx

π

−∫76.

2

0

sin x dx1 sin x

π

+∫77.

2

0

cos x dxcos x 1

π

+∫78.

2

0

1 dx2 cos x

π

−∫79.

4

0

1 dx2 tgx

π

+∫

( )

80.

4

20 sin 2cos

dxx x

π

+∫81.

/ 2

30

4sin x dx(sin x cosx)

π

+∫82.


83. / 2

0

3sin3sin

π

∫ 2 2x 4cos x dxx 4cos x+

+

84. 2

0 2 c−cos x dx

os x

π

∫

85. 33 sin x dx

π

0 cos x∫

86. 2

sin x dxπ

0 x∫

87. 3

4

6

1sin xπ∫ dx

cos x

π

88. 2

3cos x cos x cos xdx

π

−∫2π

−

89. 24

0

1 2sin1 sin 2x−+∫

x dx

π

90. 52

0 cossin x dx

x 1

π

+∫

91. / 4

21 sin 2x dx

s x

π +

0 co∫

92. 3

2cos 2x dx

1 cos 2x

π

π −∫6

93. 4

20

sin 4x dx1 cos x+∫

94. 4 / 3 dx

xsin2

π

π∫

95. 2

3

sincos 2 cos

xdxx x

π

π −∫

96. 3

2

4

tgx dxcos x 1 cos x

π

π +∫

97. / 3

2 2

/ 6tg x cot g x 2dx

π

π+ −∫

98. / 3

/ 6

dxsin xsin(x / 6)

π

π + π∫

99. 3

4

1 dxsin 2x

π

π∫

100. 2

0

xsin x dx9 4cos x

π

+∫

101. 2

0

sin 2x sin x dxcos3x 1

π

++

∫

102. 2

6

1 sin 2x cos 2x dxcos x sin x

π

π

+ ++∫

By Th.S Nguyen Van Hong: 0979. 979. 489(Mê Linh – Hà Nội) / 4

0

sin x.cosxdx

sin2x cos2x

π

+∫4

6 60

sin 4sin cos

xdxx x

π

+∫103.

104. 4

2 20

sin 2x dxsin x 2cos x

π

+∫

105. /2 3

20

sin xdx1 cos x

π

+∫

106. 2

40

sin 2x dx1 cos x

π

+∫

107. 1/ 2

0

dx1 cos+∫ x

108. 4

0

1 dxcos x

π

∫

109. 2

0

cos x dxsin x cos x 1

π

+ +∫

110. / 4

0

cos x 2sin x dx4cos x 3sin x

π ++∫

111. / 2

30

5cosx 4sin xdx

(cosx sin x)

π −+∫

112. 2

0

4cos x 3sin x 1 dx4sin x 3cos x 5

π

− ++ +∫

113. /2

0

sin x 7cos x 6 dx4sin x 3cos x 5

π + ++ +∫

114. 2

0

1 dx2cos x sin x 3

π

+ +∫

115.

/2

2 2 2 20

sin xcos x dxa cos x b sin x

π

+∫

( )

116.

/ 4

30

cos2xdx

sin x cosx 2

π

+ +∫117.

32

0

sin x tgx dx

π

∫118.

/4

40

dxcos x

π

∫119.

/ 4 3

40

4sin x dx1 cos x

π

+∫120.

/ 2

0

dxsin x cos x

π

+∫

3

0sin x cos3xdx

121.

π

∫122.

/4

0

dx1 tg

π

+∫123. x

/2

20

sin xdx dxcos x 3

π

+∫ 124.

/2

30

sin xdx(s 3 cos x)

π

+∫

inx125.

/6

0

dx(s 3 cos x)

π

+∫

inx126.


127. /2

0 (s

π

∫inx 3

sin xdxcos x)+

128. /2

37sin x 5cos x dx

cos x)

π −+

∫ x0 (s in

129. /2

33sin x 2cos x dx

cos x)

π −

+∫

inx0 (s

130. /2 4

3 3cos xs dx

os x

π

+∫

inx

in x0 s c

131. /2

/4

sin x cos x dx1 sin 2x

π

π

−+∫

132. /2

2/6

cos x dxs 3 c x

π

π +∫

inx os

133.

134. /6 3

0

tan x dxcos2x

π

∫

V. Tích phân từng phần:

1. e

2ln x dx

1)∫1e

(x +

2. 2 ln x

51

dxx∫

3. 2 ln x dx21 x∫

4. 4

1

ln xx∫

5. 8 ln

13

xx +∫

6. 3 2

e

dx

2ln(1 x)dx+∫

1

lnx x∫

7.

1

8. ( )

4

30

ln 2 1

2 1

x dxx

+

+∫

( )2

1

2 ln

9. x xdx−∫

10. 2

2

1

1x ln(1 )dxx

+∫2

2

1(x x) ln x dx+∫

11.

12. 2e

1

x x ln x 1dxx

+ +∫

13.

1e

2

1ln x dx∫

22

1x ln xdx∫

42

1(x 1) ln x dx−∫

32

1

ln(3 )

14.

15.

16. x x dx+∫


21

ln(x 1) dxx+

∫ 17.

18. 2 2

31

ln(x 1) dxx+

∫

e

1x(2 ln x)dx−∫

e

1(1 x) ln x dx+∫

e2

1x ln x dx∫

22

1(x ln x) dx∫

( )1

2

0

ln 1

19.

20.

21.

22.

23. x x d+∫ x

24. 3

21

1 ln( 1)x dxx

+ +∫5

2

2

ln( 1)

25. x x dx−∫

26.

12

0

1 xx.ln dx1 x+−∫

27.

2e

2e

1 1( )dxln xln x

−∫

28. 0

2x 3

1x(e x 1)dx

−+ +∫

2e

1

x 1.ln xdxx+

∫

e2

1(ln x) dx∫

29.

30.

42

1ln( x 9 x)dx+ −∫

32

2ln(x x)dx−∫

31.

32.

2e

1

ln x dxln x∫

102

1

lg

33.

x xdx∫3

2

0x ln(x 1)dx+∫

22

1x ln(x 1)dx+∫

34.

35.

36.

31

lne xdxx∫37.

2 x1

20

x e dx(x 2)+∫38.

( )( )

21

20

1

1

xx edx

x

+

+∫21

3 x

0x e dx∫

22

1

( 1) x

39.

40.

x e dx+∫41.

x22

0x.e dx

−∫42.


43. 1

0

( 1) xx e dx−+∫

44.

13

0

xx e dx∫

45.

46. ( )1

0

2 2xx e dx−∫

47. 1

x

2x 2e sin xdxπ

∫1

2 2x(1 x) .e dx+∫

3x 1

0e d+∫

48.

0

49.

0

50. 1

x

0

xe d∫ x

51. 4

xe dx∫1

52. ln8

x 2x.e d+∫ln3

e 1 x

53. 4

3x

0e sin 4x d

π

∫ x

54. 2

sin x

0e sin 2

π

∫ x dx

55. 21

20

x ln(x 1 x ) dx1 x

+ +

+∫

56. 2sin x.ln(1 cos x)dx

π

+∫

( )

0

57. 2

0

1 sin 2x xdx

π

+∫

58. 3

0sin x.ln(cos x)dx

π

∫

59. 4

2

0x.tg x dx

π

∫

0x sin xdx

π

∫

60.

61. 3

2

3

sincos

x xdxx

π

π−

∫

2

0x cos x sin x dx

π

∫

62.

63.

2

4

0sin xdx

π

∫

64. 1

0cos x dx∫

2 2

0x cos xdx

π

∫

( )

65.

66. 2

2

0

2 1 cosx xdx

π

−∫


67.

2

4

0x sin xdx

π

∫

68.

2

4

0x cos xdx

π

∫

69.

3

23

0

sin xdx

π⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

∫

70.

2

9

0

sin xdx

π

∫

71. 4

0

.1 cos 2

x dxx

π

+∫

72. 2

2

4

xdxsin x

π

π∫

/ 22

0x cos xdx

π

∫

73.

/ 3

20

x sin x dxcos x

π +∫/ 2

2

0(x 1)sin xdx

π+∫

12

0

x .sinxd∫

3

0xsin xdx

π

∫

/ 2

0cos x ln(1 cos x)dx

π+∫

74.

75.

76. x

77.

78.

2x

0

1 sin x e dx1 cos x

π

++∫79.

3

2

6

ln(sin x) dxcos x

π

π∫

( )

80.

3

4

lnsin 2

tgxdx

x

π

π∫81.

6

20 cos

xdxx

π

∫82.

2

3/4

cossin

x xdxx

π

π∫

0

os(ln )e

c x dxπ

∫

83.

84.

4

20

cos 2(1 sin 2 )

x x dxx

π

+∫85.

4

0

(1 sin 2 )x x dx

π

+∫86.

By Th.S Nguyen Van Hong: 0979. 979. 489(Mê Linh – Hà Nội) VI. Lớp tích phân đặc biệt:

1. 1 4

1 2 1x

x dx

− +∫

2. ( )2 5

2 12

ln x x dx+ +−

⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦∫

312ln( 1 )3.

1

x x d−

⎡ ⎤+ +⎣ ⎦∫ x

2

3 42

sin4 5

xdxx− +

∫4.

5. ( )2

2 1

2

cos .lnx x x d x

π

π−

+ +∫

6. ( ) ( )

cot

2 21 1

1 01 1

tga gxxdx dx tgx x x

+ =+ +∫ ∫

e e

a >

1 4

21

sin1

x x dxx−

++∫7.

8. 1 2

1

11 2x

x dx−

−+∫

9. 6 64

4

sin cos6 1x

x x dx

π

π−

++∫

10. / 2

2/ 2

x cos x4 sin

π

−π

+−

∫ dxx

11. 2/2

xin x

dxπ π

/2

x s1 2−π +

∫

1 21 x dx−∫ 12.

x1 1 2− +

1

x 21

dx(a 1)(x 1)− + +

∫ 13.

Documents

TÍCH PHÂN