TIKIMYBIŲ TEORIJA

Įvykiu vadinami įvairūs gamtos, ekonominiai ir pan. reiškiniai, kurie gali įvykti susidarius tam tikroms sąlygoms. Visuma sąlygų, duodančių galimybę pasirodyti stebimajam įvykiui, paprastai vadinama bandymu arba eksperimentu. Kiekvieno bandymo rezultatas vadinamas įvykiu.

•Metamas lošimo kauliukas – bandymas, iškrito 6 akys – įvykis.•Perkamas akcijų paketas – bandymas, dividendų gavimas – įvykis.

Įvykis, kuris bandymo metu gali įvykti arba neįvykti, vadinamas atsitiktiniu įvykiu.

Pavyzdžiui, laimėjimas tenka ne kiekvienam įsigytam loterijos bilietui.

Įvykis, kuris, atlikus bandymą, būtinai įvyksta, vadinamas būtinu. Įvykis, kuris , atlikus bandymą, negali įvykti, vadinamas negalimu.

Pavyzdžiui, prie 100º C temperatūros vanduo, esant normaliam slėgiui, užverda- tai būtinas įvykis, bet prie tų pačių sąlygų, jis niekada nevirs ledu – tai negalimas įvykis.

Atsitiktiniai įvykiai žymimi didžiosiomis raidėmis – A,B,C,…

Būtiną įvykį visuomet žymėsime Ω, o negalimą įvykį žymėsime tuščios aibės simboliu Ø. Jei įvykis nėra nei būtinas, nei negalimas, tai jis – atsitiktinis.

Tarkime,kad metamas(vieną kartą) lošimo kauliukas. Šis bandymas gali baigtis tik viena iš šešių galimybių: gali atsiversti sienelė su 1, 2, 3, 4, 5, 6 akutėmis. Tuos bandymo rezultatus išreikšime įvykiais A1, A2, A3, A4, A5, A6.

Elementariuoju vadinamas įvykis, kuriam palanki tik viena baigtis. Tokių įvykių aibė vadinama elementariųjų įvykiu erdve. Vadinasi, elementariųjų įvykių erdvę sudaro visi galimi bandymo rezultatai, kurie gali įvykti tik atskirai (o ne kartu su kitais) ir kurių negalima “smulkinti”.

654321 ,,,,, AAAAAA

Veiksmai su įvykiais

ΩAB

Jei įvykis B yra įvykio A dalis , t.y. BA, jeigu įvykus įvykiui A, įvyksta ir įvykis B

Kiekvienas įvykis A yra būtinojo įvykio Ω dalis

4,2

4,3,2,1

B

A

A

B

ΩA B

Įvykiu A ir B sąjunga arba suma vadiname įvykį, kai įvyksta bent vienas iš įvykių A ir B.

Žymima A+B arba AUB.

5,4

4,3,2,1

B

A

A+B

A

B

ΩA B

Įvykių A ir B sankirta arba sandauga vadiname įvykį, kai kartu įvyksta abu įvykiai A ir B.

Žymima A·B, A∩B arba A&B.

5,4

4,3,2,1

B

A

A

B

A&B

ΩA B

Įvykių A ir B skirtumu vadinamas įvykis A\B (A-B), kai įvyksta A, o B neįvyksta

5,4

4,3,2,1

B

A

A\B

A

B

ΩA

Įvykis, kuris įvyksta, kai įvykis A neįvyksta, yra vadinamas įvykiui A priešingu įvykiu ir žymimas A

AA AA ØAA

A

6,5

4,3,2,1

A

A

A

Įvykiai A ir B vadinami nesutaikomais, jeigu jie negali įvykti kartu , kai

Priešingu atveju jie vadinami sutaikomais

ΩA B

BA

A

6,5

4,3,2,1

A

A

A

Klasikinis tikimybės apibrėžimas

Įvykio A tikimybe vadinamas elementariųjų įvykių, sudarančių įvykį A, skaičiaus santykis su elementariųjų įvykių skaičiumi erdvėje Ω

n

mP(A)

skaičius atvejų galimų visų

skaičius atvejų įvykiui palankių A

Ši tikimybės skaičiavimo formulė vadinama klasikiniu tikimybės apibrėžimu

0)( P 1)( P

1)(0 AP

)(1)( APAP

Du kartus metama moneta. Kokia tikimybė, kad bent kartą iškris herbas?

4

3

n

mP(A)

Ω=

!kn

n!Ak

n Gretiniai Tvarka!

Ne tas pats gretinys!!!

3)...-2)(n-1)(n-n(nAkn

k narių

10 9 8 7 6 5

10 10 10 10 10 10

n!Pn Kėliniai

k!!kn

n!C k

n Deriniai

k!

Akn

Aksiominis tikimybės apibrėžimas

Tikimybe vadiname skaitinė funkcija P, tenkinanti šias aksiomas:•P(A)≥0;•P()=1;•P(A+B)=P(A)+P(B), kai AB=

Trejetas {,F,P} vadinamas tikimybine erdve, čia-elementarių įvykių erdvėF-poaibių klasė, kurios elementai yra nagrinėjami įvykiaiP-tikimybė

Tikimybės savybės:

1) P()=02) 0≤P(A)≤13) P( )=1-P(A)A

n

1ii

n

1ii )P(AAP 4) ,kai AiAj=, i≠j

5) Jei įvykiai Ai , i=1,2,...,n sudaro pilnąją įvykių grupę, tai

n

1ii 1)P(A

Įvykių sumos ir sandaugos tikimybė

Teorema. Dviejų įvykių sumos (sąjungos) tikimybė yra lygi šių įvykių tikimybių sumai be tų įvykių sandaugos (sankirtos) tikimybės skirtumui:

).()()()( ABPBPAPBAP

)...(1)...( 321321 nn AAAAPAAAAP

Teorema. Nors vieno iš įvykių nAAAA ,...,, 321

pasirodymo tikimybė :

Įvykis B=A1+A2+...+An , tada jam priešingas įvykis

A...AAAB 321 (dualumo principas). Kadangi

)BP(1P(B) tai)A...AAAP(1)...AAAP(A n321n321

Iš urnos, kur yra 7 balti ir 5 juodi rutuliai, atsitiktinai be gražinimo išimti 4 rutuliai. Kokia tikimybė, kad

?baltas yra rutulys vienasnorsA

99

98

1159

51

12349101112

12342345

11

)(1)(

412

45

C

C

APAP

5

1

juodi visiA

Įvykio A tikimybė, apskaičiuota tarus, kad įvykis B įvyko, vadinama sąlygine tikimybe ir žymima

)( BAP

Skaitoma - ”tikimybė, kad įvyks A su sąlyga, kad įvyko B”

)(

)(

BP

ABP)( BAP

Teorema. Dviejų įvykių sandaugos(sankirtos) tikimybė yra lygi vieno įvykio tikimybei, padaugintai iš kito įvykio sąlyginės tikimybės, kai pirmasis įvykis įvyko:

)()()()()( BAPBPABPAPABP

Iš 36 kortų kaladės atsitiktinai traukiamos trys kortos. Kokia tikimybė, kad tarp jų nebus nei vieno tūzo?

69.034

30

35

31

36

32)( 321 AAAP

Teorema. Dviejų nepriklausomų įvykių sandaugos tikimybė lygi tų įvykių tikimybių sandaugai, t.y. )()()( BPAPABP

Teisingas ir atvirkščias teiginys

Du įvykiai A ir B vadinami nepriklausomais, jei vieno iš jų įvykimas nepakeičia antrojo įvykio tikimybės, t.y. P(B)A)BP( ir P(A)B)AP( Priešingu atveju jie vadinami priklausomais.

Kadangi įvykiai A ir B yra nepriklausomi, taiP(B)A)BP( ir P(A)B)AP(

Įrašę į sandaugos teoremą B)AP(B)P(A)BP(A)P(P(AB) gauname P(A)P(B)P(AB)

Studentas iš patirties žino, kad jam reikalinga knyga bus KTU knygyne su tikimybe 0,5. Tikimybė, jog reikalinga knyga bus KVK bibliotekoje lygi 0,7, o Kauno viešoje bibliotekoje lygi 0,3. Apskaičiuokite tikimybes: a) reikiamą knyga bus bent vienoje iš šių paminėtų institucijų,b) reikiamą knyga bus KTU knygyne ir KVK bibliotekoje ,c) visose trijuose institucijose.

0,50,7

0,3

0,5 0,70,3

895.07.03.05.01

)(1)(

APAP

a) reikiamą knyga bus bent vienoje iš šių paminėtų institucijų

b)

0,50,7

0,7 0,50,7

0,3

35.03.07.05.07.07.05.0)( AP

reikiamą knyga bus KTU knygyne ir KVK bibliotekoje

c)

0,50,7

0,3

105.07.03.05.0)( AP

visose trijuose institucijose