Министерство образования российской федерации Красноярский государственный технический университет

ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА

для инженеров-физиков

Тимофеев Иван Владимирович

Красноярск 2006

2

Посвящается моим школьным учителям Ларину Сергею Васильевичу, Лариной Полине Ивановне, Ореховой Ларисе Ивановне,

Соснину Михаилу Викторовичу

ПОСОБИЕ НЕ БЫЛО ИЗДАНО

УДК 535.14(07) Ф50

Рецензент: В.П. Тимофеев, к-т. физ.-мат. наук, проф. кафедры ВЭПОМ КГТУ Ф50 Дискретная математика для инженеров-физиков: сборник задач / Сост. И.В. Тимофеев. Красноярск: ИПЦ КГТУ, 2003. 35 с.

В сборник вошли 64 задачи, предлагавшиеся автором-составителем

студентам Инженерно-физического факультета КрасГТУ в третьем семе-стре в рамках 34-часового курса «Дискретная математика». Все задачи снабжены ответами и указаниями к решению.

Дискретная или конечная математика является универсальным языком описания и исследований в таких научных разделах и направлениях как теория алгоритмов, теория графов, теория групп. Дискретный анализ ох-ватывает практически все области инженерного знания от электрических цепей и задач оптимизации до проблемы квантового компьютера. Без знания основ дискретной математики немыслимо понимание современ-ных методов работы с информацией: поиск, защита, сжатие. На дискрет-ную математику опираются принципы работы таких широко распростра-ненных аппаратов, как сотовый телефон, mp3-плейер, сканер штрих-кодов.

Освоение студентом программы данного курса предполагает знание основ алгебры и геометрии, элементарных математических понятий и терминов.

© КГТУ, 2006

© Тимофеев И.В., 2006 Печатается в авторской редакции

Печатается по решению редакционно-издательского совета факультета.

3

ПЛАН КУРСА «ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА».

Краткая характеристика курса

Дискретная или конечная математика является универсальным языком описания и исследований в таких научных разделах и направлениях как теория алгоритмов, теория графов, теория групп. Дискретный анализ ох-ватывает практически все области инженерного знания от электрических цепей и задач оптимизации до проблемы квантового компьютера. Без знания основ дискретной математики не мыслимо понимание современ-ных методов работы с информацией: поиск, защита, сжатие. На дискрет-ную математику опираются принципы работы таких широко распростра-ненных аппаратов, как сотовый телефон, mp3-плейер, сканер штрих-кодов.

Освоение студентом программы данного курса предполагает знание основ алгебры и геометрии, элементарных математических понятий и терминов. Курс рассчитан на 8 лекций и 8 практических занятий.

Краткость курса заставляет отказаться от традиционного жестко-систематического подхода и сместить ударение на популярное изложение с задачами олимпиадного характера и занимательного оформления.

Данный курс существенно отличается от классических университет-ских курсов дискретной математики. Понятия, утверждения и способы решения задач излагаются согласно наглядно-эмпирическому подходу. Разделы начинаются с простых школьных задач, требующих скорее сооб-разительность, нежели знаний.

Темы лекций

Лекция 1. Введение. Теория множеств. Примеры множеств. Основные обозначения. Действия над множествами и их свойства. Диаграммы Эй-лера-Венна.

Лекция 2. Правила сложения (включений и исключений) и умножения мощностей множеств. Прямое произведение и разбиение. Отображения «на», «в», взаимно однозначные.

Лекция 3. Представления строки нулей и единиц: а) вектор Евклидова пространства, вершина многомерного куба; б) подмножество множества, характеристический вектор подмножест-

ва, булеан; в) логическая функция; г) двоичное представление натурального числа, системы исчисления;

4

д) состояние памяти вычислительной машины: команды, величины, текст;

е) результат эксперимента, сообщение; ж) монотонный путь на прямоугольной сетке; з) растровый рисунок; и) штрих-код, азбука Морзе. Лекция 4. Выборки. Сочетания и размещения с повторением и без по-

вторения. Факторизация и факториал. Двойственность того набора, из ко-торого выбирают, и того, в который выбирают.

Лекция 5. Таблица основных формул комбинаторики. Перестановки с повторением. Бином Ньютона. Треугольник Паскаля, его вероятностная интерпретация.

Лекция 6. Графы. Определения. Локальные степени. Подграфы. Би-нарные отношения на графах. Матрицы смежности и инцидентности. Связность. Маршруты и цепи. Расстояние. Радиус и диаметр графа. Эйле-ровы цепи и гамильтонов путь. Деревья. Правила обхода лабиринтов.

Лекция 7. Поиск, защита, сжатие информации Поиск и двоичное дере-во. Неравенство Крафта. Информационная энтропия и ее свойства. Сжа-тие информации: код Шеннона-Фэно, алгоритм Хаффмена, Зива-Лемпеля.

Лекция 8. Графы и перестановки на примере электрических цепей, ла-биринтов, комбинаторных головоломок и логических игр

Основная литература

1. Романовский И.В. Дискретный анализ. Учебное пособие по приклад-ной математике и информатике. 3-е изд. СПб.: Невский диалект, 2004 г.

2. Липский В. Комбинаторика для программистов. М.: Мир, 1988 г. 3. http://physmatik.narod.ru/

Дополнительная литература

4. Цих А.К. Введение в специальность «математика». 2-е изд. Изд-во КрасГУ, 2002 г.

5. Акимов О.Е. Дискретная математика: логика, группы, графы -М. : Ла-боратория Базовых Знаний , 2001.

6. Оре О. Теория графов. М.: Наука, 1968 г. 7. Калужнин Л.А., Сущанский В.И. Преобразования и перестановки. М.: Наука, 1979 г.

8. Виленкин Н.Я. и др. Алгебра и математический анализ. 11 кл.: Учеб. Пособие для шк. и кл. с углубл. изуч. математики. М.:Мнемозина, 2000 г. (главы 11,12)

5

9. Шарыгин И.Е. Геометрия (5-6 кл), (7-9 кл) и (10-11 кл): Учеб. Посо-бие для школ.

10. Дубровский В.Н., Калинин А.Т. Математические головоломки. Вып. 1. М.:Знание, 1990 г.

11. Яглом И.М. Необыкновенная алгебра. Серия: Популярные лекции по математике. М.:Наука, 1968 г.

12. Гарднер М. Математические головоломки и развлечения. Пер. с англ. Ю.А. Данилова. М.: "Мир", 1971, 511 с.

13. Зельдович Я.Б., Мышкис А.Д. Элементы математической физики. Среда из невзаимодействующих частиц. М.:Наука, 1973, 351 с.

14. Пенроуз Р. Новый ум короля: О компьютерах, мышлении и законах физики. М.: Едиториал УРСС, 2003 г.

Тяжелая1 литература

15. Кузнецов О.П., Адельсон-Вельский Г.М. Дискретная математика для инженера. М.: Энергоатомиздат, 1988 г.

16. Колесник В.Д., Полтырев Г.Ш. Курс теории информации. М.:Наука, 1982

17. Яблонский С.В. Введение в дискретную математику: Учеб. Пособие для вузов. М.: Высш. шк. 2003 г.

18. Гаврилов Г.П., Сапоженко А.А. Задачи и упражнения по дискретной математике: Учеб. Пособие. М.: Физматлит, 2004 г.

к.ф.-м.н., Тимофеев И.В. (physmatik@narod.ru)

1 Не рекомендуется начинать изучение дискретной математике с приведенных книг без предварительной подготовки.

6

ЗАНЯТИЕ 1. ОСНОВЫ

Множества, отображения и отношения 2 Задача 1.1. Булеан ( 3 4)

Перечислите подмножества множества из 3 элементов A = {a,b,c}. Вклю-чите в число подмножеств само множество и пустое множество5. Сколько подмножеств6 имеет множество из N элементов?

Задача 1.2. Доказательство на кружках

С помощью диаграммы Эйлера-Венна7 докажите правила де Моргана8: A B A B∪ = ∩ A B A B∩ = ∪

Задача 1.3. Принцип Дирихле9 в арбузных корках ( )

Пятеро друзей (студенты-математики) разрезали арбуз на пять кусков. Когда арбуз был съеден, получилось шесть корок. Причем корки не ло-мали. Изобразите возможное разрезание.

2 Количество звездочек перед заголовком определяет сложность задачи. 3 Знак указывает, что задача упоминается, а, возможно, и разбирается на лекции. 4 Знак указывает на расчетную задачу, числовые данные в которой могут быть легко изменены. 5 Все множество и пустое множество называются несобственными подмножествами. 6 Множество подмножеств называется булеаном в честь американского математика Буля, исследовавшего алгебру нулей и единиц. В данном случае единицы понима-ются как наличия, а нули — отсутствия данного элемента в подмножестве. Буль (Boole) Джордж (2.11.1815, Линкольн, - 8.12.1864, Баллинтемпл близ Корка), английский математик и логик. 7 Эйлер (Euler) Леонард [4(15).4.1707, Базель, Швейцария, - 7(18).9.1783, Петер-бург], математик, механик и физик. Венн (Venn) Джон (4.8.1834, Драйпул, близ Халла, - 4.4.1923, Кембридж), англий-ский логик. 8 Морган (1806-1871) Август де (1806-1871), английский математик и логик. 9 Принцип Дирихле́ утверждает, в частности, что если посадить 11 кроликов в 10 клеток, то найдется клетка, в которой окажется не менее двух кроликов. Дирихле́ (Dirichlet) Петер Густав Лежён (13.2.1805, Дюрен, - 5.5.1859, Гёттинген), немецкий математик.

7

Задача 1.4. Отношение упорядочения

Девять борцов пронумерованы №№1-9 так, что борец с большим номером побеждает борца с меньшим номером. Составьте 3 команды по 3 борца так, чтобы в поединках сильнейший с сильнейшим, слабейший со сла-бейшим и средний со средним по числу побед первая команда побеждала вторую, вторая − третью, а третья − первую. Какое из свойств упорядо-ченного множества нарушается для команд борцов?

Вероятности

Задача 1.5. Азартная игра и справедливость ( )

Саша, Витя, Дима и Женя бросают один раз два игральных кубика. Если выпадает 12 или 4 очка, то выигрывает Саша; если 11 или 3 — выигрыва-ет Витя; если 10 или 2 — выигрывает Дима, если выпадает 5 — выигры-вает Женя. Справедлива ли эта игра? Почему?

Задача 1.6. Очень широкий танк ( )

Танк шириной 3 метра наудачу наползает на цепь мин, расположенных на расстоянии 18 метров друг от друга перпендикулярно направлению дви-жения. Если мина попадает под гусеницу или между гусениц, танк взры-вается. Какова вероятность, что танк уцелеет? Размером мин пренебречь, ответ обосновать. Как изменится вероятность, если танк едет под углом 300 к цепи.

Задача 1.7. В квадратном часе ( )

Ромео и Джульетта договорились встретиться в саду с 22:00 до 23:00. Ка-ждый из них приходит наудачу (равновероятно) в любой момент времени из оговоренного интервала и ждет 20 минут, после чего обязан удалиться. Какова вероятность встречи возлюбленных?

ЗАНЯТИЕ 2. КОЛИЧЕСТВО И ПОРЯДОК

Задача 2.1. Числа количественные и порядковые ( 10)

Натуральные числа применяют не только для ответа на вопрос «Сколько?», но и для ответа на вопрос «Ка-кой по счету?». Сколько тебе лет? — 18 лет. Какой

10 Знак указывает, что задача сопровождается рисунком.

1 11 21 1211 111221 312211 ... Числа количе-ственные и порядковые

8

годок идет? — 19-ый год. Другими словами, следует отличать числа ко-личественные и порядковые. Имея это ввиду, продолжите последователь-ность в рамке.

Правило сложения (включения-исключения) множеств

Задача 2.2. Правило гусениц

По ветке ползут две гусеницы, сумма длин которых равна длине ветки. Что больше: длина участка ветки, по которому ползут обе гусеницы, или сумма длин участков ветки, по которым не ползет ни одна гусеница? По-чему?

Задача 2.3. Правило красок ( )

Узор состоит из четырех окружностей, расположенных симметрично и касающихся центра и границы общего круга. Какой краски потребуется больше — в точечку или в клеточку? Почему?

Задача 2.4. Инспектор запутался ( )

В отчете об обследовании 80 студентов сообщалось, что все три иностранных языка знают 5 человек, немецкий и испанский − 10, французский и испанский − 8, немецкий и французский − 20, испанский − 40, немецкий − 24, французский − 50.

Назовите две причины, по которым инспектора, давшего отчет, уволили.

Задача 2.5. Куратор недосчитался ( )

Куратор потока дал следующие сведения о студентах: «На потоке 40 сту-дентов, в том числе 25 парней. 30 студентов получают повышенную сти-пендию, в том числе 16 парней. Спортом занимаются 28 учащихся, в том числе 18 парней и 17 студентов, получающих повышенную стипендию. 10 парней получают повышенную стипендию и занимаются спортом». Найдите ошибку.

Правило умножения

Задача 2.6. Считалочка

Шел Кондрат в Ленинград,

Правило красок

9

А навстречу − 12 ребят. У каждого по 3 лукошка,

В каждом лукошке − кошка, У каждой кошки − 12 котят,

У каждого котенка в зубах по 4 мышонка. И задумался Кондрат:

"Сколько мышат и котят Ребята несут в Ленинград?"

(Глупый, глупый Кондрат! Он один и шагал в Ленинград.

А ребята с лукошками, С мышами и кошками

Шли навстречу ему — В Кострому.) Корней Иванович Чуковский

Ладно. Сколько мышат и котят ребята несли в Кострому?

Задача 2.7. Не роскошь, а средство передвижения ( )

Автомобили Красноярского края в правой части номера имеют помет-ку «24 RUS». Каждый номер содер-жит три буквы, читаемые как в рус-ском, так и в латинском алфавитах, а также три цифры. Номера с тремя нулями «000» исключаются. Пред-ставьте, что не существует особых зарезервированных номеров. Для какого по счету автомобиля в Красно-ярском крае не хватит номера с отметкой «24 RUS»?

Задача 2.8. Ладейное перенаселение ( )

Какое наибольшее количество ладей можно расставить на шахматной доске так, чтобы они не били друг друга? Сколькими способами это мож-но сделать?

ЗАНЯТИЕ 3. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ СТРОКИ

Задача 3.1. Электронная логика ( )

При включенном двигателе (1) легкового ав-томобиля реле поворота должно работать,

Электронная логика

Не роскошь,

а средство передвижения

10

если водитель повернул рычажок поворота (2). Но когда водитель вы-ключает зажигание ( 1 1не = ), реле должно отключиться. Вдруг водитель забудет отключить рычажок поворота. А оставленный автомобиль не бу-дет мигать, привлекать внимание и садить аккумулятор. Однако реле по-ворота должно сработать и в случае, когда нажата кнопка аварийной сиг-нализации (3). И должно работать, если выключен рычажок поворота ( 2 ) и даже если выключен двигатель ( 1 ).

Инженер Винтик предложил электрическую схему, которая успешно включает и выключает реле поворота. Как можно усовершенствовать схему?

Задача 3.2. Скрытая цифра ( )

Отечественный прибор содержит штрих-код EAN-13 (European Article Numbering) с поло-сами, соответствующими цифрам 602887 000010. Определите самую первую цифру кода, не обозначенную полосами. Для правильных штрих-кодов сумма цифр, стоя-щих на нечетных местах, и утроенных цифр, стоящих на четных местах, делится на 10.

Задача 3.3. Избыточность штрих-кода ( )

Самый распространенный для товаров штрих-код EAN-13 (European Article Numbering), состоящий из 13 цифр, кодирует цифры при помощи чередующихся светлых и темных полос. Сканер штрих-кода распозна-ет тонкую, среднюю и широкую линии. Какое макси-мальное количество различных знаков можно сопоста-вить сериям из пары светлых и пары темных полос? Сколько различных штрих-кодов может распознать

сканер, сколько из них будут приняты как верные? Выходит, что помимо комбинаций, шифрующих цифры, существует множество бессмысленных комбинаций. Для чего это нужно?

Системы исчисления

Задача 3.4. Считаем на пальцах ( )

Выпиши числа от 0 до 31 в четырех столбцах в десятеричной, восьмерич-ной, двоичной и шестнадцатеричной системах исчисления. Почему обще-

Избыточность штрих-кода

Скрытая цифра

11

принята десятеричная система исчисления? Где встречаются другие сис-темы исчисления?

Задача 3.5. Автобиография математика ( )

Я окончил курс университета 44 лет от роду. Через год, будучи еще со-всем молодым человеком, я женился на юной 34-летней девушке. Жало-вание у меня было в месяц всего 200 рублей, из которых 1/10 приходи-лось отдавать за квартиру, так что мы жили на 130 рублей в месяц. Спус-тя несколько лет у меня была уже небольшая семья — всего 10 человек, считая детей, меня и жену. Сколько рублей я платил в месяц за квартиру, и сколько у меня детей, если я женился в 100 лет?

Растровые изображения

Задача 3.6. Оцифруй рисунок ( )

Черно-белый растровый11 рисунок размером 8х8 точек представлен столбцом из восьми 8-значных двоичных чисел. Выпишите числа в 10-тичной системе исчисления.

Задача 3.7. Нарисуй числа ( )

Черно-белый растровый рисунок размером 8х8 точек представлен столбцом из восьми 8-значных двоичных чисел. Восстановите рису-нок, если числа в 10-тичной системе исчисления записываются как:

0; 40; 0; 56; 68; 124; 64; 56.

Задача 3.8. Что показывают числа? ( )

Черно-белый растровый рисунок размером 16х16 точек представлен столбцом из шестнадцати 16-значных двоичных чисел. Восстановите ри-сунок, если числа в 16-ричной системе исчисления записываются как: 0C10; 0260; 0180; 8180; 668C; 2482; 1041; 1021; 2301; C002; 4024; 24CA; 2402; 4804; 8C08; 03F0.

11 Растр (нем. Raster, от лат. raster, rastrum - грабли, мотыга) — в полиграфии назы-вают прямоугольную сетку, фотографируя через которую, тоновое изображение разбивают на точки.

1 0 0 0 0 0 0 01 1 1 0 0 0 0 00 1 1 1 1 0 0 00 1 1 1 0 0 0 00 0 1 1 1 0 0 00 0 1 0 1 1 0 00 0 0 0 0 1 1 00 0 0 0 0 0 1 1Оцифруй рисунок

12

ЗАНЯТИЕ 4. ВЫБОРКИ

Задача 4.1. Доживем до воскресенья ( )

Студент, проживающий в общежитии, умеет готовить четыре блюда: яичницу, картошку с луком, пельмени, особое-студенческое. Завтра сту-дент уезжает домой. В общежитии ему осталось продержаться обед, ужин и завтрак, — сготовить 3 раза. Сколько выборов меню имеет студент? Получите 4 ответа для случаев, если повторять или не повторять блюда, если учитывать или не учитывать порядок блюд.

Сочетания

Задача 4.2. Звон бокалов ( )

Десять человек поднимают бокалы. Сколько раз прозвучит «дзынь», ко-гда каждый чокнется с каждым по разу?

Задача 4.3. Напиши родителям ( )

В почтовом отделении продаются открытки 5 видов. Сколькими способа-ми можно купить 3 различные открытки?

Задача 4.4. Треугольник — клетка геометрии! ( )

Сколько различных треугольников можно составить, используя четыре отрезка с длинами 4, 5, 6, 7 см? На сколько увеличится число треугольни-ков, если считать различными зеркально симметричные треугольники (например, 4,5,6 и 4,6,5)?

Сочетания с повторением

Задача 4.5. Напиши друзьям ( )

В почтовом отделении продаются открытки 5 видов. Сколькими способа-ми можно купить 3 открытки, не обязательно различные?

Задача 4.6. Коробки ( )

Сколько можно построить различных прямоугольных параллелепипедов, длины ребер которых выражаются натуральными числами от 1 до 6?

Задача 4.7. Возможные треугольники ( )

Сколько различных треугольников можно составить из неограниченного числа отрезков с длинами 1, 2, 3, 4 см? Выпишите соответствующие тре-

13

угольникам стороны. Исключите треугольники, не удовлетворяющие не-равенству треугольника; исключите треугольники, вырождающиеся в от-резок.

Задача Муавра12 4.8. ( )

Сколько существует упорядоченных наборов из трех неотрицательных целых чисел, дающих в сумме 10? Другими словами, сколько точек, все координаты которых — неотрицательные целые числа, принадлежат плоскости

x + y + z = 10? А сколько неупорядоченных троек дают в сумме 10?

Задача 4.9. Счастливый билетик ( )

Счастливым называется билет, в котором сумма первых трех цифр совпадает с суммой последних трех цифр. На-пример, 848 956. Как много существует шестизначных счастливых билетов? Какова вероятность получить сча-стливый билетик при оплате за проезд?

ЗАНЯТИЕ 5. КОМБИНАТОРИКА

Задача 5.1. Перестановки с ограниченным запасом ( )

Сколькими способами можно упорядочить буквы слова «математика»? Бессмысленные последовательности учитываются.

Задача 5.2. Комбинаторика сада ( )

Садовник получил 20 саженцев, чтобы посадить 5 рядов по 4 дерева в ка-ждом. Однако выполнил задание с помощью 10 саженцев. Как выглядел сад?

Задача 5.3. Пространства ( )

Изобразите пространства близких точек, соответствующих элементам указанных ниже множеств.

12 Муавр (Moivre) Абрахам де (26.5. 1667, Витри-ле-Франсуа, - 27.11.1754, Лондон), английский математик. Задача Муавра в алгебре многочленов: степень (a + b + c)10 раскладывается на одно-члены вида ax by cz.

Счастливыйбилетик

14

а) B3 — множество троек булевых переменных (нулей и единиц). Близки-ми считаются тройки, которые отличаются нулем и единицей в одном по-ложении. Например, «100» и «110». б) R2

+ — множество пар положительных действительных чисел. Близки-ми считаются пары, для которых составляющие их первые и вторые числа близки по величине соответственно. Например, (π; e) и (3,14; 2,72). в) BxNxR —элемент этого множества состоит из булевой, натуральной и действительной величин. Близость определяется близостью составляю-щих величин. г) S4 — множество перестановок четырех элементов. Перестановка близ-ка трем другим перестановкам, которые получаются из нее обменом двух соседних мест. Например, «1234» и «1324».

Задача 5.4. Не перегружайте математикой! ( )

В течение 5 дней студенты должны сдать 5 зачетов, в том числе по «Дис-кретной математике» и «Математическому анализу». Сколькими спосо-бами можно составить расписание зачетов (по одному в день), чтобы за-четы по математике не шли друг за другом? Считайте порядок нематема-тических предметов значимым.

Задача 5.5. Джентельменское правило ( )

Сколькими способами можно расставить в очередь за стипендией 5 пар-ней и 5 девчат так, чтобы по мере уменьшения очереди парней оставалось не меньше, чем девчат? Найдите общую формулу.

Четность, перестановки

Задача 5.6. Локальная сеть общежития

Покажите, что 33 компьютера нельзя соединить друг с другом так, чтобы каждый был соединен ровно с тремя другими.

Задача 5.7. Тараканьи бега

Таракан бежит по полоскам клетчатого листа бумаги. Пробегая сторону клетки за ¼ секунды, он обязательно поворачивает направо или налево. Докажите, что таракан сможет вернуться в начальную точку лишь через целое число секунд.

15

Задача 5.8. Наведи порядок

В шести секторах круга расставлено 6 шашек, по одной в каждом секторе. Одним ходом разрешается любые две шашки передвинуть в соседний сектор так, что одна движется по ча-совой стрелке, а другая − против ча-совой стрелки. Можно ли такими хо-дами собрать все шашки в одном секторе? Если да — то как? Если нет — то почему?

ЗАНЯТИЕ 6. ГРАФЫ

Задача 6.1. Эйлерова характеристика13 ( )

Вычислите эйлерову характеристику куба, тетраэдра, октаэдра, додекаэд-ра, икосаэдра, усеченного икосаэдра (футбольного мяча), куба с диагона-лями-ребрами, «дырявого куба».

Задача Эйлера 6.2. ( )

Возможно ли обвести рисунки, не отрывая ручки от бумаги и не обводя ни одну черту повторно14? Если возможно — как? Если нет — почему? 13 Эйлерова характеристика многогранника = «количество вершин» + «количество граней» - «количество ребер». Грани — многоугольники на поверхности многогран-ника. Ребра и вершины многогранника — это ребра и вершины граней.

Тетраэдр Куб Октаэдр Додекаэдр Икосаэдр

Футбольный мяч Куб с трещинами Дырявый куб

Эйлерова характеристика

Наведи порядок

16

Задача 6.3. Волк, коза и капуста. Теория перевозки ( )

В вашем распоряжении Волк, Коза, Мешок капусты и Лодка, вмещаю-щая, помимо вас, не более одного из трех грузов. Все имущество нужно перевезти через реку. Капусту нельзя оставлять с козой, а козу − с вол-ком. Докажите, что переправа возможна, построив связный граф положе-ний имущества между перевозами (состояний задачи). Укажите способ обозначения состояний. Сколько возможно различных решений? Каков порядок связности получившегося графа?

Задача 6.4. Ханойская башня ( )

Головоломка Ханойская башня ⎯ это три стержня, на первом из которых размещено некоторое коли-чество дисков. Диск наименьшего диаметра нахо-дится сверху, а ниже ⎯ диски последовательно увеличивающегося диаметра. Следует переклады-вать по одному диску со стержня на стержень так, чтобы диск большего диаметра никогда не разме-

щался выше диска меньшего диаметра и чтобы в конце концов все диски оказались на другом стержне. Постройте граф состояний Ханойской баш-ни для двух дисков.

Задача 6.5. Гексафлексагон

Определите карту состояний гекса-гексафлексагона: ориентированный граф, вершины которого — различные состояния, а дуги — переходы в одно выворачивание. Определите радиус и диаметр графа, а также соот-ветствующего неориентированного графа. Проинтерпретируйте получен-ные числа. Как сделать гексафлексагон, показано в приложении.

14 Такой обход графа называется эйлеровым путем.

Задача Эйлера

Ханойская башня

17

Задача 6.6. Дележ без ковша ( )

Два студента имеют полный бочонок кваса в 8 ведер, а также два пустых бочонка в 5 и 3 ведра. На боченках нет никаких измерительных засечек. Форма бочки не позволяет определить, когда она наполнена наполовину. Как студентам разделить квас поровну? Найдите кратчайшее решение, построив полный граф возможных переливаний. Укажите способ обозна-чения состояний. Во сколько определенных состояний воды в трех бо-чонках можно прийти?

Задача 6.7. Симметричный конденсатор

Имеется 5 точек в пространстве. Через каждую пару проведен соедини-тельный провод с конденсатором емкости 1 мкФ. Найдите емкость такой батареи, если выводы подключать в любые две точки.

ЗАНЯТИЕ 7. ИНФОРМАЦИЯ

Поиск

Задача 7.1. Гроза фальшивомонетчиков ( )

Как за 2 взвешивания среди 9 одинаковых монет обнаружить одну под-дельную, которая легче настоящих? Изобразите алгоритм деревом взве-шиваний.

Задача 7.2. Информативность взвешивания ( )

Докажите, что 20 взвешиваниями на чашечных весах нельзя упорядочить по массе 10 предметов.

Задача 7.3. Придворный заговор ( )

За день до пира царь узнал, что одна из 30 бочек меда отравлена, причем действие яда проявляется лишь на следующий день. Какое минимальное количество смертников понадобится царю, чтобы выявить отравленную бочку? Опишите способ обнаружения отравленной бочки.

Защита

Задача 7.4. Маскарад тайнописи ( )

Расшифруйте записанное в квадрате с помощью маски, которую надо повора-

Х Ч А С ЗХ Н С Т ТХ Х А К Ю Ь М О Е АМаскарад тайнописи

18

чивать против часовой стрелки.

Задача 7.5. Военный приказ ( )

Расшифруйте записанное в квадрате с помощью маски, которую надо по-ворачивать против часовой стрелки.

Задача 7.6. Тарабарщина ( )

Запишите по-русски слово, каждая согласная буква которого заменена по правилам Тарабарской грамо-ты (простой литореи), где все согласные буквы в аз-бучном порядке выстроены в 2 ряда замен.

ощомополнолощполкь ? ракеракита ? гесошет ?

Передача и сжатие

Задача 7.7. Русскоязычная раскладка ( )

Какую нагрузку несут различные пальцы при слепой печати? Ка-кова нагрузка рук? Почему имен-но такая русская раскладка клавиатуры пользуется популярностью? Возьмите частоты знаков из приложения 7.

Задача 7.8. Латинская раскладка ( )

Какую нагрузку несут различные пальцы при слепой печати? Ка-кова нагрузка рук? Почему

Х Х Х П Н Л А Я Е С Р Х У Т Е В Т Ь Т О Х Х Х У М П У С У Л Т Х Ф Я Р Е Л 1 А А Х Х 6 Н Н С В И Г Е Х Х Е Н Н У П И Т М Х Х Я Р Л А Б В А С Х Х А Н Р Н И Я Е И

Военный приказ

бвгджзклмн щшчцхфтсрп

Тарабарщина

Русскоязычная раскладка

Латинская раскладка

19

именно такая латинская раскладка клавиатуры пользуется популярно-стью? Возьмите частоты знаков из приложения 7.

Задача 7.9. Телеграфная азбука Морзе

В эфире слышна морзянка. Длительность точки 1/8 секунды. Текст из 26 букв латинского алфавита идет без знаков препинания. Какова ожидаемая длительность передачи, если длина текста 1000 знаков, включая пробелы? Воспользуйтесь приложением 7.

Задача 7.10. Азбука Морзе на русский лад

В эфире слышна морзянка. Длительность точки 1/8 секунды. Текст из 31 буквы русского алфавита, исключая «ё» и «ъ», идет без знаков препина-ния. Какова ожидаемая длительность передачи, если длина текста 1000 знаков, включая пробелы? Воспользуйтесь приложением 7.

Задача 7.11. Код личный — двоичный!

Составьте свой личный равномерный двоичный код русского языка (31 буква и пробел). Укажите правила кодировки. Запишите сообщение из двух слов. Сообщение должно содержать только нули и единицы, без пробелов и прочих знаков.

Задача 7.12. Сжатый код ( )

Составьте оптимальный (методом Хаффмена15) префиксный двоичный код русского языка (31 буква и пробел). Воспользуйтесь приложением. Представьте полученный код в виде дерева. Запишите сообщение из двух слов. Какова средняя длина кода на один символ?

ЗАНЯТИЕ 8. ЛАБИРИНТЫ, КОМБИНАТОРНЫЕ ГОЛОВОЛОМКИ

Задача 8.1. Пути и ветвления ( )

Сколько кратчайших путей ведет из левого нижнего в правый верхний конец лабиринта?

15 Хаффмен (Huffman) Дэвид А., [1925-1999], американский математик, электротех-ник. Алгоритм опубликован в 1952 году.

Пути и ветвления

20

Задача 8.2. Объемный лабиринт ( )

Проведите дорогу из левого нижнего в правый нижний конец лабиринта. Лабиринт не позволяет пользоваться правилом правой или левой руки.

Задача 8.3. Группа наперсточника

Составьте таблицу группы перестановок 3 эле-ментов. Обладает ли операция умножения перестановок свойством ком-мутативности? Образуют ли четные перестановки подгруппу?

Задача 8.4. Ловушка Ллойда16 ( )

В игре «Пятнашки» требуется прий-ти из положения слева в положение справа (повернуть расположение на 900). Если это возможно, то как? Если нет, почему?

Задача 8.5. Кубик Рубика17 ( )

Куб, окрашенный краской, разрезан на кубики в 3 раза меньшего размера. Сколько получилось маленьких ку-биков? Сколько из них оказалось не раскрашено? Сколько раскрашено с одной, двух, трех сторон?

Сколько различных состояний может принимать ку-бик Рубика? Точнее, до скольких состояний можно доб-раться, поворачивая стороны кубика на 900? Запрещает-ся разбирать кубик, или переклеивать цветные ярлыки.

16 Лойд (Loyd) Сэмюель [31.01.1841, Филадельфия, 9-ый ребенок в семье – 10.04.1911, Нью-Йорк], американский изобретатель головоломок и шахматных за-дач, фокусник. «Пятнашки» изобретены в 1878 году. Второе имя головоломки — «такeн». Это название имеет двоякий смысл: по-французски jeu du taquin — задор-ная игра, по-английски takein — обман. 17 Рубик (Rubik) Эрно [13.07.1944, Будапешт], венгерский изобретатель и скульптор. Изобретенный в 1974 году кубик Рубика начал свое победное шествие по свету с 1978 года, когда с ним впервые ознакомились математики на Международном мате-матическом конгрессе в Хельсинки.

4 8 12 1 2 3 4

3 7 11 15 5 6 7 8

2 6 10 14 9 10 11 12

1 5 9 13 13 14 15

Ловушка Ллойда

Объемный лабиринт

Кубик Рубика

21

ОТВЕТЫ

Занятие 1. Основы

Множества, отображения и отношения

Задача 1.1. Булеан ( ) Множество A = {a,b,c} имеет 8 подмножеств: {a}, {b}, {c}, {ab}, {ac}, {bc}, а также пустое множество A B A B∩ = ∪ ∅и само множество {a,b,c}. Множество из N элементов имеет 2N подмножеств.

Задача 1.2. Доказательство на кружках

Второе правило де Моргана доказывается аналогично.

Задача 1.3. Принцип Дирихле в арбузных корках ( ) Если 4 куска имеют 5 корок, то найдется

кусок, имеющий не менее двух корок. Разрез с таким куском в центре представлен на рисунке.

Задача 1.4. Отношение упорядочения Первая команда: №№1, 5, 9 Вторая команда: №№2, 6, 7 Третья команда: №№3, 4, 8

/// - A, \\\ - A A B∪ : /// - A, \\\ - B A B∪

/// - B , \\\ - B /// - A , \\\ - B A B∩

Разрез арбуза

22

Нарушается свойство транзитивности (от лат. transitivus - переход-ный): первая побеждает вторую, вторая — третью, но первая не побежда-ет третью. Ни одну команду нельзя назвать сильнейшей.

Интересно, что существует только два искомых разделения на три ко-манды (с точностью до перестановки команд). Попробуйте доказать это.

Вероятности

Задача 1.5. Азартная игра и справедливость ( )

Каждый игрок имеет вероятность выигрыша 4/36 = 1/9. Игра справедлива. Кажущаяся несправедливость: «Женя выигрывает только в одно случае». Она преодолевается встречной несправедливостью: вероятность того, что выпадет 5 очков в 4 раза больше вероятности выпадения 12 очков.

Задача 1.6. Очень широкий танк ( )

Вероятность подрыва 3/18=1/6. Если танк едет наискосок, вероятность увеличивается вдвое. Указание: равновероятное множество событий удобно представлять характеристической точкой танка, например, цен-тром танка (дулом), или правым краем (гусенницей).

Задача 1.7. В квадратном часе ( )

Вероятность встречи 5/9. Указание: пространство всех равновозможных событий представляет со-бой квадратный час, в котором несложно вычислить площадь, занимае-мую благоприятными событиями.

Занятие 2. Количество и порядок

Задача 2.1. Числа количественные и порядковые ( ) Смотрите рисунок. Правило сложения (включения-исключения) множеств

Задача 2.2. Правило гусениц

Длины равны. Если принять длины гусениц за А и В, то Пересечение гусениц: (A и B) равняется свободной ветке A B+ − (A или B), где A B+ — длина всей ветки.

A B A B A B∪ = + − ∩ Задача 2.3. Правило красок ( )

Понадобится равное количество краски, т.к. площади равны: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 2 3 3 4 4 1 1 2 3 4 1 2 3 4A A A A A A A A A A A A A A A A∩ + ∩ + ∩ + ∩ = + + + − ∪ ∪ ∪

1 11 21 1211 111221 312211 13112221 1113213211... Числа количе-ственные и порядковые

23

Слева площадь в клеточку, справа площадь в точку. 1,2,3,4A — равные пло-щади малых кругов, сумма которых равняется площади большого круга, так как радиусы малого и большого кругов отличаются в 2 раза.

Задача 2.4. Инспектор запутался ( )

Условие задачи: Исключение:

Н — немецкий язык, Ф — французский, И — испанский. Выходит, что только немецкий язык изучает “-1” человек! А всего на потоке учится 81 студент.

Задача 2.5. Куратор недосчитался ( )

Условие задачи: Исключение:

С — спортсмены, О — отличники, П — парни. Выходит, что всего на потоке учится 42 студента.

Правило умножения

Задача 2.6. Считалочка 12 ребят х 3 лукошка х 1 кошка х 12 котят = 432 котенка, 432 котенка х 4 мышонка = 1728 мышат.

Задача 2.7. Не роскошь, а средство передвижения ( ) Русская азбука: АБВГДЕЁЖЗИКЛМНОПРСТУФХЦЧШЩЪЫЬЭЮЯ Латинский алфавит: ABCDEFJHIJKLMNOPQRSTUVWXУZ. Общие буквы: АВЕКМНОРСТУХ — 12 букв.

Н: 24

И: 40

Ф: 50

НФ: 20

НИ: 10

ФИ: 8

НФИ: 5

НФИ: -1 НФИ: 27

НФИ: 27

НФИ: 15

НФИ: 5

НФИ: 3

НФИ: 5

С: 28

П: 25

О: 30

СО: 17

СП: 18

ОП: 16

СОП: 10

СОП: 3

СОП: 1

СОП: 7

СОП: 7

СОП: 8

СОП: 6

СОП: 10

24

123 букв х (103 – 1) чисел + 1 = 1726273 1726273-ему автомобилю не хватит номера с пометкой 24RUS. Стоит отметить, что население края почти вдвое превышает эту цифру.

Задача 2.8. Ладейное перенаселение ( ) В каждом ряду располагается одна и только одна ладья. Для каждой из 8 возможностей поставить ладью в первый ряд существует 7 возможностей поставить ладью во второй ряд и так далее. Всего существует 8 х 7 х 6 х 5 х 4 х 3 х 2 х 1 = 8! = 40320 возможностей расставить 8 ладей так чтобы они не били друг друга. 9 ладей расставить невозможно, так как по принципу Дирихле найдется ряд, в котором стоит не менее двух ладей, которые бьют друг друга.

Занятие 3. Представления строки

Задача 3.1. Электронная логика ( ) Самая простая схема показана на рисунке. Легко убедиться, что приведенная электрическая цепь выдает ту же логическую функцию, что и ис-ходная. Подробное решение подобной задачи приве-дено в [4], стр. 29.

Задача 3.2. Скрытая цифра ( )

Штрих-код имеет вид X602887 000010, где X — искомая цифра. Складываем цифры, стоящие на четных местах штрик-кода

6 + 2 + 8 + 0 + 0 + 1 = 17 Полученную сумму умножаем на три

17 * 3 = 51 Складваем цифры, стоящие на нечетных местах

X + 0 + 8 + 7 + 0 + 0 + 0 = X + 15 Складываем числа, полученные в предыдущих пунктах

X + 15 + 51 = X + 66 — это число делится на 10 Отбрасываем десятки

X + 6 = 10, X = 10 – 6 = 4 Ответ: Не обозначенная полосами цифра — «4».

1 2 3 Выход- - - - - - + + - + - - - + + + + - - - + - + + + + - + + + + +

Простая схема

25

Задача 3.3. Избыточность штрих-кода ( ) Если сканер штрих-кода распознает 3 вида полос: П = {тонкая, средняя, широкая}, то набор из четырех полос — это элемент прямого произведе-ния П4, содержащего 34=81 элемент. Это позволяет кодировать не 10 цифр, а 81 знак. Однако 71 комбинация полос остается бессмысленной. Вообще из 40 полос можно составить

348 = 79766443076872509863361 ≈ 8 1022 штрих-кодов, однако лишь 1012 из них оказываются верными. Если ска-нер собьется при считывании комбинации полос, то с подавляющей веро-ятностью получится несуществующий штрих-код, и сканер потребует по-вторить считывание. Таким образом, избыточность кода предотвращает ошибочное считывание.

Системы исчисления

Задача 3.4. Считаем на пальцах ( ) Перечисления содержатся в приложении 2. Указание. Начинайте считать на пальцах, пользуясь не 10-ю, а 8-ю паль-цами. Получится счет в 8-ричной системе исчисления. Как только загнете восьмой палец, не пишите «8» (в 8-ричной системе исчисления нет цифры «8»), а напишите «10» (не один «десяток», а одна «восьмерка»), и начи-найте считать единицы второй «восьмерки».

Вся электронно-цифровая техника сегодня основывается на двоичной системе исчисления, хотя в истории электроники испытывались и компь-ютеры на троичной системе исчисления. Штрих-код основан на троичной системе исчисления. В языках многих народов сохранились указания на двенадцатеричную систему исчисления (английские «цифры» «eleven» — «11», «twelve» — «12», в отличие от составного «thirteen» — «три на де-сять (дцать)»; немецкие elf, zwölf, в отличие от dreizehn). Оборот Луны (месяц) приблизительно в 12 раз чаще, чем оборот Солнца (год). В древ-нем Египте использовалась 60-ричная система исчисления, 60 различных цифр! Однако, сегодня общепринята 10-ричная система исчисления. И, пожалуй, основная тому причина — 10 пальцев на двух человеческих ру-ках.

Задача 3.5. Автобиография математика ( ) Кажущаяся несуразность рассказа венчается тем, что 44 + 1 = 100. Следовательно, повествование идет в пятеричной системе исчисления. В обычной для нас десятеричной системе рассказ представляется таким. «Я окончил курс университета 4*5 + 4 = 24 лет от роду. Через год, будучи еще совсем молодым человеком, я женился на юной 3*5 + 4 = 19-летней девушке. Жалование у меня было в месяц всего 2*52 = 50 рублей, из кото-

26

рых 1/(1*5) = 1/5 приходилось отдавать за квартиру, так что мы жили на 1*52 + 3*5 = 40 рублей в месяц. Спустя несколько лет у меня была уже небольшая семья — всего 1*5 = 5 человек, считая детей, меня и жену. Сколько рублей я платил в месяц за квартиру, и сколько у меня детей, ес-ли я женился в 1*52 = 25 лет?». Ответ теперь очевиден.

Растровые изображения

Задача 3.6. Оцифруй рисунок ( ) Запись в десятичной системе исчисления приведена справа

1 0 0 0 0 0 0 0 128 1 1 1 0 0 0 0 0 224 0 1 1 1 1 0 0 0 120 0 1 1 1 0 0 0 0 112 0 0 1 1 1 0 0 0 56 0 0 1 0 1 1 0 0 44 0 0 0 0 0 1 1 0 6 0 0 0 0 0 0 1 1 3

Задача 3.7. Нарисуй числа ( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 40 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 56 0 1 0 0 0 1 0 0 68 0 1 1 1 1 1 0 0 124 0 1 0 0 0 0 0 0 64 0 0 1 1 1 0 0 0 56

Задача 3.8. Что показывают числа? ( ) 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 C 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 2 6 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 8 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 8 1 8 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 6 6 8 C 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 2 4 8 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 4 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 2 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 3 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 C 0 0 2 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 4 0 2 4 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 2 4 C A 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 2 4 0 2 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 4 8 0 4 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 8 C 0 8 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 3 F 0

27

Занятие 4. Выборки

Задача 4.1. Доживем до воскресенья ( ) Ответ содержится в приложении 4 (m=4,w=3). Разъяснения — в приложе-нии 3.

Сочетания

Задача 4.2. Звон бокалов ( ) Способ 1. Все сочетания из десяти бокалов по два образуют «дзинь».

210

10! 10 9 452!8! 1 2

C ⋅= = =⋅

Способ 2. Каждый бокал произвел «дзинь» 9 раз, а каж-дый «дзинь» был произведен двумя бокалами. 90/2=45. Способ 3. Первый бокал чокнулся с 9-ю оставшимися. Второй — с 8-ю, не считая первого. Третий — с 7-ю, не считая первых двух. И так далее

9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 + 0 = 45. Способ 4. Если вершины некоторого 10-угольника сопоставить бокалам, то

соударения бокалов будут соответствовать сторонам и диагоналям 10-угольника. Пересчитайте их.

Задача 4.3. Напиши родителям ( )

35 10C =

Задача 4.4. Треугольник — клетка геометрии! ( )

34 4C = треугольников и еще 4 зеркально симметричных.

Указание: можно перечислять не тройки отрезков, являющихся сторона-ми треугольника, а отрезки, не являющиеся сторонами треугольника.

3 4 34 4 4C C −= =

Сочетания с повторением

Задача 4.5. Напиши друзьям ( )

35

7! 7 6 5 354!3! 1 2 3

C ⋅ ⋅= = =⋅ ⋅

Задача 4.6. Коробки ( )

36

8! 8 7 6 565!3! 1 2 3

C ⋅ ⋅= = =⋅ ⋅

Способ 4

Способы 2, 3

28

Указание. Прямоугольный параллелепипед определяется тремя взаимно перпендикулярными ребрами. Длина каждого ребра может принимать 6 значений.

Задача 4.7. Возможные треугольники ( )

Возможно 34

6! 6 5 4 203!3! 1 2 3

C ⋅ ⋅= = =⋅ ⋅

не упорядоченных с повторением троек

отрезков. Все их можно определить, заполнив таблицу в приложении 3. Именно

111, 112, 113, 114, 234, 221, 222, 223, 224, 134, 331, 332, 333, 334, 124, 441, 442, 443, 444, 123.

Подчеркнуто 4 треугольника, вырожденные в отрезок. Зачеркнуто 3 треугольника, невозможных по неравенству треугольника.

Задача Муавра 4.8. ( )

103

12! 12 11 662!10! 1 2

C ⋅= = =⋅

10 раз выбираем одну из величин x, y или z. Сколько раз выбрана величи-на, таково ее значение.

Полезно для решения следующей задачи нарисовать целочисленные узлы кубической решетки, принадлежащие треугольнику

10,

, , 0,x y zx y z

+ + =⎧⎨ ≥⎩

и пересчитать их. Неупорядоченным тройкам соответствуют узлы, распо-ложенные на одной шестой части указанного треугольника. Их насчиты-вется 14.

Задача 4.9. Счастливый билетик ( ) Ответ: 55252 счастливых билета. Почти каждый 18-ый билет.

Условимся называть сумму трех цифр просто суммой. Из 1000 упоря-доченных троек цифр только «000» обладает суммой 0. Суммой 1 обла-дают три тройки: «001», «010», «100». Сумма равна 2 в шести случаях: «002», «020», «200», «011», «101», «110» и так далее.

29

Подсчет счастливых билетиков

Сумма Тройки все-возможных

чисел

Тройки с двухначными числами

Пересечения в лишних тройках

Количество троек цифр

Количество счастливых билетов

0 1 0 0 1 1 1 3 0 0 3 9 2 6 0 0 6 36 3 10 0 0 10 100 4 15 0 0 15 225 5 21 0 0 21 441 6 28 0 0 28 784 7 36 0 0 36 1296 8 45 0 0 45 2025 9 55 0 0 55 3025 10 66 3 0 63 3969 11 78 9 0 69 4761 12 91 18 0 73 5329 13 105 30 0 75 5625 14 120 45 0 75 5625 15 136 63 0 73 5329 16 153 84 0 69 4761 17 171 108 0 63 3969 18 190 135 0 55 3025 19 210 165 0 45 2025 20 231 198 3 36 1296 21 253 234 9 28 784 22 276 273 18 21 441 23 300 315 30 15 225 24 325 360 45 10 100 25 351 408 63 6 36 26 378 459 84 3 9 27 406 513 108 1 1

Итого 1000 55252

0

10

20

30

40

50

60

70

80

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26

(а) (б) (а) Каждая из 1000 х 1000 точек рисунка соответствует некоторому билету. По осям откладываются первое и второе трехзначные числа, причем числа упоря-дочены по сумме цифр. Черными точками обозначены счастливые билеты. (б) Распределение трехзначных чисел по сумме цифр.

30

Счастливый билет с суммой 0 уникален: «000 000»18. Счастливых би-летов с суммой 1 существует 3 х 3 = 9. Сумма 2 встречается в 6 х 6 = 36 счастливых билетах и так далее. Полный расчет приведен в таблице.

Сделаем спорное предположение, что все номера билетов равноверо-ятны. Тогда вероятность взять в автобусе счастливый билет 5,5252%.

Общая формула для количества счастливых билетов:

( )27 210 20

3 3 30

3 3i i i

i

K C C C− −

=

= − +∑ .

Однако геометрические соображения предыдущей задачи позволяют по-лучить тот же ответ проще.

Примечание. В задаче «Азартная игра и справедливость» рассматривалось распределение суммы двух равномерно распределенных показаний игральных кубиков (дискретный аналог распределения Симпсона). В задаче о счастливом билетике строится распределение суммы трех равномерно распределенных цифр. Это распределение сильнее приближается к нормальному и тем самым служит прекрасным примером на центральную предельную теорему теории вероятностей.

Занятие 5. Комбинаторика Задача 5.1. Перестановки с ограниченным запасом ( )

В слове «математика» 2 буквы «м», 3 «а», 3 «т», 1 «е», 1 «и», 1 «к».

( ) 10!10;2,3,2,1,1,1 10 9 8 7 6 5 1512002!3!2!1!1!1!

P = = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =

различных слов можно составить из букв слова «математика». Задача 5.2. Комбинаторика сада ( )

Два примера при-ведены на рисунке. Два других приме-ра постройте само-стоятельно.

18 Кондуктора говорят, что такой билет существует.

Комбинаторика сада

31

Задача 5.3. Пространства ( )

(а) Булев куб (б) Четверть плоскости (в) Два ряда прямых

(г) Усеченный октаэдр (подробнее в [2], стр. 33)

Задача 5.4. Не перегружайте математикой! ( ) Ответ: Возможно 72 расписания. Всего существует 5! = 120 расписаний — размещений пяти дисциплин по пяти дням недели. Причем, математические дисциплины можно размес-тить в расписании 5 х 4 = 20-ю способами, для каждого из которых име-ется 3! = 6 способов разместить остальные предметы.

Из двадцати размещений математических предметов мы должны ис-ключить 8 запрещенных, когда предметы поставлены в соседние дни. Ос-тается 12 х 6 = 72 возможности.

Задача 5.5. Джентельменское правило ( )

Ответ: ( )5 45 5 5 5

10! 10 9 8 76 5 426!5! 1 2 3 4 5

C C+ +⋅ ⋅ ⋅− = − = =

⋅ ⋅ ⋅ ⋅.

Указание. Рассмотрите взаимно однозначное соответствие между очере-дями из 10 человек и монотонными путями по ребрам квадратной решет-ки 5 х 5. Подробнее смотрите задачу о лабиринте «Пути и ветвления», приложение , а также [13] на стр. 269-275.

32

Четность, перестановки

Задача 5.6. Локальная сеть общежития Каждый компьютер имеет три выхода, всего 3 х 33 = 99 входов. Каждое соединение можно представить проводом, имеющим два выхода. Число входов нечетное, поэтому хотя бы один вход останется пуст.

Задача 5.7. Тараканьи бега Пусть таракан пробежал N сторон в направлении вверх. Так как таракан вернулся в исходную точку, то и в направлении вниз он пробежал N сто-рон. Каждый раз он поворачивал под прямым углов, то есть бежал попе-ременно то вверх или в низ, то вправо или влево. Следовательно, вправо и влево он пробежал столько же, сколько вверх и вниз, то есть, 2N сторон. Всего 4N сторон за целое число N секунд.

Задача 5.8. Наведи порядок Белизной расстановки назовем количество шашек, стоящих на белых (четных) секторах. В исходном положении белизна равна трем. В конеч-ном положении она равна шести, либо нулю. Как может поменяться чет-ность белизны? Ведь если при ходе обе шашки двигаются из закрашен-ных (нечетных) секторов, то белизна увеличивается на 2. Если же обе шашки берутся из белых секторов, белизна уменьшается на 2. И, наконец, если ходят шашки, принадлежащие секторам различного цвета, белизна не меняется. В любом случае четность белизны — величина сохраняю-щаяся. И собрать шашки в одном секторе невозможно.

Примечание. Если разрешить шашкам ходить в одном направлении, например, обе шашки двигать по часовой стрелке, то ответ не изменится.

Занятие 6. Графы

Задача 6.1. Эйлерова характеристика ( ) Очень полезно честно обсчитать многогранники. Так, для четырехгран-ника (тетраэдра) вершин и граней — по 4, а ребер — 6:

4 + 4 – 6 = 2. Для куба и октаэдра

8 + 6 – 12 = 6 + 8 – 12 = 2. Двойка не получается только для куба с дыркой. Почему? Это легко по-нять, используя понятия развертки, склейки и графа-дерева.

Итак, развертка многогранника — это многоугольник, составленный из всех граней многогранника, соединенных частью ребер так, что будучи перегнутой по ребрам, развертка дает поверхность многогранника. Чтобы соединить оставшуюся часть ребер, обычно оставляют язычки на ребрах

33

развертки. Если же язычков не оставлять, то придется отдельно изгото-вить «склейку»: склеивающие язычки-ребра из липкой ленты.

Развертка четырехгранника представляется в виде графа, вершинами которого являются середины граней, а ребрам соответствуют ребра четы-рехгранника. Склейка также представляет собой граф. в данном примере графы развертки и склейки эквивалентны. Оба графа односвязны и не имеют циклов, то есть являются деревьями. Это значит, что число ребер в каждом из них на единицу меньше числа вершин:

Грани Ребра развертки 1Вершины Ребра склейки 1Грани Вершины Ребра 2

− =⎧+ ⎨ − =⎩

+ − =, для четырехгранника

4 3 14 3 1

4 4 6 2

− =⎧+ ⎨ − =⎩+ − =

Граф развертки всегда дерево. Для обычных многогранников граф склейки тоже дерево. Это справедливо даже для невыпуклых многогран-ников, таких как «куб с диаго-налями». Предположим, на графе склейки есть цикл. Раз-режем поверхность многогран-ника по склейке. Цикл разреза-ет многогранник. И многогран-ник распадается на две разверт-ки... но только в том случае, ес-ли многогранник можно облечь в резиновую сферу19. Относи-тельно куба с дыркой можно сказать, что его поверхность выпрямляется в тор («поверх-ность калача или кольца»), но не в сферу. А тор распадается на 2 несвернутые части только с третьего разреза. Поэтому на его склейке имеется два цикла и его эйлерова характеристика на 2 меньше, чем у обычного мно-гогранника.

19 Говорят, что поверхность такого многогранника гомеоморфна сфере. То есть по-верхность разглаживается в сферу с сохранением близости частей, с растяжениями, но без разрезов и склеивания.

Расчет эйлеровой характеристики. Развертка и склейка четырегранника

34

Задача Эйлера 6.2. ( )

Ответ: (а,в,г) — обход существует, (б) — нет.

Вершины нечетной степени назовем ловушками графа и пометим

кружками. В ловушке число выходов не равно числу входов. Если выхо-дов меньше, то в ловушке путь заканчивается, если выходов больше, то в ловушке путь начинается. Не отрывая ручки от бумаги, можно нарисо-вать либо две ловушки (начало и конец линии), либо ни одной (когда на-чало и конец совпадают). Эти две возможности соответствуют случаям (а) и (в). Случай (г) рассмотрите самостоятельно. В графе (б) четыре ло-вушки, поэтому при рисовании придется сделать хотя бы один разрыв линии.

Примечание 1. Число ловушек в графе всегда четно, так как четна сумма степеней всех вершин графа. Смотрите задачу «Ло-кальная сеть общежития».

Примечание 2. Метод однократного об-хода ребер графа был разработан Леонардом Эйлером при попытке найти маршрут для обхода мостов в Кенигсберге (ныне Кали-нинград). Можно ли обойти все мосты по ра-зу, не выходя за пределы карты и не пускаясь вплавь?

Задача 6.3. Волк, коза и капуста. Теория перевозки ( ) Вообще возможно 16 состояний, когда на ле-вом берегу остается любое подмножество множества {ВКМЛ} из четырех элементов. Однако, 6 из этих состояний недопустимы,

Мосты в Кенигсберге

Эйлеров путь на графе. Чис-ла отмечают последователь-ность обхода вершин. Круги

обозначают ловушки.

Волк, Коза и

Мешок капусты. Л — лодка, ~ — река.

35

когда Коза остается на любом берегу без Лодки, но с Мешком, с Волком, либо с обоими одновременно. Остальные 10 состояний связаны перепра-вами. Граф двусвязный, возможно два решения.

Задача 6.4. Ханойская башня ( )

Каждый диск независимо от другого может находиться на одном из трех стержней. Поэтому допустимых состояний 32 = 9. Состояния сопоставляются элементам прямого произведения множества стержней на себя: {123}x{123}. Первая цифра указывает положение тяжелого диска, вторая — легкого. Диски перекладываются с одно стержня на другой за 3 хода. Например,

(11) (13) (23) (22). Задача 6.5. Гексафлексагон

У гекса-гексафлексагона 36 треугольных поверхностей, 6 из которых од-новременно видны. Таким образом, в различных состояниях можно уви-деть 36/6 = 6 различных рисунков. К тому же, некоторые из них могут яв-ляться в перевернутом виде. Экспериментально обнаруживается 9 раз-личных состояний, связанных путями, указанными на рисунке. Ориенти-рованный граф имеет диаметр 6. Это длина кратчайшего пути между наи-более удаленными состояниями. Например,

4 3 1 2 3 2 6. Радиус графа равен 4. Это длина кратчайшего пу-ти от одной из центральных вершин до наиболее удаленной от нее вершины. Например,

1 2 3 2 6. Радиус больше полудиаметра, это говорит о высокой связно-сти графа. Соответствующий неориентированный граф имеет диаметр 3 и радиус 2. Можно сделать вывод, что любой гекса-гексафлексагон собирается за 2 хода (!), если разрешается как откры-вать, так и закрывать сторону.

Совет. Во время составления карты не путайте сто-роны гекса-гексафлексагона. На тыльной стороне ри-сунки появляются в другой последовательности.

Задача 6.6. Дележ без ковша ( )

Ответ: Возможно 16 состояний. Чтоьбы разделить квас

Ханойская башня

Карта гекса-

гексафлексагона.

Состояния и траектории переливаний

36

пополам, необходимо совершить по меньшей мере 7 переливаний. Обозначим объем кваса в боченках 3, 5 и 8 через x,y и z. Состояние

полностью определяется количеством кваса в 3-х и 5-литровом сосудах. Поэтому можно обозначать состояние точкой в прямоугольнике 3 х 5 с координатами x,y (рисунок). Переливания x-z соответствуют горизонтальным траекториям, на которых определены лишь крайние положения: x = 0 или x = 3 (ведрам). То есть переливание может прекратиться только когда один из бочонков пуст, либо полон. Промежуточные состояния неизмеримы, так как по условию на бочонках нет засечек. Далее, переливания y-z соответствуют вертикальным траекториям. А переливания x-y соответствуют наклонным траекториям вида x + y = const. На рисунке определенные состояния выделены кружками, а начальное и искомое состояния — звездочками. Кратчайший путь обозначен жирной ломаной. Второй путь, встречный, имеет длину 8 переливаний.

Задача 6.7. Симметричный конденсатор

Ответ: 5/2 мкФ. Замечание 1. Если выводы подключать в любые две из пяти точек, ем-

кость окажется одна и та же, так как граф конденсаторных соединений — полный, а, следовательно, симметричный граф.

Замечание 2. Если вместо конденсаторов стоят сопротивления в 1 Ом, то общее сопротивление окажется 2/5 Ома.

Указание. Три промежуточных узла цепи имеют одинаковый потенци-ал, поэтому соединяющие их конденсаторы можно не рассматривать: ли-бо соедините эти три узла в один, либо просто уберите три связывающих конденсатора. Решение легко обобщается на любое число вершин.

Занятие 7. Информация

Поиск Задача 7.1. Гроза фальшивомонетчиков ( )

Девять монет обозначены буквами abcdefghi.

37

Задача 7.2. Информативность взвешивания ( )

В общем случае все предметы различны по массе. Допустим, существует алгоритм взвешиваний. Тогда для алгоритма

существует дерево взвешиваний. Дерево алгоритма должно иметь не менее 10! = 3628800 свободных вершин, так как все 10! упорядочений предметов по массе изначально возможны и требуют проверки.

С другой стороны, могут рассматриваться лишь два случая: перетягивает левая или правая чаша. Случай равновесия учитываться не должен. Таким образом, из узла дерева идет не более двух ветвей. Двоично ветвящееся дерево с 20-ю уровнями ветвления имеет не более 220 = 1048576 свободных вершин. Получилось противоречие.

Задача 7.3. Придворный заговор ( )

Требуется 5 смертников.

Бочки 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32

1 # # # # # # # # # # # # # # # #2 # # # # # # # # # # # # # # # #3 # # # # # # # # # # # # # # # #4 # # # # # # # # # # # # # # # #

Смертники

5 # # # # # # # # # # # # # # # #

Соответствие подозрительных бочек и выпивших из них смертников.

Дерево взвешиваний.

Проход дерева через два взвешивания приводит к фальшивой монете.

38

Приведем возможный алгоритм. Для упрощения алгоритма, добавим еще две бочки с водой (№№31,32). Как видно из таблицы, первый смертник прикладывается к половине бочек с номерами больше 16 (вторая партия). Уже по этому одному смертнику можно определить 16 не отравленных бочек. Если через сутки он будет здоров, на пир можно отрядить послед-ние 16 бочек. Иначе отравлена одна из бочек второй партии и первая пар-тия годится для пира.

По составу всех пострадавших смертников, можно однозначно опре-делить столбец таблицы. Ведь столбцы представляют собой двоичную за-пись чисел от 0 до 31.

Замечание 1. Существуют непредусмотренные алгоритмом обстоя-тельства, как-то несвязанная с бочками болезнь смертника, или его ис-ключительный иммунитет, или, наконец, недостоверность сведений о том, что ровно «одна» бочка отравлена.

Замечание 2. Как и в предыдущей задаче допускается описание на языке двоичного дерева. Так, для пяти смертников возможно 25 = 32 раз-личных исхода. А требуется различить 30 исходов.

Еще общее, бочки — это «возможные события», смертники — «ото-бражающие объекты, биты20». Количество бочек-событий можно считать мерой информации, скрытой в бочках. Количество смертников-битов — информативность алгоритма. Очевидно, эти меры разные. Количество со-бытий зачастую огромная и неудобная мера. А количество бит — это по-рядок двоичного числа, записывающего количество событий, логарифм количества событий. Итак, сообщение «одна из 30 бочек отравлена» тре-бует еще 2log 30 5≈ бит информации, чтобы определить отравленную бочку.

Защита

Задача 7.4. Маскарад тайнописи ( )

Ответ: ЗНАЮЧТОЕСТЬМАСКА «Знаю, что есть маска». Задача 7.5. Военный приказ ( )

Ответ: НАСТУПЛЕНИЕПЛАНИРУЕТСЯ16СЕНТЯБРЯ5УТРАВНИМАНИЕЛЕВОМУФЛАНГУРВСА «Наступление планируется 16 сентября 5 утра. Внимание левому флангу. РВС (Революционный военный совет)».

20 Бит (от англ. binary - двоичный и digit - знак, цифра), то же, что двоичная единица измерения количества информации.

39

Задача 7.6. Тарабарщина ( )

Ответ: Обороноспособность (это слово можно угадать сразу, в нем 6 букв «о»), математика, человек.

Передача и сжатие

Задача 7.7. Русскоязычная раскладка ( ) Сложим частоты букв, нажимаемых одним пальцем. Затем сложим часто-ты пальцев каждой руки.

Сразу бросается в глаза то обстоятельство, что левая рука нагружена сильнее. Из 1000 нажатий клавиш на нее приходится 526-527. Разве клавиатура предназначена для левшей? Но, возможно, это компенсируется неучтенными клавишами абзаца («ввод») и возврата («забой»). В готовом художественном тексте ввод встречается один раз на 200 знаков, а возврат вообще не встречается. Однако, на деле это очень частые клавиши. Не учтены и знаки препинания «,.» (кстати, в русском языке запятая встречается чаще). Но тогда почему правый мизинец работает больше безымянного пальца?

Раскладка «ЙЦУКЕН» не обеспечивает наискорейший набор, малую частоту опечаток, быструю обучаемость или удобство при работе. Ведь изобрели раскладку еще до революции и не в России21. К тому же при обилии букв в азбуке существенный выигрыш давало бы удлинение кла-виатуры на две-три клавиши, как на клавиатурах советстких компьюте-ров.

С другой стороны, раскладка придумана не произвольно. Большинст-во частых букв находится в центре. А причины распространенности рас-кладки следует искать в привычке и неприхотливости пользователей.

21 В СССР первая пишущая машинка (модель "Яналиф") была выпущена только в 1929 году в Казани. Вначале она производилась с латинским шрифтом. Это значит, что как минимум 30 лет с момента появления на рынке все пишущие машинки с русским шрифтом были иностранного производства. Подробнее читайте на http://ergosolo.ru/rus/reviews/keyboard_layout/

Левая рука – 0,5265 Правая рука – 0,4735 Мизинец Безымянный Средний Указательный Большой Большой Указательный Средний БезымянныйМизинец

0,028 0,035 0,111 0,277 0,07550,0755 0,272 0,060 0,034 0,032Нагрузка пальцев рук при печати на русскоязычной клавиатуре.

40

Задача 7.8. Латинская раскладка ( )

Сложим частоты букв, нажимаемых одним пальцем. Затем сложим часто-ты пальцев каждой руки.

Несоразмеренность работы пальцев и рук сильнее, чем на русскоязычной раскладке. Видно, что раскладка Шоулза22 «QWERTY» не самая удобная.

Существует два мнения на этот счет. Согласно первому, раскладка "QWERTY" оптимизирована под первые механические печатные машин-ки, где решалась проблема столкновения печатающих кулачков. Позд-нейшие изыскания профессора статистики Дворака и ныне существую-щей фирмы Малтрон дают в умелых руках на электронных клавиатурах чуть ли не удвоенную продуктивность по набору текста: скорость, сни-жение опечаток и прочее. Но удобные раскладки, как новые стандарты, не могут выйти на рынок по экономическим и социальным законам.

Согласно второму мнению, эксперименты Дворака были подстроены. И на деле возможные улучшения раскладки дают ничтожный выигрыш.

22 Шоулз (Sholes) Кристофер [14.02.1819 – 17.02.1890], американский журналист, в 1868 году получивший патент на изобретение пишущей машинки, а в 1873 году — на изобретение раскладки «QWERTY».

Левая рука – 0,561 Правая рука – 0,439 МизинецБезымянный СреднийУказательный БольшойБольшойУказательныйСреднийБезымянныйМизинец0,064 0,071 0,156 0,175 0,095 0,095 0,174 0,060 0,097 0,013

Нагрузка пальцев рук при печати на русскоязычной клавиатуре.

Частоты нажатия основных клавиш раскладки «ЙЦУКЕН»

41

Задача 7.9. Телеграфная азбука Морзе

Ответ: ~ 17 минут. На 1000 знаков англоязычного текста, согласно приложению, ожидается 190 пробелов, длительность каждого — 2 четверти секунды, всего 380 четвертей. Далее встретится в среднем 97 букв «e», длительность каждой из которых — 2 четверти секунды, всего 194 четверти. И так далее...

1

4

380("_") 194(" ") 237(" ") 256(" ") 448(" ") ...4041( / 4) 1010,25 16 50

e t a oсек сек мин сек

+ + + + + == = =

Задача 7.10. Азбука Морзе на русский лад

Ответ: ~ 19 минут. На 1000 знаков англоязычного текста, согласно приложению, ожидается 151 пробел, длительность каждого — 2 четверти секунды, всего 302 четверти. Далее встретится в среднем 94 буквы «о», длительность каждой из которых — 7 четвертей секунды, всего 658 четвертей. И так далее...

1

2

302("_") 658(" ") 148(" ") 256(" ") 180(" ") ...4586( / 4) 1146,5 19 6

о е a исек сек мин сек

+ + + + + == = =

Частоты нажатия основных клавиш раскладки «QWERTY»

42

Задача 7.11. Код личный — двоичный!

«ученье свет» зашифруется как 1010011000001100111011100001100000010010000110011010011 А как расшифруется 01110001101010011000001100111011100001100000010011111000110100001?

Задача 7.12. Сжатый код ( )

Возможный оптимальный префиксный шифр знак код й 0 0 0 0 0 0 1 ф 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

пробел 0 1 1 к 1 0 1 0 1 х 0 0 0 0 1 0 1 а 1 0 0 1 л 0 0 1 0 1 ц 1 0 0 0 0 0 0 1 б 1 0 0 0 1 1 м 1 1 0 1 0 ч 1 0 0 0 0 1 в 0 0 1 1 1 н 0 1 0 1 ш 1 0 0 0 0 0 1 г 1 0 1 0 0 1 о 1 1 1 щ 1 0 0 0 0 0 0 0 д 1 1 0 1 1 п 1 1 0 0 1 ы 0 0 0 0 1 1 е 0 0 0 1 р 0 0 1 0 0 ь 1 0 0 0 1 0 ж 0 0 0 0 1 0 0 с 0 0 1 1 0 э 0 0 0 0 0 0 0 0 1 з 1 0 1 0 0 0 т 0 1 0 0 ю 0 0 0 0 0 0 0 1

и 1 0 1 1 у 1 1 0 0 0 я 0 0 0 0 0 1

Возможный равномерный шифр Знак Шифр й 0 1 0 1 0 ф 1 0 1 0 1

пробел 0 0 0 0 0 к 0 1 0 1 1 х 1 0 1 1 0 а 0 0 0 0 1 л 0 1 1 0 0 ц 1 0 1 1 1 б 0 0 0 1 0 м 0 1 1 0 1 ч 1 1 0 0 0 в 0 0 0 1 1 н 0 1 1 1 0 ш 1 1 0 0 1 г 0 0 1 0 0 о 0 1 1 1 1 щ 1 1 0 1 0 д 0 0 1 0 1 п 1 0 0 0 0 ы 1 1 0 1 1 е 0 0 1 1 0 р 1 0 0 0 1 ь 1 1 1 0 0 ж 0 0 1 1 1 с 1 0 0 1 0 э 1 1 1 0 1 з 0 1 0 0 0 т 1 0 0 1 1 ю 1 1 1 1 0 и 0 1 0 0 1 у 1 0 1 0 0 я 1 1 1 1 1

43

«ученье свет» теперь зашифруется как 11000100001000101011000100001011001100011100010100. 50 знаков вместо 55 для равномерного кода. А как расшифруется 01010001110001000010001010110001000010110100100010110101001?

Занятие 8. Лабиринты, комбинаторные головоломки

Задача 8.1. Пути и ветвления ( )

Ответ: 100 кратчайших путей. Указание. Для подсчета удобно считать количество путей, приходящих в каждую вершину, складывая пути, приходящие из предыдущих вершин.

Задача 8.2. Объемный лабиринт ( )

Дерево получения оптимального шифра

Объемный лабиринт

44

Задача 8.3. Группа наперсточника Каждой перестановке соответствует размещение трех элементов в трех местах. Следовательно перестановок 3! = 6. Если пронумеровать элемен-ты, то размещение {123} под действием перестановок будет переходить в одно из 6 размещений: {123}, {312}, {231}, {213}, {132} или {321}.

Введем краткие обозначения перестановок. Для этого представим элементы расположенными в вершинах равностороннего треугольника. {123} {123}: — все остается на месте, тождественная перестановка; {123} {312}: — элементы переходят по кругу; {123} {231}: — элементы переходят против круга; {123} {213}: — обмениваются первые два элемента; {123} {132}: — обмениваются последние два элемента; {123} {321}: — обмениваются первый и последний элементы; В самом деле, перестановки соответствуют всем самосовмещениям рав-ностороннего треугольника. Тождественное совмещение, два поворота вокруг центра и три отражения (или поворота вокруг высот).

Последовательное выполние двух поворотов по кругу приводит к по-вороту против круга: х = . Таким образом, заполняется таблица ум-ножения. Последовательность перестановок существенна. Так, если сна-чала сместить {123} по часовой стрелке в {312}, а затем поменять первые два элемента {132}, то в результате первый элемент останется на месте, а последние обменяются: х = . Если же поменять последователь-ность действий, то на месте останется второй элемент: х = .

1х2

Таблица умножения группы перестановок трех элементов.

Первый множитель в левом столбце, второй — в верхнем ряду.

45

Таблица показывает, что для перестановок выполняются все определяю-щие свойства группы. 1. Произведение перестановок всегда перестановка. 2. Единичный элемент . 3. Каждый элемент имеет обратный. Например, -1 = : х = х = . 4. Порядок выполения умножений не важен, например,

( х ) х = х ( х ) = , хотя порядок множителей важен.

Перестановка, переставляющая местами только 2 элемента называется парной перестановкой, или "обменом". Любую перестановку можно раз-ложить в произведение обменов. Число множителей при разложении раз-ными способами данной перестановки в произведение обменов всегда будет либо чётным, либо нечётным. В соответствии с этим и перестанов-ку называют либо чётной, либо нечётной. Например, обмен — нечетная перестановка.

С другой стороны, четность перестановки — это четность числа не-упорядоченностей. Например, в {123} все числа упорядочены по возрас-танию, число упорядоченностей 0 — четное, соответствующая переста-новка — четная. А в {312} две неупорядоченности, т.к. 3 стоит впереди 1 и впереди 2. Следовательно тоже четная перестановка. Итак, {123} — 0 неупорядоченностей, — четная перестановка. {312} — 2 неупорядоченности, — четная перестановка. {231} — 2 неупорядоченности, — четная перестановка. {213} — 1 неупорядоченность, — обмен, нечетная перестановка. {132} — 1 неупорядоченность, — обмен, нечетная перестановка. {321} — 3 неупорядоченности, — обмен, нечетная перестановка.

Оба определения четности эквивалентны, так как обмен всегда изме-няет число неупорядоченностей на нечетное число, то есть меняет чет-ность.

Ответ: Группа перестановок 3 элементов некоммутативна. Четные пе-рестановки образуют подгруппу с таблицей умножения:

1х2

46

Задача 8.4. Ловушка Ллойда ( )

Ответ: Из данного положения пятнашки собрать невозможно. Указание. Правильное положение следует считать начальной четной

упорядоченной перестановкой (см. предыдущую задачу «Группа напер-сточника») шестнадцати элементов, учитывая пустое место как 16-ый элемент. Каждый ход — обмен: меняет пустое место с соседним квадра-том. Количество ходов до собранного состояния четное: сколько раз пус-тое место сместится вверх, столько же вниз, сколько влево, столько же вправо. Покажите, что приведенное в задаче начальное положение соот-ветствует нечетной перестановке.

Задача 8.5. Кубик Рубика ( )

Ответ: Кубик Рубика состоит из 27 подкубов. Один не раскрашен, 6 рас-крашено в 1 цвет, 12 раскрашено в 2 цвета и 8 подкубов раскрашено в 3 цвета. Кубик Рубика имеет 43252003274489856000 ≈ 43 квинтилиона со-стояний.

Количество состояний определяется тем, что для трехцветного кубика можно получить любое из восьми положений и любое из трех направле-ний, а для двухцветного кубика — любое из 12 положений и из 2 направ-лений. Одноцветные кубики неподвижны. Оценим полное число состоя-ний по правилу прямого произведения множеств:

8 128! 3 12! 2 519024039293878272000⋅ ⋅ ⋅ = . На самом деле возможно лишь каждое 12-ое из пересчитанных состоя-ний23. Всего состояний

8 128! 3 12! 2 432520032744898560002 2 3

⋅ ⋅ ⋅ =⋅ ⋅

.

23 Несложно доказать, что пересчитанные состояния имеют различные четности (по-добно состояниям "пятнашек" из предыдущей задачи). Так, поворот стороны сохра-няет четность по направлениям двухцветных подкубиков. Это значит, что если ру-ками вынуть двуцветный подкубик и, развернув, вставить на место, кубик Рубика по-честному не соберется. Выходит, что пересчитанные состояния разбиваются на два непереходящих друг в друга равномощных подмножества состояний различной четности. Каждое из подмножеств разбивается на 3 равномощные части по направ-лениям трехцветных подкубиков. Затем 6-ая часть делится еще на 2 части по поло-жениям. Поворот стороны является нечетной перестановкой как для двуцветных, так и для трехцветных подкубиков, и четность меняется совместно. Другими слова-ми,невозможно получить состояние с нечетной перестановкой двухцветных и чет-ной перестановкой трехцветных. Например, нельзя поменять местами два двухцвет-ных подкубика, не поменяв трехцветных.

47

Отсюда следует оценка, что любой честно разобранный кубик Рубика можно собрать за два десятка ходов. Действительно, из собранного со-стояния, делая поворот одной из 6 сторон на 900 по или против часовой стрелки, мы попадаем в одно из 12 состояний. Каждое из этих состояний ведет еще к 11-ти новым, исключая исходное. Если число достигаемых состояний увеличивается за каждый ход в 11 раз, то в любое состояние можно попасть за

11log 43252003274489856000 18.85552540 19= ≈ ходов!

Кубику Рубика три десятилетия, однако, несмотря на огромную попу-лярность головоломки, его группа изучена не до конца. От первых 50-ходовых алгоритмов сборки люди шагнули к 20-ходовым компьютерным стратегиям, но доказать, что алгоритмы оптимальны, пока не получилось.

48

ПРИЛОЖЕНИЕ 1. СЛОЖЕНИЕ МНОЖЕСТВ (ОЛИМПИЙСКИЕ КОЛЬЦА)

Правило включений-исключений определяет мощность объединения как

( )( ),

,

1

11

1i

iiN

N Ni

i kii kC

M Mσ

σ σσ

+

== ∈∈

= −∑ ∑U I ,

где 1..NM — объединяемые множества, iNC — множество сочетаний индексов. Убедимся в справедливости утверждения

на простом примере. Четыре одинаковых круга, центры которых расположены в вер-шинах квадрата, попарно пересекаются. Точ-ки, принадлежащие всем четырем кругам, закрашены в алый цвет, трем кругам соот-ветствует белый цвет, двум − вишневый, одному − голубой. Остальные точки не окрашены. Сколько раз мы включаем и вычитаем площади каж-дого цвета, когда ищем раскрашенную площадь по правилу сумм? Пересечения

кругов По одному По два По три По четыре Итого

Голубой +1 +1 Вишневый +2 -1 +1 Белый +3 -3 +1 +1 Алый +4 -6 +4 -1 +1

Количества включений-исключений располагаются в треугольник Паска-ля. И правило сводится к утверждению, что знакопеременная сумма стро-ки в треугольнике Паскаля равна нулю. Например,

+ 1 – 4 + 6 – 4 + 1 = (1 – 1)4 = 0. Дополнительно. Попробуйте вычислить, какую площадь покрывают

четыре круга радиусом 2 с центрами в точках (1,1); (1,-1); (-1,1); (-1,-1). Очевидно, что в этой задаче площади Б, В, Г рассчитать сложно, а пло-щади пересечения кругов

по два: А + Б1 + Б2 + В1, А + Б1 + Б3 и по три: А + Б1 рассчитать легче.

Диаграмма Эйлера-Венна

сложения множеств

49

ПРИЛОЖЕНИЕ 2. СИСТЕМЫ ИСЧИСЛЕНИЯ

50

ПРИЛОЖЕНИЕ 3. ПЕРЕЧИСЛЕНИЕ ВЫБОРОК

Ниже приведены примеры перечисления выборок из 3 по 2 и по 3 с повтором и без него, с порядком и без него. Таблица для выборок из 4 по 3 оставлена пустой, ее предлагается заполнить самостоя-тельно.

51

ПРИЛОЖЕНИЕ 4. ВЫБОРКИ (МНОГОВЕРТ И ЕГО ДЕТИ)

В Дисмагороде правящий род Комбинаториев по вечерам закатывает пышные пиры. По обычаю в знак внимания к гостям повелевают, чтобы каждому вельможе был особый выбор напитков.

Царь Многоверт допускает подносить одному гостю одно вино много раз. А также снисходит к тому, что различным гостям подносятся одни зелья, лишь бы в разном порядке. Старший царевич, Одноверт Многовер-тович, на своем пиру не терпит повторений, справедливо полагая, что ка-ждый званый должен вкусить побольше разнообразного зелья. Средний сын, Многоряд Многовертович, увещевает слуг следить за порядком под-ношений. И если одному вельможе подали квас, а затем медовуху, то другому воспрещается потреблять квас за медовухой, как тот же выбор во вредной очередности. Младший наследник, Одноряд Многовертович, в гуляниях держится прихотей обоих братьев.

Число бочек различного вина означает месяц в году. Число подноше-ний определяется днем недели. При таких порядках спрашивается, по ка-ким дням недели и месяцам, сколько разных пиров допускается и сколько гостей на них зазывается?

Решение

Количество гостей на пире определяется одной из четырех выборок (раз-мещения и сочетания с повторением и без). Ответ выражается таблицей.

Порядок + −

+ k kmA m=

Размещения с повторением

( 1)!( 1)! !

km

m kCm k

+ −=−

Сочетания с повторением

Повтор

−

!( )!

km

mAm k

=−

Размещения без повторения

!( )! !

km

mCm k k

=−

Сочетания без повторения

52

1 - 8 - 36

-

120 -

330 -

792 -

1716

1

3432

8

6435

36

1144

0

120

1944

8

330

3182

4

792

7

1 -

128 -

2187

-

1638

4

-

7812

5

-

2799

36

-

8235

43

5040

2097

152

4032

0

4782

969

1814

40

1000

0000

6048

00

1948

7171

1663

200

3583

1808

3991

680

1 - 7 - 28

- 84

-

210 -

462 1 924 7

1716

28

3003

84

5005

210

8008

462

1237

6

924

6

1 - 64

-

729 -

4096

-

1562

5

-

4665

6

720

1176

49

5040

2621

44

2016

0

5314

41

6048

0

1000

000

1512

00

1771

561

3326

40

2985

984

6652

80

1 - 6 - 21

- 56

-

126 1 252 6 462

21

792

56

1287

126

2002

252

3003

462

4368

792

5

1 - 32

-

243 -

1024

-

3125

120

7776

720

1680

7

2520

3276

8

6720

5904

9

1512

0

1000

00

3024

0

1610

51

5544

0

2488

32

9504

0

1 - 5 - 15

- 35

1 70

5 126

15

210

35

330

70

495

126

715

210

1001

330

1365

495

4

1 - 16

- 81

-

256

24

625

120

1296

360

2401

840

4096

1680

6561

3024

1000

0

5040

1464

1

7920

2073

6

1188

0

1 - 4 - 10

1 20

4 35

10

56

20

84

35

120

56

165

84

220

120

286

165

364

220

3

1 - 8 - 27

6 64

24

125

60

216

120

343

210

512

336

729

504

1000

720

1331

990

1728

1320

1 - 3 1 6 3 10

6 15

10

21

15

28

21

36

28

45

36

55

45

66

55

78

66

2

1 - 4 2 9 6 16

12

25

20

36

30

49

42

64

56

81

72

100

90

121

110

144

132

1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 10

10

11

11

12

12

1

1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 10

10

11

11

12

12

Выборки Ком

бинаториев

m\w

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11

12

53

ПРИЛОЖЕНИЕ 5. ТРЕУГОЛЬНИК ПАСКАЛЯ

Простое и наглядное представление треугольника Паскаля — это «много-слойное сито». Если в каждый узел этого сита поместить число невосхо-дящих путей, ведущих в данный узел, то числа образуют треугольник, ко-торый носит имя Паскаля24. Если через такое сито просеивать крупицы, то число частиц в узлах одного горизонтального ряда будет приблизи-тельно соответствовать числам треугольника Паскаля.

Свойство 1. Число путей с n правыми и m левыми ребрами равно чис-

лу сочетаний n из n+m ребер:

n mn m n mC C+ += .

Свойство 2. В каждый узел ведут два ребра. Пути, ведущие через эти ребра, складываются:

1 11 1

n n mn m n m n mC C C− −

+ − + + −= + .

Свойство 3. В ряд с номером N ведет 2N путей, так как число путей на каждом ряду удваивается. Поэтому

0

2N n NNn

C=

=∑

Свойство 4. Знакопеременная сумма ряда равна нулю:

( )01 0N n n

NnC

=− =∑ .

Действительно, каждый путь предыдущего ряда ведет как в четный узел, так и в нечетный, потому один раз прибавляется и один раз вычитается.

24 Паскаль (Pascal) Блез [19.6.1623, Клермон-Ферран, - 19.8.1662, Париж], француз-ский религиозный философ, писатель, математик и физик.

(а) Многослойное сито (б) Треугольник Паскаля

54

Свойство 5. Числа одного ряда дают плотность биномиального рас-

пределения, которая с ростом ряда стремится к нормальному виду:

22

21 e2 2

n NnNN

NN

Cπ

⎛ ⎞−−⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

→∞⎯⎯⎯→ .

Это утверждение хорошо иллюстрируется графиками.

(а) (б)

(в) Биномиальное и нормальное распределения. (а) Число сочетаний из n+m по m. Число путей из n правых и m левых ребер. (б) Вероятности для крупицы попасть в узел. В физике это простейшая решеточная модель для описания процессов протекания, диффузии, те-плопроводности. (в) Логарифмы сочетаний. В каждом ряду логарифмы образуют параболу рогами вниз.

55

ПРИЛОЖЕНИЕ 6. ГЕКСАФЛЕКСАГОНЫ [12]

Тригексафлексагон Гексагексафлексагон

Тригексафлексагон складывают из полоски бумаги, предварительно

размеченной на 10 равносторонних треугольников (а). Полоску переги-бают по линии ab и переворачивают (б). Перегнув полоску еще раз по ли-нии cd, расположим ее концы так, чтобы предпоследний треугольник ока-зался наложенным на первый (в). Последний треугольник нужно подог-нуть вниз и прикрепить к оборотной стороне первого треугольника (г).

Чтобы "открыть" тригексафлексагон, его нуж-но одной рукой взять за два соседних треугольни-ка, примыкающих к какой-нибудь вершине шес-тиугольника, а другой рукой потянуть за свобод-ный край двух противоположных треугольников. Если флексагон не открывается, нужно попробо-вать ухватить его за два других треугольника. При открывании шести-угольник выворачивается наизнанку, и наружу выходит поверхность, ко-торая ранее скрывалась внутри.

Гексагексафлексагоны складывают из полоски бумаги, разделенной на 19 равносторонних треугольников (а). Треугольники на одной стороне полоски обозначены цифрами 1,2,3; треугольники на другой стороне - цифрами 4,5,6. Вместо цифр треугольники можно раскрасить в различные цвета (каждой цифре должен соответствовать только один цвет) или на-рисовать на них какую-нибудь геометрическую фигуру. Как складывать полоску, ясно из рисунка. Перегибая гексагексафлексагон, можно увидеть все шесть его разворотов.

56

ПРИЛОЖЕНИЕ 7. ЧАСТОТА ЗНАКОВ В ТЕКСТЕ И ДЛИТЕЛЬНОСТЬ В АЗБУКЕ МОРЗЕ

Русская азбука

Знак Часто-та25 Длина26 Знак Частота Длина Знак Частота Длина

пробел 0,151 2 к 0,029 6 г 0,014 6 о 0,094 7 м 0,028 5 й 0,009 8 е 0,074 2 д 0,026 5 ж 0,008 6 а 0,064 4 у 0,025 5 х 0,008 5 и 0,060 3 п 0,022 7 ш 0,008 9 т 0,055 3 я 0,018 7 ю 0,005 7 н 0,055 4 ы 0,017 8 щ 0,003 8 с 0,046 4 ь 0,016 7 ц 0,003 7 в 0,040 6 б 0,015 6 э 0,002 7 р 0,038 5 ч 0,015 8 ф 0,001 6 л 0,037 6 з 0,014 7 ъ 0,000 нет

Латинский алфавит в английском языке

Знак Частота27 Длина Знак Частота Длина Знак Частота Длинапробел 0,190 2 r 0,042 5 f 0,016 6

e 0,097 2 d 0,041 5 b 0,014 6 t 0,079 3 l 0,033 6 p 0,013 5 a 0,064 4 u 0,025 5 k 0,008 6 o 0,064 7 w 0,022 6 v 0,006 5 n 0,055 4 m 0,020 5 j 0,002 6 h 0,054 5 y 0,018 8 x 0,001 5 i 0,052 3 g 0,018 6 q 0,00028 8 s 0,048 4 c 0,018 7 z 0,000 6

25 За основу взят текст книги Щетинина М.П. «Объять необъятное: записки педаго-га» 26 За единицу длительности букв взято две точки, так как длительности всех букв соответствуют четному числу точек. Например, буква «ж»: «Я бук-ва Жее» включа-ет три точки (3), одно тире (3), три промежутка между знаками (3) и один промежу-ток между буквами (3). Итого 12 точке, или 6 пар точек. 27 За основу взят текст книги Твена М. «Приключения Тома Сойера» 28 На 368203 знаков текста пришлось 178 букв «q». Меньше 1 на две тысячи.

57

ПРИЛОЖЕНИЕ 8. ТЕЛЕГРАФНАЯ АЗБУКА МОРЗЕ

Букве соответствует комбинация из длинных посылок (тире) и коротких посылок (точек). За единицу длительности принимается длительность точки. Длительность тире равняется длительности трех точек. Пауза между знаками в букве —точка, между буквами в слове — 3 точки, между словами — 7 точек.

1 6

2 7

3 8

4 9

5

0

? Ч

/ Ш

|| Э

! Ю

, Я

знак раздела

Перебой (исправление)

Начало передачи

Готовность к приему

Начало действия

Окончание передачи

A А N Н

B Б O О

C Ц P П

D Д Q Щ

E Е R Р

F Ф S С

G Г T Т

H Х U У

I И V Ж

J Й W В

K К X Ь

L Л Y Ы

M М Z З

58

ИЗУЧЕНИЕ АЗБУКИ МОРЗЕ Вся сложность изучения азбуки Морзе заключается в том, что недостаточно просто запом-нить комбинацию точек и тире для каждой буквы. Даже наоборот, это очень вредно для последующего серьезного изучения CW. Поначалу, на малых скоростях, вам, возможно, удастся просчитать количество точек и тире, но при увеличении скорости вы наверняка собьетесь!

В приведенной ниже таблице указаны напевы для букв телеграфной азбуки, которые и стоит запоминать. Каждый напев начинается на соответствующую букву, слоги с гласны-ми буквами "О" и "А" пропеваются протяжно, обозначая длинную посылку (тире), а все остальные коротко (точки):

1 И-тооль-коо оод-наа 6 Поо шес-ти-бе-ри

2 Две не хоо-роо-шоо 7 Даа-Даа- се-ме-ри

3 Три те-бе маа-лоо 8 Воось-моо-гоо и-ди

4 Чет-ве-ри-те-каа 9 Наа-ноо-наа-ноо-ми

5 Пя-ти-ле-ти-е 0 Нооль-тоо оо-коо-лоо

A А Ай-даа! N Н Ноо-мер

B Б Баа-ки те-кут O О Оо-коо-лоо

C Ц Цаа-пли наа-ши P П Пи-лаа поо-ёт

D Д Даа и-ди Q Щ Щаа ваам не Шаа

E Е Есть R Р Ре-шаа-ет

F Ф Фи-ли-моон-чик S С Си-не-е

G Г Гаа-раа-жик T Т Таак

H Х Хи-ми-чи-те U У У-нес-лоо

I И И-ди V Ж Я бук-ва Жее

J Й Йош-каа-роо-лаа W В Ви-даа-лаа

K К Каак де-лаа? X Ь Тоо мяг-кий знаак

L Л Ли-шаай-ни-ки Y Ы ЫЫ не наа-доо

M М Маа-маа Z З Заа-каа-ти-ки

59

Содержание ПЛАН КУРСА «ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА. ............................................................................................................. 3

Краткая характеристика курса ................................................................................................................................... 3 Темы лекций ..................................................................................................................................................................... 3 Основная литература .................................................................................................................................................... 4 Дополнительная литература ........................................................................................................................................ 4 Тяжелая литература ..................................................................................................................................................... 5

ЗАНЯТИЕ 1. ОСНОВЫ..................................................................................................................................................... 6 МНОЖЕСТВА, ОТОБРАЖЕНИЯ И ОТНОШЕНИЯ ......................................................................................................................... 6

Задача 1.1. Булеан ( )............................................................................................................................................ 6 Задача 1.2. Доказательство на кружках ............................................................................................................. 6 Задача 1.3. Принцип Дирихле в арбузных корках ( ) ...................................................................................... 6 Задача 1.4. Отношение упорядочения .................................................................................................................. 7

ВЕРОЯТНОСТИ ......................................................................................................................................................................... 7 Задача 1.5. Азартная игра и справедливость ( ) ............................................................................................... 7 Задача 1.6. Очень широкий танк ( ).................................................................................................................... 7

Задача 1.7. В квадратном часе ( ) ................................................................................................................... 7 ЗАНЯТИЕ 2. КОЛИЧЕСТВО И ПОРЯДОК ................................................................................................................. 7

Задача 2.1. Числа количественные и порядковые ( ) ................................................................................... 7 ПРАВИЛО СЛОЖЕНИЯ (ВКЛЮЧЕНИЯ-ИСКЛЮЧЕНИЯ) МНОЖЕСТВ ........................................................................................... 8

Задача 2.2. Правило гусениц .................................................................................................................................. 8 Задача 2.3. Правило красок ( ) ........................................................................................................................... 8 Задача 2.4. Инспектор запутался ( ).................................................................................................................. 8 Задача 2.5. Куратор недосчитался ( )................................................................................................................ 8

ПРАВИЛО УМНОЖЕНИЯ ........................................................................................................................................................... 8 Задача 2.6. Считалочка ............................................................................................................................................. 8

Задача 2.7. Не роскошь, а средство передвижения ( ) ................................................................................... 9 Задача 2.8. Ладейное перенаселение ( ).................................................................................................................. 9

ЗАНЯТИЕ 3. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ СТРОКИ................................................................................................................. 9 Задача 3.1. Электронная логика ( )............................................................................................................ 9

Задача 3.2. Скрытая цифра ( ) ........................................................................................................................ 10 Задача 3.3. Избыточность штрих-кода ( ).................................................................................................... 10

СИСТЕМЫ ИСЧИСЛЕНИЯ........................................................................................................................................................ 10 Задача 3.4. Считаем на пальцах ( ) .................................................................................................................. 10 Задача 3.5. Автобиография математика ( )................................................................................................... 11

РАСТРОВЫЕ ИЗОБРАЖЕНИЯ ................................................................................................................................................... 11 Задача 3.6. Оцифруй рисунок ( ) .................................................................................................................. 11 Задача 3.7. Нарисуй числа ( )............................................................................................................................. 11

Задача 3.8. Что показывают числа? ( ) ....................................................................................................... 11 ЗАНЯТИЕ 4. ВЫБОРКИ................................................................................................................................................. 12

Задача 4.1. Доживем до воскресенья ( ) ....................................................................................................... 12 СОЧЕТАНИЯ ........................................................................................................................................................................... 12

Задача 4.2. Звон бокалов ( ) ............................................................................................................................... 12 Задача 4.3. Напиши родителям ( ) ....................................................................................................................... 12 Задача 4.4. Треугольник — клетка геометрии! ( ) .............................................................................................. 12

СОЧЕТАНИЯ С ПОВТОРЕНИЕМ ............................................................................................................................................... 12 Задача 4.5. Напиши друзьям ( )............................................................................................................................. 12 Задача 4.6. Коробки ( ) .......................................................................................................................................... 12

Задача 4.7. Возможные треугольники ( )......................................................................................................... 12 Задача Муавра 4.8. ( ).................................................................................................................................. 13 Задача 4.9. Счастливый билетик ( ) ........................................................................................................ 13

ЗАНЯТИЕ 5. КОМБИНАТОРИКА ............................................................................................................................... 13 Задача 5.1. Перестановки с ограниченным запасом ( ) .................................................................................. 13 Задача 5.2. Комбинаторика сада ( )................................................................................................................. 13

Задача 5.3. Пространства ( ) .................................................................................................................... 13 Задача 5.4. Не перегружайте математикой! ( ) ............................................................................................ 14

Задача 5.5. Джентельменское правило ( ) ................................................................................................ 14 ЧЕТНОСТЬ, ПЕРЕСТАНОВКИ................................................................................................................................................... 14

Задача 5.6. Локальная сеть общежития ........................................................................................................... 14

60

Задача 5.7. Тараканьи бега................................................................................................................................... 14 Задача 5.8. Наведи порядок.................................................................................................................................. 15

ЗАНЯТИЕ 6. ГРАФЫ ...................................................................................................................................................... 15 Задача 6.1. Эйлерова характеристика ( )................................................................................................... 15 Задача Эйлера 6.2. ( ) .................................................................................................................................... 15 Задача 6.3. Волк, коза и капуста. Теория перевозки ( )................................................................................... 16 Задача 6.4. Ханойская башня ( ) ...................................................................................................................... 16

Задача 6.5. Гексафлексагон........................................................................................................................... 16 Задача 6.6. Дележ без ковша ( ) ................................................................................................................. 17

Задача 6.7. Симметричный конденсатор ....................................................................................................... 17 ЗАНЯТИЕ 7. ИНФОРМАЦИЯ....................................................................................................................................... 17

ПОИСК ................................................................................................................................................................................... 17 Задача 7.1. Гроза фальшивомонетчиков ( ) ..................................................................................................... 17

Задача 7.2. Информативность взвешивания ( )........................................................................................... 17 Задача 7.3. Придворный заговор ( )............................................................................................................ 17

ЗАЩИТА ................................................................................................................................................................................. 17 Задача 7.4. Маскарад тайнописи ( )............................................................................................................ 17

Задача 7.5. Военный приказ ( ) ..................................................................................................................... 18 Задача 7.6. Тарабарщина ( )............................................................................................................................. 18

ПЕРЕДАЧА И СЖАТИЕ ............................................................................................................................................................ 18 Задача 7.7. Русскоязычная раскладка ( )..................................................................................................... 18 Задача 7.8. Латинская раскладка ( ) .......................................................................................................... 18 Задача 7.9. Телеграфная азбука Морзе ............................................................................................................ 19 Задача 7.10. Азбука Морзе на русский лад ...................................................................................................... 19

Задача 7.11. Код личный — двоичный!................................................................................................................ 19 Задача 7.12. Сжатый код ( ) .................................................................................................................. 19

ЗАНЯТИЕ 8. ЛАБИРИНТЫ, КОМБИНАТОРНЫЕ ГОЛОВОЛОМКИ............................................................... 19 Задача 8.1. Пути и ветвления ( ) ..................................................................................................................... 19

Задача 8.2. Объемный лабиринт ( ) .................................................................................................................... 20 Задача 8.3. Группа наперсточника............................................................................................................... 20

Задача 8.4. Ловушка Ллойда ( ).................................................................................................................... 20 Задача 8.5. Кубик Рубика ( ) ..................................................................................................................... 20

ОТВЕТЫ.................................................................................................................................................................................... 21 ПРИЛОЖЕНИЕ 1. СЛОЖЕНИЕ МНОЖЕСТВ (ОЛИМПИЙСКИЕ КОЛЬЦА)......................................................... 48 ПРИЛОЖЕНИЕ 2. СИСТЕМЫ ИСЧИСЛЕНИЯ .............................................................................................................. 49 ПРИЛОЖЕНИЕ 3. ПЕРЕЧИСЛЕНИЕ ВЫБОРОК........................................................................................................... 50 ПРИЛОЖЕНИЕ 4. ВЫБОРКИ (МНОГОВЕРТ И ЕГО ДЕТИ)....................................................................................... 51

Решение .......................................................................................................................................................................... 51 ПРИЛОЖЕНИЕ 5. ТРЕУГОЛЬНИК ПАСКАЛЯ .............................................................................................................. 53 ПРИЛОЖЕНИЕ 6. ГЕКСАФЛЕКСАГОНЫ [12]............................................................................................................... 55 ПРИЛОЖЕНИЕ 7. ЧАСТОТА ЗНАКОВ В ТЕКСТЕ И ДЛИТЕЛЬНОСТЬ В АЗБУКЕ МОРЗЕ ............................. 56

РУССКАЯ АЗБУКА................................................................................................................................................................... 56 ЛАТИНСКИЙ АЛФАВИТ В АНГЛИЙСКОМ ЯЗЫКЕ..................................................................................................................... 56

ПРИЛОЖЕНИЕ 8. ТЕЛЕГРАФНАЯ АЗБУКА МОРЗЕ ................................................................................................... 57 ИЗУЧЕНИЕ АЗБУКИ МОРЗЕ .............................................................................................................................................. 58