Tinh Chia Het

Tính chia hết Đôn Văn Tú - THCS Kiều Phú

TÝnh chia hÕtI.KiÕn thøc cÇn nhí1. PhÐp chia hÕt

a. §Þnh lý vÒ phÐp chiab. PhÐp chia hÕt

* §Þnh nghÜa*TÝnh chÊt

TC1/ a m ka mTC 2/ a m và b m ( a b ) mTC 3/ (a b) m và a m b mTC 4/ a m và b n ab m nTC 5/ a m a m n N*TC 6/ a m a mTC 7/ a m ; m là số nguyên tố a m ( n N ;

n o)TC 8/ a m a m ; n N*TC 9/ ab m và (a, m)=1 b mTC 10/ ab m và m là số nguyên tố a m hoặc b mTC 11/ a m và a n và ( m,n ) =1 a m.nTC 12/ a m , a n , a r và ( m,n)=1, (n,r)= 1,(m,r) =1 a m.n.rTC 13/ Tích của n số tự nhiên liên tiếp thì chia hết cho tích .2.3...n

*HÖ qu¶c. H»ng ®¼ng thøc vµ hÖ qu¶

2. §ång d thøca. §Þnh nghÜa

Cho sè nguyªn m > 0; nÕu hai sè nguyªn a vµ b cã cïng sè

d khi chia cho m th× ta nãi a ®ång d víi víi b theo mo®un m vµ

kÝ hiÖu lµ a b(modm).

VËy a b (modm) a-b m.

b. TÝnh chÊtTÝnh chÊt 1: NÕu a b (modm) vµ c d(modm) a c b

d(modm).

TÝnh chÊt 2: NÕu a b (modm) vµ c d(modm) ac

d(modm).

1


TÝnh chÊt 3: NÕu a b (modm) a.c b.c (modm).(c 0,c

Z).

TÝnh chÊt 4: NÕu a b (modm) an bn (modm).(n N).

c. §Þnh lý FermatVíi p lµ sè nguyªn tè ta cã: ap a(modp)

§Æc biÖt, nÕu (a,p) = 1 th× ap-1 1(modp)

II. Çc ph¬ng ph¸p chøng minh chia hÕt

Ph ¬ng ph¸p 1 : Sö dông dÊu hiÖu chia hÕt vµ tÝnh chÊt

1) Ph ¬ng ph¸p :

Sö dông dÊu hiÖu chia hÕt cho 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 11, 25, . . . vµ

tÝnh chÊt : “ Trong n sè nguyªn liªn tiÕp cã mét vµ chØ mét sè

chia hÕt cho n, n 1 “

2) Ví dụ

VD1. CMR nếu (a, 240) = 1 thì a4 -1 240

H ư ớng dẫn

Xét a ( a4 - 1) = a( a2 - 1) ( a2 +1) = a( a-1)( a + 1) ( a2 - 4 + 5)

= a( a-1)(a+ 1)( a-2) (a+2) + 5a( a-1)(a+1) 5;6;8.

a( a4-1) 5.6.8=240. Do (a,240) = 1 a4-1 240

VD2. CMR mn( m4 - n4) 30

H ư ớng dẫn

mn( m4 - n4) = mn (m4 - 1 - n4 + 1) = mn (m4 - 1) - mn (n4 - 1)

= mn (m4 - 1)= mn ( m2 - 1) ( m2 +1)

= mn (m - 1) ( m +1) ( m2 +1)

= nm (m - 1) ( m +1) ( m2 - 4 + 5)

= nm (m - 1) ( m +1) ( m - 2) ( m + 2) + 5 5, 6.

3)Bµi tËp (sö dông ph¬ng ph¸p 1)

2


Bµi 1. Chøng minh r»ng :1) TÝch hai sè ch½n liªn tiÕp chia hÕt cho 82) TÝch ba sè ch½n liªn tiÕp chia hÕt cho 483) TÝch bèn sè nguyªn liªn tiÕp chia hÕt cho 244) TÝch 5 sè nguyªn liªn tiÕp chia hÕt cho 1205) TÝch 6 sè nguyªn liªn tiÕp chia hÕt cho 720

Bµi 2. Cho a, b lµ hai sè lÎ kh«ng chia hÕt cho 3. CMR a2 - b2

Bµi 3. CMR víi mäi m, n nguyªn ta cã :1) n2(n2 - 1)

H ư ớng dẫn

n2 ( n2 -1) = n2 ( n -1) ( n+1) 3 và 4.

n ( n -1) ( n+1) 3

n2 ( n -1) ( n+1) = ( n-1)n . n ( n+ 1) 4.

2) n2(n4 - 1) H ư ớng dẫn

n2 ( n4 -1) = n2 ( n2 -1) ( n2 +1) = n2 ( n2 -1) ( n + 1) ( n2 +1)

= ( n - 1) n (n+ 1) n ( n2 - 4 + 5)

= ( n - 1) n ( n+ 1) n ( n2 - 4) +5 n( n - 1)n(n+ 1)

= ( n - 2) ( n+ 1) n ( n +1) ( n + 2) n + 5 n( n - 1)n(n+ 1) 3, 4,5

3) 2n(16 - n4) H ư ớng dẫn

4) 3n4 - 14n3 + 21n2 - 10n H ư ớng dẫn

3


5) n5 - 5n3 + 4n H ư ớng dẫn

6) n4 + 6n3 + 11n2 + 6n H ư ớng dẫn

A = n4 + 6n3 + 11n2 + 6n = n (n3 + 6n2 + 11n + 6)

= n(n + 1) (n2 + 5n + 6) = n ( n+1)(n+2)(n+3) 3 và 8 đpcm.

Bµi 4. a) CMR n4 - 4n3 - 4n2 + 16n víi n ch½n vµ n > 4.

H ư ớng dẫn

A = n4 - 4n3 - 4n2 + 16n = n( n3 - 4n2 - 4n + 16) = n( n-2) ( n2 - 2n -8).

Vì n chẵn và n > 4 n = 2k

A = 2 k ( 2k - 2) (4k2 - 4k - 8) = 16 k ( k-1) (k2 - k - 2)

= 16 k ( k-1) ( k+1) ( k-2)

do k ( k-1) ( k+1) ( k-2) 3 và 8

A 384.

b) CMR: ( n3 + 5 n ) 6, với mọi số nguyên dương n.

Bµi 5. CMR: n lẻ, n N th× :1) n8 - n6 -n4 + n2 11522) n8 - n6 - n4 + n2 5760

H ư ớng dẫn

4


5760 = 27.32.5B = n8 - n6 - n4 + n2 = ... = [n(n-1)(n+1)]2(n2 + 1)

3) n3 (n2 -7)2 - 36n 5040H ư ớng dẫn

5040 = 24.32.5.7C = n3 (n2 -7)2 - 36n = n[n2 (n2 -7)2 - 36] = n(n3 - 7n- 6) (n3 - 7n + 6) = (n-3) ( n - 2)(n- 1)n(n+1) (n+2)( n+ 3)

4) n3 - 3n2 - n + 3 48H ư ớng dẫn

A = n3 - 3n2 - n + 3 = ( n - 1) ( n + 1) ( n -3 )

n lẻ n = 2k + 1 (k N)

A = 2k ( 2k + 2) ( 2k -2) = 8k ( k + 1) ( k -1)

mà k ( k+ 1) ( k -1) 6

8k ( k+ 1) ( k - 1) 48 hay A 48 n lẻ.

5) n3 + 3n2 - n - 3 48H ư ớng dẫn

A = n3 + 3n2 - n - 3 = ( n - 1) ( n + 1) ( n + 3)

do n lẻ n = 2k + 1 (k N)

A = 2k ( 2k + 2) ( 2k + 4) = 8k ( k + 1) ( k + 2)

mà k ( k+ 1) ( k + 2) 6

8k ( k+ 1) ( k+ 2) 48 hay A 48 n lẻ.

6) n12 - n8 - n4 + 1 512H ư ớng dẫn

A = n12 - n 8 - n 4 + 1 = n8 (n 4 - 1 ) (n 4 - 1) = ( n 4 - 1) (n8 - 1 )

= ( n2 - 1) ( n2 + 1) ( n4 - 1) ( n4 +1) = ( n - 1)2 ( n + 1)2 ( n2 + 1)2 ( n4 +1)

Do n lẻ n = 2k + 1

5


7) n4 + 7(7 + 2n2) 64H ư ớng dẫn

A = n4 + 7(7 + 2n2) = n4 + 14n2 + 49 = (n2 + 7)2

Do n lÎ nªn n = 2k + 1 (k N)A = [ (2k + 1)2 + 7 ]2 = ( 4k2 + 4k + 8 )2 =16(k2 + k + 2)2

L¹i cã k2 + k + 2 = k(k+ 1) + 2 2 nªn (k2 + k + 2)2 4VËy A 64

8) n4 + 6n2 - 7 128H ư ớng dẫn

B = n4 + 6n2 - 7 = ( n2 - 1)(n2 + 7) = ( n - 1)(n+ 1)( n2 - 9 + 16) = ( n - 1)(n+ 1)(n- 3) ( n+ 3) + 16( n - 1)(n+ 1)Do n lÎ nªn n = 2k + 1 (k N)B = 2k(2k + 2)(2k - 2)(2k + 4) + 16. 2k.(2k + 2)B = 16.(k-1)k(k+1)(k+2) + 64.k(k+1)L¹i cã (k-1)k(k+1)(k+2) = 8p vµ k(k+1) = 2q ( víi p, q

N )Suy ra B = 16. 8p + 64. 2q = 128.( p + q ) 128

Bµi 6. CMR çc biÓu thøc sau lµ sè nguyªn víi mäi n nguyªn

H ư ớng dẫn

Vậy A là số nguyên

6


Bµi 7. CMR biÓu thøc A = ( 20112012n+ 20122011n)(n5 - n ) chia hÕt cho 30 víi mäi n nguyªn.

H ư ớng dẫn

Chøng minh n5 - n 30

Bµi 8. Cho a, b kh«ng chia hÕt cho 5. CMR a4 - b4 chia hÕt cho 5

H ư ớng dẫn

Ta cã a4 - b4 = ( a4 - 1) - ( b4 - 1)Chøng minh ( a4 - 1) 5 vµ ( b4 - 1) 5 ( chó ý a, b kh«ng chia hÕt cho 5)

Bµi 9. CMR tÝch cña ba sè nguyªn liªn tiÕp, trong ®ã sè ë gi÷a lµ lËp ph¬ng cña sè tù nhiªn chia hÕt cho 504.

Bµi 10. a) CMR ax2 + bx + c lµ sè nguyªn víi mäi x nguyªn khi vµ chØ khi 2a, a + b, c lµ çc sè nguyªn.b) CMR ax3 + bx2 + cx + d lµ sè nguyªn víi mäi x nguyªn khi vµ chØ khi 6a, 2b, a + b + c, d lµ çc sè nguyªn.Bài 11.Tìm tất cả các số nguyên n để: P=1999n2+1997n+30 6n

H ư ớng dẫn

7


P=(1998n2+1998n)+n2-n+30 6nvì n2-n n nên 30 n và 30 6 nên n2-n 3Vậy n thuộc ước của 30 và n chia cho 3 dư 0 hoặc 1

Bài 12. CMR: A=1920212223....787980 1980H ư ớng dẫn

A có tận cùng là 80 A 20 (1)Tổng các chữ số ở vị trí lẻ của A là: 1+(2+3+4+5+6+7).10+8=279Tổng các chữ số ở vị trí chẵn của A là: 9+(0+1+2+...+9).6+0=279Tổng các chữ số ở vị trí c của A là: 279+279=558 9

A 9 (2) và A 11 (11)Từ (1); (2) và (3) điều phải chứng minh.

Bài 13. Chứng minh rằng: ?

H ư ớng dẫn

Dễ thấy:

Ph ¬ng ph¸p 2 : Sö dông h»ng ®¼ng thøc më réng

1) H»ng ®¼ng thøc më réng

1) an-bn = (a-b)( an-1+ an-2b + ...+abn-2 +bn-1) n N.

2) an+bn = (a+b)( an-1- an-2b + ...-abn-2 +bn-1) n lÎ.

a,b z vµ a b th× an-bn (a-b) (n N).

a,b z, n lÎ vµ a -b th× an+bn (a+b).

a,b z, n ch½n vµ a -b th× an-bn (a+b).

2)Ví dụ: Cho a, b N, a và b không chia hết cho 3. Chøng minh r»ng:

pa2m + qb2m 3 p+q 3 (p,q,m N).

8


Gi¶i

* ThuËn Ta cã : pa2m + qb2m = p(a2m -1)+ q(b2m - 1) + ( p + q) 3

(1)

Mµ a2m -1 = (a2)m - 1 a2 - 1

l¹i cã a2 - 1 = (a- 1)(a+ 1)

Do a kh«ng chia hÕt cho 3 nªn (a-1)(a+1) 3

Nh vËy p(a2m -1)+ q(b2m - 1) 3 (2)

Tõ (1) vµ (2) suy ra p+q 3

*§¶o ( lµm t¬ng tù )

Bµi to¸n tæng qu¸t:

Cho p lµ sè nguyªn tè, a1, a2,... an, lµ çc sè nguyªn kh«ng chia

hÕt cho p.

p1, p2,... pnvµ k1, k2 ... pk lµ çc sè tù nhiªn. Chøng minh r»ng:

p1a1(p-1)k1+ p2 a2

(p-1)k2 +...+ pn an(p-1)kn p p1+ p2,... + pn p.

3)Bài tËp ( ph¬ng ph¸p 2: sö dông h»ng ®¼ng thøc)

Bµi 1: Cho n lµ sè tù nhiªn, CMR :1) 9.10n + 18 27

H ư ớng dẫn

2) 92n + 14 5H ư ớng dẫn

3) 1n + 3n + 5n + 7n 8, víi n lÎ.H ư ớng dẫn

9


4) 62n + 19n - 2n+1 17H ư ớng dẫn

5) 62n+1 + 5n+2 31H ư ớng dẫn

6) 34n+1 + 32n .10 - 13 64H ư ớng dẫn

7) 16n - 15n - 1 225H ư ớng dẫn

8) 33n+3 - 26n - 27 169H ư ớng dẫn

10


9) 106n - 4 + 106n-5 + 1 111 ( n )H ư ớng dẫn

10) 4n + 15n - 1 chia hết cho 9

H ư ớng dẫn

11) 9n+1 - 8n - 9 chia hết cho 16

H ư ớng dẫn

12) 2903n - 803n - 464n + 261n 1897

H ư ớng dẫn

13) 28n56n -1980n - 441n + 1 1979

H ư ớng dẫn

14) 11n+2 + 122n+1 133

H ư ớng dẫn

15) 52n-1 .2n+1 + 3n+1 . 22n-1 38

H ư ớng dẫn

16) 5n+2 + 26.5n + 82n+1 59

H ư ớng dẫn

11


17) 7.52n + 12.6n 19

H ư ớng dẫn

Bài 2. CMR:

1) 46n + 296.13n 1947, ( n>1, n N, n lẻ).

H ư ớng dẫn

2) 20n +16 n - 3n - 1 323, (n chẵn, n N) .

H ư ớng dẫn

3) 118n - 101n - 16n - 1 702, ( n lẻ).

H ư ớng dẫn

4) (4+ a -3b)4(3a - 5b - 1)4 16 với a, b nguyênH ư ớng dẫn

(4+ a -3b)4(3a - 5b - 1)4 = [16A + ( a- b)16 ] [16B + ( a- b-1)16 ] = 16C + ( a- b)16( a- b-1)16

5) ( a+ b + c )3 - ( a3 + b3 + c3 ) 24 nếu a, b, c cùng chẵn hoặc cùng lẻ.H ư ớng dẫn

¸p dông h»ng ®¼ng thøc a3 + b3 + c3 = ( a+ b + c )3 - 3(a+b)(b+c)(c+a)

Bµi 3: Cho n lµ sè nguyªn d¬ng, CMR :1) 72n - 48n - 1 482

2) nn - n2+ n - 1 (n - 1)2 ( n > 1)3) 3n+2 + 42n+1 134) 4.32n+2 + 32n - 36 645) 62n + 3n+2 + 3n 11

12


Bµi 4: Cho f(x) lµ ®a thøc víi hÖ sè nguyªn vµ f(0), f( 1) lµ çc sè lÎ. Chøng minh r»ng f(x) kh«ng cã nghiÖm nguyªn.

H ư ớng dẫn

Gi¶ sö f(n) = 0, n nguyªn. Ta cã: f(n) - f(1) n - 1 suy ra n - 1lÎ ( *)f(n) - f(0) n suy ra n lÎ (**)Tõ (*) vµ(**) dÉn ®Õn m©u thuÉn. VËy f(x) kh«ng cã nghiÖm nguyªn.

Bµi 5: Cho f(x) = xn + an-1xn-1 + . . . + a1x + a0 , víi ai ( i = 0, 1, . . . , n-1 ) . Gi¶ sö m lµ nghiÖm cña f(x). CMR f(1) (1 - m) vµ f(-1) (1+ m)

H ư ớng dẫn

f(1)-f(m) (1-m) và f(-1)-f(m) (1+m)

Ph ¬ng ph¸p 3 : Sö dông phÐp chia cã d

1) Ph ¬ng ph¸p

13


§Ó chøng minh biÓu thøc A(n) p ta xÐt tÊt c¶ çc sè d trong

phÐp chia n cho p chia n cho p ®îc çc d lµ 0,1,2,...,p-1. §Æc biÖt

nÕu p lÎ ta cã thÓ viÕt n=k.p+r víi r=0, 1, ... , .

2) VÝ dô

VD1:Chøng minh r»ng tæng luü thõa ch½n cña ba sè nguyªn liªn

tiÕp kh«ng thÓ lµ mét sè chÝnh ph¬ng.

VD2:Chøng minh r»ng tæng b×nh ph¬ng cña 5 sè nguyªn liªn

tiÕp kh«ng thÓ lµ mét sè chÝnh ph¬ng.

3) Bµi tËp ( Sö dông phÐp chia cã d )Bµi 1: CMR

a) n7 - n 42b) NÕu n kh«ng chia hÕt cho 7 th× n3 - 1 hoÆc n3 + 1 chia hÕt

cho 7c) mn(m4 - n4 ) 30 víi mäi d) n(n2 + 1)(n2 + 4) 5 víi mäi

H ư ớng dẫn

a) với r =0; 1; 2; 3. Do đó n3=7m hoặc n3=7m 1.

b) n không chia hết cho 7 n3=7k 1.

c) Chứng minh mn(m2-n2)(m2+n2) 5.

n=5k r với r=0; 1; 2 n2 0; 1(mod 5).

d) n(n2 + 1)(n2 + 4) = n(n2 + 1)(n2 -1) + 5n(n2 + 1)n=5k r với r=0; 1; 2 n2 0; 1(mod 5).

Bµi 2: T×m sè tù nhiªn n ®Ó : a) 22n + 2n + 1 7 b) 3n + 63 72

H ư ớng dẫn

a) xÐt n = 3k+r (r= 0; 1; 2) từ 22n+2n+1 7 suy ra r =1; 2.

b) Ta cã 3n + 63 = 3n - 32 + 72 suy ra n = 2k ( k 1).

Bµi 3:

14


a) T×m tÊt c¶ sè tù nhiªn n ®Ó 2n - 1 7b) CMR víi mäi sè tù nhiªn n th× 2n + 1 kh«ng chia hÕt cho 7.

H ư ớng dẫn

a) n = 3k+r với r=0; 1; 2 giả thiết suy ra r=0.

b) Xét n = 3k+r; r =0;1;2.

Bµi 4: Chøng minh r»ng tæng b×nh ph¬ng cña b¶y sè nguyªn liªn tiÕp kh«ng thÓ lµ mét sè chÝnh ph¬ng.

Bài 5: CMR: Tồn tại một số là bội của 13 gồm toàn chữ số 2 ?

H ư ớng dẫn

Lấy 14 số : 2, 22, 222, ... , 222...22 chia cho 13.

Bài 6: Cho dãy số 10, 102, 103, . . ., 1020. CMR tồn tại một số trong dãy chia cho

19 dư 1.

H ư ớng dẫn

Trong 20 số đã cho sẽ tồn tại 2 số có cùng số dư khi chia cho 19. Giả sử 2 số đó là

10m và 10n ( m > n ). Như vậy 10m -10n 10n(10m-n - 1) 19 .

Do (10n , 1) = 1 nên 10m-n - 1 19 hay 10m-n chia 19 dư 1.

Bài 7: CMR tồn tại một số là bội của 19 có tổng các chữ số bằng 19.

H ư ớng dẫn

Theo bài 6 sẽ tồn tại số

Mà 10k, 102k, ... , 1019k có tổng các chữ số bằng 19.

Vậy tồn tại một số là bội của 19 có tổng các chữ số bằng 19

Bài 8: Trong 3 số tự nhiên lẻ bất kỳ luôn tìm được 2 số có tổng hoặc hiệu chia hết

cho 8.

H ư ớng dẫn

15


Ta biết một số lẻ chia cho 8 có thể có các số dư : 1, 3, 5, 7

Ta chia làm 2 nhóm sau:

+ Nhóm các số chia 8 dư 1 hoặc 7

+ Nhóm các số chia 8 dư 3 hoặc 5

Bài 9. Cho 3 số nguyên tố lớn hơn 3. CMR tồn tại 2 số có tổng hoặc hiệu chia hết

cho 12.

H ư ớng dẫn

Số nguyên tố lớn hơn 3 chia cho có các số dư có thể xảy ra là 1, 5, 7, 11.

Ta chia làm 2 nhóm

+ Nhóm 1: gồm các số có số dư là 1 hoặc 11

+ Nhóm 2 : có các số dư là 5 hoặc 7.

Bài 10: CMR Trong 7 số tự nhiên bất kỳ luôn chọn được 4 số có tổng chia hết

cho 4.

H ư ớng dẫn

+ Trong 3 số tự nhiên luôn có 2 số có tổng chia hết cho 2

+ Gọi 7 số đã cho là a1, a2, ... , a7

Trong 3 số a1, a2, a3 luôn tìm được 2 số chia hết cho 2, giả sử là a1+ a2 = 2k1



Trong 3 số k1, k2, k3 luôn tìm được 2 số chia hết cho 2, giả sử là k1+ k2 = 2m

Do đó a1+ a2 + a4+ a5 = 4m chia hết cho 4.

Bài 11: CMR: Trong 5 số tự nhiên lẻ bất kỳ luôn chọn được 4 số có tổng chia hết

cho 4.

H ư ớng dẫn

Số tự nhiên lẻ chia cho 4 có số dư là 1 hoặc 3.

+ Nếu có 4 số chia cho 4 có cùng số dư thì bài toán được chứng minh

+ Nếu không có 4 số chia cho 4 có cùng số dư thì khi đó phải có 2 số chia 4 dư 1

và 2 số chia 4 dư 3. Do vậy bài toán được chứng minh.

16


Bài 12: Viết 6 số tự nhiên vào 6 mặt của một con súc sắc. CMR khi ta gieo súc

sắc xuống mặt bàn thì trong 5 mặt có thể nhìn thấy bao giờ cũng tìm được một

hay nhiều mặt để tổng các số trên đó chia hết cho 5.

H ư ớng dẫn

Gọi 5 số trên 5 mặt nhìn thấy của con súc sắc là a1, a2 ,a3, a4, a5

+ Nếu một trong 5 số trên chia hết cho 5 thì bài toán được chứng minh.

+ Nếu không có số nào trong 5 số trên chia hết cho 5. Ta xét các tổng sau

S1 = a1 ; S2= a1 + a2 ; S3 = a1+ a2 + a3

S4 = a1+ a2 + a3 + a4 ;S5 = a1+ a2 + a3 + a4 + a5

5 tổng trên chia cho 5 có số dư có thể nhận các giá trị 1, 2, 3, 4

Như vậy sẽ phải có 2 trong 5 tổng trên có tổng các số dư bằng 5. Bài toán được

chứng minh.

Bài 13.CMR trong 19 số tự nhiên liên tiếp bất kỳ, luôn tìm được một số có tổng

các chữ số chia hết cho 10.

H ư ớng dẫn

Trong 19 số tự nhiên liên tiếp luôn tồn tại 10 số có các chữ số ở hàng đơn vị từ 0

đến 9, các chữ số còn lại giống nhau.

Tổng các chữ số của 10 số đó là 10 số tự nhiên liên tiếp vì vậy tồn tại một số có

tổng các chữ số chia hết cho 10.

Bài 14: Cho 11 số tự nhiên khác nhau, mỗi số đều nhỏ hơn 20. CMR : Luôn tìm

được 3 số mà số này bằng tổng 2 số kia.

H ư ớng dẫn

Xét 11 số : a1, a2 , a3 , a4 ,..., a11 và 10 số a2 - a1, a3- a1, ... , a11 - a1

Suy ra có 2 số ở 2 dãy bằng nhau. Bài toán được chứng minh.

Ph ¬ng ph¸p 4 : Sö dông nguyªn t¾c Diricle

1) Ph ¬ng ph¸p 17


Nguyªn t¾c Dirichle :

“ NÕu ®em n+1 vËt xÕp vµo n ng¨n kÐo th× ta cã Ýt nhÊt mét

ng¨n kÐo chøa tõ hai vËt trë lªn”.

Tæng qu¸t: NÕu ®em nk + 1 vËt xÕp vµo n ng¨n kÐo th× cã Ýt

nhÊt mét ng¨n kÐo chøa tõ k+1 vËt trë lªn.

2.Ví dụ:

Ví dụ 1: Cho 5 sè tù nhiªn bÊt kú a1, a2,... a5 . Chøng minh r»ng tån

t¹i 1sè chia hÕt cho 5 hoÆc tæng cña mét sè sè chia hÕt cho 5.

H ư ớng dẫn

Giống như bài 12 ở phương pháp 3

Bµi to¸n tæng qu¸t: Trong n sè tù nhiªn bÊt kú tån t¹i 1 sè tù

nhiªn chia hÕt cho n hoÆc tæng cña mét sè sè chia hÕt cho n.

3.Bài tập (Nguyªn t¾c Diricle)

Bài 1.

a) CMR tån t¹i sè tù nhiªn chØ gåm toµn ch÷ sè 2 vµ chia hÕt cho 2003b) CMR tồn tại một số tự nhiên gồm toàn chữ số 6 và chia hết cho 2003.

Bài 2

a) Có tồn tại hay không một số tự nhiên tận cùng là 2002 và chia hết cho 2003.

b) CMR cã thÓ t×m ®îc mét sè tù nhiªn mµ 4 ch÷ sè tËn cïng cña nã lµ 2012 vµ chia hÕt cho 2013.c) CMR cã thÓ t×m ®îc mét sè cã d¹ng 20112011. . .20112011 2012

Bài 3a) CMR có 2 luỹ thừa của 2001 có 4 chữ số tận cùng giống nhau.

Bµi 3b): Chøng minh r»ng cã thÓ t×m ®îc hai luü thõa kh¸c nhau cña sè 4 mµ chóng cã 3 ch÷ sè tËn cïng gièng nhau.

Bài 4. CMR tồn tại một luỹ thừa của 3 mà 4 chữ số tận cùng của nó là 0001.

18


Bài 5. Cho 2001 số tuỳ ý, CMR có thể chọn được một hoặc một số nào đó mà

tổng của chúng chia hết cho 2001.

Bài 6. CMR trong 52 số nguyên dương bất kỳ ta luôn tìm được 2 số sao cho tổng

hoặc hiệu của chúng chia hết cho 100.

Bài 7. CMR trong 27 số nguyên khác nhau tuỳ ý nhỏ hơn 100 có thể chọn được

hai số có ước với số chung khác 1.

Bµi 8: CMR cã thÓ t×m ®îc sè tù nhiªn k sao cho 2013k - 1 107 ( Tæng qu¸t : CMR nÕu (n, m ) =1 th× cã sè tù nhiªn k sao cho

mk - 1 n

Bµi 13: CMR víi ba sè nguyªn tè lín h¬n 3 bÊt kú lu«n t×m ®îc hai sè cã tæng hoÆc hiÖu chia hÕt cho 12.

Bài 14:Tổ của An có 13 bạn phải trực nhật 6 ngày trong tuần và bạn nào cũng

phải làm trực nhật. CMR có một ngày ít nhất 3 bạn cùng trực nhật?

Bài 15: Trường A có 30 lớp và 1000 học sinh. CMRcó ít nhất 1 lớp có từ 34 học

sinh trở lên?

Bài 16: Có 33 con chim đậu trên một sân hình vuông cạnh 4m. CMR có ít nhất 3

con chim cùng đậu trên 1 hình vuông cạnh 11m?

Bài 17: Cho 11 số tự nhiên bất kỳ. CMR luôn tìm được 2 số có hiệu chia hết cho

10 ?

Bài 18: CMR: Trong 6 số tự nhiên bất kỳ, tìm được 2 số có hiệu chia hết cho 5?

Bài 19: CMR: Tồn tại một số chia hết cho 2003 được viết bởi toàn chữ số 0 và 1?

Bài 20: Có 5 đấu thủ thi đấu cờ vua, mỗi người đấu 1 trận với người khác. Chứng

tỏ rằng trong suốt thời gian thi đấu luôn có ít nhất 2 người có số trận đã đấu bằng

nhau?

Bài 21.

19


CMR: Trong 5 số tự nhiên bất kì luôn tìm được 3 số có tổng chia hết cho 3?

Bài 22: CMR: Trong 4 số tự nhiên bất kì luôn tìm được 2 số mà hiệu các bình

phương của chúng chia hết cho 5?

Bài 23: CMR: Trong 4 số tự nhiên bất kì luôn tìm được 2 số mà hiệu các bình

phương của chúng chia hết cho 5?

Bài 24:Cho 100 số tự nhiên bất kì. CMR: Có thể chọn được ít nhất 15 số mà hiệu

của 2 số tuỳ ý chia hết cho 7?

Bài 25.

Cho 17 số tự nhiên bất kì. CMR: Luôn tìm được 9 số có tổng chia hết cho 9?

Bài 26:

Cho 65 số tự nhiên bất kì. CMR: Luôn tìm được 9 số có tổng chia hết cho 9?

Bài 27: CMR: Trong 6 số tự nhiên bất kì thì không có bất kì 2 số nào mà UCLN

của chúng không nhỏ hơn 6?

20


Ph ¬ng ph¸p 5 : Chøng minh qui n¹p

1) Ph ¬ng ph¸p

Gi¶ sö cÇn chøng minh A(n) p víi n=1,2,...

+ Víi n=1 ta chøng minh A(1) p ®óng.

+ Gi¶ sö n = k ®óng tøc lµ A(k) p.

+ Ta ph¶i chøng minh n=k+1 ®óng , tøc lµ A(k+1) p.

Theo nguyªn lý quy n¹p A(n) p n=1,2...

2.Ví dụ:

VD1. CMR với mọi n nguyên dương thì 10n + 18n - 1 27

3.Bài tập ( Chøng minh qui n¹p)

Bµi 1: Chøng minh r»ng víi mäi n1) 10n + 18n -28 362) 33n+3 -26n -27 1693) 62n+1 + 5n+2 314)5)6) 8n + 6 77) 32n+2 + 2 6n+1 11

Bµi 2: Chøng minh r»ng víi mäi n 1) 33n+3 -26n -27 676 2) 32n+3 + 40n -27 64)3) 32n+2 + 8n -9 16 4) 16n - 15n - 1 225 5) 50n - 5n(2n + 1) + 1 36 6) 5n(5n + 1) - 6n ( 2n + 3n) 91

Bµi 3: CMR nÕu th× víi mäi sè tù nhiªn n

Bµi 4: CMR víi mäi n ta cã (n+1)(n+2) . . .(n + n ) 2n

21


Bµi 5: CMR tÝch cña k sè nguyªn liªn tiÕp chia hÕt cho k!

Ph ¬ng ph¸p 6 : Sö dông ®ång d

1) Ph ¬ng ph¸p

TÝnh chÊt 1: NÕu a b (modm) vµ c d(modm) a c b

d(modm).

TÝnh chÊt 2: NÕu a b (modm) vµ c d(modm) ac d(modm).

TÝnh chÊt 3: NÕu a b (modm) a.c b.c (modm).(c 0,c z).

TÝnh chÊt 4: NÕu a b (modm) an bn (modm).(n N).

2) VÝ dô

VD1: Tìm dư trong phép chia 32003 chia cho 13.

H ư ớng dẫn

Nhận xét: 33 = 27 và 26 13.

33 1 ( mod 13) (33)667 1 ( mod 13) 32001 1 ( mod 13)

32 . 3 2001 = 32 ( mod 13) 32003 9 ( mod 13) 32001 chia 13 dư 9.

VD2. CMR: 22002 - 4 31.

H ư ớng dẫn

Nhận xét: 25 = 32 1 ( mod 31)

ta có (25)400 1 ( mod 31) 22002 - 4 31.

22002 - 4 chia hết cho 31.

3.Bài tập ( Sö dông ®ång d )

Bµi 1: CMR :a) 222333 + 333222 13b) 22225555 + 55552222 7

H ư ớng dẫn

2222 -4 ( mod 7) 22225555 (-4)5555( mod 7)

22


5555 4 ( mod 7) 55552222 42222 ( mod 7)

22225555 +55552222 (-4)5555 + 42222 ( mod 7)

Mà (-4)5555 + 42222 = -42222(43333 - 1) 43 - 1= 63 7

22225555 + 55552222 7.

c) 3105 + 4105 13 nhng kh«ng chia hÕt cho 11d) 270 + 370 13e) 3638 + 4143 77

H ư ớng dẫn

XÐt ®ång d mod7,11

Bµi 2: CMR

Bµi 3: T×m d trong phÐp chia 1) 570 + 770 cho 122) cho 73) 20042004 cho 114) 22003 cho 355) cho 496) cho 30

Bµi 4: Chøng minh A = 7.52n + 12.6n 19, víi mäi n thuéc sè tù nhiªn

Bµi 5: Chøng minh A =

Bµi 6: Chøng minh

Bµi 7: Cho n lµ sè tù nhiªn . CMR: 52n+1 + 2n+ 4 + 2n+ 1 23

Bµi 8: T×m n nguyªn d¬ng ®Ó : a) 2n - 1 7 b) 2n + 1 7

Bµi 9: CMR 2 sè a, b kh«ng chia hÕt cho 2 vµ 3 nhng a2 - b2 24

H ư ớng dẫn

23


Bµi 10: CMR nÕu th× n3 + 1 7 hoÆc n3 - 1 7

H ư ớng dẫn

Bài 11. Tìm K Z/36n-1-K.33n-2+1 7 H ư ớng dẫn

Do (7, 9)=1 nên: 36n-1-K.33n-2+1 7 9(36n-1-K.33n-2+1) 7 36n+1 - K.33n + 9 7

Mà 36n+1 3 (mod7) 36n+1+9 5 (mod7) K.33n 5 (mod7) n chẵn thì k 5 (mod7), còn n lẻ thì k -5 (mod7) k 5 (mod7)

Bài 12

Với ai Z ( i N*)

H ư ớng dẫn

Ta có n2 + n + 1 n2 + n + 1 n2+ 1 - n ( mod n2 + n + 1)

( n2 + 1)3 - 1 ( modn2 + n+ 1)

mà n3 -1 n2 + n+ 1 - n3 = - 1 ( mod n2 + n+ 1)

( n2 + 1)3 - 1 ( mod n2 + n+ 1)

( n2 + 1)3i (- 1)i ( mod n2 + n+ 1)

ai ( n2 + 1)3i (- 1)i ai ( mod n2 + n+ 1)

Điều phải cm.

24


Bài 13. Cho a1, a2, ..., an Z và

H ư ớng dẫn

a1 + a2 + ...+ an- 6, chứng minh a3

1 + a32 + a3

3 +....+ a3n/ 6.

Ta cần cm a3i - ai/ 6.

a3i - ai = ai ( a2

i - 1) = ai ( ai- 1) ( ai+ 1) / 6 đpcm.

Xét n3 - n = ( n2 - 1) = n( n-1) ( n+1) 6.

n3 n ( mod 6).

Thay n = ai a3i ai ( mod 6)

Mà

Bài 14.

H ư ớng dẫn

103 12 ( mod 13) -1 ( mod 13).

103k ( -1)k ( mod 13)

k. 103k k ( -1)k ( mod 13)

Mà

25


Ph ¬ng ph¸p 7 : T×m ch÷ sè tËn cïng cña mét sè

1) Ph ¬ng ph¸p

* T×m mét ch÷ sè tËn cïng cña sè an

24k 6(mod10).

34k 1(mod10).

74k 1(mod10).

* T×m 2 ch÷ sè tËn cïng cña sè an víi k N, ta cã:

a20k 00(mod100) nÕu a 0(mod10).

a20k 01(mod100) nÕu a 1; 3; 7; 9(mod10).

a20k 25(mod100) nÕu a 5(mod10).

a20k 76(mod100) nÕu a 2; 4; 6; 8(mod100).

* T×m 3 ch÷ sè tËn cïng cña sè an víi k N, ta cã:

a100k 000(mod103) nÕu a 0(mod10).

a100k 001(mod103) nÕu a 1; 3; 7; 9(mod10).

a100k 625(mod103) nÕu a 5(mod10).

a100k 376(mod103) nÕu a 2; 4; 6; 8(mod10).

2) VÝ dô

VD1: Chứng minh rằng số

H ư ớng dẫn

26


VD2: Chứng minh với mọi n ta có

H ư ớng dẫn

VD3. Tìm 3 chữ số tận cùng của

H ư ớng dẫn

+ Tìm hai chữ số tận cùng của 92003

Vậy 3 chữ số tận cùng của là 912

3. Bài tập (T×m ch÷ sè tËn cïng cña mét sè )

Bµi 1: CMR :a) b)

Bµi 2: Cho p, k, n lµ çc sè nguyªn d¬ng. CMR np+4k - np 10

Bµi 3: T×m ch÷ sè tËn cïng cña th¬ng trong phÐp chia

27


Bµi 4: T×m ba ch÷ sè tËn cïng cña sè

Bài 5 Cho an=22n+1+2n+1+1 (n N*) bn=22n+1-2n+1+1Chứng minh rằng với mỗi giá trị của n có một và chỉ một trong 2 số an; bn chia hết cho 5 ?

H ư ớng dẫn

Xét tích an.bn và hiệu an - bn

Bài 6 . Cho số nguyên dương K. Chứng minh rằng chỉ có một trong 2 số sau chia hết cho5

ak=32k+1+3k+1+4bk=32k+1-3k+1+4.

Ph ¬ng ph¸p 8 : Chøng minh b»ng ph¶n chøng

1) Ph ¬ng ph¸p

Muốn chứng minh khẳng định p đúng bằng phương pháp phản chứng ta

làm như sau :

Bước 1: Giả sử ngược lại là p sai

Bước 2 : Từ giả sử p sai chúng ta suy ra điều vô lý.

Bước 3: Điều vô lý đó chứng tỏ p không sai, tức là khẳng định p đúng.

2) VÝ dô

3. Bài tập (Chøng minh b»ng ph¶n chøng)Bài 1. CMR n N ta có: A= n2 + n + 1 không chia hết cho 9.

Bài 2. CMR n Z ta có: n2 + 9n + 12 không chia hết cho 121.

Bài 3. CMR n N ta có số n2 + 3n + 5 không chia hết cho 121.

Bài 4. CMR n Z ta có a) n2 + 11n - 10 không chia hết cho 49.b) n2 + n + 10 không chia hết cho 9.c) n2 + n + 6 không chia hết cho 5d) n2 + 4n + 5 không chia hết cho 8

28


Bài 5.CMR: Nếu một số chính phương có tận cùng là 4 thì chữ số hàng chục

của nó phải là chữ số chẵn?

H ư ớng dẫn

Giả sử chữ số hàng chục là lẻ thì số chính phương đó có thể nhận 2 chữ số

tận cùng là: 14, 34, 54, 74, 94.

Gọi số chính phương đó là A A=n2

Do A chẵn n chẵn n 2 n2 4 A 4

Mà: 14, 34, 54, 74, 94 không chia hết cho 4 Vô lí.

Vậy điều phải chứng minh.

Bài 6.Lập tất cả các số có 7 chữ số khác nhau từ 7 chữ số: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

CMR: Trong tất cả các số được lập không có số nào chia hết cho một trong các số

còn lại?

H ư ớng dẫn

Giả sử có 2 số A và B trong các số được lập sao cho A B

A=K.B (A>B; K 1)

Tổng các chữ số của A và B đều bằng: 1+2+...+7=28.

A không chia hết cho 9; B không chia hết cho 9 và A-B 9

(K-1)B 9 Mà B không chia hết cho 9, B không chia hết cho 3

(B,9)=1 K-1 9

K-1 9 K 10 A 10BDo B có 7 chữ số

A là số có ít nhất 8 chữ số Vô lí. Vậy không tồn tại A, B để A B.Bài 7.

CMR: Không có 2 số tự nhiên a, b để a.b =118 còn tổng a+b thì chia hết cho 4.

H ư ớng dẫn

Có 118 81 (mod 100)

118+1 81 (mod 100) 118+1 không chia hết cho 4

Giả sử a+b chia hết cho 4 118+1+a+b không chia hết cho 4.

Xét118 +1+a+b=ab+a+b+1=(a+1)(b+1) 29


Xét118 lẻ a lẻ, b lẻ (a+1)(b+1) 4.

Mâu thuẫn.

Bài 8. Trong một lớp có 33 học sinh và tổng số tuổi của chúng là 430. CMR:

Bao giờ cũng tìm được 20 học sinh trong lớp mà tổng số tuổi của chúng lớn hơn

260.

Bài 9. Cho x, y, z Z / x2+y2=z2 .Chứng minh rằng: xyz 60?

H ư ớng dẫn

Ta phải chứng minh xyz 3,4,5* Giả sử x, y đều không chia hết cho 3 (mod3)

vô lí x 3 hoặc y 3 xyz 3

* Giả sử x, y đều lẻ (mod4) vô lí

Ít nhất 1 trong 2 số x, y chẵn+ Nếu x 2; y 2 xyz 4+ Nếu x 2; y lẻGiả sử x 4 mà

vô lí x 4 xyz 4Tương tự cho x lẻ, y chẵnVậy: xyz 4 (2)* Giả sử x, y đều không chia hết cho 5

z 5 xyz 5Nếu x 5 hoặc y 5 xyz 5Vậy: xyz 5 (3)Từ (1); (2) và (3) điều phải chứng minh.

30


Ph ¬ng ph¸p 9 : ¸p dông ®Þnh lý Fermat

1) Ph ¬ng ph¸p

Víi p lµ sè nguyªn tè ta cã: ap a(modp)

§Æc biÖt, nÕu (a,p) = 1 th× ap-1 1(modp)

2) VÝ dô

VD1. Cho a

H ư ớng dẫn

►. Giả sử a6m + 66n 7 và a không chia hết cho 7.

( a, 7) = 1 a7-1 1 (mod 7) a6 1 (mod 7).

a6m + 66n 2 (mod 7).

a6m + 66n không chia hết cho 7 ( mâu thuẫn) a 7.

◄. Giả sử a không chia hết cho 7 và a6m + 66n 7.

( a, 7) = 1 a6 1 (mod 7).

a6m 1 (mod 7).

a6n 1 (mod 7).

a6m + 66n 2 (mod 7) ( mâu thuẫn). điều phải chứng minh.

31


VD2. Cho 2 số nguyên tố khác nhau p và q. Chứng minh rằng pa-1 + q p-1 - 1 p.q

( p q).

H ư ớng dẫn

Vì p,q là số nhỏ nhất và p q ( p, q) = 1.

Áp dụng định lý Fermat nhỏ.

pq-1 1 (mod q) pq-1 - 1 q.

pp-1 1 (mod p) pp-1 - 1 p.

pq-1 p pq-1 + pp-1 - 1 p.

pq-1 q qq-1 + pq-1 - 1 q.

(p, a) = 1.

pq-1 + pq-1 + pp-1 - 1 p.

3. Bài tập (¸p dông ®Þnh lý Fermat)

Bµi 1: CMR:a) b) c) 18901930 + 19451975 + 1 7 d)

Bµi 2: CMR víi mäi sè tù nhiªn n ta cã :a ) b) c)

Bµi 3: T×m sè tù nhiªn nhá nhÊt gåm toµn ch÷ sè 9 vµ chia hÕt cho çc sè 3, 7, 11,13, 17.

Bµi 4: CMR d·y 2n - 3 cã v« sè sè h¹ng chia hÕt cho 5 vµ v« sè sè h¹ng chia hÕt cho 13 nhng kh«ng cã sè h¹ng nµo chia hÕt cho 65

Bµi 5: a) Cho sè a, b lµ hai sè nguyªn tho¶ m·n a2 + b2 7. Chøng

minh a 7 vµ b 7b) CMR nÕu a2 + b2 21 th× a2 + b2 441

Bài 6. P là số nhỏ nhất lớn hơn 7, chứng minh rằng 3p - 2p - 1 42p.

H ư ớng dẫn

32


( 3, p) = 1 3p-1 1 ( modp) 3p 3 ( mod p).

( 2, p) = 1 2p-1 1 ( modp) 2p 2 ( mod p).

3p - 2p 1 ( mod p) 3p - 2p - 1 p. (1)

3p - 2p - 1 = (3p - 1) - 2p 2. (2)

p là số nhỏ nhất > 7 chia cho 6 dư 1 hoặc 5.

+ Nếu p = 6k + 1.

3p - 2 p - 1 = 36k+1 - 26k+1 - 1.

= 3(36)k - 2(26)k - 1.

do ( 3, 7) = 1 36 1 ( mod 7) 36k 1 ( mod 7)

( 2, 7) = 1 26 1 ( mod 7) 26k 1 ( mod 7).

3. 36k 3 ( mod 7).

2 . 26k 2 ( mod 7).

36k+1 - 26k+1 - 1 = 3 - 2 - 1 = 0 ( mod 7).

3p - 2p - 1 7 (3).

Từ (1); (2) và (3) đpcm.

+ Nếu p = 6k + 5

36k+5 35 ( mod 7) 36k+5 5 ( mod 7)

26k+5 25 ( mod 7) 26k+5 4 ( mod 7)

36k+5 - 26k+5 1( mod 7)

36k+5 - 26k+5 - 1( mod 7)

hay 3p - 2p -1 7 (4).

Từ (1); (2); (4) đpcm.

Bài 7. CMR: .

H ư ớng dẫn

Ta có 24n+1 = (...2) = 10k + 2 2 (mod 10).

34n+1 = (...3) = 10m + 3 ( k, m N)

Chứng minh: 310k+2 + 210m+3 +5 11

33


Vì ( 3; 11) = 1 310 1 (mod 11) 310k+2 32 ( mod 11).

Vì ( 2; 11) = 1 210 1 ( mod 11) 210m+3 23 ( mod 11).

310k+2 + 210k+3 + 5 32 + 2 3 + 5 (mod 11).

22 ( mod 11) 0 ( mod 11).

Bài 8. CMR nếu (a, 240) = 1 thì a4 -1 240

H ư ớng dẫn

C1: Phân tích thành nhân tử, dấu hiệu chia hết ( phương pháp 1).

Xét a ( a4 - 1) = a( a2 - 1) ( a2 +1)

= a( a-1)( a + 1) ( a2 - 4 + 5)

= a( a-1)( (a+ 1)( a-2) (a+2) + 5a( a-1)(a+1) 5;6;8.

a( a4-1) 5.6.8=240. Do (a,240) = 1 a4-1 240

C2. Fermat

Bài 9. Một số có 6n chữ số và chia hết cho 7. CMR chuyển chữ số tận cùng lên

đầu ta cũng được số 7.

H ư ớng dẫn

Gọi số ban đầu là: ( A có 6n-1 chữ số)

Số lúc sau là N = a.106n-1 + A

Xét M - 3N = 10 A + a - 3a. 106n-1 - 3A

= 7A - a ( 3. 106n-1 - 1)

Vì ( 10, 7) = 1 106 1 (mod 7).

106n 1 (mod 7).

3 . 106n 3 (mod 7).

3 . 106n 10 (mod 7).

3 . 106n-1 1 (mod 7).

3 . 106n-1 0 (mod 7).

3 . 106n-1 - 1 7.

34


M - 3N 7.

do M 7, ( 3, 7) = 1 N 7.

Bài 10. Tìm SNT p sao cho 2p + 1 p

H ư ớng dẫn

2p + 1 là số lể mà: 2p + 1 p p lẻ.

Theo định lý Fermat 2p 2 (mod p).

2p - 2 p.

Lại có 2p + 1 = 2p - 2 + 3 p

Để 2p + 1 p 2p - 2 + 3 p 3 p p = 3.

Thử lại: p = 3 23 + 1 = 9 3.

Vậy với p = 3 thì 2p + 1 3.

35

Documents

Tinh Chia Het