Télécom Physique Strasbourgeavr.u-strasbg.fr/~bernard/education/2a_tis_robotique/2a...Points Notations R =(O, x, y, z) repère orthonormé direct cartésien, selon la convention

RobotiqueModélisation et commande des robots manipulateurs

Bernard BAYLE

Télécom Physique Strasbourg

Plan

1 Transformations et des mouvements rigidesNotations et définitionsRotationsTransformations rigidesMouvements rigides

2 Description des bras manipulateursChaîne cinématique d’un bras manipulateurParamètres de Denavit-Hartenberg modifiésRelations géométriquesRelations cinématiques

3 Modélisation des bras manipulateursConfiguration et situation d’un bras manipulateurModèle géométrique directModèle géométrique inverseModèle cinématique direct

Plan




Points

NotationsR = (O, x , y , z) repère orthonormé direct cartésien, selon laconvention de Gibbs.

Position d’un point M : vecteur m de coordonnées 2 R3 :

m =

0

@mxmymz

1

A

Mouvement d’un point : courbe paramétrée m(t) de R3

Trajectoire d’un point : support du mouvement

Points



m =

0

@mxmymz

1

A



Points



m =

0

@mxmymz

1

A



Points



m =

0

@mxmymz

1

A



Solides

Solide indéformable : pour toute paire de points de cesolide de coordonnées m et n :

||m(t)� n(t)|| = ||m(0)� n(0)|| = constante

HypothèseLes solides considérés seront tous indéformables.

Mouvement rigide d’un solide : mouvement de chacun deses pointsSituation d’un solide : position et orientation dans R d’unrepère lié à ce solide

Solides





Solides




Mouvement rigide d’un solide : mouvement de chacun deses points

Situation d’un solide : position et orientation dans R d’unrepère lié à ce solide

Solides





Transformations rigides

Transformation rigide : résultat d’un mouvement rigideamenant un solide d’une situation initiale à une situationfinale.

Application qui transforme les coordonnées des points dusolide de leur position initiale vers leur position finale.Application = transformation rigide ? Ssi elle conserve à lafois les distances et l’orientation.

ConséquenceUn repère orthonormé direct reste orthonormé direct parapplication d’une transformation rigide.


Transformation rigide : résultat d’un mouvement rigideamenant un solide d’une situation initiale à une situationfinale.Application qui transforme les coordonnées des points dusolide de leur position initiale vers leur position finale.

Application = transformation rigide ? Ssi elle conserve à lafois les distances et l’orientation.



Transformation rigide : résultat d’un mouvement rigideamenant un solide d’une situation initiale à une situationfinale.Application qui transforme les coordonnées des points dusolide de leur position initiale vers leur position finale.Application = transformation rigide ? Ssi elle conserve à lafois les distances et l’orientation.



Transformation rigide : résultat d’un mouvement rigideamenant un solide d’une situation initiale à une situationfinale.Application qui transforme les coordonnées des points dusolide de leur position initiale vers leur position finale.Application = transformation rigide ? Ssi elle conserve à lafois les distances et l’orientation.


Matrices de rotation

NotationsR0 = (O, x 0, y 0, z 0) orthonormé directx 0, y 0, z 0 : coordonnées de x 0, y 0 et z 0 dans R :

x 0 =

0

@x 0.xx 0.yx 0.z

1

A , y 0 =

0

@y 0.xy 0.yy 0.z

1

A et z0 =

0

@z0.xz0.yz0.z

1

A .

DéfinitionR = (x 0 y 0 z 0) de dimension 3 ⇥ 3 est appelée matrice derotation du repère R vers le repère R0.. . . ou encore matrice de passage ou matrice de changement de base.


NotationsR0 = (O, x 0, y 0, z 0) orthonormé directx 0, y 0, z 0 : coordonnées de x 0, y 0 et z 0 dans R :

x 0 =

0

@x 0.xx 0.yx 0.z

1

A , y 0 =

0

@y 0.xy 0.yy 0.z

1

A et z0 =

0

@z0.xz0.yz0.z

1

A .

DéfinitionR = (x 0 y 0 z 0) de dimension 3 ⇥ 3 est appelée matrice derotation du repère R vers le repère R0.. . . ou encore matrice de passage ou matrice de changement de base.


Intérêts :

rend compte du changement de base des coordonnéesd’un pointrend compte de la rotation d’un repère lié à un solide de Ren R0


Intérêts :rend compte du changement de base des coordonnéesd’un point

rend compte de la rotation d’un repère lié à un solide de Ren R0

O

z0 z

y

Mx

y 0

x 0


Intérêts :rend compte du changement de base des coordonnéesd’un pointrend compte de la rotation d’un repère lié à un solide de Ren R0

O

z0 z

y

Mx

y 0

x 0

Rotation d’un point appartenant à un solide

Notationsm = (mx my mz)T et m0 = (m0

x m0y m0

z)T : coordonnées de M

respectivement dans R et R0.

Alors :

m = m0xx 0 + m0

yy 0 + m0zz 0

=�x 0 y 0 z 0�

0

@m0

xm0

ym0

z

1

A

ConséquenceFormule de changement de base (rotation) : m = Rm0



x m0y m0



Alors :

m = m0xx 0 + m0

yy 0 + m0zz 0

=�x 0 y 0 z 0�

0

@m0

xm0

ym0

z

1

A




x m0y m0



Alors :

m = m0xx 0 + m0

yy 0 + m0zz 0

=�x 0 y 0 z 0�

0

@m0

xm0

ym0

z

1

A




x m0y m0



Alors :

m = m0xx 0 + m0

yy 0 + m0zz 0

=�x 0 y 0 z 0�

0

@m0

xm0

ym0

z

1

A



O

z0 z

y

Mx

y 0

x 0

Première analyseChangement de repère descoordonnées du point

O

z0 z

y

Mx

y 0

x 0

Seconde analyseRotation d’un solide S autour de O,de matrice R. . . alors m0 = coordonnées initiales de M dans Ret m =coordonnées finales dans R.


Exemple

M

✓

y 0

z = z0O x

yx 0

M de coordonnées initiales (p

3 0 1)T .Coordonnées du point transformé par une rotationR(z, ✓) ?


Solution

m =

0

@cos ✓ � sin ✓ 0sin ✓ cos ✓ 0

0 0 1

1

A

0

@

p3

01

1

A =

0

@

p3 cos ✓p3 sin ✓

1

1

A .

Application numérique : à titre d’exemple, pour ✓ = ⇡3 , on trouve

m = (p

32

32 1)T .

Rotation d’un vecteur

RemarqueCoordonnées d’un vecteur = différence des coordonnées dedeux points de R3.

On peut appliquer la rotation à un vecteur de coordonnéesv = m � n dans R :

m � n = Rm0 � Rn0 = R(m0 � n0),

soit, en posant v 0 = m0 � n0 :

v = Rv 0.

Propriétés des rotations

NotationLes matrices identités, quel que soit leur ordre sont notées I.

Orthogonalité : RT R = I et det R = 1.Elément neutre : matrice identité d’ordre 3.Inverse unique : R�1 = RT .Combinaison de deux rotations successives R1 et R2 :rotation R1R2.



Orthogonalité : RT R = I et det R = 1.

Elément neutre : matrice identité d’ordre 3.Inverse unique : R�1 = RT .Combinaison de deux rotations successives R1 et R2 :rotation R1R2.



Orthogonalité : RT R = I et det R = 1.Elément neutre : matrice identité d’ordre 3.

Inverse unique : R�1 = RT .Combinaison de deux rotations successives R1 et R2 :rotation R1R2.



Orthogonalité : RT R = I et det R = 1.Elément neutre : matrice identité d’ordre 3.Inverse unique : R�1 = RT .

Combinaison de deux rotations successives R1 et R2 :rotation R1R2.



Orthogonalité : RT R = I et det R = 1.Elément neutre : matrice identité d’ordre 3.Inverse unique : R�1 = RT .Combinaison de deux rotations successives R1 et R2 :rotation R1R2.

Combinaison de rotations

NotationsSoient R0 et R00 les repères résultant des deux rotationssuccessives R1 et R2 du repère fixe R.

Non-commutativité de la rotationR1R2 6= R2R1.

Deux cas se présentent pour combiner deux rotations :

seconde rotation par rapport au repère résultant de lapremière rotation : (R00 résulte de la rotation de R0 autourd’un axe lié à R0)seconde par rapport au même repère, fixe (R00 résulte dela rotation de R0 autour d’un axe lié à R)




Deux cas se présentent pour combiner deux rotations :seconde rotation par rapport au repère résultant de lapremière rotation : (R00 résulte de la rotation de R0 autourd’un axe lié à R0)

seconde par rapport au même repère, fixe (R00 résulte dela rotation de R0 autour d’un axe lié à R)




Deux cas se présentent pour combiner deux rotations :seconde rotation par rapport au repère résultant de lapremière rotation : (R00 résulte de la rotation de R0 autourd’un axe lié à R0)seconde par rapport au même repère, fixe (R00 résulte dela rotation de R0 autour d’un axe lié à R)

Premier cas

Problème de changement de baseSeconde rotation par rapport au repère résultant de la premièrerotation : problème de changement de base.

NotationsM de coordonnées respectives m, m0, m00 dans R, R0 et R00

Combinaison : premier casComme m = R1m0 et m0 = R2m00, alors :

m = R1R2m00.

Premier cas

Problème de changement de baseSeconde rotation par rapport au repère résultant de la premièrerotation : problème de changement de base.


Combinaison : premier casCoordonnées m de M dans R = résultat des deux rotationssuccessives appliquées à un point de coordonnées initiales m00

Premier cas

Exemple

z 00

O

⇡4

z z 0

M

x

x 0

x 00

⇡y 0

m00 = (p

2 0 0)T dans R00 : coordonnées de M dans R ?

Premier cas

Solution

m =

0

B@

p2

2 �p

22 0p

22

p2

2 00 0 1

1

CA

0

@�1 0 00 1 00 0 �1

1

A

0

@

p2

00

1

A =

0

@�1�10

1

A .

Soit la combinaison des deux rotations suivantes :une première rotation d’un angle ⇡

4 autour de zune seconde rotation d’un angle ⇡ autour de l’axe y 0

Second cas

Rotations successivesProblème de rotations successives d’un point : latransformation d’un point de coordonnées initiales m00 dans Rdonne un point intermédiaire, qui, transformé par la seconderotation donne un point de coordonnées m dans R par R2.


Combinaison : second casConséquence :

m = R2(R1m00)

Second cas

Exemple

z 00

O

⇡4

z z 0

x

x 0

⇡

Mx 00

y

m00 = (p

2 0 0)T dans R00 : coordonnées de M dans R ?

Second cas

Solution

m =

0

@�1 0 00 1 00 0 �1

1

A

0

B@

p2

2 �p

22 0p

22

p2

2 00 0 1

1

CA

0

@

p2

00

1

A =

0

@�110

1

A .

Soit la combinaison des deux rotations suivantes :une première rotation d’un angle ⇡

4 autour de zune seconde rotation d’un angle ⇡ autour de l’axe y

Orientation d’un solide dans l’espaceMatrice de rotation et cosinus directeurs

NotationRotation d’un repère R vers un repère R0 de matrice derotation R, de dimension 3 ⇥ 3, à valeurs dans R.

R =

0

@xx yx zxxy yy zyxz yz zz

1

A

DéfinitionEléments de R=cosinus directeurs . . . ils représentent les coordonnées

des trois vecteurs de la base R0 exprimés dans R.

Orientation d’un solide dans l’espaceCosinus directeurs incomplets

RemarqueLes colonnes de R sont orthogonales entre elles et parconséquent la connaissance de deux colonnes suffit :

R =

0

@xx ⇤ zxxy ⇤ zyxz ⇤ zz

1

A .

DéfinitionSix paramètres restants = cosinus directeurs incomplets.

Orientation d’un solide dans l’espaceRepérage minimal

RemarqueSix paramètres liés entre eux par trois relations :

xxzx + xyzy + xzzz = 0x2

x + x2y + x2

z = 1

z2x + z2

y + z2z = 1

ConclusionJeu de trois paramètres : angles d’Euler, angles de roulis,tangage, lacet, etc.

Orientation d’un solide dans l’espaceAngles d’Euler classiques

DéfinitionAngles d’Euler classiques = trois rotations successives :

R(z, ), R(x , ✓) puis R(z✓, ')

avec , ✓ et ' : précession, nutation et rotation propre.

x

z

x

z

✓

x✓

z✓

y y

y✓'

z'

y'

x'


Chaque nouvelle rotation effectuée par rapport à un repèreayant tourné :

R = R(z, ) R(x , ✓) R(z✓,')

soit :

R =

0

@cos � sin 0sin cos 0

0 0 1

1

A

0

@1 0 00 cos ✓ � sin ✓0 sin ✓ cos ✓

1

A

0

@cos' � sin' 0sin' cos' 0

0 0 1

1

A

=

0

@cos cos'� sin cos ✓ sin' � cos sin'� sin cos ✓ cos' sin sin ✓sin cos'+ cos cos ✓ sin' � sin sin'+ cos cos ✓ cos' � cos sin ✓

sin ✓ sin' sin ✓ cos' cos ✓

1

A


Transformation inverse = angles d’Euler à partir des cosinusdirecteurs :

si zz 6= ±1 :

= atan2(zx ,�zy )✓ = acos zz' = atan2(xz , yz)

si zz = ±1 :

✓ = ⇡(1 � zz)/2 + zz' = atan2(�yx , xx)

et donc et ' sont indéterminés.

Orientation d’un solide dans l’espaceAngles de roulis, tangage et lacet

DéfinitionAngles de roulis, tangage et lacet : trois rotations successives :

R(x , �), R(y ,�) puis R(z,↵)

avec �, �, et ↵ angles de roulis, tangage et lacet.

x

z

y

��

↵


Chaque nouvelle rotation étant effectuée par rapport à un axedu repère fixe R :

R = R(z,↵) R(y ,�) R(x , �)

soit :

R =

0

@cos↵ � sin↵ 0sin↵ cos↵ 0

0 0 1

1

A

0

@cos� 0 sin�

0 1 0� sin� 0 cos�

1

A

0

@1 0 00 cos � � sin �0 sin � cos �

1

A

=

0

@cos↵ cos� � sin↵ cos � + cos↵ sin� sin � sin↵ sin � + cos↵ sin� cos �sin↵ cos� cos↵ cos � + sin↵ sin� sin � � cos↵ sin � + sin↵ sin� cos �� sin� cos� sin � cos� cos �

1

A


Transformation inverse = angles de roulis, tangage et lacet àpartir des cosinus directeurs :

si � 6= ±⇡2 :

↵ = atan2(xy , xx)

� = atan2(�xz ,q

x2x + x2

y )

� = atan2(yz , zz)

si � = ±⇡2 :

↵� signe(�) � = atan2(zy , zx)ou ↵� signe(�) � = �atan2(yx , yy )

et donc ↵ et � sont indéterminés.

Matrices de passage homogènes

DéfinitionTransformation rigide : combinaison d’une paire (p, R) avec pla translation de l’origine du repère lié au solide S enmouvement et R la rotation d’un repère lié à ce solide.

O0

z0

y 0

O

z

xy

M

p

x 0


NotationsSoient m = (mx my mz)T et m0 = (m0

x m0y m0

z)T les

coordonnées d’un point M respectivement dans R et R0.

Expression de la transformationTransformation rigide : translation p du repère R, puis rotationR du repère obtenu vers R0 :

m = p + Rm0


DéfinitionPour représenter la transformation rigide sous forme linéaire,on introduit les coordonnées homogènes du point M :m = (mx my mz 1)T = (m 1)T .

✓m1

◆=

✓R p0 1

◆✓m0

1

◆

Conséquence

m = Tm0 avec T =

✓R p0 1

◆

La matrice T est dite matrice de passage homogène.

Propriétés des transformations rigides

NotationsSoient T , T1 et T2 représentant les transformations rigides(p, R) (p1, R1) et (p2, R2).

Combinaison : T1T2 =

✓R1R2 R1p2 + p1

0 1

◆.

Elément neutre : matrice identité d’ordre 4.

Inverse : T�1 =

✓RT �RT p0 1

◆.




✓R1R2 R1p2 + p1

0 1

◆.


Inverse : T�1 =

✓RT �RT p0 1

◆.




✓R1R2 R1p2 + p1

0 1

◆.


Inverse : T�1 =

✓RT �RT p0 1

◆.




✓R1R2 R1p2 + p1

0 1

◆.


Inverse : T�1 =

✓RT �RT p0 1

◆.

Vecteur vitesse de rotation

DéfinitionPrise en compte du temps : mouvement rigide. Vecteur vitessede rotation ⌦ porté par l’axe instantané de rotation du solide S,dirigé suivant le principe du tire-bouchon

O

z0 z

y

x

y 0

⌦

M

OM x 0vM

Vitesse d’un point lié à un solide

Rotations puresSoit ⌦ le vecteur vitesse de rotation du solide S et vM la vitessede M appartenant à S, de coordonnées vM .

Expression de la vitesse

vM = ⌦⇥ OM,

soit vM = ⌦⇥ m = ⌦ m,

avec :

⌦ =

0

@0 �⌦z ⌦y⌦z 0 �⌦x�⌦y ⌦x 0

1

A

Vitesse d’un point lié à un solide

Cas généralMouvement rigide : combinaison d’une translation et d’unerotation.

Expression de la vitesse

vM = p + ⌦ m.

Plan




Types de bras manipulateurs considérés

HypothèseOn ne considère ici que les systèmes mécaniques composésde chaînes cinématiques polyarticulées ouvertes, appelés brasmanipulateurs série.

Description des chaînes cinématiques ouvertes

DéfinitionBras manipulateur : n corps mobiles rigides reliés par n liaisonsrotoïdes et prismatiques

C1 C2 Cn�1 Cn

liaison

corps corps corps corps

liaison liaison liaisonliaison(corps C0)bâti

L1 L2 L3 Ln�1 Ln

Paramètres de Denavit-Hartenberg modifiés

Notationsi-ème corps : repère Ri = (Oi , xi , y

i, zi), avec

i = 0, 1, . . . , n.

axe liaisonLi�1

xi�1

zi�1

ai�1

Oi�1

⌦i�1

Li

axe liaison

xiOi

x i

x i�1

zi

✓i

ri

zi

zi

↵i�1

Placement des repères R1 à Rn�1

axe liaisonLi�1

xi�1

zi�1

ai�1

Oi�1

⌦i�1

Li

axe liaison

xiOi

x i

x i�1

zi

✓i

ri

zi

zi

↵i�1

Oi�1 est le pied de la perpendiculaire commune à Li�1 et Li surLi�1 (axes parallèles, choix arbitraire de la perpendiculairecommune).


axe liaisonLi�1

xi�1

zi�1

ai�1

Oi�1

⌦i�1

Li

axe liaison

xiOi

x i

x i�1

zi

✓i

ri

zi

zi

↵i�1

xi�1 : vecteur unitaire de la perpendiculaire commune, orientéde Li�1 vers Li (axes concourants ou confondus : orientationarbitraire).


axe liaisonLi�1

xi�1

zi�1

ai�1

Oi�1

⌦i�1

Li

axe liaison

xiOi

x i

x i�1

zi

✓i

ri

zi

zi

↵i�1

zi�1 : vecteur unitaire de Li�1, librement orienté (débattementspositifs et symétriques).


axe liaisonLi�1

xi�1

zi�1

ai�1

Oi�1

⌦i�1

Li

axe liaison

xiOi

x i

x i�1

zi

✓i

ri

zi

zi

↵i�1

yi�1 : tel que le repère Ri�1 soit orthonormé direct.

Placement des repères R0 et Rn

ConventionRepère R0 : libre, en suivant des considérations desimplicité.

Point On+1 : associé à l’organe terminal (OT).Repère Rn : tel que On+1 2 (On, xn, zn).

O

z

x

y

On

On+1

zn

xn

an

rn+1


ConventionRepère R0 : libre, en suivant des considérations desimplicité.Point On+1 : associé à l’organe terminal (OT).

Repère Rn : tel que On+1 2 (On, xn, zn).

O

z

x

y

On

On+1

zn

xn

an

rn+1


ConventionRepère R0 : libre, en suivant des considérations desimplicité.Point On+1 : associé à l’organe terminal (OT).Repère Rn : tel que On+1 2 (On, xn, zn).

O

z

x

y

On

On+1

zn

xn

an

rn+1


axe liaisonLi�1

xi�1

zi�1

ai�1

Oi�1

⌦i�1

Li

axe liaison

xiOi

x i

x i�1

zi

✓i

ri

zi

zi

↵i�1

↵i�1 : angle algébrique entre zi�1et zi , mesuré autour de xi�1.

ai�1 : distance arithmétique de laperpendiculaire commune auxaxes des liaisons Li�1 et Limesurée le long de xi�1.✓i : angle algébrique entre xi�1 etxi , mesuré autour de zi .ri : distance algébrique du pointOi à la perpendiculaire, mesuréle long de zi .


axe liaisonLi�1

xi�1

zi�1

ai�1

Oi�1

⌦i�1

Li

axe liaison

xiOi

x i

x i�1

zi

✓i

ri

zi

zi

↵i�1

↵i�1 : angle algébrique entre zi�1et zi , mesuré autour de xi�1.ai�1 : distance arithmétique de laperpendiculaire commune auxaxes des liaisons Li�1 et Limesurée le long de xi�1.

✓i : angle algébrique entre xi�1 etxi , mesuré autour de zi .ri : distance algébrique du pointOi à la perpendiculaire, mesuréle long de zi .


axe liaisonLi�1

xi�1

zi�1

ai�1

Oi�1

⌦i�1

Li

axe liaison

xiOi

x i

x i�1

zi

✓i

ri

zi

zi

↵i�1

↵i�1 : angle algébrique entre zi�1et zi , mesuré autour de xi�1.ai�1 : distance arithmétique de laperpendiculaire commune auxaxes des liaisons Li�1 et Limesurée le long de xi�1.✓i : angle algébrique entre xi�1 etxi , mesuré autour de zi .

ri : distance algébrique du pointOi à la perpendiculaire, mesuréle long de zi .


axe liaisonLi�1

xi�1

zi�1

ai�1

Oi�1

⌦i�1

Li

axe liaison

xiOi

x i

x i�1

zi

✓i

ri

zi

zi

↵i�1

↵i�1 : angle algébrique entre zi�1et zi , mesuré autour de xi�1.ai�1 : distance arithmétique de laperpendiculaire commune auxaxes des liaisons Li�1 et Limesurée le long de xi�1.✓i : angle algébrique entre xi�1 etxi , mesuré autour de zi .ri : distance algébrique du pointOi à la perpendiculaire, mesuréle long de zi .

ExempleIci commencent les travaux dirigés. . .

Tansformation rigide

Transformation rigide paramétrée :

Ti�1, i =

0

BB@

1 0 0 00 cos ↵i�1 � sin ↵i�1 00 sin ↵i�1 cos ↵i�1 00 0 0 1

1

CCA

| {z }R(xi�1, ↵i�1)

0

BB@

1 0 0 ai�10 1 0 00 0 1 00 0 0 1

1

CCA

| {z }translation de ai�1xi�1

0

BB@

cos ✓i � sin ✓i 0 0sin ✓i cos ✓i 0 0

0 0 1 00 0 0 1

1

CCA

| {z }R(zi , ✓i )

0

BB@

1 0 0 00 1 0 00 0 1 ri0 0 0 1

1

CCA

| {z }translation de ri zi

soit :

Ti�1, i =

0

BB@

cos ✓i � sin ✓i 0 ai�1cos↵i�1 sin ✓i cos↵i�1 cos ✓i � sin↵i�1 �ri sin↵i�1sin↵i�1 sin ✓i sin↵i�1 cos ✓i cos↵i�1 ri cos↵i�1

0 0 0 1

1

CCA

Tansformation rigide

Transformation rigide paramétrée :

Ti�1, i =

0

BB@

1 0 0 00 cos ↵i�1 � sin ↵i�1 00 sin ↵i�1 cos ↵i�1 00 0 0 1

1

CCA

| {z }R(xi�1, ↵i�1)

0

BB@

1 0 0 ai�10 1 0 00 0 1 00 0 0 1

1

CCA

| {z }translation de ai�1xi�1

0

BB@

cos ✓i � sin ✓i 0 0sin ✓i cos ✓i 0 0

0 0 1 00 0 0 1

1

CCA

| {z }R(zi , ✓i )

0

BB@

1 0 0 00 1 0 00 0 1 ri0 0 0 1

1

CCA

| {z }translation de ri zi

qui prend la forme :

Ti�1, i =

✓Ri�1, i pi�1, i

0 1

◆

où Ri�1, i représente la rotation entre les repères Ri�1 et Ri etpi�1, i la translation entre ces mêmes repères.

Liaison prismatique

axe liaisonLi

Oi

On

qi zi

pi= qi zi

Vitesse du point On et vitesse de rotation de Rn :

pi

= qi zi ,

⌦i = 0.

Liaison rotoïde

axe liaisonLi

Oi

On

pi,n

⌦i = qi zi

pi= qi zi ⇥ p

i,n

Vitesse du point On et vitesse de rotation de Rn :

pi

= qi zi ⇥ pi,n,

⌦i = qi zi .

Relations cinématiques, cas général

NotationsLiaison identifiée par le paramètre �i et son complément à 1 �i :

�i =

(0, pour une liaison rotoïde,1, pour une liaison prismatique.

Vitesses du repère de l’organe terminal en On

pi

= (�i zi + �i zi ⇥ pi,n)qi ,

⌦i = (�i zi) qi .

Plan




Configuration

DéfinitionConfiguration d’un système mécanique : repère la position detous ses points dans un repère donné.

Cas d’un bras manipulateurConfiguration d’un bras manipulateur : vecteur q de ncoordonnées indépendantes appelées coordonnéesgénéralisées, appartenant à l’espace des configurations N .Coordonnées généralisées : angles de rotation pour lesliaisons rotoïdes, valeurs des translations pour les liaisonsprismatiques.

Situation

DéfinitionSituation d’un solide : position et orientation de ce solide dansun repère donné.

Cas d’un bras manipulateurSituation de l’OT du bras manipulateur : vecteur x de mcoordonnées opérationnelles indépendantes appartenant àl’espace opérationnel M, de dimension m 6 6. Définition de lasituation selon le problème (plan, positionnement seul . . .) et leparamétrage choisi (orientation notamment).

Modèle géométrique direct

DéfinitionModèle géométrique direct (MGD) d’un bras manipulateur :situation de son OT en fonction de sa configuration :

f : N �! Mq 7�! x = f (q).

Cas général

On exprime x = (x1 x2 x3 x4 x5 x6)T , avec (x1 x2 x3)

T

coordonnées de position dans R0 et (x4 x5 x6)T coordonnées

d’orientation, en fonction de q = (q1 q2 . . . qn)T .. . . souvent on s’arrête aux cosinus directeurs incomplets

Calcul du MGD

Orientation extraite de la matrice de rotation entre lesrepères bâti et OT.

Position (x1 x2 x3)T du point On+1 déduite de la position

(px py pz)T du point On dans R0, compte tenu descoordonnées (an 0 rn+1)

T de On+1 dans Rn :

x1 = px + anxx + rn+1zx

x2 = py + anxy + rn+1zy

x3 = pz + anxz + rn+1zz

Calcul du MGD

Orientation extraite de la matrice de rotation entre lesrepères bâti et OT.Position (x1 x2 x3)

T du point On+1 déduite de la position(px py pz)T du point On dans R0, compte tenu descoordonnées (an 0 rn+1)

T de On+1 dans Rn :

x1 = px + anxx + rn+1zx

x2 = py + anxy + rn+1zy

x3 = pz + anxz + rn+1zz

Règles pratiques

Calcul de la position de On et des cosinus directeursincomplets :

T0,n(q) = T0,1(q1) T1,2(q2) . . . Tn�1,n(qn).

Règles

On note, pour i , j , . . . compris entre 1 et n :

Si = sin qi

Ci = cos qi

Si+j = sin (qi + qj )

Ci+j = cos (qi + qj )

Règles pratiques


T0,n(q) = T0,1(q1) T1,2(q2) . . . Tn�1,n(qn).

Règles

Chaque nouvelle opération : une variable intermédiaire.

Règles pratiques


T0,n(q) = T0,1(q1) T1,2(q2) . . . Tn�1,n(qn).

Règles

Calcul du produit à rebours : pas de calcul de la secondecolonne des différentes matrices.

Règles pratiques


T0,n(q) = T0,1(q1) T1,2(q2) . . . Tn�1,n(qn).

Règles

Deux transformations se composent aisément : on effectue toutd’abord leur produit (exemple : deux rotations successivesd’axes parallèles).

ExempleSuite des travaux dirigés. . .

Modèle géométrique inverse

DéfinitionModèle géométrique inverse (MGI) : la ou les configurationscorrespondant à une situation de l’OT donnée :

f�1 : M �! Nx 7�! q = f�1(x).

RésolubilitéExistence d’un nombre fini de solutions :

Si n < m : pas de solution.Si n = m : nombre fini de solutions (en général).Si n > m : infinité de solutions.

Calcul

Résolution du MGI

Pas de méthode analytique systématique pour calculer le MGI.

Le mieux est de reprendre les équations du MGD et de mener lecalcul à l’envers. Dans le cas où n = 6, l’existence d’un poignetsphérique permet de débuter la résolution par :

px = x1 � anxx � rn+1zx ,

py = x2 � anxy � rn+1zy ,

pz = x3 � anxz � rn+1zz .

Ensuite résolution au cas par cas pour exprimer les qi , pouri = 1, 2, . . . , n en fonction de px , py , pz et des cosinusdirecteurs.

ExempleSuite des travaux dirigés. . .

Modèle cinématique direct

DéfinitionModèle cinématique direct (MCD) : relation entre les vitessesopérationnelles x et les vitesses généralisées q :

x = Jq

où J est matrice jacobienne de la fonction f , de dimensionm ⇥ n :

J : TqN �! TxM

q 7�! x = Jq, où J =@f@q

.


CalculDérivation du MGD pour les structures simples sinon . . .

Premier temps : vitesse de On et vitesse de rotation de Rn

p =nX

i=1

(�i zi + �i zi ⇥ pi,n)qi ,

⌦ =nX

i=1

(�i zi) qi .




Sous forme vectorielle :✓

p⌦

◆= Jgq

Jg =

✓�1z1 + �1z1 ⇥ p

1,n�2z2 + �2z2 ⇥ p

2,n. . . �nzn + �nzn ⇥ p

n,n�1z1 �2z2 . . . �nzn

◆




Dans R0 : ✓p⌦

◆= Jgq



Second temps : calcul de la vitesse du point On+1 et desdérivées des paramètres d’orientation du repère Rn

Position de On+1 :0

@x1x2x3

1

A =

0

@pxpypz

1

A+ an

0

@xxxyxz

1

A+ rn+1

0

@zxzyzz

1

A




Vitesse de On+1 :0

@x1x2x3

1

A =

0

@pxpypz

1

A+

0

@⌦x⌦y⌦z

1

A⇥

0

@an

0

@xxxyxz

1

A+ rn+1

0

@zxzyzz

1

A

1

A




0

@x1x2x3

1

A =

0

@pxpypz

1

A+ D

0

@⌦x⌦y⌦z

1

A

avec :

D =

0

@0 anxz + rn+1zz �anxy � rn+1zy

�anxz � rn+1zz 0 anxx + rn+1zxanxy + rn+1zy �anxx � rn+1zx 0

1

A .




Dérivées des paramètres d’orientation du repère Rn :0

BB@

x4x5. . .xm

1

CCA = C

0

@⌦x⌦y⌦z

1

A


Finalement :MCD :

x =

✓I D0 C

◆✓p⌦

◆=

✓I D0 C

◆Jg q,

matrice jacobienne :

J =

✓I D0 C

◆Jg .

Règles pratiques

Pour les calculs analytiques, on utilise (sans le montrer) :

Jg =

✓R0,1 0

0 R0,1

◆✓R1,2 0

0 R1,2

◆. . .

✓Rk�1,k 0

0 Rk�1,k

◆✓I �pk+1,n|Rk0 I

◆Jk+1|Rk

avec :

k = Ent(n2) : indice préférentiel

robot à poignet sphérique : p4,6 = 0pk+1,n|Rk : matrice anti-symétrique associée à la projectionde pk+1,n dans Rk

Jk+1|Rk : projection dans Rk de

Jk+1 =

�1z1 + �1z1 ⇥ p1,k+1 �2z2 + �2z2 ⇥ p2,k+1 . . . �nzn + �nzn ⇥ p

n,k+1�1z1 �2z2 . . . �nzn

!

Règles pratiques


Jg =

✓R0,1 0

0 R0,1

◆✓R1,2 0

0 R1,2

◆. . .

✓Rk�1,k 0

0 Rk�1,k


◆Jk+1|Rk

avec :k = Ent(n

2) : indice préférentiel

robot à poignet sphérique : p4,6 = 0pk+1,n|Rk : matrice anti-symétrique associée à la projectionde pk+1,n dans Rk


Jk+1 =


n,k+1�1z1 �2z2 . . . �nzn

!

Règles pratiques


Jg =

✓R0,1 0

0 R0,1

◆✓R1,2 0

0 R1,2

◆. . .

✓Rk�1,k 0

0 Rk�1,k


◆Jk+1|Rk

avec :k = Ent(n

2) : indice préférentielrobot à poignet sphérique : p4,6 = 0

pk+1,n|Rk : matrice anti-symétrique associée à la projectionde pk+1,n dans Rk


Jk+1 =


n,k+1�1z1 �2z2 . . . �nzn

!

Règles pratiques


Jg =

✓R0,1 0

0 R0,1

◆✓R1,2 0

0 R1,2

◆. . .

✓Rk�1,k 0

0 Rk�1,k


◆Jk+1|Rk

avec :k = Ent(n

2) : indice préférentielrobot à poignet sphérique : p4,6 = 0pk+1,n|Rk : matrice anti-symétrique associée à la projectionde pk+1,n dans Rk


Jk+1 =


n,k+1�1z1 �2z2 . . . �nzn

!

Règles pratiques


Jg =

✓R0,1 0

0 R0,1

◆✓R1,2 0

0 R1,2

◆. . .

✓Rk�1,k 0

0 Rk�1,k


◆Jk+1|Rk

avec :k = Ent(n

2) : indice préférentielrobot à poignet sphérique : p4,6 = 0pk+1,n|Rk : matrice anti-symétrique associée à la projectionde pk+1,n dans Rk


Jk+1 =


n,k+1�1z1 �2z2 . . . �nzn

!

ExempleFin des travaux dirigés.

Plan

4 Génération de mouvementsLes différents problèmesSystème de commande d’un robot

5 TechnologieMotorisationMesure de positionVariateurs de vitesse

6 CommandeCommande point-à-pointCommande à mouvement opérationnel imposé

Plan




Problèmes point-à-point

TâcheAtteindre une position et une orientation désirées xf , àpartir d’une configuration de départ q0.


TâcheAtteindre une position et une orientation désirées xf , à partird’une configuration de départ q0 = ?

Génération de mouvements dans l’espace articulaire.

xf qr (t)

q0

de mouvementgénération variateur robot

q(t)

capteur

MGIqf


AvantagesMoins de calculs en ligne car pas besoin des modèlesAucun problème au passage des configurations singulièresContraintes butées/vitesses/accélérations maximalesprises en compte lors de la génération de la consigne

xf qr (t)

q0


q(t)

capteur

MGIqf


InconvénientsPrise en compte des contraintes géométriques impossibleGestion des collisions

Problèmes à mouvement opérationnel imposé

TâcheCalcul des commandes articulaires du robot permettant desuivre une trajectoire opérationnelle au cours du temps.


Tâche à mouvement opérationnel imposéCalcul les commandes articulaires du robot permettant desuivre une trajectoire opérationnelle au cours du temps = ?

xr (t) résulte d’une génération, ou bien est défini par la tâche,puis calcul de qr (t) par inversion de modèle.

q(t)

+�

xr (t)

x0

x(t)

de mouvementgénérationxf

MGD

variateur robot

capteur

qr (t)cinématiqueinverse


AvantagesRéaliser des tâches plus complexesReformuler les problèmes de commande selon uneapproche référencée capteur


InconvénientsDifficile de prendre en compte des contraintes telles quebutées, limites de vitesse, évitement des obstacles, . . .Requiert les modèles du robotProblème en cas configuration singulière

q(t)

+�

xr (t)

x0

x(t)


MGD

variateur robot

capteur


Système de commande d’un robot

SynoptiquePuissance : alimentation/asservissement des actionneursContrôle : consignes, supervision, communication

Système de commande d’un robot Adept Viper s650

Contrôleur de robot

Module Adept SmartController CXGénération et supervision du mouvementSystème d’exploitation dédié, langage programmationConnectique importanteGénérique

Contrôleur de robot : programmation

; Define a simple transformationSET loc_a = TRANS(300,50,350,0,180,0)

; Move to the locationMOVE loc_aBREAK

; Move to a location offset -50mm in X, 20mm in Y,; and 30mm in Z relative to "loc_a"

MOVE loc_a:TRANS(-50, 20, 30)BREAK

; Define "loc_b" to be the current location relative; to "loc_a"

HERE loc_a:loc_b ;loc_b = -50, 20, 30, 0, 0, 0BREAK

; Define "loc_c" as the vector sum of "loc_a" and "loc_b"SET loc_c = loc_a:loc_b ;loc_c = 350, 70, 320, 0, 180, 0

; Once this code has run, loc_b exists as a; transformation that is completely independent; of loc_a. The following instruction moves the; robot another -50mm in the x, 20mm in the y,; and 30mm in the z direction (relative to loc_c):

MOVE loc_c:loc_b

Contrôleur de robot : communication

Communications Adept SmartController CXIEEE 1394 (FireWire) privilégiée : transferts à hauts débits(800 Mb/s), cadencée à 8kHz, temps-réelFast Ethernet, DeviceNet=bus terrain CAN, liaisons sériesRS-232, XDIO=entrées/sorties tout ou rien, etc.Fonctionnalités dédiées : commande par vision, pilotagecoordonné avec automate

Contrôleur de robot : communication

Communications Adept SmartController CXConnecteur XMPC : boîtier de commande manuelleApprentissage : enregistrement des variables utilisablesdans les programmesSécurité : arrêt d’urgence/interrupteur puissance

Variateur de vitesse

Fonctionnalités principales du variateur MotionBlox-60RAlimentation des moteurs par une tension variableAsservissement courant/vitesse/position des axes

Autres fonctionnalités :Communications avec le contrôleur pour la supervision durobot (à 1kHz : références, valeurs codeurs, statuts)Diagnostic du bon fonctionnement des moteurs : statuts,erreur d’asservissement, chauffe moteurContrôle des freins des axes : électrique/manuelArrêt d’urgence pour couper la puissance du robot

Puissances mises en jeuVariables, fonctions des masses en mouvement et des vitesses.Viper s650 : 2kW max pour 5 kg utiles.

Plan




Motorisation

Commande d’axeMécanique : association moteur+réducteur de vitesseCapteur de position/vitesseElectronique de puissance : variateur de vitesse

Moteurs électriques pour la robotiqueMoteurs dédiés à la robotique = moteurs à courant continu,

avec ou sans balais.

Quelques cas plus exotiques : asynchrones, pneumatiques,hydrauliques, piézoélectriques, pas à pas, . . .

Moteurs à courant continu (avec balais)

Moteurs à courant continu (avec balais)

AvantagesSimple et très répanduCommande très simpleElectronique peu coûteuse

InconvénientsUsure des balaisVitesse limitéeEtincelles

Moteurs à courant continu sans balais

PrincipeMoteurs synchrones auto-pilotés, commande basée surl’analogie avec le moteur à courant continu.

AvantagesMeilleur rendement, meilleures propriétés mécaniquesMeilleur couple massiqueVitesse de rotation maximale plus grandeMoins de bruit de commutation, pas d’étincelles

InconvénientsPlus cherElectronique plus complexe (numérique)Effets d’ondulation de couple aux basses vitesses

Réducteurs

IntérêtMoteur adapté à des vitesses de rotation élevéesAugmentation du couple

InconvénientsAugmentation de l’inertie de l’axe, et surtout des frottements. . .

Réducteurs conventionnels et planétaires

Réducteurs à dentures droites ou hélicoïdales

Réducteurs à étages ou train épicycloïdal

Réducteurs planétaires

PrincipeDeux arbres coaxiaux : les planétaires (extérieur=couronne) +des satellites qui engrènent avec les planétaires, reliés entreeux par un porte-satellites.

Réducteurs Harmonic Drive

PrincipeUtilisation d’une cloche déformable, entrainée par une partiemobile légèrement elliptique, qui engrène sur une couronnecirculaire possédant deux dents de plus que la cloche.

Plan




Capteurs

IntérêtMesure de la position ou de la vitesse de l’arbre moteurAsservissement

InconvénientsPas mal de défauts potentiels. . .

Codeurs incrémentaux

PrincipeEmission de lumière par une photodiode : signaux lumineux quiperçus sur les récepteurs donnent des signaux logiquesdéphasés A, B et le signal d’index I (ou Z).

Codeurs incrémentaux

AvantagesBonne résolution, de loin la solution la plus classiqueSignaux A, B pour la redondanceTrès bonne compacité du capteurInertie négligeable, pas de frottement

InconvénientsQuantification (basses vitesses, dérivation)Pas de position absolue de l’axe

244 maxon tacho Edition Juillet 2005 / Modifications réservées

longueur totale longueur totale

Programme StockProgramme StandardProgramme Spécial (sur demande!)

max

onta

cho

Données techniques Connectique pour moteur RE 75 Exemple de connexionTension d'alimentation 5 V ! 10 %

ConnectiqueType SOURIAU 8GM-QL2-12P1 VCC2 N.C. (non utilisé)3 GND4 N.C. (non utilisé)5 Canal I (Index)6 Canal I7 Canal B8 Canal B9 Canal A10 Canal A11 N.C. (non utilisé)12 N.C. (non utilisé)Connecteurs connseillésType SOURIAU 8GM-DM2-12S(métal sortie droite:maxon Art. No. 2675.538) ou8G-V2-12S ((plastique, angle à 90°:maxon Art. No. 2675.539)

Résistance terminale R = typique 100 "

Signal de sortie EIA Standard RS 422Drives utilisée: DS26LS31

Déphasage # (nominal) 90°eDistance entre flancs s min. 45°eTemps de montée du signal(typique avec CL = 25 pF, RL = 2.7 k", 25°C) 180 nsTemps de descente du signal(typique avec CL = 25 pF, RL = 2.7 k", 25°C) 40 nsLargeur (nominale) d'impulsion d'index 90°ePlage de températures 0 ... +70°CMoment d'inertie du disque $ 0.6 gcm2

Accélération angulaire max. 250 000 rad s-2

Courant par canal min. -20 mA, max. 20 mAOption 1000 impulsions, 2 canaux

Codeur HEDL 5540, 500 impulsions, 3 canaux, avec Line Driver RS 422

Recepteur de ligneCircuits utilisables:- MC 3486- SN 75175- AM 26 LS 32

CodeurLine DriverDS26LS31

Canal

Canal A

Canal

Canal B

Canal

Canal I

RR

R

Combinaison+ Moteur Page + Réducteur Page + Frein Page Longueur totale [mm] / voir: + RéducteurRE 25, 10 W* 77 75.3RE 25, 10 W* 77 GP 26, 0.5 - 2.0 Nm 216 ●

RE 25, 10 W* 77 GP 32, 0.75 - 6.0 Nm 218/220 ●

RE 25, 10 W* 77 GP 32, 0.4 - 2.0 Nm 222 ●

RE 25, 20 W* 78 75.3RE 25, 20 W* 78 GP 26, 0.5 - 2.0 Nm 216 ●

RE 25, 20 W* 78 GP 32, 0.75 - 6.0 Nm 218/220 ●

RE 25, 20 W* 78 GP 32, 0.4 - 2.0 Nm 222 ●

RE 26, 18 W* 79 77.2RE 26, 18 W* 79 GP 26, 0.5 - 2.0 Nm 216 ●

RE 26, 18 W* 79 GP 32, 0.75 - 6.0 Nm 218/220 ●

RE 26, 18 W* 79 GP 32, 0.4 - 2.0 Nm 222 ●

RE 35, 90 W* 81 91.9RE 35, 90 W* 81 GP 32, 0.75 - 6.0 Nm 219/220 ●

RE 35, 90 W* 81 GP 42, 3.0 - 15 Nm 224 ●

RE 35, 90 W* 81 AB 40 279 124.1RE 35, 90 W* 81 GP 32, 0.75 - 6.0 Nm 219/220 AB 40 279 ●

RE 35, 90 W* 81 GP 42, 3.0 - 15 Nm 224 AB 40 279 ●

RE 36, 70 W* 82 92.2RE 36, 70 W* 82 GP 32, 0.75 - 6.0 Nm 219/220 ●

RE 36, 70 W* 82 GP 32, 0.4 - 2.0 Nm 222 ●

RE 36, 70 W* 82 GP 42, 3.0 - 15 Nm 224 ●

RE 40, 150 W* 83 91.7RE 40, 150 W* 83 GP 42, 3.0 - 15 Nm 224 ●

RE 40, 150 W* 83 GP 52, 4.0 - 30 Nm 227 ●

RE 40, 150 W* 83 AB 40 279 124.2RE 40, 150 W* 83 GP 42, 3.0 - 15 Nm 224 AB 40 279 ●

RE 40, 150 W* 83 GP 42, 4.0 - 30 Nm 227 AB 40 279 ●

RE 75, 250 W 84 241.5RE 75, 250 W 84 GP 81, 20 - 120 Nm 230 ●

RE 75, 250 W 84 AB 75 282 281.4RE 75, 250 W 84 GP 81, 20 - 120 Nm 230 AB 75 282 ●

*Connectique voir page 245

Numéros de commande

110512 110514 110516 110518Type

Nombre d'impulsions par tour 500 500 500 500Nombre de canaux 3 3 3 3Fréquence impulsionnelle max. (kHz) 100 100 100 100Diamètre de l'arbre (mm) 3 4 6 8

Génératices tachymétriques et résolveurs

Génératrice tachymétrique = machine à courant continu utiliséeen génératrice :

mesure continue et absolue de la vitesse de l’axeplus encombrant, beaucoup plus coûteux

Résolveur = dispositif avec un bobinage primaire tournant, etdeux bobinages secondaires diphasés, dont le couplagedépend de la position du rotor :

robustesse et longue durée de viesignaux mesurés transmis sans perturbationsfournit potentiellement position et vitesse

252 maxon tacho Edition Juillet 2005 / Modifications réservées



max

onta

cho

Informations importantes● Génératrice équipée du rotor sans fer maxon.● Génératrice avec commutation en métaux précieux.● Inertie du système = inertie rotor moteur + inertie

rotor génératrice.● Le rotor génératrice tourne dans le même sens

que le rotor moteur (la rotation du moteur en senshoraire, vu en bout d’axe, fournit une tension positivesur la cosse marquée +).

● Il est recommandé d’utiliser un amplificateur à hauteimpédance d’entrée.

● La génératrice ne doit pas être trop chargée encourant.

● La fréquence de résonance donnée provient dessystèmes rotor-moteur et rotor-TG.

Génératrice DCT 22, 0.52 Volt


118908 118909 118910Type

Diamètre de l'arbre (mm) 2 3 4

Données techniques Exemple de connexionTension de sortie par 1000 tr / min 0.52 V Courant max. conseillé 10 mARésistance connectée tachymètrique 56.6 ! Tolérance de la tension de sortie " 15 %Ondulation moyenne effective crête à crête # 6 % Inertie du rotor génératrice < 3 gcm2

Nombre d'ondulations par tour 14 Fréq. de résonance avec le mot. des p. 77 - 79 > 2 kHzLinéarité entre 500 et 5000 tr / min à vide " 0.2 % avec le moteur des pages 86, 88 > 3 kHzLinéarité avec résistance de charge de 10 k! " 0.7 % avec le moteur des pages 81, 82 > 4.5 kHzErreur d'inversion " 0.1 % Plage de températures -20 ... +65°CCoefficient de température de la FEM (aimant) -0.02 % /°CCoefficient de temp. sur résistance d'induit +0.4 % /°C Option: également livrable avec des fils de connexion.

Combinaison+ Moteur Page + Réducteur Page Longueur totale [mm] / voir: + RéducteurRE 25, 10 W 77 76.8RE 25, 10 W 77 GP 26, 0.5 - 2.0 Nm 216 ●

RE 25, 10 W 77 GP 32, 0.75 - 4.5 Nm 218 ●

RE 25, 10 W 77 GP 32, 1.0 - 6.0 Nm 220 ●

RE 25, 10 W 77 GP 32, 0.4 - 2.0 Nm 222 ●

RE 25, 20 W 78 76.8RE 25, 20 W 78 GP 26, 0.5 - 2.0 Nm 216 ●

RE 25, 20 W 78 GP 32, 0.75 - 4.5 Nm 218 ●

RE 25, 20 W 78 GP 32, 1.0 - 6.0 Nm 220 ●

RE 25, 20 W 78 GP 32, 0.4 - 2.0 Nm 222 ●

RE 26, 18 W 79 79.8RE 26, 18 W 79 GP 26, 0.5 - 2.0 Nm 216 ●

RE 26, 18 W 79 GP 32, 0.75 - 4.5 Nm 218 ●

RE 26, 18 W 79 GP 32, 1.0 - 6.0 Nm 220 ●

RE 26, 18 W 79 GP 32, 0.4 - 2.0 Nm 222 ●

RE 35, 90 W 81 89.0RE 35, 90 W 81 GP 32, 0.75 - 4.5 Nm 219 ●

RE 35, 90 W 81 GP 32, 1.0 - 6.0 Nm 220 ●

RE 35, 90 W 81 GP 42, 3.0 - 15 Nm 224 ●

RE 36, 70 W 82 89.3RE 36, 70 W 82 GP 32, 0.75 - 4.5 Nm 219 ●

RE 36, 70 W 82 GP 32, 1.0 - 6.0 Nm 220 ●

RE 36, 70 W 82 GP 32, 0.4 - 2.0 Nm 222 ●

RE 36, 70 W 82 GP 42, 3.0 - 15 Nm 224 ●

T

180 W

1 kW

Rippel = x 100 (%)

Edition Juillet 2005 / Modifications réservées maxon tacho 253


max

onta

cho


Données techniquesTension d'entrée 10 V peak, 10 kHz Moment d'inertie du rotor 6 gcm2

Transformation 0.5 Poids 40 gErreur électrique ! 10 minutes Plage de températures -55 """ +155°C

z32SIN

COSd30

b32

Resolv

er-

rotorb30

d32

SIN

COS

z30 360°e

UPrimaire Secondaire

Anglerotor

#

jaune / blanc

rouge / blanc

noir

rouge

bleu

jaun

e

Résolveur Res 26, 10 Volt

Combinaison+ Moteur Page + Réducteur Page Longueur totale [mm] / voir: + RéducteurEC 32, 80 W 159 80.1EC 32, 80 W 159 GP 32, 0.75 - 4.5 Nm 219EC 32, 80 W 159 GP 32, 1.0 - 6.0 Nm 221 ●

EC 40, 120 W 160 96.6EC 40, 120 W 160 GP 42, 3.0 - 15 Nm 224EC 40, 120 W 160 GP 52, 4.0 - 30 Nm 227EC 45, 150 W 161 111.2EC 45, 150 W 161 GP 42, 3.0 - 15 Nm 224 ●

EC 45, 150 W 161 GP 52, 4.0 - 30 Nm 227EC 45, 250 W 162 144.0EC 45, 250 W 162 GP 42, 3.0 - 15 Nm 225 ●

EC 45, 250 W 162 GP 52, 4.0 - 30 Nm 227EC 45, 250 W 162 GP 62, 8.0 - 50 Nm 229 ●

EC 60, 400 W 165 177.3EC 60, 400 W 165 GP 81, 20 - 120 Nm 230 ●


166488 133405 268912 216287Type

Diamètre de l'arbre (mm) 4 6 6 6

Plan




Variateurs de vitesse

Objectifs et hypothèsesprincipe de fonctionnement des variateurs de vitesse

cas du moteur à courant continu (mcc)bibliographie : Techniques de l’Ingénieur

DéfinitionVariateur de vitesse : dispositif permettant de réaliserl’alimentation et la commande d’un moteur.


Objectifs et hypothèsesprincipe de fonctionnement des variateurs de vitessecas du moteur à courant continu (mcc)

bibliographie : Techniques de l’Ingénieur



Objectifs et hypothèsesprincipe de fonctionnement des variateurs de vitessecas du moteur à courant continu (mcc)bibliographie : Techniques de l’Ingénieur



Objectifs et hypothèsesprincipe de fonctionnement des variateurs de vitessecas du moteur à courant continu (mcc)bibliographie : Techniques de l’Ingénieur


Schéma de principe

FIGURE: Schéma général d’un variateur de vitesse [Louis2002]

Principe et modélisation du convertisseur statique

Convertisseurs statiquesAlimentation du moteur à partir d’un réseau électriquealternatif :

redresseur (conversion alternatif/continu)hacheur (conversion continu/continu).différents cas

source d’énergie : monophasé, triphasétechnologie des convertisseurs statiques : pont redresseurcommandé ou non ; hacheur 1, 2 ou 4 quadrants



redresseur (conversion alternatif/continu)

hacheur (conversion continu/continu).différents cas




redresseur (conversion alternatif/continu)hacheur (conversion continu/continu).

différents cas









source d’énergie : monophasé, triphasé

technologie des convertisseurs statiques : pont redresseurcommandé ou non ; hacheur 1, 2 ou 4 quadrants





Cas triphasé, redresseur non commandé, hacheur 4Q

FIGURE: Schéma du convertisseur statique [Louis2002]

Choix pour la variation de vitesse

Alimentationsource d’alimentation : dépend des besoins en termes depuissancesystèmes embarqués : (réseau+redesseur) remplacé pardes batteries

Hacheurchoix le plus important pour la variation de vitessehacheur 4Q : fonctionnement possible dans les différentsmodes moteur, freinage (attention à la réversibilité de lasource)

Choix pour la variation de vitesse

Alimentationsource d’alimentation : dépend des besoins en termes depuissancesystèmes embarqués : (réseau+redesseur) remplacé pardes batteries

Hacheurchoix le plus important pour la variation de vitessehacheur 4Q : fonctionnement possible dans les différentsmodes moteur, freinage (attention à la réversibilité de lasource)

FIGURE: Fonctionnement 4 quadrants du hacheur [Louis2002]

Modèle du hacheur

Aspect échantillonnéLe hacheur fournit une tension de valeur moyenne réglable parle biais de son rapport cyclique ↵ 2 [0 1] : systèmeéchantillonné.Fréquence de commutation élevée en faibles puissances(typiquement 50 kHz pour P < 1kW ).

Modèle en continuPremière approximation : source de tension continue de valeurréglable :

relation tension d’alimentation du moteur/tension decommande du rapport cyclique = simple gain.

Modèle du hacheur

Aspect échantillonnéLe hacheur fournit une tension de valeur moyenne réglable parle biais de son rapport cyclique ↵ 2 [0 1] : systèmeéchantillonné.Fréquence de commutation élevée en faibles puissances(typiquement 50 kHz pour P < 1kW ).

Modèle en continuPremière approximation : source de tension continue de valeurréglable :

relation tension d’alimentation du moteur/tension decommande du rapport cyclique = simple gain.

Modélisation du mcc

v

B

R Li

e

i

!

cv

Equations

V = Ri + L didt + e,

e = Ke ⌦,J d⌦

dt = c � c0 � f⌦,c = Kmi .

Mise en équation du mcc

v

B

R Li

e

i

!

cv

Equations

V (s) = (R + Ls)I(s) + E(s),E(s) = Ke ⌦(s),

Js⌦(s) = C(s)� C0(s)� f⌦(s),C(s) = KmI(s).

Remarque : Ke ' Km. On pose Kem = Ke = Km.

Schéma-bloc

Analysemcc = système à contre-réaction

Kem

+

�

I(s)

E(s)

⌦(s)+ 1B + Js

1R + Ls

V (s)�C0(s)

C(s)Kem

FIGURE: Schéma de principe d’un moteur à courant continu

Modèle

En combinant les équations :

RKem

(f⌦(s) + Js⌦(s))+L

Kem

⇣fs⌦(s) + Js2⌦(s)

⌘+Kem⌦(s) = V (s).

Fonction de transfert en vitesse

G(s) =⌦(s)V (s)

=KemLJ

s2 + (RL + f

J )s + Rf+K 2em

LJ

.

ordre 2, classe 0

Modèle en vitesse d’ordre un

HypothèseOn néglige l’influence de l’inductance d’induit.

Fonction de transfert en vitesse

G(s) =⌦(s)V (s)

=K

1 + ⌧ems,

avec la constante de temps électromécanique du système et le gainstatique :

⌧em =RJ

Rf + K 2em

etK =Kem

Rf + K 2em

.

ordre 1, un pôle stable p = �1/⌧em

Modèle en vitesse d’ordre deux

Première expression

G(s) =KemLJ

s2 + (RL + f

J )s + Rf+K 2em

LJ

.

Identification de la forme canonique :

G(s) =K ⌦2

n

s2 + 2⇠⌦ns + ⌦2n.


Seconde expression

G(s) =K

1 + (⌧em + µ⌧el)s + ⌧el⌧ems2 ,

avec la constante de temps électrique du système : ⌧el =LR .

Comme µ = RfRf+K 2

em<< 1 ) ⌧em + µ⌧el ' ⌧em ' ⌧em + ⌧el :

G(s) =⌦(s)V (s)

=K

(1 + ⌧els)(1 + ⌧ems).

ordre 2, pôles en p1 = �1/⌧el et p2 = �1/⌧em


Seconde expression

G(s) =K

1 + (⌧em + µ⌧el)s + ⌧el⌧ems2 ,

avec la constante de temps électrique du système : ⌧el =LR .

Comme µ = RfRf+K 2

em<< 1 ) ⌧em + µ⌧el ' ⌧em ' ⌧em + ⌧el :

G(s) =⌦(s)V (s)

=K

(1 + ⌧els)(1 + ⌧ems).

ordre 2, pôles en p1 = �1/⌧el et p2 = �1/⌧em

Modèles en position

Bien évidemment. . .

G(s) =⇥(s)V (s)

=K

s(1 + ⌧els)(1 + ⌧ems).

Le système possède trois pôles p1 = 0, p2 = �1/⌧el etp3 = �1/⌧em.

Plages d'utilisation Légende Explications page 49

Plage de puissance conseillée

Plage de fonctionnement permanentCompte tenu des resistances thermiques (lignes 19et 20) la température maximum du rotor peut êtreatteinte au valeur nominal de couple et vitesse et àla température ambiante de 25°C.= Limite thermique.

Fonctionnement intermittentLa surcharge doit être de courte durée.

Moteur avec bobinage à haute résistanceMoteur avec bobinage à basse résistance

n [tr / min]

max

onD

Cm

otor

Construction modulaire maxon Aperçu à la page 17 - 21

Spécifications

82 maxon DC motor Edition Juillet 2005 / Modifications réservées



118804118797

RE 36 !36 mm, Commutation Graphite, 70 Watt

● Jeu axial 0.05 - 0.15 mm● Charge maximum des roulements

axiale (dynamique)non pré-contraint 5.6 Npré-contraint 2.4 N

radiale (à 5 mm de la face) 28 NForce de chassage (statique) 110 N(statique, axe soutenu) 1200 N

● Jeu radial avec roulements 0.025 mm● Température ambiante -20 ... +100°C● Température rotor max. +125°C● Nombre de lames au collecteur 13● Poids du moteur 350 g● Aimant permanent à 2 pôles● Les caractéristiques moteur du tableau sont des

valeurs nominales.Voir en page 43 les plages de tolérances.Des informations détaillées se trouvent sur lemaxon selection program du CD-ROM ci-joint.

● Pour ce moteur, les tolérances diffèrent de cellesqui figurent dans notre spécification standard.

100 200 300

9000

7000

5000

3000

1000

70 Watt

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

2 4 6 8 10 12

M [mNm]I [A]

I [A]

Réducteur planétaire!32 mm0.75 - 4.5 NmVoir page 219

Réducteur planétaire!32 mm0.4 - 2.0 NmVoir page 222Réducteur planétaire!42 mm3 - 15 NmVoir page 224

Génératrice DCT!22 mm0.52 VVoir page 252

Codeur HEDS 5540500 imp.,3 canauxVoir page 242Codeur HEDL 5540500 imp.,3 canauxVoir page 244

118797 118798 118799 118800 118801 118802 118803 118804 118805 118806 118807 118808 118809 118810Caractéristiques moteur

1 Puissance conseillée W 70 70 70 70 70 70 70 70 70 70 70 70 70 702 Tension nominale Volt 18.0 24.0 32.0 42.0 42.0 48.0 48.0 48.0 48.0 48.0 48.0 48.0 48.0 48.03 Vitesse à vide tr / min 6610 6210 6790 7020 6340 6420 5220 4320 3450 2830 2280 1780 1420 11804 Couple de démarrage mNm 730 783 832 865 786 785 627 504 403 326 258 198 158 1275 Pente vitesse / couple tr / min / mNm 9.23 8.05 8.27 8.19 8.14 8.25 8.41 8.65 8.67 8.80 8.96 9.17 9.21 9.516 Courant à vide mA 153 105 89 70 61 55 42 33 25 20 15 12 9 77 Courant de démarrage A 28.6 21.5 18.7 15.3 12.6 11.1 7.22 4.80 3.06 2.04 1.30 0.784 0.501 0.3348 Résistance aux bornes Ohm 0.628 1.11 1.71 2.75 3.35 4.32 6.65 10.00 15.7 23.5 36.8 61.3 95.8 1449 Vitesse limite tr / min 8200 8200 8200 8200 8200 8200 8200 8200 8200 8200 8200 8200 8200 8200

10 Courant permanent max. A 3.18 2.44 1.99 1.59 1.44 1.27 1.03 0.847 0.679 0.556 0.445 0.346 0.277 0.22611 Couple permanent max. mNm 81 88.8 88.5 89.8 90.4 90.1 89.8 89.0 89.2 88.8 88.1 87.3 87.2 85.812 Puissance max. fournie à la tension nom. W 123 125 146 157 129 131 84.9 56.4 36.0 23.9 15.2 9.09 5.78 3.8213 Rendement max. % 84 85 86 86 86 86 85 84 82 81 79 77 75 7214 Constante de couple mNm / A 25.5 36.4 44.5 56.6 62.6 70.7 86.9 105 131 160 198 253 315 38015 Constante de vitesse tr / min / V 375 263 215 169 152 135 110 90.9 72.7 59.8 48.2 37.8 30.3 25.116 Constante de temps mécanique ms 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 617 Inertie du rotor gcm2 60.2 67.7 65.2 65.4 65.6 64.6 63.3 61.5 61.3 60.3 59.2 57.8 57.5 55.718 Inductivité mH 0.10 0.20 0.30 0.49 0.60 0.76 1.15 1.68 2.62 3.87 5.96 9.70 15.10 21.9019 Résistance therm. carcasse / air ambiant K / W 6.4 6.4 6.4 6.4 6.4 6.4 6.4 6.4 6.4 6.4 6.4 6.4 6.4 6.420 Résistance therm. rotor / carcasse K / W 3.4 3.4 3.4 3.4 3.4 3.4 3.4 3.4 3.4 3.4 3.4 3.4 3.4 3.421 Constante de temps thermique du bobinage s 38 43 41 41 41 41 40 39 39 38 37 36 36 35

Réducteur planétaire!32 mm1.0 - 6.0 NmVoir page 220

Codeur MR256 - 1024 imp.,3 canauxVoir page 239

M 1:2

Electronique recommandée:ADS 50/5 page 259ADS 50/10 259ADS_E 50/5, 50/10 260EPOS 24/5 271MIP 50 273Informations 17

max

onD

Cm

otor

Plages d'utilisation Légende Exemple de la page 78

Plage de puissance conseillée

Plage de fonctionnement permanentCompte tenu des resistances thermiques(lignes 19 et 20) la température maximum durotor peut être atteinte au valeur nominal decouple et vitesse et à la température ambiantede 25°C = Limite thermique.

Fonctionnement intermittentLa surcharge doit être de courte durée(voir page 36).

Moteur avec bobinage à haute résistance (Ligne 8)Moteur avec bobinage à haute résistance (Ligne 8)

Fonctionnement intermittent

Edition Juillet 2005 / Modifications réservées maxon DC motor 49

Dessin dimensionnelSur le CD-ROM, les croquis de dimension sontdisponibles en format DXF en vue de leur im-portation dans n’importe quel système CAD.Présentation des vues conforme à la méthode E(ISO).Toutes les dimensions sont exprimées en [mm].

Taraudage de montage dans le plastiqueLa réalisation de connexions vissées sur des flas-ques plastiques nécessite une attention spéciale.

Couple de serrage maximal [Ncm]Un tournevis automatique doit être ajusté à cettevaleur d’étalonnage.

Profondeur active de vissage [mm]La relation entre la profondeur de vissage et le diamè-tre du pas de vis doit être au moins de 2 :1.La profon-deur de vissage ne doit en aucun cas dépasser la lon-gueur utile de taraudage!

Caractéristiques

Ligne 1 ● Puissance conseillée P2T [W]C’est la puissance max. fournie, dans la plage depuissances conseillée. Elle dépend des types etcorrespond à la représentation du Guide de Sélecti-on (voir également pages 50-146 «Plages d’utili-sation»).

Ligne 2 Tension nominale U [Volt]C’est la tension à laquelle se réfèrent toutes les va-leurs nominales (lignes 3, 4, 6, 7, 12, 13).Elle est fixéepour que la vitesse à vide ne dépasse pas la vitessemaximale admissible. Mais l’utilisation du moteurn’est pas limitée par cette tension. Pour atteindre lapuissance assignée (ligne 1), il est possible d’utiliserune tension de service plus haute. La puissancemaximale de sortie est alors plus élevée (ligne 12).

Ligne 3 Vitesse à vide no [tr / min]C’est la vitesse atteinte par le moteur sans chargeadditionnelle et alimenté à la tension nominale. Elleest pratiquement proportionnelle à la tension appli-quée.

Ligne 4 Couple de démarrage MH [mNm]Ce couple est appliqué sur l’arbre pour obtenirl’arrêt à tension nominale. La croissance rapide dela température du moteur provoque la baisse ducouple de démarrage (Voir page 38 «Comporte-ment thermique»).

Ligne 5 Pente vitesse/couple!n / !M [tr / min / mNm]

La pente vitesse / couple indique la force du moteur.Plus cette courbe est plate, moins la vitesse estsensible aux variations de la charge. La pente vi-tesse / couple est calculée à une température debobinage de 25°C.

Ligne 6 Courant à vide Io [mA]C’est le courant qui s’établit lorsque le moteur est àvide. Il dépend du frottement des balais et du frotte-ment à l’intérieur des paliers, il se modifie légère-ment avec la vitesse.

Ligne 7 Courant de démarrageIA [mA], [A]

C’est le rapport de la tension nominale (tension auxbornes) et de la résistance du moteur. Il est obtenuau couple de blocage.

Ligne 8 Résistance aux bornes R ["]C’est la résistance mesurée à 25°C aux bornesde connection. Elle détermine, sous une tensionU donnée, le courant de démarrage. Dans le casde balais en graphite, la résistance de contactvarie en fonction de la charge.

Ligne 9 Vitesse limite nmax [tr / min]La vitesse limite ne doit pas être dépassée en foncti-onnement normal, un dépassement intempestifendommagerait la commutation, mettant ainsi lemoteur en panne.

Ligne 10 Courant permanent max.Icont [mA], [A]

C’est le courant qui, à une température ambiente de25°C, fait monter la température du rotor à sa limitemax. admissible.

Ligne 11 Couple permanent max.Mcont [mNm]

C’est le couple délivré en permanence ou en valeurmoyenne, qui élève la température du bobinage jus-qu’à sa valeur max. admissible. On se base sur unetempérature ambiante de 25°C.

Ligne 12 Puissance max. fourniePmax [mW], [W]

C’est la puissance max. disponible à la tension no-minale et à une température rotor de 25°C. Les va-leurs d’utilisation se situent en-dessous de cettepuissance (voir «courant max. permanent» et «vi-tesse limite»).

Ligne 13 Rendement max. #max [%]Le rendement dépend du courant ou de la vitesse(voir page 35 «Caractéristique de rendement»).Le rendement maximal est dérivé de la relationentre la marche à vide et le courant de démarrage.

Ligne 14 Constante de couple kM [mNm / A]La constante de couple, ou couple spécifique, est lequotient du couple fourni et du courant s’y rappor-tant.

Ligne 15 Constante de vitesse kn [tr / min / V]Elle indique la vitesse spécifique par Volt de la ten-sion appliquée, sans tenir compte des pertes parfrottement. La valeur inverse de la constante de vi-tesse est la constante de tension, aussi appeléeconstante FEM.

Ligne 16 Constante de temps mécanique$m [ms]

C’est le temps nécessaire au rotor (sans charge ex-térieure), pour passer de la vitesse 0 à 63 % de savitesse à vide.

Ligne 17 Moment d’inertie du rotor JR [gcm2]C’est le moment d’inertie de masse du rotor, baséesur l’axe de rotation.

Ligne 18 Inductance terminale L [mH]C’est l’inductivité du bobinage lorsque le rotor est àl’arrêt, mesurée à l’aide d’une tension sinusoïdaleà 1 kHz.

Ligne 19 Résistance thermiqueRth2 [K / W]

C’est la résistance thermique entre la carcasse etl’air ambiant. Valeur théorique sans aucun refroi-disseur additionnel. L’addition des lignes 19 et 20permet de définir la puissance dissipée max.Admissible. Sur les moteurs à flasque métallique,la résistance thermique Rth2 peut être réduite jus-qu'à 50 %, à condition que le moteur soit couplédirectement à un bon conducteur thermique (mé-tallique) au lieu d'une plaque en matière synthéti-que.

Ligne 20 Résistance thermiqueRth1 [K / W]

Idem entre rotor et carcasse.

Ligne 21 Constante de temps thermique dubobinage $w [s]

C’est le temps nécessité par le bobinage pour modi-fier sa température.

Le diagramme du domaine de fonctionnement décritla plage de puissance mécanique livrable par le bobi-nage. Il illustre les points de fonctionnement possi-bles en fonction de la vitesse et du couple.Pour deuxbobinages sélectionnés, l’un à faible, l’autre à forterésistance, le couple figure en échelle de puissance(Ligne 8).

ON Moteur en serviceOFF Moteur stationnaireÎON Courant de pointe max.Icont Courant max. admissible en service continu (Ligne 10)tON Temps d’enclenchement, à ne pas dépasser $w (Lg.21)T Temps de cycle tON + tOFF [s]tON% Temps d’enclenchement en % du temps de cyclePendant une durée d’enclenchement de X %, le moteur peutêtre surchargé dans le rapport ION / Icon

I IT

tON contON

%

5

4

3

2

1

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 ON%

T

Temps

118757118749

Explications sur les pages 50 - 146

Vitesse [tr / min]

Courant permanent max.

Domaine de fonctionnementintermittent

Couple [mNm]

Courant [A]

Courant [A]

Fonctionnement continu

Plage de puissance conseillée20 40 60 80

12000

10000

8000

6000

4000

2000

0.5 1.0 1.5 2.0

1 2 3 4 5 6

Nécessité d’un asservissement de courant

Fonction de transfert en courant

GI(s) =I(s)V (s)

=Js + f

LJs2 + (RJ + Lf )s + Rf + K 2em

.

2 pôles, 1 zéro

FIGURE: Réponse en boucle ouverte du mcc (non chargé)

Nécessité d’un asservissement de courant

RisqueDépassements de courant dans le hacheur, dans le circuitd’induit du mcc = effets destructeur. Besoin :

d’asservir le courant pour avoir la maîtrise desdépassements ;de limiter le courant maximum pour protéger le moteurdans tous les cas.

Synthèse de l’asservissement de courant

Approchesutilisation de GI(s)

raisonnement approché : fém variantlentement=perturbation d’où :

GI(s) =1

R + Ls=

1R

11 + ⌧es


Approchesutilisation de GI(s)raisonnement approché : fém variantlentement=perturbation d’où :

GI(s) =1

R + Ls=

1R

11 + ⌧es


Ordre 1, classe 0, correction PI : CI(s) = Kp(1 + 1⌧i s

) :

CI(s)GI(s) =Kp

R⌧i

1 + ⌧i ss(1 + ⌧es)

.

RéglageCompensation du pôle électrique, d’où BF :

GIBF (s) =1ki

11 + R⌧i

Kpkis

avec ki gain du capteur assurant la mesure de courant.Temps de réponse de la boucle de courant = fonction de Kp.

Remarques sur l’asservissement de courant

Remarque 1Hacheur=gain occulte le retard introduit par le hacheur

Remarque 2Asservissement de courant analogique : coût et performances

Asservissements de vitesse et position

PréalableBoucle de courant réglée, asservissement avec bouclesimbriquées ou asservissement cascade

C⌦(s)

I(s)

�

+⌦(s)

CI(s) mcc

Ki

K!V⌦(s) = K!⌦(s)

Vr (s) V (s)

�

+

FIGURE: Asservissement de vitesse d’un moteur à courant continu

Synthèses

Synthèse de l’asservissement de vitesseRéécriture des équations dynamiques du mcc asservi encourant.Modèle d’ordre deux et de classe 0 : correction PI.

Synthèse de l’asservissement de positionIdem.Modèle d’ordre trois et de classe 1 : correction avance dephase.

Remarques

Analogique ou numérique ?Choix dépend du type de moteur

mcc=commande analogique suffisante (coût)moteurs à courants continus sans collecteur= commandenumérique : réalisation des asservissements nécessitedes fonctions non linéaires (processeur)

Protection en courant

FIGURE: Schéma général d’un variateur de vitesse [Louis2002]

Limitation de courantSaturation de la commande de la boucle de courant par unetension égale à ±ki IM

Mise en garde

Attention !Un certain nombre de protections ne sont pas présentes sur unvariateur de vitesse :

mise en court-circuit de la sortie du variateur : destructiondu variateurpas de protection en général contre une inversion destensions d’alimentation.

Mise en garde


mise en court-circuit de la sortie du variateur : destructiondu variateur

pas de protection en général contre une inversion destensions d’alimentation.

Mise en garde


mise en court-circuit de la sortie du variateur : destructiondu variateurpas de protection en général contre une inversion destensions d’alimentation.

Le programme des asservissements demoteurs maxon contient une gamme de ser-voamplificateurs pour commander les moteursDC et EC hautement dynamique.

Grandeurs commandéesVitesseLa tâche d’un servoamplificateur pour régula-tion de vitesse consiste à maintenir la vitessede rotation aussi constante que possible quel-les que soient les variations de couple deman-dées au moteur. Pour atteindre ce but,l’électronique de régulation du servoamplifica-teur compare en permanence la valeur de con-signe (vitesse desirée) avec la valeur réelleinstantanée (vitesse effective). La différenceentre les deux valeurs sert à piloter l’étage depuissance du servoamplificateur de telle ma-nière que le moteur amenuise la différence devitesse. On dispose ainsi d’un circuit de régula-tion de vitesse en boucle fermée.

PositionLe régulateur de position s’efforce de fairecoïncider la position actuelle mesurée avec laposition désirée - de la même manière que lerégulateur de vitesse - en donnant au moteurles valeurs de correction. L’information sur laposition est généralement délivrée par uncodeur digital.

CourantLe régulateur de courant alimente le moteuravec une intensité proportionnelle à la valeurde consigne. Ainsi le couple du moteur est pro-portionnel à la consigne.Le régulateur de courant améliore aussi la dy-namique d’un circuit de régulation de positionou de vitesse supérieur.

Régulation par codeur digitalLe moteur est équipé d’un codeur digitalqui délivre un nombre donné d’impulsions àchaque tour du rotor. Les impulsions rectangu-laires des canaux A et B sont décalées de90° pour permettre de déterminer le sens derotation.! Les codeurs digitaux sont surtout utilisés

pour assurer le positionnement et pourdétecter un déplacement angulaire.

! Les codeurs digitaux ne sont soumis àaucune usure.

! En liaison avec un régulateur digital, ils neprovoquent aucun effet de dérive.

Compensation R x IUne tension proportionnelle à la valeur de con-signe est appliquée au moteur. Si la chargeaugmente, la vitesse de rotation diminue. Lecircuit de compensation augmente alors la ten-sion de sortie, avec un accroissement du cou-rant dans le moteur. Cette compensation doitêtre ajustée à la résistance interne du moteur.Cette résistance varie avec la température etavec la charge appliquée.

La précision du réglage de la vitesse que l’onpeut obtenir dans de tels systèmes est de l’ordrede quelques pour cents! Économie en prix et en place! Pas de génératrice DC ou de

codeur nécessaire! Régulation peu précise en cas de forte varia-

tion de la charge! Régulation de vitesse uniquement! Idéal pour les applications «Low Cost» qui

n’exigent pas une vitesse très précise

max

onm

otor

cont

rol

32

Valeurde consigne

Valeur réelle

-

-

-

Con-trôleur Moteur

Capteur

étage de puissance(actuateur)

maxon motor control

Déviation du système

n

Schéma d’un circuit de régulation

M

E

maxon motor control

-

-

-

n

Valeurde consigne

Valeur réelle

Principe: Régulation par codeur

M

maxon motor control

U

I-

-

-

Valeurde consigne

Valeur réelle

Principe: Compensation R x I

Technique – sans détour

Edition Juillet 2005 / Modifications réservées maxon motor control 259

max

onm

otor

cont

rol

4!Q!DC Servoamplificateur ADS en boîtier modulaire

PowerAlimentationConnexions du moteur

EncoderConnexion codeur digital

Commutateur DIPChoix du mode de réglage

PotentiomètresAjustement de l'équilibrage

LEDIndicateur de l'état

SignalConnexion pour les entréesConnexion pour les sortiesConnexion génératrice tachymétrique

Données électriques● Tension de service VCC 12 - 50 VDC

ondulation résiduelle < 5 %● Tension de sortie max. 0.9 x VCC● Courant de sortie Imax:

ADS 50/10 POWER 20 AADS 50/5 STANDARD 10 A

● Courant de sortie continu Icont:ADS 50/10 POWER 10 AADS 50/5 STANDARD 5 A

● Cadence de l’étage final 50 kHz● Rendement max. 95 %● Largeur de bande de réglage 2.5 kHz● Self interne du moteur:

ADS 50/10 POWER 75 !H / 10 AADS 50/5 STANDARD 150 !H / 5 A

Entrées● Valeur de consigne «Set value» -10 ... +10 V

(Ri = 20 k")● Circuit libre «Enable» +4 ... +50 V

(Ri = 15 k")● Génératrice DC

min. 2 VDC, max. 50 VDC (Ri = 14 k")● Signaux codeurs

Canal A, A\, B, B\, max. 100 kHz, TTL

Sorties● Moniteur courant «Monitor I», protégé contre

les courts-circuits -10 … +10 VDC(Ro = 100 ")

● Moniteur vitesse «Monitor n», protégé contreles courts-circuits -10 … +10 VDC

(Ro = 100 ")● Message de surveillance «READY»

Open collector max. 30 VDC(IL < 20 mA)

Sorties de tension● Voltages auxiliaires, protégé contre les courts-

circuits +12 VDC, -12 VDC, max. 12 mA● Alimentation codeur +5 VDC, max. 80 mA

Régulateur● Compensation IxR● Offset● nmax● Imax● gain

Affichage● LED 2 couleurs READY / ERROR

vert = READY, rouge = ERROR

Plages de température etd’humidité● Exploitation -10 ... +45°C● Stockage -40 ... +85°C● non condensé 20 ... 80 %

Données mécaniques● Poids environ 400 g● Fixation Flanc pour vis M4

Connexions● Bornes LP (plaquette enfichable de bornes)

Alimentation (5 pôles), Signaux (12 pôles)Pas de 3.81 mmRecommandée du câble:

0.14 - 1 mm2 fil fin0.14 - 1.5 mm2 fil simple

● Codeurconnecteur selon DIN 41651pour câble plat en trame de 1.27 mmavec AWG 28

NoteVoir page 258 pour les caractéristiques généra-les sur le 4-Q-DC variateur de vitesse ADS.

Dimensions en [mm]

Numéros de commandeADS 50/10 Servoamplificateur 4-Q-DC

201583 Version POWERen boîtier modulaire

ADS 50/5 Servoamplificateur 4-Q-DCVersion STANDARD

145391 en boîtier modulaire

Accessoires235811 Chopper de frein

Plan




Plan




Principe de la génération de mouvement

TâcheAtteindre une position et une orientation désirées xf , à partird’une configuration de départ q0 = ?

Génération de mouvements dans l’espace articulaire.

xf qr (t)

q0


q(t)

capteur

MGIqf

Principe de la génération de mouvement

Mouvement articulaireEn toute généralité :

q(t) = q0 + (qf � q0)P(t), 80 6 t 6 tf

P(t)= fonction d’interpolation, t.q. P(0) = 0 et P(tf ) = 1

1- Conditions aux limites :

q(0) = q0, q(tf ) = qf , q(0) = 0, q(tf ) = 0, q(0) = 0, q(tf ) = 0

2- Contraintes :

|q(t)| 6 !m, |q(t)| 6 �m, 80 6 t 6 tf

avec !m / �m : vitesses/accélérations articulaires maximales :!m dépend de la vitesse admissible pour le moteur/la transmission�m = (grossièrement) rapport du couple maximum sur l’inertie de l’axe

Interpolation polynomiale de degré cinq

Polynôme interpolateurAutant de degrés de liberté qu’il y a de contraintes : ordre 5.Mouvement C2 en position, vitesse et accélération, vérifiant :

q(0) = q0, q(tf ) = qf , q(0) = 0, q(tf ) = 0, q(0) = 0, q(tf ) = 0

Avec P(t) = p0 + p1t + p2t2 + p3t3 + p4t4 + p5t5 :p0, p1, p2 = 0

P(t) = 10⇣

ttf

⌘3� 15

⇣ttf

⌘4+ 6

⇣ttf

⌘5, d’où q(t)

Vitesse / accélération maximale pour la i�èmearticulation :

!mi =15|qi(tf )� qi(0)|

8tf, �mi =

10|qi(tf )� qi(0)|p3t2

f

!mi et �mi imposés calcul de tf minimalA faire pour l’ensemble des articulations (2n contraintes)

Interpolation polynomiale de degré cinq

Cas q0 = 0, qf =⇡2 , !m = 4 rad.s�1 et �m = 1, 5 rad.s�2.

tf résulte alors de la contrainte d’accélération : tf = 1, 74 s.

Loi Bang-bang

Commande Bang BangMouvements à temps minimal : accélération = ±�m.Mouvement C2 en position et vitesse seulement :

q(0) = q0, q(tf ) = qf , q(0) = 0, q(tf ) = 0

Mouvement :

q(t) = q0 + 2✓

ttf

◆2(qf � q0), pour 0 6 t 6 tf

2

q(t) = q0 +

�1 + 4

✓ttf

◆� 2

✓ttf

◆2!(qf � q0), pour

tf26 t 6 tf

Loi Bang-bang

Commande Bang BangMouvements à temps minimal : accélération = ±�m.Mouvement C2 en position et vitesse seulement :

q(0) = q0, q(tf ) = qf , q(0) = 0, q(tf ) = 0

On peut montrer que, pour la i�ème articulation :

!mi =|qi(tf )� qi(0)|

tf, pour 0 6 t 6 tf

2

�mi =4|qi(tf )� qi(0)|

t2f

, pourtf26 t 6 tf

!mi et �mi imposés calcul de tf minimalA faire pour l’ensemble des articulations (2n contraintes)

Loi Bang-Bang

Cas q0 = 0, qf =⇡2 , !m = 4 rad.s�1 et �m = 1, 5 rad.s�2.

tf résulte alors de la contrainte d’accélération : tf = 1, 44 s.

Loi trapézoïdale en vitesse

PrincipeLoi Bang-Bang : commutations instantanées fréquentes.Loi trapézoïdale en vitesse, avec paliers à vitesse constante.



On peut montrer que, pour la i�ème articulation :

qi(t) = qi(0) +12"i t2�mi , pour 0 6 t 6 ⌧i

qi(t) = qi(0) + "i

⇣t � ⌧i

2

⌘!mi , pour ⌧i 6 t 6 tf � ⌧i

qi(t) = qi(tf )�12"i (tf � t)2 �mi , pour tf � ⌧i 6 t 6 tf

avec "i = signe(qi(tf )� qi(0)) et ⌧i =!m�m

.



Temps minimal pour une articulation :

tf = ⌧i +|qi(tf )� qi(0)|

!mi(1)

Besoin de synchroniser les articulations : même tf et ⌧i

Pour en savoir plus [Khalil-2013].

Plan




Position du problème


Tâche à mouvement opérationnel imposéCalcul les commandes articulaires du robot permettant desuivre une trajectoire opérationnelle au cours du temps = ?

xr (t) résulte d’une génération, ou bien est défini par la tâche,puis calcul de qr (t) par inversion de modèle.

q(t)

+�

xr (t)

x0

x(t)


MGD

variateur robot

capteur


Problème à mouvement opérationnel imposé

Position du problèmeCalculer les consignes pour le variateur, afin que x(t)corresponde à xr (t) désirée, i.e. réguler à zéro :

e(t) = xr (t)� x(t)

Données du problème :q0, qui est mesuréemouvement de consigne xr (t)modèle cinématique : x = J(q)q

Deux types de problèmes :1 quand e(0) = xr (0)� x0 = 0 : suivi2 quand e(0) = xr (0)� x0 6= 0 : poursuite

Solution (cinématique) en boucle fermée

Loi de commande (robot non redondant)Loi cinématique :

q(t) = J�1(t) (xr (t) + W (xr (t)� x(t)))

avec W définie positive

W+

�

xr (t)

x(t)

MGD

+

ddt

J�1générationde mouvement

variateur robot

capteur

q(t)

xr (t)

+

Quelques remarques

Modèle géométrique inverse numériqueSituation désirée obtene itérativement : utilisable pour trouverune solution numérique au modèle géométrique inverse.

Commande référencée capteurAsservissement sur des informations donnant une image de lasituation de l’organe terminal.

Typiquement : position dans l’image d’une caméra d’indicesvisuels (points, droites, etc.), que l’on cherche à placer demanière à positionner l’organe terminal indirectement.

Modèle d’inversion à adapter....

Documents

Télécom Physique Strasbourgeavr.u-strasbg.fr/~bernard/education/2a_tis_robotique/2a...Points Notations R =(O, x, y, z) repère orthonormé direct cartésien, selon la convention