Základy mechaniky, 4. přednáška

Obsah přednášky :

uvolňování jako jeden ze základních postupů mechaniky,

statická určitost a neurčitost,

vazby a jejich vlastnosti,

řešení staticky neurčitých úloh

Doba studia :

asi 1,5 hodiny

Cíl přednášky :

Seznámit studenty s metodikou uvolňování vazeb.

Těleso na podporách.

Základy mechaniky, 4. přednáškaV 1. a 2. přednášce jsme zevrubně probrali sílu jakožto fyzikální veličinu,a to v širších souvislostech.Především jsme se zabývali nikoliv pouze jedinou silou, ale soustavou více sil.Seznámili jsme se se dvěma účinky síly - silovým a momentovým.Seznámili jsme se rovněž se dvěma typy úloh - úlohou ekvivalentního nahrazení (výslednice)a úlohou silové rovnováhy.Zatím jsme však nebrali v úvahu zřejmou skutečnost, že síla má svůj význam teprvepůsobí-li na těleso. Síla je abstraktní pojem, nikoliv fyzicky existující objekt.Správnější, avšak poněkud komplikované označení by asi bylo „silové působení mezi tělesy“.Zaměříme se nyní na to, co nám v mechanice přináší skutečnost, že síly působí na tělesojistých rozměrů a jisté hmotnosti.

Působí-li na těleso soustava sil, těleso bude měnit svůj pohybový stav podle výsledných účinků(silového a momentového) silové soustavy.Silový účinek způsobí urychlování (zpomalování) posuvu tělesa,momentový účinek způsobí urychlování (zpomalování) rotace tělesa.Vztah mezi působícími silami a změnou pohybu tělesa je předmětem dynamiky.

Základy mechaniky, 4. přednáškaVe statice se zabýváme působením sil na tělesa, která jsou v klidu.Tento klid je nejčastěji způsoben vnějšími příčinami - uložením tělesa.Uložením tělesa myslíme jeho spojení se zvláštním tělesem, jež obvykle nazýváme rámem.Těleso leží na podporách (na obrázku A, B a C). Rám pak je těleso pevně spojené se Zemí.Ve schematických náčrtech, doprovázejících popis jednotlivých úloh mechaniky,znázorňujeme rám šrafováním.

A

C

B

Těleso je dále vystaveno vnějšímu zatížení - působí na něj síly.Tyto síly se přenášejí na podpory - podpory jsou rovněž vystaveny působení sil.

A

C

B

Určení těchto sil (působících na podpory, obrázek vpravo) je jednou ze základních úloh statiky.Je zřejmé, že síly, působící na podpory, jsou přímo závislé na zatížení tělesa. Stanovenívelikosti těchto sil však není triviální úlohou. Jak bylo popsáno na 1. a 2. přednášce,soustavu sil, působících na těleso, lze ekvivalentně nahradit jedinou silou - výslednicí.Výslednici pak lze rozložit na síly, zatěžující podpory.Tento postup však není právě jednoduchý. Ukážeme si zde postup jiný - univerzálnější.

Uvolňování, řešení reakcí.

Základy mechaniky, 4. přednáškaPřipomeňme si na tomto místě jedno ze základních pravidel mechaniky- třetí Newtonův zákon, zákon akce a reakce.

Dvě tělesa, která jsou ve vzájemné interakci (v kontaktu),na sebe navzájem působí silami stejně velkými, stejného směru ale opačné orientace.

Jestliže tedy těleso působí na podpory jistými silami (obrázek vlevo),působí také podpory na těleso silami stejně velkými, opačně orientovanými (obrázek vpravo).

A

C

B

těleso na podpory

A

C

B

podpory na těleso

Na těleso tedy působí soustava sil. Tyto síly můžeme rozdělit do dvou skupin:Akce - prvotní síly tvořící vnější zatížení (na obrázku vpravo jsou bílé).

(Z hlediska kauzality jde o příčinu zatížení podpor.)Reakce - druhotné síly, jimiž na těleso působí podpory (na obrázku vpravo jsou šedé).

(Představují následek vnějšího zatížení, odezvu na vnější zatížení.)

Uvolňování, řešení reakcí.

Základy mechaniky, 4. přednáška

Síly, působící na těleso, tvoří rovinnou soustavu sil s různými působišti.Jak bylo ukázáno na 2. přednášce, rovnováha takové silové soustavyje vyjádřena třemi rovnicemi rovnováhy.

0Fi

xi =∑ 0Fi

yi =∑ 0Mi

i =∑

Tedy součet sil ve dvou (libovolných) k sobě kolmých směrech je roven nulea součet momentů ke zvolenému (libovolnému) momentovému bodu je rovněž roven nule.Z těchto tří rovnic lze vypočíst velikost tří neznámých reakcí.Síly, zatěžující podpory, pak jsou stejně velké, jako tyto reakce, ale opačně orientované.

Ukázali jsme dva základní postupy mechaniky.Uvolnění tělesa - znamená (pomyslné) odstranění podpor

a jejich nahrazení přenášenými silami.Silová rovnováha - umožňuje sestavit rovnice rovnováhy a z nich řešit neznámé reakce.

Uvolňování, řešení reakcí.Jestliže sílu jsme definovali jako příčinu změny pohybového stavu tělesa, zde můžemes jistotou konstatovat, že pohybový stav tělesa se nemění - těleso zůstává stále v klidu.Z toho vyplývá, že výše zmíněná soustava sil, působících na těleso, je v rovnováze,má jak nulový silový účinek (nenulový by způsobil posuv tělesa),tak nulový momentový účinek (nenulový by způsobil otáčení tělesa).

Základy mechaniky, 4. přednáškaPřipomeňme na tomto místě, že počet rovnic rovnováhy je jednoznačně dán (viz 2. přednáška) :rovinná silová soustava se společným působištěm - 2 rovnice rovnováhy (silové),rovinná silová soustava s různými působišti - 3 rovnice rovnováhy

(dvě silové a jedna momentová),prostorová silová soustava se společným působištěm - 3 rovnice rovnováhy (silové),prostorová silová soustava s různými působišti - 6 rovnic rovnováhy

(tři silové a tři momentové).

Uvolňování, řešení reakcí.

Po prostudování předchozího textu se naskýtají dvě otázky.- Jak budeme postupovat, jestliže počet podpor, a tedy počet neznámých reakcí,

bude jiný (větší nebo menší) než počet rovnic rovnováhy ?- Jak jsme poznali směr sil, přenášených mezi tělesem a podporou ?

Na tyto otázky se nyní zaměříme a v následujícím textu přineseme jednoznačné odpovědi.

Základy mechaniky, 4. přednáškaStatická určitost a neurčitost.Jestliže odstraníme jednu podporu (např. podporu Bna obrázku), těleso se stane pohyblivým.Zbývající dvě podpory A a Cumožňují natáčení okolo bodu S.Těleso pak již není nehybnéa neřešíme problém statiky ale dynamiky.Ptáme se jaký je moment sil k bodu S a jaký pohyb způsobuje.

A

C

S

Jestliže naopak přidáme jednu podporu (podporu D na obrázku),těleso zůstává nehybné.V soustavě rovnovážných rovnic však je více neznámých reakcí (4),než je počet rovnic (3).O takovém tělese řekneme, že je staticky neurčitě uloženo,zatímco je-li počet rovnic roven počtu neznámých,hovoříme o staticky určitém uložení.

A

C

BD

Statická neurčitost může být i vyššího řádu. Je-li počet neznámých reakcí o j většínež počet rovnic rovnováhy řekneme, že těleso je j-krát staticky neurčitě uloženo(např. na obrázku je těleso uloženo jednou staticky neurčitě;kdyby však leželo na šesti podporách, bylo by uloženo třikrát staticky neurčitě).Řešení úloh staticky neurčitých (více neznámých reakcí než rovnic rovnováhy)bude stručně popsáno v dalším textu.

Základy mechaniky, 4. přednáškaShrnutí :Je-li počet neznámých reakcí menší, než je počet rovnic rovnováhy,těleso je uloženo pohyblivě a úlohu vůbec nelze řešit z rovnic rovnováhy na poli statiky.(Z pohybové rovnice řešíme pohyb tělesa - viz výklad v kapitole Dynamika.)

Je-li počet neznámých reakcí právě roven počtu rovnic rovnováhy,těleso je uloženo staticky určitě a reakce v podporách vypočítáme z rovnic rovnováhy.

Je-li počet neznámých reakcí větší než počet rovnic rovnováhy,těleso je uloženo staticky neurčitě a reakce v podporách vypočítáme z rovnic rovnováhy,doplněných o deformační rovnice (popřípadě pouze z deformačních rovnic).Postup bude dále uveden.

Statická určitost a neurčitost.

Základy mechaniky, 4. přednáškaVazby.Odpověď na druhou, výše položenou otázku bude obsáhlejší.Směr sil, přenášených z tělesa na podpory a naopak z podpor na těleso,obecněji pak charakter přenášených silových a momentových účinků,závisí na konkrétní podobě spojení dvou těles.Tomuto spojení říkáme v mechanice vazba.

Vazba je spojení dvou těles, umožňující určitý vzájemný pohyb.Různé typy vazeb mají různé vlastnosti z hlediska přenosu sil,rovněž pak z hlediska omezování pohybu vázaných těles vůči sobě navzájem.Tato dvě hlediska spolu úzce souvisí a z toho je zřejmé,že charakteristika vazeb je problematika, spojující statiku a kinematiku.

Vazby rozdělujeme na rovinné a prostorové.Rovinná vazba spojuje dvě tělesa, konající rovinný pohyb v navzájem rovnoběžných rovinách.Tato formulace bude srozumitelnější po vysvětlení pojmu „rovinný pohyb“.Prozatím se spokojíme s intuitivním porozuměním pojmu rovinná vazba.

Základy mechaniky, 4. přednáškaVazby.Rovinných vazeb existuje celkem šest typů a v dalším textu budou podrobně popsány

jejich vlastnosti jak z hlediska statiky, tak kinematiky.

Při prostorovém pohybu je více možností různých pohybů,a tedy podstatně více kombinací pohybů, které vazba umožňuje a které naopak znemožňuje.Prostorových vazeb je proto velké množství a nelze je beze zbytku vyjmenovat.

V tomto textu se zaměříme na vazby rovinné,kromě toho bude uvedeno jen několik ilustrativních příkladů vazeb prostorových.

Rozlišujeme též idealizované vazby, u nichž nepočítáme s třením,a reálné vazby, u nichž se tření projevuje.V tomto textu budeme popisovat pouze idealizované vazby.

neumožňuje posuv

umožňuje rotaci

Základy mechaniky, 4. přednáškaRovinné vazby.Kloubová vazba nebo též rotační vazba umožňuje vzájemné natáčení těles vůči sobě,neumožňuje posuv ani v jednom směru.Přenáší síly ve dvou k sobě kolmých směrech, nepřenáší moment.Vazba se realizuje čepem, ložisky, panty (u dveří) apod.

Kloubová vazba

přenáší síly

nepřenáší moment

Kloubová vazba - schematické značení

rám

těleso tělesotěleso

Symbolické značení vazby na kinematických schématech je samozřejmě zjednodušeno.

Základy mechaniky, 4. přednáškaRovinné vazby.Posuvná vazba umožňuje posuv v jistém specifikovaném směru,neumožňuje posuv ve směru kolmém a neumožňuje rotaci.Přenáší sílu ve směru kolmém k posuvu a přenáší moment, nepřenáší sílu ve směru posuvu.Vazba může být realizována například vyfrézovanou drážkou.Skleněná tabule prosklené skříňky má rovněž posuvnou vazbu ke skříňce.

Posuvná vazba - schematické značení

Symbolické značení vazby na kinematických schématech je samozřejmě zjednodušeno.

znemožňuje posuv a rotaci

umožňuje posuv

přenáší sílu a moment

nepřenáší sílu

Základy mechaniky, 4. přednáškaRovinné vazby.Valivá vazba je tvořena dvěma povrchy ve vzájemném kontaktu (dotyku),přičemž nedochází k prokluzu mezi povrchy. (Povrchy samozřejmě nemusí být rovinnéa válcové, jak je tomu na obrázku; mohou mít libovolný tvar.)Samotný termín „valivý pohyb“ - „valení“ znamená vzájemný pohyb bez prokluzu.Dotykový bod valivé vazby lze označit za „okamžitý kloub“.

Rotace okolo „okamžitého kloubu“

umožňuje rotaci

neumožňuje posuv

Valivá vazba

nepřenáší moment

přenáší síly

Rozdíl mezi valením a rotací je ten, že při valení se „okamžitý kloub“ mění(v každém okamžiku je to jiný bod).Základní vlastnosti obou vazeb, jak z hlediska kinematiky, tak statiky, jsou však shodné.Obě umožňují rotaci a neumožňují posuv, přenáší síly a nepřenášejí moment.

Valivá vazba tedy znemožňuje dva posuvy a umožňuje rotaci;přenáší dvě, k sobě kolmé síly a nepřenáší moment.

valení bez prokluzu

valivá vazba, valivý pohyb

umožňuje posuv a rotaci

neumožňuje posuv

Základy mechaniky, 4. přednáškaRovinné vazby.Posuvný kloub je kombinací kloubové a posuvné vazby. Umožňuje rotacia umožňuje posuv v jistém specifikovaném směru, znemožňuje posuv v kolmém směru.Přenáší pouze sílu ve směru kolmém k posuvu.

Posuvná kloubová vazba

nepřenáší sílu ani moment

přenáší sílu

Posuvná kloubová vazba - schematické značení

Symbolické značení vazby na kinematických schématech je samozřejmě zjednodušeno.

Posuvná kloubová vazba

Základy mechaniky, 4. přednáškaRovinné vazby.Obecná vazba (obecná kinematická dvojice) je tvořena dvěma dotýkajícími se povrchy,pohybujícími se vůči sobě tak, že v bodě dotyku dochází k vzájemnému prokluzu.

Obecná vazba

nepřenáší sílu ani momentpřenáší sílu

Vazba znemožňuje posuv kolmo ke společné tečně obou povrchů, umožňuje rotaci a posuv ve směru společné tečny. Tyto pohyby jsou na sobě nezávislé.Vazba přenáší pouze sílu kolmou ke společné tečně,nepřenáší moment ani sílu ve směru společné tečny.

z

prokluz v bodě dotyku

umožňuje nezávislý posuv a rotaci

neumožňuje posuv

Obecná kinematická dvojice

Základy mechaniky, 4. přednáškaRovinné vazby.Dokonalé vetknutí je pevné spojení dvou těles. Neumožňuje žádný vzájemný pohyb.Přenáší sílu obecného směru (dvě síly ve dvou specifikovaných, k sobě kolmých směrech)a moment síly.Vazba je mimořádná tím, že dvě tělesa, spojená navzájem dokonalým vetknutím,stávají se tělesem jedním.

Dokonalé vetknutí

neumožňuje posuv ani rotaci

Dokonalé vetknutí

přenáší síly a moment

Vazbu lze realizovat svařením, slepením, zabetonováním, nebo třeba pevným sešroubováním.

Cedulky pevně přibité na stojan Dokonalé vetknutí - schematické značení

rám

tělesotěleso

těleso

Základy mechaniky, 4. přednáškaRovinné vazby.Porovnáme-li u všech vazeb jejich vlastnosti z hlediska statiky(které síly a momenty přenáší nebo nepřenáší)a z hlediska kinematiky (které pohyby umožňuje nebo znemožňuje),můžeme formulovat obecné pravidlo.

Každá vazba přenáší takové síly (momenty), jakým vzájemným pohybům zabraňuje.

Jestliže vazba neumožňuje vzájemný posuv v určitém směru, přenáší sílu v tomto směru.Jestliže vazba neumožňuje vzájemnou rotaci okolo určité osy, přenáší moment k této ose.Naopak jestliže vazba určitý pohyb umožňuje, pak nepřenáší příslušnou sílu nebo moment.

Toto jednoduché pravidlo neplatí zcela pro reálné vazby.Počítáme-li s třením, musíme konstatovat,že pokud vazba umožňuje určitý pohyb, přenáší sílu v tomto směru,ale ne libovolně velkou, pouze do hodnoty, dané třením.

Základy mechaniky, 4. přednáškaProstorové vazby.Dále pouze pro ilustraci uvedeme dva příklady prostorových vazeb.

Šroubová vazba umožňuje posuv a rotaci,avšak tyto pohyby jsou na sobě závislé prostřednictvím stoupání závitu.Vazba tedy umožňuje jeden nezávislý pohyb (např. rotaci),druhý pohyb (posuv) je odvozen od rotace v závislosti na stoupání závitu.Vazba neumožňuje posuvy ve směrech kolmých k ose vazby,rovněž neumožňuje rotace okolo os kolmých k ose vazby.

umožňuje posuv a rotaci

Šroubová vazbaSférický kloub umožňuje všechny tři rotace, znemožňuje tři posuvy.Přenáší sílu libovolného směru (tři složky síly), nepřenáší momenty.

Sférický kloub

umožňuje tři rotace

Základy mechaniky, 4. přednáškaŘešení reakcí.Poté co jsme se seznámili se základními typy vazeb můžeme na příkladu demonstrovatvýpočet reakcí staticky určitě uloženého tělesa.

b

h

c

G

T

A

B

b

h

c

G

T

A

B β

RAx

RB

RAy

Těleso o hmotnosti m, tíhy G, je zavěšeno na kloubové vazběv bodě A. Kromě toho je obecnou vazbou podepřeno v bodě B.Vzdálenost vazeb A a B je b (vodorovný směr) a h (svislý směr).Vodorovná vzdálenost těžiště tělesa T od kloubu A je c.Určete reakce v uložení tělesa.

Řešení spočívá ve dvou krocích- uvolnění tělesa (uvolnění vazeb)- rovnice rovnováhy.

Uvolnění tělesa úzce souvisí s typem použitých vazeb.Kloubová vazba v bodě A přenáší dvě, k sobě kolméreakce RAx a RAy. Není nutnou podmínkou aby to byly směrysvislý a vodorovný, naopak v některých případech můžebýt užitečné volit si jiné dva směry.V tomto případě však je jedna reakce vodorovná, druhá svislá.Obecná vazba v bodě B přenáší reakci RB kolmo ke společnétečně dotýkajících se povrchů, pod úhlem β vůči vodorovnémusměru. (Směr úsečky AB zde nehraje žádnou roli.)

Orientaci reakcí (doprava nebo doleva, nahoru nebo dolů)si volíme. Kladný výsledek pak znamená správný odhad,záporný výsledek signalizuje opačnou orientaci, než byla zvolená.

Základy mechaniky, 4. přednáškaŘešení reakcí.Poté co jsme se seznámili se základními typy vazeb můžeme na příkladu demonstrovatvýpočet reakcí staticky určitě uloženého tělesa.

Síly G, RAx, RAy a RB tvoří rovinnou silovou soustavus různým působištěm, jejíž rovnováha je vyjádřenatřemi rovnicemi rovnováhy, např. :

0cGbRhRM

0GRRF

0RRF

BBAi

BAyyi

BAxxi

=⋅−⋅β⋅+⋅β⋅=

=−β⋅+=

=β⋅−=

∑∑∑

sincos

sin

cos

Z rovnic je zřejmé, že :

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛β⋅+β⋅

β⋅−⋅=β⋅−=

β⋅+β⋅β⋅

⋅=β⋅=

β⋅+β⋅⋅=

sincossinsin

sincoscoscos

sincos

bhc1GRGR

bhcGRR

bhcGR

BAy

BAx

B

Celková reakce v kloubu A a zmíněný úhel α (sklon reakcevůči vodorovnému směru) pak samozřejmě jsou :

2Ay

2AxA RRR +=

Ax

Ay

RR

arctan=α

b

h

c

G

T

A

B

b

h

c

G

T

A

B β

RAx

RB

RAy

Základy mechaniky, 4. přednáškaŘešení staticky neurčitých úloh.Pro úplnost uvedeme i řešení reakcí tělesa, uloženého staticky neurčitě,přestože této oblasti statiky se v tomto textu nebudeme systematicky věnovat.

A

B

A

B

MA

RAxRAy RB

Těleso, zatížené dvěma silami,je v bodě A dokonale vetknuto,v bodě B podepřeno obecnou vazbou.Dokonalé vetknutí samo o soběpředstavuje staticky určité uložení,podpora B přináší další neznámou reakcia těleso je tedy uloženojednou staticky neurčitě.

Uvolnění tělesa nepřináší žádný problém.V bodě A zavádíme reakce RAx a RAy a reakční moment MA, v bodě B normálovou reakci RB.Je třeba zdůraznit, že i v tomto případě máme k dispozici pouze tři rovnice rovnováhy !

0Fxi =∑Chybějící rovnici (máme čtyři neznámé) hledámev oblasti deformace. Je zřejmé, že nosník sev bodě B nemůže prohnout, neboť je podepřen.Platí tedy :

0yB ==Δ K

0Fyi =

Řešení staticky neurčitých úloh se tedy neobejde bez řešení deformace tělesa.

∑ 0Mi =∑

A

B

RB

Základy mechaniky, 4. přednáškaŘešení staticky neurčitých úloh.

Obsah přednášky :

uvolňování jako jeden ze základních postupů mechaniky,

statická určitost a neurčitost,

vazby a jejich vlastnosti,

řešení staticky neurčitých úloh