Číselné těleso

Číselné těleso

V rámci projektu „Cesta k vědě“ (veda.gymjs.net) vytvořil V. Pospíšil ([email protected]). Modifikace a šíření dokumentu podléhá licenci GNU (www.gnu.org).

Buď T podmnožinou komplexních čísel. Množinu T nazveme číselným tělesem, je-li alespoň dvouprvková a právě když platí

Definice 29.

TTT 1)

TTT 2)

TT 3)

TT 14)

tj. je-li množina T uzavřená vůči sčítání, odčítání, násobení a dělení. Číselná tělesa jsou množiny Q, R a C, Q je nejmenší ve smyslu inkluze.

Pozn. : v přednáškách o lineární algebře budeme značit čísla (prvky z tělesa) řeckými písmeny (α, β, γ, δ …), kdežto vektory písmeny latinskými. Tato notace se v matematice často používá. Ve fyzice se setkáme spíše s notací, kde jsou čísla i vektory latinkou, vektory jsou ovšem psány tučně nebo s šipkou.

Vektorový prostor

Nechť jsou dány následující matematické objekty:Definice 30.

1)2)

VVV :3)

Číselné těleso T.

Neprázdná množina V.

VVT :4)

Zobrazení

Zobrazení

Řekneme, že V je vektorový prostor nad tělesem T s vektorovými operacemi , právě když platí axiomy vektorového prostoru :a

S1) Komutativní zákon pro vektorové sčítání :

Speciální značení pro odlišení normálních a vektorových operací.

abbaba VVS2) Asociativní zákon pro vektorové sčítání :

cbacbacba )()(VVV

součet vektorů

součin čísla a vektoru

Vektorový prostor

S3) Existence nulového vektoru :

aaa θθ VV

S3) Existence opačného vektoru :

θ baab VVOpačný vektor k vektoru a značíme obvykle unárním mínus, tj. a = -b.

N1) Asociativní zákon pro násobení vektoru číslem:

N2) Násobení jedničkou :

aaa )()( VTT

aaa 1V

Vektorový prostor

D1) Distributivita násobení vektoru číslem vzhledem k sčítání čísel :

D2) Distributivita násobení vektoru číslem vzhledem k sčítání vektorů :

aaa

a

)(

VTT

)()()( baba

ba

VVT

Pozn. : Vektorový prostor musí být uzavřený vůči sčítání vektorů a násobení vektoru číslem. Axiomy pak zajistí, že vektory se chovají obdobně jako čísla a podléhají obdobným zákonům. To umožňuje konstruovat rozsáhlý matematický aparát bez toho, aniž bychom doopravdy znali vlastní podobu vektorů.

Pozn. : V dalších částech přednášky budeme vektorový součet a násobení vektoru číslem značit již standardně + a . , z kontextu bude jasné, zda se jedná o vektorové nebo klasické operace.

Vektorový prostor

Věta 3. Nechť V je vektorový prostor nad tělesem T. potom platí:

1)2)

Vba,3)

Existuje právě jeden nulový vektor.

Ke každému vektoru z V náleží právě jeden vektor opačný.

θa0,θθ VT a4)

Pro každé má rovnice a = b + x právě jedno řešení,

a to x = -b + a.

)θ0(θ aaa VT5)

)()()( aaaa VT6)

Tato věta říká o vektorech věci, které u čísel považujeme za naprosto samozřejmé. Protože ale vektory nemusejí být čísla, ale naprosto cokoliv, a protože operace s nimi mohou bát naprosto libovolné, je třeba tvrzení dokázat. Dokážeme jen tvrzení 1) a 2).

Vektorový prostor

Důkaz 1) : Z axiómu S3 víme, že existuje (alespoň) jeden nulový vektor. Že je právě jeden dokážeme sporem – uvažujme, co se stane, když budeme předpokládat existenci dvou různých, θ1 a θ2. Muselo by zároveň platit (S3)

aaaaaa 21 θ,θ VV

121212 θθθθθθ

Protože a je libovolné, můžeme si postupně zvolit a = θ1, a = θ2, z čehož plyne

a protože platí komutativní zákon (axiom S1), plyne z toho, že θ1 = θ2, což je spor s naším předpokladem, že tyto dva (nulové) vektory jsou různé.

Vektorový prostor

Důkaz 2) : Existenci opačného vektoru zajišťuje axiom S4. Jednoznačnost opět dokážeme sporem. Kdyby existovaly dva opačné vektory b1 a b2 k vektoru a, pak by muselo zároveň platit

θ,θ 21 baba

11121222 θθ bbbabbabbb

využijeme-li axiomy S1, S2 a S3, pak několika jednoduchými úpravami získáme

došli jsme tedy k b1 = b2, což je spor s naším předpokladem, že tyto dva vektory jsou různé.

Q.E.D.

Důkazy ostatních částí jsou stejně snadné, zkuste si je sami. Konstrukce vektorového prostoru nám dává jistotu, že se s vektory bude dát zacházet podle všech rozumných pravidel. A to i přes to, že dopředu nemusíme vědět, CO vlastně vektory jsou – stačí, že víme, jak správně zkonstruovat vektorové operace (uzavřenost, respektovat axiomy).

Vektorový prostor Tn

Buď T číselné těleso, n přirozené číslo, množina V pak množina n-tic ve tvaru:

Definice 31.

na ,,, 321kde α1 až αn jsou čísla z tělesa T. Definujme operace jako

n

nn

a

ba

,,,

,,

321

2211

Jelikož všechny operace se provádějí jako standardní po složkách a složky jsou čísla, axiomy vektorového prostoru jsou splněny (čísla je evidentně splňují). Speciálně pro tělesa R nebo C značíme prostory Rn nebo Cn. Na střední škole se studenti setkávají s vektorovými prostory R2 nebo R3.

Vektorový prostor Tn,m

Buď T číselné těleso, n a m přirozená čísla. Množina V pak množina takzvaných matic, tabulek čísel ve tvaru :

Definice 32.

nmmm

n

n

a

21

22212

12111

kde α11 až αnm jsou čísla z tělesa T. Definujme operace jako u předchozího vektorového prostoru – tedy standardní číselné operace po složkách. Jelikož všechny operace se provádějí jako standardní po složkách a složky jsou čísla, axiomy vektorového prostoru jsou splněny (čísla je evidentně splňují). Speciálně pro tělesa R nebo C značíme prostory Rn,m nebo Cn,m.

Pozn. : první index u složky zde značí číslo sloupce (pozice ve vodorovném směru), druhý index u složky značí číslo řádku (pozice ve svislém směru). V tomto bodě se přednáška hrubě rozchází z většinou matematické literatury. Usnadní to ale studentům orientaci při sledování přednášky o výpočetní technice – pole se v programech značí tak, jak je to zavedeno na této průsvitce.

Vektorový prostor P

Buď T = C komplexní číselné těleso, množina V = P množina všech polynomů. Její prvky jsou tedy funkce ve tvaru

Definice 33.

nnttttta 3

32

210)(kde všechna αn jsou čísla z tělesa C. Definujme operace takto:

)())((

)()())((

tata

tbtatba

Protože v každém bodě t C jsou funkční hodnoty komplexní čísla, axiomy určitě platí.

součet funkcí

násobení funkce číslem

Vektorový prostor šipek

Buď T = R reálné číselné těleso, množina V množina všech geometrických orientovaných úseček. Její prvky jsou tedy jakési „šipky“. Definujme operace takto:

Definice 33.

a

ba

součet definujeme pomocí rovnoběžníkového pravidla

násobení definujeme jako γ-násobné prodloužení

Platí v takto definovaném prostoru axiomy? Bezesporu ano. Stejně se dá definovat prostor šipek i v 3D. Prostor šipek je vhodný zejména při vizualizaci.

Zajímavý vektorový prostor

Buď T = R reálné číselné těleso, množina V interval ( 0, +∞). Definujme operace jako Příklad

aa

baba

Je tato konstrukce vektorovým prostorem?

Operace sčítání je uzavřená.

Operace násobení je uzavřená.

S1 – komutativní zákon.

S2 – asociativní zákon (+).

S3 – existuje nulový vektor.

S4 – existuje opačný vektor.

N1 – asociativní zákon (.) .

N2 – násobení jedničkou .

D1 – distributivita

D2 – distributivita

Je to vektorový prostor!

Lineární kombinace

Buď V vektorový prostor nad tělesem T. Souborem vektorů délky n rozumíme uspořádanou n-tici (tj. závisí na pořadí):

Definice 34.

nxxxx ,,, 321

nn

n

iii xxxxxx

3322111

Říkáme, že vektor x je lineární kombinací souboru ( x1, … , xn ), právě když existuje taková n-tice ( α1, … , αn ) čísel z tělesa T tak, že

Čísla αi nazýváme koeficienty lineární kombinace. Jsou-li všechna nulová, říkáme takové kombinaci triviální a výsledek je nulový vektor.

Lineární obal

NechťDefinice 35.

nxxxx ,,, 321 je soubor vektorů z V. Množinuvšech lineárních kombinací tohoto souboru nazýváme jeho line-árním obalem a značíme

nxxxx ,,, 321

Lineární obal

Věta 3.

1)

2)

3) Proházíme-li vektory v souboru, jeho lineární obal se nezmění.

4)

Nechť nxxxx ,,, 321 je soubor vektorů z V. Platí:

nxxxx ,,,θ 321

yxxxxxxxx

xxxx

nn

n

,,,,,,,

,,,y

321321

321

n

n

n

xxxx

xxxxy

xxxxy

,,,x

,,,x

,,,,x

321

321

321

T

Pozn. : lineární obal souboru vektorů je rovněž vektorovým prostorem. Předchozí věta ukazuje, že operace na něm jsou uzavřené a platí-li axiomy na celém prostoru, tím spíše platí na jeho podmnožině (což lineární obal je).

Lineární závislost a nezávislost

NechťDefinice 36.

nxxxx ,,, 321 je soubor vektorů z V. Říkáme,že soubor je lineárně nezávislý (LN), právě když pouze triviální lineární kombinace tohoto souboru je θ. V opačném případě nazveme soubor lineárně závislý (LZ).

Příklad

)6,2()1,3()

)1,2()2,4()

21

21

xxb

xxaZjistěte, zda následující soubory vektorů z R2 jsou LZ nebo LN:

Zkoumáme všechny lineární kombinace souboru. Hledáme mezi nimi takovou, jejíž koeficienty nejsou samé nuly a přesto je nulová. Pokud ji najdeme, je soubor LZ, pokud ne, je LN.

2

1

2

00

2

024

02

024

)0,0()1,2()2,4(θ21

xx

0

0

6

020

6

0218

06

023

)0,0()6,2()1,3(θ21

xx


Příklad Zjistěte, zda následující soubory vektorů z prostoru šipek jsou LZ nebo LN:

Tento soubor je závislý. Abychom z vektorů dostali „tečku“ – tj. nulový vektor, stačí je k sobě prostě přičíst. Hledaná netriviální LK je tedy 1, 1.

Tento soubor je nezávislý. Abychom z vektorů dostali „tečku“ – tj. nulový vektor, musíme je oba dva vynásobit nulou.

Příklad

)1,2,3()3,1,1()3,4,11()

)1,3,2()2,2,1()5,1,3()

)9,6,3()5,3,1()2,3,4()

321

321

321

xxxc

xxxb

xxxa

Zjistěte, zda následující soubory vektorů z R3 jsou LZ nebo LN:


3

5

1

00

053

02

0952

0633

034

)0,0,0()9,6,3()5,3,1()2,3,4(

θ321

xxxa)

LZDalší sami …

Věta 4.

Nechť nxxxx ,,, 321 je soubor vektorů z V , n ≥ 2 (tedy

1)

2)

3)

Proházíme-li vektory v souboru, jeho lineární závislost či nezávislost se nezmění..

Jednoprvkový soubor (x1) je LZ právě tehdy, když x1 = θ. Jinak je LN.

Kritéria lineární závislosti a nezávislosti :

dvou a víceprvkový. Tento soubor je lineárně závislý právě tehdy, když

nkkk xxxxxxnk ,,,,,,ˆ 1121 tedy pokud v souboru existuje takový vektor, který lze nakombinovat (vytvořit lineární kombinací) z ostatních. Například v souboru

)2,1()6,2()5,3( 321 xxxlze první prvek nakombinovat z dalších dvou pomocí koeficientů -½,4 :

)5,3()8,4()3,1()2,1(4)6,2(21


Zkrácenina z

{1, 2, 3, … , n }

Věta 4. Kritéria lineární závislosti a nezávislosti :

Nechť nxxxx ,,, 321 je soubor vektorů z V , n ≥ 2 (tedy3)dvou a víceprvkový. Tento soubor je lineárně závislý právě tehdy, když

nkkk xxxxxxnk ,,,,,,ˆ 1121


Důkaz Jelikož výrok je ekvivalence, je potřeba dokázat postupně pravdivost implikací oběma směry. Tj. nejdřív „soubor je LZ“ => „v souboru je vektor, který lze nakombinovat z ostatních“.

θ1

n

iii x

Toto je lineární kombinace dávající nulu. Protože soubor je LZ, existuje tato kombinace jako netriviální, tedy minimálně jedno z čísel αi je nenulové Označme jej αk . Jednoduchou úpravou získáme

n

kii

iik

k

n

kii

iikk

n

iii xxxxx

111

1θ

Kombinace vektoru z ostatních

Věta 4. Kritéria lineární závislosti a nezávislosti :

Nechť nxxxx ,,, 321 je soubor vektorů z V , n ≥ 2 (tedy3)dvou a víceprvkový. Tento soubor je lineárně závislý právě tehdy, když

nkkk xxxxxxnk ,,,,,,ˆ 1121


Důkaz Nyní druhý směr ekvivaence, tj. „v souboru je vektor, který lze nakom-binovat z ostatních“ => „soubor je LZ“.

Jednoduchou úpravou přejdeme z kombinování vektoru xk k lineární kombi-naci celého souboru, která je nulová, ovšem netriviální (tj. alespoň jeden koeficient je nenulový).

n

kii

iik

n

kii

iik xxxx11

1θ

Nenulový koeficient lineární kombinace

Q.E.D.

Báze a dimenze

NechťDefinice 37. nxxxx ,,, 321 je soubor vektorů z V. Pokud platí

říkáme, že prostor V má konečnou bázi a soubor

1)

2)

Soubor je lineárně nezávislý

nxxxx ,,, 321V

nxxxx ,,, 321 nazýváme bází prostoru V.

Definice 38. Nechť V je vektorový prostor. Pokud existuje takové přirozené číslo n, že existuje n-členný LN soubor vektorů z V a libovolný n+1 prvkový soubor vektorů z V je lineárně závislý, říkáme, že prostor V má konečnou dimenzi a definujeme dim V = n (dimenze V je n).

Pokud takové číslo neexistuje, tj. lze najít LN soubor vektorů o zcela libovolném počtu prvků, říkáme, že prostor V má nekonečnou dimenzi a definujeme dim V = ∞.

Věta 5. Buď V vektorový prostor. Platí

Ve V existuje n-členná báze. dim NV n

Báze a dimenze

Dimenze určuje maximální možnou velikost LN souboru. Přidáme-li do n-členného LN souboru další vektor, stane se LZ.

Z báze vektorového prostoru lze lineární kombinací získat libovolný další vektor. Chceme-li tedy znát celý vektorový prostor, stačí znát jednu bázi.

Nulový vektorový prostor V = {θ} má dimenzi 0 (dim V = 0) a bázi nemá žádnou.

Každý LN k-členný soubor vektorů z prostoru V o dimenzi n, k < n, lze vhodným výběrem dalších vektorů z V doplnit na bázi.

Dimenze závisí i na tělese. Zatímco prostor V=C s tělesem T=C má dimenzi 1, prostor V=C s tělesem T=R má dimenzi 2. Otázka : jakou dimenzi má V=R, T=C?

Báze a dimenze prostoru Tn

Tvrdíme, že dim Tn = n. K tomu je třeba nalézt nějakou bázi o n členech.

Soubor vektorů nn eeee ,,, 321 ve tvaru

1,0,0,0

0,1,0,0

0,0,1,0

0,0,0,1

3

2

1

ne

e

e

e

je tzv. standardní bází Tn . Soubor je LN zcela zjevně, n-členný je také a každý vektor lze pomocí něj vyjádřit jako

n

iiin ex

1321 ,,,

Báze a dimenze prostoru Tn,m

Tvrdíme, že dim Tn,m = n ∙ m. K tomu je třeba nalézt nějakou bázi o n ∙ m členech.

Soubor vektorů mnmn ,1,31,21,1, ,,, EEΕE ve tvaru

100

000

000000

000

010

000

000

001

,

1,21,1

mnE

EE

je tzv. standardní bází Tn,m . Vektorů je opravdu n ∙ m.

Báze a dimenze prostoru P

Tvrdíme, že dim P = ∞. Kdybychom prostor omezili podmínkou, že se v něm smějí nacházet polynomy nejvýše stupně n-1, tedy polynomy ve tvaru

pak by dimenze byla konečná (n). I přes toto omezení je totiž V vektorovým

prostorem (někdy se značí Pn), neboť sečteme-li dva polynomy nejvýše řádu n-1, dostaneme opět polynom řádu n-1 (a stejně tak vynásobíme-li polynom číslem). Standardní báze by pak vypadala takto:

1

0

11

2210)(

n

i

ii

nn tttttp

11

2210 )(,)(,)(,1)(

nn ttettettete

Pokud ale řád polynomů neomezíme, pak by ani tato báze nemohla být konečná. I pro libovolně vysoké n bychom mohli najít polynom s vyšším stupněm, který z této báze nakombinovat nejde.

V tomto případě by bylo možné mluvit o bázi nekonečné (funkční řada), takovými útvary se však základní lineární algebra nezabývá. Setkáme se s nimi později v matematické analýze.

Báze a dimenze prostoru šipek

Tvrdíme, že dim Š = 2. K tomu je třeba nalézt nějakou bázi o 2 členech.

e1

e2

Jednotková délka

x 1.5

x 1.1

Kroneckerovo delta

pro i = j

například :

0

1ij

Definice 39. Zaveďme symbol Kroneckerovo delta:

pro i ≠ j

1

0

0

1

3,3

1,

5,3

1,1

rr

aa

510521

105,10555225115

10

15

0100 xxxxx

xxxxxi

ii

Typicky se používá ve složitějších výrazech se sumami a podobně:

n

iiijx

1

n

j

n

ijiij yx

1 1

jx

n

iii yx

1

Souřadnice

Věta 6.Nechť nxxxxΧ ,,, 321vektoru x z V existuje právě jedna n-tice n ,,, 321

n

iii xx

1

z tělesa taková, že

je báze V. Potom ke každému

tj. každý vektor lze z báze nakombinovat právě jedním způsobem. Označme čísla αi jako

)(# xxii Tento složitý zápis poukazuje na fakt, že čísla αi závisí jednak na zvoleném vektoru x, ale i na zvolené bázi, tj. na vektorech xi. Změníme-li cokoliv z toho, změní se αi . Dá se říci, že čísla αi jsou vlastně jakýmisi „funkcemi“ báze a vektoru x. Platí:

tj. x#i je zobrazení z prostoru do tělesa. TV :ˆ #

ixni1)

2)

3)

)()()(,ˆ ### yxxxyxxVyxni iii

)()(ˆ ## xxxxxni ii TV

4) ijji xxnji )(ˆ, #

Souřadnice v dané báziSouřadnicový

funkcionál


n

iii xx

1



)(# xxii

tj. x#i je zobrazení z prostoru do tělesa. TV :ˆ #

ixni1)

Vezměme různé báze prostoru R2 .

)1,2(,)2,1(

)0,1(,)1,1(

)1,0(,)0,1(

21

21

21

yy

xx

eeO tom, že soubory jsou skutečně báze je snadné se přesvědčit. Prozkoumejme, jak lze z těcho bází nakombinovat vektory u = ( 5, 6 ), v = ( -1, 3 ), w = (0,2) :

21

21

21

20

31

65

eew

eev

eeu

21

21

21

22

43

16

xxw

xxv

xxu

21

21

21

5254

11

54517

yyw

yyv

yyu

Souřadnice


n

iii xx

1



)(# xxii tj. x#

i je zobrazení z prostoru do tělesa. TV :ˆ #ixni1)

21

21

21

20

31

65

eew

eev

eeu

21

21

21

22

43

16

xxw

xxv

xxu

21

21

21

5254

11

54517

yyw

yyv

yyu

5)(#1 ue

6)(#2 ue 3)(#

2 ve

1)(#1 ve

2)(#2 we

0)(#1 we

Souřadnice


n

iii xx

1



)(# xxii tj. x#


21

21

21

20

31

65

eew

eev

eeu

21

21

21

22

43

16

xxw

xxv

xxu

21

21

21

5254

11

54517

yyw

yyv

yyu

6)(#1 ux

1)(#2 ux 4)(#

2 vx

3)(#1 vx

2)(#2 wx

2)(#1 wx

Souřadnice


n

iii xx

1



)(# xxii tj. x#


21

21

21

20

31

65

eew

eev

eeu

21

21

21

22

43

16

xxw

xxv

xxu

21

21

21

5254

11

54517

yyw

yyv

yyu

517

)(#1 uy

54

)(#2 uy 1)(#

2 vy

1)(#1 vy

52

)(#2 wy

54

)(#1 wy

Souřadnice


n

iii xx

1



)(# xxii tj. x#


Pro danou bázi je i-tá souřadnice každého vektor daná. Tedy můžeme opravdu definovat zobrazení, které každému vektoru přiřadí i-tou souřadnici (číslo z tělesa). Opravdu tedy

TV :#2e

TV :#1e

TV :#ne

TV :#3e

Tato zobrazení jsou ale pro každou bázi jiná – stejný vektor má v různých bázích různé souřadnice.

TV :#2x

TV :#1x

TV :#nx

TV :#2y

TV :#1y

TV :#ny

TV :#2z

TV :#1z

TV :#nz

Souřadnice


n

iii xx

1



)(# xxii

2)

3)

)()()(,ˆ ### yxxxyxxVyxni iii

)()(ˆ ## xxxxxni ii TV

Souřadnicové funkcionály mají vlastnosti lineárních zobrazení (podrobně viz následující přednáška)

)()(

)()()(

xfxf

yfxfyxf

Příklad ve standardní bázi R2 na vektorech u = (3,3), v = (-1,6)

213)6,1()3,3()()(

2)9,2()6,1()3,3()(#1

#1

#1

#1

#1

#1

#1

eeveue

eevue

33)3,3()(

3)3,3()3,3().(#1

#1

#1

#1

#1

eue

eeue

Toto platí pro všechny vektory, báze a prostory.

Souřadnice


n

iii xx

1



)(# xxii

4) ijji xxnji )(ˆ, #

Každý bazický vektor lze z báze nakombinovat pomocí jedné jedničky a n-1 nul:

neeeeeeee 0010000 6543215

0)( 5#1 ee

0)( 5#2 ee

0)( 5#3 ee

0)( 5#4 ee

1)( 5#5 ee

0)( 5#6 ee

0)( 5# een

Souřadnice

Zvolíme-li bázi, pak se nám operace s jakýmkoliv vektorovým prostorem redukují na operace s n-ticemi číslic – souřadnicemi. To znamená, že všechny vektorové prostory o shodné konečné dimenzi a s tělesem T jsou v algebře ekvivalentní s prostorem Tn.

Souřadnice

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 151412 13

12345678

123

2

(2,4)

(4,2)

(6,6)

Věta 6 zajišťuje, že můžeme používat podobné nákresy jako tento. Předpokládáme při nich automaticky, že souřadnice v obou prostorech jsou ve standardních bázích.

Shrnutí

• Číselné těleso, vektorový prostor, jeho operace a axiomy

• Vlastnosti vektorového prostoru plynoucí přímo z axiomů

• Základní vektorové prostory (n-tic, matic, polynomů, šipek)

• Lineární kombinace

• Lineární obal a jeho vlastnosti

• Lineární závislost a nezávislost

• Kritéria LN, LZ

• Báze a dimenze vektorového prostoru

• Dimenze a standarní báze základních vektorových prostorů

• Kroneckerovo delta

• Souřadnice a souřadnicový funkcionál

Documents

Číselné těleso