11/24/2014

1

TKS 4008 Analisis Struktur I

TM. XXII : METODE CROSS

Dr.Eng. Achfas Zacoeb, ST., MT.

Jurusan Teknik Sipil

Fakultas Teknik

Universitas Brawijaya

Outline Metode Distribusi

Momen

Momen Primer

(M’ij)

Faktor Kekakuan

(Kij)

Faktor Distribusi

(FDij)

Tabel Distribusi

Momen (Cross)

11/24/2014

2

Pendahuluan

• Pertama kali diperkenalkan oleh Hardy Cross (1993)

dalam bukunya yang berjudul Analysis of Continuous

Frames by Distributing Fixed End Moments.

• Sebagai penghargaan, metode distribusi momen juga

dikenal dengan metode Cross.

• Salah satu metode yang digunakan dalam analisis

struktur balok dan portal statis tak tentu.

Pendahuluan (lanjutan)

Metode distribusi momen didasarkan pada asumsi sebagai

berikut :

1. Perubahan bentuk (deformasi) akibat gaya normal dan

gaya geser diabaikan, sehingga panjang batang-

batangnya tidak berubah (konstan).

2. Semua titik simpul (buhul) dianggap kaku sempurna.

11/24/2014

3

Pendahuluan (lanjutan)

• Proses analisis dilakukan dengan distribusi momen dan

induksi (carry over) terhadap momen primer (fixed end

moment) sebanyak beberapa putaran (iterasi) sehingga

diperoleh keseimbangan di setiap titik simpul.

• Hal ini dilakukan karena momen primer yang bekerja

di setiap simpul suatu struktur tidak sama besar

nilainya, sehingga simpul dalam keadaan tidak

seimbang.

Pendahuluan (lanjutan)

• Untuk mencapai kondisi seimbang, simpul melakukan

perputaran sehingga momen primer di masing-masing

simpul sama dengan nol.

• Proses distribusi dan induksi secara manual biasanya

dilakukan sebanyak 4 putaran (iterasi), sehingga semua

simpul dianggap sudah dalam keadaan seimbang atau

mendekati nol.

11/24/2014

4

Definisi

Ada beberapa definisi yang digunakan dalam metode

distribusi momen, yaitu :

1. Momen Primer (M’ij)

2. Faktor Kekakuan (Kij) dan Momen Induksi (MIij)

3. Faktor Distribusi (FDij)

M’ij

1. Momen Primer

• Momen primer adalah momen yang terjadi pada

ujung batang sebagai akibat dari beban-beban yang

bekerja di sepanjang batang.

• Besarnya momen primer sama dengan momen jepit

(momen reaksi) dengan tanda atau arah yang

berlawanan (dengan kata lain, momen jepit atau

momen rekasi merupakan kebalikan dari momen

primer dan disebut juga dengan momen perlawanan).

11/24/2014

5

M’ij (lanjutan)

• Momen primer biasanya digambarkan melengkung ke

luar pada bagian dalam ujung batang dengan arah

tertentu sesuai dengan pembebanan.

• Arah momen primer didasarkan pada kecenderungan

melenturnya batang (seolah-olah batang akan patah

akibat momen yang bekerja di ujung batang), untuk

lebih jelasnya dapat dilihat pada Gambar 1.

M’ij (lanjutan)

Gambar 1. Momen Primer dan Momen Reaksi

11/24/2014

6

Kij

2. Faktor Kekakuan dan Momen Induksi

• Untuk mengetahui faktor kekakuan dan momen

induksi, dapat diuraikan berdasarkan persamaan

slope deflection (sudut kemiringan lendutan) pada

masing-masing jenis batang seperti ditunjukkan pada

Gambar 2 untuk kondisi jepit-jepit dan Gambar 3

untuk kondisi jepit-sendi.

Kij (lanjutan)

Gambar 2. Batang Jepit-Jepit

11/24/2014

7

Kij (lanjutan)

• Gambar 2, batang prismatis AC dengan tumpuan

jepit-jepit.

• Di ujung A (simpul) bekerja momen distribusi momen

sebesar MAC dengan sudut kemiringan lendutan

sebesar A.

• Sedangkan ujung B (tumpuan jepit) berhak menerima

momen induksi sebesar MCA dengan arah yang sama.

• Sehingga diperoleh persamaan :

A2 - A1 = A dan C2 - C1 = 0

Kij (lanjutan)

• Akibat pengaruh momen distribusi MAC akan

menimbulkan rotasi dengan sudut kemiringan lendutan

pada kedua ujung batang sebesar :

𝛉𝐀𝟏 =𝐌𝐀𝐂𝐋𝐀𝐂

𝟑𝐄𝐈 dan 𝛉𝐂𝟏 =

𝐌𝐀𝐂𝐋𝐀𝐂

𝟔𝐄𝐈

• Selanjutnya pengaruh momen induksi MCA akan

menimbulkan rotasi dengan sudut kemiringan lendutan

pada kedua ujung batang sebesar :

𝛉𝐀𝟐 =𝐌𝐂𝐀𝐋𝐀𝐂

𝟔𝐄𝐈 dan 𝛉𝐂𝟐 =

𝐌𝐂𝐀𝐋𝐀𝐂

𝟑𝐄𝐈

11/24/2014

8

Kij (lanjutan)

• Dengan demikian :

C2 - C1 = 0

𝐌𝐂𝐀𝐋𝐀𝐂

𝟑𝐄𝐈−

𝐌𝐀𝐂𝐋𝐀𝐂

𝟔𝐄𝐈= 𝟎 → 𝐌𝐂𝐀 =

𝟏

𝟐𝐌𝐀𝐂

A1 - A2 = A

𝐌𝐀𝐂𝐋𝐀𝐂

𝟑𝐄𝐈−

𝐌𝐂𝐀𝐋𝐀𝐂

𝟔𝐄𝐈= 𝛉𝐀

𝐌𝐀𝐂𝐋𝐀𝐂

𝟑𝐄𝐈−

𝐌𝐀𝐂𝐋𝐀𝐂

𝟏𝟐𝐄𝐈= 𝛉𝐀

𝟑𝐌𝐀𝐂𝐋𝐀𝐂

𝟏𝟐𝐄𝐈= 𝛉𝐀 → 𝐌𝐀𝐂 =

𝟒𝐄𝐈

𝐋𝐀𝐂𝛉𝐀

Kij (lanjutan)

• Jika A = 1 rad, maka :

𝐌𝐀𝐂 =𝟒𝐄𝐈

𝐋𝐀𝐂

• Nilai momen ini disebut kekakuan batang AC yang

diberi notasi KAC.

• Dengan demikian kekakuan batang untuk tumpuan

jeit-jepit dapat dihitung dengan rumus :

𝐊𝐢𝐣 =𝟒𝐄𝐈

𝐋𝐢𝐣

11/24/2014

9

Kij (lanjutan)

Gambar 3. Batang Jepit-Sendi

Kij (lanjutan)

• Gambar 3, batang prismatis AD dengan tumpuan

jepit-sendi.

• Di ujung A (simpul) bekerja momen distribusi momen

sebesar MAD dengan sudut kemiringan lendutan

sebesar A.

• Sedangkan ujung D tidak berhak menerima momen

induksi karena tumpuan sendi atau MDA = 0.

• Sehingga diperoleh persamaan :

A2 - A1 = A

11/24/2014

10

Kij (lanjutan)

• Akibat pengaruh momen distribusi MAD akan

menimbulkan rotasi dengan sudut kemiringan lendutan

pada ujung batang A sebesar :

𝛉𝐀 =𝐌𝐀𝐃𝐋𝐀𝐃

𝟑𝐄𝐈

• Jika A = 1 rad, maka :

𝐌𝐀𝐃 =𝟑𝐄𝐈

𝐋𝐀𝐃

• Nilai momen ini disebut kekakuan batang AD yang

diberi notasi KAD.

Kij (lanjutan)

• Dengan demikian kekakuan batang untuk tumpuan

jepit-sendi dapat dihitung dengan rumus :

𝐊𝐢𝐣 =𝟑𝐄𝐈

𝐋𝐢𝐣

Sehingga dapat disimpulkan bahwa :

1. Kekakuan batang dengan tumpuan jepit-jepit adalah :

𝐊 =𝟒𝐄𝐈

𝐋.

2. Kekakuan batang dengan tumpuan jepit-sendi adalah :

𝐊 =𝟑𝐄𝐈

𝐋.

11/24/2014

11

FDij

3. Faktor Distribusi

• Jika pada struktur portal bekerja momen primer

sebesar M’ di simpul A (lihat Gambar 4), maka

masing-masing ujung batang simpul A akan terjadi

distribusi momen sebesar MAB, MAC, dan MAD

dengan arah berlawanan dengan momen primer M’.

• Hal ini akibat simpul A dianggap kaku sempurna

(perfect rigid), sehingga batang-batang berputar

menurut garis elastisnya untuk mendapatkan kondisi

keseimbangan (equilibrium).

FDij

• Untuk mencari besarnya faktor distribusi dan momen

distribusi dapat dihitung berdasarkan Gambar 4.

Gambar 4. Distribusi Momen

11/24/2014

12

FDij (lanjutan)

Dari Gambar 4 :

• Pada batang AB terjadi rotasi sebesar A akibat

pengaruh MAB.

• Pada batang AC terjadi rotasi sebesar A akibat

pengaruh MAC.

• Pada batang AD terjadi rotasi sebesar A akibat

pengaruh MAD.

• Jadi keseimbangan simpul A adalah :

M’ = MAB + MAC + MAD

FDij (lanjutan)

Jika KAB, KAC, dan KAD merupakan faktor kekakuan

masing-masing batang AB, AC, dan AD, maka :

MAB = KABA ; MAC = KACA ; MAD = KADA

Jadi :

𝐌′ = 𝐊𝐀𝐁 + 𝐊𝐀𝐂 + 𝐊𝐀𝐃 𝛉𝐀

𝐌′ = 𝐊𝐀 𝛉𝐀

𝛉𝐀 =𝐌′

𝐊𝐀

11/24/2014

13

FDij (lanjutan)

Dengan demikian akan diperoleh :

𝐌𝐀𝐁 =𝐊𝐀𝐁

𝐊𝐀𝐌′

𝐌𝐀𝐂 =𝐊𝐀𝐂

𝐊𝐀𝐌′

𝐌𝐀𝐃 =𝐊𝐀𝐃

𝐊𝐀𝐌′

FDij (lanjutan)

Sehingga dapat disimpulkan bahwa :

1. Faktor distribusi (FD) adalah perbandingan kekakuan

batang (K) dengan kekakuan batang total di titik

simpul (K).

𝐅𝐃 =𝐊

𝐊

2. Momen distribusi (MD) adalah hasil perkalian faktor

distribusi (FD) dengan momen primer (M’).

MD = M’FD

11/24/2014

14

Prosedur

Langkah-langkah analisis struktur dengan metode Cross :

1. Carilah momen primer, M’ untuk masing-masing

bagian batang.

2. Tentukan faktor kekakuan, K (stiffness factor).

3. Tentukan faktor distribusi, FD (distribution factor).

4. Buat tabel Cross.

5. Sebagai kontrol, momen pada satu titik berlawanan

tanda atau jumlahnya sama dengan 0.

Prosedur (lanjutan)

6. Pada penggambaran bidang momen, tanda

penggambaran berlawanan dengan hasil perhitungan

momen untuk sebelah kiri titik dukung.

7. Sedangkan untuk daerah momen sebelah kanan titik

dukung , pada gambar selalu bertanda sama dengan

hasil perhitungannya.

11/24/2014

15

Contoh

Diketahui struktur balok menerus 3 bentang seperti pada

gambar berikut :

Contoh (lanjutan)

1. Momen Primer :

𝐌𝐀𝐁 = −𝐌𝐁𝐀

=𝟏

𝟏𝟐𝐪𝐋𝟐 =

𝟏

𝟏𝟐𝟒. 𝟔𝟐 = 𝟏𝟐 kNm

𝐌𝐁𝐂 = −𝐌𝐂𝐁

=𝐏𝐚𝐛𝟐

𝐋𝟐+

𝟏

𝟏𝟐𝐪𝐋𝟐 +

𝐏𝐚𝟐𝐛

𝐋𝟐

=𝟒.𝟑.𝟗𝟐

𝟏𝟐𝟐+

𝟏

𝟏𝟐𝟏. 𝟏𝟐𝟐 +

𝟒.𝟑𝟐.𝟗

𝟏𝟐𝟐= 𝟐𝟏 kNm

𝐌𝐂𝐃 =𝐏𝐚 𝐋𝟐−𝐚𝟐

𝟐𝐋𝟐=

𝟏𝟎.𝟔 𝟗𝟐−𝟔𝟐

𝟐.𝟗𝟐= 𝟏𝟑, 𝟑𝟑 kNm

11/24/2014

16

Contoh (lanjutan)

2. Faktor Kekakuan dan Faktor Distribusi :

Simpul B

• Kekakuan batang :

𝐊𝐁𝐀 =

𝟒𝐄𝐈

𝐋=

𝟒𝐄𝐈

𝟔= 𝟎, 𝟔𝟕𝐄𝐈

𝐊𝐁𝐂 =𝟒𝐄𝐈

𝐋=

𝟒𝐄𝐈

𝟏𝟐= 𝟎, 𝟑𝟑𝐄𝐈

𝐊𝐁 = 𝟏𝐄𝐈

Faktor distribusi :

𝐅𝐃𝐁𝐀 =

𝐊𝐁𝐀 𝐊𝐁

=𝟎,𝟔𝟕𝐄𝐈

𝟏,𝟎𝟎𝐄𝐈= 𝟎, 𝟔𝟕

𝐅𝐃𝐁𝐂 =𝐊𝐁𝐂 𝐊𝐁

=𝟎,𝟑𝟑𝐄𝐈

𝟏,𝟎𝟎𝐄𝐈= 𝟎, 𝟑𝟑

𝐅𝐃𝐁 = 𝟏

Contoh (lanjutan)

Simpul C

• Kekakuan batang :

𝐊𝐂𝐁 =

𝟒𝐄𝐈

𝐋=

𝟒𝐄𝐈

𝟏𝟐= 𝟎, 𝟑𝟑𝐄𝐈

𝐊𝐂𝐃 =𝟑𝐄𝐈

𝐋=

𝟑𝐄𝐈

𝟗= 𝟎, 𝟑𝟑𝐄𝐈

𝐊𝐂 = 𝟎, 𝟔𝟔𝐄𝐈

• Faktor distribusi :

𝐅𝐃𝐂𝐁 =

𝐊𝐂𝐁 𝐊𝐂

=𝟎,𝟑𝟑𝐄𝐈

𝟎,𝟔𝟔𝐄𝐈= 𝟎, 𝟓

𝐅𝐃𝐂𝐃 =𝐊𝐂𝐃 𝐊𝐂

=𝟎,𝟑𝟑𝐄𝐈

𝟎,𝟔𝟔𝐄𝐈= 𝟎, 𝟓

𝐅𝐃𝐂 = 𝟏

11/24/2014

17

Contoh (lanjutan)

3. Distribusi Momen • Untuk mendapatkan kondisi seimbang, dilakukan distribusi

momen pada masing-masing simpul dengan bantuan tabel

(Tabel Cross).

• Diusahakan Tabel Cross dibuat sedemikian rupa sesuai

kebutuhan (penempatan titik simpul dan batang dengan posisi

yang tepat pada tabel), sehingga memudahkan proses

distribusi dan induksi momen.

• Posisi batang yang sejenis sedapat mungkin diusahakan

berdampingan agar tidak menyulitkan proses induksi.

• Dalam hal ini, proses distribusi dan induksi momen cukup

dilakukan hingga 4 kali iterasi dengan hasil mendekati nol.

Contoh (lanjutan)

4. Tabel Cross

11/24/2014

18

Contoh (lanjutan)

5. Bidang M, D, dan N Untuk mendapatkan gambar bidang M, D, dan N, maka perlu

dibuat diagram badan bebas (free body diagram) dari momen

reaksi yang sudah didapat.

Terima kasih atas Perhatiannya!