TỔNG HỢP CÁCH GIẢI QUYẾT CÁC BÀI TOÁN SỐ PHỨC DƯỚI SỰdiendanmaytinhcamtay.vn/wp-content/uploads/2019/03/tong-hop-so-phuc.pdf · 1.SƠ LƯỢC CÁC TÍNH NĂNG

1

Chuyên trang chia sẻ tài liệu ứng dụng máy tính cầm tay

TỔNG HỢP CÁCH GIẢI QUYẾT CÁC BÀI TOÁN SỐ PHỨC DƯỚI SỰ

HỖ TRỢ CỦA CASIO fx- 580 VNX

MỤC LỤC

1. Sơ lược các tính năng số phức trên casio fx- 580 vnx ...................................................................... 1

i.Hiển thị số phức trên máy tính Casio fx 580 vnx: .............................................................................. 1

ii. Tìm số phức liên hợp z của số phức z ....................................................................................... 2

iii. Tìm phần thực và phần ảo của số phức ........................................................................................ 2

2. Các phép toán cơ bản về số phức ....................................................................................................... 3

3. Căn bậc hai của số phức và phương trình nghiệm phức ................................................................. 6

4. Đường thẳng biểu diễn tập hợp số phức ......................................................................................... 11

5. Tập hợp điểm biểu diễn số phức liên quan đến đường tròn ......................................................... 13

6. Cực trị trên tập số phức ................................................................................................................... 17

7. Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của hàm số bậc 3 ................................................................ 22

8. Ứng dụng số phức vào phép tịnh tiến trong mặt phẳng ................................................................ 24

9. Ứng dụng số phức vào phép đối xứng trục và đối xứng tâm trong mặt phẳng ........................... 27

1. SƠ LƯỢC CÁC TÍNH NĂNG SỐ PHỨC TRÊN CASIO fx- 580 VNX

i. Hiển thị số phức trên máy tính Casio fx 580 vnx:

Để có thể thực hiện các phép tính số phức trên máy tính Casio fx 580vnx ta phải chuyển máy về

chế độ COMPLEX bằng cách bấm w2

Có 2 cách hiển thị số phức qwR2

Hiển thị số phức dạng hình chữ nhật: a bi+

Hiển thị số phức dạng lượng giác: r

2


Để có cái nhìn tổng quan và cụ thể hơn về các cách hiển thị số phức trên Casio fx 580 vnx, bạn đọc

có tham khảo thêm video sau: link

ii. Tìm số phức liên hợp z của số phức z

Chọn T2và nhập số phức z

Ví dụ

iii. Tìm phần thực và phần ảo của số phức

Tính năng tìm - lưu phần thực và phần ảo của số phức trong chế độ COMPLEX w2là một tính năng

mới của fx 580 vnx so với các dòng máy tính trước đây.

Trong chế độ COMPLEX, bấm T3 để tìm phần thực

và T4để tìm phần ảo

Để có thêm các ví dụ cụ thể về vấn đề tìm phần thực và phần ảo của số phức bạn đọc có thể xem

thêm video sau: Link

Đặc biệt Casio fx 580 vnx có thể lưu được phần thực và phần ảo của một số phức ra các biến nhớ-

một tính năng mới so với các dòng máy trước đây

iv. Chuyển đổi số phức – Lượng giác

Máy tính Casio fx 580 vnx hỗ trợ người dùng về hai tính năng chuyển đổi số phức

Để thực hiện tính năng này ta bấm TR, khi đó xuất hiện hai tính năng chuyển đổi:

Ví dụ 1: Chuyển số phức 1z i= + về tọa độ lượng giác

https://www.youtube.com/watch?v=SG_Y0DD98Mk

https://www.youtube.com/watch?v=IgkxmYqoF2E

3


Chuyển về Rađian

Suy ra: 1 2 cos sin4 4

i i

+ = +

Ví dụ 2: Chuyển số phức 2 cos sin4 4

z i

= +

về tọa độ Descartes

Để có cái nhìn trực quan hơn về vấn đề chuyển đổi số phức- lượng giác, bạn đọc có thể xem video

sau: Link

2. CÁC PHÉP TOÁN CƠ BẢN VỀ SỐ PHỨC

Bài toán 2.1 Hai số thực ,x y thỏa mãn ( ) ( )2

2 1 2 3 7x y i y i i− + − = + lần lượt là:

A. 2x = và 1y = −

B. 1x = − và 1y =

C. 1x = − và 2y =

D. 1x = và 1y = −

Hướng dẫn giải

Khai triển:

( ) ( )2

2 1 2 3 7x y i y i i− + − = +

https://www.youtube.com/watch?v=bu035osckU0&t=72s

4


( )

( )

2 4 4 3 7

3 2 5 3 7

3 3

2 5 7

1

1

x y i y yi y i

y x y i i

y

x y

y

x

− + − − = +

− + − = +

− =

− =

= −

=

Đáp án D

Bài toán 2.2 Tìm số phức z thõa 2 3 5 4z i z z z+ − = +

A. 3

2z i=

B. 3

2z i

−=

C. 3

2z =

D. 3

2z i= +


Ta có: 2 3 5 4z i z z z+ − = + 3 5 3z z i + =

Đặt 3a = ; 5b = và 3c i= .

Ta xét hệ phương trình: . .

. .

a z b z c

a z b z c

+ =

+ = ta có

2 2

. .c a c bz

a b

−=

−

Đáp án B

Bài toán 2.3 Cho số phức z thõa mãn điều kiện ( ) ( )3 2 2 4 4i z i z z i z+ + − + = + − có phần thực

bằng bao nhiêu?

A. 4

3

5


B. 4

3

−

C. 8

9

D. 8

9

−


Ta có:

( ) ( )

( ) ( )

3 2 2 4 4

2 2 3 4 4

i z i z z i z

i z i z i

+ + − + = + −

+ + − = − +

Đặt 2 2a i= + ; 3b i= − và 4 4c i= − +

Ta xét hệ phương trình: . .

. .

a z b z c

a z b z c

+ =

+ = ta có

2 2

. .c a c bz

a b

−=

−

Như vậy phần thực của z bằng:

Đáp án C

Bài toán 2.4 Cho số phức ( ) ( )2

3 2 1z i i= − + . Tính Môđun của số phức iz z+

A. 2

B. 2 2

C. 2

D. 1


Để việc bấm máy trở nên đơn giản và ít xảy ra sai sót ta nên gán ( )( )2

3 2 1A z i i= = − +

Nhập phép tính vào máy tính Casio fx 580 vnx:

6


Đáp án B

Bài toán 2.5 Tìm số phức z thỏa điều kiện 3z i

z i

−

+ là số thuần ảo với 5z =

A. 2z i= − +

B. 2z i= +

C. Cả A và B đều sai

D. Cả A và B đều đúng


Kiểm tra các đáp án 2z i= − + và 2z i= +

• 2z i= − +

Ta có ( )

( )

23

2

i iz ii

z i i i

− + +−= =

+ − + +

và 5z =

Suy ra 2z i= − + thõa yêu cầu bài toán

• 2z i= +

và

Suy ra 2z i= + thõa yêu cầu bài toán

Đáp án D

3. CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC VÀ PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM PHỨC

7


Bài toán 3.1 Tìm tham số m để phương trình ( ) ( )22 1 2 0z m z m+ − + − = có nghiệm

1 5

2 2z i= +

A. 2m= −

B. 1m=

C. 1m = −

D. 0m =


Chuyển máy tính về phương thức COMPLEX w2

Thay 1 5

2 2z i= + vào phương trình ( )22 1 3 0z m z+ − + = ta được

( )

2

1 5 1 52 1 3 0

2 2 2 2i m i

+ + − + + =

Suy ra:

2

1 53 2

2 21 1

1 5

2 2

i

m

i

− − +

= + = −

+

Đáp án C

Bài toán 3.2 Cho số phức 2 3z i= + và w x yi= + là một trong hai căn bậc 2 của z . Tính

4 4x y+

A. 17

2

B. 17

4

C. 8

D. 9

8



Sử dụng máy tính Casio fx 580 vnx tìm căn bậc hai của 2 3z i= + và lưu vào A

Tìm và lưu phần thực, phần ảo của z vào các ô nhớ B, C

Vậy ta tìm được 4 4x y+

Bình luận: Bên cạnh việc sử dụng các tính năng của máy tính Casio fx 580vnx chúng ta có thể sử

dụng tính chất của số phức để giải nhanh bài toán trên

Ta có w x yi= + là căn bậc 2 của 2 3z i= + . Suy ra

2 2 2

2 3

x y

xy

− =

=

Vậy: ( )2

24 4 2 2 2 2 2 3 17

2 2 22 2

x y x y x y

+ = − + = + =

Bài toán 3.3 Gọi 1 2 3 4, , ,z z z z là 4 nghiệm của phương trình. Tính giá trị

1 2 3 4T z z z z= + + +

A. 2 2 3+

B. 2 2 3−

C. 2 3+

D. 2 3−

9


Bình luận. So với các dòng Casio 570VN plus, máy tính Casio fx 580 vnx đã nâng cấp bổ sung

thêm tính năng giải phương trình bậc 4 và lưu nghiệm tìm được vào các ô nhớ của máy. Điều này

giúp chúng ta thuận lợi hơn rất nhiều khi giải quyết các bài toán liên quan đến phương trình bậc 4

nghiệm phức


Sử dụng Casio fx 580 vnx để giải và lưu các nghiệm của phương trình bậc 4 vào ô nhớ A, B, C và

D: 4 3 23 6 5 3 0x x x x− + − + =

Như vậy ta có 1 2 3 4T z z z z A B C D= + + + = + + +

Đáp án A

Bài toán 3.4 Giải phương trình ( )2 8 1 63 16 0z i z i− − + − =

A. 5 12i− và 3 4i+

B. 5 12i+ và 3 4i−

C. 5 12i− và 3 4i−

D. 5 12i+ và 3 4i+


Lưu các giá trị 1; 8 8 ; 63 16a b i c i= = − + = − vào các ô nhớ

Tính

10


2 4 252 64b ac i = − = − − 2 16i = −

Vậy phương trình trên có 2 nghiệm

Đáp án A

Bài toán 3.5 Tìm số phức A để phương trình 2 3 0z Az i+ + = có tổng bình phương hai nghiệm

bằng 8

A. 3A i= + và 3A i= − −

B. 2 2A i= − + và 2 2A i= − −

C. 1 2A i= + và 1 2A i= − −

D. 1 3A i= + và 1 3A i= − +


Áp đụng định lý Vi-et vào phương trình 2 3 0z Az i+ + = ta có:

1 2z z A+ = − và 1 2 3z z i=

Suy ra: 2 2

1 2 8z z+ = ( )2

1 2 1 22 8z z z z + − = 2 6 8A i − = 8 6A i = +

Để tìm căn bậc 2 của số phức 8 6i+ trên máy tính Casio fx 580 vnx ta có 2 cách sau:

Cách 1: Các phép toán trong phương thức COMPLEX w2

sq(8+6b$$qbaT18+6b)R2=

Vậy ( )8 6 3A i i= + = +

Cách 2: Sử dụng tính năng của các phím bấm Pol và Rec trên w1

11


Như vậy ta có 3A i= + và 3A i= − −

4. ĐƯỜNG THẲNG BIỂU DIỄN TẬP HỢP SỐ PHỨC

Bài toán 4.1 Tập hợp các điểm trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn các số phức z thõa mãn điều kiện

sau: 1 2 1z i z i− + = + −

A. 4 1 0x y+ − =

B. 4 1 0x y+ − =

C. 4 2 3 0x y+ − =

D. 2 4 3 0x y+ − =


Dựa vào các đáp án ta nhận thấy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là một đường thẳng có

dạng: 0ax by c+ + = và trong bài toán này chúng tôi sẽ đưa ra 3 cách giải quyết dưới sự hỗ trợ

của Casio fx 580vnx

Cách 1: Giải hệ phương trình

Ta có: 1 2 1z i z i− + = + − 2 2

1 2 1z i z i − + = + −

Đặt ( )2 2

1 2 1f z z i z i= − + − + −

Nhập vào máy tính biểu thức: 2 2

1 2 1z i z i− + − + −

và dùng lệnh r để tính ( )0f ; ( )1f và ( )f i

12


( )

( )

( )

0 3

1 1

1

f

f

f i

= −

=

= −

3

1

1

c

a c

b c

= −

+ = + = −

3

4

2

c

a

b

= −

= =

Suy ra phương trình đường thẳng cần tìm là 4 2 3 0x y+ − =

Chọn đáp án C

Bình luận

Phương pháp làm trên thường được áp dụng để xác định phương trình đường thẳng đối với các bài

toán có dạng ( ) ( )1 2g z g z= (với ( )1g z và ( )2g z là hàm số bậc 1)

Tổng quát phương pháp:

• Nhập vào máy tính hàm số: ( ) ( ) ( )2 2

1 2f z g z g z= −

• Dùng lệnh rđể tính ( )0f , ( )1f và ( )f i và giải hệ phương trình

( )

( )

( )

0

1

c f

a c f

b c f i

=

+ =

+ =

tìm các

tham số , , ca b

• Tìm được đường thẳng 0ax by c+ + =

Cách 2: Bên cạnh phương pháp giải hệ phương trình Cách 1, chúng ta có thể sử dụng lệnh r

Nhập vào máy tính biểu thức: 2 2

1 2 1A Bi i A Bi i+ − + − − + −

Sử dụng phím r để thử các đáp án

13


Đáp án A

Chọn 1A = và 3B = −

LOẠI

Đáp án B

Chọn 3A= − và 1B =

LOẠI

Đáp án C

Chọn 1A = và 1

2B = −

NHẬN

Đáp án D

Chọn 1

2A = − và 1B =

LOẠI

Chọn đáp án C

Cách 3: Nhập vào máy tính biểu thức: 2 2

1 2 1A Bi i A Bi i+ − + − − + −

r 10000A= và 100B =

Phân tích 40197 theo 10000x = và 100y = như sau: 40197 40000 200 3 4 2 3x y= + − = + −

Chọn Đáp án C

5. TẬP HỢP ĐIỂM BIỂU DIỄN SỐ PHỨC LIÊN QUAN ĐẾN ĐƯỜNG TRÒN

Tổng hợp một số công thức tính nhanh

1. Cho 1z và số phức z thỏa 1z z R− = . Khi đó, tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là

đường tròn ( )1;I R với 1I là điểm biểu diễn số phức

1z trên mặt phẳng tọa độ Oxy

2. Cho 1 2,z z và số phức z thỏa 1z z R− = . Khi đó:

14


a. Tập hợp điểm biểu diến số phức 1 2w z z= là đường tròn bán kính R và tâm là điểm biểu

diễn 1 2z z+

b. Tập hợp điểm biểu diến số phức 2 2w zz= là đường tròn bán kính

2R z và tâm là điểm biểu

diễn 1 2z z

c. Tập hợp điểm biểu diến số phức 3

2

zw

z= là đường tròn bán kính

2

R

z và tâm là điểm biểu

diễn 1

2

z

z

3. Cho 1 2 3, ,z z z và số phức z thỏa

1z z R− = . Khi đó, tập hợp các điểm biểu diễn số phức

2 3w z z z= + là đường tròn bán kính 2R z và tâm là điểm biểu diễn của số phức

2 1 3z z z+

Bài toán 5.1 Cho số phức z thỏa mãn 5z i+ = . Biết tập hợp các điểm biểu diễn số phức

2 3

zw

i=

− là một đường tròn. Tìm tâm và bán kính r của đường tròn đó

A. 3 2 5

; ,13 13 13

I r

=

B. 3 2 5

; ,13 13 13

I r

− =

C. 3 2 5

; ,13 13 13

I r − =

D. 3 2 5

; ,13 13 13

I r − − =


Theo đề bài ta có: 5z i+ = suy ra 1z i= − và 5R =

Đặt 2 2 3z i= − . Khi đó: 1

2

3 2

2 3 13 13

z ii

z i

−= = −

− và

2

5 5 13

2 3 13

Rr

z i= = =

−

15


Vậy hợp các điểm biểu diễn số phức 2 3

zw

i=

− là một đường tròn tâm

3 2;

13 13I

−

và bán kính

bằng 5 13

13

Đáp án B

Bài toán 5.2 Cho số phức z thỏa mãn 1z = . Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các số phức

( )3 4 3w i z i= + + là một đường tròn. Tìm tâm và bán kính đường tròn đó

A. ( )0;3I và 4R =

B. ( )1;3I và 5R =

C. ( )0;3I và 5R =

D. ( )1;3I và 4R =


Theo đề bài ta có: 1z = suy ra 1 0z = và 1R =

Đặt 2 3 4z i= + và

3 3z i= suy ra 2 1 3 3z z z i+ = và

2 3 4 5r R z i= = + =

Khi đó, tập hợp các điểm biểu diễn số phức 2 3w z z z= + là đường tròn bán kính bằng 5 và tâm

( )0;3I

Đáp án C

Bài toán 5.3 Cho số phức z thỏa 2 1 2z i− − = . Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của 1 3z i− + lần

lượt bằng

16


A. 5

max2

= và min 1=

B. max 3= và 1

min2

=

C. 5

max2

= và 1

min2

=

D. max 3= và min 1=


Ta có: ( )2 1 2 1 2 2z i z i− − = − + = ( )1 2 2z i − + = ( )1 2 2z i − − =

Suy ra tập hợp các điểm z là đường tròn tâm ( )1 1; 2I − bán kính 2R =

Đặt 1 3w z i= − + ,1 1 2z i= − và

2 1 3z i= − +

Khi đó 1 2z z i+ =

Suy ra tập hợp các điểm biểu diễn số phức 2w z z= + là đường tròn bán kính bằng 2r R= = và

tâm ( )0;1I

Vậy max

1 2 3w OI r= + = + =

min1w IO r= − =

Bình luận

Khi tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I , bán kính R thì max

min

z IO R

z IO R

= +

= −

Bài toán 5.4 Tìm tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z thỏa ( )1z i i z− = +

A. Đường tròn ( )2 21 1x y+ + =

B. Đường tròn ( )2 21 1x y− + =

C. Đường tròn ( )22 1 2x y+ − =

D. Đường tròn ( )22 1 2x y+ + =


17


Đưa máy tính về phương thức COMPLEX w2

Nhập bài toán ( )( )1A Bi i i A Bi+ − − + + vào máy tính:

Sử dụng phím r để thử các đáp án

Đáp án A


LOẠI

Đáp án B

Chọn 1A = và 1B =

LOẠI

Đáp án C

Chọn 1A = và 2B =

LOẠI

Đáp án D


NHẬN

Chọn đáp án D

6. CỰC TRỊ TRÊN TẬP SỐ PHỨC

Bài toán 6.1 (THPT chuyên Biên Hòa- Hà Nam 2017) Cho số phức z thỏa mãn

2 4 2z i z i− − = − . Tìm số phức z có môđun nhỏ nhất

A. 2 2z i= −

B. 1z i= +

C. 1z i= −

D. 2 2z i= +


Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z

18


Đặt ( )2 2

2 4 2f z z i z i= − − − −

Sử dụng Casio fx 580vnx tính ( )0f ; ( )1f và ( )f i

• Chuyển máy tính về phương thức COMPLEX w2

• Nhập biểu thức 2 2

2 4 2z i z i− − − −

• r 0x = ; 1x = và x i=

Như vậy ta có:

( )

( )

( )

0 16

1 12

12

f

f

f i

=

=

=

16

12

12

c

a c

b c

=

+ = + =

16

4

4

c

a

b

=

= − = −

4 4 16 0x y− − + = hay 4 0x y+ − =

Suy ra tập hợp số phức z là đường thẳng 4x y+ =

Tìm số phức z thõa yêu cầu đề bài

Áp dụng bất đẳng thức Bunyakocsky ta có:

2 2 2 21 1 . x y x y+ + + 2 2 2 2x y +

Dấu " "= xảy ra khi và chỉ khi 4x y

x y

+ =

=

2

2

x

y

=

=

Vậy 2 2z i= +

Đáp án D

19


Bài toán 6.2 Cho số phức z thỏa mãn ( )( )2 2 5 1 2 1 3z z z i z i− + = − + − + . Tìm giá trị nhỏ nhất

của môđun số phức 1w z i= − +

A.

1

2 2

B. 1

2

C. 1

4

D. 1


Phương trình 2 2 5 0z z− + = có nghiệm

1 1 2z i= + và 2 1 2z i= −

Suy ra: ( )( )2 2 5 1 2 1 3z z z i z i− + = − + − +

( )( ) ( )( )1 2 1 2 1 2 1 3z i z i z i z i − − − + = − + − +

1 2 0

1 2 1 3

z i

z i z i

− + =

− − = − +

Trường hợp 1: 1 2 0z i− + = . Khi đó: 0w i+ = suy ra 1w =

Trường hợp 2: 1 2 1 3z i z i− − = − +

Ta có: 1 2 1 3z i z i− − = − +2 2

1 2 1 3 0z i z i − − − − + =

Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thõa 2 2

1 2 1 3 0z i z i− − − − + =

Đặt ( )2 2

1 2 1 3f z z i z i= − − − − +

Sử dụng rtính ( )0f ; ( )1f và ( )f i

20


Như vậy ta có:

( )

( )

( )

0 5

1 5

15

f

f

f i

= −

= −

= −

5

5

15

c

a c

b c

= −

+ = − + = −

5

0

10

c

a

b

= −

= = −

1

2y

− =

Suy ra: 12

iw x= − +

Khi đó: ( )2 2 1 1

14 4

w x= − +

min

1

2w = khi và chỉ khi 1x =

Từ trường hợp 1 và 2 ta có min

1

2w =

Đáp án B

Bài toán 6.3 Xét các số phức z thỏa mãn 2 4 7 6 2z i z i+ − + − − = . Gọi ,m M lần lượt là

GTNN và GTLN của 1z i− + . Tính P m M= +

A. 13 73+

B. 5 2 73+

C. 5 2 2 73

2

+

D. 5 2 73

2

+


Đặt z x yi= +

21


Ta có: 2 4 7 6 2z i z i+ − + − − =

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2

2 1 4 7 6 2x y x y + + − + − + − =

Theo bất đẳng thức Mincopxki ta có:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2

2 1 4 7 2 4 1 7 6 2x y x y x x y y+ + − + − + − + + − + − + − =

Dấu " "= xảy ra khi và chỉ khi

2 1

4 7

2;4

x y

x y

x

+ = −

− = −

−

3

2;4

y x

x

= +

−

Như vậy tập hợp số phức z thỏa điều kiện 2 4 7 6 2z i z i+ − + − − = là đoạn thẳng 3y x= +

với 2;4x −

Sử dụng tính năng TABLE để tìm GTLN và GTNN của 1z i− +

Ta có:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2

1 1 1 1 1 1 1 4z i x yi i x y i x y x x− + = + − + = − + + = − + + = − + + (thay

3y x= + )

Nhập hàm số ( ) ( ) ( )2 2

1 4f x x x= − + + và 2start = − ; 4end = và 6

29step =

Và bảng kết quả thu được là:

Theo bảng kết quả ta thấy ( ) ( )4 73M Maxf x f= = =

Kiểm tra giá trị của ( )f x với 52 40

;29 29

x− −

để tìm giá trị xấp xỉ ( )Minf x

Nhập hàm số ( ) ( ) ( )2 2

1 4f x x x= − + + và 52

29start = − ;

40

29end

−= và

12

841step =

22


( ) 3.535546003m Minf x=

Như vậy 12.07954975m M+

Đáp án: C

7. ĐƯỜNG THẲNG ĐI QUA HAI ĐIỂM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ BẬC 3

Tóm tắt cách thực hiện

Tính đạo hàm cấp 1 ( )y , cấp 2 ( )y và cấp 3 ( )y của hàm số ( ),y f x m=

Chuyển máy tính về chế độ số phức w2

Nhập vào máy tính công thức: ( )( ) ( )

( )

, ,,

3 3 ,

f x m f x my yy f x m

y f x m

− = −

Gán X i= (nếu bài toán có tham số thì gán 100m = )

Kết quả tìm được có dạng Ai B+ tương đương với phương trình y Ax B= +

Bài toán 7.1 Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của hàm số

3 23 2 3y x x x= − + +

A. 2 11y x= −

B. 2 11

3 3y x= −

C. 2 11

3 3y x= − +

D. 2 11y x= − +


Tìm đạo hàm cấp 1, cấp 2 và cấp 3 của hàm số: 23 6 2y x x = − + ; 6 6y x = − và 6y =

Sử dụng máy tính Casio fx 580vnx để thực hiện các bước sau:

23


• Chuyển máy tính về chế độ số phức w2

• Nhập vào máy tính công thức: ( )( )( )2

3 23 6 2 6 6

3 2 318

x x xx x x

− + −− + + −

• r X i= ta được kết quả sau

Vậy phương trình đường thẳng qua hai cực trị của hàm số là 2 11

3 3y x

−= +

Chọn đáp án C

Bài toán 7.2 Giả sử đồ thị của hàm số ( )3 23 3 6 1y x mx m x= − + + + có hai cực trị. Tìm phương

trình đường thẳng qua hai điểm cực trị

A. 22 6 1y x m m= + + +

B. ( )2 22 6 6 1y m m x m m= − − − + + +

C. 22 6 1y x m m= − + + +

D. ( )2 22 6 6 1y m m x m m= − − + + +


Tìm đạo hàm cấp 1, cấp 2 và cấp 3 của hàm số ( )23 6 3 6y x mx m = − + + ; 6 6y x m = − và

6y =

Sử dụng máy tính Casio fx 580vnx để thực hiện các bước sau:

• Chuyển máy tính về chế độ số phức w2

• Nhập vào máy tính biểu thức:

( ) 2

3 23 6 3 18 6 6

3 3 6 118

x mx m x mx mx m x

− + + − − + + + −

24


• r X i= và 100M = ta được kết quả sau

Phân tích kết quả:

( ) ( )2 210601 100 6 100 1 6 1M M= + + = + +

( ) ( )2 219788 20000 212 2 100 2 100 12 2 2 12M M= − = − − = − −

Vậy ta có phương trình đường thẳng cần tìm là: ( )2 22 6 6 1y m m x m m= − − − + + +

Đáp án B

8. ỨNG DỤNG SỐ PHỨC VÀO PHÉP TỊNH TIẾN TRONG MẶT PHẲNG

Bài toán 8.1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho vectơ ( )1; 2v = − . Tìm tọa độ ảnh của điểm

( )2; 3M − qua phép tịnh tiến vT

A. ( )3;5M

B. ( )3; 5M −

C. ( )5; 3M −

D. ( )5;3M −


Gọi M là ảnh của điểm M qua phép tịnh tiến vT

Ta có: 2 3

1 2

M

v

z i

z i

= −

= −

Suy ra M M vz z z = + ( ) ( )2 3 1 2i i= − + − 3 5i= −

25


Lưu ý Cho điểm ( );M x y là ảnh của ( );M x y qua phép tịnh tiến theo vectơ ( );v a b= . Gọi

Mz , Mz và

vz là dạng phức hóa của các điểm ,M M và v . Khi đó ta có: M M vz z z = +

Bài toán 8.2 Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng : 2 1 0d x y− + = . Để phép tịnh tiến theo v

biến đường thẳng d thành chính nó thì v phải là vectơ nào sau đây ?

A. ( )2;1v =

B. ( )2; 1v = −

C. ( )1;2v =

D. ( )1;2v = −


Ta có: 2 1 0x y− + = suy ra 1C = − và 2dnz i= −

Gọi ( )vd T d = khi đó phương trình d có dạng 2x y C− =

Ta có: ( )Re .dv nC C z z = + với .

dv nz C z z= +

Để ( )vd T d= thì ta tìm v sao cho 1C C = =

Thay lần lượt các đáp án của đề bài để tìm kết quả phù hợp

Đáp án A: ( )2;1v =

Suy ra

( )( )1 Re 2 2C i i = − + + −

LOẠI

Đáp án B: ( )2; 1v = −

Suy ra

( )( )1 Re 2 2C i i = − + − −

LOẠI

26


Đáp án C: ( )1;2v =

Suy ra

( )( )1 Re 1 2 2C i i = − + + −

NHẬN

Lưu ý Gọi d là ảnh của :d Ax By C+ = qua phép tịnh tiến theo vectơ ( );v a b= thì phương

trình đường thẳng d có dạng Ax By C+ = với ( )Re .v nC C z z = + và nz là dạng phức hóa của

của vectơ pháp tuyến đường thẳng d

Bài toán 8.3 Trong mặt phẳng Oxy , ảnh ( )C của đường tròn ( ) ( ) ( )2 2

: 2 3 9C x y+ + − = qua

phép tịnh tiến theo vectơ ( )1;3v = là đường tròn có phương trình:

A. ( ) ( )2 2

1 6 9x y+ + + =

B. ( ) ( )2 2

1 6 9x y+ + − =

C. ( ) ( )2 2

1 6 9x y− + + =

D. ( ) ( )2 2

1 6 9x y− + + =


Gọi I và R lần lượt là tâm và bán kính của đường tròn ( )C

Đường tròn ( )C có tâm ( )2;3I − và bán kính 4R =

Do ( )C là ảnh của ( )C qua phép tịnh tiến theo vectơ ( )1;3v = nên ta có: 3

I I v

R R

z z z

= =

= +

Ta có: I I vz z z = + ( ) ( )2 3 1 3i i= − + + + 1 6i= − +

1 6Iz i = − + ( )1;6I −

Vậy phương trình đường tròn ( )C là ( ) ( )2 2

1 6 9x y+ + − =

Đáp án B

27


Lưu ý Gọi đường tròn ( );C I R là ảnh của đường tròn ( );C I R qua phép tịnh tiến theo vectơ

( );v a b= khi đó ta có ( )v I I v

R R

I T I z z z

= = → = +

9. ỨNG DỤNG SỐ PHỨC VÀO PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC VÀ ĐỐI XỨNG TÂM TRONG

MẶT PHẲNG

Bài toán 9.1 Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng : 2 3 1 0d x y− + = . Gọi đường thẳng d là

ảnh của d qua phép đối xứng tâm ( )0; 2I − . Vậy phương trình đường thẳng d là:

A. 2 3 2 0x y− − =

B. 2 3 0x y− =

C. 2 3 5 0x y− + =

D. 2 3 11 0x y− + =


Theo giả thiết ta có:

• VTPT của đường thẳng d là ( )2; 3dn = − , suy ra 2 3dnz i= − và 1C =

• ( )0; 2I − dạng phức hóa của I là 2Iz i= −

Do d là ảnh của d qua phép đối xứng tâm I nên ta có ( )

( )

2; 3

Re 2 .d

d d

n I

n n

C z z C

= = −

= −

Sử dụng máy tính Casio để tìm ( )( )Re 2 2 3 2 1C i i = − − −

Vậy: : 2 3 11 0d x y − + =

Đáp án D

Bài toán 9.2 Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn ( ) ( ) ( )2 2

: 3 1 9C x y− + + = . Gọi đường tròn

( )C là ảnh của ( )C qua phép đối xứng tâm ( )1;2M . Vậy phương trình đường tròn ( )C là:

A. ( ) ( ) ( )2 2

: 1 5 9C x x + + − =

28


B. ( ) ( ) ( )2 2

: 2 3 9C x x + + − =

C. ( ) ( ) ( )2 2

: 2 3 9C x x − + + =

D. ( ) ( ) ( )2 2

: 2 4 9C x x − + − =


Đường tròn ( )C có tâm ( )3; 1I − và bán kính 3R =

Gọi I và R lần lượt là tâm và bán kính của ( )C

Do ( )C là ảnh của ( )C qua phép đối xứng tâm M nên ta có 3

2I M I

R R

z z z

= =

= −

2I M Iz z z = − ( ) ( )2 1 2 3i i= + − −

Suy ra ( )1;5I − . Vậy ( ) ( ) ( )2 2

: 1 5 9C x x + + − =

Đáp án A

Bài toán 9.3 Trong mặt phẳng Oxy cho điểm ( )1;3A − và đường thẳng : 2 0d x y− = . Tìm ảnh

A của điểm A qua phép đối xứng qua đường thẳng d

A. 9 12

;4 4

A −

B. 9 13

;5 5

A −

C. 3 4

;4 5

A−

D. 3 4

;4 5

A −


Ta có :

• VTPT của đường thẳng d là ( )1; 2n = − , suy ra 1 2nz i= −

29


• ( )1;3 1 3AA z i− = − +

Nhập vào máy tính: 2

.Re n A

n

z z C

z

+−

=( ) ( )

2

1 2 1 3Re

1 2

i Conjg i

i

− − +− −

( )Re z=

Gọi H là hình chiếu của A lên đường thẳng d . Khi đó ta có: ( ).ReH A nz z z z= +

Do H là trung điểm của đoạn AA nên 2A H Az z z = −

Vậy 9 13

;5 5

A −

Đáp án B

Bài toán 9.4 Trong mặt phẳng Oxy , cho đường tròn ( ) ( ) ( )2 2

: 2 3 13C x y− + + = . Phương trình

đường tròn ( )C là ảnh của đường tròn ( )C qua phép đối xứng trục : 0d x y+ =

A. ( ) ( )2 2

3 2 13x y− + + =

B. ( ) ( )2 2

3 2 13x y+ + − =

C. ( ) ( )2 2

3 2 13x x− + − =

D. ( ) ( )2 2

3 2 13x x+ + + =


Đường tròn ( )C có tâm ( )2; 3I − và bán kính 13R =

VTPT của đường thẳng d là ( )1;1n = , suy ra 1nz i= +

30


Do ( )C là ảnh của ( )C qua phép đối xứng trục d nên ( )

13

d

R R

I D I

= = =

Tìm ảnh I của I qua phép đối xứng trục d tương tự bài toán 1

( )2; 3I − suy ra 2 3Iz i= −

Như vậy ta có: ( )( ) ( )

2

1 . 2 3Re Re

1

i iz

i

+ − = − +

Gọi H là hình chiếu của I lên đường thẳng d . Khi đó ta có: ( ).ReH I nz z z z= +

Do H là trung điểm của đoạn I I nên 2I H Iz z z = −

Suy ra ( )3; 2I −

Vậy ( ) ( ) ( )2 2

: 3 2 13C x y − + + =

Đáp án A

Cảm ơn bạn đọc đã theo dõi bài viết của chúng tôi. Mọi ý kiến đóng góp hay các câu hỏi

thắc mắc về bài viết cũng như các vấn đề về máy tính CASIO fx 580VNX, các bạn có thể

gởi tin nhắn trực tiếp về fanpage DIỄN ĐÀN TOÁN CASIO

Documents

TỔNG HỢP CÁCH GIẢI QUYẾT CÁC BÀI TOÁN SỐ PHỨC DƯỚI SỰdiendanmaytinhcamtay.vn/wp-content/uploads/2019/03/tong-hop-so-phuc.pdf · 1.SƠ LƯỢC CÁC TÍNH NĂNG